「名問の森」徹底解説（10〜12問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題10 (東大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、電気双極子（ただし、A,Bの電荷が逆符号なので広義には電気双極子ではないが、類似の配置）が作る電場と電位、そしてその中での荷電粒子の運動を扱う、静電気学の総合問題です。後半では外部から一様な電場が加わる状況も考察します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「静電気学」の根幹をなす「電場」と「電位」の概念、そしてそれらが荷電粒子に及ぼす「静電気力」と「電気的ポテンシャルエネルギー」を扱います。さらに、力学的エネルギー保存則や仕事とエネルギーの関係といった力学の知識も必要とされます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. クーロンの法則
2. 電場（電界）: \(+1\)[C]の試験電荷が受ける力。点電荷 \(Q\) が作る電場の強さは \(E = k\frac{|Q|}{r^2}\)。電場はベクトル量であり、重ね合わせの原理が成り立つ。
3. 電位: \(+1\)[C]の試験電荷が持つ電気的ポテンシャルエネルギー。点電荷 \(Q\) が作る電位は \(V = k\frac{Q}{r}\)。電位はスカラー量であり、重ね合わせの原理が成り立つ。
4. 静電気力と電気的ポテンシャルエネルギー: \(\vec{F} = q\vec{E}\), \(U = qV\)。
5. 力学的エネルギー保存則: \(\frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定}\)。
6. 仕事とエネルギーの関係: \(W_{\text{外}} = \Delta U\) （静かに移動させる場合）。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) 電場の計算: 各点電荷が作る電場をベクトルとして合成します。
2. (2) 電位の計算: 各点電荷が作る電位をスカラーとして合成します。
3. (3) 荷電粒子の運動: 力学的エネルギー保存則を適用します。
4. (4) 外部一様電場の決定: 元の力と合成後の力の条件から外部電場を求めます。
5. (5) 外力の仕事の計算: 電気的ポテンシャルエネルギーの変化を計算します。
6. (6) \(L\) と \(l\) の関係: 再び力学的エネルギー保存則を適用します。

問(1)

思考の道筋とポイント
O点およびC点における電場を求めます。電場はベクトル量なので、各点電荷が作る電場をそれぞれ計算し、ベクトルとして合成します。O点では、A点の\(+Q\)からもB点の\(-Q\)からも右向きの電場が生じます。C点では、対称性から鉛直成分は打ち消し合い、水平成分のみが残ります。

この設問における重要なポイント

• 点電荷の作る電場の公式: \(E = k\frac{|Q|}{r^2}\)。
• 電場の重ね合わせの原理（ベクトル和）。
• 対称性の利用。

具体的な解説と立式
O点での電場 \(E_O\):
A点の \(+Q\) がO点に作る電場 \(\vec{E}_{AO}\) は右向きで強さ \(E_{AO} = k\frac{Q}{l^2}\)。
B点の \(-Q\) がO点に作る電場 \(\vec{E}_{BO}\) も右向きで強さ \(E_{BO} = k\frac{Q}{l^2}\)。
合成電場 \(\vec{E}_O\) は右向きで、その強さ \(E_O\) は、
$$E_O = E_{AO} + E_{BO} \quad \cdots ①$$
C点での電場 \(E_C\):
AC = BC = \(\sqrt{l^2+L^2}\)。A点の \(+Q\) がC点に作る電場の強さを \(E_1\)、B点の \(-Q\) がC点に作る電場の強さも \(E_1\) とすると \(E_1 = k\frac{Q}{l^2+L^2}\)。
\(\vec{E}_{AC}\) と \(\vec{E}_{BC}\) のAB方向（右向き）成分を \(E_{1x}\) とする。AC と水平方向のなす角の余弦を \(\cos\alpha = \frac{l}{\sqrt{l^2+L^2}}\) とすると、\(E_{1x} = E_1 \cos\alpha\)。
C点での合成電場 \(\vec{E}_C\) は右向きで、その強さ \(E_C\) は、
$$E_C = 2 E_1 \cos\alpha = 2 \cdot k\frac{Q}{l^2+L^2} \cdot \frac{l}{\sqrt{l^2+L^2}} \quad \cdots ②$$

