「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 10】Step3

150 2本のばねによる単振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、両側をばねで固定された物体の単振動を扱う問題です。単振動の基本である復元力の概念と、複数のばねが関わる場合の「合成ばね定数」の考え方を理解しているかが問われます。
この問題の核心は、物体に働く合力が、変位\(x\)に比例し中心を向く「復元力」の形 \(F=-Kx\) で表せることを見抜き、その式から振動の特性（周期、振幅）を導き出すことです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2本のばねによる単振動（ばねの並列接続）」です。物体に働く力を正しく合成し、単振動の基本法則に当てはめることが解析の基本となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体の位置が\(x\)のときに、物体に働く力の合力を求める問題です。ばねAとばねBがそれぞれ物体に及ぼす力を考え、それらを足し合わせます。力の向きを符号で正しく表現することが重要です。
この設問における重要なポイント

• 振動の中心: 問題の設定より、\(x=0\)の位置で両方のばねが自然長です。したがって、この位置が力のつり合い点であり、単振動の中心となります。
• ばねAからの力: 物体が位置\(x\)にあるとき、ばねAは自然長から\(x\)だけ伸びています。したがって、ばねAは物体を左向き（負の向き）に引きます。その力は \(-k_1x\) です。
• ばねBからの力: 物体が位置\(x\)にあるとき、ばねBは自然長から\(x\)だけ縮んでいます。したがって、ばねBは物体を左向き（負の向き）に押します。その力は \(-k_2x\) です。
• 力の合成: 2つの力はともに同じ向き（負の向き）に働くため、単純に足し合わせます。

具体的な解説と立式
物体の位置が\(x\)のとき、ばねAとばねBが物体に及ぼす力をそれぞれ \(F_A\), \(F_B\) とします。
ばねAは自然長から\(x\)だけ変位しているので、フックの法則より、
$$ F_A = -k_1 x \quad \cdots ① $$
ばねBも自然長から\(x\)だけ変位（縮み）しているので、物体を左向きに押します。その力は、
$$ F_B = -k_2 x \quad \cdots ② $$
物体に働く力の合力\(F\)は、これらの和で与えられます。
$$ F = F_A + F_B \quad \cdots ③ $$

式③に①と②を代入して、合力\(F\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= (-k_1 x) + (-k_2 x) \\[2.0ex]&= -(k_1 + k_2)x
\end{aligned}
$$

物体を右にずらすと、左のばねAは「伸びて」物体を左に引っ張り、右のばねBは「縮んで」物体を左に押します。どちらの力も物体を元の位置（中心）に戻そうとする向き（左向き）に働きます。この2つの力を足し合わせたものが、物体に働く全体の力（合力）となります。

物体に働く合力は \( -(k_1+k_2)x \) [N] です。
この力の形は、変位\(x\)に比例し、常に原点(\(x=0\))の方向を向く力（復元力）になっています。これは、物体が単振動することを示唆しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体の振動の周期と振幅を求める問題です。(1)で求めた合力の式を、単振動の復元力の一般式 \(F=-Kx\) と比較することで、この振動系全体の「合成ばね定数」\(K\)を特定します。周期は公式 \(T=2\pi\sqrt{m/K}\) を用いて計算できます。振幅は、振動の初期条件から決定します。
この設問における重要なポイント

• 合成ばね定数: (1)で求めた合力 \(F=-(k_1+k_2)x\) を、単振動の復元力の一般式 \(F=-Kx\) と比較します。これにより、この系の合成ばね定数が \(K=k_1+k_2\) であることがわかります。
• 周期の公式: 単振動の周期は、質量\(m\)と合成ばね定数\(K\)を用いて \(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}\) と表されます。
• 振幅の定義: 振幅は「振動の中心から振動の端（折り返し点）までの距離」です。物体は \(x=d\) の位置から「静かに」はなされるため、この点が速さ0の折り返し点となります。したがって、振幅は\(d\)です。

具体的な解説と立式
(1)で求めた合力の式 \(F = -(k_1+k_2)x\) は、単振動の復元力の式 \(F=-Kx\) と同じ形をしています。
両者を比較することで、この振動系の合成ばね定数\(K\)は、
$$ K = k_1 + k_2 \quad \cdots ④ $$
となります。
単振動の周期\(T\)は、質量\(m\)と合成ばね定数\(K\)を用いて、次の公式で与えられます。
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}} \quad \cdots ⑤ $$
一方、振幅は振動の中心（つり合いの位置 \(x=0\)）から振動の端（速さが0になる位置）までの距離です。問題文より、物体は \(x=d\) の位置から静かに手をはなされるので、この位置が振動の端点です。したがって、振幅は\(d\)となります。

周期の公式⑤に、④で求めた合成ばね定数 \(K=k_1+k_2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}
\end{aligned}
$$
振幅は、初期条件から \(d\) です。

周期の計算: この問題の2つのばねは、まるで1本の強力なばね（ばね定数が \(k_1+k_2\) の合成ばね）のように振る舞います。この「合体したばね」のばね定数を使って、単振動の周期を公式から計算します。
振幅の計算: 振幅とは「振動で物体が中心から最大でどれだけ離れるか」という距離のことです。物体は最初に右へ\(d\)だけずらした位置から動き始めるので、そこが振動の最大地点（端）になります。したがって、振幅はそのまま\(d\)となります。

周期は \(2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}\) [s]、振幅は \(d\) [m] です。
周期の式を見ると、ばね定数\(k_1, k_2\)が大きい（ばねが硬い）ほど周期は短く（振動が速く）なり、物体の質量\(m\)が大きいほど周期は長く（振動がゆっくりに）なることがわかります。これは物理的な直感と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 単振動の成立条件:
  • 核心: 物体に働く合力が、つり合いの位置からの変位\(x\)に比例し、常につり合いの位置を向く力、すなわち「復元力 \(F=-Kx\)」で表されることです。この形に整理できるかどうかが、単振動問題の最初の関門です。
  • 理解のポイント: この問題では、2つのばねの力を合成した結果が \(F=-(k_1+k_2)x\) となり、見事にこの条件を満たしています。
• 合成ばね定数の概念:
  • 核心: 複数のばねが関わる系では、まず全体の復元力を求め、\(F=-Kx\) の形に整理することで、系全体の「実効的なばね定数（合成ばね定数）」\(K\)を求めることが最優先です。
  • 理解のポイント: この問題の接続方法は「並列接続」に相当し、合成ばね定数は単純な和 \(K=k_1+k_2\) となります。公式として覚えるだけでなく、なぜそうなるのかを力の合成から毎回導出できるようにしておくことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばねの直列接続: 2つのばねを直列につないで物体を吊るす場合など。このときの合成ばね定数は \(\frac{1}{K} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\) となります。
  • 鉛直ばね振り子: ばねを鉛直に吊るし、重力とのつり合いの位置を中心に振動させる問題。振動中心が自然長の位置からずれる点がポイントです。
  • U字管内の液体の振動: U字管に入れた液体を一方に押し下げて放すと、液面が単振動します。このとき、液柱全体の重さが復元力として働きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 振動の中心はどこか？: まず、物体に働く力がつり合う位置を探します。そこが単振動の中心です。この問題では\(x=0\)が中心です。
  2. 復元力を求める: 振動の中心からの変位を\(x\)として、その位置で物体に働く合力（復元力）\(F\)を\(x\)の関数として表します。
  3. \(F=-Kx\)の形になっているか？: 求めた\(F\)が\(F=-Kx\)の形になっていれば、その運動は単振動です。係数\(K\)が合成ばね定数となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の向き（符号）の間違い:
  • 誤解: ばねの力を常に \(-kx\) と機械的に書いてしまう。座標の取り方や、ばねが伸びているか縮んでいるかによって、力の向きは変わります。
  • 対策: 必ず図を描き、物体が正の方向に変位したとき、各ばねから働く力はどちら向きかを考え、符号を決定しましょう。この問題では、物体が右(\(x>0\))に行くと、ばねAもばねBも物体を左(負)向きに動かそうとするため、両方の力が負となります。
• 合成ばね定数の公式の混同:
  • 誤解: 並列接続と直列接続の公式を混同して覚えてしまう。
  • 対策: 公式を丸暗記するのではなく、「並列は力が分担され、変位が共通」「直列は力が共通で、変位が分担される」という物理的なイメージを持つことが重要です。最も確実なのは、毎回力のつり合いから復元力を導出し、\(F=-Kx\)の\(K\)を求める方法です。
• 振幅の誤解:
  • 誤解: 物体をずらした距離\(d\)を2倍して、振幅を\(2d\)としてしまう。
  • 対策: 振幅は「中心から端まで」の片道の距離です。往復の距離（＝\(2 \times\)振幅）と混同しないようにしましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力のベクトル図: 物体が任意の位置\(x\)にあるときの図を描き、ばねAからの力 \(F_A\) とばねBからの力 \(F_B\) を矢印で明確に描きます。物体が右にずれた場合、\(F_A\)も\(F_B\)も左向きの矢印となり、合力が大きな左向きの矢印になることが視覚的に理解できます。
  • 「合成ばね」への置き換えイメージ: 2本のばねが両側から物体を支えている状況を、ばね定数が \(K=k_1+k_2\) である1本の強力なばねが物体を支えている、というシンプルなモデルに頭の中で置き換えてみると、周期の計算などが見通しやすくなります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸と原点を明確に: 右向きを正とするx軸と、つり合いの位置である原点\(x=0\)を必ず描き入れます。
  • 変位を記入: 物体が任意の位置\(x\)にある状態を図示し、原点からの距離が\(x\)であることを示します。
  • 力の矢印: 各ばねからの力の矢印を、物体の中心から描き、その大きさを \(k_1x\), \(k_2x\) などと書き添えると、立式が容易になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• フックの法則 (\(F=-kx\)):
  • 選定理由: (1)で、ばねの弾性力という具体的な力を計算するため。
  • 適用根拠: ばねの性質を記述する最も基本的な法則です。
• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: この問題の根底にある法則です。(1)で求めた合力\(F\)を運動方程式に代入すると、\(ma = -(k_1+k_2)x\) となります。これは単振動の運動方程式そのものです。
  • 適用根拠: 力（原因）と加速度（結果）を結びつける、力学の根幹をなす法則です。
• 単振動の周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{m/K}\)):
  • 選定理由: (2)で、単振動であることがわかった系の周期を計算するため。
  • 適用根拠: この公式は、単振動の運動方程式を解くことで導出される結論です。運動方程式 \(a = -\frac{K}{m}x\) と、角振動数\(\omega\)の関係式 \(a = -\omega^2 x\)、周期と角振動数の関係式 \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) を組み合わせることで得られます。問題を解く上では、この公式を知識として適用します。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 合力の計算:
   • 戦略: 任意の位置\(x\)で、各ばねが及ぼす力をフックの法則で求め、ベクトル的に合成する。
   • フロー: ①つり合いの位置を原点と確認 → ②位置\(x\)でのばねAの力 \(F_A = -k_1x\) を求める → ③位置\(x\)でのばねBの力 \(F_B = -k_2x\) を求める → ④合力 \(F = F_A + F_B = -(k_1+k_2)x\) を計算。
2. (2) 周期と振幅の計算:
   • 戦略: 合力の式を \(F=-Kx\) と比較して合成ばね定数\(K\)を求め、周期の公式に代入。振幅は初期条件から読み取る。
   • フロー: ①(1)の結果から \(K=k_1+k_2\) を特定 → ②周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{m/K}\) に代入して\(T\)を計算 → ③「\(x=d\)から静かに放す」という初期条件から、振幅が\(d\)であることを判断。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号のダブルチェック: 計算の各段階で、力の向きや変位の符号が物理的に正しいかを確認する習慣をつけましょう。「右にずらしたら(\(x>0\))、力は左向き(\(F<0\))になるはず」といった直感的なチェックが有効です。
• 文字式の整理: \( -k_1x – k_2x \) を \( -(k_1+k_2)x \) のように、共通因数でくくる計算は基本ですが、丁寧に行いましょう。これにより、合成ばね定数\(K\)が一目でわかります。
• 公式の正確な記憶: 周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}\) は、分子が\(m\)、分母が\(K\)であることを混同しないように、意味（重いほどゆっくり、硬いほど速い）とともに正確に覚えておきましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 周期: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}\)。もし、ばねBがなかったら（\(k_2=0\)）、周期は \(2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}\) となり、ばねAだけの単振動の式と一致します。また、ばねが硬くなる（\(k_1, k_2\)が大きくなる）と周期は短くなり、物体が重くなる（\(m\)が大きくなる）と周期は長くなる。これらは物理的な直感と一致しており、妥当です。
  • 振幅: 振幅は\(d\)。これは、物体を最初にずらした距離です。もし、\(x=d\)の位置で初速を与えたら、振幅は\(d\)より大きくなるはずです。このように、与えられた条件を変えた場合どうなるかを考えることで、答えの妥当性をより深く吟味できます。

151 摩擦のある斜面上での単振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、摩擦のある斜面上に置かれた、ばねにつながれた物体の運動を扱います。特に、力のつり合いの位置と、その位置を基準とした単振動、そしてエネルギーの関係が問われる、力学の総合問題です。
この問題の核心は、物体に働く複数の力（重力、弾性力、垂直抗力、動摩擦力）を正確に把握し、それらの合力によって物体の運動がどのように記述されるかを理解することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「摩擦のある斜面上での単振動」です。動摩擦力が常に運動方向と逆向きに働くため、通常の単振動とは少し異なる側面も持ちますが、基本的な考え方は共通しています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
初めに物体にはたらく合力が0となるときのばねの長さを求める問題です。合力が0ということは、力がつり合っている状態を指します。したがって、物体に働くすべての力を図示し、斜面に平行な方向での力のつり合いの式を立てることが目標となります。
この設問における重要なポイント

