「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 27】Step1 & 例題

Step1

① 極板間にはたらく力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁気力に関するクーロンの法則」の適用です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、静電気力に関するクーロンの法則と非常によく似た「磁気力に関するクーロンの法則」を用いて、2つの磁極間にはたらく力の大きさを求める基本的な計算問題です。公式 \(F = k_m \displaystyle\frac{m_1 m_2}{r^2}\) を正しく理解し、適用できるかが問われます。
計算自体は単純な四則演算ですが、指数計算や有効数字の扱いに注意が必要です。特に、最終的な答えをどの桁数でまとめるべきか、問題文で与えられている数値から判断することが重要です。また、力の向きについては、電気における正負の電荷の関係と同様に、「異種の磁極（N極とS極）は引き合い（引力）、同種の磁極（N極とN極、S極とS極）は反発しあう（斥力）」という基本原則を思い出せば容易に判断できます。

この設問における重要なポイント

• 磁気力に関するクーロンの法則：2つの磁極（磁気量 \(m_1\), \(m_2\)）が距離 \(r\) だけ離れているとき、それらの間にはたらく力の大きさ \(F\) は、比例定数を \(k_m\) として次の式で与えられます。
  $$ F = k_m \frac{|m_1 m_2|}{r^2} $$
• 力の向き：
  • 異種の磁極間（N極とS極）：引力
  • 同種の磁極間（N極とN極、S極とS極）：斥力
• 有効数字：計算結果は、計算に用いた数値の中で最も有効数字の桁数が小さいものに合わせるのが原則です。この問題では、磁気量 \(4.0 \, \text{Wb}\)、\(5.0 \, \text{Wb}\)、距離 \(2.0 \, \text{m}\) がいずれも有効数字2桁であるため、最終的な答えも有効数字2桁で表します。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている物理量を整理します。

• N極の磁気量： \(m_1 = 4.0 \, \text{Wb}\)
• S極の磁気量： \(m_2 = 5.0 \, \text{Wb}\)
• 磁極間の距離： \(r = 2.0 \, \text{m}\)
• 磁気力に関するクーロンの法則の比例定数： \(k_m = 6.33 \times 10^4 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{Wb}^2\)

磁極間にはたらく力の大きさ \(F\) は、磁気力に関するクーロンの法則によって求められます。
$$ F = k_m \frac{m_1 m_2}{r^2} \quad \cdots ① $$
また、力の種類は磁極の種類によって決まります。今回はN極とS極という異種の磁極なので、互いに引き合う力、すなわち「引力」がはたらきます。

式①に、与えられた各数値を代入して力の大きさ \(F\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= (6.33 \times 10^4) \times \displaystyle\frac{4.0 \times 5.0}{(2.0)^2} \\[2.0ex]&= (6.33 \times 10^4) \times \displaystyle\frac{20}{4.0} \\[2.0ex]&= (6.33 \times 10^4) \times 5.0 \\[2.0ex]&= 31.65 \times 10^4 \\[2.0ex]&= 3.165 \times 10^5
\end{aligned}
$$
ここで、問題文で与えられている数値（\(4.0\), \(5.0\), \(2.0\)）の有効数字が2桁であるため、計算結果を有効数字2桁に丸めます。\(3.165 \times 10^5\) の小数第2位の「6」を四捨五入すると、\(3.2 \times 10^5\) となります。
したがって、力の大きさは \(F = 3.2 \times 10^5 \, \text{N}\) です。
この力は、前述の通り「引力」です。

この問題は、磁石のN極とS極がどれくらいの力で引き合うかを計算する問題です。
「磁気力に関するクーロンの法則」という公式 \(F = k_m \displaystyle\frac{m_1 m_2}{r^2}\) を使います。これは、電気のプラスとマイナスが引き合う力を計算する公式と形がそっくりです。

• \(m_1\) と \(m_2\) は、それぞれの磁極の強さ（磁気量）です。
• \(r\) は、2つの磁極の間の距離です。
• \(k_m\) は、計算を成り立たせるための決まった数字（比例定数）です。

問題文に書かれている数字を、\(m_1 = 4.0\), \(m_2 = 5.0\), \(r = 2.0\), \(k_m = 6.33 \times 10^4\) のように、公式にそのまま当てはめて計算します。
計算すると \(3.165 \times 10^5\) という値が出ますが、問題で使われている数字が「4.0」や「2.0」のように2桁なので、答えも2桁にそろえるというルールがあります。そのため、四捨五入して \(3.2 \times 10^5 \, \text{N}\) とします。
力の種類については、N極とS極という違う種類の磁極なので、お互いに引き合う「引力」となります。もし同じN極どうしやS極どうしなら、反発しあう「斥力」になります。

② 磁界から受ける力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁界中の磁極が受ける力」の計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、磁界（磁場）という「空間の性質」が、そこに置かれた磁極に力を及ぼす、という物理現象の理解を問うています。これは、電界 \(E\) の中に置かれた電荷 \(q\) が力 \(F=qE\) を受けるという関係と全く同じ構造をしており、対比して覚えると理解が深まります。
この問題の核心は、公式 \(F=mH\) を知っているか、そして正しく使えるかという点にあります。
磁界の強さ \(H\) の単位が \([\text{N/Wb}]\) であることに注目すると、「\(1 \, \text{Wb}\) の磁気量あたりに何ニュートン \([\text{N}]\) の力を及ぼすか」という物理的な意味が分かります。したがって、磁気量 \(m \, [\text{Wb}]\) を掛ければ、その磁極が受ける全体の力 \(F \, [\text{N}]\) が求まることは、単位の関係からも直感的に理解できます。
また、計算においては有効数字の扱いに注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 磁界（磁場）\(H\): 磁力がはたらく空間のこと。その点に単位磁気量（\(+1 \, \text{Wb}\) のN極）を置いたときに受ける力の大きさと向きで定義されます。単位は \([\text{N/Wb}]\) です。
• 磁界から受ける力 \(F\): 磁界の強さが \(H\) の場所に、磁気量 \(m\) の磁極を置くと、その磁極は次の大きさの力を受けます。
  $$ F = mH $$
• 有効数字: 問題文の \(2.0 \, \text{Wb}\) は有効数字2桁です。\(50 \, \text{N/Wb}\) も、特に指定がない場合は文脈から有効数字2桁と判断するのが一般的です。したがって、計算結果も有効数字2桁で表します。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている物理量を整理します。

• 磁界の強さ： \(H = 50 \, \text{N/Wb}\)
• 磁気量： \(m = 2.0 \, \text{Wb}\)

磁界中の磁極が受ける力の大きさ \(F\) を求める公式は以下の通りです。
$$ F = mH \quad \cdots ① $$

式①に、与えられた各数値を代入して力の大きさ \(F\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= 2.0 \times 50 \\[2.0ex]&= 100
\end{aligned}
$$
ここで、計算に用いた数値 \(2.0\) と \(50\) は、いずれも有効数字2桁と考えられます。したがって、計算結果である \(100\) も有効数字2桁で表現する必要があります。
$$ 100 = 1.0 \times 10^2 $$
よって、力の大きさは \(F = 1.0 \times 10^2 \, \text{N}\) となります。

この問題は、「磁界」という磁石の力がはたらくエリアに、別の磁石を置いたときにどれくらいの力を受けるか、という計算です。
「磁界の強さ \(H\)」の単位は \(\text{N/Wb}\) ですが、これは「\(1 \, \text{Wb}\) という強さの磁石を置いたら、何ニュートン \(\text{N}\) の力を受けますよ」という意味です。
今回は、強さが「\(50 \, \text{N/Wb}\)」の磁界です。つまり、\(1 \, \text{Wb}\) の磁石を置くと \(50 \, \text{N}\) の力を受ける場所だということです。
そこに、「\(2.0 \, \text{Wb}\)」の強さの磁石を置いたので、受ける力は単純な掛け算で求めることができます。
$$ (\text{力}) = (\text{磁石の強さ}) \times (\text{磁界の強さ}) = 2.0 \times 50 = 100 \, \text{N} $$
最後に、理科の計算ルールである「有効数字」を考えます。問題文の数字が「2.0」や「50」（これも2桁と考える）なので、答えも2桁で表すのが適切です。「100」を2桁で表すには、「\(1.0 \times 10^2\)」という書き方をします。

③ 直線電流がつくる磁界

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「直線電流が作る磁界の強さ」の計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、電流がその周囲に磁界を形成するという、電磁気学における基本的な現象を扱っています。「非常に長い直線状の導線」というキーワードから、直線電流が作る磁界の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) を適用することがすぐに判断できます。
この問題の最大のポイントは、電流 \(I\) の値が \(3.14 \, \text{A}\) で、円周率 \(\pi\) も \(3.14\) として計算するように指定されている点です。これは、計算途中で \(\pi\) と \(I\) がきれいに約分できるように意図された設定であり、この意図に気づけば計算は非常に簡単になります。
今回は磁界の「強さ」だけが問われていますが、磁界がベクトル量であることを意識し、その「向き」がどのようになるかを「右ねじの法則」で常にイメージする習慣をつけておくと、より複雑な問題にも対応できるようになります。

この設問における重要なポイント

• 直線電流が作る磁界 \(H\): 電流 \(I \, [\text{A}]\) が流れる無限に長い直線導線から、垂直に \(r \, [\text{m}]\) だけ離れた点の磁界の強さ \(H \, [\text{A/m}]\) は、次の式で与えられます。
  $$ H = \frac{I}{2\pi r} $$
• 磁界の向き（右ねじの法則）: 電流が流れる向きに右ねじを進めるとき、ねじが回転する向きが磁界の向きとなります。磁力線は、導線を中心とする同心円状に描かれます。
• 単位の確認: 電流 \(I\) の単位が \([\text{A}]\)、距離 \(r\) の単位が \([\text{m}]\) であるとき、磁界 \(H\) の単位は \([\text{A/m}]\) となります。公式と単位をセットで覚えておくと便利です。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている物理量を整理します。

• 電流： \(I = 3.14 \, \text{A}\)
• 導線からの距離： \(r = 2.0 \, \text{m}\)
• 円周率： \(\pi = 3.14\)

使用する公式は、非常に長い直線電流がその周りに作る磁界の強さを表す式です。
$$ H = \frac{I}{2\pi r} \quad \cdots ① $$
この式に上記の値を代入することで、磁界の強さ \(H\) を求めます。

式①に、\(I = 3.14\)、\(r = 2.0\)、\(\pi = 3.14\) を代入して、磁界の強さ \(H\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= \frac{3.14}{2 \times 3.14 \times 2.0} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2 \times 2.0} \\[2.0ex]&= \frac{1}{4.0} \\[2.0ex]&= 0.25
\end{aligned}
$$
したがって、磁界の強さは \(H = 0.25 \, \text{A/m}\) となります。
（有効数字について：問題文の \(r=2.0 \, \text{m}\) が2桁、\(I=3.14 \, \text{A}\) と \(\pi=3.14\) が3桁なので、答えは最も桁数の少ない2桁で表すのが適切です。\(0.25\) は有効数字2桁であり、条件を満たしています。）

電線に電気が流れると、その周りには方位磁針の向きを変えるような力、つまり「磁界」ができます。この問題は、その磁界の強さを計算するものです。
「まっすぐな電線」が作る磁界の強さには、\(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) という便利な公式があります。

• \(I\) は流れる電流の大きさ（アンペア）
• \(r\) は電線からの距離（メートル）
• \(\pi\) は円周率（約3.14）

この問題では、電流が \(I=3.14 \, \text{A}\)、距離が \(r=2.0 \, \text{m}\)、そして円周率も \(\pi=3.14\) として計算しなさい、と全ての数字が与えられています。
これを公式に当てはめてみると、
$$ H = \frac{3.14}{2 \times 3.14 \times 2.0} $$
となり、分数の上（分子）と下（分母）に同じ \(3.14\) があるので、約分して消すことができます。すると、
$$ H = \frac{1}{2 \times 2.0} = \frac{1}{4.0} = 0.25 $$
と、とても簡単に答えを出すことができます。

④ 円形電流がつくる磁界

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円形電流が中心に作る磁界の強さ」の計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、前の問題で扱った「直線電流」とは異なる「円形電流」が作る磁界の強さを求めるものです。導線の形状によって磁界を計算する公式が異なるため、問題の条件を正しく読み取り、適切な公式を選択することが最も重要です。
特に、直線電流の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) と、円形電流の中心における磁界の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2r}\) は非常によく似ています。分母に円周率 \(\pi\) が「ある」か「ない」かだけの違いなので、混同しないように注意が必要です。
なぜ円形電流の公式には \(\pi\) がないのかというと、円の中心点は、電流が流れる導線のすべての部分から等しい距離にあり、各部分が作る磁界が中心で強め合うため、結果的に直線電流の場合より \(\pi\) 倍強い磁界が作られる、とイメージすると覚えやすいでしょう。

この設問における重要なポイント

• 円形電流が中心に作る磁界 \(H\): 半径 \(r \, [\text{m}]\) の円形導線（1回巻き）に電流 \(I \, [\text{A}]\) を流したとき、その中心にできる磁界の強さ \(H \, [\text{A/m}]\) は、次の式で与えられます。
  $$ H = \frac{I}{2r} $$
• 直線電流の公式との比較:
  • 直線電流: \(H_{\text{直線}} = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\)
  • 円形電流（中心）: \(H_{\text{円形}} = \displaystyle\frac{I}{2r}\)
  • 公式の形が似ているため、区別して覚えることが必須です。
• 磁界の向き（右ねじの法則）: 円形電流の場合、電流の流れる向きに右手の4本の指を合わせると、親指が向く方向が円の中心における磁界の向きとなります。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている物理量を整理します。

