「センサー物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 2】Step2

Step 2

1 速度の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成」です。動く座標系（流れる川）の上をさらに動く物体（船）の速度を、静止した座標系（川岸）から見たときにどうなるかを考える、速度の合成の典型的な問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、船が自力で進む速度と、川に流される速度という2つの速度が合わさった結果、川岸にいる人からは船がどのように見えるか（合成速度）を求めるものです。
核心は、「川岸から見た船の速度」 = 「静水に対する船の速度」 + 「川の流れの速度」という、ベクトルの足し算の関係を正しく理解し、図に描けるかどうかにあります。
また、問題では「速度」を問われているため、「速さ（大きさ）」だけでなく「向き」も答えなければならない点に注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 合成速度 \(\vec{v}\) = 静水に対する船の速度 \(\vec{v}_{\text{船}}\) + 川の流れの速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\)
• 互いに垂直なベクトルを合成するため、速さは三平方の定理で求める。
• 向きは、基準の方向からの角度を三角比で表す。

具体的な解説と立式
静水に対する船の速度を \(\vec{v}_{\text{船}}\)、川の流れの速度を \(\vec{v}_{\text{川}}\) とします。川岸から見た船の速度（合成速度）を \(\vec{v}\) とすると、これらの関係はベクトルの和で表されます。
$$ \vec{v} = \vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{川}} $$
問題の条件を図にすると、\(\vec{v}_{\text{船}}\)（川岸に垂直な向き、大きさ \(4.0 \text{ m/s}\)）と \(\vec{v}_{\text{川}}\)（川下の向き、大きさ \(3.0 \text{ m/s}\)）は互いに直交しています。
したがって、これらのベクトルを合成してできる合成速度 \(\vec{v}\) の大きさ（速さ） \(v\) は、三平方の定理を用いて計算できます。
$$ v = \sqrt{v_{\text{船}}^2 + v_{\text{川}}^2} $$
また、合成速度 \(\vec{v}\) の向きは、川岸に垂直な向きから川下の向きに傾きます。その角度を \(\theta\) とすると、図の直角三角形から三角比の関係が成り立ちます。
$$ \tan\theta = \frac{v_{\text{川}}}{v_{\text{船}}} $$

まず、速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{16 + 9.0} \\[2.0ex]&= \sqrt{25} \\[2.0ex]&= 5.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、向きを表す角度 \(\theta\) についての関係式を求めます。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{3.0}{4.0} \\[2.0ex]&= 0.75
\end{aligned}
$$

船は「岸に向かってまっすぐ進もうとする力（速さ \(4.0 \text{ m/s}\)）」と「川に下流へ流される力（速さ \(3.0 \text{ m/s}\)）」の2つの影響を同時に受けます。その結果、船は実際には斜め下流に進んでいきます。
このときの実際の速さは、2つの速度の矢印が作る直角三角形の斜辺の長さに相当し、ピタゴラスの定理（三平方の定理）で計算できます。辺の比が \(3:4\) なので、斜辺は \(5\) となり、速さは \(5.0 \text{ m/s}\) です。
進む向きがどれだけ傾いているかは、同じ直角三角形の辺の比からタンジェントで表します。

川岸から見た船の速度は、川岸に垂直な向きから川下の向きに \(\tan\theta = 0.75\) となる角だけ傾いた向きに、速さ \(5.0 \text{ m/s}\) です。
速さは \(3:4:5\) の有名な直角三角形の関係から \(5.0 \text{ m/s}\) となり、計算は妥当です。向きも基準となる方向からの角度で具体的に記述されており、速度の表現として完全です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成則（ベクトル和）:
  • 核心: 「川岸から見た船の速度」は、「静水に対する船の速度」と「川の流れの速度」のベクトルの足し算で決まる、という物理法則を理解していることが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 速度はベクトル: 速度には「速さ（大きさ）」と「向き」があります。そのため、速度の足し算は、単純な数字の足し算ではなく、矢印（ベクトル）の合成として図形的に考える必要があります。
    • 合成の公式: \(\vec{v}_{\text{合成}} = \vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{川}}\) という関係式を立て、これに基づいて作図することが問題解決の第一歩です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 最短距離で対岸に渡る問題: 「川岸から見て、船がまっすぐ対岸に進む」という条件の問題。この場合、船首を少し上流に向けることで川の流れを打ち消します。ベクトル図では、合成速度のベクトルが川岸に垂直になるように作図し、三平方の定理を適用します。
  • 最短時間で対岸に渡る問題: 今回の問題のように「船首を川岸に垂直に向ける」のが最短時間で渡る方法です。なぜなら、船の持つ速度成分を全て対岸に向かうために使っているからです。
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 「川」を「風」、「船」を「飛行機」、「静水に対する速度」を「無風状態での飛行機の速度（対気速度）」、「川岸から見た速度」を「地面から見た速度（対地速度）」に置き換えれば、全く同じ考え方で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 3つの速度を特定する: 問題文から「①静水に対する船の速度」「②川の流れの速度」「③川岸から見た船の速度（合成速度）」の3つを明確に区別します。
  2. ベクトル図を描く: 3つの速度ベクトルの関係（\(\vec{v}_{\text{③}} = \vec{v}_{\text{①}} + \vec{v}_{\text{②}}\)）を、矢印をつないで図示します。多くの場合、直角三角形が現れます。
  3. 「速度」か「速さ」かを確認: 問題が「速さ」を問うているのか、「速度」を問うているのかを確認します。「速度」であれば、速さ（大きさ）と向きの両方を答える必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度をスカラーとして足し算してしまう:
  • 誤解: ベクトルであることを忘れ、速さの大きさだけを単純に足して \(4.0 + 3.0 = 7.0 \text{ m/s}\) と答えてしまう。
  • 対策: 「速度はベクトル！」と常に意識し、必ず図を描く習慣をつけましょう。矢印で考えれば、単純な足し算が間違いであることは一目瞭然です。
• 「速さ」だけで満足し、「向き」を答えない:
  • 誤解: 問題文で「速度を求めよ」と問われているのに、計算で求めた速さ \(5.0 \text{ m/s}\) だけで解答を終えてしまう。
  • 対策: 問題文の「速度」と「速さ」という言葉を厳密に区別しましょう。「速度」と書かれていたら、必ず「向き」もセットで答える、と覚えてください。
• ベクトル図の作図ミス:
  • 誤解: ベクトルの和 \(\vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{川}}\) を作図する際に、矢印の始点同士を合わせてしまうなど、つなぎ方を間違える。
  • 対策: ベクトルの和は「一方のベクトルの終点に、もう一方のベクトルの始点をつなぐ」という三角形のルールを徹底しましょう。合成ベクトルは、全体の始点から全体の終点に向かう矢印になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の合成則 (\(\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\)):
  • 選定理由: この問題は、静止した観測者（川岸）から見た、動く座標系（川）の上を運動する物体（船）の振る舞いを記述するものです。この現象を数式で表現する基本法則が速度の合成則です。
  • 適用根拠: 「川岸から見た船の動き」は、「船が自力で進む動き」と「川によって流される動き」が合わさった結果として現れます。この「合わさる」という物理現象を数学的に表現するのが「ベクトルの和」なのです。
• 三平方の定理と三角比:
  • 選定理由: 速度の合成則をベクトル図に描いた結果、2つの既知のベクトルが直角をなす「直角三角形」が現れたため。直角三角形の辺の長さ（速さ）と角度（向き）の関係を調べるための最も基本的な数学ツールが、三平方の定理と三角比です。
  • 適用根拠: 船が岸に垂直に進もうとする速度と、川が流れる速度は直交しているため、合成速度の「大きさ」は三平方の定理で、その「向き」は三角比で求めるのが最も合理的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有名な整数比の活用:
  • この問題では、直交する速度の大きさが \(4.0 \text{ m/s}\) と \(3.0 \text{ m/s}\) です。この \(3:4\) という比を見たら、すぐに「\(3:4:5\) の直角三角形だ！」と気づくことが重要です。これにより、\(\sqrt{4.0^2 + 3.0^2}\) という計算をせずとも、合成速度の大きさが \(5.0 \text{ m/s}\) であると瞬時に判断でき、計算ミスを防ぎ、時間を節約できます。
• 向きの表現方法:
  • 向きを答える際、\(\tan\theta = 0.75\) のように三角比の値で示すのが一般的です。無理に角度 \(\theta\) を求める必要はありません（\(\theta \approx 37^\circ\) ですが、問題で指定されない限り不要です）。「どの向きを基準に、どちらの方向に、どれだけの角度か」を明確に言葉で説明することが大切です。
• 単位の確認:
  • 基本的なことですが、計算の最後に単位（この場合は \(\text{[m/s]}\)）を書き忘れないようにしましょう。物理量には必ず単位が伴います。

2 速度の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成」と、その応用である「最短距離での川渡り」です。船が川の流れの影響を受けながら、目的地である対岸にまっすぐ進むための条件をベクトルを用いて解析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、「川を垂直に横切る」という目的を達成するために、船の操縦（船首の向き）をどう調整すればよいか、そしてその結果どうなるか（所要時間）を問うています。
核心は、「川岸から見た船の速度（合成速度）」が「静水に対する船の速度（船が自力で進む速度）」と「川の流れの速度」のベクトル和で表されること、そして「垂直に横切る」という条件が合成速度の向きを指定していることを理解することです。
この条件を満たすためには、船はあらかじめ船首を上流側に向けて、流される分を打ち消すように進む必要があります。この関係をベクトル図に正しく描き、直角三角形を見つけ出すことができれば、問題は解決します。
この設問における重要なポイント

• 合成速度 \(\vec{v}\) = 静水に対する船の速度 \(\vec{v}_{\text{船}}\) + 川の流れの速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\)
• 「垂直に横切る」とは、合成速度 \(\vec{v}\) の向きが川岸に垂直であるということ。
• この条件の下では、静水に対する船の速度 \(\vec{v}_{\text{船}}\) が直角三角形の「斜辺」になる。
• 対岸に渡る時間は、川を横切る実際の速さ（合成速度の大きさ）で決まる。

具体的な解説と立式
静水に対する船の速度を \(\vec{v}_{\text{船}}\)（大きさ \(5.0 \text{ m/s}\)）、川の流れの速度を \(\vec{v}_{\text{川}}\)（大きさ \(3.0 \text{ m/s}\)）、そして川岸から見た船の速度（合成速度）を \(\vec{v}\) とします。これらの速度ベクトルの関係は、
$$ \vec{v} = \vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{川}} $$
と表せます。
「川を垂直に横切る」という条件から、合成速度 \(\vec{v}\) の向きは川岸に垂直になります。一方、川の流れの速度 \(\vec{v}_{\text{川}}\) は川岸に平行です。したがって、\(\vec{v}\) と \(\vec{v}_{\text{川}}\) は直交します。
これらのベクトルで三角形を作図すると、\(\vec{v}_{\text{船}}\) が斜辺、\(\vec{v}\) と \(\vec{v}_{\text{川}}\) が他の2辺となる直角三角形ができます。

この直角三角形において、三平方の定理を適用して、合成速度の大きさ（川を垂直に横切る速さ） \(v\) を求めます。
$$ v_{\text{船}}^2 = v^2 + v_{\text{川}}^2 $$
船首を向けるべき向きは、川岸に垂直な向きから上流側に角 \(\theta\) だけ傾いた向きとなります。この角度は、同じ直角三角形の辺の比から求められます。
$$ \tan\theta = \frac{v_{\text{川}}}{v} $$
対岸に渡るのに要する時間 \(t\) は、川幅 \(W=100 \text{ m}\) を、川を横切る速さ \(v\) で進む時間なので、
$$ W = v \times t $$

まず、川を垂直に横切る速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{v_{\text{船}}^2 – v_{\text{川}}^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{5.0^2 – 3.0^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{25 – 9.0} \\[2.0ex]&= \sqrt{16} \\[2.0ex]&= 4.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、船首を向けるべき向き \(\theta\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{v_{\text{川}}}{v} \\[2.0ex]&= \frac{3.0}{4.0} \\[2.0ex]&= 0.75
\end{aligned}
$$
よって、船首は「川岸に垂直な向きから川上に向かって \(\tan\theta = 0.75\) となる角だけ」向ける必要があります。

最後に、対岸に渡る時間 \(t\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
100 &= 4.0 \times t \\[2.0ex]t &= \frac{100}{4.0} \\[2.0ex]&= 25 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

川をまっすぐ横切るためには、船は流される分を見越して、船首を少し上流に向けておく必要があります。このとき、「船が自力で進む速さ（\(5.0 \text{ m/s}\)）」、「川の流れの速さ（\(3.0 \text{ m/s}\)）」、そして「実際に岸をまっすぐ横切る速さ」の3つの速度の矢印で、直角三角形ができます。
この三角形でピタゴラスの定理を使うと、岸をまっすぐ横切る速さは \(4.0 \text{ m/s}\) であることがわかります。また、船首をどれだけ上流に向けるべきかも、この三角形の辺の比からわかります。
川を渡る時間は、川幅 \(100 \text{ m}\) を、このまっすぐ横切る速さ \(4.0 \text{ m/s}\) で進むので、「時間 = 距離 ÷ 速さ」で \(25\) 秒と計算できます。

