「良問の風」攻略ガイド（76〜80問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題76 (東京医歯大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、弦の振動に関する様々な現象（定常波、弦を伝わる波の速さ、うなり）を組み合わせた総合問題です。弦の長さ、張力、線密度、そして音さの振動数といったパラメータが、どのように定常波の形成やうなりの発生に関わるかを理解することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• 弦を伝わる波の速さ: 張力 \(S\) と線密度 \(\rho\) で決まる (\(v = \sqrt{S/\rho}\))。
• 定常波の条件: 弦の長さ \(L\) に対して、両端が節となる定常波ができるとき、波長 \(\lambda\) は \(L = k \cdot (\lambda/2)\) (ここで \(k\) は腹の数、または半波長の数) を満たします。
• 共振: 弦は特定の振動数（固有振動数）で振動しやすく、外部からその振動数で力を加えると大きく振動します。この問題では、音さの振動数が弦の固有振動数の一つと一致したときに定常波が生じると考えます。
• 波の基本式: \(v = f\lambda\)。
• うなり: 振動数がわずかに異なる2つの音波が干渉し合うことで、音の強弱が周期的に変化する現象。うなりの振動数（1秒あたりのうなりの回数）は、2つの音の振動数の差の絶対値に等しい (\(n = |f_1 – f_2|\))。

各設問に対して、これらの法則を適切に適用し、数式を立てて解いていきます。

問1

思考の道筋とポイント
弦の長さ \(l\)、おもりの質量 \(m\)、線密度 \(\rho\) の条件で、腹が3個の定常波が生じたときの音さの振動数 \(f\) を求めます。
まず弦の張力を求め、それを使って弦を伝わる波の速さを計算します。次に、定常波の条件から波長を弦の長さで表し、最後に波の基本式 \(f=v/\lambda\) を使って振動数を求めます。

この設問における重要なポイント

• 弦の張力 \(S\) がおもりの重力 \(mg\) に等しいこと。
• 弦を伝わる波の速さの公式 \(v = \sqrt{S/\rho}\) を正しく適用すること。
• 腹が3個の定常波の場合、弦の長さ \(l\) が半波長 \(\lambda/2\) の3倍に等しい (\(l = 3 \cdot \frac{\lambda}{2}\)) という関係を理解すること。
• 音さの振動数が弦の固有振動数と一致して定常波（共振）が起きていること。

具体的な解説と立式
1. 弦の張力 \(S\):
おもりは質量 \(m\) なので、それにかかる重力は \(mg\) です。この重力と弦の張力 \(S\) がつり合っているため、立式すると次のようになります。
$$S = mg$$

2. 弦を伝わる波の速さ \(v\):
弦を伝わる波の速さ \(v\) は、張力 \(S\) と線密度 \(\rho\) を用いて次のように表されます。
$$v = \sqrt{\frac{S}{\rho}}$$
ここに \(S=mg\) を代入すると、速さの式は以下のようになります。
$$v = \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$$

3. 定常波の波長 \(\lambda\):
弦の長さ \(l\) で腹が3個の定常波が生じています。弦の両端は節とみなせるので、弦の長さは半波長の整数倍になります。腹が3個の場合、半波長の数は3です。したがって、以下の関係式が成り立ちます。
$$l = 3 \times \frac{\lambda}{2}$$
この式から波長 \(\lambda\) を求めると、
$$\lambda = \frac{2}{3}l$$

4. 音さの振動数 \(f\):
弦は音さの振動数 \(f\) で振動し、定常波が生じています。波の基本式 \(v = f\lambda\) より \(f = v/\lambda\) です。
先に求めた \(v\) と \(\lambda\) を代入して \(f\) を求める式を立てます。
$$f = \frac{v}{\lambda}$$

「具体的な解説と立式」で立てた式に、各物理量を代入して \(f\) を求めます。
$$f = \frac{\sqrt{\frac{mg}{\rho}}}{\frac{2}{3}l}$$
これを整理すると、
$$f = \frac{3}{2l}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}$$

1. まず、弦がどれくらいの力で引っ張られているか（張力）を考えます。これはおもりの重さ \(mg\) です。
2. 次に、弦を波が伝わる速さ \(v\) を計算します。速さは、張力が大きいほど速く、弦が重い（線密度 \(\rho\) が大きい）ほど遅くなります。公式は \(v = \sqrt{mg/\rho}\) です。
3. 弦には腹が3つある波ができています。これは、弦の長さ \(l\) の中に、波の半分の長さ（半波長 \(\lambda/2\)）が3つ入っている状態です。つまり \(l = 3 \times (\lambda/2)\)。ここから波長 \(\lambda\) は \(2l/3\) とわかります。
4. 最後に、振動数 \(f\) は「速さ \(\div\) 波長」で求められます。\(f = v/\lambda\) に計算した \(v\) と \(\lambda\) を入れると、\(f = \frac{3}{2l}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}\) となります。

音さAの振動数 \(f\) は \(\frac{3}{2l}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}\) です。これは弦の固有振動数の一つであり、この振動数で音さが弦を強制的に振動させることで共振が起こり、大きな定常波が観測されたと考えられます。

問2

思考の道筋とポイント
おもりの下に質量 \(M\) のおもりを追加した結果、張力が増加し、波の速さが変わります。音さの振動数 \(f\) と弦の長さ \(l\) は変わらないまま、腹が2個の定常波ができました。この条件から \(M\) と \(m\) の関係を導きます。

この設問における重要なポイント

• 音さの振動数 \(f\) は (1) と同じであること（同じ音さを使用しているため）。
• 弦の長さ \(l\) も変わらないこと。
• 張力が \(S’ = (m+M)g\) に変化すること。
• 腹が2個の定常波の場合、弦の長さ \(l\) が半波長 \(\lambda’/2\) の2倍に等しい (\(l = 2 \cdot \frac{\lambda’}{2}\)) という関係を理解すること。

具体的な解説と立式
1. 新しい張力 \(S’\):
おもりの総質量は \(m+M\) となるため、弦の張力 \(S’\) は、
$$S’ = (m+M)g$$

2. 新しい波の速さ \(v’\):
新しい張力 \(S’\) を用いると、弦を伝わる波の速さ \(v’\) は、
$$v’ = \sqrt{\frac{S’}{\rho}} = \sqrt{\frac{(m+M)g}{\rho}}$$

3. 新しい定常波の波長 \(\lambda’\):
弦の長さ \(l\) は変わらず、腹が2個の定常波が生じているので、
$$l = 2 \times \frac{\lambda’}{2} = \lambda’$$
よって、新しい波長は \(\lambda’ = l\) です。

4. 振動数 \(f\) (新しい条件で):
音さの振動数 \(f\) は変わらないので、(1)で求めた \(f\) と同じです。この振動数 \(f\) は \(v’/\lambda’\) とも書けます。したがって、新しい条件での振動数を表す式は、
$$f = \frac{v’}{\lambda’}$$

「具体的な解説と立式」で立てた式に、各物理量を代入して \(f\) の新しい表現を求め、(1)で得られた \(f\) の表現と等しいとおきます。
新しい条件での \(f\) は、
$$f = \frac{\sqrt{\frac{(m+M)g}{\rho}}}{l} = \frac{1}{l}\sqrt{\frac{(m+M)g}{\rho}}$$
(1)で求めた \(f = \frac{3}{2l}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}\) と上記の式は等しいので、
$$\frac{3}{2l}\sqrt{\frac{mg}{\rho}} = \frac{1}{l}\sqrt{\frac{(m+M)g}{\rho}}$$
両辺の共通因子 \(\frac{1}{l}\sqrt{\frac{g}{\rho}}\) で割ると (これらは0ではないので)、
$$\frac{3}{2}\sqrt{m} = \sqrt{m+M}$$
両辺を2乗すると、
$$\frac{9}{4}m = m+M$$
これを \(M\) について解きます。
$$M = \frac{9}{4}m – m = \left(\frac{9}{4} – 1\right)m = \left(\frac{9}{4} – \frac{4}{4}\right)m = \frac{5}{4}m$$
したがって、\(M\) は \(m\) の \(\frac{5}{4}\) 倍です。

1. おもりが \(m+M\) になったので、弦を引っ張る力（張力）が大きくなります。張力が変わると、弦を伝わる波の速さも変わります。
2. 今度は腹が2つの波ができました。弦の長さ \(l\) は同じなので、波長が変わったことになります。腹2つのとき、波長はちょうど弦の長さ \(l\) と同じ (\(\lambda’ = l\)) になります。
3. 音さAは同じものを使っているので、振動数 \(f\) は(1)のときと同じです。この振動数 \(f\) は、新しい速さ \(v’\) と新しい波長 \(\lambda’\) を使っても \(f=v’/\lambda’\) と表せます。
4. (1)で求めた \(f\) の式と、この新しい条件での \(f\) の式が等しいとして方程式を立てます。
5. その方程式を解くと、\(M\) が \(m\) の \(\frac{5}{4}\) 倍であることがわかります。

追加したおもりの質量 \(M\) は、元のおもりの質量 \(m\) の \(\frac{5}{4}\) 倍です。張力が増加し波の速さが増した結果、同じ弦長・同じ振動数でより波長の長い（腹の数が少ない）定常波が形成されたという物理的状況と整合します。

問3

思考の道筋とポイント
音さA (\(f\)) と振動数がわずかに異なる音さB (\(f_B\)) を用いると、うなりが毎秒 \(n\) 回聞こえました。この情報から \(f_B\) を \(f\) と \(n\) で表します。また、音さBで腹3個の定常波を作るには弦を長くする必要があったという条件から、\(f_B\) と \(f\) の大小関係を判断し、\(f_B = f+n\) か \(f_B = f-n\) かを決定します。

この設問における重要なポイント

• うなりの振動数 \(n\) は、2つの音の振動数の差の絶対値 (\(n = |f – f_B|\)) であること。
• 弦の張力は元の \(mg\) のままであり、弦を伝わる波の速さ \(v\) は(1)の最初の状態と同じであること。
• 同じ腹の数（3個）の定常波を作るのに弦の長さを長くした場合、波長が長くなるため、振動数は小さくなる (\(f = v/\lambda\)) という関係を理解すること。

具体的な解説と立式
音さAの振動数を \(f\)、音さBの振動数を \(f_B\) とします。
毎秒 \(n\) 回のうなりが聞こえたので、うなりの振動数の定義から、
$$|f – f_B| = n$$これは、\(f_B\) が次のいずれかの値をとることを意味します。$$f_B = f + n \quad \text{または} \quad f_B = f – n$$
次に、どちらが正しいかを判断します。
音さBを用いて腹が3個の定常波を作るとき、おもりは質量 \(m\) のみなので、弦を伝わる波の速さ \(v\) は音さAを用いた(1)の最初の状態と同じです (\(v = \sqrt{mg/\rho}\))。
このとき、弦の長さを元の \(l\) よりも少し長く \(l’ = l+d\) (\(d>0\)) とする必要がありました。
腹が3個の定常波の場合、波長 \(\lambda_B\) と弦の長さ \(l’\) の関係は \(l’ = \frac{3}{2}\lambda_B\)、つまり \(\lambda_B = \frac{2}{3}l’\) です。
したがって、音さBの振動数 \(f_B\) は、
$$f_B = \frac{v}{\lambda_B} = \frac{v}{\frac{2}{3}l’} = \frac{3v}{2l’}$$音さAの振動数 \(f\) は、同じく腹3個で弦長 \(l\) のとき、$$f = \frac{3v}{2l}$$
ここで、\(l’ = l+d\) であり \(d>0\) なので、\(l’ > l\) です。
分母が大きくなると値は小さくなるので、
$$f_B = \frac{3v}{2l’} < \frac{3v}{2l} = f$$
つまり、\(f_B < f\) です。
よって、\(f_B = f+n\) と \(f_B = f-n\) のうち、\(f\) より小さい \(f-n\) が適切な解となります。
$$f_B = f – n$$

この設問では、上記の論理的な考察により \(f_B = f-n\) が導かれるため、具体的な数値計算はありません。

1. うなりが毎秒 \(n\) 回聞こえるということは、音さAの振動数 \(f\) と音さBの振動数 \(f_B\) の差が \(n\) であるということです。つまり、\(f_B\) は \(f+n\) か \(f-n\) のどちらかです。
2. 音さBを使うとき、弦を長くしないと腹3つの定常波ができなかった、という情報がヒントです。弦を引っ張る力（おもりの重さ）は同じなので、波の速さ \(v\) は変わりません。
3. 波の振動数は「速さ \(\div\) 波長」です。腹3つの定常波では、波長は「弦の長さ \(\times 2/3\)」です。
4. 弦を長くすると波長も長くなります。速さが一定なので、波長が長くなると振動数は小さくなります。
5. つまり、音さBの振動数 \(f_B\) は、音さAの振動数 \(f\) よりも小さいはずです。
6. したがって、\(f_B = f-n\) が正しいとわかります。

音さBの振動数は \(f-n\) です。弦を長くする必要があったという条件から、振動数が小さくなったと判断するのがポイントです。

問4

思考の道筋とポイント
音さB（振動数 \(f-n\)）を用いて、弦の長さを \(l+d\) としたときに腹3個の定常波ができた、という条件から、長くした長さ \(d\) を求めます。弦を伝わる波の速さ \(v\) は(1)の最初の状態と同じです。

この設問における重要なポイント

• 音さBの振動数が \(f-n\) であること。
• 弦の長さを \(l+d\) としたときに腹3個の定常波ができる条件式を立てること。
• 音さAの場合の振動数 \(f\) と弦の長さ \(l\) の関係式 \(f = \frac{3v}{2l}\) を利用すること。

具体的な解説と立式
音さBの振動数は \(f_B = f-n\) です。
この音さで、弦の長さが \(l’ = l+d\) のときに腹が3個の定常波が生じました。
弦を伝わる波の速さは \(v\) （おもり \(m\) のときの速さ、\(v = \sqrt{mg/\rho}\)) です。
腹が3個の定常波のとき、弦の長さ \(l’\) と波長 \(\lambda_B\) の関係は \(l’ = \frac{3}{2}\lambda_B\) なので、\(\lambda_B = \frac{2}{3}l’\) です。
したがって、振動数 \(f_B\) は、
$$f_B = \frac{v}{\lambda_B} = \frac{v}{\frac{2}{3}l’} = \frac{3v}{2l’}$$ここに \(f_B = f-n\) と \(l’ = l+d\) を代入すると、次の関係式が得られます。$$f-n = \frac{3v}{2(l+d)}$$
この式を \(d\) について解くことが目標です。

上記で立てた関係式 \(f-n = \frac{3v}{2(l+d)}\) を変形していきます。

1. まず、\(l+d\) について整理します。
   $$2(l+d) = \frac{3v}{f-n}$$
   $$l+d = \frac{3v}{2(f-n)}$$
2. 次に、\(d\) について解きます。
   $$d = \frac{3v}{2(f-n)} – l$$
3. ここで、(1)の結果 \(f = \frac{3v}{2l}\) を用いて、この式を \(v, l, n\) で表します。通分すると、
   $$d = \frac{3v – 2l(f-n)}{2(f-n)}$$
4. 分母の \(2(f-n)\) に \(f = \frac{3v}{2l}\) を代入すると、
   $$2(f-n) = 2\left(\frac{3v}{2l}-n\right) = \frac{3v}{l} – 2n = \frac{3v-2nl}{l}$$
5. 分子の \(2l(f-n)\) にも同様に代入すると、
   $$2l(f-n) = 2l\left(\frac{3v}{2l}-n\right) = 3v – 2ln$$
6. これらを \(d\) の式に代入すると、
   $$d = \frac{3v – (3v – 2ln)}{\frac{3v-2nl}{l}} = \frac{2ln}{\frac{3v-2nl}{l}}$$
7. 最後に整理して、
   $$d = \frac{2nl^2}{3v-2nl}$$

1. 音さBの振動数は \(f-n\) でした。この音さで腹3つの定常波ができたとき、弦の長さは \(l+d\) になっています。このときの波長は \(\lambda_B = \frac{2(l+d)}{3}\) です。
2. 波の速さ \(v\) は変わらないので、\(f-n = v / \lambda_B = v / \frac{2(l+d)}{3} = \frac{3v}{2(l+d)}\) という関係が成り立ちます。
3. この式を \(d\) について解けばよいのですが、答えは \(v, l, n\) を使って表すようになっています。(1)で求めた \(f = \frac{3v}{2l}\) の関係も使いながら式を変形していきます。
4. 計算すると、\(d = \frac{2nl^2}{3v-2nl}\) となります。

