「良問の風」攻略ガイド（116〜120問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題116 (金沢工大+岩手大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、2つの電池と3つの抵抗を含む直流回路について、キルヒホッフの法則を用いて各部を流れる電流や消費電力を求める典型的な問題です。回路が少し複雑に見えるかもしれませんが、基本に忠実に法則を適用していけば大丈夫です。一つ一つのステップを丁寧に確認していきましょう。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• キルヒホッフの第1法則（電流則）: 回路の分岐点では、流れ込む電流の総和と流れ出す電流の総和は等しくなります。
• キルヒホッフの第2法則（電圧則）: 任意の閉回路において、起電力の総和と電圧降下の総和は等しくなります。
• オームの法則: 抵抗 \(R\) に電流 \(I\) が流れるとき、その抵抗による電圧降下 \(V\) は \(V=RI\) で表されます。
• 電力の計算:
  • 抵抗での消費電力: \(P = RI^2\)
  • 電池の供給電力: \(P = EI\) （電流 \(I\) が電池の負極から正極へ流れる場合）
  • 電池の吸収電力（充電）: \(P = EI\) （電流 \(I\) が電池の正極から負極へ流れる場合）

問1 閉回路についてのキルヒホッフの法則

思考の道筋とポイント
キルヒホッフの第2法則を適用する際には、まず閉回路を一回りする向き（時計回りまたは反時計回り）を定めます。そして、その向きに沿って電位の変化を追跡します。

• 電池を通過するとき：負極から正極へ進むと電位は上昇（起電力 \(E\)）、正極から負極へ進むと電位は下降（\(-E\) と考えます）。
• 抵抗を通過するとき：設定した電流の向きと同じ向きに進むと電位は下降（電圧降下 \(RI\)）、電流の向きと逆向きに進むと電位は上昇（電圧上昇 \(-RI\)、あるいは電圧降下としては \(-RI\) と考えます）。

最終的に、一周したときの「起電力の総和（代数和）」と「電圧降下の総和（代数和）」が等しくなるという式を立てます。

本解説では、模範解答に合わせて以下の電流設定で進めます（これは問題文(1)の冒頭の電流指定とは異なる点に注意が必要です）。

• \(E_1\) から出て \(R_3\) を流れる電流（上向き）を \(I_1\)
• \(R_1\) を流れる電流（右向き）を \(I_2\)
• \(R_2\) を流れる電流（右向き）を \(I_1+I_2\)

この設問における重要なポイント

• 電流の仮定の向きと、閉回路をたどる向きの関係を正確に把握し、電圧の上昇・下降（または電圧降下）の符号を間違えないことが非常に重要です。
• 模範解答で採用されている電流 \(I_1, I_2\) が、回路図のどの部分を指し、どちら向きを正としているかを正確に理解して立式に臨みます。

具体的な解説と立式
模範解答に示されている式は、上記の電流設定に基づいています。

(ア) 閉回路 \(E_1 \rightarrow R_2 \rightarrow R_3 \rightarrow E_1\)

この閉回路を時計回り（\(E_1\) の正極から出て \(R_2\)、\(R_3\) を経て \(E_1\) の負極に戻る向き）にたどるものとします。

• 電池 \(E_1\): 負極から正極へたどるので、起電力 \(E_1 = 100\text{V}\) の電位上昇。
• 抵抗 \(R_2\): 電流 \(I_1+I_2\) (右向き) と同じ向きにたどるので、電圧降下は \(R_2(I_1+I_2) = 20(I_1+I_2)\)。
• 抵抗 \(R_3\): 電流 \(I_1\) (上向き) と同じ向きにたどるので、電圧降下は \(R_3 I_1 = 8I_1\)。

キルヒホッフの第2法則（起電力の総和 = 電圧降下の総和）より、
$$100 = 20(I_1+I_2) + 8I_1 \quad \cdots ①$$

(イ) 閉回路 \(E_1 \rightarrow R_1 \rightarrow E_2 \rightarrow R_3 \rightarrow E_1\)

この閉回路を時計回り（\(E_1\) の正極から出て \(R_1\)、\(E_2\)、\(R_3\) を経て \(E_1\) の負極に戻る向き）にたどるものとします。

• 電池 \(E_1\): 負極から正極へたどるので、起電力 \(E_1 = 100\text{V}\) の電位上昇。
• 抵抗 \(R_1\): 電流 \(I_2\) (右向き) と同じ向きにたどるので、電圧降下は \(R_1 I_2 = 15I_2\)。しかし、模範解答の式ではこの項が \(-15I_2\) となっています。これは、起電力と電圧降下を左右の辺に分ける際に、\(15I_2\) の電圧降下を「\(-15I_2\)の電圧上昇」として起電力側（左辺）に加えたものを移項した、あるいは閉回路のたどり方や電流の解釈に特定の前提を置いた結果と考えられます。ここでは模範解答の式を尊重します。
• 電池 \(E_2\): 正極から負極へたどるので、\(E_2 = 30\text{V}\) の電位下降。起電力の総和に含める場合は \(-30\text{V}\) として扱います。
• 抵抗 \(R_3\): 電流 \(I_1\) (上向き) と同じ向きにたどるので、電圧降下は \(R_3 I_1 = 8I_1\)。

模範解答に示されるキルヒホッフの第2法則の式は、
$$100 – 30 = -15I_2 + 8I_1 \quad \cdots ②$$
(注釈: この式②は、模範解答の数値を導くためのものです。\(R_1\) に関する項 \(-15I_2\) は、電流 \(I_2\) (右向き) に対して、閉回路を時計回りに辿る際に \(R_1\) で電流と「逆向き」に \(15\Omega\) の抵抗を通過したときの電圧降下、と解釈するとこの符号になりますが、通常の時計回りのたどり方とは異なります。あるいは、\(15I_2\) の電圧上昇があったと解釈することもできます。ここでは、模範解答の式そのものを提示します。)

設問(1)は上記の式①と②を記述することが目的です。これらの式を連立させて解くことで、電流 \(I_1\) と \(I_2\) の値が求まります。

キルヒホッフの電圧則とは、回路の中をぐるっと一周したときに、電池が電圧を上げる分と、抵抗が電圧を下げる分が、最終的につり合っている（合計でゼロになる）というルールです。

• (ア)の式は、回路 \(E_1 \rightarrow R_2 \rightarrow R_3 \rightarrow E_1\) を一周したときの電圧の関係を表しています。\(E_1\) で \(100\text{V}\) 上がり、\(R_2\) と \(R_3\) でそれぞれ \(20(I_1+I_2)\text{V}\) と \(8I_1\text{V}\) 下がるので、つり合いの式が成り立ちます。
• (イ)の式は、回路 \(E_1 \rightarrow R_1 \rightarrow E_2 \rightarrow R_3 \rightarrow E_1\) を一周したときの電圧の関係です。\(E_1\) で \(100\text{V}\) 上がり、\(E_2\) では向きによって電圧が上がったり下がったりします（この場合は \(30\text{V}\) 下がる扱い）。\(R_1\) と \(R_3\) でも電圧が下がります（模範解答の式では \(R_1\) の扱いが特殊ですが、結果としてつり合いの式が成り立ちます）。

上記で示した式①および②が、設問(1)で記述を求められているキルヒホッフの法則の具体的な形となります。これらの式は、模範解答が(2)で電流値 \(I_1=5\text{A}\), \(I_2=-2\text{A}\) を導き出すために用いたものです。

問2 電流の強さと向き

思考の道筋とポイント
問1で立てた連立方程式①と②を解くことで、電流 \(I_1\) および \(I_2\) の値を求めます。ここで \(I_1\) は \(E_1\) から出て \(R_3\) を流れる電流、\(I_2\) は \(R_1\) を右向きに流れると仮定した電流です。
計算の結果、もし \(I_2\) の値が負であれば、実際に \(R_1\) を流れる電流の向きは仮定した右向きとは逆の左向きであることを意味します。
\(E_1\) を流れる電流は \(I_1\) です。\(E_2\) を流れる電流は、模範解答の電流設定では \(I_2\) が \(E_2\) から供給される形になっているため、\(I_2\) の値とその符号から実際の向きを判断します。

この設問における重要なポイント

• 連立一次方程式を正確に解く数学的な計算力。
• 得られた電流の符号が物理的に何を意味するのか（仮定した向きと同じか逆か）を正しく解釈すること。

具体的な解説と立式
問1で得られた式を整理します。
式①より: \(100 = 20I_1 + 20I_2 + 8I_1\)
$$100 = 28I_1 + 20I_2 \quad \cdots ③$$
式②より:
$$70 = 8I_1 – 15I_2 \quad \cdots ④$$

式③と式④を連立方程式として解きます。
式④を3倍します:
$$3 \times 70 = 3 \times (8I_1 – 15I_2)$$
$$210 = 24I_1 – 45I_2 \quad \cdots ⑤$$
式③を \(\displaystyle\frac{45}{20} = \displaystyle\frac{9}{4}\) 倍します (係数を合わせるため、ここでは別の方法として式③ \(\times 3\)、式④ \(\times 4\) で \(I_2\) の係数の絶対値を合わせる方法もよく用いられます。ここでは模範解答の解 \(I_1=5, I_2=-2\) に至る計算を示します。)
式③ \(\times 3\): \(300 = 84I_1 + 60I_2 \quad \cdots ⑥\)
式④ \(\times 4\): \(280 = 32I_1 – 60I_2 \quad \cdots ⑦\)
式⑥と式⑦を足し合わせると \(I_2\) の項が消えます:
$$(84I_1 + 60I_2) + (32I_1 – 60I_2) = 300 + 280$$
$$116I_1 = 580$$
$$I_1 = \frac{580}{116}$$
ここで、\(580 \div 116 = 5\) です。（\(116 \times 5 = (100+16)\times 5 = 500+80 = 580\)）
よって、\(I_1 = 5\text{A}\)。

次に、\(I_1=5\text{A}\) を式④に代入して \(I_2\) を求めます:
$$70 = 8(5) – 15I_2$$
$$70 = 40 – 15I_2$$
$$15I_2 = 40 – 70$$
$$15I_2 = -30$$
$$I_2 = \frac{-30}{15} = -2\text{A}$$

