「名問の森」徹底解説（52〜54問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題52 （新潟大）

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、20世紀初頭にアメリカの物理学者ミリカンが行った、電気素量（電子1個が持つ電気量の大きさ）を測定するための有名な実験、「ミリカンの油滴実験」を題材としています。油滴に働く重力、浮力、空気抵抗、そして電場からの静電気力という複数の力を考え、それらがつり合う条件から、油滴の半径や電荷、さらには電気素量の値を求めていく、力学と電磁気学の融合問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く上で中心となるのは、物体が液体や気体中で一定の速度（終端速度）で運動しているとき、その物体に働く全ての力の合力がゼロになる、すなわち「力のつり合い」が成立しているという点です。

具体的には、以下の4つの力を正確に把握し、それぞれの状況に応じて力のつり合いの式を立てることが鍵となります。

1. 重力: 常に鉛直下向きに働く力。
2. 浮力: 空気の密度によって生じる、鉛直上向きの力。
3. 空気抵抗: 油滴の運動を妨げる向きに働く力。落下時は上向き、上昇時は下向きになります。
4. 静電気力: 電場から電荷が受ける力。電荷の符号と電場の向きによって力の向きが決まります。

問(1)と問(2)でそれぞれ力のつり合いの式を立て、それらを連立させることで未知数を消去し、問われている物理量を導出します。問(3)は物理的な計算というよりも、実験データから物理的な基本法則（電気量の量子性）を読み解くデータ解析の問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. 【問(1)】 電場がない状態で油滴が等速落下する場面を考えます。油滴に働く「重力」「浮力」「空気抵抗」の3つの力のつり合いの式を立て、半径 \(a\) について解きます。
2. 【問(2)】 次に、電場をかけた状態で油滴が等速上昇する場面を考えます。今度は「重力」「浮力」「空気抵抗」に「静電気力」を加えた4つの力のつり合いの式を立てます。ここで、問(1)で立てた式を利用して、計算を簡略化するのが賢明です。
   • メインの解法（式同士の引き算）: 問(2)のつり合いの式から問(1)のつり合いの式を引くことで、重力と浮力の項をまとめて消去し、簡潔な関係式を導きます。この方法は計算が非常にスムーズに進むため、おすすめです。
   • 別解（代入法）: 問(1)のつり合いの式を「重力と浮力の合力」について整理し、それを問(2)の式に代入する方法です。物理的な意味を一つ一つ確認しながら進めたい場合に有効です。
3. 【問(3)】 実験データが電気素量 \(e\) の整数倍になっているという「電気量の量子性」を前提に、データを統計的に処理します。
   • まず、データ間の差を計算し、\(e\) のおおよその値に見当をつけます。
   • 次に見当をつけた値を用いて、各データが \(e\) の何倍（整数 \(n\)）にあたるかを判断します。
   • 最後に、全データの総和と \(n\) の総和の関係式を立てることで、測定誤差を平均化し、より精度の高い \(e\) の値を算出します。

問 (1)

思考の道筋とポイント
油滴が「一定の速さ \(v_g\) で落下」している、という記述から、油滴は加速も減速もしていない、つまり加速度が0の状態であるとわかります。ニュートンの運動の法則 \(F=ma\) から、加速度 \(a=0\) ならば、物体に働く力の合力 \(F\) は0です。したがって、油滴に働くすべての力を図示し、鉛直上向きの力と鉛直下向きの力が等しいという「力のつり合い」の式を立てます。働く力は「重力（下向き）」、「浮力（上向き）」、そして落下運動を妨げる「空気抵抗（上向き）」の3つです。
具体的な解説と立式
まず、油滴に働く各力を、与えられた文字を使って数式で表します。
油滴は半径 \(a\) の球なので、その体積 \(V\) は \(V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3\) です。

1. 重力 \(W\): 油滴自身の重さです。鉛直下向きに働きます。
(質量) = (密度) \(\times\) (体積) なので、\(m = \rho V = \rho \cdot \displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3\)。
よって、重力は \(W = mg = \rho \displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3 g\)。

2. 浮力 \(F_{\text{浮力}}\): 油滴が押しのけた空気の重さに等しい力です。鉛直上向きに働きます。
押しのけた空気の体積は油滴の体積 \(V\) と等しく、その質量は \(\rho_0 V\)。
よって、浮力は \(F_{\text{浮力}} = \rho_0 V g = \rho_0 \displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3 g\)。

3. 空気抵抗 \(F_{\text{抵抗}}\): 油滴の運動を妨げる向き、つまり落下しているので鉛直上向きに働きます。問題文より、その大きさは \(F_{\text{抵抗}} = kav_g\)。

これらの力がつり合っているので、次の式が成り立ちます。
(上向きの力の合計) = (下向きの力の合計)
$$F_{\text{浮力}} + F_{\text{抵抗}} = W$$
$$ \rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_g = \rho \frac{4}{3}\pi a^3 g \quad \cdots ①$$

上記で立てた力のつり合いの式①を、求めたい半径 \(a\) について解きます。
まず、\(a\) を含む項をまとめるために、式を整理します。
$$kav_g = \rho \frac{4}{3}\pi a^3 g – \rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g$$
右辺を共通因数でくくります。
$$kav_g = (\rho – \rho_0) \frac{4}{3}\pi a^3 g$$
油滴の半径 \(a\) は0ではないので、両辺を \(a\) で割ることができます。
$$kv_g = (\rho – \rho_0) \frac{4}{3}\pi a^2 g$$
この式を \(a^2\) について整理します。
$$a^2 = \frac{kv_g}{(\rho – \rho_0) \frac{4}{3}\pi g} = \frac{3kv_g}{4\pi(\rho – \rho_0)g}$$
最後に、\(a\) は半径なので正の値をとります。したがって、両辺の正の平方根をとって \(a\) を求めます。
$$a = \sqrt{\frac{3kv_g}{4\pi(\rho – \rho_0)g}}$$
根号の外に出せるものは出して、解答の形に合わせます。
$$a = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3kv_g}{\pi(\rho – \rho_0)g}}$$

油滴が一定の速さで落ちるとき、「下向きに引っ張る重力」と、「上向きに支えようとする浮力と空気抵抗の合計」がちょうど同じ大きさになっています。この関係を数式にして（これが力のつり合いの式です）、求めたい「半径 \(a\)」以外の文字をすべて定数だと思って、中学校で習う方程式を解くように \(a\) について式を変形していきます。最後に平方根をとることで、半径 \(a\) の大きさが計算できます。

油滴の半径 \(a\) は、\(a = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3kv_g}{\pi(\rho – \rho_0)g}}\) と表されます。この式から、油滴の落下速度 \(v_g\) を測定し、その他の物理定数が分かっていれば、直接見ることのできない微小な油滴の半径を計算できることがわかります。

問 (2)

思考の道筋とポイント
今度は電場をかけ、油滴が「一定の速さ \(v_E\) で上昇」しています。これも「一定の速さ」なので、力のつり合いが成り立っています。働く力は、問(1)の3つの力に「静電気力」が加わった4つです。各力の向きを正しく設定し、力のつり合いの式を立てることが第一歩です。
特に、空気抵抗は常に運動と逆向きに働くため、今回は上昇しているので「下向き」になる点に注意が必要です。静電気力は、電荷の符号と電場の向きから判断します。
そして、この新しいつり合いの式と、問(1)で立てた式①を見比べると、重力と浮力の項が共通して含まれています。2つの式を引き算すれば、この複雑な項を消去でき、計算が簡単になりそうです。
メインの解法: 式同士の引き算による方法
具体的な解説と立式
問(1)と同様に、まず油滴に働く各力を数式で表します。重力と浮力は問(1)と全く同じです。

1. 重力 \(W\): \( \rho \displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3 g \) (下向き)
2. 浮力 \(F_{\text{浮力}}\): \( \rho_0 \displaystyle\frac{4}{3}\pi a^3 g \) (上向き)
3. 静電気力 \(F_{\text{静電気}}\):
油滴の電荷は \(-q\) (負電荷)です。上昇させるためには上向きの力が必要なので、上の極板が正（陽極）、下の極板が負（陰極）に帯電しているとわかります。つまり、電場は鉛直下向きです。
負の電荷は電場と逆向きに力を受けるので、静電気力は鉛直上向きになります。
極板間の電位差が \(V_0\)、間隔が \(d\) なので、電場の強さ \(E\) は \(E = \displaystyle\frac{V_0}{d}\)。
よって、静電気力の大きさは \(F_{\text{静電気}} = qE = q\displaystyle\frac{V_0}{d}\)。
4. 空気抵抗 \(F’_{\text{抵抗}}\):
油滴は速さ \(v_E\) で上昇しているので、空気抵抗は鉛直下向きに働きます。
その大きさは \(F’_{\text{抵抗}} = kav_E\)。

