「良問の風」攻略ガイド（56〜60問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題56 (都立大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水熱量計を用いた複数の実験結果から、熱容量や比熱といった物質の熱的性質を求める典型的な問題です。また、熱の移動に関する考察も含まれており、物理現象の丁寧な理解が求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「熱とエネルギー」の分野に属し、特に「熱量計算」「熱容量」「比熱」「熱量保存則」といった重要な概念を扱います。実験データの解釈や、理想的な条件と現実的な条件の違いについての考察も含まれます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念の提示:

• 発生熱量と電力・時間: ヒーターなどの電熱線が消費する電力 \(P\) [W] が時間 \(t\) [s] の間に発生させる熱量 \(Q\) [J] は、\(Q = Pt\) で与えられます。
• 熱量と温度変化: 物体が得たり失ったりした熱量 \(Q\) と、それによる温度変化 \(\Delta T\) [K または ℃] の間には、\(Q = C\Delta T\) の関係があります。ここで \(C\) は物体の熱容量 [J/K または J/℃] です。
• 熱容量と比熱: 熱容量 \(C\) は、物体の質量 \(m\) [g または kg] と比熱 \(c\) [J/(g・K) または J/(kg・K)] を用いて \(C = mc\) と表せます。比熱は物質固有の値です。
• 全体の熱容量: 複数の物体が一体となって温度変化する場合、全体の熱容量は各物体の熱容量の和で表せます。例えば、水と容器の場合、\(C_{\text{全体}} = C_{\text{水}} + C_{\text{容器}} = m_{\text{水}}c_{\text{水}} + m_{\text{容器}}c_{\text{容器}}\)。
• 熱量保存則: 断熱された系内で物体間で熱の移動がある場合、「高温物体が失った熱量の総和 = 低温物体が得た熱量の総和」が成り立ちます。

問題を解くための全体的な戦略と手順:

• (1) 合計の熱容量の計算: グラフから加熱時間と温度上昇を読み取り、\(Q = Pt\) と \(Q = C\Delta T\) を用いて \(C_1, C_2\) を求めます。
• (2) 水と銅の比熱の計算: \(C_1, C_2\) を \(c_{\text{水}}\) と \(c_{\text{銅}}\) で表し、連立方程式を解きます。
• (3) 金属球の比熱の計算: 熱量保存則を適用し、実験2の結果 \(C_2\) を利用して \(c_{\text{金属}}\) を求めます。
• (4) 断熱容器を外した場合の考察: 室温と系内温度を比較し熱の移動方向を判断。最終温度と計算される比熱への影響を論理的に導きます。

問1：銅製容器と水の合計の熱容量 \(C_1, C_2\)

思考の道筋とポイント

実験1と実験2では、ヒーターによって水と銅製容器が温められます。「抵抗線で消費された電力は、水と容器の温度上昇に全て使われた」とあるので、ヒーターが発生した熱量 \(Q\) が、そのまま水と容器の温度を \(\Delta T\) だけ上昇させたと考えることができます。この関係は \(Q = C\Delta T\) で表され、\(C\) が求める合計の熱容量です。ヒーターの発生熱量 \(Q\) は、電力 \(P\) と時間 \(t\) から \(Q = Pt\) で計算できます。図2のグラフから、各実験における \(t\) と \(\Delta T\) の対応を読み取ることが重要です。

この設問における重要なポイント

• グラフから加熱時間 \(t\) と温度上昇 \(\Delta T\) を正確に読み取ること。
• 電力 \(P\) [W] と時間 \(t\) [s] から発生熱量 \(Q\) [J] を \(Q=Pt\) で計算すること。
• 熱量 \(Q\)、熱容量 \(C\)、温度変化 \(\Delta T\) の関係式 \(Q=C\Delta T\) を正しく適用すること。

具体的な解説と立式

実験1について:
図2の実験1のグラフより、加熱時間 \(t_1 = 500 \, \text{s}\) のとき、水温は \(20 \, \text{℃}\)。初期水温は \(10 \, \text{℃}\) なので、温度上昇 \(\Delta T_1 = 20 \, \text{℃} – 10 \, \text{℃} = 10 \, \text{K}\)。
消費電力 \(P_1 = 10.0 \, \text{W}\)。発生熱量 \(Q_1 = P_1 t_1\)。合計の熱容量を \(C_1\) とすると、\(P_1 t_1 = C_1 \Delta T_1\)。

実験2について:
図2の実験2のグラフより、加熱時間 \(t_2 = 400 \, \text{s}\) のとき、水温は \(14 \, \text{℃}\)。初期水温は \(10 \, \text{℃}\) なので、温度上昇 \(\Delta T_2 = 14 \, \text{℃} – 10 \, \text{℃} = 4 \, \text{K}\)。
消費電力 \(P_2 = 9.0 \, \text{W}\)。発生熱量 \(Q_2 = P_2 t_2\)。合計の熱容量を \(C_2\) とすると、\(P_2 t_2 = C_2 \Delta T_2\)。

実験1の熱容量 \(C_1\):
$$10.0 \, \text{W} \times 500 \, \text{s} = C_1 \times 10 \, \text{K}$$
$$5000 \, \text{J} = C_1 \times 10 \, \text{K}$$ よって、 $$C_1 = \frac{5000 \, \text{J}}{10 \, \text{K}} = 500 \, \text{J/K} = 5.0 \times 10^2 \, \text{J/K}$$

実験2の熱容量 \(C_2\):
$$9.0 \, \text{W} \times 400 \, \text{s} = C_2 \times 4 \, \text{K}$$
$$3600 \, \text{J} = C_2 \times 4 \, \text{K}$$ よって、 $$C_2 = \frac{3600 \, \text{J}}{4 \, \text{K}} = 900 \, \text{J/K} = 9.0 \times 10^2 \, \text{J/K}$$

ヒーターが加えた熱エネルギー \(Q\) は「電力 \(P \times\) 時間 \(t\)」です。この熱で全体の温度が \(\Delta T\) 上がったなら、熱容量 \(C\) は \(C = Q / \Delta T\) です。
実験1: \(Q_1 = 10.0 \times 500 = 5000 \, \text{J}\)。\(\Delta T_1 = 10 \, \text{K}\)。\(C_1 = 5000 / 10 = 500 \, \text{J/K}\)。
実験2: \(Q_2 = 9.0 \times 400 = 3600 \, \text{J}\)。\(\Delta T_2 = 4 \, \text{K}\)。\(C_2 = 3600 / 4 = 900 \, \text{J/K}\)。

実験1の合計熱容量は \(C_1 = 5.0 \times 10^2 \, \text{J/K}\)、実験2の合計熱容量は \(C_2 = 9.0 \times 10^2 \, \text{J/K}\) です。実験2の方が水の量が多いので熱容量が大きいのは妥当です。

問2：水と銅の比熱 \(c_{\text{水}}, c_{\text{銅}}\)

思考の道筋とポイント

問1で求めた合計熱容量 \(C_1, C_2\) は、「水の熱容量」と「銅製容器の熱容量」の和です。すなわち、\(C = m_{\text{水}}c_{\text{水}} + m_{\text{銅容器}}c_{\text{銅}}\) です。水の質量 \(m_{\text{水1}}=100\,\text{g}\), \(m_{\text{水2}}=200\,\text{g}\)、銅製容器の質量 \(m_{\text{銅容器}}=250\,\text{g}\) を用い、\(c_{\text{水}}\) と \(c_{\text{銅}}\) の連立方程式を立てて解きます。

この設問における重要なポイント

• 全体の熱容量が各部分の熱容量の和で表されること: \(C_{\text{合計}} = m_{\text{水}}c_{\text{水}} + m_{\text{容器}}c_{\text{容器}}\)。
• 2つの実験結果から連立方程式を立て、解く数学的な処理能力。

具体的な解説と立式

水の比熱を \(c_{\text{水}}\)、銅の比熱を \(c_{\text{銅}}\) とします。
実験1: \(C_1 = 500 \, \text{J/K}\), \(m_{\text{水1}} = 100 \, \text{g}\), \(m_{\text{銅容器}} = 250 \, \text{g}\)
$$500 = 100 c_{\text{水}} + 250 c_{\text{銅}} \quad \cdots ①$$
実験2: \(C_2 = 900 \, \text{J/K}\), \(m_{\text{水2}} = 200 \, \text{g}\), \(m_{\text{銅容器}} = 250 \, \text{g}\)
$$900 = 200 c_{\text{水}} + 250 c_{\text{銅}} \quad \cdots ②$$

②式 – ①式 を行い \(c_{\text{銅}}\) を消去します:
$$(900 – 500) = (200 c_{\text{水}} – 100 c_{\text{水}}) + (250 c_{\text{銅}} – 250 c_{\text{銅}})$$
$$400 = 100 c_{\text{水}}$$ よって、$$c_{\text{水}} = \frac{400}{100} = 4.0 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}$$
これを①式に代入:
$$500 = 100 \times 4.0 + 250 c_{\text{銅}}$$
$$500 = 400 + 250 c_{\text{銅}}$$ よって、$$250 c_{\text{銅}} = 100$$ ゆえに、$$c_{\text{銅}} = \frac{100}{250} = 0.40 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}$$

全体の熱容量は「水の熱容量＋銅容器の熱容量」です。実験2と実験1の違いは水の量が\(100\text{g}\)増えたことだけで、それにより全体の熱容量が \(900-500=400 \, \text{J/K}\) 増えました。この\(400 \, \text{J/K}\)が水\(100\text{g}\)分の熱容量なので、\(100 \times c_{\text{水}} = 400\)、よって \(c_{\text{水}} = 4.0 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\)。これを実験1の式 \(500 = 100 c_{\text{水}} + 250 c_{\text{銅}}\) に代入し、\(500 = 400 + 250 c_{\text{銅}}\) より \(250 c_{\text{銅}} = 100\)、よって \(c_{\text{銅}} = 0.40 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\)。

水の比熱 \(c_{\text{水}} = 4.0 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\)、銅の比熱 \(c_{\text{銅}} = 0.40 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) です。これらの値は一般的な値に近く妥当です。

問3：実験3で使用した金属球の比熱 \(c_{\text{金属}}\)

思考の道筋とポイント

実験3では、高温の金属球が失った熱量が、低温の水と銅製容器が得た熱量に等しいという熱量保存則を用います。水と銅製容器の合計の熱容量は、実験2と同じ条件なので \(C_2 = 900 \, \text{J/K}\) を使います。金属球の比熱を \(c_{\text{金属}}\) とおき、式を立てて解きます。

この設問における重要なポイント

• 熱量保存則: \(Q_{\text{失った}} = Q_{\text{得た}}\)。
• 各熱量を \(Q=C\Delta T\) または \(Q=mc\Delta T\) で計算。
• 実験2の結果 \(C_2\) を活用する。

具体的な解説と立式

熱量保存則: (金属球が失った熱量) = (水と銅製容器が得た熱量)
水と銅製容器が得た熱量: \(Q_{\text{得}} = C_2 (T_{\text{平衡3}} – T_{\text{初3}})\)
金属球が失った熱量: \(Q_{\text{失}} = m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属初}} – T_{\text{平衡3}})\)
よって、\(m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属初}} – T_{\text{平衡3}}) = C_2 (T_{\text{平衡3}} – T_{\text{初3}})\)

値を代入します: \(m_{\text{金属}}=100\,\text{g}\), \(T_{\text{金属初}}=80\,\text{℃}\), \(T_{\text{平衡3}}=17\,\text{℃}\), \(C_2=900\,\text{J/K}\), \(T_{\text{初3}}=10\,\text{℃}\)。
$$100 \times c_{\text{金属}} \times (80 – 17) = 900 \times (17 – 10)$$
$$100 \times c_{\text{金属}} \times 63 = 900 \times 7$$
$$6300 \times c_{\text{金属}} = 6300$$ よって、 $$c_{\text{金属}} = 1.0 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}$$

「金属球が失った熱」＝「水＋容器が得た熱」。
水＋容器が得た熱は、熱容量 \(C_2=900\,\text{J/K}\) で温度が \(10 \to 17 \, \text{℃}\) (\(7\,\text{K}\)上昇) なので \(900 \times 7 = 6300 \, \text{J}\)。
金属球が失った熱は、質量\(100\text{g}\)、比熱\(c_{\text{金属}}\)で温度が \(80 \to 17 \, \text{℃}\) (\(63\,\text{K}\)下降) なので \(100 \times c_{\text{金属}} \times 63 \, \text{J}\)。
よって \(100 \times c_{\text{金属}} \times 63 = 6300\)、ここから \(c_{\text{金属}} = 1.0 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\)。

金属球の比熱は \(c_{\text{金属}} = 1.0 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) です。これは比較的高めの比熱ですが、物質によってはあり得ます。

問4：水熱量計の断熱容器をはずして実験3と同様の実験を行った場合

思考の道筋とポイント

断熱容器を外すと、室温(\(25 \, \text{℃}\))と水熱量計内部の温度(初期\(10 \, \text{℃}\)、平衡時\(17 \, \text{℃}\)付近)との間で熱のやり取りが生じます。内部温度が室温より低いので、外部から熱が流入します。これが最終水温と、計算される比熱にどう影響するかを考察します。

この設問における重要なポイント

• 室温と系内温度差による熱の移動方向の判断。
• 熱の流入が最終温度に与える影響。
• 測定値のずれが計算結果（比熱）にどう影響するかを分析。

具体的な解説と立式（考察）

1. 最終水温の比較:
実験3の平衡温度は \(17 \, \text{℃}\) でした。実験(4)では室温が \(25 \, \text{℃}\) であり、水熱量計内の温度(\(10 \sim 17 \, \text{℃}\)程度)はこれより低いため、外部から熱が流入します。金属球からの熱に加えて外部からも熱が供給されるため、最終水温は実験3の \(17 \, \text{℃}\) よりも高くなります。

2. 計算される金属球の比熱の比較:
実験(4)の最終水温を \(T’_{\text{平衡}} (> 17 \, \text{℃})\) とし、「断熱」と誤って仮定して比熱 \(c’_{\text{金属}}\) を計算すると、
$$c’_{\text{金属}} = \frac{C_2 (T’_{\text{平衡}} – T_{\text{初3}})}{m_{\text{金属}} (T_{\text{金属初}} – T’_{\text{平衡}})}$$
実験3の比熱 \(c_{\text{金属}} = \frac{C_2 (17 – 10)}{m_{\text{金属}} (80 – 17)}\)。
\(T’_{\text{平衡}} > 17 \, \text{℃}\) なので、分子の温度差 \((T’_{\text{平衡}} – 10)\) は \((17-10)=7\) より大きくなります。分母の温度差 \((80 – T’_{\text{平衡}})\) は \((80-17)=63\) より小さくなります。
したがって、分子が大きく、分母が小さくなるため、\(c’_{\text{金属}}\) は実験3で求めた \(c_{\text{金属}}\) よりも大きくなります。

お部屋(\(25 \, \text{℃}\))から、より温度の低い実験装置へ熱が入ってきます。なので、水の最終温度は断熱時(\(17 \, \text{℃}\))より高くなります。この「お部屋からの熱」を無視して、「全ての熱は金属球からもらった」と勘違いして金属球の比熱を計算すると、実際よりも多くの熱を金属球が出したことになり、金属球の比熱は実際より大きく計算されます。

