「名問の森」徹底解説（52〜54問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題52 (立教大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直に置かれたシリンダー内で、ヒーターによって加熱される理想気体の状態変化を扱う熱力学の問題です。ピストンのつり合いや、シリンダーを逆さにした場合の変化、そして段階的な加熱によって気体がどのように振る舞うかを考察します。各設問を通して、理想気体の状態方程式、熱力学第一法則、定圧変化・定積変化の概念が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を攻略する鍵は、各状況におけるピストンにはたらく力のつり合いを正確に把握し、それによって定まる気体の圧力を求めることです。そして、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を軸に、温度、体積、圧力の関係を追跡します。加熱による変化では、それが定圧変化なのか定積変化なのかを見極め、単原子分子理想気体のモル比熱（定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\)、定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)）を用いた熱量計算や、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q_{\text{in}} – W_{\text{out}}\) の適用が重要になります。特に複数の段階を踏む変化では、各段階の初期条件と最終条件を丁寧に整理し、それぞれの過程でどの法則が適用できるかを慎重に判断しましょう。

問(1) ア

思考の道筋とポイント
ピストンが静止しているという事実は、ピストンにはたらく全ての力がつり合っていることを意味します。A室の気体がピストンを押し上げる力、大気圧がピストンを押し下げる力、そしてピストン自身の重力が下向きにはたらいています。これらの力のつり合いからA室の気体の圧力を求めます。求めた圧力と、与えられた体積（断面積 \(S\) × 高さ \(\frac{L}{2}\)）、物質量 (1 mol) を理想気体の状態方程式に代入することで、気体の温度 \(T_0\) を導き出します。

この設問における重要なポイント

• ピストンにはたらく力のつり合いの式を正しく立てることが出発点です。
• 力のつり合いから導いた気体の圧力 \(P\) を用いて、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を適用します。
• A室の気体の体積は、断面積 \(S\) と高さ \(\displaystyle\frac{L}{2}\) から \(V_0 = S \cdot \displaystyle\frac{L}{2}\) となります。

具体的な解説と立式
A室の気体の圧力を \(P\) とします。ピストンにはたらく力は、鉛直上向きにA室の気体の圧力による力 \(PS\)、鉛直下向きに大気圧による力 \(P_0S\)、そしてピストンの重力 \(Mg\) です。ピストンは静止しているため、これらの力はつり合っています。したがって、力のつり合いの式は次のようになります。
$$PS = P_0S + Mg \quad \cdots ①$$
この式から、A室の気体の圧力 \(P\) は以下のように表されます。
$$P = P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S} \quad \cdots ②$$
このときのA室の気体の体積 \(V_0\) は、シリンダーの底からピストンの下面までの高さが \(\displaystyle\frac{L}{2}\) であることから、
$$V_0 = S \cdot \displaystyle\frac{L}{2}$$
気体は1molの単原子分子理想気体であり、その温度を \(T_0\) とすると、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) (ここで \(n=1\)) より、
$$P V_0 = R T_0$$
この式に、求めた圧力 \(P\) (式②) と体積 \(V_0\) を代入すると、温度 \(T_0\) を求めるための関係式が得られます。
$$\left(P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S}\right) \left(S \cdot \displaystyle\frac{L}{2}\right) = RT_0 \quad \cdots ③$$

式③から \(T_0\) について解きます。
$$T_0 = \displaystyle\frac{\left(P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S}\right) S L}{2R}$$
ここで、括弧内の \(S\) を分配法則に従って計算すると、より整理された形になります。
$$T_0 = \displaystyle\frac{(P_0S + Mg)L}{2R}$$
これが求める初期温度 \(T_0\) です。

ピストンが空中で静止しているのは、下から気体が支える力と、上から大気が押す力およびピストン自身の重さが釣り合っているためです。この釣り合いの関係から、まず気体の圧力がどれくらいかが分かります。次に、気体の圧力、体積（シリンダーの断面積に高さを掛けたもの）、そして気体の量（1molと決まっています）が分かれば、「理想気体の法則」という便利な関係式を使って、気体の温度を計算することができます。

最初の気体の温度 \(T_0\) は \(\displaystyle\frac{(P_0S + Mg)L}{2R} \text{ [K]}\) となります。
この結果は、問題で与えられた物理量（\(P_0, S, M, g, L, R\)）のみで表されており、単位も温度の単位であるケルビン（K）となるため、物理的に妥当です。例えば、もしピストンの質量 \(M\) がゼロであったと仮定すると、\(T_0 = \displaystyle\frac{P_0SL}{2R}\) となり、これはピストンの重さを無視した場合の温度を表しており、直感とも一致します。

問(2) イ, ウ

思考の道筋とポイント
ヒーターで気体を加熱すると、気体は膨張しピストンが \(\displaystyle\frac{L}{4}\) だけ上昇します。ピストンは「滑らかに動く」とされているため、ピストンが動いている間も、A室の気体の圧力は常に外部の力（大気圧とピストンの重力）とつり合った状態、すなわち問(1)で求めた圧力 \(P = P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S}\) で一定であると考えられます。これは定圧変化です。
(イ) まず、定圧変化後の気体の温度を求めます。単原子分子理想気体の場合、定圧モル比熱は \(C_P = \displaystyle\frac{5}{2}R\) です。これを用いて、気体が吸収した熱量（ヒーターが発生したジュール熱）\(Q\) を \(Q = nC_P \Delta T\) の式から計算します。
(ウ) 定圧変化において気体が外部にした仕事 \(W\) は、\(W = P\Delta V\) で計算できます。\(\Delta V\) は体積の変化量です。

この設問における重要なポイント

• ピストンが滑らかに動くため、加熱中の気体の圧力は \(P = P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S}\) で一定（定圧変化）とみなします。
• ピストンが \(\displaystyle\frac{L}{4}\) 上昇した後の、A室の気体の高さを正しく計算し（元の高さ \(\displaystyle\frac{L}{2}\) と合わせて \(\displaystyle\frac{3L}{4}\)）、体積を求めます。
• 単原子分子理想気体の定圧モル比熱 \(C_P = \displaystyle\frac{5}{2}R\) を適用します。
• 気体がした仕事は \(W = P\Delta V\) で求められます。

具体的な解説と立式
(イ) ヒーターが発生したジュール熱 \(Q\)
加熱中、A室の気体の圧力 \(P\) は \(P = P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S}\) で一定です。
初めのA室の気体の高さを \(h_0 = \displaystyle\frac{L}{2}\) とします。ピストンが \(\displaystyle\frac{L}{4}\) 上昇したので、上昇後の高さ \(h_1\) は、
$$h_1 = h_0 + \displaystyle\frac{L}{4} = \displaystyle\frac{L}{2} + \displaystyle\frac{L}{4} = \displaystyle\frac{2L+L}{4} = \displaystyle\frac{3L}{4}$$
初めの体積は \(V_0 = Sh_0 = S\displaystyle\frac{L}{2}\)、上昇後の体積は \(V_1 = Sh_1 = S\displaystyle\frac{3L}{4}\) です。
初めの温度は \(T_0\) でした。上昇後の温度を \(T_1’\) とします。
定圧変化なので、シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{V}{T} = \text{一定}\) が成り立ちます。
$$\displaystyle\frac{V_0}{T_0} = \displaystyle\frac{V_1}{T_1′}$$
この式から \(T_1’\) は次のように表されます。
$$T_1′ = T_0 \cdot \displaystyle\frac{V_1}{V_0} = T_0 \cdot \displaystyle\frac{S\frac{3L}{4}}{S\frac{L}{2}} = T_0 \cdot \displaystyle\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = T_0 \cdot \displaystyle\frac{3}{4} \cdot 2 = \displaystyle\frac{3}{2}T_0$$
気体に加えられた熱量 \(Q\) は、定圧変化における熱量の公式 \(Q = nC_P \Delta T\) で与えられます。ここで \(n=1\)、単原子分子理想気体の定圧モル比熱は \(C_P = \displaystyle\frac{5}{2}R\) です。温度変化 \(\Delta T = T_1′ – T_0\)。
$$Q = 1 \cdot \displaystyle\frac{5}{2}R (T_1′ – T_0) \quad \cdots ④$$
問(1)で求めた \(T_0 = \displaystyle\frac{(P_0S + Mg)L}{2R}\) を用いて、\(Q\) を \(P_0, S, M, g, L, R\) で表すことを目指します。

