「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 31】Step3

447 水素原子モデルと物質波

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ボーアの原子モデルに、ド・ブロイの物質波の考え方を組み合わせた、量子力学の初歩的なモデルを扱っています。電子を「粒子」として円運動の運動方程式を立てる側面と、「波」として定常波の条件を考える側面の両方からアプローチし、量子化された軌道半径や速さ、波長の性質を導き出す問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ボーアの原子モデルとド・ブロイ波」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子の円運動を成立させている「向心力」の正体が何かを考え、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。
この設問における重要なポイント

• 力の特定: 電子（電気量 \(-e\)）と陽子（電気量 \(+e\)）の間には、互いに引き合う静電気力（クーロン力）が働きます。
• 向心力: この静電気力が、電子を円軌道上にとどめておくための向心力として機能します。
• 運動方程式: 円運動の運動方程式は \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) です。

具体的な解説と立式
電子は、中心にある陽子から静電気力を受けて、それを向心力として等速円運動をしています。
陽子の電気量は \(+e\)、電子の電気量は \(-e\) なので、両者の間に働く静電気力の大きさ \(F\) は、クーロンの法則より、
$$ F = k_0 \frac{|(+e)(-e)|}{r^2} = k_0 \frac{e^2}{r^2} $$
この力が向心力となるので、電子の円運動の運動方程式は、
$$ m\frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2} \quad \cdots ① $$

(立式のみ)

電子がぐるぐる回り続けるためには、中心に向かって引っ張る力が必要です。この引っ張る力の正体は、プラスの電気を持つ陽子とマイナスの電気を持つ電子が引き合う「電気の力（静電気力）」です。この関係をニュートンの運動の法則（力 = 質量 × 加速度）に当てはめて式にしたものが運動方程式です。

電子の円運動の運動方程式は \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2}\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子を「波」として捉えたとき、その波が軌道上で安定に存在するための条件を考えます。円周上で波がうまくつながるためには、どのような条件が必要かを考えます。
この設問における重要なポイント

• 電子の波動性: 運動する電子は、物質波としての性質を持ちます。
• 定常波: 波が安定して存在するためには、円周を一周して戻ってきた波が、元の波とぴったり重なり合う（同位相になる）必要があります。
• 条件式: この条件は、円周の長さ \(2\pi r\) が、物質波の波長 \(\lambda\) のちょうど整数倍になることとして表されます。

具体的な解説と立式
電子が物質波として振る舞うと考えると、その波は円軌道に沿って伝わります。この波が消えずに安定な定常波を形成するためには、円周の長さ \(2\pi r\) が、波長 \(\lambda\) の自然数（量子数\(n\)）倍に等しくなければなりません。
もしそうでなければ、周回してきた波と元の波の位相がずれ、干渉によって波は弱め合って消えてしまいます。
したがって、定常波の条件は、
$$ 2\pi r = n\lambda \quad (n=1, 2, 3, \dots) \quad \cdots ② $$

(立式のみ)

電子を「波」として考えると、電子の軌道はギターの弦のようなものです。弦がきれいな音を出すためには、弦の長さにちょうど合う波（定常波）が作られなければなりません。電子の軌道の場合、「円周の長さ」に波がちょうど「整数個」ぴったり収まる場合にのみ、電子は安定して存在できる、というのがこの条件の意味です。

電子が定常波をつくる条件は \(2\pi r = n\lambda\) です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)で立てた運動方程式、(2)の定常波の条件、そして問題文で与えられた物質波の波長の式、この3つを連立させて、軌道半径\(r\)、波長\(\lambda\)、速さ\(v\)を、量子数\(n\)と物理定数だけで表します。そして、それらの比を求めます。
この設問における重要なポイント

• 連立させる3つの式:
  1. 運動方程式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2}\)
  2. 定常波の条件: \(2\pi r = n\lambda\)
  3. 物質波の波長: \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\)
• 計算の方針: 未知数 \(r, v, \lambda\) を、与えられた定数（\(k_0, m, e, h\)）と量子数\(n\)で表すことを目指します。