最終的な水温は \(17 \, \text{℃}\) よりも高くなります。この状態で外部との熱の出入りがないと仮定して計算される金属球の比熱は、実験3で得られた値よりも大きくなります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ジュールの法則 (\(Q=Pt\)): 電熱線で消費される電力が熱に変わる際の基本的な関係式。
• 熱量と温度変化 (\(Q=C\Delta T, Q=mc\Delta T\)): 熱量、熱容量、比熱、質量、温度変化の関係。
• 熱容量の加法性 (\(C_{\text{全体}} = \sum C_i\)): 複合的な系の熱容量の扱い。
• 熱量保存則:** 断熱された系内部での熱エネルギーの保存。
• 熱の移動原理:** 熱は高温から低温へ移動。断熱が破れると外部との熱交換が生じる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 電熱線加熱による比熱・熱容量測定。
  • 混合による熱平衡問題。
  • 熱量計の補正（外部との熱交換や熱量計自身の熱容量）。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 断熱条件の有無。
  2. 熱源の種類（電熱線、高温物体など）。
  3. 関係する物体の数とそれぞれの状態量（質量、温度、比熱・熱容量）。
  4. グラフが与えられた場合の読み取りポイント（初期値、変化量、特定点）。
• ヒント・注意点:
  • 温度変化は℃でもKでも差は同じ。
  • 連立方程式は消去しやすい未知数から。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電力(W)と電力量/熱量(J)の混同 (\(Q=Pt\) を忘れずに)。
• 熱容量(\(\text{J/K}\))と比熱(\(\text{J/(g}\cdot\text{K)}\))の混同。
• グラフ読み取りの際の基準点（初期温度）の見落とし。
• 熱量保存則の立式時の温度差の取り方のミス。
• (4)のような考察問題での熱の移動方向の誤認や、それが計算結果に与える影響の論理の飛躍。

対策: 各物理量の定義と単位を正確に覚え、図やメモで状況を整理する。式の導出過程を理解する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. (1)(2): ヒーター、水、容器の関係と熱の流れを簡単に図示。
  2. (3): 金属球、水、容器の初期温度と最終温度、熱の移動方向を図示。
  3. (4): 室温と水熱量計の位置関係、熱の流入方向を矢印で示す。
• 図を描く際の注意点: 各物体の状態量（質量、温度、比熱等）と熱の移動を明確に。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(Q=Pt\): 電熱線からの供給エネルギー計算のため。
• \(Q=C\Delta T\): 物体全体の温度変化と熱量の関係を扱うため。
• \(C = m_{\text{水}}c_{\text{水}} + m_{\text{容器}}c_{\text{容器}}\): 複数の物質が一体となって温度変化する際の全体の熱容量計算のため。
• 熱量保存則: 「断熱容器により外部との熱の出入りはなく」という条件から、系内部のエネルギー保存が成り立つと判断できるため。

これらの選択・適用の根拠を自問自答する訓練が重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 熱容量: \(t, \Delta T\) (グラフ) \(\rightarrow Q=Pt \rightarrow C=Q/\Delta T\)。
2. (2) 比熱: \(C_1, C_2\) から \(c_{\text{水}}, c_{\text{銅}}\) の連立方程式を立てて解く。
3. (3) 未知比熱: 熱量保存則 \(Q_{\text{失}}=Q_{\text{得}}\) に各熱量を代入し \(c_{\text{金属}}\) を解く。
4. (4) 条件変化: 熱の流出入判断 \(\rightarrow\) 最終温度変化 \(\rightarrow\) 計算される比熱への影響。

この論理の流れを意識しましょう。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の一貫性を保つ（特にW, s, J, g, K/℃）。
• 有効数字の指示を守る（最終結果で調整）。
• グラフ読み取りは慎重に、格子点を利用。
• 連立方程式は丁寧に、検算も有効。
• (4)の考察は、段階を踏んで論理的に。

日頃の練習: 途中式を省略せず、単位も書きながら計算する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • (1) \(C_2 > C_1\): 水の量が増えれば熱容量は増える。
  • (2) \(c_{\text{水}} \approx 4.2\), \(c_{\text{銅}} \approx 0.39\): 一般的な値と比較。
  • (3) \(c_{\text{金属}}\) の値が常識的な範囲か。
• (4)の考察の妥当性: 熱が余分に入れば温度は高くなる。その状態で熱源の能力を計算すれば過大評価される。
• 単位確認：最終的な答えの単位が正しいか。
• 極端な場合を考える: もし室温が非常に低かったら？

問題57 (北見工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、物質の状態変化（氷から水へ）と温度変化が混在する熱力学の問題です。ヒーターによって一定の割合で熱が供給され、それによって氷の温度上昇、氷の融解、水の温度上昇という3つの段階が起こります。グラフから各段階にかかる時間を読み取り、熱量計算を行うことが中心となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、物質の三態（固体、液体）間の状態変化（融解）と、各状態における温度変化に必要な熱量を扱います。特に、グラフを用いて各過程の時間と温度変化を正確に把握し、エネルギー保存の観点から問題を解き進めることが重要です。「比熱」「融解熱」「電力と熱量の関係」といった基本的な物理概念の理解が試されます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念の提示:

• 比熱による熱量計算: \(Q = mc\Delta T\)
• 融解熱による熱量計算: \(Q = mL\)
• 電力と発熱量: \(Q = Pt\)

これらの法則を、グラフの各区間に対応させて適用していきます。ヒーターは一定電力であるため、単位時間あたりに供給される熱量は常に同じです。このことを利用して、未知の物理量を段階的に明らかにしていきます。

問1：\(200 \, \text{g}\) の水の温度が \(0 \, \text{℃}\) から \(50 \, \text{℃}\) まで上昇する間に与えられた熱量

思考の道筋とポイント

この設問では、\(0 \, \text{℃}\) の水が \(50 \, \text{℃}\) の水に変わる際の熱量を計算します。状態変化は伴わず、温度変化のみなので、熱量の基本公式 \(Q = mc\Delta T\) を用います。与えられているのは、水の質量 \(m = 200 \, \text{g}\)、水の比熱 \(c_{\text{水}} = 4.2 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\)、温度変化 \(\Delta T = 50 \, \text{℃} – 0 \, \text{℃} = 50 \, \text{K}\) です。

この設問における重要なポイント

• 温度変化のみの場合の熱量計算公式 \(Q = mc\Delta T\) を正しく使うこと。
• 与えられた物理量（質量、比熱、温度変化）を正確に代入すること。

具体的な解説と立式

水 \(200 \, \text{g}\) の温度を \(0 \, \text{℃}\) から \(50 \, \text{℃}\) まで上昇させるのに必要な熱量 \(Q_{\text{水昇温}}\) は、公式 \(Q = mc\Delta T\) を用いて以下のように立式できます。
$$Q_{\text{水昇温}} = m c_{\text{水}} (T_{\text{後}} – T_{\text{初}})$$
ここで、\(m = 200 \, \text{g}\), \(c_{\text{水}} = 4.2 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\), \(T_{\text{後}} = 50 \, \text{℃}\), \(T_{\text{初}} = 0 \, \text{℃}\)。温度変化 \(\Delta T = 50 \, \text{K}\)。

$$Q_{\text{水昇温}} = 200 \, \text{g} \times 4.2 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)} \times (50 \, \text{K} – 0 \, \text{K})$$
$$Q_{\text{水昇温}} = 200 \times 4.2 \times 50 \, \text{J}$$
$$Q_{\text{水昇温}} = 840 \times 50 \, \text{J}$$
$$Q_{\text{水昇温}} = 42000 \, \text{J} = 4.2 \times 10^4 \, \text{J}$$

水 \(200 \, \text{g}\) の温度を \(1 \, \text{℃}\) 上げるのに必要な熱量は \(200 \, \text{g} \times 4.2 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)} = 840 \, \text{J}\) です。今回は \(50 \, \text{℃}\) 上げるので、必要な総熱量は \(840 \, \text{J/K} \times 50 \, \text{K} = 42000 \, \text{J}\) です。

\(200 \, \text{g}\) の水の温度が \(0 \, \text{℃}\) から \(50 \, \text{℃}\) まで上昇する間に与えられた熱量は \(4.2 \times 10^4 \, \text{J}\) です。

問2：ヒーターの電力

思考の道筋とポイント

ヒーターの電力 \(P\) は、単位時間あたりに供給する熱量です。問1で計算した熱量 \(Q_{\text{水昇温}} = 4.2 \times 10^4 \, \text{J}\) は、グラフの \(360\) 秒から \(560\) 秒の間に供給されました。この時間 \(t_3 = 560 \, \text{s} – 360 \, \text{s} = 200 \, \text{s}\) です。\(Q = Pt\) より \(P = Q/t\) で計算します。

この設問における重要なポイント

• 電力 \(P\)、熱量 \(Q\)、時間 \(t\) の関係式 \(Q = Pt\) を理解していること。
• グラフから、特定の熱量が供給された区間の時間を正確に読み取ること。

具体的な解説と立式

電力を \(P \, \text{[W]}\) とします。\(Q_{\text{水昇温}} = 4.2 \times 10^4 \, \text{J}\) を供給するのにかかった時間は \(t_3 = 200 \, \text{s}\) です。
$$P = \frac{Q_{\text{水昇温}}}{t_3}$$

$$P = \frac{4.2 \times 10^4 \, \text{J}}{200 \, \text{s}} = \frac{42000 \, \text{J}}{200 \, \text{s}} = 210 \, \text{J/s} = 210 \, \text{W}$$

ヒーターは \(200\) 秒で水に \(42000 \, \text{J}\) の熱を与えました。\(1\) 秒あたりでは \(42000 \, \text{J} \div 200 \, \text{s} = 210 \, \text{J/s}\) です。\(1 \, \text{J/s} = 1 \, \text{W}\) なので、電力は \(210 \, \text{W}\) です。

ヒーターの電力は \(210 \, \text{W}\) です。

問3：氷の融解熱 \(L\)

思考の道筋とポイント

氷の融解熱 \(L\) は、\(1 \, \text{g}\) の氷を \(0 \, \text{℃}\) の水にするのに必要な熱量です。グラフで温度が \(0 \, \text{℃}\) 一定の区間 (\(40 \sim 360 \, \text{s}\)) が融解に相当します。この時間は \(t_2 = 320 \, \text{s}\)。この間に供給された総熱量 \(Q_{\text{融解総}} = P t_2\) を計算し、\(L = Q_{\text{融解総}}/m\) で求めます。

この設問における重要なポイント

• 融解中は温度が一定であることを理解する。
• グラフから融解時間を正確に読み取る。
• \(Q = mL\) と \(Q = Pt\) を結びつける。

具体的な解説と立式

融解時間 \(t_2 = 360 \, \text{s} – 40 \, \text{s} = 320 \, \text{s}\)。
供給された総熱量 \(Q_{\text{融解総}} = P t_2 = 210 \, \text{W} \times 320 \, \text{s}\)。
氷の質量 \(m = 200 \, \text{g}\)。融解熱を \(L \, \text{[J/g]}\) とすると、\(Q_{\text{融解総}} = m L\)。
$$L = \frac{P t_2}{m}$$

$$Q_{\text{融解総}} = 210 \times 320 = 67200 \, \text{J}$$
$$L = \frac{67200 \, \text{J}}{200 \, \text{g}} = 336 \, \text{J/g}$$

氷が溶けるのに \(320\) 秒かかりました。ヒーターは \(1\) 秒あたり \(210 \, \text{J}\) の熱を出すので、\(320\) 秒で \(210 \times 320 = 67200 \, \text{J}\) の熱が使われました。この熱で \(200 \, \text{g}\) の氷が溶けたので、\(1 \, \text{g}\) あたりでは \(67200 \, \text{J} \div 200 \, \text{g} = 336 \, \text{J/g}\) です。

氷の融解熱は \(L = 336 \, \text{J/g}\) です。水の融解熱の代表値 (\(\sim 334 \, \text{J/g}\)) に近い値です。

問4：氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\) (問題文では \(c_0\))

思考の道筋とポイント

氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\) を求めるには、氷の温度上昇区間 (\(-20 \, \text{℃} \rightarrow 0 \, \text{℃}\)) に着目します。この時間は \(t_1 = 40 \, \text{s}\)。供給された熱量 \(Q_{\text{氷昇温}} = P t_1\) を計算し、\(Q = mc\Delta T\) から \(c_{\text{氷}}\) を求めます。温度変化 \(\Delta T_{\text{氷}} = 0 – (-20) = 20 \, \text{K}\)。

この設問における重要なポイント

• 氷の温度上昇区間をグラフから正しく特定する。
• 供給熱量を \(Q=Pt\) で計算。
• \(Q=mc\Delta T\) を適用し、未知の比熱を求める。

具体的な解説と立式

氷の温度上昇時間 \(t_1 = 40 \, \text{s}\)。供給熱量 \(Q_{\text{氷昇温}} = P t_1 = 210 \, \text{W} \times 40 \, \text{s}\)。
質量 \(m = 200 \, \text{g}\)。温度変化 \(\Delta T_{\text{氷}} = 20 \, \text{K}\)。氷の比熱を \(c_{\text{氷}}\) とすると、\(Q_{\text{氷昇温}} = m c_{\text{氷}} \Delta T_{\text{氷}}\)。
$$c_{\text{氷}} = \frac{P t_1}{m \Delta T_{\text{氷}}}$$

$$Q_{\text{氷昇温}} = 210 \times 40 = 8400 \, \text{J}$$
$$c_{\text{氷}} = \frac{8400 \, \text{J}}{200 \, \text{g} \times 20 \, \text{K}} = \frac{8400}{4000} = 2.1 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}$$

氷の温度を \(-20 \, \text{℃}\) から \(0 \, \text{℃}\) (つまり \(20 \, \text{K}\) 上昇) させるのに \(40\) 秒かかりました。この間にヒーターが供給した熱は \(210 \times 40 = 8400 \, \text{J}\)。この熱で \(200\text{g}\) の氷の温度が \(20\text{K}\) 上がったので、\(c_{\text{氷}} = 8400 / (200 \times 20) = 2.1 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\)。

氷の比熱は \(c_{\text{氷}} = 2.1 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) です。水の比熱(\(4.2\))の半分であり、妥当な値です。

問5：加熱開始 \(120\) 秒後には、この容器の中に氷はいくら残っていたか

思考の道筋とポイント

\(120\) 秒後は、氷の温度上昇が完了(\(40\)秒)し、融解が進行している途中です。融解に使われた時間は \(120 – 40 = 80 \, \text{s}\)。この間に供給された熱量 \(Q_{\text{融解部分}} = P \times 80 \, \text{s}\) で融解した氷の質量 \(m_{\text{融解}} = Q_{\text{融解部分}}/L\) を求め、初期質量から引きます。

この設問における重要なポイント

• 指定時間がどの過程の途中かを判断する。
• 融解に実際に使われた時間を計算する。
• 融解した質量を計算し、残量を求める。

具体的な解説と立式

融解に使われた時間 \(t_{\text{融解部分}} = 120 \, \text{s} – 40 \, \text{s} = 80 \, \text{s}\)。
供給された熱量 \(Q_{\text{融解部分}} = P \times t_{\text{融解部分}} = 210 \, \text{W} \times 80 \, \text{s}\)。
融解した氷の質量 \(m_{\text{融解}}\)。融解熱 \(L = 336 \, \text{J/g}\)。
$$m_{\text{融解}} = \frac{P \times t_{\text{融解部分}}}{L}$$
残っている氷の質量 \(m_{\text{残氷}} = m_{\text{初期氷}} – m_{\text{融解}}\)。

$$Q_{\text{融解部分}} = 210 \times 80 = 16800 \, \text{J}$$
$$m_{\text{融解}} = \frac{16800 \, \text{J}}{336 \, \text{J/g}} = 50 \, \text{g}$$
$$m_{\text{残氷}} = 200 \, \text{g} – 50 \, \text{g} = 150 \, \text{g}$$

\(120\) 秒のうち最初の \(40\) 秒は氷の温度上昇に使われ、残りの \(80\) 秒が融解に使われました。この \(80\) 秒で供給された熱は \(210 \times 80 = 16800 \, \text{J}\)。氷 \(1\text{g}\) を溶かすのに \(336\text{J}\) 必要なので、\(16800\text{J}\) では \(16800/336 = 50\text{g}\) の氷が溶けます。初めに \(200\text{g}\) あったので、残りは \(200-50=150\text{g}\)。

加熱開始 \(120\) 秒後には、氷は \(150 \, \text{g}\) 残っています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱量計算の基本式: 温度変化 \(Q=mc\Delta T\)、状態変化 \(Q=mL\)。
• 電力と熱量の関係 (\(Q=Pt\)): ヒーターからのエネルギー供給量の計算。
• グラフの読解: 温度変化と状態変化の区間を時間軸と対応させる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 氷と水の混合、多段階の状態変化（氷→水→水蒸気など）。
  • グラフから比熱・潜熱を求める問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. グラフの形状（温度上昇区間、温度一定区間）を分析。
  2. 「一定電力」のような条件に注目。
  3. 各過程の時間と関わる物理量を整理。
• ヒント・注意点:
  • 単位（J/g vs J/(g・K)）の区別。
  • 温度変化 \(\Delta T\) の正確な計算。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• グラフ区間の誤認（特に融解時間の計算）。
• 電力 \(P\) を求めるステップを飛ばす。
• 比熱と融解熱の式の混用。
• (5)で融解に使われた正味の時間を間違える。

