「重要問題集」徹底解説（51〜55問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題51 (大阪市大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、万有引力下での物体の運動をテーマにしています。前半は地上からの打ち上げと等速円運動、後半はだ円運動と、物体が地球の引力圏を脱出したり、逆に地球に衝突したりしないための条件を扱います。ケプラーの法則や力学的エネルギー保存則など、天体力学の基本的な法則を総合的に理解しているかが問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「万有引力とケプラーの法則」です。天体の運動を解析するための基本的な法則を順に適用していきます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 万有引力の法則: 物体と地球の間に働く力を記述します。地上の重力も万有引力の一つの現れです。
2. 力学的エネルギー保存則: 万有引力は保存力なので、物体の力学的エネルギー（運動エネルギー＋万有引力による位置エネルギー）は保存されます。
3. ケプラーの法則:
   • 第2法則（面積速度一定の法則）: 中心力である万有引力だけが働く場合、惑星（物体）と中心（地球）を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定です。これは角運動量保存則に対応します。
   • 第3法則: 惑星の公転周期の2乗は、軌道の長半径の3乗に比例します。
4. 円運動の運動方程式: 物体が円運動をする場合、中心に向かう力（向心力）が万有引力によって供給される、という関係式を立てます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、(1)で地上の重力と万有引力の関係から、\(GM\)を\(g\)と\(R\)で表す関係式を導出します。この関係式は後の計算を大幅に簡略化するため非常に重要です。
2. (2)では、地上と点Aの間で力学的エネルギー保存則を適用します。
3. (3)では、点Aでの円運動の運動方程式を立てます。
4. (4)のだ円運動では、(a)で面積速度一定の法則、(b)で力学的エネルギー保存則、(c)でケプラーの第3法則と、各法則を適切に使い分けます。
5. (5)では、無限遠に飛び去る条件（力学的エネルギー \(\ge 0\)）と、地球に衝突する条件（近地点の距離 \(\le R\)）をそれぞれ考え、その間の範囲を求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
地上の物体に働く「重力」が、地球とその物体の間に働く「万有引力」に等しい、という関係から式を立てます。これは、重力加速度\(g\)と万有引力定数\(G\)を結びつける基本的な関係式です。

この設問における重要なポイント

• 地上の物体に働く重力は \(mg\)。
• 地上の物体に働く万有引力は、地球の中心からの距離が\(R\)であることから \(G\frac{Mm}{R^2}\)。
• これら2つの力が等しいとおく。

具体的な解説と立式
地上にある質量\(m\)の物体が地球から受ける力は、重力\(mg\)として表される一方、万有引力の法則によれば\(G\frac{Mm}{R^2}\)と表されます。これらは同じ力を異なる視点から表現したものなので、等しいとおくことができます。
$$mg = G\frac{Mm}{R^2}$$

上記の方程式の両辺を\(m\)で割ります。
$$g = G\frac{M}{R^2}$$
この式は、\(g\)を\(G, M, R\)で表したものです。問題では、この関係を逆の形で利用することが多いので、\(GM\)について整理しておくと便利です。
$$GM = gR^2$$

私たちが普段「重さ」と呼んでいる力は、地球が私たちを引っぱる「万有引力」そのものです。この2つが同じものである、という等式を立てることで、重力加速度\(g\)の正体がわかります。

地上での重力加速度の大きさ\(g\)は、\(g = \displaystyle\frac{GM}{R^2}\)と表されます。この式は、惑星の質量\(M\)と半径\(R\)がわかれば、その表面での重力加速度が計算できることを示しており、天文学などで広く利用される重要な関係式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
地上から打ち上げた物体が、地球の中心から\(2R\)の距離にある点Aでちょうど速度が0になる、という状況を考えます。この運動の間、物体に働く力は万有引力のみなので、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用する。
• 万有引力による位置エネルギーの公式 \(U(r) = -G\frac{Mm}{r}\) を正しく使う。
• (1)で導いた関係式 \(GM=gR^2\) を利用して計算を簡略化する。

具体的な解説と立式
地上（中心からの距離\(R\)）と点A（中心からの距離\(2R\)）の間で、力学的エネルギー保存則を立てます。

• 地上:
  • 初速度を\(v_0\)とすると、運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\)。
  • 位置エネルギーは \(U_{地上} = -G\frac{Mm}{R}\)。
• 点A:
  • 速度が0になるので、運動エネルギーは 0。
  • 位置エネルギーは \(U_A = -G\frac{Mm}{2R}\)。

力学的エネルギー保存則より、
$$\frac{1}{2}mv_0^2 + \left(-G\frac{Mm}{R}\right) = 0 + \left(-G\frac{Mm}{2R}\right) \quad \cdots ①$$

式①を\(v_0\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_0^2 &= G\frac{Mm}{R} – G\frac{Mm}{2R} \\[1.5ex]
\frac{1}{2}mv_0^2 &= G\frac{Mm}{2R}
\end{aligned}
$$
両辺を\(m\)で割り、2を掛けると、
$$v_0^2 = \frac{GM}{R}$$
ここで、(1)で求めた関係式 \(GM = gR^2\) を代入します。
$$v_0^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$$
\(v_0 > 0\)なので、
$$v_0 = \sqrt{gR}$$

地上で物体が持っていた「運動エネルギー」と「（万有引力による）位置エネルギー」の合計が、上空のA点でのエネルギーの合計と等しくなります。このエネルギーの等式を解くことで、必要な初速が計算できます。万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準にしているので負の値になることに注意が必要です。

初速度の大きさは \(v_0 = \sqrt{gR}\) です。この速さは、地球の引力を振り切って無限遠に行くための速さ（第二宇宙速度 \(\sqrt{2gR}\)）よりは小さいですが、人工衛星になるための速さ（第一宇宙速度 \(\sqrt{gR}\)）と同じ大きさです。ただし、打ち上げ方向が異なるため、意味合いは異なります。

問(3)

思考の道筋とポイント
点A（中心からの距離\(2R\)）で、地球を中心とする等速円運動をさせるための速さ\(v\)と周期を求めます。等速円運動をするためには、物体に働く万有引力が、円運動の向心力としてちょうど機能する必要があります。

この設問における重要なポイント

• 円運動の運動方程式を立てる。
• 向心力の役割を、地球が物体を引く万有引力が担っていることを理解する。
• 周期の公式 \(T = \frac{2\pi r}{v}\) を使う。

具体的な解説と立式
速さ\(v\)の導出:
点Aにおいて、円運動の運動方程式を立てます。円の中心Oに向かう向きを正とします。

• 向心力: 物体に働く力は万有引力のみなので、これが向心力となります。\(F = G\frac{Mm}{(2R)^2}\)。
• 向心加速度: \(a = \displaystyle\frac{v^2}{2R}\)。

運動方程式 \(ma=F\) より、
$$m\frac{v^2}{2R} = G\frac{Mm}{(2R)^2} \quad \cdots ②$$
周期\(T\)の導出:
周期は、円周の長さを速さで割ることで求められます。
$$T = \frac{2\pi (2R)}{v}$$