具体的な解説と立式
3つの基本式を再掲します。
$$ m\frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2} \quad \cdots ① $$
$$ 2\pi r = n\lambda \quad \cdots ② $$
$$ \lambda = \frac{h}{mv} \quad \cdots ③ $$
これらの式を連立して、\(r, \lambda, v\) を \(n\) の関数として求めます。

1. 軌道半径 \(r\) を求める
まず、①と③から \(v\) を消去して \(r\) と \(\lambda\) の関係を導き、それを②に代入します。
③より \(v = \displaystyle\frac{h}{m\lambda}\)。これを①に代入します。
$$ m\frac{1}{r} \left(\frac{h}{m\lambda}\right)^2 = k_0 \frac{e^2}{r^2} $$
$$ \frac{h^2}{m\lambda^2 r} = k_0 \frac{e^2}{r^2} $$
この式を \(r\) について解くと、
$$ r = \frac{k_0 e^2 m \lambda^2}{h^2} $$
この \(r\) を②に代入します。
$$ 2\pi \left(\frac{k_0 e^2 m \lambda^2}{h^2}\right) = n\lambda $$
\(\lambda\) について解くと、
$$ \lambda = \frac{n h^2}{2\pi k_0 e^2 m} $$
この \(\lambda\) の式を、先ほどの \(r\) の式に代入し直すと、
$$ r = \frac{h^2}{4\pi^2 k_0 e^2 m} n^2 $$
この結果から、\(r\) は \(n^2\) に比例することがわかります。

2. 波長 \(\lambda\) を求める
②より \(\lambda = \displaystyle\frac{2\pi r}{n}\)。これに上記で求めた \(r\) の式を代入すると、
$$ \lambda = \frac{2\pi}{n} \left(\frac{h^2}{4\pi^2 k_0 e^2 m} n^2\right) = \frac{h^2}{2\pi k_0 e^2 m} n $$
この結果から、\(\lambda\) は \(n\) に比例することがわかります。

3. 速さ \(v\) を求める
③より \(v = \displaystyle\frac{h}{m\lambda}\)。これに上記で求めた \(\lambda\) の式を代入すると、
$$ v = \frac{h}{m} \left(\frac{2\pi k_0 e^2 m}{h^2 n}\right) = \frac{2\pi k_0 e^2}{h} \frac{1}{n} $$
この結果から、\(v\) は \(\displaystyle\frac{1}{n}\) に比例することがわかります。

各物理量の比を求めます。

• 軌道半径の比: \(r \propto n^2\) より
  $$ r_1 : r_2 : r_3 = 1^2 : 2^2 : 3^2 = 1 : 4 : 9 $$
• 波長の比: \(\lambda \propto n\) より
  $$ \lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 = 1 : 2 : 3 $$
• 速さの比: \(v \propto \displaystyle\frac{1}{n}\) より
  $$ v_1 : v_2 : v_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} $$
  比を簡単な整数にするため、各項に最小公倍数の6を掛けると、
  $$ v_1 : v_2 : v_3 = 6 : 3 : 2 $$

各軌道の円周に含まれる波長の数:
定常波の条件式 \(2\pi r = n\lambda\) より、円周 \(2\pi r\) は波長 \(\lambda\) の \(n\) 倍です。
したがって、量子数 \(n=1, 2, 3\) に対応する軌道には、それぞれ1波長分、2波長分、3波長分の波が含まれます。

(1)の「粒子」のルール、(2)の「波」のルール、そして物質波の定義式の3つを、数学の連立方程式として解きます。複雑に見えますが、一つずつ文字を消去していくと、電子が回る軌道の半径\(r\)、波としての長さ\(\lambda\)、そして速さ\(v\)が、それぞれ量子数\(n\)という番号とどのような関係にあるか（比例するのか、2乗に比例するのかなど）が分かります。その関係が分かれば、\(n=1, 2, 3\) の場合の比を計算できます。