(ウ) この間に気体がした仕事 \(W\)
定圧変化において気体が外部にした仕事 \(W\) は \(W = P\Delta V\) です。
体積の変化量 \(\Delta V\) は、
$$\Delta V = V_1 – V_0 = S\displaystyle\frac{3L}{4} – S\displaystyle\frac{L}{2} = S\left(\displaystyle\frac{3L}{4} – \displaystyle\frac{2L}{4}\right) = S\displaystyle\frac{L}{4}$$
圧力 \(P\) は \(P = P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S}\) なので、仕事 \(W\) は、
$$W = \left(P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S}\right) \Delta V = \left(P_0 + \displaystyle\frac{Mg}{S}\right) S\displaystyle\frac{L}{4} \quad \cdots ⑤$$

(イ) ジュール熱 \(Q\) の計算
式④に \(T_1′ = \displaystyle\frac{3}{2}T_0\) を代入します。
$$Q = \displaystyle\frac{5}{2}R \left(\displaystyle\frac{3}{2}T_0 – T_0\right) = \displaystyle\frac{5}{2}R \left(\displaystyle\frac{1}{2}T_0\right) = \displaystyle\frac{5}{4}RT_0$$
次に、この式に \(T_0 = \displaystyle\frac{(P_0S + Mg)L}{2R}\) （問(1)の結果）を代入します。
$$Q = \displaystyle\frac{5}{4}R \left( \displaystyle\frac{(P_0S + Mg)L}{2R} \right)$$
\(R\) が約分されて、
$$Q = \displaystyle\frac{5(P_0S + Mg)L}{4 \cdot 2} = \displaystyle\frac{5(P_0S + Mg)L}{8}$$
これがヒーターが発生したジュール熱です。

(ウ) 気体がした仕事 \(W\) の計算
式⑤を展開します。
$$W = \left(P_0S + Mg\right)\displaystyle\frac{L}{4}$$
これが気体がした仕事です。

(イ) ヒーターで気体を温めると、気体は温度が上がって膨らもうとします。ピストンが自由に動けるので、気体の圧力は最初の状態と同じまま保たれます。体積がどれだけ増えたか（ピストンがどれだけ上がったか）が分かっているので、それを使って温度がどれだけ上昇したかが「シャルルの法則」から計算できます。単原子の理想気体の場合、圧力が一定のままで温度を上げるのに必要な熱量は、温度の上昇分に比例します。その比例定数が物質量 \(1 \text{mol} \times \text{定圧モル比熱 } \frac{5}{2}R\) です。
(ウ) 気体が膨らんでピストンを押し上げるとき、気体は外部に対して「仕事」をします。圧力が一定の場合、この仕事の量は「気体の圧力 × 体積が増えた量」で簡単に計算できます。

(イ) ヒーターが発生したジュール熱 \(Q\) は \(\displaystyle\frac{5(P_0S + Mg)L}{8} \text{ [J]}\) です。
(ウ) この間に気体がした仕事 \(W\) は \((P_0S + Mg)\displaystyle\frac{L}{4} \text{ [J]}\) です。
これらの結果は物理的に妥当な単位と形式を持っています。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) と照らし合わせてみましょう。
問(1)で \( (P_0S + Mg)L = 2RT_0 \) という関係があったので、これを使うと仕事 \(W\) は、
\(W = (P_0S + Mg)\displaystyle\frac{L}{4} = \displaystyle\frac{1}{4}(P_0S+Mg)L = \displaystyle\frac{1}{4}(2RT_0) = \displaystyle\frac{1}{2}RT_0\)。
ジュール熱 \(Q\) は、\(T_0\) を使った表現では \(\displaystyle\frac{5}{4}RT_0\) でした。
よって、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、
\(\Delta U = Q – W = \displaystyle\frac{5}{4}RT_0 – \displaystyle\frac{1}{2}RT_0 = \left(\displaystyle\frac{5}{4} – \displaystyle\frac{2}{4}\right)RT_0 = \displaystyle\frac{3}{4}RT_0\)。
一方、単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化は \(\Delta U = nC_V \Delta T = 1 \cdot \displaystyle\frac{3}{2}R (T_1′ – T_0)\) で計算できます。\(T_1′ = \displaystyle\frac{3}{2}T_0\) だったので、
\(\Delta U = \displaystyle\frac{3}{2}R \left(\displaystyle\frac{3}{2}T_0 – T_0\right) = \displaystyle\frac{3}{2}R \left(\displaystyle\frac{1}{2}T_0\right) = \displaystyle\frac{3}{4}RT_0\)。
両者の \(\Delta U\) が一致しており、計算結果の整合性が確認できました。

問(3) エ

思考の道筋とポイント
シリンダーの上下を逆転させると、ピストンにはたらく力の方向が変化します。大気圧はピストンの下面（もともと気体に接していた面）から上向きに作用し、A室の気体の圧力はピストンの上面（もともと大気に接していた面）から下向きに作用します。ピストンの重力も下向きです。ピストンが図2のように特定の位置で静止しているので、これらの力がつり合っています。このつり合いから、新しい気体の圧力 \(P’\) をピストンの質量 \(M\) を含む形で表します。
次に、この状態の気体の体積を図2から読み取ります（気体の長さ \(\frac{2}{3}L\)、断面積 \(S\)）。温度は \(T_0\)（問(1)で求めた初期温度と同じ）と与えられています。これらの情報 \(P’, V’, T_0\) を理想気体の状態方程式に適用します。
この状態方程式と、問(1)で導いた \(T_0\) の定義式（式③: \((P_0S + Mg)L = 2RT_0\)）を連立させることで、未知数であるピストンの質量 \(M\) を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• シリンダーを逆転させた際の力のつり合いを正しく理解し、立式することが重要です。
• 図2からA室の気体の長さが \(\displaystyle\frac{2}{3}L\) であることを読み取り、体積 \(V’ = S \cdot \displaystyle\frac{2}{3}L\) を計算します。
• この状態での気体の温度は、問(1)の初期温度 \(T_0\) と同じであることを用います。
• 二つの状態（問(1)の初期状態と、この逆転した状態）に関する状態方程式（または \(T_0\) の式）を連立させて \(M\) を解きます。