船首を川岸に垂直な向きから川上に向かって \(\tan\theta = 0.75\) となる角だけ向ける必要があります。このとき、対岸に渡るのに要する時間は \(25 \text{ s}\) です。
速度のベクトル関係を正しく作図し、\(3:4:5\) の有名な直角三角形の関係を利用することで、各値を合理的に求めることができました。結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成則と「垂直横断」条件の図形化:
  • 核心: この問題の成否は、「川を垂直に横切る」という日本語を「合成速度の向きが川岸に垂直になる」という物理的な条件に正しく翻訳し、それをベクトル図に描けるかどうかにかかっています。
  • 理解のポイント:
    • 速度の合成則 \(\vec{v}_{\text{合成}} = \vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{川}}\) は基本です。
    • この問題では、\(\vec{v}_{\text{合成}}\)（実際に進む向き）と \(\vec{v}_{\text{川}}\)（川の流れ）が直交します。
    • その結果、3つの速度ベクトルが作る直角三角形において、船が自力で進む速度 \(\vec{v}_{\text{船}}\) が斜辺に対応します。この関係性を見抜くことが最大の鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 最短時間で渡る問題: 船首を川岸に垂直に向ける場合です。この場合、船の持つ速度を全て川を横切るために使うので、渡る時間は最短になります。ただし、船は下流に流されます。
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 「川の流れ」を「風」、「船」を「飛行機」に置き換えた問題。「真東に飛行したいが、北から風が吹いている。機首をどの方向に向けるべきか？」といった問題は、本問と全く同じ構造です。
  • 出発点とは違う対岸の点に到着する問題: 例えば「対岸の100m下流の点に到着したい」といった問題。この場合、合成速度が斜めを向くように、船首の向きを調整します。速度ベクトルをx, y成分に分解して考えると解きやすくなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 目的（合成速度）は何か？: 問題文から「船が最終的にどう動いてほしいのか」を読み取ります。「垂直に横切る」「最短時間で渡る」「A地点からB地点へ」など、これが合成速度の向きや性質を決定します。
  2. 手段（船の速度）と外的要因（川の速度）を特定する: 「静水上で進める速さ」が船のエンジン性能（手段）、「川の流速」が船の動きに影響を与える外的要因です。
  3. ベクトル三角形を描く: 上記3つのベクトルの関係 \(\vec{v}_{\text{目的}} = \vec{v}_{\text{手段}} + \vec{v}_{\text{要因}}\) を満たすように、慎重にベクトル図を描きます。どのベクトルが斜辺になるか、どのベクトルが直交するかを正確に把握することが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 斜辺の取り違え:
  • 誤解: 静水に対する船の速さ（\(5.0 \text{ m/s}\)）を、直角三角形の斜辺ではなく、岸に垂直な辺だと勘違いし、合成速度を \(\sqrt{5.0^2 + 3.0^2}\) と計算してしまう。
  • 対策: 「船が自力で出せる全力の速さ（\(5.0 \text{ m/s}\)）の一部を使って川の流れ（\(3.0 \text{ m/s}\)）を打ち消し、残りの力で岸を渡る」と考えましょう。したがって、岸を渡る実際の速さは \(5.0 \text{ m/s}\) より小さくなるはずです。ベクトル図を正しく描けば、\(\vec{v}_{\text{船}}\) が斜辺になることが視覚的に確認できます。
• 所要時間の計算に使う速さのミス:
  • 誤解: 川を渡る時間を計算する際に、分母の速さに静水に対する船の速さ（\(5.0 \text{ m/s}\)）を使ってしまい、\(100 \div 5.0 = 20 \text{ s}\) と答えてしまう。
  • 対策: 「時間 = 距離 ÷ 速さ」の公式を使うとき、その「速さ」は「距離」と同じ方向の速度成分でなければなりません。川幅（岸から岸への距離）を進む速さは、その方向に進む実際の速さ、すなわち合成速度の大きさ（\(4.0 \text{ m/s}\)）です。
• 船首の向きの勘違い:
  • 誤解: 川の流れに逆らうという発想がなく、船首を川下に向けてしまう。
  • 対策: 川に流されるのだから、それを打ち消すためには「川上」に船首を向ける必要がある、と物理現象を直感的にイメージすることが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の合成則 (\(\vec{v} = \vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{川}}\)):
  • 選定理由: 静止した座標系（川岸）から見た運動を、動く座標系（川）の上での運動と、座標系自体の運動の和として捉えるための基本法則だからです。
• 三平方の定理:
  • 選定理由: 「垂直に横切る」という条件から、ベクトル図に「直角三角形」が必然的に現れるため。この三角形の3つの辺の長さ（3つの速さ）の関係を記述するのに、三平方の定理が最も直接的です。
  • 適用根拠: この問題では、斜辺（静水に対する船の速さ）と、他の一辺（川の流速）が分かっているため、残りの一辺（合成速度の大きさ）を求めるために \(a^2 = c^2 – b^2\) の形で使用します。
• 等速直線運動の公式 (\(t = W/v\)):
  • 選定理由: 川を横切る運動は、岸から見ると一定の合成速度 \(v\) でまっすぐ進む等速直線運動と見なせるためです。
  • 適用根拠: 一定の速さ \(v\) で、一定の距離（川幅 \(W\)）を進むのにかかる時間を求めるので、最も基本的な「時間＝距離÷速さ」の公式が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有名な整数比の活用:
  • 直角三角形の辺の長さが \(5.0\) と \(3.0\) であることから、「\(3:4:5\) の直角三角形」を連想することが極めて重要です。これにより、残りの辺の長さが \(4.0\) であることが、\(\sqrt{5.0^2 – 3.0^2}\) のような平方根の計算をせずとも瞬時にわかり、計算ミスを劇的に減らせます。
• 向きの表現を正確に行う:
  • 船首の向きを答える際には、「川岸に垂直な向きから」「川上に向かって」「\(\tan\theta=0.75\) となる角だけ」のように、「基準」「方向」「大きさ（角度）」の3要素を明確に記述する練習をしましょう。
• 問題の条件を図に反映させる:
  • 「垂直に横切る」という言葉を読んだら、すぐにベクトル図に直角の記号を書き込むなど、文章の条件を漏れなく図に翻訳する癖をつけることが、正しい立式への近道です。

3 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2次元平面における相対速度のベクトル解析」です。互いに直交する方向に運動する2つの物体について、一方から見たもう一方の運動をベクトルを用いて解析する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、2つの自動車の「地面に対する速度（絶対速度）」と「一方から見たもう一方の速度（相対速度）」の関係を解き明かすものです。核心は、3つの速度ベクトルの関係式 \(\vec{v}_{\text{BA}} = \vec{v}_{\text{A}} – \vec{v}_{\text{B}}\) を、方位の情報と組み合わせて正しくベクトル図に描けるかどうかにあります。
「Aは南向き」「Bは東向き」「Bから見たAは南西向き」という条件から、3つのベクトルがどのような三角形を構成するかを突き止め、その図形の性質から未知の速さを求めるのが攻略の鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 相対速度の公式: \(\vec{v}_{\text{BA}} = \vec{v}_{\text{A}} – \vec{v}_{\text{B}}\) （観測者がB、対象がA）
• ベクトルの関係式を図に変換する能力。特に、\(\vec{v}_{\text{A}} = \vec{v}_{\text{B}} + \vec{v}_{\text{BA}}\) のように足し算の形にすると作図しやすい。
• 方位を角度に変換する能力（東と南は直交、南西は南から45°西向き）。
• 作図した図形が直角二等辺三角形であることを見抜くこと。

具体的な解説と立式
地面に対する自動車Aの速度を \(\vec{v}_{\text{A}}\)、自動車Bの速度を \(\vec{v}_{\text{B}}\) とします。Bから見たAの相対速度は \(\vec{v}_{\text{BA}}\) です。
問題の条件をベクトルで整理すると、

• \(\vec{v}_{\text{A}}\): 南向き、大きさ \(v_{\text{A}} = 15 \text{ m/s}\)。
• \(\vec{v}_{\text{B}}\): 東向き、求める速さを \(v_{\text{B}}\) とする。
• \(\vec{v}_{\text{BA}}\): 南西向き、求める速さを \(v_{\text{BA}}\) とする。

相対速度の定義式は次の通りです。
$$ \vec{v}_{\text{BA}} = \vec{v}_{\text{A}} – \vec{v}_{\text{B}} $$
この式は、ベクトルの足し算の形に移項すると図示しやすくなります。
$$ \vec{v}_{\text{A}} = \vec{v}_{\text{B}} + \vec{v}_{\text{BA}} $$
この関係を図に描きます。「東向きのベクトル \(\vec{v}_{\text{B}}\)」の終点に「南西向きのベクトル \(\vec{v}_{\text{BA}}\)」の始点をつなぐと、全体の始点から終点へのベクトルが「南向きのベクトル \(\vec{v}_{\text{A}}\)」となります。
ここで、\(\vec{v}_{\text{A}}\)（南向き）と \(\vec{v}_{\text{B}}\)（東向き）は直交しています。また、\(\vec{v}_{\text{BA}}\)（南西向き）と \(\vec{v}_{\text{A}}\)（南向き）のなす角は \(45^\circ\) です。
したがって、この3つのベクトルが作る三角形は、角が \(90^\circ, 45^\circ, 45^\circ\) の直角二等辺三角形になります。

作図した直角二等辺三角形において、直角を挟む2辺の長さは等しくなります。この2辺は \(\vec{v}_{\text{A}}\) と \(\vec{v}_{\text{B}}\) の大きさに対応します。
したがって、Bの速さ \(v_{\text{B}}\) は、
$$ v_{\text{B}} = v_{\text{A}} = 15 \text{ [m/s]} $$
相対速度の大きさ \(v_{\text{BA}}\) は、この三角形の斜辺の長さに対応します。直角二等辺三角形の性質から、斜辺の長さは直角を挟む辺の長さの \(\sqrt{2}\) 倍です。
$$ v_{\text{BA}} = \sqrt{2} \times v_{\text{A}} $$
数値を代入して計算します。\(\sqrt{2} \approx 1.41\) とします。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{BA}} &= 15 \times \sqrt{2} \\[2.0ex]&\approx 15 \times 1.41 \\[2.0ex]&= 21.15
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、
$$ v_{\text{BA}} \approx 21 \text{ [m/s]} $$

「Bから見たAの動き」は、「Aの本当の動き」から「Bの本当の動き」をベクトルで引き算したものです。この関係を矢印で図に描いてみると、「東向きの矢印（Bの速度）」と「南西向きの矢印（相対速度）」を足し合わせると、「南向きの矢印（Aの速度）」になることがわかります。
この3つの矢印でできる三角形をよく見ると、東向きと南向きが直角で、南向きと南西向きの角度が45°なので、これは「直角二等辺三角形」だとわかります。
直角二等辺三角形は、2つの辺の長さが同じで、斜辺がその\(\sqrt{2}\)倍という性質があります。この性質から、Bの速さはAの速さと同じ15m/s、Bから見たAの速さは15m/sの\(\sqrt{2}\)倍だと計算できます。

自動車Bの速さは \(15 \text{ m/s}\)、Bに乗っている人から見たAの速さは \(21 \text{ m/s}\) です。
ベクトル図を描くことで、一見複雑な2次元の相対速度の問題が、特殊な三角形の幾何学的な問題に帰着できました。結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度のベクトル的理解と方位の図形化:
  • 核心: \(\vec{v}_{\text{BA}} = \vec{v}_{\text{A}} – \vec{v}_{\text{B}}\) という相対速度の定義式を立て、問題文の「南」「東」「南西」という方位情報をベクトルの向きに正確に変換し、図形として表現する能力が全てです。
  • 理解のポイント:
    • ベクトル方程式の図示: \(\vec{v}_{\text{A}} = \vec{v}_{\text{B}} + \vec{v}_{\text{BA}}\) のように足し算の形に直すと、ベクトルの矢印を「しりとり」のようにつなぐだけで作図でき、関係を把握しやすくなります。
    • 方位と角度: 「南西」が南と西のちょうど中間、つまり南向きのベクトルとは45°の角をなすことを認識することが、この問題を解く上での最大の鍵です。
    • 図形の特定: 上記の条件から、作図された三角形が「直角二等辺三角形」であることを見抜くことで、複雑な計算なしに答えを導き出せます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 川を渡る船の問題: 岸から見た船の動き、船から見た水の動きなど、様々な視点からの相対速度を問う問題。
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 地面に対する速度、風に対する速度（対気速度）、風の速度の3者の関係を問う問題。
  • 2物体の衝突: 一方の物体から見たもう一方の物体の相対速度が、2物体を結ぶ直線上にあれば衝突する、という考え方を利用する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準系（地面）に対する速度を整理する: まず、問題文に出てくる物体の速度を、地面に対する絶対速度としてベクトルで表現します。（例: \(\vec{v}_{\text{A}}\)は南向き、\(\vec{v}_{\text{B}}\)は東向き）
  2. 観測者と対象を明確にする: 「Bに乗っている人が見る」とあれば、観測者はB、対象はAです。したがって、考えるべき相対速度は \(\vec{v}_{\text{BA}}\) となります。
  3. ベクトル方程式を図に翻訳する: \(\vec{v}_{\text{BA}} = \vec{v}_{\text{A}} – \vec{v}_{\text{B}}\) を立て、これをもとにベクトル図を描きます。このとき、既知のベクトルと未知のベクトル、既知の角度と未知の角度を全て図に書き込みます。
  4. 図形の性質から解を求める: 描いた図が、直角三角形や二等辺三角形などの特殊な形をしていないか確認します。特殊な図形であれば、三平方の定理や辺の比、三角比を用いて簡単に解くことができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 観測者と対象の混同:
  • 誤解: 「Bから見たAの速度」を \(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\) と間違えてしまう。
  • 対策: 「（観測者）から見た（対象）の速度」は「（対象）の速度 – （観測者）の速度」という語順の対応を徹底しましょう。「相手の速度 – 自分の速度」と覚えるのが直感的です。
• 方位の解釈ミス:
  • 誤解: 「南西」という方位を、南と西の間の適当な角度だと考えてしまい、45°という重要な情報を見落とす。
  • 対策: 「北東」「南東」「南西」「北西」の4つの方位は、特に指定がなければ基準となる方位（東西南北）から45°の角度をなすと理解してください。
• ベクトル図の作図ミス:
  • 誤解: \(\vec{v}_{\text{A}} = \vec{v}_{\text{B}} + \vec{v}_{\text{BA}}\) のようなベクトルの和を作図する際に、矢印のつなぎ方を間違える（例：始点同士を合わせてしまう）。
  • 対策: ベクトルの和は「\(\vec{v}_{\text{B}}\) の矢印の終点に、\(\vec{v}_{\text{BA}}\) の矢印の始点をつなぐ」という三角形のルールを徹底してください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相対速度の定義式 (\(\vec{v}_{\text{BA}} = \vec{v}_{\text{A}} – \vec{v}_{\text{B}}\)):
  • 選定理由: 「動いている人から見た、動いている物体の速度」という、まさに相対運動そのものを扱う問題だからです。この物理現象を数学的に記述するための唯一の出発点が、この相対速度の定義式です。
  • 適用根拠: 観測者Bの運動（\(\vec{v}_{\text{B}}\)）の影響を、対象Aの運動（\(\vec{v}_{\text{A}}\)）から取り除く（ベクトル的に引き算する）ことで、Bの座標系から見たAの運動（\(\vec{v}_{\text{BA}}\)）がわかる、という考え方に基づいています。
• 直角二等辺三角形の性質 (\(1:1:\sqrt{2}\)):
  • 選定理由: ベクトル図を描いた結果、幸運にも特殊な図形（直角二等辺三角形）が現れたため。
  • 適用根拠: この図形の幾何学的な性質を利用することで、複雑な三角比の計算や連立方程式を解くことなく、辺の長さの比だけで未知の速さを最も効率的に求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 整数比の活用:
  • 作図した三角形が辺の比 \(1:1:\sqrt{2}\) の直角二等辺三角形であることに気づけば、三平方の定理を立てて \(\sqrt{15^2+15^2}\) のような計算をする必要がなく、\(15\sqrt{2}\) と瞬時にわかります。
• 近似値の計算:
  • \(\sqrt{2} \approx 1.41\) を用いた掛け算（\(15 \times 1.41\)）は、筆算などで丁寧に行いましょう。\(15 \times 1.4 = 21.0\), \(15 \times 0.01 = 0.15\) のように分解して計算するとミスが減ります。
• 有効数字の意識:
  • 問題で与えられている速さが \(15 \text{ m/s}\) と有効数字2桁なので、最終的な答えもそれに合わせるのが一般的です。計算結果が \(21.15\) となっても、四捨五入して \(21 \text{ m/s}\) と答えるようにしましょう。

4 速度の分解

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成と分解」です。船が自力で進む速度と川が流れる速度が合成された結果、実際に船がどのように運動するかを、ベクトルと三角比を用いて解析する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
静水時の船の速さを求める問題です。問題文に「船首を川岸に対して垂直な向きに向けて進めようとした」とあります。これは、船がエンジンなどを使って自力で進もうとする速度の向きが、川岸に垂直であることを意味します。この速度の大きさは、川を横切るのに要した時間と川幅から計算することができます。
この設問における重要なポイント

• 「船首を川岸に垂直に向ける」とは、静水に対する船の速度ベクトルが川岸に垂直であることを意味する。
• 川を渡る運動（川岸に垂直な方向の運動）の速さは、この静水に対する船の速さ \(v_1\) である。
• 「距離 = 速さ × 時間」の関係式を用いて、川を横切る方向の運動を立式する。

具体的な解説と立式
静水時の船の速さを \(v_1\) とします。船は船首を川岸に垂直に向けているため、川を横切る方向の速度成分の大きさは \(v_1\) となります。
川幅は \(W = 30 \text{ m}\)、対岸に渡るのにかかった時間は \(t = 5.0 \text{ s}\) です。
川を横切る方向の運動は等速直線運動と考えられるので、次の関係式が成り立ちます。
$$ W = v_1 \times t $$

上の式に数値を代入し、\(v_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
30 &= v_1 \times 5.0 \\[2.0ex]v_1 &= \frac{30}{5.0} \\[2.0ex]v_1 &= 6.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