• 力の図示: 物体に働く力は、鉛直下向きの「重力 \(mg\)」、斜面から垂直に受ける「垂直抗力 \(N\)」、ばねから受ける「弾性力」、そして斜面から受ける「動摩擦力 \(\mu’N\)」の4つです。
• 力の分解: 重力 \(mg\) を斜面に平行な成分 \(mg \sin 30^\circ\) と、斜面に垂直な成分 \(mg \cos 30^\circ\) に分解します。
• 動摩擦力の向き: 問題文より、物体は斜面を下り始めているため、動摩擦力は運動を妨げる向き、すなわち「斜面上向き」に働きます。
• 斜面方向の力のつり合い: 斜面下向きの力（重力の分力）と、斜面上向きの力の和（弾性力＋動摩擦力）が等しくなる、という式を立てます。

具体的な解説と立式
まず、斜面に垂直な方向の力のつり合いを考えます。この方向には物体は運動しないので、力の合力は0です。
$$ N – mg \cos 30^\circ = 0 $$
よって、垂直抗力の大きさ \(N\) は次のように求められます。
$$ N = mg \cos 30^\circ \quad \cdots ① $$
したがって、動摩擦力の大きさ \(f\) は、
$$ f = \mu’ N = \mu’ mg \cos 30^\circ \quad \cdots ② $$
次に、斜面に平行な方向の力のつり合いを考えます。求めるばねの長さを \(L’\) とします。斜面下向きを正として力のつり合いの式を立てます。斜面下向きの力は重力の分力 \(mg \sin 30^\circ\)、斜面上向きの力は動摩擦力 \(\mu’mg \cos 30^\circ\) と弾性力 \(k(L-L’)\) です。
$$ mg \sin 30^\circ – k(L-L’) – \mu’ mg \cos 30^\circ = 0 \quad \cdots ③ $$
この式は、下向きの力（重力成分）と上向きの力（弾性力と動摩擦力）がつり合っていることを示しています。

③式を \(L’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
k(L-L’) &= mg \sin 30^\circ – \mu’ mg \cos 30^\circ \\[2.0ex]L-L’ &= \frac{mg}{k} (\sin 30^\circ – \mu’ \cos 30^\circ) \\[2.0ex]&= \frac{mg}{k} \left( \frac{1}{2} – \mu’ \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\[2.0ex]&= \frac{mg}{2k} (1 – \sqrt{3}\mu’)
\end{aligned}
$$
したがって、ばねの長さ \(L’\) は、
$$
\begin{aligned}
L’ &= L – (L-L’) \\[2.0ex]&= L – \frac{mg}{2k}(1 – \sqrt{3}\mu’) \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

物体が斜面を滑り下りようとする力（重力の分力）と、それにブレーキをかける2つの力（ばねが引き戻そうとする力と、斜面の摩擦力）がちょうど釣り合う瞬間を探します。この「力のつり合い」の関係を数式にして、そのときのばねの長さを計算します。

合力が0になるときのばねの長さは \(L’ = L – \displaystyle\frac{mg}{2k}(1 – \sqrt{3}\mu’)\) [m] です。
問題の条件 \(\mu’ < \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) より、\(1 – \sqrt{3}\mu’ > 0\) となります。したがって、\(L’\) は自然長 \(L\) よりも短い、つまりばねは縮んだ状態でつり合うことがわかります。これは、重力の斜面下向き成分が動摩擦力よりも大きいため、ばねが縮んで下向きの弾性力を加えないとつり合えないことを意味しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた力のつり合いの位置を原点 \(x=0\) とし、斜面下向きを正として座標 \(x\) を設定します。この座標 \(x\) の位置にある物体に働く合力 \(F\) を求める問題です。ここでの目標は、すべての力を考慮して運動方程式の右辺（合力）を計算することです。
この設問における重要なポイント

• 座標の設定: つり合いの位置が原点 \(x=0\)、斜面下向きが正。
• ばねの長さと伸び: 座標 \(x\) の位置でのばねの長さは \(L’ + x\) となります。したがって、自然長 \(L\) からの伸び（または縮み）は \((L’ + x) – L\) です。
• 力の計算: 座標 \(x\) における弾性力を計算し、重力成分、動摩擦力と合わせて合力を求めます。動摩擦力は物体が斜面を下っている間は常に一定で、斜面上向きに働きます。
• 式の整理: 合力の式を計算する際、(1)で導いたつり合いの条件式を利用すると、式が劇的に簡単になります。

具体的な解説と立式
斜面下向きを正として、座標 \(x\) の位置にある物体に働く合力 \(F\) を求めます。
働く力は、重力の斜面下向き成分 \(+mg \sin 30^\circ\)、動摩擦力（斜面上向き）\(-\mu’mg \cos 30^\circ\)、そして弾性力です。
座標 \(x\) のとき、ばねの長さは \(L’+x\) なので、自然長 \(L\) からの変位は \((L’+x)-L\) です。弾性力はばねの伸びに比例し、自然長に戻ろうとする向きに働くので、その大きさは \(k((L’+x)-L)\) で向きは上向きです。
よって、合力 \(F\) は、
$$ F = mg \sin 30^\circ – k((L’+x)-L) – \mu’mg \cos 30^\circ \quad \cdots ① $$
この式が、座標 \(x\) における合力を表します。

①式を展開し、(1)のつり合いの式 \(mg \sin 30^\circ – k(L-L’) – \mu’mg \cos 30^\circ = 0\) を利用します。
$$
\begin{aligned}
F &= mg \sin 30^\circ – k(L’ – L + x) – \mu’ mg \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= (mg \sin 30^\circ – k(L’ – L) – \mu’ mg \cos 30^\circ) – kx
\end{aligned}
$$
ここで、(1)のつり合いの式 \(mg \sin 30^\circ – k(L-L’) – \mu’mg \cos 30^\circ = 0\) を利用すると、上式の括弧内は0になります。
したがって、
$$ F = -kx \text{ [N]} $$

物体が「力のつり合いの位置」から \(x\) だけずれたときに、追加で働く力を考えます。つり合いの位置では全ての力が釣り合ってゼロになっています。そこから \(x\) ずれると、ばねの長さだけが変わり、ばねの力が \(kx\) だけ変化します。この変化分が、全体の合力として現れます。

合力は \(F = -kx\) [N] となります。この式は、合力が変位 \(x\) に比例し、向きが常に原点（つり合いの位置）を向くことを示しています。これは「復元力」の式そのものであり、物体がつり合いの位置を中心として単振動をすることを示唆しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体の速さの最大値を求める問題です。(2)の結果から、物体は力のつり合いの位置を中心とする単振動を行うことがわかりました。単振動において、速さは振動の中心で最大値をとります。速さの最大値の公式 \(v_{\text{最大}} = A\omega\) を用いて計算します。そのためには、この単振動の「振幅 \(A\)」と「角振動数 \(\omega\)」を求める必要があります。
この設問における重要なポイント

• 単振動の性質: 合力が \(F=-kx\) と表せることから、この運動は角振動数 \(\omega = \sqrt{k/m}\) の単振動とみなせます。
• 振幅の決定: 振幅 \(A\) は、振動の中心から振動の端までの距離です。物体は「ばねが自然長の状態で、初速0」で運動を開始します。振動の中心は「力のつり合いの位置」です。したがって、振幅 \(A\) は、運動の開始点（自然長の位置）と振動中心（つり合いの位置）との距離になります。
• 速さの最大値: 公式 \(v_{\text{最大}} = A\omega\) に、求めた \(A\) と \(\omega\) を代入して計算します。

具体的な解説と立式
(2)で求めた合力の式 \(F=-kx\) は、単振動の運動方程式 \(ma = -kx\) と同じ形をしています。
これから、この運動は力のつり合いの位置を中心とする単振動であり、その角振動数 \(\omega\) は、\(m\omega^2 = k\) の関係から求められます。
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \cdots ① $$
次に、振幅 \(A\) を求めます。運動の開始点はばねが自然長のとき、つまりばねの長さが \(L\) のときです。一方、振動の中心はばねの長さが \(L’\) のときです。
振幅 \(A\) はこの2点間の距離なので、
$$ A = |L – L’| $$
(1)の結果から \(L’ < L\) であることがわかっているので、
$$ A = L – L’ \quad \cdots ② $$
単振動の速さの最大値 \(v_{\text{最大}}\) は、振動中心（\(x=0\)）で実現し、その大きさは次式で与えられます。
$$ v_{\text{最大}} = A\omega \quad \cdots ③ $$

まず、振幅 \(A\) を(1)の結果を用いて具体的に計算します。
$$
\begin{aligned}
A &= L – L’ \\[2.0ex]&= L – \left( L – \frac{mg}{2k}(1 – \sqrt{3}\mu’) \right) \\[2.0ex]&= \frac{mg}{2k}(1 – \sqrt{3}\mu’)
\end{aligned}
$$
この \(A\) と、①式で求めた \(\omega\) を③式に代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}} &= A\omega \\[2.0ex]&= \frac{mg}{2k}(1 – \sqrt{3}\mu’) \times \sqrt{\frac{k}{m}} \\[2.0ex]&= \frac{mg(1 – \sqrt{3}\mu’)}{2k} \cdot \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{m}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} \cdot g(1 – \sqrt{3}\mu’)}{2\sqrt{k} \cdot \sqrt{k}} \cdot \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{m}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{m} g(1 – \sqrt{3}\mu’)}{2\sqrt{k}} \\[2.0ex]&= \frac{(1 – \sqrt{3}\mu’)g}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

この物体の運動は、一種の「ばね振り子」です。その揺れの中心は力が釣り合う点、揺れの幅（振幅）はスタート地点から中心までの距離です。揺れの速さ（角振動数）は物体の重さ（質量）とばねの硬さで決まります。これらの「揺れの幅」と「揺れの速さ」を掛け合わせることで、最も速くなる瞬間（中心を通過するとき）の速さを計算できます。