具体的な解説と立式
シリンダーを逆転させたときのA室の気体の圧力を \(P’\) とします。
このときピストンにはたらく力は、鉛直下向きにA室の気体の圧力による力 \(P’S\) とピストンの重力 \(Mg\)、そして鉛直上向きに大気圧による力 \(P_0S\) です。ピストンは静止しているので、これらの力はつり合っています。
$$P_0S = P’S + Mg$$
この式から、A室の気体の圧力 \(P’\) は以下のように表されます。
$$P’ = P_0 – \displaystyle\frac{Mg}{S} \quad \cdots ⑥$$
（この状態が成り立つためには、\(P_0S > Mg\)、つまり \(P’ > 0\) である必要があります。）
図2より、このときのA室の気体の長さは \(\displaystyle\frac{2}{3}L\) ですから、気体の体積 \(V’\) は、
$$V’ = S \cdot \displaystyle\frac{2}{3}L$$
このときの気体の温度は \(T_0\) と与えられているので、理想気体の状態方程式 \(P’V’ = nRT_0\) (ここで \(n=1\)) は、
$$P’ \left(S \cdot \displaystyle\frac{2}{3}L\right) = RT_0$$
この式に \(P’\) (式⑥) を代入すると、
$$\left(P_0 – \displaystyle\frac{Mg}{S}\right) S \displaystyle\frac{2}{3}L = RT_0 \quad \cdots ⑦$$
ここで、問(1)の式③より \(RT_0 = (P_0S + Mg)\displaystyle\frac{L}{2}\) という関係があります。この関係を式⑦に用いて \(M\) について解きます。

式⑦の左辺を展開すると \((P_0S – Mg)\displaystyle\frac{2}{3}L\)。
式⑦に \(RT_0 = (P_0S + Mg)\displaystyle\frac{L}{2}\) を代入すると、
$$(P_0S – Mg)\displaystyle\frac{2}{3}L = (P_0S + Mg)\displaystyle\frac{L}{2}$$
両辺に共通する \(L\) を消去します（\(L \neq 0\)）。
$$(P_0S – Mg)\displaystyle\frac{2}{3} = (P_0S + Mg)\displaystyle\frac{1}{2}$$
分母を払うために両辺に \(6\) を掛けます。
$$6 \cdot (P_0S – Mg)\displaystyle\frac{2}{3} = 6 \cdot (P_0S + Mg)\displaystyle\frac{1}{2}$$
$$4(P_0S – Mg) = 3(P_0S + Mg)$$
展開して整理します。
$$4P_0S – 4Mg = 3P_0S + 3Mg$$
\(P_0S\) の項を左辺に、\(Mg\) の項を右辺に集めます。
$$4P_0S – 3P_0S = 3Mg + 4Mg$$
$$P_0S = 7Mg$$
したがって、ピストンの質量 \(M\) は、
$$M = \displaystyle\frac{P_0S}{7g}$$
問題では \(M = \text{エ} \cdot \displaystyle\frac{P_0S}{g}\) の形で答えるように指示されているので、エに入る数値は \(\displaystyle\frac{1}{7}\) です。

シリンダーをさかさまにすると、ピストンにかかる力のバランスが変わります。今度は、下から大気が押し上げ、上からは気体が押さえつけ、さらにピストンの重さも下向きにかかります。この新しい力の釣り合いから、気体の圧力が（ピストンの重さ \(M\) を使って）表せます。気体の体積は図から読み取り、温度は最初の状態と同じ \(T_0\) と決められています。これらの情報を使って「理想気体の法則」の式を立てます。この式と、問(1)で \(T_0\) を求めたときの式を組み合わせることで、ピストンの重さ \(M\) を計算することができます。

ピストンの質量 \(M\) は \(\displaystyle\frac{1}{7}\frac{P_0S}{g} \text{ [kg]}\) となります。
この結果は、\(P_0, S, g\) といった基本的な物理量で構成されており、単位も質量 [kg] となり物理的に妥当です。\(\displaystyle\frac{P_0S}{g}\) は大気圧による力を重力加速度で割ったもので、ある基準となる質量と見なせます。ピストンの質量がその \(\displaystyle\frac{1}{7}\) であるという具体的な関係が導かれました。この結果は、\(P_0S > Mg\) という条件（\(P_0S > \frac{1}{7}P_0S\)、これは常に成り立つ）を満たしており、物理的に矛盾はありません。

問(4) オ

思考の道筋とポイント
(3)のシリンダーを逆転させた状態（気体の圧力 \(P’\)、温度 \(T_0\)、気体の長さ \(\frac{2}{3}L\)）から、ヒーターで \(\displaystyle\frac{1}{3}t_1\) 秒間電流を流します。問(2)で、\(t_1\) 秒間の加熱で \(Q = \displaystyle\frac{5}{4}RT_0\) のジュール熱が発生することが分かっています。ジュール熱は電流を流す時間に比例するので、\(\displaystyle\frac{1}{3}t_1\) 秒間では \(\displaystyle\frac{1}{3}Q\) の熱が発生します。
ピストンは滑らかに動くため、この加熱過程も定圧変化となり、圧力は(3)の状態で決まった \(P’ = P_0 – \displaystyle\frac{Mg}{S}\) のままです。
まず、加えられた熱量 \(\displaystyle\frac{1}{3}Q\) と定圧モル比熱 \(C_P = \displaystyle\frac{5}{2}R\) を用いて、気体の温度が \(T_0\) からどれだけ上昇するかを計算し、加熱後の温度 \(T_2’\) を求めます。
次に、定圧変化なのでシャルルの法則（\(\frac{V}{T} = \text{一定}\)）が適用できます。これを利用して、加熱後の気体の長さ（ピストンの上面からシリンダーの上底までの距離）\(l\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 加熱時間が \(t_1\) 秒の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) なので、発生するジュール熱も \(Q\) の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) となります。
• この加熱過程も、ピストンが滑らかに動くため定圧変化（圧力は \(P’\) で一定）と考えます。
• 加熱後の温度 \(T_2’\) を計算し、シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{V}{T} = \text{const}\) （あるいは断面積が一定なので \(\displaystyle\frac{l}{\text{長さ}} = \text{const}\)）を用いて、新しい気体の長さ \(l\) を求めます。

具体的な解説と立式
問(2)より、\(t_1\) 秒間の加熱で発生したジュール熱は \(Q = \displaystyle\frac{5}{4}RT_0\) でした。
したがって、\(\displaystyle\frac{1}{3}t_1\) 秒間の加熱で発生するジュール熱 \(Q_{\text{加熱}}\) は、
$$Q_{\text{加熱}} = \displaystyle\frac{1}{3}Q = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{5}{4}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{12}RT_0 \quad \cdots ⑧$$
この加熱は定圧変化（圧力 \(P’\)）で行われます。加熱前の温度は \(T_0\) で、気体の長さは \(l_0 = \displaystyle\frac{2}{3}L\) でした。加熱後の温度を \(T_2’\) とします。
定圧変化で気体が吸収する熱量は \(Q_{\text{加熱}} = nC_P \Delta T = 1 \cdot C_P (T_2′ – T_0)\) です。単原子分子理想気体の定圧モル比熱は \(C_P = \displaystyle\frac{5}{2}R\) なので、
$$\displaystyle\frac{5}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{2}R (T_2′ – T_0) \quad \cdots ⑨$$
加熱後の気体の長さを \(l\) とします。定圧変化なので、シャルルの法則より、体積 \(V\) と絶対温度 \(T\) の間には \(\displaystyle\frac{V}{T} = \text{一定}\) の関係があります。断面積 \(S\) は一定なので、\(\displaystyle\frac{Sl_0}{T_0} = \displaystyle\frac{Sl}{T_2′}\)、すなわち \(\displaystyle\frac{l_0}{T_0} = \displaystyle\frac{l}{T_2′}\) が成り立ちます。
ここから \(l\) を求める式は、
$$l = l_0 \cdot \displaystyle\frac{T_2′}{T_0} \quad \cdots ⑩$$
まず式⑨から \(T_2’\) を求め、それを式⑩に代入して \(l\) を計算します。