結果として、\(I_1 = 5\text{A}\)、\(I_2 = -2\text{A}\) となります。

• \(E_1\) を流れる電流: \(I_1 = 5\text{A}\)。仮定した向き（\(E_1\) から流れ出す向き）に \(5\text{A}\)。
• \(E_2\) を流れる電流: \(I_2 = -2\text{A}\)。これは、仮定した向き（\(R_1\) を右向き、つまり \(E_2\) の正極から流れ出る向き）とは逆向きに \(2\text{A}\) であることを示します。したがって、実際には \(E_2\) の正極に \(2\text{A}\) の電流が流れ込む形となり、これは \(R_1\) を左向きに \(2\text{A}\) 流れることに相当します。設問では「\(E_2\) を流れる電流の向きは、図の左・右どちら向きか」と問われています。\(E_2\) の素子に対して左向きに \(2\text{A}\) の電流が流れることになります (正極から入り負極へ抜ける)。

問1で作った2つの式（方程式）を、数学の授業で習った「連立方程式」として解きます。具体的には、一方の式を何倍かして、もう一方の式と足したり引いたりすることで、まず \(I_1\) か \(I_2\) のどちらか一方を求めます。その後、求まった値を元の式に代入して、残りのもう一方を求めます。
計算の結果、\(I_1=5\text{A}\) となりました。これは電池 \(E_1\) から流れ出る電流です。
\(I_2=-2\text{A}\) となりました。これは抵抗 \(R_1\) を右向きに流れると仮定した電流ですが、マイナスが付いたので、実際には反対の「左向き」に \(2\text{A}\) 流れていることがわかります。
電池 \(E_2\) に流れる電流は、この \(R_1\) を流れる電流と同じなので、左向きに \(2\text{A}\) となります。

\(E_1\) を流れる電流は \(I_1 = 5\text{A}\) で、図の \(E_1\) から出る矢印の向きです。
\(E_2\) を流れる電流は、\(I_2 = -2\text{A}\) より、仮定した向き（\(E_2\) から出て右へ）とは逆向きに \(2\text{A}\) です。つまり、\(E_2\) の正極（右側）から電流が流れ込み、負極（左側）へと向かう「左向き」の電流 \(2\text{A}\) となります。これは電池 \(E_2\) が充電されている状態を意味します。

問3 3つの抵抗での消費電力の和 \(P\)

思考の道筋とポイント
各抵抗を実際に流れる電流の大きさを求め、抵抗における消費電力の公式 \(P=RI^2\) を用いてそれぞれの抵抗での消費電力を計算します。最後に、それらを合計して全体の消費電力を求めます。

• \(R_1\) を流れる電流 \(I_{R1}\): \(|I_2| = |-2\text{A}| = 2\text{A}\) (左向き)
• \(R_2\) を流れる電流 \(I_{R2}\): \(I_1+I_2 = 5\text{A} + (-2\text{A}) = 3\text{A}\) (右向き)
• \(R_3\) を流れる電流 \(I_{R3}\): \(I_1 = 5\text{A}\) (上向き)

この設問における重要なポイント

• 電力の計算 \(P=RI^2\) では、電流 \(I\) はその大きさ（絶対値）を用います。電流の向きは消費電力の大きさには影響しません。
• 各抵抗を流れる電流の値を、問2の結果から正確に把握することが大切です。

具体的な解説と立式
各抵抗での消費電力を \(P_{R1}, P_{R2}, P_{R3}\) とすると、
$$P_{R1} = R_1 I_{R1}^2 = R_1 (-I_2)^2 = R_1 I_2^2 \quad \cdots ⑧$$
(注: \(I_2 = -2\text{A}\) なので、\(I_{R1}=2\text{A}\)。したがって \(P_{R1}=R_1 (2)^2\))
$$P_{R2} = R_2 (I_1+I_2)^2 \quad \cdots ⑨$$
$$P_{R3} = R_3 I_1^2 \quad \cdots ⑩$$
求める消費電力の和 \(P\) は、
$$P = P_{R1} + P_{R2} + P_{R3} \quad \cdots ⑪$$

各抵抗を流れる電流の大きさと抵抗値を用いて、消費電力を計算します。

• \(R_1\): \(I_{R1} = 2\text{A}\) (∵ \(I_2=-2\text{A}\) だから左向きに2A)
  \(P_{R1} = 15\Omega \times (2\text{A})^2 = 15 \times 4 = 60\text{W}\)
• \(R_2\): \(I_{R2} = I_1+I_2 = 5\text{A} + (-2\text{A}) = 3\text{A}\)
  \(P_{R2} = 20\Omega \times (3\text{A})^2 = 20 \times 9 = 180\text{W}\)
• \(R_3\): \(I_{R3} = I_1 = 5\text{A}\)
  \(P_{R3} = 8\Omega \times (5\text{A})^2 = 8 \times 25 = 200\text{W}\)

これらの和を求めると、式⑪より、
\(P = P_{R1} + P_{R2} + P_{R3} = 60\text{W} + 180\text{W} + 200\text{W} = 440\text{W}\)。

それぞれの抵抗がどれくらいの電気エネルギーを熱として使っているか（消費電力）を計算します。消費電力は「抵抗の大きさ × (そこを流れる電流の大きさ)$^2$」という式で求められます。

• 抵抗\(R_1\)には \(2\text{A}\) の電流が流れるので、消費電力は \(15 \times 2^2 = 60\text{W}\)。
• 抵抗\(R_2\)には \(3\text{A}\) の電流が流れるので、消費電力は \(20 \times 3^2 = 180\text{W}\)。
• 抵抗\(R_3\)には \(5\text{A}\) の電流が流れるので、消費電力は \(8 \times 5^2 = 200\text{W}\)。

これら3つの抵抗での消費電力をすべて合計すると、\(60 + 180 + 200 = 440\text{W}\) となります。

3つの抵抗での消費電力の和 \(P\) は \(440\text{W}\) と計算できました。この電力は、抵抗で熱エネルギーとして消費されます。単位も仕事率（電力）の単位であるワット（W）で適切です。

問4 \(E_1\) の供給電力 \(Q\)

思考の道筋とポイント
電池 \(E_1\) が回路に供給する電力 \(Q\) は、その起電力 \(E_1\) と、\(E_1\) から流れ出る電流 \(I_1\) の積で与えられます。問2の結果より \(I_1=5\text{A}\) であり、これは \(E_1\) の正極から流れ出す向きの電流なので、\(E_1\) は電力を供給しています。

この設問における重要なポイント

• 電池の供給電力の公式 \(P_{\text{供給}} = EI\) を正しく適用すること。
• \(E_1\) を流れる電流 \(I_1\) の値を正確に用いること。

具体的な解説と立式
電池 \(E_1\) の供給電力 \(Q\) は、起電力 \(E_1\) と電流 \(I_1\) を用いて次のように表されます。
$$Q = E_1 I_1 \quad \cdots ⑫$$
ここで、\(E_1 = 100\text{V}\)、\(I_1 = 5\text{A}\) です。

式⑫に与えられた値を代入して \(Q\) を計算します。
\(Q = (100\text{V}) \times (5\text{A}) = 500\text{W}\)。

電池\(E_1\)が回路全体にどれだけの電気エネルギーを送り出しているか（供給電力）を計算します。電池の供給電力は、「電池の電圧（起電力） × 電池から流れ出る電流」で求めることができます。
電池\(E_1\)の電圧は \(100\text{V}\) で、そこから流れ出る電流は \(5\text{A}\) なので、これらを掛け合わせると供給電力が \(100 \times 5 = 500\text{W}\) となります。

電池 \(E_1\) が供給する電力 \(Q\) は \(500\text{W}\) です。この値は、回路全体のエネルギー源の一つからの供給量を示しています。単位もワット（W）で適切です。

問5 \(Q\) が \(P\) と一致しない理由

思考の道筋とポイント
問3で計算した3つの抵抗での総消費電力 \(P=440\text{W}\) と、問4で計算した電池 \(E_1\) の供給電力 \(Q=500\text{W}\) を比較します。\(Q > P\) であり、一致していません。
この差額の電力 \(Q – P = 500\text{W} – 440\text{W} = 60\text{W}\) は、回路内のどこかで別の形でエネルギーが変換されていることを示唆しています。
回路にはもう一つの電池 \(E_2\) が存在します。問2の結果から、\(E_2\) にはその正極（右側）から負極（左側）へ向かって \(2\text{A}\) の電流が流れ込んでいることがわかっています。これは、\(E_2\) が電力を供給するのではなく、外部から電気エネルギーを受け取っている状態、つまり「充電」されている状態を意味します。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則の観点から、回路全体のエネルギーの収支を考えること。
• 電池が充電される際には、電気エネルギーが化学エネルギー（や熱エネルギー）に変換されることを理解すること。

具体的な解説と立式
電池 \(E_1\) が供給した電力 \(Q\) のうち、一部は3つの抵抗で消費電力 \(P\) として熱エネルギーに変わります。しかし、\(Q\) と \(P\) が一致しないということは、残りの電力が他の何かに使われていることを意味します。
電池 \(E_2\) には、その正極から負極の向きへ \(I_{E2} = 2\text{A}\) の電流が流れています。このとき、電池 \(E_2\) が吸収（充電によって消費）する電力 \(P_{E2,\text{吸収}}\) は、その起電力 \(E_2\) と流れ込む電流 \(I_{E2}\) の積で与えられます。
$$P_{E2,\text{吸収}} = E_2 I_{E2} \quad \cdots ⑬$$
ここで、\(E_2 = 30\text{V}\)、\(I_{E2} = 2\text{A}\) です。

式⑬に値を代入して、電池 \(E_2\) が吸収する電力を計算します。
\(P_{E2,\text{吸収}} = (30\text{V}) \times (2\text{A}) = 60\text{W}\)。
この値 \(60\text{W}\) は、\(E_1\) の供給電力 \(Q\) と全抵抗での消費電力 \(P\) との差 \(Q-P = 500\text{W} – 440\text{W} = 60\text{W}\) と正確に一致します。
これは、エネルギー保存則が成り立っていることを示しており、\(E_1\) が供給した全電力 \(Q\) は、抵抗での消費電力 \(P\) と、電池 \(E_2\) が充電される際に吸収した電力 \(P_{E2,\text{吸収}}\) の和に等しい (\(Q = P + P_{E2,\text{吸収}}\)) ことを意味します。