• 円形導線の半径： \(r = 2.0 \, \text{m}\)
• 電流： \(I = 6.0 \, \text{A}\)

使用する公式は、円形電流がその中心に作る磁界の強さを表す式です。
$$ H = \frac{I}{2r} \quad \cdots ① $$
この式に上記の値を代入することで、磁界の強さ \(H\) を求めます。

式①に、\(I = 6.0\)、\(r = 2.0\) を代入して、磁界の強さ \(H\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= \frac{6.0}{2 \times 2.0} \\[2.0ex]&= \frac{6.0}{4.0} \\[2.0ex]&= 1.5
\end{aligned}
$$
したがって、磁界の強さは \(H = 1.5 \, \text{A/m}\) となります。
（有効数字について：問題文の \(r=2.0 \, \text{m}\) と \(I=6.0 \, \text{A}\) は、いずれも有効数字2桁です。計算結果の \(1.5\) も有効数字2桁であり、適切です。）

この問題は、輪っかの形をした電線（円形電流）が、そのど真ん中に作る磁界の強さを計算するものです。
これにも便利な公式があり、\(H = \displaystyle\frac{I}{2r}\) で計算できます。

• \(I\) は流れる電流の大きさ（アンペア）
• \(r\) は輪っかの半径（メートル）

一つ前の問題で出てきた、まっすぐな電線が作る磁界の公式 \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) と比べると、分母の \(\pi\) がなくなっただけ、という違いがあります。どちらの公式を使うか間違えないようにしましょう。
今回は、電流が \(I=6.0 \, \text{A}\)、半径が \(r=2.0 \, \text{m}\) なので、これを公式に当てはめます。
$$ H = \frac{6.0}{2 \times 2.0} = \frac{6.0}{4.0} = 1.5 $$
となり、答えは \(1.5 \, \text{A/m}\) です。

⑤ 磁束密度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ソレノイドが作る磁界と磁束密度の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、ソレノイド（導線を密に巻いたコイル）に関する2つの重要な物理量、磁界の強さ \(H\) と磁束密度 \(B\) を計算する問題です。
前半は、ソレノイド内部の磁界の強さ \(H\) を求めます。ソレノイドの大きな特徴は、その内部にほぼ一様な（場所によらず一定の強さの）磁界を作れることです。その強さは、単位長さあたりの巻数 \(n\) と電流 \(I\) の積という非常にシンプルな式 \(H=nI\) で与えられます。
後半は、前半で求めた磁界 \(H\) を使って、磁束密度 \(B\) を計算します。磁界 \(H\) と磁束密度 \(B\) は、しばしば混同されがちですが、物理では異なる概念として区別されます。\(H\) は電流が直接作る「場」そのものを表し、\(B\) はその場が物質（この問題では真空）に作用した結果生じる「磁力線の束の密度」を表します。両者は、物質の磁化しやすさを示す「透磁率 \(\mu\)」を介して \(B=\mu H\) という関係で結ばれています。
計算においては、指数を含む数値の掛け算と、有効数字の扱いに注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• ソレノイド内部の磁界 \(H\): 単位長さ（1m）あたりの巻数が \(n\) [回/m] の無限に長いソレノイドに、電流 \(I\) [A] を流したとき、内部には軸に平行で一様な磁界ができます。その強さ \(H\) [A/m] は、
  $$ H = nI $$
• 磁界 \(H\) と磁束密度 \(B\) の関係: 透磁率が \(\mu\) の物質中では、磁界の強さ \(H\) と磁束密度 \(B\) の間に次の関係があります。
  $$ B = \mu H $$
  真空中の場合は、真空の透磁率 \(\mu_0\) を用いて \(B = \mu_0 H\) となります。
• 単位:
  • 磁界の強さ \(H\): \([\text{A/m}]\)
  • 磁束密度 \(B\): \([\text{T}]\) (テスラ)
  • 透磁率 \(\mu\): \([\text{N/A}^2]\) または \([\text{H/m}]\) (ヘンリー毎メートル)

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている物理量を整理します。

• 単位長さあたりの巻数： \(n = 500\) [回/m]
• 電流： \(I = 3.0 \, \text{A}\)
• 真空の透磁率： \(\mu_0 = 1.26 \times 10^{-6} \, \text{N/A}^2\)

磁界の強さ \(H\) の計算
ソレノイド内部の磁界の強さ \(H\) を求める公式は以下の通りです。
$$ H = nI \quad \cdots ① $$
磁束密度の大きさ \(B\) の計算
次に、磁界の強さ \(H\) と磁束密度 \(B\) の関係式を用います。今回は真空中なので、透磁率は \(\mu_0\) です。
$$ B = \mu_0 H \quad \cdots ② $$

磁界 \(H\) の計算
式①に \(n=500\), \(I=3.0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= 500 \times 3.0 \\[2.0ex]&= 1500
\end{aligned}
$$
電流 \(I=3.0 \, \text{A}\) の有効数字が2桁なので、計算結果も有効数字2桁で表します。
$$ H = 1.5 \times 10^3 \, \text{A/m} $$
磁束密度 \(B\) の計算
式②に \(\mu_0 = 1.26 \times 10^{-6}\) と、上で求めた \(H = 1.5 \times 10^3\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
B &= (1.26 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^3) \\[2.0ex]&= (1.26 \times 1.5) \times 10^{-6+3} \\[2.0ex]&= 1.89 \times 10^{-3}
\end{aligned}
$$
ここでも有効数字は2桁に合わせるため、小数第2位の「9」を四捨五入します。
$$ B \approx 1.9 \times 10^{-3} \, \text{T} $$

この問題は、2つのステップで答えを求めます。
ステップ1：磁界の強さ \(H\) を求める
ソレノイド（コイルを長く伸ばしたもの）が内部に作る磁界の強さ \(H\) は、\(H = nI\) というとてもシンプルな公式で計算できます。

• \(n\) は「1mあたり何回巻いてあるか」で、今回は \(500\) 回。
• \(I\) は「流れる電流の大きさ」で、今回は \(3.0 \, \text{A}\)。

これを掛け算すると、\(H = 500 \times 3.0 = 1500 \, \text{A/m}\) となります。科学的な表記法（有効数字2桁）に直すと \(1.5 \times 10^3 \, \text{A/m}\) です。

ステップ2：磁束密度 \(B\) を求める
次に、磁束密度 \(B\) を求めます。これは、磁界 \(H\) と親戚のようなもので、\(B = \mu_0 H\) という関係があります。

• \(\mu_0\) は「真空の透磁率」という決まった値で、問題文に \(1.26 \times 10^{-6}\) と書かれています。
• \(H\) はステップ1で求めた \(1.5 \times 10^3\) です。

この2つを掛け算します。
$$ B = (1.26 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^3) = 1.89 \times 10^{-3} $$
これも有効数字2桁にそろえるルールなので、四捨五入して \(1.9 \times 10^{-3} \, \text{T}\) が答えになります。

⑥ 電流が磁界から受ける力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁界中の電流が受ける力（電磁力）」の計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、磁界の中に置かれた電流が流れる導線が力を受ける「電磁力」という現象を扱っています。これはリニアモーターカーやスピーカー、モーターなど、私たちの身の回りの多くの技術に応用されている非常に重要な物理法則です。
問題を解く上での基本は、電磁力の公式 \(F=IBl\sin\theta\) を正しく覚えているか、という点です。
特に、問題文にある「導線を磁界と垂直に置いた」という記述が重要です。これは、導線と磁界のなす角度 \(\theta\) が \(90^\circ\) であることを意味し、\(\sin90^\circ=1\) となるため、力の大きさは最大値 \(F=IBl\) で計算できることを示しています。
今回は力の「大きさ」だけが問われていますが、力の「向き」は「フレミングの左手の法則」で決まることもセットで思い出しておきましょう。

この設問における重要なポイント

• 電磁力: 磁束密度 \(B\) [T] の磁界中で、磁界の向きと角度 \(\theta\) をなすように置かれた長さ \(l\) [m] の導線に、電流 \(I\) [A] を流すと、導線は以下の大きさの力 \(F\) [N] を受けます。
  $$ F = IBl\sin\theta $$
• 力が最大になる条件: 導線を磁界と垂直に置いたとき（\(\theta=90^\circ\), \(\sin90^\circ=1\)）、力は最大値 \(F_{\text{最大}} = IBl\) となります。この問題はこの最も基本的なケースに該当します。
• フレミングの左手の法則: 力の向きを決定するための法則です。左手の中指を「電流の向き」、人差し指を「磁界の向き」に合わせると、親指が向く方向が「力の向き」となります。（電・磁・力）
• 単位: \(I[\text{A}]\), \(B[\text{T}]\), \(l[\text{m}]\) のとき、力 \(F\) の単位は \([\text{N}]\) となります。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている物理量を整理します。

• 磁束密度： \(B = 2.0 \times 10^{-3} \, \text{T}\)
• 導線の長さ： \(l = 4.0 \, \text{m}\)
• 電流： \(I = 2.0 \, \text{A}\)
• 導線と磁界のなす角： \(\theta = 90^\circ\) （「垂直に置いた」とあるため）

導線が磁界から受ける力 \(F\) の大きさは、電磁力の公式で与えられます。
$$ F = IBl\sin\theta \quad \cdots ① $$
今回は \(\theta=90^\circ\) なので、\(\sin90^\circ=1\) です。したがって、計算に用いる式は次のようになります。
$$ F = IBl \quad \cdots ② $$

式②に、与えられた各数値を代入して力の大きさ \(F\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= I \times B \times l \\[2.0ex]&= (2.0) \times (2.0 \times 10^{-3}) \times (4.0) \\[2.0ex]&= (2.0 \times 2.0 \times 4.0) \times 10^{-3} \\[2.0ex]&= 16 \times 10^{-3}
\end{aligned}
$$
ここで、問題文で与えられている数値（\(2.0 \times 10^{-3}\), \(4.0\), \(2.0\)）はすべて有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁で表現する必要があります。
$$
\begin{aligned}
F &= 16 \times 10^{-3} \\[2.0ex]&= 1.6 \times 10^1 \times 10^{-3} \\[2.0ex]&= 1.6 \times 10^{-2} \, \text{N}
\end{aligned}
$$

磁石の力がはたらいている空間（磁界）に、電気を流した電線（電流）を置くと、その電線は力を受けて動こうとします。これが「電磁力」で、モーターが回る原理です。
この力の大きさは、\(F = IBl\) というシンプルな掛け算で計算できます。（今回は電線と磁界が「垂直」なので、この一番簡単な式が使えます。）

• \(I\) は電流の大きさで、\(2.0 \, \text{A}\)
• \(B\) は磁界の強さ（磁束密度）で、\(2.0 \times 10^{-3} \, \text{T}\)
• \(l\) は磁界の中にある電線の長さで、\(4.0 \, \text{m}\)

これらの数字をすべて掛け合わせるだけです。
$$ F = (2.0) \times (2.0 \times 10^{-3}) \times (4.0) = 16 \times 10^{-3} $$
これを「\(1.6 \times \dots\)」という形に直すと、\(1.6 \times 10^{-2} \, \text{N}\) となります。これが導線が受ける力の大きさです。
ちなみに、力の向きを知りたいときは「フレミングの左手の法則」を使います。

⑦ フレミングの左手の法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「フレミングの左手の法則」です。一様な磁場の中で電流がどちらの向きに力を受けるかを判断します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、磁場中の電流が受ける力の向きを求める、電磁気の基本的な問題です。フレミングの左手の法則を正しく使えるかが全てです。左手の指を、人差し指が磁場、中指が電流、親指が力となるように、それぞれの向きに合わせます。
問題では磁場の向きが「紙面に垂直に裏から表へ」と指定されています。これは、紙面からあなたの顔に向かって磁場が突き出してくるイメージです。記号の「⊙」は、矢がこちらに向かってくる様子（矢の先端が見える）を表しています。
この磁場の向き（人差し指）を固定したまま、各設問の電流の向きに中指を合わせ、親指がどちらを向くかを確認する作業を丁寧に行いましょう。

この設問における重要なポイント

• フレミングの左手の法則: 磁場（\(B\)）の中で電流（\(I\)）が流れるとき、その電流は力（\(F\)）を受ける。これら3つの向きの関係を示す法則。左手の指を、人差し指が磁場、中指が電流、親指が力の向きに合わせる。
• 力の向きの性質: 電流が受ける力の向きは、常に電流の向きと磁場の向きの両方に対して垂直です。
• 磁場の向きの記号: 記号「⊙」は、ベクトルが紙面の裏から表（手前）へ向かうことを示します。逆に「⊗」は、紙面の表から裏（奥）へ向かうことを示します。

具体的な解説と立式
この問題は力の向きを図示するものであり、数式を用いた計算はありません。フレミングの左手の法則を各状況に適用していきます。
磁場の向きは、(1)～(3)の全てで共通して「紙面の裏から表」向きです。したがって、左手の人差し指を常に紙面から自分自身に向けるように固定します。

1. (1)の場合
   電流\(I\)は水平右向きです。人差し指（磁場）を紙面手前向きに固定したまま、中指（電流）を右向きに合わせます。すると、親指は真下を向きます。よって、力の向きは鉛直下向きとなります。
2. (2)の場合
   電流\(I\)は水平線から30°上向き（斜め右上）です。人差し指（磁場）を紙面手前向きに固定したまま、中指（電流）をこの向きに合わせます。すると、親指は電流の向きと90°をなす、斜め右下（水平線から60°下向きの方向）を向きます。
3. (3)の場合
   電流\(I\)は鉛直上向きです。人差し指（磁場）を紙面手前向きに固定したまま、中指（電流）を上向きに合わせます。すると、親指は右を向きます。よって、力の向きは水平右向きとなります。