O点での電場:
式①より、\(E_O = k\frac{Q}{l^2} + k\frac{Q}{l^2} = \frac{2kQ}{l^2}\)。向きはAB方向（右向き）。
C点での電場:
式②より、\(E_C = \frac{2kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\)。向きはAB方向（右向き）。

O点では、二つの電荷からの電場が同じ向きに加算されます。C点では、二つの電荷からの電場の鉛直成分が打ち消しあい、水平成分が加算されます。

O点での電場の向きはAB方向（右向き）、強さは \(E_O = \displaystyle\frac{2kQ}{l^2}\) [N/C]。
C点での電場の向きはAB方向（右向き）、強さは \(E_C = \displaystyle\frac{2kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\) [N/C]。

問(2)

思考の道筋とポイント
O点およびM点における電位を求めます。電位はスカラー量なので、各点電荷が作る電位を単純に足し合わせます。O点ではA, Bからの距離が等しいです。M点はOBの中点なので、A, Bからの距離をそれぞれ計算します。

この設問における重要なポイント

• 点電荷の作る電位の公式: \(V = k\frac{Q}{r}\) （\(Q\)の符号を含む）。
• 電位の重ね合わせの原理（スカラー和）。

具体的な解説と立式
O点での電位 \(V_O\):
A点の \(+Q\) が作る電位 \(V_{AO} = k\frac{+Q}{l}\)。B点の \(-Q\) が作る電位 \(V_{BO} = k\frac{-Q}{l}\)。
$$V_O = V_{AO} + V_{BO} \quad \cdots ③$$
M点での電位 \(V_M\):
AからMまでの距離 \(r_{AM} = l + l/2 = \frac{3}{2}l\)。BからMまでの距離 \(r_{BM} = l/2\)。
A点の \(+Q\) が作る電位 \(V_{AM} = k\frac{Q}{3l/2}\)。B点の \(-Q\) が作る電位 \(V_{BM} = k\frac{-Q}{l/2}\)。
$$V_M = V_{AM} + V_{BM} \quad \cdots ④$$

O点での電位:
式③より、\(V_O = k\frac{Q}{l} + k\frac{-Q}{l} = 0 \text{ [V]}\)。
M点での電位:
式④より、\(V_M = k\frac{Q}{3l/2} + k\frac{-Q}{l/2} = \frac{2kQ}{3l} – \frac{2kQ}{l} = kQ\left(\frac{2-6}{3l}\right) = -\frac{4kQ}{3l} \text{ [V]}\)。

O点では、\(+Q\)と\(-Q\)からの距離が等しいため、それぞれの作る電位が打ち消しあい0Vとなります。M点では、各電荷からの距離に応じて電位を計算し、足し合わせます。

O点の電位は \(V_O = 0 \text{ V}\)。M点の電位は \(V_M = -\displaystyle\frac{4kQ}{3l} \text{ V}\)。

問(3)

思考の道筋とポイント
電荷 \(-q\)、質量 \(m\) の小球PをM点で静かに放し、PがO点を通るときの速さ \(v\) を力学的エネルギー保存則を用いて求めます。電気的ポテンシャルエネルギーは \(U = (-q)V\) です。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則: \(\frac{1}{2}mv^2 + U = \text{一定}\)。
• 電気的ポテンシャルエネルギー: \(U = qV\)。

具体的な解説と立式
M点での力学的エネルギー \(E_M\): 初速0、電位 \(V_M\)。\(E_M = 0 + (-q)V_M\)。
O点での力学的エネルギー \(E_O\): 速さ \(v\)、電位 \(V_O\)。\(E_O = \frac{1}{2}mv^2 + (-q)V_O\)。
力学的エネルギー保存則 \(E_M = E_O\) より、
$$(-q)V_M = \frac{1}{2}mv^2 + (-q)V_O \quad \cdots ⑤$$
(2)の結果、\(V_M = -\frac{4kQ}{3l}\), \(V_O = 0\) を代入します。