これらの4つの力がつり合っているので、次の式が成り立ちます。
(上向きの力の合計) = (下向きの力の合計)
$$F_{\text{静電気}} + F_{\text{浮力}} = W + F’_{\text{抵抗}}$$
$$ q\frac{V_0}{d} + \rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g = \rho \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_E \quad \cdots ②$$
この式②と、問(1)で立てた式①を連立して \(q\) を求めます。
$$\rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_g = \rho \frac{4}{3}\pi a^3 g \quad \cdots ①$$

式②から式①を引くことで、計算を簡略化します。
(式②の左辺) – (式①の左辺) = (式②の右辺) – (式①の右辺)

左辺の計算:
\( \left(q\displaystyle\frac{V_0}{d} + \rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g\right) – \left(\rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_g\right) = q\displaystyle\frac{V_0}{d} – kav_g \)

右辺の計算:
\( \left(\rho \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_E\right) – \left(\rho \frac{4}{3}\pi a^3 g\right) = kav_E \)

したがって、引き算の結果は次のようになります。
$$q\frac{V_0}{d} – kav_g = kav_E$$
この式を、求めたい電荷 \(q\) について整理します。
$$q\frac{V_0}{d} = kav_g + kav_E$$
$$q\frac{V_0}{d} = ka(v_g + v_E)$$
$$q = \frac{kad(v_g + v_E)}{V_0} \quad \cdots ③$$
この式にはまだ未知数である半径 \(a\) が含まれています。そこで、問(1)で求めた \(a\) の結果をこの式に代入します。
\(a = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3kv_g}{\pi(\rho – \rho_0)g}}\) を③に代入して、
$$q = \frac{kd(v_g + v_E)}{V_0} \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3kv_g}{\pi(\rho – \rho_0)g}} \right)$$
これを整理して、最終的な答えとなります。
$$q = \frac{kd(v_g+v_E)}{2V_0}\sqrt{\frac{3kv_g}{\pi(\rho-\rho_0)g}}$$

電場をかけたときの力のつり合いの式と、かけないときの力のつり合いの式、2つの式を立てます。この2つの式をよく見ると、油滴の「重さ」や「体積」に関連する複雑な部分が共通しています。そこで、一方の式からもう一方の式を丸ごと引き算すると、この共通部分がごっそり消えて、式がとてもシンプルになります。残った式から、求めたい電荷 \(q\) を計算し、最後に問(1)で求めた半径 \(a\) の式を代入すれば答えにたどり着きます。

油滴の電荷の大きさ \(q\) が、測定可能な物理量（落下速度 \(v_g\)、上昇速度 \(v_E\)、電位差 \(V_0\) など）と定数を用いて表されました。この関係式により、実験で得られた値から未知の電荷 \(q\) を決定することができます。

別解1: 重力と浮力の合力を置き換える方法
具体的な解説と立式
問(1)の力のつり合いの式①は、「重力と浮力の合力（油滴に実質的に働く下向きの力）」が「落下時の空気抵抗」と等しいことを示しています。この関係を利用して、問(2)の力のつり合いの式②を簡単にすることができます。具体的には、式②に出てくる「重力と浮力の合力」の項を、式①から得られる「\(kav_g\)」という項で置き換えてしまうのです。

問(1)で立てた力のつり合いの式①を変形します。
$$\rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_g = \rho \frac{4}{3}\pi a^3 g \quad \cdots ①$$
移項すると、重力と浮力の合力（正味の重力）が得られます。
$$\rho \frac{4}{3}\pi a^3 g – \rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g = kav_g \quad \cdots ①’$$
次に、問(2)で立てた力のつり合いの式②を、この合力の形が見えるように変形します。
$$q\frac{V_0}{d} + \rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g = \rho \frac{4}{3}\pi a^3 g + kav_E \quad \cdots ②$$
移項すると、
$$q\frac{V_0}{d} = \left( \rho \frac{4}{3}\pi a^3 g – \rho_0 \frac{4}{3}\pi a^3 g \right) + kav_E \quad \cdots ②’$$

式②’の右辺にある括弧の部分に、式①’の関係 \(kav_g\) を代入します。
$$q\frac{V_0}{d} = (kav_g) + kav_E$$
右辺を共通因数 \(ka\) でくくります。
$$q\frac{V_0}{d} = ka(v_g + v_E)$$
この式は、メインの解法で得られた中間式③と全く同じです。
$$q = \frac{kad(v_g + v_E)}{V_0} \quad \cdots ③$$
したがって、この後の計算もメインの解法と全く同じになります。問(1)で求めた \(a\) の結果を代入して、
$$q = \frac{kd(v_g+v_E)}{2V_0}\sqrt{\frac{3kv_g}{\pi(\rho-\rho_0)g}}$$

この解き方では、まず「電場がないとき、油滴を下に引く正味の力（重力マイナス浮力）は、落下時の空気抵抗と等しい」という関係に着目します。次に、「電場があるとき」の力のつり合いの式を立て、その式の中に出てくる「油滴を下に引く正味の力」の部分を、先ほどの「落下時の空気抵抗」で置き換えます。これにより、メインの解法と同じように式が簡単になり、答えを導くことができます。

メインの解法と全く同じ結果が得られました。これは、異なる計算手順でも、物理的に正しい考察に基づっていれば同じ結論に至ることを示しています。どちらの方法でも解けるようにしておくと、問題解決の視野が広がります。

問 (3)

思考の道筋とポイント
この問題は、実験で得られた複数の電荷の測定値から、その基本単位である「電気素量 \(e\)」を推定する、データ解析の問題です。ミリカンの発見の核心は、どんな帯電体の持つ電気量も、ある最小単位（電気素量 \(e\)）の整数倍になっている、という「電気量の量子性」です。つまり、測定された電荷 \(q\) は、\(q = ne\)（\(n\) は整数）という関係を満たすはずです。

この仮説が正しければ、測定値どうしの差もまた、\(e\) の整数倍になるはずです。そこで、まずデータ間の差を計算して、\(e\) のおおよその値に見当をつけます。
次に、そのおおよその値を使って、各データが \(e\) の何倍（整数 \(n\)）に相当するかを判断します。
最後に、個々のデータには測定誤差が含まれているため、それらの影響をなるべく小さくして、より信頼性の高い \(e\) の値を求める工夫をします。その方法が「全データの合計をとる」ことです。測定値の合計 \( \sum q_i \) が、\(e\) の倍数の合計 \( \sum n_i \) に \(e\) を掛けたものに等しい（\( \sum q_i = (\sum n_i) e \)）という関係式を立て、これを解くことで、誤差が平均化された \(e\) の値を算出します。
具体的な解説と立式
ステップA: 電気素量 \(e\) のおおよその値を推定する
与えられたデータを小さい順に並べ替えます。
データ: 4.9, 6.5, 9.7, 11.3, 14.5, 17.6 （単位は全て \(\times 10^{-19}\) C）

隣り合う値の差を計算します。

• \(6.5 – 4.9 = 1.6\)
• \(9.7 – 6.5 = 3.2\)
• \(11.3 – 9.7 = 1.6\)
• \(14.5 – 11.3 = 3.2\)
• \(17.6 – 14.5 = 3.1\)

差の値は、1.6 や 3.2 (= 2 \(\times\) 1.6)、3.1 (3.2に近い) となっています。これらの差は全て、約 1.6 の整数倍になっていると考えられます。このことから、電気素量 \(e\) のおおよその値は \(e \approx 1.6 \times 10^{-19}\) C であると見当をつけることができます。

ステップB: 各データの整数倍 \(n\) を決定し、総和を計算する
推定した \(e \approx 1.6 \times 10^{-19}\) C を用いて、各データ \(q_i\) が \(e\) の何倍 (\(n_i\)) にあたるかを求めます。

• \(4.9 \div 1.6 \approx 3.06 \rightarrow n_1 = 3\)
• \(6.5 \div 1.6 \approx 4.06 \rightarrow n_2 = 4\)
• \(9.7 \div 1.6 \approx 6.06 \rightarrow n_3 = 6\)
• \(11.3 \div 1.6 \approx 7.06 \rightarrow n_4 = 7\)
• \(14.5 \div 1.6 \approx 9.06 \rightarrow n_5 = 9\)
• \(17.6 \div 1.6 \approx 11.0 \rightarrow n_6 = 11\)