この問題は力の向きを決定する作図問題であるため、数値計算の過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた、フレミングの左手の法則を適用する手順そのものが、解答を導くプロセスとなります。

• (1) 電流：右向き → 力：下向き
• (2) 電流：斜め右上向き → 力：斜め右下向き
• (3) 電流：上向き → 力：右向き

この問題は、あなたの「左手」が最強の道具になります！一緒にやってみましょう。

まず、ルールを確認します。左手の「人差し指」が磁場、「中指」が電流、そして「親指」が力の向きです。

問題の磁場は「紙の裏から表へ」、つまりあなたの顔に向かって飛んでくる向きです。なので、まず左手の人差し指を、ピンと自分の顔に向けて固定してください。これが基本姿勢です。

• (1) 電流は「右」を向いています。人差し指を顔に向けたまま、中指を「右」に向けてみましょう。親指はどっちを向きましたか？ そう、「下」ですね！これが力の向きです。
• (2) 電流は「斜め右上」です。人差し指は顔に向けたまま、中指を「斜め右上」に。すると親指は「斜め右下」を向きますね。力の向きは電流の向きと直角になるので、図で確認すると分かりやすいです。
• (3) 電流は「上」です。人差し指は顔に向けたまま、中指を「上」に。すると親指は「右」を向きます。

このように、人差し指を固定して中指をくるくる回すだけで、全部の答えが分かります。

⑧ ローレンツ力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ローレンツ力の計算」です。磁場中を運動する荷電粒子が受ける力の大きさを公式を用いて求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
磁場中を運動する荷電粒子が受ける力は「ローレンツ力」と呼ばれます。この問題では、その力の大きさを計算することが求められています。まずは、ローレンツ力の公式 \(f = |q|vB\sin\theta\) を正確に思い出すことが第一歩です。

次に、問題文の条件を注意深く読み取ります。「磁界に垂直に飛び込んだ」という記述は、電子の速度ベクトル \(\vec{v}\) と磁束密度のベクトル \(\vec{B}\) のなす角 \(\theta\) が \(90^\circ\) であることを意味します。

\(\sin 90^\circ = 1\) なので、力の大きさは \(f = |q|vB\) という最もシンプルな形で計算できます。

電子の電気量は負 (\(q = -e\)) ですが、問題で問われているのは力の「大きさ」なので、電気量の絶対値 \(|q| = e = 1.6 \times 10^{-19}\) C を用いて計算します。

この設問における重要なポイント

• ローレンツ力: 磁束密度 \(B\) の磁場中を、電気量 \(q\) の荷電粒子が速さ \(v\) で運動するときに受ける力。
• 力の大きさの公式: \(f = |q|vB\sin\theta\)。ここで \(\theta\) は速度ベクトルと磁場ベクトルのなす角。
• 垂直入射の条件: \(\theta = 90^\circ\) のとき、\(\sin\theta = 1\) となり、力は最大値 \(f = |q|vB\) をとる。
• 有効数字: 問題文で与えられている数値が \(4.0\)、\(5.0\)、\(1.6\) といずれも有効数字2桁であるため、最終的な答えも有効数字2桁で表記するのが適切です。

具体的な解説と立式
電子が磁場から受ける力はローレンツ力と呼ばれます。

その力の大きさ \(f\) [N] は、電子の電気量の大きさを \(e\) [C]、速さを \(v\) [m/s]、磁束密度を \(B\) [T]、速度と磁場のなす角を \(\theta\) とすると、次の式で与えられます。
$$ f = evB\sin\theta \quad \cdots ① $$
問題文より、電子は磁界に「垂直に」飛び込んでいるので、\(\theta = 90^\circ\) です。

したがって、\(\sin 90^\circ = 1\) となり、求める力の大きさ \(f\) は次のようになります。
$$ f = evB \quad \cdots ② $$
与えられている値は、電子の電気量の大きさ \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C、速さ \(v = 5.0 \times 10^6\) m/s、磁束密度 \(B = 4.0 \times 10^{-5}\) T です。これらの値を式②に代入して \(f\) を求めます。

「具体的な解説と立式」で立てた式②に、数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= (1.6 \times 10^{-19}) \times (5.0 \times 10^6) \times (4.0 \times 10^{-5}) \\[2.0ex]&= (1.6 \times 5.0 \times 4.0) \times (10^{-19} \times 10^6 \times 10^{-5}) \\[2.0ex]&= 32 \times 10^{-19+6-5} \\[2.0ex]&= 32 \times 10^{-18} \\[2.0ex]&= 3.2 \times 10^1 \times 10^{-18} \\[2.0ex]&= 3.2 \times 10^{-17} \, \text{[N]}
\end{aligned}
$$

この問題は、磁石の世界を飛ぶ電気を帯びた粒（電子）が、どれくらいの力で押されるかを計算する問題です。

使う道具は「ローレンツ力」の公式 \(f = |q|vB\) です。これは「電気の量(\(|q|\))」「速さ(\(v\))」「磁石の強さ(\(B\))」を全部掛け算すると力の大きさがわかる、という便利な公式です。（今回は磁界と垂直に動くので、一番簡単なこの形でOKです）

まず、問題文から必要な数字を探します。

• 電気の量 \(|q|\) → \(1.6 \times 10^{-19}\) C
• 速さ \(v\) → \(5.0 \times 10^6\) m/s
• 磁石の強さ \(B\) → \(4.0 \times 10^{-5}\) T

あとはこれらを掛け算するだけです。

計算のコツは、普通の数字（1.6, 5.0, 4.0）と、\(10\)の何乗という「指数の部分」を分けて計算することです。

• 普通の数字の掛け算: \(1.6 \times 5.0 \times 4.0 = 8.0 \times 4.0 = 32\)
• 指数の部分の計算: \(10^{-19} \times 10^6 \times 10^{-5} = 10^{-19+6-5} = 10^{-18}\)

最後にこれらを合体させると \(32 \times 10^{-18}\) となります。物理では、先頭の数字を1桁にするのが一般的なので、\(3.2 \times 10^{-17}\) と形を整えて答えにします。

⑨ ホール効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ホール効果」です。磁場中の半導体に電流を流した際に生じる電位差から、電流の担い手であるキャリアの電荷の正負を判断します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この現象は「ホール効果」と呼ばれ、物質中の電流が正の電荷（正孔）によるものか、負の電荷（電子）によるものかを判別するために利用されます。思考の核心は、「もしキャリアが〇〇だったら、どうなるはずか？」という仮説を立て、観測結果と照らし合わせる点にあります。

この問題で最も注意すべき点は、キャリアが負の場合のローレンツ力の向きを考えるプロセスです。電流の向きは「正の電荷の移動方向」と定義されているため、負のキャリア（電子など）の実際の運動方向は、電流の向きとは逆になります。フレミングの左手の法則を適用する際は、この「キャリアの実際の運動方向」を正しく把握することが不可欠です。

この設問における重要なポイント

• ホール効果: 磁場中の導体や半導体に電流を流すと、キャリアがローレンツ力を受けて偏り、電流と磁場の両方に垂直な方向に起電力（ホール電圧）が生じる現象。
• 電流の向きの定義: 電流の向きは「正の電荷が移動する向き」と定義される。
• 負のキャリアの運動: キャリアが負の電荷（例：自由電子）の場合、その実際の運動方向は、電流の向きとは逆向きになる。
• フレミングの左手の法則の適用: 法則は「正電荷の運動」に対して定義されている。負のキャリアが受ける力を考える際は、①キャリアの実際の運動方向（電流と逆向き）に対して法則を適用し、②電荷が負であるため、力の向きが法則で示される向きとは逆になる、という2段階の思考が必要。

具体的な解説と立式
この問題は、キャリアの正負を判断する定性的な問題であり、計算式を立てるのではなく、2つの場合を仮定して論理的に結論を導きます。

[場合1] キャリアが正の電荷（正孔など）の場合

1. 電流\(I\)が右向きなので、正のキャリアの速度\(\vec{v}\)も右向きです。
2. 磁場\(\vec{B}\)は、記号「⊗」から紙面の表から裏へ向かう向きです。
3. フレミングの左手の法則を適用します。
   • 人差し指（磁場）を紙面の奥に向けます。
   • 中指（正電荷の速度）を右に向けます。
   • すると、親指（力の向き）は上（a側）を向きます。
4. したがって、正のキャリアはa側に引き寄せられて集まります。
5. その結果、a側が正に帯電し、キャリアが去ったb側は相対的に負に帯電します。

[場合2] キャリアが負の電荷（自由電子など）の場合

1. 電流\(I\)が右向きなので、負のキャリアの速度\(\vec{v}\)は逆の左向きです。
2. 磁場\(\vec{B}\)は、同様に紙面の表から裏へ向かう向きです。
3. フレミングの左手の法則を適用します。ここで、法則は「正電荷」の運動に対するものなので注意が必要です。
   • まず、もし「正電荷」がキャリアと同じ左向きに動いたとしたら、どちらに力を受けるかを考えます。
     • 人差し指（磁場）を紙面の奥に向けます。
     • 中指（正電荷の速度）を左に向けます。
     • すると、親指（力の向き）は下（b側）を向きます。
   • しかし、実際のキャリアは「負」の電荷なので、受ける力の向きはこれとは逆になります。
4. したがって、負のキャリアは上（a側）に力を受けて集まります。
5. その結果、負の電荷が集まったa側は負に帯電し、キャリアが去ったb側は相対的に正に帯電します。

[結論]

問題の図を見ると、半導体はa側が負に、b側が正に帯電しています。これは、[場合2]で予測した結果と一致します。
よって、この半導体のキャリアは負の電荷であると結論できます。

この問題には計算過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた場合分けの思考プロセスそのものが解答プロセスとなります。

• 仮定1: キャリアが正 → a側が正、b側が負に帯電するはず。
• 仮定2: キャリアが負 → a側が負、b側が正に帯電するはず。
• 観測事実: a側が負、b側が正に帯電している。
• 結論: 仮定2が正しい。キャリアは負。

この問題は、電流の正体がプラスの粒なのか、マイナスの粒なのかを当てる推理ゲームのようなものです。使う道具は「フレミングの左手の法則」です。

まず、2つのシナリオを考えます。

シナリオ1：もし電流の正体が「プラスの粒」だったら？

• プラスの粒は、電流と同じ「右向き」に進みます。
• フレミングの左手の法則（人差し指：磁場(奥)、中指：電流(右)）を使うと、この粒は「上(a側)」に力を受けます。
• すると、a側にプラスの粒が集まるので、a側がプラスに、b側がマイナスになるはずです。

シナリオ2：もし電流の正体が「マイナスの粒」だったら？

• マイナスの粒は、電流とは逆の「左向き」に進みます。これが最大のポイントです。
• フレミングの左手の法則を適用すると、このマイナスの粒は「上(a側)」に力を受けます。（※マイナスの粒なので、法則で考えた向きとは逆の力を受ける、という少し難しいステップがあります）
• すると、a側にマイナスの粒が集まるので、a側がマイナスに、b側がプラスになるはずです。

推理の結論

問題の図という「証拠」を見てみましょう。a側がマイナス(－)、b側がプラス(＋)になっています。
これは、シナリオ2の予測とピッタリ一致しますね。
したがって、この半導体の中を流れている電流の正体は「マイナスの粒」であると分かります。

例題

例題81 磁界の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の直線電流が作る磁界の合成と、その磁界から電流が受ける力」です。電流と磁界に関する基本法則を正確に適用できるかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導線Qを流れる電流が、点Pの位置にどのような磁界を作るかを考える問題です。「無限に長い直線電流」がつくる磁界の強さの公式を適用し、向きを「右ねじの法則」で決定することが基本方針となります。
この設問における重要なポイント

• 直線電流 \(I\) から距離 \(r\) だけ離れた点の磁界の強さ \(H\) は \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) で与えられる。
• 右ねじの法則：電流の向きに右ねじを進めるとき、ねじが回転する向きが磁界の向きとなる。

具体的な解説と立式
導線Qを流れる電流を \(I_{\text{Q}}\)、導線Qと点Pの間の距離を \(r\) とします。問題文より、\(I_{\text{Q}} = 4.0 \text{ A}\)、\(r = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m}\) です。
点Pにおける磁界の強さ \(H_{\text{Q}}\) は、直線電流がつくる磁界の公式から次のように立式できます。
$$ H_{\text{Q}} = \frac{I_{\text{Q}}}{2\pi r} $$
向きについては、導線Qには紙面の表から裏へ向かう電流が流れています。右ねじの法則を適用すると、導線Qのまわりには時計回りの磁界ができます。したがって、点Pにおける磁界の向きは、この円の接線方向、すなわち線分PQに垂直な向きとなります。

与えられた値を公式に代入して \(H_{\text{Q}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
H_{\text{Q}} &= \frac{4.0}{2 \times 3.14 \times 0.20} \\[2.0ex]&= \frac{4.0}{1.256} \\[2.0ex]&\approx 3.184… \text{ [A/m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、四捨五入して \(3.2 \text{ A/m}\) となります。

長いまっすぐな電線（導線Q）が作る磁力の強さを、点Pの位置で求める問題です。強さは公式「電流の大きさ ÷ (2 × 円周率 × 電線からの距離)」で計算できます。ここに、電流 \(4.0 \text{ A}\)、円周率 \(3.14\)、距離 \(0.20 \text{ m}\) を当てはめて計算します。磁力の向きは「右ねじの法則」で考えます。電流が紙の奥へ進む向きなので、その周りには時計回りの磁力が生じます。点Pの位置では、線分PQに対して垂直な向きになります。

