「セミナー物理基礎＋物理2025」徹底解説！【第 Ⅰ 章 4】基本例題～基本問題86

基本例題

基本例題10 物体をもち上げる力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直方向の運動方程式」です。物体に働く力（この場合は重力と糸の張力）を正しく図示し、合力を求めて運動方程式 \(ma=F\) を立てることが基本となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
おもりには鉛直下向きに重力、鉛直上向きに糸の張力が働いています。これらの力の合力によって、おもりは加速度運動をします。運動方程式 \(ma=F\) を立てるために、まずどちらの向きを正とするかを決めます。ここでは、力が大きいと予想される張力の向き、つまり鉛直上向きを正として立式します。
この設問における重要なポイント

• 物体に働く力は、重力 \(mg\) と張力 \(T=7.4\,\text{N}\) の\(2\)つ。
• 運動方程式を立てるため、鉛直上向きを正の向きとする。
• 合力 \(F\) は、正の向きの力から負の向きの力を引いて求める。(\(F = T – mg\))
• 運動方程式 \(ma = T – mg\) に値を代入して \(a\) を計算する。

具体的な解説と立式
おもりの質量は \(m=0.50\,\text{kg}\)、重力加速度の大きさは \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) なので、おもりに働く重力の大きさ \(W\) は、
$$
\begin{aligned}
W &= mg \\[2.0ex]
&= 0.50 \times 9.8 \\[2.0ex]
&= 4.9\,\text{N}
\end{aligned}
$$
となります。

糸が引く力（張力）の大きさは \(T=7.4\,\text{N}\) です。

鉛直上向きを正とすると、おもりに働く力の合力 \(F\) は、上向きの張力 \(T\) から下向きの重力 \(W\) を引いたものになります。
$$ F = T – W $$
求める加速度を \(a\) として、運動方程式 \(ma=F\) を立てると、
$$ ma = T – W $$
となります。

立式した運動方程式に、\(m=0.50\,\text{kg}\), \(T=7.4\,\text{N}\), \(W=4.9\,\text{N}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
0.50 \times a &= 7.4 – 4.9 \\[2.0ex]
0.50a &= 2.5
\end{aligned}
$$
両辺を \(0.50\) で割って \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{2.5}{0.50} \\[2.0ex]
&= 5.0\,\text{m/s}^2
\end{aligned}
$$
計算結果の \(a\) は正の値なので、加速度の向きは正と定めた鉛直上向きであることがわかります。

おもりには、地球が下に引っぱる力（重力）と、糸が上に引っぱる力の\(2\)つが働いています。今回は糸が引く力の方が強いので、おもりは上向きに加速していきます。どれくらいの勢いで加速するかを計算するのが運動方程式です。「おもりの重さ × 加速の勢い = 力の差」という式に、わかっている数字を入れて計算します。

加速度は鉛直上向きに \(5.0\,\text{m/s}^2\) となりました。張力 \(7.4\,\text{N}\) が重力 \(4.9\,\text{N}\) よりも大きいので、物体が上向きに加速するという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問では加速度の向きと大きさが与えられており、未知の張力を求めます。(1)と同様に、おもりに働く力を図示し、運動方程式を立てます。このとき、加速度の向きである鉛直下向きを正とすると、計算が少し楽になります。
この設問における重要なポイント

• 加速度の向き（鉛直下向き）を正の向きと設定する。
• 合力 \(F\) は、正の向きの力（重力）から負の向きの力（張力）を引いて求める。(\(F = mg – T\))
• 運動方程式 \(ma = mg – T\) に値を代入して \(T\) を計算する。

具体的な解説と立式
おもりの質量は \(m=0.50\,\text{kg}\)、重力加速度の大きさは \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) なので、重力の大きさは \(W = mg = 4.9\,\text{N}\) です。

加速度は鉛直下向きに \(a=5.0\,\text{m/s}^2\) です。

運動の向きである鉛直下向きを正とします。求める張力の大きさを \(T\) とすると、おもりに働く力の合力 \(F\) は、下向きの重力 \(W\) から上向きの張力 \(T\) を引いたものになります。
$$ F = W – T $$
運動方程式 \(ma=F\) を立てると、
$$ ma = W – T $$
となります。

立式した運動方程式に、\(m=0.50\,\text{kg}\), \(a=5.0\,\text{m/s}^2\), \(W=4.9\,\text{N}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
0.50 \times 5.0 &= 4.9 – T \\[2.0ex]
2.5 &= 4.9 – T
\end{aligned}
$$
この式を \(T\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
T &= 4.9 – 2.5 \\[2.0ex]
&= 2.4\,\text{N}
\end{aligned}
$$

今度は、おもりが下向きに加速しています。これは、地球が下に引っぱる力（重力）の方が、糸が上に引っぱる力よりも強いことを意味します。どれくらい力が違うのかを、運動方程式「おもりの重さ × 加速の勢い = 力の差」を使って計算し、そこから糸が引く力の大きさを求めます。

張力の大きさは \(2.4\,\text{N}\) と求まりました。この値は重力 \(4.9\,\text{N}\) よりも小さく、その結果として物体が下向きに加速するという状況と一致しており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「速度が鉛直下向きに \(1.0\,\text{m/s}\) で一定」という記述が最も重要です。速度が一定ということは、加速度が \(0\) であることを意味します。これは物理学では「等速直線運動」の状態です。慣性の法則によれば、物体が等速直線運動をしているとき、物体に働く力の合力は \(0\) になります。つまり、力がつり合っている状態です。
この設問における重要なポイント

• 「速度が一定」 \(\rightarrow\) 「加速度 \(a=0\)」である。
• 加速度が \(0\) なので、おもりに働く合力は \(0\) である（力のつりあい）。
• 上向きの力（張力）と下向きの力（重力）の大きさが等しい。

具体的な解説と立式
速度が一定なので、加速度は \(a=0\,\text{m/s}^2\) です。

このとき、おもりに働く力はつり合っています。おもりに働く力は、鉛直上向きの張力 \(T\) と、鉛直下向きの重力 \(W=mg\) です。

力のつりあいの式は、

（上向きの力の和）=（下向きの力の和）

となるので、
$$ T = W $$
と立式できます。

重力の大きさ \(W\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= mg \\[2.0ex]
&= 0.50 \times 9.8 \\[2.0ex]
&= 4.9\,\text{N}
\end{aligned}
$$
力のつりあいの式 \(T=W\) より、
$$ T = 4.9\,\text{N} $$
となります。

おもりが一定の速さで動いている、つまり加速も減速もしていないということは、おもりに働いている力がちょうどプラスマイナスゼロになっている状態です。つまり、糸が上に引っぱる力と、地球が下に引っぱる力（重力）が同じ大きさになっています。なので、重力の大きさを計算すれば、それがそのまま糸の力の答えになります。