次に、測定値の総和 \( \sum q_i \) と、整数倍 \(n\) の総和 \( \sum n_i \) を計算します。

• \( \sum q_i = (4.9 + 6.5 + 9.7 + 11.3 + 14.5 + 17.6) \times 10^{-19} = 64.5 \times 10^{-19} \) [C]
• \( \sum n_i = 3 + 4 + 6 + 7 + 9 + 11 = 40 \)

ステップC: 全データの総和から \(e\) を算出する
「測定値の総和は、\(e\) と整数倍の総和の積に等しい」という関係式を立てます。
$$\sum q_i = (\sum n_i) \times e$$
$$64.5 \times 10^{-19} = 40 e \quad \cdots ④$$

式④を \(e\) について解きます。
$$e = \frac{64.5 \times 10^{-19}}{40}$$
$$e = 1.6125 \times 10^{-19}$$
問題文で有効数字3桁まで求めよと指定されているので、小数点第4位を四捨五入します。
$$e \approx 1.61 \times 10^{-19} \text{ [C]}$$

これは統計的なデータ処理です。まず、データ同士の差を取ることで、全てのデータの基本単位となっている「電気素量 \(e\)」のおおよその大きさを見つけます。次に、そのおおよその値を使って、それぞれのデータが基本単位の何個分に相当するか（整数 \(n\)）を判断します。最後に、全データの合計（\(q\)の合計）が、基本単位の個数の合計（\(n\)の合計）に \(e\) を掛けたものと等しくなるはずだ、という式を立てて、より正確な \(e\) の値を求めます。この方法は、個々の測定に含まれる誤差を平均化して、より信頼できる結果を得るための賢い工夫です。

電気素量 \(e\) の値として \(1.61 \times 10^{-19}\) C が得られました。これは現在知られている値 \(1.602 \times 10^{-19}\) C に非常に近く、この実験とデータ解析方法の妥当性を示しています。もし、例えば \(4.9 \times 10^{-19} = 3e\) という一つのデータだけで計算すると、有効数字も2桁までしか取れず、精度が低くなります。複数のデータを統計的に処理することの重要性がわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合い: 物体が等速直線運動（または静止）しているとき、その物体に働く力のベクトル和はゼロになる（\(\sum \vec{F} = 0\))。これが問(1)と問(2)を解くための大原則です。
• 各力の公式:
  • 重力: \(W=mg\)
  • 浮力: \(F = \rho_{\text{流体}}Vg\) (物体の体積 \(V\) に等しい体積の流体の重さ)
  • 空気抵抗: \(F = kav\) (問題で与えられたストークス型の抵抗)
  • 静電気力: \(F = qE\) (一様な電場中では \(E=V/d\))
• 電気量の量子性: 全ての電荷は、電気素量 \(e\) の整数倍の値しかとらない (\(q=ne\))。これは問(3)のデータ解析の根底にある物理的な大前提です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 雨滴やスカイダイバーの落下など、空気抵抗を受けて終端速度に達する問題全般。
  • 電場や磁場の中で荷電粒子が運動する問題（ローレンツ力など）。
  • 実験データを統計的に処理して、物理定数や法則性を導き出すタイプの問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 運動状態の把握: 「一定の速さ」「静止していた」「等速で」といったキーワードに注目し、力のつり合いが使えるのか、運動方程式を立てるべきなのかを判断します。
  2. 力の図示: 物体に働く力を「もれなく」「向きを正しく」すべて矢印で描き出すこと。これが最も重要です。特に、運動の向きによって変化する抵抗力の向きに注意します。
  3. 複数条件の連立: 問(1)と問(2)のように、異なる条件下での状況が与えられた場合、それぞれで立てた式を連立させて未知数を消去できないか、と考えます。
  4. データ解析: 問(3)のように数値データが並んでいたら、「平均を取る」「差を取る」「比を取る」などして、データに隠された規則性（ここでは整数倍の関係）を見つけ出す姿勢が大切です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の向きの間違い:
  • 現象: 空気抵抗を常に下向き、あるいは上向きと固定して考えてしまう。静電気力の向きを電荷の符号や電場の向きと関連付けられない。
  • 対策: 空気抵抗は「常に速度と逆向き」、静電気力は「正電荷は電場と同じ向き、負電荷は電場と逆向き」という原則を徹底する。必ず力の図を描いて確認する癖をつける。
• 浮力の考慮漏れ:
  • 現象: 空気中の運動なので、浮力は小さいだろうと勝手に無視してしまう。
  • 対策: 問題文に空気の密度 \(\rho_0\) が与えられている場合は、必ず浮力を考慮に入れる必要があります。与えられていない場合でも、考慮すべきか常に意識することが大切です。
• 問(3)のデータ処理方法の誤り:
  • 現象: 測定値の単純な算術平均を計算してしまう。（例: \( (4.9 + … + 17.6) / 6 \) ）
  • 対策: この問題のデータは「とびとびの値」をとるはずだ、という物理的背景（電気量の量子性）を理解することが重要です。単純な平均ではなく、「基本単位の整数倍」という構造を見つけ出すための操作（差を取る、総和を取る）が必要だと認識すること。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 力のベクトル図: 小さな円（油滴）を描き、その中心から働く全ての力（重力、浮力、抵抗力、静電気力）を、向きと大きさのバランスがわかるように矢印で描くことが極めて有効です。模範解答の図も大変参考になります。
  • 状況比較図: 問(1)の「電場なし・落下時」の力の図と、問(2)の「電場あり・上昇時」の力の図を並べて描くと、何が変化したのか（静電気力の追加、抵抗力の向きの逆転）が一目瞭然となり、思考が整理されます。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 矢印の始点を物体の中心（または作用点）にそろえる。
  • 力の名種類を文字で明記する（\(W, F_{\text{浮力}}\) など）。
  • つり合いの状態を表すなら、上向きの矢印の長さの合計と、下向きの矢印の長さの合計が等しくなるように描くと、視覚的に理解が深まります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 \( \sum \vec{F} = 0 \):
  • 選定理由: 問題文に「一定の速さ」とあるため、加速度が0であることが確定します。運動方程式 \( \sum \vec{F} = m\vec{a} \) に \( \vec{a}=0 \) を代入した特別な場合が、力のつり合いの式です。
  • 適用根拠: 慣性の法則に基づき、力がつり合っている物体は静止し続けるか、等速直線運動を続けます。
• 関係式 \( \sum q_i = (\sum n_i) e \):
  • 選定理由: 測定誤差の影響を最小化し、最も確からしい \(e\) の値を統計的に導出するためです。
  • 適用根拠: 電気量の量子性という物理法則が成り立っているという仮定と、多数の測定を行えば偶然誤差は平均化されるという統計学の原理に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【状況把握】 問題文を読み、油滴の運動状態（等速落下 or 等速上昇）と、そのときに働く力を特定する。
2. 【図解】 働く力をすべてベクトル図で表現する。向きと種類を明確にする。
3. 【立式】 「上向きの力の和 = 下向きの力の和」として、力のつり合いの式を立てる（問(1)と問(2)でそれぞれ）。
4. 【連立・計算】 立てた2つの式を連立し、未知数を消去しながら、問われている物理量（\(a\) や \(q\)）を求める。
5. 【代入】 前の設問で得た結果（例: 問(1)の\(a\)）を、後の設問の式に代入して最終的な答えを導く。
6. 【データ解析】 (問3) データの差から基本単位を推定 → 各データが基本単位の何倍か決定 → 全体の和を取って平均化し、最終的な値を算出、という手順を踏む。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位と文字の区別: \(\rho\) (ロー)と \(p\) (ピー)、\(v_g\) と \(v_E\) など、似た文字や添え字を丁寧に見分け、書き分ける。
• 式変形の丁寧さ: 分数や根号（ルート）を含む複雑な式の変形は、一行一行、焦らずに行う。
• 賢い消去法: 問(2)のメインの解法のように、式同士の足し算や引き算で複雑な項が消える場合は積極的に利用する。これにより、計算が楽になるだけでなく、ミスも減らせる。
• 概算の活用: 問(3)で \(e \approx 1.6 \times 10^{-19}\) と見当をつけたように、本格的な計算の前に大まかな値を予想しておくと、計算結果が大きくずれた場合に間違いに気づきやすくなります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との比較:
  • 問(1)の関係式 \(kv_g \propto a^2g\) から、落下速度 \(v_g\) は半径 \(a\) の2乗に比例します。これは「大きい粒の方が（ずっと）速く落ちる」という感覚と合っています。
  • 問(2)で求めた \(q\) は、\(v_g+v_E\) に比例します。速く動かすためには、より大きな静電気力、つまりより大きな電荷が必要だというのは理にかなっています。
• 既知の値との比較:
  • 問(3)で求めた \(e = 1.61 \times 10^{-19}\) C は、教科書などで知っている電気素量の値 \(1.60 \times 10^{-19}\) C と非常に近い値です。このことから、自分の計算結果が妥当であると自信を持つことができます。