計算の結果、磁界の強さは \(3.2 \text{ A/m}\) となります。向きは、右ねじの法則から、図に示されているように線分PQに垂直な方向です。これは直線電流がつくる磁界の性質として妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Pにおける磁界は、導線Qによる磁界 \(\vec{H}_{\text{Q}}\) と導線Rによる磁界 \(\vec{H}_{\text{R}}\) の「重ね合わせ」によって生じます。磁界はベクトル量なので、2つのベクトルを合成する必要があります。まず \(\vec{H}_{\text{R}}\) の強さと向きを(1)と同様に求め、その後、\(\vec{H}_{\text{Q}}\) と \(\vec{H}_{\text{R}}\) をベクトルとして足し合わせます。
この設問における重要なポイント

• 磁界の重ね合わせの原理：複数の電流による磁界は、各電流が単独でつくる磁界のベクトル和で与えられる。
• ベクトルの合成：ベクトルの和は、図形的に（平行四辺形の法則など）または成分計算によって求める。
• 対称性の利用：問題の状況に対称性がある場合、それを利用すると計算が大幅に簡略化できる。

具体的な解説と立式
まず、導線Rが点Pにつくる磁界 \(\vec{H}_{\text{R}}\) を考えます。導線Rを流れる電流 \(I_{\text{R}}\) は \(4.0 \text{ A}\)、点Pまでの距離も \(0.20 \text{ m}\) であり、これは導線Qの条件と全く同じです。したがって、磁界の強さ \(H_{\text{R}}\) は \(H_{\text{Q}}\) と等しくなります。
$$ H_{\text{R}} = H_{\text{Q}} \approx 3.18 \text{ A/m} $$
\(\vec{H}_{\text{R}}\) の向きは、右ねじの法則より、線分PRに垂直な向きとなります。

次に、合成磁界 \(\vec{H}_{\text{QR}} = \vec{H}_{\text{Q}} + \vec{H}_{\text{R}}\) を求めます。
導線P, Q, Rは正三角形の頂点に位置するため、\(\angle \text{QPR} = 60^\circ\) です。
\(\vec{H}_{\text{Q}}\) はPQに垂直、\(\vec{H}_{\text{R}}\) はPRに垂直なので、2つのベクトル \(\vec{H}_{\text{Q}}\) と \(\vec{H}_{\text{R}}\) のなす角も \(60^\circ\) となります。
\(H_{\text{Q}} = H_{\text{R}}\) であるため、この2つのベクトルが作るひし形の対角線として合成ベクトル \(\vec{H}_{\text{QR}}\) を考えることができます。対称性から、\(\vec{H}_{\text{QR}}\) の向きは \(\angle \text{QPR}\) の二等分線に沿った向き、すなわち線分QRに平行で図の右向きとなります。
強さ \(H_{\text{QR}}\) は、\(\vec{H}_{\text{Q}}\) と \(\vec{H}_{\text{R}}\) の、合成方向（QRと平行な方向）への成分を足し合わせることで求められます。合成方向と \(\vec{H}_{\text{Q}}\) (および \(\vec{H}_{\text{R}}\)) とのなす角は \(30^\circ\) なので、
$$ H_{\text{QR}} = H_{\text{Q}} \cos 30^\circ + H_{\text{R}} \cos 30^\circ = 2 H_{\text{Q}} \cos 30^\circ $$

(1)で求めた \(H_{\text{Q}}\) のより正確な値 \(H_{\text{Q}} = \displaystyle\frac{10}{\pi}\) を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
H_{\text{QR}} &= 2 \times H_{\text{Q}} \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 2 \times \frac{10}{\pi} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= \frac{10\sqrt{3}}{\pi} \\[2.0ex]&\approx \frac{10 \times 1.732}{3.14} \\[2.0ex]&= \frac{17.32}{3.14} \\[2.0ex]&\approx 5.515… \text{ [A/m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、四捨五入して \(5.5 \text{ A/m}\) となります。

点Pには、Qからの磁力とRからの磁力が同時にかかっています。この2つの力を合体させる（ベクトル合成）のがこの問題です。QとRの条件（電流の大きさと距離）は同じなので、磁力の強さも同じです。2つの磁力は、図でわかるように60°の角度をなしています。同じ強さの2つの力をこの角度で合成すると、ちょうど真ん中の向き、つまり線分QRと平行な右向きの力になります。強さは、元の磁力の強さを \(\sqrt{3}\) 倍（約1.73倍）したものになり、計算すると約 \(5.5 \text{ A/m}\) となります。

合成磁界の強さは \(5.5 \text{ A/m}\)、向きは線分QRに平行で図の右向きとなります。対称性の高い配置であるため、合成後の向きが綺麗な方向になること、また強さが個々の磁界よりも大きくなることは、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた合成磁界 \(\vec{H}_{\text{QR}}\) の中に、電流 \(I_{\text{P}}\) が流れる導線Pが置かれている状況です。磁界中の電流が受ける力（アンペールの力）を求める問題なので、力の大きさを公式で計算し、向きを「フレミングの左手の法則」で決定します。
この設問における重要なポイント

• 電流 \(I\) が流れる長さ \(l\) の導線が、磁束密度 \(B\) の磁界から受ける力の大きさ \(F\) は \(F = IBl\sin\theta\)。
• 磁界の強さ \(H\) と磁束密度 \(B\) の関係は \(B = \mu H\)。真空中では透磁率 \(\mu_0\) を用いて \(B = \mu_0 H\)。
• 上記2式を組み合わせると、力の公式は \(F = \mu_0 I H l \sin\theta\) と表せる。
• \(\theta\) は電流の向きと磁界の向きのなす角である。
• 力の向きはフレミングの左手の法則（中指：電流、人差し指：磁界、親指：力）で決定する。

具体的な解説と立式
導線Pには、紙面の裏から表に向かって電流 \(I_{\text{P}} = 4.0 \text{ A}\) が流れています。
この導線Pの位置には、(2)で求めた強さ \(H_{\text{QR}}\) で、QRに平行に右向きの磁界が存在します。
電流の向き（紙面に垂直）と磁界の向き（紙面内）は互いに垂直なので、なす角は \(\theta = 90^\circ\) です。
したがって、導線Pの長さ \(l = 50 \text{ cm} = 0.50 \text{ m}\) の部分が受ける力の大きさ \(F\) は、次の式で計算できます。
$$ F = \mu_0 I_{\text{P}} H_{\text{QR}} l \sin 90^\circ $$
力の向きは、フレミングの左手の法則で決定します。

• 電流（中指）：紙面の裏から表へ
• 磁界（人差し指）：図の右向き
• 力（親指）：図の上向き

この向きは、線分QRに対して垂直で上向きとなります。

各値を公式に代入して力の大きさ \(F\) を計算します。(2)で求めた \(H_{\text{QR}} \approx 5.5 \text{ A/m}\) を用います。
$$
\begin{aligned}
F &= (1.26 \times 10^{-6}) \times 4.0 \times 5.5 \times 0.50 \times \sin 90^\circ \\[2.0ex]&= 1.26 \times 10^{-6} \times 4.0 \times 5.5 \times 0.50 \times 1 \\[2.0ex]&= 1.26 \times 10^{-6} \times (4.0 \times 0.50) \times 5.5 \\[2.0ex]&= 1.26 \times 10^{-6} \times 2.0 \times 5.5 \\[2.0ex]&= 1.26 \times 10^{-6} \times 11.0 \\[2.0ex]&= 13.86 \times 10^{-6} \text{ [N]} \\[2.0ex]&\approx 1.4 \times 10^{-5} \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で \(1.4 \times 10^{-5} \text{ N}\) となります。

磁石の力（磁界）が働いている空間に置かれた電線（導線P）が、どちら向きにどれくらいの力で押されるかを求める問題です。力の大きさは公式「透磁率 × 電流 × 磁界の強さ × 電線の長さ」で計算できます。ここに、問題文で与えられた値と(2)で計算した磁界の強さを当てはめます。力の向きは「フレミングの左手の法則」を使います。左手の中指を電流の向き（画面の手前向き）、人差し指を磁界の向き（右向き）に合わせると、親指は上を向きます。これが力の向きです。

導線Pが受ける力の大きさは \(1.4 \times 10^{-5} \text{ N}\)、向きは線分QRに垂直で図の上向きとなります。導線P, Q, Rは互いに反発しあう力（PとQ、PとRは逆向き電流なので引力）と、QとRの間の斥力が関係する複雑な状況ですが、磁界を合成してから力を計算するという手順を踏むことで、正しく結果を導くことができました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 直線電流がつくる磁界（アンペールの法則と右ねじの法則）:
  • 核心: 無限に長い直線電流 \(I\) が、距離 \(r\) の点につくる磁界の強さ \(H\) は \(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\) であり、その向きは右ねじの法則に従う、という電磁気学の基本法則を理解していることが出発点です。
  • 理解のポイント: この法則は、個々の電流が周囲にどのような影響を及ぼすかを記述するもので、(1)と(2)の計算の基礎となります。
• 磁界の重ね合わせの原理（ベクトル和）:
  • 核心: 複数の電流源が存在する場合、ある点での磁界は、それぞれの電流が単独でつくる磁界を「ベクトルとして」足し合わせたものになる、という原理です。
  • 理解のポイント: (2)で \(\vec{H}_{\text{Q}}\) と \(\vec{H}_{\text{R}}\) を合成する際に、単なる数値の足し算ではなく、ベクトルの合成（図形的な作図や成分分解）が必要になる理由がここにあります。
• 電流が磁界から受ける力（アンペールの力）:
  • 核心: 磁界 \(H\)（または磁束密度 \(B = \mu_0 H\)）の中に置かれた電流 \(I\) は、\(F = \mu_0 I H l \sin\theta\) で表される力を受ける、という法則です。力の向きはフレミングの左手の法則で決まります。
  • 理解のポイント: (3)で、(2)で求めた合成磁界 \(\vec{H}_{\text{QR}}\) が、導線Pに及ぼす力を計算する場面で適用されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 力のつり合い問題: 4本目の導線をどこに置けば、その導線が受ける力がつりあう（ゼロになる）か、といった問題。合成磁界がゼロになる点を探す、あるいは複数の力ベクトルが打ち消し合う条件を立式します。
  • 正方形や長方形の頂点に導線を配置する問題: 対称性が正三角形の場合と異なるため、ベクトルの合成方法が変わります。対角線の交点での磁界などを問われることもあります。
  • 円形電流との組み合わせ: 直線電流と円形コイルが作る磁界を合成させる問題。それぞれの磁界の公式を正確に使い分ける必要があります。
  • 電磁誘導との融合問題: 導線の一つの電流を時間的に変化させたとき、他の導線に生じる誘導起電力を問う問題。磁束の変化 \(\Delta \Phi\) を計算する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 役割分担の明確化: まず「どの電流が磁界の源か」「どの電流が力を受けるのか」を問題文から正確に読み取ります。この問題では、(1)(2)ではQとRが源、(3)ではPが力を受ける側です。
  2. 対称性の発見: 図をよく見て、導線の配置に対称性がないかを探します。この問題では「正三角形」という対称性が、\(H_{\text{Q}} = H_{\text{R}}\) であることや、合成磁界の向きを判断する上で絶大な効果を発揮します。対称性を見抜ければ、計算量を大幅に削減できます。
  3. ベクトル図の作成: 磁界や力はベクトル量なので、必ず図を描いて矢印で表現します。特に複数のベクトルを合成する際は、力の矢印をフリーハンドで描くだけでも、向きやおおよその大きさが把握でき、計算ミスを防ぐのに役立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 磁界の合成をスカラー和で行うミス:
  • 誤解: (2)で、\(\vec{H}_{\text{Q}}\) と \(\vec{H}_{\text{R}}\) の強さがどちらも \(3.2 \text{ A/m}\) だからといって、単純に \(3.2 + 3.2 = 6.4 \text{ A/m}\) と足してしまう。
  • 対策: 「磁界はベクトル量」と常に意識し、合成する際は必ずベクトルの和を考える癖をつけます。図を描いて平行四辺形の法則を適用するか、成分に分解して計算することを徹底します。
• 磁界の強さ(\(H\))と磁束密度(\(B\))の混同:
  • 誤解: (3)で力の公式 \(F=IBl\) を使う際に、\(B\) のところに \(H\) の値 \(5.5 \text{ A/m}\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: \(H\) [A/m] と \(B\) [T] は異なる物理量であり、\(B = \mu H\) という関係で結ばれていることを明確に区別します。力の公式は \(B\) を使うと覚え、\(H\) が与えられている場合は必ず \(B\) に変換してから使う、という手順を確立しましょう。
• フレミングの左手の法則の適用ミス:
  • 誤解: 電流・磁界・力の指の割り当てを間違える、あるいは右手の法則と混同してしまう。
  • 対策: 「電・磁・力（でん・じ・りょく）」の語呂合わせで、中指（電）・人差し指（磁）・親指（力）の対応を覚えます。実際に左手を使って、問題の図に合わせて指の向きを確認する練習を繰り返しましょう。
• 力の公式の角度 \(\theta\) の誤解:
  • 誤解: \(F = \mu_0 I H l \sin\theta\) の \(\theta\) に、磁界ベクトル同士のなす角（\(60^\circ\)）や、図形の幾何学的な角度（\(30^\circ\)）を誤って代入してしまう。
  • 対策: \(\theta\) は常に「電流の向き」と「磁界の向き」の2つのベクトルがなす角である、と定義に立ち返って確認します。(3)では、電流は紙面に垂直、磁界は紙面内なので、\(\theta = 90^\circ\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 直線電流の磁界公式 (\(H = \displaystyle\frac{I}{2\pi r}\)):
  • 選定理由: この問題は「直線状の導線」がつくる磁界を扱うため、この公式が全ての計算の出発点となります。これはアンペールの法則から導かれる、この状況に特化した最も基本的な式です。
  • 適用根拠: (1)と(2)で、導線QとRがそれぞれ点Pの位置につくる磁界の「強さ」を定量的に求めるために使用します。
• 磁界の重ね合わせの原理:
  • 選定理由: 磁界の発生源が複数（QとR）あるため、それらの影響を正しく足し合わせるための物理原理として選択します。
  • 適用根拠: (2)で、点Pにおける最終的な磁界を求めるには、\(\vec{H}_{\text{Q}}\) と \(\vec{H}_{\text{R}}\) を独立に求めてから、ベクトルとして合成する必要があるため、この原理の適用が不可欠です。
• アンペールの力の公式 (\(F = \mu_0 I H l \sin\theta\)):
  • 選定理由: (3)では「磁界中の電流が受ける力」を問われているため、この力を直接計算できる公式を選択します。\(F=IBl\) と \(B=\mu_0 H\) を組み合わせたこの形は、\(H\) が求まっている本問の状況に最も適しています。
  • 適用根拠: (2)で求めた合成磁界 \(\vec{H}_{\text{QR}}\) という「外部磁界」から、導線Pを流れる電流 \(I_{\text{P}}\) が受ける力を計算するために適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の統一: 計算を始める前に、全ての単位を基本単位（この場合はメートル[m]）に変換する習慣をつけましょう。問題文の「20cm」「50cm」を、それぞれ「\(0.20 \text{ m}\)」「\(0.50 \text{ m}\)」と書き直してから式に代入します。
• 記号計算の活用: (2)の計算で、\(H_{\text{Q}} \approx 3.18\) のようにすぐに小数に直すのではなく、\(H_{\text{Q}} = \displaystyle\frac{10}{\pi}\) のように記号のまま計算を進めるのがおすすめです。\(H_{\text{QR}} = 2 H_{\text{Q}} \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{10}{\pi} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{\pi}\) となり、最後にまとめて数値（\(\pi=3.14, \sqrt{3}=1.73\)）を代入することで、計算途中の丸め誤差を防ぎ、見通しが良くなります。
• 有効数字の管理: 問題文で与えられた物理量（\(4.0 \text{ A}\), \(20 \text{ cm}\)）が2桁であることから、最終的な答えも有効数字2桁でまとめることを意識します。計算途中では、それより1桁多い3桁程度の数値（例: 3.18, 5.52）を使って計算を進め、最後に四捨五入するとより正確な結果が得られます。
• 指数計算の分離: (3)の力の計算のように、\(10^{-6}\) のような指数が含まれる場合、\(1.26 \times 4.0 \times 5.5 \times 0.50\) という数値部分の計算と、\(10^{-6}\) という指数部分を分けて考えます。数値部分を先に計算（\(13.86\)）してから、最後に指数を組み合わせる（\(13.86 \times 10^{-6} = 1.386 \times 10^{-5}\)）ことで、桁数のミスを減らせます。