式⑤に \(V_M, V_O\) を代入します。
$$(-q)\left(-\frac{4kQ}{3l}\right) = \frac{1}{2}mv^2 + (-q)(0)$$
$$\frac{4kqQ}{3l} = \frac{1}{2}mv^2$$
\(v^2\) について解くと、\(v^2 = \frac{8kqQ}{3ml}\)。
よって、\(v = \sqrt{\frac{8kqQ}{3ml}} = 2\sqrt{\frac{2kqQ}{3ml}}\)。

M点での位置エネルギーがO点での運動エネルギーと位置エネルギーの和に等しくなります。各点の電位から位置エネルギーを計算し、エネルギー保存の式を立てて速さ \(v\) を求めます。

PがO点を通るときの速さは \(v = 2\sqrt{\displaystyle\frac{2kqQ}{3ml}}\) [m/s] です。

問(4)

思考の道筋とポイント
C点での元の静電気力 \(\vec{F}_{\text{元}} = -q\vec{E}_C\)。一様な外部電場 \(\vec{E}_{\text{一様}}\) による力 \(\vec{F}_{\text{一様}} = -q\vec{E}_{\text{一様}}\)。合成力 \(\vec{F}_{\text{合成}} = \vec{F}_{\text{元}} + \vec{F}_{\text{一様}}\)。条件 \(\vec{F}_{\text{合成}} = -\frac{1}{2}\vec{F}_{\text{元}}\) から \(\vec{E}_{\text{一様}}\) を求めます。\(\vec{E}_C\) は右向きなので \(\vec{F}_{\text{元}}\) は左向き。よって \(\vec{F}_{\text{合成}}\) は右向き。

この設問における重要なポイント

• 力のベクトル合成。
• 問題文の条件をベクトル方程式に正確に翻訳する。

具体的な解説と立式
元の静電気力 \(\vec{F}_{\text{元}} = -q\vec{E}_C\)。
合成された静電気力 \(\vec{F}_{\text{合成}} = \vec{F}_{\text{元}} + (-q\vec{E}_{\text{一様}})\)。
条件より \(\vec{F}_{\text{合成}} = -\frac{1}{2}\vec{F}_{\text{元}}\)。
よって、\(-\frac{1}{2}(-q\vec{E}_C) = -q\vec{E}_C -q\vec{E}_{\text{一様}}\)。
$$\frac{1}{2}q\vec{E}_C = -q(\vec{E}_C + \vec{E}_{\text{一様}})$$
$$-\frac{1}{2}\vec{E}_C = \vec{E}_C + \vec{E}_{\text{一様}}$$
$$\vec{E}_{\text{一様}} = -\frac{3}{2}\vec{E}_C$$
\(\vec{E}_C\) はAB方向（右向き）なので、\(\vec{E}_{\text{一様}}\) はBA方向（左向き）。
強さ \(E_{\text{一様}} = \frac{3}{2}E_C = \frac{3}{2} \cdot \frac{2kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}} = \frac{3kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\)。

上記、「具体的な解説と立式」の通りです。

元の力（左向き）と逆向き（右向き）で大きさが半分の力になるためには、一様電場による力が、元の力を打ち消してさらに右向きの力を加える必要があります。力の関係から一様電場を求めます。

一様な電場の向きはBAの向き（左向き）、強さは \(E_{\text{一様}} = \displaystyle\frac{3kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\) [N/C] です。

問(5)

思考の道筋とポイント
外力の仕事 \(W_{\text{外}}\) は、Pの電気的ポテンシャルエネルギーの変化 \(\Delta U_P = U_{P,M} – U_{P,C}\) に等しい。全電位 \(V_{\text{全}} = V_{\text{元}} + V_{\text{一様}}\) を用いて \(U_P = -qV_{\text{全}}\) を計算します。C点を基準に \(V_{C,\text{全}}=0\)。M点での全電位を求めます。