船は岸に向かってまっすぐ進もうとしています。この「まっすぐ進む速さ」を求めます。川の幅が30mで、対岸に渡るのに5.0秒かかったのですから、単純に「速さ = 距離 ÷ 時間」で計算することができます。

静水時の船の速さは \(6.0 \text{ m/s}\) です。問題文で与えられた川幅と時間から直接計算でき、物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
川の流れの速さを求める問題です。船の実際の運動は、「静水時の船の速さ（岸に垂直な向き）」と「川の流れの速さ（岸に平行な向き）」という2つの速度が合成されたものです。この合成された結果、船は「川岸に対して60°の方向に進んだ」という事実が最大のヒントです。これらの速度ベクトルの関係を直角三角形で考え、三角比を適用します。
この設問における重要なポイント

• 川岸から見た船の速度（合成速度）は、静水時の船の速度と川の流れの速度のベクトル和である。
• 静水時の船の速さ \(v_1\)（岸に垂直）と川の流れの速さ \(v_2\)（岸に平行）は直交する。
• 合成速度の向きが、川岸（川の流れの方向）と \(60^\circ\) の角をなす。
• これらの関係から、速度ベクトルが作る直角三角形において三角比（\(\tan\)）を適用する。

具体的な解説と立式
川の流れの速さを \(v_2\) とします。
(1)で求めた静水時の船の速さ \(v_1 = 6.0 \text{ m/s}\) は、川岸に垂直な方向の速度成分です。
川の流れの速さ \(v_2\) は、川岸に平行な方向の速度成分です。
この2つの速度を合成したものが、川岸から見た船の実際の速度（合成速度）になります。
問題の図から、合成速度の向きは、川岸（川の流れの方向）に対して \(60^\circ\) の角度をなしています。
したがって、これら3つの速度ベクトルが作る直角三角形において、垂直成分の速さ（対辺 \(v_1\)）と平行成分の速さ（底辺 \(v_2\)）の比は \(\tan 60^\circ\) に等しくなります。
$$ \tan 60^\circ = \frac{v_1}{v_2} $$

上で立てた式を \(v_2\) について解き、数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \frac{v_1}{\tan 60^\circ} \\[2.0ex]&= \frac{6.0}{\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{6.0\sqrt{3}}{3} \\[2.0ex]&= 2\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、有効数字2桁に丸めます。
$$
\begin{aligned}
v_2 &\approx 2 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 3.46 \\[2.0ex]&\approx 3.5 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

船は、岸に向かって進む動きと、川に流される動きを同時にしています。その結果、斜め \(60^\circ\) の方向に進みます。このとき、「岸に向かう速さ」「川に流される速さ」「実際に斜めに進む速さ」の3つの矢印で直角三角形ができます。この三角形の角度が \(60^\circ\) であることと、(1)で求めた「岸に向かう速さ」がわかっているので、三角比のタンジェントを使って、残りの辺である「川に流される速さ」を計算することができます。

川の流れの速さは \(3.5 \text{ m/s}\) です。(1)で求めた静水時の船の速さと、問題で与えられた角度の情報から、三角比を用いて合理的に導き出すことができました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成と分解の理解:
  • 核心: この問題は、「船が自力で進む速度（静水に対する速度）」と「川の流れの速度」という2つの独立した速度が合わさって、「実際に観測される速度（合成速度）」が生まれるという、速度の合成・分解の原理を理解しているかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 「船首の向き」: これは「静水に対する船の速度」の向きを指します。この問題では川岸に垂直です。
    • 「実際に進む向き」: これは「合成速度」の向きを指します。この問題では川岸に対して \(60^\circ\) です。
    • ベクトル図: 上記の2つの速度と「川の流れの速度」の関係を、\(\vec{v}_{\text{合成}} = \vec{v}_{\text{静水}} + \vec{v}_{\text{流れ}}\) に基づいて正しく作図できることが、問題を解く上での最大の鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 最短距離で渡る問題: 船首を少し上流に向けて、川の流れを打ち消し、合成速度が川岸に垂直になるようにする問題。この場合、静水に対する船の速度が直角三角形の「斜辺」になります。
  • 最短時間で渡る問題: 今回の問題のように、船首を川岸に垂直に向ける場合です。この場合、船の持つ力の全てを川を横切るために使うので、渡る時間は最短になります。
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 「川」を「風」、「船」を「飛行機」に置き換えた問題。例えば「真東に進みたいが北風が吹いている」といった状況は、最短距離で川を渡る問題と全く同じ構造です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 3つの速度ベクトルを定義する: 「静水に対する速度 \(\vec{v}_1\)」「川の流れの速度 \(\vec{v}_2\)」「合成速度 \(\vec{v}\)」の3つをまず文字で置きます。
  2. 問題文の情報をベクトルに割り当てる: 「船首の向き」は \(\vec{v}_1\) の向き、「実際の進路」は \(\vec{v}\) の向き、「川の流れ」は \(\vec{v}_2\) の向き、というように、問題文の記述がどのベクトルに対応するのかを明確にします。
  3. ベクトル図を描く: \(\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\) の関係を満たすように、ベクトル図を描きます。このとき、直交関係や角度を正確に書き込み、直角三角形を見つけ出します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「船首の向き」と「実際の進路」の混同:
  • 誤解: 「船首を垂直に向けた」のだから、実際に進む速さも垂直方向の成分だけで計算できると勘違いしてしまう。
  • 対策: 「船首の向き」はあくまで船が頑張って進もうとしている方向であり、川の流れによって「実際の進路」は流されて傾く、という物理現象を常にイメージしましょう。この2つは別物です。
• 三角比の適用の間違い:
  • 誤解: 図に示された \(60^\circ\) の角を見て、どの辺が対辺でどの辺が底辺かを取り違え、\(\tan 60^\circ = v_2 / v_1\) のように誤った式を立ててしまう。
  • 対策: 基準となる角（この問題では \(60^\circ\)）を決め、その角と向かい合う辺が「対辺」、隣り合う辺が「底辺」であることを、図を指でなぞって毎回確認しましょう。この問題の図では、対辺が \(v_1\)、底辺が \(v_2\) に対応します。
• (1)で求めた速さの解釈ミス:
  • 誤解: (1)で計算した \(6.0 \text{ m/s}\) を、船が実際に斜めに進む速さ（合成速度）だと勘違いしてしまう。
  • 対策: (1)の計算は「川幅 \(30 \text{ m}\)」と「渡る時間 \(5.0 \text{ s}\)」から求めています。これは純粋に「川を横切る方向」の速度成分であり、静水に対する船の速さに等しいことを理解しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等速直線運動の公式 (\(x = vt\)):
  • 選定理由: (1)では、川を横切る方向の運動に注目しています。この方向には、船は一定の速さ \(v_1\) で、一定の距離（川幅）を進むと見なせるため、最も基本的な等速直線運動の公式が適用できます。
  • 適用根拠: 「距離（川幅）」「時間」が分かっていて、その方向の「速さ」を求めたい、という状況に完璧に合致しています。
• 三角比 (\(\tan\theta\)):
  • 選定理由: (2)では、互いに直交する2つの速度ベクトル（\(v_1\) と \(v_2\)）と、それらが作る合成ベクトルの向き（角度）の関係を扱っているためです。
  • 適用根拠: 直角三角形において、2つの辺の長さと1つの角度の関係を結びつける最も直接的なツールが三角比です。この問題では、直角を挟む2辺（\(v_1, v_2\)）と、それらがなす角（\(60^\circ\)）の関係を扱うため、\(\tan\) を用いるのが最も合理的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分母の有理化: 計算途中で \(\frac{6.0}{\sqrt{3}}\) のようなルートが分母に来た場合、必ず有理化して \(2\sqrt{3}\) の形に直してから近似値計算を行うことで、計算ミスを減らし、見通しを良くすることができます。
• 近似値の精度: \(\sqrt{3} \approx 1.73\) は物理で頻出する近似値なので覚えておくと便利です。\(2 \times 1.73 = 3.46\) のような簡単な計算でも、焦らず丁寧に行いましょう。
• 有効数字の処理: 問題文で与えられている数値（\(30\text{m}, 5.0\text{s}\)）は有効数字2桁です。したがって、最終的な答えもそれに合わせて2桁に丸める必要があります。\(3.46 \to 3.5\) のように、計算結果を最後に正しく四捨五入する習慣をつけましょう。
• 図の情報を正確に読み取る: 問題に与えられた図をよく見て、どの角が \(60^\circ\) を示しているのかを正確に把握することが重要です。この問題では、川岸（川の流れの方向）と合成速度のなす角が \(60^\circ\) です。これを間違えると、三角比の適用が全て崩れてしまいます。

5 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動く座標系からの水平投射」と「速度の合成」です。水平に運動する気球から投げ出された小球の運動を、地面に静止した観測者の視点で解析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が地面に達するまでの時間を求める問題です。この時間は、鉛直方向の運動だけで決まります。気球が水平に運動していても、また小球を水平方向に投げ出しても、鉛直方向の運動は「初速度0の自由落下」と全く同じです。この「運動の独立性」を正しく理解しているかが問われます。
この設問における重要なポイント

• 小球の鉛直方向の運動は、初速度0の「自由落下運動」である。
• 落下時間は、水平方向の速度に関係なく、高さのみによって決まる。
• 自由落下の変位（落下距離）の公式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正の向きとします。小球は高さ \(h = 19.6 \text{ m}\) の位置から落下します。鉛直方向の初速度は \(v_{0y} = 0\) です。重力加速度の大きさを \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) として、自由落下の変位の式を適用します。
$$ 19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$

立式した方程式を時間 \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
19.6 &= 4.9 t^2 \\[2.0ex]t^2 &= \frac{19.6}{4.9} \\[2.0ex]t^2 &= 4.0
\end{aligned}
$$
時間 \(t\) は正の値なので、
$$ t = 2.0 \text{ [s]} $$

小球が地面に落ちるまでの時間は、気球や小球の横方向の動きには一切関係ありません。単純に、高さ19.6mの場所から物を静かに手放したときと同じ時間で地面に到達します。この時間を物理の公式を使って計算します。

小球が地面に達するまでの時間は \(2.0 \text{ s}\) です。計算結果は正の値であり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球が地面に達した地点の、水平方向の位置を求める問題です。この問題を解く鍵は、小球の「地面に対する」水平初速度を正しく求めることです。小球は、気球が持つ東向きの速度を引き継ぎながら、同時に気球に対して西向きに投げられています。この2つの速度を合成したものが、地面から見た小球の真の水平初速度となります。
この設問における重要なポイント

• 地面に対する小球の水平初速度は、「気球の速度」と「気球に対する小球の速度」のベクトル和で求められる。
• 水平方向の運動は、合成後の初速度による「等速直線運動」である。
• 水平移動距離は、この合成後の初速度と、(1)で求めた落下時間を使って計算する。

具体的な解説と立式
水平方向について、東向きを正の向きとします。
気球の速度は、東向きに \(+9.8 \text{ m/s}\) です。
小球は気球に対して進行方向と逆向き（西向き）に投げられているので、気球に対する小球の速度は \(-4.9 \text{ m/s}\) となります。
したがって、地面に対する小球の水平初速度 \(v_x\) は、これらの速度の合成（足し算）で求められます。
$$ v_x = 9.8 + (-4.9) $$
この初速度 \(v_x\) で、(1)で求めた時間 \(t = 2.0 \text{ s}\) の間、等速直線運動をします。投げ出した点の真下からの水平移動距離を \(x\) とすると、
$$ x = v_x \times t $$

まず、地面に対する小球の水平初速度 \(v_x\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_x &= 9.8 – 4.9 \\[2.0ex]&= 4.9 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
計算結果が正なので、小球は地面に対して東向きの初速度を持つことがわかります。
次に、この速度で \(2.0 \text{ s}\) 間進んだ距離 \(x\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= 4.9 \times 2.0 \\[2.0ex]&= 9.8 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

小球は、もともと気球と一緒に東向きに秒速9.8mで動いています。そこから、逆向き（西向き）に秒速4.9mで投げ返されます。その結果、地面から見ると、小球は差し引きで東向きに秒速 \(9.8 – 4.9 = 4.9\)m で飛んでいくことになります。この速さで2.0秒間飛んだ距離を「距離 = 速さ × 時間」で計算します。

小球が地面に達した地点は、投げ出した点の真下から東向きに \(9.8 \text{ m}\) 離れています。速度の合成を正しく行い、等速直線運動の計算ができていれば問題ありません。

問(3)

思考の道筋とポイント
地面に達する直前の小球の速度の向きを、地面となす角 \(\theta\) のタンジェント \(\tan\theta\) で表す問題です。速度の向きは、その時点での「水平方向の速度成分 \(v_x\)」と「鉛直方向の速度成分 \(v_y\)」の比によって決まります。それぞれの速度成分を求め、その比を計算します。
この設問における重要なポイント

• 地面に達する瞬間の速度は、水平成分と鉛直成分の合成ベクトルである。
• 水平方向の速度 \(v_x\) は、(2)で求めた地面に対する初速度 \(4.9 \text{ m/s}\) のまま一定である。
• 鉛直方向の速度 \(v_y\) は、時間 \(t=2.0 \text{ s}\) 後の自由落下の速さであり、\(v_y = gt\) で計算できる。
• 速度の向きが地面となす角 \(\theta\) は、\(\tan\theta = \displaystyle\frac{v_y}{v_x}\) の関係を満たす。

具体的な解説と立式
地面に達する直前の速度の水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) をそれぞれ求めます。
水平成分 \(v_x\) は、(2)で計算した地面に対する初速度のままです。
$$ v_x = 4.9 \text{ [m/s]} $$
鉛直成分 \(v_y\) は、時間 \(t = 2.0 \text{ s}\) 後の自由落下の速さなので、公式 \(v_y = gt\) を用います。
$$ v_y = 9.8 \times 2.0 $$
速度ベクトルと地面がなす角 \(\theta\) は、速度の鉛直成分と水平成分が作る直角三角形において、\(\tan\theta\) が \(v_y\) と \(v_x\) の比で与えられます。
$$ \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} $$

まず、鉛直方向の速度成分 \(v_y\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= 9.8 \times 2.0 \\[2.0ex]&= 19.6 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、\(\tan\theta\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{v_y}{v_x} \\[2.0ex]&= \frac{19.6}{4.9} \\[2.0ex]&= 4.0
\end{aligned}
$$

地面にぶつかる瞬間の小球の速度は、横向きの動きと下向きの動きを合体させたものです。横向きの速さは、(2)で計算したように秒速4.9mのままです。下向きの速さは、2.0秒間、重力によって加速され続けた結果の速さです。速度の矢印が地面となす角度のタンジェントは、この「下向きの速さ ÷ 横向きの速さ」で計算できます。