対策: 各過程を明確に区切り、段階的に計算する。図やメモで情報を整理する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 現象のイメージ: \(-20 \, \text{℃}\)の氷が \(0 \, \text{℃}\)氷 \(\rightarrow\) \(0 \, \text{℃}\)水 \(\rightarrow\) \(50 \, \text{℃}\)水と変化する様子を、エネルギーの出入りと共にイメージする。
• 有効な図: 問題のグラフ自体が最も有効な図。各区間に対応する物理現象（氷昇温、融解、水昇温）と関連する式を書き込むと良い。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(Q=mc\Delta T\): 温度が変化する区間（状態は一定）。
• \(Q=mL\): 状態が変化する区間（温度は一定）。
• \(Q=Pt\): ヒーターからの供給熱量計算。

どの区間でどの現象が起きているかをグラフから判断し、適切な公式を選ぶ。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. グラフ分析（各区間の時間・温度変化）。
2. (1) \(Q_{\text{水昇温}}=mc\Delta T\)。
3. (2) \(P=Q_{\text{水昇温}}/t_3\)。
4. (3) \(Q_{\text{融解総}}=Pt_2 \rightarrow L=Q_{\text{融解総}}/m\)。
5. (4) \(Q_{\text{氷昇温}}=Pt_1 \rightarrow c_{\text{氷}}=Q_{\text{氷昇温}}/(m\Delta T_{\text{氷}})\)。
6. (5) \(t_{\text{融解部分}}\)特定 \(\rightarrow Q_{\text{融解部分}}=Pt_{\text{融解部分}} \rightarrow m_{\text{融解}}=Q_{\text{融解部分}}/L \rightarrow m_{\text{残氷}}\)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を常に意識。
• 有効数字に注意（本問は比較的明確）。
• 途中計算を整理し、値を正確に引き継ぐ。
• 概算での検算。

日頃の練習: 複雑な計算も手順を追って丁寧に行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • 比熱、融解熱が正の値か。
  • 氷の比熱と水の比熱の大小関係が一般的か（氷の方が小さい）。
  • (5)で残氷量が \(0\) 以上 \(200\) 以下か。
• 時間配分の妥当性：グラフから読み取った時間が自然か。

問題58 (北海道大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、気体分子運動論の基礎的な導出過程を理解しているかを問う穴埋め問題です。理想気体を構成する分子のミクロな運動から、圧力や内部エネルギーといったマクロな物理量を導き出す流れを追います。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、気体のマクロな性質（圧力、温度、内部エネルギーなど）を、気体を構成する無数の分子のミクロな運動（並進運動）の立場から説明しようとする「気体分子運動論」の最も基本的な部分を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念の提示:

• 運動量と力積: \(\text{力積} = \text{運動量の変化}\)。壁が分子に及ぼす力積と、分子が壁に及ぼす力積は作用・反作用の関係。
• 弾性衝突: 理想気体の分子と壁との衝突は弾性衝突。
• 平均の概念: 多数の分子の運動を扱うため、速度の2乗平均値などを用いる。
• 圧力の定義: 圧力 \(=\) 単位面積あたりの力 (\(P = F/S\))。
• 分子運動の等方性: \(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\)。
• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\)。
• 絶対温度と内部エネルギー: 温度は分子の平均運動エネルギーの尺度。単原子分子理想気体の内部エネルギーは全分子の運動エネルギーの総和。

設問 (1)

思考の道筋とポイント

分子が壁 W に速度成分 \(v_x\) で弾性衝突し、\(-v_x\) で跳ね返ります。分子が壁から受ける力積は運動量の変化に等しく、分子が壁に与える力積はその反作用です。

この設問における重要なポイント

• 力積と運動量の変化の関係。
• 弾性衝突の性質。
• 作用・反作用の法則。

具体的な解説と立式

衝突前の \(x\) 方向の運動量 \(p_{x, \text{前}} = mv_x\)。衝突後は \(p_{x, \text{後}} = -mv_x\)。
分子が壁 W から受けた力積 \(I_{\text{分子受}} = p_{x, \text{後}} – p_{x, \text{前}} = -mv_x – mv_x = -2mv_x\)。
分子が壁 W に与える力積 \(I_{\text{壁受}} = -I_{\text{分子受}} = 2mv_x\)。

設問 (2)

思考の道筋とポイント

分子は壁 W と衝突後、往復距離 \(2L\) を進んで再び壁 W に衝突します。\(x\) 方向の速さ \(v_x\) でこの距離を進むのにかかる時間は \(\Delta t’ = 2L/v_x\)。時間 \(t\) の間の衝突回数は \(t/\Delta t’\) です。

この設問における重要なポイント

• 往復距離が \(2L\) であること。
• 時間 \(=\) 距離 \(\div\) 速さ。

具体的な解説と立式

1回の衝突から次の衝突までの時間 \(\Delta t’ = \frac{2L}{v_x}\)。
時間 \(t\) の間の衝突回数 \(N_{\text{回}} = \frac{t}{\Delta t’} = \frac{t}{2L/v_x} = \frac{v_x t}{2L}\)。

設問 (3)

思考の道筋とポイント

時間 \(t\) の間に壁 W に与える総力積は、(1)の1回あたりの力積と(2)の衝突回数の積です。

この設問における重要なポイント

• 総力積 \(=\) 1回あたりの力積 \(\times\) 衝突回数。

具体的な解説と立式

総力積 \(I_{\text{総}} = (2mv_x) \times \left(\frac{v_x t}{2L}\right) = \frac{mv_x^2 t}{L}\)。

設問 (4)

思考の道筋とポイント

1個の分子が時間 \(t\) に与える平均力積は \(\frac{m\overline{v_x^2}t}{L}\)。全分子 \(N\) 個では \(N\) 倍。力積 \(=\) 力 \(\times\) 時間 (\(Ft\)) の関係から力 \(F\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 平均値 \(\overline{v_x^2}\) の使用。
• 全分子 \(N\) 個の効果。
• 力積 \(=\) 力 \(\times\) 時間。

具体的な解説と立式

全分子 \(N\) 個が時間 \(t\) に与える総力積 \(I_{\text{全分子}} = N \cdot \frac{m\overline{v_x^2}t}{L}\)。
力 \(F\) とすると \(Ft = N \frac{m\overline{v_x^2}t}{L}\)。よって \(F = N \frac{m\overline{v_x^2}}{L}\)。

設問 (5)

思考の道筋とポイント

圧力 \(P = F/S = F/L^2\)。(4)の \(F\) を代入。分子運動の等方性より \(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) を用いて式を変形します。

この設問における重要なポイント

• 圧力の定義 \(P = F/S\)。
• 分子運動の等方性。
• \(\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}\) の関係。

具体的な解説と立式

$$P = \frac{F}{L^2} = \frac{N \frac{m\overline{v_x^2}}{L}}{L^2} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L^3}$$
\(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) を代入すると、
$$P = \frac{Nm}{L^3} \left(\frac{1}{3}\overline{v^2}\right) = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}$$

設問 (6)

思考の道筋とポイント

理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) に、\(n = N/N_A\) と \(V = L^3\) を代入します。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式。
• 物質量 \(n\)、分子数 \(N\)、アボガドロ定数 \(N_A\) の関係。

具体的な解説と立式

$$PV = nRT$$
$$P(L^3) = \left(\frac{N}{N_A}\right)RT$$

設問 (7)

思考の道筋とポイント

(5)の \(PL^3 = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}\) と (6)の \(PL^3 = \frac{N}{N_A}RT\) を等しいとおき、\(\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) の形を導きます。

この設問における重要なポイント

• 分子運動論からの圧力表現と状態方程式の結合。
• 式変形による目標の形の導出。

具体的な解説と立式

$$\frac{1}{3}Nm\overline{v^2} = \frac{N}{N_A}RT$$
\(N\) を消去し、両辺に \(\frac{3}{2}\) を掛けると、
$$\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3RT}{2N_A}$$

設問 (8)

思考の道筋とポイント

単原子分子理想気体の内部エネルギー \(U\) は、全分子 \(N\) 個の並進運動エネルギーの総和です。(7)の結果に \(N\) を掛けます。

この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの定義。
• 分子1個の平均運動エネルギーと全エネルギーの関係。

具体的な解説と立式

$$U = N \times \left(\frac{1}{2}m\overline{v^2}\right) = N \cdot \frac{3RT}{2N_A}$$
\(n = N/N_A\) を用いると、\(U = \frac{3}{2}nRT\) とも書けます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 気体分子運動論の基本仮定と導出プロセス: 分子の弾性衝突から圧力を導き、状態方程式と結びつけて温度と内部エネルギーを議論する流れ。
• 力積と運動量: 壁との衝突における力積 \(2mv_x\)。
• 平均操作と等方性: \(\overline{v_x^2}\), \(\overline{v^2}\) の関係 (\(\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}\))。
• 圧力の微視的表現: \(P = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}\)。
• 絶対温度と分子の平均運動エネルギー: \(\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3RT}{2N_A} = \frac{3}{2}k_B T\)。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT\)。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 状態方程式の導出、比熱の分子論的考察、分子の速さの計算など。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 「理想気体」「分子運動」などのキーワード。
  2. 問われている物理量と与えられた記号の確認。
  3. 1分子の運動から全分子の集団へ、ミクロからマクロへの論理展開を意識する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力積の向きや係数、衝突回数の計算（往復距離 \(2L\)）。
• \(\overline{v_x^2}\) と \(\overline{v^2}\) の関係の混同。
• \(N\)（分子数）と \(n\)（物質量）の使い分け。
• 内部エネルギーの係数（単原子分子なら \(3/2\)）。

対策: 各ステップの物理的意味を理解し、記号の定義を明確にする。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 現象のイメージ: 多数の分子が容器内を飛び回り壁に衝突する様子、温度上昇で運動が激しくなるイメージを持つ。
• 有効な図: 1分子の壁への衝突（速度変化）、立方体容器と座標軸。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(I = \Delta p\): 衝突による力の作用を運動量の変化から捉える。
• \(P = F/S\): 壁が受ける力から圧力を定義する。
• \(\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}\): 分子運動の等方性を数式で表現。
• \(PV=nRT\): マクロな状態量間の関係をミクロな理論と結びつける。
• \(U = N \times (\text{平均運動エネルギー})\): 単原子分子の内部エネルギーの定義。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

本問題は、(1) 1分子の1回衝突の力積 \(\rightarrow\) (2) 衝突回数 \(\rightarrow\) (3) 1分子の総力積 \(\rightarrow\) (4) 全分子による力 \(\rightarrow\) (5) 圧力 \(\rightarrow\) (6) 状態方程式の確認 \(\rightarrow\) (7) 平均運動エネルギーと温度の関係 \(\rightarrow\) (8) 内部エネルギー、という気体分子運動論の基本展開そのものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 記号の意味を正確に把握。
• 平均の扱い（バーの有無）を意識。
• 係数 (1/2, 1/3, 3/2 など) の由来を理解。
• 丁寧な式変形。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 導出された式の物理的意味（何に比例し何に反比例するかなど）を考える。
• 単位（次元）の一貫性を確認。
• 既知の公式と照合する。

問題59 (神奈川大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、容器に閉じ込めた理想気体が、P-Vグラフに示されたA→B→C→D→E→Aという一連の状態変化（サイクル）を経る際の、仕事、内部エネルギー、温度、熱の授受、そして分子の運動エネルギーに関する理解を問うものです。特に、過程B→Cが「断熱変化」、過程E→Aが「等温変化」という条件が重要になります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、理想気体の状態変化と熱力学第一法則の理解を深めるための良問です。P-Vグラフの読み取りと、それぞれの熱力学過程（定積、定圧、等温、断熱）の特性を正確に把握することが鍵となります。
以下に、問題を解く上で特に重要となる物理法則や概念をまとめます。

• 熱力学第一法則: 気体の内部エネルギーの変化を \(\Delta U\)、気体が吸収した熱量を \(Q\)、気体が外部からされた仕事を \(W\) とすると、\(\Delta U = Q + W\) が成り立ちます。この \(W\) の定義は「された仕事」であることに注意してください。
• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\) は、圧力\(P\)、体積\(V\)、絶対温度\(T\)の間の関係を示します（\(n\)はモル数、\(R\)は気体定数）。
• 理想気体の内部エネルギー: \(U = nC_V T\) （\(C_V\)は定積モル比熱）と表され、絶対温度\(T\)にのみ比例します。温度が上がれば内部エネルギーは増加し、逆もまた同様です。
• 仕事 \(W\):
  • P-Vグラフにおいて、状態変化の曲線とV軸で囲まれた面積が仕事の大きさを表します。
  • 体積が増加（膨張）する場合、気体は外部に仕事をするため、された仕事 \(W\) は負になります。
  • 体積が減少（圧縮）する場合、気体は外部から仕事をされるため、された仕事 \(W\) は正になります。
  • 体積が一定（定積変化）の場合、仕事はゼロです（\(W=0\)）。
• 各過程の重要な特徴:
  • 定積変化 (\(V\) 一定) の場合、\(W=0\) となります。よって熱力学第一法則は \(\Delta U = Q\) となります。
  • 定圧変化 (\(P\) 一定) の場合、された仕事 \(W = -P\Delta V\) であり、吸収熱量 \(Q = nC_P\Delta T\) (\(C_P\) は定圧モル比熱) です。
  • 等温変化 (\(T\) 一定) の場合、内部エネルギー変化 \(\Delta U = 0\) となります。よって熱力学第一法則は \(Q = -W\) となります。
  • 断熱変化 (\(Q=0\)) の場合、熱力学第一法則は \(\Delta U = W\) となります。

全体的な戦略としては、まず各設問で指定された過程がP-Vグラフからどのタイプの変化（定積、定圧、等温、断熱）に該当するかを特定します。次に、その変化の特性と熱力学第一法則、状態方程式を組み合わせて、問われている物理量の変化（増加・減少・不変や、正・負・ゼロ）を論理的に導き出します。

問1

思考の道筋とポイント
過程A→Bについて、P-Vグラフから体積がどのように変化しているかを確認します。体積が減少していれば気体は「仕事をされ」、体積が増加していれば「仕事をし」、体積が一定なら「仕事をしない」と判断します。

この設問における重要なポイント

• P-Vグラフ上で、過程が左に進む（体積 \(V\) が減少する）場合、気体は外部から仕事をされます。
• P-Vグラフ上で、過程が右に進む（体積 \(V\) が増加する）場合、気体は外部へ仕事をします。

具体的な解説と立式
P-Vグラフを見ると、過程A→Bでは圧力 \(P\) が \(P_A\) で一定のまま、体積が \(V_A\) から \(V_B\) へと減少しています（図から \(V_B < V_A\)）。これは気体が外部から押されて圧縮されたことを意味します。
気体が圧縮されるとき、外部から仕事をされます。この定圧過程で気体がされた仕事 \(W\) は、体積変化を \(\Delta V = V_B – V_A\) とすると、
$$W = -P_A \Delta V = -P_A (V_B – V_A)$$
と表されます。ここで、\(V_B < V_A\) なので、体積変化 \((V_B – V_A)\) は負の値です。
したがって、
$$W = -P_A \times (\text{負の値})$$
圧力 \(P_A\) は正なので、\(-P_A\) は負です。よって、\(W = (\text{負}) \times (\text{負}) = \text{正}\) となり、気体がされた仕事 \(W\) は正の値をとります。

この設問では具体的な数値を求める必要はなく、仕事の向き（されたか、したか）を判断します。
過程A→Bでは体積が \(V_A\) から \(V_B\) へと減少しています。
つまり、\(\Delta V = V_B – V_A < 0\)。 気体がされた仕事は \(W = -P_A \Delta V\)。 \(P_A > 0\) なので \(-P_A < 0\)。
したがって、\(W = (\text{負}) \times (\text{負}) = \text{正}\)。
された仕事が正であるため、気体は「仕事をされた」ことになります。