この設問における重要なポイント

• 外力の仕事（静かに移動）= 電気的ポテンシャルエネルギーの変化。
• 全体の電位は、元の電位と一様な外部電場による電位の重ね合わせ。

具体的な解説と立式
\(W_{\text{外}} = U_{P,M} – U_{P,C}\)。 \(V_{C,\text{全}} = 0\) (C点は元の電位0、一様電場の電位の基準もC点またはOC線上を0Vとする)。
したがって \(U_{P,C} = 0\)。
M点での元の電位 \(V_{M,\text{元}} = -\frac{4kQ}{3l}\)。
一様な外部電場 \(\vec{E}_{\text{一様}}\) はBA方向（左向き）、強さ \(E_{\text{一様}}\)。C点を基準にすると、M点はC点から見てAB方向（右向き）に \(l/2\) の位置にあるため、M点の一様電場による電位 \(V_{M,\text{一様}} = E_{\text{一様}}\frac{l}{2}\)。
よって、M点での全電位 \(V_{M,\text{全}} = V_{M,\text{元}} + V_{M,\text{一様}} = -\frac{4kQ}{3l} + E_{\text{一様}}\frac{l}{2}\)。
外力の仕事は、$$W_{\text{外}} = U_{P,M} = (-q)V_{M,\text{全}} = (-q)\left(-\frac{4kQ}{3l} + E_{\text{一様}}\frac{l}{2}\right) \quad \cdots ⑥$$
\(E_{\text{一様}} = \displaystyle\frac{3kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\) を代入します。

式⑥に \(E_{\text{一様}}\) を代入して整理します。
$$W_{\text{外}} = (-q)\left(-\frac{4kQ}{3l} + \frac{3kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}} \cdot \frac{l}{2}\right)$$$$= kqQ\left(\frac{4}{3l} – \frac{3l^2}{2(l^2+L^2)^{3/2}}\right)$$

外力がする仕事は、Pの電気的な位置エネルギーの変化に等しいです。C点とM点での全電位を求め、電荷\(-q\)を掛けて位置エネルギーを計算し、その差を取ります。

外力のした仕事は \(W_{\text{外}} = kqQ\left\{\displaystyle\frac{4}{3l} – \frac{3l^2}{2(l^2+L^2)^{3/2}}\right\}\) [J] です。

問(6)

思考の道筋とポイント
M点（初速0）からO点（最終速0）までの運動で力学的エネルギーが保存されるため、M点とO点での電気的ポテンシャルエネルギーが等しい、つまり全電位が等しい (\(V_{M,\text{全}} = V_{O,\text{全}}\)) ことが条件となります。O点は直線OC上にあるため、(5)の基準の取り方から \(V_{O,\text{全}} = 0\)。よって \(V_{M,\text{全}} = 0\) となります。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用（始点・終点で運動エネルギー0）。
• 各点での全電位（元の電位＋一様電場による電位）の計算。

具体的な解説と立式
M点とO点での力学的エネルギー保存より、\(V_{M,\text{全}} = V_{O,\text{全}}\)。
(5)の電位の基準（直線OC上を0V）を用いると \(V_{O,\text{全}} = 0\)。
よって、M点での全電位も0になる必要があります。
$$V_{M,\text{全}} = -\frac{4kQ}{3l} + E_{\text{一様}}\frac{l}{2} = 0$$
\(E_{\text{一様}} = \displaystyle\frac{3kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\) を代入します。
$$-\frac{4kQ}{3l} + \left(\frac{3kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\right) \frac{l}{2} = 0 \quad \cdots ⑦$$