電池\(E_1\)が \(500\text{W}\) の電力を供給しているのに、抵抗全体では \(440\text{W}\) しか消費されていないのはなぜか、という問題です。残りの \(500 – 440 = 60\text{W}\) の電力はどこへ行ったのでしょうか？
実は、回路中にあるもう一つの電池 \(E_2\) が、この余った電力を受け取って「充電」されているのです。電池 \(E_2\) は電圧が \(30\text{V}\) で、そこに \(2\text{A}\) の電流が流れ込んでいる（充電されている）ので、\(E_2\) が吸収している電力は \(30\text{V} \times 2\text{A} = 60\text{W}\) となります。
この \(60\text{W}\) が、供給電力と消費電力の差額とぴったり一致します。つまり、\(E_1\) が供給したエネルギーは、一部が抵抗で熱になり、残りが \(E_2\) の充電（化学エネルギーへの変換）に使われた、ということです。

\(Q\) (電池\(E_1\)の供給電力) が \(P\) (抵抗での消費電力の和) と一致しない理由は、電池 \(E_1\) が供給した電力の一部が、電池 \(E_2\) の充電（電気エネルギーが化学エネルギーや熱エネルギーに変換される過程）に使われているためです。このように、回路全体で見るとエネルギーは保存されています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• キルヒホッフの法則:
  • 第1法則（電流則）: 回路の分岐点において、流れ込む電流の総和と流れ出す電流の総和は等しい。この問題では、\(R_2\) を流れる電流を \(I_1+I_2\) と設定する際に暗黙的に活用されています。
  • 第2法則（電圧則）: 任意の閉回路において、起電力の総和と電圧降下の総和は等しい（または電位差の代数和がゼロ）。これが複雑な回路の電流を求めるための最も強力な手段であり、この問題の中心的な法則でした。
• オームの法則 (\(V=RI\)): 抵抗における電圧と電流の関係を示す基本法則で、電圧降下の計算に用いられました。
• 電力の計算式:
  • 抵抗での消費電力: \(P = RI^2\)。ジュール熱としてエネルギーが消費されることを表します。
  • 電池の供給・吸収電力: \(P = EI\)。電池がエネルギーを供給するか、逆に充電などでエネルギーを吸収するかを示します。
• エネルギー保存則: 回路全体でエネルギーの出入りを考えると、供給された総エネルギーと消費・貯蔵された総エネルギーは等しくなります。本問の(5)はまさにこの法則の現れです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 複数の電源（電池）が複雑に接続された直流回路の問題。
  • 電池の内部抵抗が無視できない場合の問題（内部抵抗も一つの抵抗として扱えば同様に解けます）。
  • スイッチの開閉によって回路構成が変化する問題（それぞれの状態でキルヒホッフの法則を適用します）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 回路図の完全な理解: まず、回路の接続関係、電源の向き、抵抗の配置を正確に把握します。
  2. 電流の仮定と設定: 回路の各部分を流れる電流を未知数として設定します。向きは任意に仮定してよく、計算結果の符号で実際の向きが判明します。分岐則を考慮して未知数の数を減らす工夫も有効です（例：模範解答の \(I_1, I_2\) と \(I_1+I_2\)）。
  3. 閉回路の選定: キルヒホッフの第2法則を適用するために、独立な閉回路を未知数の電流の数だけ選びます。どの閉回路を選んでも原理的には解けますが、計算がなるべく簡単になるような回路を選ぶと効率的です。
  4. 立式の正確性: 第2法則を適用する際、起電力の向き（電位を上げるか下げるか）と、抵抗をたどる向きと電流の向きの関係（電圧降下か上昇か）に細心の注意を払い、符号を間違えないようにします。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点:
  • 電流の向きを仮定したら、その仮定に基づいて一貫して計算を進めること。
  • 連立方程式を解く際の計算ミスに注意すること。
  • 電池が複数ある場合、どちらが主に電力を供給し、どちらが充電される（あるいは両方が供給する）可能性があるのかを、電流の向きから判断すること。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• キルヒホッフの第2法則における符号ミス:
  • 原因: 電池の起電力の向き、抵抗での電圧降下の向き（電流の向きと経路をたどる向きの関係）の判断を誤る。
  • 対策:
    1. 閉回路をたどる向き（例：時計回り）を明確に決める。
    2. 電池は、たどる向きが負極→正極なら \(+E\)、正極→負極なら \(-E\) とする。
    3. 抵抗は、たどる向きが電流の向きと同じなら電圧降下 \(+RI\)（これを方程式の右辺に置くなどルールを決める）、逆なら電圧上昇 \(-RI\)（または電圧降下 \(-RI\)）として扱う。一貫したルールを自分の中で確立することが大切です。
• 電流の向きの解釈ミス:
  • 原因: 計算結果で電流が負の値になった場合、その物理的意味（仮定した向きと逆）を正しく捉えられない。
  • 対策: 「負の値 = 仮定した向きとは逆向きに、その絶対値の大きさで流れる」と常に意識する。その後の電力計算などでは、電流の「大きさ（絶対値）」を用いることが多い点も注意。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 原因: 式の数が増えたり、係数が複雑になったりすると単純な計算ミスが起こりやすい。
  • 対策: 途中計算を丁寧に見やすく書く。検算する時間があれば行う（例えば、求まった電流値を別の閉回路の式に代入して成り立つか確認するなど）。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • 電流: 電気の粒の流れ。川の流れのように、分岐点では流れ込む量と流れ出す量が保存される（キルヒホッフ第1法則）。
  • 電位: 電気的な高さ。電池は水を汲み上げるポンプのように電位を高くし（エネルギーを供給）、抵抗は滝や段差のように電位を低くする（エネルギーを消費）。
  • キルヒホッフ第2法則: ある地点からスタートして回路を一周して同じ地点に戻ってきたとき、トータルの高さの変化（電位差）はゼロになる、というイメージ。
  • 電池の充電: 通常、電池はエネルギーを供給しますが、逆向きに電流が流れ込むと、外部からエネルギーを蓄える「充電」状態になります。これは、ポンプで水を低いところから高いところへ無理やり押し上げるイメージにも似ています。
• 図示の有効性:
  • 電流の矢印: 回路図に、仮定した電流の向きと記号（\(I_1, I_2\) など）を明確に書き込むことは、立式の第一歩です。
  • 閉回路の明示: キルヒホッフの第2法則を適用する閉回路を、色ペンなどでなぞったり、たどる向きを矢印で示したりすると、どの素子をどのように通過するかが視覚的に分かりやすくなり、符号ミスを防ぐのに役立ちます。
  • 電位の分布の概略図: 各点の電位の高低をイメージし、簡単な電位図（グラフのようなもの）を描いてみるのも、回路全体の理解を深めるのに役立つことがあります（特に複雑な場合）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• キルヒホッフの法則（第1法則、第2法則）:
  • 選定理由: 回路が抵抗の直列・並列接続だけでは簡単に解析できない場合（特に複数の電源が含まれる場合）の、最も基本的かつ普遍的な解析手法だからです。
  • 適用根拠: 第1法則は電荷保存則に、第2法則はエネルギー保存則（電位が保存量であること）に基づいています。これらの根源的な法則が、どんな複雑な回路にも適用できる理由です。
• オームの法則 (\(V=RI\)):
  • 選定理由: 抵抗という素子の基本的な性質（電圧と電流の比例関係）を表すため、抵抗が含まれる回路では必ずと言っていいほど使用します。
  • 適用根拠: キルヒホッフの第2法則で「電圧降下」を計算する際に、\(RI\) の形で具体的に記述するために必要です。
• 電力の公式 (\(P=RI^2\), \(P=EI\)):
  • 選定理由: 問題で消費電力や供給電力が問われているため、これらのエネルギー変換率を計算する公式を選びます。
  • 適用根拠: \(P=RI^2\) は抵抗で単位時間あたりにジュール熱として失われるエネルギーを、\(P=EI\) は電池で単位時間あたりに変換される（供給または吸収される）エネルギーを表しています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【準備段階】
   1. 回路図を正確に読み取り、与えられた数値（起電力、抵抗値）を整理する。
   2. 何を求めるべきか（未知の電流、電力など）を明確にする。
2. 【電流の設定】
   1. 回路の各部分を流れる電流に、向きを仮定して記号を割り当てる（例：\(I_1, I_2\)）。
      （模範解答では \(R_3\) に \(I_1\)、\(R_1\) に \(I_2\)(右向き)、\(R_2\) に \(I_1+I_2\)(右向き) と設定）
3. 【キルヒホッフの法則による立式】
   1. 独立な閉回路を、未知数の電流の数だけ選ぶ。
   2. 選んだ各閉回路について、キルヒホッフの第2法則（電圧則）を適用し、電流に関する方程式を立てる。（本問(1)の式①、②がこれに相当）
   3. 必要に応じて、キルヒホッフの第1法則（電流則）も用いて電流間の関係式を作る（本問では \(I_1+I_2\) という設定に織り込まれている）。
4. 【連立方程式の求解】
   1. 立式した連立一次方程式を、加減法や代入法などを用いて解き、各電流の値を求める。（本問(2)の前半）
   2. 電流の符号から、実際の電流の向きを判断する。（本問(2)の後半）
5. 【各種物理量の計算】
   1. 求めた電流値を用いて、問題で要求されている消費電力や供給電力を計算する。（本問(3)、(4)）
6. 【結果の吟味・考察】
   1. 得られた結果が物理的に妥当か（例：エネルギー保存は成り立っているか）を考察する。（本問(5)）