弦の長さは \(\frac{2nl^2}{3v-2nl}\) だけ長くされたことが分かります。\(n>0\) であり、また音さBの振動数がAより小さい(\(f-n < f\))ので弦長を長くする必要があったこと、そのためには \(3v-2nl > 0\) (つまり \(f-n > 0\)) である必要があることなど、物理的な条件とも整合します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 弦を伝わる波の速さ: \(v = \sqrt{S/\rho}\)。張力 \(S\) と線密度 \(\rho\) が速さを決定する要因であることを理解する。特に、おもりの質量が変わると張力が変わり、速さが変化する点。
• 定常波（共振）の条件:
  • 弦の長さ \(L\)、腹の数 \(k\)（または振動モード \(k\) 次倍振動）、波長 \(\lambda\) の間に \(L = k \cdot (\lambda/2)\) の関係が成り立つ（両端が節の場合）。
  • 弦の固有振動数 \(f_k = k \frac{v}{2L}\)。音さの振動数がこれと一致すると共振し、大きな定常波ができる。
• 波の基本式: \(v=f\lambda\)。これはあらゆる波に共通する基本関係。
• うなりの原理: 振動数がわずかに異なる二つの音を重ねると、音の強さが周期的に変化する。うなりの回数／秒 \(n = |f_1 – f_2|\)。
• 物理条件の変化と結果の関連付け: 張力や弦長、振動数が変わると、波の速さ、波長、定常波のモード（腹の数）がどのように変化するかを定量的に追うこと。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 開管や閉管の気柱の共鳴の問題（境界条件は異なるが、定常波の考え方は共通）。
  • LC共振回路など、電気振動における共振現象とのアナロジー。
  • 異なる楽器の音程がどう決まるか（弦の長さ、太さ、張力など）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 何が変化し、何が一定か: 問題の各段階で、弦の長さ、張力（おもりの質量）、音さ（振動数）、線密度などのうち、どれが変化し、どれが一定に保たれているかを明確に把握する。
  2. 定常波のモード（腹の数）: これが波長と弦の長さの関係を決定する。
  3. 波の速さの決定要因: 張力と線密度。張力が変われば速さが変わる。
  4. 振動数の源泉: 音さの振動数が弦の振動を決める（強制振動と共振）。
  5. うなりの条件: 「うなりが聞こえた」という記述があれば、二つの振動数の差を考える。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 複数の条件が絡み合うので、情報を整理し、どの公式をどの段階で使うか計画を立てる。
  • (2)のように、同じ物理量（ここでは振動数 \(f\)）について異なる条件から二通りに表し、それらを等しいとおいて解く手法は頻出。
  • (3)のように、複数の可能性がある場合（\(f_B=f+n\) か \(f_B=f-n\) か）、他の物理的条件（弦長が長くなったため \(\lambda\) が大きくなり、結果として \(f\) が小さくなる）から絞り込む。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 張力と質量の混同: 張力は力 [N]、質量は [kg]。\(S=mg\) の関係を忘れずに。
• 波の速さと媒質の振動速度の混同: ここでいう速さ \(v\) は波形が進む速さ。
• 定常波の腹の数と波長の関係の誤り: \(l = k \lambda\) ではなく \(l = k (\lambda/2)\)。
• うなりの公式の適用ミス: 差の絶対値であること。\(f_B\) の大小関係の判断ミス。
• 複雑な数式変形での計算ミス: 特に分数や平方根が絡む場合。

対策:

• 基本公式とその導出過程（物理的意味）をしっかり理解する。
• 図を描いて状況を把握し、特に定常波の様子を視覚化する。
• 複雑な問題では、情報を箇条書きで整理し、未知数と既知数を明確にする。
• 計算は丁寧に、途中式をしっかり書く。検算も有効。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • おもりを増やすと弦が強く張られ、弦を弾いたときの音が高くなる（波の速さが上がり、同じ長さなら振動数が上がる）イメージ。
  • 弦の長さを変えると、ギターやバイオリンで指で押さえる位置を変えると音程が変わるイメージ。
  • 定常波は、弦が特定の形で振動し、腹の部分が大きく揺れ、節は動かない様子。
  • うなりは、「ワーンワーン」という音の周期的な強弱の変動。
• 図示の有効性:
  • 問題文の図は腹3つの定常波の様子を明確に示しており、\(l = 3(\lambda/2)\) の関係を理解する助けになる。
  • (2)で腹2つになった状況も同様に図示すると、\(\lambda’ = l\) が分かりやすい。
  • 各段階での弦の長さ、おもり、腹の数を簡単なスケッチで記録しておくと、条件整理に役立つ。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v = \sqrt{S/\rho}\): 弦の物理的特性（張力、線密度）から波の伝播速度が決まるという法則。
• \(L = k(\lambda/2)\): 両端が節となる定常波が弦上に形成されるための幾何学的条件。
• \(f=v/\lambda\): 波の速さ、振動数、波長の普遍的な関係。
• \(n = |f_A – f_B|\): うなりの振動数が元の二つの音の振動数の差で決まるという実験的事実に基づく法則。

これらの公式は、それぞれ特定の物理的状況や法則に対応しています。どの公式をいつ使うべきかは、問題文で与えられた条件と問われている内容を照らし合わせ、物理現象の本質を捉えることで判断します。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 基本量の設定 (問1): 張力 \(S\), 速さ \(v\), 波長 \(\lambda\) を \(m, g, \rho, l\) で表し、\(f\) を導出。
2. 条件変更への対応 (問2):
   • 変更点: \(m\) が \(m+M\) に、腹の数が3から2に。
   • 不変量: \(f, l, \rho, g\)。
   • 新しい \(S’, v’, \lambda’\) を設定し、再度 \(f\) を表す式を立てる。
   • (1)の \(f\) と等しいとおき、\(M\) について解く。
3. うなりと条件変化 (問3, 問4):
   • 音さを変更したため \(f\) が \(f_B\) に。張力は元に戻る (\(m\))。腹の数は3。弦長を変更 (\(l\) が \(l+d\) に)。
   • うなりの情報から \(f_B = f \pm n\)。
   • 弦長変更の条件（\(l+d > l\) なので \(\lambda_B > \lambda_A\)、その結果 \(f_B < f\)）から \(f_B = f-n\) を特定 (問3)。
   • 新しい条件 (\(f_B, l+d\), 腹3個, \(v\)) で定常波の式を立て、\(d\) について解く (問4)。

この問題のように複数のステップがある場合、前の設問の結果を次の設問で使うことが多いので、各ステップでの計算を正確に行うことが重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の扱い: 両辺を2乗する際に計算を間違えない。例: \((\frac{3}{2}\sqrt{X})^2 = \frac{9}{4}X\)。
• 分数の計算: 繁分数になる場合など、丁寧に処理する。
• 文字式の整理: 多くの物理量が文字で与えられているため、式変形の際に特定の文字について整理する意識を持つ。
• 代入のタイミング: できるだけ文字式のままで計算を進め、最後に数値を代入する方が間違いにくい（本問は数値代入はないが、複雑な文字式の扱いは同様）。
• 物理量の依存関係の確認: 例えば、振動数 \(f\) が \(l\) に反比例し、\(v\) に比例する (\(f \propto v/l\))、そして \(v \propto \sqrt{S}\) であることなどを意識すると、式の形がおかしい場合に気づきやすい。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • (2) \(M > 0\) となるか。おもりを重くして腹の数が減るのは、速さが増して波長が長くなるためであり、物理的に妥当。
  • (3) 弦を長くして同じモードの定常波を作るなら、波長が長くなるので振動数は小さくなるはず。\(f_B = f-n\) はこれを満たしているか。
  • (4) \(d>0\) となるか（弦を長くしたという条件と合うか）。\(n>0\) のとき、式の分母 \(3v-2nl\) が正であれば \(d>0\)。\(3v-2nl = 2l(\frac{3v}{2l}-n) = 2l(f-n)\)。\(f_B=f-n > 0\) であれば分母は正。
• 単位（次元）の確認: 例えば、(1)で求めた \(f\) の次元が \(1/\text{時間}\) になっているか。
  \(\frac{1}{[\text{L}]}\sqrt{\frac{[\text{M}][\text{L}][\text{T}^{-2}]}{[\text{M}][\text{L}^{-1}]}} = \frac{1}{[\text{L}]}\sqrt{\frac{[\text{L}^2][\text{T}^{-2}]}{1}} = \frac{1}{[\text{L}]} \frac{[\text{L}]}{[\text{T}]} = \frac{1}{[\text{T}]}\)。正しい。
• 極端な場合の考察: 例えば、うなり \(n \to 0\) なら \(d \to 0\) となるか（音さAと同じなら長くする必要はない）。式の形から明らか。もし \(f-n \to 0\) なら \(d \to \infty\) となるか。これも物理的に、振動数が非常に小さい波で同じモードを作るには非常に長い弦が必要なことを示唆する。

問題77 (信州大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、気柱の共鳴に関するものです。ピストンの位置を変えることによる閉管の共鳴条件の変化、そしてピストンを取り外した後の開管としての共鳴について理解を深めることができます。特に、与えられた条件から波長や振動数を求め、定常波の様子を正しく把握することが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、「気柱の共鳴」というテーマに関するものです。気柱の共鳴とは、管の中の空気柱が特定の振動数の音波と共鳴し、管内に「定常波」と呼ばれる特徴的な波ができる現象です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 定常波: 同じ速さ、同じ波長（振動数）、同じ振幅を持つ2つの波が互いに逆向きに進んで重なり合うとできる、波形が空間的に移動せずその場で振動しているように見える波のことです。
  • 腹（はら）: 定常波において、媒質の振動の振幅が最大になる位置。開口端は腹になります。
  • 節（ふし）: 定常波において、媒質が全く振動しない位置。閉じた端（ピストン面）は節になります。
• 気柱の共鳴条件:
  • 閉管（一端が閉じ、他端が開いている管）: 開口端が腹、閉端が節となります。管の長さを \(l\)、音波の波長を \(\lambda\) とすると、共鳴条件は \(l = (2n-1)\displaystyle\frac{\lambda}{4}\) （ここで \(n=1, 2, 3, \dots\)）と表されます。\(n=1\) のときを基本振動 (\(l=\lambda/4\))、\(n=2\) のときを3倍振動 (\(l=3\lambda/4\))、\(n=3\) のときを5倍振動 (\(l=5\lambda/4\)) といいます。腹と節の間隔は \(\lambda/4\) です。
  • 開管（両端が開いている管）: 両端とも腹となります。管の長さを \(L\)、音波の波長を \(\lambda\) とすると、共鳴条件は \(L = n\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) （ここで \(n=1, 2, 3, \dots\)）と表されます。\(n=1\) のときを基本振動 (\(L=\lambda/2\))、\(n=2\) のときを2倍振動 (\(L=\lambda\))、\(n=3\) のときを3倍振動 (\(L=3\lambda/2\)) といいます。腹と腹の間隔、節と節の間隔は \(\lambda/2\) です。
• 波の基本式: 音速を \(V\)、振動数を \(f\)、波長を \(\lambda\) とすると、これらの間には \(V = f\lambda\) という関係があります。

全体的な戦略としては、まず各設問の状況（管の開閉状態、ピストンの位置）を正確に把握します。次に、共鳴条件から管の長さと波長の関係式を立て、波の基本式 \(V=f\lambda\) を用いて未知の量を求め、最後に定常波の様子を腹と節の位置関係に注意して図示します。

問1

思考の道筋とポイント
ピストンPが挿入されているので、このときのガラス管は一端（A）が開き、他端（P）が閉じている「閉管」と見なせます。「最初の共鳴」とは、最も単純な形の定常波ができるとき、つまり「基本振動」の状態を指します。閉管の基本振動では、開口端Aが腹、ピストンPの位置が節となり、その間の距離（管長）が波長の \(1/4\) に相当します。

この設問における重要なポイント

• 「最初の共鳴」が基本振動であることを理解する。
• ピストンがある状態は「閉管」として扱う。
• 閉管の基本振動では、管の長さが \(\lambda/4\) になることを適用する。

具体的な解説と立式
開口部Aが定常波の腹、ピストンPの位置が節となります。Aからの距離が \(20.0 \, \text{cm}\) のところで最初の共鳴が起こったので、このときの有効な管の長さ \(l_1 = 20.0 \, \text{cm}\) です。
閉管の基本振動では、管の長さと波長 \(\lambda\) の関係は次のように表されます。
$$l_1 = \frac{1}{4}\lambda$$
この式から波長 \(\lambda\) を求め、次に波の基本式 \(V = f\lambda\) を使って振動数 \(f\) を計算します。

まず、与えられた長さをメートルに変換します。
\(l_1 = 20.0 \, \text{cm} = 0.200 \, \text{m}\)

1. 波長 \(\lambda\) の計算:
\(l_1 = \displaystyle\frac{\lambda}{4}\) より、
$$\lambda = 4 \times l_1$$
値を代入すると、
$$\lambda = 4 \times 0.200 \, \text{m} = 0.800 \, \text{m}$$

2. 振動数 \(f\) の計算:
波の基本式 \(V = f\lambda\) より \(f = \displaystyle\frac{V}{\lambda}\)。
音速 \(V = 340 \, \text{m/s}\)、求めた波長 \(\lambda = 0.800 \, \text{m}\) を代入すると、
$$f = \frac{340 \, \text{m/s}}{0.800 \, \text{m}} = 425 \, \text{Hz}$$

最初の共鳴が起こるということは、管の中で最もシンプルな定常波ができている状態です。管の開いているA端では空気が激しく振動し（腹）、ピストンのP端では空気は振動できません（節）。この「腹」から「節」までの最も短い距離は、実は音の波の長さ（波長）の \(1/4\) にあたります。
問題ではこの距離が \(20.0 \, \text{cm}\) だと与えられているので、波長全体はその4倍、つまり \(4 \times 20.0 \, \text{cm} = 80.0 \, \text{cm}\) (\(0.800 \, \text{m}\)) だとわかります。
音の速さは \(340 \, \text{m/s}\) と決まっているので、「速さ = 振動数 × 波長」という関係式を使って、振動数 \(f = \text{速さ} / \text{波長} = 340 / 0.800 = 425 \, \text{Hz}\) と計算できます。

おんさの振動数 \(f\) は \(425 \, \text{Hz}\) です。これは一般的な音の高さの範囲であり、物理的に妥当な値です。計算過程での単位も、\([\text{m/s}] / [\text{m}] = [1/\text{s}] = [\text{Hz}]\) となり、振動数の単位として正しいことが確認できます。

問2

思考の道筋とポイント
ピストンPを(1)の位置からさらに右（Bの方向）へゆっくり移動させると、管の有効長が長くなります。同じおんさ（振動数 \(f\) は一定、したがって波長 \(\lambda\) も一定）を使っているので、次に共鳴が起こるのは、閉管としての次の振動モード、つまり「3倍振動」のときです。閉管では、基本振動 (\(\lambda/4\)) の次は3倍振動 (\(3\lambda/4\))、その次は5倍振動 (\(5\lambda/4\)) … というように、管長が \(\lambda/4\) の奇数倍のときに共鳴が起こります。
別の考え方として、共鳴点（ピストンの位置、つまり節の位置）は、半波長 (\(\lambda/2\)) ごとに現れます。

この設問における重要なポイント

• 同じ音源なので、振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) は問1と同じ値を使う。
• 閉管の共鳴で、「次の共鳴」は3倍振動にあたることを理解する。管長は \(3\lambda/4\)。
• または、節と節の間隔が \(\lambda/2\) であることを利用して、最初の共鳴位置から \(\lambda/2\) だけ離れた位置を求める。

具体的な解説と立式
おんさの振動数 \(f\) および波長 \(\lambda\) は問1で求めた値のままです (\(f = 425 \, \text{Hz}\), \(\lambda = 0.800 \, \text{m} = 80.0 \, \text{cm}\))。
ピストンを動かして次に共鳴が起こるのは、閉管の3倍振動のときです。このときのAからの距離を \(l_2\) とすると、
$$l_2 = \frac{3}{4}\lambda$$
または、最初の共鳴位置 \(l_1\) (節) から次の共鳴位置 \(l_2\) (節) までの距離は \(\lambda/2\) なので、
$$l_2 = l_1 + \frac{\lambda}{2}$$
として求めることもできます。

波長 \(\lambda = 80.0 \, \text{cm}\)。最初の共鳴位置 \(l_1 = 20.0 \, \text{cm}\)。

1. \(l_2 = \displaystyle\frac{3}{4}\lambda\) を用いる方法:
$$l_2 = \frac{3}{4} \times 80.0 \, \text{cm} = 3 \times 20.0 \, \text{cm} = 60.0 \, \text{cm}$$

2. \(l_2 = l_1 + \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) を用いる方法:
半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2} = \frac{80.0 \, \text{cm}}{2} = 40.0 \, \text{cm}\)。
$$l_2 = 20.0 \, \text{cm} + 40.0 \, \text{cm} = 60.0 \, \text{cm}$$

どちらの方法でも同じ結果が得られます。

ピストンを(1)の位置からさらに右に動かしていくと、管が長くなっていきます。同じおんさを使っているので音の波長は \(80.0 \, \text{cm}\) のままです。
(1)では管の長さが \(20.0 \, \text{cm}\) (\(=\lambda/4\)) で共鳴しました。次に共鳴するのは、管の長さが \(3/4\) 波長、つまり \((3/4) \times 80.0 \, \text{cm} = 60.0 \, \text{cm}\) のときです。
もう一つの考え方があります。共鳴が起こるピストンの位置（節）は、半波長 (\(\lambda/2\)) ごとに現れます。(1)のピストンの位置が最初の節だったので、次の節はそこから半波長 (\(80.0/2 = 40.0 \, \text{cm}\)) だけ離れたところです。なので、\(20.0 \, \text{cm} + 40.0 \, \text{cm} = 60.0 \, \text{cm}\) が次の共鳴点となります。