式⑦より \(kQ\) を消去します（\(kQ \ne 0\)）。
$$-\frac{4}{3l} + \frac{3l^2}{2(l^2+L^2)^{3/2}} = 0$$
$$\frac{3l^2}{2(l^2+L^2)^{3/2}} = \frac{4}{3l}$$
$$9l^3 = 8(l^2+L^2)^{3/2}$$
両辺を2乗すると、\(81l^6 = 64(l^2+L^2)^3\)。
$$(l^2+L^2)^3 = \frac{81}{64}l^6$$
両辺の立方根をとると、\(l^2+L^2 = \left(\frac{81}{64}\right)^{1/3} (l^6)^{1/3} = \frac{3^{4/3}}{2^2} l^2 = \frac{3^{4/3}}{4}l^2\)。
$$L^2 = \left(\frac{3^{4/3}}{4} – 1\right)l^2 = \left(\frac{3^{4/3}-4}{4}\right)l^2$$
$$L = \frac{1}{2}\sqrt{3^{4/3}-4} \cdot l$$

別解: 一様電場による仕事を分離して考える
思考の道筋とポイント
一様な電場 \(\vec{E}_{\text{一様}}\) による力 \(-q\vec{E}_{\text{一様}}\) を保存力以外の力（外力のような扱い）と見なします。この力がする仕事が、元の点電荷が作る電場中での力学的エネルギーの変化に等しいと考えます。
M点からO点への移動で、一様電場による静電気力 \(\vec{F}_{\text{一様}} = -q\vec{E}_{\text{一様}}\) がする仕事 \(W_{\text{一様}}\) を計算します。
仕事とエネルギーの関係より、\(W_{\text{一様}} = \Delta K + \Delta U_{\text{元}}\)。
\(\Delta K = K_O – K_M = 0 – 0 = 0\)。
\(\Delta U_{\text{元}} = U_{P,O,\text{元}} – U_{P,M,\text{元}} = (-q)V_{O,\text{元}} – (-q)V_{M,\text{元}}\)。
したがって、\(W_{\text{一様}} = -q(V_{O,\text{元}} – V_{M,\text{元}})\)。

具体的な解説と立式
一様な電場 \(\vec{E}_{\text{一様}}\) はBA方向（左向き）、強さは \(E_{\text{一様}}\)。
小球Pの電荷は \(-q\) なので、一様電場から受ける力 \(\vec{F}_{\text{一様}}\) はAB方向（右向き）、大きさ \(F_{\text{一様}} = qE_{\text{一様}}\)。
PがM点からO点へ移動する際の変位は、AB方向（右向き）を正とすると、M(\(x=l/2\))からO(\(x=0\))への移動なので、変位は \(-l/2\)。
よって、一様電場による静電気力がする仕事 \(W_{\text{一様}}\) は、
$$W_{\text{一様}} = F_{\text{一様}} \times (-\frac{l}{2}) = (qE_{\text{一様}})(-\frac{l}{2}) = -\frac{1}{2}qE_{\text{一様}}l$$
（これは模範解答のLECTURE(6)別解の \(-qE \times \frac{l}{2}\) と一致。Eは\(E_{\text{一様}}\)の大きさ）
元の点電荷による電位を用いると、
\(V_{O,\text{元}} = 0\)、\(V_{M,\text{元}} = -\frac{4kQ}{3l}\)。
仕事とエネルギーの関係から、
$$-\frac{1}{2}qE_{\text{一様}}l = (0 + (-q)V_{O,\text{元}}) – (0 + (-q)V_{M,\text{元}})$$$$-\frac{1}{2}qE_{\text{一様}}l = -q(V_{O,\text{元}} – V_{M,\text{元}})$$$$\frac{1}{2}E_{\text{一様}}l = V_{O,\text{元}} – V_{M,\text{元}} = 0 – \left(-\frac{4kQ}{3l}\right) = \frac{4kQ}{3l}$$
$$E_{\text{一様}}\frac{l}{2} = \frac{4kQ}{3l}$$
この式は、メイン解法の \(V_{M,\text{全}}=0\) から得られる \(-V_{M,\text{元}} = V_{M,\text{一様}}\) すなわち \(\frac{4kQ}{3l} = E_{\text{一様}}\frac{l}{2}\) と同じです。
したがって、この後の計算もメイン解法と同様になり、同じ結果が得られます。