• 軌道半径の比 \(r_1:r_2:r_3 = 1:4:9\)
• 物質波の波長の比 \(\lambda_1:\lambda_2:\lambda_3 = 1:2:3\)
• 速さの比 \(v_1:v_2:v_3 = 6:3:2\)
• 各軌道に含まれる波の数: \(n=1\)で1波長分、\(n=2\)で2波長分、\(n=3\)で3波長分。

量子数\(n\)が大きくなるほど、電子はより外側の軌道を、よりゆっくりと、より長い波長で運動していることがわかります。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)で求めた結果に基づいて、電子軌道の定常波の様子を図示します。
この設問における重要なポイント

• 半径の比: \(n=1, 2, 3\) の軌道半径の比は \(1:4:9\) です。図を描く際、この比率を意識します。
• 波の数: \(n=1, 2, 3\) の軌道には、それぞれ1個、2個、3個の波が含まれます。
• 定常波の描き方: 円周上に、指定された数の波が滑らかにつながるように描きます。黒い点は1波長を示す目印なので、例えば \(n=2\) の軌道では、円周上に黒い点が2つ現れるように描きます。

具体的な解説と立式
(3)の結果を元に作図します。

• n=1: 半径比1の円周上に、波を1つ描きます。
• n=2: 半径比4の円周上に、波を2つ描きます。
• n=3: 半径比9の円周上に、波を3つ描きます。

与えられた図は \(n=4\) の場合の例なので、これを参考に、各量子数に対応する波を描きます。黒い点は1波長ごとの目印なので、\(n\)の数だけ円周上に配置します。

(なし)

(3)で計算したルールに従ってお絵描きをする問題です。「半径は \(1:4:9\) の比率で大きくし、それぞれの円周の上に、波を1個、2個、3個、滑らかにつながるように描く」という指示に従って作図します。

