「名問の森」徹底解説（52〜54問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題52 電磁場中の粒子・原子 (新潟大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ミリカンの油滴実験」です。微小な油滴の運動を観測することで、電気の最小単位である「電気素量」を決定した歴史的な実験を題材にしています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
極板間に電位差がないとき、油滴は重力によって落下します。
しかし、空気中を運動するため、速度に比例した空気抵抗を受けます。
やがて重力、浮力、空気抵抗がつりあうと、油滴は加速しなくなり、一定の速度（終端速度 \(v_g\)）で落下し続けます。
この「等速運動」という情報が、「力のつりあい」の式を立てる合図です。

この設問における重要なポイント

• 力の向きの整理:
  • 重力: 鉛直下向き。
  • 浮力: 鉛直上向き（周囲の流体である空気が排除された分だけ働く）。
  • 空気抵抗: 運動方向と逆向き。落下しているので鉛直上向き。
• 密度の扱い: 油滴の質量 \(m\) は直接与えられていませんが、密度 \(\rho\) と半径 \(a\) から体積を用いて表す必要があります。

具体的な解説と立式
油滴の半径を \(a\)、体積を \(V\) とします。油滴は球体なので、体積は以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
V &= \frac{4}{3}\pi a^3
\end{aligned}
$$
油滴の質量を \(m\)、排除された空気の質量を \(m_0\) とすると、密度 \(\rho, \rho_0\) を用いて以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
m &= \rho V \\[2.0ex]
&= \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 \\[2.0ex]
m_0 &= \rho_0 V \\[2.0ex]
&= \rho_0 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3
\end{aligned}
$$
油滴は一定の速さ \(v_g\) で鉛直下向きに落下しています。
油滴に働く力は以下の3つです。

1. 重力 \(W\): 下向きに \(mg\)
2. 浮力 \(F_{\text{浮}}\): 上向きに \(m_0 g\)（アルキメデスの原理）
3. 抵抗力 \(f_g\): 上向きに \(kav_g\)（落下方向と逆向き）

力がつりあっているため、「下向きの力の和」と「上向きの力の和」が等しくなります。
$$
\begin{aligned}
(\text{下向きの力}) &= (\text{上向きの力}) \\[2.0ex]
mg &= F_{\text{浮}} + f_g
\end{aligned}
$$
これに各物理量の式を代入して、つりあいの式を完成させます。
$$
\begin{aligned}
\rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g &= \rho_0 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_g \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

式①を \(a\) について解きます。まず、\(a\) を含む項を左辺にまとめます。
$$
\begin{aligned}
\rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g – \rho_0 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g &= kav_g \\[2.0ex]
\frac{4}{3}\pi a^3 g (\rho – \rho_0) &= kav_g
\end{aligned}
$$
両辺を \(a\)（\(a \neq 0\)）で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{4}{3}\pi a^2 g (\rho – \rho_0) &= kv_g
\end{aligned}
$$
\(a^2\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
a^2 &= \frac{3kv_g}{4\pi g (\rho – \rho_0)}
\end{aligned}
$$
\(a > 0\) より、平方根をとって \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a &= \sqrt{\frac{3kv_g}{4\pi g (\rho – \rho_0)}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3kv_g}{\pi g (\rho – \rho_0)}}
\end{aligned}
$$

霧吹きで作られた小さな油の粒が、空気中をゆっくり落ちていく様子を想像してください。
最初は重力で加速しますが、速くなるほど空気の抵抗が大きくなり、すぐに「重力」と「浮力＋空気抵抗」がバランスして一定のスピードになります。
このバランスの式を作ることで、顕微鏡で見ても測りにくい「油滴の大きさ（半径）」を、測定しやすい「落ちる速さ」から計算で求めることができます。