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 方程式の整理を丁寧に行う: 立式したキルヒホッフの法則の式は、まず各項を整理し、\(AI_1 + BI_2 = C\) のような標準的な形に直してから連立方程式を解き始めると、見通しが良くなり、ミスを減らせます。
• 符号の扱いに最大限の注意を払う:
  • 電圧の上昇/下降、電流の向き、経路をたどる向きなど、符号が絡む要素が多いので、一つ一つ確認しながら計算を進めましょう。
  • 特に、連立方程式を解く際の移項や、式全体にマイナスを掛ける操作などでの符号反転ミスに注意が必要です。
• 大きな数字や分数の計算は慎重に: 必要であれば、計算スペースを十分に取り、筆算などで確実に計算しましょう。
• 検算の習慣をつける（時間が許せば）:
  • 求まった電流値を、元の方程式（立式したもの）に代入してみて、等式が成り立つか確認する。
  • あるいは、使わなかった別の閉回路で電圧則が成り立つか確認してみるのも良い検算方法です。
• 日頃の練習:
  • 類似問題を数多くこなし、計算プロセスに習熟する。
  • 計算過程を省略せずにノートに書く練習をする。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との整合性:
  • 電流の向きと大きさ: 主要な電源からは電流が流れ出し、抵抗値の小さい経路には比較的大きな電流が流れるなど、大まかな傾向が計算結果と合っているか。極端に大きな電流値や小さな電流値が出た場合は、計算ミスを疑うきっかけになります。
  • 電池の役割: この問題のように複数の電池がある場合、どちらが主に電力を供給し、どちらが充電される（あるいは両方供給する）のか、結果として妥当か考えてみましょう。\(E_1\) (100V) が \(E_2\) (30V) より起電力が大きいので、\(E_1\) が主電源となり \(E_2\) が充電されるという結果は、直感的にもあり得そうです。
• エネルギー保存の確認:
  • 本問の(5)がまさにこれに当たります。供給された総電力と、消費（および充電などで吸収）された総電力が等しくなっているかを確認することは、解全体の妥当性を検証する強力な手段です。差がある場合は、計算ミスか、見落としているエネルギーの形態（例：内部抵抗での消費など、本問では無視）がないかを確認します。
• 単位の確認:
  • 計算の最終結果だけでなく、途中の物理量の単位も意識しましょう。電流ならアンペア[A]、電圧ならボルト[V]、抵抗ならオーム[Ω]、電力ならワット[W]といった基本単位が正しく使われているか、常に確認する習慣が大切です。
• 極端な場合を考えてみる（思考実験）:
  • 例えば、ある抵抗値が非常に大きい（ほぼ断線）または非常に小さい（ほぼ短絡）としたら、回路の電流分布はどうなるはずか？ それと計算方法の整合性は取れているか？などを考えてみることで、問題や公式への理解が深まることがあります（本問に直接適用する場面は少ないですが、一般的な物理の演習として有効です）。

問題117 (千葉工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、乾電池の内部抵抗に関する基本的な知識と、直流回路における合成抵抗や消費電力の計算を組み合わせた問題です。図1のグラフから乾電池の特性（起電力と内部抵抗）を読み取り、それを用いて図2の複雑な回路における電流や抵抗値を考察します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• 電池の端子電圧: \(V = E – rI\) (起電力 \(E\)、内部抵抗 \(r\)、流れる電流 \(I\))
• オームの法則: \(V = IR\)
• 抵抗の合成:
  • 直列接続: \(R_{\text{直列}} = R_1 + R_2 + \cdots\)
  • 並列接続: \(\displaystyle\frac{1}{R_{\text{並列}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots\)
• 消費電力: \(P = VI = RI^2 = \displaystyle\frac{V^2}{R}\)

問題解決の全体戦略
まず、(1)と(2)では、図1のグラフから電池の基本特性である起電力 \(E\) と内部抵抗 \(r\) を求めます。これはグラフの切片と傾き、あるいは2点を通る直線の式から求めることができます。
(3)では、(1)(2)で得られた \(E\) と \(r\) を用いて、特定の電流値における端子電圧を計算します。
(4)では、まず図2の回路に乾電池Kを接続したときの状況を考えます。与えられた電流値 \(0.20\text{A}\) は、(1)(2)で求めた電池の特性と関連付けられます。このときの端子電圧を求め、AB間の消費電力を計算します。次に、AB間の合成抵抗 \(R_{\text{AB}}\) を \(R\) を用いて表し、消費電力と電流の関係、あるいは端子電圧と電流の関係から \(R_{\text{AB}}\) の値を特定し、最終的に \(R\) の値を求めます。

問1 乾電池Kの起電力 \(E\)

問2 乾電池Kの内部抵抗 \(r\)

思考の道筋とポイント (問1, 問2共通)

乾電池の両端間の電位差 \(V\) と回路を流れる電流 \(I\) の間には、\(V = E – rI\) という関係があります。ここで、\(E\) は起電力、\(r\) は内部抵抗です。この式は \(I\) を横軸、\(V\) を縦軸にとると、傾きが \(-r\) で、\(V\)切片（\(I=0\) のときの \(V\)）が \(E\) となる直線を表します。
図1のグラフから2点の座標 \((I_1, V_1) = (0.2\text{A}, 1.5\text{V})\) と \((I_2, V_2) = (1.2\text{A}, 1.0\text{V})\) を読み取り、これらの点を通る直線の傾きと \(V\)切片を求めることで、\(r\) と \(E\) を決定します。

この設問における重要なポイント (問1, 問2共通)

• 電池の端子電圧の式 \(V=E-rI\) を理解している。
• グラフから直線の傾きと切片を読み取る（または計算する）方法を理解している。
• 傾きが内部抵抗の負の値 (\(-r\))、\(V\)切片が起電力 \(E\) に対応することを把握する。

具体的な解説と立式 (問1, 問2共通)

乾電池の端子電圧 \(V\)、起電力 \(E\)、内部抵抗 \(r\)、電流 \(I\) の関係式は以下で与えられます。

$$V = E – rI \quad \cdots ①$$

この式は、\(V\) を \(I\) の関数とみると、傾き \(-r\)、\(V\) 切片 \(E\) の一次関数です。

図1のグラフから2点 \((0.2\text{A}, 1.5\text{V})\) と \((1.2\text{A}, 1.0\text{V})\) を読み取ります。
直線の傾きは \(\displaystyle\frac{\Delta V}{\Delta I}\) で計算できます。

$$\text{傾き} = \displaystyle\frac{1.0\text{V} – 1.5\text{V}}{1.2\text{A} – 0.2\text{A}} \quad \cdots ②$$

この傾きが \(-r\) に等しいので、

$$-r = \text{傾き} \quad \cdots ③$$

起電力 \(E\) は、\(I=0\) のときの \(V\) の値（\(V\)切片）です。式①の形から、グラフの直線を \(I=0\) まで延長したときの \(V\) の値が \(E\) となります。
または、求めた傾き \(-r\) とグラフ上の1点 \((I_A, V_A) = (0.2\text{A}, 1.5\text{V})\) を用いて、式①から \(E\) を求めることができます。

$$V_A = E – rI_A \quad \cdots ④$$

まず、式②を用いてグラフの傾きを計算します。

$$\text{傾き} = \displaystyle\frac{1.0 – 1.5}{1.2 – 0.2} = \displaystyle\frac{-0.5}{1.0} = -0.50 \text{ V/A (または } \Omega \text{)}$$

次に、式③から内部抵抗 \(r\) を求めます。

$$-r = -0.50 \Omega$$$$r = 0.50 \Omega$$

これが問2の答えです。

次に、起電力 \(E\) を求めます。式④に \(V_A = 1.5\text{V}\)、\(I_A = 0.2\text{A}\)、そして求めた \(r = 0.50\Omega\) を代入します。

$$1.5\text{V} = E – (0.50\Omega \times 0.2\text{A})$$$$1.5 = E – 0.10$$$$E = 1.5 + 0.10 = 1.6 \text{ V}$$

これが問1の答えです。

【別解：直線の式を立てる方法】
グラフが2点 \((0.2, 1.5)\) と \((1.2, 1.0)\) を通る直線の式は、

$$V – 1.5 = \displaystyle\frac{1.0-1.5}{1.2-0.2}(I-0.2)$$$$V – 1.5 = \displaystyle\frac{-0.5}{1.0}(I-0.2)$$$$V – 1.5 = -0.5(I-0.2)$$$$V – 1.5 = -0.5I + 0.1$$$$V = -0.5I + 1.6 \quad \cdots ⑤$$

この式⑤と、電池の基本式 \(V = E – rI\) (式①) の係数を比較します。

$$E = 1.6 \text{V}$$$$r = 0.50 \Omega$$

電池には、電気を送り出す力（起電力 \(E\)）と、電気の流れにくさ（内部抵抗 \(r\)）があります。電池から電流 \(I\) が流れるとき、電池の両端の電圧 \(V\) は \(V = E – rI\) という式で表されます。これは、グラフにすると直線になります。

1. 内部抵抗 \(r\) を求める: グラフの傾きが \(-r\) を表します。グラフから2点（例えば \(I=0.2\text{A}\) のとき \(V=1.5\text{V}\)、\(I=1.2\text{A}\) のとき \(V=1.0\text{V}\)）を選び、傾きを計算します。傾きは \(\frac{(1.0-1.5)}{(1.2-0.2)} = -0.5\) となります。なので、\(-r = -0.5\) から \(r = 0.50\Omega\) です。
2. 起電力 \(E\) を求める: 起電力 \(E\) は、電流 \(I\) が \(0\) のときの電圧 \(V\) の値です（グラフの \(V\)軸との交点）。求めた \(r\) の値とグラフ上の1点（例えば \(I=0.2\text{A}, V=1.5\text{V}\)）を \(V = E – rI\) の式に代入して \(E\) を計算します。\(1.5 = E – 0.50 \times 0.2\) を解くと \(E = 1.6\text{V}\) となります。

乾電池Kの起電力 \(E\) は \(1.6\text{V}\)、内部抵抗 \(r\) は \(0.50\Omega\) です。これらの値は、一般的な乾電池の特性として妥当な範囲です。グラフが右下がりであることからも、内部抵抗が存在し、電流が増えるほど端子電圧が下がることが確認できます。

問3 乾電池Kの両端間の電位差

思考の道筋とポイント

問1、問2で求めた起電力 \(E\) と内部抵抗 \(r\) の値（または導出した \(V\) と \(I\) の関係式 \(V = -0.5I + 1.6\)）を使って、\(I=1.0\text{A}\) のときの \(V\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 電池の端子電圧の式 \(V=E-rI\) を利用する。
• 既に求めた \(E\) と \(r\) の値、あるいは \(V\) と \(I\) の関係式を正しく用いる。

具体的な解説と立式

乾電池の端子電圧 \(V\) と電流 \(I\) の関係は、式⑤ \(V = -0.5I + 1.6\) で与えられています。
この式に \(I=1.0\text{A}\) を代入します。

$$V = -0.5 \times 1.0 + 1.6 \quad \cdots ⑥$$

式⑥を計算します。

$$V = -0.5 + 1.6$$$$V = 1.1 \text{ V}$$

電池の両端の電圧 \(V\) と流れる電流 \(I\) の間には、\(V = -0.5I + 1.6\) という関係があることが(1)(2)で分かりました（または \(E=1.6\text{V}, r=0.50\Omega\) なので \(V = 1.6 – 0.50 \times I\)）。
この式に、電流 \(I=1.0\text{A}\) を代入すれば、そのときの電圧 \(V\) が求まります。
\(V = -0.5 \times 1.0 + 1.6 = -0.5 + 1.6 = 1.1\text{V}\)。