次の共鳴が起こる位置は、Aから \(60.0 \, \text{cm}\) のところです。この値は \(l_1 = 20.0 \, \text{cm}\) よりも大きく、物理的に妥当です。このとき管内には、A端（腹）とピストン（節）の間に、もう一つ節と腹がペアで存在しています。

問3

思考の道筋とポイント
「Pをさらに右に移動したところBの位置までずっと共鳴は起こらなかった」という記述は、(2)の共鳴位置（\(60.0 \, \text{cm}\)）から管の端Bまでの間に、閉管としての次の共鳴点（\(5\lambda/4 = 5 \times 20.0 = 100 \, \text{cm}\) の位置）は存在しなかったか、あるいはBがそれより手前にあることを示唆します。
そして、「Pをガラス管から取り外したところちょうど共鳴が起こった」とあります。ピストンを取り外すと、管は両端AとBが開いた「開管」になります。この開管の長さが \(L\) です。おんさは同じもの（振動数 \(f=425 \, \text{Hz}\)、波長 \(\lambda=80.0 \, \text{cm}\)）を使っています。
開管の共鳴条件は \(L = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) (\(n=1, 2, 3, \dots\)) です。
(2)の共鳴長は \(l_2 = 60.0 \, \text{cm}\)。閉管としての次の共鳴長は \(l_3 = 5\lambda/4 = 100 \, \text{cm}\)。
ガラス管の全長 \(L\) がこの \(l_2 < L < l_3\) の範囲にあると仮定すると、この間でPがBに到達するまでに閉管共鳴は起こりません。この \(L\) が開管として共鳴する条件は \(L = n (\lambda/2) = n \times 40.0 \, \text{cm}\)。
\(60.0 < n \times 40.0 < 100\) を満たす整数 \(n\) は \(n=2\) のみで、このとき \(L = 2 \times 40.0 = 80.0 \, \text{cm}\) となります。これは \(L=\lambda\) (開管の2倍振動) に相当します。
このときの定常波は、両端A, Bが腹で、管の中央に節が1つある形になります。

この設問における重要なポイント

• ピストンを取り外すと「開管」になることを理解する。
• 同じ音源なので、波長 \(\lambda\) は変わらない。
• 開管の共鳴条件 \(L = n\lambda/2\) を適用する。
• 「Bの位置までずっと共鳴は起こらなかった」という条件から、可能な \(n\) の値を絞り込む。
• 定常波の様子（腹と節の位置）を正しく図示する。

具体的な解説と立式
おんさの振動数 \(f=425 \, \text{Hz}\)、波長 \(\lambda=80.0 \, \text{cm}\) は変わりません。
ピストンPを取り外すと、ガラス管ABは全長 \(L\) の開管となります。両端AとBが腹になります。
開管での共鳴条件は \(L = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)、ここで \(n\) は自然数です。
波長 \(\lambda = 80.0 \, \text{cm}\) なので、\(\lambda/2 = 40.0 \, \text{cm}\)。
よって、開管として共鳴しうる管の長さは \(L = n \times 40.0 \, \text{cm}\) （つまり \(40.0 \, \text{cm}, 80.0 \, \text{cm}, 120.0 \, \text{cm}, \dots\)）です。

(2)でピストンを用いたときの共鳴長は \(l_2 = 60.0 \, \text{cm}\) でした。これより管長 \(L\) は長いと考えられます。
また、ピストンを用いた場合の次の共鳴長は \(l_3 = 5\lambda/4 = 5 \times (80.0/4) \, \text{cm} = 100.0 \, \text{cm}\) です。
問題文の「Pをさらに右に移動したところBの位置までずっと共鳴は起こらなかった」は、管の全長 \(L\) が \(100.0 \, \text{cm}\) 未満であることを示唆しています。
つまり、\(60.0 \, \text{cm} < L < 100.0 \, \text{cm}\) の範囲で、\(L = n \times 40.0 \, \text{cm}\) を満たす \(L\) を探します。
この条件を満たすのは \(n=2\) のときで、\(L = 2 \times 40.0 \, \text{cm} = 80.0 \, \text{cm}\) です。
このとき、\(L = \lambda\) となり、開管の2倍振動に相当します。

定常波の図示:
管の長さ \(L=80.0 \, \text{cm}\) の開管の2倍振動なので、両端A, Bが腹となり、管の中央（Aから \(40.0 \, \text{cm}\) の位置）に節が1つできる定常波となります。波の形としては、AからBまででちょうど1波長分の波形が収まるイメージです（ただし、定常波なので進みません）。詳細な波形は、問題に示されている模範解答の図を参照してください。

波長 \(\lambda = 80.0 \, \text{cm}\)。
可能な開管の共鳴長は \(L = n \times (\lambda/2) = n \times 40.0 \, \text{cm}\)。
条件 \(60.0 \, \text{cm} < L < 100.0 \, \text{cm}\) より、
\(60.0 < n \times 40.0 < 100\)
各辺を \(40.0\) で割ると、
\(1.5 < n < 2.5\)
この範囲にある自然数 \(n\) は \(n=2\) のみです。
したがって、ガラス管の長さ \(L\) は、
$$L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda = 80.0 \, \text{cm}$$

ピストンを取り外すと、管の両端AとBが開いた「開管」になります。この管の長さが \(L\) です。使っているおんさは同じなので、音の波長は \(80.0 \, \text{cm}\) のままです。
開管が共鳴するとき、管の長さ \(L\) は、半波長 (\(80.0/2 = 40.0 \, \text{cm}\)) の整数倍 (\(1倍, 2倍, 3倍, \dots\)) になります。つまり \(L\) は \(40.0 \, \text{cm}, 80.0 \, \text{cm}, 120.0 \, \text{cm}, \dots\) のどれかです。
(2)のとき、ピストンを使った共鳴では管の長さは \(60.0 \, \text{cm}\) でした。ピストンをBまで動かしても共鳴しなかったということは、管の全長 \(L\) は \(60.0 \, \text{cm}\) よりは長く、でもピストンを使った場合の次の共鳴点である \(100.0 \, \text{cm}\) (\(5\lambda/4\)) よりは短いはずです。
この \(60.0 \, \text{cm} < L < 100.0 \, \text{cm}\) の範囲で、\(40.0 \, \text{cm}\) の整数倍になるのは \(L = 80.0 \, \text{cm}\) ( \(40.0 \times 2\) ) だけです。
なので、ガラス管の長さは \(80.0 \, \text{cm}\) です。このとき、管の長さはちょうど1波長分 (\(L=\lambda\)) になっており、これを「開管の2倍振動」と呼びます。定常波は、両端A,Bが腹（振動が大きい）で、真ん中に節（振動しない）が1つある形になります。

ガラス管の長さ \(L\) は \(80.0 \, \text{cm}\) です。このとき、\(L=\lambda\) であり、開管の2倍振動が起こっています。定常波は両端が腹、中央に節が1つの形です。

問4

思考の道筋とポイント
「Pを取り外したまま」なので、管は(3)で求めた長さ \(L = 80.0 \, \text{cm}\) の開管です。「振動数のより小さなおんさを用い、共鳴を起こしたい」とあります。音速 \(V\) は一定なので、振動数 \(f’\) が小さくなるということは、波の基本式 \(V=f’\lambda’\) から、新しい波長 \(\lambda’\) は長くなることを意味します。
開管で共鳴が起こる中で、振動数が最も小さい（つまり波長が最も長い）のは「基本振動」のときです。開管の基本振動では、管の長さ \(L\) が新しい波長 \(\lambda’\) のちょうど半分 (\(\lambda’/2\)) になります。

この設問における重要なポイント

• 管は(3)と同じ長さ \(L\) の開管である。
• 「振動数のより小さい」共鳴は、基本振動を指すと解釈する。
• 開管の基本振動では、\(L = \lambda’/2\) となることを適用する。

具体的な解説と立式
管は長さ \(L = 80.0 \, \text{cm} = 0.800 \, \text{m}\) の開管のままです。
新しいおんさの振動数を \(f’\)、そのときの音の波長を \(\lambda’\) とします。
開管で起こる共鳴のうち、振動数が最も小さいのは基本振動です。このとき、管長 \(L\) と新しい波長 \(\lambda’\) の関係は、
$$L = \frac{1}{2}\lambda’$$
この関係から新しい波長 \(\lambda’\) を求め、次に波の基本式 \(V = f’\lambda’\) を使って新しい振動数 \(f’\) を計算します。

管長 \(L = 0.800 \, \text{m}\)。音速 \(V = 340 \, \text{m/s}\)。

1. 新しい波長 \(\lambda’\) の計算:
\(L = \displaystyle\frac{\lambda’}{2}\) より、
$$\lambda’ = 2L$$
値を代入すると、
$$\lambda’ = 2 \times 0.800 \, \text{m} = 1.60 \, \text{m}$$

2. 新しい振動数 \(f’\) の計算:
\(f’ = \displaystyle\frac{V}{\lambda’}\)。値を代入すると、
$$f’ = \frac{340 \, \text{m/s}}{1.60 \, \text{m}} = 212.5 \, \text{Hz}$$
問題文の有効数字を考慮すると \(213 \, \text{Hz}\) とするのが適切です。

管の長さは \(80.0 \, \text{cm}\) (\(0.800 \, \text{m}\)) の開管のままです。今度は、できるだけ低い音（振動数が小さい音）で共鳴させたいので、最もシンプルな振動である「基本振動」を考えます。
開管の基本振動では、管の長さは新しい波長のちょうど半分になります。つまり、新しい波長 \(\lambda’\) は管の長さの2倍、\(2 \times 80.0 \, \text{cm} = 160 \, \text{cm} = 1.60 \, \text{m}\) です。
音の速さは変わらず \(340 \, \text{m/s}\) なので、「速さ = 振動数 × 波長」の関係式から、新しい振動数 \(f’ = \text{速さ} / \text{波長} = 340 / 1.60 = 212.5 \, \text{Hz}\) となります。

求める振動数 \(f’\) は \(212.5 \, \text{Hz}\) です。これは(1)で求めた振動数 \(f = 425 \, \text{Hz}\) よりも小さく、問題の条件「振動数のより小さなおんさ」と一致しています。
ここで、(3)の共鳴は開管 \(L\) での2倍振動 (\(L=\lambda\), 振動数 \(f\)) であり、(4)の共鳴は同じ開管 \(L\) での基本振動 (\(L=\lambda’/2\), 振動数 \(f’\)) でした。
したがって、\(\lambda=L\) であり \(\lambda’=2L\) なので、\(\lambda’ = 2\lambda\) の関係があります。
振動数について見ると、\(f = V/\lambda\)、\(f’ = V/\lambda’ = V/(2\lambda) = (1/2)f\) となり、\(f’ = f/2\) の関係が成り立ちます。
実際に計算すると、\(f’ = 425 \, \text{Hz} / 2 = 212.5 \, \text{Hz}\) となり、一致します。これは別解 としても有効です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 気柱の共鳴と定常波の形成:
  • この問題全体を通して最も重要なのは、管という限られた空間で音波が干渉し合い、特定の条件下で定常波が形成される「共鳴」という現象の理解です。
  • 定常波の「腹」（振幅最大）と「節」（振幅ゼロ）の位置が、管の端の状態（開口端か閉端か）によって決まることを把握することが出発点です。開口端補正を無視する場合、開口端は必ず腹、閉端（ピストン面）は必ず節となります。
• 閉管と開管の共鳴条件の違い:
  • 閉管 (問1, 2): 一端が腹、他端が節。管長 \(l\) は \(\lambda/4\) の奇数倍 (\(l = (2n-1)\lambda/4\))。基本振動は \(l=\lambda/4\)。
  • 開管 (問3, 4): 両端とも腹。管長 \(L\) は \(\lambda/2\) の整数倍 (\(L = n\lambda/2\))。基本振動は \(L=\lambda/2\)。
  • これらの条件を正確に使い分けることが、各設問を正しく解くための鍵です。
• 波の基本式 \(V = f\lambda\):
  • 音速 \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) という音波の基本的な物理量を関連付ける式であり、共鳴条件と組み合わせて未知数を求めるために不可欠です。特に、同じ音源（おんさ）を使い続ける場合は \(f\) (したがって \(\lambda\) も) が一定であること、音速 \(V\) は媒質（空気）の状態で決まる一定値であることを理解しておく必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用パターン:
  • 開口端補正の導入: より現実的な問題では、開口端の腹の位置が管口からわずかに外側にずれる「開口端補正 \(\Delta x\)」が考慮されます。この場合、有効な管長は閉管なら \(l+\Delta x\)、開管なら \(L+2\Delta x\) のように補正されます。
  • 異なる未知数: 例えば、管長と共鳴振動数が与えられて音速を求める問題や、複数の共鳴のデータから波長と開口端補正を同時に求める問題などがあります。
  • うなりとの組み合わせ: 2つのおんさを同時に鳴らし、一方の振動数を気柱の共鳴から特定し、うなりの情報と合わせて他方の振動数を求める、といった複合問題も考えられます。
• 初見の問題でどこに着目すればよいか:
  1. 管の端の状態は？: 「開口」「閉鎖（ピストンなど）」「両端開口」「両端閉鎖（通常は扱わないが）」など、管のどの部分が腹になり、どの部分が節になるのかをまず特定します。
  2. 何回目の共鳴か？: 「最初の共鳴」「次の共鳴」「\(n\) 番目の共鳴」「最も低い（高い）振動数での共鳴」といったキーワードから、それが基本振動なのか、何倍振動なのかを判断します。
  3. 変化する条件は何か？: 管長を変えているのか、振動数を変えているのか、それとも両方か。何が一定で何が変化するのかを明確にします。
  4. 図を描いてみる: 言葉だけでなく、定常波の様子（腹と節の配置）を概略図で描いてみると、波長と管長の関係が見えやすくなります。
• 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
  • 「実験ノート」のように、設問ごとの条件（管の状態、\(l\) や \(L\)、\(f\)、\(\lambda\) の値など）を表に整理すると、混乱を防げます。
  • 特に指定がない限り、音速 \(V\) は一定として扱います。
  • 波長 \(\lambda\) は音源の振動数 \(f\) と音速 \(V\) で決まるものであり、管長や共鳴の次数によって \(\lambda\) 自体が変わるわけではありません（同じ音源の場合）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 閉管と開管の公式の混同:
  • 誤解例: 閉管の共鳴条件を \(\lambda/2\) の整数倍としてしまう、開管で奇数倍振動しか起こらないと思い込むなど。
  • 対策: それぞれの基本振動の形（閉管: \(\lambda/4\)、開管: \(\lambda/2\)）と、そこからどのように倍振動が派生していくか（閉管: 次は \(3\lambda/4\)、開管: 次は \(\lambda\)）を図と共に確実に記憶する。
• 腹と節の間隔の誤認識:
  • 誤解例: 腹と節の最短距離を \(\lambda/2\) と勘違いする、節と節の最短距離を \(\lambda/4\) と勘違いする。
  • 対策: 定常波の基本単位として、腹～節は \(\lambda/4\)、腹～腹（または節～節）は \(\lambda/2\) であることを図で確認し、徹底する。
• 「\(n\) 倍振動」の \(n\) の解釈:
  • 閉管の場合、固有振動数は基本振動数の奇数倍 (\(f_1, 3f_1, 5f_1, \dots\)) となるため、「3倍振動」は文字通り基本振動数の3倍ですが、これは \(n=2\) の \(l=(2n-1)\lambda/4\) に対応します。
  • 開管の場合、固有振動数は基本振動数の整数倍 (\(f_1, 2f_1, 3f_1, \dots\)) となります。
  • 対策: 「何番目の共鳴か」と「何倍振動か」を、それぞれの管のタイプに応じて正しく結びつける練習をする。
• 単位の不一致: 計算途中で \(\text{cm}\) と \(\text{m}\) が混在し、誤った結果を導く。
  • 対策: 計算を始める前に、全ての単位を基本単位（例: メートル）に統一する習慣をつける。特に音速が \(\text{m/s}\) で与えられている場合は、長さも \(\text{m}\) に換算してから \(V=f\lambda\) に代入するのが安全。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった物理現象のイメージと図:
  • 定常波の模式図: 各設問の状況に応じて、管の概略と、その内部に定常波の腹（振動の大きな膨らみや丸印）と節（振動しない点や×印）を配置した図を描くことが、理解を深め、立式を助けます。
    • (1) 閉管・基本振動: A(腹) — P(節) （間に腹節なし）
    • (2) 閉管・3倍振動: A(腹) – 節 – 腹 – P(節)
    • (3) 開管・2倍振動: A(腹) – 節 – B(腹)
    • (4) 開管・基本振動: A(腹) — B(腹) （間に腹節なし、中央が膨らむ形）
  • 波形の重ね描き(イメージ): 進行波と反射波が重なって定常波ができる様子を頭の中でイメージすることも有効です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 管の開端は「腹」、閉端（ピストン）は「節」を明確にマークする。
  • 腹と節の間隔 (\(\lambda/4\))、節と節（または腹と腹）の間隔 (\(\lambda/2\)) を意識して、相対的な位置関係を正しく描く。
  • 管長 \(l\) や \(L\) と、波長 \(\lambda\) の関係が図から読み取れるように補助線や寸法を書き込むと良い。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• なぜその公式を選んだのか？
  • \(l = (2n-1)\lambda/4\) (閉管): 問1, 問2 のように、管の一端が音響的に閉じていて（ピストン）、他端が開いている状況だから。
  • \(L = n\lambda/2\) (開管): 問3, 問4 のように、管の両端が音響的に開いている状況だから。
  • \(V = f\lambda\): 振動数、波長、音速のいずれかを求める際に、他の2つが既知または導出可能な場合に普遍的に適用できる基本関係式だから。
• なぜその公式を適用できると判断したのか？
  • 問題文中の「共鳴が起こった」という記述が、定常波が形成され、上記の共鳴条件が満たされていることを意味するから。
  • 「最初の共鳴」や「次の共鳴」、「振動数がより小さい」といった条件が、公式中の \(n\) の値（つまり、どの振動モードか）を特定する手がかりになるから。
  • 「開口端補正は無視できる」という条件により、理想的な閉管・開管の公式をそのまま適用できると判断したから。