問題53 （金沢大＋甲南大＋静岡大）

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、イオンの質量を精密に測定する装置「質量分析器」の原理を扱っています。質量分析器は、大きく分けて2つの部分から構成されています。

1. 速度選択器 (XY間): 電場と磁場が同時にかかった空間で、特定の速さを持つイオンだけをまっすぐ通過させる部分。
2. 質量分離部 (P3以降): 磁場のみがかかった空間で、イオンを円運動させ、その軌道の大きさ（半径）から質量を特定する部分。

このように、電磁気学における荷電粒子の運動に関する重要な法則を組み合わせた、総合的な問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、電磁場中を運動する荷電粒子に働く「ローレンツ力」と「静電気力」を正しく理解することです。

• ローレンツ力 (\(F = QvB\)): 磁場中を動く電荷が受ける力。力の向きはフレミングの左手の法則で決まります。
• 静電気力 (\(F = QE\)): 電場中の電荷が受ける力。力の向きは電荷の符号と電場の向きで決まります。

問(1)の速度選択器では、これら2つの力がつり合うことでイオンが直進します。問(2)の質量分離部では、ローレンツ力が向心力となってイオンが円運動します。これらの物理現象を、それぞれ「力のつり合いの式」と「円運動の運動方程式」で表現することが、問題解決への第一歩となります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. 【問(1)】 速度選択器内の陽イオンに働くローレンツ力の向きを、フレミングの左手の法則を使って決定します。イオンが直進するためには、静電気力がローレンツ力と逆向きに働かなくてはなりません。このことから電場の向きがわかり、陽極板の位置が特定できます。力のつり合いの式 \(QvB_1 = QE\) から、イオンの速さ \(v\) を求めます。
2. 【問(2)】 質量分離部でのイオンの運動に着目します。ここではローレンツ力だけが働き、これが向心力となって等速円運動をします。円運動の運動方程式 \(M\frac{v^2}{R} = QvB_2\) を立てます。検出位置までの距離 \(D\) が円の直径 (\(D=2R\)) であることと、問(1)で求めた速さ \(v\) を用いて、式を質量 \(M\) について整理します。
3. 【問(3)】 問(2)で導出した \(D\) の式を分析し、\(D\) が何によって決まるかを確認します。すると、\(D\) がイオンの質量と電荷の比、すなわち \(M/Q\) に比例することがわかります。したがって、与えられた6種類のイオンについて \(M/Q\) の値を（相対的に）計算し、その値が等しくなる組み合わせを見つけ出します。
4. 【問(4)】 まず、問(2)の結果から、質量 \(M\) と検出位置 \(D\) が比例関係にあること (\(M \propto D\)) を利用します。これと、質量は質量数にほぼ等しいという近似を使い、比例式を立てて未知の同位体の質量数を求めます。次に、原子量の定義（同位体の質量の存在比による加重平均）に基づいた方程式を立て、未知の存在比率を計算します。

問 (1)

思考の道筋とポイント
イオンはXY間で「直進する」とあるので、イオンに働く力はつり合っているはずです。この領域では電場と磁場の両方が存在するため、イオンは静電気力とローレンツ力の両方を受けます。
まず、陽イオン（電荷 \(Q\) が正）に働くローレンツ力の向きを考えます。イオンは上から下へ速さ \(v\) で運動し、磁場 \(B_1\) は紙面の奥向きです。フレミングの左手の法則を適用すると、ローレンツ力は右向きに働くことがわかります。
直進するためには、これとつり合う左向きの力が必要です。それが静電気力 \(F=QE\) です。陽イオンが左向きの静電気力を受けるためには、電場 \(E\) も左向きでなければなりません。電場は電位の高い（陽極）ほうから低い（陰極）ほうへ向かうので、Yが陽極板、Xが陰極板となります。
具体的な解説と立式

1. ローレンツ力 \(f\):
   電荷 \(Q\)、速さ \(v\)、磁束密度 \(B_1\) なので、力の大きさは \(f = QvB_1\)。向きはフレミングの左手の法則より右向き。
2. 静電気力 \(F\):
   電荷 \(Q\)、電場の強さ \(E\) なので、力の大きさは \(F = QE\)。イオンが直進するためには、この力はローレンツ力と逆向き、つまり左向きでなければならない。

力のつり合いから、力の大きさは等しくなります。
$$QvB_1 = QE \quad \cdots ①$$
この式を速さ \(v\) について解きます。

式①の両辺を \(Q\) で割ります (\(Q \neq 0\))。
$$vB_1 = E$$
これを \(v\) について解くと、
$$v = \frac{E}{B_1}$$

【補足解説】負の荷電粒子の場合
思考の道筋とポイント
もし粒子が負電荷（電荷 \(-q\)）だった場合、力の向きがどう変わるか考えます。

1. ローレンツ力: フレミングの左手の法則で決まる向き（右向き）とは逆になり、左向きに働きます。
2. 静電気力: 直進するためには、ローレンツ力とつり合う右向きの力が必要です。負の電荷が右向きの力を受けるためには、電場は力の向きとは逆の左向きでなければなりません (\(\vec{F} = (-q)\vec{E}\))。

結局、電場が左向きであることは陽イオンの場合と変わりません。したがって、陽極板はYのままです。

陽極板は Y で、イオンの速さは \(\displaystyle\frac{E}{B_1}\) です。この速さはイオンの質量 \(M\) や電荷 \(Q\) に依存しないことが重要で、この仕組み（速度選択器）が、特定の速さを持つ粒子だけを選び出すフィルターとして機能していることを示しています。また、負の荷電粒子を用いる場合でも、陽極板は Y のままであることがわかりました。

問 (2)

思考の道筋とポイント
スリットP3を通過したイオンは、磁束密度 \(B_2\) の一様な磁場のみが存在する領域に入ります。ここではローレンツ力だけを受けることになります。運動方向（下向き）に対して常に垂直な力（右向きから始まって進行方向の左カーブの内側へ）を受けるため、イオンは等速円運動をします。このローレンツ力が、円運動の向心力の役割を果たします。
したがって、円運動の運動方程式を立て、問(1)で求めた速さ \(v\) を代入し、与えられた直径 \(D\) との関係を使って質量 \(M\) を求めます。
具体的な解説と立式

1. 向心力としてのローレンツ力:
   速さ \(v\) で磁場 \(B_2\) に垂直に入射した電荷 \(Q\) のイオンが受けるローレンツ力の大きさは \(f’ = QvB_2\) です。これが向心力となります。
2. 円運動の運動方程式:
   質量 \(M\)、速さ \(v\)、半径 \(R\) の等速円運動の運動方程式は \(M\frac{v^2}{R} = (\text{向心力})\) なので、
   $$M\frac{v^2}{R} = QvB_2 \quad \cdots ②$$

ここで、イオンが描くのは半円で、P3-P4間の距離 \(D\) はその直径にあたります。したがって、
$$D = 2R \quad \text{または} \quad R = \frac{D}{2} \quad \cdots ③$$
また、イオンの速さ \(v\) は問(1)で求めた通りです。
$$v = \frac{E}{B_1} \quad \cdots ④$$
これらの関係式を使って、\(M\) を求めます。

まず、運動方程式②を半径 \(R\) について整理します。両辺を \(v\) で割ると、
$$M\frac{v}{R} = QB_2$$
$$R = \frac{Mv}{QB_2}$$
この式に、③ (\(R=D/2\)) と ④ (\(v=E/B_1\)) を代入します。
$$\frac{D}{2} = \frac{M}{QB_2} \cdot \frac{E}{B_1}$$
この式を、求めたい質量 \(M\) について解きます。両辺に \(QB_1B_2\) を掛け、\(E\) で割ります。
$$D \cdot \frac{QB_1B_2}{2E} = M$$
したがって、
$$M = \frac{QB_1B_2D}{2E}$$