\(\tan\theta\) の値は \(4.0\) です。水平成分と鉛直成分の速度を正しく求め、その比を計算することができました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成と運動の分解:
  • 核心: この問題は、2つの重要な物理概念の組み合わせです。第一に、動いている物体（気球）から投げ出された物体（小球）の「地面に対する初速度」は、2つの速度の合成で決まること。第二に、その後の小球の運動は、互いに影響しない「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」に分解して考えられること。
  • 理解のポイント:
    • 水平初速度の決定: 小球は、投げ出される前から気球と同じ速度（東向き9.8 m/s）を持っています。これに、気球に対して逆向き（西向き4.9 m/s）の速度が加えられます。地面から見た真の水平初速度は、この2つのベクトル和（スカラーの引き算）で求められます。
    • 運動の独立性: 鉛直方向の運動（落下）は、水平方向の速度がどうであれ、全く影響を受けません。落下時間は高さ \(19.6 \text{ m}\) だけで決まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 進行方向と同じ向きに投げる場合: この場合、地面に対する初速度は \(9.8 + 4.9 = 14.7 \text{ m/s}\) となり、より遠くまで飛びます。
  • 真横（南北）に投げる場合: 水平方向の運動が2次元になります。東向きの速度成分と南北方向の速度成分を合成して、地面に対する初速度ベクトルを求める必要があります。
  • 斜め上に投げる場合: 鉛直方向の運動が自由落下ではなく「鉛直投げ上げ」に変わります。落下時間は、同じ高さから水平に投げた場合よりも長くなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準系（地面）を意識する: 問題で問われているのは、常に「地面に静止した観測者」から見た運動です。
  2. 地面に対する初速度を最優先で求める: 「〜から」「〜に対して」という言葉に注意し、速度の合成則を使って、まず地面から見た真の初速度（水平成分、鉛直成分）を確定させます。これが全ての計算の土台となります。
  3. 水平と鉛直を完全に分離する: ノートを左右に分けるなどして、「水平方向：等速直線運動」「鉛直方向：自由落下（または鉛直投げ上げ）」の情報を整理し、それぞれに適した公式を適用します。両者をつなぐのは「時間 \(t\)」だけです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度の合成を忘れる:
  • 誤解: (2)で、小球の水平速度を気球から投げ出された速さ \(4.9 \text{ m/s}\)（西向き）だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 物体は、運動している乗り物から放たれた瞬間、その乗り物と同じ速度を「慣性」によって引き継ぎます。常に「乗り物の速度 + 乗り物に対する速度 = 地面に対する速度」という関係を思い出しましょう。
• 落下時間の計算に水平速度を混ぜる:
  • 誤解: (1)で、水平方向の速度が複雑だから落下時間も変わるのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 「重力は鉛直下向きにしか働かない」という大原則を思い出してください。水平方向の運動は、落下時間には一切影響を与えません。
• 最終的な速度成分の取り違え:
  • 誤解: (3)で \(\tan\theta\) を計算する際、水平速度 \(v_x\) として、気球の速度 \(9.8 \text{ m/s}\) や、気球に対する速度 \(4.9 \text{ m/s}\) を誤って代入してしまう。
  • 対策: (3)で使う \(v_x\) は、(2)で求めた「地面に対する」小球の水平速度（合成後の \(4.9 \text{ m/s}\)）です。各設問で求めた物理量が何を意味するのかを正確に把握し、正しく引き継ぐことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 自由落下の公式 (\(y = \frac{1}{2}gt^2\), \(v_y = gt\)):
  • 選定理由: 小球の鉛直方向の運動は、水平方向の動きとは無関係に、初速度0、加速度 \(g\) の等加速度直線運動、すなわち「自由落下」そのものだからです。
  • 適用根拠: (1)では「高さ \(y\)」から「時間 \(t\)」を求めるため \(y = \frac{1}{2}gt^2\) を、(3)では「時間 \(t\)」から「その瞬間の鉛直速度 \(v_y\)」を求めるため \(v_y = gt\) を選択するのが最も合理的です。
• 速度の合成則:
  • 選定理由: 地面に静止した観測者から見た小球の運動を正しく記述するためには、小球がもともと持っていた気球の速度と、気球から投げ出された速度を足し合わせる必要があるからです。
  • 適用根拠: (2)で地面に対する小球の真の水平初速度を求めるために不可欠な法則です。
• 等速直線運動の公式 (\(x = v_x t\)):
  • 選定理由: 水平方向には（空気抵抗を無視すれば）力が働かないため、一度決まった水平速度 \(v_x\) は地面に達するまで一定に保たれるからです。
  • 適用根拠: (2)で、一定の水平速度 \(v_x\) で、一定時間 \(t\) 進んだ距離 \(x\) を求めるために使用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の管理を徹底する:
  • 水平方向の運動を考える際、「東向きを正」と決めたら、西向きの速度は必ず負（マイナス）の符号をつけて扱います。\(v_x = (+9.8) + (-4.9)\) のように、符号を明確に意識して立式することで、単純な計算ミスを防げます。
• 数値のからくりを見抜く:
  • 物理の問題で頻出する \(19.6, 9.8, 4.9\) といった数値は、\(g=9.8\) を基準に作られています。\(19.6 = 2 \times 9.8\)、\(4.9 = 9.8 \div 2\) という関係に気づけば、(1)の \(t^2 = 19.6 / 4.9\) や(3)の \(\tan\theta = 19.6 / 4.9\) が、それぞれ \(4.0\) と暗算レベルで計算でき、時間短縮とミス防止に繋がります。
• 単位と有効数字:
  • 計算の各ステップで単位を意識し、最終的な答えには必ず単位をつけましょう。また、問題文で与えられた数値の有効数字（この問題では2桁）を確認し、答えもそれに合わせる習慣が大切です。

6 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射と条件式」です。水平に投げ出された物体が、障害物（壁）を越えるための条件を、運動の分解という考え方を用いて数式で表現する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ボールが水平方向に \(L\) 進むまでの時間 \(t_x\) を求める問題です。水平方向の運動は、重力の影響を受けないため、初速度 \(V\) のまま進む単純な「等速直線運動」として扱うことができます。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動は、初速度 \(V\) の等速直線運動である。
• 「時間 = 距離 ÷ 速さ」の関係式を適用する。

具体的な解説と立式
水平方向の運動に着目します。ボールは、初速度 \(V\) の等速直線運動をします。この速さで水平距離 \(L\) を進むのにかかる時間を \(t_x\) とすると、等速直線運動の公式 \(x = vt\) より、次の関係式が成り立ちます。
$$ L = V \times t_x $$

上記の関係式を \(t_x\) について解きます。
$$ t_x = \frac{L}{V} $$

ボールは横方向にはずっと同じ速さ \(V\) で飛んでいきます。したがって、距離 \(L\) だけ離れた壁の位置まで到達するのにかかる時間は、単純に「時間 = 距離 ÷ 速さ」で計算できます。

ボールが水平方向に \(L\) 進むまでの時間は \(t_x = \displaystyle\frac{L}{V}\) です。文字式ですが、物理的に正しい関係を表しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
ボールが「壁の高さまで落下する」時間 \(t_y\) を求める問題です。これは、鉛直方向の運動のみに注目して解くことができます。ボールは高さ \(H\) の塔から投げ出され、壁の高さは \(h\) です。したがって、ボールが壁の高さまで落下するということは、鉛直方向の落下距離が \(H-h\) になることを意味します。この落下距離になるまでの時間を、自由落下の公式から求めます。
この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の運動は、初速度0の自由落下運動である。
• 「壁の高さまで落下する」とは、鉛直方向の落下距離が \(H-h\) になることを意味する。
• 自由落下の変位の公式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
鉛直方向の運動に着目し、鉛直下向きを正の向きとします。ボールは初速度0で自由落下を始めます。落下距離が \(y = H-h\) となるのにかかる時間を \(t_y\) とすると、自由落下の変位の式より、次の関係式が成り立ちます。
$$ H-h = \frac{1}{2} g t_y^2 $$

上記の関係式を \(t_y\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
t_y^2 &= \frac{2(H-h)}{g}
\end{aligned}
$$
時間 \(t_y\) は正の値なので、正の平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
t_y &= \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}
\end{aligned}
$$

ボールが壁のてっぺんと同じ高さまで落ちてくるのにかかる時間を計算します。これは、スタート地点から \(H-h\) という距離だけ自由落下する時間と同じです。物理の公式を使って、この時間を文字で表します。

ボールが壁の高さまで落下する時間は \(t_y = \sqrt{\displaystyle\frac{2(H-h)}{g}}\) です。文字式ですが、物理的に正しい関係を表しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
「ボールが壁を越えて飛んでいく」ための初速度 \(V\) の条件を求める問題です。この条件を物理的に解釈すると、「ボールが壁のある水平位置 \(L\) に到達したとき、その高さが壁の高さ \(h\) よりも高い」ということになります。
これを「時間」の観点から考えると、さらに分かりやすくなります。「壁の位置まで水平に飛ぶのにかかる時間 \(t_x\)」が、「壁の高さまで落下してしまう時間 \(t_y\)」よりも短ければ、ボールは壁にぶつかる前に壁の上を通過できます。したがって、この問題は \(t_x < t_y\) という不等式を立てて解くことに帰着します。
この設問における重要なポイント

• 「壁を越える」という条件は、「壁に到達する時間 \(t_x\) が、壁の高さまで落下する時間 \(t_y\) よりも短い」ことと等価である。
• この条件を不等式 \(t_x < t_y\) で表現する。
• (1)と(2)で求めた \(t_x\) と \(t_y\) の式を代入し、\(V\) について解く。

具体的な解説と立式
ボールが壁を越えるためには、ボールが水平距離 \(L\) だけ進む時間 \(t_x\) の間に、鉛直方向に落下する距離が \(H-h\) 未満でなければなりません。落下距離は落下時間の2乗に比例して単調に増加するため、この条件は、時間 \(t_x\) が、ちょうど \(H-h\) だけ落下するのに要する時間 \(t_y\) よりも短いことと同じです。
したがって、求める条件は次の不等式で表されます。
$$ t_x < t_y $$
(1)と(2)で求めた式をこの不等式に代入します。
$$ \frac{L}{V} < \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} $$

上記で立てた不等式を \(V\) について解きます。\(V, L, g, H-h\) はすべて正の値なので、不等号の向きに注意しながら式を変形します。
$$
\begin{aligned}
\frac{L}{V} &< \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} \\[2.0ex]L &< V \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} \end{aligned} $$ 両辺を \(\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}\) で割ります。 $$ \begin{aligned} V &> \frac{L}{\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}} \\[2.0ex]V &> L \sqrt{\frac{g}{2(H-h)}}
\end{aligned}
$$

ボールが壁を越えるためには、のろのろ飛んでいてはダメです。壁にたどり着く前に、壁の高さまで落ちてしまってはぶつかってしまいます。つまり、「壁まで水平に飛ぶ時間」が、「壁の高さまで落ちてしまう時間」よりも短くなければなりません。この「時間比べ」の条件を数式にして、初速度 \(V\) がどれだけ大きければよいかを計算します。

ボールが壁を越えるための条件は \(V > L\sqrt{\displaystyle\frac{g}{2(H-h)}}\) です。この式は、初速度 \(V\) が大きいほど、壁までの距離 \(L\) が小さいほど、また壁が低い（\(H-h\) が大きい）ほど、壁を越えやすいという私たちの直感とも一致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 「壁を越える」という物理条件の数式化:
  • 核心: 水平投射の運動を「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」に分解することは基本ですが、この問題で最も重要なのは「壁を越える」という現象を、時間を用いた不等式に翻訳する思考プロセスです。
  • 理解のポイント:
    • ボールが壁を越えるためには、ボールが壁の位置（水平距離 \(L\)）に到達する時間 \(t_x\) が、ボールが壁の高さまで落下してしまう時間 \(t_y\) よりも短くなければなりません。
    • この物理的な洞察を、\(t_x < t_y\) という一つの不等式に集約できるかどうかが、この問題の成否を分けます。この不等式こそが、2つの独立した運動（水平・鉛直）をつなぐ論理的な架け橋となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に「衝突する」高さを求める問題: この場合は、「壁に到達する時間 \(t_x\)」をまず計算し、その時間だけ自由落下した距離 \(y\) を求めれば、衝突点の高さ（\(H-y\)）がわかります。
  • 壁の「上端ギリギリを通過する」条件: これは「壁を越える」の限界状態なので、不等式ではなく等式 \(t_x = t_y\) として解きます。このときの初速度 \(V\) が、壁を越えるための最低速度になります。
  • 斜方投射で障害物を越える問題: 鉛直方向の運動が自由落下から「鉛直投げ上げ」に変わるだけです。この場合、壁の位置 \(x=L\) に到達したときのボールの高さ \(y\) を計算し、その高さが壁の高さ \(h\) よりも大きい（\(y > h\)）という、位置に関する不等式で解くアプローチも有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動を2つの時間スケールで捉える: 「水平方向に壁まで進む時間 \(t_x\)」と「鉛直方向に壁の高さまで落ちる時間 \(t_y\)」という、2つの特徴的な時間をまず設定します。
  2. 問題の条件を比較演算子に翻訳する: 問題文の「越える」「届く」「衝突する」といった言葉が、\(t_x\) と \(t_y\) の関係において、不等号（`<`, `>`）なのか等号（`=`）なのかを判断します。
     • 「越える」 \(\rightarrow\) \(t_x < t_y\)
     • 「衝突する」 \(\rightarrow\) \(t_x > t_y\)
     • 「ギリギリ通過」 \(\rightarrow\) \(t_x = t_y\)
  3. 各時間を物理公式で表現する: (1), (2)で行ったように、それぞれの時間を物理量（\(L, V, H, h, g\)）を用いて数式で表現し、最終的な条件式を導きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 不等号の向きの間違い:
  • 誤解: (3)で、条件を \(t_x > t_y\) と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「壁を越えるためには、速く水平移動して、落下する前に通り過ぎなければならない」と直感的に考えましょう。「水平移動にかかる時間」は「短い」ほど有利なので、\(t_x < t_y\) となります。
• 落下距離の定義ミス:
  • 誤解: (2)で、壁の高さまで落ちる落下距離を \(h\) や \(H\) そのものだと考えてしまう。
  • 対策: 必ず図を描き、どの高さからどの高さまでの「差」が落下距離になるのかを視覚的に確認しましょう。この問題では、高さ \(H\) から高さ \(h\) まで落ちるので、落下距離は \(H-h\) です。
• 不等式の変形ミス:
  • 誤解: (3)の \(\frac{L}{V} < \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}\) を \(V\) について解く際に、分母を払ったり逆数を取ったりするときに不等号の向きを逆にしてしまう。
  • 対策: この問題に出てくる物理量（\(L, V, g, H, h\)）は全て正の値です。したがって、正の数を掛けたり割ったりしても不等号の向きは変わりません。自信がない場合は、具体的な数値を代入して検算するのも有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等速直線運動の公式 (\(t_x = L/V\)):
  • 選定理由: 水平方向の運動は、力が働かないため速度 \(V\) が一定です。この単純な運動における「距離 \(L\)」「速さ \(V\)」「時間 \(t_x\)」の関係を表す最も基本的な式だからです。
• 自由落下の公式 (\(t_y = \sqrt{2(H-h)/g}\)):
  • 選定理由: 鉛直方向の運動は、初速度0、加速度 \(g\) の等加速度直線運動（自由落下）です。この運動における「落下距離 \(H-h\)」と「時間 \(t_y\)」の関係を表す公式 \(y = \frac{1}{2}gt^2\) が直接適用できるからです。
• 条件式 (\(t_x < t_y\)):
  • 選定理由: これはこの問題の物理的洞察そのものです。公式というよりは、独立した2つの運動（水平・鉛直）を関連付けて、特定の事象（壁を越える）が起こるための論理的な条件を表現したものです。この不等式を立てることで、水平方向の運動パラメータ（\(L, V\)）と鉛直方向の運動パラメータ（\(H, h, g\)）を一つの式で結びつけることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の変形を丁寧に行う:
  • この問題は文字式のみで構成されているため、計算ミスは式の変形ミスに集約されます。特に(3)の最後のステップで、不等式 \(V > \frac{L}{\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}}\) から \(V > L \sqrt{\frac{g}{2(H-h)}}\) へと変形する際、平方根の中の分数の逆数をとる操作を慎重に行いましょう。
• 次元（単位）の確認:
  • 最終的に得られた式の次元が正しいかを確認する癖をつけると、大きなミスを防げます。例えば、(3)の右辺 \(L\sqrt{g/(H-h)}\) の次元は、\([\text{m}] \sqrt{[\text{m/s}^2] / [\text{m}]} = [\text{m}] \sqrt{1/\text{s}^2} = [\text{m/s}]\) となり、速度の次元と一致していることが確認できます。
• 極端な場合を考える（思考実験）:
  • 得られた条件式 \(V > L\sqrt{\displaystyle\frac{g}{2(H-h)}}\) が物理的に妥当か、極端な状況を考えて吟味します。
    • もし壁が非常に遠い（\(L \to \infty\)）なら、必要な \(V\) も無限大に大きくなるはず \(\rightarrow\) 式と一致。
    • もし壁が非常に高い（\(h \to H\), つまり \(H-h \to 0\)）なら、分母が0に近づくので、必要な \(V\) は無限大に大きくなるはず \(\rightarrow\) 式と一致。
    • もし重力がない（\(g \to 0\)）なら、ボールは落ちないのでどんなに遅い \(V\) でも壁を越えられるはず \(\rightarrow\) 式と一致。
  • このように、直感と数式が一致することを確認することで、解答への信頼性が高まります。