速さ\(v\)の計算:
式②を\(v\)について解きます。
$$m\frac{v^2}{2R} = \frac{GMm}{4R^2}$$
$$v^2 = \frac{GM}{2R}$$
ここに、\(GM = gR^2\) を代入します。
$$v^2 = \frac{gR^2}{2R} = \frac{gR}{2}$$
\(v > 0\)なので、
$$v = \sqrt{\frac{gR}{2}}$$
周期\(T\)の計算:
求めた\(v\)を周期の公式に代入します。
$$T = \frac{4\pi R}{v} = \frac{4\pi R}{\sqrt{gR/2}} = 4\pi R \sqrt{\frac{2}{gR}} = 4\pi \sqrt{\frac{2R^2}{gR}} = 4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$$

物体がちょうど円を描いて回り続けるためには、外に飛び出そうとする勢い（慣性）と、地球が内側に引っぱる力（万有引力）が釣り合っている必要があります。この力の釣り合いの式（運動方程式）を解くと、円運動に必要な速さがわかります。周期は、その速さで円を一周するのにかかる時間です。

等速円運動をするための速さは \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{gR}{2}}\)、周期は \(T = 4\pi \sqrt{\displaystyle\frac{2R}{g}}\) です。速さ\(v\)は、地表すれすれの円運動（第一宇宙速度 \(\sqrt{gR}\)）よりも遅く、軌道半径が大きくなるほど円運動の速さは遅くなるという一般的な性質と一致しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
点A（近地点、距離\(2R\)）と点B（遠地点、距離\(6R\)）を結ぶだ円軌道を考えます。だ円運動では、ケプラーの法則と力学的エネルギー保存則が重要な役割を果たします。

この設問における重要なポイント

• (a) ケプラーの第2法則（面積速度一定の法則）を適用する。
• (b) 力学的エネルギー保存則を適用する。
• (c) ケプラーの第3法則を適用する。

具体的な解説と立式
(a) 点Bでの速さ\(V\)の導出
ケプラーの第2法則（面積速度一定の法則）より、近地点Aと遠地点Bでの面積速度は等しくなります。面積速度は \(\frac{1}{2}rv\) で表されるので、
$$\frac{1}{2} r_A v_A = \frac{1}{2} r_B v_B$$
この問題の記号に合わせると、\(r_A=2R, v_A=v, r_B=6R, v_B=V\) なので、
$$\frac{1}{2} (2R) v = \frac{1}{2} (6R) V$$
(b) 速さ\(v\)の導出
点Aと点Bの間で、力学的エネルギー保存則を立てます。
$$\frac{1}{2}mv^2 + \left(-G\frac{Mm}{2R}\right) = \frac{1}{2}mV^2 + \left(-G\frac{Mm}{6R}\right)$$
(c) 周期\(T’\)の導出
ケプラーの第3法則 \(\frac{T^2}{a^3} = \text{const.}\) を用います。(3)で求めた半径\(2R\)の円運動と、このだ円運動を比較します。

• 円運動: 周期\(T\), 半径（長半径）\(a_1 = 2R\)
• だ円運動: 周期\(T’\), 長半径 \(a_2 = \frac{2R+6R}{2} = 4R\)

したがって、
$$\frac{T^2}{(2R)^3} = \frac{T’^2}{(4R)^3}$$

(a)の計算:
$$Rv = 3RV$$
$$V = \frac{1}{3}v$$
(b)の計算:
エネルギー保存の式に \(V=\frac{1}{3}v\) と \(GM=gR^2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 – \frac{mgR^2}{2R} &= \frac{1}{2}m\left(\frac{v}{3}\right)^2 – \frac{mgR^2}{6R} \\[1.5ex]
\frac{1}{2}v^2 – \frac{1}{2}gR &= \frac{1}{18}v^2 – \frac{1}{6}gR \\[1.5ex]
\left(\frac{1}{2} – \frac{1}{18}\right)v^2 &= \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{6}\right)gR \\[1.5ex]
\frac{8}{18}v^2 &= \frac{2}{6}gR \\[1.5ex]
\frac{4}{9}v^2 &= \frac{1}{3}gR \\[1.5ex]
v^2 &= \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3}gR = \frac{3}{4}gR
\end{aligned}
$$
よって、\(v = \sqrt{\frac{3gR}{4}} = \frac{\sqrt{3gR}}{2}\)。
(c)の計算:
$$\frac{T’^2}{(4R)^3} = \frac{T^2}{(2R)^3}$$
$$T’^2 = T^2 \left(\frac{4R}{2R}\right)^3 = T^2 \cdot 2^3 = 8T^2$$
$$T’ = \sqrt{8}T = 2\sqrt{2}T$$
(3)で求めた \(T = 4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}\) を代入すると、
$$T’ = 2\sqrt{2} \left( 4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}} \right) = 8\pi \sqrt{\frac{4R}{g}} = 16\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$$

だ円軌道を描く物体の運動は、一見複雑ですが、3つの便利な法則で解析できます。(a)は「面積速度一定」という法則で、地球に近い点Aでは速く、遠い点Bでは遅くなる関係を表します。(b)は「エネルギー保存」で、どの点でもエネルギーの合計は同じです。(c)は「ケプラーの第3法則」で、軌道の大きさが分かれば、別の軌道の周期と比較して周期を計算できます。

(a) \(V = \frac{1}{3}v\), (b) \(v = \frac{\sqrt{3gR}}{2}\), (c) \(T’ = 16\pi \sqrt{\frac{R}{g}}\) です。
(b)の速さ \(v \approx 0.866\sqrt{gR}\) は、(3)の円運動の速さ \(v \approx 0.707\sqrt{gR}\) より速く、無限遠に飛んでいく速さ \(\sqrt{gR}\) よりは遅い、妥当な値です。

問(5)

思考の道筋とポイント
物体がだ円軌道を描き続けるための、点Aで与える速さ\(v\)の範囲を求めます。これには2つの条件があります。

1. 無限遠に飛び去らない（上界条件）: 物体の力学的エネルギーが負であること (\(E<0\))。エネルギーが0以上になると、物体は地球の引力を振り切ってしまいます（放物線・双曲線軌道）。
2. 地球に衝突しない（下界条件）: 軌道のどの点も、地球の中心からの距離が地球の半径\(R\)以上であること。だ円軌道で最も地球に近づくのは近地点です。この軌道では、点Aが遠地点または近地点のいずれかになります。\(v\)が小さすぎると、点Aが遠地点となり、反対側の近地点が地球内部に入り込んでしまう可能性があります。そのギリギリの条件は、近地点の距離がちょうど\(R\)になるときです。

この設問における重要なポイント

• 軌道の種類が力学的エネルギーの符号で決まることを理解する。
• 衝突条件を、近地点の距離と地球半径の関係で考える。
• 衝突の限界となる軌道を、エネルギー保存則と面積速度一定の法則で解析する。

具体的な解説と立式
1. 上界条件（無限遠に飛び去らない）
力学的エネルギー \(E = \frac{1}{2}mv^2 – G\frac{Mm}{2R}\) が負である必要があります。
$$\frac{1}{2}mv^2 – G\frac{Mm}{2R} < 0$$
2. 下界条件（地球に衝突しない）
衝突するギリギリの状況は、点A（距離\(2R\)）を遠地点、地球表面上の点C（距離\(R\)）を近地点とするだ円軌道を描く場合です。このときの点Aでの速さを\(v_{min}\)とします。
点Aと点Cで、面積速度一定の法則と力学的エネルギー保存則を立てます。

