「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 26】Step 2 (350~359)

Step 2

350 非直線抵抗

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「非線形抵抗（非オーム抵抗）を含む回路の解析」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、電球がオームの法則に従わない「非線形抵抗」であるという点です。抵抗値が電圧によって変化するため、回路方程式を代数的に解くことができません。
そこで、この問題を解くためには、以下の2つの条件を同時に満たす電流\(I\)と電圧\(V\)の組み合わせを見つける必要があります。

1. 電球自身の特性：電球にかかる電圧\(V\)と流れる電流\(I\)の関係は、図1のグラフ（特性曲線）に従う。
2. 回路の制約：電源と5.0Ωの抵抗が、電球に対して課す電圧と電流の関係。これはキルヒホッフの第2法則から導かれる直線の方程式（負荷線）で表される。

この2つの条件をグラフ上で表現し、その「交点」を探すことで、両方の条件を同時に満たす解（回路の動作点）を求める、という図的解法を用いるのが定石です。
この設問における重要なポイント

• 電球がオームの法則に従わない非線形抵抗であることを理解する。
• キルヒホッフの第2法則を用いて、回路の線形部分が作る関係式（負荷線の方程式）を正しく立式する。
• 負荷線をグラフに正確にプロットし、特性曲線との交点を求める。

具体的な解説と立式
回路を流れる電流の強さを\(I \text{ [A]}\)、このとき電球1個にかかる電圧を\(V \text{ [V]}\)とします。
図2の回路は、電源、5.0Ωの抵抗、2個の電球がすべて直列に接続されています。この閉回路に対して、キルヒホッフの第2法則を適用します。
電源の電圧（起電力）は、回路内の各素子での電圧降下の総和に等しくなります。

• 電源の電圧: \(E = 5.0 \, \text{V}\)
• 5.0Ωの抵抗での電圧降下: \(V_R = 5.0 \times I\)
• 電球2個での電圧降下: 2個の電球は同じもので、直列に接続されているため、それぞれに電圧\(V\)がかかります。よって、合計の電圧降下は \(V + V = 2V\) となります。

したがって、キルヒホッフの第2法則より、以下の関係式が成り立ちます。
$$ E = V_R + 2V $$
数値を代入すると、
$$ 5.0 = 5.0 I + 2V $$
この式が、回路の制約条件を表す関係式（負荷線の方程式）となります。

「具体的な解説と立式」で立てた関係式 \(5.0 = 5.0 I + 2V\) を、図1のグラフ（縦軸が\(I\)、横軸が\(V\)）に描き込めるように、\(I\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
5.0 I &= 5.0 – 2V \\[2.0ex]I &= \frac{5.0 – 2V}{5.0} \\[2.0ex]I &= 1.0 – 0.40V
\end{aligned}
$$
この直線（負荷線）をグラフに描くために、直線が通る2点を求めます。

• もし \(V=0\) ならば、\(I = 1.0 – 0 = 1.0 \, \text{[A]}\)。よって、点(\(0 \text{ V}, 1.0 \text{ A}\))を通る。
• もし \(I=0\) ならば、\(0 = 1.0 – 0.40V\)。これを解くと \(0.40V = 1.0\)、よって \(V = \displaystyle\frac{1.0}{0.40} = 2.5 \, \text{[V]}\)。よって、点(\(2.5 \text{ V}, 0 \text{ A}\))を通る。

この2点を結ぶ直線を、図1のグラフに描き加えます。
描いた直線と、もともとある電球の特性曲線との交点の座標を読み取ります。
グラフから、交点は \(V=1.5 \, \text{V}\), \(I=0.40 \, \text{A}\) であることがわかります。
したがって、この回路を流れる電流の強さは \(0.40 \, \text{A}\) です。

この問題の電球は、普通の抵抗と違って、かかる電圧によって性質が変わる気まぐれな部品です。そのため、単純な計算式一発では答えが出せません。そこで、「グラフ」を使って答えを見つける作戦をとります。
まず、回路全体の関係を式にしてみます。電源の5.0Vは、「5.0Ωの抵抗」と「2つの電球」で分け合われます。この関係を式にすると、\(I = 1.0 – 0.40V\) となります。これは、電球がどんな性質であろうと、この回路である限り必ず守らなければならない「回路のルール」です。
一方で、電球には図1のグラフで示される「電球のルール」があります。
実際に回路で流れる電流と電圧は、この「回路のルール」と「電球のルール」を同時に満たす点でなければなりません。
そこで、「回路のルール」を表す直線を、図1のグラフに描き加えます。すると、直線と曲線が1点で交わります。この交点こそが、2つのルールを同時に満たす唯一の点です。その点の電流の値（縦軸の値）を読み取ると、\(0.40 \, \text{A}\) となっています。これが求める答えです。

回路を流れる電流の強さは \(0.40 \, \text{A}\) です。
この結果が正しいか検算してみましょう。
もし電流が \(0.40 \, \text{A}\) ならば、

• 5.0Ωの抵抗にかかる電圧は、\(V_R = 5.0 \, \Omega \times 0.40 \, \text{A} = 2.0 \, \text{V}\)。
• グラフの交点から、このとき電球1個にかかる電圧は \(V = 1.5 \, \text{V}\)。
• 回路全体の電圧降下の合計は、\(V_R + 2V = 2.0 \, \text{V} + 2 \times 1.5 \, \text{V} = 2.0 \, \text{V} + 3.0 \, \text{V} = 5.0 \, \text{V}\)。

これは電源の電圧 \(5.0 \, \text{V}\) とぴったり一致します。したがって、求めた解は正しいことが確認できました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 非線形抵抗の理解:
  • 核心: この問題の最大のポイントは、電球がオームの法則 (\(V=RI\) で \(R\) が一定) に従わない「非線形抵抗」であると認識することです。電圧と電流の関係が、図1のような曲線で与えられます。
  • 理解のポイント: 非線形抵抗を含む回路は、単純な代数計算だけでは解けません。なぜなら、抵抗値\(R\)が電圧\(V\)や電流\(I\)によって変わるため、未知数が多くなりすぎるからです。
• キルヒホッフの第2法則（電圧則）:
  • 核心: 回路がどんな素子を含んでいても、閉回路を一周したときの電圧の関係（起電力の和 = 電圧降下の和）は常に成り立ちます。これは、非線形抵抗を含む回路を解析するための出発点となります。
  • 理解のポイント: この法則を使って、回路の線形部分（電源と5.0Ωの抵抗）が非線形部分（電球）に課す制約条件を数式化します。
• グラフを用いた図的解法:
  • 核心: 「非線形抵抗の特性（グラフ）」と「回路の制約（キルヒホッフの法則から導かれる直線）」という2つの条件を同時に満たす点、すなわちグラフの交点が、回路の実際の動作点（解）になるという考え方。
  • 理解のポイント: この交点の座標 (\(V, I\)) が、実際に電球にかかる電圧と回路に流れる電流を表します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ダイオードを含む回路: ダイオードも代表的な非線形抵抗素子であり、その特性曲線と負荷線の交点を求める問題は頻出です。
  • 並列接続された非線形抵抗: 電球が並列に接続されている場合。キルヒホッフの第1法則（電流則）も併用して負荷線を立式する必要があります。
  • 複数の解を持つ回路: 特性曲線と負荷線が複数点で交わる場合、回路は複数の安定した動作点を持ちうることになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 素子の特性を確認: 問題に電圧-電流のグラフが与えられていたら、それは「非線形抵抗」のサインです。グラフを使わないと解けない可能性が高いと判断します。
  2. 回路方程式を立てる: 非線形抵抗素子（この問題では電球2個）をひとまとまりの「未知の素子」と見なし、それ以外の部分についてキルヒホッフの法則を適用します。
  3. 負荷線を引く準備: 立てた回路方程式を、グラフの軸に合わせて変形します。図1は縦軸が\(I\)、横軸が\(V\)なので、式を「\(I = \dots\)…」の形に変形するのが親切です。
  4. 切片を探す: 負荷線（直線）をグラフに描くには、2点あれば十分です。計算が最も簡単な「縦軸との交点（\(V=0\)の点）」と「横軸との交点（\(I=0\)の点）」を求め、その2点を結びます。
  5. 交点を慎重に読み取る: 描いた直線と元の曲線の交点の座標を、目盛りを間違えないように正確に読み取ります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電球をオームの法則で扱おうとする:
  • 誤解: グラフの特定の点から抵抗値 \(R=V/I\) を計算し、その値を回路計算で使おうとする。しかし、電球の抵抗値は動作点によって変わるため、この方法は使えません。
  • 対策: 「グラフが与えられた非線形素子は、グラフそのものが特性を表す」と割り切り、代数計算で解こうとしないこと。
• 電球2個分の電圧降下を忘れる:
  • 誤解: キルヒホッフの法則を立てる際に、電圧降下を \(5.0I + V\) と計算してしまう。
  • 対策: 回路図をよく見て、電球が2個直列に接続されていることを確認する。直列接続なので、電圧降下は2倍の \(2V\) となります。
• 負荷線の式変形ミス:
  • 誤解: \(5.0 = 5.0I + 2V\) を \(I\) について解く際に、\(I = 1.0 + 0.40V\) のように符号を間違える。
  • 対策: 移項や割り算は、一行ずつ丁寧に行う。\(5.0I = 5.0 – 2V\) のように、まずは求めたい項を左辺にまとめてから、係数で割る手順を踏むとミスが減ります。
• グラフの軸の取り違え:
  • 誤解: 負荷線の切片をプロットする際に、縦軸と横軸を逆にしてしまう。
  • 対策: \(I\)切片は縦軸（電流軸）に、\(V\)切片は横軸（電圧軸）に点を打つことを、指差し確認するなどして徹底する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの第2法則（電圧則）:
  • 選定理由: この問題では、電源、線形抵抗、非線形抵抗が混在する閉回路を扱っています。このような回路全体の電圧のバランスを記述できる普遍的な法則がキルヒホッフの第2法則です。
  • 適用根拠: エネルギー保存則に基づき、回路を一周したときの電位の増減の合計はゼロになります。電源による電位の上昇（起電力）と、各抵抗素子による電位の下降（電圧降下）が釣り合っている、という物理的状況を数式で表現するために選択します。この法則から導かれる「負荷線」は、電源側から見た「電流を流せば流すほど、供給できる電圧はこれだけ下がりますよ」という関係を示しており、非線形素子の特性と連立させることで解を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 検算の徹底:
  • 解として求めた交点の座標 (\(I=0.40 \, \text{A}, V=1.5 \, \text{V}\)) が、負荷線の方程式 \(5.0 = 5.0I + 2V\) を満たすか確認します。
  • 右辺 = \(5.0 \times 0.40 + 2 \times 1.5 = 2.0 + 3.0 = 5.0\)。
  • 左辺の電源電圧 \(5.0 \, \text{V}\) と一致するので、計算は正しいと確信できます。
• グラフのプロットを丁寧に行う:
  • フリーハンドではなく、定規を使って負荷線を引くことで、交点の読み取り精度が上がります。
  • 切片の座標をグラフの余白にメモしておくと、プロットミスを防げます。（例: \(I\)切片 1.0A, \(V\)切片 2.5V）
• 単位の確認: グラフの軸や問題文中の数値の単位（V, A, Ω）を常に意識することで、立式ミスを防ぎます。

351 キルヒホッフの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「キルヒホッフの法則を用いた複雑な直流回路の解析」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この回路は複数の電源と抵抗が複雑に接続されているため、オームの法則だけでは解けません。キルヒホッフの法則を用いて解く必要があります。
未知数は、抵抗\(R_1, R_2, R_3\)を流れる電流\(I_1, I_2, I_3\)の3つです。したがって、これらを求めるためには、独立した方程式が3本必要になります。
方程式は以下の3つの法則を適用して立てます。

1. キルヒホッフの第1法則（電流則）: 分岐点b（またはe）に適用します。
2. キルヒホッフの第2法則（電圧則）: 2つの独立な閉回路に適用します。閉回路の選び方はいくつかありますが（左のループ、右のループ、外周のループなど）、どの組み合わせを選んでも構いません。ここでは、解答例に合わせて「左のループ(efabe)」と「外周のループ(defabcd)」を選びます。

この設問における重要なポイント

• 未知の電流の向きを仮に設定する。計算結果が負になった場合は、仮定した向きが逆だったことを意味する。
• 電圧則を適用する際、閉回路を一周する向きを決め、起電力（電圧を上げる）と電圧降下（電圧を下げる）の符号のルールを統一する。
• 未知数が3つなので、独立な方程式を3本立てる必要がある。

具体的な解説と立式
抵抗\(R_1, R_2, R_3\)に流れる電流を、それぞれ\(I_1, I_2, I_3\)とし、向きを図のように仮定します。

1. キルヒホッフの第1法則: 分岐点bにおいて、流れ込む電流\(I_1\)は、流れ出す電流\(I_2\)と\(I_3\)の和に等しいので、
$$ I_1 = I_2 + I_3 \quad \cdots ① $$

2. キルヒホッフの第2法則:

• 閉回路 efabe について: e→f→a→b→eの向きにたどります。
  起電力\(E_1\)で電圧が \(11 \, \text{V}\) 上がります。抵抗\(R_1\)と\(R_3\)で電圧が下がります。
  $$ E_1 = R_1 I_1 + R_3 I_3 $$
  数値を代入すると、
  $$ 11 = 1.0 I_1 + 2.0 I_3 \quad \cdots ② $$
• 閉回路 defabcd について: d→e→f→a→b→c→dの向きにたどります。
  起電力\(E_2\)と\(E_1\)で電圧が上がります。抵抗\(R_2\)と\(R_1\)で電圧が下がります。
  $$ E_1 + E_2 = R_1 I_1 + R_2 I_2 $$
  数値を代入すると、
  $$ 11 + 22 = 1.0 I_1 + 3.0 I_2 $$
  $$ 33 = 1.0 I_1 + 3.0 I_2 \quad \cdots ③ $$

これで、未知数\(I_1, I_2, I_3\)に対する3本の独立な方程式①, ②, ③が揃いました。

式①を②と③に代入して\(I_1\)を消去します。
式②に①を代入：
$$
\begin{aligned}
11 &= 1.0(I_2 + I_3) + 2.0 I_3 \\[2.0ex]11 &= 1.0 I_2 + 3.0 I_3 \quad \cdots ②’
\end{aligned}
$$
式③に①を代入：
$$
\begin{aligned}
33 &= 1.0(I_2 + I_3) + 3.0 I_2 \\[2.0ex]33 &= 4.0 I_2 + 1.0 I_3 \quad \cdots ③’
\end{aligned}
$$
これで\(I_2\)と\(I_3\)の連立方程式ができました。③’を変形して\(I_3\)を求めます。
$$ I_3 = 33 – 4.0 I_2 $$
これを②’に代入します。
$$
\begin{aligned}
11 &= 1.0 I_2 + 3.0 (33 – 4.0 I_2) \\[2.0ex]11 &= I_2 + 99 – 12 I_2 \\[2.0ex]11 I_2 &= 99 – 11 \\[2.0ex]11 I_2 &= 88 \\[2.0ex]I_2 &= 8.0 \, \text{[A]}
\end{aligned}
$$
求めた\(I_2\)を\(I_3 = 33 – 4.0 I_2\)に代入します。
$$
\begin{aligned}
I_3 &= 33 – 4.0 \times 8.0 \\[2.0ex]&= 33 – 32 \\[2.0ex]&= 1.0 \, \text{[A]}
\end{aligned}
$$
最後に、求めた\(I_2, I_3\)を①に代入して\(I_1\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= I_2 + I_3 \\[2.0ex]&= 8.0 + 1.0 \\[2.0ex]&= 9.0 \, \text{[A]}
\end{aligned}
$$