まず、式⑨から \(T_2’\) を求めます。
$$\displaystyle\frac{5}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{2}R (T_2′ – T_0)$$
両辺の \(\displaystyle\frac{5}{2}R\) で割ります（\(R \neq 0\)）。
$$\left(\displaystyle\frac{5}{12}RT_0\right) \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{5R}\right) = T_2′ – T_0$$
$$\displaystyle\frac{1}{6}T_0 = T_2′ – T_0$$
したがって、加熱後の温度 \(T_2’\) は、
$$T_2′ = T_0 + \displaystyle\frac{1}{6}T_0 = \displaystyle\frac{7}{6}T_0$$
次に、この \(T_2’\) を式⑩に代入して \(l\) を求めます。加熱前の長さは \(l_0 = \displaystyle\frac{2}{3}L\) でした。
$$l = \left(\displaystyle\frac{2}{3}L\right) \cdot \displaystyle\frac{\frac{7}{6}T_0}{T_0}$$
\(T_0\) が約分されて、
$$l = \displaystyle\frac{2}{3}L \cdot \displaystyle\frac{7}{6} = \displaystyle\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 6}L = \displaystyle\frac{14}{18}L = \displaystyle\frac{7}{9}L$$
問題では \(l = \text{オ} \cdot L\) の形で答えるように指示されているので、オに入る数値は \(\displaystyle\frac{7}{9}\) です。

シリンダーを逆さにした状態で、今度はヒーターのスイッチを \(t_1\) 秒間の \(1/3\) だけの時間入れます。すると、気体はまた温められて膨張し、ピストンが動きます（この場合は下がります）。このときも圧力は一定のままです。まず、発生する熱の量から気体の温度がどれだけ上がるかを計算します（熱量の式を使います）。次に、温度と体積（ここでは気体の長さ）は比例関係にある（シャルルの法則）ので、温度がどれだけ上がったかを使って、気体の長さがどれだけ伸びる（長くなる）かを計算します。

ヒーターに \(\displaystyle\frac{1}{3}t_1 \text{ [s]}\) 間電流を流したとき、ピストンの上面はシリンダーの上底から \(l = \displaystyle\frac{7}{9}L\) の所に静止します。
加熱前の気体の長さは \(\displaystyle\frac{2}{3}L = \displaystyle\frac{6}{9}L\) でしたので、加熱により気体が膨張し、ピストンが下がって気体の長さが \(\displaystyle\frac{7}{9}L\) になったことを示しており、物理的に妥当な結果です。
このとき、ピストンがシリンダーの下底に達していないか確認しておきましょう。シリンダーの全長が \(L\) で、ピストンの厚さが \(\displaystyle\frac{1}{9}L\) なので、もしピストンの上面がシリンダーの下底に達した場合、その位置は上底から \(L – \displaystyle\frac{1}{9}L = \displaystyle\frac{8}{9}L\) となります。現在の \(l = \displaystyle\frac{7}{9}L\) はまだ \(\displaystyle\frac{8}{9}L\) には達していないため、ピストンはまだシリンダーの途中にあり、定圧変化が継続していると考えて問題ありません。

問(5) カ

思考の道筋とポイント
(4)の状態から、さらにヒーターに \(\displaystyle\frac{2}{3}t_1\) 秒間電流を流します。この間に発生するジュール熱は \(\displaystyle\frac{2}{3}Q = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{5}{4}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{6}RT_0\) です。
この加熱の過程で、ピストンがシリンダーの下底に達する可能性があります。ピストンが下底に達すると、それ以上体積は変化できなくなるため、それ以降の加熱は定積変化となります。したがって、この設問は2段階のプロセスで考える必要があります。

1. 定圧膨張の段階: (4)の終了時の状態（温度 \(T_2′ = \frac{7}{6}T_0\)、気体の長さ \(l_{\text{前}} = \frac{7}{9}L\)）から、ピストンがシリンダーの下底に達するまでの定圧変化を考えます。ピストンが下底に達するときのA室の気体の長さは、シリンダー全長 \(L\) からピストンの厚さ \(\frac{1}{9}L\) を引いた \(l_{\text{底}} = L – \frac{1}{9}L = \frac{8}{9}L\) です。この下底に達したときの気体の温度を \(T”\) とし、この定圧膨張の間に気体が吸収した熱量を \(q_1\) とします。
2. 定積加熱の段階: ピストンが下底に達した後（温度 \(T”\)、気体の長さ \(l_{\text{底}} = \frac{8}{9}L\) で体積一定）、さらに加熱されて最終温度 \(T_1\) になるまでの定積変化を考えます。この設問の \(\frac{2}{3}t_1\) 秒間の加熱で供給される総熱量から \(q_1\) を引いた残りの熱量 \(q_2\) が、この定積加熱に使われます。\(q_2 = nC_V(T_1 – T”)\) の関係から最終温度 \(T_1\) を求めます。単原子分子理想気体の定積モル比熱は \(C_V = \displaystyle\frac{3}{2}R\) です。

この設問における重要なポイント

• 加熱の途中で変化の種類が「定圧変化」から「定積変化」へ移行する点を見抜くことが最も重要です。
• ピストンがシリンダーの下底に達するときのA室の気体の最大の長さ（\(L – \frac{1}{9}L = \frac{8}{9}L\)）を正しく把握します。
• 各段階（定圧膨張、定積加熱）で吸収される熱量と温度変化の関係を、適切なモル比熱（\(C_P\) または \(C_V\)）を用いて計算します。

具体的な解説と立式
この設問(5)でヒーターから供給される総熱量 \(Q_{\text{供給}}\) は、\(\displaystyle\frac{2}{3}t_1\) 秒間の加熱なので、
$$Q_{\text{供給}} = \displaystyle\frac{2}{3}Q = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{5}{4}RT_0 = \displaystyle\frac{10}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{6}RT_0$$

ステップ1: ピストンが下底に達するまでの定圧膨張
(4)の終了時の状態は、温度 \(T_2′ = \displaystyle\frac{7}{6}T_0\)、A室の気体の長さ \(l_{\text{前}} = \displaystyle\frac{7}{9}L\)。圧力は \(P’\) で一定です。
ピストンがシリンダーの下底に達すると、A室の気体の長さは \(l_{\text{底}} = L – \displaystyle\frac{1}{9}L = \displaystyle\frac{8}{9}L\) となります。
このときの温度を \(T”\) とすると、定圧変化なのでシャルルの法則 \(\displaystyle\frac{l_{\text{前}}}{T_2′} = \displaystyle\frac{l_{\text{底}}}{T”}\) より、
$$T” = T_2′ \cdot \displaystyle\frac{l_{\text{底}}}{l_{\text{前}}} \quad \cdots ⑪$$
この定圧膨張の間に気体が吸収した熱量 \(q_1\) は \(q_1 = nC_P(T” – T_2′)\)。ここで \(n=1, C_P=\frac{5}{2}R\)。
$$q_1 = \displaystyle\frac{5}{2}R (T” – T_2′) \quad \cdots ⑫$$