張力の大きさは \(4.9\,\text{N}\) となり、重力の大きさと等しくなりました。力がつり合っているため加速度が生じず、等速直線運動をするという物理法則と一致しており、妥当な結果です。静止している場合も力がつり合っており、張力は同じ \(4.9\,\text{N}\) となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 \(ma=F\)
  • 核心: この問題の根幹にあるのは、ニュートンの第二法則、すなわち運動方程式 \(ma=F\) です。
  • 理解のポイント:
    • 力の図示: まず、物体に働く力をすべて（この場合は重力と張力）見つけ出し、矢印で図示することが第一歩です。
    • 合力の計算: 次に、正の向きを自分で決め、その向きに従って力の合計（合力 \(F\)）を計算します。正の向きの力はプラス、逆向きの力はマイナスとして足し合わせます。
    • 立式: 最後に、これらの要素を \(ma=F\) という一つの式にまとめます。この式が、力の作用と物体の運動（加速度）を結びつける架け橋となります。
• 力のつりあいとの関係
  • 核心: 設問(3)で登場する「力のつりあい」は、独立した別の法則ではなく、運動方程式の特別な場合（加速度 \(a=0\) の場合）です。
  • 理解のポイント:
    • \(ma=F\) に \(a=0\) を代入すると、\(m \times 0 = F\)、つまり \(F=0\) となります。
    • 合力 \(F\) が \(0\) というのは、まさに力がつり合っている状態（例：上向きの力 = 下向きの力）を意味します。
    • したがって、静止している場合（\(v=0\)）や等速直線運動をしている場合（\(v=\text{一定}\)）は、どちらも \(a=0\) なので、力のつりあいの式を立てることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーター問題: 人が乗ったエレベーターが上昇・下降するときの体重計の目盛りを問う問題。人が体重計から受ける垂直抗力が、この問題の「糸の張力」に相当します。上昇加速中は目盛りが増え（見かけの体重が増加）、下降加速中は目盛りが減り（見かけの体重が減少）ます。
  • 動滑車と定滑車: 複数の物体が糸でつながれて運動する問題。それぞれの物体について運動方程式を立て、連立方程式として解きます。このとき、糸の張力は両端で同じ大きさであること、繋がれた物体の加速度の大きさは（通常）同じであることがポイントになります。
  • 斜面上の運動: 物体が斜面を滑り降りる、または引き上げられる問題。重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解する必要がありますが、運動方程式を立てるという本質は同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず物体に働く力を全て図示する: 問題文を読んだら、まずフリーハンドで良いので、物体とそれに働く力の矢印を描き込みます。重力、張力、垂直抗力、摩擦力など、考えられる力を漏れなくリストアップします。
  2. 運動の向きを予測し、座標軸（正の向き）を設定する: 物体がどちらに動くか（あるいは動きそうか）を考え、その向きを正とすると、加速度 \(a\) が正の値になりやすく、直感的に分かりやすいです。もちろん、逆向きを正にしても数学的には全く問題ありません。
  3. 物体の状態（加速？等速？静止？）を把握する:
     • 「加速」「減速」\(\rightarrow\) 運動方程式 \(ma=F\) を立てる。
     • 「速度が一定」「等速」「ゆっくりと」\(\rightarrow\) 加速度 \(a=0\)。力のつりあいの式を立てる。
     • 「静止」「止まっている」\(\rightarrow\) 加速度 \(a=0\)。力のつりあいの式を立てる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 張力と重力の大きさを混同する:
  • 誤解: 糸で物体を支えているときは、いつでも「張力 = 重力」だと思い込んでしまう。
  • 対策: 「張力 = 重力」が成り立つのは、物体が静止しているか、等速直線運動をしている（加速度が\(0\)の）場合に限られます。物体が加速・減速している場合は、必ず力の差（合力）が存在するため、張力と重力は等しくなりません。常に運動の状態を確認し、加速度があるなら運動方程式、ないなら力のつりあい、と判断する癖をつけましょう。
• 正の向きと力の向きを取り違える:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、自分で設定した正の向きを忘れ、力の符号を間違えてしまう。（例：上向きを正としたのに、下向きの重力をプラスで式に入れてしまう）
  • 対策: 式を立てる前に、必ず図の近くに「鉛直上向きを正とする」のように、座標軸の向きを明記しましょう。そして、式を立てる際には、その矢印の向きと力の矢印の向きを一つ一つ指差し確認しながら、符号（プラスかマイナスか）を決めていくと、ケアレスミスを防げます。
• 質量(\(\text{kg}\))と重さ(\(\text{N}\))の混同:
  • 誤解: 運動方程式 \(ma=F\) の \(m\) に、重力の大きさ \(mg\) を代入してしまう。
  • 対策: 質量 \(m\) は物体そのものが持つ「動きにくさ」を表す量で、単位は \(\text{kg}\) です。一方、重さ（重力） \(W\) は地球が物体を引く「力」であり、単位は \(\text{N}\) です。\(W=mg\) という関係をしっかり理解し、運動方程式の左辺は必ず質量 \(m\) [\(\text{kg}\)]、右辺の力 \(F\) には重力 \(mg\) [\(\text{N}\)] を使う、という区別を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1), (2)での公式選択（運動方程式）:
  • 選定理由: 問題文に「加速度」という言葉が明記されている、あるいは加速度を求めるよう指示されています。物体の運動（加速度）と力（張力、重力）の関係を記述する法則は、運動方程式 \(ma=F\) 以外にありません。したがって、この公式を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: ニュートンの運動の第二法則は、力が働いている物体の運動を記述する最も基本的な法則であり、この問題の状況に完全に合致しています。
• (3)でのアプローチ選択（力のつりあい）:
  • 選定理由: 「速度が一定」というキーワードが思考の出発点です。物理学において「速度が一定」は「加速度が\(0\)」と直結します。加速度が\(0\)のときの物体の力の状態を記述するのが「慣性の法則」であり、その帰結が「力のつりあい（合力が\(0\)）」です。最もシンプルに現象を表現できるため、このアプローチが最適解となります。
  • 適用根拠: 慣性の法則（運動の第一法則）は、力が働かない、あるいは働く力がつり合っている物体の運動を記述する法則です。この問題の「等速直線運動」という状況は、まさにこの法則が適用される典型的な場面です。
• (3)別解でのアプローチ選択（運動方程式で \(a=0\)）:
  • 選定理由: (1), (2)で用いた運動方程式という単一の原理で、(3)の状況も統一的に説明できることを示すためです。物理法則の一般性（力のつりあいは運動方程式の特殊なケースであること）を理解する上で非常に教育的なアプローチです。
  • 適用根拠: 運動方程式は加速度が\(0\)でない場合も\(0\)である場合も含む、より一般的な法則です。したがって、\(a=0\) という条件を代入して特殊な場合を解くことは、論理的に全く問題ありません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を意識する: 運動方程式 \(ma=F\) の各項の単位が、左辺: \(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\)、右辺: \(\text{N}\) となっていることを常に意識しましょう。もし、\(m\) に重さ(\(\text{N}\))を代入していたら、単位の次元が合わないことに気づけるはずです。
• 重力の計算を最初に済ませる: 問題を読み始めたら、まず重力の大きさ \(W = mg = 0.50 \times 9.8 = 4.9\,\text{N}\) を計算し、問題用紙の余白に大きくメモしておきましょう。設問ごとに毎回計算すると、その都度ミスの可能性が生まれます。
• 立式と計算を分離する: まずは文字式（例: \(ma = T – mg\)）の形で完璧に立式することに集中します。物理的な考察はここまでで完了です。その後、別のステップとして、その文字式に数値を代入して計算を実行します。このプロセスを分けることで、物理的な思考のミスなのか、単なる計算ミスなのか、原因の切り分けがしやすくなります。
• 移項の符号ミスに注意: (2)の \(2.5 = 4.9 – T\) のような式を解くとき、焦って \(T = 4.9 + 2.5\) のように符号を間違えるミスが頻発します。落ち着いて、\(T\) を左辺に、\(2.5\) を右辺に移項する操作を丁寧に行いましょう。
• 答えの妥当性を吟味する:
  • (1) 上向きに加速 \(\rightarrow\) 張力 \(T\) は重力 \(mg=4.9\,\text{N}\) より大きいはず。計算結果 \(T=7.4\,\text{N}\) は妥当。
  • (2) 下向きに加速 \(\rightarrow\) 張力 \(T\) は重力 \(mg=4.9\,\text{N}\) より小さいはず。計算結果 \(T=2.4\,\text{N}\) は妥当。
  • (3) 加速なし \(\rightarrow\) 張力 \(T\) は重力 \(mg=4.9\,\text{N}\) と等しいはず。計算結果 \(T=4.9\,\text{N}\) は妥当。
  • このように、計算後に物理的な状況と答えの大小関係が合っているかを確認するだけで、多くのミスを発見できます。

基本例題11 接触した2物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「接触した2物体の運動方程式」です。複数の物体が互いに力を及ぼし合いながら一体となって運動する場合の解析方法を学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体AとBは接触したまま一体となって運動するため、両者の加速度の大きさは等しくなります。この共通の加速度を \(a\) とします。
次に、AとBが互いに及ぼしあう力（接触力）を考えます。作用・反作用の法則により、AがBを押す力の大きさと、BがAを押し返す力の大きさは等しくなります。この力の大きさを \(F\) とします。
物体A、物体Bそれぞれに働く力を整理し、運動の向き（右向き）を正として運動方程式を立てます。これにより、未知数 \(a\) と \(F\) を含む2つの式が得られるので、これらを連立して解きます。
この設問における重要なポイント

• A, Bの加速度 \(a\) は共通である。
• AがBを押す力とBがAを押し返す力は、作用・反作用の関係にあり、大きさは等しく \(F\) である。
• 物体Aに働く水平方向の力は、外部から押される力 \(20\,\text{N}\)（右向き）と、Bから押し返される力 \(F\)（左向き）。
• 物体Bに働く水平方向の力は、Aから押される力 \(F\)（右向き）のみ。

具体的な解説と立式
物体A, Bの質量をそれぞれ \(m_A = 2.0\,\text{kg}\), \(m_B = 3.0\,\text{kg}\) とします。

共通の加速度を \(a\)、互いに及ぼしあう力の大きさを \(F\) とし、右向きを正とします。

– 物体Aの運動方程式:

物体Aには、右向きに \(20\,\text{N}\) の力が加わり、左向き（負の向き）に物体Bから \(F\) の力で押し返されます。したがって、合力は \(20 – F\) となります。
$$
\begin{aligned}
m_A a &= 20 – F \\[2.0ex]
2.0a &= 20 – F \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

– 物体Bの運動方程式:

物体Bには、右向きに物体Aから \(F\) の力で押されます。これがBを動かす唯一の水平方向の力です。
$$
\begin{aligned}
m_B a &= F \\[2.0ex]
3.0a &= F \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

①式と②式を連立して解きます。まず、②式を①式に代入して \(F\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
2.0a &= 20 – (3.0a) \\[2.0ex]
2.0a + 3.0a &= 20 \\[2.0ex]
5.0a &= 20
\end{aligned}
$$
この式を \(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{20}{5.0} \\[2.0ex]
&= 4.0\,\text{m/s}^2
\end{aligned}
$$

AとBは連結された電車のようなもので、一緒に動くので加速の勢いは同じです。まず、AとBそれぞれについて、運動のルールである「物体の重さ × 加速の勢い = 働いている力の合計」という式を作ります。Aには「押す力」とBからの「押し返す力」が、BにはAからの「押される力」だけが働きます。この2つの式を組み合わせる（連立方程式を解く）と、加速の勢いが計算できます。

加速度の大きさは \(4.0\,\text{m/s}^2\) と求まりました。計算結果が正の値なので、力が加えられた右向きに加速するという物理的な状況と一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で加速度 \(a\) を求めるために立てた連立方程式と、その計算結果を利用します。(1)で求めた加速度 \(a = 4.0\,\text{m/s}^2\) を、運動方程式①または②に代入することで、AとBの間で及ぼしあう力 \(F\) を求めることができます。式② \(3.0a = F\) の方が式が単純なので、こちらに代入するのが計算しやすいです。
この設問における重要なポイント