3つの未知の電流を求めるために、3つのルール（方程式）を見つけます。1つ目は「分かれ道のルール」で、点bで電流\(I_1\)が\(I_2\)と\(I_3\)に分かれることを式にします。2つ目と3つ目は「回路を一周すると電圧は元に戻るルール」を、左側のループと外周全体のループの2か所で使って式を立てます。あとは、中学数学で習った3つの文字の連立方程式を、代入を繰り返して解いていくだけです。

抵抗\(R_1, R_2, R_3\)を流れる電流は、それぞれ \(I_1 = 9.0 \, \text{A}\), \(I_2 = 8.0 \, \text{A}\), \(I_3 = 1.0 \, \text{A}\) です。すべての電流が正の値となったため、最初に仮定した電流の向きは正しかったことがわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問では、「抵抗\(R_3\)を流れる電流を0にしたい」という特別な条件が与えられています。これは、\(I_3=0\)を意味します。この条件を適用すると、回路の状況が(1)から変化し、より単純になります。
\(I_3=0\) ということは、分岐点bとeの間で電流のやり取りがない、すなわちbとeの電位が等しいことを意味します。これはホイートストンブリッジ回路の平衡条件と同じ状況です。
キルヒホッフの第1法則から \(I_1 = I_2\) となり、回路は実質的に、抵抗\(R_1\)と電源\(E_1\)からなるループと、抵抗\(R_2\)と電源\(E_2\)からなるループが並列に接続されているだけと見なせます。
この単純化された回路に対して、キルヒホッフの第2法則を適用し、未知数となった\(R_1\)の値を求めます。
この設問における重要なポイント

• \(I_3=0\) という条件を最初に適用し、回路を単純化する。
• \(I_3=0\) のとき、キルヒホッフの第1法則から \(I_1=I_2\) となる。
• 単純化された2つの独立なループにキルヒホッフの第2法則を適用し、未知数\(R_1\)を求める。

具体的な解説と立式
条件より \(I_3=0\) です。

1. キルヒホッフの第1法則: 分岐点bにおいて、
$$ I_1 = I_2 + I_3 $$
に \(I_3=0\) を代入すると、
$$ I_1 = I_2 \quad \cdots ④ $$

2. キルヒホッフの第2法則:

• 閉回路 efabe について: \(I_3=0\) なので、抵抗\(R_3\)での電圧降下は0になります。
  $$ E_1 = R_1 I_1 + R_3 \times 0 $$
  $$ 11 = R_1 I_1 \quad \cdots ⑤ $$
• 閉回路 bcdeb について: 同様に、\(R_3\)での電圧降下は0です。
  $$ E_2 = R_2 I_2 $$
  $$ 22 = 3.0 I_2 \quad \cdots ⑥ $$

これで、未知数\(R_1, I_1, I_2\)に対する3本の方程式④, ⑤, ⑥が立ちました。

まず、式⑥から\(I_2\)の値を求めます。
$$
\begin{aligned}
I_2 = \frac{22}{3.0} \, \text{[A]}
\end{aligned}
$$
次に、式④ (\(I_1=I_2\)) を用いて、\(I_1\)も同じ値であることがわかります。
$$ I_1 = \frac{22}{3.0} \, \text{[A]} $$
最後に、この\(I_1\)の値を式⑤に代入して、未知数\(R_1\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
11 &= R_1 \times \left( \frac{22}{3.0} \right) \\[2.0ex]R_1 &= 11 \times \frac{3.0}{22} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 3.0 \\[2.0ex]&= 1.5 \, [\Omega]\end{aligned}
$$

真ん中の抵抗に電流が流れないようにするということは、回路の「橋」が落ちているような状態です。すると、電流は左のループと右のループに完全に分かれて流れます。
右のループだけを見ると、22Vの電池と3.0Ωの抵抗がつながっているだけなので、流れる電流\(I_2\)が計算できます。
左のループと右のループはつながっていないので、左のループを流れる電流\(I_1\)は右の\(I_2\)と同じになります。
左のループは、11Vの電池と抵抗\(R_1\)がつながっているだけなので、「\(11 = R_1 \times I_1\)」という式が成り立ちます。ここに先ほど計算した電流\(I_1\)の値を入れれば、抵抗\(R_1\)の値を求めることができます。

抵抗\(R_1\)の値を \(1.5 \, \Omega\) にすれば、抵抗\(R_3\)を流れる電流は0になります。
このとき、点bと点eの電位が等しくなっているか確認してみましょう。点eを基準(0V)とすると、電源\(E_1\)により点fの電位は-11V、電源\(E_2\)により点dの電位は-22Vとなります。
点bの電位は、点cから見ると \(V_c – R_2 I_2\)、点aから見ると \(V_a – R_1 I_1\) です。
より簡単な方法として、点eを基準(0V)とすると、点bの電位は\(R_3\)の両端の電圧が0であることから0Vになるはずです。
点aの電位は、e-f-aとたどると\(+11 \, \text{V}\)です。点bの電位は \(V_a – R_1 I_1 = 11 – 1.5 \times \frac{22}{3.0} = 11 – 11 = 0 \, \text{V}\) となります。
よって、点bと点eの電位はともに0Vとなり、電位差がないため電流が流れないという条件と一致します。結果は妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• キルヒホッフの法則の体系的適用:
  • 核心: 複数の電源や複雑な分岐を持つ回路を解くための唯一の体系的な手法がキルヒホッフの法則です。
  • 理解のポイント:
    • 第1法則（電流則）: 分岐点での電荷の保存を表す。未知電流の数だけ方程式が必要な中で、関係式を1つ提供してくれる。
    • 第2法則（電圧則）: 閉回路でのエネルギーの保存を表す。独立な閉回路の数だけ関係式を提供してくれる。
    • 戦略: 「未知数の数」と「独立な方程式の数」を一致させ、連立方程式を解く、という数学的なアプローチが基本戦略となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 閉回路の選び方:
  • キルヒホッフの第2法則を適用する閉回路は、自由に選べます。計算を楽にするためには、含まれる素子が少ないループや、起電力が1つしか含まれないループを選ぶのがコツです。
  • ただし、選んだループが互いに「独立」である必要があります。例えば、「左ループ」「右ループ」「外周ループ」の3つから式を立てても、外周ループの式は左と右のループの式を足し合わせたものになるため、独立な式は2つしか得られません。
• 電位法による解法:
  • 回路内の一点の電位を基準（例: 0V）と定め、各点の電位を未知数として設定し、方程式を立てる方法です。未知数が電流ではなく電位になるため、特に複雑な回路では見通しが良くなることがあります。
  • (2)で点eの電位を0Vとすると、点bの電位も0Vになる必要があります。点aの電位は+11Vなので、\(V_b = V_a – R_1 I_1 = 0\) から \(11 = R_1 I_1\) という式が直接導けます。
• ホイートストンブリッジとの関連:
  • (2)の「\(I_3=0\)」という条件は、ホイートストンブリッジの平衡条件そのものです。このとき、対角にある抵抗の積が等しくなるという関係（たすき掛けの関係）が有名ですが、この問題では電源が含まれるため、基本に立ち返ってキルヒホッフの法則や電位の考え方で解くのが確実です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電圧則の符号ミス:
  • 誤解: 閉回路をたどる際に、起電力による電圧の上昇と、抵抗による電圧降下の符号を間違える。特に、たどる向きと電流の向きが逆の場合に混乱しやすい。
  • 対策: ①閉回路をたどる向きを矢印で明記する。②その向きに沿って、電池のマイナスからプラスに横切れば「+E」、抵抗を電流と同じ向きに横切れば「-RI」、抵抗を電流と逆向きに横切れば「+RI」というルールを機械的に適用する。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 3元連立方程式を解く過程で、代入や移項、加減法で単純な計算ミスを犯す。
  • 対策: 焦らず、一行ずつ丁寧に式を書く。求めた解を、元の方程式のいずれかに代入して検算する習慣をつける。例えば(1)で求めた解を、使わなかった右側のループの式 \(E_2 = R_2 I_2 – R_3 I_3\) に代入して \(22 = 3.0 \times 8.0 – 2.0 \times 1.0 = 24 – 2 = 22\) となり、成立することを確認する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの法則:
  • 選定理由: オームの法則や抵抗の合成公式は、電源が1つで直列・並列が明確な単純な回路にしか適用できません。この問題のように、複数の電源が異なる場所にあったり、抵抗の接続が複雑だったりする場合には、より普遍的な法則であるキルヒホッフの法則が必要不可欠となります。
  • 適用根拠:
    • 第1法則は、物理学の根幹をなす電荷量保存則の回路における表現です。電流は電荷の流れなので、途中で消えたり生まれたりしない限り、分岐点で流れ込む量と流れ出す量は等しくなければなりません。
    • 第2法則は、同じく物理学の大原則であるエネルギー保存則の回路における表現です。電位は単位電荷あたりの位置エネルギーなので、回路を一周して同じ場所に戻れば、エネルギーの増減はゼロになるはずです。電池でエネルギーを得て（起電力）、抵抗でエネルギーを消費する（電圧降下）という収支が釣り合うことを示しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を省略して式を簡潔に: 立式や計算の途中では、単位を省略して数字と文字だけに集中すると、式がすっきりして見通しが良くなり、ミスが減ります。ただし、最終的な答えには必ず単位をつけます。
• 分数での計算: (2)の \(22/3.0\) のように割り切れない場合は、無理に小数にせず、分数のまま計算を進めることで、丸め誤差なく正確な値を求めることができます。
• 検算の習慣化: 上記の「要注意！」でも触れましたが、求めた解を、立式に使わなかった関係式（例えば別の閉回路の式）に代入して成り立つかを確認する「別ルート検算」は非常に有効です。

352 回路の1点の電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電位の計算とキルヒホッフの法則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

スイッチSが開いているときのA点の電位

思考の道筋とポイント
スイッチSが開いているとき、回路は一本の大きなループ（閉回路）となります。このループに流れる電流の大きさと向きを、まずキルヒホッフの第2法則を用いて求めます。
電流が求まれば、次にA点の電位を計算します。電位は基準点（接地された点、0V）からの電位差なので、基準点からA点まで回路をたどって電位の変化を積算していきます。経路は複数考えられますが、計算しやすい経路を選びます。
この設問における重要なポイント

• スイッチが開いているときは、全体で一つの閉回路とみなす。
• 回路に流れる電流を、キルヒホッフの第2法則で求める。
• 基準点から目標点までの電位の変化を、符号に注意して計算する。

具体的な解説と立式
まず、回路に流れる電流を求めます。スイッチSが開いているとき、回路は\(R_1, R_2, E_1, R_3, E_2, R_4\)がすべて直列に接続された一つのループになります。
電流の向きを反時計回り（A→\(R_1\)→\(R_4\)→\(E_2\)→…の向き）に\(I\)と仮定します。
このループにキルヒホッフの第2法則を適用します。反時計回りに一周すると、
$$ E_2 – E_1 = R_1 I + R_4 I + R_3 I + R_2 I $$
$$ E_2 – E_1 = (R_1 + R_2 + R_3 + R_4)I $$
よって、電流\(I\)は、
$$ I = \frac{E_2 – E_1}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} \quad \cdots ① $$
次に、A点の電位\(V_A\)を求めます。基準点（接地、0V）からA点まで、電池\(E_1\)と抵抗\(R_2\)を通る経路で電位を計算します。
基準点から出発し、まず電池\(E_1\)を正極から負極へ横切るので、電位は\(E_1\)だけ下がります。次に、抵抗\(R_2\)を電流\(I\)と同じ向き（反時計回り）に横切るので、電位は\(R_2 I\)だけ下がります。
したがって、A点の電位\(V_A\)は、
$$ V_A = 0 – E_1 – R_2 I \quad \cdots ② $$

式②に式①を代入して\(V_A\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_A &= -E_1 – R_2 \left( \frac{E_2 – E_1}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} \right) \\[2.0ex]&= \frac{-E_1(R_1 + R_2 + R_3 + R_4) – R_2(E_2 – E_1)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} \\[2.0ex]&= \frac{-E_1 R_1 – E_1 R_2 – E_1 R_3 – E_1 R_4 – R_2 E_2 + R_2 E_1}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} \\[2.0ex]&= \frac{-E_1 R_1 – E_1 R_3 – E_1 R_4 – R_2 E_2}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} \\[2.0ex]&= – \frac{E_1(R_1 + R_3 + R_4) + E_2 R_2}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}
\end{aligned}
$$

スイッチが開いているときは、回路全体が一本の輪になっています。まず、この輪に流れる電流を計算します。2つの電池が逆向きにつながっているので、電圧の差 (\(E_2 – E_1\)) が全体の抵抗 (\(R_1+R_2+R_3+R_4\)) に電流を流します。これで電流\(I\)がわかります。
次に、A点の電位を求めます。アース（地面マーク）の点が電位0Vの基準です。ここからA点まで電位をたどります。電池\(E_1\)を逆向きに通るので電位が\(E_1\)下がり、抵抗\(R_2\)を電流と同じ向きに通るので電位が\(R_2 I\)下がります。したがって、A点の電位は \(0 – E_1 – R_2 I\) となります。この式に先ほど求めた電流\(I\)を代入して整理すれば答えが出ます。

スイッチSが開いているときのA点の電位は、\(- \displaystyle\frac{E_1(R_1 + R_3 + R_4) + E_2 R_2}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}\) です。この式は、回路のすべてのパラメータに依存しており、物理的に妥当な結果です。

スイッチSが閉じているときのA点の電位

思考の道筋とポイント
スイッチSが閉じると、回路は2つの独立したループに分かれます。

• 左ループ: \(R_1, R_2, E_1\) と、スイッチと接地を結ぶ線からなる。
• 右ループ: \(R_3, R_4, E_2\) と、スイッチと接地を結ぶ線からなる。

A点の電位を求めるには、A点が含まれる左側のループだけを考えれば十分です。この左ループに流れる電流をキルヒホッフの第2法則で求め、それを使って基準点からA点までの電位を計算します。
この設問における重要なポイント

• スイッチが閉じると、回路が2つの独立したループに分離されることを見抜く。
• A点の電位は、A点が含まれる左側のループだけで決まる。
• 電流の向きと、電位を追跡する経路の向きの関係に注意して、電圧上昇・降下の符号を正しく判断する。

具体的な解説と立式
左側のループについて考えます。このループに流れる電流を\(I_1\)とします。解答例に合わせて、電流の向きを時計回り（スイッチ→\(R_1\)→A→\(R_2\)→\(E_1\)→接地の向き）と仮定します。
このループにキルヒホッフの第2法則を適用します。基準点（0V）から出発し、時計回りに一周すると、
$$ 0 – R_1 I_1 – R_2 I_1 – E_1 = 0 $$
$$ -E_1 = (R_1 + R_2)I_1 $$
よって、電流\(I_1\)は、
$$ I_1 = – \frac{E_1}{R_1 + R_2} \quad \cdots ③ $$
負号は、仮定した時計回りの向きとは逆、すなわち反時計回りに電流が流れることを意味します。
次に、A点の電位\(V_A\)を求めます。基準点からスイッチを経由して抵抗\(R_1\)を通る経路で電位を計算します。
基準点からスイッチの上までは電位0Vです。そこから抵抗\(R_1\)を、仮定した電流\(I_1\)の向き（時計回り）と逆向きにたどってA点に至ります。電流と逆向きに抵抗をたどるので、電位は\(R_1 I_1\)だけ上がります。
したがって、A点の電位\(V_A\)は、
$$ V_A = 0 + R_1 I_1 \quad \cdots ④ $$
（この立式は、解答のロジックを再現したものです。電流の向きと経路の向きの関係から符号が決まる点に注意が必要です。）

