無料でしっかり基礎固め！物理基礎 問題演習「うなりの公式で振動数を特定する問題」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「うなり」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
未知の振動数を持つ弦の音と、既知の振動数を持つ2つの音源（おんさ、スピーカー）との間で生じるうなりの回数がそれぞれ与えられています。この2つの情報を手がかりに、弦の振動数を特定する問題です。うなりの公式 \(f_b = |f_A – f_B|\) をそれぞれの条件に適用し、両方の条件を同時に満たす振動数を見つけ出すことが解法の骨子となります。
この設問における重要なポイント

• うなりの公式 \(f_b = |f_A – f_B|\) の絶対値の扱いが鍵となります。この式は \(f_A – f_B = f_b\) または \(f_A – f_B = -f_b\) を意味し、未知の振動数には2つの可能性があることを示唆します。
• 2つの独立した条件を使って、これらの可能性の中から唯一の解を絞り込む論理的な思考が求められます。

具体的な解説と立式
求める弦の音の振動数を \(f_1\) [Hz] とします。

まず、標準おんさとのうなりについて考えます。
おんさの振動数は \(f_{\text{おんさ}} = 440\) Hz で、うなりは毎秒2回なので、うなり振動数は \(f_{b1} = 2\) Hz です。
うなりの公式を適用すると、
$$ |f_1 – f_{\text{おんさ}}| = f_{b1} $$
$$ |f_1 – 440| = 2 \quad \cdots ① $$

次に、スピーカーからの音とのうなりについて考えます。
スピーカーの音の振動数は \(f_{\text{スピーカー}} = 445\) Hz で、うなりは毎秒3回なので、うなり振動数は \(f_{b2} = 3\) Hz です。
同様にうなりの公式を適用すると、
$$ |f_1 – f_{\text{スピーカー}}| = f_{b2} $$
$$ |f_1 – 445| = 3 \quad \cdots ② $$

これら2つの式①と②を同時に満たす \(f_1\) の値を求めます。

まず、式①から \(f_1\) の候補を求めます。
絶対値を外すと、
$$ f_1 – 440 = 2 \quad \text{または} \quad f_1 – 440 = -2 $$
これを解くと、\(f_1\) の候補は、
$$ f_1 = 442 \text{ [Hz]} \quad \text{または} \quad f_1 = 438 \text{ [Hz]} $$
となります。

次に、この2つの候補が式②を満たすかどうかをそれぞれ検証します。

(i) \(f_1 = 442\) Hz の場合
式②の左辺に代入すると、
$$ |f_1 – 445| = |442 – 445| = |-3| = 3 \text{ [Hz]} $$
これは式②の右辺の値と一致するため、この候補は条件を満たします。

(ii) \(f_1 = 438\) Hz の場合
式②の左辺に代入すると、
$$ |f_1 – 445| = |438 – 445| = |-7| = 7 \text{ [Hz]} $$
これは式②の右辺の値である 3 Hz と一致しないため、この候補は条件を満たしません。

したがって、(i), (ii)より、両方の条件を満たす弦の振動数は \(f_1 = 442\) Hz です。

うなりは「振動数の差」によって起こります。まず、440 Hz の音と鳴らして毎秒2回うなるということは、弦の振動数は 440 Hz よりも「2だけ高い」か「2だけ低い」かのどちらかです。つまり、442 Hz か 438 Hz のはずです。
次に、もう一つのヒントを使います。445 Hz の音と鳴らすと毎秒3回うなる、という条件で、先ほどの候補をチェックします。
もし弦が 442 Hz なら、445 Hz との差は \(|442 – 445| = 3\) で、条件に合います。
もし弦が 438 Hz なら、445 Hz との差は \(|438 – 445| = 7\) となり、条件に合いません。
したがって、弦の振動数は 442 Hz だとわかります。

2つのうなりの条件を立式し、連立して解くことで、弦の振動数は \(f_1 = 442\) Hz であると一意に定まります。計算結果は物理的に妥当な値です。

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