• (1)で求めた加速度 \(a\) の値を用いる。
• 物体Aまたは物体Bの運動方程式に \(a\) の値を代入する。
• 計算が簡単な物体Bの運動方程式 \(m_B a = F\) を使うと効率的である。

具体的な解説と立式
(1)で立てた物体Bの運動方程式②を再掲します。
$$ 3.0a = F $$
この式に、(1)で求めた \(a=4.0\,\text{m/s}^2\) を代入することで \(F\) を求めます。

$$
\begin{aligned}
F &= 3.0 \times a \\[2.0ex]
&= 3.0 \times 4.0 \\[2.0ex]
&= 12\,\text{N}
\end{aligned}
$$

(1)で、AとBがどれくらいの勢いで加速するかがわかりました。Bがその勢いで加速するためには、どれくらいの力で押される必要があるかを計算します。運動のルール「Bの重さ × 加速の勢い = Bを押す力」に、わかっている数字を当てはめれば、答えが直接出てきます。

AとBの間で及ぼしあう力の大きさは \(12\,\text{N}\) と求まりました。これは、Aを最初に押した力 \(20\,\text{N}\) よりも小さい値です。これは、\(20\,\text{N}\) の力のうち、一部（\(12\,\text{N}\)）が物体Bを加速させるために使われ、残り（\(20 – 12 = 8\,\text{N}\)）が物体A自身を加速させるために使われた、と解釈できます。物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 \(ma=F\) の適用
  • 核心: 複数の物体が関係する問題でも、基本は「物体一つ一つに着目し、それぞれに働く力をすべて見つけ出し、運動方程式を立てる」という原則に尽きます。
  • 理解のポイント:
    • 力の図示: 各物体について、それが「受ける」力をすべて矢印で描き出すことが最も重要です。
    • 加速度の共通性: 接触して一体で運動する場合、各物体の加速度は大きさも向きも全く同じになります。これを同じ文字（例: \(a\)）で置くことがポイントです。
    • 連立方程式: 物体の数だけ運動方程式が立つので、未知数（加速度や内力）を解くための連立方程式が得られます。
• 作用・反作用の法則
  • 核心: 物体Aが物体Bを押す力と、物体Bが物体Aを押し返す力は、必ず大きさが等しく向きが逆になります。この法則があるからこそ、両方の力を同じ文字（例: \(F\)）で表現でき、連立方程式が解けるのです。
  • 理解のポイント: 接触する物体間や、糸でつながれた物体間に働く力（内力）は、必ずこの法則に従います。
• 「一体とみなす」考え方（内力と外力）
  • 核心: 加速度だけを求めたい場合、一体で動く複数の物体を「一つの大きな物体（系）」とみなすと、計算を大幅に簡略化できます。
  • 理解のポイント:
    • 外力: 系の外から加えられる力（この問題では \(20\,\text{N}\)）だけが、系全体の加速度を生み出します。
    • 内力: 系の内部で物体同士が及ぼしあう力（接触力 \(F\)）は、作用・反作用で必ずペアになっており、系全体で見れば互いに打ち消し合います。そのため、全体の運動方程式を立てる際には無視できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 糸でつながれた2物体の運動: 接触力の代わりに「張力」が登場します。張力も作用・反作用の法則に従う内力であり、考え方は全く同じです。
  • 重ねた2物体の運動: 上の物体と下の物体の間に「摩擦力」が働く、より複雑な問題。この摩擦力が内力となり、上の物体を加速させたり、下の物体を減速させたりします。
  • 動滑車を含む問題: 物体ごとに加速度の大きさが異なる場合があるため、注意が必要です。糸の全長が変わらない、という条件から加速度の間の関係式を導き出す必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 個別にみるか、一体でみるか:
     • 加速度だけを問われたら → 「一体」でみて外力だけで解くのが速い。
     • 物体間の力（内力）を問われたら → 「個別」にみて運動方程式を立てる必要がある。
  2. 力の図示の徹底: 特に内力（接触力、張力、摩擦力）を作用・反作用のペアで正しく描き込めるかが勝負の分かれ目です。
  3. 未知数の設定: 共通の加速度を \(a\)、未知の内力を \(F\) や \(T\) と置き、物体の数だけ方程式を立てる、という機械的な手順を確立することが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 作用・反作用の力を同じ物体に描いてしまう:
  • 誤解: AがBを押す力とBがAを押し返す力の両方を、物体A（またはB）に働く力として図示してしまう。
  • 対策: 「作用・反作用の法則」の主語と目的語を意識しましょう。「AがBに」及ぼす力はBに働き、「BがAに」及ぼす力はAに働きます。2つの力は異なる物体に働くことを徹底してください。
• 内力と外力の混同:
  • 誤解: 「一体」で考えているのに、内力である接触力 \(F\) を運動方程式に含めてしまう。（例: \((m_A+m_B)a = 20 – F + F\) のように混乱する）
  • 対策: 「一体」で考えるときは、その物体の「表面」に触れている外力だけを探す、と意識してください。内部で何が起きているかはブラックボックスとして無視します。
• 押す力 \(20\,\text{N}\) が物体Bにも直接働くと考えてしまう:
  • 誤解: 物体Bの運動方程式を立てる際に、\(m_B a = F + 20\) のように、外力 \(20\,\text{N}\) を含めてしまう。
  • 対策: 力は接触している物体にしか伝わらないのが原則です。\(20\,\text{N}\) の力はAにしか触れていません。Bを動かしているのは、あくまで「AがBを押す力 \(F\)」だけである、という物理的な力の伝達を正確にイメージしてください。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（連立方程式 or 一体モデル）:
  • 選定理由（連立）: 最も基本的で、どんな問題にも通用する王道のアプローチです。内力も同時に求める必要があるため、(2)まで見据えると結局この方法が必要になります。
  • 選定理由（一体）: 設問が加速度のみを求めているため、内力を計算過程から排除できるこの方法が最も効率的です。物理現象をより高い視点から捉える思考法と言えます。
• (2)での公式選択（物体Bの運動方程式）:
  • 選定理由: 物体Bに働く水平方向の力は \(F\) のみで、運動方程式が \(m_B a = F\) と非常にシンプルです。一方、物体Aの式 \(m_A a = 20 – F\) は項が多く、移項も必要になるため、計算ミスを誘発しやすいです。より単純な式を選択するのが賢明です。
  • 適用根拠: (1)で求めた加速度 \(a\) はAとBで共通なので、どちらの物体の運動方程式に代入しても、未知数である \(F\) を求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の加減法を有効活用: 今回の問題では代入法を用いましたが、①式 \(2.0a = 20 – F\) と ②式 \(3.0a = F\) を辺々足し合わせると、\(2.0a + 3.0a = (20 – F) + F\) となり、\(5.0a = 20\) が得られます。これは「一体」で考えた式と全く同じ形になり、内力 \(F\) が自然に消去されます。この方法は計算ミスを減らすのに有効です。
• 文字式のまま計算を進める: \(m_A a = P – F\), \(m_B a = F\) として、まず文字で \(a\) と \(F\) を解いてみることを推奨します。\(a = \displaystyle\frac{P}{m_A+m_B}\), \(F = \displaystyle\frac{m_B P}{m_A+m_B}\) となります。この結果に数値を代入すれば、計算の見通しが良くなり、検算もしやすくなります。
• 答えの物理的な意味を考える（検算）:
  • 加速度 \(a=4.0\,\text{m/s}^2\): もしAだけなら \(a = 20/2.0 = 10\,\text{m/s}^2\)。重いBがいるので、それより小さくなるはずです。\(4.0\) は妥当な値です。
  • 力 \(F=12\,\text{N}\): この力は質量 \(3.0\,\text{kg}\) のBを \(a=4.0\,\text{m/s}^2\) で加速させるための力です。\(F = m_B a = 3.0 \times 4.0 = 12\,\text{N}\) となり、つじつまが合います。また、外力 \(20\,\text{N}\) を超えることはありえません。\(12 < 20\) で妥当です。
• 力の図示を丁寧に: フリーハンドでも良いので、物体ごとに少し離して描き、それぞれの物体に働く力を、作用点が物体の中心になるように丁寧に描き込みましょう。これにより、どの力がどの物体に働くのかが視覚的に明確になります。

基本例題12 連結された物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「滑車を介して連結された物体の運動」です。前問の接触した物体と同様に、複数の物体が一体となって運動する状況を扱いますが、今回は滑車によって運動の向きが変わる点が特徴です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体AとBは一本の軽い糸でつながれているため、Aが右に動く速さとBが下に動く速さは常に等しく、したがって加速度の大きさも共通になります。この加速度を \(a\) とします。また、軽い糸の張力はどこでも同じ大きさなので、Aを引く張力とBを引く張力の大きさを同じ \(T\) と置くことができます。
物体Aと物体Bそれぞれについて、働く力を整理し、運動方向を正として運動方程式を立てます。この2つの式を連立させることで、加速度 \(a\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• A, Bの加速度の大きさ \(a\) は共通である。
• Aを引く張力とBを引く張力の大きさ \(T\) は共通である。
• 物体Aの運動方程式: 水平方向の運動に着目する。運動方向（右向き）を正とする。
• 物体Bの運動方程式: 鉛直方向の運動に着目する。運動方向（下向き）を正とする。

具体的な解説と立式
物体A, Bの質量はそれぞれ \(M\), \(m\) です。共通の加速度の大きさを \(a\)、糸の張力の大きさを \(T\) とします。

– 物体Aの運動方程式:

物体Aに働く水平方向の力は、糸の張力 \(T\) のみです。運動方向である右向きを正とすると、
$$ Ma = T \quad \cdots ① $$

– 物体Bの運動方程式:

物体Bには、鉛直下向きに重力 \(mg\)、鉛直上向きに張力 \(T\) が働きます。運動方向である下向きを正とすると、合力は \(mg – T\) となります。
$$ ma = mg – T \quad \cdots ② $$

①式と②式を連立して \(a\) を求めます。\(T\) を消去するために、①式と②式を辺々足し合わせます。
$$
\begin{aligned}
Ma + ma &= T + (mg – T) \\[2.0ex]
(M+m)a &= mg
\end{aligned}
$$
この式を \(a\) について解きます。
$$ a = \frac{m}{M+m}g $$

AとBは糸でつながれた「運命共同体」で、同じ勢い（加速度）で動きます。この運動全体のエネルギー源は、Bを地球が引っぱる力（重力 \(mg\)）です。この力が、AとBを合わせた全体の重さ（\(M+m\)）を加速させます。運動のルール「全体の重さ × 加速の勢い = 全体を動かす力」に当てはめると、加速の勢いを計算できます。

加速度の大きさは \(a = \displaystyle\frac{m}{M+m}g\) と求まりました。この式を吟味してみましょう。もしBがなければ(\(m=0\))、加速度は \(a=0\) となり動きません。もしAがなければ(\(M=0\))、Bは自由に落下するので加速度は \(a=g\) となります。どちらも物理的に正しい結果であり、求めた式は妥当であると言えます。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で加速度 \(a\) が求まったので、これを使えば張力 \(T\) を計算できます。(1)で立てた運動方程式①または②に、求めた \(a\) の式を代入します。式① \(Ma = T\) の方が単純なので、こちらに代入するのが最も簡単です。
この設問における重要なポイント

• (1)で求めた加速度 \(a\) の式を用いる。
• 物体Aの運動方程式 \(Ma=T\) に代入するのが計算が最も少ない。

具体的な解説と立式
(1)で立てた物体Aの運動方程式①を再掲します。
$$ T = Ma $$
この式の \(a\) に、(1)で求めた \(a = \displaystyle\frac{m}{M+m}g\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
T &= M \times a \\[2.0ex]
&= M \times \frac{m}{M+m}g \\[2.0ex]
&= \frac{Mm}{M+m}g
\end{aligned}
$$

(1)で、物体Aがどれくらいの勢いで加速するかがわかりました。物体Aがその勢いで動くためには、糸がどれくらいの力でAを引っぱる必要があるかを計算します。運動のルール「Aの質量 × Aの加速の勢い = 糸がAを引く力」に、(1)でわかった値を当てはめれば、答えが出てきます。

張力の大きさは \(T = \displaystyle\frac{Mm}{M+m}g\) と求まりました。この張力は、物体Bの重力 \(mg\) よりも小さいでしょうか？ \(T = \displaystyle\frac{M}{M+m} \times mg\) と変形でき、\(\displaystyle\frac{M}{M+m}\) は必ず \(1\) より小さいので、\(T < mg\) となります。これは、Bが下に加速している（重力が張力に勝っている）という事実と一致し、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 \(ma=F\) の連立適用
  • 核心: 複数の物体が連動して運動する場合でも、基本は「物体一つ一つに個別に着目し、それぞれについて運動方程式を立てる」という原則にあります。
  • 理解のポイント:
    • 力の図示: 各物体が「受ける」力を、重力、張力など、すべて正確に図示することが全ての始まりです。
    • 未知数の設定: 複数の物体に共通する物理量（この問題では加速度の大きさ \(a\) と張力の大きさ \(T\)）を同じ文字で置くことで、連立方程式として解く準備が整います。
    • 立式: 物体の数だけ運動方程式が立つので、未知数の数と方程式の数が一致し、必ず解を求めることができます。
• 運動の一体性と張力の性質
  • 核心: 「軽くて伸び縮みしない糸」で結ばれた物体群は、運動において一体として振る舞います。
  • 理解のポイント:
    • 加速度の共通性: 糸がたるまない限り、連結された全ての物体の速さ、そして加速度の「大きさ」は等しくなります。
    • 張力の均一性: 「軽い」糸では、どの部分をとっても張力の大きさは同じです。また、張力は常に物体を「引く」向きに働きます。
• 「一体とみなす」考え方（駆動動力と内力）
  • 核心: 加速度だけを求めたい場合、連結された物体全体を一つの「系」とみなすことで、計算を劇的に簡略化できます。
  • 理解のポイント:
    • 駆動動力（外力）: 系全体を動かす「エンジン」となる力は何かを見抜きます。この問題では、物体Bに働く重力 \(mg\) が系全体を動かす唯一の駆動動力です。
    • 内力: 糸の張力のように、系内部の物体同士で及しあう力は「内力」と呼ばれます。内力は作用・反作用の関係にあるため、系全体で考えると常に相殺されます。したがって、系全体の運動方程式には現れません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 両端に物体が吊るされた滑車（アトウッドの器械）: 2つの物体に重力が働くため、系全体を動かす駆動動力は、2つの重力の「差」(\((m_2-m_1)g\))になります。一方、系全体の質量は2つの質量の「和」(\(m_1+m_2\))です。
  • 斜面上の物体と連結された物体: 駆動動力は、斜面上の物体の重力の「斜面平行成分」と、吊るされた物体の重力との合力（綱引きのようなイメージ）になります。
  • 摩擦力が働く場合: 駆動動力から、運動を妨げる「摩擦力」を引いたものが、正味の駆動動力となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「駆動動力」は何かを探す: このシステム全体を動かそうとしている「エンジン」はどの力か？ 運動方向を向いている外力は何か？ を見抜きます。
  2. 次に「全体の質量」を把握する: 運動に関わる物体すべての質量を足し合わせます。
  3. 加速度を予測する: 加速度は「(正味の駆動動力) ÷ (全体の質量)」で計算できる、という大枠を常に意識します。
  4. 張力（内力）を問われたら: 「一体」モデルでは内力は消えてしまうため、個別の物体に戻って運動方程式を立てる必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 張力の向きの間違い:
  • 誤解: 張力が物体を「押す」向きに働く、あるいは物体Bに下向きに働くと考えてしまう。
  • 対策: 張力は常に糸が物体を「引く」向きに働きます。したがって、物体Aには右向き、物体Bには上向きに作用します。ロープをイメージすると分かりやすいです。
• 物体Aの運動方程式に重力を入れてしまう:
  • 誤解: 物体Aの運動方程式を立てる際、水平方向の運動であるにもかかわらず、鉛直方向の力である重力 \(Mg\) を式に含めてしまう。
  • 対策: 運動方程式は、必ず「運動方向の力の合力」について立てるのが原則です。物体Aの運動は水平方向なので、それと垂直な鉛直方向の力（重力、垂直抗力）は、この運動に直接影響しません。
• 「一体」で考えるときの駆動動力の間違い:
  • 誤解: 系全体を動かす力が、AとB両方の重力の和 \((M+m)g\) だと考えてしまう。
  • 対策: 力の「向き」が重要です。物体Aの重力 \(Mg\) は机が垂直抗力で支えており、運動方向（水平方向）には全く寄与しません。運動の方向に働く外力は、物体Bの重力 \(mg\) のみです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)でのアプローチ選択（連立方程式 vs 一体モデル）:
  • 選定理由（連立）: 最も基本的で、どんな連結物体の問題にも適用できる万能な方法です。張力も求める必要がある問題では、結局この方法が必要になります。
  • 選定理由（一体）: 設問が加速度のみを求めている場合に限定すれば、これが最速の解法です。内力を計算過程から排除し、系全体を動かす本質的な力（駆動動力）を見抜く、より高い物理的視点からのアプローチです。
• (2)での公式選択（物体Aの式 vs 物体Bの式）:
  • 選定理由（物体Aの式 \(T=Ma\)）: こちらの式は、\(T\) を求めるための項が一つしかなく、非常にシンプルです。求めた \(a\) を代入するだけで直接答えが出るため、計算ミスが最も起こりにくい選択肢です。
  • 選定理由（物体Bの式 \(T=m(g-a)\)）: 計算は少し複雑になりますが、検算として非常に有効です。物体Aの式から求めた \(T\) と、物体Bの式から求めた \(T\) が一致すれば、(1)で求めた加速度 \(a\) も含めて、計算全体が正しかったと確信できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま最後まで計算する: この問題のように、数値ではなく文字で与えられている場合は、最後まで文字式のまま計算を進めるのが鉄則です。計算過程がすっきりし、物理的な意味も見失いにくくなります。
• 単位（次元）で検算する:
  • 加速度 \(a = \displaystyle\frac{m}{M+m}g\): 式の単位は \(\displaystyle\frac{[\text{kg}]}{[\text{kg}]+[\text{kg}]}[\text{m/s}^2]\) となり、最終的に \([\text{m/s}^2]\) となって加速度の単位と一致します。
  • 張力 \(T = \displaystyle\frac{Mm}{M+m}g\): 式の単位は \(\displaystyle\frac{[\text{kg}][\text{kg}]}{[\text{kg}]+[\text{kg}]}[\text{m/s}^2] = [\text{kg}][\text{m/s}^2] = [\text{N}]\) となり、力の単位と一致します。
• 極端な場合を代入して妥当性を確認する:
  • もし \(M=0\) なら（Aがない）: \(a = \displaystyle\frac{m}{m}g = g\), \(T = 0\)。これはBが自由落下し、糸がたるんでいる状況に相当し、物理的に正しいです。
  • もし \(m=0\) なら（Bがない）: \(a = 0\), \(T = 0\)。何も動かないので、これも正しいです。
  • もし \(M \gg m\) なら（Aが非常に重い）: \(a \approx 0\), \(T \approx \displaystyle\frac{Mm}{M}g = mg\)。ほとんど動かず、Aが壁のようになり、Bはただぶら下がっている状態（力のつりあい）に近くなるため、これも物理的に妥当です。
• 連立方程式の解き方を工夫する: 今回の問題では、①式と②式を足し合わせる（加減法）と、内力 \(T\) がきれいに消去され、一体モデルと同じ式 \((M+m)a = mg\) がすぐに得られます。代入法よりも速く、計算ミスも減らせる場合があります。