式④に式③を代入して\(V_A\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_A &= R_1 \left( – \frac{E_1}{R_1 + R_2} \right) \\[2.0ex]&= – \frac{R_1 E_1}{R_1 + R_2}
\end{aligned}
$$

スイッチを閉じると、回路は左右に分断されます。A点は左側の回路にあるので、右側は無視してかまいません。
左側の回路は、電池\(E_1\)と抵抗\(R_1, R_2\)がループを作っています。まず、このループに流れる電流\(I_1\)を計算します。
次に、A点の電位を求めます。基準の0V地点（アースとスイッチがつながっている線）から、抵抗\(R_1\)を通ってA点まで電位をたどります。この経路と電流の向きの関係から電位の変化を計算し、A点の電位を求めます。

スイッチSが閉じているときのA点の電位は、\(- \displaystyle\frac{R_1 E_1}{R_1 + R_2}\) です。この結果は、右側の回路（\(R_3, R_4, E_2\)）には依存せず、左側のループのパラメータだけで決まっています。これは、スイッチによって回路が分離されたことを正しく反映しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位の概念と計算:
  • 核心: この問題は、回路の各点の「電位（電気的な高さ）」を求めることが目的です。電位は、基準点（接地、0V）からの電位差として定義されます。
  • 理解のポイント:
    • 基準点（接地）: 電位を測るための原点（0V）です。
    • 電位の追跡: 基準点から目標点まで、回路素子を一つずつ横切るごとに電位がどう変化するかを足し算・引き算していきます。
    • 電位変化のルール:
      • 電池（負→正）: \(+E\) （電位が上がる）
      • 電池（正→負）: \(-E\) （電位が下がる）
      • 抵抗（電流と同じ向き）: \(-RI\) （電位が下がる）
      • 抵抗（電流と逆向き）: \(+RI\) （電位が上がる）
• キルヒホッフの第2法則（電圧則）:
  • 核心: 電位を計算するためには、まず回路に流れる電流を求める必要があります。そのために、キルヒホッフの第2法則を用いて回路方程式を立てます。
  • 理解のポイント: スイッチの開閉によって回路の構造が変わり、適用すべき閉回路も変わるため、それぞれの状況で正しく回路を認識し、方程式を立てる能力が問われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 2点間の電位差: 点Aと点Bの電位差を求めよ、という問題。それぞれの点の電位を求めて引き算するか、AからBまで直接電位を追跡して計算します。
  • コンデンサーを含む直流回路: 十分時間が経過した後、コンデンサーには電流が流れなくなるため、その部分を「断線」と見なして回路の電位を計算し、コンデンサーの極板間の電位差（電圧）や蓄えられる電気量を求める問題。
  • 接地箇所の変更: 接地（基準点）の位置が変わると、回路の各点の電位の値は変わりますが、2点間の「電位差」は変わりません。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 接地（アース）の位置を確認: まず、どこが電位0Vの基準点かを把握します。
  2. スイッチの状態を把握: スイッチが開いているか閉じているかで、電流が流れる経路が全く異なります。それぞれの状態の回路図を頭の中で、あるいは実際に描き直してみます。
  3. 電流の経路を特定: スイッチの状態に応じて、電流が流れる閉回路（ループ）を特定します。
  4. 電流を求める: 特定したループにキルヒホッフの第2法則を適用し、流れる電流を求めます。電流の向きは仮定でOKです。
  5. 電位の追跡経路を選ぶ: 基準点（0V）から目標点（A点）まで、最も計算が簡単な経路を選びます。通常、経由する素子が少ない経路が楽です。
  6. 符号に注意して電位を計算: 選んだ経路に沿って、電位変化のルールに従い、足し算・引き算を実行します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチが開いているときの回路誤認:
  • 誤解: スイッチが開いている部分を無視して、左右のループが独立していると勘違いする。
  • 対策: スイッチが開いているとは、その部分が「断線」している状態です。しかし、回路全体が一本のループを形成している場合、電流はその「断線」部分を迂回して流れます。回路図全体をよく見て、電流が流れる経路を指でなぞって確認しましょう。
• 電位計算の符号ミス:
  • 誤解: 電池や抵抗を横切るときの電位の上昇・下降のルールを混同する。特に、電流の向きと逆にたどる場合の符号を間違えやすい。
  • 対策: 「電流は電位が高い方から低い方へ流れる」という大原則を常に意識する。したがって、電流と同じ向きに抵抗をたどれば必ず電位は下がり（-RI）、逆向きにたどれば必ず電位は上がります（+RI）。
• 電流の向きと計算結果の解釈:
  • 誤解: キルヒホッフの法則で計算した電流が負の値になったときに混乱する。
  • 対策: 電流の値が負になった場合、それは「最初に仮定した向きと逆向きに流れている」ということを意味するだけです。その負の値のまま、電位計算のルールに適用すれば、正しい電位が計算できます。無理に正の値に直して向きを反転させると、かえって混乱のもとになります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電位の追跡計算:
  • 選定理由: 「ある点の電位」を問われた場合、その定義に立ち返るのが最も直接的です。電位の定義は「基準点からの電位差」なので、基準点から目標点までの電位差を計算する、というアプローチが論理的です。
  • 適用根拠: 電位は、重力による位置エネルギーに似たスカラー量（ポテンシャル）です。どの経路をたどっても、始点と終点が同じであれば、その2点間の電位差は同じ値になります。この「経路によらない」性質があるため、我々は最も計算しやすい経路を自由に選んで電位を計算することができます。
• キルヒホッフの第2法則:
  • 選定理由: 電位計算には電流の値が必要です。回路が複雑でオームの法則だけでは電流を求められないため、より普遍的なキルヒホッフの法則を選択します。
  • 適用根拠: エネルギー保存則に基づいています。閉回路を一周すると電位は元に戻る（電位差が0）という法則は、回路の構造や素子の種類によらず常に成り立ちます。これにより、未知の電流を含む方程式を立てることが可能になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 回路図の簡略化: 問題の回路図が複雑な場合、スイッチの状態に応じて、実際に電流が流れる部分だけを抜き出して簡単な回路図を描き直すと、見通しが良くなり、ミスが減ります。
• 文字式の整理: この問題のように、答えが文字式になる場合、計算過程で式が長くなりがちです。共通因数でくくる、通分を丁寧に行うなど、式をできるだけシンプルに保ちながら計算を進めることが重要です。
• 別経路での検算: A点の電位を求めた後、別の経路で基準点からA点までたどって計算し、同じ結果になるかを確認する。例えば、スイッチが開いている場合、基準点→\(E_2\)→\(R_4\)→\(R_1\)→Aという経路でも計算でき、同じ答えになるはずです。これは非常に強力な検算方法です。

353 キルヒホッフの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の電源を含む複雑な直流回路の解析」です。一見すると複雑な回路も、適切な解法を選択することでシステマティックに解くことができます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
一見複雑に見える回路ですが、図をよく見ると、上側の導線(a-b-c)と下側の導線(f-e-d)の間に、3つの要素（\(R_1\)と\(E_1\)、\(R_2\)と\(E_2\)、\(R_3\)）が並列に接続されていることがわかります。このような回路は、各点の電位を基準に考える「電位法」で解くと非常に見通しが良くなります。未知数を上側導線の電位\(V\)のみに設定し、キルヒホッフの法則を適用して解き進めます。
この設問における重要なポイント

• 回路は3つの枝の並列接続とみなせる。
• 電位の基準点（アース、\(0 \text{ V}\)）を自分で設定すると、計算が簡略化される。
• キルヒホッフの第1法則（電流則）: ある点に流入する電流の総和と流出する電流の総和は等しい。ここでは、上側導線全体から流れ出す電流の総和が0であることを利用する。
• オームの法則の拡張: 枝の両端の電位差を\(V_{\text{ab}}\)、枝に含まれる起電力を\(E\)、抵抗を\(R\)とすると、電流\(I\)は \(V_{\text{ab}} = RI \pm E\) の関係を満たす。

具体的な解説と立式
まず、回路の構造を把握し、電位を設定します。

下側の導線 f-e-d の電位を基準、すなわち \(0 \text{ V}\) とします。

上側の導線 a-b-c はすべて導線でつながっているため、電位は等しくなります。この電位を \(V\) とします。

次に、問題文で指定された向き（a→f, b→e, c→d）に流れる電流をそれぞれ \(I_1, I_2, I_3\) とし、各枝について電位の関係式を立てます。

• 枝 a-f: a点の電位は\(V\)、f点の電位は\(0\)。aからfへ向かう途中で抵抗\(R_1\)による電圧降下（\(-I_1 R_1\)）と、電池\(E_1\)の負極から正極への電位上昇（\(-E_1\)ではなく、図からf側が正極なので電位が\(E_1\)だけ上がる）があります。したがって、電位の関係は次のようになります。
  $$ V – I_1 R_1 – E_1 = 0 \quad \cdots ① $$
• 枝 b-e: 同様に、b点の電位は\(V\)、e点の電位は\(0\)。
  $$ V – I_2 R_2 – E_2 = 0 \quad \cdots ② $$
• 枝 c-d: c点の電位は\(V\)、d点の電位は\(0\)。この枝には電池はありません。
  $$ V – I_3 R_3 = 0 \quad \cdots ③ $$

最後に、キルヒホッフの第1法則を適用します。上側の導線(a-b-c)は外部の回路と接続されていないため、ここから3つの枝へ流れ出す電流の総和は0になるはずです。
$$ I_1 + I_2 + I_3 = 0 \quad \cdots ④ $$
これで、未知数 \(I_1, I_2, I_3, V\) に対して4つの方程式が立ちました。これらを連立して解きます。

まず、式①, ②, ③をそれぞれ \(I_1, I_2, I_3\) について解き、式④に代入して電位\(V\)を求めます。

式①より \(I_1 = \displaystyle\frac{V – E_1}{R_1}\)

式②より \(I_2 = \displaystyle\frac{V – E_2}{R_2}\)

式③より \(I_3 = \displaystyle\frac{V}{R_3}\)

これらを式④に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{V – E_1}{R_1} + \frac{V – E_2}{R_2} + \frac{V}{R_3} &= 0 \\[2.0ex]V \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right) &= \frac{E_1}{R_1} + \frac{E_2}{R_2} \\[2.0ex]V \left( \frac{R_2 R_3 + R_3 R_1 + R_1 R_2}{R_1 R_2 R_3} \right) &= \frac{E_1 R_2 + E_2 R_1}{R_1 R_2}
\end{aligned}
$$
この式を\(V\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
V &= \frac{E_1 R_2 + E_2 R_1}{R_1 R_2} \cdot \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} \\[2.0ex]&= \frac{(E_1 R_2 + E_2 R_1)R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}
\end{aligned}
$$
得られた\(V\)を、\(I_1, I_2, I_3\)の式にそれぞれ代入します。

\(I_3\)の計算:
$$
\begin{aligned}
I_3 &= \frac{V}{R_3} \\[2.0ex]&= \frac{E_1 R_2 + E_2 R_1}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}
\end{aligned}
$$
\(I_1\)の計算:
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \frac{V – E_1}{R_1} = \frac{1}{R_1}(V – E_1) \\[2.0ex]&= \frac{1}{R_1} \left( \frac{(E_1 R_2 + E_2 R_1)R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} – E_1 \right) \\[2.0ex]&= \frac{1}{R_1} \left( \frac{E_1 R_2 R_3 + E_2 R_1 R_3 – E_1(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} \right) \\[2.0ex]&= \frac{E_1 R_2 R_3 + E_2 R_1 R_3 – E_1 R_1 R_2 – E_1 R_2 R_3 – E_1 R_3 R_1}{R_1(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} \\[2.0ex]&= \frac{E_2 R_1 R_3 – E_1 R_1 R_2 – E_1 R_3 R_1}{R_1(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} \\[2.0ex]&= \frac{R_1(E_2 R_3 – E_1 R_2 – E_1 R_3)}{R_1(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} \\[2.0ex]&= \frac{E_2 R_3 – E_1 R_2 – E_1 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}
\end{aligned}
$$
\(I_2\)の計算:

\(I_1\)と同様に計算します。
$$
\begin{aligned}
I_2 &= \frac{V – E_2}{R_2} = \frac{1}{R_2}(V – E_2) \\[2.0ex]&= \frac{1}{R_2} \left( \frac{E_1 R_2 R_3 + E_2 R_1 R_3 – E_2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} \right) \\[2.0ex]&= \frac{E_1 R_2 R_3 + E_2 R_1 R_3 – E_2 R_1 R_2 – E_2 R_2 R_3 – E_2 R_3 R_1}{R_2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} \\[2.0ex]&= \frac{R_2(E_1 R_3 – E_2 R_1 – E_2 R_3)}{R_2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} \\[2.0ex]&= \frac{E_1 R_3 – E_2 R_1 – E_2 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}
\end{aligned}
$$

この回路は、3つの電気部品の束が並列につながっていると見ることができます。まず、下の線を地面（電位0V）と決めます。すると、上の線の電位はどこも同じ高さ（電位\(V\)）になります。それぞれの部品の束（枝）について、「上の線の電位\(V\)と、電池と、抵抗での電圧降下を足し引きすると、下の線の電位0Vになる」という式を3本立てます。また、「上の線からは、3方向に電流が出ていくだけで、どこからも入ってこないので、出ていく電流の合計は0になる」という式も立てます。これらの式を組み合わせることで、まず電位\(V\)が求まり、その結果を使って3つの電流\(I_1, I_2, I_3\)を計算することができます。

各抵抗を流れる電流は以下のようになります。

\(I_1 = \displaystyle\frac{E_2 R_3 – E_1 R_2 – E_1 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}\)

\(I_2 = \displaystyle\frac{E_1 R_3 – E_2 R_1 – E_2 R_3}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}\)

\(I_3 = \displaystyle\frac{E_1 R_2 + E_2 R_1}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}\)

これらの結果は、キルヒホッフの法則を正しく適用して得られたものであり、物理的に妥当です。式の形は複雑ですが、これは回路に含まれるすべての要素が相互に影響し合っていることを示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
抵抗\(R_3\)での消費電力\(P_3\)が最大になる条件を求める問題です。\(P_3\)は\(P_3 = R_3 I_3^2\)で与えられます。(1)で求めた\(I_3\)の式は\(R_3\)を含んでいるため、\(P_3\)は\(R_3\)の複雑な関数になります。

この種の問題を解く最もエレガントな方法は、「最大電力供給の定理」を用いることです。この定理は、「負荷抵抗で消費される電力は、負荷抵抗の値が、電源側の内部抵抗（等価抵抗）の値に等しいときに最大になる」というものです。この物理法則を適用すれば、複雑な計算を避けて直ちの答えを導くことができます。
この設問における重要なポイント

• 消費電力の公式: \(P = RI^2\)。
• 最大電力供給の定理: 負荷抵抗 \(R_{\text{負荷}}\) = 電源の内部抵抗 \(R_{\text{内部}}\) のとき、消費電力が最大となる。
• テブナンの定理の考え方: 複雑な回路網の一部を、単一の電圧源と単一の内部抵抗を持つ等価な電源とみなす。
• 等価抵抗の求め方: 対象とする抵抗（ここでは\(R_3\)）を取り外し、回路内のすべての電圧源を短絡（ただの導線とみなす）したときの、その端子から見た合成抵抗を計算する。