• 面積速度一定: \((2R)v_{min} = R v_C\)。これから \(v_C = 2v_{min}\) となります。
• エネルギー保存: \(\frac{1}{2}mv_{min}^2 – G\frac{Mm}{2R} = \frac{1}{2}mv_C^2 – G\frac{Mm}{R}\)

上界の計算:
$$\frac{1}{2}mv^2 < G\frac{Mm}{2R}$$
$$v^2 < \frac{GM}{R}$$
\(GM=gR^2\) を代入して、
$$v^2 < gR$$
よって、\(v < \sqrt{gR}\)。
下界の計算:
エネルギー保存の式に \(v_C = 2v_{min}\) と \(GM=gR^2\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_{min}^2 – \frac{mgR^2}{2R} &= \frac{1}{2}m(2v_{min})^2 – \frac{mgR^2}{R} \\[1.5ex]
\frac{1}{2}v_{min}^2 – \frac{1}{2}gR &= 2v_{min}^2 – gR \\[1.5ex]
\frac{1}{2}gR &= \frac{3}{2}v_{min}^2 \\[1.5ex]
v_{min}^2 &= \frac{gR}{3}
\end{aligned}
$$
よって、衝突しないためには \(v \ge v_{min} = \sqrt{\frac{gR}{3}}\) である必要があります。
（等号成立時は地球表面をかすめるだ円軌道なので、衝突はしないと解釈します）
範囲の結合:
以上2つの条件を合わせると、
$$\sqrt{\frac{gR}{3}} \le v < \sqrt{gR}$$

物体が地球の周りを回り続けるためには、速すぎても遅すぎてもいけません。速すぎると、地球の引力を振り切って宇宙の彼方に飛んで行ってしまいます。その限界の速さは、物体のエネルギーがちょうどゼロになるときです。逆に遅すぎると、軌道が地球にぶつかってしまいます。その限界は、軌道がちょうど地球の表面に接するときです。この「速すぎる限界」と「遅すぎる限界」の間の速さであれば、物体はだ円軌道を描き続けることができます。

だ円軌道を描き続けるための速さ\(v\)の範囲は \(\sqrt{\displaystyle\frac{gR}{3}} \le v < \sqrt{gR}\) です。
この範囲には、(3)の円運動の速さ \(v=\sqrt{gR/2}\) や、(4)のだ円運動の速さ \(v=\sqrt{3gR/4}\) が含まれており、整合性が取れています。速さが\(\sqrt{gR}\)に達すると第二宇宙速度（この地点での脱出速度）となり、放物線軌道で無限遠に飛び去ります。速さが\(\sqrt{gR/3}\)より小さいと、軌道が地球にめり込んでしまい、衝突します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 万有引力による力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 万有引力は保存力であるため、物体がその引力圏内を運動する際、物体の力学的エネルギー（運動エネルギーと万有引力による位置エネルギーの和）は一定に保たれます。
  • 理解のポイント: 万有引力による位置エネルギーは \(U(r) = -G\frac{Mm}{r}\) と表され、無限遠を基準(0)としています。この負号と距離\(r\)に反比例する形を正確に理解することが、エネルギー保存則を正しく適用する上での大前提となります。また、\(GM=gR^2\) という関係式を用いて、問題を\(g\)と\(R\)で表現し直すテクニックは、この分野の計算を簡略化する上で非常に重要です。
• ケプラーの法則:
  • 核心: 万有引力のような中心力の下での運動は、ケプラーの3つの法則に従います。この問題では特に第2法則と第3法則が活躍します。
  • 第2法則（面積速度一定の法則）: 物体と中心天体を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である、という法則です。これは角運動量保存則と等価であり、特に近地点と遠地点では \(r_A v_A = r_B v_B\) というシンプルな形で適用できます。
  • 第3法則（調和の法則）: 惑星の公転周期の2乗は、軌道の長半径の3乗に比例する (\(T^2 \propto a^3\)) という法則です。これにより、一つの天体を周回する異なる軌道の周期を比較することができます。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: 物体が等速円運動をするためには、中心に向かう力（向心力）が必要です。万有引力下での円運動では、この向心力の役割を万有引力が担います。
  • 理解のポイント: \(m\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心力}}\) という運動方程式の右辺に、万有引力の式 \(G\frac{Mm}{r^2}\) を代入することで、円運動の速さや周期を求めることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 人工衛星の軌道変更: ある円軌道から別の円軌道へ、あるいは円軌道からだ円軌道へ移る問題。ロケットを噴射する瞬間はエネルギーが非保存となりますが、噴射前後のそれぞれの軌道上ではエネルギー保存則やケプラーの法則が適用できます。
  • 二重星や惑星と衛星の運動: 2つの天体が互いの引力によって共通の重心の周りを運動する問題。系全体の運動量保存則や角運動量保存則、エネルギー保存則を考える必要があります。
  • 宇宙探査機のスイングバイ: 探査機が惑星の引力を利用して加速・減速する問題。惑星から見た探査機の運動（相対運動）と、太陽から見た運動（絶対運動）を考える必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 軌道の形状を特定する: 問題文から、物体がどのような軌道（直線、円、だ円、放物線、双曲線）を描くのかを読み取ります。
  2. エネルギー状態を確認する:
     • \(E < 0\): 中心天体に束縛されただ円軌道（円軌道を含む）。
     • \(E = 0\): ちょうど脱出できる放物線軌道。
     • \(E > 0\): 脱出して無限遠に達する双曲線軌道。

     力学的エネルギーの符号が、軌道の種類を決定します。

  3. 保存則の適用を検討する:
     • 異なる2点間の速さと距離の関係を知りたい \(\rightarrow\) 力学的エネルギー保存則。
     • だ円軌道の近地点と遠地点の速さの関係を知りたい \(\rightarrow\) 面積速度一定の法則。
     • 異なる軌道の周期を比較したい \(\rightarrow\) ケプラーの第3法則。
  4. \(GM=gR^2\) の活用: 問題に\(g\)と\(R\)が登場する場合、この関係式を使って\(GM\)を消去することで、見通しの良い計算ができることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 万有引力による位置エネルギーの負号を忘れたり、基準点の意味を理解せずに使ってしまう。
  • 対策: 位置エネルギー \(U = -G\frac{Mm}{r}\) は、「無限遠から距離\(r\)まで物体を運ぶのに、万有引力がする仕事」の負の値と定義されます。無限に遠い点が基準(0)であり、そこから引力に引かれて近づくほどエネルギーは低くなる（より負の大きな値になる）とイメージしましょう。
• ケプラーの第3法則の適用の誤り:
  • 誤解: 軌道の「長半径 \(a\)」を使うべきところで、単なる距離や半径\(r\)を使ってしまう。
  • 対策: ケプラーの第3法則は \(T^2 = k a^3\) です。だ円軌道の場合、\(a\)は長軸の半分の長さ（\(\frac{r_{近地点}+r_{遠地点}}{2}\)）であることを正確に覚えておきましょう。円軌道の場合は、長半径\(a\)が半径\(r\)と一致します。
• 面積速度一定の法則の誤解:
  • 誤解: 面積速度が \(\frac{1}{2}rv\) であることを知らず、\(rv=\text{一定}\) を任意の点で使おうとしてしまう。
  • 対策: 面積速度一定の法則は、一般的には \(\frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \text{一定}\)（角運動量保存則）です。速度ベクトルが動径ベクトルと垂直になる近地点と遠地点においてのみ、速さ\(v\)を用いて \(\frac{1}{2}rv = \text{一定}\) というシンプルな形になります。任意の点では使えないことに注意が必要です。
• 脱出速度と円運動の速さの混同:
  • 誤解: ある地点からの脱出速度と、その地点を半径とする円運動の速さを混同する。
  • 対策:
    • 円運動の速さ: \(m\frac{v^2}{r} = G\frac{Mm}{r^2}\) より \(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\)。
    • 脱出速度: \(\frac{1}{2}mv_{esc}^2 – G\frac{Mm}{r} = 0\) より \(v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\)。