上記、「具体的な解説と立式」で示したように、メイン解法と同じ式 \(\displaystyle E_{\text{一様}}\frac{l}{2} = \frac{4kQ}{3l}\) が導かれます。
これに \(E_{\text{一様}} = \displaystyle\frac{3kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\) を代入すると、
$$\left(\frac{3kQl}{(l^2+L^2)^{3/2}}\right) \frac{l}{2} = \frac{4kQ}{3l}$$
この式はメイン解法の式⑦と同じであり、以降の計算も同様です。
$$L = \frac{1}{2}\sqrt{3^{4/3}-4} \cdot l$$

M点とO点では運動エネルギーが0なので、MからOへ移動する間に一様な外部電場がした仕事が、元の点電荷による電気的ポテンシャルエネルギーの変化に等しくなります。この関係から \(L\) と \(l\) の式を導きます。

別解を用いても、メインの解法と同じ結果 \(L = \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{3^{4/3}-4} \cdot l\) が得られます。

【コラム】Q₁. (6)において、Pの速さが最大となる位置を求めたい。解法(考え方)を20字以内で述べよ。

具体的な解説と立式
Pの速さが最大となるのは、Pに働く合電気力が0になる位置です。あるいは、電気的ポテンシャルエネルギーが最小となる位置です（Pの電荷が負なので、全電位が最大となる位置）。
解法：力のつり合い位置（Pに働く合力が0の位置）を求めます。

【コラム】Q₂. A点とB点にそれぞれ+Qの点電荷を固定し、O点に小球P(-q[C], m[kg])を置く。PをOからCの方向にわずかにずらして放すと、PはOを中心として単振動を始める。その周期Tを求めよ。

思考の道筋とポイント
PがOからC方向（これをy軸とする）に微小変位 \(y\) だけずれたとき、Pに働く復元力を求めます。この力が \(-Ky\) の形（Kは正の定数）で表されれば、Pは単振動し、その周期は \(T = 2\pi\sqrt{m/K}\) で与えられます。
A(\(-l,0\)), B(\(l,0\)) の\(+Q\)がP(\(0,y\))に及ぼすクーロン力の合力のy成分を計算し、\(y \ll l\) の近似を用います。

この設問における重要なポイント

• 単振動の条件: 復元力 \(F = -Kx\)。
• クーロン力と力の合成（ベクトル和）。
• 微小変位による近似。

具体的な解説と立式
Oを原点、OC方向をy軸正の向きとします。Pの座標を \((0, y)\)。Aは(\(-l, 0\))、Bは(\(l, 0\))に\(+Q\)の電荷があります。
PとA(またはB)との距離 \(r = \sqrt{l^2+y^2}\)。
PがAから受ける力\(f_A\)のy成分（O向き、Pは\(-q\)なので引力ではなく斥力だが、電荷の符号は\(q\)に含めて考える。Qの解答図ではPの電荷を\(-q\)と明記し、クーロン力の大きさは\(|q_1q_2|\)で計算し、向きは別途考えている。ここではQの解答図に合わせてPの電荷を\(-q\)とし、力を考える。）
Qの解答図の軸設定では、Pの電荷を\(-q\)、Qの電荷を\(+Q\)とし、Pが受ける力を\(f\)。合力Fを求めている。これに従う。
A(\(l,0\))、B(\(-l,0\))の位置に\(+Q\)。P(\(-q\))がy軸上の変位\(y\)の点にあるとする（Qの解答図のxをyに読み替え）。
AからPへの力の大きさは \(f = k\frac{Q|-q|}{l^2+y^2} = \frac{kqQ}{l^2+y^2}\)。この力はPからAへ向かう向き（引力）。
この力のy成分は \(-f \sin\theta = -f \frac{y}{\sqrt{l^2+y^2}}\) （\(\theta\)はAPとx軸のなす角）。
Bからも同様の力が働き、合力のy成分 \(F_y\) は、
$$F_y = -2 \cdot \frac{kqQ}{l^2+y^2} \cdot \frac{y}{\sqrt{l^2+y^2}} = -\frac{2kqQy}{(l^2+y^2)^{3/2}}$$
\(y \ll l\) のとき、分母の \(l^2+y^2 \approx l^2\)。
$$F_y \approx -\frac{2kqQy}{(l^2)^{3/2}} = -\frac{2kqQy}{l^3} = -\left(\frac{2kqQ}{l^3}\right)y$$
これは \(F_y = -Ky\) の形なので、Pは単振動します。ばね定数に相当する \(K = \displaystyle\frac{2kqQ}{l^3}\)。
周期 \(T\) は、$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}} = 2\pi\sqrt{\frac{m l^3}{2kqQ}} = 2\pi l \sqrt{\frac{ml}{2kqQ}}$$