例題82 棒磁石がつくる磁界

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点磁極が作る磁界の重ね合わせ」です。静電気学における、点電荷が作る電界の計算と全く同じ考え方（アナロジー）で解くことができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
棒磁石のN極とS極が、それぞれ単独でつくる磁界の強さを求める問題です。これは「点磁極がつくる磁界の強さ」の公式をそのまま適用することで計算できます。
この設問における重要なポイント

• 磁気量 \(m\) の点磁極から距離 \(r\) だけ離れた点の磁界の強さ \(H\) は、\(H = k_m \displaystyle\frac{m}{r^2}\) で与えられる。
• 磁界の「強さ」はスカラー量（大きさ）なので、計算上は常に正の値をとる。

具体的な解説と立式
N極（磁気量 \(+m\)）が、距離 \(r_N = 3L\) の点につくる磁界の強さを \(H_N\) とします。点磁極がつくる磁界の公式より、
$$ H_N = k_m \frac{m}{r_N^2} $$
同様に、S極（磁気量 \(-m\)）が、距離 \(r_S = 4L\) の点につくる磁界の強さを \(H_S\) とします。強さは大きさなので、磁気量の絶対値 \(m\) を用いて、
$$ H_S = k_m \frac{m}{r_S^2} $$

それぞれの式に、与えられた距離を代入します。

\(H_N\) の計算:
$$
\begin{aligned}
H_N &= k_m \frac{m}{(3L)^2} \\[2.0ex]&= \frac{k_m m}{9L^2} \text{ [N/Wb]}
\end{aligned}
$$

\(H_S\) の計算:
$$
\begin{aligned}
H_S &= k_m \frac{m}{(4L)^2} \\[2.0ex]&= \frac{k_m m}{16L^2} \text{ [N/Wb]}
\end{aligned}
$$

磁石のN極やS極が、ある点に作る磁力の強さを計算します。強さは公式「比例定数 × 磁石の強さ ÷ (距離の2乗)」で求められます。N極については距離が \(3L\)、S極については距離が \(4L\) なので、それぞれの値を公式に当てはめて計算します。

N極がつくる磁界の強さは \(\displaystyle\frac{k_m m}{9L^2}\)、S極がつくる磁界の強さは \(\displaystyle\frac{k_m m}{16L^2}\) となります。距離が近いN極からの磁界の方が強いという結果は、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Pにおける合成磁界を求める問題です。磁界はベクトル量なので、(1)で求めたN極による磁界 \(\vec{H}_N\) とS極による磁界 \(\vec{H}_S\) をベクトルとして足し合わせる（重ね合わせる）必要があります。そのためには、まず2つのベクトルのなす角を明らかにし、それからベクトルの合成計算を行います。
この設問における重要なポイント

• 磁界の重ね合わせの原理：\(\vec{H} = \vec{H}_N + \vec{H}_S\)。
• \(\vec{H}_N\) の向きはN極からPへ向かう方向（斥力方向）、\(\vec{H}_S\) の向きはPからS極へ向かう方向（引力方向）。
• 点P、N極、S極の位置関係から、\(\vec{H}_N\) と \(\vec{H}_S\) のなす角を求める。

具体的な解説と立式
まず、点P、N極、S極の3点が作る三角形の位置関係を調べます。
3辺の長さは、N極-S極間が \(5L\)、N極-P間が \(3L\)、S極-P間が \(4L\) です。
これらの辺の長さについて、
$$ (3L)^2 + (4L)^2 = 9L^2 + 16L^2 = 25L^2 = (5L)^2 $$
が成り立ちます。これは三平方の定理の逆が成立することを意味しており、この三角形は、辺NPと辺SPが直角をなす直角三角形（\(\angle \text{NPS} = 90^\circ\)）であることがわかります。

次に、磁界ベクトルの向きを考えます。

• \(\vec{H}_N\) の向きは、N極から点Pを通り遠ざかる向き（線分NPの延長線上）。
• \(\vec{H}_S\) の向きは、点PからS極へ向かう向き（線分PS上）。

したがって、ベクトル \(\vec{H}_N\) と \(\vec{H}_S\) は互いに直交しています。
直交する2つのベクトルを合成する場合、その大きさ \(H\) は三平方の定理を用いて次のように立式できます。
$$ H = \sqrt{H_N^2 + H_S^2} $$

(1)で求めた \(H_N\) と \(H_S\) の値を代入して \(H\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= \sqrt{ \left( \frac{k_m m}{9L^2} \right)^2 + \left( \frac{k_m m}{16L^2} \right)^2 } \\[2.0ex]&= \sqrt{ \frac{(k_m m)^2}{81L^4} + \frac{(k_m m)^2}{256L^4} } \\[2.0ex]&= \sqrt{ (k_m m)^2 \left( \frac{1}{81L^4} + \frac{1}{256L^4} \right) } \\[2.0ex]&= \frac{k_m m}{L^2} \sqrt{ \frac{1}{81} + \frac{1}{256} } \\[2.0ex]&= \frac{k_m m}{L^2} \sqrt{ \frac{256 + 81}{81 \times 256} } \\[2.0ex]&= \frac{k_m m}{L^2} \sqrt{ \frac{337}{20736} } \\[2.0ex]&= \frac{k_m m}{L^2} \frac{\sqrt{337}}{144} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{337} k_m m}{144L^2} \text{ [N/Wb]}
\end{aligned}
$$

点Pには、N極からの磁力とS極からの磁力が同時にかかっています。この2つの力を合体させます。N極、S極、点Pの位置関係は、辺の比が3:4:5の直角三角形になっています。このため、N極からの力とS極からの力は、ちょうど直角に交わります。直角に交わる2つの力を合成するには、数学で習う「三平方の定理」が使えます。(1)で求めた2つの力の値を三平方の定理に当てはめて計算します。

合成磁界の強さは \(\displaystyle\frac{\sqrt{337} k_m m}{144L^2}\) となります。直交する2つのベクトルを合成したので、その大きさはそれぞれの成分より大きくなります。計算過程も問題なく、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 磁気に関するクーロンの法則:
  • 核心: 点磁極 \(m\) が距離 \(r\) の点につくる磁界の強さが \(H = k_m \displaystyle\frac{m}{r^2}\) で与えられること。これは静電気力におけるクーロンの法則と全く同じ形式であり、逆2乗の法則に従う中心力場であることを理解するのが重要です。
  • 理解のポイント: この法則が、(1)で個々の磁極がつくる磁界の「強さ」を計算する際の唯一の根拠となります。
• 磁界の定義と向き:
  • 核心: 磁界 \(\vec{H}\) とは、その空間に置かれた単位N極（\(+1\) Wb）が受ける磁気力として定義されるベクトル量であること。
  • 理解のポイント: この定義から、磁界の向きは「N極からは湧き出し（斥力）、S極へは吸い込まれる（引力）」というルールが導かれます。このルールを(2)で適用し、\(\vec{H}_N\) と \(\vec{H}_S\) の向きを正しく作図することが、ベクトル合成の第一歩です。
• 磁界の重ね合わせの原理:
  • 核心: 複数の磁極が存在する場合、ある点での合成磁界は、各磁極が単独でつくる磁界の「ベクトル和」で与えられること。
  • 理解のポイント: (2)で、\(H_N\) と \(H_S\) を単純に足し算するのではなく、ベクトルとして合成しなければならない理由がこの原理にあります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電界の計算問題: この問題は、N極を「正電荷」、S極を「負電荷」、磁界を「電界」と読み替えれば、静電気学の問題と全く同じ構造です。電気双極子がつくる電界を求める問題などに応用できます。
  • 磁界がゼロになる点を求める問題: 棒磁石の延長線上や、垂直二等分線上で、N極による磁界とS極による磁界が打ち消し合ってゼロになる点を探す問題。力のつり合い（ベクトルの和がゼロ）の条件を立式します。
  • 一般的な三角形をなす場合: 点P、N極、S極が直角三角形をなさない場合。このときは、\(\vec{H}_N\) と \(\vec{H}_S\) のなす角 \(\theta\) が \(90^\circ\) ではないため、合成磁界の大きさは余弦定理 \(H = \sqrt{H_N^2 + H_S^2 + 2H_N H_S \cos\theta}\) を使って計算する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 位置関係の把握（作図）: まず、磁極と観測点の位置関係を正確に図示します。特に、(2)のように3点が三角形をなす場合は、その三角形の形状（辺の長さ、角度）を特定することが最優先です。
  2. 辺の長さの比に注目: 3辺の長さが与えられたら、まず「三平方の定理」が成り立たないかを確認します。「3:4:5」や「5:12:13」のような有名な直角三角形の比になっていないか、あるいは二等辺三角形でないか、といった幾何学的な特徴を見抜くことが、計算を簡略化する鍵です。
  3. ベクトル図の作成: 各磁極がつくる磁界のベクトルを、向きと相対的な長さを意識して図に描き込みます。これにより、ベクトル同士のなす角や、合成ベクトルの大まかな向きを視覚的に把握でき、立式ミスを防げます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 磁界の強さと磁気力の混同:
  • 誤解: 磁界の強さ \(H\) を求めるべきところで、磁極 \(m’\) が受ける力 \(F = m’H\) を計算してしまう。
  • 対策: 問題文が「磁界の強さ」を問うているのか、「磁気力」を問うているのかを明確に区別します。磁界は空間の性質そのものであり、力を受ける磁極がなくても存在します。単位は[N/Wb]（または[A/m]）です。
• ベクトルの合成をスカラー和で行うミス:
  • 誤解: (2)で、合成磁界の強さを \(H = H_N + H_S\) として、単純に足し算してしまう。
  • 対策: 「磁界はベクトル量」ということを常に念頭に置きます。合成する際は、必ずベクトル和を考え、図を描いてベクトルのなす角を確認し、三平方の定理や余弦定理を正しく適用する習慣をつけます。
• 幾何学的な関係の見落とし:
  • 誤解: (2)で、点P、N極、S極が直角三角形をなすことを見抜けず、複雑な余弦定理の計算を始めてしまう。
  • 対策: 辺の長さが与えられた三角形では、まず三平方の定理の逆（\(a^2+b^2=c^2\)）が成立するかをチェックする癖をつけます。この一手間が、計算の複雑さを劇的に変えることがあります。
• 磁界の向きの間違い:
  • 誤解: S極がつくる磁界の向きを、S極から遠ざかる向き（斥力方向）と勘違いする。
  • 対策: 「N極からは湧き出し、S極へは吸い込まれる」という基本ルールを徹底します。これは、磁界の定義（単位N極が受ける力）に立ち返れば自然に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 点磁極の磁界公式 (\(H = k_m \displaystyle\frac{m}{r^2}\)):
  • 選定理由: 問題で扱われているのが「点と見なせる磁極」であり、その周りの「磁界の強さ」を求めるため、この公式が最も直接的で適切です。
  • 適用根拠: (1)で、N極とS極がそれぞれ単独で点Pにつくる磁界の大きさを計算するために適用します。距離の2乗に反比例するという、物理現象の基本法則に基づいています。
• 三平方の定理 (\(c = \sqrt{a^2+b^2}\)):
  • 選定理由: (2)で合成する2つのベクトル \(\vec{H}_N\) と \(\vec{H}_S\) が「直交する」ことが判明したため、直角三角形の斜辺の長さを求めるのと同じ計算で、合成ベクトルの大きさを最も簡単に求めることができます。
  • 適用根拠: もしベクトルが直交していなければ、この公式は使えず、より一般的な「余弦定理」を選択する必要があります。問題の幾何学的条件を分析した結果、最もシンプルなこの公式が適用可能であると判断しました。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (2)の計算では、\(H_N = \displaystyle\frac{k_m m}{9L^2}\) のように、具体的な数値を代入するのではなく、文字式のまま計算を進めることが重要です。これにより、共通因数（\(\frac{k_m m}{L^2}\)）でくくることができ、計算が大幅に簡略化されます。
• 分数の通分を丁寧に行う: \(\sqrt{\frac{1}{81} + \frac{1}{256}}\) のような計算では、焦って分母を掛け合わせる際に計算ミスをしがちです。\(81 \times 256 = (9 \times 16)^2 = 144^2 = 20736\) のように、計算の工夫ができないか考えたり、筆算で慎重に計算したりすることが大切です。
• ルートの外に出す操作: \(\sqrt{\frac{(k_m m)^2}{L^4} (\dots)}\) のように、ルートの中に2乗の項がある場合、先に \(\frac{k_m m}{L^2}\) としてルートの外に出してから、残りの数値部分の計算に集中することで、式全体の見通しが良くなり、ミスを減らせます。
• 単位の確認: 最終的な答えの単位が、問題で問われている物理量（この場合は磁界の強さ [N/Wb]）と一致しているかを最後に確認する癖をつけましょう。