答えは \(a = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3kv_g}{\pi g (\rho – \rho_0)}}\) です。
ルートの中身を見ると、速度 \(v_g\) が大きいほど半径 \(a\) が大きくなります。これは「大きな粒ほど速く落ちる（抵抗の影響が相対的に小さくなるため）」という直感と一致します。
また、密度の差 \(\rho – \rho_0\) が分母にあるため、油が空気より重い（\(\rho > \rho_0\)）ことが前提となっており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
次に、極板間に電圧をかけます。油滴は負に帯電（電荷 \(-q\)）しているため、電場の向き（高電位から低電位）とは逆向きの静電気力を受けます。
問題文より、油滴は「上昇し始め」たので、静電気力は上向きに働いています。
上昇中の等速運動においても、力のつりあいが成立します。ただし、運動方向が逆になったため、空気抵抗の向きも逆転することに注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 静電気力の向きと大きさ:
  • 極板間隔 \(d\)、電位差 \(V_0\) なので、電場の強さは \(E = V_0/d\) です。
  • 静電気力の大きさは \(F_{\text{静電}} = |q|E = q \frac{V_0}{d}\) です。
  • 油滴は上昇するので、静電気力は上向き（重力に打ち勝っている）です。
• 空気抵抗の向き:
  • 油滴は上昇しているため、空気抵抗は運動を妨げる「下向き」に働きます。大きさは \(kav_E\) です。

具体的な解説と立式
油滴は一定の速さ \(v_E\) で鉛直上向きに上昇しています。
油滴に働く力は以下の4つです。

1. 静電気力 \(F_{\text{静電}}\): 上向きに \(q \frac{V_0}{d}\)
2. 浮力 \(F_{\text{浮}}\): 上向きに \(m_0 g = \rho_0 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g\)
3. 重力 \(W\): 下向きに \(mg = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g\)
4. 抵抗力 \(f_E\): 下向きに \(kav_E\)（上昇方向と逆向き）

力がつりあっているため、「上向きの力の和」と「下向きの力の和」が等しくなります。
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力}) \\[2.0ex]
F_{\text{静電}} + F_{\text{浮}} &= W + f_E
\end{aligned}
$$
これに各物理量の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
q \frac{V_0}{d} + \rho_0 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g &= \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_E \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式②から \(q\) を求めます。まず \(q\) を含む項以外を右辺に移項します。
$$
\begin{aligned}
q \frac{V_0}{d} &= \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g – \rho_0 \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_E \\[2.0ex]
q \frac{V_0}{d} &= \frac{4}{3}\pi a^3 g (\rho – \rho_0) + kav_E
\end{aligned}
$$
ここで、問(1)の式①の変形過程で得られた関係式 \(\frac{4}{3}\pi a^3 g (\rho – \rho_0) = kav_g\) を利用すると、計算が大幅に楽になります。
右辺の第一項を \(kav_g\) に置き換えます。
$$
\begin{aligned}
q \frac{V_0}{d} &= kav_g + kav_E \\[2.0ex]
q \frac{V_0}{d} &= ka(v_g + v_E)
\end{aligned}
$$
両辺に \(\frac{d}{V_0}\) を掛けて \(q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
q &= \frac{kad}{V_0} (v_g + v_E)
\end{aligned}
$$
最後に、問(1)で求めた \(a\) を代入して、与えられた物理量だけで表します。
$$
\begin{aligned}
q &= \frac{kd}{V_0} (v_g + v_E) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3kv_g}{\pi g (\rho – \rho_0)}} \\[2.0ex]
&= \frac{kd}{2V_0} (v_g + v_E) \sqrt{\frac{3kv_g}{\pi g (\rho – \rho_0)}}
\end{aligned}
$$

今度は電気の力で油滴を無理やり持ち上げます。
このとき、電気の力は「重力」と「下向きの空気抵抗」の両方を支える必要があります。
「落ちる速さ」と「上がる速さ」の両方を測定することで、重力などの影響をうまくキャンセルし、油滴に乗っている「電気の量」だけを計算で割り出すことができます。
式変形の途中で、(1)の結果（重力と浮力の差が、落下時の抵抗力と等しいこと）を使うのがコツです。

答えは \(q = \frac{kd}{2V_0} (v_g + v_E) \sqrt{\frac{3kv_g}{\pi g (\rho – \rho_0)}}\) です。
\(v_E\)（上昇速度）が大きいほど、あるいは \(v_g\)（落下速度、つまり重さの指標）が大きいほど、それを持ち上げるために必要な電荷 \(q\) は大きくなるため、直感的に正しい結果です。
また、電圧 \(V_0\) が分母にあるため、同じ速度で動かすなら、電圧が高いほど必要な電荷は少なくて済むことも分かります。