物体の速さの最大値は \(\displaystyle\frac{(1 – \sqrt{3}\mu’)g}{2} \sqrt{\frac{m}{k}}\) [m/s] です。
この結果は、重力 \(g\) が大きいほど、また摩擦 \(\mu’\) が小さいほど速さが増すことを示しており、直感と一致します。また、質量 \(m\) が大きいほど、ばね定数 \(k\) が小さいほど（ばねが柔らかいほど）、\(\sqrt{m/k}\) の項が大きくなり、速さが増すことも物理的に妥当な関係です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いと運動方程式の連携:
  • 核心: この問題は、まず「力のつり合い」を用いて単振動の振動中心を特定し（問1）、次にその振動中心を基準として「運動方程式」を立てることで、運動が復元力 \(F=-kx\) に支配される単振動であることを証明する（問2）、という二段階の論理構造で成り立っています。
  • 理解のポイント: 物体に動摩擦力が働く場合でも、その力が運動中に一定であれば、力のつり合いの位置がずれるだけで、その新しいつり合いの位置を中心とした単振動と見なせます。この「振動中心のずれ」を正しく計算することが最初の鍵です。
• 単振動の運動特性:
  • 核心: 運動方程式が \(ma = -kx\) の形に帰着できれば、その運動は角振動数 \(\omega = \sqrt{k/m}\) の単振動です。そして、速さは振動中心で最大値 \(v_{\text{最大}} = A\omega\) をとり、両端で0になります。この関係性を利用して速さの最大値を求めるのが(3)の核心です。
  • 理解のポイント: 振幅 \(A\) は「振動の中心」と「運動の端（初速0の位置）」との距離で決まります。この問題では、運動の開始点（ばねが自然長の位置）が振動の一方の端となるため、振幅は「自然長の位置」と「力のつり合いの位置」の間の距離として計算できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 鉛直ばね振り子: 重力が常に働く状況でのばねの単振動です。重力と弾性力がつりあう点が振動中心となり、本問題の構造と非常によく似ています。
  • 水平ばね振り子（摩擦あり）: 運動方向によって摩擦力の向きが変わるため、往路と復路で振動中心が異なる複雑な問題に応用できます。本問題は「下り続ける」という限定された状況なので、摩擦力の向きは一定でした。
  • 浮力を受ける物体の単振動: 水面に浮いた物体を少し押し下げて放したときの運動。浮力と重力がつりあう点が振動中心となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の全リストアップと図示: まず、物体に働く力をすべて（重力、弾性力、垂直抗力、摩擦力など）漏れなく図示します。
  2. つり合いの位置の探索: 「合力が0になる位置はどこか？」を最初に考えます。この位置が、多くの場合で運動を解析する上での基準点（振動中心）となります。
  3. 運動方程式の立式: つり合いの位置を原点として座標軸を設定し、任意の点 \(x\) での運動方程式 \(ma=F\) を立てます。
  4. 復元力の確認: 運動方程式の右辺（合力 \(F\)）が \(-Kx\) （\(K\)は正の定数）の形になるかを確認します。なれば単振動であり、公式を適用できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動中心の誤認:
  • 誤解: ばねの自然長の位置を振動の中心だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 単振動の振動中心は、常に「力のつり合いの位置」です。重力や摩擦力などが働く場合は、自然長の位置とつり合いの位置は一致しません。必ず力のつり合いの式を立てて、振動中心を正確に求めましょう。
• 動摩擦力の向きの間違い:
  • 誤解: 動摩擦力の向きを常に一定と考えてしまう、あるいは運動方向と逆に設定し忘れる。
  • 対策: 動摩擦力は「常に物体の運動方向と逆向き」に働きます。物体が斜面を上っているか下っているかで、摩擦力の向きは変わることを意識しましょう。この問題では「下り始めた」とあるため、摩擦力は常に上向きで一定として扱えました。
• 振幅の計算ミス:
  • 誤解: ばねの「伸び」や「縮み」そのものを振幅 \(A\) と考えてしまう。
  • 対策: 振幅 \(A\) は「振動の中心」から「振動の端」までの距離です。この問題では、\(A = L – L’\) であり、(1)で求めたつり合いの位置 \(L’\) を使って計算する必要がありました。各物理量の定義を正確に理解することが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力のベクトル図: 斜面に平行・垂直な座標軸を描き、物体に働く4つの力（重力（分解後）、垂直抗力、弾性力、動摩擦力）をベクトルとして正確に図示します。特に、つり合いの位置と、そこからずれた位置 \(x\) での力の変化を図で比較すると、合力が \(-kx\) となる理由が視覚的に理解できます。
  • エネルギー保存則のグラフ（発展）: この問題はエネルギーでも解けますが、動摩擦力が非保存力であるため、仕事とエネルギーの関係 \((\text{後の力学的エネルギー}) – (\text{前の力学的エネルギー}) = (\text{非保存力がした仕事})\) を使う必要があります。横軸に位置、縦軸にエネルギーをとったグラフを考えると、摩擦によって力学的エネルギーが減少していく様子をイメージできます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の作用点を明確に: すべての力は物体の重心から生えているように描きます。
  • 座標軸の設定を明記: 斜面下向きを正とするなど、自分で設定した座標軸の向きを必ず図に書き込みます。これにより、力の符号ミスを防ぎます。
  • ばねの長さを区別: 「自然長 \(L\)」「つり合いの長さ \(L’\)」「位置 \(x\) での長さ \(L’+x\)」を、それぞれ図の中で明確に区別して描くと、混乱を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由: (1)で「合力が0となる」という条件が与えられているため、この物理的状況を直接数式で表現するために選択します。これは単振動の振動中心を特定するための必須のステップです。
  • 適用根拠: ニュートンの第一法則（慣性の法則）に基づき、力がつりあっている物体は静止し続けるか、等速直線運動を続けます。この問題では、その瞬間の加速度が0であることを意味します。
• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: (2)で、つり合いの位置からずれたときの物体の運動（ダイナミクス）を記述するために選択します。合力 \(F\) を求めることで、物体がどのような加速度運動をするかがわかります。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則であり、力（原因）と加速度（結果）の関係を示す、力学の最も基本的な法則です。
• 単振動の公式 (\(v_{\text{最大}} = A\omega\)):
  • • 選定理由: (3)で速さの最大値を求めるため。(2)で運動が単振動であることが判明したため、単振動の運動特性を表すこの公式が適用可能になります。

  – 適用根拠: この公式は、運動方程式 \(ma=-kx\) を解くことによって導かれる結論の一つです。運動が単振動であると確認できた時点で、その性質として利用することができます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) つり合いの位置の計算:
   • 戦略: 斜面方向の力のつり合いを立てる。
   • フロー: ①物体に働く4力を図示 → ②斜面に垂直方向のつり合いから垂直抗力 \(N\) を求める → ③斜面に平行方向の力のつり合いを立式（重力成分 = 弾性力 + 動摩擦力） → ④式をばねの長さ \(L’\) について解く。
2. (2) 合力の計算:
   • 戦略: (1)のつり合いの位置を原点とし、任意の点 \(x\) での合力を求める。
   • フロー: ①位置 \(x\) での各力（重力成分、動摩擦力、弾性力）を立式 → ②それらの総和（合力 \(F\)）を計算 → ③(1)で得たつり合いの条件式を使って式を整理し、\(F=-kx\) の形を導く。
3. (3) 最大速度の計算:
   • 戦略: 単振動の公式 \(v_{\text{最大}} = A\omega\) を使う。
   • フロー: ①運動方程式から角振動数 \(\omega\) を求める (\(\omega = \sqrt{k/m}\)) → ②振幅 \(A\) を求める（開始点と振動中心の距離 \(|L-L’|\)） → ③(1)の結果を使い \(A\) の値を具体的に計算 → ④ \(A\) と \(\omega\) を公式に代入して \(v_{\text{最大}}\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (3)の計算のように、複数の結果を組み合わせて最終的な答えを出す場合、途中で数値を代入するのではなく、文字式のまま計算を進めるのが有効です。例えば、振幅 \(A\) を \(L-L’\) のまま \(v_{\text{最大}}\) の式に代入し、最後に \(L-L’\) の具体的な表式を代入することで、計算の見通しが良くなります。
• 三角関数の値の正確性: \(\sin 30^\circ = 1/2\), \(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\) を正確に使うことが基本です。
• 符号の確認: 斜面下向きを正とした場合、上向きの力（弾性力、摩擦力）には負の符号がつくことを常に意識します。立式した後に、各項の符号が物理的な力の向きと一致しているかを確認する習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) つり合いの位置: 条件 \(\mu’ < 1/\sqrt{3}\) は、\(\mu’ \cos 30^\circ < \sin 30^\circ\) すなわち \(\mu’mg \cos 30^\circ < mg \sin 30^\circ\) を意味します。これは「最大静止摩擦力（ここでは動摩擦力で代用）が重力の滑り落ちる成分より小さい」ことを示しており、だからこそ物体は滑り落ちます。そして、つり合いの位置が \(L’ < L\)（ばねが縮む）となったのは、この力の大小関係と一致しており妥当です。
  • (3) 速さの最大値: もし摩擦がなければ（\(\mu’=0\)）、速さの最大値はより大きくなるはずです。実際に式に \(\mu’=0\) を代入すると、\(v_{\text{最大}} = \displaystyle\frac{g}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\) となり、\(\mu’>0\) の場合より大きくなります。このように、極端な条件を代入して直感と合うかを確認するのは有効な吟味方法です。
• 別解との比較:
  • この問題は「仕事とエネルギーの関係」を使っても解くことができます。始点（自然長）とつり合いの位置での力学的エネルギーを比較し、その差が動摩擦力のした仕事に等しいという式を立てます。
    $$ (1/2)mv_{\text{最大}}^2 + (1/2)k(L’-L)^2 + mgL’\sin30^\circ – (mgL\sin30^\circ) = -\mu’N(L-L’) $$
    この式を解くと、同じ結果が得られるはずです。異なるアプローチで同じ答えが出ることを確認できれば、解答の信頼性は格段に高まります。

152 斜面上での単振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、なめらかな斜面上で2つの物体が一体となって行う単振動と、その後の分離を扱う問題です。力のつり合い、単振動の運動方程式、そして物体が分離する条件という、複数の物理概念を段階的に適用する能力が試されます。
この問題の核心は、まず2物体を一体とみなして「つり合いの位置（振動中心）」と「単振動の基本パラメータ（振幅、角振動数）」を決定し、その運動を数式で記述すること。次に、「物体が離れる物理的条件」を特定し、それを数式に適用して具体的な時刻を求めることにあります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2物体の単振動と分離」です。2物体が一体として運動している間と、分離した後では運動の法則が変わる点が特徴です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ばね定数 \(k\) を求める問題です。フックの法則 \(F=kx\) より、ばね定数は力の大きさとそのときのばねの変位が分かれば計算できます。問題文に「物体AとBをのせたところ、ばねが自然の長さより \(d\) だけ縮んでつり合った」とあるので、この力のつり合いの状態を数式で表現します。
この設問における重要なポイント

• 一体とみなす: つり合っている状態では、物体AとBは一体として振る舞います。したがって、質量 \(2m\) の一つの物体として考えます。
• 力の図示: この質量 \(2m\) の物体に働く力は、斜面に沿って上向きの「ばねの弾性力 \(kd\)」と、斜面に沿って下向きの「重力の分力 \((2m)g \sin 30^\circ\)」です。斜面はなめらかなので摩擦力は働きません。
• 力のつり合いの立式: これら2つの力がつり合っているので、大きさが等しいという式を立てます。

具体的な解説と立式
物体AとBを一体（質量 \(2m\)）と考えると、この物体に働く斜面に平行な力は、ばねの弾性力と重力の斜面成分です。
ばねは \(d\) だけ縮んでいるので、弾性力の大きさは \(kd\) で、向きは斜面上向きです。
重力の斜面成分の大きさは \((2m)g \sin 30^\circ\) で、向きは斜面下向きです。
これらがつり合っているので、力のつり合いの式は以下のようになります。
$$ kd – (2m)g \sin 30^\circ = 0 $$

上記で立てた力のつり合いの式を \(k\) について解き、与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
kd &= 2mg \sin 30^\circ \\[2.0ex]kd &= 2mg \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]kd &= mg \\[2.0ex]k &= \frac{mg}{d} \text{ [N/m]}
\end{aligned}
$$

ばねが2つの物体（合計の重さ \(2m\)）を斜面上で支えている状態です。このとき、「ばねが押し返す力」と「重力で滑り落ちようとする力」がちょうど同じ大きさになって静止しています。この力のバランス関係を数式にして、ばねの硬さ（ばね定数 \(k\)）を計算します。

ばね定数は \(k = \displaystyle\frac{mg}{d}\) [N/m] です。
この結果は、物体の質量 \(m\) や重力加速度 \(g\) が大きいほど、また、同じ力でも縮み \(d\) が小さいほど、ばね定数 \(k\) が大きくなる（硬いばねである）ことを示しており、物理的に妥当な関係です。

問(2)

思考の道筋とポイント
BがAから離れるまでの間、AとBは一体となって単振動します。この単振動における物体の位置 \(x\) を時刻 \(t\) の関数として表す問題です。単振動の式を立てるには、「振動中心」「振幅 \(A\)」「角振動数 \(\omega\)」を特定し、初期条件に合うように式を組み立てる必要があります。
この設問における重要なポイント

• 座標と振動中心: 問題の指示通り、つり合いの位置を原点 \(x=0\)、斜面上向きを正とします。単振動は力のつり合いの位置を中心に行われるので、振動中心は \(x=0\) です。
• 振幅の決定: 振幅は振動の中心から振動の端までの距離です。運動は \(t=0\) で「自然長から \(3d\) 縮んだ位置」から静かに始まります。振動中心（つり合いの位置）は「自然長から \(d\) 縮んだ位置」です。したがって、\(t=0\) の位置は、振動中心から \(2d\) だけ負の方向（斜面下向き）にある点です。ここが振動の最下端となるため、振幅 \(A\) は \(2d\) となります。
• 角振動数の計算: 振動しているのは質量 \(2m\) の物体なので、角振動数 \(\omega\) は \(\omega = \sqrt{k/(2m)}\) で計算します。
• 単振動の式の選択: \(t=0\) で変位が負の最大（最下端）となる運動は、\(x = -A \cos(\omega t)\) という形の式で表すのが最もシンプルです。

具体的な解説と立式
物体AとBが一体（質量 \(2m\)）となって行う単振動を考えます。
角振動数 \(\omega\) は、ばね定数 \(k\)、質量 \(2m\) を用いて次のように表されます。
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{2m}} \quad \cdots ① $$
振幅 \(A\) は、振動の中心（\(x=0\)、つり合いの位置）から振動の端（\(t=0\) の開始位置）までの距離です。
開始位置は自然長から \(3d\) 縮んだ点、中心は自然長から \(d\) 縮んだ点なので、その距離は \(3d – d = 2d\) です。
$$ A = 2d \quad \cdots ② $$
\(t=0\) で物体は負の変位の最大値（最下端 \(x=-2d\)）にいるので、位置 \(x\) は時刻 \(t\) を用いて次のように表せます。
$$ x = -A \cos(\omega t) \quad \cdots ③ $$

まず、角振動数 \(\omega\) に(1)で求めた \(k = mg/d\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\omega &= \sqrt{\frac{k}{2m}} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{mg/d}{2m}} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{g}{2d}}
\end{aligned}
$$
この \(\omega\) と振幅 \(A=2d\) を③式に代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= -A \cos(\omega t) \\[2.0ex]&= -2d \cos\left(\sqrt{\frac{g}{2d}}t\right) \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

2つの物体が一体となって、つり合いの位置を中心として行ったり来たりする運動（単振動）を数式で表現します。この運動は波のような形（コサイン波）で表せます。スタート地点が一番下の端なので、式は「マイナスのコサイン」の形になります。揺れの幅（振幅）と揺れの周期（角振動数）を計算し、これらを組み合わせて位置を表す式を完成させます。

BがAから離れるまでのBの位置は \(x = -2d \cos\left(\sqrt{\displaystyle\frac{g}{2d}}t\right)\) [m] です。
この式に \(t=0\) を代入すると、\(x = -2d \cos(0) = -2d\) となり、問題で与えられた初期位置と一致します。また、cos関数の周期的な性質から、物体が振動中心(\(x=0\))と最上端(\(x=2d\))の間を往復運動する様子が正しく表現されています。