基本例題13 摩擦力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜めに引く力と最大静止摩擦力」です。物体を斜め上向きに引くと、垂直抗力が物体の重さよりも小さくなるため、最大摩擦力も変化します。この点を考慮して、力のつりあいの式を立てることが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題のキーワードは「動き出すとき」です。これは、物体が滑り出すか滑り出さないかの境界、すなわち「動き出す直前」の状態を指します。この瞬間、物体はまだ静止しているため「力のつりあい」が成り立っています。同時に、静止摩擦力はその限界値である「最大静止摩擦力 \(F_0\)」に達しています。
まず、加える力 \(f\) を水平方向と鉛直方向に分解します。この力の鉛直成分が物体を少し持ち上げるように働くため、床が物体を支える力である「垂直抗力 \(N\)」が、物体の重さ \(10\,\text{N}\) よりも小さくなる点に注意が必要です。
水平方向のつりあい、鉛直方向のつりあい、そして最大摩擦力の公式 \(F_0 = \mu N\) の3つの関係式を立て、これらを連立して解くことで、求める力 \(f\) を導き出します。
この設問における重要なポイント

• 物体が動き出す直前では、「力のつりあい」と「静止摩擦力 = 最大摩擦力」が同時に成立する。
• 加える力 \(f\) を水平成分 \(f \cos 30^\circ\) と鉛直成分 \(f \sin 30^\circ\) に分解する。
• 垂直抗力 \(N\) は重さ \(W\) と等しくない。鉛直方向の力のつりあい \(N + f \sin 30^\circ = W\) から求める。
• 水平方向の力のつりあい \(f \cos 30^\circ = F_0\) から、引く力の水平成分が最大摩擦力に等しいことがわかる。

具体的な解説と立式
物体が動き出す直前に加えている力の大きさを \(f\)、このときの最大摩擦力を \(F_0\)、垂直抗力を \(N\) とします。

物体はまだ静止しているので、水平方向、鉛直方向ともに力のつりあいが成り立っています。

まず、加える力 \(f\) を水平成分と鉛直成分に分解します。

• 水平成分: \(f \cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}f\)
• 鉛直成分: \(f \sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}f\)

次に、各方向で力のつりあいの式を立てます。

– 水平方向の力のつりあい:

（右向きの力）=（左向きの力）
$$ \frac{\sqrt{3}}{2}f = F_0 \quad \cdots ① $$

– 鉛直方向の力のつりあい:

（上向きの力の和）=（下向きの力の和）

物体の重さは \(W=10\,\text{N}\) です。上向きには垂直抗力 \(N\) と力の鉛直成分が働くので、
$$ N + \frac{1}{2}f = 10 \quad \cdots ② $$

そして、動き出す直前であることから、最大静止摩擦力の公式が成り立ちます。静止摩擦係数は \(\mu = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) です。
$$ F_0 = \mu N \quad \cdots ③ $$

①, ②, ③の3つの式を連立して \(f\) を求めます。

まず、②式から \(N\) を \(f\) を用いて表します。
$$ N = 10 – \frac{1}{2}f $$
これを③式に代入して \(F_0\) を \(f\) で表します。
$$
\begin{aligned}
F_0 &= \mu N \\[2.0ex]
&= \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 10 – \frac{1}{2}f \right)
\end{aligned}
$$
最後に、この式を①式に代入します。
$$ \frac{\sqrt{3}}{2}f = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 10 – \frac{1}{2}f \right) $$
この方程式を \(f\) について解きます。両辺に \(\sqrt{3}\) を掛けて分母を払います。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}f &= \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 10 – \frac{1}{2}f \right) \\[2.0ex]
\frac{3}{2}f &= 10 – \frac{1}{2}f
\end{aligned}
$$
\(\displaystyle\frac{1}{2}f\) を左辺に移項します。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}f + \frac{1}{2}f &= 10 \\[2.0ex]
\frac{4}{2}f &= 10 \\[2.0ex]
2f &= 10 \\[2.0ex]
f &= 5.0\,\text{N}
\end{aligned}
$$
これは動き出す直前の力の大きさなので、これよりも力が大きくなると物体は動き出します。

物体が滑り出すギリギリの瞬間を想像してみましょう。このとき、前に進もうとする力と、床が邪魔する最大の力（最大摩擦力）が、ちょうど釣り合っています。
今回、斜め上に引っぱっているので、この力は「物体を前に進める横向きの力」と「物体を少し持ち上げる上向きの力」の2つに分けられます。
「上向きの力」が手伝う分、床が物体を支える力（垂直抗力）は、ただ置かれているときより軽くなります。
床が邪魔する力（摩擦力）は、この垂直抗力が大きいほど強くなる性質があるので、垂直抗力が軽くなると、邪魔する最大の力も弱くなります。
「横向きの力 = 弱くなった、邪魔する最大の力」という関係式を立てて、これを解くと、ギリギリの瞬間の引っぱる力が計算できます。

計算の結果、力の大きさが \(5.0\,\text{N}\) のときに物体は動き出す直前になることがわかりました。したがって、\(5.0\,\text{N}\) よりも大きくなると動き出します。
このときの垂直抗力は \(N = 10 – \displaystyle\frac{1}{2} \times 5.0 = 7.5\,\text{N}\) であり、重さ \(10\,\text{N}\) より確かに小さくなっています。
また、最大摩擦力は \(F_0 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \times 5.0 \approx 4.33\,\text{N}\) となります。
もし水平に引いた場合、垂直抗力は \(N=10\,\text{N}\) なので、最大摩擦力は \(F_0 = \mu N = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \times 10 \approx 5.77\,\text{N}\) となり、動き出すには \(5.77\,\text{N}\) の力が必要です。斜め上に引くことで、より小さな力で動かせることがわかり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあい
  • 核心: 物体が「動き出す直前」は、まだ静止している状態（加速度がゼロ）です。したがって、物体に働く力の水平方向の合力と、鉛直方向の合力は、それぞれゼロになります。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向のつりあい: (引く力の水平成分) = (静止摩擦力)
    • 鉛直方向のつりあい: (引く力の鉛直成分) + (垂直抗力) = (重力)
• 最大静止摩擦力の公式 \(F_0 = \mu N\)
  • 核心: 物体が滑り出すかどうかの境界条件を定める式です。静止摩擦力は外力に応じて大きさを変えますが、その上限値（最大静止摩擦力 \(F_0\)）は、垂直抗力 \(N\) の大きさに比例します。
  • 理解のポイント:
    • この公式が等号で成立するのは、「動き出す直前」という特別な瞬間だけです。
    • 垂直抗力 \(N\) は、常に重力と等しいわけではありません。この問題のように、外部から鉛直方向の力が加わると、\(N\) の値は変化します。
• 力の分解
  • 核心: 斜め向きの力は、そのままでは力のつりあいの式を立てにくいため、水平・鉛直といった直交する2つの方向に分解して考えるのが力学の基本戦略です。
  • 理解のポイント: 三角比（\(\cos\theta, \sin\theta\)）を用いて、各成分の大きさを正しく計算する必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜め下向きに押す場合: 引く力の鉛直成分が下向きになり、物体を床に押し付ける効果が加わります。その結果、垂直抗力は重力よりも「大きく」なり (\(N = W + f\sin\theta\))、最大摩擦力も増大して物体は動きにくくなります。
  • 斜面上の物体: 重力を「斜面に平行な成分」と「斜面に垂直な成分」に分解して考えます。垂直抗力は重力の垂直成分とつりあうため (\(N = mg\cos\theta\))、斜面の角度によって摩擦力が変化します。
  • 動摩擦力を含む問題: 「動き出した後」の運動を考える問題です。摩擦力は最大静止摩擦力ではなく、動摩擦力 \(F’ = \mu’ N\) となります。動摩擦係数 \(\mu’\) は通常、静止摩擦係数 \(\mu\) よりも小さい値です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体の状態を判断する: 問題文から「静止している」「動き出す直前」「等速で動いている」「加速している」のどれに当たるかを見極めます。
     • 「静止」「動き出す直前」「等速」\(\rightarrow\) 力のつりあい
     • 「加速」\(\rightarrow\) 運動方程式
  2. 垂直抗力 \(N\) を最初に疑う: 「\(N=mg\)」と安易に結論づけず、必ず鉛直方向の力のつりあいを立てて、\(N\) の値を正確に求める癖をつけます。これが摩擦力問題を攻略する最大の鍵です。
  3. 力の分解を徹底する: 斜め向きの力を見つけたら、機械的に水平・鉛直（または斜面平行・垂直）の成分に分解します。分解した後は、元の斜めの力は計算に入れないように注意します（二重計上を防ぐため）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 垂直抗力 \(N\) = 重力 \(W\) という思い込み:
  • 誤解: どんな状況でも垂直抗力は重さと等しいと考えてしまい、\(F_0 = \mu W\) として計算してしまう。
  • 対策: 垂直抗力は「床が物体を押し返す力」であり、状況に応じて大きさが変わる「受動的な力」であると理解することが重要です。必ず鉛直方向の力のつりあいの式を立てて、その都度 \(N\) を求めることを徹底しましょう。
• 力の分解で \(\cos\) と \(\sin\) を逆にする:
  • 誤解: 水平成分と鉛直成分を分解する際に、三角比を混同してしまう。
  • 対策: 角度 \(\theta\) を「挟む」辺が \(\cos\theta\)、角度 \(\theta\) の「向かい」の辺が \(\sin\theta\) と、図形的な位置関係で覚えるのが確実です。毎回、力のベクトルと成分で直角三角形を描いて確認する習慣をつけるとミスが減ります。
• 静止摩擦力と最大静止摩擦力の混同:
  • 誤解: 物体がまだ動き出していないのに、常に摩擦力が \(F_0 = \mu N\) の大きさで働いていると考えてしまう。
  • 対策: 静止摩擦力 \(F\) は、加えられた力の水平成分とつりあうように、\(0\) から最大値 \(F_0\) までの間で大きさを変える「調整可能な力」であると理解しましょう。\(F_0 = \mu N\) という等式が使えるのは、問題文に「動き出す直前」「滑り出す瞬間」といったキーワードがある場合に限られます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいの式の選択:
  • 選定理由: 問題文が「物体が動き出すとき」を問うています。これは「静止状態の限界」を意味するため、加速度がゼロの状態を記述する「力のつりあい」の式を用いるのが最も直接的です。
  • 適用根拠: ニュートンの第一法則（慣性の法則）より、静止している物体に働く合力はゼロです。この法則を、互いに独立な水平方向と鉛直方向に分けて適用しています。
• 最大静止摩擦力の公式 \(F_0 = \mu N\) の選択:
  • 選定理由: 「動き出す」というキーワードは、静止摩擦力がその限界値に達したことを示唆しています。この物理的な限界条件を数式で表現するのが \(F_0 = \mu N\) です。
  • 適用根拠: この公式は、摩擦という現象に関する長年の観測から得られた実験則であり、物体が滑り出す境界条件を定義します。力のつりあいの式だけでは未知数が多くて解けない問題を、この物理法則を追加することで解けるようにする役割があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 3つの式を明記する: この種の問題では、
  1. 水平方向のつりあい
  2. 鉛直方向のつりあい
  3. 最大摩擦力の公式