具体的な解説と立式
最大電力供給の定理を適用します。この問題では、抵抗\(R_3\)が「負荷」であり、回路のそれ以外の部分が「電源」とみなせます。

\(R_3\)での消費電力が最大になるのは、\(R_3\)の抵抗値が、端子c-dから見た回路の残りの部分の等価抵抗\(R_{\text{等価}}\)に等しくなるときです。
$$ R_3 = R_{\text{等価}} $$
等価抵抗\(R_{\text{等価}}\)を求めるために、以下の手順を踏みます。

1. 回路から抵抗\(R_3\)を一時的に取り外します。
2. 回路内にあるすべての電圧源（\(E_1, E_2\)）を短絡します（内部抵抗が0の導線で置き換えます）。
3. 端子cとdの間から、回路の残りの部分の合成抵抗を計算します。

電圧源を短絡すると、回路は抵抗\(R_1\)と抵抗\(R_2\)が並列に接続されただけの単純な回路になります。

したがって、等価抵抗\(R_{\text{等価}}\)は、\(R_1\)と\(R_2\)の並列合成抵抗となります。
$$ R_{\text{等価}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} $$
よって、\(R_3\)での消費電力が最大になる条件は、
$$ R_3 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} $$
となります。

上記の方針により、複雑な計算は不要です。等価抵抗を求める計算がそのまま答えに繋がります。
$$
\begin{aligned}
R_3 &= R_{\text{等価}} \\[2.0ex]&= \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}
\end{aligned}
$$

コンセントにつなぐ家電（ここでは抵抗\(R_3\)）が、最も大きなパワーを発揮できる特別な条件があります。それは、家電の抵抗値と、コンセントの向こう側にある電源システム全体の抵抗値（内部抵抗）が、ちょうど同じ値になるときです。この問題で「電源システム側の抵抗」を計算するには、まず\(R_3\)を外し、電池（\(E_1, E_2\)）をただの線に変えます。すると、\(R_1\)と\(R_2\)が並列につながっただけの簡単な形になり、この合成抵抗が電源側の抵抗になります。したがって、\(R_3\)がこの合成抵抗と同じ値のときに、消費電力が最大になります。

\(R_3\)での消費電力が最大になるときの\(R_3\)の値は \(\displaystyle\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\) です。

この結果は、物理的に非常に重要な「整合（マッチング）」という概念に対応しており、妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• キルヒホッフの法則の応用（電位法）:
  • 核心: 複雑な回路でも、基準となる電位（アース、\(0 \text{ V}\)）を定め、各点の電位を考える「電位法」を用いることで、機械的かつ見通し良く解けることを理解するのが最も重要です。特に、複数の枝が並列に接続されている回路では絶大な効果を発揮します。
  • 理解のポイント:
    • 電位の基準設定: 回路のどこか一点（通常はアース記号のある場所や、多くの枝が接続する導線）の電位を\(0 \text{ V}\)と自分で決める。
    • 未知電位の設定: 電位が未知の点（導線でつながった一塊）を未知数（\(V_1, V_2, \dots\)）で置く。
    • 電流則の適用: 未知電位の点に流入・流出する電流の総和が0になる、というキルヒホッフの第1法則を立式する。各電流は、枝の両端の電位差とオームの法則から未知電位の式で表せる。
• 最大電力供給の定理:
  • 核心: ある抵抗（負荷）で消費される電力を最大にするには、その抵抗値が「回路のそれ以外の部分」を一つの電源とみなしたときの内部抵抗（等価抵抗）と等しくなればよい、という強力な法則です。
  • 理解のポイント:
    • 負荷と電源の分離: 問題となっている抵抗（ここでは\(R_3\)）を「負荷」、それ以外を「電源」と見なす。
    • 等価抵抗の計算: 「電源」部分の等価抵抗を求めるには、①負荷を外し、②電源内の電圧源をすべて短絡（ただの導線にする）し、③負荷が接続されていた端子から見た合成抵抗を計算する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ブリッジ回路の平衡条件: ホイートストンブリッジ回路で検流計に電流が流れない条件を求める問題。これも各点の電位を比較することで簡単に導出できる。
  • コンデンサーを含む直流回路: 十分時間が経過した後のコンデンサーは、電流を流さない「断線」とみなせる。その部分を取り除いてから、電位法で各点の電位を求め、コンデンサーの電位差と電荷を計算する問題。
  • テブナンの定理を直接使う問題: 複雑な回路に接続された抵抗を流れる電流を、テブナンの定理（等価な電圧源と内部抵抗に置き換える）を用いて求める問題。最大電力供給の定理は、テブナンの定理の応用の一つ。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路のトポロジー（接続構造）を把握する: まず、回路が直列・並列の組み合わせか、ブリッジのような複雑な構造か、あるいは本問のように複数の並列枝に分解できるかを見抜く。図を書き直してみるのも有効。
  2. 解法の選択:
     • 単純な直並列回路 → 合成抵抗を計算。
     • 複数の電源や複雑な接続 → キルヒホッフの法則（ループ法 or 電位法）を選択。特に並列枝が多い場合は「電位法」が有利。
     • 特定の抵抗での「最大電力」を問われたら → 「最大電力供給の定理」を真っ先に疑う。
  3. 電流の向きの仮定: キルヒホッフの法則でループを考える場合、電流の向きを最初に仮定する。計算結果が負になれば、仮定した向きと逆だったとわかるだけなので、恐れずに設定する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• キルヒホッフ第2法則での符号ミス:
  • 誤解: ループを一周する際に、起電力のプラス・マイナスや、抵抗での電圧降下の符号を間違える。
  • 対策: 「電位が上がるか下がるか」を常に意識する。①抵抗を電流と同じ向きに通るときは電位が下がる（\(-RI\)）。②電池を負極から正極へ通るときは電位が上がる（\(+E\)）。このルールを機械的に適用する。電位法を使えば、このループ計算自体を避けられる場合も多い。
• 最大電力問題での勘違い:
  • 誤解: \(P_3 = R_3 I_3^2\) の式を見て、\(R_3\)が大きいほど\(P_3\)も大きくなると単純に考えてしまう。(\(I_3\)自身が\(R_3\)に依存して変化することを見落としている)
  • 対策: 変化する変数が複数ある場合、一つの変数（この場合は\(P_3\)）が最大になる条件は、単純な比例関係では決まらないことを肝に銘じる。必ず、一つの独立変数（\(R_3\)）の関数として式を立ててから、その最大値を考える（微分、相加相乗、または物理法則の適用）。
• 等価抵抗の計算ミス:
  • 誤解: 最大電力供給の定理で等価抵抗を計算する際、電圧源を短絡し忘れたり、開放（断線）してしまったりする。
  • 対策: 「等価抵抗を求めるときは、電圧源は短絡、電流源は開放」と明確に覚える。（高校物理では主に電圧源なので「電圧源は短絡」と覚えればよい）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電位法（キルヒホッフの法則の応用）:
  • 選定理由: (1)のように、複数の電源を含み、一見して直並列に分解できない回路では、未知数が多くなりがちなループ法（閉回路ごとに式を立てる方法）よりも、未知電位の数だけ方程式を立てればよい電位法の方が、未知数が少なくなり、計算が楽になることが多い。
  • 適用根拠: 回路内のどの点においても、キルヒホッフの第1法則（電流則）は普遍的に成立する。また、オームの法則は任意の2点間の電位差と電流の関係を示している。これらを組み合わせることで、回路全体の状態を記述できる。
• 最大電力供給の定理:
  • 選定理由: (2)のように「消費電力の最大値」を問う問題に対する、最も物理的で計算量の少ない解法だから。微分や相加相乗平均といった数学的テクニックに頼る前に、まず適用できないか検討すべき物理法則である。
  • 適用根拠: この定理は、より一般的な「テブナンの定理」から導かれる。テブナンの定理は、どんな複雑な線形回路網でも、ある2端子から見れば「理想的な電圧源と内部抵抗の直列接続」として等価的に扱えることを保証している。この単純化されたモデルで電力を計算すると、負荷と内部抵抗が等しいときに最大になることが数学的に示される。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の整理: (1)の計算過程のように、分母に分数を含むような複雑な式（繁分数式）を扱う際は、まず分母と分子に同じ値を掛けて分母を払うなど、一段階ずつ丁寧に整理する。
• 文字式の展開・因数分解: \( (R_1+R_2)^2 \) のような展開や、共通因数でくくる操作は、焦ると符号や係数を間違えやすい。計算用紙に大きく、丁寧に書くことを心がける。
• 物理量の次元（単位）チェック: 例えば、抵抗を求めているのに、計算結果の単位が抵抗の単位（オーム）にならない場合（例: \(R_1/R_2\)）、どこかで計算を間違えている可能性が高い。最終的な答えだけでなく、途中の式でも次元が合っているかを確認する癖をつける。
• 極端な場合を考える（検算）: 例えば、もし\(R_2=0\)（短絡）だったらどうなるか、\(R_2 \rightarrow \infty\)（断線）だったらどうなるか、などを考えてみる。求めた式にその値を代入してみて、物理的に妥当な結果（例: 電流が0になる、など）になるかを確認するのも有効な検算テクニック。

354 コンデンサーの充電・放電

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーを含む直流回路における過渡現象（充電・放電）」です。スイッチを操作した瞬間の回路の振る舞いを正しく理解することが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
\(R_2\)を流れる電流の時間変化を知るには、回路の状態が最も単純になる2つの時点、すなわち「スイッチを閉じた直後」と「十分時間が経過した後（充電完了後）」を考えるのが定石です。この2つの時点での電流値を求め、その間をなめらかに繋ぐことでグラフの概形を描きます。
この設問における重要なポイント

• スイッチON直後 (\(t=0\)): コンデンサーに電荷は蓄えられていないため、電圧は0です。電圧が0の電気素子は「短絡（導線）」とみなすことができます。
• 充電完了後 (\(t \rightarrow \infty\)): コンデンサーへの電流の流入が止まります。電流が流れない部分は「断線（開放）」とみなすことができます。
• 過渡状態 (充電中): コンデンサーに電荷が溜まるにつれてコンデンサーの電圧が上昇し、それに伴って回路の各部に流れる電流も連続的に変化します。

具体的な解説と立式
スイッチを閉じた直後 (\(t=0\))

コンデンサーCに電荷はないため、Cの両端の電位差は \(0 \text{ V}\) です。これは、Cの部分が導線で短絡されているのと同じ状態とみなせます。

このとき、抵抗\(R_1\)の両端の電位差も0になるため、\(R_1\)には電流が流れません。

したがって、回路は電池Eと抵抗\(R_2\)だけが接続された単純な回路と見なせます。

このときの\(R_2\)を流れる電流を \(i_{\text{初}}\) とすると、オームの法則より、
$$ E = R_2 i_{\text{初}} $$

十分時間が経過した後（充電完了後, \(t \rightarrow \infty\))

コンデンサーの充電が完了すると、コンデンサーの枝には電流が流れなくなります。これは、その部分が断線しているのと同じ状態とみなせます。

したがって、回路は電池E、抵抗\(R_1\)、抵抗\(R_2\)が直列に接続された回路と見なせます。

このときの\(R_2\)を流れる電流を \(i_{\text{終}}\) とすると、回路全体の合成抵抗は \(R_1+R_2\) なので、オームの法則より、
$$ E = (R_1+R_2)i_{\text{終}} $$

グラフの形状

時刻\(t=0\)で電流は \(i_{\text{初}}\) で最大値をとります。時間が経つにつれてコンデンサーに電荷が蓄えられ、コンデンサーの電圧が上昇します。すると、抵抗\(R_1\)にも電圧がかかり始め、その分だけ抵抗\(R_2\)にかかる電圧が減少していきます。その結果、\(R_2\)を流れる電流は \(i_{\text{初}}\) から \(i_{\text{終}}\) へと、なめらかに減少していきます。

スイッチを閉じた直後の電流 \(i_{\text{初}}\) を求めます。
$$ i_{\text{初}} = \frac{E}{R_2} $$
充電完了後の電流 \(i_{\text{終}}\) を求めます。
$$ i_{\text{終}} = \frac{E}{R_1+R_2} $$

スイッチを入れた瞬間、コンデンサーは空っぽなので、電気を勢いよく吸い込もうとします。このとき、コンデンサーは「ただの導線」のように振る舞い、隣の抵抗\(R_1\)は無視（ショート）されます。そのため、電流は電池と\(R_2\)だけで決まり、\(E/R_2\)となります。

時間が経ってコンデンサーが電気で満タン（充電完了）になると、もう電気は流れ込めません。このとき、コンデンサーは「道が途切れた断線」状態になります。電流は\(R_1\)と\(R_2\)の両方を通るしかなくなり、抵抗が合計\(R_1+R_2\)になるので、電流は\(E/(R_1+R_2)\)に落ち着きます。

グラフは、この最初の勢いのある状態から、だんだん落ち着いて最後の状態になる様子を描けばよいのです。

抵抗\(R_1\)は正の値なので、\(R_2 < R_1+R_2\) であり、したがって \(\displaystyle\frac{E}{R_2} > \frac{E}{R_1+R_2}\) となります。つまり、\(i_{\text{初}} > i_{\text{終}}\) であり、電流が時間とともに減少するという結果は物理的に妥当です。

グラフは、縦軸を電流\(i\)、横軸を時間\(t\)とし、\(t=0\)で \(i=\displaystyle\frac{E}{R_2}\) の点から出発し、\(i=\displaystyle\frac{E}{R_1+R_2}\) の直線に漸近する、単調に減少する曲線を描きます。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチSを開くという操作を境に、前後の状態を考えます。重要なのは「コンデンサーの電圧は急に変われない」という性質です。まずSを開く直前のコンデンサーの電圧を求め、その電圧を保ったままSが開かれた直後の回路で何が起こるかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 充電完了後の電圧: 充電が完了した状態では、コンデンサーの枝に電流は流れません。このとき、コンデンサーと並列に接続されている抵抗\(R_1\)の電圧が、そのままコンデンサーの電圧になります。
• 電圧の連続性: スイッチを切り替える前後で、コンデンサーの電圧は変化しません。
• 放電回路: Sを開くと、電池Eを含む部分は回路から切り離され、コンデンサーを電源とする新たな閉回路が形成されます。

具体的な解説と立式
Sを開く直前（充電完了後）

問(1)で考えたように、充電が完了した回路には定常電流 \(i_{\text{終}} = \displaystyle\frac{E}{R_1+R_2}\) が流れています。

このとき、コンデンサーCには電流が流れていないため、Cの両端の電位差（電圧）\(V_C\)は、並列に接続されている抵抗\(R_1\)の両端の電位差\(V_1\)に等しくなります。

オームの法則より、\(V_1\)は、
$$ V_C = V_1 = R_1 i_{\text{終}} \quad \cdots ① $$

Sを開いた直後

スイッチSを開くと、電池Eと抵抗\(R_2\)は回路から切り離されます。

その結果、コンデンサーCと抵抗\(R_1\)からなる閉回路が形成されます。

「コンデンサーの電圧は瞬間的に変化できない」という性質から、Sを開いた直後のコンデンサーの電圧は、開く直前の電圧\(V_C\)と等しいままです。

このコンデンサーが電源となり、抵抗\(R_1\)に放電電流を流します。求める電流を\(I\)とすると、この閉回路についてオームの法則を立てると、
$$ V_C = R_1 I \quad \cdots ② $$

まず、Sを開く直前のコンデンサーの電圧\(V_C\)を、式①を用いて計算します。
$$
\begin{aligned}
V_C &= R_1 i_{\text{終}} \\[2.0ex]&= R_1 \left( \frac{E}{R_1+R_2} \right)
\end{aligned}
$$
次に、この\(V_C\)を式②に代入して、Sを開いた直後の電流\(I\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{V_C}{R_1} \\[2.0ex]&= \frac{1}{R_1} \left( R_1 \frac{E}{R_1+R_2} \right) \\[2.0ex]&= \frac{E}{R_1+R_2}
\end{aligned}
$$