7 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「建物の上からの斜方投射」です。斜めに投げ出された物体の運動を、水平方向と鉛直方向に分解して解析する、放物運動の総合的な問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
初速度の大きさ \(v_0\) を求める問題です。この問題では、鉛直方向の運動に注目するのが鍵です。投げた点（屋上）から地面までの鉛直方向の変位（\(-9.8 \text{ m}\)）と、そこにかかった時間（\(2.0 \text{ s}\)）が分かっています。この2つの情報と、鉛直投げ上げの変位の公式を用いることで、未知数である鉛直初速度 \(v_{0y}\)、ひいては初速度 \(v_0\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 座標軸を設定することが重要（例：屋上を原点、鉛直上向きを正）。
• 地面の位置は、屋上を原点とすると \(y = -9.8 \text{ m}\) となる。
• 鉛直初速度は \(v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ\) と表される。
• 鉛直投げ上げの変位の公式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
屋上を原点とし、鉛直上向きをy軸の正の向きとします。すると、地面の位置は \(y = -9.8 \text{ m}\) となります。
小球が地面に達するまでの時間は \(t = 2.0 \text{ s}\)、重力加速度の大きさを \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) とします。
初速度 \(v_0\) の鉛直成分は \(v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ\) です。
鉛直方向の運動について、変位の公式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を立てます。
$$ -9.8 = (v_0 \sin 30^\circ) \times 2.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^2 $$

立式した方程式に \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) を代入し、\(v_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
-9.8 &= \left(v_0 \times \frac{1}{2}\right) \times 2.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times 4.0 \\[2.0ex]-9.8 &= v_0 – 19.6 \\[2.0ex]v_0 &= 19.6 – 9.8 \\[2.0ex]v_0 &= 9.8 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

ボールの上下の動きだけに着目します。ボールは2.0秒後に、スタート地点よりも9.8m下にある地面に落ちました。この「2.0秒で-9.8m移動した」という事実から、最初にボールをどれくらいの速さで打ち上げたのかを、物理の公式を使って逆算します。

初速度の大きさは \(v_0 = 9.8 \text{ m/s}\) です。与えられた情報から、未知数を正しく求めることができました。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球が達する最高点の、地面からの高さを求める問題です。まず、屋上から最高点までの高さを求め、それに建物の高さを足し合わせるという手順で解きます。
最高点では、鉛直方向の速度が一瞬だけ0になります。この条件と、(1)で求めた初速度から計算できる鉛直初速度 \(v_{0y}\) を使って、時間を含まない公式 \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\) を適用すると、屋上からの高さを効率的に求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 最高点の条件は、鉛直方向の速度が \(v_y = 0\) となること。
• 時間を含まない公式 \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\) を利用すると計算が早い。
• 求めた高さは屋上からの高さ(\(h\))であり、地面からの高さ(\(H\))は建物の高さを足して \(H = 9.8 + h\) となる。

具体的な解説と立式
(1)より初速度は \(v_0 = 9.8 \text{ m/s}\) なので、鉛直初速度は \(v_{0y} = 9.8 \sin 30^\circ = 4.9 \text{ m/s}\) です。
屋上からの最高点の高さを \(h\) とします。最高点では鉛直速度 \(v_y = 0\) となるので、時間を含まない公式 \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\) を用いて立式します。
$$ 0^2 – (4.9)^2 = -2 \times 9.8 \times h $$
この式で求まる \(h\) は屋上からの高さなので、地面からの高さ \(H\) は、建物の高さ \(9.8 \text{ m}\) を足して求めます。
$$ H = 9.8 + h $$

まず、屋上からの高さ \(h\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
-(4.9)^2 &= -2 \times 9.8 \times h \\[2.0ex]24.01 &= 19.6 h \\[2.0ex]h &= \frac{24.01}{19.6} \\[2.0ex]h &= 1.225 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
次に、地面からの高さ \(H\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= 9.8 + 1.225 \\[2.0ex]&= 11.025
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えると、\(11.0 \text{ m}\) となります。

まず、ボールが屋上からどれだけ高く上がるかを計算します。ボールの上向きの勢いがゼロになる（=最高点）までの高さを公式で求めます。次に、その高さに建物の高さを足し合わせれば、地面からの最高の高さがわかります。

最高点の地面からの高さは \(11.0 \text{ m}\) です。計算手順も妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球が屋上と同じ高さに戻ってくる時間と、そのときの速さを求める問題です。
時間を求めるには、鉛直方向の変位が \(y=0\) になる時間を計算します。変位の公式 \(y = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2\) を使うと、\(t\) に関する二次方程式が得られます。
速さを求めるには、その時刻における水平速度 \(v_x\) と鉛直速度 \(v_y\) をそれぞれ計算し、三平方の定理で合成します。対称性から、同じ高さに戻ってきたときの速さは、投げたときの速さと同じになるはずです。
この設問における重要なポイント

• 屋上と同じ高さに戻る条件は、鉛直変位 \(y=0\) である。
• そのときの速さは、水平成分と鉛直成分を合成して求める。
• 対称性により、同じ高さでは速さは等しく、鉛直速度の大きさも等しく向きが逆になる（\(v_y = -v_{0y}\)）。

具体的な解説と立式
時間を求めるには、鉛直変位 \(y=0\) となる時刻 \(t\) を求めます。
$$ 0 = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2 $$
速さを求めるには、その時刻 \(t\) における水平速度 \(v_x\) と鉛直速度 \(v_y\) を求めます。
水平速度は常に一定です。
$$ v_x = v_0 \cos 30^\circ $$
鉛直速度は、速度の公式 \(v_y = v_{0y} – gt\) から求めます。
$$ v_y = v_{0y} – gt $$
合成速度 \(v\) は、三平方の定理で求めます。
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

まず、時間を計算します。\(v_{0y} = 4.9 \text{ m/s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
0 &= 4.9t – \frac{1}{2}(9.8)t^2 \\[2.0ex]0 &= 4.9t – 4.9t^2 \\[2.0ex]0 &= 4.9t(1 – t)
\end{aligned}
$$
\(t>0\) なので、求める時間は \(t = 1.0 \text{ s}\) です。

次に、このときの速さを計算します。
水平速度 \(v_x\) は、
$$ v_x = 9.8 \cos 30^\circ = 9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4.9\sqrt{3} \text{ [m/s]} $$
鉛直速度 \(v_y\) は、
$$ v_y = 4.9 – 9.8 \times 1.0 = -4.9 \text{ [m/s]} $$
これらを合成して速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(4.9\sqrt{3})^2 + (-4.9)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{4.9^2 \times 3 + 4.9^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{4.9^2 \times (3+1)} \\[2.0ex]&= \sqrt{4.9^2 \times 4} \\[2.0ex]&= 4.9 \times 2 \\[2.0ex]&= 9.8 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

ボールが放物線を描いて、ちょうど投げた高さまで戻ってくる時間を計算します。次に、その瞬間の「横向きの速さ」と「下向きの速さ」をそれぞれ計算し、それらを合体させて本当の速さを求めます。投げた場所と同じ高さなので、速さは投げた直後と同じになります。

屋上と同じ高さを通過するのは \(1.0 \text{ s}\) 後で、そのときの速さは \(9.8 \text{ m/s}\) です。速さが初速度と等しくなるという結果は、力学的エネルギー保存則からも支持され、妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
小球が建物からどれだけ離れた地面に達したか、つまり水平到達距離を求める問題です。水平方向の運動は、初速度の水平成分 \(v_{0x}\) のままの等速直線運動です。したがって、水平初速度と、問題文で与えられた全飛行時間 \(t = 2.0 \text{ s}\) を掛けることで、水平到達距離を計算できます。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動は、初速度 \(v_{0x}\) の等速直線運動である。
• 水平初速度は \(v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ\)。
• 全飛行時間は \(t = 2.0 \text{ s}\)。
• 水平到達距離 \(L\) は、\(L = v_{0x} \times t\) で計算できる。

具体的な解説と立式
水平到達距離を \(L\) とします。水平方向の運動は、初速度 \(v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ\) の等速直線運動です。全飛行時間は \(t = 2.0 \text{ s}\) なので、
$$ L = (v_0 \cos 30^\circ) \times t $$

(1)で求めた \(v_0 = 9.8 \text{ m/s}\) を用いて、数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
L &= (9.8 \times \cos 30^\circ) \times 2.0 \\[2.0ex]&= \left(9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times 2.0 \\[2.0ex]&= 9.8\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
L &\approx 9.8 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 16.954
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(17 \text{ m}\) となります。

ボールが横方向にどれだけ進んだかを計算します。横向きの速さは、投げた瞬間から地面に落ちるまでずっと一定です。その速さと、ボールが空中にいた全時間（2.0秒）を掛け合わせれば、建物からどれだけ離れた地点に落ちたかがわかります。

小球は建物から \(17 \text{ m}\) 離れた地面に達します。各設問で求めた値を用いて、正しく計算できました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 建物の上からの斜方投射の運動分解:
  • 核心: この問題は、高さのある場所から斜め上に物体を投げたときの運動です。この複雑に見える運動を、単純な「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ運動」の2つに分解して考えることが、全ての設問を解くための大原則です。
  • 理解のポイント:
    • 座標設定: まず、原点をどこに置くか（通常は投射点である屋上）、どちらの向きを正とするか（通常は水平右向きをx軸正、鉛直上向きをy軸正）を明確に決めることが重要です。これにより、地面の位置は \(y=-9.8 \text{ m}\) となります。
    • 初速度の分解: 全ての計算の出発点として、初速度 \(v_0\) を水平成分 \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) と鉛直成分 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\) に分解します。
    • 独立した運動: 水平方向と鉛直方向の運動は、時間 \(t\) を介してのみ関係し、互いに影響を与えません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 地面からの斜方投射: 最も基本的なパターン。出発点と最終点の高さが同じなので、運動の対称性が利用でき、計算が簡単になります（例：最高点までの時間の2倍が全飛行時間）。
  • 崖からの斜方投げ下ろし: 初速度が斜め下向きになる問題。鉛直初速度 \(v_{0y}\) が負の値になる点に注意すれば、同じ公式で解くことができます。
  • 力学的エネルギー保存則の利用: (1)で \(v_0\) を求めた後、(2)の最高点の高さを求める際にエネルギー保存則を使うこともできます。屋上でのエネルギーと最高点でのエネルギーを比較します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸を宣言する: 問題用紙の余白に、自分が設定した座標軸（原点、正の向き）を必ず描きましょう。これにより、変位や速度の符号ミスを防げます。
  2. 既知の量と未知の量を整理する: 各設問で何が分かっていて、何を求めたいのかを明確にします。特に(1)のように、最終状態から初期状態を逆算する問題では、この整理が重要です。
  3. 鉛直運動から攻める: 斜方投射の問題では、時間や高さに関する情報が多く、鉛直方向の運動から解の糸口が見つかることが多いです。最高点(\(v_y=0\))や地面への到達(\(y=-H\))といった特徴的な状態に注目します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位の符号ミス:
  • 誤解: (1)で、屋上を原点、上向きを正としたにもかかわらず、地面の変位を \(y = 9.8 \text{ m}\) として計算してしまう。
  • 対策: 最初に設定した座標軸に立ち返り、「変位 = 後の位置 – 初めの位置」という定義を徹底しましょう。地面は原点より下にあるので、変位は負の値（\(-9.8 \text{ m}\)）になります。
• 最高点の高さの計算ミス:
  • 誤解: (2)で、屋上からの高さ \(h\) を計算しただけで満足し、地面からの高さを問われていることを見落とす。
  • 対策: 問題文が「地面からの高さ」を問うていることを最後まで意識し、計算の最後に建物の高さ \(9.8 \text{ m}\) を足し忘れないようにしましょう。
• 対称性の誤用:
  • 誤解: (3)で、屋上と同じ高さに戻る時間を、全飛行時間 \(2.0 \text{ s}\) の半分である \(1.0 \text{ s}\) だと安易に判断してしまう。（結果的に正しいが、論理が違う）
  • 対策: 運動の対称性が使えるのは、投げた点と戻ってきた点の高さが同じ場合です。この問題では、最高点から屋上まで落ちる時間と、最高点から地面まで落ちる時間は異なります。必ず \(y=0\) を変位の式に代入して、二次方程式を解くという正規の手順を踏みましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直投げ上げの変位の式 (\(y = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (1)では「変位 \(y\)」と「時間 \(t\)」が既知で「鉛直初速度 \(v_{0y}\)」が未知、(3)では「変位 \(y=0\)」という条件で「時間 \(t\)」が未知です。いずれも、変位・初速度・時間の3つの要素を結びつけるこの公式が最適です。
• 時間を含まない式 (\(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\)):
  • 選定理由: (2)で最高点の高さを求める際に使用します。「初速度 \(v_{0y}\)」と「最高点での速度 \(v_y=0\)」が分かっており、「高さ \(y\)」を求めたい状況です。時間を計算する必要がないため、最も効率的です。
• 速度の合成 (\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)):
  • 選定理由: (3)で、ある時刻の「速さ」を問われているためです。速さは速度ベクトルの大きさであり、直交する水平成分と鉛直成分から三平方の定理を用いて合成する必要があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の管理:
  • 鉛直上向きを正と決めたら、重力加速度は \(-g\)、地面への変位は \(-9.8\)、屋上に戻ってきたときの鉛直速度は負の値、といったように、全ての物理量の符号に一貫性を持たせることが、計算ミスを防ぐ上で最も重要です。
• 計算の工夫:
  • (3)の速さの計算 \(v = \sqrt{(4.9\sqrt{3})^2 + (-4.9)^2}\) では、\(4.9^2\) を共通因数としてくくり出すことで、\(v = 4.9\sqrt{3+1} = 4.9 \times 2 = 9.8\) と、面倒な平方根の計算を避けられます。
• 物理的な意味の確認:
  • (3)で、屋上と同じ高さに戻ってきたときの速さが、初速度 \(v_0\) と同じ \(9.8 \text{ m/s}\) になりました。これは、同じ高さでは位置エネルギーが同じなので、運動エネルギー（つまり速さ）も同じになるという「力学的エネルギー保存則」の現れです。このように、計算結果が物理法則と一致するかを確認する癖をつけると、解答への自信が深まります。
• 有効数字:
  • 問題文の数値が \(9.8 \text{ m}\), \(2.0 \text{ s}\) と2桁なので、最終的な答えも2桁または3桁で答えるのが適切です。模範解答の形式（\(11.0 \text{ m}\) など）に合わせるようにしましょう。

