未来の得点力へ！物理基礎 問題演習「ばねで吊るしたおもりの運動方程式」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ばねによる力と運動方程式」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

おもりの加速度を求めよ。

思考の道筋とポイント
ばねの伸びが \(l\) である瞬間の、おもりの加速度を求めます。これは、ある特定の瞬間の運動状態を問う問題なので、その瞬間におもりにはたらいている力をすべて特定し、運動方程式を立てるのが最も直接的な解法です。
この設問における重要なポイント

• おもりにはたらく力（重力と弾性力）をもれなく見つけること。
• 座標軸の向きに合わせて、各力に正負の符号を正しくつけて合力を計算すること。
• フックの法則で使うのは、ばねの全長ではなく「自然長からの伸び(または縮み)」であること。

具体的な解説と立式
まず、おもりにはたらく力を整理します。問題の指示に従い、鉛直上向きを正の向きとします。

• ばねの弾性力:
  • 大きさ: フックの法則より、ばねの伸びが \(l\) なので、\(F_{\text{ばね}} = kl\)。
  • 向き: ばねは伸びているので、自然長に戻ろうとしておもりを上向きに引きます。これは座標軸の正の向きなので、力の成分は \(+kl\) となります。
• 重力:
  • 大きさ: \(W = Mg\)。
  • 向き: 常に鉛直下向き。これは座標軸の正の向きと反対なので、力の成分は \(-Mg\) となります。

したがって、おもりにはたらく合力 \(F_{\text{合力}}\) は、これら2つの力の和で表されます。
$$F_{\text{合力}} = kl – Mg$$
これをニュートンの運動方程式 \(Ma = F_{\text{合力}}\) に代入すると、
$$Ma = kl – Mg \quad \cdots ①$$
これが、このおもりの運動方程式です。この式を加速度 \(a\) について解きます。

式①の両辺を質量 \(M\) で割って、加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{kl – Mg}{M} \\[2.0ex]&= \frac{kl}{M} – g
\end{aligned}
$$

おもりには、上向きにばねが引く力（大きさ \(kl\)）と、下向きに地球が引く重力（大きさ \(Mg\)）の2つがはたらいています。上向きをプラスと決めると、おもりにはたらく力の合計（合力）は「\(kl – Mg\)」と表せます。運動方程式「質量 × 加速度 = 合力」に当てはめると、「\(M \times a = kl – Mg\)」という式ができます。この式を \(a\) について解けば、答えが求まります。

加速度 \(a\) は \(a = \displaystyle\frac{kl}{M} – g\) となります。
この式は物理的に妥当です。例えば、

• もし上向きの弾性力 \(kl\) が下向きの重力 \(Mg\) より大きければ（\(kl > Mg\)）、\(a\) は正となり、おもりは上向きに加速します。
• もし弾性力と重力がつり合っていれば（\(kl = Mg\)）、\(a=0\) となり、おもりは静止または等速直線運動をします。
• もし重力の方が大きければ（\(kl < Mg\)）、\(a\) は負となり、おもりは下向きに加速（減速）します。