問(3)

思考の道筋とポイント
BがAから離れる時刻を求める問題です。まず、BがAから離れる物理的な条件を特定し、それが(2)で設定した座標 \(x\) のどの位置に当たるのかを考えます。そして、その位置になる時刻 \(t\) を(2)で求めた式から逆算します。
この設問における重要なポイント

• 分離条件: 物体BがAから離れるのは、AとBの間に働く垂直抗力が0になるときです。これは、ばねの力が働かなくなり、AとBが共に重力の斜面成分だけで運動する瞬間、すなわち「ばねが自然長に戻ったとき」に起こります。
• 分離位置の特定: ばねが自然長になる位置を座標 \(x\) で表します。振動中心（原点 \(x=0\)）は、自然長から \(d\) だけ縮んだ位置でした。したがって、自然長の位置は、原点から斜面上向きに \(d\) だけ進んだ点、つまり \(x=d\) となります。
• 時刻の計算: (2)で求めた \(x(t)\) の式に \(x=d\) を代入し、\(t>0\) で最初にこの条件を満たす時刻を求めます。

具体的な解説と立式
物体BがAから離れるのは、ばねが自然長になったときです。
このときの位置 \(x\) は、つり合いの位置（原点）から測って \(x=d\) です。
この値を(2)で求めた位置の式に代入します。
$$ d = -2d \cos\left(\sqrt{\frac{g}{2d}}t\right) \quad \cdots ① $$
この方程式を解くことで、分離する時刻 \(t\) が求められます。

①式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\cos\left(\sqrt{\frac{g}{2d}}t\right) &= -\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
\(t>0\) でこの式を初めて満たすのは、角度部分が \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) [rad] のときです。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\frac{g}{2d}}t &= \frac{2\pi}{3} \\[2.0ex]t &= \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{2d}{g}} \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

物体BがAから離れるのは、ばねが元の長さに戻った瞬間です。このときの物体の位置は、振動の中心から \(d\) だけ上の点です。(2)で求めた「時刻と位置の関係式」を使って、物体がこの位置を初めて通過する時刻を計算します。これは、三角関数のグラフで特定の値をとる角度を求める計算と同じです。

Bが離れる時刻は \(t = \displaystyle\frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{2d}{g}}\) [s] です。
この単振動の周期は \(T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{2d/g}\) です。
求めた時刻は \(t = T/3\) に相当します。
運動の経過を考えると、\(t=0\) で最下端(\(x=-2d\))、\(t=T/4\) で中心(\(x=0\))、\(t=T/2\) で最上端(\(x=2d\))です。
\(T/4 < T/3 < T/2\) なので、物体が振動中心を通過し、最上端に達する途中で分離することがわかります。これは物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 一体となった物体の単振動:
  • 核心: 複数の物体が接触したまま運動する場合、それらを一つの物体（合体物）とみなして力学法則を適用します。この問題では、AとBが離れるまでは質量 \(2m\) の一つの物体として扱います。この合体物の「力のつり合いの位置」が単振動の振動中心となり、合体物の質量 \(2m\) を使って角振動数 \(\omega = \sqrt{k/(2m)}\) が決まります。これが(1)と(2)を解くための最も重要な考え方です。
  • 理解のポイント: 振動中心、振幅、角振動数という単振動の3つの基本パラメータを、問題のどの情報から導き出すかを正確に把握することが重要です。
• 物体が分離する条件:
  • 核心: 接触している2物体が分離するのは、それらの間に働く力（この場合は垂直抗力）が0になるときです。この問題では、ばねが物体Aを上に引っ張る力がなくなり、AとBが共に重力だけで運動しようとする瞬間に分離が起こります。それは、ばねが自然長に戻ったときです。この「分離条件」を物理的に特定し、それを運動方程式に適用することが(3)を解く鍵です。
  • 理解のポイント: 「離れる」という現象を「物体間に働く力が0になる」という物理的な条件に翻訳する思考が不可欠です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーター内のばね振り子: エレベーターが加速度運動することで、見かけの重力が変化し、振動中心が移動する問題。
  • 台の上での物体の単振動: 水平に単振動する台の上に物体が置かれている場合。物体が滑り出さずに一体で振動できる条件（最大静止摩擦力）や、台から離れない条件（垂直抗力>0）が問われます。本問の分離条件と考え方が共通します。
  • ロケットの切り離し: 運動中に一部の質量を分離する問題。分離の前後で系の質量が変化するため、運動量保存則やエネルギー保存則の適用方法が変わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動のフェーズを区別する: 「一体で運動している期間」と「分離した後」で、運動を支配する法則（質量、働く力）が変わることを意識します。
  2. 一体の期間の解析: まず、一体となっている期間の運動を単振動として解析します。振動中心、振幅、角振動数を求め、運動を数式で記述します。
  3. 分離条件の特定: 「いつ、どのような条件で分離が起こるか？」を物理的に考えます。「力が0になる」「速度が一致する」など、問題に応じた条件を見抜きます。
  4. 条件を数式に適用: 特定した分離条件を、(2)で立てた運動の式に代入して、具体的な時刻や位置を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動中心の誤認:
  • 誤解: ばねの自然長の位置を振動の中心だと勘違いする。
  • 対策: 振動中心は、常に「力がつり合う位置」です。この問題では、質量 \(2m\) の物体が重力と弾性力でつり合う点が中心であり、自然長の位置ではありません。
• 単振動の質量 \(M\) の間違い:
  • 誤解: 角振動数を計算する際に、質量を \(m\) としてしまう。
  • 対策: 角振動数 \(\omega = \sqrt{k/M}\) の \(M\) は、実際に振動している物体の質量です。この問題ではAとBが一体となって振動しているので、\(M=2m\) を使わなければなりません。
• 分離条件の誤解:
  • 誤解: 振動の最上端で離れる、あるいは、つり合いの位置で離れるなど、直感で分離点を決めてしまう。
  • 対策: 分離は物理的な条件（物体間の力が0）によって決まります。必ず物体間に働く力を考え、その力が0になる瞬間を特定しましょう。この問題では、ばねが自然長に戻り、Aを押し上げる力がなくなった瞬間が分離点です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 位置関係の数直線: 斜面に沿った1次元の数直線を描き、「自然長の位置」「つり合いの位置（振動中心, \(x=0\)）」「運動の開始点（最下端, \(x=-2d\)）」「分離点（\(x=d\)）」を明確にプロットします。これにより、振幅が \(2d\) であることや、分離点が振動中心から \(d\) の距離にあることが視覚的に一目瞭然になります。
  • \(x-t\) グラフ: (2)で求めた \(x = -2d \cos(\omega t)\) のグラフを描いてみます。\(t=0\) で \(x=-2d\) から始まり、周期的に振動するコサインカーブです。このグラフ上に \(x=d\) の水平線を引き、最初に交わる点の \(t\) 座標が求める時刻(3)である、と視覚的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の図示: AとB、それぞれに働く力を分けて描いてみると、分離条件の理解が深まります。Bに働く力は重力成分とAからの垂直抗力。Aに働く力は重力成分、ばねの弾性力、Bからの垂直抗力の反作用です。BがAから離れるのは、AがBを押す力（垂直抗力）が0になるときだとわかります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由: (1)で未知のばね定数 \(k\) を求めるため。問題文に「つり合った」という情報があり、この静的な状態を利用して、既知の量（質量、変位）と未知の量（ばね定数）の関係式を立てることができます。
  • 適用根拠: 物体が静止している（加速度が0）状態では、働く力のベクトル和が0になるというニュートンの法則に基づきます。
• 単振動の運動方程式 (\(x = -A \cos(\omega t)\)):
  • 選定理由: (2)で運動の様子を時刻の関数として記述するため。運動が単振動であると判断できた後、その運動を具体的に表現する数式として選択します。
  • 適用根拠: 初期条件（\(t=0\) で変位が負の最大値、初速0）に最も合う形の一般解を選択することで、計算が簡潔になります。もし \(t=0\) で中心を通過するなら \(\sin\) 型、正の端なら \(+A\cos\) 型を選びます。
• 三角方程式 (\(\cos\theta = a\)):
  • 選定理由: (3)で、特定の位置 \(x=d\) に到達する時刻 \(t\) を求めるため。(2)で立てた \(x(t)\) の式に条件を代入すると、未知数 \(t\) を含む三角方程式になるため、これを解く必要があります。
  • 適用根拠: 周期的な運動と時刻の関係を解き明かすための数学的なツールです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) ばね定数の計算:
   • 戦略: AとBを一体とみなし、力のつり合いの式を立てる。
   • フロー: ①質量 \(2m\) の物体を考える → ②斜面方向の力のつり合いを立式 (\(kd = (2m)g\sin30^\circ\)) → ③式を \(k\) について解く。
2. (2) 位置を表す式の導出:
   • 戦略: 一体となった単振動のパラメータ（振幅、角振動数）を求め、初期条件に合う式を立てる。
   • フロー: ①振動している質量が \(2m\) であることから角振動数 \(\omega\) を計算 → ②振動中心（つり合い位置）と開始点の位置関係から振幅 \(A\) を計算 (\(A=2d\)) → ③初期条件（\(t=0\)で最下端）から \(x=-A\cos(\omega t)\) の形を選択 → ④ \(A\) と \(\omega\) を代入して式を完成させる。
3. (3) 分離時刻の計算:
   • 戦略: 分離条件を物理的に特定し、それを(2)の式に適用する。
   • フロー: ①分離条件は「ばねが自然長になる」ことだと特定 → ②自然長の位置が座標 \(x=d\) であることを確認 → ③(2)の式に \(x=d\) を代入し、\(t\) に関する三角方程式を立てる → ④方程式を解き、\(t>0\) となる最初の解を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (2)の角振動数 \(\omega\) の計算では、(1)で求めた \(k=mg/d\) を代入することで、\(\omega = \sqrt{g/(2d)}\) となり、\(m\) や \(k\) が消去されます。このように、文字式で計算を進めると、物理量が相殺されて式が簡単になることが多く、計算ミスを減らせます。
• 三角関数の単位: \(\omega t\) の単位はラジアンです。\(\cos(\omega t) = -1/2\) を解く際には、\(\omega t = 120^\circ\) ではなく \(\omega t = 2\pi/3\) [rad] を使う必要があります。物理計算では角度はラジアンで扱うのが基本です。
• 周期 \(T\) の活用: (3)の別解のように、時刻を周期 \(T\) の分数で考える（\(t=T/3\)）と、運動のどの段階でイベントが起きるか直感的に把握しやすくなり、検算にも役立ちます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) 位置の式: \(t=0\) を代入すると \(x=-2d\)。これは運動開始点であり、正しい。cos関数なので、振動中心 \(x=0\) に関して対称な運動を表しており、これも妥当です。
  • (3) 分離時刻: 求めた時刻は \(t = T/3\)。周期 \(T\) は \(T=2\pi\sqrt{2d/g}\) です。もし重力 \(g\) が大きければ、復元力が強くなり周期は短くなるはずです。式の形はそれを満たしています。また、\(t=T/4\) で中心を通過するので、\(t=T/3\) は中心を過ぎた位置であり、\(x=d\) という正の値と整合性がとれています。
• 別解との比較:
  • (3)は、\(x(t)\) の式から直接解く方法と、周期 \(T\) を使って位相から考える方法の2通りで解説しました。どちらも同じ三角方程式 \(\cos(\omega t)=-1/2\) に帰着し、同じ答えを導きます。異なる視点から同じ結論に至ることは、解の正しさを強く裏付けます。

153 単振動と重心

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねでつながれた2つの小球が、重心から見てそれぞれ単振動を行うという、2体問題の典型例です。運動量保存則、力学的エネルギー保存則、そして重心の概念を組み合わせて解く必要があります。
この問題の核心は、2つの物体からなる系全体を「重心運動」と「相対運動（重心から見た運動）」に分離して考えることです。重心は等速直線運動を続け、各小球は重心に対して単振動を行います。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2体系の単振動と重心」です。外力が働かないため、系全体の運動量と力学的エネルギーが保存されること、そして重心の運動が単純であることが解析の鍵となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ばねが最も縮んだときの長さを求める問題です。ばねが最も縮む瞬間は、2つの小球の相対速度が0になる、つまり2つの小球が同じ速度で運動する瞬間です。このときの共通の速度を運動量保存則で、ばねの長さを力学的エネルギー保存則で求めます。
この設問における重要なポイント

• 運動量保存則: 水平方向には外力が働かないため、2小球系全体の運動量は保存されます。
• 最も縮む条件: ばねが最も縮むのは、PとQの速度が等しくなったときです。この共通の速度を \(V\) とします。
• 力学的エネルギー保存則: 系に働く力は内力（弾性力）のみなので、運動エネルギーと弾性エネルギーの和は保存されます。初期状態では弾性エネルギーは0です。