ステップ2: ピストンが下底に達した後の定積加熱
ピストンが下底に達した後、さらに供給される熱量 \(q_2\) は、この設問で供給された総熱量 \(Q_{\text{供給}}\) から \(q_1\) を引いたものです。
$$q_2 = Q_{\text{供給}} – q_1 \quad \cdots ⑬$$
この \(q_2\) の熱は、体積一定（A室の気体の長さ \(l_{\text{底}} = \frac{8}{9}L\) で固定）のまま気体の温度を \(T”\) から最終温度 \(T_1\) まで上昇させるのに使われます（定積変化）。
単原子分子理想気体の定積モル比熱は \(C_V = \displaystyle\frac{3}{2}R\) です。
$$q_2 = nC_V(T_1 – T”) = 1 \cdot \displaystyle\frac{3}{2}R (T_1 – T”) \quad \cdots ⑭$$
式⑬と⑭から \(T_1\) を求めます。

まず、式⑪を用いて \(T”\) を計算します。 \(T_2′ = \displaystyle\frac{7}{6}T_0\), \(l_{\text{前}} = \displaystyle\frac{7}{9}L\), \(l_{\text{底}} = \displaystyle\frac{8}{9}L\)。
$$T” = \left(\displaystyle\frac{7}{6}T_0\right) \cdot \displaystyle\frac{\frac{8}{9}L}{\frac{7}{9}L} = \displaystyle\frac{7}{6}T_0 \cdot \displaystyle\frac{8}{7} = \displaystyle\frac{8}{6}T_0 = \displaystyle\frac{4}{3}T_0$$
次に、式⑫を用いて \(q_1\) を計算します。
$$q_1 = \displaystyle\frac{5}{2}R \left(\displaystyle\frac{4}{3}T_0 – \displaystyle\frac{7}{6}T_0\right) = \displaystyle\frac{5}{2}R \left(\displaystyle\frac{8}{6}T_0 – \displaystyle\frac{7}{6}T_0\right) = \displaystyle\frac{5}{2}R \left(\displaystyle\frac{1}{6}T_0\right) = \displaystyle\frac{5}{12}RT_0$$
次に、式⑬を用いて \(q_2\) を計算します。 \(Q_{\text{供給}} = \displaystyle\frac{5}{6}RT_0\)。
$$q_2 = \displaystyle\frac{5}{6}RT_0 – \displaystyle\frac{5}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{10}{12}RT_0 – \displaystyle\frac{5}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{12}RT_0$$
最後に、この \(q_2\) と \(T” = \displaystyle\frac{4}{3}T_0\) を式⑭に代入して \(T_1\) を求めます。
$$\displaystyle\frac{5}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{3}{2}R \left(T_1 – \displaystyle\frac{4}{3}T_0\right)$$
両辺の \(R\) を消去し、\(\displaystyle\frac{3}{2}\) で両辺を割ると（つまり \(\displaystyle\frac{2}{3}\) を掛けると）、
$$\left(\displaystyle\frac{5}{12}T_0\right) \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = T_1 – \displaystyle\frac{4}{3}T_0$$
$$\displaystyle\frac{10}{36}T_0 = T_1 – \displaystyle\frac{4}{3}T_0$$
$$\displaystyle\frac{5}{18}T_0 = T_1 – \displaystyle\frac{4}{3}T_0$$
\(T_1\) について解くと、
$$T_1 = \displaystyle\frac{5}{18}T_0 + \displaystyle\frac{4}{3}T_0 = \displaystyle\frac{5}{18}T_0 + \displaystyle\frac{4 \cdot 6}{3 \cdot 6}T_0 = \displaystyle\frac{5}{18}T_0 + \displaystyle\frac{24}{18}T_0 = \displaystyle\frac{5+24}{18}T_0 = \displaystyle\frac{29}{18}T_0$$
問題では \(T_1 = \text{カ} \cdot T_0\) の形で答えるように指示されているので、カに入る数値は \(\displaystyle\frac{29}{18}\) です。

さらにヒーターで気体を温め続けると、ピストンはどんどん下がり（気体の長さは長くなり）、やがてシリンダーの底にぶつかってしまいます。この問題では、この「底にぶつかる」という出来事が、加熱の途中で起こります。
1. ピストンが底にぶつかるまで: まず、ピストンが動き始めてから底にぶつかるまでの間は、圧力が一定のまま体積が増え、温度も上がります。いつものように、どれだけ温度が上がったら底にぶつかるかを計算し、その間にどれだけの熱が使われたかも計算します。
2. ピストンが底にぶつかった後: ピストンが底にぶつかると、もう気体はそれ以上膨らむことができません（体積が一定になります）。この状態で、残りの熱（この設問で加える予定だった総熱量から、ステップ1で使った熱量を引いたもの）を加えると、今度は体積が変わらないまま圧力と温度が上がっていきます。この2段階目の温度上昇を計算し、最終的な気体の温度を求めます。

最終的な気体の温度 \(T_1\) は \(\displaystyle\frac{29}{18}T_0 \text{ [K]}\) となります。
各段階での温度変化を追うと、\(T_0 \rightarrow T_2′(\frac{7}{6}T_0 \approx 1.167T_0) \rightarrow T”(\frac{4}{3}T_0 \approx 1.333T_0) \rightarrow T_1(\frac{29}{18}T_0 \approx 1.611T_0)\) と、順調に温度が上昇していることがわかります。これは物理的に妥当な結果です。

別解1: 熱力学第一法則の利用
(3)の最初の状態（シリンダー逆転直後、温度 \(T_0\)、気体の長さ \(\frac{2}{3}L\)、圧力 \(P’\)）から、(5)の最終状態（温度 \(T_1\)、気体の長さ \(\frac{8}{9}L\)（下底に達しているため））までの全体のエネルギー変化を一気に考える方法です。

思考の道筋とポイント
(3)の初期状態から(5)の最終状態までの変化を一つのプロセスと捉え、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q_{\text{全}} – W_{\text{全}}\) を適用します。
\(\Delta U\) は \(U_{\text{最終}} – U_{\text{初期}} = \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\) です。
\(Q_{\text{全}}\) は、(4)での加熱量と(5)での加熱量の合計です。
\(W_{\text{全}}\) は、ピストンが圧力 \(P’\) のもとで気体の長さが \(\frac{2}{3}L\) から \(\frac{8}{9}L\) になるまでにした仕事です（ピストンが下底に達した後は仕事はしません）。

具体的な解説と立式
初状態（(3)のシリンダー逆転直後）:
温度 \(T_0\), 気体の体積 \(V_{\text{初}} = S \cdot \displaystyle\frac{2}{3}L\)。
このときの内部エネルギー \(U_{\text{初}} = \displaystyle\frac{3}{2}RT_0\)。

終状態（(5)の加熱終了後）:
温度 \(T_1\), 気体の体積 \(V_{\text{後}} = S \cdot \displaystyle\frac{8}{9}L\) （ピストンが下底に達しているため）。
このときの内部エネルギー \(U_{\text{後}} = \displaystyle\frac{3}{2}RT_1\)。

内部エネルギーの変化 \(\Delta U\):
$$\Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{初}} = \displaystyle\frac{3}{2}RT_1 – \displaystyle\frac{3}{2}RT_0 = \displaystyle\frac{3}{2}R(T_1 – T_0) \quad \cdots (別解1-1)$$