磁石の力（ローレンツ力）だけを受けるイオンは、ぐるっと円を描くように曲げられます。その運動の様子を物理の言葉（運動方程式）で書き表します。イオンが描く半円の「直径」が \(D\) であることと、イオンの「速さ」（問1で計算済み）をその式に当てはめて、最後に「質量 \(M\) = …」の形になるように式を変形すれば、答えが求まります。

イオンの質量 \(M\) は、\(M = \displaystyle\frac{QB_1B_2D}{2E}\) と表されました。この式から、電荷 \(Q\) が既知で、電場・磁場の強さと検出位置 \(D\) を測定すれば、イオン1個という非常にミクロな粒子の質量を精密に計算できることがわかります。これが質量分析器の根幹をなす原理です。

問 (3)

思考の道筋とポイント
検出位置 \(D\) が一致するイオンの組み合わせを探します。どの物理量が \(D\) に影響を与えるのかは、問(2)で導いた式を見れば一目瞭然です。
$$D = \frac{2EM}{QB_1B_2}$$
この式を、イオンの種類によって変わる部分と、装置によって決まる定数の部分に分けて考えてみましょう。
$$D = \left(\frac{2E}{B_1B_2}\right) \cdot \frac{M}{Q}$$
括弧の部分は装置の設定で決まる定数なので、\(D\) はイオンの質量と電荷の比 \(M/Q\) に比例することがわかります。したがって、\(D\) が一致するということは、\(M/Q\) の値が同じイオンの組み合わせを探せばよい、ということになります。
具体的な解説と立式
与えられた6種類のイオンについて、\(M/Q\) の値を比較します。
ここで、原子の質量は、その原子の質量数（陽子と中性子の数の合計）に比例すると近似します。核子（陽子または中性子）1個の質量を \(m_n\) とします。また、電荷は電気素量 \(e\) の整数倍です。

• \(^1\text{H}^+\): 質量数1、電荷+1 \(\rightarrow M \approx 1 \cdot m_n, Q = 1 \cdot e \rightarrow M/Q \approx m_n/e\)
• \(^2\text{H}^+\): 質量数2、電荷+1 \(\rightarrow M \approx 2 \cdot m_n, Q = 1 \cdot e \rightarrow M/Q \approx 2m_n/e\)
• \(^3\text{H}^+\): 質量数3、電荷+1 \(\rightarrow M \approx 3 \cdot m_n, Q = 1 \cdot e \rightarrow M/Q \approx 3m_n/e\)
• \(^3\text{He}^{2+}\): 質量数3、電荷+2 \(\rightarrow M \approx 3 \cdot m_n, Q = 2 \cdot e \rightarrow M/Q \approx \frac{3}{2}m_n/e\)
• \(^4\text{He}^+\): 質量数4、電荷+1 \(\rightarrow M \approx 4 \cdot m_n, Q = 1 \cdot e \rightarrow M/Q \approx 4m_n/e\)
• \(^4\text{He}^{2+}\): 質量数4、電荷+2 \(\rightarrow M \approx 4 \cdot m_n, Q = 2 \cdot e \rightarrow M/Q \approx 2m_n/e\)

上記の計算結果を比較します。
\(M/Q\) の値が \(2m_n/e\) で等しくなるのは、\(^2\text{H}^+\) (重水素イオン) と \(^4\text{He}^{2+}\) (ヘリウムイオン、アルファ線) の組み合わせです。

\(D\) が一致するのは、\(^2\text{H}^+\) と \(^4\text{He}^{2+}\) のペアです。このように、質量分析器では、単に質量だけでなく、質量と電荷の比 \(M/Q\) が同じ粒子は同じ場所に到達するため、それらを区別することはできません。

問 (4)

思考の道筋とポイント
この問題は2段階の計算からなります。

1. 未知の同位体の質量数を求める:
   問(2)の結果 \(M = \frac{QB_1B_2D}{2E}\) から、実験条件 (\(Q, B_1, B_2, E\))が同じであれば、イオンの質量 \(M\) と検出位置 \(D\) は比例関係 (\(M \propto D\)) にあることがわかります。問題では「1価の陽イオン」とあるので電荷 \(Q\) は全てのイオンで共通です。
   また、原子の質量は質量数にほぼ比例します。これらから「質量数 \(\propto D\)」という関係が成り立ちます。
   与えられたデータ（質量数35のD=22.0cm、未知の質量数M’のD=23.3cm）を使って、比例式を立てることで \(M’\) を計算します。
2. 存在比率を求める:
   原子量は、同位体のそれぞれの質量（ここでは質量数で代用）に自然界での存在比率をかけて足し合わせた「加重平均」で定義されます。未知の同位体の存在比率を \(x\) % とおき、原子量の定義式に数値を当てはめて一次方程式を立て、\(x\) を解きます。

具体的な解説と立式
ステップ1: 質量数の決定
質量数と検出位置Dの比例関係から、次の比例式が立てられます。
(質量数1) : (質量数2) = (D1) : (D2)
質量数35の同位体に対応するDは、比例関係から考えて小さい方の 22.0 cm です。求める質量数を \(M’\) とすると、
$$35 : M’ = 22.0 : 23.3 \quad \cdots ⑤$$

ステップ2: 存在比率の決定
原子量が 35.5、2種類の同位体の質量数が 35 と \(M’\) (ステップ1で 37 と求まる) です。
質量数37の同位体の存在比率を \(x\) [%] とします。すると、質量数35の同位体の存在比率は \((100-x)\) [%] となります。
原子量の定義式は、
$$(\text{原子量}) = (\text{質量数A}) \times \frac{(\text{Aの存在比})}{100} + (\text{質量数B}) \times \frac{(\text{Bの存在比})}{100}$$
この式に数値を代入します。
$$35.5 = 37 \times \frac{x}{100} + 35 \times \frac{100-x}{100} \quad \cdots ⑥$$

ステップ1の計算:
式⑤を \(M’\) について解きます。
$$22.0 \times M’ = 35 \times 23.3$$
$$M’ = \frac{35 \times 23.3}{22.0} = 37.022…$$
質量数は整数なので、最も近い整数は 37 となります。

ステップ2の計算:
式⑥を \(x\) について解きます。まず両辺を100倍して分母を払います。
$$3550 = 37x + 35(100-x)$$
$$3550 = 37x + 3500 – 35x$$
$$3550 = 2x + 3500$$
$$50 = 2x$$
$$x = 25$$
したがって、質量数37の同位体の存在比率は 25 % です。