例題83 円形電流と小磁針

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円形電流が作る磁界と地磁気の合成」です。コイルが作る磁界と、もともと存在する地磁気という2つのベクトルを合成し、その結果として小磁針がどの向きを指すかを考察する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

地磁気の強さと電流の向き

思考の道筋とポイント
この問題は、コイルが作る磁界 \(\vec{H}\) と地磁気の水平成分 \(\vec{H}_0\) の2つの磁界が合成された結果、小磁針が特定の向き（北西）を指した、という状況を分析するものです。小磁針が指す向きは、その点における合成磁界の向きと一致するという原理が鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 小磁針のN極は、その点における合成磁界の向きを指す。
• コイルが作る磁界と地磁気は、ベクトルとして合成される。
• 問題の配置から、各磁界ベクトルの向きを正しく把握する。

具体的な解説と立式
コイルの中心には、以下の2つの磁界が存在します。

1. 地磁気の水平成分 \(\vec{H}_0\): 向きは常に「北」を向いています。
2. コイルが作る磁界 \(\vec{H}\): コイルの円と水平面の交わる線が南北方向に平行なので、コイルの面は東西方向に垂直に立っています。右ねじの法則により、コイルが中心に作る磁界は、コイル面に垂直な向き、すなわち「東」または「西」を向きます。

小磁針のN極は、これら2つのベクトルを合成した磁界 \(\vec{H}’ = \vec{H} + \vec{H}_0\) の向きを指します。
問題文より、小磁針は「北西」を指しました。これは、北向きのベクトル \(\vec{H}_0\) と、西向きのベクトル \(\vec{H}\) を合成した結果です。
したがって、コイルが作る磁界 \(\vec{H}\) の向きは「西向き」であるとわかります。

「北西」とは、北と西のちょうど中間の向き、すなわち北から西へ \(45^\circ\) の角度をなす向きです。
\(\vec{H}_0\)（北向き）と \(\vec{H}\)（西向き）は直交しているので、この2つのベクトルと合成ベクトル \(\vec{H}’\) は直角三角形を形成します。
合成ベクトル \(\vec{H}’\) が \(\vec{H}_0\) となす角が \(45^\circ\) であることから、この直角三角形は、辺の長さが \(H\) と \(H_0\) の直角二等辺三角形であることがわかります。
したがって、2つの磁界の強さの間には以下の関係が成り立ちます。
$$ H_0 = H $$
円形コイルの中心磁界の強さの公式は \(H = \displaystyle\frac{I}{2r}\) なので、これを代入すると地磁気の水平成分の強さが求まります。
$$ H_0 = \frac{I}{2r} $$
次に、電流の向きを考えます。
コイルが作る磁界 \(\vec{H}\) が「西向き」になるためには、右ねじの法則より、電流は「円形コイルを東側から見て時計回り」に流れている必要があります。

この問題では、地磁気の強さ \(H_0\) を求めるための具体的な数値計算はなく、コイルの磁界の強さ \(H\) と等しいという関係式を導出することが計算過程となります。
$$ H_0 = H = \frac{I}{2r} \text{ [A/m]} $$
電流の向きは、上記の考察から決定されます。

方位磁針（小磁針）は、周りにある磁力の合わさった向きを指します。この場所には、もともと地球が持つ「北向き」の磁力（地磁気）と、コイルに電気を流して作った磁力の2つがあります。コイルは南北に置かれているので、コイルが作る磁力は「東向き」か「西向き」のどちらかです。
実験の結果、方位磁針は「北西」を指しました。これは、「北向き」の地磁気と「西向き」のコイルの磁力が合わさった結果と解釈できます。「北西」は北と西のちょうど真ん中なので、これは地磁気の強さとコイルが作った磁力の強さが全く同じだったことを意味します。
したがって、地磁気の強さは、コイルが作る磁力の強さの公式 \(\displaystyle\frac{I}{2r}\) で計算できます。
また、コイルの磁力が「西向き」になるような電流の向きを「右ねじの法則」で考えると、「東側から見て時計回り」となります。

地磁気の水平成分の強さは \(\displaystyle\frac{I}{2r}\) [A/m]、コイルに流した電流の向きは円形コイルを東側から見て時計回りとなります。
コイルによる磁界と地磁気が直交し、その合成磁界が \(45^\circ\) の方向を向くという条件から、2つの磁界の大きさが等しいと結論づけることができました。これはベクトル合成の基本的な考え方であり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 磁界の重ね合わせの原理（ベクトル和）:
  • 核心: ある一点には、複数の原因（この場合はコイルと地球）による磁界が同時に存在でき、その点での実際の磁界は、個々の磁界の「ベクトル和」として現れるという原理。
  • 理解のポイント: 小磁針が、地磁気（北向き）でもなく、コイルの磁界（東西向き）でもない、中間の「北西」を向いた理由を説明する根幹の法則です。
• 小磁針と合成磁界の関係:
  • 核心: 小磁針のN極は、その場所における「合成磁界」の向きを指す。
  • 理解のポイント: これはこの問題の前提条件であり、観測結果（小磁針の向き）から、目に見えない合成磁界ベクトルの向きを特定するための鍵となります。
• 電流がつくる磁界の法則（円形電流と右ねじの法則）:
  • 核心: 円形電流 \(I\) が中心につくる磁界の強さは \(H = \displaystyle\frac{I}{2r}\) であり、その向きは電流の向きに対して右ねじの法則に従うこと。
  • 理解のポイント: コイルがつくる磁界の「強さ」を計算し、またその「向き」を特定するための基本法則です。この問題では、磁界の向きから逆に電流の向きを推定するために使われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 小磁針の振れ角が \(45^\circ\) 以外の場合: 例えば、小磁針が北から西へ \(30^\circ\) 振れた場合。このとき、地磁気 \(H_0\)（北向き）とコイルの磁界 \(H\)（西向き）の関係は、\(\tan 30^\circ = \displaystyle\frac{H}{H_0}\) となります。この関係式から未知の磁界の強さを求めることができます。
  • コイルの配置が異なる問題: コイルを水平に置き、その中心に小磁針を置く場合。コイルが作る磁界は鉛直方向（上または下向き）になります。この場合、小磁針が影響を受けるのは地磁気の水平成分のみなので、小磁針は振れません（ただし、伏角は変化します）。
  • ヘルムホルツコイル: 2つの円形コイルを平行に配置し、一様な磁界を作る装置。その中心での磁界の強さを計算し、地磁気との関係を問う問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 存在する磁界のリストアップ: まず、その点にどのような磁界が存在するかを全てリストアップします。この問題では「地磁気」と「コイルによる磁界」の2つです。
  2. 各磁界ベクトルの向きの特定: 次に、それぞれの磁界がどちらを向いているかを、問題の設定（コイルの配置、方位）から慎重に判断し、図に矢印で描き込みます。地磁気は「北」、コイルの磁界は「東か西」というように、向きを確定させることが重要です。
  3. 観測結果（小磁針の向き）との照合: 最後に、観測された小磁針の向き（合成磁界の向き）と、作図した個々の磁界ベクトルの関係を照らし合わせます。ベクトル合成の図（この場合は直角三角形）を描くことで、辺の長さ（磁界の強さ）の間の関係式が導かれます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 磁界の向きの誤解:
  • 誤解: コイルの配置から、コイルが作る磁界の向きを南北方向と勘違いしてしまう。
  • 対策: 右ねじの法則を正確に適用する練習をします。コイルの「面」に垂直な方向に磁界ができることを理解しましょう。この問題では、コイルの面が東西方向を向いている（南北に交わっている）ため、磁界はそれに垂直な東西方向を向きます。
• ベクトル合成の誤り:
  • 誤解: 小磁針が北西を向いたからといって、地磁気とコイルの磁界の関係を正しく図示できない。
  • 対策: ベクトル合成の基本に立ち返り、「始点を揃えて平行四辺形を描く」または「ベクトルを矢印でつなぐ（三角形を描く）」という作図を徹底します。この問題では、北向きの \(\vec{H}_0\) の終点から西向きの \(\vec{H}\) を描くと、始点から \(\vec{H}\) の終点までが合成ベクトル \(\vec{H}’\)（北西向き）になる、という三角形を描くと分かりやすいです。
• 電流の向きの決定ミス:
  • 誤解: コイルの磁界が西向きであることは分かっても、右ねじの法則を逆に適用できず、電流の向きを間違える。
  • 対策: 「親指を磁界の向き（西）に合わせたとき、残りの4本の指が巻く向きが電流の向き」というように、右ねじの法則を逆から使う練習をします。また、「東側から見る」「西側から見る」といった視点の指定に注意し、時計回りか反時計回りかを判断します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 円形電流の中心磁界の公式 (\(H = \displaystyle\frac{I}{2r}\)):
  • 選定理由: 問題で扱われている磁界の源が「円形コイル」であり、その「中心」での磁界の強さを知る必要があるため、この公式が直接的に適用できます。
  • 適用根拠: コイルがつくる磁界の強さ \(H\) と、地磁気の強さ \(H_0\) を関係づけるために、まず \(H\) を電流 \(I\) と半径 \(r\) で表す必要があります。この公式がそのための唯一の手段です。
• 三角比の関係 (\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\text{対辺}}{\text{底辺}}\)):
  • 選定理由: この問題では、たまたま振れ角が \(45^\circ\) だったので \(H=H_0\) となりましたが、より一般的には、直交する2つのベクトル（地磁気とコイル磁界）とその合成ベクトルのなす角の関係は、三角比（特にタンジェント）で表すのが最も合理的です。
  • 適用根拠: \(\vec{H}_0\)（北）と \(\vec{H}\)（西）を2辺とする直角三角形を考えたとき、合成ベクトルとのなす角 \(\theta\) に対して \(\tan\theta = \displaystyle\frac{H}{H_0}\) が成り立ちます。今回は \(\theta=45^\circ\) なので \(\tan 45^\circ = 1\)、よって \(H=H_0\) となります。この思考法は、どんな角度の問題にも対応できる汎用性があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 作図の徹底: この種の問題は、計算そのものよりも、物理的な状況を正しく図に表現できるかどうかが全てです。特に、磁界のようなベクトル量を扱う場合は、必ず方眼紙のような場所に、向きと（おおよその）大きさを反映させたベクトル図を描く習慣をつけましょう。
• 言葉の定義の確認: 「北西」が「北と西から等角度（\(45^\circ\)）」を意味すること、「コイルの円と水平面の交わる線が南北方向」という記述からコイルの面が東西方向を向いていることを読み取ることなど、問題文の言葉を正確に物理的な配置に変換する能力が重要です。
• 視点の固定: 電流の向きを「時計回り」「反時計回り」で答える際は、「どこから見たときか」という視点を明確にすることが不可欠です。問題文の指示（この場合は解答で「東側から見て」と補足）に従うか、自分で視点を設定して記述します。これを怠ると、答えが曖昧になったり、逆になったりします。

例題84 磁界中の荷電粒子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁場中の荷電粒子の運動（ローレンツ力による等速円運動）」です。磁場から力を受けて運動する荷電粒子の軌跡や周期を求める、電磁気学と力学の融合問題の典型例です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
荷電粒子が図のような軌道で円運動をしたという事実から、磁場の向きを特定する問題です。円運動をするためには、常に円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この力の正体がローレンツ力であることから、フレミングの左手の法則を適用して磁場の向きを導き出します。
この設問における重要なポイント

• 円運動の向心力は、常に円の中心を向く。
• 磁場中で荷電粒子が受ける力（ローレンツ力）が、この運動の向心力となっている。
• フレミングの左手の法則を適用して、力・電流（粒子の運動）・磁場の向きの関係を明らかにする。正電荷（\(q>0\)）の場合、速度 \(\vec{v}\) の向きが電流の向きとみなせる。