  の3つの式を、まず文字式のまま書き出すことを習慣にしましょう。これにより、思考が整理され、どの式に何を代入すればよいかが見えやすくなります。

• 分数の処理を丁寧に行う: \(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) などの値を代入した後、分数が含まれる方程式を解くことになります。焦らず、両辺に最小公倍数を掛けるなどして、段階的に整数係数の式に直してから解くとミスが減ります。
• 文字で解いてから代入する:\(f \cos\theta = \mu N\), \(N + f \sin\theta = W\) から、まず文字のまま \(f\) を解いてみることを推奨します。\(N = W – f \sin\theta\) を代入して、\(f \cos\theta = \mu (W – f \sin\theta)\)。これを整理すると \(f(\cos\theta + \mu \sin\theta) = \mu W\) となり、一般式 \(f = \displaystyle\frac{\mu W}{\cos\theta + \mu \sin\theta}\) が得られます。この式に数値を代入する方が、計算の見通しが立ちやすくなります。
• 答えの妥当性を吟味する:
  • もし水平に引いた場合(\(\theta=0\))、\(f = \mu W = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \times 10 \approx 5.77\,\text{N}\) が必要です。
  • 計算結果の \(5.0\,\text{N}\) は、水平に引くよりも小さな力で動かせていることを示しており、物理的に妥当です（斜め上に引くことで垂直抗力が減り、摩擦が小さくなったため）。このような比較を行うことで、答えの桁間違いや大きな計算ミスに気づけます。

基本例題14 摩擦力と加速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動摩擦力が働く物体の運動方程式」です。物体が動いているときに働く動摩擦力の大きさを正しく計算し、運動方程式を立てて加速度を求めることが目的です。力を加えている間と、やめた後で、物体に働く合力がどのように変わるかを理解することがポイントです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体に右向きの力が加えられ、すべっている状態を考えます。物体がすべっているとき、その運動を妨げる向き、すなわち左向きに「動摩擦力」が働きます。
まず、動摩擦力の大きさを求めるために、垂直抗力 \(N\) を計算します。物体は水平面上にあり、上下には動かないので、鉛直方向の力はつり合っています。
次に、動摩擦力の公式 \(F’ = \mu’ N\) を使って動摩擦力の大きさを求めます。
最後に、水平方向の運動方程式 \(ma=F\) を立てます。このときの合力 \(F\) は、右向きに加える力から左向きの動摩擦力を引いたものになります。
この設問における重要なポイント

• 物体は上下に動かないので、鉛直方向の力はつりあっている (\(N=mg\))。
• 動摩擦力 \(F’\) は、公式 \(F’ = \mu’ N\) で計算する。
• 動摩擦力は、運動の向き（右向き）とは逆の左向きに働く。
• 運動方程式の右辺の合力は、\((\text{右向きの力}) – (\text{左向きの力})\) で計算する。

具体的な解説と立式
まず、鉛直方向の力のつりあいを考えます。上向きの垂直抗力を \(N\)、下向きの重力を \(mg\) とすると、

（上向きの力）=（下向きの力）
$$ N = mg $$
次に、この垂直抗力 \(N\) を用いて、動摩擦力 \(F’\) の大きさを求めます。動摩擦係数は \(\mu’ = 0.50\) です。
$$ F’ = \mu’ N $$
これを変形すると、
$$ F’ = \mu’ mg $$
水平方向の運動について、右向きを正として運動方程式を立てます。物体に働く水平方向の力は、右向きの \(10.0\,\text{N}\) の力と、左向きの動摩擦力 \(F’\) です。加速度を \(a_1\) とすると、
$$ ma_1 = 10.0 – F’ $$

まず、垂直抗力 \(N\) と動摩擦力 \(F’\) の大きさを具体的に計算します。

質量 \(m=1.0\,\text{kg}\)、重力加速度 \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) なので、
$$
\begin{aligned}
N &= mg \\[2.0ex]
&= 1.0 \times 9.8 \\[2.0ex]
&= 9.8\,\text{N}
\end{aligned}
$$
動摩擦係数 \(\mu’ = 0.50\) なので、
$$
\begin{aligned}
F’ &= \mu’ N \\[2.0ex]
&= 0.50 \times 9.8 \\[2.0ex]
&= 4.9\,\text{N}
\end{aligned}
$$
これらの値を運動方程式に代入します。
$$
\begin{aligned}
1.0 \times a_1 &= 10.0 – 4.9 \\[2.0ex]
a_1 &= 5.1\,\text{m/s}^2
\end{aligned}
$$
計算結果は正の値なので、加速度の向きは正と定めた右向きです。

物体を右向きに \(10.0\,\text{N}\) の力で押している間、床との摩擦が「ブレーキ」として左向きに働きます。このブレーキの力の大きさは、まず床が物体を支える力（垂直抗力）を計算し、それに摩擦の種類を表す数値（動摩擦係数）を掛けることで求まります。物体の加速の勢いは、「押す力」から「ブレーキの力」を引いた残りの力によって決まります。「物体の質量 × 加速の勢い = 押す力 – ブレーキの力」という式で計算します。

力を加えている間の加速度は、右向きに \(5.1\,\text{m/s}^2\) となりました。加える力 \(10.0\,\text{N}\) が動摩擦力 \(4.9\,\text{N}\) よりも大きいので、物体が右向きに加速するという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
力を加えるのをやめた後も、物体はまだ右向きにすべっています。物体が動いている限り、動摩擦力は働き続けます。このとき、物体に働く水平方向の力は、運動を妨げる向き（左向き）の動摩擦力のみとなります。
(1)と同様に右向きを正として運動方程式を立てますが、右向きの力は \(0\) になり、左向きの動摩擦力だけが働くことに注意します。この力によって、物体は減速していきます。
この設問における重要なポイント

• 力をやめても、物体がすべっている間は動摩擦力が働く。
• 垂直抗力は変化しないので、動摩擦力の大きさは(1)と同じ \(4.9\,\text{N}\) である。
• 水平方向に働く力は、左向きの動摩擦力のみである。
• 運動方程式を立てると、加速度は負の値になる。これは減速（左向きの加速度）を意味する。

具体的な解説と立式
力を加えるのをやめた後、物体に働く水平方向の力は左向きの動摩擦力 \(F’\) のみです。動摩擦力の大きさは(1)で計算した値と同じです。
$$ F’ = 4.9\,\text{N} $$
引き続き右向きを正として、加速度を \(a_2\) として運動方程式を立てます。
$$ ma_2 = (\text{右向きの力}) – (\text{左向きの力}) $$
右向きの力は \(0\) なので、
$$ ma_2 = 0 – F’ $$
したがって、
$$ ma_2 = -F’ $$

運動方程式に \(m=1.0\,\text{kg}\), \(F’=4.9\,\text{N}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
1.0 \times a_2 &= -4.9 \\[2.0ex]
a_2 &= -4.9\,\text{m/s}^2
\end{aligned}
$$
加速度が負の値になったので、これは正の向き（右向き）とは逆、すなわち「左向き」に \(4.9\,\text{m/s}^2\) の大きさの加速度であることを意味します。