8 標的への斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「目標地点を狙う斜方投射」です。指定された座標（標的）を通過するように物体を投げるときの初速度を求める、斜方投射の応用問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、特定の点 \((L, h)\) を通過するという条件を満たすために、初速度 \(v_0\) をいくらに設定すればよいかを問うています。
この問題を解く上で、未知数は「初速度 \(v_0\)」と「標的に当たるまでの時間 \(t\)」の2つです。未知数が2つあるため、式も2つ必要になります。幸い、運動を水平方向と鉛直方向に分解することで、それぞれの方向について独立した運動方程式を立てることができ、これにより2つの式が得られます。
この2つの式から、直接求めたいわけではない時間 \(t\) を消去することで、目的の \(v_0\) に関する式を導き出す、という戦略が有効です。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動の関係式: \(L = (v_0 \cos\theta) t\)
• 鉛直方向の運動の関係式: \(h = (v_0 \sin\theta) t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
• 上記2つの式から、時間 \(t\) を消去して \(v_0\) を求めるという計算方針。

具体的な解説と立式
原点Oを座標の原点とし、水平右向きをx軸の正、鉛直上向きをy軸の正の向きとします。
小球の初速度の大きさを \(v_0\)、仰角を \(\theta\)、標的に当たるまでの時間を \(t\) とします。
初速度は、水平成分 \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) と鉛直成分 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\) に分解されます。

水平方向の運動について、時刻 \(t\) で変位が \(x=L\) となるので、等速直線運動の公式から、
$$ L = (v_0 \cos\theta) t \quad \cdots ① $$
鉛直方向の運動について、時刻 \(t\) で変位が \(y=h\) となるので、鉛直投げ上げ運動の公式から、
$$ h = (v_0 \sin\theta) t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
これら2つの式を連立させて、時間 \(t\) を消去し、\(v_0\) を求めます。

まず、式①から時間 \(t\) を \(v_0\) を用いて表します。
$$ t = \frac{L}{v_0 \cos\theta} $$
次に、この \(t\) の式を式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= (v_0 \sin\theta) \left( \frac{L}{v_0 \cos\theta} \right) – \frac{1}{2}g \left( \frac{L}{v_0 \cos\theta} \right)^2 \\[2.0ex]h &= L \frac{\sin\theta}{\cos\theta} – \frac{1}{2}g \frac{L^2}{v_0^2 \cos^2\theta}
\end{aligned}
$$
この式は、斜方投射の軌跡の式そのものです。この式を \(v_0\) について解いていきます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}g \frac{L^2}{v_0^2 \cos^2\theta} &= L \frac{\sin\theta}{\cos\theta} – h \\[2.0ex]\frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2\theta} &= \frac{L\sin\theta – h\cos\theta}{\cos\theta} \\[2.0ex]\frac{gL^2}{2v_0^2 \cos\theta} &= L\sin\theta – h\cos\theta
\end{aligned}
$$
\(v_0^2\) を左辺に移項し、それ以外の項を右辺にまとめます。
$$
\begin{aligned}
v_0^2 &= \frac{gL^2}{2 \cos\theta (L\sin\theta – h\cos\theta)}
\end{aligned}
$$
最後に、\(v_0\) は速さなので正の値をとります。両辺の正の平方根をとると、
$$
\begin{aligned}
v_0 &= \sqrt{\frac{gL^2}{2 \cos\theta (L\sin\theta – h\cos\theta)}} \\[2.0ex]&= L \sqrt{\frac{g}{2 \cos\theta (L\sin\theta – h\cos\theta)}}
\end{aligned}
$$

ボールが標的に当たるという現象を、「横方向に \(L\) 進む」動きと「縦方向に \(h\) 上がる」動きに分解します。この2つの動きは、同じ時間 \(t\) の間に同時に起こります。
まず、横の動きから「かかる時間 \(t\) は、初速度 \(v_0\) を使うとどう表せるか」を式にします。次に、その時間の式を、縦の動きを表す式に代入します。
すると、式の中から時間 \(t\) が消去され、初速度 \(v_0\) と、問題で与えられている文字（\(L, h, \theta, g\)）だけの関係式が出来上がります。最後に、この式を \(v_0\) について解けば、答えが求まります。

小球の初速度の大きさは \(v_0 = L \sqrt{\displaystyle\frac{g}{2 \cos\theta (L\sin\theta – h\cos\theta)}}\) です。
この式を見ると、標的が遠い（\(L\) が大きい）ほど、また標的が高い（\(h\) が大きい）ほど、より大きな初速度 \(v_0\) が必要になることがわかります。これは物理的な直感と一致しており、妥当な結果と言えます。また、根号の中の分母が正でなければならない、すなわち \(L\sin\theta – h\cos\theta > 0\)（\(L\tan\theta > h\)）という条件が隠されています。これは、重力を無視してボールが直線的に進んだ場合に、標的の上方を通過しなければならない、ということを意味しており、これも物理的に正しい条件です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式からの軌跡の導出:
  • 核心: この問題は、単に斜方投射の公式を適用するだけでなく、水平・鉛直両方向の運動方程式を連立させ、媒介変数である「時間 \(t\)」を消去することで、物体の運動軌跡そのものを数式で表現し、利用する点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 2つの運動、1つの時間: 水平方向の運動 \(L = (v_0 \cos\theta) t\) と鉛直方向の運動 \(h = (v_0 \sin\theta) t – \frac{1}{2}gt^2\) は、同じ時間 \(t\) の間に起こります。
    • 時間 \(t\) の消去: この共通の時間 \(t\) を消去することで、物体の位置座標 \((L, h)\) と初速度 \(v_0\)、角度 \(\theta\) の間の直接的な関係式（軌跡の式）を導き出すことができます。この「時間を消去して軌跡を求める」というアプローチが、この種の問題を解くための普遍的な鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 初速度 \(v_0\) が与えられ、仰角 \(\theta\) を求める問題: 同じように時間 \(t\) を消去して軌跡の式を立て、今度は \(\theta\) について解きます。この際、\(\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta\) の関係式を使い、\(\tan\theta\) の二次方程式に持ち込むのが定石です。
  • 特定の初速度で最も遠くに飛ばす角度を求める問題: 水平到達距離 \(R\) の式を \(\theta\) の関数として表し、それが最大になる \(\theta\) を求める問題（答えは \(45^\circ\)）。
  • 軌跡の式そのものを問う問題: \(x\) と \(y\) の関係式として、\(y = (\tan\theta)x – \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\theta}x^2\) を導出させる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 目標が「軌跡上の点」であることを確認: 問題が「特定の座標 \((L, h)\) を通過する」という条件を含んでいるかを確認します。
  2. 水平・鉛直の運動方程式を立てる: 何はともあれ、\(x\) 方向と \(y\) 方向の運動について、\(x = \dots\) と \(y = \dots\) の2つの式を立てます。
  3. 「時間 \(t\) を消去する」方針を立てる: 軌跡上の点に関する問題では、時間 \(t\) は媒介変数に過ぎません。式①から \(t = \frac{L}{v_0 \cos\theta}\) の形を作り、式②に代入して \(t\) を消去するという流れを思い出します。
  4. 求めたい変数について式を整理する: \(t\) を消去した後は、純粋な代数計算です。求めたい変数（この問題では \(v_0\)）について、式を丁寧に整理していきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 時間 \(t\) を代入した後の式変形が複雑で、特に分数の扱いや移項の過程で計算を間違えてしまう。
  • 対策: 一つ一つのステップを省略せずに、丁寧に行うことが最も重要です。特に、\(v_0^2\) を含む項を左辺に、残りを右辺に移項し、通分してから \(v_0^2\) について解く、という手順を落ち着いて実行しましょう。
• 時間 \(t\) を消去するという発想に至らない:
  • 誤解: 水平方向と鉛直方向の2つの式を立てたものの、未知数が \(v_0\) と \(t\) の2つあるため、そこからどう手をつけていいか分からなくなる。
  • 対策: 「軌跡上の点（時間を含まない情報）に関する問題は、時間を消去して \(x\) と \(y\) の関係式を作る」という、斜方投射における非常に重要な解法パターンを一つ覚えておきましょう。
• 初速度の分解ミス:
  • 誤解: 水平成分を \(v_0 \sin\theta\)、鉛直成分を \(v_0 \cos\theta\) と、三角比を逆にしてしまう。
  • 対策: 角度 \(\theta\) を「挟む」辺が \(\cos\theta\)、角度の「向かい側（対辺）」が \(\sin\theta\) という図形的な関係を、毎回簡単な図を描いて確認する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等速直線運動と鉛直投げ上げの公式:
  • 選定理由: 物理法則の根幹である「運動の分解」によって、複雑な斜方投射が、これら2つの単純な1次元運動の組み合わせとして厳密に記述できるためです。
  • 適用根拠: 水平方向には力が働かないので等速直線運動の公式 \(x=v_xt\) を、鉛直方向には一定の重力が働くので等加速度直線運動の公式 \(y=v_yt – \frac{1}{2}gt^2\) を選択するのは、物理法則に忠実な、ごく自然な流れです。
• 連立方程式と媒介変数消去という数学的手法:
  • 選定理由: 物理現象をモデル化した結果、未知数が2つ（\(v_0, t\)）、独立した式が2つ得られたため、これは数学における連立方程式の問題に帰着します。
  • 適用根拠: この問題で最終的に知りたいのは初速度 \(v_0\) であり、途中の経過時間 \(t\) は問いに含まれていません。このような場合、連立方程式から不要な媒介変数（この場合は \(t\)）を消去して、求めたい変数だけの関係式を導くのが、数学的な問題解決の王道です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理を丁寧に行う:
  • この問題は全て文字式で計算が進むため、代数的な変形能力が試されます。特に、分数が含まれる式の移項や通分、逆数をとる操作は、焦らず一行ずつ丁寧に行いましょう。
  • 例えば、\(A = B – C\) の形から \(C = B – A\) へ、さらに \(C = \frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}\) を代入して \(v_0^2\) について解く、といった一連の流れを、項の符号に注意しながら進めることが重要です。
• 次元（単位）の確認で検算する:
  • 最終的に得られた答えの式の次元が、求めたい物理量（この場合は速度）の次元 \([\text{m/s}]\) と一致するかを確認する癖は、大きな間違いを防ぐのに非常に有効です。
  • 右辺 \(L \sqrt{\frac{g}{2 \cos\theta (L\sin\theta – h\cos\theta)}}\) の次元を考えると、根号の中は \(\frac{[\text{m/s}^2]}{[\text{m}]} = [1/\text{s}^2]\) となり、根号全体では \([1/\text{s}]\) となります。これに前の \(L\) の次元 \([\text{m}]\) を掛けると、正しく \([\text{m/s}]\) となり、式の形がもっともらしいことを確認できます。
• 物理的な条件を吟味する:
  • 得られた解の分母にある \(L\sin\theta – h\cos\theta\) は、正でなければなりません（根号の中が負になるため）。これは \(L\tan\theta > h\) を意味し、「重力がない場合に直線で飛んだとしたら、標的の上を通過するような角度でなければならない」という物理的に妥当な条件を表しています。このような吟味を行うことで、解答への理解が深まります。

9 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「壁に垂直に衝突する斜方投射」です。斜めに投げた物体が、軌道の最高点で壁に衝突するという特殊な条件から、運動の初期状態を逆算していく問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が壁面に当たるまでの時間を求める問題です。この問題を解くための最も重要な手がかりは、「壁面に垂直に当たった」という記述です。これは、小球がその軌道の最高点に達した瞬間に壁に衝突したことを意味します。なぜなら、最高点においてのみ、速度の鉛直成分が一時的に0になり、速度ベクトルが水平方向（壁に垂直な方向）を向くからです。
この「最高点で衝突した」という条件から、鉛直方向の運動について2つの関係式を立て、連立させることで時間を求めます。
この設問における重要なポイント

• 「壁に垂直に当たる」は「最高点で当たる」と読み替える。
• 最高点の条件は、鉛直方向の速度が \(v_y = 0\) となること。
• 鉛直方向の運動について、変位の式と速度の式の2つを立てて連立させる。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正の向きとします。初速度の鉛直成分を \(v_{0y}\)、壁に当たるまでの時間を \(t\) とします。
壁に当たった点の高さは \(y = 10 \text{ m}\) です。鉛直投げ上げの変位の式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) より、
$$ 10 = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$
また、最高点では鉛直方向の速度 \(v_y\) が0になるので、速度の式 \(v_y = v_{0y} – gt\) より、
$$ 0 = v_{0y} – gt \quad \cdots ② $$
この2つの式から、未知数である \(v_{0y}\) と \(t\) を求めます。

まず、式②から \(v_{0y}\) を \(t\) で表します。
$$ v_{0y} = gt $$
これを式①に代入して \(v_{0y}\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
10 &= (gt)t – \frac{1}{2}gt^2 \\[2.0ex]10 &= gt^2 – \frac{1}{2}gt^2 \\[2.0ex]10 &= \frac{1}{2}gt^2
\end{aligned}
$$
この式に \(g=9.8 \text{ m/s}^2\) を代入して \(t\) を解きます。
$$
\begin{aligned}
10 &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \\[2.0ex]10 &= 4.9t^2 \\[2.0ex]t^2 &= \frac{10}{4.9} \\[2.0ex]t^2 &= \frac{100}{49}
\end{aligned}
$$
時間 \(t\) は正の値なので、
$$
\begin{aligned}
t &= \sqrt{\frac{100}{49}} \\[2.0ex]&= \frac{10}{7} \\[2.0ex]&\approx 1.42\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、
$$ t \approx 1.4 \text{ [s]} $$

「壁に垂直に当たる」というのは、ボールが放物線のてっぺんに来た瞬間に壁にぶつかった、ということです。つまり、ボールは高さ10mの最高点に到達したわけです。ボールが高さ10mまで上がるのにかかる時間は、実は高さ10mからボールを静かに落としたときにかかる時間と全く同じです。この時間を自由落下の公式を使って計算します。

壁面に当たるまでの時間は \(1.4 \text{ s}\) です。問題の物理的条件を正しく解釈し、連立方程式を解くことで妥当な値が得られました。

問(2)

思考の道筋とポイント
初速度の向きを表す \(\tan\theta\) の値を求める問題です。\(\tan\theta\) は、初速度の鉛直成分 \(v_{0y}\) と水平成分 \(v_{0x}\) の比（\(\tan\theta = \displaystyle\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\)）で定義されます。したがって、\(v_{0y}\) と \(v_{0x}\) をそれぞれ求める必要があります。

• \(v_{0y}\) は、(1)で用いた関係式 \(v_{0y} = gt\) と、(1)で求めた時間 \(t\) から計算できます。
• \(v_{0x}\) は、水平方向の運動が等速直線運動であることから、壁までの距離 \(20 \text{ m}\) を時間 \(t\) で進んだ速さとして計算できます。

この設問における重要なポイント

• \(\tan\theta = \displaystyle\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\) の定義を理解していること。
• 鉛直初速度 \(v_{0y}\) は、最高点までの時間から逆算する。
• 水平初速度 \(v_{0x}\) は、水平距離と時間から計算する。

具体的な解説と立式
初速度の鉛直成分 \(v_{0y}\) は、(1)の式② \(v_{0y} = gt\) から求めます。
$$ v_{0y} = gt $$
初速度の水平成分 \(v_{0x}\) は、水平方向に距離 \(L=20 \text{ m}\) を時間 \(t\) で進む等速直線運動なので、\(L = v_{0x}t\) より、
$$ v_{0x} = \frac{L}{t} $$
求める \(\tan\theta\) は、これらの比で与えられます。
$$ \tan\theta = \frac{v_{0y}}{v_{0x}} $$

(1)で求めた \(t = \frac{10}{7} \text{ s}\) を用いて、各成分を計算します。
鉛直初速度 \(v_{0y}\) は、
$$ v_{0y} = 9.8 \times \frac{10}{7} = 1.4 \times 7 \times \frac{10}{7} = 14 \text{ [m/s]} $$
水平初速度 \(v_{0x}\) は、
$$ v_{0x} = \frac{20}{10/7} = 20 \times \frac{7}{10} = 14 \text{ [m/s]} $$
したがって、\(\tan\theta\) は、
$$ \tan\theta = \frac{v_{0y}}{v_{0x}} = \frac{14}{14} = 1.0 $$