公式を暗記するだけでなく、それがどのような物理的状況で成り立つのか、その前提条件は何かを常に意識する訓練が、応用力を高めます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (問1) 最初の共鳴（閉管）
   • 状況分析: 閉管、基本振動 (\(n=1\))。管長 \(l_1 = 20.0 \, \text{cm}\)。
   • 立式: \(l_1 = \lambda/4\)。 \(V=f\lambda\)。
   • 計算: \(\lambda = 4l_1 \rightarrow f = V/(4l_1)\)。
2. (問2) 次の共鳴（閉管）
   • 状況分析: 閉管、3倍振動 (\(n=2\))。同じ \(f, \lambda\)。新しい管長 \(l_2\)。
   • 立式: \(l_2 = 3\lambda/4\) または \(l_2 = l_1 + \lambda/2\)。
   • 計算: \(l_2\) を求める。
3. (問3) ピストン除去後の共鳴（開管）
   • 状況分析: 開管。管長 \(L\)。同じ \(f, \lambda\)。「途中で共鳴なし」の条件から \(n\) を特定。
   • 立式: \(L = n\lambda/2\)。(2)の \(l_2 < L < l_{\text{次の閉管共鳴}}\) から \(n\) を絞る。
   • 計算: \(n\) を決定し、\(L\) を求める。定常波の図示。
4. (問4) 低い振動数での共鳴（開管）
   • 状況分析: 開管。管長 \(L\)。新しい（より小さい）振動数 \(f’\)、新しい波長 \(\lambda’\)。これは基本振動 (\(n=1\))。
   • 立式: \(L = \lambda’/2\)。\(V=f’\lambda’\)。
   • 計算: \(\lambda’ = 2L \rightarrow f’ = V/(2L)\)。

このように、各ステップで「何が起こっているのか」「どの法則が使えるのか」「何を求めたいのか」を明確にしながら進めることが大切です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の統一と確認: 計算の初期段階で、長さをメートル (\(\text{m}\)) に統一する（またはセンチメートル (\(\text{cm}\)) のまま計算する場合は、最終的に音速の単位と整合させる）。計算結果の単位が物理的に正しいかも常に確認する（例: 振動数なら \(\text{Hz}\)）。
• 途中計算の明示: 特に波長 \(\lambda\) や半波長 \(\lambda/2\) などの値を一度計算して明記しておくと、後の設問で利用しやすく、見直しもしやすい。
• 分数の扱いに注意: \(\lambda/4\), \(3\lambda/4\), \(\lambda/2\) などの計算は、単純ですが間違えやすいポイント。慎重に。
• 有効数字の意識: 問題文で与えられている数値の有効数字を確認し、最終的な答えもそれに合わせる（通常は最も少ない有効数字に合わせるか、指示に従う）。今回の問題では、\(20.0 \, \text{cm}\) (3桁)、\(340 \, \text{m/s}\) (2桁または3桁と解釈可能)なので、答えも2桁～3桁で示すのが適切。\(212.5 \, \text{Hz}\) を \(213 \, \text{Hz}\) と丸めるのは妥当な処理です。
• 概算による検算: 大まかな値で見積もり計算をしてみて、得られた答えが著しくずれていないか確認する癖をつけると良いでしょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性の検討:
  • 問1 \(\rightarrow\) 問2: ピストンを遠ざけて管長を長くすると、同じ振動数ならより複雑な（節や腹の数が多い）定常波で共鳴する。\(l_2 > l_1\) は妥当。
  • 問3: ガラス管の長さ \(L\) は、(2)の共鳴長 \(l_2\) より長く、かつ閉管としての次の共鳴が起こる前に開管としての共鳴が起こった、という状況に合致しているか。\(L=80.0 \, \text{cm}\) は \(l_2=60.0 \, \text{cm}\) より長く、閉管の \(5\lambda/4=100 \, \text{cm}\) より短い範囲にあり、開管の \(2\lambda/2=\lambda=80.0 \, \text{cm}\) と一致するので妥当。
  • 問4: 振動数を小さくすると波長は長くなる (\(V=f\lambda\), \(V\) 一定)。同じ開管 \(L\) でより長い波長 \(\lambda’\) で共鳴するのは、より単純な振動モード（基本振動）であり、\(\lambda’ = 2L > \lambda = L\) となっている。\(f’ < f\) も問題条件と一致。
• 数値のオーダー感覚: 振動数が数百 \(\text{Hz}\)、波長が数十 \(\text{cm}\) ～ \(\text{m}\) のオーダーは、実験室で扱う気柱の共鳴実験として現実的な範囲です。
• 別解や関係性の確認:
  • 問4で \(f’ = f/2\) の関係が導出できたように、異なる設問間の関係性や、異なるアプローチでの解法を考えることで、理解が深まり、答えの確からしさが増します。
• 図との整合性: 自分が描いた定常波の図と、計算で求めた管長、波長、腹・節の数や位置関係が矛盾していないか、必ず見直しましょう。

問題78 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、気柱の共鳴現象について、特に「開口端補正」を考慮に入れる点が重要です。スピーカーから出る音の振動数は一定で、管の有効長（水面までの距離）を変えることで共鳴点を探します。開口端補正、波長、音速の求め方、そして温度変化や振動数変化が共鳴に与える影響を総合的に理解することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、「気柱の共鳴」という現象について、より現実的な「開口端補正」を考慮して解き進めるものです。気柱の共鳴では、管の長さと音波の波長が特定の関係になると定常波が生じ、音が大きく聞こえます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 定常波: 管内で進行波と反射波が干渉してできる、特定の場所で大きく振動する「腹」と、全く振動しない「節」を持つ波。
• 開口端補正 (\(\Delta l\)): 管の開いている端（管口）では、実際には管口の少し外側に定常波の腹ができます。この管口から腹までの距離を「開口端補正」といい、\(\Delta l\) で表します。
• 閉管の共鳴条件（開口端補正あり）: 一端が閉じた管（この問題では水面が閉端）では、管口の補正された位置（管口から \(\Delta l\) 外側）に腹、水面に節ができます。このとき、(管口から水面までの距離 \(L\)) \(+\Delta l\) が、\(\displaystyle\frac{\lambda}{4}, \displaystyle\frac{3\lambda}{4}, \displaystyle\frac{5\lambda}{4}, \dots\) つまり \((2n-1)\displaystyle\frac{\lambda}{4}\) (\(n=1, 2, 3, \dots\)) のときに共鳴します。
• 波の基本式: \(V = f\lambda\) （音速 \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\)）
• 音速と温度: 空気の温度が上がると、音速 \(V\) は大きくなります。
• 変位と密度変化: 定常波において、空気の変位の振幅が最大となる「腹」では、密度の変化は最小となります。逆に、変位の振幅がゼロとなる「節」では、密度の変化は最大となります。

全体的な戦略としては、まず最初の共鳴点 \(l_1\) と2番目の共鳴点 \(l_2\) の情報から、節と隣の節との間隔が半波長 \(\lambda/2\) であることを利用して波長 \(\lambda\) を求めます。次に、波の基本式から音速 \(V\) を、そして最初の共鳴条件から開口端補正 \(\Delta l\) を求めます。その後、各設問の条件に合わせて物理法則を適用していきます。

問1 音波の波長 \(\lambda\)、音速 \(V\)、開口端補正 \(\Delta l\)

思考の道筋とポイント
共鳴時、水面は定常波の節となります。\(l_1\) と \(l_2\) は連続する共鳴点（節）なので、その間隔は半波長 \(\lambda/2\) に等しくなります。これを利用して \(\lambda\) を求めます。次に、\(V=f\lambda\) から音速 \(V\) を計算します。最後に、最初の共鳴条件（有効な管の長さ \(l_1+\Delta l\) が \(\lambda/4\) になる）から開口端補正 \(\Delta l\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 水面が定常波の節になること。
• 連続する節と節の間隔は \(\lambda/2\) であること。
• 最初の共鳴では、有効な気柱の長さ（実測長＋開口端補正）が \(\lambda/4\) になること。

具体的な解説と立式
管口から水面までの距離が \(l_1\) で最初の共鳴、\(l_2\) で次の共鳴が起こりました。水面は節なので、\(l_1\) と \(l_2\) は節の位置です。
節と隣の節の間の距離は \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) なので、
$$l_2 – l_1 = \frac{\lambda}{2}$$
この式から波長 \(\lambda\) を求めます。
次に、音速 \(V\) は波の基本式 \(V=f\lambda\) から計算します。
開口端補正 \(\Delta l\) を考慮すると、最初の共鳴（基本振動）では、管口から \(\Delta l\) だけ外側に腹があり、そこから水面 \(l_1\)（節）までの距離が \(\lambda/4\) となります。つまり、実質の気柱の長さ \(l_1\) に開口端補正 \(\Delta l\) を加えたものが \(\lambda/4\) に等しくなります。
$$l_1 + \Delta l = \frac{\lambda}{4}$$
この式から \(\Delta l\) を求めます。

与えられた値: \(l_1 = 18.9 \, \text{cm}\), \(l_2 = 59.1 \, \text{cm}\), \(f = 423 \, \text{Hz}\)。

1. 波長 \(\lambda\) の計算:
$$\lambda = 2 \times (l_2 – l_1)$$
$$\lambda = 2 \times (59.1 \, \text{cm} – 18.9 \, \text{cm})$$
$$\lambda = 2 \times 40.2 \, \text{cm} = 80.4 \, \text{cm}$$
メートルに換算すると、\(\lambda = 0.804 \, \text{m}\)。

2. 音速 \(V\) の計算:
$$V = f\lambda$$
$$V = (423 \, \text{Hz}) \times (0.804 \, \text{m})$$
$$V = 339.992 \, \text{m/s} \approx 3.40 \times 10^2 \, \text{m/s}$$
（模範解答に合わせて有効数字3桁で表示）

3. 開口端補正 \(\Delta l\) の計算:
$$\Delta l = \frac{\lambda}{4} – l_1$$
$$\frac{\lambda}{4} = \frac{80.4 \, \text{cm}}{4} = 20.1 \, \text{cm}$$
$$\Delta l = 20.1 \, \text{cm} – 18.9 \, \text{cm} = 1.2 \, \text{cm}$$

音が大きく聞こえるのは共鳴しているときで、水面の位置が波の「節」になっています。1回目の共鳴の節が \(l_1\)、2回目の共鳴の節が \(l_2\) です。節と隣の節の間の距離は、波長のちょうど半分 (\(\lambda/2\)) です。なので、\(l_2\) と \(l_1\) の差が \(\lambda/2\) になります。
\(59.1 \, \text{cm} – 18.9 \, \text{cm} = 40.2 \, \text{cm}\)。これが \(\lambda/2\) なので、波長 \(\lambda\) は \(2 \times 40.2 \, \text{cm} = 80.4 \, \text{cm}\) です。
音の速さ \(V\) は、「振動数 \(f\) × 波長 \(\lambda\)」で計算できます。\(V = 423 \times 0.804 \approx 340 \, \text{m/s}\) となります。
「開口端補正 \(\Delta l\)」は、管の口の本当の端っこより、ほんの少しだけ外側に波の「腹」ができる、という現象のための補正値です。最初の共鳴では、この補正された「腹」の位置から水面（節）までの距離が、波長の \(1/4\) になります。つまり、実際の水面までの深さ \(l_1\) に \(\Delta l\) を足した長さが \(\lambda/4\) です。
\(\lambda/4 = 80.4/4 = 20.1 \, \text{cm}\) なので、\(18.9 \, \text{cm} + \Delta l = 20.1 \, \text{cm}\)。これを解くと \(\Delta l = 1.2 \, \text{cm}\) となります。

波長 \(\lambda = 80.4 \, \text{cm}\)、音速 \(V \approx 3.40 \times 10^2 \, \text{m/s}\)、開口端補正 \(\Delta l = 1.2 \, \text{cm}\)。これらの値は物理的に妥当な範囲です。開口端補正が波長に比べて小さい値であることも確認できます。

問2 管内の特定の位置

思考の道筋とポイント
水面の位置が \(l_2 = 59.1 \, \text{cm}\) のときを考えます。このとき、管口の補正された位置（管口から \(\Delta l\) 外側）が腹、水面が節となっています。
(ア) 空気の振動の振幅がとくに大きい位置とは、定常波の「腹」の位置です。
(イ) 空気の密度の変動がとくに大きい位置とは、定常波の「節」の位置です。

この設問における重要なポイント

• 振幅最大の場所が「腹」、密度変化最大の場所が「節」であることを理解する。
• 開口端補正 \(\Delta l\) を考慮して腹の位置を特定する。管口を \(x=0\) とすると、有効な腹の位置は \(x=-\Delta l\)。
• 管内での腹と節の位置を、管口からの距離で示す。

具体的な解説と立式
問1で求めた値: \(\lambda = 80.4 \, \text{cm}\), \(\Delta l = 1.2 \, \text{cm}\), \(l_1 = 18.9 \, \text{cm}\), \(l_2 = 59.1 \, \text{cm}\)。
\(l_2 = 59.1 \, \text{cm}\) のとき、有効な気柱の長さは \(l_2 + \Delta l = 59.1 + 1.2 = 60.3 \, \text{cm}\)。
これは \(\lambda/4 = 80.4/4 = 20.1 \, \text{cm}\) のちょうど3倍 (\(3 \times 20.1 = 60.3\)) です。したがって、この状態は3倍振動（\(n=2\) の \( (2n-1)\lambda/4 = 3\lambda/4 \)）です。
定常波の様子は、管口の補正位置 \(x = -\Delta l\) に腹があり、そこから \(\lambda/2\) ごとに腹、\(\lambda/4\) ごとに交互に節と腹が現れます。水面 \(x=l_2\) は節です。

(ア) 空気の振動の振幅がとくに大きい位置（腹の位置）:
管口を \(x=0\) とします。管口の補正された位置 \(x = -\Delta l\) に腹があります。
管内の腹の位置は、この \(x = -\Delta l\) から \(\lambda/2\) ごとに現れます。
最初の管内の腹は、管口そのもの (\(x=0\)) です（厳密には \(x=-\Delta l\) が腹の中心ですが、管口も振幅が大きい領域です）。
次の管内の腹は、\(x = -\Delta l + \lambda/2\)。管口からの距離でいうと、この値そのものです。
$$x_{\text{腹1}} = 0 \, \text{cm} \quad \text{(管口)}$$
$$x_{\text{腹2}} = \frac{\lambda}{2} – \Delta l = \frac{80.4 \, \text{cm}}{2} – 1.2 \, \text{cm} = 40.2 \, \text{cm} – 1.2 \, \text{cm} = 39.0 \, \text{cm}$$
模範解答は \(39.0 \, \text{cm}\) を示しています。

(イ) 空気の密度の変動がとくに大きい位置（節の位置）:
節は、変位がゼロで密度変化が最大になる場所です。
水面の位置は節なので、\(x=l_2 = 59.1 \, \text{cm}\) は節です。
また、3倍振動なので、管口の補正位置（腹）と水面（節）の間にもう一つ節があります。その位置は最初の共鳴点 \(l_1\) に対応します。
$$x_{\text{節1}} = l_1 = 18.9 \, \text{cm}$$
$$x_{\text{節2}} = l_2 = 59.1 \, \text{cm}$$

(ア) 腹の位置（管口から）:
$$x_{\text{腹}} = \frac{\lambda}{2} – \Delta l = \frac{80.4}{2} – 1.2 = 40.2 – 1.2 = 39.0 \, \text{cm}$$
（管口 \(0 \, \text{cm}\) も腹）

(イ) 節の位置（管口から）:
$$x_{\text{節1}} = l_1 = 18.9 \, \text{cm}$$
$$x_{\text{節2}} = l_2 = 59.1 \, \text{cm}$$

水面の深さが \(l_2 = 59.1 \, \text{cm}\) のときを考えます。
(ア) 空気が一番大きく振動する場所（腹）はどこでしょう？ 管の口のあたり (\(0 \, \text{cm}\)) と、そこから管の奥に進んで \(39.0 \, \text{cm}\) の位置です。これは、波長の半分 (\(40.2 \, \text{cm}\)) から開口端補正 (\(1.2 \, \text{cm}\)) を引いた距離にあります。
(イ) 空気が最もギュッと圧縮されたり薄くなったりする場所（節、ただし密度変化は最大）はどこでしょう？ これは、1回目の共鳴が起きた水面の深さ \(l_1 = 18.9 \, \text{cm}\) の位置と、現在の水面の深さ \(l_2 = 59.1 \, \text{cm}\) の位置です。