押すのをやめた後、物体に働く水平方向の力は、床からの「ブレーキ」の力だけになります。ブレーキがかかり続けるので、物体はだんだんスピードが落ちていきます（減速します）。この減速の勢いを、運動のルール「物体の質量 × 減速の勢い = ブレーキの力」を使って計算します。ブレーキは運動と逆向きに働くので、加速度はマイナスの値になります。

力をやめた後の加速度は、左向きに \(4.9\,\text{m/s}^2\) となりました。運動している向き（右）と逆向きに力が働いているので、物体が減速するという結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 \(ma=F\)
  • 核心: 物体が加速運動している場合、その運動状態を記述する基本法則は運動方程式です。この問題では、力を加えている間も、やめた後も、物体は加速（または減速）しているため、運動方程式が解析の出発点となります。
  • 理解のポイント:
    • 加速度 \(a\) は、物体に働く力の「合力」\(F\) に比例し、質量 \(m\) に反比例します。
    • 合力 \(F\) とは、物体に働くすべての力をベクトル的に足し合わせたものです。この問題では、水平方向の力の差が合力となります。
• 動摩擦力の公式 \(F’ = \mu’ N\)
  • 核心: 物体が表面をすべっているときに受ける抵抗力が動摩擦力です。その大きさは、動摩擦係数 \(\mu’\) と垂直抗力 \(N\) の積で決まり、物体の速さにはよりません。
  • 理解のポイント:
    • 向き: 動摩擦力は、常に物体の運動を妨げる向き（運動方向と逆向き）に働きます。
    • 大きさ: 物体がすべり続けている限り、その大きさは一定です。
• 鉛直方向の力のつりあい
  • 核心: 動摩擦力を計算するためには、まず垂直抗力 \(N\) を求める必要があります。物体は水平方向にのみ運動し、上下には動かない（鉛直方向の加速度がゼロ）ため、鉛直方向の力はつり合っています。
  • 理解のポイント: 水平な床の上で、他に上下方向の力が働いていなければ、垂直抗力は重力と等しくなります (\(N=mg\))。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 静止摩擦から動摩擦へ移行する問題: 最初は静止している物体に力を加えていき、動き出す瞬間の力（最大静止摩擦力）を求め、さらに動き出した後の加速度（動摩擦力）を計算する、という一連の流れを問う問題。
  • 斜面上の摩擦運動: 物体を斜面に沿って滑らせる場合。垂直抗力が重力の斜面垂直成分とつりあう (\(N=mg\cos\theta\)) ため、動摩擦力の大きさが変化します。
  • 連結された物体と摩擦: 前の例題のように複数の物体が連結され、そのうちの一つが摩擦を受ける問題。各物体について運動方程式を立て、連立して解く必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 摩擦の種類を判断する: 問題文から、物体が「静止している」のか「動いている」のかを読み取り、静止摩擦力と動摩擦力のどちらを考えるべきかを判断します。
  2. 垂直抗力 \(N\) を最優先で求める: 摩擦力の計算には必ず \(N\) が必要です。まず最初に、鉛直方向の力のつりあいを立てて \(N\) の値を確定させます。
  3. 各状況で働く力を図示する: (1)力を加えている間、(2)やめた後、それぞれの状況で物体に働く水平方向の力を正確に図示します。これにより、合力の計算ミスを防ぎます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動摩擦力の向きを運動方向と同じにしてしまう:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際、すべての力を正の向きに足してしまう。
  • 対策: 摩擦力は、その名の通り運動を「擦って妨げる」力です。常に「運動方向と逆向き」に働くブレーキのような存在であると、物理的なイメージをしっかり持ちましょう。
• 力を加えるのをやめたら、摩擦力もなくなると考えてしまう:
  • 誤解: 力を加えるのをやめた瞬間に、すべての力がゼロになると勘違いする。
  • 対策: 動摩擦力は「物体がすべっている」という事実そのものによって生じます。外部から力を加えられていなくても、物体が動いている限りは働き続けます。
• 静止摩擦係数と動摩擦係数を混同する:
  • 誤解: 問題に両方の係数が与えられている場合に、動いているのに静止摩擦係数を使ってしまう（またはその逆）。
  • 対策: 「静止している物体が動き出す瞬間」を考えるのが静止摩擦係数、「すでに動いている物体」を考えるのが動摩擦係数、という役割分担を明確に区別しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1), (2)での運動方程式の選択:
  • 選定理由: 両設問とも「加速度」を求めることを要求しています。力と加速度の関係を記述する唯一の法則が運動方程式 \(ma=F\) であるため、これを選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 物体は力を受けて運動状態を変化させている（加速または減速している）ため、ニュートンの第二法則が適用される典型的な状況です。
• 動摩擦力の公式 \(F’ = \mu’ N\) の選択:
  • 選定理由: 問題文に「すべらせた」と明記されており、物体が運動中であることがわかります。運動中の物体に働く摩擦力は動摩擦力であり、その大きさを計算する公式が \(F’ = \mu’ N\) です。
  • 適用根拠: この公式は、すべり摩擦に関する実験則を数式化したものであり、この問題の物理現象を記述するために必要不可欠です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 最初に定数を計算しておく: 問題を読み始めたら、まず動摩擦力の大きさ \(F’ = \mu’ N = \mu’ mg = 0.50 \times 1.0 \times 9.8 = 4.9\,\text{N}\) を計算し、問題用紙の余白に大きくメモしておきましょう。この値は(1)と(2)で共通して使えるため、計算がスムーズになり、ミスも減ります。
• 正の向きを明確にする: 計算を始める前に、必ず「右向きを正とする」のように座標軸の向きを宣言しましょう。これにより、力の符号を決めるときの基準が明確になります。
• 合力の計算を丁寧に行う: 運動方程式の右辺 \(F\) は、力の「合計」です。
  • (1)では、\(F = (\text{右向きの力}) + (\text{左向きの力}) = (+10.0) + (-4.9) = 5.1\,\text{N}\)。
  • (2)では、\(F = (\text{右向きの力}) + (\text{左向きの力}) = (0) + (-4.9) = -4.9\,\text{N}\)。
  • このように、符号を意識して機械的に足し算すると、ミスが少なくなります。
• 答えの符号の物理的意味を吟味する:
  • (1)で加速度 \(a_1\) が正(\(+5.1\))になった \(\rightarrow\) 正の向き（右向き）に加速している。妥当。
  • (2)で加速度 \(a_2\) が負(\(-4.9\))になった \(\rightarrow\) 負の向き（左向き）に加速している（つまり減速）。妥当。
  • 計算結果の符号が物理的な直感と一致するかを確認することは、有効な検算方法です。

基本例題15 圧力と浮力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水圧と浮力の原理」です。水圧が深さによってどのように決まるか、そしてその水圧の差がどのようにして浮力を生み出すのかを、公式を用いて理解することが目的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
水中のある点での圧力は、その点より上にある「水の重さ」と、水面に一様にかかっている「大気の重さ（大気圧）」の両方によって生じます。水圧の公式 \(p = p_0 + \rho hg\) は、この2つの要因を足し合わせたものです。この公式の深さ \(h\) に、物体の上面までの深さ \(d\) と、下面までの深さ \(d+h\) をそれぞれ代入することで、各面の圧力を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 水中の圧力は、大気圧 \(p_0\) と水の重さによる圧力 \(\rho \times (\text{深さ}) \times g\) の和で計算する。
• 物体の上面の深さは \(d\) である。
• 物体の下面の深さは、上面の深さ \(d\) に物体の高さ \(h\) を加えた \(d+h\) である。

具体的な解説と立式
水面からの深さが \(x\) の点における圧力は、公式 \(p = p_0 + \rho x g\) で与えられます。

– 物体の上面の圧力 \(p_{\text{上}}\):

上面の深さは \(d\) なので、公式の \(x\) に \(d\) を代入します。
$$ p_{\text{上}} = p_0 + \rho dg $$

– 物体の下面の圧力 \(p_{\text{下}}\):

下面の深さは \(d+h\) なので、公式の \(x\) に \(d+h\) を代入します。
$$ p_{\text{下}} = p_0 + \rho(d+h)g $$

この問題は文字式で答えるため、上記の立式がそのまま計算結果となります。

水の中に潜ると、水の重さで圧力がかかります。深いところほど、自分の上に乗っかっている水が多いので、圧力は強くなります。水圧を計算するには、まず「水の重さによる圧力」を求め、それに水面を押している「空気の重さによる圧力（大気圧）」を足し合わせます。物体の上面と下面では深さが違うので、それぞれ計算してあげればOKです。

下面は上面よりも \(h\) だけ深い位置にあるため、その圧力は上面の圧力よりも \(\rho hg\) だけ大きくなっています。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
浮力の正体は、物体が受ける圧力の差によって生じる力の差です。物体の下面は上面よりも深い位置にあるため、より大きな圧力で上向きに押されます。一方、上面は下面より小さな圧力で下向きに押されます。この「下から押し上げる力」と「上から押し下げる力」の差額が、正味の「上向きの力」、すなわち浮力となります。
(1)で求めた圧力に、面の面積 \(S\) を掛けることで、それぞれの面が受ける力を計算し、その差を求めます。
この設問における重要なポイント

• 力 \(F\) は、圧力 \(p\) と面積 \(S\) の積で計算できる (\(F=pS\))。
• 上面が水から受ける力は、下向きである。
• 下面が水から受ける力は、上向きである。
• 浮力は、下面が受ける力から上面が受ける力を引いたものである。