まず、スイッチを開く直前のコンデンサーの「やる気」（電圧）を調べます。充電が終わったとき、コンデンサーと抵抗\(R_1\)は隣り合っており、同じ電圧になっています。この電圧は「\(R_1\) × そのときの電流」で計算できます。

次に、スイッチを開きます。コンデンサーは蓄えた電気をすぐには失えないので、開いた瞬間も同じ「やる気」（電圧）を保っています。

このコンデンサーが電池の代わりとなって、抵抗\(R_1\)だけの回路に電流を流します。流れる電流は「コンデンサーの電圧 ÷ \(R_1\)」で求められます。

Sを開いた直後に\(R_1\)に流れる電流は \(\displaystyle\frac{E}{R_1+R_2}\) となります。

興味深いことに、この電流値は、Sを閉じて充電が完了したときに\(R_1\)（および\(R_2\)）に流れていた電流値と全く同じです。これは、Sを開くことで\(R_2\)が切り離されても、\(R_1\)とCからなる部分の電圧と抵抗の関係は直後では変わらないため、流れる電流も変わらないということを意味しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コンデンサーの過渡現象における2つの状態:
  • 核心: コンデンサーを含む回路のスイッチを操作したときの問題は、必ず「操作直後」と「十分時間経過後」の2つの極端な状態を考えるのが鉄則です。この2つの状態では、コンデンサーを単純な回路素子として扱えることを理解するのが全てです。
  • 理解のポイント:
    • スイッチON直後（または放電開始直後）: コンデンサーの電圧は変化する前の値を保ちます。特に、電荷0から充電を開始する場合は電圧が0なので「短絡（ショート）」とみなせます。
    • 十分時間経過後（充電完了後）: コンデンサーへの電流の流入・流出が止まるため、「断線（開放）」とみなせます。
• コンデンサーの電圧の連続性:
  • 核心: コンデンサーに蓄えられている電荷 \(Q=CV\) は、物理的に電荷が移動しない限り変化しません。スイッチの切り替えのようなごく短い時間では電荷は移動できないため、コンデンサーの電圧\(V\)はスイッチ操作の前後で連続である（値が変わらない）と考えます。
  • 理解のポイント: この性質により、ある操作の「直後」の状態は、その「直前」の状態で決まる、という時間的な繋がりを追うことができます。問(2)はこの典型例です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • コイルを含む直流回路: コイルはコンデンサーと対照的な振る舞いをします。スイッチON直後は電流を流すまいとして「断線」のように、十分時間経過後はただの導線なので「短絡」のように振る舞います。この対応関係を覚えておくと応用が効きます。
  • 複数のコンデンサーや抵抗を持つ回路: 回路が複雑になっても、「直後」と「十分後」の等価回路を考える基本方針は全く同じです。それぞれの等価回路でキルヒホッフの法則を適用します。
  • 繰り返しスイッチをON/OFFする問題: スイッチを開いて放電し、再び閉じて充電する…という操作を繰り返す問題。各操作の直前・直後の電圧の連続性を丁寧に追っていくことで解けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 時間軸を意識する: 問題文が「スイッチを閉じた直後」「充電が終わった後」「Sを開いた直後」など、どの時点について問うているのかを正確に把握します。
  2. 等価回路を描く: 各時点について、コンデンサーを「短絡」や「断線」に置き換えた等価的な回路図を自分で描いてみる。これにより、回路構造が単純化され、見通しが格段に良くなります。
  3. 「直前」の状態は何か？: 「〜した直後」を問われたら、必ずその「直前」の回路がどのような定常状態にあったかを確認します。特にコンデンサーの電圧がいくらであったかが、次の状態の初期条件になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「直後」と「十分後」の混同:
  • 誤解: スイッチを閉じた直後の問題を解くべきなのに、十分時間が経った後の「断線」状態を考えてしまう。
  • 対策: 問題文の「直後」という言葉に印をつけるなどして、強く意識する。「直後」→「コンデンサーはまだ変化していない（電圧が直前のまま）」→「短絡 or 電圧源」と機械的に連想する訓練をする。
• コンデンサーの電圧と電池の電圧の混同:
  • 誤解: (2)で、Sを開いた直後のコンデンサーの電圧を、電池の電圧\(E\)だと勘違いしてしまう。
  • 対策: コンデンサーは常に電池と同じ電圧になるとは限りません。必ず、そのコンデンサーと並列になっている部分の電圧がいくらかを計算する癖をつける。充電完了時は、\(R_1\)と並列なので、\(R_1\)の電圧に等しくなります。
• Sを開いた後の回路の誤認:
  • 誤解: (2)でSを開いた後も、電池Eが回路に繋がっていると考えてしまう。
  • 対策: スイッチが開いた部分は、物理的に回路が切断されていることを意味します。Sが開いた後の回路図を、元の図から関係ない部分を消して、新たに描き直すことが最も確実な対策です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• コンデンサーの等価的扱い（短絡・断線）:
  • 選定理由: これらは厳密な物理法則ではありませんが、過渡現象の初期状態と最終状態を解析するための、非常に強力で実用的な「モデル化」です。微分方程式を解かなくても、回路の振る舞いの要点を掴むことができます。
  • 適用根拠:
    • 短絡モデル (\(t=0\)): \(Q=CV\) で、\(t=0\) のとき \(Q=0\) なので \(V=0\)。電圧が0の素子は、機能的に導線（短絡）と同じだからです。
    • 断線モデル (\(t \rightarrow \infty\)): 定常状態では、電荷の時間変化、すなわち電流 \(I = \frac{dQ}{dt}\) が0になります。電流が流れない素子は、断線と同じだからです。
• オームの法則 (\(V=IR\)):
  • 選定理由: 各時点での等価回路における、電圧、電流、抵抗の関係を定量的に求めるために不可欠な基本法則です。
  • 適用根拠: 回路の抵抗部分では、常にオームの法則が成り立っています。等価回路が確定すれば、あとは単純な直流回路の問題として、この法則を適用するだけです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算: (2)の答え \(\displaystyle\frac{E}{R_1+R_2}\) のような、文字を含む分数の計算は基本です。特に、\(R_1 i_{\text{終}}\) のような計算で、\(i_{\text{終}}\) の式を代入する際に、約分などを慌てず正確に行うことが重要です。
• 回路図の簡略化: 複雑な回路は、問題の状況に合わせて自分で簡単な図に描き直すことが、ケアレスミスを防ぐ最善策です。不要な部分を消したり、等価な素子に置き換えたりすることで、どの公式を適用すべきかが明確になります。
• 単位の確認: 最終的に電流を求めているのに、答えの次元が \(E/R\)（電圧/抵抗）になっていなければ、どこかで計算ミスをしています。常に物理的な次元を意識する癖をつけましょう。

355 ホイートストンブリッジ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ホイートストンブリッジ回路の平衡条件の導出」です。電気回路における重要な概念の一つであり、精密な抵抗測定などに応用されます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、ホイートストンブリッジの「平衡条件」として知られる公式を導出する、典型的な証明問題です。証明の出発点は、問題文で与えられた「検流計Gを流れる電流が0」という条件です。この物理的状況を、数式で扱える「電位」の言葉でどう表現するかが鍵となります。電流が流れないということは、そこには電位差がない、つまり2点の電位が等しいということです。この一点さえ押さえれば、あとはオームの法則に従って立式し、簡単な計算で証明が完了します。
この設問における重要なポイント

• ブリッジ回路の平衡条件: 検流計Gに電流が流れない状態を指す。
• 電位の相等: Gに電流が流れない \(\iff\) Gの両端の点の電位が等しい。
• 電流の経路: Gに電流が流れない場合、電源から出た電流は、上の枝（\(R_1\)と\(R_3\)）と下の枝（\(R_2\)と\(R_4\)）に分かれて流れる。それぞれの枝は、たがいに影響しない独立した直列回路と見なすことができる。

具体的な解説と立式
まず、回路図の各点に名前を付けます。検流計Gが接続されている2点を、それぞれC点、D点とします。

問題の条件である「検流計Gを流れる電流が0」とは、C点とD点の間に電位差がない、すなわち2点の電位が等しいことを意味します。
$$ V_C = V_D \quad \cdots ① $$
このとき、キルヒホッフの第1法則より、抵抗\(R_1\)を流れた電流はすべて抵抗\(R_3\)に流れます。同様に、抵抗\(R_2\)を流れた電流はすべて抵抗\(R_4\)に流れます。

そこで、枝C側（\(R_1\)と\(R_3\)）を流れる電流を \(i_1\)、枝D側（\(R_2\)と\(R_4\)）を流れる電流を \(i_2\) と置きます。

ここで、電池の上側の接続点（\(R_1\)と\(R_2\)の接続点）の電位を\(V_A\)、下側の接続点（\(R_3\)と\(R_4\)の接続点）の電位を\(V_B\)とします。

C点とD点の電位は、\(V_A\)を基準に考えると、それぞれの抵抗での電圧降下分だけ低くなります。
$$ V_C = V_A – R_1 i_1 $$
$$ V_D = V_A – R_2 i_2 $$
これらを式①に代入すると、
$$ V_A – R_1 i_1 = V_A – R_2 i_2 $$
したがって、次の関係式が成り立ちます。
$$ R_1 i_1 = R_2 i_2 \quad \cdots ② $$
同様に、C点とD点の電位は、\(V_B\)を基準に考えると、それぞれの抵抗での電圧降下分だけ高くなります。
$$ V_C = V_B + R_3 i_1 $$
$$ V_D = V_B + R_4 i_2 $$
これらを式①に代入すると、
$$ V_B + R_3 i_1 = V_B + R_4 i_2 $$
したがって、次の関係式も成り立ちます。
$$ R_3 i_1 = R_4 i_2 \quad \cdots ③ $$

式②と式③の2つの関係式が得られました。この2式から、電流\(i_1, i_2\)を消去します。

電池が接続されているので \(i_1 \neq 0, i_2 \neq 0\) です。したがって、式②と式③の辺々を割り算することができます。

式② ÷ 式③ を計算すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{R_1 i_1}{R_3 i_1} &= \frac{R_2 i_2}{R_4 i_2}
\end{aligned}
$$
両辺の \(i_1\) と \(i_2\) を約分します。
$$ \frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4} $$
この式の両辺に \(R_3 R_4\) を掛けて、分母を払います。
$$ R_1 R_4 = R_2 R_3 $$
これにより、証明すべき関係式が導かれました。

この回路の「検流計に電流が流れない」という状態は、川の合流点で、2つの支流の水位が全く同じために水が横に流れない、という状況に似ています。

「水位」が「電位」に対応します。検流計の両端の電位が等しいのです。

これは、スタート地点（電池のプラス側）から見て、\(R_1\)を通って下がる電位と、\(R_2\)を通って下がる電位が等しいことを意味します。これが \(R_1 i_1 = R_2 i_2\) という式です。

同様に、ゴール地点（電池のマイナス側）から見ても、\(R_3\)を通って上がる電位と、\(R_4\)を通って上がる電位が等しくなります。これが \(R_3 i_1 = R_4 i_2\) です。

この2つの式を割り算すると、電流\(i_1, i_2\)がきれいに消えて、抵抗だけの関係式 \(R_1 R_4 = R_2 R_3\) が得られます。

以上の計算により、検流計Gを流れる電流が0の場合、各抵抗の抵抗値が \(R_1 R_4 = R_2 R_3\) の関係を満たすことが示されました。

この関係は、ブリッジ回路の「対岸」にある抵抗の積が等しくなることを示しており、ホイートストンブリッジの平衡条件として非常に有名です。この関係式が成り立つとき、ブリッジは「平衡状態にある」といいます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位の概念と電流の関係:
  • 核心: この問題の全ては、「電流は電位が高い方から低い方へ流れる」という大原則に集約されます。したがって、「電流が流れない」という条件は、2点間の「電位が等しい」という条件と完全に同値であることを理解するのが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 検流計（ガルバノメータ）: 検流計に電流が流れない \(\iff\) 検流計の両端の電位が等しい。
    • 電圧降下: 抵抗\(R\)に電流\(I\)が流れると、電流の向きに沿って電位が\(V=IR\)だけ下がる（電圧降下）。この関係を使って、各点の電位を数式で表現します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 未知抵抗の測定: ホイートストンブリッジは、3つの既知の抵抗と1つの未知の抵抗で構成し、可変抵抗を調整して平衡状態にすることで、未知の抵抗値を精密に測定するために使われます。\(R_x = R_2 \frac{R_3}{R_4}\) のように、平衡条件の式を変形して未知抵抗を求める問題。
  • ブリッジが平衡していない場合: 検流計に電流が流れる場合の問題。この場合は、キルヒホッフの法則（ループ法や電位法）を本格的に適用して、各枝の電流を連立方程式で解く必要があります。より複雑な計算が求められます。
  • コンデンサーやコイルを含む交流ブリッジ: 直流電源の代わりに交流電源を用いたブリッジ回路。抵抗だけでなく、コンデンサーのリアクタンスやコイルのリアクタンス（インピーダンス）を考慮して平衡条件を求めます。考え方の本質は直流ブリッジと同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の形状を認識する: まず、回路がひし形（ダイヤモンド形）に組まれている「ブリッジ回路」であることを見抜きます。
  2. 「平衡条件」の有無を確認: 問題文に「検流計に電流が流れない」「ブリッジは平衡している」といったキーワードがあるかを探します。あれば、証明した \(R_1 R_4 = R_2 R_3\) の関係式を即座に利用できます。
  3. 電位の基準点を設定する: もし平衡していない回路を解く必要がある場合は、どこか一点（通常は電池の負極側）の電位を\(0 \text{ V}\)と定め、各点の電位を未知数として設定する「電位法」が有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 平衡条件の式の覚え間違い:
  • 誤解: \(R_1 R_3 = R_2 R_4\) のように、隣り合う抵抗の積で式を立ててしまう。
  • 対策: 「たすき掛け」または「対岸の抵抗の積」と覚えるのが効果的です。回路図上で、対角線向かいにある抵抗同士の積が等しくなると視覚的に記憶します。\(R_1\)の対岸は\(R_4\)、\(R_2\)の対岸は\(R_3\)です。
• 電流の分岐の勘違い:
  • 誤解: 検流計に電流が流れないのに、C点やD点で電流がさらに分岐すると考えてしまう。
  • 対策: キルヒホッフの電流則を忠実に適用する。「入ってくる電流 = 出ていく電流」なので、検流計に出ていく電流が0なら、\(R_1\)からの電流はすべて\(R_3\)へ、\(R_2\)からの電流はすべて\(R_4\)へ流れるしかありません。上の枝と下の枝は、それぞれが独立した直列回路と見なせます。
• 証明問題での論理の飛躍:
  • 誤解: 「検流計に電流が流れないから、\(R_1/R_3 = R_2/R_4\)」と、理由を説明せずにいきなり比の式を書いてしまう。
  • 対策: 証明問題では、論理のステップを一つ一つ丁寧に記述することが求められます。「電流0 \(\rightarrow\) 電位が等しい \(\rightarrow\) 電圧降下が等しい (\(R_1i_1=R_2i_2\) かつ \(R_3i_1=R_4i_2\)) \(\rightarrow\) 式の割り算 \(\rightarrow\) 結論」という思考の流れを、省略せずに答案に書く練習をします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電位の相等 (\(V_C = V_D\)):
  • 選定理由: これが問題の出発点です。「電流が0」という情報を、計算可能な数式の世界に持ち込むための唯一の「翻訳ルール」だからです。
  • 適用根拠: 電流の定義そのものに基づいています。電流とは電荷の流れであり、その流れを引き起こす駆動力が電位の差（電位差）です。電位差がなければ、電荷を動かす力も働かず、電流は流れません。
• オームの法則 (\(V=IR\)):
  • 選定理由: 電位の差を、測定可能な量である抵抗と電流を用いて具体的に表現するために使用します。
  • 適用根拠: 抵抗を挟んだ2点間の電位差は、そこを流れる電流と抵抗値に比例するという、実験的に確立された金属導体の基本法則です。これを用いて、\(V_C\)と\(V_D\)の電位を、共通の基準点からの電圧降下として表現することができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の割り算: この問題の計算は、連立方程式を解く際の割り算が中心です。\( \frac{R_1 i_1}{R_3 i_1} = \frac{R_2 i_2}{R_4 i_2} \) のような式変形では、分母と分子を間違えないように慎重に扱います。
• 添字の確認: \(R_1, R_2, R_3, R_4\) や \(i_1, i_2\) など、添字が多い問題では、書き間違いや読み間違いが起こりがちです。立式した際に、回路図と式が正しく対応しているか、指差し確認する習慣をつけましょう。
• 比の形で捉える: 最終的な結論は \(R_1:R_2 = R_3:R_4\) や \(R_1:R_3 = R_2:R_4\) のように、抵抗の比が等しいという形でも表現できます。これは、上の枝と下の枝で、電圧が同じ比率で分割されていることを意味します。このように物理的な意味を考えながら式を扱うと、単純な計算ミスに気づきやすくなります。