ボールを投げた角度を知るには、最初の「上向きの速さ」と「横向きの速さ」の比を求めればOKです。「上向きの速さ」は、(1)で求めた時間を使って計算できます。「横向きの速さ」も、壁までの距離20mを(1)で求めた時間で進んだことから計算できます。計算してみると、偶然にもこの2つの速さは同じ値になるため、その比は1.0となります。

\(\tan\theta\) の値は \(1.0\) です。これは、初速度の仰角が \(45^\circ\) であり、水平成分と鉛直成分の大きさが等しいことを意味します。計算結果とも一致しており、妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球に与えた初速度の大きさ \(v_0\) を求める問題です。(2)で初速度の水平成分 \(v_{0x}\) と鉛直成分 \(v_{0y}\) をすでに求めているので、これらを三平方の定理で合成することで、初速度の大きさ \(v_0\) を計算できます。
この設問における重要なポイント

• 速度はベクトル量であり、その大きさは各成分を三平方の定理で合成して求める。
• \(v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2}\)

具体的な解説と立式
(2)で求めた初速度の水平成分 \(v_{0x} = 14 \text{ m/s}\) と鉛直成分 \(v_{0y} = 14 \text{ m/s}\) を用います。
初速度の大きさ \(v_0\) は、三平方の定理より、
$$ v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} $$

数値を代入して \(v_0\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_0 &= \sqrt{14^2 + 14^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{2 \times 14^2} \\[2.0ex]&= 14\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{2} \approx 1.41\) を用いて近似値を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_0 &\approx 14 \times 1.41 \\[2.0ex]&= 19.74
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、
$$ v_0 \approx 20 \text{ [m/s]} $$

(2)で、投げた瞬間の「横向きの速さ」と「上向きの速さ」が両方とも14m/sだとわかりました。この2つの速度をピタゴラスの定理（三平方の定理）を使って合体させることで、投げた瞬間の本当の速さを計算します。

初速度の大きさは \(20 \text{ m/s}\) です。各成分を正しく求め、それらを合成することで妥当な結果が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 「壁に垂直に当たる」という条件の物理的解釈:
  • 核心: この問題の突破口は、「壁に垂直に当たる」という日本語の記述を、「物体の軌道の最高点で衝突した」という物理的な事象に正しく翻訳できるかどうかにかかっています。
  • 理解のポイント:
    • 斜方投射された物体の速度ベクトルは、常に軌道の接線方向を向きます。
    • 壁が鉛直であるため、速度ベクトルが壁に垂直（つまり水平）になるのは、放物運動の軌道の頂点、すなわち「最高点」しかありえません。
    • 最高点の物理的な条件は「鉛直方向の速度成分 \(v_y\) が 0 になる」ことです。この一点を足がかりに、衝突時刻や初速度といった未知の量を逆算していくことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に特定の角度で衝突する問題: 例えば「壁と \(30^\circ\) の角度で衝突した」という場合。これは、衝突時の速度ベクトルの水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) の比が \(\tan 30^\circ\) または \(\tan 60^\circ\) になる、という条件に置き換えて解くことができます。
  • 時間を含まない公式の活用（別解）: この問題は、時間 \(t\) を先に求めましたが、時間を含まない公式 \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\) を使うと、鉛直初速度 \(v_{0y}\) を直接求めることができます。\(v_y=0, y=10, g=9.8\) を代入すると \(0^2 – v_{0y}^2 = -2(9.8)(10)\) から \(v_{0y} = \sqrt{196} = 14 \text{ m/s}\) が求まります。その後、\(v_{0y} = gt\) から \(t = v_{0y}/g = 14/9.8 = 10/7 \approx 1.4 \text{ s}\) を求める、という逆の順序でも解けます。この別解は計算が速く、検算にも使えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 最終状態から情報を引き出す: この問題のように、運動の途中や最終的な状態（「垂直に当たる」）に条件が与えられている場合、そこから運動を逆算する方針を立てます。
  2. キーワードを物理条件に変換する: 「垂直に」「水平に」「最高点で」といったキーワードを見つけたら、それが速度成分や変位に関するどのような条件（例: \(v_y=0\), \(y=h\)）に対応するのかを考えます。
  3. 未知数と式の数を数える: 未知数がいくつあり、それらを求めるためにはいくつの独立した式が必要かを見積もります。この問題では未知数が \(v_{0y}, t\) の2つなので、鉛直方向の運動から2つの式（変位と速度）を立てる、という戦略が見えてきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「垂直に当たる」の条件を使えない:
  • 誤解: この条件が何を意味するのか分からず、手が止まってしまう。
  • 対策: 「速度ベクトルは常に軌道の接線方向」という基本を思い出しましょう。そして、壁が鉛直なのだから、接線が水平になるのはどこか？と図形的に考えれば、「最高点」という結論に至ります。これは非常に重要な解法パターンなので、ぜひ覚えておきましょう。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: (1)で2つの式を立てた後、代入や整理の過程で計算を間違える。
  • 対策: 模範解答のように、まず式②から \(v_{0y} = gt\) と簡単な形にしてから式①に代入するのが定石です。落ち着いて計算を進めましょう。
• 水平速度と鉛直速度の混同:
  • 誤解: 水平方向の運動（等速）と鉛直方向の運動（等加速度）で使う公式をごちゃ混ぜにしてしまう。
  • 対策: 運動を分解したら、水平方向と鉛直方向は全く別の世界の運動として扱いましょう。ノートを左右に分けて、それぞれの運動について情報を整理するのが有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直投げ上げの公式群 (\(y = \dots\), \(v_y = \dots\)):
  • 選定理由: 鉛直方向の運動は、初速度 \(v_{0y}\) を持ち、一定の重力加速度 \(-g\) を受ける「鉛直投げ上げ運動」そのものだからです。
  • 適用根拠: (1)では、未知数が \(v_{0y}\) と \(t\) の2つあるのに対し、分かっている物理条件も「変位 \(y=10\)」と「最終速度 \(v_y=0\)」の2つあります。したがって、それぞれの条件に対応する変位の公式と速度の公式を立てて連立させるのが、最も論理的なアプローチです。
• 等速直線運動の公式 (\(x = v_{0x}t\)):
  • 選定理由: 水平方向には力が働かないため、速度は一定です。この運動を記述する最も基本的な公式です。
  • 適用根拠: (2)で水平初速度 \(v_{0x}\) を求める際に、水平距離 \(x=20\) と、(1)で求めた時間 \(t\) が分かっているので、この公式を使って逆算するのが唯一の方法です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似値計算は最後に:
  • (1)で時間を計算する際、\(t = \sqrt{10/4.9}\) をすぐに小数にせず、\(t = \sqrt{100/49} = 10/7\) と分数（または平方根）のまま保持しておくことが重要です。この正確な値を(2)の計算に用いることで、\(v_{0y}\) や \(v_{0x}\) が \(14\) という綺麗な整数になり、最終的な計算ミスを防げます。
• 数値のからくりを見抜く:
  • \(g=9.8\) が与えられている問題では、\(4.9 (=9.8/2)\) や \(19.6 (=9.8 \times 2)\) といった関連する数値が出てくることが多いです。この問題でも、\(t^2 = 10/4.9 = 100/49\) という変形に気づけるかが、計算をスムーズに進める鍵となります。
• 比の利用:
  • (2)で \(v_{0x}=14, v_{0y}=14\) と求まった時点で、\(\tan\theta = 1\) とすぐに分かります。さらに(3)では、辺の比が \(1:1\) の直角三角形なので、斜辺の長さ（初速度の大きさ）は \(14\sqrt{2}\) であると、三平方の定理の計算をせずとも瞬時に判断できます。

10 動く台者からの斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「加速する座標系からの斜方投射」と「相対運動」です。等加速度直線運動をする台車から投げ出された小球が、再び台車上に戻ってくるという条件を、静止した地面の視点と、動いている台車の視点を使い分けて解析する、非常に思考力を要する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球を打ち出してから再び台車上に落下するまでの時間 \(t\) を求める問題です。この時間は、小球が空中を飛んでいる時間と等しく、またその間に台車が距離 \(L\) だけ進んだ時間でもあります。
台車の運動は、初速度 \(v\)、加速度 \(a\) の等加速度直線運動であることが分かっているので、台車の運動について等加速度直線運動の変位の公式を立てることで、時間 \(t\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 小球が空中にある時間と、台車が距離 \(L\) 進む時間は等しい。
• 台車の運動は、初速度 \(v\)、加速度 \(a\) の等加速度直線運動である。
• 等加速度直線運動の変位の公式 \(x = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
台車の運動に着目します。台車は、初速度 \(v\)、加速度 \(a\) で等加速度直線運動をします。時間 \(t\) の間に進んだ距離が \(L\) なので、変位の公式を適用すると、
$$ L = vt + \frac{1}{2}at^2 $$
この式は、時間 \(t\) に関する二次方程式です。これを解くことで \(t\) を求めます。

上記で立てた \(t\) に関する二次方程式を整理します。
$$ \frac{1}{2}at^2 + vt – L = 0 $$
二次方程式の解の公式を用いて \(t\) を解きます。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{-v \pm \sqrt{v^2 – 4(\frac{1}{2}a)(-L)}}{2(\frac{1}{2}a)} \\[2.0ex]&= \frac{-v \pm \sqrt{v^2 + 2aL}}{a}
\end{aligned}
$$
時間 \(t\) は正の値でなければなりません。\(\sqrt{v^2+2aL} > \sqrt{v^2} = v\) なので、分子の \(\pm\) のうち、正の値をとるためには \(+\) を選ぶ必要があります。
$$ t = \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aL}}{a} $$

ボールが空中にいる時間と、台車が \(L\) メートル進む時間は同じです。台車はだんだん速くなる動き（等加速度直線運動）をしているので、その動きを表す物理の公式を使います。公式に「初めの速さ \(v\)」「加速度 \(a\)」「進んだ距離 \(L\)」を当てはめると、時間 \(t\) についての方程式ができます。これは \(t\) の二次方程式なので、解の公式を使って解きます。

小球が再び台車上に落下するまでの時間は \(t = \displaystyle\frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aL}}{a}\) です。文字式で複雑に見えますが、物理法則に基づいて正しく導出された時間の表現です。

問(2)

思考の道筋とポイント
台車から見た小球の初速度の「鉛直成分」と「水平成分」を求める問題です。これは相対速度を求めることに相当します。
鉛直成分: 台車は水平方向にしか動かないため、小球の鉛直方向の運動は、地面から見ても台車から見ても同じ「鉛直投げ上げ運動」です。小球は時間 \(t\) で打ち出した点に戻ってくるので、この条件から鉛直初速度を求めます。
水平成分: ここがこの問題の最も難しい部分です。「小球が台車上の打ち出した点に戻る」ということは、時間 \(t\) の間に、地面から見た小球の水平移動距離と、地面から見た台車の水平移動距離が等しいことを意味します。この条件から、地面から見た小球の水平初速度を求め、そこから台車の初速度を引くことで、台車から見た小球の水平初速度を求めます。
この設問における重要なポイント

• 鉛直成分: 台車から見て、時間 \(t\) で元の高さに戻る鉛直投げ上げ運動と考える。\(y=0\) となる条件から \(v_{0y}\) を求める。
• 水平成分: 「地面から見た小球の移動距離 = 地面から見た台車の移動距離」という条件を使う。
• 台車から見た水平初速度 = 地面から見た小球の水平初速度 – 台車の初速度。

具体的な解説と立式
台車から見た初速度の鉛直成分を \(v_{0y}\)、水平成分を \(v_{0x}\) とします。

鉛直成分 \(v_{0y}\):
台車から見ると、小球は時間 \(t\) で元の高さに戻ってきます。鉛直上向きを正とすると、変位 \(y=0\) となるので、鉛直投げ上げの変位の公式より、
$$ 0 = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2 $$
\(t>0\) なので、両辺を \(t\) で割ることができます。
$$ v_{0y} = \frac{1}{2}gt $$
水平成分 \(v_{0x}\):
地面から見た小球の水平初速度を \(v_{x, \text{地面}}\) とします。小球は打ち出された瞬間の台車の速度 \(v\) を引き継ぐので、
$$ v_{x, \text{地面}} = v_{0x} + v $$
地面から見ると、小球は水平方向にこの速度で等速直線運動をします。時間 \(t\) での移動距離は \(x_{\text{球}} = v_{x, \text{地面}} \times t = (v_{0x} + v)t\) です。
一方、台車の移動距離は \(L\) です。小球が台車に戻るためには、これらの移動距離が等しくなければなりません。
$$ (v_{0x} + v)t = L $$
この式を \(v_{0x}\) について解きます。
$$ v_{0x} = \frac{L}{t} – v $$

(1)で求めた \(t = \displaystyle\frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aL}}{a}\) を、上で立てた \(v_{0y}\) と \(v_{0x}\) の式に代入します。

鉛直成分の大きさ:
\(v_{0y} = \displaystyle\frac{1}{2}gt\) の式に \(t\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
v_{0y} &= \frac{1}{2}g \left( \frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aL}}{a} \right) \\[2.0ex]&= \frac{g(-v + \sqrt{v^2 + 2aL})}{2a}
\end{aligned}
$$
水平成分の大きさ:
\(v_{0x} = \displaystyle\frac{L}{t} – v\) の式に \(t\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
v_{0x} &= \frac{L}{\frac{-v + \sqrt{v^2 + 2aL}}{a}} – v \\[2.0ex]&= \frac{aL}{-v + \sqrt{v^2 + 2aL}} – v
\end{aligned}
$$

鉛直成分: ボールが上がって落ちてくる動きは、台車から見ても地面から見ても同じです。(1)で求めた時間を使えば、最初にどれだけの上向きの速さで投げれば、ちょうどその時間で手元に戻ってくるかを計算できます。
水平成分: ボールが台車に戻ってくるためには、ボールと台車が同じ時間で同じ距離だけ水平に進む必要があります。この条件を満たすような「地面から見たボールの水平速度」をまず計算します。そして、その速度から「台車の速度」を差し引けば、「台車から見たボールの水平速度」がわかります。