具体的な解説と立式
右向きを正とします。初期状態の運動量は、
$$ P_{\text{初}} = m v_0 + 2m(-v_0) = -mv_0 $$
ばねが最も縮んだとき、PとQは共通の速度 \(V\) で運動します。このときの運動量は、
$$ P_{\text{後}} = mV + 2mV = 3mV $$
運動量保存則 \(P_{\text{初}} = P_{\text{後}}\) より、
$$ -mv_0 = 3mV \quad \cdots ① $$
次に、力学的エネルギー保存則を考えます。求めるばねの長さを \(L’\) とします。
初期状態の力学的エネルギーは、運動エネルギーのみです。
$$ E_{\text{初}} = \frac{1}{2}m v_0^2 + \frac{1}{2}(2m)(-v_0)^2 = \frac{3}{2}mv_0^2 $$
ばねが最も縮んだときの力学的エネルギーは、運動エネルギーと弾性エネルギーの和です。ばねの縮みは \(L-L’\) です。
$$ E_{\text{後}} = \frac{1}{2}(3m)V^2 + \frac{1}{2}k(L-L’)^2 $$
力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) より、
$$ \frac{3}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(3m)V^2 + \frac{1}{2}k(L-L’)^2 \quad \cdots ② $$

まず①式から共通の速度 \(V\) を求めます。
$$ V = -\frac{v_0}{3} $$
次に、この \(V\) を②式に代入して \(L’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}mv_0^2 &= \frac{1}{2}(3m)\left(-\frac{v_0}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}k(L-L’)^2 \\[2.0ex]\frac{3}{2}mv_0^2 &= \frac{3m}{2} \cdot \frac{v_0^2}{9} + \frac{1}{2}k(L-L’)^2 \\[2.0ex]\frac{3}{2}mv_0^2 &= \frac{1}{6}mv_0^2 + \frac{1}{2}k(L-L’)^2
\end{aligned}
$$
両辺に2を掛けて整理します。
$$
\begin{aligned}
3mv_0^2 &= \frac{1}{3}mv_0^2 + k(L-L’)^2 \\[2.0ex]k(L-L’)^2 &= 3mv_0^2 – \frac{1}{3}mv_0^2 \\[2.0ex]k(L-L’)^2 &= \frac{8}{3}mv_0^2 \\[2.0ex](L-L’)^2 &= \frac{8m}{3k}v_0^2
\end{aligned}
$$
ばねは縮んでいるので \(L-L’ > 0\) です。したがって、
$$
\begin{aligned}
L-L’ &= \sqrt{\frac{8m}{3k}v_0^2} \\[2.0ex]&= 2v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}}
\end{aligned}
$$
よって、ばねの長さ \(L’\) は、
$$ L’ = L – 2v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}} \text{ [m]} $$

2つのボールがばねでつながれて飛んでいる様子を想像します。外から力が加わらないので、全体の「勢い」（運動量）は変わりません。また、全体のエネルギー（運動エネルギーとばねのエネルギーの合計）も変わりません。ばねが一番縮むのは、2つのボールが一体となって動く瞬間です。この2つの保存則を使って方程式を立て、そのときのばねの長さを計算します。

最も縮んだときのばねの長さは \(L’ = L – 2v_0\sqrt{\displaystyle\frac{2m}{3k}}\) [m] です。
初速 \(v_0\) が大きいほど、また質量 \(m\) が大きいほど、ばねはより大きく縮むことになり、物理的な直感と一致します。ばね定数 \(k\) が大きい（硬い）ほど縮みにくいことも式から読み取れ、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球P, Qの単振動の振幅を求める問題です。この系の重心Gは等速直線運動をします。PとQは、この重心Gに対してそれぞれ単振動を行います。振幅は、重心から見たときの振動の端までの距離です。
この設問における重要なポイント

• 重心の位置: PとQの重心Gは、線分PQを質量の逆比、すなわち \(2m:m = 2:1\) に内分する点に常にあります。
• 振動の端: 単振動の端では、物体は重心に対して一瞬静止します。この問題では、ばねが最も縮んだときと最も伸びたときが振動の端にあたります。
• 振幅の計算: 運動の開始時（ばねが自然長）は重心から見てつり合いの位置、ばねが最も縮んだ時が振動の端です。したがって、振幅は、つり合いの位置から振動の端までの、重心から見た移動距離に等しくなります。

具体的な解説と立式
P, Qの重心Gの位置は、常に線分PQを \(2:1\) に内分します。
重心から見ると、\(t=0\)（ばねが自然長）はつり合いの位置、ばねが最も縮んだときは振動の端にあたります。
振幅は「つり合いの位置から端までの距離」です。
Pの振幅 \(A_P\) は、つり合い時（ばねの長さ \(L\)）のP-G間距離と、最収縮時（ばねの長さ \(L’\)）のP-G間距離の差になります。
$$ A_P = \frac{2}{3}L – \frac{2}{3}L’ = \frac{2}{3}(L-L’) $$
同様に、Qの振幅 \(A_Q\) は、
$$ A_Q = \frac{1}{3}L – \frac{1}{3}L’ = \frac{1}{3}(L-L’) $$

(1)で求めた \(L-L’ = 2v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}}\) を代入します。
Pの振幅 \(A_P\):
$$
\begin{aligned}
A_P &= \frac{2}{3}(L-L’) \\[2.0ex]&= \frac{2}{3} \times 2v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}} \\[2.0ex]&= \frac{4}{3}v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
Qの振幅 \(A_Q\):
$$
\begin{aligned}
A_Q &= \frac{1}{3}(L-L’) \\[2.0ex]&= \frac{1}{3} \times 2v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}} \\[2.0ex]&= \frac{2}{3}v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

2つのボールの「真ん中」（重心）は一定の速さで動いています。それぞれのボールは、この動く重心の周りを行ったり来たりする単振動をします。振幅は、この重心から見てボールが最も離れる距離です。ばねが自然長のときと一番縮んだときを比べて、それぞれのボールが重心に対してどれだけ動いたかを計算します。

Pの振幅は \(A_P = \displaystyle\frac{4}{3}v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}}\) [m]、Qの振幅は \(A_Q = \displaystyle\frac{2}{3}v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}}\) [m] です。
振幅の比は \(A_P : A_Q = 2:1\) となり、これは質量の逆比 \(2m:m\) と一致します。重心から見て、軽い物体ほど大きく動くという直感とも合っており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球P, Qの単振動の周期を求める問題です。重心から見た運動を考えると、PとQは同じ周期で単振動します（そうでないと重心の位置関係が保てない）。この周期を求めるには、片方の小球（例えばP）に着目し、それが受ける復元力と、その運動の「実効的なばね定数」を考えます。
この設問における重要なポイント

• 周期の一致: PとQは重心Gを挟んで常に対向する位置にあり、同じ周期で振動します。したがって、どちらか一方の周期を求めればよいです。
• 実効的なばね定数: Pの運動を \(F_P = -k_P x_P\) という単振動の式で表したときの \(k_P\) を実効的なばね定数と呼びます。これは、Pが受ける最大の力（復元力）と最大の変位（振幅）の関係から求めることができます。

具体的な解説と立式
ばねが最も縮んだとき、ばね全体が及ぼす力の大きさ \(F\) は、
$$ F = k(L-L’) \quad \cdots ① $$
このとき、Pは重心Gから距離 \(A_P\) の位置にあり、この力 \(F\) がPを重心方向へ戻そうとする復元力として働いています。
Pの単振動について、復元力の最大値は \(F\) であり、変位の最大値は \(A_P\) なので、Pの運動を支配する実効的なばね定数を \(k_P\) とすると、
$$ F = k_P A_P \quad \cdots ② $$
が成り立ちます。
同様に、Qについても、
$$ F = k_Q A_Q \quad \cdots ③ $$
が成り立ちます。
Pの単振動の周期 \(T_P\) は、その質量 \(m\) と実効的なばね定数 \(k_P\) を用いて、
$$ T_P = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_P}} \quad \cdots ④ $$
Qの周期 \(T_Q\) も同様に計算できますが、\(T_P=T_Q\) となるはずです。

まず、②式から \(k_P\) を求めます。①、②式と(1), (2)の結果を使います。
$$
\begin{aligned}
k_P &= \frac{F}{A_P} \\[2.0ex]&= \frac{k(L-L’)}{A_P} \\[2.0ex]&= \frac{k \left( 2v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}} \right)}{\frac{4}{3}v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}}} \\[2.0ex]&= \frac{k \times 2}{\frac{4}{3}} \\[2.0ex]&= \frac{3}{2}k
\end{aligned}
$$
この \(k_P\) を④式に代入して、周期 \(T_P\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T_P &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_P}} \\[2.0ex]&= 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{3}{2}k}} \\[2.0ex]&= 2\pi\sqrt{\frac{2m}{3k}} \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
Qについても同様に計算すると、
$$
\begin{aligned}
k_Q &= \frac{F}{A_Q} \\[2.0ex]&= \frac{k(L-L’)}{A_Q} \\[2.0ex]&= \frac{k \left( 2v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}} \right)}{\frac{2}{3}v_0\sqrt{\frac{2m}{3k}}} \\[2.0ex]&= 3k
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
T_Q &= 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k_Q}} \\[2.0ex]&= 2\pi\sqrt{\frac{2m}{3k}} \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
となり、PとQの周期は一致します。

ボールPの視点で見ると、自分はまるで「硬さが \(k_P\) のばね」で重心につながれて振動しているように見えます。この「見かけのばねの硬さ」を、Pが受ける最大の力と最大の変位（振幅）から計算します。そして、Pの質量とこの見かけのばねの硬さを使って、単振動の周期の公式から周期を求めます。Qについても同じ計算ができます。