このように、力の大小関係と加速度の向きが直感と一致していることが確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ニュートンの運動方程式 (\(ma=F\)) の適用:
  • 核心: この問題は、物体にはたらく「力」を特定し、それを運動方程式に代入して「加速度」を求めるという、力学の最も基本的な思考プロセスを試すものです。
  • 理解のポイント: 加速度は、その瞬間の力の合力だけで決まります。物体がそれまでどのような運動をしてきたか（過去の速度や位置）は、その瞬間の加速度には直接関係しません。この「瞬間の力と加速度の関係」を明確に理解することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばねが縮んでいる場合: ばねの縮みが \(x\) の場合、弾性力は \(kx\) で、向きはばねが伸びようとする向き（おもりを押し上げる向き）になります。
  • 斜面上のばね振り子: おもりが斜面上にある場合、重力を斜面方向と垂直方向に分解する必要があります。運動方程式は斜面方向の力だけで立てます。
  • 単振動との関連: この問題は、ばね振り子の単振動の一場面を切り取ったものです。つり合いの位置（\(kl=Mg\)となる点）からの変位を \(x\) とすると、運動方程式は \(Ma = -kx\) となり、単振動の式そのものになります。この視点を持つと、より発展的な問題に対応できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 主役の特定: まず、どの物体の運動に着目するのかを決めます（この場合はおもり）。
  2. 力のリストアップ: 主役の物体にはたらく力を、接触しているもの（ばね）と離れてはたらくもの（重力）に分けて、すべて洗い出します。
  3. 座標軸の設定: 問題の指示や運動の主な方向に合わせて、正の向きを決めます。
  4. 運動方程式の立式: 「質量 × 加速度 = (正の向きの力) – (負の向きの力)」の型に当てはめて式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の向き（符号）の間違い:
  • 誤解: 重力や弾性力の符号を間違える。特に、ばねが縮んでいるときの弾性力の向きを混乱しやすい。
  • 対策: 必ず力の図示を行い、「ばねは常に自然長に戻ろうとする」という原則に立ち返りましょう。伸びていれば縮む向きに、縮んでいれば伸びる向きに力を及ぼします。その力の向きと、自分で設定した座標軸の正の向きを比較して符号を決めます。
• ばねの「長さ」と「伸び」の混同:
  • 誤解: フックの法則に、ばねの全長 \(l_0+l\) を代入してしまう。
  • 対策: フックの法則 \(F=kx\) の \(x\) は、あくまで「自然長からの変化量」であると強く意識しましょう。問題文の図や言葉から、「伸び」や「縮み」がどれに当たるのかを正確に読み取ることが不可欠です。
• つり合いの式との混同:
  • 誤解: 加速しているにもかかわらず、力のつり合いの式「上向きの力 = 下向きの力」を立ててしまう。
  • 対策: 「つり合い」は加速度が0の特別な状態です。問題文に「静止している」「等速で動いている」などの記述がない限り、物体は加速している可能性があり、その場合は必ず運動方程式 \(ma=F_{\text{合力}}\) を立てる必要があります。「合力は0とは限らない」と常に意識しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• なぜ「運動方程式」なのか？:
  • 選定理由: この問題は「加速度を求めよ」と、運動の状態変化を問うています。物体の運動状態の変化（加速度）と、その原因である「力」を結びつける唯一の法則が運動方程式だからです。
  • 適用根拠: おもりには複数の力（重力、弾性力）がはたらいており、それらの合力が0でない限り、おもりは加速します。この「力の不均衡」と「加速度」の因果関係を定量的に記述するために、運動方程式が最も適したツールとなります。
• なぜ「フックの法則」なのか？:
  • 選定理由: 運動方程式を立てるためには、おもりにはたらく具体的な力を知る必要があります。その力の一つが「ばねの弾性力」であり、その大きさを計算するための法則がフックの法則だからです。
  • 適用根拠: ばねの弾性力は、ばねの変形量に依存して変化します。その関係性を数式で与えてくれるのがフックの法則であり、運動方程式に具体的な力の値を代入するために不可欠なパーツとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 立式は文字のまま行う: もし問題に具体的な数値（\(k=100\) N/m, \(M=2.0\) kgなど）が与えられていても、まずは文字式 \(Ma = kl – Mg\) の形で立式し、最後に数値を代入する癖をつけましょう。物理的な関係性が明確になり、検算もしやすくなります。
• 単位の確認: 最終的に求めた式の単位が加速度の単位 [m/s²] になっているかを確認する（次元解析）。例えば、\(\frac{kl}{M}\) の単位は \(\frac{[\text{N/m}][\text{m}]}{[\text{kg}]} = \frac{[\text{N}]}{[\text{kg}]} = \frac{[\text{kg}\cdot\text{m/s}^2]}{[\text{kg}]} = [\text{m/s}^2]\) となり、\(g\) の単位と一致します。これにより、式の形がもっともらしいことを確認できます。
• 極端な状況を考える:
  • もし \(l=0\)（自然長）なら、\(a = -g\) となり、自由落下と同じ状況になる。これは正しい。
  • もし重力がなければ (\(g=0\))、\(a = \frac{kl}{M}\) となり、弾性力だけで加速する。これも正しい。

  このような思考実験を行うことで、式の妥当性を多角的にチェックでき、ケアレスミスを発見しやすくなります。

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