(ア) 空気の振動の振幅がとくに大きい位置（腹）は、管口から \(0 \, \text{cm}\) および \(39.0 \, \text{cm}\) の位置。
(イ) 空気の密度の変動がとくに大きい位置（節）は、管口から \(18.9 \, \text{cm}\) および \(59.1 \, \text{cm}\) の位置。
（模範解答に合わせて、(ア) は \(39.0 \, \text{cm}\) のみとします）

問3 気温を上げた場合の変化

思考の道筋とポイント
気温が上昇すると、空気中の音速 \(V\) は大きくなります。スピーカーから出る音の振動数 \(f\) は変わらないため、波の基本式 \(V=f\lambda\) より、波長 \(\lambda\) が大きくなります。
最初の共鳴条件は \(l_1+\Delta l = \lambda/4\)、2番目の共鳴条件は \(l_2+\Delta l = 3\lambda/4\) です。開口端補正 \(\Delta l\) は振動数などによって変わらないとされているので、ここでは温度によっても変わらないと仮定します。波長 \(\lambda\) が大きくなると、これらの式を満たす \(l_1\) と \(l_2\) も大きくなるはずです。

この設問における重要なポイント

• 温度が上がると音速 \(V\) が大きくなること。
• 振動数 \(f\) が一定なら、\(V\) が大きくなると波長 \(\lambda\) も大きくなること。
• 共鳴条件から、\(\lambda\) が大きくなると共鳴長 \(l_1, l_2\) も大きくなること。

具体的な解説と立式
1. 温度と音速の関係: 気温が上昇すると、空気分子の熱運動が活発になり、音波が伝わる速さ（音速 \(V\)）は増加します。
2. 音速と波長の関係: スピーカーの振動数 \(f\) は一定です。波の基本式 \(V=f\lambda\) を変形すると \(\lambda = V/f\) となります。音速 \(V\) が増加するので、波長 \(\lambda\) も増加します。
3. 波長と共鳴長の関係:
最初の共鳴では \(l_1 + \Delta l = \lambda/4\)、すなわち \(l_1 = \lambda/4 – \Delta l\)。
2番目の共鳴では \(l_2 + \Delta l = 3\lambda/4\)、すなわち \(l_2 = 3\lambda/4 – \Delta l\)。
問題文より開口端補正 \(\Delta l\) は一定とされています。波長 \(\lambda\) が増加するため、\(\lambda/4\) および \(3\lambda/4\) の値も増加します。したがって、\(l_1\) と \(l_2\) の値はどちらも増加（増す）します。

もし実験室の温度が上がったら、空気の中を音が伝わる速さ \(V\) は少し速くなります。スピーカーが出す音の高さ（振動数 \(f\)）は同じままなので、「速さ = 振動数 × 波長」という関係から、音の波長 \(\lambda\) が長くなります。
共鳴が起こる水面の深さ \(l_1\) や \(l_2\) は、この波長 \(\lambda\) と関係しています（\(l_1 \approx \lambda/4 – \Delta l\), \(l_2 \approx 3\lambda/4 – \Delta l\)）。波長 \(\lambda\) が長くなるということは、共鳴が起こるために必要な水面までの深さも、より深い位置（つまり \(l_1\) や \(l_2\) の値が大きく）なるということです。

気温を上げて同じ実験をすると、\(l_1\), \(l_2\) の値は共に増す。これは物理的な考察と一致しています。

問4 次の共鳴振動数

思考の道筋とポイント
水面の位置は \(l_2 = 59.1 \, \text{cm}\) に保たれています。このときの有効な気柱の長さは \(L_{\text{有効}} = l_2 + \Delta l = 59.1 + 1.2 = 60.3 \, \text{cm}\) です。
元の振動数 \(f = 423 \, \text{Hz}\) での共鳴は、問2の考察から3倍振動でした。
閉管の固有振動数は基本振動数を \(f_0\) とすると、\(f_0, 3f_0, 5f_0, 7f_0, \dots\) と奇数倍になります。
元の共鳴が \(3f_0 = 423 \, \text{Hz}\) だったので、基本振動数 \(f_0 = 423/3 = 141 \, \text{Hz}\) です。
振動数を \(423 \, \text{Hz}\) から上げていくと、次に共鳴するのは5倍振動のときなので、その振動数は \(5f_0\) となります。

この設問における重要なポイント

• 管長（有効長 \(l_2+\Delta l\)）は一定である。
• 元の共鳴が3倍振動であることを利用する。
• 閉管の固有振動数は基本振動数の奇数倍であることを理解し、次に起こる共鳴（5倍振動）の振動数を求める。

具体的な解説と立式
有効な気柱の長さ \(L_{\text{有効}} = l_2 + \Delta l = 59.1 \, \text{cm} + 1.2 \, \text{cm} = 60.3 \, \text{cm} = 0.603 \, \text{m}\)。
元の振動数 \(f = 423 \, \text{Hz}\) での共鳴は3倍振動でした。
閉管の固有振動数は、基本振動数を \(f_0\) とすると、\(f_m = (2m-1)f_0\) (\(m=1, 2, 3, \dots\)) と表せます。
\(m=1\) で \(f_1 = f_0\) (基本振動)
\(m=2\) で \(f_2 = 3f_0\) (3倍振動)
\(m=3\) で \(f_3 = 5f_0\) (5倍振動)
元の共鳴は3倍振動なので、\(3f_0 = 423 \, \text{Hz}\)。
ここから基本振動数 \(f_0\) を求めると、
$$f_0 = \frac{423 \, \text{Hz}}{3} = 141 \, \text{Hz}$$
スピーカーの振動数を \(423 \, \text{Hz}\) から上げていくと、次に共鳴するのは5倍振動のときです。その振動数 \(f’_{\text{次}}\) は、
$$f’_{\text{次}} = 5f_0 = 5 \times 141 \, \text{Hz} = 705 \, \text{Hz}$$

別解:
有効な気柱の長さ \(L_{\text{有効}} = 0.603 \, \text{m}\)。音速 \(V \approx 3.40 \times 10^2 \, \text{m/s}\)。
3倍振動のとき: \(L_{\text{有効}} = \displaystyle\frac{3\lambda}{4} = \displaystyle\frac{3V}{4f}\)。
次に共鳴する5倍振動のときの振動数を \(f’\) とすると、波長は \(\lambda’ = V/f’\)。
\(L_{\text{有効}} = \displaystyle\frac{5\lambda’}{4} = \displaystyle\frac{5V}{4f’}\)。
したがって、
$$f’ = \frac{5V}{4L_{\text{有効}}} = \frac{5 \times (3.40 \times 10^2 \, \text{m/s})}{4 \times 0.603 \, \text{m}} = \frac{1700}{2.412} \approx 704.81 \, \text{Hz}$$
有効数字を考慮して \(705 \, \text{Hz}\) となります。

1. 基本振動数 \(f_0\) の特定:
元の共鳴 (\(423 \, \text{Hz}\)) は3倍振動 (\(3f_0\)) なので、
$$f_0 = \frac{423 \, \text{Hz}}{3} = 141 \, \text{Hz}$$
2. 次の共鳴振動数（5倍振動）の計算:
$$f’_{\text{次}} = 5f_0 = 5 \times 141 \, \text{Hz} = 705 \, \text{Hz}$$

水面の深さを \(l_2 = 59.1 \, \text{cm}\) に固定したまま、スピーカーの音の高さを \(423 \, \text{Hz}\) からだんだん高くしていきます。
\(423 \, \text{Hz}\) で鳴っていたのは「3倍振動」というモードでした。これは、その管で鳴る最も低い基本の音（基本振動数 \(f_0\)）の3倍の高さの音です。なので、基本の音の振動数は \(f_0 = 423 \div 3 = 141 \, \text{Hz}\) とわかります。
このような管では、次に共鳴するのは基本の音の「5倍」の高さの音（5倍振動）のときです。したがって、次に大きく聞こえるときの振動数は \(5 \times f_0 = 5 \times 141 = 705 \, \text{Hz}\) となります。

再び大きく聞こえるときの振動数は \(705 \, \text{Hz}\) です。この値は元の振動数 \(423 \, \text{Hz}\) よりも高く、振動数を上げていった結果として妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 開口端補正 \(\Delta l\): 気柱の共鳴を考える上で、管口の腹が実際には管口からわずかに外側にずれるという現実的な効果です。有効な気柱の長さは (実測の気柱長 \(L\)) \(+\Delta l\) として扱います。この \(\Delta l\) は、問題の条件で一定とされることが多いです。
• 閉管の共鳴条件（開口端補正考慮）: 有効な気柱の長さ \(L_{\text{有効}} = L + \Delta l\) が、波長 \(\lambda\) の \(\lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \dots\) (すなわち \((2n-1)\lambda/4\)) になるときに共鳴します。この問題では水面が閉端（節）となるため、気柱部分は閉管として機能します。
• 隣り合う共鳴点（節）の間隔: 同じ振動数で共鳴する場合、管長（水面の深さ）を変えていくと、節の位置は \(\lambda/2\) ごとに現れます。この性質は、\(l_2 – l_1 = \lambda/2\) として波長を求めるのに利用できます。
• 変位の腹・節と圧力（密度）の腹・節の関係:
  • 変位の腹（振幅最大） \(\iff\) 圧力・密度の変化は最小（節）。
  • 変位の節（振幅ゼロ） \(\iff\) 圧力・密度の変化は最大（腹）。
• 音速と温度の関係: 気温が上昇すると空気分子の運動が活発になるため、音速は大きくなります（一般に \(V \propto \sqrt{T_{\text{絶対温度}}}\)）。
• 固有振動数（閉管）: ある長さの閉管が共鳴する特定の振動数の組です。基本振動数を \(f_0\) とすると、固有振動数は \(f_0, 3f_0, 5f_0, \dots\) という奇数倍の関係になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用パターン:
  • 開口端補正 \(\Delta l\) が未知数で、複数の共鳴データ（例えば \(l_1, l_2, l_3\)）から \(\lambda\) と \(\Delta l\) を連立方程式などで求める問題。
  • 管の一端だけでなく両端が開いている「開管」の場合。開管では両端に開口端補正が生じるため、有効な管長は (実測長 \(L\)) \(+2\Delta l\) となり、共鳴条件は \(L+2\Delta l = n\lambda/2\) となります。
  • 異なる気体（媒質）中での共鳴実験（音速が変化する）。
  • うなりを利用して未知の振動数を決定する問題と組み合わせられることもあります。
• 初見の問題でどこに着目すればよいか:
  1. 開口端補正の有無と扱い: 問題文に「開口端補正を考慮する」「無視する」などの指示があるか、あるいは複数の共鳴点の情報から求める必要があるかを確認します。
  2. 管の端の状態: 各端が開口端（腹）なのか、閉鎖端（節）なのかを正確に把握します。これにより、適用すべき共鳴条件が変わります。
  3. 実験条件の変化: 何を変化させて（管長、振動数、温度など）、何を一定に保っているのかを明確にします。
  4. 共鳴の次数や順番: 「初めて」「次に」「\(m\)番目の共鳴」「最も低い振動数」などの言葉から、それが基本振動なのか、何倍振動なのかを判断します。
• 問題解決のヒント・特に注意すべき点:
  • 必ず図を描いて、腹（A: Antinode）、節（N: Node）、開口端補正 \(\Delta l\)、管長 \(L\)、波長 \(\lambda\) の関係を視覚的に整理することが非常に有効です。
  • 「音が大きく聞こえた」という記述は、「共鳴が起こっている」と読み替えて物理法則を適用します。
  • 開口端補正 \(\Delta l\) の値は、通常、波長 \(\lambda\) に比べて小さい値（管の半径の0.6倍程度）になることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 開口端補正 \(\Delta l\) の扱い方の混乱:
  • 誤解例: \(\Delta l\) を足すべきところで引いてしまう、またはどの長さに \(\Delta l\) を関連付けるべきか曖昧になる。
  • 対策: 「有効な気柱の長さ」が理想的な共鳴条件 (\(\lambda/4\) の奇数倍など) を満たす、という基本に立ち返ることが重要です。管口の腹が \(\Delta l\) だけ外側にずれるので、実際の気柱の長さに \(\Delta l\) を加えたものが、その「有効な気柱の長さ」になるとイメージします。
• 変位の腹・節と圧力（密度）の腹・節の対応の誤り:
  • 誤解例: 空気の振幅が大きい場所（変位の腹）で、密度の変化も大きいと思い込んでしまう。
  • 対策: 変位の腹では媒質は大きく振動しますが、その動きは比較的均一なため圧縮や膨張の度合いは小さい（密度の変化は節）。逆に、変位の節では媒質は動けませんが、両側から波によって押されたり引かれたりするため、圧縮・膨張の度合いが大きくなる（密度の変化は腹）、と理解します。
• 共鳴次数と固有振動数の関係の誤解（特に閉管）:
  • 誤解例: 閉管で3倍振動の次は4倍振動が起こる、などと考えてしまう。
  • 対策: 閉管の固有振動数は基本振動数の「奇数倍」(\(f_0, 3f_0, 5f_0, \dots\)) であることを、定常波の形と共にしっかりと記憶します。
• 温度変化による音速・波長・共鳴長の変化方向の混同:
  • 誤解例: 温度が上がると音速が下がる、または振動数一定なのに波長が短くなるなど、物理的な関係を逆にしてしまう。
  • 対策: 温度が上昇すると空気分子の運動が活発になり、音はより速く伝わる（音速大）。振動数が一定であれば、\(V=f\lambda\) の関係から波長も長くなる。共鳴長は波長に比例するので、共鳴長も長くなる、と論理的にステップを追って考えるようにします。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった物理現象のイメージと図:
  • 管と水面、スピーカーの位置関係図: 実験装置の概略図。
  • 定常波の模式図: 管口の外側に腹（開口端補正 \(\Delta l\) を示す）、水面に節を描き入れます。複数の腹や節が存在する場合は、その相対的な配置 (\(\lambda/4\), \(\lambda/2\) の間隔) も正確に図示します。
  • \(l_1\) と \(l_2\) の状態比較図: \(l_1\) での共鳴（基本振動）と \(l_2\) での共鳴（3倍振動）の定常波を並べて描き、\(l_2-l_1 = \lambda/2\) の関係を視覚的に理解できるようにすると良いでしょう。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 開口端補正 \(\Delta l\) の存在を図中に明確に示し、「有効な気柱の長さ」がどこからどこまでかを意識します。
  • 腹と節の位置関係（\(\lambda/4\) の距離に交互に現れる、腹々間・節々間は \(\lambda/2\)）を正確に描くように心がけます。
  • 問題の条件に応じて変化する量（この問題では水面の高さ \(l\)、問4では振動数 \(f\) や波長 \(\lambda\)) と、一定に保たれる量（問1-3では \(f\)、問4では管長 \(l_2+\Delta l\)）を図や数式で区別できるようにノートを取ると良いでしょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(l_2 – l_1 = \lambda/2\):
  • 選定理由: 連続して観測された2つの共鳴点（水面の位置＝節）のデータが与えられているため、この関係から直接波長を求めるのが最も効率的です。
  • 適用根拠: 定常波において、隣り合う節と節の間の距離は常に波長の半分である、という普遍的な性質に基づいています。開口端補正の有無には依存しません。
• \(l_1 + \Delta l = \lambda/4\):
  • 選定理由: 「初めて音が大きく聞こえた」という記述は、最も単純な共鳴モードである基本振動に対応すると解釈できるため、この公式を選びます。開口端補正 \(\Delta l\) が未知数なので、これを含む形で立式します。
  • 適用根拠: 管口から \(\Delta l\) だけ外側に腹があり、水面 \(l_1\) に節があるという状況で、これが最も単純な共鳴（基本振動、すなわち有効な気柱長が \(\lambda/4\)）であると判断できるからです。
• \(V = f\lambda\):
  • 選定理由: 音波の基本的な性質を表す関係式であり、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\)、音速 \(V\) のうち2つが既知または導出可能な場合に、残りの1つを求めるために普遍的に使用されます。
• \(L_{\text{有効}} = (2n-1)V/(4f’)\) (問4で使用した考え方の一般形):
  • 選定理由: 管長 \(L_{\text{有効}} = l_2+\Delta l\) が固定された状態で、振動数 \(f’\) を変えて次の共鳴（より高次のモード）を探すため、閉管の一般的な共鳴条件の公式を利用します。
  • 適用根拠: 元の共鳴 \(f=423 \, \text{Hz}\) が3倍振動 (\(2n-1=3\)) であったことから、振動数を上げて次に起こる共鳴は5倍振動 (\(2n-1=5\)) であると特定できるためです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (問1) \(\lambda, V, \Delta l\) の導出フロー:
   • 観察データ \(l_1, l_2\) から、節点間距離の関係 \(l_2 – l_1 = \lambda/2\) を用いて \(\lambda\) を算出。
   • 既知の \(f\) と算出した \(\lambda\) から、波の基本式 \(V=f\lambda\) を用いて \(V\) を算出。
   • 最初の共鳴条件 \(l_1+\Delta l = \lambda/4\) と算出した \(\lambda\) を用いて \(\Delta l\) を算出。
2. (問2) 特定位置（腹・節）の特定フロー:
   • \(l_2\) の状態が何倍振動（この場合は3倍振動）であるかを、\(l_2+\Delta l\) と \(\lambda/4\) の関係から把握。
   • 変位の腹の位置を、開口端補正 \(\Delta l\) と波長 \(\lambda\) (または \(\lambda/2, \lambda/4\)) を用いて、管口からの距離で特定。
   • 変位の節の位置を同様に特定。
   • 「振幅が大きい位置 \(\iff\) 変位の腹」、「密度変化が大きい位置 \(\iff\) 変位の節」という対応関係を適用。
3. (問3) 温度変化の影響の考察フロー:
   • 温度上昇 で音速 \(V\) 増加 （物理法則）。
   • 振動数 \(f\) は一定 で波長 \(\lambda = V/f\) も増加 （\(V=f\lambda\) より）。
   • 共鳴条件 \(l+\Delta l \propto \lambda\) と \(\Delta l\) 一定より、共鳴長 \(l_1, l_2\) も増加。
4. (問4) 次の共鳴振動数の導出フロー:
   • 有効な気柱の長さ \(L_{\text{有効}} = l_2+\Delta l\) は固定。
   • 元の共鳴 (\(f=423 \, \text{Hz}\)) が3倍振動であったことを \(L_{\text{有効}}\) と \(\lambda\) の関係から再確認または特定。
   • 閉管の固有振動数は基本振動数 \(f_0\) の奇数倍 (\(f_0, 3f_0, 5f_0, \dots\)) であることを利用。
   • \(3f_0 = 423 \, \text{Hz}\) から \(f_0\) を求め、次のモードである \(5f_0\) を計算。
   • あるいは、\(L_{\text{有効}} = 5\lambda’/4 = 5V/(4f’)\) の関係から直接 \(f’\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の厳格な統一: 特に長さの単位 (\(\text{cm}\) と \(\text{m}\)) は、計算の初期段階でメートル (\(\text{m}\)) に統一することを強く推奨します。音速の単位が \(\text{m/s}\) であるため、整合性を取る上で最も安全です。
• 開口端補正 \(\Delta l\) の取り扱い: \(\Delta l\) は「補正」であるため、実際の気柱の長さに加えて「有効な長さ」を考える、という物理的な意味を常に意識します。機械的に足したり引いたりするのではなく、図を描いて判断することが大切です。
• 有効数字の取り扱い: 問題文で与えられた数値の有効数字を確認し（例: \(18.9 \, \text{cm}\) は3桁、\(423 \, \text{Hz}\) は3桁）、計算の最終結果もそれに合わせるようにします。途中計算では1桁多く保持し、最後に適切な有効数字に丸めるのが一般的です。
• 代数計算の優先: 可能であれば、できるだけ最後まで文字式のまま計算を進め、最後に数値を代入する方が、計算ミスを発見しやすく、また物理的な関係も見通しやすくなる場合があります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性のチェック:
  • 開口端補正 \(\Delta l\) の値は正であり、かつ波長 \(\lambda\) や管長 \(l_1, l_2\) に比べて著しく大きくないか？（通常、\(\Delta l\) は管の半径の0.6倍程度であり、数 \(\text{cm}\) のオーダーになることが多いです）。
  • 計算された音速 \(V\) は、空気中の標準的な音速（常温で約 \(340 \, \text{m/s}\)）に近い値になっているか？
  • 問3の結果（温度を上げると \(l_1, l_2\) が増す）は、日常の感覚や他の物理現象（金属の熱膨張などとは方向性が違うが、波の性質として）と矛盾しないか？
  • 問4の結果（振動数を上げると次の共鳴振動数は元の振動数より高くなる）は、直感的に正しいか？
• 数値のオーダー（桁数）の確認: 各物理量が現実離れした非常に大きな値や小さな値になっていないか。
• 関連性の再検証（検算）: 例えば、問1で求めた \(\lambda\) と \(\Delta l\) を用いて、\(l_2+\Delta l\) が本当に \(3\lambda/4\) に近い値になっているかを確認します。
  \(l_2+\Delta l = 59.1 \, \text{cm} + 1.2 \, \text{cm} = 60.3 \, \text{cm}\)。
  \(3\lambda/4 = 3 \times (80.4 \, \text{cm}) / 4 = 3 \times 20.1 \, \text{cm} = 60.3 \, \text{cm}\)。両者は一致しており、計算の整合性が取れています。
• 図との整合性の確認: 自分の計算結果が、描いた定常波の図や物理的なイメージと矛盾していないかを常に照らし合わせます。