356 ホイートストンブリッジの応用

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ホイートストンブリッジの応用と合成抵抗」です。一見して複雑な回路も、部分的に見慣れた構造を見つけ、段階的に簡略化していくことで解くことができます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の最大の鍵は、複雑に見える回路図の中から、見慣れた「ホイートストンブリッジ」の構造を2段階で見つけ出すことです。

第一段階として、回路の左上部分に注目します。5つの抵抗\(R\)で構成されたこの部分は、それ自体がホイートストンブリッジです。しかも、すべての抵抗値が等しいため、この「小ブリッジ」は常に平衡状態にあります。

第二段階として、この平衡した小ブリッジを一つの合成抵抗とみなすことで、回路全体が4つの抵抗要素からなる、より大きなホイートストンブリッジとして見えてきます。

あとは、この「大ブリッジ」に対して平衡条件を適用するだけで、答えが導かれます。
この設問における重要なポイント

• 入れ子構造の認識: 回路の中に、さらに回路が組み込まれている構造を見抜く。
• 平衡ブリッジの性質: 平衡しているホイートストンブリッジの中央の枝には電流が流れない。したがって、この枝は計算上「断線」しているものとして取り除いて考えることができる。
• 等価回路への簡略化: 複雑な回路の一部を、その部分の合成抵抗に置き換えることで、問題全体の見通しを良くする。

具体的な解説と立式
ステップ1: 回路左上部分の解析と簡略化

まず、回路の左上にある、5つの抵抗\(R\)からなる部分（小ブリッジ）に着目します。

この部分は、4つの辺の抵抗と中央の抵抗がすべて\(R\)であるホイートストンブリッジです。

この小ブリッジの平衡条件を確認すると、対角の抵抗の積は \(R \times R = R \times R\) となり、常に成り立っています。

したがって、この小ブリッジは平衡しており、中央の抵抗には電流が流れません。

電流が流れない抵抗は、回路の他の部分に影響を与えないため、取り外して考えることができます。

中央の抵抗を取り除くと、この部分は「抵抗\(R\)が2つ直列につながった枝」と、もう一つ「抵抗\(R\)が2つ直列につながった枝」が、並列に接続された回路と等価になります。

• 上の枝の合成抵抗: \(R_{\text{上}} = R + R = 2R\)
• 下の枝の合成抵抗: \(R_{\text{下}} = R + R = 2R\)

この2つの枝が並列接続されているので、左上部分全体の合成抵抗を\(R_{\text{左上}}\)とすると、
$$ \frac{1}{R_{\text{左上}}} = \frac{1}{R_{\text{上}}} + \frac{1}{R_{\text{下}}} $$

ステップ2: 回路全体の解析

ステップ1の結果を用いて、元の回路の左上部分を、計算した合成抵抗\(R_{\text{左上}}\)一つで置き換えます。

すると、回路全体は以下の4つの抵抗要素からなる、より大きなホイートストンブリッジと見なせます。

• 左上の抵抗: \(R_{\text{左上}}\)
• 左下の抵抗: \(R\)
• 右上の抵抗: \(r\)
• 右下の抵抗: \(R\)

問題の条件は、この大ブリッジの中央にある検流計Gに電流が流れないことなので、このブリッジも平衡状態にあります。

ホイートストンブリッジの平衡条件「対角にある抵抗の積が等しい」を適用すると、
$$ R_{\text{左上}} \times R = R \times r $$

まず、左上部分の合成抵抗 \(R_{\text{左上}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{R_{\text{左上}}} &= \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} \\[2.0ex]&= \frac{2}{2R} \\[2.0ex]&= \frac{1}{R}
\end{aligned}
$$
したがって、\(R_{\text{左上}} = R\) となります。

次に、この結果を大ブリッジの平衡条件の式に代入して、\(r\)を求めます。
$$ R_{\text{左上}} \times R = R \times r $$
$$ R \times R = R \times r $$
両辺を \(R\) (\(R \neq 0\)) で割ると、
$$ r = R $$

このパズルのような回路を解く鍵は、段階的に簡単にすることです。

まず、左上のごちゃっとした部分だけを見てみましょう。これは、全ての抵抗が同じ値\(R\)の「ホイートストンブリッジ」という形をしています。この形は完璧にバランスが取れているので、ど真ん中の抵抗には電流が流れません。電流が流れない線は無いも同然なので、無視できます。

すると、この部分は「\(R\)２つの道」と「\(R\)２つの道」が並行しているだけの簡単な形になり、全体の抵抗を計算すると、驚くことに、たった１つの抵抗\(R\)と同じ働きをすることがわかります。

これで、元の複雑な回路は、左上が\(R\)、左下が\(R\)、右上が\(r\)、右下が\(R\)という、単純な４つの抵抗からなるホイートストンブリッジに姿を変えます。

この大きなブリッジで検流計に電流が流れない条件（対角線上の抵抗の掛け算が等しい）を使うと、「\(R \times R = R \times r\)」となり、答えは「\(r=R\)」だとすぐにわかります。

検流計Gに電流が流れないときの可変抵抗の値は \(r=R\) です。

このとき、回路の右上の抵抗も\(R\)となり、回路全体が左右対称の構造になります。左右対称であれば、中央の検流計を挟んで左右の電位が等しくなるのは直感的にも明らかであり、得られた結果は物理的に非常に妥当であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ホイートストンブリッジの平衡条件の応用:
  • 核心: この問題は、ホイートストンブリッジの平衡条件 \(R_1 R_4 = R_2 R_3\) を、ただ暗記して使うだけでなく、回路の構造を見抜いて応用できるかを試す問題です。特に、「平衡しているブリッジの中央線には電流が流れない」という性質を、回路の簡略化に利用できる点が重要です。
  • 理解のポイント:
    • 条件の認識: まず、回路の一部がブリッジの形をしていることを見抜く。
    • 平衡の確認: そのブリッジが平衡条件を満たしているか（対角の抵抗の積が等しいか）を確認する。
    • 回路の簡略化: 平衡していれば、中央の抵抗は「ないもの」として無視し、回路図をより単純な直列・並列回路に描き直す。
• 等価回路の考え方:
  • 核心: 複雑な回路網の一部を、それと電気的に全く同じ振る舞いをする、より単純な要素（この場合は一つの合成抵抗）に置き換えるという「等価回路」の考え方が、この問題を解くための思考の道具となります。
  • 理解のポイント: 回路を部分に分け、それぞれの部分の「外から見たときの電気的性質（合成抵抗など）」を計算し、その結果を使って全体を再構成する、という多段階のアプローチに慣れることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 立方体の各辺に抵抗を接続した回路: 立方体の対角線上の2点間の合成抵抗を求める問題。回路の対称性を利用して、電位が等しくなる点を見つけ、回路を簡略化して解く点で本問と共通しています。
  • 無限にはしご状に続く抵抗回路: 同じ抵抗の組み合わせが無限に続く回路の合成抵抗を求める問題。これも、回路の一部を等価な抵抗に置き換える考え方を再帰的に利用します。
  • デルタ-スター変換（Δ-Y変換）: 高校範囲を超えることが多いですが、ブリッジが平衡していない場合でも、三角形の抵抗接続（Δ）と星形の抵抗接続（Y）を相互に変換することで、回路を直並列回路に変形して解く高等テクニック。本問のような「構造を見抜く」アプローチの延長線上にあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称性を探す: まず、回路図を眺めて、幾何学的な対称性がないかを探します。対称性があれば、電位や電流にも対称性が現れることが多く、それが問題を解く大きなヒントになります。
  2. 見慣れた形を探す: 複雑な回路の中に、ホイートストンブリッジや、単純な直列・並列接続など、見慣れた部分がないかを探します。回路を「部品」に分解して考える癖をつけます。
  3. 簡略化を試みる: 見つけた部分回路を、より単純な等価回路に置き換えられないか検討します。特にブリッジ回路を見つけたら、まず平衡しているかどうかをチェックするのは定石です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 小ブリッジの平衡に気づかない:
  • 誤解: 左上の部分を複雑な回路網のままとらえてしまい、キルヒホッフの法則で多数の連立方程式を立てようとして計算の迷路にはまり込む。
  • 対策: 抵抗値がすべて同じであるなど、特別な条件が与えられている場合は、何か単純化できる「仕掛け」が隠されていると疑うことが重要です。「すべての抵抗がR」という条件から、左上の小ブリッジが平衡していることに気づくのが第一関門です。
• 合成抵抗の計算ミス:
  • 誤解: 平衡ブリッジの中央線を取り除いた後、上の枝（\(R+R=2R\)）と下の枝（\(R+R=2R\)）の並列接続の計算でミスをする。例えば、\(2R\)と\(2R\)の並列だから\(R\)と直感的にわかる場合でも、計算で \(\frac{1}{R’} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R}\) から \(R’ = R\) を導出する過程で間違える。
  • 対策: 並列抵抗の合成公式は、逆数の和であることに注意する。計算結果が \( \frac{1}{R’} = \frac{1}{R} \) となっても、慌てて \(R’=1/R\) としないように、最後に必ず逆数を取ることを忘れない。
• 大ブリッジの平衡条件の適用ミス:
  • 誤解: 左上部分の合成抵抗を\(R\)と求めた後、大ブリッジの平衡条件を立てる際に、抵抗の配置を間違える。\(R_{\text{左上}}\) と \(r\) が対角にあるのか、隣り合っているのかを混乱する。
  • 対策: 複雑な回路を簡略化したら、必ずその結果を使って新しい等価回路図を自分で描き直すこと。視覚的に確認することで、どの抵抗がどの位置にあるかが明確になり、ケアレスミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ホイートストンブリッジの平衡条件:
  • 選定理由: この問題は、この法則を応用するために作られています。回路の左上部分が「抵抗値が全て等しい」という、平衡条件が明らかに成り立つ状況になっていることが、この法則を使うべき最大のヒントです。また、最終的に検流計Gに電流が流れない条件を求めるため、全体に対してもこの法則を適用します。
  • 適用根拠: 前問で証明したように、ブリッジの中央線の両端で電位が等しくなるための条件が、対角抵抗の積が等しくなることだからです。電位が等しければ電流は流れないため、中央の抵抗は電気的に存在しないのと同じになり、回路から取り除いて考えることができます。
• 合成抵抗の公式:
  • 選定理由: 回路を簡略化する過程で、複数の抵抗を一つの等価な抵抗にまとめるために必要となります。中央線を取り除いた後の回路は、単純な直列・並列回路になるため、これらの基本公式が直接適用できます。
  • 適用根拠: これらの公式は、複数の抵抗を一つの抵抗に置き換えても、回路のその部分にかかる電圧と流れ込む電流の関係が変わらない、という条件から導出されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 段階的な思考: この問題のように構造が複雑な場合、一度に全部を解こうとせず、「まず左上部分を片付ける」「次に全体を見る」というように、問題を分割して段階的に考えることが重要です。
• 図の描き直し: 上記でも述べたように、計算の各ステップで回路がどのように簡略化されたか、その都度図を自分で描き直すことが、思考を整理し、ミスを防ぐ上で非常に有効です。
• 対称性の活用: 答えが出た後、\(r=R\) という結果を見て、「このとき回路は左右対称になるな。それなら検流計に電流が流れないのは当たり前だ」と物理的に納得することができます。このような検算の視点を持つと、答えへの確信が深まります。

357 電位差計

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電位差計の原理と応用」です。電位差計は、未知の電池の起電力などを精密に測定するための装置で、その測定原理を正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

未知の起電力Exと測定可能な最大電圧

思考の道筋とポイント
この回路は「電位差計」と呼ばれます。主回路（電源E、抵抗R、抵抗線AB）は、抵抗線AB上にA点を基準としてB点に向かって直線的に増加する「電圧の物差し」を作る役割を担っています。

分回路（スイッチS、検流計G、測定対象の電池）は、この物差しを使って電圧を測る部分です。検流計Gに電流が流れないのは、測定したい電池の起電力（例: \(E_x\)）と、物差しのAP間の電位差\(V_{AP}\)がちょうど等しくなり、電位が釣り合ったときです。

抵抗線ABは一様なので、電位差\(V_{AP}\)はAからの長さ\(L\)に正比例します。この比例関係を利用すれば、既知の標準電池\(E_s\)との比較で、未知の電池\(E_x\)の起電力を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 電位差計の平衡条件: \(E_{\text{測定対象}} = V_{AP}\)
• 電位降下の比例関係: 一様な抵抗線では、電位差は長さに比例する。(\(V_{AP} \propto L\))
• 比例式の利用: 上記の2つの関係から、\(\displaystyle\frac{E_x}{E_s} = \frac{V_{AP_x}}{V_{AP_s}} = \frac{L_x}{L_s}\) という非常にシンプルな関係が導ける。
• 測定可能な最大電圧: 抵抗線AB全体の電位差\(V_{AB}\)に等しい。

具体的な解説と立式
主回路に流れる定常電流を\(i\)、抵抗線AB（長さ100 cm）の全体の抵抗を\(R_{AB}\)とします。

点Aを基準(\(0\))とすると、Aから距離\(L\)の位置にある点Pの電位\(V_P\)は、AP間の電位差\(V_{AP}\)に等しくなります。

抵抗線は一様なので、AP間の抵抗\(R_{AP}\)は長さに比例し、\(R_{AP} = R_{AB} \times \displaystyle\frac{L}{100}\) と表せます。

オームの法則より、AP間の電位差は、
$$ V_{AP} = i \cdot R_{AP} = i R_{AB} \frac{L}{100} $$
この式から、\(V_{AP}\)は長さ\(L\)に比例することがわかります。

1. 未知の起電力\(E_x\)を求める

スイッチを\(E_s\)側に入れたとき、検流計の電流が0になるのは、\(E_s\)の起電力とAP間の電位差が等しくなるときです。このときの長さを\(L_s = 51.0 \text{ cm}\)とすると、
$$ E_s = i R_{AB} \frac{L_s}{100} \quad \cdots ① $$
同様に、スイッチを\(E_x\)側に入れたとき、検流計の電流が0になるのは、\(E_x\)の起電力とAP間の電位差が等しくなるときです。このときの長さを\(L_x = 76.0 \text{ cm}\)とすると、
$$ E_x = i R_{AB} \frac{L_x}{100} \quad \cdots ② $$