具体的な解説と立式
図から、荷電粒子は磁場に入射した後、下向きにカーブしています。これは、円運動の中心が軌道の下側にあることを意味します。したがって、粒子には常に軌道の下向き（円の中心向き）に力が働いています。
この力はローレンツ力なので、フレミングの左手の法則を適用します。

• 力の向き（親指）: 円の中心方向、すなわち図の下向き。
• 電流の向き（中指）: 荷電粒子は正電荷（\(q>0\)）なので、速度の向きと同じ。すなわち図の右向き。

これらの向きに左手の指を合わせると、人差し指（磁場の向き）は、紙面の裏から表へ向かう向きになります。

この設問は法則の適用を問うものであり、計算は不要です。

荷電粒子が磁場の中でカーブするのは、磁場から力を受けるためです。図を見ると、粒子は円を描くように曲がっており、その円の中心は軌道の下側にあります。つまり、粒子は常に下向きの力を受けていることになります。ここで「フレミングの左手の法則」を使います。左手の親指を力の向き（下向き）、中指を粒子の進む向き（右向き）に合わせると、人差し指が向く方向が磁場の向きになります。実際にやってみると、人差し指は紙面の手前側を向きます。

磁場の向きは、紙面に垂直に裏から表へ向かう向きです。この向きの磁場が存在すれば、右向きに進む正電荷は下向きの力を受け、図のような半円軌道を描くことになり、物理的に矛盾はありません。

問(2)

思考の道筋とポイント
荷電粒子がする等速円運動の半径 \(r\) を求める問題です。荷電粒子が磁場から受ける「ローレンツ力」が、円運動を維持するための「向心力」として働いている、という力学的な関係を運動方程式として立式し、半径 \(r\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 円運動の運動方程式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力}}\)
• 向心力の正体はローレンツ力であり、その大きさは \(F = qvB\) （速度と磁場が垂直なため \(\sin 90^\circ = 1\)）。

具体的な解説と立式
質量 \(m\)、速さ \(v\) の粒子が半径 \(r\) の円運動をするときの向心力の大きさは \(m\displaystyle\frac{v^2}{r}\) です。
一方、電荷 \(q\) の粒子が速さ \(v\) で磁束密度 \(B\) の磁場に垂直に進入したときに受けるローレンツ力の大きさは \(F = qvB\) です。
このローレンツ力が向心力として働くので、以下の運動方程式が成り立ちます。
$$ m\frac{v^2}{r} = qvB $$

上記で立てた運動方程式を、半径 \(r\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v^2}{r} &= qvB \\[2.0ex]\end{aligned}
$$
両辺を \(v\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
\frac{mv}{r} &= qB \\[2.0ex]\end{aligned}
$$
これを \(r\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
r &= \frac{mv}{qB} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

粒子が円運動を続けるためには、外側に飛び出そうとする勢い（慣性）と、磁場が中心に引っ張る力（ローレンツ力）が常につり合っている必要があります。この「つり合いの式」が円運動の運動方程式です。この式を立てて、求めたい半径 \(r\) について整理すると、答えが導き出せます。

円運動の半径は \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) となります。この式は、粒子の運動量 \(mv\) が大きいほど半径が大きく（曲がりにくく）なり、電荷 \(q\) や磁場の強さ \(B\) が大きいほど半径が小さく（曲がりやすく）なることを示しており、物理的な直感と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
荷電粒子が半回転するのに要する時間 \(t\) を求める問題です。粒子は磁場から受ける力が常に進行方向と垂直であるため、速さが変わらない「等速」円運動をします。したがって、時間は「道のり÷速さ」で単純に計算できます。
この設問における重要なポイント

• ローレンツ力は仕事をしないため、荷電粒子の速さ \(v\) は一定である。
• 時間、道のり、速さの関係式: \(t = \displaystyle\frac{L}{v}\)
• 半径 \(r\) の円の半周の長さは \(L = \pi r\)。

具体的な解説と立式
粒子が半回転する間に進む道のり \(L\) は、半径 \(r\) の円の円周の半分なので、
$$ L = \pi r $$
粒子はこの道のりを一定の速さ \(v\) で運動するので、かかる時間 \(t\) は、
$$ t = \frac{L}{v} = \frac{\pi r}{v} $$
この式に、(2)で求めた半径 \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) を代入します。

\(t = \displaystyle\frac{\pi r}{v}\) の式に、\(r\) の具体的な表現を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{\pi}{v} \cdot r \\[2.0ex]&= \frac{\pi}{v} \cdot \left( \frac{mv}{qB} \right) \\[2.0ex]&= \frac{\pi m v}{v q B} \\[2.0ex]&= \frac{\pi m}{qB} \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

半回転にかかる時間を求めます。まず、粒子が移動する「道のり」を計算します。これは半円の長さなので、「円周率 × 半径」で求まります。次に、この道のりを粒子の「速さ」で割れば、かかった時間がわかります。計算してみると、面白いことに速さや半径に関係なく、粒子の質量、電荷、磁場の強さだけで決まる一定の時間になります。

半回転に要する時間は \(t = \displaystyle\frac{\pi m}{qB}\) となります。この結果は、粒子の速さ \(v\) や半径 \(r\) に依存しません。これは、速い粒子ほど大きな円を描くため、結果的に半周するのにかかる時間は同じになるという、サイクロトロンの重要な原理を示しています。物理的に正しい、興味深い結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力と円運動の関係:
  • 核心: 磁場に垂直に入射した荷電粒子が受けるローレンツ力 \(F=qvB\) が、常に進行方向と垂直に働くため、向心力として機能し、結果として粒子は「等速円運動」をする、という一連の物理現象を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 力の向き: フレミングの左手の法則で決まる。
    • 運動の種類: ローレンツ力は仕事をしない（力の向きと運動方向が常に垂直）ため、運動エネルギーは変化せず、速さが一定の「等速」円運動となる。
    • 力学との接続: このローレンツ力が、力学で学ぶ円運動の「向心力」そのものである。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: 力学の基本法則である運動方程式 \(ma=F\) を、円運動の状況に合わせて \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力}}\) という形で適用すること。
  • 理解のポイント: (2)で円運動の半径を求める際に、この方程式に \(F_{\text{向心力}} = qvB\) を代入することで、電磁気学と力学が結びつきます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • サイクロトロン: この問題の原理を応用した粒子加速器。半円運動の周期が速さによらないことを利用して、電場で加速と磁場で偏向を繰り返す問題。
  • 速度選別機: 電場と磁場を垂直にかけ、ローレンツ力と静電気力がつりあう特定の速さの粒子だけを直進させる装置。\(qE = qvB\) から \(v = E/B\) を導く問題。
  • 質量分析器: イオンを加速・偏向させ、その軌道の半径から質量を特定する装置。\(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) の式を利用して、同位体の分離などを考えます。
  • 斜め入射: 磁場に対して斜めに粒子が入射する場合。速度を磁場に平行な成分 \(v_{\parallel}\) と垂直な成分 \(v_{\perp}\) に分解します。粒子は \(v_{\perp}\) によって円運動を、\(v_{\parallel}\) によって等速直線運動をするため、全体として「らせん運動」をします。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 荷電粒子の符号を確認: まず、粒子の電荷が正（\(q>0\)）か負（\(q<0\)）かを確認します。負電荷の場合、フレミングの左手の法則で「電流」の向きを考える際に、速度 \(\vec{v}\) とは逆向きにする必要があります。
  2. 力の向きと軌道の曲がり方を把握: 粒子がどちらに曲がっているかを図から読み取り、力の向き（円運動の中心方向）を特定します。これがフレミングの左手の法則を適用する際の出発点になります。
  3. 運動方程式を立てる: 「ローレンツ力＝向心力」という関係は、この種のほぼ全ての問題で中心となる式です。迷ったらまず \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) を立てることから始めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの法則の適用ミス:
  • 誤解: 負電荷（電子など）の運動なのに、速度の向きをそのまま電流の向きとしてフレミングの左手の法則を適用してしまう。
  • 対策: 「電流の定義は正電荷の流れ」であることを徹底します。負電荷の場合は、速度と逆向きを電流の向きと考えるか、あるいは「フレミングの右手の法則」を使う（ただし混乱の元なので非推奨）と覚えます。
• 向心力と遠心力の混同:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、\(m\displaystyle\frac{v^2}{r} + qvB = 0\) のように、ローレンツ力と遠心力（慣性力）をつり合いの式として立ててしまう。
  • 対策: 運動方程式は、あくまで慣性系（静止した観測者）から見て「質量×加速度＝力」という形で立てるのが基本です。この場合、「向心加速度を生み出している力の正体は何か？」と考え、「向心力＝ローレンツ力」と等号で結ぶのが正しいアプローチです。
• 周期の計算ミス:
  • 誤解: (3)で半回転の時間を求める際に、(2)で求めた半径 \(r\) の式を代入し忘れたり、計算過程で \(v\) を消し忘れたりする。
  • 対策: \(t = \displaystyle\frac{\pi r}{v}\) と \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) の2つの式をきちんと書き出し、落ち着いて代入計算を行います。周期が速さ \(v\) によらないという特徴的な結果を覚えておくと、計算ミスに気づきやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ローレンツ力の公式 (\(F=qvB\)):
  • 選定理由: この問題の根幹である「磁場中を運動する荷電粒子が受ける力」そのものを表す公式だからです。
  • 適用根拠: (2)で円運動の運動方程式を立てる際、向心力の具体的な形を記述するために必要不可欠です。速度と磁場が垂直なので、\(\sin\theta=1\) とした最もシンプルな形が適用されます。
• 円運動の運動方程式 (\(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\)):
  • 選定理由: 粒子が「円運動」をしているという事実から、その運動を支配する力学法則として選択します。
  • 適用根拠: (2)で、観測される運動（半径 \(r\)、速さ \(v\)）と、その原因である力（ローレンツ力）とを結びつけるための方程式として適用します。これにより、未知数である半径 \(r\) を他の物理量で表すことが可能になります。
• 時間＝道のり÷速さ の関係式:
  • 選定理由: (3)で問われているのが「時間」であり、粒子の運動が「等速」であることが分かっているため、この最も基本的な関係式が適用できます。
  • 適用根拠: 粒子が半円という特定の「道のり」を、一定の「速さ」で進むため、所要時間を計算するのに最も直接的な方法です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理: (2)の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = qvB\) を解く際、まず両辺に共通する \(v\) を一つ消去してから式を整理すると、計算が楽になり、ミスも減ります。

• 代入の正確性: (3)で \(t = \displaystyle\frac{\pi r}{v}\) に \(r = \displaystyle\frac{mv}{qB}\) を代入する際、分数の分母と分子を間違えないように注意します。\(t = \pi \cdot (\displaystyle\frac{1}{v}) \cdot r\) のように、各項を分離して考えると、代入の構造が明確になります。
• 単位の次元解析: 例えば半径 \(r\) の式 \(\displaystyle\frac{mv}{qB}\) が本当に長さの次元を持っているかを確認する（次元解析）と、検算になります。厳密に行うのは大変ですが、物理量の関係性として妥当か（例：力が強いほど曲がりやすい→半径が小さい）を考えるだけでも、大きなミスを防げます。
• 結果の物理的意味の吟味: (3)で得られた周期の式が速さ \(v\) に依存しないという結果は、非常に特徴的です。なぜそうなるのか（速い粒子ほど大きな円を描くので、一周にかかる時間は同じになる）を物理的に理解しておくと、計算結果に自信が持て、記憶にも定着しやすくなります。

例題85 ホール効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ホール効果」です。電流が流れている導体（または半導体）に磁場をかけると、電流と磁場の両方に垂直な方向に電位差が生じる現象で、これにより電流の担い手（キャリア）の正負や密度などを知ることができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
半導体中のキャリア（電荷を運ぶ粒子）の電気量 \(q\) の符号を決定する問題です。観測事実である「電極Nの電位が電極Mより高い（\(V>0\)）」という情報が最大のヒントです。キャリアが正電荷であると仮定した場合と、負電荷であると仮定した場合のそれぞれで、どちらの面に電荷がたまるかをフレミングの左手の法則で予測し、観測事実と一致するかを検証します。
この設問における重要なポイント

• 電位が高いということは、正の電荷が蓄積している、あるいは負の電荷が不足していることを意味する。
• フレミングの左手の法則を適用する際、正電荷の場合は速度の向きを、負電荷の場合は速度と逆の向きを「電流」とみなす。
• 仮説を立て、物理法則を適用した結果が、観測事実と矛盾しないかを確認する。

具体的な解説と立式
【仮説】キャリアの電荷 \(q\) が正（\(q>0\)）であると仮定する。

1. キャリアの運動方向: 電流 \(I\) がy軸の正の向きに流れているので、正電荷であるキャリアはy軸の正の向きに速さ \(v\) で運動している。
2. フレミングの左手の法則の適用:
   • 電流の向き（中指）: y軸正の向き
   • 磁場の向き（人差し指）: z軸正の向き
   • 力の向き（親指）: x軸正の向き
3. 電荷の偏り: キャリア（正電荷）はx軸正の向きにローレンツ力を受けるため、側面Nに蓄積する。その結果、側面Nは正に帯電し、キャリアが去った側面Mは相対的に負に帯電する。
4. 電位の比較: 正電荷が蓄積した側面Nは、側面Mよりも電位が高くなる。
5. 結論: この予測は、問題文の「電極Nの電位が電極Mに対して \(V>0\)」という観測事実と一致する。

したがって、キャリアの電荷 \(q\) の符号は正であると結論できます。

（もし負電荷と仮定すると、キャリアはy軸負の向きに運動し、ローレンツ力はx軸正の向きに働く。負電荷が側面Nにたまるため、Nの電位はMより低くなり、観測事実と矛盾する。）