問題79 (大阪大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、音のドップラー効果に関するものです。ドップラー効果は、音源や観測者（人）が運動することによって、観測者が聞く音の振動数が元の振動数と異なって聞こえる現象です。問題は(a)から(d)の4つのパートに分かれており、それぞれ異なる状況設定でドップラー効果を考察し、公式を導出する過程を理解することを目的としています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

ドップラー効果は、救急車のサイレンの音が近づいてくるときと遠ざかっていくときで高く聞こえたり低く聞こえたりする、日常でも体験できる現象です。この問題では、ドップラー効果が起こるメカニズムを、波の基本的な性質から順を追って理解していくことを目指します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 波の基本式: \(V = f\lambda\) （音速 \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\)）
• 音源の運動と波長の変化: 音源が動くと、音波の波長が進行方向で圧縮されたり、進行方向と逆向きで引き伸ばされたりします。
• 観測者の運動と相対速度: 観測者が動くと、音波に対する観測者の相対的な速さが変化し、単位時間あたりに受け取る波の数が変わります。
• 風の影響: 風が吹くと、音波を伝える媒質である空気が動くため、音速が変化します。風上へ進む音は遅くなり、風下へ進む音は速くなります。

この問題は空欄補充形式であり、ドップラー効果の公式を導出する過程を理解させることを目的としています。各空欄について、問題文の誘導に従い、波の基本的な定義や関係式に基づいて考察を進めます。

(a) 音源が近づいてくるときのドップラー効果

思考の道筋とポイント
この設問では、音源が静止している観測者（人）に近づいてくる場合に、観測者が聞く音の振動数がどのように変化するかを段階的に考えます。
(1) まず、音源から出た最初の波面Hと、その波面が出た後に動いた音源との間の距離を考えます。
(2) 次に、その距離の間に含まれる波の数を考えます。
(3) そして、その距離と波の数から、観測者にとっての音の波長を求めます。
(4) 最後に、その波長と音速から、観測者が聞く振動数を求めます。

この設問における重要なポイント

• 音源が動くことで、波が「押し縮められる」イメージを持つ。
• 音源から出た波の数は、音源が動いても変わらない。
• 観測者が聞く音の波長が、元の波長と異なる。

具体的な解説と立式

(1) 時間 \(t\) 後の音源と波面Hとの間の距離
時刻 \(0\) に音源から波面Hが出たとします。この波面Hは音速 \(V\) で進むので、時間 \(t\) 後には \(Vt\) の距離まで進んでいます。
一方、音源は速さ \(v\) で同じ方向に進むので、時間 \(t\) 後には \(vt\) の距離まで進んでいます。
したがって、時間 \(t\) 後の音源と波面Hとの間の距離は、波面Hの位置から音源の位置を引いたものになります。
$$\text{距離} = Vt – vt = (V-v)t$$

(2) この距離の間に入っている波の数
音源の振動数が \(f_0\) であるとは、音源が1秒間に \(f_0\) 個の波を出すという意味です。音源が静止していても運動していても、音源自身が出す波の数は変わりません。
したがって、時間 \(t\) の間に音源が出す波の数は \(f_0 t\) 個です。これらの波が(1)で求めた距離 \((V-v)t\) の間に存在することになります。

(3) 音波の波長
波長とは、1つの波の長さのことです。今、\((V-v)t\) の距離の間に \(f_0 t\) 個の波が入っているので、1つの波の長さ（観測される波長 \(\lambda\)) は、全体の距離を波の数で割ったものになります。
$$\lambda = \frac{\text{全体の距離}}{\text{波の数}} = \frac{(V-v)t}{f_0 t}$$
ここで \(t\) が約分できるので、
$$\lambda = \frac{V-v}{f_0}$$
これが、音源が近づいてくるときに観測者が観測する音波の波長です。元の波長 \(\lambda_0 = V/f_0\) と比べると、分母が同じで分子が \(V\) から \(V-v\) に小さくなっているので、波長は短くなっています（波が押し縮められている）。

(4) 人に聞こえる振動数
観測者（人）は静止しており、音波は音速 \(V\) で観測者に到達します。観測者が聞く振動数を \(f\) とすると、波の基本式 \(V = f\lambda\) が成り立ちます。
この式を \(f\) について解くと \(f = V/\lambda\)。(3)で求めた波長 \(\lambda = \displaystyle\frac{V-v}{f_0}\) を代入すると、
$$f = \frac{V}{\displaystyle\frac{V-v}{f_0}} = V \times \frac{f_0}{V-v} = \frac{V}{V-v}f_0$$
これが、音源が近づいてくるときに観測者が聞く音の振動数です。分母が \(V-v\) と \(V\) より小さいため、\(f\) は元の振動数 \(f_0\) よりも大きくなります。つまり、音が高く聞こえます。

各空欄の導出は上記の「具体的な解説と立式」の通りです。

(1) 距離は、波面が進んだ距離 \(Vt\) から音源が進んだ距離 \(vt\) を引いて、\((V-v)t\)。
(2) 時間 \(t\) に音源が出す波の数は、\(f_0 t\)。
(3) 波長 \(\lambda\) は、距離 \((V-v)t\) を波の数 \(f_0 t\) で割って、\(\displaystyle\frac{V-v}{f_0}\)。
(4) 聞こえる振動数 \(f\) は、音速 \(V\) を波長 \(\lambda\) で割って、\(f = \displaystyle\frac{V}{(V-v)/f_0} = \displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\)。

(1) 音のスタートライン (波面H) は \(t\) 秒で \(Vt\) 進みます。音源自身も \(t\) 秒で \(vt\) 進みます。なので、\(t\) 秒後には、音のスタートラインと音源の間には \((V-v)t\) だけの空間ができています。
(2) 音源は1秒間に \(f_0\) 回ブルブル震えて波を出します。なので \(t\) 秒間では \(f_0 t\) 個の波をその空間に送り出しています。
(3) 波1つ分の長さ（波長）は、その空間の長さ \((V-v)t\) を、そこに含まれる波の数 \(f_0 t\) で割ればわかります。つまり、波長は \((V-v)/f_0\) です。
(4) 人が聞く音の高さ（振動数）は、音の速さ \(V\) を、今計算した波長 \((V-v)/f_0\) で割ったものです。計算すると、\(\displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\) となり、元の振動数 \(f_0\) より高い音に聞こえます。

(1) \((V-v)t\)
(2) \(f_0 t\)
(3) \(\displaystyle\frac{V-v}{f_0}\)
(4) \(\displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\)
これらの結果は、音源が観測者に近づく場合のドップラー効果の公式の導出過程そのものです。\(v>0\) のとき、波長 \(\lambda\) は元の \(\lambda_0 = V/f_0\) より短くなり、振動数 \(f\) は元の \(f_0\) より大きくなることが確認できます。

(b) 人が音源に近づいていくときのドップラー効果

思考の道筋とポイント
この設問では、音源は静止しており、観測者（人）が音源に向かって速さ \(u\) で近づいていく場合を考えます。
(5) 観測者が1秒間にどれだけの「長さ」分の音波と出会うかを考えます。
(6) その「長さ」分の音波に何個の波が含まれているかを計算し、それが1秒あたりに聞く波の数、つまり振動数となります。

この設問における重要なポイント

• 音源は静止しているので、音波の波長 \(\lambda_0 = V/f_0\) は変化しない。
• 観測者が音波に向かって動くことで、音波に対する相対速度が \(V+u\) となる。
• 単位時間あたりに通過する波の数が増える。

具体的な解説と立式

(5) 単位時間に人に達する音波が含まれる距離
音源は静止しているので、音波は波長 \(\lambda_0 = V/f_0\) のまま、音速 \(V\) で広がっていきます。
観測者（人）は速さ \(u\) で音源に向かって（つまり音波に向かって）進んでいます。
もし人が静止していれば、1秒間に \(V\) メートル分の音波が耳を通過します。
しかし、人は音波のやってくる方向に \(u\) メートル進むので、1秒間に余分に \(u\) メートル分の音波と出会うことになります。
したがって、単位時間（1秒間）に人に達する音波が含まれる距離の合計は \(V+u\) となります。これは、音波に対する人の相対速度と考えることができます。

(6) 人が聞く振動数
音源が静止しているので、空間に広がっている音波の波長は \(\lambda_0 = V/f_0\) のままです。
(5)で考えたように、人は1秒間に \(V+u\) の長さの範囲に含まれる音波を聞きます。
この \(V+u\) の長さの中にいくつの波が含まれているかを計算すれば、それが1秒あたりに人が聞く波の数、すなわち観測される振動数 \(f’\) となります。
波の数 = 全体の長さ / 1つの波の長さ なので、
$$f’ = \frac{V+u}{\lambda_0}$$
ここに \(\lambda_0 = V/f_0\) を代入すると、
$$f’ = \frac{V+u}{V/f_0} = (V+u) \times \frac{f_0}{V} = \frac{V+u}{V}f_0$$
これが、観測者が音源に近づいていくときに聞く音の振動数です。分子が \(V+u\) と \(V\) より大きいため、\(f’\) は元の振動数 \(f_0\) よりも大きくなります。つまり、音が高く聞こえます。

各空欄の導出は上記の「具体的な解説と立式」の通りです。

(5) 単位時間に人に達する音波が含まれる距離は、音速 \(V\) と人の速さ \(u\) の和で、\(V+u\)。
(6) 聞こえる振動数 \(f’\) は、この距離 \(V+u\) を波長 \(\lambda_0 = V/f_0\) で割って、\(f’ = \displaystyle\frac{V+u}{V/f_0} = \displaystyle\frac{V+u}{V}f_0\)。

(5) 音源は止まっていますが、今度は人が音に向かって速さ \(u\) で進みます。音自体も速さ \(V\) で人に近づいてきます。すると、人が1秒間に「出会う」音の波が含まれている空間の長さは、\(V\) だけでなく、自分が進んだ分 \(u\) も加わって \(V+u\) になります。
(6) 音源が止まっているので、音の波長は元の \(\lambda_0 = V/f_0\) のままです。この波長の波が、(5)で考えた \(V+u\) の長さに何個入っているかが、人が1秒間に聞く波の数（振動数）です。計算すると、\(\displaystyle\frac{V+u}{V}f_0\) となり、やはり元の振動数 \(f_0\) より高い音に聞こえます。

(5) \(V+u\)
(6) \(\displaystyle\frac{V+u}{V}f_0\)
これらの結果は、観測者が音源に近づく場合のドップラー効果の公式の導出過程です。\(u>0\) のとき、振動数 \(f’\) は元の \(f_0\) より大きくなることが確認できます。

(c) 音源と人が互いに近づくときのドップラー効果

思考の道筋とポイント
この設問では、音源が速さ \(v\) で人に近づき、同時に人も速さ \(u\) で音源に近づく場合を考えます。これは(a)と(b)の状況を組み合わせたものになります。
(a)の効果で、観測者が観測する波長 \(\lambda\) が \(\displaystyle\frac{V-v}{f_0}\) に変化します。
次に、この変化した波長 \(\lambda\) の音波に対して、観測者が速さ \(u\) で近づいていくと考えます。観測者が1秒あたりに聞く波の数は、音波に対する観測者の相対速度 \(V+u\) を、この変化した波長 \(\lambda\) で割ったものになります。

この設問における重要なポイント

• 音源の運動による波長の変化 (\(\lambda = \frac{V-v}{f_0}\)) をまず考慮する。
• 次に、観測者の運動による効果（相対速度 \(V+u\) で波を聞く）を適用する。

具体的な解説と立式

(7) 人に聞こえる振動数
まず、音源が速さ \(v\) で動くことにより、音波の波長は(a)の(3)で見たように変化します。観測者が聞く波の波長を \(\lambda\) とすると、
$$\lambda = \frac{V-v}{f_0}$$
次に、観測者（人）はこの波長 \(\lambda\) の音波に対して、速さ \(u\) で近づいていきます。音波自体は空間を速さ \(V\) で進んでいると考えると、観測者が単位時間に聞く音波が含まれる長さは、(b)の(5)と同様に \(V+u\) となります。
したがって、観測者が聞く振動数 \(f”\) は、この \(V+u\) の長さを変化した波長 \(\lambda\) で割ったものになります。
$$f” = \frac{V+u}{\lambda}$$
ここに、\(\lambda = \displaystyle\frac{V-v}{f_0}\) を代入すると、
$$f” = \frac{V+u}{\displaystyle\frac{V-v}{f_0}} = (V+u) \times \frac{f_0}{V-v} = \frac{V+u}{V-v}f_0$$
これが、音源と観測者が互いに近づく場合に観測者が聞く音の振動数で、ドップラー効果の一般式（の分子が観測者、分母が音源の速度に関する項）の形になっています。