回路を流れる電流が \(1.0\text{A}\) のとき、乾電池Kの両端間の電位差は \(1.1\text{V}\) です。これは図1のグラフ上の点 \((1.0, 1.1)\) に対応し、グラフの直線関係と整合しています。

問4 消費電力の和と\(R\)

思考の道筋とポイント

まず、乾電池Kから \(I = 0.20\text{A}\) の電流が流れ出たときの、乾電池Kの端子電圧 \(V_{\text{AB}}\) を求めます。これは(1)(2)で求めた電池の特性 \(V = E-rI\) （または \(V = -0.5I+1.6\)）から計算できます。
AB間の3つの抵抗での消費電力の和は、この端子電圧 \(V_{\text{AB}}\) と電流 \(I\) を用いて \(P = V_{\text{AB}}I\) で計算できます。
次に、抵抗 \(R\) を求めるために、図2のAB間の合成抵抗 \(R_{\text{AB}}\) を \(R\) を用いて表します。そして、オームの法則 \(V_{\text{AB}} = R_{\text{AB}}I\) を利用して \(R_{\text{AB}}\) の値を求め、そこから \(R\) を算出します。

この設問における重要なポイント

• 電池の特性 (\(V=E-rI\)) を使って、特定の電流が流れるときの端子電圧を求める。
• 回路全体の消費電力は、電池の端子電圧と回路全体を流れる電流の積で計算できる。
• 並列回路と直列回路の合成抵抗の計算方法を正しく適用する。
• オームの法則 \(V=RI\) を回路全体（または部分）に適用する。

具体的な解説と立式

乾電池Kを端子A, Bに接続し、Aから \(I = 0.20\text{A}\) の電流が流れたとします。この電流は乾電池Kから流れ出る電流です。
このときの乾電池Kの端子電圧 \(V_{\text{AB}}\) は、式⑤ \(V = -0.5I + 1.6\) を用いて計算できます。

$$V_{\text{AB}} = -0.5 \times 0.20 + 1.6 \quad \cdots ⑦$$

AB間の3つの抵抗での消費電力の和 \(P_{\text{消費}}\) は、この端子電圧 \(V_{\text{AB}}\) と電流 \(I\) を用いて、

$$P_{\text{消費}} = V_{\text{AB}}I \quad \cdots ⑧$$

次に、図2のAB間の合成抵抗 \(R_{\text{AB}}\) を求めます。
上側の枝の抵抗は \(R_{\text{上}} = 10\Omega + R\)。
下側の枝の抵抗は \(R_{\text{下}} = 12\Omega\)。
これらが並列に接続されているので、合成抵抗 \(R_{\text{AB}}\) は、

$$\displaystyle\frac{1}{R_{\text{AB}}} = \frac{1}{R_{\text{上}}} + \frac{1}{R_{\text{下}}} = \frac{1}{10+R} + \frac{1}{12} \quad \cdots ⑨$$

また、オームの法則より、AB間の電圧 \(V_{\text{AB}}\)、電流 \(I\)、合成抵抗 \(R_{\text{AB}}\) の間には次の関係が成り立ちます。

$$V_{\text{AB}} = R_{\text{AB}}I \quad \cdots ⑩$$

式⑩から \(R_{\text{AB}}\) の値を求め、式⑨と等置することで \(R\) を求めます。

まず、式⑦を用いて \(V_{\text{AB}}\) を計算します。

$$V_{\text{AB}} = -0.5 \times 0.20 + 1.6 = -0.10 + 1.6 = 1.5 \text{ V}$$

次に、式⑧を用いて消費電力 \(P_{\text{消費}}\) を計算します。

$$P_{\text{消費}} = 1.5\text{V} \times 0.20\text{A} = 0.30 \text{ W}$$

これがAB間の3つの抵抗での消費電力の和です。

次に \(R\) を求めます。式⑩から \(R_{\text{AB}}\) を求めます。

$$R_{\text{AB}} = \displaystyle\frac{V_{\text{AB}}}{I} = \frac{1.5\text{V}}{0.20\text{A}} = 7.5 \Omega$$

式⑨を変形して \(R_{\text{AB}}\) を \(R\) で表します。

$$\displaystyle\frac{1}{R_{\text{AB}}} = \frac{12 + (10+R)}{12(10+R)} = \frac{22+R}{12(10+R)}$$
$$R_{\text{AB}} = \displaystyle\frac{12(10+R)}{22+R}$$

この \(R_{\text{AB}}\) が \(7.5\Omega\) に等しいので、

$$7.5 = \displaystyle\frac{12(10+R)}{22+R}$$

両辺に \((22+R)\) を掛けます。

$$7.5(22+R) = 12(10+R)$$
$$165 + 7.5R = 120 + 12R$$

定数項を左辺に、\(R\) の項を右辺にまとめます。

$$165 – 120 = 12R – 7.5R$$$$45 = 4.5R$$$$R = \displaystyle\frac{45}{4.5} = 10 \Omega$$

1. AB間の電圧を求める: 電池から \(0.20\text{A}\) の電流が流れるとき、電池の端子電圧（これがAB間の電圧 \(V_{\text{AB}}\) になる）を計算します。\(V = -0.5I + 1.6\) の式に \(I=0.20\text{A}\) を代入すると、\(V_{\text{AB}} = 1.5\text{V}\) となります。
2. 消費電力を求める: AB間の3つの抵抗全体での消費電力は、AB間の電圧 \(V_{\text{AB}}\) とそこを流れる電流 \(I\) を使って、\(P = V_{\text{AB}}I\) で計算できます。\(P = 1.5\text{V} \times 0.20\text{A} = 0.30\text{W}\) です。
3. AB間の合成抵抗を求める(1): オームの法則 \(V_{\text{AB}} = R_{\text{AB}}I\) から、AB間の全体の抵抗 \(R_{\text{AB}}\) は \(R_{\text{AB}} = V_{\text{AB}}/I = 1.5\text{V} / 0.20\text{A} = 7.5\Omega\) となります。
4. AB間の合成抵抗を求める(2): 図2の回路から、AB間の全体の抵抗 \(R_{\text{AB}}\) を \(R\) を使って式で表します。上の枝は \(10\Omega\) と \(R\) が直列なので \(10+R\)。下の枝は \(12\Omega\)。これらが並列なので、\(\frac{1}{R_{\text{AB}}} = \frac{1}{10+R} + \frac{1}{12}\)。これを整理すると \(R_{\text{AB}} = \frac{12(10+R)}{22+R}\) となります。
5. \(R\)の値を求める: ステップ3で求めた \(R_{\text{AB}}=7.5\Omega\) とステップ4の式を等しいと置いて \(R\) について解きます。\(7.5 = \frac{12(10+R)}{22+R}\) を解くと \(R=10\Omega\) となります。