    脱出速度は円運動の速さの\(\sqrt{2}\)倍である、という関係を覚えておくと便利です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • エネルギー準位図: 縦軸に力学的エネルギーを取り、横軸に中心からの距離\(r\)を取ったポテンシャルエネルギーのグラフ (\(U(r) = -1/r\) の形) を描きます。物体の全力学的エネルギー\(E\)を水平線で示すと、運動エネルギー\(K\)が \(E-U(r)\) として視覚化できます。\(E<0\)なら物体はポテンシャルの「井戸」に束縛され、\(E \ge 0\)なら脱出できることが一目瞭然です。
  • 軌道図: 円軌道とだ円軌道を正確に図示します。だ円軌道では、中心天体（地球）がだ円の中心ではなく「焦点」の一つに位置することを明確に描くことが重要です。近地点で速く、遠地点で遅くなる様子を速度ベクトルで示すと、面積速度一定の法則が直感的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力のベクトル: 物体に働く万有引力は、常に地球の中心を向くことを矢印で正確に示します。
  • 速度ベクトル: 速度ベクトルは常に軌道の接線方向を向きます。円運動では常に半径と垂直ですが、だ円運動では近地点と遠地点以外では垂直になりません。
  • 幾何学的関係: だ円の長軸、短軸、焦点、長半径といった幾何学的な要素を正しく図示し、問題の数値（\(2R, 6R\)など）を対応させることが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(GM=gR^2\) (関係式):
  • 選定理由: 問題に登場する物理定数が\(G, M\)と\(g, R\)の2種類ある。計算を簡略化し、最終的な答えを問題の要求する文字で表すために、これらを結びつける必要がある。
  • 適用根拠: 地表での重力が万有引力と等価であるという物理的な事実。
• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 異なる2点間の速さと距離（位置エネルギー）を関連付けたい場合。特に、軌道が円かだ円かわからない場合や、軌道の途中の点を考える場合に有効。
  • 適用根拠: 万有引力が保存力であり、他に非保存力が働いていないという物理的状況。
• 面積速度一定の法則:
  • 選定理由: だ円軌道における、異なる2点（特に近地点と遠地点）の速さと距離を関連付けたい場合。エネルギー保存則と連立させることで、未知数を解くことができる。
  • 適用根拠: 万有引力が中心力であるため、角運動量が保存されるという物理的状況。
• ケプラーの第3法則:
  • 選定理由: 同じ中心天体を周回する、異なる2つの軌道（円軌道やだ円軌道）の「周期」と「大きさ（長半径）」を関連付けたい場合。
  • 適用根拠: 万有引力の法則から数学的に導出される、中心力による運動に普遍的な法則。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) \(g\)と\(GM\)の関係: 地表での力のつり合い \(mg = G\frac{Mm}{R^2}\) から \(GM=gR^2\) を導出。これは以降の計算の「道具」となる。
2. (2) 鉛直打ち上げ: エネルギー保存則（地上 \(\leftrightarrow\) 点A）を立て、\(v_0\)を求める。
3. (3) 円運動:
   • 速さ\(v\): 円運動の運動方程式（向心力＝万有引力）を立て、\(v\)を求める。
   • 周期\(T\): \(T = \frac{2\pi r}{v}\) の公式に、求めた\(v\)と軌道半径\(r=2R\)を代入。
4. (4) だ円運動:
   • (a) 速さ\(V\): 面積速度一定の法則（点A \(\leftrightarrow\) 点B）を立て、\(V\)を\(v\)で表す。
   • (b) 速さ\(v\): エネルギー保存則（点A \(\leftrightarrow\) 点B）を立て、(a)の結果を代入して\(v\)を求める。
   • (c) 周期\(T’\): ケプラーの第3法則を用い、(3)の円運動と比較して\(T’\)を求める。
5. (5) 軌道の条件:
   • 上界（脱出しない）: 力学的エネルギー \(E < 0\) の条件から\(v\)の上限を求める。
   • 下界（衝突しない）: 近地点距離 \(\ge R\) となる条件を考える。ギリギリの軌道（近地点距離=R, 遠地点距離=2R）を想定し、エネルギー保存則と面積速度一定の法則を連立させて、そのときの速さ\(v_{min}\)を求め、これが下限となる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(GM=gR^2\) の早期適用: 計算の早い段階で\(GM\)を\(gR^2\)に置き換えることで、文字の種類が減り、計算の見通しが格段に良くなります。
• 分数の計算: 万有引力の計算では、分母に距離の2乗が来るなど、分数の計算が多くなります。通分や約分を慎重に行いましょう。
• 単位の確認: 最終的な答えの次元が、求められている物理量（速さなら[L/T]、周期なら[T]）と一致しているかを確認する習慣は、基本的なミスを発見するのに有効です。
• 平方根の扱い: 速さを求める計算では平方根が頻出します。\(v^2\)の形で計算を進め、最後に平方根をとるようにすると、計算が楽になることが多いです。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3)と(4b)の比較: だ円運動の近地点での速さ\(v = \frac{\sqrt{3gR}}{2} \approx 0.866\sqrt{gR}\) は、同じ距離\(2R\)を半径とする円運動の速さ \(v_{円} = \sqrt{\frac{gR}{2}} \approx 0.707\sqrt{gR}\) よりも速いです。これは、だ円軌道の方がエネルギーが高い（より潰れていない）ことに対応しており、妥当です。
  • (5) 範囲の確認: 求めた範囲 \(\sqrt{\frac{gR}{3}} \le v < \sqrt{gR}\) に、(3)の円運動の速さや(4)のだ円運動の速さが含まれていることを確認します。含まれていれば、計算結果に整合性があると言えます。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (4)の軌道: もし\(v\)が(3)で求めた円運動の速さと等しければ、軌道は円になり、\(V=v\)となるはずです。しかし、(4b)の\(v\)は円運動の速さより大きいので、\(V\)は\(v\)より小さくならなければならず、(4a)の \(V=v/3\) という結果と整合します。
  • (5)の上限: \(v=\sqrt{gR}\) は、距離\(2R\)の地点での脱出速度の\(\sqrt{2}\)倍ではありません。地上での脱出速度が\(\sqrt{2gR}\)です。距離\(r\)の地点での脱出速度は \(\sqrt{2GM/r}\) なので、点A(\(r=2R\))での脱出速度は \(\sqrt{2GM/2R} = \sqrt{GM/R} = \sqrt{gR}\) となります。したがって、\(v\)の上限が脱出速度と一致しており、物理的に正しいことがわかります。