上記、「具体的な解説と立式」の通りです。

小球PをOからCの方向に少しずらすと、A点とB点の正電荷から引力を受け、O点に戻ろうとする力が働きます。この復元力が変位にほぼ比例する場合（ずれが小さいとき）、Pは単振動をします。その比例定数（ばね定数のようなもの）を \(K\) とすると、周期は \(T = 2\pi\sqrt{m/K}\) で計算できます。

周期 \(T = 2\pi l \sqrt{\displaystyle\frac{ml}{2kqQ}}\) [s] です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場と電位の基本概念と重ね合わせの原理:
  • 核心: 電場は力に関連するベクトル量、電位はエネルギーに関連するスカラー量。複数の電荷源がある場合、それぞれの効果を重ね合わせる。
  • 理解のポイント: 点電荷がつくる電場 \(E = k|Q|/r^2\) と電位 \(V = kQ/r\) の公式、およびその向きや符号の扱いを正確に。
• 静電気力と電気的ポテンシャルエネルギー:
  • 核心: 電荷 \(q\) の粒子は電場 \(\vec{E}\) から力 \(\vec{F}=q\vec{E}\) を受け、電位 \(V\) の点でポテンシャルエネルギー \(U=qV\) を持つ。
  • 理解のポイント: 電荷の符号によって力やエネルギーの符号が変わることに注意。
• 力学的エネルギー保存則と仕事:
  • 核心: 静電気力は保存力なので、力学的エネルギーが保存される。外力が仕事をするときは、その仕事がエネルギー変化に等しい。
  • 理解のポイント: \(\frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定}\)。静かに動かす外力の仕事 \(W_{\text{外}} = \Delta U\)。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 電気双極子（または類似の電荷対）が作る電場・電位の解析。
  • 複数の電荷による電場・電位の重ね合わせが複雑になる配置での計算。
  • 一様電場と点電荷の電場が共存する中での荷電粒子の運動や力のつり合い。
  • 保存力場でのエネルギー保存則や仕事とエネルギーの関係を用いた問題全般。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 電荷配置と対称性の確認: 図をよく見て、電荷の符号、位置関係、対称性がないかを確認する（対称性があれば計算が楽になる）。
  2. 問われている物理量の種類: 電場（ベクトル）か電位（スカラー）か、力かエネルギーかを明確にし、適切な公式と思い出す。
  3. 基準点の確認: 電位やポテンシャルエネルギーは基準点（通常無限遠）が必要なので、問題文の指示を確認する。
  4. 力の図示とベクトル演算: 電場や力を扱う場合は、必ずベクトル図を描き、成分分解や合成を正確に行う。
  5. エネルギー保存則の適用条件: 保存力のみが仕事をするか、外力や非保存力が関わるかを見極める。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 電場と力の向きは、試験電荷（または考えている粒子）の電荷の符号に依存する。
  • 電位はスカラーなので、向きを気にする必要はないが、各電荷の符号は計算に含める。
  • 距離の計算（特に三平方の定理）を正確に行う。
  • 一様電場が加わった場合は、元の電場/電位と一様電場による電場/電位をそれぞれ計算し、重ね合わせる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場と電位の混同:
  • 現象: 電場をスカラー和したり、電位の向きを考えたりする。
  • 対策: 電場はベクトル（強さと向き）、電位はスカラー（基準からのエネルギーレベル）と定義を明確に区別する。
• 電荷の符号の扱い:
  • 現象: 電場や力の向き、電位や位置エネルギーの符号を間違える。