P, Qの単振動の周期は、ともに \(2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{2m}{3k}}\) [s] です。
この問題は、換算質量 \(\mu = \frac{m \cdot 2m}{m+2m} = \frac{2}{3}m\) を持つ物体が、ばね定数 \(k\) のばねで単振動する問題と等価です。その周期は \(T = 2\pi\sqrt{\mu/k} = 2\pi\sqrt{(2m/3)/k} = 2\pi\sqrt{2m/(3k)}\) となり、今回得られた結果と完全に一致します。このことからも、解答の妥当性が確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 2体系における保存則の適用:
  • 核心: この問題のように、複数の物体が内力（この場合は弾性力）を及ぼし合いながら運動する系で、外力が働かない場合、「系全体の運動量」と「系全体の力学的エネルギー」が保存されます。これが、系の巨視的な振る舞い（最も縮んだときの速度やばねの長さ）を決定する最も重要な法則です。
  • 理解のポイント: (1)を解くために、運動量保存則とエネルギー保存則を連立させて解くという流れは、衝突や分裂、合体といった様々な問題で使われる王道の解法パターンです。
• 重心から見た運動（相対運動）への分解:
  • 核心: 2体（多体）系の複雑な運動は、「重心の運動」と「重心に対する相対運動」に分けて考えると、見通しが良くなります。外力がなければ重心は等速直線運動をするため、問題は重心の周りでの単振動という、より単純な現象に帰着します。
  • 理解のポイント: 各物体は、重心という「動く原点」に対して単振動をします。(2)の振幅や(3)の周期は、この重心から見た運動のパラメータとして求められます。特に、重心が常に2物体を質量の逆比に内分するという性質は、振幅を計算する上で決定的な役割を果たします。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 連星（二重星）の運動: 2つの恒星が互いの万有引力によって、共通の重心の周りを円運動（または楕円運動）する問題。万有引力が、本問のばねの弾性力の役割を果たします。
  • 非弾性衝突後の単振動: 床に置かれたばねに物体が衝突し、一体となって単振動を始める問題。衝突の瞬間に運動量保存則を、その後の単振動にエネルギー保存則や単振動の公式を適用します。
  • 分子の振動: 2つの原子が化学結合（これも一種のばねと見なせる）で結ばれている分子の振動モデル。本問と同様に、換算質量の考え方が有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の特定と外力の有無: まず、考えるべき「系」は何か（この場合はP+Q+ばね）を明確にし、その系に外力が働くか（この場合は水平方向にはなし）を確認します。これにより、どの保存則が使えるかが決まります。
  2. 「一体となる瞬間」を探す: 運動の過程で、複数の物体が同じ速度になる瞬間（相対速度が0になる瞬間）がないかを探します。ばねの伸び縮みが最大になる、衝突で一体になるなど、この瞬間は運動量保存則を適用する絶好の機会です。
  3. 重心の動きを追う: 複数の物体が絡む問題では、まず重心の速度を計算してみるのが有効です。重心の運動が単純（静止または等速直線運動）であれば、問題を「重心運動」と「相対運動」に分離する方針が立てられます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギー保存則の誤用:
  • 誤解: 1つの物体（例えばPだけ）に着目してエネルギー保存則を立ててしまう。
  • 対策: Pが受ける弾性力はQの位置にも依存するため、Pだけの力学的エネルギーは保存しません。保存するのは、PとQとばねを全て含んだ「系全体」の力学的エネルギーです。必ず系全体で式を立てましょう。
• 振幅の定義の混同:
  • 誤解: ばねの最大の縮み \(L-L’\) をそのまま振幅だと考えてしまう。
  • 対策: 振幅は「振動中心からの変位の最大値」です。この問題では、各物体は「重心」を中心として振動するため、振幅は重心から見たときの最大の距離になります。\(A_P = \frac{2}{3}(L-L’)\)、\(A_Q = \frac{1}{3}(L-L’)\) のように、全体の変位を重心の性質を使って分配する必要があります。
• 周期計算でのばね定数の誤り:
  • 誤解: PやQの周期を計算する際に、ばね定数として元の \(k\) をそのまま使ってしまう（例: \(T_P = 2\pi\sqrt{m/k}\)）。
  • 対策: Pが感じる復元力は、ばね全体ではなく、重心Gとの間の「実効的なばね」によるものです。この実効的なばね定数 \(k_P\) は、元の \(k\) とは異なります（この問題では \(k_P = \frac{3}{2}k\)）。(3)のように、\(F=k_P A_P\) の関係から正しく求めるか、換算質量の考え方を用いる必要があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 2つの視点でのアニメーション:
    1. 実験室系（静止した床から見る）: 重心Gが一定速度 \(V=-v_0/3\) で左に動き続ける。その重心の周りを、PとQが互いに逆方向に、周期的に伸び縮みしながら振動する様子をイメージします。
    2. 重心系（重心Gに乗って見る）: 自分（重心G）は静止している。目の前でPとQが、自分を挟んで対称的に、ばねを伸び縮みさせながら単振動している様子をイメージします。この視点では、問題が2つの独立した単振動に見え、非常にシンプルになります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 2つの状態の比較図: 「\(t=0\) の状態（自然長）」と「最も縮んだ状態」の2つの図を並べて描きます。それぞれの図にP, Q, Gの位置を書き込み、長さ（\(L, L’\)）と各区間の長さ（P-G間、Q-G間）を明記すると、振幅の計算が視覚的に理解しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動量保存則:
  • 選定理由: (1)で、2つの物体の速度が未知数である状況で、速度に関する情報を得るため。系に水平方向の外力が働かないという条件から、この法則の適用を思いつきます。特に、2物体の速度が等しくなる瞬間の速度を求めるのに強力です。
  • 適用根拠: ニュートンの第三法則（作用・反作用の法則）から導かれる、多体系における普遍的な法則です。
• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: (1)で、ばねの変位（位置エネルギー）と物体の速度（運動エネルギー）の関係を知るため。系に働く力が保存力（弾性力）のみであることから、この法則が適用できます。
  • 適用根拠: 仕事とエネルギーの関係において、非保存力の仕事が0の場合に成立する特別な、しかし強力な法則です。
• 単振動の周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{m/k}\)):
  • 選定理由: (3)で周期を求めるため。運動が単振動であることが分かっていれば、その周期は質量と（実効的な）ばね定数だけで決まるという、この便利な公式を利用できます。
  • 適用根拠: 運動方程式 \(ma=-kx\) の解として得られる、単振動の最も基本的な性質の一つです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 最収縮時の長さの計算:
   • 戦略: 2つの保存則を連立させる。
   • フロー: ①運動量保存則を立て、最も縮んだときの共通速度 \(V\) を求める → ②力学的エネルギー保存則を立てる（初期状態 vs 最収縮状態） → ③ \(V\) の値をエネルギー保存則の式に代入し、ばねの長さ \(L’\) を解く。
2. (2) 振幅の計算:
   • 戦略: 重心の性質を利用して、全体の変位を各物体に分配する。
   • フロー: ①重心が線分PQを常に \(2:1\) に内分することを確認 → ②振幅は、つり合いの位置（自然長）から振動の端（最収縮）までの、重心から見た各物体の移動距離であると理解する → ③全体の縮み \(L-L’\) を \(2:1\) に比例配分して \(A_P, A_Q\) を計算する。
3. (3) 周期の計算:
   • 戦略: 各物体の「実効的なばね定数」を求め、周期の公式に代入する。
   • フロー: ①最収縮時の復元力 \(F=k(L-L’)\) を計算 → ②Pについて、\(F=k_P A_P\) の関係から実効的なばね定数 \(k_P\) を求める → ③周期の公式 \(T_P = 2\pi\sqrt{m/k_P}\) に代入して計算する。Qも同様（または周期は一致することから省略）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の扱いに注意: (2)や(3)では、\(\frac{2}{3}\) や \(\frac{4}{3}\) といった分数が頻出します。分数の割り算（例: \(k_P\) の計算）では、逆数を掛ける操作を慎重に行いましょう。
• 平方根の簡略化: \(\sqrt{\frac{8m}{3k}}\) を \(2\sqrt{\frac{2m}{3k}}\) のように、ルートの中から外に出せるものは出しておくと、後の計算（特に約分）が見やすくなり、ミスを減らせます。
• 換算質量による検算: もし換算質量の概念を学習済みであれば、周期の計算結果 \(T=2\pi\sqrt{\mu/k}\) と一致するかを確認することで、計算の正しさを強力に検証できます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理量の比の確認:
  • 振幅の比 \(A_P:A_Q = 2:1\)。これは質量の逆比 \(m_Q:m_P = 2m:m = 2:1\) と一致しています。「軽い方が大きく振れる」という物理的直感と合致します。
  • 実効的なばね定数の比 \(k_P:k_Q = \frac{3}{2}k : 3k = 1:2\)。これは振幅の逆比と一致します（\(F=k_P A_P = k_Q A_Q\) より）。
• 極端な場合を考える:
  • もし \(m \ll 2m\) であれば、Qはほとんど動かず、Pが質量 \(m\)、ばね定数 \(k\) で単振動する状況に近づくはずです。このとき、換算質量 \(\mu \approx m\) となり、周期は \(T \approx 2\pi\sqrt{m/k}\) となります。本問の答え \(T=2\pi\sqrt{2m/3k}\) は、これに近い値を示しており、妥当性があると言えます。

154 加速する電車内の単振り子

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、加速度運動する電車内でつるされた振り子の運動を扱います。慣性力を導入することで、加速中の非慣性系（電車内）の物理現象を、静止系（地上）と同様の考え方で解くことができるかが問われます。
この問題の核心は、「見かけの重力」という概念を理解し、それを用いて単振り子の周期の公式を応用することです。電車の運動状態（等速か、加速か）によって、振り子の「つり合いの位置」と「見かけの重力加速度」がどのように変化するかを捉えることが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「慣性力と見かけの重力」です。電車という非慣性系で物体の運動を考えるため、慣性力を導入します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電車が一定速度で運動しているときの振り子の周期を求める問題です。一定速度の運動は、加速度が0の運動です。したがって、電車内は慣性系とみなすことができます。
この設問における重要なポイント

• 慣性系の運動: 電車は等速直線運動をしているため、加速度は0です。したがって、慣性力は働きません（\(F_{\text{慣性}}=ma=0\)）。
• 振動の中心: 慣性力が働かないため、振り子のつり合いの位置は鉛直真下です。ここが振動の中心となります。
• 単振り子の周期の公式: 振れ幅が十分に小さい場合、周期は \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) で与えられます。この問題では、この公式をそのまま適用できます。

具体的な解説と立式
電車が一定速度で運動しているため、電車内の観測者から見ても小球に慣性力は働きません。小球に働く力は重力 \(mg\) と糸の張力のみです。
この状況は、地上で静止している単振り子と全く同じです。
振れ幅が十分に小さいとき、単振り子の周期 \(T_1\) は、糸の長さ \(L\) と重力加速度 \(g\) を用いて次のように表されます。
$$ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} $$

公式を適用するだけなので、特別な計算過程はありません。

電車が一定の速さでまっすぐ進んでいるときは、電車の中にいる人にとっては、電車が止まっているときと物理法則は何も変わりません。したがって、普通の振り子の周期を求める公式をそのまま使えば答えが出ます。

周期は \(T_1 = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}}\) [s] です。これは単振り子の周期の基本公式そのものであり、問題の条件から考えて妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電車が一定の加速度で減速しているときの振り子の周期を求める問題です。減速運動は加速度運動なので、電車内は非慣性系です。電車内の観測者から見ると、小球には慣性力が働いているように見えます。この慣性力と重力の合力を「見かけの重力」として扱うのが解法の鍵です。
この設問における重要なポイント

• 慣性力の導入: 電車が減速している（進行方向と逆向きの加速度を持つ）ため、小球には進行方向と同じ向きに慣性力が働きます。
• 振動中心の決定: 電車内の観測者から見ると、小球は「重力」と「慣性力」の合力が働く方向に引き寄せられます。この合力の向きが、新しいつり合いの位置、すなわち振動の中心となります。問題文より、このときの糸の傾きが \(\theta\) です。
• 見かけの重力加速度: 「重力」と「慣性力」の合力を「見かけの重力 \(mg’\)」とみなします。この \(g’\) を「見かけの重力加速度」と呼び、これを単振り子の周期の公式に適用します。
• 力のつり合い: 振動の中心では、糸の張力と見かけの重力がつり合っています。この力のつり合いの関係から、見かけの重力加速度 \(g’\) を求めます。

具体的な解説と立式
電車が減速しているため、その加速度は進行方向と逆向き（負の向き）です。したがって、電車内の小球には、進行方向と同じ向き（正の向き）に慣性力が働きます。
振動の中心（つり合いの位置）では、糸は鉛直線から \(\theta\) だけ傾いています。この位置で、小球に働く力は「重力 \(mg\)」（鉛直下向き）、「慣性力 \(F_{\text{慣性}}\)」（水平右向き）、そして「糸の張力 \(T\)」です。
電車内の観測者から見ると、これらの力がつり合っているように見えます。
ここで、重力と慣性力の合力を「見かけの重力 \(\vec{F}\)」とします。振動の中心では、この見かけの重力 \(\vec{F}\) と張力 \(\vec{T}\) がつり合っているため、\(\vec{F}\) の向きは糸の張力の向きと逆、すなわち糸の延長線上（斜め下向き）になります。
力のつり合いを図で考えると、見かけの重力 \(F\) の鉛直成分が、実際の重力 \(mg\) と等しくなります。
$$ F \cos\theta = mg \quad \cdots ① $$
この見かけの重力 \(F\) を \(mg’\) と書き換えることで、見かけの重力加速度 \(g’\) を定義します。
$$ F = mg’ \quad \cdots ② $$
この \(g’\) を使って、単振り子の周期の公式を適用すると、周期 \(T_2\) は次のように表せます。
$$ T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g’}} \quad \cdots ③ $$

まず、①式と②式から、見かけの重力加速度 \(g’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
(mg’) \cos\theta &= mg \\[2.0ex]g’ &= \frac{g}{\cos\theta}
\end{aligned}
$$
この \(g’\) を③式に代入して、周期 \(T_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T_2 &= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g’}} \\[2.0ex]&= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g/\cos\theta}} \\[2.0ex]&= 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}} \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

電車がブレーキをかけると、中の人は前に押し出されるような力（慣性力）を感じます。振り子のおもりも同様に、前に押し出されます。その結果、振り子にとっての「真下」の方向が、本来の真下（重力の方向）と、前に押される力（慣性力の方向）を合わせた、斜め下の方向になります。この「見かけの真下」の方向が新しい振り子の中心になります。また、この「見かけの重力」は本来の重力より強くなるため、振り子の揺れる周期は速く（短く）なります。この見かけの重力の大きさを計算し、周期の公式に当てはめます。