問(3)

思考の道筋とポイント
得られた6つのデータは、それぞれ異なる油滴の電荷の大きさを示しています。
電荷は必ず電気素量 \(e\) の整数倍（\(q = ne\)）になるという「電気量の量子化」が最大のヒントです。
データを小さい順に並べ、隣り合うデータ同士の差をとることで、その差もまた \(e\) の整数倍になることを利用し、\(e\) の値をあぶり出します。

この設問における重要なポイント

• データの整列: ランダムな順序のままでは規則性が見えにくいため、必ず昇順（小さい順）に並べ替えます。
• 差分法: \(n_1 e\) と \(n_2 e\) の差は \((n_1 – n_2)e\) となり、やはり \(e\) の整数倍です。特に差が小さい場合、それは \(1e\) や \(2e\) に対応する可能性が高く、\(e\) の値を推定しやすくなります。
• 平均化による精度向上: 推定した \(e\) を使って各データの整数 \(n\) を決定し、全データの和を用いて \(e\) を逆算することで、測定誤差を減らします。

具体的な解説と立式
与えられたデータを \(Q_1, Q_2, \dots\) とし、単位 \(10^{-19}\,\text{C}\) を省略して数値のみで扱います。
データを小さい順に並べ替えます。
$$
4.9, \quad 6.5, \quad 9.7, \quad 11.3, \quad 14.5, \quad 17.6
$$
隣り合う数値の差（階差）を計算します。
$$
\begin{aligned}
6.5 – 4.9 &= 1.6 \\
9.7 – 6.5 &= 3.2 \\
11.3 – 9.7 &= 1.6 \\
14.5 – 11.3 &= 3.2 \\
17.6 – 14.5 &= 3.1
\end{aligned}
$$
これらの差は、\(1.6\) またはその約2倍の \(3.2\) 付近の値になっています。
したがって、電気素量 \(e\) の近似値は \(1.6\) であると推定できます。

次に、各データが \(e \approx 1.6\) の何倍（整数 \(n\)）に近いかを判定します。
$$
\begin{aligned}
4.9 &\approx 1.6 \times 3 \quad (n=3) \\
6.5 &\approx 1.6 \times 4 \quad (n=4) \\
9.7 &\approx 1.6 \times 6 \quad (n=6) \\
11.3 &\approx 1.6 \times 7 \quad (n=7) \\
14.5 &\approx 1.6 \times 9 \quad (n=9) \\
17.6 &\approx 1.6 \times 11 \quad (n=11)
\end{aligned}
$$
全データの和 \(S_Q\) と、対応する整数の和 \(S_n\) を用いて、より正確な \(e\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
S_Q &= \sum Q_i = e \sum n_i = e S_n \\[2.0ex]
e &= \frac{S_Q}{S_n}
\end{aligned}
$$

データの総和 \(S_Q\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
S_Q &= 4.9 + 6.5 + 9.7 + 11.3 + 14.5 + 17.6 \\[2.0ex]
&= 64.5
\end{aligned}
$$
整数の総和 \(S_n\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
S_n &= 3 + 4 + 6 + 7 + 9 + 11 \\[2.0ex]
&= 40
\end{aligned}
$$
これらを式に代入して \(e\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
e &= \frac{64.5}{40} \\[2.0ex]
&= 1.6125
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えるため、4桁目を四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
e &\approx 1.61
\end{aligned}
$$
単位を戻して答えとします。

実験データには必ず誤差が含まれるため、1つのデータだけで「これが電気の最小単位だ」と決めるのは危険です。
そこで、たくさんのデータを集めて、「すべてのデータが共通の数値（最小単位）の整数倍になっているはずだ」というルールを適用します。
データの差をとることで共通の数値（約1.6）を見つけ出し、最後に全員分のデータを合計して割り算することで、個々の誤差を薄めて精度の高い値を算出しました。