2. 測定可能な最大電圧を求める

この電位差計で測定できる電圧の最大値\(E_{x, \text{最大}}\)は、摺動端子Pを抵抗線の終点Bまで移動させたときの電位差、すなわちAB間の電位差\(V_{AB}\)に等しくなります。
$$ E_{x, \text{最大}} = V_{AB} = i R_{AB} $$
この値は、式①を使って\(E_s\)と\(L_s\)で表すことができます。

\(E_x\)の計算:

式②を式①で割ることで、未知の\(i\)と\(R_{AB}\)を消去します。
$$
\begin{aligned}
\frac{E_x}{E_s} &= \frac{i R_{AB} \frac{L_x}{100}}{i R_{AB} \frac{L_s}{100}} \\[2.0ex]&= \frac{L_x}{L_s}
\end{aligned}
$$
この比例式に数値を代入して\(E_x\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
E_x &= \frac{L_x}{L_s} \times E_s \\[2.0ex]&= \frac{76.0}{51.0} \times 1.02 \\[2.0ex]&= \frac{77.52}{51.0} \\[2.0ex]&= 1.52 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$

測定可能な最大電圧\(E_{x, \text{最大}}\)の計算:

測定可能な最大電圧は、\(L=100 \text{ cm}\)のときの電位差\(V_{AB}\)です。上記と同じ比例関係を用いると、
$$ \frac{E_{x, \text{最大}}}{E_s} = \frac{100}{L_s} $$
この式から\(E_{x, \text{最大}}\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
E_{x, \text{最大}} &= \frac{100}{L_s} \times E_s \\[2.0ex]&= \frac{100}{51.0} \times 1.02 \\[2.0ex]&= \frac{102}{51.0} \\[2.0ex]&= 2.00 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$

この装置は、抵抗線ABの上に「電圧の物差し」を作っています。A点を0Vとすると、B点に向かって電圧が滑らかに高くなっていきます。検流計の針が0になるのは、測りたい電池の電圧と、物差しのP点の電圧がぴったり釣り合ったときです。

電圧は長さに比例するので、「電圧の比 = 長さの比」というとても便利な関係が使えます。

未知の電池\(E_x\)と標準電池\(E_s\)の電圧の比は、釣り合ったときの長さの比「76.0 cm : 51.0 cm」と同じになります。この比例式を使えば、\(E_x\)の電圧が計算できます。

測定できる最大の電圧は、この物差しの最大目盛り、つまりAB間全体の電圧です。これも、標準電池が釣り合った「長さ51.0 cm」と物差し全体の「長さ100 cm」の比を使って、同じように計算できます。

未知の電池の起電力は \(1.52 \text{ V}\) です。この値は標準電池の起電力 \(1.02 \text{ V}\) よりも大きく、釣り合った長さが \(51.0 \text{ cm}\) から \(76.0 \text{ cm}\) へと長くなったことと整合性が取れています。

また、測定可能な最大電圧は \(2.00 \text{ V}\) です。これは抵抗線AB全体にかかる電圧であり、これより大きな起電力を持つ電池はこの装置では測定できないことを意味します。これらの結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電位差計の原理（零位法）:
  • 核心: この問題の根幹は、「検流計に電流が流れない状態（平衡状態）では、測定対象の起電力と、抵抗線の一部分の電位差が完全に等しい」という電位差計の測定原理を理解することです。これにより、測定対象から電流を一切取り出さずに済むため、内部抵抗の影響を受けない正確な起電力が測定できます。
  • 理解のポイント:
    • 平衡条件: \(E_x = V_{AP}\)
    • 零位法の利点: 測定対象に電流が流れない（\(I_x=0\)）ため、\(E_x – r_x I_x\) のような内部抵抗による電圧降下を考慮する必要がない。
• 一様な抵抗線上の電位降下:
  • 核心: 一様な抵抗線に定常電流を流すと、抵抗線上の電位は始点からの長さに比例して直線的に降下します。この性質により、抵抗線が「電圧を長さに変換する物差し」として機能します。
  • 理解のポイント:
    • 比例関係: \(V_{AP} \propto L\) （\(L\)は始点Aからの長さ）
    • 比の利用: この比例関係があるため、2つの異なる測定（例: \(E_s\)と\(E_x\)）について、\(\displaystyle\frac{E_x}{E_s} = \frac{L_x}{L_s}\) という非常にシンプルな比例式が成り立ちます。電流や抵抗の具体的な値を計算する必要がないのがポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 抵抗値の測定: 電位差計を用いて、未知の抵抗\(R_x\)の値を測定する問題。標準抵抗\(R_s\)と直列に接続し、それぞれの両端の電位差を電位差計で測定することで、\(V_x:V_s = R_x:R_s\) の関係から\(R_x\)を求めます。
  • 電流計の校正: 不正確な電流計を流れる電流\(I\)を、標準抵抗\(R_s\)を使って電圧\(V_s=R_sI\)に変換し、その電圧を電位差計で精密に測定することで、電流計の目盛りを校正する問題。
  • 主回路の電流や抵抗を問う問題: 本問のように比の関係だけで解ける問題だけでなく、主回路の電源Eや抵抗Rの値を求める問題。この場合は、\(E_s = V_{AP_s}\) の式を \(E_s = i \cdot R_{AP_s}\) と分解し、さらに \(i = \frac{E}{R+R_{AB}}\) のように主回路のオームの法則と組み合わせて連立方程式を解く必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回路の構造を把握する: まず、回路が「主回路（電源、抵抗線）」と「分回路（測定対象、検流計）」からなる電位差計の基本構造であることを見抜きます。
  2. 「検流計に電流が0」の条件を探す: このキーワードが、電位差計の原理を適用する合図です。
  3. 何と何が釣り合っているか？: 平衡状態において、「測定対象の起電力（または電位差）」と「抵抗線のどの部分の電位差」が等しくなっているのかを正確に対応させます。
  4. 比例式が使えるか判断する: 未知の量を、既知の標準量との「比」で求められるか検討します。本問のように、2つの測定値を比較する形式の問題では、ほとんどの場合、比例式で簡潔に解くことができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 起電力と端子電圧の混同:
  • 誤解: なぜこの方法で「起電力」が測れるのかを理解せず、単に電圧を測る装置だと考えてしまう。
  • 対策: 零位法の本質を理解することが重要です。測定対象の電池に電流が流れていない（\(I_x=0\)）からこそ、その端子電圧 \(V_x = E_x – r_x I_x\) が起電力\(E_x\)そのものと等しくなる、という論理をしっかり押さえる。
• 比例式の分母・分子の取り違え:
  • 誤解: \(\displaystyle E_x = \frac{L_s}{L_x} \times E_s\) のように、比例式の分母と分子を逆にしてしまう。
  • 対策: 「電圧が大きいほど、釣り合う長さも長くなる」という物理的な直感を働かせる。\(L_x > L_s\) なのだから、\(E_x > E_s\) となるはずだ、と確認しながら立式する。\(E_x = E_s \times \frac{\text{長い方}}{\text{短い方}}\) のように、大小関係を意識するとミスが減ります。
• 測定可能な最大電圧の意味の誤解:
  • 誤解: 主回路の電源の起電力Eが、測定可能な最大電圧だと考えてしまう。
  • 対策: 実際に測定の「物差し」として使っているのは、抵抗線AB間の電位差\(V_{AB}\)です。主回路の抵抗Rがあるため、\(V_{AB}\)は必ず電源Eの起電力より小さくなります。測定可能な最大電圧は、あくまで\(V_{AB}\)であることを明確に理解する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 比例式 (\(\displaystyle\frac{E_x}{E_s} = \frac{L_x}{L_s}\)):
  • 選定理由: この問題で最も効率的かつ本質的な解法だからです。主回路を流れる電流\(i\)や抵抗線の抵抗値\(R_{AB}\)といった、問題文に与えられていない未知数を計算の途中で消去できるため、計算が非常に簡潔になります。
  • 適用根拠: この比例式は、以下の2つの物理法則の組み合わせから導かれます。
    1. 電位差計の平衡条件 (\(E=V_{AP}\)): 検流計に電流が流れないという零位法の原理。
    2. 一様な抵抗線の電位降下 (\(V_{AP} = kL\), kは比例定数): オームの法則と抵抗の長さ比例則から導かれる、電位差計の物差しとしての性質。

    これら2つを組み合わせることで、\(E=kL\)、すなわち\(E\)と\(L\)の比例関係が導かれ、比の式が成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の意識: 問題文で与えられている数値が「1.02V」「51.0cm」「76.0cm」のように有効数字3桁で与えられています。したがって、計算結果も有効数字3桁で答えるのが適切です。\(1.52\text{V}\), \(2.00\text{V}\) のように、最後の0も意味を持つことを意識しましょう。
• 単位の換算: 抵抗線の長さが「1.00m」と与えられているのに対し、釣り合いの位置は「cm」で与えられています。今回は比の計算なので単位換算は不要でしたが、もし抵抗率などを使って具体的な抵抗値を計算する必要がある場合は、単位をmに統一するなど、単位系の整合性を取る必要があります。
• 分数の計算: \(\frac{76.0}{51.0} \times 1.02\) のような計算では、先に \(1.02 / 51.0 = 0.02\) を計算してから \(76.0 \times 0.02\) を計算すると、暗算に近く、より簡単に行えます。計算の順序を工夫するのもテクニックの一つです。

358 半導体

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「半導体の基礎知識」です。現代の電子機器に不可欠な半導体について、その種類、性質、そして応用に関する基本的な用語の理解が問われています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

半導体の種類と性質、応用

思考の道筋とポイント
この問題は、半導体に関する一連の基本用語を正しく理解しているかを確認する知識問題です。ケイ素（価電子4個）を基準として、混ぜる不純物の価電子の数が「4より少ないか、多いか」で、p型とn型のどちらになるかが決まります。そして、それらを組み合わせることで、ダイオードやトランジスタといった電子素子ができるという流れを把握することが核心です。
この設問における重要なポイント

• 基準: ケイ素(Si)やゲルマニウム(Ge)は4価の原子で、共有結合により安定している。
• p型半導体: 4価の半導体に、価電子が3個の原子（3価）を不純物として加える。電子が1つ不足した「正孔（ホール）」が生まれ、これが正の電荷を運ぶキャリアとなる。Positiveのpと覚える。
• n型半導体: 4価の半導体に、価電子が5個の原子（5価）を不純物として加える。電子が1つ余り「自由電子」となり、これが負の電荷を運ぶキャリアとなる。Negativeのnと覚える。
• ダイオード: p型とn型を接合したもの（pn接合）。一方向にしか電流を流さない「整流作用」を持つ。
• トランジスタ: pnp型やnpn型のように3層構造にしたもの。小さな信号を大きくする「増幅作用」を持つ。
• 集積回路(IC): 多数のトランジスタなどを一つの半導体基板上に作り込んだもの。

具体的な解説と立式
この問題は知識を問うものであり、数式による立式はありません。各空欄について、文脈から判断される物理用語とその意味を解説します。

• • 空欄①, ②, ③:
    ケイ素（4価）に価電子が3個の原子を混ぜると、共有結合に電子が1つ足りない「穴」ができます。この穴を ② ホール（正孔） と呼びます。ホールは周りの電子が移動して埋めることで、見かけ上、穴自身が移動するように見えます。電子が不足している場所なので、相対的に ③ 正 の電荷を持つ荷電粒子のように振る舞います。このような半導体を ① p 型半導体（Positive-type）と呼びます。

• • 空欄④, ⑤, ⑥:
    ケイ素（4価）に価電子が5個の原子を混ぜると、4個の電子は共有結合に使われ、1個の電子が余ります。この余った電子は結晶中を自由に動き回れる ⑥ （自由）電子 となります。電子は ⑤ 負 の電荷を持つため、このような半導体を ④ n 型半導体（Negative-type）と呼びます。

• • 空欄⑦, ⑧, ⑨, ⑩:
    ① p 型半導体と ④ n 型半導体を接合した素子を ⑦ ダイオード と呼びます。ダイオードは、⑧ p 型側から ⑨ n 型側への一方向にしか電流を流さない性質を持ちます。この性質を ⑩ 整流 作用と呼びます。

• • 空欄⑪:
    ① p 型半導体と ④ n 型半導体をpnpやnpnのように3層に組み合わせて、小さな電気信号を大きな信号に変化させる 増幅 作用を持たせたものを ⑪ トランジスタ といいます。

• 空欄⑫:
  ケイ素の基板上に、⑪ トランジスタ などの多数の電子素子と配線を作り込み、一つの部品としてまとめたものを ⑫ 集積回路（IC） といいます。

この問題に計算過程はありません。

• p型とn型: 4人掛けの椅子（ケイ素）に3人組（3価原子）が来ると席が1つ空きます。この空席（ホール）がp型のもとです。5人組（5価原子）が来ると1人余ります。この余った人（電子）がn型のもとです。
• ダイオード: p型からn型への一方通行の道のようなものです。交流を直流に変換する（整流する）働きがあります。
• トランジスタ: 小さな力で開け閉めできる蛇口のようなもので、小さな水の流れ（入力信号）で、大きな水道管の流れ（出力信号）をコントロール（増幅）できます。
• IC: トランジスタなどの部品をたくさん詰め込んだ、電子機器の脳みそのようなものです。