問題52 (関西学院大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、地球と月の二体問題を扱っており、2つの異なるモデルで考察を進めます。
パート[A]では、地球が静止していると仮定した単純な「中心力による円運動」モデルを扱います。
パート[B]では、地球も月も動く、より現実に近い「共通重心の周りの円運動（連星系）」モデルを扱います。
この2つのモデルを比較することで、万有引力と天体の運動についての理解を深めることができます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「万有引力」と「二体問題」です。地球を固定して考える単純なモデルと、地球も動く現実的なモデルを比較しながら、天体運動の法則を適用していきます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 万有引力の法則: 2つの天体の間に働く引力を記述します。この力が、円運動の向心力の源となります。
2. 円運動の運動方程式: 「向心力 = 万有引力」という関係式を立てることで、天体の速さや角速度、周期などを求めることができます。
3. 力学的エネルギー: 運動エネルギーと、万有引力による位置エネルギーの和で表されます。万有引力は保存力なので、この系の力学的エネルギーは保存されます（ただし、[A](5)のように外部からエネルギーが奪われる場合を除く）。
4. 共通重心: 2つの天体が互いの引力だけで運動する場合、それらは共通の重心の周りを回ります。この視点がパート[B]を解く鍵となります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. パート[A]: 地球を固定した1体問題として扱います。円運動の運動方程式を立て、そこから周期、運動エネルギー、力学的エネルギーを順に導出します。
2. パート[B]: 地球と月を1つの系と見なす2体問題として扱います。月と地球、それぞれについて円運動の運動方程式を立てます。「角速度が同じ」という条件を用いてこれらを連立させることで、軌道半径\(r_1, r_2\)の関係を求めます。あるいは、より簡潔に「共通重心」の考え方を用いることもできます。最終的に、系全体の周期を求めます。

〔A〕地球が静止しているモデル

問(1)

思考の道筋とポイント
万有引力の法則の公式をそのまま適用します。地球と月の間の距離が\(r_0\)であることに注意します。

この設問における重要なポイント

• 万有引力の法則の公式 \(F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\) を正しく覚えていること。

具体的な解説と立式
質量\(M\)の地球と質量\(m\)の月が、距離\(r_0\)だけ離れているときに及ぼし合う万有引力の大きさ\(F\)は、万有引力の法則より、
$$F = G\frac{Mm}{r_0^2}$$

公式を適用するのみであり、これ以上の計算はありません。

二つの物体が互いに引き合う万有引力の大きさは、それぞれの質量の積に比例し、距離の2乗に反比例します。この法則の公式に、問題で与えられた文字を当てはめるだけです。

月が地球から受ける万有引力の大きさは \(G\frac{Mm}{r_0^2}\) です。これは定義そのものです。

問(2)

思考の道筋とポイント
月の周期を求めます。周期を求めるには、速さ\(v_0\)または角速度\(\omega_0\)が必要です。これらは、月が等速円運動をしているという条件から、円運動の運動方程式を立てることで求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 円運動の運動方程式を立てる（向心力＝万有引力）。
• 周期の公式 \(T = \frac{2\pi r}{v}\) または \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) を使う。

具体的な解説と立式
月の速さを\(v_0\)、角速度を\(\omega_0\)とします。月は地球を中心とする半径\(r_0\)の等速円運動をしています。この円運動の向心力は、地球からの万有引力によって供給されます。
円運動の運動方程式は、
$$m\frac{v_0^2}{r_0} = G\frac{Mm}{r_0^2}$$
または、\(v_0 = r_0 \omega_0\) の関係を用いて角速度で表すと、
$$mr_0\omega_0^2 = G\frac{Mm}{r_0^2}$$

角速度を用いた運動方程式から\(\omega_0\)を求めます。
$$mr_0\omega_0^2 = G\frac{Mm}{r_0^2}$$
$$\omega_0^2 = \frac{GM}{r_0^3}$$
$$\omega_0 = \sqrt{\frac{GM}{r_0^3}}$$
周期\(T\)は \(T = \frac{2\pi}{\omega_0}\) なので、
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{r_0^3}{GM}}$$
別解: 速さ\(v_0\)を用いて周期を求める
具体的な解説と立式
周期は \(T = \frac{2\pi r_0}{v_0}\) という公式でも求められます。まず運動方程式から速さ\(v_0\)を求め、それを周期の公式に代入します。
速さ\(v_0\)を用いた運動方程式は、
$$m\frac{v_0^2}{r_0} = G\frac{Mm}{r_0^2}$$
これを\(v_0\)について解きます。
$$v_0^2 = \frac{GM}{r_0}$$
$$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r_0}}$$
周期の公式 \(T = \frac{2\pi r_0}{v_0}\) にこの\(v_0\)を代入します。

$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi r_0}{v_0} = \frac{2\pi r_0}{\sqrt{GM/r_0}} \\[1.5ex]
&= 2\pi r_0 \sqrt{\frac{r_0}{GM}} = 2\pi \sqrt{r_0^2 \cdot \frac{r_0}{GM}} \\[1.5ex]
&= 2\pi \sqrt{\frac{r_0^3}{GM}}
\end{aligned}
$$
これは角速度を用いた場合と同じ結果になります。

月が地球の周りを回り続けるためには、地球が月を引く力（万有引力）が、月が円運動をするのに必要な力（向心力）と等しくなっている必要があります。この力のつり合いの式から、月の回転ペース（角速度）や速さがわかります。1周の距離(\(2\pi r_0\))を速さで割るか、1周の角度(\(2\pi\))を角速度で割れば、1周にかかる時間（周期）が計算できます。

月の運動の周期は \(T = 2\pi \sqrt{\frac{r_0^3}{GM}}\) です。この式を2乗すると \(T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r_0^3\) となり、周期の2乗が半径の3乗に比例するという「ケプラーの第3法則」の形になっていることがわかります。

問(3)

思考の道筋とポイント
月の運動エネルギー\(K\)を求めます。\(K = \frac{1}{2}mv_0^2\) なので、月の速さ\(v_0\)を求める必要があります。これは(2)で用いた円運動の運動方程式から簡単に導出できます。

この設問における重要なポイント

• 運動エネルギーの公式 \(K = \frac{1}{2}mv^2\) を使う。
• 円運動の運動方程式から \(mv^2\) の形を導き出す。

具体的な解説と立式
(2)で立てた円運動の運動方程式（速さ\(v_0\)を用いた形式）を考えます。
$$m\frac{v_0^2}{r_0} = G\frac{Mm}{r_0^2}$$
この式から、運動エネルギーの計算に必要な \(mv_0^2\) の項を直接求めることができます。

運動方程式の両辺に\(r_0\)を掛けると、
$$mv_0^2 = G\frac{Mm}{r_0}$$
運動エネルギー\(K\)は \(\frac{1}{2}mv_0^2\) なので、
$$K = \frac{1}{2} \left( G\frac{Mm}{r_0} \right) = \frac{GMm}{2r_0}$$

運動エネルギーを求めるには速さが必要ですが、わざわざ速さ\(v_0\)を計算しなくても、運動方程式を少し変形するだけで、運動エネルギーの部品である「\(mv_0^2\)」の塊を直接求めることができます。