  • 対策: \(F=qE\), \(U=qV\) の \(q\) には符号を含めて考える。電場の向きは正電荷が受ける力の向き。
• 距離 \(r\) の計算ミス:
  • 現象: 特に\(r^2\)や\(r^3\)が絡む計算での距離の誤り。
  • 対策: 図を正確に描き、幾何学的な関係を正しく使う。
• ベクトル合成のミス:
  • 現象: 電場の合成で、大きさをそのまま足し引きする。
  • 対策: 必ず成分分解するか、ベクトル作図で平行四辺形の法則などを用いる。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 電気力線（Aから出てBへ入る。C点付近ではABに平行な成分が強そう）。
  • 等電位線（ABの垂直二等分線は0Vの等電位線）。
  • 力のベクトル図（特にC点や、一様電場が加わった場合）。
  • ポテンシャルの「谷」や「山」のイメージ（荷電粒子がどちらへ動きたがるか）。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • ベクトルの始点、向き、相対的な長さを意識する。
  • 対称性を活用できるような図の描き方。
  • 距離や角度を正確に（または分かりやすく）記入する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(E = k\frac{|Q|}{r^2}\) (点電荷の電場):
  • 選定理由: 点電荷が作る電場の基本だから。
  • 適用根拠: 対象が点電荷であること。
• \(V = k\frac{Q}{r}\) (点電荷の電位):
  • 選定理由: 点電荷が作る電位の基本だから。
  • 適用根拠: 対象が点電荷であり、無限遠を電位の基準としていること。
• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 荷電粒子が静電気力という保存力のみを受けて運動するため。
  • 適用根拠: 系に働く非保存力が仕事をしない（または外力の仕事が0の自由運動）。
• \(W_{\text{外}} = \Delta U\) (外力の仕事):
  • 選定理由: 荷電粒子を「静かに」動かす（運動エネルギー変化なし）外力の仕事を求めるため。
  • 適用根拠: エネルギーと仕事の関係で、運動エネルギーの変化がない場合。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題設定（電荷配置、問われている点）を図で正確に把握する。
2. 電場を求めるか、電位を求めるかによって、ベクトル和かスカラー和かの方針を立てる。
3. 各点電荷からの距離を正確に計算する。
4. 基本公式に代入し、重ね合わせる。
5. 荷電粒子の運動では、まず働く力を分析し、エネルギー保存則が使えるか判断する。
6. 初期状態と最終状態を明確にし、エネルギーの式を立てる。
7. 外部電場が加わった場合は、それによる力や電位を元のものに重ね合わせる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認: 電荷、力、電位、エネルギーの符号に細心の注意を払う。
• ベクトル演算: 成分分解、合成を丁寧に行う。角度の設定を間違えない。
• 距離の計算: 特に平方根や3/2乗などが絡む場合、慎重に。
• 単位: 基本的にSI単位系で計算するが、問題で与えられた単位も確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 電場・力の向き: 電荷の配置から予想される向きと計算結果が一致するか。
• 電位の符号・大小: 電荷の配置から、ある点の電位が高そうか低そうか、0Vになりそうかなどを大まかに予測し、結果と比べる。
• エネルギーの正負: 運動エネルギーは常に正。ポテンシャルエネルギーの符号と物理的意味。
• 特殊なケースでの検証: 例えば \(L \to 0\) や \(L \to \infty\) の極限で、式が妥当な振る舞いをするか確認する。

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問題11 (岡山大)