この設問は論理的な推論を問うものであり、計算は不要です。

電流の正体である「キャリア」がプラスの電気を持つか、マイナスの電気を持つかを当てる問題です。ヒントは「N極の電圧がM極より高くなった」ことです。
もしキャリアがプラスの電気を持つと仮定して、フレミングの左手の法則を使うと、キャリアはN極側に押しやられます。プラスの電気がN極に集まるので、N極の電圧は高くなります。これは実験結果と一致します。
もしキャリアがマイナスだと仮定すると、逆のことが起こり、N極の電圧は低くなるはずです。これは実験結果と矛盾します。
したがって、キャリアはプラスの電気を持つとわかります。

キャリアの電気量の符号は正です。仮説と検証のプロセスを経て、観測事実と矛盾しない唯一の結論を導くことができました。

問(2)

思考の道筋とポイント
電流の強さ \(I\) を、キャリアの性質（数密度 \(n\)、電気量 \(q\)、速さ \(v\)）と半導体の形状（断面積）を用いて表す問題です。電流の定義「単位時間あたりに、ある断面を通過する電気量の総和」に立ち返って考えます。
この設問における重要なポイント

• 電流の定義: \(I = \displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}\)
• キャリア1個が持つ電気量は \(q\)。
• 電流が流れる方向（y軸方向）に垂直な断面の面積を考える。

具体的な解説と立式
電流 \(I\) は、1秒間に半導体の断面（この場合はx-z平面に平行な面）を通過する電気量の合計です。

1. 断面積 \(S\): 電流はy軸方向に流れるので、それに垂直な断面はx-z平面に平行な長方形です。その面積 \(S\) は、辺の長さが \(a\) と \(b\) なので、\(S = ab\)。
2. 1秒間に通過するキャリアの個数: 速さ \(v\) で移動するキャリアは、1秒間に \(v\) [m]進みます。したがって、断面積 \(S\) を1秒間に通過するキャリアは、体積 \(S \times v\) の中に含まれるキャリアということになります。
3. 体積 \(Sv\) 内のキャリアの総数: キャリアの数密度は \(n\) [個/m\(^3\)] なので、体積 \(Sv\) の中には \(n \times (Sv)\) 個のキャリアが存在します。
4. 1秒間に通過する総電気量: キャリア1個の電気量は \(q\) なので、1秒間に断面を通過する総電気量、すなわち電流 \(I\) は、
   $$ I = q \times (nSv) $$

これに \(S=ab\) を代入します。
$$ I = qn(ab)v = qnabv $$

上記の立式がそのまま計算過程となります。
$$
\begin{aligned}
I &= q \times n \times S \times v \\[2.0ex]&= q \times n \times (ab) \times v \\[2.0ex]&= qnabv \text{ [A]}
\end{aligned}
$$

電流の強さ \(I\) を式で表す問題です。電流とは、1秒間に電線の断面をどれだけの電気が通り過ぎるか、という量です。
まず、電線の断面積を計算します。これは \(a \times b\) です。
次に、1秒間にこの断面を通り過ぎるキャリアの数を考えます。キャリアは速さ \(v\) で進むので、長さ \(v\)、断面積 \(ab\) の体積（\(abv\)）に含まれるキャリアが1秒で通り過ぎます。
キャリアの密度は \(n\) なので、この体積の中には \(n \times abv\) 個のキャリアがいます。
最後に、キャリア1個あたりの電気量 \(q\) を掛ければ、1秒間に通り過ぎる総電気量、つまり電流 \(I\) が求まります。

電流の強さは \(I = qnabv\) と表せます。これは電流をミクロな視点で記述する基本的な関係式であり、物理的に正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
キャリアの数密度 \(n\) を、測定可能な量（\(V, I, B\) など）で表す問題です。これはホール効果の核心部分であり、「ローレンツ力」と、側面NとMの間に生じた電場による「静電気力」が「つりあう」という定常状態の条件から出発します。
この設問における重要なポイント

• 定常状態では、キャリアに働くローレンツ力と静電気力がつりあっている。
• ローレンツ力の大きさ: \(F_L = qvB\)
• 静電気力の大きさ: \(F_E = qE\)
• 一様な電場と電位差の関係: \(V = Ed\)

具体的な解説と立式
(1)で考察したように、キャリアはローレンツ力によって側面Nに偏ります。これにより、側面NとMの間に電位差 \(V\) が生じ、NからMの向き（x軸負の向き）に強さ \(E\) の一様な電場（ホール電場）ができます。
この電場は、後からy軸正の向きに進んでくるキャリアに対して、x軸負の向きに静電気力 \(F_E = qE\) を及ぼします。
一方、キャリアは磁場からx軸正の向きにローレンツ力 \(F_L = qvB\) を受け続けます。
やがて、この2つの力がつりあうと、キャリアはy軸方向に直進できるようになります。この力のつり合いが定常状態の条件です。
$$ F_E = F_L $$
$$ qE = qvB \quad \cdots ① $$
また、側面NとMの間の距離は \(a\) なので、電場 \(E\) と電位差 \(V\) の間には以下の関係があります。
$$ V = Ea \quad \cdots ② $$
(2)で求めた電流の式も使います。
$$ I = qnabv \quad \cdots ③ $$
これら3つの式を連立させて、\(n\) を求めます。

目標は \(n\) を \(V, I, B, q, b\) で表すことです。そのために、未知数である \(v\) と \(E\) を消去します。
式①より、\(E = vB\)。
これを式②に代入すると、\(V = (vB)a\)。
ここから、キャリアの速さ \(v\) が求まります。
$$ v = \frac{V}{aB} $$
この \(v\) を式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= qnab \left( \frac{V}{aB} \right) \\[2.0ex]&= \frac{qnabV}{aB} \\[2.0ex]&= \frac{qnbV}{B}
\end{aligned}
$$
この式を、目標である \(n\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{IB}{qbV} \text{ [個/m$^3$]}
\end{aligned}
$$

キャリアの密度 \(n\) を求める問題です。キャリアは、磁場からN極側に押される力（ローレンツ力）と、N極にたまったプラス電気が作る電場からM極側に引き戻される力（静電気力）の2つを受けます。しばらくするとこの2つの力がつりあって、キャリアはまっすぐ進めるようになります。
この「力のつり合いの式」と、「電圧と電場の関係式」、「(2)で求めた電流の式」の3つを組み合わせることで、パズルを解くように不要な文字（\(v\) や \(E\)）を消していくと、最終的に \(n\) を求める式が導き出せます。

キャリアの数密度は \(n = \displaystyle\frac{IB}{qbV}\) と表せます。この式からわかるように、電流 \(I\)、磁場 \(B\)、ホール電圧 \(V\) などを測定することで、半導体内部のキャリアの密度 \(n\) を知ることができます。これがホール効果の重要な応用です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ホール効果の物理メカニズム:
  • 核心: 電流の担い手（キャリア）が磁場からローレンツ力を受けて導体の側面に偏ることで、内部に電場（ホール電場）が生じ、最終的にキャリアが受ける「ローレンツ力」と「静電気力」がつりあう、という一連の現象を理解することが全てです。
  • 理解のポイント: この力のつり合いが定常状態を特徴づけており、ホール電圧が発生する根源的な理由となります。
• 力のつり合い（ローレンツ力と静電気力）:
  • 核心: 定常状態では、キャリアは合力がゼロの状態で直進します。すなわち、磁場からのローレンツ力 \(F_L = qvB\) と、ホール電場からの静電気力 \(F_E = qE\) が大きさが等しく逆向きにつりあいます。
  • 理解のポイント: \(qE = qvB\) という式が、この問題の物理的な核心を捉えた最も重要な関係式です。
• 電流とキャリアの関係:
  • 核心: マクロな量である電流 \(I\) は、ミクロな量であるキャリアの数密度 \(n\)、電気量 \(q\)、速さ \(v\)、そして導体の断面積 \(S\) を用いて \(I=nqSv\) と表せること。
  • 理解のポイント: この式により、測定可能な電流 \(I\) と、求めたいキャリアの密度 \(n\) を結びつけることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • キャリアが負電荷（電子）の場合: キャリアが電子の場合、電流の向きとキャリアの運動の向きが逆になります。これにより、ローレンツ力の向き、偏る電荷の符号、ホール電場の向きがすべて逆転します。
  • ホール係数を求める問題: ホール係数 \(R_H = \displaystyle\frac{E_x}{J_y B_z}\)（ホール電場を電流密度と磁場で割ったもの）を求める問題。\(R_H = \displaystyle\frac{1}{nq}\) となることを導出させ、キャリアの密度や符号を調べるのに使われます。
  • 異なる物理量を求める問題: 例えば、キャリアの速さ \(v\) やホール電場 \(E\) を問う問題。力のつり合いの式や電位と電場の関係式を適宜使い分けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸と辺の長さの対応をメモする: まず、図からx方向の長さ=\(a\), y方向の長さ=\(c\), z方向の長さ=\(b\) という対応関係を正確に書き出します。これを間違うと全ての計算が崩れます。
  2. 力の向きを徹底的に作図する: キャリアの運動方向（電流の向きと符号で判断）、磁場の向きから、フレミングの左手の法則でローレンツ力の向きを決定します。次に、キャリアが偏ることで生じる電場の向き、そしてその電場から受ける静電気力の向きを図に描き込みます。
  3. 「力のつり合い」と「電位の式」を立てる: 状況が把握できたら、まず「\(qE = qvB\)」と「\(V = Ed\)」の2つの式を立てます。この際、電位差の間の距離 \(d\) がどの辺の長さ（この場合は \(a\)）に対応するかを慎重に判断します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 座標軸と辺の長さの混同:
  • 誤解: 図に示された \(a\), \(b\), \(c\) が、それぞれどの方向の長さを表しているかを誤って解釈する。
  • 対策: 問題を解き始める前に、各軸方向の長さを明確にメモする習慣をつけます。「x方向→\(a\), y方向→\(c\), z方向→\(b\)」のように、物理的な方向と記号を対応させます。
• 電流の断面積 \(S\) の間違い:
  • 誤解: 電流の公式 \(I=nqSv\) に用いる断面積 \(S\) を、適当な面の面積（例えば \(ac\) や \(bc\)）にしてしまう。
  • 対策: \(S\) は常に「電流の進行方向に垂直な断面積」である、と定義に立ち返ります。この問題では電流がy軸方向に進むため、それに垂直なx-z平面の面積、すなわち \(S=ab\) を選択します。
• 電位差と距離 \(d\) の間違い:
  • 誤解: 電位と電場の関係式 \(V=Ed\) に用いる距離 \(d\) を、適当な辺の長さ（例えば \(b\) や \(c\)）にしてしまう。
  • 対策: \(d\) は「電場と同じ方向の、電位差を測定する2点間の距離」である、と定義に立ち返ります。この問題では電場がx軸方向に生じるため、その方向の長さである \(a\) を選択します。
• 負電荷キャリアの扱い:
  • 誤解: キャリアが負電荷の場合でも、電流の向きとキャリアの運動方向を同じとみなしてフレミングの法則を適用してしまう。
  • 対策: 「電流の向き＝正電荷の運動の向き」と定義されていることを常に意識します。キャリアが負電荷なら、その運動方向と「逆向き」をフレミングの法則における「電流の向き」として適用します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(qE = qvB\)):
  • 選定理由: ホール効果における定常状態を記述する、最も核心的な物理法則だからです。キャリアが力を受けながらも、なぜ最終的に直進できるようになるのかを説明します。
  • 適用根拠: 磁場による力（ローレンツ力）と、電荷の偏りが生んだ電場による力（静電気力）という、異なる起源を持つ2つの力が釣り合うという条件を数式で表現するために用います。
• 電流のミクロな表現 (\(I=nqSv\)):
  • 選定理由: 測定可能なマクロな量である「電流 \(I\)」と、求めたいミクロな物理量である「数密度 \(n\)」や「速さ \(v\)」とを結びつけるための関係式として選択します。
  • 適用根拠: (3)で \(n\) を求める際に、力のつり合いの式だけでは変数が多くて解けないため、この電流の式を連立方程式の一つとして利用します。
• 電位と電場の関係式 (\(V=Ea\)):
  • 選定理由: 測定可能なマクロな量である「電位差 \(V\)」と、力のつり合いに現れるミクロな世界の「電場 \(E\)」とを結びつけるための関係式として選択します。
  • 適用根拠: (3)で \(n\) を求める際に、力のつり合いの式に含まれる \(E\) を、測定量である \(V\) を使って表現し、消去するために利用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の方針を立てる: (3)のように複数の式を扱う場合、やみくもに代入を始めるのではなく、「最終的に求めたいのは \(n\)。そのために、式①, ②, ③から不要な \(E\) と \(v\) を消去しよう」という明確な方針を立ててから計算に着手します。
• 代入プロセスの可視化: 式①から \(E=vB\)、これを式②に代入して \(V=vBa\)、ここから \(v=\frac{V}{Ba}\) を得る。次にこの \(v\) を式③ \(I=qnabv\) に代入する…というように、一つ一つのステップを丁寧に書き下し、どの文字が消えてどの文字が残るかを確認しながら進めます。
• 約分の確認: \(I = qnab(\frac{V}{Ba})\) のように代入した際、分母と分子に共通の文字（この場合は \(a\)）がないかを確認し、確実に約分します。これを見逃すと、最終的な答えに不要な文字が残ってしまいます。
• 最終的な式の吟味: 得られた答え \(n = \displaystyle\frac{IB}{qbV}\) が、問題で与えられた記号のみで構成されているかを確認します。また、この式はホール係数 \(R_H = \frac{Vb}{IB} = \frac{1}{nq}\) を変形したものであり、物理的に正しい関係式になっていることを確認できます。

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