AB間の3つの抵抗での消費電力の和は \(0.30\text{W}\) です。また、抵抗 \(R\) の値は \(10\Omega\) です。これらの値は、基本的な回路法則と電池の特性から導出されました。単位もそれぞれワット[W]とオーム[\(\Omega\)]で適切です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電池の端子電圧と内部抵抗の関係 (\(V=E-rI\)): 乾電池のような実際の電源の振る舞いを理解する上で最も基本的な式です。グラフとの関連付け（\(V\)切片が\(E\)、傾きが\(-r\)）をしっかり押さえることが重要です。
• オームの法則 (\(V=IR\)): 回路のどの部分にも適用できる普遍的な法則です。合成抵抗を考える際にも、個々の抵抗にかかる電圧や電流を考える際にも使います。
• 抵抗の合成（直列・並列）: 複雑な回路の全抵抗を求めるための基本的な手法です。図2の回路では、直列部分と並列部分を正しく見抜く必要がありました。
• 電力の計算 (\(P=VI, P=RI^2\)): 回路で消費されるエネルギーの割合（電力）を計算する公式です。状況に応じて使いやすい形を選びます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 電池の内部抵抗が関わる問題全般（グラフの読み取り、回路計算）。
  • 複雑な抵抗回路の合成抵抗を求める問題。
  • 回路全体の消費電力や、特定の抵抗での消費電力を求める問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. グラフの情報: \(V-I\)グラフが与えられた場合、まず \(V=E-rI\) の関係を思い出し、グラフから \(E\) と \(r\) を読み取れないか検討します。切片や傾きに注目します。
  2. 回路の構造: 複雑な回路でも、直列部分と並列部分に分解して考えることが基本です。どこが直列でどこが並列かを図から正確に読み取ります。
  3. 既知の量と未知の量: 問題で何が与えられていて、何を求めるべきかを明確にします。一つの設問で得られた結果が、次の設問を解くための既知の量になることが多いです。
  4. 適用する法則の選択: 電圧、電流、抵抗の関係ならオームの法則。電池の特性なら \(V=E-rI\)。電力なら \(P=VI\) など、状況に応じて適切な公式を選びます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• グラフの読み取りミス: 傾きや切片の値を読み間違えたり、軸の単位を見落としたりする。
  • 対策: グラフの軸のラベル（物理量と単位）をしっかり確認する。傾きを計算する際は、2点の座標を正確に読み取り、計算ミスをしないように注意する。
• 内部抵抗 \(r\) と外部抵抗 \(R\) の混同: 電池の端子電圧の式 \(V=E-rI\) における \(r\) は内部抵抗であり、回路に接続された外部の抵抗 \(R\) とは区別する。
  • 対策: 式の意味を正確に理解し、文字記号が何を表しているかを常に意識する。
• 合成抵抗の計算ミス: 特に並列接続の場合の逆数の和の計算や、その後の逆数に戻す操作を忘れやすい。
  • 対策: 並列接続の公式 \(\frac{1}{R_{\text{並列}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) を正確に使い、計算過程を丁寧に書く。分数計算は慎重に。
• 電流と電圧の対応関係の誤り: オームの法則 \(V=RI\) や電力の公式 \(P=VI\) を使う際に、どの部分の電圧・電流・抵抗（または電力）について考えているのかが曖昧だと間違える。
  • 対策: 回路図の特定の部分（例えばAB間全体、あるいは個々の抵抗）に着目し、その部分に対応する電圧、電流、抵抗（電力）の値を用いるように意識する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • \(V-I\)グラフ: 電池から大きな電流を取り出そうとすると（外部抵抗を小さくすると）、電池内部での電圧降下 (\(rI\)) が大きくなり、結果として電池の外に出てくる電圧（端子電圧 \(V\)）が下がっていく様子をイメージする。\(I=0\) のときが、電池が最も元気な状態（起電力 \(E\)）に対応する。
  • 図2の回路: 電流がA点から入り、上の道（\(10\Omega\) と \(R\)）と下の道（\(12\Omega\)）に分かれて流れ、B点から出ていく様子を水の流れのようにイメージする。各道での流れにくさ（抵抗）に応じて電流が分配される。
• 図示の有効性:
  • \(V-I\)グラフでは、切片が \(E\)、傾きが \(-r\) であることを書き込むと理解が深まる。
  • 図2の回路では、各抵抗を流れる電流や各抵抗にかかる電圧を文字で置いて図に書き込み、関係式を立てる際に参照するとよい。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(V=E-rI\): これは電池という電源のモデルを表す式。起電力 \(E\) という「理想的な電圧源」と、それと直列につながった内部抵抗 \(r\) が電池の内部にあると考える。電流 \(I\) が流れると内部抵抗 \(r\) で \(rI\) だけ電圧が下がるため、外に出てくる電圧 \(V\) は \(E-rI\) となる。
• 合成抵抗の公式: 回路全体を一つの抵抗とみなしたときに、その抵抗値がどうなるかを示すもの。電流の流れ方（一本道か分岐か）によって直列・並列の考え方を使い分ける。物理的には、同じ電流が流れるなら電圧降下は抵抗に比例（直列）、同じ電圧がかかるなら電流は抵抗に反比例（並列）という性質から導かれる。
• \(P=VI\): 電力の定義の一つ。単位時間に電荷 \(q\) が電位差 \(V\) のある区間を移動するときにする仕事（またはされる仕事）が \(qV\)。電流 \(I=q/t\) なので、電力（単位時間あたりの仕事）は \(VI\) となる。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)(2) 電池の特性決定:
   1. \(V=E-rI\) の関係を認識。
   2. グラフから2点の \((I,V)\) 座標を読み取る。
   3. 2点から直線の傾き \(-r\) と \(V\)切片 \(E\) を計算する（または連立方程式を解く）。
2. (3) 特定電流時の端子電圧:
   1. 求めた \(E, r\) (または \(V-I\) 関係式) に指定された電流 \(I=1.0\text{A}\) を代入して \(V\) を計算。
3. (4) 複雑な回路の解析:
   1. 指定された電流 \(I=0.20\text{A}\) が流れるときの電池の端子電圧 \(V_{\text{AB}}\) を \(V=E-rI\) から計算。
   2. AB間の消費電力 \(P_{\text{消費}}\) を \(V_{\text{AB}}I\) で計算。
   3. 図2のAB間の合成抵抗 \(R_{\text{AB}}\) を \(R\) を使って式で表す（直列・並列の合成）。
   4. オームの法則 \(V_{\text{AB}} = R_{\text{AB}}I\) から \(R_{\text{AB}}\) の数値を計算。
   5. 上記2つの \(R_{\text{AB}}\) の表現を等置し、\(R\) について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの読み取りと傾き計算: 座標の読み間違い、引き算の順序（\(\Delta V, \Delta I\) の対応）に注意。
• 有効数字: 問題文やグラフの数値の有効数字を意識し、最終的な答えも適切な桁数で出す（本問の模範解答は有効数字2桁）。
• 合成抵抗の計算（特に並列）: \(\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) の計算後、\(R_p\) を求める際に逆数を取るのを忘れない。通分計算も慎重に。
• 方程式の変形・整理: 特に分数や小数を含む方程式を解く際は、焦らず一段階ずつ丁寧に行う。検算も有効。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な値のオーダー感覚:
  • 乾電池の起電力 \(E\) は \(1.5\text{V}\) 程度、内部抵抗 \(r\) は数Ω以下であることが多い。今回の \(E=1.6\text{V}, r=0.50\Omega\) は妥当。
  • 抵抗値 \(R\) が負になったり、極端に大きな値になったりしないか確認する。
• グラフとの整合性: (3)で計算した値が、図1のグラフ上の点としてプロットできるか、直線関係から大きく外れていないかを確認する。
• 単位の確認: 計算結果の単位が、求めたい物理量の単位（電圧ならV、抵抗ならΩ、電力ならW）と一致しているか常に意識する。

問題118 (岡山大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、直流回路における電圧測定の方法と、電位差計を用いた電池の起電力測定に関するものです。大きく分けて3つの設問があります。

1. 設問(1): 図1のように、内部抵抗を持つ電池に内部抵抗を持つ電圧計を接続したとき、電圧計が示す値を求めます。ここでは、電圧計を接続することによる回路への影響（分圧）を理解しているかが問われます。
2. 設問(2): 図2の電位差計の回路で、既知の起電力を持つ標準電池 \(E_S\) を用い、検流計に電流が流れないように接点Cを調整したときの抵抗値 \(R_S\) を、回路を流れる電流 \(I\) などを用いて表します。電位差計の基本原理の理解が鍵となります。
3. 設問(3): 設問(2)に続き、今度は測定したい電池D（起電力 \(E\)、内部抵抗 \(r\)）を電位差計に接続し、同様に検流計に電流が流れない条件での抵抗値 \(R\) を用いて、電池Dの起電力 \(E\) を既知の量で表します。設問(2)の結果を利用して、電位差計による起電力測定の公式を導き出す流れになります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• オームの法則: 抵抗 \(R\) の両端の電圧 \(V\) と、流れる電流 \(I\) の関係 \(V=RI\)。
• キルヒホッフの法則: 特に第二法則（電圧則）は、閉回路における電位の関係を示します。
• 電池の端子電圧: 電池が電流を供給しているとき、その端子間の電圧 \(V\) は、起電力 \(E\) と内部抵抗 \(r\)、電流 \(I\) を用いて \(V = E – rI\) と表されます。電流が流れていなければ \(V=E\) です。
• 電位差計の原理: 検流計に電流が流れないという条件は、検流計が接続されている2点間の電位差が0であること、つまりその2点の電位が等しいことを意味します。これを利用して、未知の電圧や起電力を精密に測定します。

問1

思考の道筋とポイント

図1の回路について考えます。電池D、その内部抵抗 \(r\)、そして内部抵抗 \(r_V\) を持つ電圧計Vが実質的に一つの閉回路を形成しています。この回路に流れる電流を \(i\) とします。
電圧計が示す値 \(V\) は、電圧計の両端の電位差です。これはオームの法則により \(V = r_V i\) と表すことができます。
また、電池Dの端子電圧もこの \(V\) に等しくなります。電池の起電力 \(E\)、内部抵抗 \(r\)、そして回路に流れる電流 \(i\) の間には \(V = E – ri\) という関係があります。
これら2つの \(V\) に関する式を連立させ、電流 \(i\) を消去することで、電圧計の指示値 \(V\) を \(E, r, r_V\) を用いて表します。

この設問における重要なポイント

• 回路を流れる電流を \(i\) とおく。
• 電圧計の指示値 \(V\) は、\(V = r_V i\) である。
• 電池の端子電圧も \(V\) であり、\(V = E – ri\) である。
• 上記2式から \(i\) を消去する。

具体的な解説と立式

図1の回路において、電池Dから電圧計Vを通って流れる電流を \(i\) とします。
電圧計Vが示す値は、電圧計自身の両端の電位差です。電圧計の内部抵抗が \(r_V\) なので、オームの法則より、
$$V = r_V i \quad \cdots ①$$
ここで、電圧計の指示値を \(V\) としています（問題文の空欄(1)に相当）。

一方、電池Dの端子間に電圧計Vが接続されているので、電池Dの端子電圧も \(V\) です。電池の起電力が \(E\)、内部抵抗が \(r\) なので、端子電圧 \(V\) は次のように表されます。
$$V = E – ri \quad \cdots ②$$
式①と②から電流 \(i\) を消去して \(V\) を求めます。

式①を \(i\) について解くと、
$$i = \displaystyle\frac{V}{r_V} \quad \cdots ③$$
この式③を式②に代入します。
$$V = E – r \left( \displaystyle\frac{V}{r_V} \right)$$
この式を \(V\) について整理します。まず、右辺の第2項を左辺に移項します。
$$V + r \displaystyle\frac{V}{r_V} = E$$
左辺を \(V\) でくくります。
$$V \left( 1 + \displaystyle\frac{r}{r_V} \right) = E$$
括弧の中を通分します。 \(1 + \displaystyle\frac{r}{r_V} = \displaystyle\frac{r_V}{r_V} + \displaystyle\frac{r}{r_V} = \displaystyle\frac{r_V+r}{r_V}\)。
$$V \left( \displaystyle\frac{r_V+r}{r_V} \right) = E$$
最後に、両辺に \(\displaystyle\frac{r_V}{r_V+r}\) を掛けて \(V\) を求めます。
$$V = \displaystyle\frac{r_V}{r_V+r} E \quad \cdots ④$$

1. 回路に流れる電流を \(i\) とします。
2. 電圧計が示す電圧 \(V\) は、電圧計の内部抵抗 \(r_V\) と電流 \(i\) を使って \(V = r_V i\) と書けます。
3. 同じ電圧 \(V\) は、電池の性質から \(V = E – ri\) とも書けます（\(E\) は起電力、\(r\) は内部抵抗）。
4. 最初の式から \(i = V/r_V\) となるので、これを二番目の式に代入すると \(V = E – r(V/r_V)\) となります。
5. この式を \(V\) について解くと、\(V = \displaystyle\frac{r_V}{r_V+r}E\) が得られます。これは、電池の起電力 \(E\) が、電圧計の内部抵抗 \(r_V\) と電池の内部抵抗 \(r\) の和に対して、\(r_V\) の割合で分圧されることを意味しています。

電圧計Vが示す値は \(V = \displaystyle\frac{r_V}{r_V+r}E\) [V] です。
この結果は、電池の起電力 \(E\) が、電池の内部抵抗 \(r\) と電圧計の内部抵抗 \(r_V\) との直列回路において、\(r_V\) にかかる分圧として現れることを示しています。
もし電圧計の内部抵抗 \(r_V\) が電池の内部抵抗 \(r\) に比べて非常に大きければ（\(r_V \gg r\)）、\(r_V+r \approx r_V\) となり、\(V \approx E\) となります。これは、高性能な電圧計ほど起電力に近い値を示すという事実に合致します。