この間に気体に加えられた総熱量 \(Q_{\text{全}}\):
(4)での加熱量 \(Q_{(4)} = \displaystyle\frac{1}{3}Q = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{5}{4}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{12}RT_0\)。
(5)での加熱量 \(Q_{(5)} = \displaystyle\frac{2}{3}Q = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{5}{4}RT_0 = \displaystyle\frac{10}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{6}RT_0\)。
したがって、総熱量 \(Q_{\text{全}}\) は、
$$Q_{\text{全}} = Q_{(4)} + Q_{(5)} = \displaystyle\frac{5}{12}RT_0 + \displaystyle\frac{10}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{15}{12}RT_0 = \displaystyle\frac{5}{4}RT_0 \quad \cdots (別解1-2)$$
(これは元の \(Q\) と同じ値です)

気体がした全仕事 \(W_{\text{全}}\):
ピストンは、気体の長さが \(l_0 = \displaystyle\frac{2}{3}L\) から \(l_{\text{底}} = \displaystyle\frac{8}{9}L\) になるまで、圧力 \(P’\) のもとで膨張します。ピストンが下底に達した後は体積が変化しないため、仕事はしません。
(3)の状態方程式 \(P’S\displaystyle\frac{2}{3}L = RT_0\) より、\(P’S = \displaystyle\frac{RT_0}{\frac{2}{3}L} = \displaystyle\frac{3RT_0}{2L}\)。
仕事 \(W_{\text{全}}\) は、
$$W_{\text{全}} = P'(V_{\text{後}} – V_{\text{初}}) = P’S(l_{\text{底}} – l_0) \quad \cdots (別解1-3)$$

熱力学第一法則 \(\Delta U = Q_{\text{全}} – W_{\text{全}}\) にこれらの式を代入して \(T_1\) を求めます。

計算過程

まず、(別解1-3)の \(W_{\text{全}}\) を計算します。
\(P’S = \displaystyle\frac{3RT_0}{2L}\), \(l_0 = \displaystyle\frac{2}{3}L = \displaystyle\frac{6}{9}L\), \(l_{\text{底}} = \displaystyle\frac{8}{9}L\)。
$$W_{\text{全}} = \left(\displaystyle\frac{3RT_0}{2L}\right) \left(\displaystyle\frac{8}{9}L – \displaystyle\frac{6}{9}L\right) = \left(\displaystyle\frac{3RT_0}{2L}\right) \left(\displaystyle\frac{2}{9}L\right)$$
\(L\) が約分され、
$$W_{\text{全}} = \displaystyle\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 9}RT_0 = \displaystyle\frac{6}{18}RT_0 = \displaystyle\frac{1}{3}RT_0$$
次に、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q_{\text{全}} – W_{\text{全}}\) に値を代入します。
(別解1-1) \(\Delta U = \displaystyle\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)
(別解1-2) \(Q_{\text{全}} = \displaystyle\frac{5}{4}RT_0\)
$$W_{\text{全}} = \displaystyle\frac{1}{3}RT_0$$
$$\displaystyle\frac{3}{2}R(T_1 – T_0) = \displaystyle\frac{5}{4}RT_0 – \displaystyle\frac{1}{3}RT_0$$
両辺の \(R\) を消去します（\(R \neq 0\)）。
$$\displaystyle\frac{3}{2}(T_1 – T_0) = \left(\displaystyle\frac{5}{4} – \displaystyle\frac{1}{3}\right)T_0$$
右辺の括弧内を計算します。
$$\displaystyle\frac{5}{4} – \displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{15}{12} – \displaystyle\frac{4}{12} = \displaystyle\frac{11}{12}$$
よって、
$$\displaystyle\frac{3}{2}(T_1 – T_0) = \displaystyle\frac{11}{12}T_0$$
両辺に \(\displaystyle\frac{2}{3}\) を掛けて \(T_1 – T_0\) を求めます。
$$T_1 – T_0 = \displaystyle\frac{11}{12}T_0 \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 3}T_0 = \displaystyle\frac{22}{36}T_0 = \displaystyle\frac{11}{18}T_0$$
したがって、\(T_1\) は、
$$T_1 = T_0 + \displaystyle\frac{11}{18}T_0 = \displaystyle\frac{18T_0 + 11T_0}{18} = \displaystyle\frac{29}{18}T_0$$

結論と吟味
別解である熱力学第一法則をプロセス全体に適用する方法でも、最終的な気体の温度 \(T_1\) は \(\displaystyle\frac{29}{18}T_0 \text{ [K]}\) となり、本解説で段階的に計算した結果と一致します。このことは、計算の正しさをお互いに裏付けるものです。全体のエネルギー収支で考えることで、途中の複雑な状態変化の詳細を追わずに最終結果を得られる場合があり、有効な検算手段ともなります。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ピストンにはたらく力のつり合い: ピストンが静止しているか、ゆっくり動いている場合、ピストンに作用する力の合力はゼロです。この法則を用いて、気体の圧力を決定するのが多くの設問の出発点でした。
• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 気体の圧力 \(P\)、体積 \(V\)、物質量 \(n\)、絶対温度 \(T\) の間の普遍的な関係を示すこの式は、状態変化を記述する上で常に中心的な役割を果たしました。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q_{\text{in}} – W_{\text{out}}\)): 気体の内部エネルギーの変化 (\(\Delta U\))、気体が吸収した熱量 (\(Q_{\text{in}}\))、気体が外部にした仕事 (\(W_{\text{out}}\)) の間のエネルギー保存則です。特に複雑な過程や、全体のエネルギー収支を考える際に強力なツールとなります。
• 単原子分子理想気体の性質:
  • 内部エネルギー: \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\)
  • 定積モル比熱: \(C_V = \displaystyle\frac{3}{2}R\)
  • 定圧モル比熱: \(C_P = \displaystyle\frac{5}{2}R\)