月の運動エネルギーは \(K = \frac{GMm}{2r_0}\) です。常に正の値であり、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
月の力学的エネルギー\(E\)を求めます。力学的エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの和です。万有引力による位置エネルギーの基準は無限遠にとるので、その公式を正しく適用します。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー \(E = K + U\)。
• 万有引力による位置エネルギーの公式 \(U = -G\frac{Mm}{r}\) を使う。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー\(E\)は、(3)で求めた運動エネルギー\(K\)と、万有引力による位置エネルギー\(U\)の和で与えられます。
$$E = K + U$$
無限遠を基準とした、距離\(r_0\)の点での位置エネルギー\(U\)は、
$$U = -G\frac{Mm}{r_0}$$

\(E = K + U\) の式に、(3)で求めた\(K\)と位置エネルギー\(U\)の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
E &= \left( \frac{GMm}{2r_0} \right) + \left( -G\frac{Mm}{r_0} \right) \\[1.5ex]
&= \frac{GMm – 2GMm}{2r_0} \\[1.5ex]
&= -\frac{GMm}{2r_0}
\end{aligned}
$$

力学的エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの「合計」です。(3)で求めた運動エネルギーと、公式からわかる位置エネルギーを単純に足し合わせます。位置エネルギーがマイナスの値であることに注意が必要です。

月の力学的エネルギーは \(E = -\frac{GMm}{2r_0}\) です。円運動やだ円運動のように、天体が中心天体に束縛されている場合、力学的エネルギーは必ず負の値になります。これは、物体が無限遠（エネルギーが0）に自力で到達できないことを意味しており、物理的に妥当な結果です。

問(5), (6)

思考の道筋とポイント
月の力学的エネルギー\(E\)が減少した場合に、軌道半径\(r_0\)と速さ\(v_0\)がどう変化するかを考察します。(4)で求めた力学的エネルギーの式と、(2)または(3)の運動方程式から導かれる速さの式を用いて、それぞれの関係を分析します。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギーの式 \(E = -\frac{GMm}{2r_0}\) から、\(E\)と\(r_0\)の関係を読み取る。
• 速さの式 \(v_0^2 = \frac{GM}{r_0}\) から、\(r_0\)と\(v_0\)の関係を読み取る。

具体的な解説と立式
(5) 距離の変化
(4)で求めた力学的エネルギーの式は、
$$E = -\frac{GMm}{2r_0}$$
この式から、\(E\)と\(r_0\)の関係を考えます。\(G, M, m\)は定数なので、\(E \propto -\frac{1}{r_0}\) の関係にあります。
問題の条件より、力学的エネルギー\(E\)が「減少」します。エネルギーはもともと負の値なので、減少するということは、より負の大きな値になることを意味します（例: -100J \(\rightarrow\) -120J）。
\(E\)がより負の大きな値になるためには、右辺の \(-\frac{GMm}{2r_0}\) もより負の大きな値になる必要があります。そのためには、分母の\(r_0\)が小さくなる必要があります。
したがって、地球と月との距離は「小さくなる」。
(6) 速さの変化
(2)の運動方程式から導かれた速さの式は、
$$v_0^2 = \frac{GM}{r_0}$$
この式から、\(v_0\)と\(r_0\)の関係を考えます。\(v_0^2 \propto \frac{1}{r_0}\) の関係にあります。
(5)の考察から、距離\(r_0\)は小さくなることがわかりました。分母の\(r_0\)が小さくなるので、\(v_0^2\)は大きくなります。
したがって、月の速さは「速くなる」。

エネルギーが減ると、月は地球の引力に少し負けて、より内側の軌道に落ち込みます（距離が小さくなる）。内側の軌道ほど、地球の引力が強くなるため、それに釣り合って円運動を続けるには、より速く回る必要があります。

エネルギーが減少すると、月はより地球に近い軌道に移り、その速さは増加します。これは、人工衛星がわずかな空気抵抗でエネルギーを失うと、徐々に高度を下げながら加速し、最終的に大気圏に再突入する現象と同じ原理です。直感（エネルギーを失うなら遅くなりそう）とは逆の結果に見えますが、位置エネルギーの減少分が運動エネルギーの増加分を上回るため、このような現象が起こります。

〔B〕地球と月が共通重心の周りを回るモデル

問(1)

思考の道筋とポイント
月の向心力を求めます。パート[B]では、月は点Oを中心として、半径\(r_1\)、角速度\(\omega\)で等速円運動をしています。向心力の公式 \(F=mr\omega^2\) に、これらの値を適用します。

この設問における重要なポイント

• 向心力の公式 \(F=mr\omega^2\) を使う。
• 月の運動の半径が\(r_1\)であることを正しく認識する。

具体的な解説と立式
質量\(m\)の月が、中心Oから距離\(r_1\)の位置を、角速度\(\omega\)で円運動しているので、向心力の大きさ\(F_{月}\)は、
$$F_{月} = mr_1\omega^2$$

問(2)

思考の道筋とポイント
月の角速度\(\omega\)を求めます。月の円運動の運動方程式を立てます。この円運動の向心力は、地球からの万有引力によって供給されています。万有引力が働く距離は、地球と月の中心間距離である\(r_0\)であることに注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 月の運動方程式を立てる（向心力＝万有引力）。
• 万有引力の距離は\(r_0 = r_1+r_2\)である。

具体的な解説と立式
月の運動方程式を立てます。

• 向心力: (1)で求めた \(mr_1\omega^2\)。
• 万有引力: 地球との距離が\(r_0\)なので、\(G\frac{Mm}{r_0^2}\)。

これらが等しいので、
$$mr_1\omega^2 = G\frac{Mm}{r_0^2}$$

上記の方程式を\(\omega\)について解きます。
$$\omega^2 = \frac{GM}{r_1 r_0^2}$$
$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r_1 r_0^2}}$$

問(3)

思考の道筋とポイント
距離\(r_1\)を求めます。未知数として\(r_1\)と\(r_2\)がありますが、\(r_1+r_2=r_0\)という関係式があります。もう一つ式が必要なので、地球の運動に着目します。地球も月と同様に、点Oを中心として、半径\(r_2\)、角速度\(\omega\)で円運動をしています。地球の運動方程式を立て、月の運動方程式と連立させることで、\(r_1\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 地球も円運動していることに着目し、その運動方程式を立てる。
• 地球と月の角速度\(\omega\)が共通であることを利用する。
• 重心の考え方を用いると、より簡潔に解ける。

具体的な解説と立式
方法1: 運動方程式を連立する

• 月の運動方程式 (問(2)より): \(mr_1\omega^2 = G\frac{Mm}{r_0^2}\)
• 地球の運動方程式: 地球の向心力は月からの万有引力によって供給される。
  \(Mr_2\omega^2 = G\frac{Mm}{r_0^2}\)

この2つの式から、左辺と右辺はそれぞれ等しいので、
$$mr_1\omega^2 = Mr_2\omega^2$$
\(\omega^2 \neq 0\) なので、両辺を\(\omega^2\)で割ると、
$$mr_1 = Mr_2$$
これと、\(r_2 = r_0 – r_1\) の関係を使って\(r_1\)を求めます。
別解: 共通重心の考え方を用いる
具体的な解説と立式
地球と月の系には外力が働かないため、その重心は動きません。初期状態で静止していたとすれば、回転の中心Oはまさに地球と月の共通重心の位置にあります。重心の公式から\(r_1\)と\(r_2\)の関係を直接導くことができます。
共通重心の考え方を用いると、中心Oは地球と月の共通重心と一致します。点Oを原点とすると、重心の公式より、
$$M(-r_2) + m(r_1) = 0$$
$$mr_1 = Mr_2$$
となり、運動方程式から導いたのと同じ関係式が得られます。この後の計算は同じです。