作図問題なので、(3)の物理的な理解が正しく図に反映されているかが重要です。半径の比率と、円周上に含まれる波の数が、量子数\(n\)と正しく対応している必要があります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電子の二重性（粒子性と波動性）の融合:
  • 核心: この問題の最も根幹にあるのは、電子という一つの存在を「粒子」と「波」という二つの異なる側面から捉え、それぞれの法則を立式し、統合することです。
  • 粒子としての側面: 電子は質量\(m\)と電気量\(-e\)を持つ粒子として、陽子との間に働くクーロン力を向心力として円運動します。これを記述するのが(1)の「運動方程式」です。
    $$ m\frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2} $$
  • 波としての側面: 電子は運動量\(mv\)に応じた波長\(\lambda = h/mv\)を持つ「物質波」として振る舞います。そして、その波が軌道上で安定に存在するためには、円周の長さが波長の整数倍になるという「定常波の条件」を満たさなければなりません。これが(2)の条件式です。
    $$ 2\pi r = n\lambda $$
• 量子化の概念:
  • 核心: 電子の軌道半径やエネルギーが、連続的な値をとらず、量子数\(n\)によって決まる特定のとびとびの値しかとれない、という「量子化」の考え方が現れています。
  • 理解のポイント: この量子化は、電子の波動性に起因する定常波の条件によって、自然に導かれます。波が整数個しか軌道に収まらないために、許される軌道もとびとびの値になる、という論理の流れを理解することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ボーアの量子条件の導出: 本問の(2)と(3)の式、\(2\pi r = n\lambda\) と \(\lambda = h/mv\) を組み合わせると、\(2\pi r = n(h/mv)\) となり、式を整理すると \(mvr = n\displaystyle\frac{h}{2\pi}\) という「ボーアの量子条件」そのものが導出できます。この関係式を直接使って解く問題も頻出です。
  • エネルギー準位の計算: (3)で求めた\(r\)と\(v\)を使って、電子のエネルギー \(E = \text{運動エネルギー} + \text{位置エネルギー} = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 – k_0\displaystyle\frac{e^2}{r}\) を計算する問題に発展することがあります。エネルギーが \(E \propto -1/n^2\) となり、エネルギー準位が量子化されることを示す問題です。
  • 中心の原子核の電荷が異なる場合: 陽子の代わりに、原子番号\(Z\)の原子核（電気量 \(+Ze\)）を電子が回る場合、クーロン力の式が \(F = k_0 \displaystyle\frac{Ze^2}{r^2}\) に変わります。この変更が、軌道半径やエネルギー準位の式にどのように影響するかを問う問題があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 2つの側面から立式する: 原子分野のこの種の問題では、必ず「力学的な側面（運動方程式など）」と「量子的な側面（量子条件、定常波の条件など）」の2つの式を立てることが出発点になります。
  2. 与えられた定数を確認する: 問題文で与えられている定数（\(m, e, k_0, h\)など）を確認し、最終的に求めたい物理量をこれらの定数と量子数\(n\)だけで表すことを目標とします。
  3. 物理量間の比例関係に着目する: (3)のように、具体的な値を計算するのではなく、物理量が量子数\(n\)の何乗に比例するか（\(r \propto n^2\), \(v \propto 1/n\) など）を見抜くことが、比を求めたり、大小を比較したりする問題の鍵となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• クーロン力と円運動の式の混同:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、左辺と右辺を取り違えたり、クーロン力の式の\(r^2\)と円運動の加速度の\(r\)を混同したりする。
  • 対策: 「\(ma=F\)」という運動方程式の基本形を常に意識し、「左辺が運動（質量×加速度）を表し、右辺がその原因となる力（今回はクーロン力）を表す」という役割分担を明確にしましょう。
• 定常波の条件式の誤り:
  • 誤解: 円周の長さと波長の関係を、\(2\pi r = (n+1/2)\lambda\) のように、開管や閉管の定常波の条件と混同してしまう。
  • 対策: 円周上の定常波は、波が「一周して元に戻る」という周期的な条件なので、位相のずれがゼロ、つまり波長の整数倍でなければならない、と原理から理解しましょう。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 3つの式を連立させる過程で、代入や式変形を誤る。特に、文字が多く複雑なため、ミスが起こりやすいです。
  • 対策: 模範解答のように、まずどの文字を消去して、どの物理量を求めるかという方針を立ててから計算を始めると、見通しが良くなります。例えば、「まず\(v\)を消去して\(r\)を求める」といった手順を意識することが有効です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 太陽系モデルとギターの弦の融合イメージ:
    • 電子が陽子の周りを回る様子は、惑星が太陽の周りを回る「太陽系モデル」に似ています（粒子としての側面）。