他方の同位体の質量数は 37 で、その存在比率は 25 % と求められました。ちなみに、質量数35の存在比率は \(100-25=75\) % となります。これは天然の塩素(\(^{35}\text{Cl}\)と\(^{37}\text{Cl}\))の同位体比とほぼ一致しており、問題設定として現実的であることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度選択器の原理: 直交する電場と磁場中で、荷電粒子に働く静電気力とローレンツ力がつりあう (\(QE=QvB\)) と、粒子は直進する。これにより、速さ \(v=E/B\) の粒子だけを選別できる。
• 磁場による質量分離の原理: 一様な磁場中で、荷電粒子に働くローレンツ力を向心力として等速円運動をする (\(M\frac{v^2}{R} = QvB\))。速度が同じなら、軌道半径 \(R\) は質量 \(M\) に比例し、電荷 \(Q\) に反比例する (\(R \propto M/Q\))。
• 同位体と原子量の関係: 原子量とは、各同位体の質量（質量数で近似）をその存在比で加重平均した値である。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • サイクロトロン: 磁場で粒子を円運動させつつ、電場で加速させる装置。円運動の運動方程式と、周期が速さによらないという点が共通。
  • ホール効果: 導体内の荷電粒子が磁場からローレンツ力を受け、導体の側面に偏ることで電場（ホール電場）が発生し、やがてローレンツ力と静電気力がつりあう現象。
  • あらゆる荷電粒子の運動の問題で、「働く力をすべてリストアップし、運動の様子（直進、円運動など）から方程式を立てる」という基本アプローチが応用できる。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 領域を分ける: 電場と磁場のかかり方が異なる領域（速度選択器、質量分離部など）に分けて、それぞれの領域で何が起きるかを個別に考える。
  2. 力の向きを最優先で決定: フレミングの左手の法則（ローレンツ力）と、電場と電荷の符号（静電気力）から、力の向きを正確に図示する。特に電荷が負の場合に注意。
  3. 運動の種類を特定: 「直進」なら力のつり合い、「円運動」なら運動方程式、というように、運動の様子から立てるべき式を判断する。
  4. 比例関係を見抜く: 導出した式（問(2)の\(M\)の式など）から、変数は何か、定数は何かを見極め、「何が何に比例するのか（例: \(M \propto D\))」という関係性を見抜く。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの左手の法則の適用ミス:
  • 現象: 電流（正電荷の向き）・磁場・力の指の割り当てを間違える。特に、負の電荷の運動方向をそのまま電流の向きとしてしまい、力の向きを逆にしてしまう。
  • 対策: 「電流の向き = 正電荷の運動の向き = 負電荷の運動と逆向き」という定義を徹底する。自信がなければ、一度正電荷として力の向きを出し、負電荷ならその逆、と考える。
• 半径(R)と直径(D)の混同:
  • 現象: 円運動の式は半径 \(R\) で立てるが、問題で与えられているのが直径 \(D\) であることを見落とし、\(D=R\) として計算してしまう。
  • 対策: 問題文の定義（「P3P4間の距離をDとする」）と図をよく照らし合わせ、\(D\)が直径\(2R\)であることをしっかり確認する。
• 比例計算の誤り:
  • 現象: 問(4)で、\(M \propto D\) の関係を \(M \propto 1/D\) などと勘違いしたり、どちらの質量数がどちらのDに対応するかを取り違えたりする。
  • 対策: 式 \(M = (\text{定数}) \times D\) を見れば、\(M\) と \(D\) は単純な比例関係。よって「質量が大きいほどDも大きい」と判断し、数値を正しく対応させる。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 速度選択器のイメージ: 右から押す磁場の力と、左から押す電気の力ががっちり拮抗して、イオンがふらつかずにまっすぐ進むイメージ。
  • 質量分離部のイメージ: 磁場に入った途端、イオンがぐいっと内側に曲げられ、円を描き始めるイメージ。このとき、「重い（質量の大きい）イオンほど慣性が大きく曲がりにくいので、大きな円を描く」と視覚的に理解することが重要。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 速度ベクトル \(\vec{v}\)、磁場ベクトル \(\vec{B}\)、電場ベクトル \(\vec{E}\) を矢印で明確に描く。
  • ローレンツ力 \(\vec{f}\) と静電気力 \(\vec{F}\) を、作用点（イオンの中心）から矢印で描く。力のつり合いや向心力としての役割がわかるように描くと良い。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 \(F_1 = F_2\):
  • 選定理由: 問題文に「直進して」とあるため。速度が一定で向きも変わらない等速直線運動は、力がつり合っている状態。
  • 適用根拠: 慣性の法則。
• 円運動の運動方程式 \(ma = F\):
  • 選定理由: 問題文に「半円を描いた後」とあるため。磁場から常に中心向きの力を受けることで、円運動をすることが確定する。\(a\) には向心加速度 \(v^2/R\) を、\(F\) には向心力（ローレンツ力）を代入する。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則。
• 原子量の定義式:
  • 選定理由: 問(4)で「同位体」と「原子量」というキーワードが出てきたため。これらの関係を結びつける唯一の式。
  • 適用根拠: 原子量という量の定義そのもの。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【領域1: 速度選択器】 イオンに働く力を特定（ローレンツ力、静電気力）→ 直進条件から力のつり合いの式を立てる → 速さ \(v\) を求める。
2. 【領域2: 質量分離部】 イオンに働く力を特定（ローレンツ力のみ）→ 円運動であることから運動方程式を立てる → 半径\(R\)を求める。
3. 【情報統合】 \(R\) の式に、1で求めた \(v\) を代入。さらに \(D=2R\) の関係を使い、問われている \(M\) について式を整理する。
4. 【応用】 (3)では \(M/Q\) が、(4)では \(M \propto D\) と原子量の定義が鍵になることを見抜き、それぞれ計算を実行する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の整理: \(B_1\) と \(B_2\) など、添え字のついた文字を混同しないように、注意深く式を書く。
• 分数計算: 問(2)で \(M\) を求める際など、分数が幾重にも重なる計算になる。分母と分子を間違えないよう、丁寧に整理する。
• 小数と整数の扱い: 問(4)では、計算途中で小数 (\(37.0…\)) が出ても、最終的に問われている「質量数」は整数であるという物理的な要請を忘れずに、適切な整数値に丸める。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 定性的な確認: 質量の大きいイオンほど、Dが大きくなるという結果は、「重いものほど曲がりにくい」という直感に合っているか？（合っている）
• 単位・次元の確認: 導出した式の両辺で物理的な次元（単位）が合っているか、頭の中でチェックする習慣をつける。
• 数値の妥当性: 問(4)で求めた存在比率（25%）は、0%から100%の間に収まっており、物理的に意味のある値か？（意味のある値である）。もし負の値や100を超える値になったら、どこかで計算ミスをしている可能性が高い。

問題54 （名古屋市大）

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、電場や磁場中での荷電粒子の運動を分析する典型的な問題です。放射線源から放出された粒子が、電場や磁場によってどのように曲げられるかを計算し、その結果から粒子の種類や性質を特定するプロセスを追体験します。特に、電場による運動と磁場による運動が独立して扱える点や、円運動の軌道を近似計算する点が重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、荷電粒子が受ける力を正しく理解し、その後の運動を予測することです。

• 電場中の運動: 粒子は電場の向き（または逆向き）に静電気力（\(F_y=qE\)）を受け、放物運動をします。これは、重力場での物体の運動（水平投射）と全く同じように考えることができます。
• 磁場中の運動: 粒子は進行方向と磁場の両方に垂直な向きにローレンツ力（\(F_x=qvB\)）を受け、円運動をします。

問(3)や【コラム】Q.のように電場と磁場が共存する場合、それぞれの力が働く方向が直交している（静電気力がy軸方向、ローレンツ力がx軸方向）ため、x方向の運動とy方向の運動を独立に扱えるのが大きなポイントです。

問 (1)

思考の道筋とポイント
電場は鉛直上向き（y軸正方向）にかかっています。粒子はz軸正方向に速さ\(v\)で放出されます。
x軸方向には力が働かないので、x座標は0のままです。
y軸方向には静電気力\(qE\)が働くため、粒子はy軸方向の加速度を持ちます。これは、水平に投げ出した物体が重力で落下する「水平投射」と全く同じモデルで考えられます。
まず、粒子が距離\(L\)を進んで乾板に到達するまでの時間を求め、その時間を使ってy方向の変位を計算します。
具体的な解説と立式
電荷が\(q\)の粒子は、鉛直上向きの電場\(E\)からy軸正方向に静電気力\(F_y=qE\)を受けます。（もし\(q\)が負なら力はy軸負方向になります）
y軸方向の運動方程式 \(ma_y = F_y\) より、y軸方向の加速度\(a_y\)は、
$$ma_y = qE \quad よって \quad a_y = \frac{qE}{m} \quad \cdots ①$$
一方、粒子はz軸方向に速さ\(v\)の等速直線運動をするので、距離\(L\)だけ進んで乾板に到達するまでの時間\(t\)は、
$$t = \frac{L}{v} \quad \cdots ②$$
この時間\(t\)の間、粒子はy軸方向に等加速度直線運動をします。初速度は0なので、y方向の変位は、
$$y = \frac{1}{2} a_y t^2 \quad \cdots ③$$
x軸方向には力が働かないため、変位は0です。
$$x = 0$$

式③に、式①と式②を代入します。
$$y = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{L}{v} \right)^2$$
整理すると、y座標が求まります。
$$y = \frac{qEL^2}{2mv^2}$$
x座標は0なので、衝突する点の座標は \((0, \frac{qEL^2}{2mv^2})\) となります。

粒子がまっすぐ進むのにかかる時間をまず計算します（時間 = 距離 ÷ 速さ）。その間に、電場の力でy方向にどれだけずれるかを計算します。y方向の動きは、初速ゼロで一定の力で引っ張られる運動なので、変位は「\(\frac{1}{2} \times 加速度 \times 時間^2\)」というおなじみの公式で計算できます。

衝突点の座標は、\(x=0, y=\displaystyle\frac{qEL^2}{2mv^2}\)です。この結果は、電荷\(q\)が正でも負でも成り立ちます。\(q\)が負の場合、力の向きと加速度が負になるため、yの値も負となり、y軸の負の領域に衝突することを正しく表しています。