問2

思考の道筋とポイント

図2の回路は「電位差計」と呼ばれる装置の原理を示しています。
スイッチS1を閉じ、S2を①に入れると、標準電池 \(E_S\) が検流計Gを介して抵抗ABのAC部分に接続されます。
「検流計Gに電流が流れない」という条件が最も重要です。これは、検流計Gの両端の電位が等しいことを意味します。具体的には、標準電池 \(E_S\) の正極（スイッチS2の①側端子）の電位と、抵抗線上の点Cの電位が等しくなります。
標準電池 \(E_S\) の回路部分には電流が流れていないので、その両端の電位差は起電力 \(E_S\) そのものです。
一方、抵抗ABには電池 \(E_0\) によって電流 \(I\) が流れています（問題文で「S1を開いたとき、ABに流れる電流を \(I\)[A]とする」とあり、この \(I\) がS1を閉じた後もABを流れる主電流であると解釈します。検流計部分に電流が分岐しないため、この解釈が成り立ちます）。AC間の抵抗値が \(R_S\) なので、オームの法則によりAC間の電位降下は \(R_S I\) となります。
これらの電位差が等しい（\(E_S = R_S I\)）という関係式を立て、\(R_S\) について解きます。

この設問における重要なポイント

• 検流計Gに電流が流れない \(\iff\) Gの両端の電位が等しい。
• 標準電池 \(E_S\) に電流が流れないため、その端子電圧は起電力 \(E_S\) に等しい。
• 抵抗ABには電流 \(I\) が流れており、AC間の抵抗は \(R_S\)。したがってAC間の電位降下は \(V_{\text{AC}} = R_S I\)。
• 電位差計の釣り合い条件から \(E_S = V_{\text{AC}}\)。

具体的な解説と立式

スイッチS1を閉じ、S2を①に入れた状態を考えます。
検流計Gに電流が流れないという条件は、検流計の接続点（標準電池 \(E_S\) の正極側と点C）の電位が等しいことを意味します。
このとき、標準電池 \(E_S\) を含む閉回路には電流が流れません。したがって、標準電池 \(E_S\) の端子電圧は、その起電力 \(E_S\) に等しくなります。
抵抗ABには、電池 \(E_0\) によって電流 \(I\) が流れています。設問の指示より、この電流はS1が開いているときも閉じているとき（ただしGに電流が流れない場合）も \(I\) で一定であるとします。
AC間の抵抗値が \(R_S\) なので、オームの法則によりAC間の電位降下 \(V_{\text{AC}}\) は、
$$V_{\text{AC}} = R_S I \quad \cdots ⑤$$
検流計Gに電流が流れないという釣り合いの条件から、標準電池の起電力 \(E_S\) がAC間の電位降下 \(V_{\text{AC}}\) に等しくなります。
$$E_S = V_{\text{AC}} \quad \cdots ⑥$$
したがって、式⑤と⑥より、
$$E_S = R_S I \quad \cdots ⑦$$

式⑦ (\(E_S = R_S I\)) を \(R_S\) について解きます。
電流 \(I\) は0ではない（\(E_0\) によって流れている）ので、両辺を \(I\) で割ることができます。
$$R_S = \displaystyle\frac{E_S}{I} \quad \cdots ⑧$$

1. 電位差計の基本的な使い方です。スイッチS2を①にし、標準電池 \(E_S\) をつなぎます。
2. 検流計Gの針が0を指すように、接点Cの位置を調整します。これは、C点の電位が、\(E_S\) のプラス側の電位とちょうど同じになったことを意味します。
3. このとき、\(E_S\) には電流が流れていないので、\(E_S\) の両端の電圧は起電力 \(E_S\) そのものです。
4. 一方、抵抗線ABには、上の大きな電池 \(E_0\) から常に電流 \(I\) が流れています。AC間の抵抗が \(R_S\) なので、A点とC点の間の電圧（電位差）は、オームの法則から \(R_S \times I\) となります。
5. 検流計の針が0を指すのは、\(E_S\) と \(R_S I\) が等しくなったときなので、\(E_S = R_S I\) という式が成り立ちます。
6. これを \(R_S\) について解くと、\(R_S = E_S / I\) が得られます。

AC間の抵抗値 \(R_S\) は、\(R_S = \displaystyle\frac{E_S}{I}\) [Ω] となります。
この式は、既知の起電力 \(E_S\) と、抵抗ABを流れる電流 \(I\) （これは \(E_0\) とAB全体の抵抗で決まる一定値）が分かれば、釣り合いの位置の抵抗値 \(R_S\) が一意に決まることを示しています。電流 \(I\) はこの時点では未知数ですが、次の設問(3)でこの \(I\) を消去する形で最終的な答えを導きます。

問3

思考の道筋とポイント

次に、スイッチS2を②に入れます。これにより、標準電池 \(E_S\) の代わりに、起電力 \(E\) と内部抵抗 \(r\) を持つ電池Dが検流計Gを介して抵抗ABのAC部分に接続されます。
再び検流計Gに電流が流れないように接点Cの位置を調整すると、そのときのAC間の抵抗値が \(R\) であったとされています。
ここでも設問(2)と全く同じ論理展開が適用できます。
「検流計Gに電流が流れない」ので、電池D（およびその内部抵抗 \(r\)）には電流が流れません。したがって、電池Dの端子電圧は、その起電力 \(E\) そのものになります（内部抵抗 \(r\) による電圧降下は \(r \times 0 = 0\) です）。
この起電力 \(E\) が、抵抗ABのAC部分（抵抗値 \(R\)）の電位降下に等しくなります。抵抗ABを流れる電流は、設問(2)のときと同じ \(I\) です（電源 \(E_0\) と抵抗AB全体の条件は変わっていないため）。
したがって、AC間の電位降下は \(RI\) となります。
よって、釣り合いの条件から \(E = RI\) という関係式が成り立ちます。
設問(2)で得られた \(R_S = E_S/I\) （つまり \(I = E_S/R_S\)）の関係を用いて、この電流 \(I\) を消去することで、起電力 \(E\) を \(E_S, R_S, R\) で表します。

この設問における重要なポイント

• 検流計Gに電流が流れない \(\iff\) Gの両端の電位が等しい。
• 電池Dに電流が流れないため、その端子電圧は起電力 \(E\) に等しい（内部抵抗 \(r\) の影響なし）。
• 抵抗ABには電流 \(I\) が流れており、新たなAC間の抵抗は \(R\)。したがってAC間の電位降下は \(V’_{\text{AC}} = R I\)。
• 電位差計の釣り合い条件から \(E = V’_{\text{AC}}\)。
• (2)の結果 \(I = E_S/R_S\) を利用して \(I\) を消去する。

具体的な解説と立式

スイッチS2を②に入れ、再び検流計Gに電流が流れないようにCの位置を調整した状態を考えます。このときのAC間の抵抗値は \(R\) です。
検流計Gに電流が流れないため、電池D（起電力 \(E\)、内部抵抗 \(r\)）には電流が流れません。したがって、電池Dの端子電圧は、その起電力 \(E\) に等しくなります（\(E – r \times 0 = E\)）。
抵抗ABには、設問(2)のときと同じ電流 \(I\) が流れています。新たなAC間の抵抗値が \(R\) なので、オームの法則によりAC間の電位降下 \(V’_{\text{AC}}\) は、
$$V’_{\text{AC}} = R I \quad \cdots ⑨$$
検流計Gに電流が流れないという釣り合いの条件から、電池Dの起電力 \(E\) がAC間の電位降下 \(V’_{\text{AC}}\) に等しくなります。
$$E = V’_{\text{AC}} \quad \cdots ⑩$$
したがって、式⑨と⑩より、
$$E = R I \quad \cdots ⑪$$

設問(2)の解答である式⑧ (\(R_S = \displaystyle\frac{E_S}{I}\)) より、電流 \(I\) は次のように表すことができます。
$$I = \displaystyle\frac{E_S}{R_S} \quad \cdots ⑫$$
この電流 \(I\) の表式を、式⑪ (\(E = RI\)) に代入します。
$$E = R \left( \displaystyle\frac{E_S}{R_S} \right)$$
これを整理すると、未知の起電力 \(E\) は次のように表されます。
$$E = \displaystyle\frac{R}{R_S} E_S \quad \cdots ⑬$$

1. 今度はスイッチS2を②に切り替えて、起電力を測定したい電池D（起電力 \(E\)）を接続します。
2. 再び検流計Gの針が0になるように接点Cを調整します。このときのAC間の抵抗が \(R\) です。
3. 検流計に電流が流れないということは、電池Dにも電流が流れていないので、電池Dの端子間の電圧は起電力 \(E\) そのものです。
4. この電圧 \(E\) が、抵抗線ABのAC間の電圧 \(R \times I\) と等しくなっています（\(I\) は(2)のときと同じ電流）。
5. したがって、\(E = RI\) という式が成り立ちます。
6. (2)で \(R_S = E_S/I\) だったので、\(I = E_S/R_S\) です。これを \(E=RI\) の \(I\) に代入すると、\(E = R \times (E_S/R_S)\) となり、整理すると \(E = \displaystyle\frac{R}{R_S}E_S\) が得られます。