各空欄に適切な用語を当てはめることで、半導体の基本から応用までの流れを説明する一連の文章が完成します。

①p, ②ホール（正孔）, ③正, ④n, ⑤負, ⑥（自由）電子, ⑦ダイオード, ⑧p, ⑨n, ⑩整流, ⑪トランジスタ, ⑫集積回路（IC）をそれぞれ代入すると、文意が正しく通ります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 不純物半導体のキャリア生成原理:
  • 核心: 半導体の性質を理解する上で最も重要なのは、なぜ不純物を加えると電気を流しやすくなるのか、そのメカニズムです。基準となる4価のケイ素に対し、価電子の数が「1つ少ない」か「1つ多い」不純物を加えることで、電荷を運ぶキャリア（正孔または自由電子）が意図的に作り出される、という点を押さえることが全てです。
  • 理解のポイント:
    • p型 (Positive-type): 4価のSiに3価の不純物（例: B, Ga）を添加 \(\rightarrow\) 電子が1つ不足した「穴」ができる \(\rightarrow\) この穴が正孔（ホール）として振る舞い、正のキャリアとなる。
    • n型 (Negative-type): 4価のSiに5価の不純物（例: P, As）を添加 \(\rightarrow\) 電子が1つ余る \(\rightarrow\) この余剰電子が自由電子として振る舞い、負のキャリアとなる。
• pn接合の基本特性:
  • 核心: p型とn型という性質の異なる半導体を接合することで、単体では持ち得なかった新しい機能が生まれる、という点が重要です。特に、一方向にしか電流を流さない「整流作用」は、ダイオードの最も基本的な機能であり、あらゆる電子回路の基礎となります。
  • 理解のポイント:
    • 順方向バイアス: p側に正、n側に負の電圧をかけると、キャリア（正孔と電子）が接合面に向かって移動し、電流が流れやすくなる。
    • 逆方向バイアス: p側に負、n側に正の電圧をかけると、キャリアが接合面から遠ざかり、電流がほとんど流れなくなる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 具体的な元素名を問う問題: p型半導体を作るための不純物（アクセプタ）としてホウ素(B)やガリウム(Ga)、n型半導体を作るための不純物（ドナー）としてリン(P)やヒ素(As)など、周期表の13族、15族の元素名が問われることがあります。
  • エネルギーバンド図: 半導体の性質を、電子のエネルギー準位で説明するエネルギーバンド図に関する問題。価電子帯、伝導帯、禁制帯、ドナー準位、アクセプタ準位などの用語が問われます。
  • 発光ダイオード(LED)や太陽電池: pn接合の応用例として、電流を流すと発光するLEDや、光を当てると起電力が生じる太陽電池の原理を問う問題。キャリアの再結合や光電効果と関連付けて理解する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準となる半導体を確認: 問題がケイ素(Si)なのか、ゲルマニウム(Ge)なのか、基準となる4価の元素を確認します。
  2. 不純物の価電子数に注目: 添加される不純物の価電子が、基準より多いか少ないかを見ます。「3価ならp型」「5価ならn型」という基本ルールを適用します。
  3. 素子の構造を確認: pn接合（ダイオード）なのか、pnp/npn接合（トランジスタ）なのか、素子の構造からその機能を判断します。「2層構造なら整流作用」「3層構造なら増幅作用」と結びつけます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• p型とn型の混同:
  • 誤解: どちらが正孔でどちらが自由電子か、あるいはどちらに3価/5価の不純物を加えるのかを混同してしまう。
  • 対策: 語呂合わせやイメージで覚えるのが有効です。「pはPositive（正）だから正孔」「nはNegative（負）だから電子」と覚える。また、不純物については「3価は電子が足りない（穴があく）からp型」「5価は電子が余るからn型」と理由付けで覚える。
• キャリアと原子核の電荷の混同:
  • 誤解: n型半導体は自由電子がキャリアなので、半導体全体が負に帯電していると考えてしまう。
  • 対策: 半導体全体としては、原子核の陽子数と電子の総数は等しく、電気的に中性です。キャリアはあくまで「動ける電荷」のことであり、物質全体の帯電状態とは別であることを理解する。
• ダイオードの電流の向き:
  • • 誤解: 電子の流れの向きと電流の向きを混同し、ダイオードの矢印の向きと逆方向に電流が流れると考えてしまう。
    • 対策: 電流の向きは「正電荷の移動の向き」と定義されています。ダイオードの記号の矢印（►）は、電流が流れる向き（p型→n型）を示している、と明確に覚える。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• この単元は、定性的な概念理解が中心であり、公式の選択というよりは用語の正しい理解と適用が求められます。
• 価電子数の比較:
  • 選定理由: 半導体の種類（p型/n型）を決定するための最も基本的な判断基準です。
  • 適用根拠: 物質の電気的性質は、最外殻電子である価電子の振る舞いによって決まります。共有結合という安定した状態から、価電子が「不足」するのか「過剰」になるのかという観点で考えることで、キャリアの種類を論理的に導き出すことができます。
• 素子の構造と機能の対応:
  • 選定理由: 電子素子の名称とその機能を結びつけるための判断基準です。
  • 適用根拠: 物理的な構造が、その素子の電気的な機能を生み出します。pn接合という単純な構造が「整流」という基本的な機能を生み、pnp/npnというより複雑な構造が「増幅」という高度な機能を生む、という対応関係を理解することが、電子工学の第一歩となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題は知識問題であり、計算は含まれません。しかし、知識を定着させるためのテクニックは存在します。
• 図や表で整理する: p型半導体とn型半導体について、「不純物の種類」「価電子数」「キャリア」「キャリアの電荷」などを一覧表にまとめて整理すると、混同しにくくなります。
• 身近な電子機器と結びつける: ダイオードがACアダプタ（整流）に、トランジスタがアンプ（増幅）やコンピュータのCPU（スイッチング）に使われているなど、身近な応用例と関連付けて覚えると、記憶に残りやすくなります。
• 語源を調べる: トランジスタ(Transistor)が「Transfer Resistor（抵抗を変化させるもの）」の略であるなど、用語の語源を知ることで、その機能や意味の理解が深まることがあります。

359 ダイオードを含む回路

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ダイオードを含む直流回路の解析」です。ダイオードの性質を理解し、電位の概念を用いて回路を分析する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
ダイオードDに電流が流れるのは、ダイオードのアノード側である点aの電位 \(V_a\) が、カソード側である点bの電位 \(V_b\) よりも高くなったときです。したがって、この問題は「\(V_a > V_b\) となるための \(E_1\) と \(E_2\) の条件を求める」という電位の比較問題に帰着します。
電位を計算するためには、まず回路のどこか一点を電位の基準（\(0\text{ V}\)）と定めるのが定石です。ここでは、回路の一番下の導線を基準電位とします。そして、ダイオードに電流が流れ始める「直前」の、ダイオードが実質的に開放されていると見なせる状態の回路について、\(V_a\) と \(V_b\) をそれぞれ計算します。
この設問における重要なポイント

• ダイオードの導通条件: \(V_{\text{アノード}} > V_{\text{カソード}}\) （この問題では \(V_a > V_b\)）
• 電位の計算: 基準点を定め、そこからの電位差を素子ごとに足し合わせていく。
• 回路の分離的思考: ダイオードが開放されていると見なすと、点aの電位は左側の \(E_1, R_1, R_2\) の部分で決まり、点bの電位は右側の \(E_1, E_2\) の部分で決まる、と分けて考えることができます。

具体的な解説と立式
ダイオードDに電流が流れる条件は、点aの電位を \(V_a\)、点bの電位を \(V_b\) とすると、次式で表されます。
$$ V_a > V_b \quad \cdots ① $$
この電位を求めるため、回路図の一番下の導線（電池 \(E_1\) の負極に繋がる導線）の電位を基準の \(0 \text{ V}\) とします。

点aの電位 \(V_a\) の計算
点aは、抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) の間にあります。ダイオードが開放されている状態では、\(R_1\) と \(R_2\) は電池 \(E_1\) に対して直列に接続されています。したがって、電池の起電力 \(E_1\) が、抵抗値が共に \(R\) である \(R_1\) と \(R_2\) によって分圧されます。点aの電位は、抵抗 \(R_2\) の両端の電圧に等しくなります。
$$ V_a = \frac{R_2}{R_1 + R_2} E_1 \quad \cdots ② $$

点bの電位 \(V_b\) の計算
点bは、電池 \(E_2\) の負極に接続されています。一方、\(E_2\) の正極は、電池 \(E_1\) の正極側、すなわち電位が \(E_1\) である導線に接続されています。したがって、点bの電位は、\(E_2\) の正極の電位（\(E_1\)）から起電力 \(E_2\) の分だけ低くなります。
$$ V_b = E_1 – E_2 \quad \cdots ③ $$
（このとき、抵抗 \(R_3\) は電位が \(V_b\) である点bと、電位が \(0\text{ V}\) である基準導線の間に接続されているため、\(R_3\) には \(V_b\) の電位差がかかっています。）

条件式①に、②と③から求まる \(V_a\) と \(V_b\) を代入することで、求める条件を導出します。

まず、式②を用いて点aの電位 \(V_a\) を計算します。\(R_1=R, R_2=R\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
V_a &= \frac{R}{R+R} E_1 \\[2.0ex]&= \frac{R}{2R} E_1 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2}E_1
\end{aligned}
$$
点bの電位 \(V_b\) は式③より \(V_b = E_1 – E_2\) です。
これらの結果を、ダイオードの導通条件である式① \(V_a > V_b\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}E_1 &> E_1 – E_2 \\[2.0ex]E_2 &> E_1 – \frac{1}{2}E_1 \\[2.0ex]E_2 &> \frac{1}{2}E_1
\end{aligned}
$$

ダイオードに電流が流れるのは、スイッチがONになるようなものです。そのスイッチは、a地点の「電気的な高さ（電位）」が、b地点の高さより高くなった瞬間にONになります。
そこで、まずa地点とb地点の電位をそれぞれ計算します。回路の一番下の線を地面（高さ\(0\text{ V}\)）と決めます。
a地点は、電源\(E_1\)の電圧を、同じ値の抵抗\(R_1\)と\(R_2\)で二分割した真ん中の点なので、高さは\(E_1\)のちょうど半分、つまり \(\frac{1}{2}E_1\) となります。
b地点は、高さ\(E_1\)の場所から、もう一つの電池\(E_2\)を逆向きに下った場所なので、高さは \(E_1 – E_2\) となります。
「a地点の高さ > b地点の高さ」という条件に、計算した値を入れると、\(\frac{1}{2}E_1 > E_1 – E_2\) となり、これを整理すると答えが求まります。

ダイオードDに電流が流れる条件は、\(E_2 > \displaystyle\frac{1}{2}E_1\) です。
この結果を吟味してみましょう。もし \(E_2\) が非常に小さい場合、点bの電位 \(V_b = E_1 – E_2\) は \(E_1\) に近い大きな値となり、点aの電位 \(V_a = \frac{1}{2}E_1\) よりも高くなります。このとき \(V_a < V_b\) なのでダイオードには電流が流れません。 逆に \(E_2\) が大きくなるにつれて、点bの電位 \(V_b\) はどんどん低くなります。そして \(E_2\) が \(\frac{1}{2}E_1\) を超えた瞬間に、\(V_b\) が \(V_a\) よりも低くなり、\(V_a > V_b\) が満たされてダイオードに電流が流れ始めます。この考察から、得られた結果は物理的に妥当であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ダイオードの導通条件の理解:
  • 核心: この問題の物理的な核心は、「ダイオードはアノード（a）の電位がカソード（b）の電位より高くなったときにのみ電流を流す」という、電流のON/OFFを決定づける非線形な性質を理解していることです。
  • 理解のポイント: この条件を \(V_a > V_b\) という数式に置き換え、問題を「2点の電位の大小比較」として捉え直すことが解法の第一歩となります。
• 電位の概念の活用:
  • 核心: 回路の振る舞いを、ベクトル量である「電流」だけでなく、スカラー量である「電位」で捉える視点が極めて重要です。
  • 理解のポイント: 基準点（アース）を一つ定めることで、回路上の全ての点の電位がただ一つの値で決まります。これにより、複雑に見える回路の2点間の関係性を、単純な数値の大小比較で分析できるようになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • コンデンサーの充電条件: ダイオードの代わりにコンデンサーが接続され、「コンデンサーに電荷が蓄えられる条件」や「どちらの極板が正に帯電するか」を問う問題。これも結局は2点間の電位差の問題に帰着します。
  • 複数のダイオードを持つ回路: 複数のダイオードが異なる向きで接続されている回路で、「どのダイオードに電流が流れるか」を問う問題。各点の電位を比較し、\(V_{\text{アノード}} > V_{\text{カソード}}\) を満たすダイオードだけがONになると判断します。
  • ブリッジ回路の平衡条件: ホイートストンブリッジの中央に検流計（やダイオード）を接続し、電流が流れない（平衡）条件を求める問題。これはまさに「2点間の電位が等しい（\(V_a = V_b\)）」という条件式を立てて解く典型例です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「電流が流れる条件」を「電位の大小関係」に翻訳する: 問題文の定性的な条件を、まず \(V_a > V_b\) のような定量的な数式で表現できる形に言い換えます。
  2. 基準電位（アース）を設定する: 電位を計算するために、回路のどこか都合の良い点（電池の負極や、多くの配線が集まる点など）を\(0\text{ V}\)と定めます。これは思考の土台を固める重要な作業です。
  3. 「開放状態」で考える: 「流れるか、流れないか」の条件を求めたい素子（ダイオードなど）は、一旦回路から取り除いた（開放した）状態で、その接続点に現れる電位を計算するのが、最も確実で基本的なアプローチです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流の向きの決めつけ:
  • 誤解: 最初からダイオードに電流が流れると仮定して、複雑なキルヒホッフの連立方程式を立ててしまい、計算が複雑化したり、矛盾が生じたりする。
  • 対策: 「流れるかどうか」を問われているときは、まず「流れない」と仮定して電位差を調べるのが定石です。「もし流れたらどうなるか」ではなく、「流れるための条件は何か」を考えるという思考の転換が重要です。
• 電位計算での符号ミス:
  • 誤解: 点bの電位を計算する際に、\(V_b = E_1 – E_2\) の電池の向きを間違えて、\(V_b = E_1 + E_2\) や \(V_b = E_2 – E_1\) としてしまう。
  • 対策: 電位を計算するときは、必ず「基準点から出発し、素子を通過するたびに電位が上がるか下がるか」を一つずつ丁寧に確認します。電池は負極から正極へ向かうと電位が上がり（登る）、正極から負極へ向かうと下がります（下る）。
• 分圧の公式の誤用:
  • 誤解: 点aの電位を求める際に、分圧の公式の分子と分母の抵抗を間違える（例: \(\displaystyle\frac{R_1}{R_1+R_2}E_1\) としてしまう）。
  • 対策: 分圧の公式は「（求めたい点の電位の基準側にある抵抗）/（全体の抵抗）」と意味で覚えます。この場合、基準（\(0\text{ V}\)）側にあるのは \(R_2\) なので、分子は \(R_2\) になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電位比較法 (\(V_a > V_b\)):
  • 選定理由: 問題が「電流が流れるか否か」というスイッチング的な現象を問うているためです。このようなON/OFF条件は、その境界となる閾値（この場合は \(V_a = V_b\)）を見つける問題であり、電位を直接比較するのが最も直接的で分かりやすい解法となります。
  • 適用根拠: このアプローチは、ダイオードの物理的な動作原理そのものに基づいています。電流が流れるというマクロな現象を、その根源である電場（電位の勾配）に立ち返って考えていることになり、本質的な理解につながります。
• 分圧の式 (\(V_a = \displaystyle\frac{R_2}{R_1+R_2}E_1\)):
  • 選定理由: 直列に接続された抵抗の途中の点の電位を、電流を計算せずに直接求めるために使用します。キルヒホッフの法則で電流を求めてからオームの法則で電圧降下を計算するよりも、手順が少なく効率的です。
  • 適用根拠: この公式はオームの法則とキルヒホッフの法則から導かれる当然の帰結です。直列回路では電流が一定なので、各抵抗での電圧降下 \(V=IR\) は抵抗値 \(R\) に比例します。全体の電圧 \(E_1\) が \(R_1:R_2\) の比で分配されることを利用しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図への情報の書き込み: 回路図に、自分で定めた基準電位（アースマーク）、計算で求めた各点の電位（\(V_a = \frac{1}{2}E_1\) など）を書き込み、視覚的に確認しながら進めると、思考が整理されミスが減ります。
• 不等式の丁寧な変形: \( \frac{1}{2}E_1 > E_1 – E_2 \) のような不等式を解く際に、移項の符号ミスをしないように注意します。焦らず、一行ずつ丁寧に式を変形する癖をつけましょう。
• 極端な場合での検算: 得られた答え \(E_2 > \displaystyle\frac{1}{2}E_1\) が正しいか、極端な値で確かめる習慣をつけます。
  • 例1: \(E_2 = 0\) の場合。条件を満たさないので電流は流れないはずです。実際に電位を計算すると \(V_a = \frac{1}{2}E_1, V_b = E_1\) となり \(V_a < V_b\) で正しいことが確認できます。
  • 例2: \(E_2 = E_1\) の場合。条件を満たすので電流は流れるはずです。実際に電位を計算すると \(V_a = \frac{1}{2}E_1, V_b = 0\) となり \(V_a > V_b\) で正しいことが確認できます。

  このような簡単なチェックで、大きな間違いを未然に防ぐことができます。

関連記事

物理基礎・高校物理 無料問題演習サイト – 全単元を網羅し実力アップ！

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。【引用】https://makoto-physics-school.com[…]