グラフのA点からB点へ目を移すと、横軸の体積 \(V\) が減っていますね。これは、まるでピストンが気体を押して縮めたような状況を想像できます。気体の立場からすると、外部から押されたわけですから、「仕事をされた」ということになります。

過程A→Bは定圧圧縮であり、気体は外部から仕事をされます。したがって、選択肢（イ）が正解です。

問2

思考の道筋とポイント
過程B→Cは問題文で「断熱過程」と指定されています。P-Vグラフから、この過程で体積が増加している（膨張している）ことを読み取ります。断熱膨張が気体の内部エネルギーにどのような影響を与えるかを考えます。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) の適用も有効です。

この設問における重要なポイント

• 断熱変化では、定義により外部との熱のやり取りがありません (\(Q=0\))。
• 断熱膨張（体積が増加）する場合、気体は外部に仕事をします。この仕事をするためのエネルギーは、熱の供給がないため内部エネルギーから賄われます。その結果、内部エネルギーは減少し、温度も低下します。
• 逆に、断熱圧縮（体積が減少）する場合、外部から仕事をされ、それが内部エネルギーの増加と温度上昇に繋がります。
• 理想気体の内部エネルギーは絶対温度に比例します (\(U \propto T\))。

具体的な解説と立式
過程B→Cは断熱変化です。P-Vグラフから、点Bから点Cへ体積は \(V_B\) から \(V_C\) へと増加しており（\(V_C > V_B\)）、これは「断熱膨張」であることを示しています。

**解法1：断熱変化の性質から考察**
気体が断熱的に膨張するとき、外部に対して仕事（気体がした仕事 \(W_{\text{した}} > 0\)）をします。外部からの熱の供給（\(Q\)）はゼロなので、この仕事をするためのエネルギーは気体自身の内部エネルギー \(U\) から使われるしかありません。その結果、気体の内部エネルギー \(U\) は減少し、それに伴い絶対温度 \(T\) も低下します。

**解法2：熱力学第一法則からの考察**
熱力学第一法則は \(\Delta U = Q + W\) と表されます（ここで \(W\) は気体がされた仕事）。
過程B→Cは断熱変化なので、気体が吸収または放出する熱量 \(Q=0\) です。
気体は膨張しているので、外部に仕事をします。気体が外部にした仕事を \(W_{\text{した}}\) (\(W_{\text{した}} > 0\)) とすると、気体がされた仕事 \(W\) は \(W = -W_{\text{した}}\) となり、これは負の値 (\(W < 0\)) です。
これらを熱力学第一法則の式に代入すると、
$$\Delta U = 0 + W = W$$
\(W < 0\) であることから、\(\Delta U < 0\) となります。
内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) が負であるということは、内部エネルギーが減少したことを意味します。

上記の解説の通り、熱力学第一法則から \(\Delta U = W\)。
断熱膨張なので、気体は外部に仕事をし、された仕事 \(W\) は負 (\(W<0\))。
したがって、\(\Delta U < 0\)。
これは内部エネルギーが減少したことを示します。

断熱状態で、例えばタイヤの空気が急に抜けるときを想像してみてください。空気は外部に押し出す仕事をしたのに、周りから熱をもらう暇がありません。そうすると、空気自身が持っていたエネルギー（内部エネルギー）を使って仕事をするしかないので、空気のエネルギーは減り、温度も下がります（バルブが冷たくなる現象）。エネルギーが減るということは、内部エネルギーが減少するということです。

過程B→Cは断熱膨張であり、気体の内部エネルギーは減少します。したがって、選択肢（ロ）が正解です。

問3

思考の道筋とポイント
過程C→Dに注目します。P-Vグラフから、この過程では体積が一定のまま圧力が上昇していることが読み取れます。これは「定積変化」です。体積一定の条件で圧力が上昇した場合、温度はどのように変化するかを、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を用いて考えます。

この設問における重要なポイント

• 定積変化 (\(V=\text{一定}\)) の場合、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、圧力 \(P\) は絶対温度 \(T\) に正比例します (\(P \propto T\))。
• P-Vグラフ上で、同じ体積の位置で比較したとき、圧力が高い点ほど温度も高くなります。これは、問題の図bに示されているように、高温の等温線ほどグラフの右上に位置することからも理解できます。

具体的な解説と立式
P-Vグラフを詳細に見ると、過程C→Dでは、体積が \(V_C\) で一定（つまり \(V_D = V_C\)）のまま、圧力が点Cの \(P_C\) から点Dの \(P_D\) へと上昇しています（図から \(P_D > P_C\)）。これは「定積変化」（具体的には定積加熱）です。

理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を考えましょう。
気体のモル数 \(n\) と気体定数 \(R\) は一定です。過程C→Dでは体積 \(V\) も一定値 \(V_C\) をとるので、状態方程式は
$$P = \left(\frac{nR}{V_C}\right) T$$
と変形できます。この式の括弧 \(\left(\frac{nR}{V_C}\right)\) の部分は定数となるため、圧力 \(P\) は絶対温度 \(T\) に正比例することがわかります。
過程C→Dにおいて圧力 \(P\) が \(P_C\) から \(P_D\) へと上昇しているので、それに伴い絶対温度 \(T\) も \(T_C\) から \(T_D\) へと上昇しているはずです（つまり \(T_D > T_C\)）。

問題の図bには等温線が描かれており、右上に位置する等温線ほど高温であることを示しています。点Cと点Dは同じ体積 \(V_C (=V_D)\) 上にあり、点Dの方が点Cよりも圧力が高くなっています。これは、点Dが点Cよりも高温の等温線（またはより高温の領域）に位置することを意味しており、温度が上昇したと考えられます。

状態方程式 \(PV=nRT\) において、\(V\)（体積）、\(n\)（モル数）、\(R\)（気体定数）が一定なので、\(P \propto T\)（圧力は絶対温度に比例）という関係が成り立ちます。
P-Vグラフから \(P_C < P_D\) であることが読み取れるので、この比例関係から \(T_C < T_D\) であることがわかります。
したがって、温度は上昇します。

体積が変わらない密閉された容器（例えばスプレー缶のようなもの）の中で気体を温めると、中の気体分子の動きが活発になり、容器の壁をより強く、より頻繁に叩くようになります。その結果、容器内部の圧力は上昇しますよね。逆に言えば、体積一定のまま圧力が上がったということは、気体の温度が上昇したと考えることができます。

過程C→Dは定積加熱であり、気体の温度は上昇します。したがって、選択肢（イ）が正解です。

問4

思考の道筋とポイント
過程D→EについてP-Vグラフを確認します。圧力が一定のまま体積が増加しており、これは「定圧膨張」です。（模範解答ではこの過程を「定積変化」としていますが、図から明らかに定圧変化なので、ここでは正しく定圧変化として解説します。）定圧膨張において気体が熱を吸収するのか放出するのかを、熱力学第一法則や定圧変化における熱量の式を用いて判断します。

この設問における重要なポイント

• P-Vグラフから、過程D→Eが「定圧膨張」であることを正確に読み取ること。
• 定圧膨張の場合、一般に温度は上昇します。なぜなら、状態方程式 \(PV=nRT\) において、圧力 \(P\)が一定で体積 \(V\)が増加すれば、絶対温度 \(T\)も増加するためです。
• 温度が上昇すれば、理想気体の内部エネルギーは増加します (\(\Delta U > 0\))。
• 体積が増加（膨張）すれば、気体は外部に仕事をします（した仕事 \(W_{\text{した}} > 0\)）。このとき、された仕事 \(W\) は負になります (\(W < 0\))。
• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) を \(Q = \Delta U – W\) と変形し、\(\Delta U > 0\) かつ \(W < 0\) であれば \(Q > 0\) となり、気体が熱を吸収したことを意味します。
• あるいは、定圧変化で気体が吸収する熱量 \(Q\) は、定圧モル比熱 \(C_P\) を用いて \(Q = nC_P \Delta T\) と表すことができます。温度が上昇すれば \(\Delta T > 0\) なので、\(Q > 0\) となります。

具体的な解説と立式
P-Vグラフを見ると、過程D→Eでは、圧力 \(P\) が \(P_D\) で一定（つまり \(P_E = P_D\)）のまま、体積が \(V_D\) から \(V_E\) へと増加しています（図から \(V_E > V_D\)）。これは「定圧膨張」です。

まず、この過程での温度変化を考えます。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、圧力 \(P\) が一定なので \(V = \frac{nR}{P}T\) と書けます。これは、体積 \(V\) が絶対温度 \(T\) に正比例することを示しています。
過程D→Eで体積 \(V\) が \(V_D\) から \(V_E\) へと増加しているので、絶対温度 \(T\) も \(T_D\) から \(T_E\) へと上昇しているはずです（つまり \(T_E > T_D\)）。

次に、熱の出入りを熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) から考えます。この式を \(Q\) について解くと \(Q = \Delta U – W\) となります。
1. 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\):
温度が上昇したので (\(T_E > T_D\))、理想気体の内部エネルギー \(U = nC_V T\) は増加します。つまり、\(\Delta U = U_E – U_D = nC_V (T_E – T_D)\) は正の値 (\(\Delta U > 0\)) です。
2. 気体がされた仕事 \(W\):
定圧膨張なので、気体は外部に仕事をします。気体がした仕事 \(W_{\text{した}}\) の大きさは \(P_D (V_E – V_D)\) です。\(V_E > V_D\) なので \(W_{\text{した}} > 0\)。
気体がされた仕事 \(W\) は、その符号が逆になり \(W = -W_{\text{した}} = -P_D (V_E – V_D)\) となるため、負の値 (\(W < 0\)) です。 これらの結果を \(Q = \Delta U – W\) に代入すると、\(\Delta U\) は正、\(W\) は負なので、\(-W\) は正となります。 $$Q = (\text{正の値}) – (\text{負の値}) = (\text{正の値}) + (\text{正の値})$$ したがって、\(Q\) は正の値となり (\(Q > 0\))、これは気体が外部から熱を吸収したことを意味します。

別解：定圧モル比熱 \(C_P\) を用いる方法
定圧変化において気体が吸収（または放出）する熱量 \(Q\) は、定圧モル比熱 \(C_P\) を用いて次のように表すことができます。
$$Q = nC_P \Delta T = nC_P (T_E – T_D)$$
先ほど確認したように、過程D→Eでは温度が上昇するので、温度変化 \(\Delta T = T_E – T_D\) は正です。
モル数 \(n\) および定圧モル比熱 \(C_P\) は常に正の値なので、\(Q = nC_P \Delta T\) も正の値 (\(Q > 0\)) となります。
したがって、気体は熱を吸収したことになります。

上記の解説の通り、温度変化 \(\Delta T = T_E – T_D > 0\) であるため、内部エネルギー変化 \(\Delta U > 0\)。
また、膨張であるため、された仕事 \(W < 0\)。 熱力学第一法則から \(Q = \Delta U – W\)。\(\Delta U\)が正で、\(-W\)も正なので、\(Q\)は正。 あるいは、\(Q = nC_P \Delta T\) で \(\Delta T > 0\) なので \(Q > 0\)。
したがって、気体は熱を吸収します。

ピストンが付いたシリンダーを想像してください。ピストンの上におもりを乗せて圧力を一定に保ったまま、シリンダーを下から加熱すると、中の気体は温められて膨張しますね。このとき、気体は外部から熱を「吸収」しています。この問題のD→Eの過程も、これと同じような状況（定圧膨張）と考えることができます。

過程D→Eは定圧膨張であり、気体は熱を吸収します。したがって、選択肢（ロ）が正解です。
（模範解答がこの過程を「定積変化」と記述しているのは図と矛盾しますが、結論である「熱を吸収した」という点は一致しています。）

問5

思考の道筋とポイント
過程E→Aは問題文で「等温変化」と指定されています。気体分子1個当たりの平均運動エネルギーが絶対温度 \(T\) とどのような関係にあるかを思い出せば、答えは自ずと明らかになります。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の分子1個当たりの平均運動エネルギー \(\bar{K}\) は、絶対温度 \(T\) にのみ比例します。具体的には、\(\bar{K} = \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT\) と表されます（ここで \(k\) はボルツマン定数、\(m\) は分子1個の質量、\(\overline{v^2}\) は分子の速度の二乗平均）。
• 等温変化では、その名の通り、絶対温度 \(T\) が一定に保たれます。

具体的な解説と立式
理想気体の分子1個当たりの平均運動エネルギー \(\bar{K}\) は、その気体の絶対温度 \(T\) を用いて、
$$\bar{K} = \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT$$
と表すことができます。ここで、\(k\) はボルツマン定数であり、普遍的な定数です。
この関係式からわかるように、分子1個当たりの平均運動エネルギーは、絶対温度 \(T\) に正比例します。

問題文によると、過程E→Aは「等温変化」です。等温変化の定義は、絶対温度 \(T\) が一定に保たれる変化であるということです。
したがって、過程E→Aの間、絶対温度 \(T\) は一定です。絶対温度 \(T\) が一定であれば、それに比例する分子1個当たりの平均運動エネルギー \(\bar{K}\) もまた一定で変わりません。

過程E→Aは等温変化なので、\(T_E = T_A\)（温度は一定）。
分子の平均運動エネルギー \(\bar{K}\) は \(T\) に比例するため、\(\bar{K}_{\text{E点}} = \bar{K}_{\text{A点}}\)。
したがって、気体分子1個当たりの運動エネルギーは変わりません。

気体の中の分子たちがどれくらい元気に動き回っているか（平均運動エネルギー）は、その気体の「温度」で決まります。温度が高いほど分子は元気に、温度が低いほどおとなしくなります。「等温変化」というのは、温度がずっと同じまま変化するということ。だから、分子たちの元気の度合いも変わらない、ということですね。

過程E→Aは等温変化であるため、気体分子1個当たりの運動エネルギーは変わりません。したがって、選択肢（ハ）が正解です。

問6

思考の道筋とポイント
1サイクルABCDEAにおいて気体が外部にした正味の仕事を考えます。P-Vグラフ上で、サイクルが囲む閉じたループの面積が、1サイクルあたりに気体がする（またはされる）正味の仕事の「大きさ」を表します。そして、その仕事の「符号」（した仕事が正か負か）は、サイクルの回転方向によって決まります。

この設問における重要なポイント

• P-Vグラフ上で熱力学サイクルが描く閉じたループの内部の面積は、1サイクルあたりに気体が外部にする（または外部からされる）正味の仕事の大きさに相当します。
• サイクルの回転方向が、仕事の符号を決定します：
  • サイクルが時計回りの場合：気体は1サイクルで外部に対して正味の正の仕事をします（\(W_{\text{した}} > 0\)）。これは熱機関（エンジンなど）の動作に相当します。
  • サイクルが反時計回りの場合：気体は1サイクルで外部から正味の正の仕事をされます。つまり、気体が外部にした仕事は負になります（\(W_{\text{した}} < 0\)）。これは冷凍機やヒートポンプの動作に相当します。

具体的な解説と立式
P-Vグラフに描かれたサイクルABCDEAの全体の形状と進行方向を確認します。
A→B：体積減少（グラフは左へ）
B→C：体積増加（グラフは右へ）
C→D：体積一定（グラフは上へ）
D→E：体積増加（グラフは右へ）
E→A：体積減少（グラフは左へ）

このサイクルの進行方向をP-Vグラフ上で追っていくと、A→B→C→D→E→Aという経路は、全体として**反時計回り**のループを描いていることがわかります。

P-Vグラフにおいて、

• 膨張する過程（B→C や D→E）では、気体は外部に正の仕事をします。これらの仕事の合計は、膨張部分の曲線とV軸で囲まれた面積の和に相当します。
• 圧縮される過程（A→B や E→A）では、気体は外部から仕事をされます（つまり、した仕事は負）。これらのされた仕事の大きさの合計は、圧縮部分の曲線とV軸で囲まれた面積の和に相当します。