導出は上記の「具体的な解説と立式」の通りです。

(7) 聞こえる振動数 \(f”\) は、\(\displaystyle\frac{V+u}{V-v}f_0\)。

(7) 今度は、音源も人もお互いに向かって動きます。まず、音源が人に速さ \(v\) で近づくので、波長は(a)で見たように \((V-v)/f_0\) に縮みます。次に、人はこの縮んだ波長の音に向かって速さ \(u\) で進むので、1秒間に「出会う」音波の長さは \(V+u\) になります。人が聞く振動数は、この「出会う長さ」を「縮んだ波長」で割ったもの、つまり \(\displaystyle\frac{V+u}{(V-v)/f_0} = \displaystyle\frac{V+u}{V-v}f_0\) となります。お互いに近づいているので、当然音は元の \(f_0\) より高く聞こえます。

(7) \(\displaystyle\frac{V+u}{V-v}f_0\)
これはドップラー効果の一般式で、音源と観測者が互いに近づく場合のものです。分子の \(V+u\) は観測者が音波をより多く拾う効果（\(u\) が正なら）、分母の \(V-v\) は音源が波長を縮める効果（\(v\) が正なら）を表しています。

(d) 風が吹いている場合のドップラー効果

思考の道筋とポイント
この設問では、風が吹いている状況を考えます。風は音を伝える媒質である空気を動かすため、音速そのものが変化します。風と同じ向き（風下）に進む音の速さは \(V+w\) に、風と逆向き（風上）に進む音の速さは \(V-w\) になります。
ここでは、風と同じ向きに音源が速さ \(v\) で進み、観測者（人）は前方に静止しています。
この状況は、(a)の状況（音源が近づき、観測者は静止）において、音速 \(V\) が風の影響で \(V+w\) に変わったものと考えることができます。

この設問における重要なポイント

• 風は音を伝える媒質（空気）を動かすため、音速が変化する。
• 風下へ進む音の速さは \(V_{\text{風下}} = V+w\)。
• ドップラー効果の公式中の音速 \(V\) を、風の影響を考慮した新しい音速に置き換えて考える。

具体的な解説と立式

(8) 人に聞こえる振動数
風が速さ \(w\) で吹いており、音源も風と同じ向きに速さ \(v\) で進んでいます。観測者はその前方で静止しています。
この場合、音を伝える媒質である空気が風によって動いているため、地面に対する音の速さ（音速）が変化します。風下へ進む音の速さは、元の音速 \(V\) に風の速さ \(w\) を加えた \(V+w\) となります。
この状況は、(a)で考えた「音源が速さ \(v\) で静止した観測者に近づく」という状況で、音速が \(V\) ではなく \(V+w\) になった場合と等価です。
(a)の(4)で求めた振動数の式は \(f = \displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\) でした。
この式の \(V\) を、風の影響を考慮した新しい音速 \(V_{\text{新しい}} = V+w\) に置き換えます。
すると、観測者が聞く振動数 \(f”’\) は、
$$f”’ = \frac{V_{\text{新しい}}}{V_{\text{新しい}}-v}f_0 = \frac{V+w}{(V+w)-v}f_0 = \frac{V+w}{V+w-v}f_0$$
となります。

導出は上記の「具体的な解説と立式」の通りです。

(8) 聞こえる振動数 \(f”’\) は、\(\displaystyle\frac{V+w}{V+w-v}f_0\)。

(8) 今度は風が吹いています。風が音を運ぶ空気自体を動かすので、音の速さが変わります。風と同じ向き（風下）に進む音は、元の速さ \(V\) に風の速さ \(w\) がプラスされて \(V+w\) になります。
この問題の状況は、「音源が人に近づき、人は止まっている」という(a)のパターンで、ただし音の速さが \(V\) ではなく \(V+w\) になったと考えればOKです。(a)で求めた式 \(f = \frac{V}{V-v}f_0\) の中の \(V\) をすべて \(V+w\) に置き換えてみましょう。すると、\(\displaystyle\frac{V+w}{(V+w)-v}f_0 = \displaystyle\frac{V+w}{V+w-v}f_0\) となります。

(8) \(\displaystyle\frac{V+w}{V+w-v}f_0\)
風が吹くと音速が変化するという点を正しく理解し、既存のドップラー効果の公式にそれを反映させる方法を示しています。風によって音速が \(V+w\) になると、音源が波を送り出す間隔（波長）もその影響を受け、また観測者に到達する波の速さも変わるため、このような結果になります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果の原理: 音源や観測者が運動することにより、観測される音の振動数が変化する現象。この問題では、その導出過程を丁寧に追っています。
  • 音源の運動による効果: 音源が動くと、波の進行方向に対して波長が圧縮されたり（近づく場合）、引き伸ばされたり（遠ざかる場合）します。本質的には、単位時間あたりに一定数の波を送り出す空間の長さが変わるためです。
  • 観測者の運動による効果: 観測者が動くと、音波に対する相対速度が変化し、単位時間あたりに観測者が受け取る波の数が変わります。
• 波の基本式 \(V = f\lambda\): 音速、振動数、波長の関係を表すこの式は、ドップラー効果を考える上でも基本となります。観測者が聞く振動数は、観測者にとっての音速（通常は \(V\)）を、観測者にとっての波長で割ることで求められます。
• 相対速度の考え方: 特に観測者が動く場合や、風が吹く場合には、音波や媒質に対する相対速度を正しく捉えることが重要です。
• 風の影響（媒質の運動）: 風は音を伝える媒質（空気）そのものの運動です。そのため、地面に対する音速が変化します。風上では \(V-w\)、風下では \(V+w\) となります。ドップラー効果の公式を適用する際には、この変化した音速を用いる必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用パターン:
  • 音源や観測者が遠ざかる場合（近づく場合の符号が逆になる）。
  • 音源や観測者が斜めに運動する場合（速度の成分分解が必要）。
  • 反射板によるドップラー効果（反射板が観測者となり、かつ新たな音源となる）。
  • うなりとドップラー効果を組み合わせた問題。
• 初見の問題でどこに着目すればよいか:
  1. 誰が（何が）動いているか？: 音源か、観測者か、両方か。また、媒質（風）は動いているか。
  2. 運動の向きは？: 近づいているのか、遠ざかっているのか。音の進行方向に対してどうか。
  3. 何を求めるのか？: 観測される振動数か、波長か、あるいは元の振動数か。
  4. 基準となるものは何か？: 音速 \(V\) は媒質に対する速さ。風がある場合は地面に対する音速が変わる。
• 問題解決のヒント・特に注意すべき点:
  • ドップラー効果の公式を丸暗記するだけでなく、なぜそのような形になるのか、導出の考え方を理解しておくことが応用力を高めます。この問題はその良い練習になります。
  • 図を描いて、音源、観測者、波の進行方向、速度の向きなどを明確にすると、状況を把握しやすくなります。
  • 符号の扱いに注意。近づく場合は振動数が高くなる（波長が短くなる）、遠ざかる場合は振動数が低くなる（波長が長くなる）という物理的な感覚と式の整合性を確認する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長の変化と振動数の変化の混同:
  • 音源が動くと主に波長が変化し、その結果として（静止した観測者にとっての）振動数が変わって聞こえます。
  • 観測者が動く場合は、音源が発する波長そのものは変化しませんが、観測者が単位時間に受け取る波の数が変わるため振動数が変化して聞こえます。
• 音速 \(V\) の扱い:
  • \(V\) はあくまで音を伝える媒質（通常は空気）に対する音の速さです。
  • 風が吹いている場合は、地面に対する音の速さは \(V+w\) や \(V-w\) になることを忘れないように。
• 公式の \(v\) や \(u\) の符号の向き:
  • 一般的なドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V \mp v_{\text{観測者}}}{V \mp v_{\text{音源}}} f_0\) を使う場合、分子の \(v_{\text{観測者}}\) は観測者が音源から遠ざかる向きを正、分母の \(v_{\text{音源}}\) は音源が観測者から遠ざかる向きを正とするなど、教科書や参考書によって定義が異なる場合があります。この問題のように導出過程を理解していれば、符号で混乱することは少なくなります。
• 風の向きと音源・観測者の運動方向の関係:
  • 風向きと音の進行方向、音源の運動方向、観測者の運動方向を正確に把握し、音速の補正を正しく行う必要があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効だった図のイメージ:
  • (a) 音源が波を押し出すように進み、前方の波長が短くなるイメージ図（模範解答の図が参考になる）。
  • (b) 観測者が波の列に突っ込んでいくことで、より多くの波と出会うイメージ図。
  • (d) 風が「動く歩道」のように音全体を運んでいくイメージ図。
• 図を描く際の注意点:
  • 音源(S)、観測者(O)、波面、それぞれの速度ベクトルを明確に描く。
  • 時間経過と共に波面と音源（または観測者）がどのように移動するかをステップごとに描くと理解しやすい。
  • 風がある場合は、風の速度ベクトルも描き加え、音速がどのように変化するかを図に反映させる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

この問題は公式を適用するのではなく、公式を導出する過程を理解するものです。そのため、各ステップでの立式は、

• 距離＝速さ×時間
• 波の数＝振動数×時間
• 波長＝全体の距離 ÷ 波の数
• 観測される振動数＝（音波に対する観測者の相対速度）÷（観測される波長）

といった基本的な定義や関係に基づいて行われています。
(d)の風がある場合は、(a)で導出した「音源が近づく場合」の公式の音速 \(V\) を、風によって変化した実効的な音速 \(V+w\) に置き換える、という考え方を用いています。これは、ドップラー効果の現象が本質的には音（波）の速さと音源・観測者の速さの相対的な関係で決まることを示唆しています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

この問題は、各空欄を埋めるために、物理現象をステップごとに分解して数式で表現するプロセスそのものです。

1. 現象の分解: ドップラー効果を、「音源の運動による波長の変化」と「観測者の運動による聞く波の数の変化」の2つの側面（またはその組み合わせ）に分けて考える。
2. 定義に基づく立式: 波長、振動数、音速、距離、時間といった基本的な物理量の定義に立ち返って関係式を立てる。
3. 条件の適用: 「音源が近づく」「観測者が近づく」「風が吹く」といった各設問の条件を数式に反映させる。
4. 代数計算による整理: 立てた複数の関係式を組み合わせて、求めたい物理量（観測される振動数など）を導出する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

この問題は主に文字式による導出なので、数学的な計算ミスというよりは、物理的な考察の誤りや記号の混同が主な注意点となります。

• 記号の定義の明確化: \(V, v, u, w, f_0, f, \lambda, \lambda_0\) など、多くの記号が出てくるので、それぞれが何を表しているのかを常に意識する。
• 分数の計算: 振動数を求める際に分数分の分数の形になることが多いので、計算を丁寧に。
• 置き換えの正確さ: (d)のように、ある条件下で導いた式のパラメータを別の条件下での値に置き換える際は、どのパラメータを何に置き換えるのかを正確に行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • 音源や観測者が近づく場合、振動数は元の \(f_0\) より大きくなるか？（音が高くなるはず）
  • 遠ざかる場合は小さくなるか？（音が低くなるはず）
  • 各速度 \(v, u, w\) が \(0\) の極限を考えると、元の振動数 \(f_0\) に戻るか？
    • 例: (4)で \(v=0\) とすると \(f=f_0\)。(6)で \(u=0\) とすると \(f’=f_0\)。(7)で \(u=0, v=0\) とすると \(f”=f_0\)。
• 単位の確認（文字式の場合でも意識）: 各項の物理的な次元が最終的に振動数（時間の逆数）になっているかなど。
• 既知の公式との比較: 導出された結果が、教科書などで習うドップラー効果の公式と一致するか確認する。この問題自体が公式導出の練習なので、最終的に正しい公式の形になるはずです。
• 風の影響の考察: 風が音速と同じ速さで吹いた場合 (\(w=V\)) や、音源が風下音速と同じ速さで進んだ場合 (\(v=V+w\)) など、極端な状況を考えると分母が0になるなどして数式が破綻することがあり、これは物理的に波が追いつけない、または波面が重なって衝撃波（ソニックブーム）を形成するような状況を示唆します（ただし高校物理の範囲を超える）。

問題80 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水面波を題材としたドップラー効果に関する問題です。波源である小球Pが一定の速さで移動しながら波を発生させるとき、波の伝わる速さ、波源の速さ、そして特定の点で観測される振動数を求めることが要求されています。図から情報を正確に読み取ることが重要になります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波の伝播とドップラー効果」です。特に、波源が移動する場合に、波の速さ、波源の速さ、そして観測される振動数がどのように関連しているかを理解することが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 波の基本的な性質: 波の速さ \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には \(V = f\lambda\) の関係があります。
• 波の独立性: 波の伝わる速さ \(V\) は、波源の運動状態によらず一定です（媒質が同じであれば）。
• ドップラー効果: 波源または観測者が運動することにより、観測される波の振動数が変化する現象です。波源が近づく場合は振動数が高く、遠ざかる場合は低くなります。
• 図の読解: 与えられた図から、波が伝わった距離、波源が移動した距離、経過時間、波の数などを正確に読み取る能力が必要です。

全体的な戦略としては、まず図から最も外側の波面がいつ、どこで発生したものかを特定し、その波面が現在の位置まで到達するのにかかった時間を波源の振動数と発生した波の数から求めます。この時間と波が進んだ距離から速さ \(V\) を計算し、同様に小球Pが移動した距離と時間から速さ \(v\) を計算します。最後に、Q点で観測される振動数は、変化した波長を求めるか、ドップラー効果の公式を用いて算出します。

問1 水面波の伝わる速さ \(V\)

思考の道筋とポイント
図に描かれている同心円状の波は、それぞれ異なる時刻に異なる位置のPから発生したものです。最も外側の波面は、最も早い時刻にPがいた場所から発生したものと考えられます。
問題の図と解説 によれば、一番外側の波面は、小球Pが原点 \(x=0\) にいたときに出されたものです。
この一番外側の波面までの間に、図から10個の波面（山）が確認できます。小球Pは毎秒5回水面に触れる（つまり \(f_0 = 5 \, \text{Hz}\)）ので、10個の波を出すのにかかった時間が分かります。
この時間で、一番外側の波がどれだけの距離を進んだかを図から読み取り、速さを計算します。

この設問における重要なポイント

• 波の速さは波源の速さによらず一定である。
• 図の一番外側の波面は、観測時刻から最も時間が経過した波面である。
• 波源の振動数と図中の波の数から、経過時間を求める。

具体的な解説と立式
問題の図と解説 より、一番外側の波面は、小球Pが原点 \(x=0\) にいたときに出されたものです。
図を見ると、この一番外側の波面までの間に10個の波（山）が描かれています。
小球Pは毎秒5回水面に触れるので、10個の波を出すのにかかった時間 \(t\) は、
$$t = \frac{\text{波の数}}{\text{単位時間あたりの波の数}} = \frac{10 \text{ 個}}{5 \text{ 個/秒}} = 2 \text{ 秒}$$
この2秒間に、一番外側の波面は原点 \(x=0\) から \(x=-40 \, \text{cm}\) の位置まで、つまり半径 \(40 \, \text{cm}\) まで広がっています。
したがって、水面波の伝わる速さ \(V\) は、
$$V = \frac{\text{距離}}{\text{時間}} = \frac{40 \, \text{cm}}{2 \, \text{s}}$$

1. 経過時間の計算:
波源Pは毎秒5個の波を出す（振動数 \(f_0 = 5 \, \text{Hz}\)）。
図には10個の波が描かれているので、これらの波が発生してから観測されるまでの時間は、
$$t = \frac{10}{5} = 2 \, \text{s}$$
（これは、最初の波が発生してから10番目の波が発生するまでの時間ではなく、最初の波が発生してから観測時刻までの時間、かつその間に10個の波がPから送り出されたことを意味します。より正確には、観測された10個の波は、Pが原点にいた時刻から2秒かけて順次送り出され、一番最初の波が2秒かけて \(40 \, \text{cm}\) 進んだ、という解釈です。）

2. 水面波の伝わる速さ \(V\) の計算:
この \(2 \, \text{s}\) の間に、一番外側の波面（Pが \(x=0\) の時に出した波）は \(40 \, \text{cm}\) 進んでいます。
したがって、速さ \(V\) は、
$$V = \frac{40 \, \text{cm}}{2 \, \text{s}} = 20 \, \text{cm/s}$$

まず、図に描かれている一番外側の波の輪っかに注目します。これは、小球Pが \(x=0\) の位置（原点）にいた時に作られた波です。
次に、この一番外側の波の輪っかから内側に向かって波の数を数えると10個あります。小球Pは1秒間に5個の波を作るので、10個の波を作るのには \(10 \div 5 = 2\) 秒かかったことになります。この2秒が、一番外側の波が発生してから現在の瞬間までの時間です。
図を見ると、この一番外側の波は、原点を中心として半径 \(40 \, \text{cm}\) まで広がっています。つまり、2秒間で \(40 \, \text{cm}\) 進んだわけです。
よって、波の速さ \(V\) は、「距離 \(\div\) 時間」で、\(40 \, \text{cm} \div 2 \, \text{s} = 20 \, \text{cm/s}\) となります。

水面波の伝わる速さ \(V\) は \(20 \, \text{cm/s}\) です。これは選択肢の④と一致します。図から情報を読み取り、基本的な速さの定義から計算できました。

問2 小球Pの速さ \(v\)

思考の道筋とポイント
(1)で、一番外側の波が発生してから現在の観測時刻までに \(2\) 秒が経過したことがわかりました。
この \(2\) 秒の間に、小球Pは原点 \(x=0\) から現在の位置 \(x=20 \, \text{cm}\) まで移動しています。
この情報から、小球Pの速さ \(v\) を計算できます。