問 (2)

思考の道筋とポイント
磁場は鉛直上向き（y軸正方向）にかかっています。粒子はz軸正方向に速さ\(v\)で放出されます。
y軸方向には力が働かないので、y座標は0のままです。
進行方向(z)と磁場(y)の両方に垂直な方向、すなわちx軸方向にローレンツ力が働きます。電荷\(q>0\)とすると、フレミングの左手の法則より、ローレンツ力はx軸正の向きに働きます。この力を向心力として、粒子はxz平面内で等速円運動を始めます。
円運動の半径\(r\)を求めた後、粒子が距離\(L\)を進んだときのx方向の変位を求めます。ここで、「変位はLに比べて十分小さい」(\(r \gg L, r \gg x\))という近似を使います。図の直角三角形に三平方の定理を適用し、近似を用いて\(x\)を求めます。
メインの解法: 幾何的な近似
具体的な解説と立式
ローレンツ力を向心力とする等速円運動の運動方程式は、
$$m\frac{v^2}{r} = qvB \quad \cdots ④$$
これを半径\(r\)について解くと、
$$r = \frac{mv}{qB} \quad \cdots ⑤$$
次に、模範解答の図にある直角三角形に着目します。三平方の定理より、
$$r^2 = L^2 + (r-x)^2 \quad \cdots ⑥$$
ここで、この式を\(x\)について正確に解くのは大変なので、近似を用います。式⑥を展開すると、
$$r^2 = L^2 + r^2 – 2rx + x^2$$
$$0 = L^2 – 2rx + x^2$$
ここで、問題の条件「磁場による変位はLに比べて十分小さい」とは、\(L \gg x\) ということです。したがって、\(x^2\)の項は\(L^2\)や\(2rx\)に比べて非常に小さいので、無視することができます (\(x^2 \approx 0\))。
$$L^2 – 2rx \approx 0$$
$$x \approx \frac{L^2}{2r} \quad \cdots ⑦$$

式⑦に、式⑤で求めた半径\(r\)を代入します。
$$x \approx \frac{L^2}{2 \left(\frac{mv}{qB}\right)}$$
整理すると、x座標が求まります。
$$x = \frac{qBL^2}{2mv}$$
y座標は0なので、衝突する点の座標は \((\frac{qBL^2}{2mv}, 0)\) となります。

別解: 数学的な近似（二項展開）
具体的な解説と立式
三平方の定理の式⑥を、数学の二項展開を用いて近似することもできます。
$$r^2 = L^2 + (r-x)^2$$
この式を\( (r-x) \)について解くと、
$$r-x = \sqrt{r^2 – L^2} = r \sqrt{1 – \frac{L^2}{r^2}}$$
これを\(x\)について解くと、
$$x = r – r\left(1 – \frac{L^2}{r^2}\right)^{\frac{1}{2}} \quad \cdots ⑧$$
ここで、条件より \(r \gg L\) なので、\(\frac{L^2}{r^2}\) は1より非常に小さい値です。このとき、二項展開の近似式 \((1-a)^n \approx 1 – na\) が使えます。（今回は \(a = L^2/r^2, n=1/2\)）
$$\left(1 – \frac{L^2}{r^2}\right)^{\frac{1}{2}} \approx 1 – \frac{1}{2}\frac{L^2}{r^2}$$

この近似式を⑧に代入します。
$$x \approx r – r\left(1 – \frac{1}{2}\frac{L^2}{r^2}\right) = r – r + \frac{rL^2}{2r^2} = \frac{L^2}{2r}$$
これはメインの解法で得られた式⑦と全く同じです。この後の計算も同様で、同じ結果 \(x = \displaystyle\frac{qBL^2}{2mv}\) が得られます。

衝突点の座標は、\(x=\displaystyle\frac{qBL^2}{2mv}, y=0\)です。この結果も\(q\)が負の場合に正しく成り立ち、x座標が負（ローレンツ力がx軸負方向になる）ことを示します。

問 (3)

思考の道筋とポイント
電場によるy方向の力と、磁場によるx方向の力は、互いに直交しているため独立に考えることができます。したがって、両方の場をかけたときの粒子の変位は、(1)で求めたy座標と(2)で求めたx座標をそのまま組み合わせたものになります。
$$y = \frac{qEL^2}{2mv^2} \quad , \quad x = \frac{qBL^2}{2mv}$$
これらの粒子が、乾板上で \(y=kx^2\) という一つの放物線上に並ぶための条件を探ります。そのためには、2つの式から速さ\(v\)を消去して、\(x\)と\(y\)の関係式を導き、\(y=kx^2\)の形と比較します。
具体的な解説と立式
(1), (2)の結果を再掲します。
$$y = \frac{qEL^2}{2mv^2} \quad \cdots Ⅰ$$
$$x = \frac{qBL^2}{2mv} \quad \cdots Ⅱ$$
これらの式を、与えられた放物線の式 \(y=kx^2\) に代入します。
$$\frac{qEL^2}{2mv^2} = k \left( \frac{qBL^2}{2mv} \right)^2 \quad \cdots ⑨$$
この式を整理して、粒子に共通な物理量を見つけ出します。

式⑨の右辺を計算します。
$$\frac{qEL^2}{2mv^2} = k \left( \frac{q^2 B^2 L^4}{4m^2 v^2} \right)$$
両辺に共通して含まれる \(L^2, v^2\) を消去します。
$$\frac{qE}{2m} = k \frac{q^2 B^2 L^2}{4m^2}$$
さらに、共通する \(q, m\) を一つずつ消去します。
$$\frac{E}{2} = k \frac{q B^2 L^2}{4m}$$
この式を、粒子の物理量である \(q\) と \(m\) の比の形に変形します。
$$\frac{q}{m} = \frac{E}{2} \cdot \frac{4}{k B^2 L^2} = \frac{2E}{k B^2 L^2}$$
この式の右辺 \(\frac{2E}{k B^2 L^2}\) は、装置の設定（\(E, B, L\)）と放物線の形（\(k\)）だけで決まる定数です。したがって、この放物線上に乗る粒子は、種類や速さによらず、比電荷 \(q/m\) が一定であるという共通点を持つことになります。

共通な物理量は、比電荷 \(q/m\) です。これは、トムソンによる電子の発見の実験とも関連する重要な結果です。速さの異なる粒子でも、比電荷さえ同じであれば、同一の放物線上に乗ることがわかります。

問 (4)

思考の道筋とポイント
まず、α線、β線、γ線の正体を特定します。

• γ線: 電荷を持たない電磁波。電場や磁場から力を受けないので、曲げられずに直進し、原点Oに到達する。
• α線: ヘリウム原子核(\(^4\text{He}^{2+}\))の流れ。電荷 \(q_\alpha = +2e\)、質量 \(m_\alpha \approx 4 \times 1800m_e = 7200m_e\)。
• β線: 電子(\(e^-\))の流れ。電荷 \(q_\beta = -e\)、質量 \(m_\beta = m_e\)。

1. (ア) 電場のみをかける場合:
   y座標の式を、運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\) を使って書き直すと便利です。
   $$y = \frac{qEL^2}{2mv^2} = \frac{qEL^2}{4(\frac{1}{2}mv^2)} = \frac{qEL^2}{4K}$$
   この式から、\(y\)は電荷\(q\)に比例し、エネルギー\(K\)に反比例することがわかります。
2. (イ) 磁場のみをかける場合:
   x座標の式も、運動エネルギー\(K\)を使って書き直します。\(v = \sqrt{2K/m}\) なので、
   $$x = \frac{qBL^2}{2mv} = \frac{qBL^2}{2m\sqrt{\frac{2K}{m}}} = \frac{qBL^2}{2\sqrt{2Km}}$$
   この式から、\(x\)は \(\frac{q}{\sqrt{m}\sqrt{K}}\) に比例することがわかります。