1サイクルで気体が外部にした正味の仕事 \(W_{\text{サイクル}}\) は、サイクルがP-Vグラフ上で囲む閉じたループの面積の大きさに等しく、その符号はサイクルの回転方向で決まります。
このサイクルは反時計回りなので、圧縮時に気体がされる仕事の総量（面積で考えた絶対値）が、膨張時に気体がする仕事の総量（面積で考えた絶対値）よりも大きくなります。その結果、1サイクル全体で見ると、気体は外部から正味の仕事をされることになります。
つまり、気体が外部から「された仕事」は正（\(W_{\text{された, サイクル}} > 0\)）であり、設問で問われている気体が外部に「した仕事」は負（\(W_{\text{した, サイクル}} < 0\)）となります。

模範解答の図と説明にある「1サイクルでは赤色部分がされた仕事として残る。よって、した仕事は負となる。」という記述は、この解釈と一致します。「赤色部分」とは、サイクルがP-Vグラフ上で囲むループの面積を指していると考えられます。

この設問では、具体的な面積計算は不要です。サイクルの回転方向から仕事の符号を判断します。
サイクルABCDEAは、P-Vグラフ上で反時計回りに進行しています。
したがって、気体が1サイクルで外部にした仕事は負となります。

P-Vグラフで、気体の状態がぐるっと一周して元に戻るようなサイクルの場合、そのループが「時計回り」なら、気体は全体として外部にプラスの仕事をしたことになります（エンジンのようにエネルギーを生み出すイメージ）。逆に、「反時計回り」なら、気体は全体として外部から仕事をされたことになり、した仕事はマイナスになります（冷蔵庫のコンプレッサーのように外部からエネルギーを必要とするイメージ）。この問題のグラフのサイクルは、よーく矢印を追っていくと反時計回りですね。だから、気体が「した」仕事は負（マイナス）になるんです。

1サイクルABCDEAにおいて、気体が外部にした仕事は負です。したがって、選択肢（ハ）が正解です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q + W\)): この法則は、気体の内部エネルギー変化 \(\Delta U\)、吸収熱量 \(Q\)、された仕事 \(W\) の間の普遍的な関係を示し、熱力学の問題解決における羅針盤となります。各項の符号の定義（特に \(W\) を「された仕事」とするか「した仕事」とするか）を明確にすることが重要です。
• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 圧力、体積、温度という気体の状態を表す3つの基本量の間の関係を記述し、未知の状態量を求めたり、変化の方向性を予測したりするのに不可欠です。
• 理想気体の内部エネルギー (\(U \propto T\)): 内部エネルギーが絶対温度のみに依存するという事実は、特に等温変化 (このとき \(\Delta U=0\)) や断熱変化の考察で重要となります。
• P-Vグラフの解釈: グラフの形状から各過程（定積、定圧、等温、断熱）を特定する能力、グラフ上の面積が仕事の大きさを表すこと、そしてサイクルの回転方向が正味の仕事の符号を示すことを理解することが、この種の問題を解く上での鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • この問題で用いた考え方や法則は、カルノーサイクル、オットーサイクル、ディーゼルサイクル、スターリングサイクルといった他の様々な熱力学サイクル問題に応用可能です。
  • また、サイクルだけでなく、単一の熱力学過程（例えば、断熱圧縮だけを取り出して問う問題など）の解析にもそのまま使えます。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 気体の種類は何か？: 問題文に「理想気体」とあるか、さらに「単原子分子」などの指定があるかを確認します（内部エネルギーの具体的な形や比熱比に関わるため）。
  2. どのような熱力学過程か？: P-Vグラフ、T-Vグラフ、P-Tグラフなどの状態図が与えられている場合はそれを詳細に読み解きます。あるいは、問題文中に「定積」「定圧」「等温」「断熱」といったキーワードがないか探します。これらが組み合わさったサイクルである場合が多いです。
  3. 初期状態と最終状態（またはサイクルの各点の状態）は？: 圧力 \(P\)、体積 \(V\)、絶対温度 \(T\) のうち、どの物理量が既知で、何を求めたいのかを明確にします。
  4. 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q + W\)) をどの場面で、どのように活用するか？: 各過程の特性（例：断熱であれば \(Q=0\)、等温であれば \(\Delta U=0\)、定積であれば \(W=0\)）を法則に代入することで、未知の量を求める手がかりが得られます。
  5. 仕事 \(W\) の計算方法を考える: P-Vグラフが与えられていれば、面積の計算を意識します。定義式（例：定圧変化なら \(W = -P\Delta V\)）を用いることもあります。膨張か圧縮かで仕事の符号が変わることに注意が必要です。膨張の場合、気体がした仕事 \(W_{\text{した}}\) は正であり、気体がされた仕事 \(W\) は負となります。圧縮の場合はこの逆です。
  6. 内部エネルギー変化 \(\Delta U\) の計算方法を考える: \(\Delta U = nC_V \Delta T\) が基本です。温度変化が分かれば計算できます。
  7. 熱量 \(Q\) の計算方法を考える: まずは熱力学第一法則から \(Q = \Delta U – W\) と変形して求めるのが一般的です。特定の過程（定積変化や定圧変化）であれば、モル比熱を用いた式（\(Q = nC_V \Delta T\) や \(Q = nC_P \Delta T\)）も使えます。
• ヒント・特に注意すべき点:
  • 問題解決の第一歩は、与えられたP-Vグラフ（または他の状態図）を丁寧に分析し、A→B、B→Cといった各過程がどの種類の熱力学変化に対応するのかを正確に特定することです。
  • 「気体がした仕事」なのか「気体がされた仕事」なのか、また熱は「吸収」なのか「放出」なのか、といった符号の扱いは特に慎重に行う必要があります。定義を一貫させることが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事 \(W\) の符号の混乱: 熱力学第一法則で用いる仕事 \(W\) を「気体がした仕事」とするか「気体がされた仕事」とするかで、式の形や \(W\) の符号の解釈が異なります。教科書や問題集によって定義が異なる場合があるので、自分がどちらの定義で考えているかを常に意識し、一貫させることが極めて重要です。
  • 対策: 問題を解き始める前に、\(W\) の定義を自分の中で明確にし、それに合わせて熱力学第一法則の式を使う。
• 断熱変化と等温変化のグラフ上での混同: P-Vグラフにおいて、断熱変化の曲線と等温変化の曲線はどちらも右肩下がり（または左肩上がり）の曲線として描かれますが、一般に同じ点を通る場合、断熱変化の曲線の方が等温変化の曲線よりも傾きが急になります。それぞれの物理的な条件（断熱は \(Q=0\)、等温は \(T=\text{一定}\) かつ \(\Delta U=0\)）を正確に記憶し、区別できるようにしておく必要があります。
  • 対策: 代表的なP-Vグラフ（等温線と断熱線が描かれたもの）をよく見て、形状の違いを視覚的に覚えておく。また、それぞれの変化を定義する条件式を確実に暗記する。
• 内部エネルギー変化 \(\Delta U\) と熱量 \(Q\) の混同: \(\Delta U\) は気体の状態だけで決まる「状態量」であり、温度変化に直結します。一方、\(Q\) はある状態から別の状態へ変化する「過程」に依存する「過程量」です。\(\Delta U = Q\) という関係が成り立つのは、仕事がゼロである定積変化のときだけです。
  • 対策: \(\Delta U\) と \(Q\) の定義と物理的意味を正確に理解し、常に熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) に立ち返って考える。
• P-Vグラフにおけるサイクルの回転方向と仕事の符号の誤解: 時計回りのサイクルの場合、気体は外部に正味の「正」の仕事をします (\(W_{\text{した}} > 0\))。反時計回りのサイクルの場合、気体は外部から正味の仕事を「され」るため、気体がした仕事は「負」になります (\(W_{\text{した}} < 0\))。これを逆に覚えてしまうと、サイクルの仕事に関する問題で致命的な誤りを犯します。
  • 対策: 熱機関（エンジンなど、時計回りサイクルで外部に仕事をする）や冷凍機（冷蔵庫など、反時計回りサイクルで外部から仕事をされる）といった具体的な装置の動作と、P-Vグラフ上のサイクルの回転方向を結びつけてイメージで記憶する。
• 各熱力学過程の定義や性質の曖昧な理解: 定積変化（\(V=\text{一定}\)）、定圧変化（\(P=\text{一定}\)）、等温変化（\(T=\text{一定}\)）、断熱変化（\(Q=0\)）という基本的な条件と、それに伴う圧力・体積・温度の関係、仕事・内部エネルギー変化・熱の授受の特性を正確に整理し、理解しておくことが不可欠です。設問(4)の模範解答に見られたように、問題の図から読み取れる過程（定圧変化）と異なる過程（定積変化）として解説を進めてしまうと、論理的な矛盾や誤った結論に至る可能性があります（この問題では幸い結論は一致していましたが）。
  • 対策: 各過程の定義、状態方程式との関連、熱力学第一法則の適用結果をまとめた表などを自分で作成し、繰り返し確認して記憶を定着させる。問題を解く際には、必ず与えられた図や条件を細部まで注意深く確認し、早とちりや思い込みを避ける。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における有効な図（P-Vグラフ）の活用法:
  1. 各状態点 (A, B, C, D, E) の読み取り: 各点がどのような圧力 \(P\) と体積 \(V\) の状態にあるのかを把握します。
  2. 各過程 (A→B, B→C など) の追跡: 矢印の向きに従って状態変化を追い、体積が増加（膨張）しているのか減少（圧縮）しているのか、圧力が上昇しているのか下降しているのかを正確に読み取ります。
  3. 線の形状の解釈: 水平な線は定圧変化、垂直な線は定積変化、曲線は等温変化または断熱変化を示唆します。問題文の条件（「断熱」「等温」）と照らし合わせて特定します。
  4. 面積の利用: サイクルが囲む面積が1サイクルの正味の仕事の大きさを表すことを意識します。
  5. 回転方向の確認: サイクルの回転方向（時計回りか反時計回りか）が仕事の符号を決定することを理解します。
  6. 補助線（等温線・断熱線）のイメージ: 問題の図bのように、P-Vグラフ上に複数の等温線や断熱線をイメージ（または実際に薄く描き込む）することで、各過程での温度変化の大小関係や、断熱変化と等温変化の傾きの違いなどを視覚的に捉えやすくなります。
• 物理現象をイメージする際のポイント:
  • A→B (定圧圧縮): ピストンが気体を押して体積を縮める様子。
  • B→C (断熱膨張): 外部との熱のやり取りなしに気体が急激に膨張し、温度が下がる様子（例：エアダスターの缶からガスを噴射すると缶が冷たくなる現象）。
  • C→D (定積加熱): 体積が一定の丈夫な容器に入った気体を外部から加熱し、内部の圧力と温度が上昇する様子。
  • D→E (定圧膨張): ピストンの上に一定のおもりが乗っていて圧力が保たれた状態で、気体を加熱して膨張させる様子。
  • E→A (等温圧縮): 周囲の温度を一定に保ちながら（例えば水槽に浸けながら）、ゆっくりと気体を圧縮していく様子。
• 図を描いたり読み取ったりする際には、軸のラベル（\(P\), \(V\)）、単位（もしあれば）、矢印の向き、線の種類（直線、曲線）などを正確に把握することが、正しい理解とミスのない解答への第一歩です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q + W\)): 全ての熱力学過程におけるエネルギーの出入りと内部エネルギー変化の関係を表す最も基本的な法則です。何らかのエネルギー変化や授受が問われた場合、まずこの法則が適用できないかを考えます。
• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 気体の圧力、体積、温度の間の関係を知りたい場合、またはこれらのうち2つから残りの1つを求めたい場合に用います。また、ある量が一定（例：定積なら\(V\)一定）という条件と組み合わせることで、他の2量間の関係（例：定積なら\(P \propto T\)）を導けます。
• 仕事の定義 (\(W = -\int P dV\), 定圧なら \(W = -P\Delta V\)): 気体がする仕事、またはされる仕事を具体的に計算する必要がある場合や、P-Vグラフ上の面積との関連を考える際に用います。
• 内部エネルギーの式 (\(\Delta U = nC_V \Delta T\)): 理想気体の内部エネルギーが温度変化にどう依存するかを示す。等温変化(\(\Delta T=0\))の場合、\(\Delta U=0\)となることの根拠でもあります。
• 特定の過程における熱量の式 (\(Q = nC_P \Delta T\) (定圧), \(Q = nC_V \Delta T\) (定積)): それぞれ定圧変化、定積変化における熱の出入りを、温度変化とモル比熱から直接計算する際に用います。ただし、熱力学第一法則から導くことも可能です。

公式を選ぶ際には、「今、どの熱力学過程について考えているのか？」「何が問われていて、何が分かっているのか？」を明確にし、それに応じて最も適切で効率的な公式を選択する訓練が重要です。それぞれの公式が持つ物理的な意味と、適用できる条件を正しく理解していれば、公式の選択に迷うことは少なくなるでしょう。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 設問の要求と過程の特定:
   • 例（問2）: 「B→C において気体の内部エネルギーは？」 B→C は問題文より「断熱変化」であり、グラフより「膨張」です。つまり「断熱膨張」と考えます。
2. 関連する物理法則・定義の想起:
   • 例（問2）: 断熱変化なので \(Q=0\)。内部エネルギー \(\Delta U\)、仕事 \(W\)、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) を考えます。膨張する場合、気体がした仕事 \(W_{\text{した}}\) は正であり、このとき気体がされた仕事 \(W\) は負になります。
3. 法則・定義の適用と論理展開:
   • 例（問2）: \(\Delta U = 0 + W = W\)。\(W < 0\) なので \(\Delta U < 0\)。よって内部エネルギーは「減少した」と判断します。
4. （必要な場合）状態方程式や他の関係式の利用:
   • 例（問3）: 「C→D において気体の温度は？」 C→D はグラフより「定積変化」で「圧力上昇」です。状態方程式 \(PV=nRT\) で \(V, n, R\) が一定なら \(P\) は \(T\) に比例します。\(P\) が上昇したので \(T\) も「上昇した」と判断します。
5. （必要な場合）分子運動論の知識の適用:
   • 例（問5）: 「E→A において分子1個当たりの運動エネルギーは？」 E→A は「等温変化」です。分子の平均運動エネルギー \(\bar{K}\) は \(T\) に比例します。\(T\) が一定なので \(\bar{K}\) も「変わらない」と判断します。
6. （サイクルの場合）グラフ全体の解釈:
   • 例（問6）: 「1サイクルで気体がした仕事は？」 P-Vグラフ上のサイクルの回転方向を確認します。反時計回りの場合、した仕事は「負である」と判断します。