  これらの具体的な値を正しく使い分けることが、熱量や内部エネルギー変化の計算に不可欠でした。

• 熱力学的な過程の理解（定圧変化、定積変化）:
  • 定圧変化: ピストンが自由に動ける状態で加熱または冷却される場合、圧力は一定に保たれます。このとき、気体がする仕事は \(W=P\Delta V\)、気体が吸収する熱は \(Q=nC_P\Delta T\) で計算されます。
  • 定積変化: ピストンが固定されているなど、体積が変化しない状態で加熱または冷却される場合です。このとき、気体がする仕事は \(W=0\) であり、気体が吸収する熱は \(Q=nC_V\Delta T\)（これは内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) に等しい）となります。設問(5)では、途中で定圧変化から定積変化へと移行する点を見抜く洞察力が求められました。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか。
  • 鉛直または水平に置かれたシリンダー内で、ピストンによって閉じ込められた気体の状態変化を扱う問題全般。
  • ピストンにばねが取り付けられている場合（力のつり合いにばねの弾性力が加わる）。
  • U字管内の液体柱によって隔てられた気体の圧力平衡や状態変化の問題。
  • 複数の部屋に仕切られた気体が、熱を通す壁や可動な壁（ピストン）を通じて相互作用する複合的な問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか。
  1. 境界条件（ピストンの動き）の確認: ピストンが「滑らかに動く」のか、「固定されている」のか、「ゆっくり動く（準静的過程）」のか、といった記述は、定圧、定積、断熱などの変化の種類を判断する上で非常に重要です。
  2. 力のつり合いの徹底: ピストンが静止している、またはゆっくり動いている場合は、必ずピストンにはたらく全ての力を図示し、力のつり合いの式を立てて気体の圧力を決定します。これが熱力学の問題を解く上での基本姿勢です。
  3. 気体の種類の確認: 単原子分子か、二原子分子か、あるいは理想気体か実在気体か（高校物理ではほぼ理想気体）によって、モル比熱の値や内部エネルギーの表式が変わるため、問題文を注意深く読み取ります。
  4. 熱の授受に関する記述の確認: 「ヒーターで加熱」「断熱材」「熱を通す壁」など、熱の移動に関する手がかりを見逃さないようにします。
  5. 状態量の変化の把握: どの状態量（圧力 \(P\)、体積 \(V\)、温度 \(T\)、物質量 \(n\)）が変化し、どれが一定に保たれるのか、そして最終的に何を問われているのかを明確に整理します。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か。
  • 図を丁寧に描き、力や状態変化のプロセスを視覚的に整理することが、思考を助け、ミスを防ぎます。
  • 特に設問(5)のような複数の段階を経る変化では、各段階の始点と終点の状態量を明確にし、P-V図などを活用すると状況を整理しやすくなります（必須ではありませんが有効です）。
  • 「ピストンの厚さ」のような細かい条件が、気体の体積を計算する際に影響を与えることがあるので、問題文の隅々まで注意深く読みましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 圧力の取り扱いの誤り:
  • 現象: 気体の内部の圧力、外部の大気圧、ピストンにかかる正味の力などを混同したり、力のつり合いの式を立てる際に力の向きを間違えたりする。
  • 対策: 必ずピストン（または力のつり合いを考える対象）に働く全ての力をベクトル図で示し、それぞれの力の大きさと向きを確認しながら立式する習慣をつける。
• 仕事の符号や定義の混同:
  • 現象: 気体が「する仕事」なのか、気体が「される仕事」なのか、また熱力学第一法則における仕事 \(W\) の符号の定義（系が外部にする仕事を正とするか、外部からされる仕事を正とするか）で混乱する。
  • 対策: 教科書や参考書で熱力学第一法則の各項の定義（特に仕事の符号）を明確に確認し、一貫した定義で使用する。この解説では、気体が外部にした仕事を \(W_{\text{out}}\) とし、これを正としています。
• モル比熱の使い分けミス (\(C_P\) と \(C_V\)):
  • 現象: 定圧変化なのに定積モル比熱 \(C_V\) を使ってしまう、あるいはその逆。
  • 対策: 「定圧変化なら \(C_P = C_V + R\): 気体は膨張（または収縮）して仕事をするため、同じ温度上昇でもより多くの熱が必要」、「定積変化なら \(C_V\): 気体は仕事をしないため、加えられた熱は全て内部エネルギーの増加になる」という物理的意味を理解し、変化の種類に応じて正しく選択する。
• 体積計算における幾何学的要素の見落とし:
  • 現象: シリンダーの全長、ピストンの厚さ、ピストンの位置関係などから、実際に気体が占めている部分の体積（特に高さや長さ）を正確に求める際に、単純な引き算などで誤る。
  • 対策: 問題文の図をよく観察し、必要であれば自分で簡単な模式図を描き起こして、どの部分が気体の体積に対応するのかを慎重に判断する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化と図解の有効性:
  • 力のつり合いの図示: 各設問でピストンが静止している状態について、ピストンに働くすべての力（下から支える気体の力、上から押す大気圧の力、ピストンの重力など）を矢印で明確に図示し、それぞれの力の大きさを書き込むことで、力のつり合いの式を直感的に、かつ正確に立てる助けとなりました。
  • 状態変化プロセスの図示 (P-V図の活用): 特に設問(5)のように、定圧変化の後に定積変化が起こるような複合的なプロセスでは、P-V図（圧力-体積図）を描くことが非常に有効です。P-V図上に状態点 ( \(P_0, V_0, T_0\) など) をプロットし、変化の経路を矢印で示すことで、どの状態からどの状態へ、どのような種類の変化（定圧なら水平線、定積なら垂直線）を経て移行したのかが一目瞭然になります。また、P-V図上で変化の経路とV軸で囲まれた面積が、気体がした仕事を表すことも視覚的に理解できます（今回の問題では必須ではありませんでしたが）。
  • シリンダーとピストンの模式図の活用: 問題文に与えられている図1、図2を元に、各状態（初期状態、ピストン上昇後、シリンダー逆転後、各加熱段階後）における気体の長さ（高さ）やピストンの位置関係を、具体的な数値（例：\(\frac{1}{2}L\), \(\frac{2}{3}L\), \(\frac{7}{9}L\), \(\frac{8}{9}L\) など）と共に自分で描き起こすことで、体積計算の誤りを大幅に減らすことができます。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 力のベクトルを描く際は、作用点（力が働く点）、力の向き、そして相対的な力の大きさをできるだけ正確に表現する（力のつり合いを考えるなら、合力がゼロになるように）。
  • P-V図を描く場合は、軸のラベル（P軸、V軸）と単位を明記し、変化の種類（定圧、定積、等温、断熱など）を線種や補助線で区別し、変化の方向を矢印で明確に示す。
  • 重要な状態（初期状態、中間状態、最終状態）の圧力、体積、温度の値を、分かっていれば図中や図の近くに書き込むと、状況整理に役立ちます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
  • 選定理由: 気体の圧力、体積、温度、物質量というマクロな状態量の間の関係を記述する基本的な式であり、これらのうち一部が既知で他を求めたい場合に常に候補となります。
  • 適用根拠: 問題文で「理想気体」と明示されているため、この方程式が高い精度で成り立つと仮定できます。
• 力のつり合いの式 (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)):
  • 選定理由: ピストンが「静止している」あるいは「ゆっくりと動いていて、常に力のつり合いが近似的に成り立っている（準静的過程）」と解釈できる状況で使用します。
  • 適用根拠: ニュートンの運動の第一法則（慣性の法則）または第二法則で加速度がゼロの場合に相当します。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q_{\text{in}} – W_{\text{out}}\)):
  • 選定理由: 熱の出入り (\(Q_{\text{in}}\))、仕事のやり取り (\(W_{\text{out}}\))、そしてそれに伴う内部エネルギーの変化 (\(\Delta U\)) が関わる熱力学的なプロセス全般をエネルギー保存の観点から記述する際に用います。
  • 適用根拠: エネルギー保存則という物理学の普遍的な法則の、熱現象を含む系への拡張です。