周期は \(T_2 = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{L\cos\theta}{g}}\) [s] です。
\(\cos\theta < 1\) なので、\(T_2 < T_1\) となります。これは、見かけの重力加速度 \(g’ = g/\cos\theta\) が \(g\) よりも大きくなったことに対応し、重力が強くなったために振り子の周期が短くなったと解釈できます。物理的に妥当な結果です。もし電車が静止すれば \(\theta=0\) となり、\(\cos\theta=1\) なので \(T_2 = T_1\) となり、(1)の結果と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 慣性力と見かけの重力:
  • 核心: 加速度運動する座標系（非慣性系）で物体の運動を考えるとき、その座標系の加速度 \(\vec{a}\) とは逆向きに、大きさ \(ma\) の「慣性力」という見かけの力が働いていると考えることで、ニュートンの運動法則を形式的に適用できます。
  • 理解のポイント: 特に振り子のような問題では、本来の重力 \(\vec{F}_g = m\vec{g}\) と慣性力 \(\vec{F}_{\text{慣性}} = -m\vec{a}\) のベクトル和を「見かけの重力 \(\vec{F}’ = m\vec{g}’\))」と定義するのが極めて有効です。この \(\vec{g}’\) を「見かけの重力加速度」と呼び、単振り子の周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{L/g}\) の \(g\) をこの \(g’\) に置き換えるだけで、周期を求めることができます。
• 単振動の中心の移動:
  • 核心: 慣性力が働くと、力のつり合いの位置が変化します。単振り子の場合、振動の中心はもはや鉛直下方ではなく、「見かけの重力」が働く方向になります。
  • 理解のポイント: (1)では慣性力が0なので、振動中心は鉛直下方。 (2)では慣性力が働くため、振動中心は重力と慣性力の合力の向き、すなわち鉛直線から \(\theta\) 傾いた方向へと移動します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーター内のばね振り子: 上下に加速するエレベーター内では、慣性力は鉛直方向に働きます。見かけの重力は \(m(g \pm a)\) となり、見かけの重力加速度は \(g’ = g \pm a\) となります。
  • 自由落下する箱の中の物体: 見かけの重力加速度は \(g’ = g – g = 0\) となり、無重力状態と同じになります。
  • 遠心力が働く系での運動: 回転する円盤の上の物体など。この場合、慣性力の一種である「遠心力」を考え、見かけの重力を定義することで問題を単純化できます（例：円錐振り子を回転系で解く場合）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標系の確認: まず、自分がどの座標系（慣性系か非慣性系か）で問題を解こうとしているのかを明確にします。
  2. 非慣性系なら慣性力を導入: 電車内やエレベーター内など、加速度運動する座標系で考える場合は、必ず慣性力を図に書き込みます。向きは「座標系の加速度と逆向き」、大きさは「\(ma\)」です。
  3. 「見かけの重力」を探す: 慣性力と本来の重力の2つがある場合、それらのベクトル和を「見かけの重力」として一つにまとめてしまうと、問題の見通しが格段に良くなります。
  4. 公式の \(g\) を \(g’\) に置き換える: 見かけの重力加速度 \(g’\) が求まれば、あとは単振り子の周期や浮力など、\(g\) を含む様々な公式の \(g\) を \(g’\) に置き換えて適用できないか検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の向きの間違い:
  • 誤解: 慣性力の向きを、加速度と同じ向きにしてしまう。
  • 対策: 慣性力は「加速度と必ず逆向き」と覚えましょう。電車が右向きに加速すれば慣性力は左向き、右向きに減速（＝左向きに加速）すれば慣性力は右向きです。
• 見かけの重力加速度の計算ミス:
  • 誤解: 重力と慣性力が直交する場合に、\(g’ = g+a\) のようにスカラーで足し算してしまう。
  • 対策: 力はベクトルです。見かけの重力 \(\vec{F}’\) は、重力 \(\vec{F}_g\) と慣性力 \(\vec{F}_{\text{慣性}}\) の「ベクトル和」です。大きさを求める際は、三平方の定理（\(F’ = \sqrt{(mg)^2 + (ma)^2}\)）や、力のつり合いの図から三角比を使って正しく計算する必要があります。この問題では、力のつり合いから \(mg’ = mg/\cos\theta\) と求めました。
• 周期の公式の混同:
  • 誤解: (2)でも、慣性力を考えずに通常の周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{L/g}\) を使ってしまう。
  • 対策: 周期は振動を引き起こす復元力によって決まります。非慣性系では、この復元力が見かけの重力に依存するため、周期も変化します。「加速度運動する系では、何かが変わるはずだ」と常に意識することが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 「傾いた世界」のイメージ: (2)の状況は、まるで重力が斜め下（鉛直線から \(\theta\) 傾いた方向）に働き、その大きさが \(g’ = g/\cos\theta\) になった「新しい世界」で振り子を振っている、とイメージすることができます。この世界では、床も重力に対して垂直ではなく傾いているように感じられます。このイメージを持つと、振動中心がなぜ傾くのか、周期がなぜ変わるのかが直感的に理解できます。
  • 力のベクトル図: (2)の振動中心での力のつり合いを図示することが極めて重要です。鉛直下向きの \(m\vec{g}\)、水平方向の \(\vec{F}_{\text{慣性}}\)、そして斜め上向きの張力 \(\vec{T}\) の3つのベクトルが釣り合っている図を描きます。さらに、\(m\vec{g}\) と \(\vec{F}_{\text{慣性}}\) の合力が「見かけの重力 \(\vec{F}’\))」であり、これが張力 \(\vec{T}\) と一直線上で逆向きにつり合っていることを図で確認すると、関係式 \(F’\cos\theta = mg\) が一目瞭然となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 単振り子の周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{L/g}\)):
  • 選定理由: (1)と(2)の両方で、単振り子の周期を求めるという明確な目的があるため。これは単振り子の運動を代表する最も重要な公式です。
  • 適用根拠: この公式は、振り子の復元力が \(F \approx – (mg/L)x\) と近似できることから導かれます。重要なのは、復元力の源が「重力」である点です。(2)のように見かけの重力が変化する系では、この \(g\) を見かけの重力加速度 \(g’\) に置き換えることで、公式を拡張適用できるという論理に基づいています。
• 力のつり合いの式 (\(F\cos\theta = mg\)):
  • 選定理由: (2)で、未知数である「見かけの重力加速度 \(g’\)」を、既知の量（\(g, \theta\)）を用いて表すために必要だからです。
  • 適用根拠: 振動の中心とは、定義上、力がつり合う点です。非慣性系では「実際に働く力＋慣性力」の合力が0になるという条件を適用します。この問題では、見かけの重力と張力がつり合うという条件から、力の成分分解によってこの式を導きます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 等速運動時の周期計算:
   • 戦略: 慣性力が働かない慣性系の状況とみなし、基本公式を適用する。
   • フロー: ①電車が等速運動 \(\rightarrow\) 加速度 \(a=0\) \(\rightarrow\) 慣性力 \(F_{\text{慣性}}=0\)。 ②よって、地上と同じ単振り子とみなせる。 ③周期の公式 \(T_1 = 2\pi\sqrt{L/g}\) を適用。
2. (2) 減速運動時の周期計算:
   • 戦略: 見かけの重力加速度 \(g’\) を求め、周期の公式を拡張適用する。
   • フロー: ①電車が減速 \(\rightarrow\) 進行方向に慣性力が働く。 ②振動中心（つり合いの位置）で、重力・慣性力・張力がつり合う図を描く。 ③重力と慣性力の合力を「見かけの重力 \(mg’\)」と定義する。 ④力のつり合いの図から、\(mg’\) と \(mg\) の関係式（\(mg’\cos\theta = mg\)）を導く。 ⑤この式から \(g’\) を求める（\(g’ = g/\cos\theta\)）。 ⑥周期の公式の \(g\) を \(g’\) で置き換えて、\(T_2 = 2\pi\sqrt{L/g’}\) を計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題は文字式で答える形式なので、必然的に文字計算になりますが、途中で \(g’\) という新しい文字を導入することで、思考のステップが明確になり、計算の見通しが良くなります。
• 三角関数の関係の正確性: 力のつり合いの図から、どの辺が \(\cos\theta\) で、どの辺が \(\sin\theta\) に対応するのかを正確に把握することが重要です。図を丁寧に描く習慣がミスを防ぎます。
• 単位の確認: 最終的な答えの次元（単位）が時間の次元になっているかを確認するのも有効です。\(\sqrt{L/g}\) は \(\sqrt{\text{m} / (\text{m/s}^2)} = \sqrt{\text{s}^2} = \text{s}\) となり、正しく時間の単位になっています。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 極端な条件での検討:
  • (2)の答え \(T_2 = 2\pi\sqrt{L\cos\theta/g}\) で、もし減速をやめて等速運動に戻った場合を考えます。このとき、慣性力は0になり、つり合いの位置は鉛直下方に戻るため \(\theta=0\) となるはずです。式に \(\theta=0\) を代入すると、\(\cos 0 = 1\) なので \(T_2 = 2\pi\sqrt{L/g}\) となり、(1)の答え \(T_1\) と一致します。このように、既知の状況と一致することを確認するのは、解答の妥当性を吟味する上で非常に有効な手段です。
• 物理的直感との比較:
  • 電車が減速すると、振り子は前に振られます。これは、見かけの重力が強くなった（\(g’ > g\)）と解釈できます。重力が強くなれば、振り子の動きはキビキビと速くなるはず、つまり周期は短くなるはずです。解答は \(T_2 < T_1\) を示しており、この物理的な直感と一致しています。

155 振動する台上の物体の運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねで支えられた板の上に乗ったおもりの単振動と、その分離条件を扱う問題です。鉛直方向の単振動であり、重力の影響を常に考慮する必要があります。
この問題の核心は、まず板とおもりを一体とみなして単振動の基本的な性質（つり合いの位置、運動方程式）を理解し、次におもりと板を別々の物体としてそれぞれの運動方程式を立て、おもりが板から離れる条件（垂直抗力が0）を導き出すことにあります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直ばね振り子と物体の分離」です。2物体が一体として運動している間と、分離した後では運動の法則が変わる点が特徴です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
おもりと板が一体となってつり合っているときの、力のつり合いの式を立てる問題です。つり合いの状態では、物体に働く力の合力は0です。
この設問における重要なポイント

• 一体とみなす: つり合っている状態では、おもりと板は一体として振る舞います。したがって、質量 \((m_1+m_2)\) の一つの物体として考えます。
• 力の図示: この質量 \((m_1+m_2)\) の物体に働く力は、鉛直下向きの「重力 \((m_1+m_2)g\)」と、鉛直上向きの「ばねの弾性力 \(kd\)」です。
• 力のつり合いの立式: これら2つの力がつり合っているので、大きさが等しいという式を立てます。

具体的な解説と立式
おもりと板を一体（質量 \(m_1+m_2\)）と考えると、この物体に働く力は、鉛直下向きの重力 \((m_1+m_2)g\) と、鉛直上向きの弾性力です。
ばねは自然の長さから \(d\) だけ縮んでいるので、弾性力の大きさは \(kd\) です。
これらがつり合っているので、力のつり合いの式は以下のようになります。
$$ (m_1+m_2)g – kd = 0 $$

式を立てるだけなので、計算過程はありません。

板とおもりの合計の重さ（下向きの力）と、ばねがそれを支える力（上向きの力）がちょうど釣り合って静止している状態を、数式で表します。

力のつり合いの式は \((m_1+m_2)g – kd = 0\) です。これは鉛直ばね振り子の振動中心を決定する基本的な式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
おもりと板が一体となって運動しているとき、位置 \(x\) における加速度 \(a\) を求める問題です。運動方程式 \(ma=F\) を立てることが目標です。
この設問における重要なポイント

• 一体とみなす: この時点ではまだ一体で運動しているので、質量 \((m_1+m_2)\) の物体として考えます。
• 座標と変位: つり合いの位置が原点 \(x=0\)、鉛直下向きが正です。位置 \(x\) にあるとき、ばねはつり合いの位置からさらに \(x\) だけ縮んでいます。したがって、自然長からの縮みは \((d+x)\) となります。
• 運動方程式の立式: 鉛直下向きを正として、運動方程式 \((m_1+m_2)a = F_{\text{合力}}\) を立てます。合力は、重力と弾性力の和です。
• 式の整理: (1)で立てたつり合いの式を利用すると、運動方程式がシンプルな形に整理できます。

具体的な解説と立式
おもりと板を一体（質量 \(m_1+m_2\)）と考え、鉛直下向きを正として運動方程式を立てます。
位置 \(x\) にあるとき、物体に働く力は、

• 重力: \((m_1+m_2)g\) （正の向き）
• 弾性力: \(k(d+x)\) （負の向き）

よって、運動方程式は、
$$ (m_1+m_2)a = (m_1+m_2)g – k(d+x) \quad \cdots ① $$

(1)の結果 \((m_1+m_2)g = kd\) を①式に代入して整理します。
$$
\begin{aligned}
(m_1+m_2)a &= kd – k(d+x) \\[2.0ex](m_1+m_2)a &= kd – kd – kx \\[2.0ex](m_1+m_2)a &= -kx
\end{aligned}
$$
したがって、加速度 \(a\) は、
$$ a = -\frac{k}{m_1+m_2}x $$
問題では \(k\) を用いない形で表すことが求められているので、(1)の式から \(k = \frac{(m_1+m_2)g}{d}\) を導き、これを代入します。
$$
\begin{aligned}
a &= -\frac{1}{m_1+m_2} \left( \frac{(m_1+m_2)g}{d} \right) x \\[2.0ex]a &= -\frac{g}{d}x
\end{aligned}
$$

物体が振動の中心（つり合いの位置）からずれたときに、どちら向きにどれだけの力が働くかを考え、ニュートンの運動の法則 \(F=ma\) に当てはめます。つり合いの位置からのずれ \(x\) に比例した復元力が働くことがわかります。

加速度は \(a = -\displaystyle\frac{g}{d}x\) となります。加速度 \(a\) が変位 \(x\) に比例し、向きが逆であることから、この運動が単振動であることが確認できます。比例定数 \(\omega^2 = g/d\) も物理的に妥当な形をしています。

問(3)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) におけるおもりの \(x\) 座標を求める問題です。(2)の結果から、この運動が単振動であることがわかったので、単振動の一般式に初期条件を適用して解を求めます。
この設問における重要なポイント

• 角振動数の特定: (2)の結果 \(a = -\frac{g}{d}x\) と、単振動の定義式 \(a = -\omega^2 x\) を比較することで、角振動数 \(\omega\) を求めます。
• 振幅の決定: 問題文より、\(t=0\) で \(x=x_0\) の位置から「静かにはなす」とあります。これは、\(x=x_0\) が振動の端（この場合は最下端）であることを意味します。したがって、振幅 \(A\) は \(x_0\) となります。
• 単振動の式の選択: \(t=0\) で変位が正の最大（最下端）となる運動は、\(x = A \cos(\omega t)\) という形の式で表すのが最もシンプルです。

具体的な解説と立式
(2)の結果 \(a = -\frac{g}{d}x\) と、単振動の加速度の式 \(a = -\omega^2 x\) を比較すると、
$$ \omega^2 = \frac{g}{d} $$
よって、角振動数 \(\omega\) は、
$$ \omega = \sqrt{\frac{g}{d}} \quad \cdots ① $$
初期条件は \(t=0\) で \(x=x_0\)、初速度 \(v=0\) です。これは振動の端なので、振幅は \(A=x_0\) です。
\(t=0\) で正の変位の最大値をとる単振動の式は、
$$ x = A \cos(\omega t) \quad \cdots ② $$

①と \(A=x_0\) を②式に代入します。
$$ x = x_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{d}}t\right) $$

物体の運動が単振動であることがわかったので、その動きを三角関数（コサイン）で表します。揺れの幅（振幅）はスタート地点の \(x_0\) で、揺れの速さ（角振動数）は(2)で求めた加速度の関係から計算できます。これらを組み合わせて、時刻と位置の関係式を作ります。