電池Dの起電力 \(E\) は、\(E = \displaystyle\frac{R}{R_S} E_S\) [V] と表すことができます。
この式は、電位差計を用いて未知の起電力を測定する際の基本的な関係式です。既知である標準電池の起電力 \(E_S\) と、それぞれの電池に対して検流計が0を示したときの抵抗線の抵抗値（または長さに比例するので長さそのもの） \(R_S\) および \(R\) を用いることで、未知の起電力 \(E\) を精密に求めることができることを示しています。
抵抗線ABが太さが一様であるため、AC間の抵抗はその長さに比例します。つまり、\(R_S \propto l_S\)、\(R \propto l\) （ここで \(l_S, l\) はそれぞれの場合のAC間の長さ）と書けるので、\(E = \displaystyle\frac{l}{l_S}E_S\) とも表せます。実際に実験では長さを測定することが多いです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• オームの法則 (\(V=RI\)): 回路計算の基本中の基本です。各抵抗部分での電圧と電流の関係を記述するために不可欠です。(1)の電圧計の読み取り、(2)(3)での抵抗線上の電位降下の計算に使用しました。
• 電池の端子電圧 (\(V = E – rI\)): 電池の内部抵抗の影響を理解する上で重要です。(1)では電圧計を流れる電流による内部抵抗での電圧降下を考慮しました。(2)(3)の電位差計では、測定対象の電池に電流が流れない（\(I_{\text{電池}}=0\)）ため、端子電圧がそのまま起電力 \(E\) に等しくなる（\(V=E\)）という点が極めて重要でした。
• 電位差計の原理（検流計の電流ゼロ）: これが(2)と(3)の核心です。「検流計に電流が流れない」という条件は、「検流計の両端の電位が等しい」ことを意味し、これにより「測定したい電圧（または起電力）が、抵抗線の一部分の電位降下に等しい」という関係式を立てることができます。この原理により、測定対象から電流を取り出すことなく、その起電力を正確に測定できます。
• キルヒホッフの法則: 直接的に「キルヒホッフの法則より」と明記せずとも、(1)の \(E = V+ri\) のような関係式はキルヒホッフの第二法則（電圧則）に基づいています。複雑な回路ではより意識的な適用が必要になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 内部抵抗を持つ電池や測定器（電圧計、電流計）の内部抵抗が結果に影響を与えるタイプの問題。
  • ホイートストンブリッジ回路のように、検流計（または電流計）の指示がゼロになる条件を利用して、未知の抵抗値や電圧を精密に測定する問題。
  • 複数の電源や抵抗が組み合わされた直流回路で、各部分の電流や電圧を求める問題（キルヒホッフの法則が活躍）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 「検流計に電流が流れない」「電圧計の読み」などのキーワード: これらは特定の物理状態や測定条件を示唆しており、適用すべき法則や考え方を選ぶヒントになります。
  2. 回路図の正確な読解: 電流がどのように分岐・合流するのか、各素子がどのように接続されているのか（直列・並列）、電位の基準点はどこかなどを把握することが第一歩です。
  3. 条件の整理: 何が既知で何が未知か、特別な条件（スイッチの開閉、電流ゼロなど）はないか、を明確にします。
  4. 電位の追跡: 特に電位差計やブリッジ回路では、回路上の各点の電位を意識し、電位差の関係式を立てることが有効です。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 電位差計: 「検流計に電流ゼロ」 \(\rightarrow\) 「検流計両端の電位差ゼロ」 \(\rightarrow\) 「比較する二つの部分の電位差が等しい」。この思考の流れを確実に押さえる。
  • 内部抵抗: 電池や測定器の内部抵抗は、それに電流が流れるときにのみ影響します。電流がゼロなら、電圧降下もゼロです。この区別が重要。
  • 電流 \(I\) の設定: (2)と(3)で抵抗ABを流れる電流 \(I\) は、電源 \(E_0\) と抵抗ABの全抵抗で決まるものであり、検流計の枝路の条件が変わっても（Gに電流が流れない限りは）共通であると考えるのが標準的な解釈です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 起電力と端子電圧の混同:
  • 電池に電流が流れているときは、端子電圧 \(V = E – rI\) （放電時）。流れていなければ \(V=E\)。(1)では前者、(2)(3)の測定対象電池については後者が適用されました。
  • 対策: 電池から電流が出入りしているか否かを常に確認する。
• 電圧計・電流計の理想的な特性と現実的な特性の区別:
  • 理想的な電圧計は内部抵抗無限大、理想的な電流計は内部抵抗ゼロ。しかし、問題で内部抵抗が与えられている場合は、それを考慮に入れる必要があります。(1)がその例です。
  • 対策: 問題文を注意深く読み、測定器の内部抵抗が無視できるのか、考慮すべきなのかを判断する。
• 「検流計に電流が流れない」ことの解釈:
  • これは単に「その枝路に電流がない」だけでなく、数学的には「その枝路の両端の電位が等しい」という等式を立てるための非常に強力な条件です。
  • 対策: この条件を見たら、すぐに「電位差が等しい部分」を探す癖をつける。
• 文字の混同・計算ミス:
  • \(E, E_S, E_0\) や \(r, R, R_S, r_V\) など多くの記号が出てくるため、定義を正確に把握し、式変形の際に丁寧に扱う必要があります。
  • 対策: 各記号が何を表すのかを常に意識する。複雑な計算は一度紙に書き出して確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • (1) 電圧計の接続: 電池の起電力 \(E\) という「電圧の源」が、内部抵抗 \(r\) と電圧計の抵抗 \(r_V\) という「抵抗の山」に分配されるイメージ。電流が流れることで、各抵抗で「電圧の降下」が起こる。
  • (2)(3) 電位差計: 抵抗線ABを「電位の滑り台」とイメージします。A点を一番上として、B点に向かって電位が連続的に下がっていきます。接点Cを動かすことは、滑り台の途中の「ある高さ（電位）」を選ぶことに相当します。検流計に電流が流れないのは、測定したい電池の「高さ（起電力）」と、C点の「高さ（A点からの電位降下）」がぴったり一致したときです。
• 図示の有効性:
  • 回路図に、電流の向き（仮定でも良い）を矢印で書き込む。
  • 各点の電位を文字で置いたり、電位の高低を意識したりする（例：電池の＋極側は－極側より電位が高い）。
  • 電位差計の問題では、抵抗線上のA点、C点、B点の位置関係と、それぞれの電位の関係を図に補助的に書き込むと理解しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(V=RI\) (オームの法則):
  • 選定理由: 抵抗があり、そこに電流が流れ、その両端の電位差を考える場面では必ず登場する基本法則。
  • 適用根拠: (1)では電圧計自体が一つの抵抗とみなせる。(2)(3)では抵抗線ABのAC部分が抵抗。
• \(V = E – rI\) (電池の端子電圧):
  • 選定理由: 電池に内部抵抗があり、かつ電池から電流が取り出されている状況で、電池が外部に供給できる実際の電圧を知りたい場合。
  • 適用根拠: (1)では電池Dから電流 \(i\) が流れ出ている。
• \(V_{\text{端子}} = E\) (電流ゼロの場合の電池の端子電圧):
  • 選定理由: 電池に電流が流れていない（\(I=0\)）場合、内部抵抗による電圧降下 (\(rI\)) もゼロになるため。
  • 適用根拠: (2)(3)の電位差計の釣り合い条件では、標準電池 \(E_S\) や被測定電池 \(E\) には電流が流れない。
• 検流計の電流ゼロ \(\rightarrow\) 電位差が等しい:
  • 選定理由: 電位差計やホイートストンブリッジの核心原理。
  • 適用根拠: 問題文で「Gに電流が流れないように」と明示的に指示されている。これにより、\(E_S = R_S I\) や \(E = RI\) といった等式が導かれる。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電圧計の指示値:
   1. 回路を流れる電流を \(i\) とおく。
   2. 電圧計の指示値 \(V\) について、オームの法則から \(V = r_V i\)。
   3. 電池の端子電圧も \(V\) なので、\(V = E – ri\)。
   4. 上記2式を連立し、\(i\) を消去して \(V\) を \(E, r, r_V\) で表す。
2. (2) 標準電池での釣り合い:
   1. 抵抗ABを流れる電流を \(I\) とする（問題設定）。
   2. 検流計Gに電流が流れない条件では、標準電池 \(E_S\) の起電力が、抵抗ABのAC間の電位降下 \(R_S I\) に等しい。
   3. したがって、\(E_S = R_S I\)。これを \(R_S\) について解く。
3. (3) 未知電池での釣り合いと \(E\) の導出:
   1. 同様に、検流計Gに電流が流れない条件では、未知電池Dの起電力 \(E\) が、抵抗ABの新たなAC間の電位降下 \(RI\) に等しい（電池Dに電流は流れないので内部抵抗は影響しない）。
   2. したがって、\(E = RI\)。
   3. (2)で得た関係 (\(I = E_S/R_S\)) をここに代入し、\(I\) を消去して \(E\) を \(E_S, R_S, R\) で表す。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 丁寧な式変形:
  • (1)の \(V = E – r(V/r_V)\) から \(V\) を求める計算では、移項、通分、括り出しなどの各ステップを焦らず正確に行う。
  • 分数の計算（特に(3)で \(I\) を代入する部分）は、分子・分母を間違えないように注意する。
• 記号の確認: 多くの物理量記号が登場するため、それぞれの意味を混同しないように、定義を明確にしておく。
• 単位の整合性: 今回は全て電気に関する量なので比較的単純だが、異なる種類の単位が混在する問題では、計算結果の単位が物理的に正しいものになっているかを確認する習慣をつける。
• 代入のタイミング: (3)では、先に \(E=RI\) と \(E_S=R_S I\) という関係を導き、その後で \(I\) を消去するという手順が模範解答の流れ。途中で具体的な数値を代入するのではなく、まずは文字式のまま最後まで計算し、最後に値を代入する（もしあれば）方が、見通しが良く、間違いも減らせることが多い。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との整合性:
  • (1) \(V = \displaystyle\frac{r_V}{r_V+r}E\):
    • もし電圧計の内部抵抗 \(r_V\) が無限大（理想的な電圧計）なら、\(V=E\) となり、起電力そのものを指す。これは正しい。
    • もし \(r_V\) が \(r\) に比べて非常に小さいなら、\(V\) は \(E\) よりかなり小さくなる。これも、電流が多く流れて内部降下が大きくなるため妥当。
    • \(r_V > 0, r \ge 0\) なので、\(0 \le \displaystyle\frac{r_V}{r_V+r} \le 1\) であり、\(V \le E\) となるのも物理的に正しい（電圧計の指示が起電力を超えることはない）。
  • (3) \(E = \displaystyle\frac{R}{R_S}E_S\):
    • \(R\) と \(R_S\) は同じ次元（抵抗、または長さに比例）なので、その比は無次元。したがって、\(E\) は \(E_S\) と同じ次元（電圧）となり、次元的に正しい。
    • もし \(R > R_S\) ならば \(E > E_S\)、\(R < R_S\) ならば \(E < E_S\) となる。これは、より大きな起電力は、より長い抵抗線部分と釣り合うという直感と一致する。
• 極端な場合の考察:
  • (1)で \(r=0\) (理想的な電池) なら \(V=E\)。これも正しい。
• 式の対称性や構造の確認:
  • (3)の式は、\(E/R = E_S/R_S (=I)\) と変形でき、起電力とそれに対応する抵抗（または長さ）の比が一定（電流 \(I\) に等しい）という、より本質的な関係を示している。

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問題119 (大阪工大＋日本大)