\(mr_1 = Mr_2\) と \(r_2 = r_0 – r_1\) を連立します。
$$
\begin{aligned}
mr_1 &= M(r_0 – r_1) \\
mr_1 &= Mr_0 – Mr_1 \\
(m+M)r_1 &= Mr_0 \\
r_1 &= \frac{M}{M+m}r_0
\end{aligned}
$$

地球と月は、シーソーのように、お互いの「重心」を中心にして回っています。重い地球は重心のすぐ近くを、軽い月は重心から遠いところを回ります。この「てこの原理」のような関係（\(mr_1 = Mr_2\)）と、2つの半径の合計が地球と月の距離（\(r_1+r_2=r_0\)）になるという関係を組み合わせることで、それぞれの回転半径がわかります。

距離\(r_1\)は \(\frac{M}{M+m}r_0\) です。これは、共通重心が、2つの天体の質量を逆比に内分する点にあることを示しています。重い地球(\(M\))のほうが重心に近く(\(r_2\)が小さい)、軽い月(\(m\))のほうが重心から遠い(\(r_1\)が大きい)という直感とも一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
系の周期\(T\)を求めます。周期は \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) で計算できます。角速度\(\omega\)は、(2)で求めた式に(3)の結果を代入することで、与えられた文字だけで表すことができます。

この設問における重要なポイント

• (2)と(3)の結果を組み合わせて\(\omega\)を確定させる。
• 周期の公式 \(T = \frac{2\pi}{\omega}\) を使う。

具体的な解説と立式
(2)で求めた角速度の2乗の式は、
$$\omega^2 = \frac{GM}{r_1 r_0^2}$$
ここに、(3)で求めた \(r_1 = \frac{M}{M+m}r_0\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
\omega^2 &= \frac{GM}{r_0^2} \cdot \frac{1}{r_1} \\[1.5ex]
&= \frac{GM}{r_0^2} \cdot \frac{M+m}{Mr_0} \\[1.5ex]
&= \frac{G(M+m)}{r_0^3}
\end{aligned}
$$
よって、角速度\(\omega\)は、
$$\omega = \sqrt{\frac{G(M+m)}{r_0^3}}$$
周期\(T\)は、
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{r_0^3}{G(M+m)}}$$

(2)と(3)で、月の回転ペース（角速度\(\omega\)）を計算するための部品が揃いました。これらを組み合わせることで、角速度が完全に求まります。1周の角度(\(2\pi\))をその角速度で割れば、1周にかかる時間（周期）が計算できます。