鉛直成分の大きさは \(\displaystyle\frac{g(-v + \sqrt{v^2 + 2aL})}{2a}\)、水平成分の大きさは \(\displaystyle\frac{aL}{-v + \sqrt{v^2 + 2aL}} – v\) です。
非常に複雑な式ですが、それぞれの物理法則を段階的に適用することで導出されました。特に水平成分の考え方は、相対運動の本質を問う良い練習になります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 基準系（座標系）の選択と相対運動の考え方:
  • 核心: この問題は、静止した地面（静止系）と、加速する台車（加速系）という2つの異なる視点（基準系）を使い分ける必要があります。特に、小球が台車に戻ってくるという条件を、どちらの基準系で考えるかによって、問題の見通しが大きく変わります。
  • 理解のポイント:
    • 鉛直方向: 重力加速度 \(g\) はどちらの基準系でも同じように働くため、鉛直方向の運動は「台車から見た鉛直投げ上げ」として単純に扱うことができます。
    • 水平方向: 台車が加速しているため、台車から見ると小球には慣性力が働くように見え、運動が複雑になります。そのため、水平方向の運動は「地面から見た運動」として解析するのが基本戦略です。
    • 「再び台車上に落下する」という条件の解釈: この条件を、2つの基準系で正しく数式化できるかが最大の鍵です。
      • 鉛直方向（台車基準）: 時間 \(t\) で元の高さに戻るので、変位は0。
      • 水平方向（地面基準）: 時間 \(t\) の間に、小球と台車が進んだ水平距離が等しい。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 等速で動く台車からの投射: この問題で加速度 \(a=0\) とした場合に相当します。この場合、台車から見ると小球は水平方向には動かず、ただ真上に投げて真下に落ちてくるだけの運動に見えます。水平初速度は0となり、計算が劇的に簡単になります。
  • 電車内でボールを投げる思考実験: 等速で走る電車の中でボールを真上に投げれば手元に戻りますが、加速中の電車で同じことをすると、ボールは投げた人の後ろに落ちます。この問題は、ボールが手元に戻ってくるためには、あらかじめ進行方向に余分な水平速度を与えておく必要がある、という状況を定量的に解析しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準系を明確に分ける: 「地面から見た運動」と「台車から見た運動」の2つの視点があることを意識し、どちらの視点でどの運動を解析するのが最も簡単かを見極めます。
  2. 運動の種類を特定する:
     • 地面から見た小球: 水平方向は「等速直線運動」、鉛直方向は「鉛直投げ上げ運動」。
     • 地面から見た台車: 水平方向は「等加速度直線運動」。
  3. 拘束条件（共通の条件）を見つける: 「再び台車上に落下する」という条件が、全ての運動を結びつけます。
     • 小球の滞空時間と台車の移動時間は等しい（共通の時間 \(t\)）。
     • 地面から見た小球の水平移動距離と台車の水平移動距離は等しい。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 水平方向の運動の誤解:
  • 誤解: 台車が加速しているので、手を離れた後の小球も水平方向に加速し続けると考えてしまう。
  • 対策: 小球は、一度手を離れたら（空気抵抗がなければ）水平方向には一切力が働きません。したがって、地面から見れば、打ち出された瞬間の速度を保ったまま「等速直線運動」をします。この「打ち出された瞬間の速度」が、そのときの台車の速度と、台車に対する速度の合成で決まる、という点を理解することが重要です。
• 相対速度の定義の混同:
  • 誤解: (2)で「台車から見た小球の水平速度」を求める際に、どの速度からどの速度を引けばよいか混乱する。
  • 対策: 「Aから見たBの速度 = Bの速度 – Aの速度」という定義に忠実に従いましょう。この問題では、「台車から見た小球の水平初速度 \(v_{0x}\)」 = 「地面から見た小球の水平初速度 \(v_{x, \text{地面}}\)」 – 「地面から見た台車の初速度 \(v\)」となります。
• 二次方程式の解の吟味忘れ:
  • 誤解: (1)で解の公式を使って時間 \(t\) を求めた後、プラスマイナスの吟味をせず、不適切な解を選んでしまう。
  • 対策: 時間 \(t\) は必ず正の値をとります。得られた2つの解のうち、どちらが正になるかを、根号の中身と外の項の大小関係（\(\sqrt{v^2+2aL} > v\)）を評価して、正しく選択する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の公式 (\(L = vt + \frac{1}{2}at^2\)):
  • 選定理由: (1)で時間を求めるためです。台車の運動は、初速度・加速度・移動距離・時間の関係を記述する等加速度直線運動そのものであり、この公式が直接適用できます。
• 鉛直投げ上げの公式 (\(0 = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (2)で鉛直初速度 \(v_{0y}\) を求めるためです。台車から見ると、小球は時間 \(t\) で元の高さに戻ってくる（変位 \(y=0\)）という条件があり、この条件と \(v_{0y}\), \(t\) を結びつけるのがこの公式です。
• 水平方向の距離一致の条件 (\(L = (v_{0x}+v)t\)):
  • 選定理由: (2)で水平初速度 \(v_{0x}\) を求めるための、この問題特有の条件式です。これは単一の公式ではなく、「地面から見て、小球と台車の移動距離が等しい」という物理的な洞察を、速度の合成則と等速直線運動の公式を組み合わせて数式化したものです。この論理を組み立てられるかが、この設問の鍵となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める覚悟:
  • この問題は全て文字式で、答えも複雑な形になります。途中で計算を諦めず、代数的な変形を最後までやり遂げる練習が必要です。
• 二次方程式の解の公式を正確に:
  • (1)で、\(t^2\) の係数が \(\frac{1}{2}a\) であることに注意し、解の公式の分母が \(2 \times (\frac{1}{2}a) = a\) となる点など、慎重に計算しましょう。
• 極端な場合を考えて検算する:
  • 得られた答えがもっともらしいか、簡単な状況で検算する思考は非常に有効です。例えば、もし台車が等速運動だったら（\(a=0\)）、どうなるかを考えます。
    • (1)の答えは \(t = L/v\) となるはずです（元の式 \(L=vt\) より）。
    • (2)の鉛直成分は \(v_{0y} = \frac{1}{2}g(L/v)\)。
    • (2)の水平成分は \(v_{0x} = \frac{L}{L/v} – v = v-v = 0\)。
  • この「\(a=0\) なら \(v_{0x}=0\)」という結果は、「等速の台車から見て、ボールは真上に投げて真下に落ちてくる」という直感的な理解と完全に一致します。これにより、複雑な文字式の答えが、基本的な状況を正しく内包していることを確認できます。

11 空気抵抗

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「空気抵抗を受ける物体の落下運動」です。これまでの問題と異なり、重力だけでなく速度に依存する抵抗力が働く点が特徴です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
速さが \(v\) の瞬間の加速度を求める問題です。これは、運動方程式 \(ma=F\) を立てることで直接求めることができます。物体に働く力をすべて洗い出し、それらの合力 \(F\) を計算することが第一歩です。この問題では、下向きの重力と、運動と逆向き（上向き）の空気抵抗の2つの力が働いています。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式 \(ma=F\) を正しく適用する。
• 物体に働く力は、下向きの重力 \(mg\) と上向きの空気抵抗 \(kv\) の2つである。
• 合力 \(F\) は、力の向きを考慮して計算する（例：下向きを正とすると \(F = mg – kv\)）。

具体的な解説と立式
物体の質量を \(m\)、加速度を \(a\) とします。鉛直下向きを正の向きとします。
物体に働く力は、

• 重力: 下向きに大きさ \(mg\)
• 空気抵抗: 上向きに大きさ \(kv\)

です。
したがって、物体に働く合力 \(F\) は、
$$ F = mg – kv $$
運動方程式 \(ma=F\) に、この合力を代入します。
$$ ma = mg – kv $$

上記で立てた運動方程式を、加速度 \(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
ma &= mg – kv \\[2.0ex]a &= \frac{mg – kv}{m} \\[2.0ex]a &= g – \frac{kv}{m}
\end{aligned}
$$

物体には、下向きに引っ張る「重力」と、上向きに運動を邪魔する「空気抵抗」の2つの力が働いています。この2つの力の差し引き（合力）が、物体を加速させる正味の力になります。ニュートンの法則「\(ma=F\)」を使って、このときの加速度を計算します。

加速度の大きさは \(g – \displaystyle\frac{kv}{m}\) です。この式から、落下し始めた直後（\(v=0\)）では加速度は \(a=g\) であり、速度 \(v\) が増加するにつれて空気抵抗が大きくなり、加速度 \(a\) は徐々に減少していくことがわかります。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「落下し始めてから十分に時間が経過した」ときの物体の運動を問う問題です。これは、物体がどのような最終状態に落ち着くかを考える問題です。(1)で見たように、物体の速度 \(v\) が増加すると加速度 \(a\) は減少していきます。やがて、速度がある一定の値に達すると、空気抵抗が重力とちょうど同じ大きさになり、2つの力がつり合います。力がつり合うと合力が0になるため、加速度も0になります。加速度が0ということは、それ以上速度は変化しない、つまり「等速直線運動」をするということです。このときの速度が「終端速度」です。
この設問における重要なポイント

• 「十分に時間が経過した」状態とは、重力と空気抵抗がつり合った状態である。
• 力がつりあう条件は、合力が0、すなわち加速度 \(a=0\) である。
• 加速度が0の運動は、等速直線運動である。
• このときの速度を終端速度といい、力のつりあいの式から求められる。

具体的な解説と立式
十分に時間が経過すると、物体の速度は一定になり、加速度 \(a\) は0になります。このときの力のつりあいの状態を考えます。
下向きの重力 \(mg\) と、上向きの空気抵抗 \(kv\) がつり合うので、
$$ mg = kv $$
このときの運動は、速度が一定の「等速直線運動」です。このときの速度の大きさを \(v_{\text{終端}}\) とすると、上のつりあいの式は、
$$ mg = k v_{\text{終端}} $$
となります。

力のつりあいの式を、速度 \(v_{\text{終端}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
k v_{\text{終端}} &= mg \\[2.0ex]v_{\text{終端}} &= \frac{mg}{k}
\end{aligned}
$$
このときの運動の向きは、落下しているので下向きです。

物体が落ちてスピードが上がっていくと、空気抵抗もどんどん大きくなります。やがて、上向きの空気抵抗の大きさが、下向きの重力の大きさとぴったり同じになる瞬間が訪れます。そうなると、上向きの力と下向きの力がつりあって、物体を加速させる力がなくなり、それ以上スピードは上がりません。あとは、その一定のスピードのまま、まっすぐ落ち続けます。この運動が「等速直線運動」で、そのときの速さを力のつりあいの式から計算します。

物体は「等速直線運動」をします。そのときの速度は、大きさが \(\displaystyle\frac{mg}{k}\) で、向きは「下向き」です。この速度は終端速度と呼ばれます。この式から、質量 \(m\) が大きいほど、また空気抵抗に関する定数 \(k\) が小さいほど、終端速度は大きくなることがわかります。これは、重い物ほど速く落ち、空気抵抗を受けにくい形状の物ほど速く落ちるという日常的な感覚とも一致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度に依存する力を考慮した運動方程式:
  • 核心: この問題は、これまでの問題と異なり、力が一定ではない運動を扱います。空気抵抗 \(kv\) のように、物体の状態（この場合は速さ \(v\)）によって大きさが変わる力が存在する場合でも、基本に立ち返り、その瞬間に働く全ての力を見つけて運動方程式 \(ma=F\) を立てることが、問題を解くための唯一かつ最も重要なアプローチです。
• 終端速度の概念と力のつりあい:
  • 核心: 落下し始めは重力が空気抵抗より大きいため物体は加速しますが、速さ \(v\) が増すにつれて空気抵抗 \(kv\) も増大します。やがて、空気抵抗が重力と等しくなる（\(kv = mg\)）と、合力が0となり、加速度も0になります。この瞬間に、物体はそれ以上加速しなくなり、一定の速度（終端速度）で落下し続けます。この「加速運動から等速運動へ移行する」という物理的なプロセスと、「最終状態は力のつりあい状態である」という理解が、(2)を解く鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 液体中の物体の運動: 液体中の物体が受ける抵抗力（粘性抵抗）も、多くの場合、速度に比例します。水中を沈んでいく物体の終端速度を求める問題は、本問と全く同じ構造です。
  • 上向きに投げ上げた場合: 空気抵抗を受ける物体を上向きに投げ上げた場合、上昇中は重力と空気抵抗が両方とも下向きに働くため、加速度は \(g\) より大きくなります。そして、最高点に達した後、落下を始めると本問と同じ状況になります。
  • 抵抗力が速度の2乗に比例する場合: 高速で運動する物体の場合、空気抵抗は速度の2乗 \(v^2\) に比例することがあります。その場合も、運動方程式を立て、力のつりあいから終端速度を求めるという基本的な考え方は全く同じです（終端速度は \(\sqrt{mg/k’}\) のような形になります）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体に働く力を全てリストアップする: まず、物体に働く力を漏れなく見つけ出します。重力、張力、垂直抗力といった基本的な力に加え、問題特有の力（この場合は空気抵抗）がないかを確認します。
  2. 力の向きと大きさを明確にする: 各々の力がどちらの向きに働き、その大きさが何で表されるのかを整理します。特に、空気抵抗のような抵抗力は、常に速度と逆向きに働くことを忘れないようにします。
  3. 運動方程式を立てる: 座標軸を設定し、力の向きを考慮して合力 \(F\) を求め、運動方程式 \(ma=F\) を立式します。これが全ての解析の出発点です。
  4. 最終状態を考える: 「十分に時間が経ったら」「やがて」といった言葉が出てきたら、それは物体が安定した状態、すなわち加速度が0（力がつり合った状態）になったときのことを問うている、と解釈します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 空気抵抗の向きの間違い:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、空気抵抗を重力と同じ向き（下向き）に加えてしまう（\(ma = mg + kv\) と間違える）。
  • 対策: 「抵抗力」という言葉の通り、空気抵抗は常に物体の運動を「妨げる」向きに働きます。物体が下向きに運動しているなら、空気抵抗は上向きです。
• 終端速度の概念の誤解:
  • 誤解: 物体は無限に加速し続けると考えてしまう、または、終端速度に達すると物体が静止する（\(v=0\)）と勘違いする。
  • 対策: 終端速度とは、速度が「0」になるのではなく、「一定」になる状態です。加速度が0になっても、その時点での速度が消えるわけではありません。\(a=0\) は「速度が変化しなくなる」という意味であることを正しく理解しましょう。
• 運動方程式と力のつりあいの式の混同:
  • 誤解: (1)の加速している途中にもかかわらず、力のつりあいの式 \(mg=kv\) を立ててしまう。
  • 対策: 「力のつりあい」が成立するのは、加速度が0のとき、すなわち「静止している」か「等速直線運動をしている」ときだけです。加速している途中では、必ず合力が存在し、運動方程式 \(ma=F\) を立てる必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: この問題は、物体に働く力と、それによって生じる加速度の関係を問う、動力学（ダイナミクス）の根幹に関わる問題です。その関係を記述する唯一の基本法則が運動方程式です。
  • 適用根拠: (1)では、ある瞬間の力（重力と空気抵抗）から、その瞬間の加速度を求めるために使用します。力が速度によって変化するため、加速度も一定ではありませんが、どの瞬間においても \(ma=F\) という関係自体は普遍的に成り立ちます。
• 力のつりあいの式 (\(mg – kv = 0\)):
  • 選定理由: (2)では、「十分に時間が経過した」後の安定した運動状態を考えます。この状態は、物理的には力がつり合って加速度が0になった状態に対応します。
  • 適用根拠: 運動方程式 \(ma = mg – kv\) において、加速度 \(a=0\) という特別な条件を代入したものが、力のつりあいの式に他なりません。つまり、力のつりあいの式は、運動方程式の特殊な場合（\(a=0\) の場合）と見なすことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • この問題は文字式のみで構成されています。(1)で \(ma = mg – kv\) から \(a\) を求める際に、両辺を \(m\) で割る操作を丁寧に行いましょう。\(a = \frac{mg}{m} – \frac{kv}{m} = g – \frac{kv}{m}\) と、各項を正しく処理することが重要です。
• 物理量の意味を考える:
  • (2)で求めた終端速度 \(v = mg/k\) という式の意味を考えます。
    • \(m\) が大きい（重い）ほど、終端速度は大きい。
    • \(g\) が大きい（重力が強い）ほど、終端速度は大きい。
    • \(k\) が大きい（空気抵抗が大きい）ほど、終端速度は小さい。
  • これらの関係が、自分の日常的な感覚や直感と一致するかを確認することで、式の妥当性を吟味し、ケアレスミスを発見する手がかりになります。
• 単位の確認:
  • 比例定数 \(k\) の単位を考えてみましょう。\(kv\) が力の単位 \([\text{N}] = [\text{kg} \cdot \text{m/s}^2]\) になるためには、\(k \times [\text{m/s}] = [\text{kg} \cdot \text{m/s}^2]\) となる必要があるので、\(k\) の単位は \([\text{kg/s}]\) であることがわかります。
  • この上で、終端速度 \(mg/k\) の単位を確認すると、\([\text{kg}] \cdot [\text{m/s}^2] / [\text{kg/s}] = [\text{m/s}]\) となり、正しく速度の単位になっていることが確認できます。

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