このように、各ステップで何を考え、どの知識を使うのかを意識することで、論理的に迷いなく解答にたどり着けるようになります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認を徹底する:
  • 仕事 \(W\): 気体が「した仕事」なのか「された仕事」なのかを常に意識し、熱力学第一法則の \(W\) の定義と一貫させます。膨張の場合、気体は正の仕事をし（このとき、された仕事は負）、圧縮の場合は負の仕事をする（このとき、された仕事は正）。
  • 熱 \(Q\): 吸熱なら \(Q > 0\)、放熱なら \(Q < 0\)。
  • 内部エネルギー変化 \(\Delta U\): 温度上昇なら \(\Delta U > 0\)、温度下降なら \(\Delta U < 0\)。この関係は重要です。
• P-Vグラフの丁寧な読み取り: 状態変化の矢印の向き、体積軸・圧力軸の増減方向を正確に把握することが、定性的な判断（膨張か圧縮か、圧力上昇か下降かなど）の誤りを防ぎます。
• 各熱力学過程の性質の正確な記憶と理解: 例えば、「断熱膨張では温度は低下する」といった重要な結果は、その導出過程（内部エネルギーを消費して外部に仕事をするから）と共に理解し、迅速かつ正確に適用できるようにしておきましょう。
• 単位の確認: この問題では直接的な数値計算は少ないですが、もし計算がある場合は、圧力・体積・温度・エネルギー・仕事・熱量の単位が正しく扱われているかを確認する習慣が大切です。
• 日頃の練習での心がけ:
  • 様々な熱力学過程（定積、定圧、等温、断熱）の特徴（\(P,V,T\)の関係、\(W, \Delta U, Q\)の扱い）をまとめた自分なりの比較表を作成し、繰り返し見直すことで記憶を確実なものにする。
  • 教科書や問題集の例題を解く際に、答えだけでなく、そこに至る論理的なプロセスや各物理量の符号の判断根拠を自分の言葉で説明できるように練習する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直観との照らし合わせ:
  • 例えば、設問(2)「断熱膨張で内部エネルギーはどうなるか？」に対して、もし「増加した」という答えを導いてしまった場合、「外部から熱をもらっていないのに、外部に仕事（膨張）をして、さらに内部のエネルギーが増えるというのはおかしいぞ？」と疑問を持つことが大切です。仕事をするためのエネルギーはどこから来たのか？と考えることで、内部エネルギーが減少するはずだ、と自己修正できる可能性があります。
  • 設問(4)「定圧膨張で熱はどうなるか？」では、気体は膨張して外部に仕事をし、かつ温度も上昇（内部エネルギー増加）しています。これらのエネルギー変化を賄うためには、外部から熱を吸収するしかないはずだ、という物理的な感覚が働けば、「熱を放出した」という誤った結論を避けることができます。
• グラフ（図bの等温線など）との整合性確認:
  • 各過程での温度変化の判断（上昇、下降、一定）が、図bに示されている等温線（右上のものほど高温）の概念と矛盾していないかを確認します。例えば、設問(3)のC→Dで「温度が上昇した」という判断は、点Dが点Cよりも高温を示す等温線上（またはより高温側の領域）に位置するというグラフの読み取りと一致するはずです。
• サイクルの種類との関連付け:
  • 設問(6)で、もしこのサイクルが熱機関（エネルギーを取り出す装置）を表すもの（通常は時計回りのサイクル）であれば、1サイクルで気体がする正味の外部への仕事は正になるはずです。今回は反時計回りのサイクルであり、これは冷凍機やヒートポンプ（外部から仕事を与えて熱を移動させる装置）の動作に似ています。したがって、気体がする正味の仕事が負（つまり、外部から仕事をされる）という結果は妥当であると判断できます。
• 極端な場合や既知の事実との比較（一般論として）:
  • （この問題では直接適用しにくいですが）例えば、ある公式を導いたときに、変数の値を0や無限大といった極端な値にしてみて、物理的にありえない結果にならないか、あるいは既知の簡単なケースと一致するかを確認する、といった吟味の方法も有効です。

問題60 (京都工繊大＋徳島大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、なめらかに動くピストンがついた容器内の理想気体の状態変化を扱うものです。ピストンに働く力のつり合いから初期状態の圧力や温度を求め、その後ゆっくりと加熱した際の定圧変化について考察し、仕事や内部エネルギー変化、さらにはモル比熱の関係（マイヤーの関係式）を導出する流れになっています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、理想気体の状態方程式、力のつり合い、熱力学第一法則、そして定圧変化といった、熱力学の複数の重要概念を総合的に活用する問題です。各設問を段階的に解き進めることで、これらの法則や概念の理解を深めることができます。
以下に、問題を解く上で特に重要となる物理法則や概念をまとめます。

• 力のつり合い: ピストンが静止しているか、ゆっくりと動いている場合、ピストンに働く力の合力はゼロです。
• 圧力と力の関係: 力 \(F\) は圧力 \(P\) と面積 \(S\) を用いて \(F=PS\) と表されます。
• 理想気体の状態方程式: \(PV = nRT\)。理想気体の状態を表す基本式です。
• 熱力学第一法則: 気体の内部エネルギーの変化を \(\Delta U\)、気体が吸収した熱量を \(Q\)、気体が外部にした仕事を \(W\) とすると、\(\Delta U = Q – W\) が成り立ちます。（問題(3)の指示により、\(W\)を気体が「する」仕事としています。）
• 仕事 \(W\) (定圧変化): 気体が一定圧力 \(P\) のもとで体積が \(\Delta V\) だけ変化するとき、気体がする仕事は \(W = P\Delta V\) です。
• 内部エネルギー変化 \(\Delta U\) (理想気体): 理想気体の内部エネルギー変化は、過程によらず、定積モル比熱 \(C_V\) を用いて \(\Delta U = nC_V \Delta T\) と表されます。
• 熱量 \(Q\) (定圧変化): 気体に圧力を一定に保ったまま熱量 \(Q\) を与えた場合、その熱量は定圧モル比熱 \(C_P\) を用いて \(Q = nC_P \Delta T\) と表されます。

全体的な戦略としては、まず(1)で力のつり合いと状態方程式から初期状態を特定します。(2)では「ゆっくり加熱」という条件から定圧変化であると判断し、シャルルの法則を用いてピストンの高さを求めます。(3)では定圧変化における仕事の計算と熱力学第一法則の適用、そして(4)ではこれらの結果を統合してモル比熱間の関係式を導出します。

問1

思考の道筋とポイント
状態Aでピストンは静止しているため、ピストンに働く力はつり合っています。ピストンに働く力は、(a)上から大気圧 \(P_0\) が押す力、(b)ピストン自身の重力 \(Mg\)、(c)下から内部の気体が圧力 \(P\) で押す力の3つです。これらの力のつり合いの式を立てることで、内部の気体の圧力 \(P\) を求めます。
圧力が求まったら、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を利用して、絶対温度 \(T\) を求めます。このとき、気体の体積 \(V\) は、ピストンの断面積 \(S\) と気柱の高さ \(h\) から \(V=Sh\) と表されることに注意します。

この設問における重要なポイント

• ピストンが静止している、またはゆっくりと動いている（力のつり合いが近似的に保たれている）場合、ピストンに働く力のベクトル和はゼロです。
• 圧力 \(P\) による力は、その圧力が作用する面積 \(S\) を掛けて \(F=PS\) と計算します。
• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) は、気体の状態量（圧力、体積、温度、物質量）を結びつける基本中の基本の式です。

具体的な解説と立式
状態Aでの気体の圧力 \(P\) の導出:
ピストンに働く力を考えます。鉛直上向きを正とすると、各力は以下のようになります。

• 内部の気体がピストンを押し上げる力: \(F_{\text{気体}} = PS\) (正の向き)
• 大気圧がピストンを押し下げる力: \(F_{\text{大気圧}} = P_0 S\) (負の向き)
• ピストンの重力: \(F_{\text{重力}} = Mg\) (負の向き)

状態Aでピストンは静止しており、力のつり合いが成り立っているので、
$$PS – P_0 S – Mg = 0$$これを \(P\) について解くと、状態Aでの気体の圧力 \(P\) は、$$PS = P_0 S + Mg$$
$$P = \frac{P_0 S + Mg}{S}$$
$$P = P_0 + \frac{Mg}{S}$$
となります。

状態Aでの気体の絶対温度 \(T\) の導出:
状態Aにおける気体の体積 \(V_{\text{A}}\) は、ピストンの断面積が \(S\)、気柱の高さが \(h\) なので、
$$V_{\text{A}} = Sh$$と表せます。
理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) に、上で求めた圧力 \(P = P_0 + \frac{Mg}{S}\) と体積 \(V_{\text{A}} = Sh\) を代入すると、状態Aの絶対温度 \(T\) は次のように求めることができます。$$\left(P_0 + \frac{Mg}{S}\right) (Sh) = nRT$$この式を \(T\) について解くと、$$T = \frac{\left(P_0 + \frac{Mg}{S}\right) Sh}{nR}$$分子の \(S\) を括弧の中に入れると、より整理された形になります。$$T = \frac{(P_0 S \cdot h + Mg \cdot h)}{nR} = \frac{(P_0S + Mg)h}{nR}$$

圧力 \(P\):
ピストンにかかる力のつり合い（上向きの力 = 下向きの力）から、
$$ PS = P_0 S + Mg $$
両辺を断面積 \(S\) で割って \(P\) を求めます。
$$ P = \frac{P_0 S}{S} + \frac{Mg}{S} $$
したがって、
$$ P = P_0 + \frac{Mg}{S} $$

絶対温度 \(T\):
理想気体の状態方程式 \(PV_{\text{A}} = nRT\) を用います。
状態Aでの体積は \(V_{\text{A}} = Sh\) です。
求めた圧力 \(P\) を代入すると、
$$ \left(P_0 + \frac{Mg}{S}\right) (Sh) = nRT $$
この式を \(T\) について解くと、
$$ T = \frac{\left(P_0 + \frac{Mg}{S}\right) Sh}{nR} $$
分子の \(S\) を括弧内に入れると、
$$ T = \frac{(P_0S + Mg)h}{nR} $$

(1) ピストンが静止しているのは、下から気体がグッと押す力と、上から大気がズンと押す力＆ピストン自身の重さがちょうど釣り合っているからです。この力のバランスの式から、気体の圧力 \(P\) が計算できます。
(2) 気体の圧力 \(P\) と体積 \(V\) (これは底面積S×高さhですね)、そして気体の量 \(n\) が分かれば、おなじみの理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を使って、温度 \(T\) を求めることができる、というわけです。

状態Aでの気体の圧力は \(P = P_0 + \frac{Mg}{S}\) [Pa] です。この式は、外部の大気圧 \(P_0\) に、ピストンの質量 \(M\) による圧力（重力 \(Mg\) を面積 \(S\) で割ったもの）が加わった形になっており、物理的に考えても納得のいく結果です。
状態Aでの気体の絶対温度は \(T = \frac{(P_0S + Mg)h}{nR}\) [K] です。この式も、各物理量が正しく組み合わされており、単位も絶対温度である[K]となるため、妥当な結果と言えるでしょう。

問2

思考の道筋とポイント
「気体をゆっくり加熱した」という記述が非常に重要です。これは、加熱の過程が準静的過程であり、ピストンが常に力のつり合いを保ちながら移動することを意味します。ピストンにかかる力（大気圧による力、ピストンの重力）は一定であるため、内部の気体の圧力 \(P\) も(1)で求めた値で一定に保たれます。したがって、状態Aから状態Bへの変化は「定圧変化」であると結論付けられます。
この定圧変化の条件下で、状態Aと状態Bそれぞれについて理想気体の状態方程式を立て、それらの関係（実質的にはシャルルの法則）から、状態Bでのピストンの高さ \(h’\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 「ゆっくり」とした状態変化は、多くの場合、系が常に平衡状態に近いことを意味し、ピストンが自由に動ける場合は内部圧力が外部条件（大気圧やピストンの重さ）によって一定に保たれる「定圧変化」とみなせるケースが多いです。
• 定圧変化では、シャルルの法則（\(\frac{V}{T} = \text{一定}\)）が成り立ちます。体積 \(V\) が高さ \(h\) に比例する場合は、\(\frac{h}{T} = \text{一定}\) とも書けます。

具体的な解説と立式
気体をゆっくりと加熱する間、ピストンは力のつり合いを保ちながら徐々に上昇していきます。ピストンに働く鉛直方向の力（大気圧による力、ピストンの重力、内部気体の圧力による力）のつり合いの関係 \(PS = P_0S + Mg\) は、この加熱過程を通じて常に成り立ち続けます。大気圧 \(P_0\)、ピストンの質量 \(M\)、断面積 \(S\)、重力加速度 \(g\) はすべて一定値なので、(1)で導出した内部気体の圧力 \(P = P_0 + \frac{Mg}{S}\) も、状態Aから状態Bへ変化する間、常に一定の値をとります。
このことから、状態Aから状態Bへの変化は定圧変化であると判断できます。

状態Aにおける気体の体積を \(V_{\text{A}} = Sh\)、温度を \(T\) とすると、状態方程式は、
$$P V_{\text{A}} = nRT \quad \text{すなわち} \quad P(Sh) = nRT \quad \cdots (\text{i})$$状態Bにおける気体の体積を \(V_{\text{B}} = Sh’\)（\(h’\) が求める高さ）、温度を \(T’\) とすると、状態方程式は、$$P V_{\text{B}} = nRT’ \quad \text{すなわち} \quad P(Sh’) = nRT’ \quad \cdots (\text{ii})$$
ここで、圧力 \(P\)、モル数 \(n\)、気体定数 \(R\)、断面積 \(S\) は両方の状態方程式に共通の定数です。
式(i)から \(\frac{P S}{nR} = \frac{T}{h}\) が得られ、式(ii)から \(\frac{P S}{nR} = \frac{T’}{h’}\) が得られます。
これら両式の左辺は等しいので、右辺も等しくなります。
$$\frac{T}{h} = \frac{T’}{h’}$$この関係式を \(h’\) について解くと、$$h’ T = h T’$$
$$h’ = \frac{T’}{T} h$$
これが状態Bでのピストンの高さです。この結果は、体積 \(V\) が高さ \(h\) に比例すること（\(V=Sh\)）を考慮すると、シャルルの法則（\(\frac{V_A}{T_A} = \frac{V_B}{T_B}\)）と全く同じ形になっています。

状態Aにおける状態方程式: \(P(Sh) = nRT\)
状態Bにおける状態方程式: \(P(Sh’) = nRT’\)
（状態Bの式）を（状態Aの式）で辺々割ると、圧力 \(P\)、断面積 \(S\)、モル数 \(n\)、気体定数 \(R\) が共通なので約分されて、
$$ \frac{P(Sh’)}{P(Sh)} = \frac{nRT’}{nRT} $$
$$ \frac{h’}{h} = \frac{T’}{T} $$
この式を \(h’\) について解くと、
$$ h’ = \frac{T’}{T} h $$

気体を温めると、普通は膨らみますよね。風船を太陽の下に置いておくとパンパンになるのと同じです。この問題のピストンも自由に動けるので、気体を温めると膨らんでピストンを押し上げ、気柱の高さ \(h\) が大きくなります。圧力が一定のとき、気体の体積（この場合は高さ \(h\) で代表できます）は、その気体の絶対温度 \(T\) に比例するという法則があります。これがシャルルの法則です。ですから、温度が \(T\) から \(T’\) に（例えば1.1倍に）なったら、高さも同じ割合で \(h\) から \(h’\) （これも1.1倍に）変わる、というわけです。

状態Bでのピストンの高さは \(h’ = \frac{T’}{T} h\) [m] と表されます。
この結果は、もし温度が上昇すれば（\(T’ > T\)）、ピストンの高さも増加する（\(h’ > h\)）ことを示しています。逆に温度が下降すれば（\(T’ < T\)）、ピストンの高さも減少する（\(h’ < h\)）ことになり、これは物理的な直観（気体は温めると膨張し、冷やすと収縮する）とよく一致しており、妥当な結果と言えます。

問3

思考の道筋とポイント
状態Aから状態Bへの変化は定圧変化であったことを思い出しましょう。この定圧変化の間に気体がする仕事 \(W\) を計算します。定圧変化で気体がする仕事は、\(W = P\Delta V\) という簡単な式で計算できます。ここで、\(\Delta V\) は体積変化 \(V_{\text{B}} – V_{\text{A}} = Sh’ – Sh\) です。この式に、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) の関係（具体的には \(PV_{\text{A}}=nRT\) と \(PV_{\text{B}}=nRT’\)）を巧みに適用することで、指定された文字（\(n, T, T’, R\)）を用いて仕事 \(W\) を表現します。
次に、熱力学第一法則を用いて、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を、気体に与えられた熱量 \(Q\) と、気体がした仕事 \(W\) を用いて表します。問題文で「気体がする仕事 \(W\)」と定義されているため、熱力学第一法則の表現は \(\Delta U = Q – W\) となることに注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 定圧変化において気体がする仕事 \(W\) は、圧力 \(P\) と体積変化 \(\Delta V = V_{\text{後}} – V_{\text{初}}\) を用いて \(W = P\Delta V\) と表されます。
• この \(P\Delta V\) は、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を利用すると、\(P(V_{\text{後}} – V_{\text{初}}) = PV_{\text{後}} – PV_{\text{初}} = nRT_{\text{後}} – nRT_{\text{初}} = nR(T_{\text{後}} – T_{\text{初}})\) と変形することができます。これは定圧変化における仕事の計算で非常に頻繁に用いられる便利な関係式です。
• 熱力学第一法則の表現は、仕事 \(W\) の定義（「気体がした仕事」なのか「気体がされた仕事」なのか）によって式の符号が変わるため、常に注意が必要です。この問題では「気体がする仕事 \(W\)」と明確に指定されているため、\(\Delta U = Q – W\) を用います。