周期は \(T = 2\pi \sqrt{\frac{r_0^3}{G(M+m)}}\) です。これは「ケプラーの第3法則の一般形」として知られています。中心天体の質量\(M\)だけでなく、伴星の質量\(m\)も周期に影響を与えていることがわかります。もし \(m \ll M\) であれば、\(M+m \approx M\) となり、パート[A]の(2)で求めた周期 \(T = 2\pi \sqrt{\frac{r_0^3}{GM}}\) と一致します。これは、地球に比べて月が非常に軽いという現実の状況では、地球を固定して考えても良い近似になることを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 万有引力の法則:
  • 核心: 2つの質量を持つ物体が互いに及ぼし合う引力であり、その大きさは \(F = G\frac{Mm}{r^2}\) で与えられます。この力が、天体運動のすべての原動力（向心力）となります。
  • 理解のポイント: この法則は、地球と月の間に働く力だけでなく、地球と地球上の物体の間に働く力（重力）も説明します。問題に応じて、どの物体間に働く力を考えているのかを明確にすることが重要です。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: 物体が円運動をするためには、中心に向かう力（向心力）が必要です。天体の円運動では、この向心力の役割を万有引力が担います。したがって、「向心力 = 万有引力」という等式が、天体の運動を解析する上での基本方程式となります。
  • 理解のポイント:
    • モデル[A]（地球固定）: 月の運動方程式 \(m\frac{v_0^2}{r_0} = G\frac{Mm}{r_0^2}\) を考えます。
    • モデル[B]（共通重心）: 月と地球、それぞれについて運動方程式（例：月の場合は \(mr_1\omega^2 = G\frac{Mm}{r_0^2}\)）を立てる必要があります。向心力の半径（\(r_1\)）と、万有引力の距離（\(r_0\)）が異なる点に注意が必要です。
• 力学的エネルギー保存則（万有引力）:
  • 核心: 万有引力は保存力なので、他に非保存力が働かなければ、系の力学的エネルギー（運動エネルギー + 万有引力による位置エネルギー）は保存されます。
  • 理解のポイント: 万有引力による位置エネルギーは \(U(r) = -G\frac{Mm}{r}\) であり、無限遠を基準(0)とします。天体が束縛されている状態（円運動やだ円運動）では、力学的エネルギーは必ず負の値 (\(E<0\)) になります。このエネルギーの符号が、天体が束縛されているか、脱出するかを判断する指標となります。
• 共通重心の運動:
  • 核心: 互いに万有引力を及ぼし合う2つの天体（二体問題）は、外部から力が働かなければ、その共通重心の周りを同じ周期（同じ角速度）で公転します。
  • 理解のポイント: 共通重心は、2つの天体の質量を逆比に内分する点にあります。この考え方を用いることで、それぞれの天体の軌道半径（\(r_1, r_2\)）の関係を、運動方程式を連立させるよりも簡潔に導くことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 人工衛星の運動: この問題のモデル[A]は、人工衛星の運動を考える際の基本的なモデルです。第一宇宙速度、第二宇宙速度、周期の計算などに応用されます。
  • 連星系（二重星）: モデル[B]は、2つの恒星が互いの周りを回る連星系の運動そのものです。それぞれの星の質量や軌道半径、周期を求める問題に応用できます。
  • 惑星と衛星: 太陽と惑星、あるいは惑星とその衛星の関係も、質量に大きな差がある二体問題として、モデル[B]の考え方でより精密に解析できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. モデルの特定: まず、問題が「中心天体が固定された1体問題」なのか、「両方の天体が動く2体問題」なのかを把握します。
  2. 力の特定: 運動の原因となっている力は何かを特定します。天体運動では、それは万有引力です。
  3. 運動形態の特定: 円運動なのか、だ円運動なのか、あるいは別の運動なのかを問題文から読み取ります。
  4. 法則の選択:
     • 速さ、周期、半径の関係を知りたい \(\rightarrow\) 円運動の運動方程式。
     • エネルギーについて問われている \(\rightarrow\) 力学的エネルギーの式。
     • エネルギーが減少した後の変化を問われている \(\rightarrow\) エネルギーの式と運動方程式を連立させて関係を分析。
     • 2つの天体が動いている \(\rightarrow\) 共通重心の考え方や、それぞれの運動方程式を立てる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 半径と距離の混同:
  • 誤解: モデル[B]で、月の運動方程式を立てる際に、向心力の半径を\(r_0\)、万有引力の距離を\(r_1\)のように、取り違えてしまう。
  • 対策: 「向心力」は回転運動の半径（この場合は\(r_1\)）で決まり、「万有引力」は2つの物体の中心間距離（この場合は\(r_0\)）で決まる、という基本を常に意識しましょう。図を描いて、どの長さがどの物理量に対応するかを明確にすることが重要です。
• エネルギーの減少の解釈ミス:
  • 誤解: (5)で「エネルギーが減少する」と聞いて、運動エネルギーが減る、つまり速さが遅くなると直感で判断してしまう。
  • 対策: 力学的エネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーの和です。天体系では位置エネルギーが負で、その絶対値が大きいため、全体のエネルギーが減少すると、位置エネルギーがより大きく減少し（より地球に近づき）、その結果として運動エネルギーはむしろ増加（速くなる）することがあります。必ず数式（\(E = -GMm/2r_0\)）に基づいて論理的に判断しましょう。
• 1体問題と2体問題の混同:
  • 誤解: 地球も動くモデル[B]なのに、地球が固定されているモデル[A]の公式をそのまま使ってしまう。
  • 対策: 問題設定を正確に読み取り、どちらのモデルを考えているのかを常に意識します。特に周期の式は、モデル[B]では質量が\(M\)から\((M+m)\)に置き換わったような形になり、結果が異なります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • モデル[A]の図: 地球を大きく中心に描き、月がその周りを円軌道で回る様子を描きます。月には常に地球の中心を向く万有引力が働いていることをベクトルで示します。
  • モデル[B]の図: 共通重心Oをまずプロットします。その周りを、月が半径\(r_1\)の円、地球が半径\(r_2\)の円を描いて、互いに反対側を回り続ける様子を描きます。このとき、両者を結ぶ直線は常に重心Oを通ります。月と地球の間に働く万有引力は、それぞれにとっての向心力として機能していることをベクトルで示すと理解が深まります。
  • エネルギー図: 縦軸にエネルギー、横軸に距離\(r\)をとり、\(U = -1/r\) の形のポテンシャルエネルギーの曲線を描きます。円運動の力学的エネルギー \(E = -GMm/2r_0\) は、ポテンシャルエネルギーの極小値の半分の値になることを図で確認すると、束縛状態のイメージが掴みやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 万有引力の法則 \(F=G\frac{Mm}{r_0^2}\):
  • 選定理由: 2つの天体間に働く力を定量的に記述するための基本法則だから。
  • 適用根拠: 質量を持つ物体は互いに引き合うという普遍的な物理法則。
• 円運動の運動方程式 \(mr\omega^2 = F\):
  • 選定理由: 問題が「等速円運動」という特定の運動形態を指定しており、その運動を維持するための力の条件を記述する必要があるため。
  • 適用根拠: 物体が一定の速さで円軌道を描いているという運動学的な事実。向心力\(F\)に、その原因となる万有引力を代入して使用します。
• 力学的エネルギーの式 \(E = K+U\):
  • 選定理由: 問題が「エネルギー」について直接問うているため。また、(5)のようにエネルギーが変化した際の影響を考察するため。
  • 適用根拠: エネルギーの定義そのもの。運動エネルギー\(K\)と、万有引力による位置エネルギー\(U = -G\frac{Mm}{r}\)を正しく代入して使います。
• 共通重心の公式 \(mr_1 = Mr_2\):
  • 選定理由: モデル[B]で、2つの天体の軌道半径\(r_1, r_2\)の関係を知るため。運動方程式を2本立てて連立するよりも、この公式を使った方が直接的で計算が早い。
  • 適用根拠: 2体問題において、外力が働かない系では重心が静止または等速直線運動を続けるという運動量保存則から導かれる帰結。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. パート[A] 地球固定モデル:
   • (1) 万有引力: 公式 \(F=G\frac{Mm}{r_0^2}\) を適用。
   • (2) 周期: 運動方程式 \(mr_0\omega_0^2 = G\frac{Mm}{r_0^2}\) から\(\omega_0\)を求め、\(T=2\pi/\omega_0\) で周期を計算。
   • (3) 運動エネルギー: 運動方程式から \(mv_0^2\) を求め、\(K=\frac{1}{2}mv_0^2\) で計算。
   • (4) 力学的エネルギー: \(E=K+U\) に(3)の結果と \(U=-G\frac{Mm}{r_0}\) を代入。
   • (5)(6) エネルギー変化: (4)の\(E\)の式と、(2)の\(v_0\)の式から、\(E, r_0, v_0\) の関係を読み解く。
2. パート[B] 共通重心モデル:
   • (1) 向心力: 公式 \(F=mr_1\omega^2\) を適用。
   • (2) 角速度: 月の運動方程式 \(mr_1\omega^2 = G\frac{Mm}{r_0^2}\) を立て、\(\omega\)について解く。
   • (3) 軌道半径: 地球の運動方程式も立てるか、共通重心の考え方を用いて \(mr_1=Mr_2\) を導き、\(r_1+r_2=r_0\) と連立して\(r_1\)を求める。
   • (4) 周期: (2)の\(\omega\)の式に(3)の\(r_1\)を代入して\(\omega\)を確定させ、\(T=2\pi/\omega\) で周期を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の添え字の区別: \(r_0, r_1, r_2\) や \(\omega_0, \omega\) など、似たような記号が複数出てきます。どの記号がどの物理量を表しているのかを、図と対応させながら慎重に使い分けましょう。
• 分母の次数: 万有引力は\(r^2\)に反比例、位置エネルギーは\(r\)に反比例します。運動方程式を立てる際に、これらの次数の違いを間違えないように注意が必要です。
• 平方根の計算: 周期や速さの計算では平方根が多用されます。\(T=2\pi/\omega\) に \(\omega = \sqrt{A/B}\) を代入する際は、\(T=2\pi\sqrt{B/A}\) となるなど、逆数の扱いに注意しましょう。
• 結果の比較: パート[A]とパート[B]の結果を比較し、\(m \ll M\) の場合に[B]が[A]に近づくことを確認する（吟味する）ことは、計算ミスを発見する良い機会になります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (4) 力学的エネルギー: \(E = -K\) という関係（ビリアル定理）が円運動では成り立ちます。実際に(3)と(4)の結果を比べると \(E = -K = -\frac{GMm}{2r_0}\) となっており、計算の正しさを裏付けています。
  • (5)(6) エネルギー減少: エネルギーを失うと、より強く束縛される（近づく）ため、位置エネルギーはより大きく減少します。その減少分の一部が運動エネルギーに変換されるため、速くなる、という物理的描像は他の現象（空気抵抗を受ける人工衛星など）とも共通しており、妥当です。
  • [B](3) \(r_1\): \(r_1 = \frac{M}{M+m}r_0\) という結果は、\(M\)が\(m\)より大きいほど、\(r_1\)が\(r_0\)に近づく（重心が地球に近づく）ことを意味しており、直感と一致します。
• モデル間の比較:
  • 周期の比較: モデル[B]の周期の式の分母は \(G(M+m)\)、モデル[A]では \(GM\) です。分母が大きい[B]の方が周期は短くなります。これは、地球も動くことで、実質的に引力が強まった（あるいは、同じ引力でより小さな半径の軌道を回っている）と解釈でき、興味深い結果です。ただし、これは\(r_0\)が同じという仮定の下での比較です。
  • 近似の妥当性: 実際の地球と月では \(M \gg m\) なので、\(M+m \approx M\) と近似できます。このとき、モデル[B]の結果がモデル[A]の結果とほぼ一致することから、地球を固定して考えるモデル[A]が、多くの場合で良い近似であることがわかります。

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問題53 (東北大)