時刻 \(t\) における \(x\) 座標は \(x = x_0 \cos\left(\sqrt{\displaystyle\frac{g}{d}}t\right)\) です。
\(t=0\) を代入すると \(x = x_0 \cos(0) = x_0\) となり、初期条件と一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
おもりが板から離れる瞬間の位置を求める問題です。物理的に「離れる」とはどういうことかを考え、それを数式で表現することが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 分離条件: おもりが板から離れるのは、おもりと板の間に働く力、すなわち「垂直抗力 \(N\)」が0になるときです。
• おもりの運動方程式: この問題を解くには、おもりと板を一体としてではなく、質量 \(m_2\) のおもり単体として運動方程式を立てる必要があります。
• 加速度の共有: 離れる瞬間まで、おもりと板は一体で運動しているので、加速度 \(a\) は(2)で求めた \(a = -\frac{g}{d}x\) を共有しています。

具体的な解説と立式
質量 \(m_2\) のおもりについて、鉛直下向きを正として運動方程式を立てます。おもりに働く力は、

• 重力: \(m_2 g\) （正の向き）
• 板からの垂直抗力: \(N\) （負の向き）

よって、おもりの運動方程式は、
$$ m_2 a = m_2 g – N \quad \cdots ① $$
おもりが板から離れる条件は \(N=0\) です。このときの加速度を \(a_{\text{分離}}\) とすると、
$$ m_2 a_{\text{分離}} = m_2 g – 0 $$
$$ a_{\text{分離}} = g $$
この加速度になるような位置 \(x\) を求めます。おもりと板は一体で運動しているので、加速度は \(a = -\frac{g}{d}x\) で与えられます。
したがって、
$$ g = -\frac{g}{d}x $$

上記の方程式を \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
g &= -\frac{g}{d}x \\[2.0ex]1 &= -\frac{x}{d} \\[2.0ex]x &= -d
\end{aligned}
$$

おもりが板から「浮き上がる」瞬間は、板がおもりを押す力（垂直抗力）がちょうどゼロになるときです。この瞬間の運動状態を、おもり単体の運動方程式（力の働き方のルール）から調べます。すると、このときの加速度がちょうど重力加速度 \(g\)（下向き）になることがわかります。この加速度になるのはどの位置かを、(2)で求めた「位置と加速度の関係式」から逆算します。

おもりが板から離れる瞬間の位置は \(x=-d\) です。
これは、つり合いの位置（原点）から測って、上向きに \(d\) だけ移動した点です。つり合いの位置でばねは自然長から \(d\) 縮んでいたので、\(x=-d\) はちょうど「ばねが自然長になる位置」に相当します。物理的にも、ばねが自然長より伸びて板を上向きに引っ張り始めない限り、板の加速度が \(g\) を超えることはなく、妥当な結果です。

問(5)

思考の道筋とポイント
おもりが板から離れるための、初めの位置 \(x_1\) の最小値を求める問題です。(4)で求めた分離位置 \(x=-d\) に到達することが、おもりが離れるための最低条件です。
この設問における重要なポイント

• 分離の条件: おもりが板から離れるためには、単振動の上端が \(x=-d\) に達するか、それよりも上（負の方向）に行く必要があります。
• 振幅と開始位置: \(t=0\) で \(x=x_1\) から静かに運動を始めるので、振幅は \(A=x_1\) です。
• 最小条件: おもりが板から離れるための最小条件は、単振動の振幅がちょうど \(d\) になることです。つまり、振動の上端が分離位置 \(x=-d\) に一致する場合です。

具体的な解説と立式
おもりと板が \(x=-d\) の位置に到達するためには、単振動の振幅 \(A\) が \(d\) 以上でなければなりません。
$$ A \ge d $$
この運動では、\(x=x_1\) から静かに運動を始めるので、振幅 \(A\) は開始位置 \(x_1\) に等しくなります。
$$ A = x_1 $$
したがって、おもりが板から離れるための条件は、
$$ x_1 \ge d $$
この条件を満たす最小の \(x_1\) は、
$$ x_1 = d $$

不等式を解くだけなので、特別な計算過程はありません。

(4)で、おもりが浮き上がる場所は \(x=-d\) だとわかりました。物体を \(x=x_1\) からスタートさせて、振動の一番上（\(x=-x_1\)）が、少なくともこの \(x=-d\) という場所まで届かなければ、おもりは浮き上がりません。ギリギリ届く条件は、スタート地点の \(x_1\) と、浮き上がる場所までの距離 \(d\) が等しいときです。

最小の \(x_1\) は \(d\) です。
つまり、振幅が \(d\) となるように、つり合いの位置から \(d\) だけ押し下げた \(x=d\) の位置からスタートさせれば、振動の上端がちょうど分離位置 \(x=-d\) に到達し、おもりは板から離れ始めます。これより浅く押し下げた場合は、\(x=-d\) に到達する前におもりが折り返すため、離れることはありません。物理的に妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 鉛直ばね振り子の運動方程式:
  • 核心: 鉛直ばね振り子の運動を解析する際の定石は、まず「力のつり合いの位置」を特定し、そこを原点として座標軸を設定することです。つり合いの位置からの変位を \(x\) とすると、運動方程式は \(Ma = -kx\) という、重力が消去されたシンプルな復元力の形に帰着します（\(M\) は振動する物体の全質量）。これが(1)と(2)を貫く最も重要な考え方です。
  • 理解のポイント: つり合いの位置では、重力と弾性力の一部が常時打ち消し合っています。そのため、振動を引き起こす力の変化分は、ばねの伸び縮みの変化による \(kx\) のみとなり、あたかも水平なばね振り子のように扱うことができます。
• 物体が分離する条件（垂直抗力=0）:
  • 核心: 床や台の上にある物体が「離れる」「浮き上がる」という現象は、物理的にはそれらの間に働く「垂直抗力 \(N\) が0になる」ことと等価です。この問題では、(4)でおもりが板から離れる瞬間を特定するために、おもり単体の運動方程式を立て、\(N=0\) という条件を適用します。
  • 理解のポイント: 一体として運動している物体でも、分離条件を考える際には、個々の物体に分解してそれぞれの運動方程式を立てる必要があります。そして、一体で運動している間の加速度を、個々の物体の運動方程式に適用するという連携が鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 単振動する台の上で滑り出す物体: 水平に単振動する台の上に物体が置かれている場合。物体が滑り出す条件は「働く静止摩擦力が最大静止摩擦力を超えるとき」です。本問の分離条件と考え方が似ています。
  • エレベーターの床に置かれた物体: エレベーターが下向きに加速するとき、垂直抗力が減少します。加速度が \(g\) になった瞬間に垂直抗力が0になり、物体は床から浮き上がります（無重力状態）。
  • ジェットコースターのループ: ループの頂点で、乗客が座席から離れないための条件は「垂直抗力 \(N \ge 0\)」です。これも本問の分離条件の考え方と同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動のフェーズを見極める: 「一体で運動している」のか「別々に運動している」のか、運動の段階を区別します。
  2. 一体運動の解析: まず、一体とみなして全体の運動（特に振動中心と加速度）を解析します。
  3. 分離・接触条件の物理的翻訳: 「離れる」「滑る」「倒れる」といった日常的な言葉を、「垂直抗力=0」「静止摩擦力=最大静止摩擦力」といった物理的な条件に翻訳します。
  4. 個別の運動方程式へ: 条件を適用するために、系を個々の物体に分解し、それぞれの運動方程式を立てます。そこに、一体運動で得られた情報（加速度など）を代入して解を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動中心の誤認:
  • 誤解: ばねの自然長の位置を振動の中心だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 鉛直ばね振り子の振動中心は、常に「重力と弾性力がつり合う位置」です。最初にこの位置を正確に特定することが、すべての解析の出発点となります。
• 運動方程式を立てる対象の混同:
  • 誤解: (4)の分離条件を考える際に、おもりと板を一体とした運動方程式に \(N=0\) を代入しようとして混乱する。（一体の運動方程式には \(N\) は登場しない）。
  • 対策: 垂直抗力 \(N\) は、おもりと板の「間」に働く内力です。この力を式に登場させるためには、おもりか板のどちらか（または両方）を単独で取り出して運動方程式を立てる必要があります。目的の力に応じて、どの物体に着目すべきかを明確に区別しましょう。
• 座標軸の向きと力の符号:
  • 誤解: 鉛直下向きを正としたのに、上向きの弾性力や垂直抗力に正の符号をつけてしまう。
  • 対策: 最初に設定した座標軸の正の向きを常に意識し、各力のベクトルがどちらを向いているかに基づいて、機械的に符号（\(+\) or \(-\)）を決定する習慣をつけましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 力の矢印の変化を追う: 物体が振動するにつれて、位置 \(x\) が変化し、ばねの縮み \((d+x)\) が変わります。それに伴い、上向きの弾性力の矢印が伸び縮みする様子をイメージします。一方、重力の矢印は常に一定です。この弾性力と重力の合力が、復元力となって物体を振動させます。
• 分離の瞬間の加速度: おもりが板から離れる瞬間（\(N=0\)）、おもりに働く力は重力のみになります。このときのおもりの運動方程式は \(m_2 a = m_2 g\) となり、加速度は \(a=g\)（下向き）となります。一方、一体で運動しているときの加速度は \(a=-(g/d)x\) です。この2つの式から、分離が起こる位置は \(g=-(g/d)x\)、すなわち \(x=-d\) と特定できます。この位置は振動の上端方向であり、そこでの加速度は下向きに最大となります。この解釈は物理的に一貫しています。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 3つの基準位置: 「自然長の位置」「力のつり合いの位置（原点O）」「運動の開始点（\(x=x_0\) や \(x=x_1\)）」の3つを、必ず一つの図の中に描き込み、それぞれの位置関係（距離 \(d, x_0\) など）を明記することが、混乱を防ぐ鍵です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由: (1)で、振動の中心における物理的関係を明らかにするため。また、この式から得られる \(k\) と \(d\) の関係は、後の運動方程式を簡略化するための重要な鍵となります。
  • 適用根拠: 振動の中心は、定義上、力の合力が0になる静的な平衡点です。
• 運動方程式 (\(Ma=F\)):
  • 選定理由: (2)で運動の動的な性質（加速度）を記述するため、また(4)で分離条件を考えるため。力と運動の関係を記述する、力学の最も基本的な法則です。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則。一体の運動を考えるときは \(M=m_1+m_2\)、分離条件を考えるときは \(m_2\) のように、対象を明確にして適用します。
• 単振動の変位の式 (\(x=A\cos(\omega t)\)):
  • 選定理由: (3)で、運動の様子を時間の関数として具体的に表現するため。運動が単振動であることが(2)で判明したため、その解であるこの公式が適用できます。
  • 適用根拠: 初期条件（\(t=0\) で端点から静かに放す）に最も合う形の解を選択することで、位相の計算を省略できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)-(3) 一体運動の解析:
   • 戦略: まずは一体の物体として扱い、単振動の基本パラメータを決定し、運動を記述する。
   • フロー: ①力のつり合いから \(k\) と \(d\) の関係式を導く(\( (m_1+m_2)g=kd \))。 → ②一体の運動方程式を立て、①を使って \(a=-(g/d)x\) を導く。 → ③ \(a=-\omega^2x\) と比較して \(\omega\) を求め、初期条件から \(x(t)\) の式を立てる。
2. (4)-(5) 分離条件の解析:
   • 戦略: おもり単体に着目し、垂直抗力が0になる条件を適用する。
   • フロー: ①おもりの運動方程式 \(m_2a = m_2g – N\) を立てる。 → ②分離条件 \(N=0\) を代入し、そのときの加速度 \(a=g\) を求める。 → ③この加速度を一体運動の式 \(a=-(g/d)x\) に代入し、分離位置 \(x=-d\) を特定する。 → ④分離位置に到達するための振幅の最小条件（\(A \ge d\)）を考え、開始位置 \(x_1\) の最小値を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の置き換えを有効活用: (2)以降の計算で、(1)で得られた関係式 \((m_1+m_2)g = kd\) を使うことで、複雑な文字式が \(a=-(g/d)x\) のように劇的に簡単になります。常に既知の関係を使って式を簡略化できないか、という視点を持ちましょう。
• 加速度の向き**: 鉛直方向の運動では、上向きを正とするか下向きを正とするかで、全ての力の符号が変わります。最初にどちらを正としたかを明確にし、最後まで一貫して適用することが、符号ミスを防ぐ上で最も重要です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 分離位置の物理的意味:
  • 求まった分離位置 \(x=-d\) は、ばねが自然長になる位置です。物理的に考えると、板の加速度が上向きに最大になるのは振動の上端です。おもりは重力で下に引かれているため、板が上向きに急加速すると、板がおもりを置き去りにする形で離れます。垂直抗力 \(N=m_2(g-a)\) が0になるのは、板の上向きの加速度 \(a\) が \(g\) に達したときです。このときの板の位置が \(x=-d\) であり、つじつまが合っています。
• 最小条件の妥当性:
  • (5)で求めた最小の \(x_1=d\) は、振幅が \(d\) であることを意味します。このとき、振動の上端は \(x=-d\) となり、ギリギリ分離位置に到達します。もし \(x_1 < d\) ならば、振幅が \(d\) より小さいため、振動の上端は \(x=-d\) まで到達できず、おもりは離れません。これは物理的な直感と完全に一致します。

関連記事

物理基礎・高校物理 無料問題演習サイト – 全単元を網羅し実力アップ！

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。【引用】https://makoto-physics-school.com[…]