具体的な解説と立式
気体がする仕事 \(W\) の導出:
状態Aから状態Bへの変化は、圧力 \(P\) が一定の定圧変化です。この間に気体がする仕事 \(W\) は、
$$W = P \Delta V$$
と表されます。ここで、\(\Delta V\) は体積の変化量であり、\(\Delta V = V_{\text{B}} – V_{\text{A}}\) です。
状態Aの体積は \(V_{\text{A}} = Sh\)、状態Bの体積は \(V_{\text{B}} = Sh’\) なので、
$$W = P (Sh’ – Sh) = PSh’ – PSh$$
ここで、理想気体の状態方程式から、状態Aでは \(P(Sh) = nRT\)、状態Bでは \(P(Sh’) = nRT’\) という関係が成り立ちます。これらの関係式を \(W\) の式に代入すると、
$$W = nRT’ – nRT$$
$$W = nR(T’ – T)$$
これが、状態AからBまで変化する間に気体がする仕事です。

内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の表現:
問題文において、気体に与えた熱量を \(Q\) [J]、気体がする仕事を \(W\) [J] と定義しています。
このとき、熱力学第一法則（エネルギー保存則）は、気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) [J] を用いて、
$$\Delta U = Q – W$$
と表されます。この式は、気体が \(Q\) の熱エネルギーを吸収し、そのうち \(W\) のエネルギーを外部への仕事として消費した場合、残りのエネルギー \(Q-W\) が内部エネルギーの増加分 \(\Delta U\) になる、というエネルギーの収支関係を示しています。

仕事 \(W\):
$$ W = P \Delta V = P(V_{\text{B}} – V_{\text{A}}) $$
体積を高さで表すと \(V_{\text{A}} = Sh\), \(V_{\text{B}} = Sh’\) なので、
$$ W = P(Sh’ – Sh) = PSh’ – PSh $$
ここで、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、\(P(Sh) = nRT\) および \(P(Sh’) = nRT’\) が成り立ちます。
これらを \(W\) の式に代入すると、
$$ W = nRT’ – nRT = nR(T’ – T) $$

内部エネルギーの変化 \(\Delta U\):
熱力学第一法則において、気体に加えられた熱量を \(Q\)、気体がした仕事を \(W\) とすると、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、
$$ \Delta U = Q – W $$
と表されます。

(仕事 \(W\)) 気体が一定の力（圧力 \(P\) × 断面積 \(S\) で計算される力）でピストンを距離 \((h’-h)\) だけ押し上げたと考えられます。仕事は基本的には「力 × 距離」で計算できますが、熱力学では \(P\Delta V\) （圧力 × 体積変化）という形で表すことが多いです。さらに、理想気体の法則 \(PV=nRT\) を使うと、この仕事は温度の変化だけで \(nR(T’-T)\) とスッキリ表すことができます。温度が上がれば（\(T’>T\))、気体はプラスの仕事（つまり膨張して外部に仕事）をすることになります。
(\(\Delta U\)) 気体に入ってきた熱エネルギー \(Q\) は、どこに使われるでしょうか？一部は外部への仕事 \(W\) として使われ、残りの部分が気体自身のエネルギー（これを内部エネルギーといいます）の増加 \(\Delta U\) になります。だから、\(\Delta U = Q – W\) という関係が成り立つわけです。

気体がする仕事は \(W = nR(T’ – T)\) [J] となります。この式は、もし温度が上昇すれば（\(T’ > T\)）、仕事 \(W\) は正となり、気体が膨張して外部に正の仕事をしたことを意味します。これは物理的な直観とよく合致します。
内部エネルギーの変化は \(\Delta U = Q – W\) [J] と表されます。これは熱力学第一法則の標準的な表現の一つであり、エネルギー保存の法則に基づいています。

問4

思考の道筋とポイント
(3)で得られた熱力学第一法則の式 \(\Delta U = Q – W\) が、この設問を解く上での出発点となります。
この式に含まれる \(\Delta U\)、\(Q\)、\(W\) のそれぞれを、モル比熱や温度変化を用いて具体的に表し、代入していきます。
1. 理想気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、その変化がどのような過程（定積、定圧など）であっても、定積モル比熱 \(C_V\) と温度変化 \(\Delta T = T’ – T\) を用いて、一般に \(\Delta U = nC_V (T’ – T)\) と表すことができます。
2. 状態Aから状態Bへの変化は定圧変化でした。この定圧変化の間に気体に与えられた熱量 \(Q\) は、定圧モル比熱 \(C_P\) と温度変化 \(\Delta T = T’ – T\) を用いて \(Q = nC_P (T’ – T)\) と表されます。
3. (3)で計算した、気体がした仕事 \(W\) は \(W = nR(T’ – T)\) でした。
これらの具体的な表現を \(\Delta U = Q – W\) に代入し、式全体を \(n(T’-T)\) で割って整理することで、\(C_V\) と \(C_P\) の間に成り立つ有名な関係式（マイヤーの関係式）を導き出します。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の内部エネルギー変化の一般式: \(\Delta U = nC_V \Delta T\)。この式は、気体がどのような熱力学過程をたどったとしても、最初と最後の温度が決まっていれば内部エネルギーの変化量は一意に定まるという、理想気体の重要な性質を表しています。
• 定圧変化で気体が吸収（または放出）する熱量の式: \(Q = nC_P \Delta T\)。
• マイヤーの関係式 \(C_P – C_V = R\) は、理想気体であればその種類（単原子分子、二原子分子など）によらず普遍的に成り立つ、定圧モル比熱と定積モル比熱の間の基本的な関係を示す非常に重要な式です。この問題はその導出過程の理解を問うています。
• 模範解答の注釈にもある通り、この問題では気体が単原子分子であるとは限定されていません。したがって、\(C_V = \frac{3}{2}R\) や \(C_P = \frac{5}{2}R\) のような、単原子分子理想気体に特有の \(C_V\) や \(C_P\) の具体的な値を用いるわけではない点に注意が必要です。あくまで \(C_P\) と \(C_V\) の一般的な関係を導き出します。

具体的な解説と立式
(3)で確立した熱力学第一法則の式は、
$$\Delta U = Q – W \quad \cdots (\text{iv})$$
です。
この式の各項に、以下に示す具体的な物理量の表現を代入していきます。

• 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\):
  理想気体の内部エネルギーの変化は、その過程が定圧変化であっても、定積モル比熱 \(C_V\) を用いて一般的に次のように書くことができます。温度変化を \(\Delta T = T’ – T\) とすると、
  $$\Delta U = nC_V \Delta T = nC_V (T’ – T)$$
• 気体に与えた熱量 \(Q\):
  状態Aから状態Bへの変化は定圧変化であるため、この間に気体に与えられた熱量 \(Q\) は、定圧モル比熱 \(C_P\) を用いて次のように書けます。
  $$Q = nC_P \Delta T = nC_P (T’ – T)$$
• 気体がした仕事 \(W\):
  (3)で求めた通り、この定圧変化で気体がした仕事は、
  $$W = nR(T’ – T)$$

これらの \(\Delta U, Q, W\) の具体的な式を、熱力学第一法則の式 (iv) にそれぞれ代入します。
$$nC_V (T’ – T) = nC_P (T’ – T) – nR(T’ – T)$$
この式は、気体の温度が実際に変化した場合（つまり \(T’ – T \neq 0\)）について意味を持ちます。また、気体のモル数 \(n\) もゼロではありません (\(n \neq 0\))。
したがって、この式の両辺を共通因数である \(n(T’ – T)\) で割ることができます（ただし \(T’ \neq T\) の場合）。
$$C_V = C_P – R$$この式を \(C_P\) について整理するか、あるいは \(C_P\) と \(C_V\) の差の形に整理すると、一般に「マイヤーの関係式」として知られる以下の形が得られます。$$C_P – C_V = R$$または、$$C_P = C_V + R$$

熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) の各項に、それぞれの物理量を表す式を代入します。
$$ \Delta U = nC_V (T’ – T) $$
$$ Q = nC_P (T’ – T) $$ （今回のA→Bは定圧変化なのでこの式が使えます）
$$ W = nR(T’ – T) $$ （設問(3)で導出済み）
これらを代入すると、
$$ nC_V (T’ – T) = nC_P (T’ – T) – nR(T’ – T) $$
ここで、温度変化 \(T’ – T\) はゼロではないと考えられます（そうでなければ \(\Delta U=0, Q=0, W=0\) となり、この関係式は \(0=0\) という自明なものになってしまいます。通常、加熱によって温度は変化するので \(\Delta T \neq 0\) です）。また、モル数 \(n\) もゼロではありません。
したがって、両辺を \(n(T’ – T)\) で割ることができ、
$$ C_V = C_P – R $$
これを移項して整理すると、
$$ C_P – C_V = R $$
となります。

気体に熱 \(Q\) を加えると、そのエネルギーは主に二つのことに使われます。一つは気体自身の内部のエネルギー \(\Delta U\) を増やすこと（つまり温度を上げること）、もう一つは気体が外部に仕事 \(W\) をすること（例えばピストンを押し上げること）です。このエネルギーの収支を表すのが \(\Delta U = Q – W\) という式です。
さて、どんな理想気体でも、内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) は \(nC_V \Delta T\) と書けます。そして、今回は圧力が一定のまま熱を加えたので、加えた熱 \(Q\) は \(nC_P \Delta T\) と書くことができます。さらに、気体がした仕事 \(W\) は、さっきの設問で \(nR\Delta T\) と計算しましたね (\(\Delta T\) は温度の変化 \(T’-T\) のことです)。
これら三つの具体的な式 (\(\Delta U, Q, W\) の表現) を、エネルギー収支の式 \(\Delta U = Q – W\) に「えいっ！」と全部代入してあげます。そうすると、\(n\Delta T\) という共通の部分が全部の項に出てくるので、これで割り算して整理すると、\(C_V = C_P – R\) という、モル比熱 \(C_P\) と \(C_V\) の間の、とてもシンプルで美しい関係式（マイヤーの関係式）が出てくるんです。