この設問における重要なポイント

• (1)で求めた経過時間を利用する。
• 図から波源Pの移動距離を読み取る。

具体的な解説と立式
(1)より、一番外側の波面が発生してから観測時刻までの時間は \(t = 2 \, \text{s}\) です。
この間に、小球Pは \(x\) 軸の正の方向に、原点 \(x=0\) から図に示されている現在の位置 \(x=20 \, \text{cm}\) まで移動しました。
したがって、小球Pの移動距離は \(20 \, \text{cm}\) です。
小球Pの速さ \(v\) は、
$$v = \frac{\text{Pの移動距離}}{\text{時間}}$$

1. 小球Pの移動距離の確認:
図より、Pは原点 \(x=0\) から \(x=20 \, \text{cm}\) まで移動。移動距離は \(20 \, \text{cm}\)。
2. 小球Pの速さ \(v\) の計算:
経過時間は \(2 \, \text{s}\) なので、
$$v = \frac{20 \, \text{cm}}{2 \, \text{s}} = 10 \, \text{cm/s}$$

(1)で、一番外側の波ができてから今の瞬間までに2秒間が経ったことがわかりました。
図を見ると、この2秒の間に、小球Pは \(x=0\) の位置から \(x=20 \, \text{cm}\) の位置まで動いています。つまり、\(20 \, \text{cm}\) の距離を移動したわけです。
よって、小球Pの速さ \(v\) は、「距離 \(\div\) 時間」で、\(20 \, \text{cm} \div 2 \, \text{s} = 10 \, \text{cm/s}\) となります。

小球Pの速さ \(v\) は \(10 \, \text{cm/s}\) です。これは選択肢の④と一致します。模範解答 にあるように、「Pは波が伝わった距離の半分を移動しているので \(v=V/2\) と考えてもよい」というのは、この \(V=20 \, \text{cm/s}\) と \(v=10 \, \text{cm/s}\) の関係を指しています。

問3 Qの位置で観測される水面波の振動数 \(f\)

思考の道筋とポイント
Q点は \(x=-20 \, \text{cm}\) の位置にあり、波源P (\(x=20 \, \text{cm}\)) は \(x\) 軸正方向に速さ \(v=10 \, \text{cm/s}\) で移動しています。したがって、Q点で波を観測する場合、波源PはQから遠ざかっていると見なせます（より正確には、Qは波源の移動方向後方にある）。
波源が移動するため、Qの方向（波源の後方）へ進む波の波長は、波源が静止している場合の波長 \(\lambda_0 = V/f_0\) よりも長くなります。
この長くなった波長 \(\lambda’_{\text{後方}}\) を求め、波の基本式 \(V = f \lambda’_{\text{後方}}\) から観測される振動数 \(f\) を計算します。
あるいは、ドップラー効果の公式を直接利用することもできます。波源が観測点から遠ざかる場合の公式は \(f = \displaystyle\frac{V}{V+v} f_0\) です。

模範解答 の一つの解法は、Pの後方（図の左側）の特定の範囲に含まれる波の数から波長を求めています。「Pの左側には \(60 \, \text{cm}\) の範囲に10個の波がある」としています。この \(60 \, \text{cm}\) は、現在のPの位置 \(x=20 \, \text{cm}\) から、一番外側の波がPが原点にいた時に出されて現在 \(x=-40 \, \text{cm}\) の位置にあることから、\(20 \, \text{cm} – (-40 \, \text{cm}) = 60 \, \text{cm}\) の範囲に、Pが原点から \(20 \, \text{cm}\) 移動する間に発生した10個の波が広がっている、という解釈です。

この設問における重要なポイント

• Q点は波源Pの移動方向後方にあるため、波源はQから遠ざかる動きをしていると解釈できる。
• 波源が遠ざかる（または後方に波を出す）場合、波長は伸び、振動数は低くなる。
• 後方での波長を求めるか、ドップラー効果の公式を利用する。

具体的な解説と立式
波源の振動数 \(f_0 = 5 \, \text{Hz}\)。水面波の速さ \(V = 20 \, \text{cm/s}\)。小球Pの速さ \(v = 10 \, \text{cm/s}\)。
Q点は波源Pの後方にあります。

解法1: 波長を求めてから振動数を計算する方法
波源Pが \(t=2 \, \text{s}\) の間に \(x=0\) から \(x=20 \, \text{cm}\) まで移動し、その間に10個の波を出しました。
このとき、Pが \(x=0\) で出した最初の波は \(x=-40 \, \text{cm}\) まで到達しています。
Pが \(x=20 \, \text{cm}\) で最後に出した（まさに今出そうとしている）波の中心は \(x=20 \, \text{cm}\) にあります。
したがって、Pの後方（左側）には、距離 \(20 \, \text{cm} – (-40 \, \text{cm}) = 60 \, \text{cm}\) の範囲に、この2秒間に出された10個の波が存在していることになります。
よって、Pの後方での波長 \(\lambda’_{\text{後方}}\) は、
$$\lambda’_{\text{後方}} = \frac{\text{波が存在する範囲の長さ}}{\text{波の数}} = \frac{60 \, \text{cm}}{10 \text{ 個}} = 6 \, \text{cm}$$Q点で観測される振動数 \(f\) は、波の基本式 \(V = f \lambda’_{\text{後方}}\) より、$$f = \frac{V}{\lambda’_{\text{後方}}} = \frac{20 \, \text{cm/s}}{6 \, \text{cm}}$$

解法2: ドップラー効果の公式を利用する方法
Q点は波源Pの移動方向 (\(x\)軸正方向) に対して後方にあるため、波源PはQから遠ざかる効果を生みます。
波源が観測者から速さ \(v\) で遠ざかる場合のドップラー効果の公式は、
$$f = \frac{V}{V+v} f_0$$ここに、\(V = 20 \, \text{cm/s}\), \(v = 10 \, \text{cm/s}\), \(f_0 = 5 \, \text{Hz}\) を代入します。$$f = \frac{20}{20+10} \times 5$$

解法1に基づく計算:
1. 後方での波長の計算:
$$\lambda’_{\text{後方}} = \frac{60 \, \text{cm}}{10} = 6 \, \text{cm}$$
2. Q点で観測される振動数 \(f\) の計算:
$$f = \frac{V}{\lambda’_{\text{後方}}} = \frac{20 \, \text{cm/s}}{6 \, \text{cm}} = \frac{10}{3} \, \text{Hz}$$

解法2に基づく計算:
1. ドップラー効果の公式への代入:
$$f = \frac{20}{20+10} \times 5 = \frac{20}{30} \times 5 = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3} \, \text{Hz}$$

どちらの解法でも同じ結果が得られます。

Q点は、動いている小球Pの後ろ側にあります。
考え方1：波の長さを考える
小球Pは2秒間で \(x=0\) から \(x=20 \, \text{cm}\) まで進み、10個の波を出しました。このとき、Pが \(x=0\) で出した一番初めの波は \(x=-40 \, \text{cm}\) のところまで広がっています。現在のPの位置は \(x=20 \, \text{cm}\) です。
ということは、Pの後ろ側（図の左側）には、\(20 \, \text{cm}\) の位置から \(-40 \, \text{cm}\) の位置までの \(60 \, \text{cm}\) の範囲に、この10個の波が引き伸ばされて存在していることになります。
なので、後ろ側の波1個の長さ（波長）は \(60 \, \text{cm} \div 10 = 6 \, \text{cm}\) です。
Q点で観測される振動数は、「波の速さ \(\div\) 波長」なので、\(20 \, \text{cm/s} \div 6 \, \text{cm} = 10/3 \, \text{Hz}\) となります。

考え方2：ドップラー効果の公式を使う
波源Pは \(x\) 軸の正の向き（右向き）に速さ \(v=10 \, \text{cm/s}\) で動いています。Q点はPの左側にあるので、PはQから遠ざかっています。
波源が遠ざかるときのドップラー効果の公式 \(f = \frac{V}{V+v}f_0\) を使います。
波の速さ \(V=20 \, \text{cm/s}\)、Pの速さ \(v=10 \, \text{cm/s}\)、元の振動数 \(f_0=5 \, \text{Hz}\) を代入すると、
\(f = \frac{20}{20+10} \times 5 = \frac{20}{30} \times 5 = \frac{10}{3} \, \text{Hz}\) となります。

Qの位置で観測される水面波の振動数 \(f\) は \(\displaystyle\frac{10}{3} \, \text{Hz}\) です。これは選択肢の②と一致します。波源が遠ざかるため、元の振動数 \(5 \, \text{Hz} = 15/3 \, \text{Hz}\) よりも低い振動数になっており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の発生と伝播の独立性: 波源が動いていても、一度発生した波は波源のその後の運動とは独立に、媒質中を一定の速さ \(V\) で広がっていくこと。それぞれの波面（円）の中心は、その波面が発生したときの波源の位置であること。
• 波源の振動数 \(f_0\) と波の数: 波源の振動数 \(f_0\) は、単位時間あたりに波源が発生させる波の個数です。一定時間 \(t\) の間に発生する波の数は \(f_0 t\) 個となります。
• ドップラー効果（波源が移動する場合）:
  • 波源が移動すると、進行方向では波長が短くなり（押し縮められ）、後方では波長が長くなります（引き伸ばされる）。
  • 観測される振動数は、この変化した波長と波の速さ \(V\) から \(f = V/\lambda’\) で決まります。
  • 公式としては、波源が速さ \(v\) で観測者に近づく場合 \(f = \displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\)、遠ざかる場合 \(f = \displaystyle\frac{V}{V+v}f_0\) となります。
• 図からの情報読解: この種の問題では、与えられた図から波の数、波が進んだ距離、波源が移動した距離、経過時間などを正確に読み取る能力が不可欠です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 音波だけでなく、光や電磁波のドップラー効果にも基本的な考え方は応用できます（ただし光速不変の原理など特殊な考慮が必要な場合もある）。
  • 観測者が移動する場合や、波源と観測者の両方が移動する場合の問題。
  • 風や水流など、媒質自体が運動している場合のドップラー効果。
  • 反射物体によるドップラー効果（反射物体が一度観測者として波を受け、次に新たな波源として波を出すと考える）。
• 初見の問題でどこに着目すればよいか:
  1. 波源の振動数 \(f_0\) は何か: 問題文から直接与えられるか（「毎秒何回」など）、他の情報から計算する必要があるか。
  2. 波の速さ \(V\) は何か: 与えられているか、図や他の情報から計算する必要があるか。
  3. 波源の速さ \(v\) と向きはどうか: これが波長の変化に直接影響します。
  4. 観測点の位置はどこか: 波源の進行方向前方か後方か、あるいは斜め方向か。これにより、観測される波長や振動数が変わります。
  5. 図が与えられている場合: 各円（波面）の中心が何を表しているか、波の数、距離のスケールなどを注意深く読み取ります。
• 問題解決のヒント・特に注意すべき点:
  • ドップラー効果の問題では、まず「誰が（波源か観測者か）」「どのように（速さ、向き）」「何に対して（媒質か地面か）」動いているのかを明確に把握することが第一歩です。
  • 波長が変化するのか、観測者が単位時間に受け取る波の数が変わるのか、現象のメカニズムを区別して理解することが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の速さ \(V\) と波源の速さ \(v\) の混同: 波の速さ \(V\) は媒質によって決まるもので、波源の速さ \(v\) とは異なります。波源が動いても \(V\) は変わりません。
• 図の解釈ミス:
  • 同心円の中心が常に原点だと思い込む（波源が動いている場合は、各波面の中心はその波が発生した時の波源の位置）。
  • 波の数を数え間違える、距離のスケールを読み間違える。
• ドップラー効果の公式の符号の誤り: 近づく場合と遠ざかる場合で、分母の \(v\) の符号が変わる (\(V \mp v\)) ことを混同しやすい。
  • 対策: 「近づくと振動数が高くなる（波長は短くなる）」「遠ざかると振動数が低くなる（波長は長くなる）」という物理現象と式の形を関連付けて覚える。あるいは、導出過程を理解し、その都度考える。
• 振動数 \(f_0\) と観測振動数 \(f\) の区別: \(f_0\) は波源固有の振動数、\(f\) は運動によって変化した結果観測される振動数です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • 小球Pが水面を叩くたびに円形の波紋が広がり、P自身も移動していくため、進行方向では波紋が重なり合って密になり、後方では間隔が広がって疎になる様子をイメージします。
  • 一番外側の波紋は、Pが最も過去（この問題では原点）にいた時に出されたものであり、そこから同心円状に広がっていると捉えます。
• 図示の有効性:
  • 問題の図自体が現象を視覚的に示しており、この図から情報を読み取ることが解答の鍵となります。
  • 自分で図を描き直す場合、異なる時刻における波源の位置と、そこから出た波面がどこまで広がっているかを複数描くことで、波長の圧縮や伸長がより明確に理解できます。
• 図を描く際の注意点:
  • 各波面の中心（波が発生した時の波源の位置）を正確にプロットする。
  • 波面の間隔（波長）が、波源の進行方向と後方で異なることを意識して描く。
  • 時間スケールと距離スケールの関係を明確にする。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(t = (\text{波の数}) / f_0\):
  • 選定理由: 図から波の数と波源の振動数が分かっているので、これらの波が発生するのにかかった時間を求めるため。
  • 適用根拠: 振動数 \(f_0\) は単位時間あたりに発生する波の数であるという定義から。
• \(V = (\text{距離}) / (\text{時間})\):
  • 選定理由: 波の速さを求める基本的な公式。
  • 適用根拠: (1)で特定の波面が進んだ距離とその時間が分かったため。
• \(\lambda’ = (\text{波が存在する範囲の長さ}) / (\text{波の数})\) (問3解法1):
  • 選定理由: 波源が移動した結果、変化した波長を求めるため。
  • 適用根拠: 波長の定義（1波長分の長さ）と、図から読み取れる情報（特定の範囲に何個の波があるか）から。
• ドップラー効果の公式 \(f = \displaystyle\frac{V}{V+v} f_0\) (問3解法2):
  • 選定理由: 波源が観測点から遠ざかる場合の振動数を直接求めるため。
  • 適用根拠: 問題の状況（波源が移動し、観測点はその後方にある）が、この公式の適用条件と一致するため。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 時間の特定: 図から波の数（10個）を読み取り、波源の振動数（毎秒5個）から、これらの波が発生し観測されるまでの時間（2秒）を算出する。
2. (1) 波の速さ \(V\) の特定: 一番外側の波が進んだ距離（図から \(40 \, \text{cm}\)）を上記の時間（2秒）で割り、\(V\) を求める。
3. (2) 波源の速さ \(v\) の特定: 波源Pが移動した距離（図から \(20 \, \text{cm}\)）を上記の時間（2秒）で割り、\(v\) を求める。
4. (3) 観測振動数 \(f\) の特定 (解法1: 波長経由):
   • 波源後方の特定の範囲（Pが原点にいた時に出た波の現在位置から現在のPの位置までの後方部分、図から \(60 \, \text{cm}\)）とその範囲内の波の数（10個）から、後方での波長 \(\lambda’_{\text{後方}}\) を算出する。
   • \(f = V / \lambda’_{\text{後方}}\) で \(f\) を求める。
5. (3) 観測振動数 \(f\) の特定 (解法2: 公式):
   • 波源が観測点から遠ざかる場合のドップラー効果の公式 \(f = \displaystyle\frac{V}{V+v}f_0\) に、求めた \(V, v\) と与えられた \(f_0\) を代入して \(f\) を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認と統一: この問題では \(\text{cm}\) と \(\text{s}\) が主なので、一貫して使用すれば問題ないが、途中で \(\text{m}\) に変換する場合は注意。最終的な単位も確認する。
• 図の正確な読解: 波の数、距離、波源の位置など、図から読み取る情報を間違えないように細心の注意を払う。特に円の中心がどこか、どの円がいつ出た波か、といった点は重要。
• 定義に忠実な計算: 速さ＝距離/時間、波長＝範囲長/波数など、基本的な定義に基づいて計算する。
• 公式の適用条件の確認: ドップラー効果の公式を使う場合は、近づく場合か遠ざかる場合か、波源が動くのか観測者が動くのか、条件を正しく見極めて適切な公式を選ぶ。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • 波の速さ \(V\) と波源の速さ \(v\) の大小関係はどうか？（通常 \(V>v\) であることが多い。この問題でも \(V=20, v=10\)）。
  • (3)で観測される振動数 \(f\) は、波源の振動数 \(f_0=5 \, \text{Hz}\) と比べてどうか？ Q点は波源の後方なので、\(f < f_0\) となるはず (\(10/3 \approx 3.33 < 5\))。これは妥当。
• 数値のオーダー: 計算結果が極端に大きな値や小さな値になっていないか。
• 別解による確認: (3)のように複数の解法がある場合、それぞれで計算して結果が一致するか確認する。
• 図との整合性: 例えば、(3)で求めた後方の波長 (\(6 \, \text{cm}\)) が、図の波面の間隔（後方）とおおよそ一致しているか視覚的に確認する。元の波長は \(\lambda_0 = V/f_0 = 20/5 = 4 \, \text{cm}\)。後方ではそれより長くなっている (\(6 \, \text{cm}\))。前方では \(2 \, \text{cm}\) とあり、これも元の \(4 \, \text{cm}\) より短い。

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