具体的な解説と立式
(1)で求めた上面の圧力 \(p_{\text{上}}\) と下面の圧力 \(p_{\text{下}}\) を用います。

– 上面が受ける力 \(F_{\text{上}}\) (下向き):
$$
\begin{aligned}
F_{\text{上}} &= p_{\text{上}} \times S \\[2.0ex]
&= (p_0 + \rho dg)S
\end{aligned}
$$

– 下面が受ける力 \(F_{\text{下}}\) (上向き):
$$
\begin{aligned}
F_{\text{下}} &= p_{\text{下}} \times S \\[2.0ex]
&= \{p_0 + \rho(d+h)g\}S
\end{aligned}
$$

浮力の大きさ \(B\) は、これらの力の差として定義されます。
$$ B = F_{\text{下}} – F_{\text{上}} $$

浮力の式に、上で求めた \(F_{\text{下}}\) と \(F_{\text{上}}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
B &= \{p_0 + \rho(d+h)g\}S – (p_0 + \rho dg)S \\[2.0ex]
&= \{p_0 + \rho dg + \rho hg\}S – (p_0 + \rho dg)S \\[2.0ex]
&= (p_0 S + \rho dgS + \rho hgS) – (p_0 S + \rho dgS) \\[2.0ex]
&= \rho hgS
\end{aligned}
$$
計算の途中で、大気圧 \(p_0\) や上面の深さ \(d\) に関係する項はきれいに消去されます。

水圧は深いほど強いので、物体の下面を「上向きに押す力」は、上面を「下向きに押す力」よりも強くなります。この力の差が、物体全体を上に持ち上げようとする力、つまり「浮力」になります。それぞれの力を計算して、引き算をすれば浮力の大きさがわかります。

浮力の大きさは \(B = \rho (Sh) g\) となりました。ここで、\(Sh\) は直方体の体積 \(V\) を表します。したがって、\(B = \rho V g\) と書き換えられます。これは、(\(水の密度 \rho \times 物体の体積 V\))、すなわち「物体が押しのけた水の質量」に重力加速度 \(g\) を掛けたもの、つまり「物体が押しのけた水の重さ」に等しくなります。これはアルキメデスの原理として知られる法則と一致しており、物理的に正しい結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 水圧の公式 \(p = p_0 + \rho hg\)
  • 核心: 水中の圧力は、その場所よりも上にある「水の重さ」と、水面全体にかかる「大気圧」の合計で決まります。深ければ深いほど、上に乗る水の量が増えるため、圧力は深さに比例して大きくなります。
  • 理解のポイント:
    • \(p_0\): 水面を押している空気の重さによる圧力（大気圧）。
    • \(\rho hg\): 深さ \(h\) までの水の柱の重さによる圧力。
• 浮力の原理（圧力差による力の差）
  • 核心: 浮力は、魔法のような力ではなく、水圧の差によって生まれる力の差です。物体の下面は上面よりも深い位置にあるため、下面が受ける上向きの圧力は、上面が受ける下向きの圧力よりも大きくなります。この圧力差が、上向きの力の差を生み出し、これが浮力の正体です。
  • 理解のポイント: 浮力 \(B = (\text{下面の圧力} \times \text{面積}) – (\text{上面の圧力} \times \text{面積})\)。
• アルキメデスの原理 \(B = \rho V g\)
  • 核心: 上記の圧力差を計算した結果は、「物体が押しのけた流体の重さ」と常に等しくなります。これがアルキメデスの原理であり、浮力を計算するための非常に便利な法則です。
  • 理解のポイント:
    • \(\rho\): 物体の密度ではなく、周りの「流体」の密度。
    • \(V\): 物体全体の体積ではなく、「流体中に沈んでいる部分の体積」。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 物体が水面に浮いている場合: このとき、物体は静止しているので「浮力 = 物体の重力」という力のつりあいの関係が成り立っています。アルキメデスの原理 \(B = \rho_{\text{水}} V_{\text{水中}} g\) と組み合わせることで、水面下の体積の割合などを計算できます。
  • 浮力と他の力が関係する問題: 糸で物体を水中に吊るした場合、物体には「重力（下向き）」「張力（上向き）」「浮力（上向き）」の3つの力が働いてつりあいます。
  • 密度が異なる液体の層: 例えば、水と油の二層に物体がまたがって沈んでいる場合。浮力は「水から受ける浮力」と「油から受ける浮力」の合計になります。それぞれ、押しのけた水と油の重さを計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 圧力を問われているか、浮力を問われているかを確認する:
     • 「圧力」なら、水圧の公式 \(p = p_0 + \rho hg\) を使う。深さ \(h\) と大気圧の有無がポイント。
     • 「浮力」なら、アルキメデスの原理 \(B = \rho V g\) が使えないか、まず検討するのが最も速い。
  2. 物体が「全部」沈んでいるか、「一部」だけ沈んでいるかを図で確認する: これはアルキメデスの原理で使う体積 \(V\) が、物体全体の体積なのか、水面下の部分的な体積なのかを決定する重要なポイントです。
  3. 力のつりあいを考えるか、運動方程式を考えるか: 物体が静止している、または浮いている場合は「力のつりあい」。沈んで加速している場合は「運動方程式」を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 大気圧 \(p_0\) を計算に入れるかどうかの混乱:
  • 誤解: 圧力の計算で大気圧を足し忘れたり、逆に浮力の計算で大気圧を考慮してしまったりする。
  • 対策:
    • 単に「圧力は？」と聞かれたら、大気圧を含めた絶対圧 \(p = p_0 + \rho hg\) で答えるのが基本です。
    • 「浮力」を圧力差から計算する場合、上面と下面の両方に大気圧の項が含まれるため、引き算をすると必ず相殺されます。したがって、浮力の大きさは大気圧にはよりません。
• 浮力の計算で物体の密度を使ってしまう:
  • 誤解: アルキメデスの原理 \(B = \rho V g\) の \(\rho\) に、物体の密度 \(\rho_{\text{物体}}\) を代入してしまう。
  • 対策: 浮力は、物体が押しのけた「流体」が元に戻ろうとして物体を押し上げる力です。力の源はあくまで周りの流体なので、密度も「流体の密度 \(\rho_{\text{流体}}\)」を使います。\(B = \rho_{\text{流体}} V g\) と、主語を明確にして覚えましょう。
• 圧力(\(\text{Pa}\))と力(\(\text{N}\))の混同:
  • 誤解: 圧力 \(p\) をそのまま力として扱ってしまう。
  • 対策: 圧力は「単位面積あたりの力」(\(\text{Pa} = \text{N/m}^2\))です。力 \(F\) を求めるには、必ずその圧力がかかっている面の面積 \(S\) を掛ける (\(F=pS\)) ことを徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• (1)での公式選択（水圧の公式）:
  • 選定理由: 設問が「圧力」そのものを尋ねています。水中の深さと圧力の関係を直接記述する公式が \(p = p_0 + \rho hg\) であるため、これを用いるのが最も論理的かつ直接的です。
  • 適用根拠: 静止流体中では、圧力は深さのみに依存するという、流体静力学の基本原理に基づいています。
• (2)でのアプローチ選択（圧力差から計算）:
  • 選定理由: これは浮力が「なぜ」生じるのか、その物理的な起源に立ち返った、最も根本的な解法です。浮力が圧力差に起因する力であることを明確に示せます。
  • 適用根拠: 圧力は面に垂直な力を及ぼす、という力の定義に基づいています。物体の上面と下面に働く力のベクトル和を計算することで、正味の力を求めています。
• (2)別解でのアプローチ選択（アルキメデスの原理）:
  • 選定理由: 浮力の「大きさ」を求めることに特化した、非常に強力で便利な「法則」です。圧力差の計算をショートカットできるため、浮力の大きさだけを知りたい場合には、こちらが圧倒的に効率的です。
  • 適用根拠: この原理は、圧力差の計算を数学的に一般化した結果と等価であり、物理法則として確立されています。そのため、条件を満たせば安心して適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位（次元）で検算する:
  • 圧力 \(p = \rho h g\): \([\text{kg/m}^3] \cdot [\text{m}] \cdot [\text{m/s}^2] = [\text{kg} \cdot \text{m/s}^2] / [\text{m}^2] = [\text{N/m}^2] = [\text{Pa}]\)。単位が圧力の単位と一致することを確認。
  • 浮力 \(B = \rho V g\): \([\text{kg/m}^3] \cdot [\text{m}^3] \cdot [\text{m/s}^2] = [\text{kg} \cdot \text{m/s}^2] = [\text{N}]\)。単位が力の単位と一致することを確認。
• 文字式のまま計算を進める習慣:
  • (2)の主たる解法のように、まず文字式のまま計算を進めると、\(p_0 S\) や \(\rho dgS\) といった項が途中で相殺されることが明確にわかります。これにより、計算が簡潔になり、物理的な意味（浮力は深さ \(d\) や大気圧 \(p_0\) によらない）も見えやすくなります。
• 物理的な意味を吟味する:
  • 浮力 \(B = \rho Shg\) は、物体の水面からの深さ \(d\) に依存しません。つまり、物体が完全に水没している限り、浅いところにあっても深いところにあっても、受ける浮力の大きさは同じです。この結論は直感に反するかもしれませんが、式から導かれる重要な性質として理解しておきましょう。
• 力の図示を丁寧に行う:
  • 物体の上面にかかる力（下向き矢印）、下面にかかる力（上向き矢印）を図に描き込みましょう。力の向きを視覚的に確認することで、浮力を計算する際の引き算（\(F_{\text{下}} – F_{\text{上}}\)）の符号ミスを防ぐことができます。

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