    • しかし、その軌道はどんな半径でも良いわけではなく、まるでギターの弦のように、特定の波長（の整数倍）がぴったり収まる長さの軌道しか許されません（波としての側面）。
    • この2つのイメージを組み合わせることで、電子の不思議な振る舞いを直感的に捉えることができます。
  • 量子数\(n\)とエネルギー準位の階段イメージ:
    • 量子数\(n\)は、建物の階数のようなものです。電子は1階、2階、3階…には存在できますが、1.5階のような中途半端な場所には存在できません。
    • \(n\)が小さい（階が低い）ほど、原子核に強く束縛されており、エネルギーは低い（安定な）状態にあります。\(n\)が大きくなるほど、より高いエネルギー状態になります。
• (4)の図を描く際に注意すべき点:
  • 半径の比率: \(n=1, 2, 3\)の軌道半径の比が\(1:4:9\)になるように、外側の軌道ほど急激に半径が大きくなるように描くことが重要です。
  • 波の数: \(n\)番目の軌道には、必ず\(n\)個の波が描かれていることを確認します。
  • 滑らかな接続: 定常波は円周上で滑らかにつながっている必要があります。波の始点と終点が不自然に途切れたり、尖ったりしないように描きましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: (1)で、電子の力学的な運動（円運動）を記述するため。電子を「粒子」として捉えたときの基本法則です。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則は、古典力学の範囲で物体の運動と力の関係を記述する普遍的な法則です。
• 定常波の条件 (\(2\pi r = n\lambda\)):
  • 選定理由: (2)で、電子が「波」として安定に存在するための量子条件を記述するため。
  • 適用根拠: 波の干渉の原理に基づき、波が自分自身と強め合う形で重なり続けるための幾何学的な条件です。
• 物質波の式 (\(\lambda = h/mv\)):
  • 選定理由: (3)で、電子の「粒子」としての性質（運動量\(mv\)）と、「波」としての性質（波長\(\lambda\)）を結びつけるため。この式が、2つの異なる側面を橋渡しする役割を果たします。
  • 適用根拠: ド・ブロイによって提唱された、量子力学の根幹をなす仮説であり、実験的にその正しさが確認されています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 運動方程式の立式:
   • 戦略: 電子を「粒子」とみなし、向心力が静電気力であることから立式する。
   • フロー: ①向心力 \(F_{\text{向心}}\) を特定（静電気力） → ②クーロンの法則で \(F = k_0 e^2/r^2\) を計算 → ③円運動の運動方程式 \(m v^2/r = F\) に代入。
2. (2) 定常波の条件の立式:
   • 戦略: 電子を「波」とみなし、円周上で安定に存在するための条件を考える。
   • フロー: ①円周の長さは \(2\pi r\) → ②この長さが波長\(\lambda\)の整数\(n\)倍になることが条件 → ③ \(2\pi r = n\lambda\) と立式。
3. (3) 物理量の比の計算:
   • 戦略: (1), (2)の式と物質波の式を連立させ、\(r, \lambda, v\) を\(n\)の関数として表す。
   • フロー: ①3つの基本式を用意 → ②式を連立して、\(r, \lambda, v\) の中の2つの変数を消去し、残りの1つを\(n\)と定数で表す（これを3つの物理量すべてで行う） → ③各物理量が\(n\)の何乗に比例するかを確認 (\(r \propto n^2, \lambda \propto n, v \propto 1/n\)) → ④\(n=1, 2, 3\)を代入して比を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (3)の計算では、最後まで文字式のまま整理し、各物理量が\(n\)とどのような関係にあるかを導出することが重要です。途中で具体的な数値を代入する問題ではないため、文字の整理能力が問われます。
• 比例関係の利用: \(r = C_r n^2\), \(\lambda = C_\lambda n\), \(v = C_v (1/n)\) のように、比例定数部分を一つの塊（\(C_r, C_\lambda, C_v\)）とみなせば、比の計算が非常に簡単になります。比例定数の具体的な形を最後まで計算する必要はありません。
• 比の計算: \(v_1:v_2:v_3 = 1/1 : 1/2 : 1/3\) のような分数の比は、各項に分母の最小公倍数（この場合は6）を掛けて、最も簡単な整数の比（\(6:3:2\)）に直すのが作法です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた結果の物理的意味の検討:
  • \(r \propto n^2\): 量子数\(n\)が大きいほど、電子は原子核から離れた、よりエネルギーの高い軌道を回る。これは物理的に妥当です。
  • \(v \propto 1/n\): 外側の軌道を回る電子ほど、速さは遅くなる。
  • \(\lambda \propto n\): 外側の軌道を回る電子ほど、物質波の波長は長くなる。
  • \(2\pi r = n\lambda\): この関係から、\(r \propto n^2\) と \(\lambda \propto n\) を代入すると、\(n^2 \propto n \cdot n\) となり、無事に式が成立します。このように、導出した各物理量の関係性に矛盾がないかを確認（自己無撞着性のチェック）することで、計算の正しさを検証できます。

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