答えは \(1.61 \times 10^{-19}\,\text{C}\) です。
これは現代物理学で知られている電気素量の値（約 \(1.602 \times 10^{-19}\,\text{C}\)）と非常によく一致しており、実験データの処理として適切に行われたことが分かります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあいと終端速度
  • 核心: 物体が流体中を運動する際、速度に比例する抵抗力が働き、やがて重力や外力とつりあって一定速度（終端速度）になるという現象が全ての計算の基礎です。
  • 理解のポイント:
    • 動的平衡: 静止しているわけではなく、力がつりあっているために「加速しない」状態です。
    • 抵抗力の性質: 速度 \(v\) に比例する力 \(kv\) が、常に運動方向と逆向きに働くことを理解することが重要です。
• 電気量の量子化
  • 核心: 観測される全ての電荷は、電気素量 \(e\) という最小単位の整数倍でしか存在し得ないという、ミクロな世界の基本法則です。
  • 理解のポイント:
    • 離散的な値: 電荷は連続的な値（どんな値でもとれる）ではなく、トビトビの値をとります。
    • データ解析: 複数の測定値から最大公約数を見つけ出す数学的な処理が、物理法則の発見に直結します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 雨粒の落下: 雨粒が空気抵抗を受けて終端速度に達する問題も、全く同じ「重力＝抵抗力」の式で解けます。
  • 水中を沈む球体: 浮力と粘性抵抗（ストークスの法則）を考慮する点で、本問の(1)と完全に同じ構造です。
  • コンデンサー内の荷電粒子の運動: 重力を無視できる場合や、磁場が加わる場合などバリエーションは多いですが、「運動方程式（またはつりあい）を立てる」という手順は不変です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「一定の速さ」という言葉を探す: これがあれば即座に「加速度 \(a=0\)」「力のつりあい」の式を立てます。
  2. 力の矢印を全て書き出す: 重力、浮力、電気力、そして「運動方向と逆向き」の抵抗力を漏れなく図示します。
  3. 未知数を消去する順序を考える: 本問のように、(1)の結果を(2)に代入して整理するなど、設問間のつながりを意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 浮力の考慮漏れ:
  • 誤解: 空気中だから浮力は無視できると思い込み、重力 \(mg\) だけで計算してしまう。
  • 対策: 問題文に「空気の密度 \(\rho_0\)」が与えられている場合は、必ず浮力 \(m_0 g\) を考慮します。「密度差 \(\rho – \rho_0\)」の形になることが多いと覚えておきましょう。
• 抵抗力の向きの逆転:
  • 誤解: (2)で上昇するときも、(1)と同じ上向きの抵抗力のまま式を立ててしまう。
  • 対策: 抵抗力は常に「運動を妨げる向き（速度と逆向き）」です。矢印を描く際、速度ベクトル \(v\) と逆向きに \(kv\) を描く癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい \((\text{上向きの力}) = (\text{下向きの力})\):
  • 選定理由: 問題文に「一定の速さ」と明記されており、加速度が \(0\) であることが確定しているため、最もシンプルで確実な解法です。
  • 適用根拠: 慣性系において、等速直線運動をする物体に働く合力はゼロであるというニュートンの第一法則に基づきます。
• 運動方程式 \(ma = F\) （別解）:
  • 選定理由: 速度が変化する過渡的な状態も含めて現象を理解したい場合や、「なぜ一定速度になるのか」を論理的に示したい場合に有効です。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則は、速度の変化（加速度）と力の因果関係を記述する普遍的な法則であり、\(a=0\) とすればつりあいの式を包含します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の塊（かたまり）を見る:
  • 意識: 複雑な式変形では、個々の文字ではなく、意味のある塊（項）として捉えます。
  • 実践: 本問の(2)で、\(\frac{4}{3}\pi a^3 g (\rho – \rho_0)\) という長い項を、(1)の結果を使って \(kav_g\) と一気に置き換えたように、共通部分を見つけて置換することで計算量を劇的に減らせます。
• 次元解析（単位チェック）:
  • 意識: 答えの式の単位が正しいか常に疑います。
  • 実践: 例えば(1)の答えで、ルートの中身が \([v]/[g] = (\text{L/T})/(\text{L/T}^2) = \text{T}\) となり、全体として長さの次元 \(\text{L}\) になるか確認します（実際は係数 \(k\) の次元も絡むため複雑ですが、少なくとも \(\rho – \rho_0\) のような同次元の引き算になっているかは確認できます）。

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問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

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