これらの関係を基に、各粒子の衝突位置を比較し、作図します。

• (ア) 電場のみ:
  • γ線: \(q=0\) なので \(y_\gamma = 0\)。
  • エネルギー\(K\)のα線とβ線の比較: \(y_\alpha : y_\beta = q_\alpha : q_\beta = (+2e) : (-e) = 2 : -1\)。
  • β線のエネルギー依存性: \(y_\beta \propto 1/K\)。エネルギーが\(K/4\)になると、変位の大きさは4倍になる。
  • 作図: （模範解答の図を参照し、γ線を原点、α線をy=2、β線をy=-1からy=-4の線分として目盛と共に描く）
• (イ) 磁場のみ:
  • γ線: \(q=0\) なので \(x_\gamma = 0\)。
  • エネルギー\(K\)のα線とβ線の比較: \(x_\alpha : x_\beta = \frac{q_\alpha}{\sqrt{m_\alpha}} : \frac{q_\beta}{\sqrt{m_\beta}} = \frac{+2e}{\sqrt{7200m_e}} : \frac{-e}{\sqrt{m_e}} = \frac{1}{30\sqrt{2}} : -1\)。
  • β線のエネルギー依存性: \(x_\beta \propto 1/\sqrt{K}\)。エネルギーが\(K/4\)になると、変位の大きさは2倍になる。
  • 作図: （模範解答の図を参照し、γ線を原点、α線をx=1、エネルギーKのβ線を\(x=-30\sqrt{2}\)、エネルギーK/4のβ線を\(x=-60\sqrt{2}\)として、β線の軌跡を線分として描く）

【コラム】Q. (4)の条件で、電場と磁場を両方かけた場合

思考の道筋とポイント
x方向の変位とy方向の変位は独立に起こるため、両方の場をかけた場合の乾板上の衝突位置は、(ア)で求めたy座標と(イ)で求めたx座標の組み合わせ \((x, y)\) で与えられます。

• γ線: (ア)でも(イ)でも変位は0なので、衝突点は \((0, 0)\)。
• α線 (エネルギーK): (ア)でのy座標と(イ)でのx座標を組み合わせる。例えば、(ア)の図で\(y_\alpha=2\)、(イ)の図で\(x_\alpha=1\)としたなら、衝突点は \((1, 2)\) となります。
• β線 (エネルギー \(K/4 \le K_\beta \le K\)):
  問(3)で考察した通り、比電荷\(q/m\)が同じ粒子は、エネルギーによらず単一の放物線 \(y = \frac{2mE}{qB^2L^2}x^2\) 上に乗ります。β線（電子）はすべて比電荷が同じなので、エネルギーが連続的に分布しているβ線は、この放物線の一部として現れます。
  軌跡の始点と終点は、(ア)と(イ)の結果を組み合わせることで特定できます。
  • 始点 (エネルギーK): \((x, y) = (-30\sqrt{2}, -1)\)
  • 終点 (エネルギーK/4): \((x, y) = (-60\sqrt{2}, -4)\)

上記の座標に点をプロットし、β線については始点と終点を結ぶ放物線を描きます。
y軸方向だけを見れば(ア)の図に、x軸方向だけを見れば(イ)の図に対応していることが、この図から複合的に読み取れます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力の独立性: 互いに直交する方向の力（ここでは静電気力とローレンツ力）による運動は、それぞれの方向に独立して扱うことができる。y方向の運動は電場だけ、x方向の運動は磁場だけで決まる。
• 荷電粒子の運動:
  • 電場中: 等加速度直線運動（\(y = \frac{1}{2}at^2\)）
  • 磁場中: 等速円運動（\(m\frac{v^2}{r}=qvB\)）
• 近似計算: 円運動の軌道の一部を直線とみなせるような状況（曲率半径が非常に大きい場合）では、幾何学的な関係や数学的な展開（二項展開）を用いて変位を近似計算できる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • オシロスコープの偏向: 電子のビームを電場で曲げて図形を描く装置。本問の(1)と原理が同じ。
  • 質量分析器: 問(3)は、速度の異なる粒子でも比電荷\(q/m\)が同じなら、ある放物線上に乗ることを示しており、これは「トムソンの実験」として知られる比電荷測定の原理そのもの。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 力の方向を分析する: まず、粒子に働く力の方向（電場、磁場、速度の向きの関係）を把握する。力が運動方向に垂直か、平行か、あるいは斜めかを考える。
  2. 運動を成分に分解する: 力がx,y,z軸方向に分解できるなら、運動も各軸の成分に分解して考える。「x方向にはこの運動、y方向にはこの運動」と分けることで、複雑な運動も単純な運動の組み合わせとして理解できる。
  3. 近似条件を探す: 「\(L\)に比べて十分小さい」「\(r \gg L\)」のような近似条件の記述があれば、それを使って計算を大幅に簡略化できるサインだと捉える。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 近似計算の誤り:
  • 現象: 問(2)で、三平方の定理から \(x\) を求めようとして、近似せずに複雑な平方根の計算で行き詰まる。あるいは、近似の仕方（\(x^2\)を無視する、二項展開など）が分からず手が止まる。
  • 対策: 「\(A \gg B\) なら \(A+B \approx A\)」や「\(A^2+B^2 \approx A^2\)」のような、桁違いに大きいものと小さいものの和や差に関する近似の感覚を身につける。三平方の定理の場面での \(2rx \approx L^2\) は頻出の近似なので、パターンとして覚えてしまうと良い。
• 独立性の見落とし:
  • 現象: 問(3)で電場と磁場が両方ある場合、力が合わさって複雑な運動になると考え込み、xとyを個別に計算するという発想に至らない。
  • 対策: 力はベクトルであり、互いに直交する成分は独立に扱える、というベクトル解析の基本に立ち返る。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 運動の分解: 1つの粒子の運動を、yz平面（スクリーンに垂直な面）での放物運動と、xz平面（水平面）での円運動の「2つの側面」から見るイメージを持つこと。
  • 乾板への「射影」: 最終的に乾板に記録されるのは、y方向の変位とx方向の変位の「結果」だけである。3次元の運動を2次元の平面に射影して考えるイメージ。
  • 問(2)の図は、真上から見たxz平面での円運動を正しく理解する上で不可欠。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(y = \frac{1}{2}at^2\):
  • 選定理由: y方向の初速度が0で、一定の力（静電気力）による等加速度運動だから。
  • 適用根拠: 等加速度直線運動の変位の公式。
• \(m\frac{v^2}{r} = F\):
  • 選定理由: 磁場から常に速度と垂直な力（ローレンツ力）を受け、速さが変わらずに曲がる運動、すなわち等速円運動をするから。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則を円運動に適用したもの。
• \(y=kx^2\) との比較:
  • 選定理由: 問題文で「一つの放物線上に並ぶ」と指定されているから。物理的に導出したxとyの関係式が、この数学的な関係を満たすための条件を探る。
  • 適用根拠: 物理法則を数学的な関数関係として表現し、条件を求める解析的なアプローチ。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【状況分析】 電場のみか、磁場のみか、両方か。粒子は何か。
2. 【力の特定】 それぞれの状況で、粒子に働く力（静電気力、ローレンツ力）をベクトルとして特定する。
3. 【運動の分離】 運動をx, y, zの各成分に分解する。
4. 【成分ごとの立式】 各成分について、等速運動か等加速度運動か円運動かなどを判断し、適切な式（時間、加速度、変位、運動方程式など）を立てる。
5. 【計算と近似】 式を解き、必要であれば近似計算を適用して変位を求める。
6. 【結果の統合・分析】 求めたx, y座標を組み合わせたり、関係式に代入したりして、問われている結論を導く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の扱い: \(v^2, L^2, q^2, m^2\) など、2乗の計算が頻出する。展開や約分の際に指数を間違えないよう注意する。
• 比例関係の整理: 問(4)のように複数の要素が絡む比例計算では、\(y \propto q/K\) や \(x \propto q/\sqrt{mK}\) のように、何に比例し、何に反比例するのかを式から正確に読み取り、整理してから計算する。
• 数値の桁: 問(4)(イ)の \(x_\alpha\) と \(x_\beta\) の比の計算では、1800や4といった数値が出てくる。\(\sqrt{7200} = \sqrt{3600 \times 2} = 60\sqrt{2}\) のような平方根の計算を落ち着いて行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 電荷の符号と変位の向き: 計算結果の式の \(q\) に正負の値を入れたとき、変位の向き（座標の正負）が物理的な予測（フレミングの法則や静電気力の向き）と一致するか確認する。
• エネルギーと変位の関係: エネルギーが大きい粒子は速いため、場の中を通過する時間が短く、変位が小さくなる傾向がある。\(y \propto 1/K\), \(x \propto 1/\sqrt{K}\) という結果が、この直感と一致しているか確認する。
• 質量と変位の関係: \(x \propto 1/\sqrt{m}\) より、質量が大きいほど磁場で曲がりにくく（xの変位が小さく）なる。これも物理的な直感と一致する。

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