定積モル比熱 \(C_V\) と定圧モル比熱 \(C_P\) の間に成り立つ関係式は、\(C_P – C_V = R\) （または同等な \(C_P = C_V + R\)）です。
これは「マイヤーの関係式」として広く知られており、理想気体であればその種類（単原子分子か二原子分子かなど）に関わらず、普遍的に成立する非常に重要な公式です。この式が示しているのは、定圧モル比熱 \(C_P\) は、定積モル比熱 \(C_V\) よりも気体定数 \(R\) の分だけ常に大きいということです。
その物理的な意味を考えると、定圧過程では気体が温度上昇（すなわち内部エネルギーの増加）に加えて、体積を膨張させて外部への仕事も行います。そのため、同じ1モルの気体を同じ温度だけ（例えば1K）上昇させるのに必要な熱量は、体積を一定に保って内部エネルギーの増加だけに熱エネルギーが使われる定積過程の場合よりも、その外部へする仕事に相当する分だけ余計に必要となります。理想気体の場合、この「余計に必要な熱量（1モルあたり1K上昇させるための）」がちょうど気体定数 \(R\) に等しいのです。この導出過程を理解することは、熱力学の法則のつながりを深く把握する上で非常に有益です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いの適用: ピストンが静止または準静的に動く場合、ピストンに働く力の合力はゼロであるとして式を立てる考え方。これが気体の圧力を外部条件（大気圧やピストンの重さ）から決定する上で非常に重要でした。
• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 圧力・体積・絶対温度・物質量という気体のマクロな状態量を結びつける基本法則です。各状態での物理量を求めたり、状態変化の前後関係（特に定圧変化におけるシャルルの法則の導出）を理解したりするのに不可欠でした。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)): 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)、気体に加えられた熱量 \(Q\)、気体が外部にした仕事 \(W\) の間のエネルギー保存則を示す、熱力学の根幹をなす法則です。仕事 \(W\) の定義（「気体がした仕事」か「気体がされた仕事」か）に注意し、適切な符号で式を適用することが求められました。
• 定圧変化の正しい理解と取り扱い: ピストンが自由に動ける状態で気体をゆっくりと加熱・冷却する場合、多くは内部の圧力が大気圧とピストンの重さ（など外部からの力）によって決まる一定値に保たれる「定圧変化」となります。この物理的状況の的確な判断と、それに対応する法則（シャルルの法則、仕事の計算式 \(W=P\Delta V\)、熱量の計算式 \(Q=nC_P\Delta T\)）の適用が鍵となりました。
• 各種物理量の定義式とその正確な適用:
  • 仕事（特に定圧変化の場合）は \(W = P\Delta V\)。これを状態方程式を用いて \(W = nR\Delta T\) と変形できること。
  • 内部エネルギー変化（理想気体の場合、過程の種類によらず）は \(\Delta U = nC_V \Delta T\)。この式が定積変化のときだけでなく、定圧変化など他の過程における内部エネルギー変化の計算にも使えるという理解。
  • 熱量（特に定圧変化の場合）は \(Q = nC_P \Delta T\)。定積変化の場合の \(Q = nC_V \Delta T\) との使い分けを明確にすること。
• マイヤーの関係式 (\(C_P – C_V = R\)) の導出プロセスの理解: 単に公式を暗記するだけでなく、熱力学第一法則に、定圧変化における \(\Delta U, Q, W\) の各表現を具体的に代入し、数学的に整理することでこの重要な関係式がどのように導かれるのか、その論理的な流れを理解することが、応用力を高める上で非常に重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• ピストンと力のつり合いの多様な状況への応用:
  • 鉛直方向に置かれたピストンだけでなく、水平方向に置かれたピストン（この場合は重力の影響が変わります）、あるいは、ばねが取り付けられたピストン（ばねの弾性力が加わります）など、様々な設定の問題に応用できます。どのような状況であれ、ピストンに働く全ての力を正確に図示し、それぞれの力の方向を考慮して力のつり合いの式（場合によっては運動方程式）を立てることが、問題解決の出発点となります。
• 状態変化の種類を特定するキーワードの読解:
  • 問題文中に含まれる「ゆっくりと」「断熱的に」「温度を一定に保って」といったキーワードは、それぞれ準静的過程（多くの場合、力のつり合いが維持される過程や、P,V,Tが系全体で均一とみなせる過程）、断熱変化、等温変化といった特定の熱力学過程を示唆しています。これらの記述から、どの法則や公式を適用すべきかを正確に判断する訓練が重要です。
• マイヤーの関係式とその物理的意味の深い理解の重要性:
  • 今回の問題のように、具体的な状態変化（ここでは定圧変化）を設定し、熱力学第一法則と各物理量の定義式を組み合わせてマイヤーの関係式を導出するプロセスを経験することは、この関係式が単なる数学的な結果ではなく、なぜ \(C_P\) が \(C_V\) よりも \(R\) だけ大きくなるのか（それは気体が膨張して外部へ仕事をするため、その分のエネルギーも熱として供給される必要があるから）という物理的な理由を深く理解する上で非常に有益です。
• 初めて見る問題に取り組む際の一般的な着眼点:
  1. まず、問題文と図を詳細に観察し、どのような物理的な装置や状況が設定されているのかを正確に把握します。
  2. ピストンやその他の可動部分が存在する場合は、それらに働く力を全て洗い出し、ベクトル図を描くなどして視覚化し、力のつり合い（または運動方程式）を考えることから始めます。これにより、気体の圧力などの重要な物理量が、外部条件や装置のパラメータから決定できる場合が多いです。
  3. 次に、気体の状態変化がどのような種類（定積、定圧、等温、断熱、あるいはこれらを組み合わせたサイクルなど）に該当するのかを特定します。問題文に直接的な記述がない場合でも、与えられた条件（例：「ゆっくりと加熱」「断熱材で囲まれた容器」など）から論理的に判断する必要があります。
  4. 初期状態と最終状態、およびその間の変化の過程について、理想気体の状態方程式（\(PV=nRT\)）と熱力学第一法則（\(\Delta U = Q – W\) または \(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\)）の適用を常に念頭に置きます。
  5. 設問で具体的に何を問われているのか（仕事 \(W\) なのか、熱量 \(Q\) なのか、内部エネルギー変化 \(\Delta U\) なのか、あるいは圧力 \(P\)、体積 \(V\)、温度 \(T\) そのものなのか）を正確に見極め、それに応じて最も適切と思われる公式や法則を選択し、適用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力のつり合いの式の符号ミスや、力の種類の見落とし: ピストンにかかる力の向きを正確に図示しなかったり、特定の力（例えば、大気圧による力やピストン自身の重力）を見落としたりすると、力のつり合いの式を誤ってしまいます。特に、圧力が生み出す力は \(F = PS\) （圧力 × 面積）で計算されるという基本を常に意識することが重要です。
  • 対策: 問題に取り掛かる際、必ずフリーボディダイアグラム（物体にはたらく全ての力をベクトルで示した図）を描く習慣をつけ、各力の向きと大きさを明確にする。
• 仕事 \(W\) の符号と定義の混同、それに伴う熱力学第一法則の式の選択ミス: 熱力学第一法則で用いられる仕事 \(W\) が、「気体がした仕事」なのか「気体がされた仕事」なのかによって、第一法則の式の符号（例えば \(\Delta U = Q – W\) か \(\Delta U = Q + W\) か）が変わってきます。教科書や問題集、あるいは問題文中の指示によって定義が異なる場合があるため、自分が現在どちらの定義に基づいて考えているのかを常に明確にし、一貫性を持たせることが極めて重要です。今回の問題(3)では「気体がする仕事 \(W\)」と明確に指定されていたため、\(\Delta U = Q – W\) という形の式を使用しました。
  • 対策: 熱力学第一法則を用いる前に、まず仕事 \(W\) の定義（「した仕事」を正とするのか、「された仕事」を正とするのか）を問題文や自分の設定で確認し、それに応じた正しい形の熱力学第一法則の式（例：\(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\) または \(\Delta U = Q + W_{\text{された}}\)）を用いることを徹底する。
• \(\Delta U = nC_V \Delta T\) という式の適用範囲に関する誤解: この式は、理想気体の内部エネルギー変化を表す非常に重要な一般式であり、定積変化のときに限らず、定圧変化やその他のどのような過程をたどったとしても、最初と最後の温度差 \(\Delta T\) が同じであれば内部エネルギーの変化量は同じ値をとります。これを「定積変化のときだけしか使えない公式だ」と誤解しないように注意が必要です。
  • 対策: 「理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数である」という基本原理を理解し、\(\Delta U = nC_V \Delta T\) はその結果として得られる普遍的な表現であることを認識する。
• 熱量 \(Q\) の計算式 \(Q = nC_P \Delta T\) と \(Q = nC_V \Delta T\) の使い分けの誤り: 前者の式は「定圧変化」のときに気体が吸収または放出する熱量を、後者の式は「定積変化」のときに気体が吸収または放出する熱量を表します。問題で扱っている状態変化がどちらの種類の変化なのかを正しく特定した上で、適切な方の式を選択して用いる必要があります。
  • 対策: 各モル比熱（\(C_P\), \(C_V\)）の添え字（PはPressure=圧力、VはVolume=体積）が何を表しているかを意識し、それがどのような条件下での熱量を計算するためのものなのかを正確に結びつけて記憶する。
• シャルルの法則やボイルの法則の適用条件の混同、あるいは安易な適用: 定圧変化であればシャルルの法則（\(\frac{V}{T} = \text{一定}\)）、等温変化であればボイルの法則（\(PV = \text{一定}\)）がそれぞれ成り立ちますが、これらの法則が適用できるのはそれぞれの特定の条件下（定圧、等温）に限られます。どのような状態変化でもこれらの法則が使えるわけではないことを理解しておく必要があります。
  • 対策: 各気体法則（ボイル、シャルル、ボイル・シャルル）が、どのような条件下（温度一定、圧力一定、物質量一定など）で成り立つのかを、その法則の導出過程や状態方程式との関連も含めて正確に理解し、記憶する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 力のつり合いの図の積極的な活用: ピストンなどの可動部分にかかる力を、作用点と向きを明確にした矢印で正確に図示することは、力のつり合いの式を視覚的に理解し、間違いなく立式するための基本中の基本です。模範解答で示されている力のつり合いの図（ピストンに \(P_0S\), \(Mg\), \(PS\) が働く図）は、この種の考察を行う上で大変参考になります。
• 状態変化のP-Vグラフ（この問題では直接描かれていませんが、頭の中でイメージする）の重要性: 今回の主要な状態変化である定圧変化は、P-Vグラフ上では圧力 \(P\) の値が一定の水平な線分として表現されます。これを頭の中でイメージすることで、この過程で気体がした仕事 \(W\) が、グラフ上で長方形の面積 \(P\Delta V\) として直感的に理解しやすくなります。また、他の過程（例えば定積変化なら垂直な線分、等温変化や断熱変化なら特定の曲線）と対比することで、それぞれの特徴がより明確になります。
• ピストンの動きや気体の状態変化の具体的なイメージング: 「ゆっくり加熱する」という記述から、シリンダー内の気体が徐々にエネルギーを得て膨張し、それに伴って質量のあるピストンが滑らかに、かつ力のつり合いを保ちながらゆっくりと押し上げられていく様子を具体的にイメージすることが、この過程が定圧変化であるという理解を助けます。また、仕事や熱の出入りといった抽象的な概念も、このような具体的な物理的イメージと結びつけることで、より直観的に把握しやすくなります。例えば、気体が膨張してピストンを押し上げるのは「仕事をする」こと、加熱器から熱が供給されるのは「熱を吸収する」こと、といった対応関係です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(PS = P_0S + Mg\) （力のつり合いの式）: ピストンが静止している状態A、およびゆっくりと動いている状態A→Bの過程において、ピストンにはたらく力の合力はゼロである（またはゼロとみなせる）という物理的な判断に基づいています。
• \(PV=nRT\) （理想気体の状態方程式）: 問題で扱っているのが「理想気体」であり、その巨視的な状態（圧力、体積、絶対温度、物質量）を記述する最も基本的な関係式だからです。状態Aおよび状態Bのそれぞれで、この法則が成り立っていると考えます。
• \(W=P\Delta V\) （定圧変化における仕事）: 状態Aから状態Bへの変化が「定圧変化」であると特定されたため、この特定の過程で気体がする仕事の定義式としてこれを選択しました。
• \(\Delta U = Q – W\) （熱力学第一法則）: これはエネルギー保存則を熱現象に適用した普遍的な法則であり、気体の内部エネルギーの変化と、外部との熱や仕事のやり取りを結びつけるものです。仕事 \(W\) を「気体がした仕事」として定義した場合の標準的な表現です。
• \(\Delta U = nC_V \Delta T\) （理想気体の内部エネルギー変化）: 理想気体の内部エネルギーは絶対温度のみの関数であり、その変化量は（過程の種類によらず）定積モル比熱 \(C_V\) を用いてこのように一般的に表される、という理想気体の重要な性質に基づいています。
• \(Q = nC_P \Delta T\) （定圧変化における熱量）: 状態Aから状態Bへの変化が「定圧変化」であるため、この過程で気体に加えられた熱量 \(Q\) は、定圧モル比熱 \(C_P\) を用いてこのように表される、という定義に基づいています。

公式を選択し適用する際には、常に「なぜこの公式がこの場面で使えるのか？」という問いを自分自身に投げかけ、その公式が持つ物理的な背景や適用できる条件（例えば「理想気体だから」「定圧変化だから」「エネルギー保存の法則だから」など）を明確に意識することが、論理的な思考を養い、誤用を防ぐ上で非常に重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 設問(1) 圧力の導出: まず、ピストンが静止している状態Aに着目します。ピストンに働く全ての力（具体的には、大気圧による力、ピストン自身の重力、そして内部の気体の圧力による力）を図示し、これらの力が鉛直方向でつり合っているという条件から、力のつり合いの式を立てます。この式を解くことで、内部気体の圧力 \(P\) を求めます。
2. 設問(1) 温度の導出: 次に、状態Aにおける気体の体積が \(V_{\text{A}} = Sh\) であることと、(1)で求めた圧力 \(P\)、そして問題文で与えられたモル数 \(n\) と気体定数 \(R\) を用いて、理想気体の状態方程式 \(PV_{\text{A}}=nRT\) に代入し、絶対温度 \(T\) を計算します。
3. 設問(2) 高さの変化（定圧変化の認識）: 気体を「ゆっくり加熱」するという記述から、この状態Aから状態Bへの変化過程が「定圧変化」であると判断します（なぜなら、ピストンにかかる外部からの力は一定であり、ゆっくりとした変化では内部圧力がこれと常につり合うため、圧力 \(P\) は(1)で求めた値で一定に保たれるからです）。状態A (\(P, Sh, T\)) と状態B (\(P, Sh’, T’\)) のそれぞれについて理想気体の状態方程式を立てるか、あるいはシャルルの法則（\(\frac{V}{T}=\text{一定}\)、すなわちこの場合は \(\frac{Sh}{T}=\frac{Sh’}{T’}\)）を直接適用し、未知の高さ \(h’\) を \(h, T, T’\) を用いて表します。
4. 設問(3) 仕事の計算: 状態AからBへの変化が定圧変化であることから、この過程で気体がする仕事の公式 \(W=P\Delta V\) を用います。体積変化 \(\Delta V\) は \(V_{\text{B}} – V_{\text{A}} = Sh’ – Sh\) です。ここに、理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)) から得られる関係 \(P(Sh)=nRT\) と \(P(Sh’)=nRT’\) を代入することで、仕事 \(W\) を指定された文字 \(n, R, T, T’\) で表すことができます（結果として \(W = nR(T’-T)\) となります）。
5. 設問(3) 内部エネルギー変化の式の提示: 熱力学第一法則を、問題文の指示（\(W\) は気体がする仕事）に合わせて、\(\Delta U = Q – W\) と記述します。
6. 設問(4) マイヤーの関係式の導出: 設問(3)で得られた熱力学第一法則の式 \(\Delta U = Q – W\) を出発点とします。この式に、理想気体の内部エネルギー変化の一般式 \(\Delta U = nC_V\Delta T\)、定圧変化で気体が吸収した熱量の式 \(Q=nC_P\Delta T\)、そして設問(3)で求めた仕事の式 \(W=nR\Delta T\) (ここで \(\Delta T = T’-T\)) をそれぞれ具体的に代入します。その後、全てに共通して含まれる因子 \(n\Delta T\) で両辺を割り、式を整理することで、\(C_P – C_V = R\) という関係式（マイヤーの関係式）を導き出します。

この一連の論理の流れをしっかりと意識して問題を解き進めることで、各設問がどのように相互に関連し、最終的な結論（この場合はマイヤーの関係式）に繋がっていくのかが明確に理解できるはずです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の一貫性と最終確認の徹底: 問題文で与えられている各物理量の単位（例：[kg], [m], [s], [Pa], [J], [mol], [K]など）と、計算過程で一時的に出てくる物理量の単位、そして最終的に求める答えの単位が、物理法則上正しく整合しているかを常に意識し、確認する習慣をつけることが大切です。
• 文字式の取り扱いの丁寧さと正確性: この問題のように多くの物理量を具体的な数値ではなく文字記号のまま扱う場合、代入、展開、整理といった数学的操作の各段階で、文字の書き間違い、項の符号の誤り（特に移項時）、あるいは項の消し忘れなどが起こりやすくなります。一つ一つの計算ステップを省略せずに丁寧に、かつ注意深く進めることが求められます。特に、分数の計算や括弧の取り扱い、複数の文字が絡む式の整理などには細心の注意を払いましょう。
• 物理的な定義と符号ルールの再確認の習慣化: 仕事 \(W\) の定義（「気体がした仕事」を正とするのか、「気体がされた仕事」を正とするのか）、熱量 \(Q\) の符号（気体が熱を吸収した場合は正、外部に放出した場合は負）、内部エネルギー変化 \(\Delta U\) の符号（温度が上昇して内部エネルギーが増加した場合は正、温度が下降して内部エネルギーが減少した場合は負）といった、基本的な物理量の定義とその符号に関するルールを、計算の各段階で常に意識し、必要であれば再確認する習慣が重要です。
• 計算途中の結果に対する物理的な意味の検討と検証: 例えば、設問(1)で計算した圧力が負の値になったり、設問(2)で気体を加熱して温度が上昇している（\(T’ > T\)）にもかかわらずピストンの高さ \(h’\) が初期の高さ \(h\) よりも減少したりするような、物理的にあり得ない結果や直観に反する結果が出た場合、それは計算ミスや立式の誤りがどこかに潜んでいる可能性が高いという重要なサインです。そのような場合は一度立ち止まって、計算過程や式の立て方、前提条件などを丁寧に見直すことが賢明です。
• 日頃からの反復練習による計算技能の向上: 複雑な文字式を含む計算や、複数のステップを踏む論理的な問題解決に慣れ、ミスを減らし、計算のスピードと正確性をともに高めるためには、やはり日頃からの反復練習が最も効果的です。類似の問題を数多く解き、計算プロセスや論理の流れを体に覚え込ませるように努めましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• (設問1) で得られた圧力・温度の式の物理的妥当性の確認:
  • 導出した圧力の式 \(P = P_0 + Mg/S\) は、外部の大気圧 \(P_0\) に加えて、ピストン自身の重さ \(Mg\) がその断面積 \(S\) あたりに及ぼす圧力 \(\frac{Mg}{S}\) が上乗せされた形になっています。これは、ピストンが下にある気体を押している状況を考えると、物理的に自然で妥当な結果であると言えます。
  • 同様に、温度の式 \(T = \frac{(P_0S + Mg)h}{nR}\) についても、各物理的パラメータ（大気圧、ピストンの質量、重力加速度、断面積、気柱の高さ、モル数、気体定数）が、物理法則（状態方程式）に基づいて意味のある形で組み合わされており、結果として絶対温度[K]の次元（単位）を持つことを確認できます。これも妥当性の判断材料となります。
• (設問2) で得られたピストンの高さの式の物理的妥当性の確認:
  • 得られた関係式 \(h’ = \frac{T’}{T} h\) は、シャルルの法則（定圧下では体積は絶対温度に比例する）を高さで表現したものです。もし気体の温度が上昇すれば（つまり \(T’ > T\) であれば）、体積が増加してピストンの高さも増加する（\(h’ > h\)）という、我々の日常的な経験や物理的な直観とよく一致します。逆もまた同様です。
• (設問3) で得られた仕事の式の物理的妥当性の確認:
  • 仕事の式 \(W = nR(T’-T)\) は、もし温度が上昇すれば（\(T’>T\)）、\(W>0\) となり、気体が膨張して外部に正の仕事をしたことを意味します。逆に温度が下降すれば（\(T'<T\)）、\(W<0\) となり、気体が圧縮されて外部から仕事をされた（あるいは気体が負の仕事をした）ことを意味します。これもまた、物理的に考えて自然な結果です。
• (設問4) で導出されたマイヤーの関係式の確認:
  • 最終的に導き出された \(C_P – C_V = R\) という関係式は、「マイヤーの関係式」として知られる、理想気体の定圧モル比熱と定積モル比熱の間に常に成り立つ非常に重要な公式です。自分の計算結果がこの有名な公式と一致したということは、それまでの計算過程や論理展開が正しかった可能性が高いことを示唆する、強力な検証手段となります。
  • また、この式が \(C_P > C_V\) であること（気体定数 \(R\) は常に正なので）を示している点は、物理的な解釈とも整合します。すなわち、定圧変化では気体が温度上昇（内部エネルギーの増加）に加えて、体積を膨張させて外部へ仕事も行うため、同じ1モルの気体を同じ温度だけ（例えば1K）上昇させるのに必要な熱量は、体積を一定に保って内部エネルギーの増加だけに全ての熱エネルギーが使われる定積変化の場合よりも、その外部へする仕事に相当する分だけ余計に必要となります。理想気体の場合、この「1モルあたり1K上昇させるために余計に必要な熱量」が、ちょうど気体定数 \(R\) に等しいのです。