• 熱量計算式 (\(Q = nC\Delta T\)):
  • 選定理由: 気体に熱が加えられた（あるいは奪われた）結果、温度変化が生じる場合に、その熱量と温度変化の関係を求めるために使用します。
  • 適用根拠: モル比熱 \(C\)（定積モル比熱 \(C_V\) または定圧モル比熱 \(C_P\)）が、その条件下での熱の吸収しやすさを表す物質固有の量であるという実験的事実に基づいています。
• 仕事の計算式 (\(W = P\Delta V\) for 定圧変化):
  • 選定理由: 気体の体積が \(\Delta V\) だけ変化し、その間、圧力が一定値 \(P\) に保たれている場合に、気体が外部にした仕事を計算するために使用します。
  • 適用根拠: 仕事の一般的な定義 \(dW = P dV\) を、\(P\) が一定であるという条件下で積分した結果です。
• 公式選択の思考プロセス:
  • 常に「この公式が成り立つための前提条件は何か？」を自問自答し、問題の状況がその条件を満たしているかを確認する習慣が重要です。例えば、\(PV^\gamma = \text{一定}\)（ポアソンの法則）は断熱変化でしか使えません。このように、各公式の適用範囲と限界を正しく理解することで、誤用を防ぎ、適切な法則を選択できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題文の精読と状況把握: まず、問題文全体を注意深く読み、シリンダーやピストンの設定、気体の種類、初期条件、そして各設問で何が問われているのかを正確に把握します。必要に応じて、与えられた図に情報を書き込んだり、自分で簡単な状況図を描いたりします。
2. 着目する物理現象の特定と法則の選択:
   • ピストンが静止していれば、「力のつり合い」を考えます。
   • 気体の状態量（\(P, V, T, n\)）の関係が問われたり、変化したりする場合は、「理想気体の状態方程式」が基本となります。
   • 熱の出入りや仕事が関わる場合は、「熱力学第一法則」や「熱量・仕事の計算式」を適用します。
   • 変化の種類（定圧、定積、等温、断熱）を判断し、それに応じた公式（モル比熱の値など）を選択します。
3. 記号の定義と立式: 問題文で使われている記号を確認し、必要であれば自分で新たな記号（例：変化後の温度 \(T’\) など）を定義します。そして、選択した物理法則をこれらの記号を用いて数式で表現します。このとき、未知数と既知数を明確に意識します。
4. 方程式の変形と計算実行: 立てた方程式（多くの場合、連立方程式）を、求める未知数について解きます。文字計算が主になるので、計算ミスをしないよう、途中式を丁寧に書き、整理しながら慎重に進めます。分数の計算や式の展開・因数分解なども正確に行います。
5. 数値代入と最終解答の確認: (エ) (オ) (カ) のように数値（または係数）で答える場合は、最後に具体的な値を代入します。得られた答えの単位が正しいか、物理的に妥当な範囲の値であるか（例：絶対温度が負にならないか）などを確認します。
6. (あれば)別解の検討: 特に複雑な問題では、別のアプローチ（例：設問(5)での熱力学第一法則の全体適用）で解けないか考えてみることも、理解を深め、検算する上で有効です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 分数の四則演算: \(\displaystyle\frac{L}{2}, \displaystyle\frac{L}{4}, \displaystyle\frac{1}{9}L, \displaystyle\frac{2}{3}L\) など、多くの分数を含む計算がありました。特に、これらの足し算、引き算、割り算（比の計算）では、通分や約分を正確に行う必要がありました。設問(5)の \(T_1\) の計算のように、複数のステップを経る計算では、途中の小さなミスが最終結果に大きく影響します。
  • 多文字の代数計算: \(P_0, S, M, g, L, R, T_0\) といった多くの物理量を表す文字を同時に扱いました。式の展開、整理、共通因数での括りだし、特定の文字についての式の書き換え（例：\(RT_0\) を他の文字で表現）などを、混同せずに正確に行う集中力が求められました。
  • 連立方程式の処理: 設問(3)でピストンの質量 \(M\) を求める際に、二つの異なる状態（初期状態とシリンダー逆転状態）に関する式を実質的に連立させて解きましたが、このような複数の式から未知数を消去していく過程は、計算ミスの温床となりやすいです。
  • 符号の取り扱い: 力のつり合いの式を立てる際の力の向き（正負）、温度変化 \(\Delta T = T_{\text{後}} – T_{\text{初}}\) の計算順序など、符号が結果に影響する場面では特に注意が必要でした。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 途中式を省略せずに丁寧に書く: 計算の各ステップを省略せずに、論理の流れがわかるように丁寧に記述する習慣をつけましょう。これにより、どこで間違えたかを見つけやすくなり、また、複雑な計算でも思考が整理されます。
  • 単位の一貫性を常に意識する: 計算の各段階で、物理量の単位が正しく扱われているかを確認する癖をつけると、立式の誤りや、ありえない計算結果に早期に気づくことができます。
  • 文字式の計算に習熟する: 物理の問題では、具体的な数値を代入する前に、文字式のまま計算を進めることが非常に多いです。文字式の展開、整理、因数分解、分数の計算、平方根の扱いなどに日頃から慣れておくことが、計算ミスを減らし、思考の負担を軽減するために不可欠です。
  • 図と式を常に対応させながら考える: 図に描いた力のベクトルやその成分、あるいはP-V図上の状態点や変化の経路と、立式した数式の各項が正しく対応しているかを確認しながら進めることで、立式の誤りや符号ミスを防ぐことができます。
  • 検算の習慣をつける: 時間が許せば、得られた答えを元の条件式に代入して矛盾がないか確認したり、異なるアプローチで同じ問題を解いてみて結果が一致するかを確かめたりする（別解の検討）ことは、計算ミスを発見する上で非常に有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 単位の確認: 求めるべき物理量の単位と、得られた結果の単位が一致しているか。例えば、温度を求めているのに単位がエネルギーの [J] になっていたら、明らかに計算過程か立式に誤りがあります。
  • 符号の物理的意味の確認: 絶対温度が負の値になる、質量が負になる、といった物理的にありえない結果になっていないか。また、仕事の符号が気体の膨張・収縮と対応しているかなどを確認します。
  • 値のオーダー（桁数）の感覚: あまりにも現実離れした大きな値や小さな値になっていないか。これは問題設定にもよりますが、極端な値が出た場合は計算を見直すきっかけになります。
  • 極端な条件下での振る舞いの考察: 例えば、設問(1)で求めた温度 \(T_0 = \displaystyle\frac{(P_0S + Mg)L}{2R}\) について、もしピストンの質量 \(M\) がゼロ (\(M=0\)) だったらどうなるかを考えてみます。このとき \(T_0 = \displaystyle\frac{P_0SL}{2R}\) となり、これはピストンの重さがかからない状況での温度を表しており、直感的に妥当です。また、設問(3)で求めたピストンの質量 \(M = \displaystyle\frac{P_0S}{7g}\) は、\(P_0S\)（大気圧による力）や \(g\)（重力加速度）といった物理量と関連付けられており、意味のある形をしています。
  • 既知の物理法則との整合性の確認: 例えば、定圧変化で気体を加熱すれば温度が上昇し、体積も膨張するはずです（シャルルの法則）。設問(4)で加熱後の温度 \(T_2′ = \frac{7}{6}T_0\) が加熱前の \(T_0\) より大きくなり、気体の長さも \(l = \frac{7}{9}L\) が加熱前の \(\frac{2}{3}L = \frac{6}{9}L\) より長くなったことは、この法則と整合しています。
• 「解の吟味」を通じて得られること:
  • 計算ミスや立式の根本的な誤りの発見: 吟味の過程で矛盾点が見つかれば、それは計算ミスや、物理法則の適用の誤りなど、解答に至るプロセスのどこかに問題があったことを示す重要なサインです。
  • 物理法則・概念のより深い理解: 単に数式を操作して答えを出すだけでなく、その数式が持つ物理的な意味や、背後にある法則の働きをより深く理解することができます。なぜそのような結果になるのかを考えることで、知識が定着し、応用力が養われます。
  • 論理的思考力と洞察力の向上: 解の妥当性を多角的に検討する習慣は、論理的に思考を進める訓練となり、物理現象に対する直感や洞察力を磨くことにも繋がります。
  • 問題解決への自信: 自分の出した答えが物理的に妥当であることを確認できれば、その解答に対する自信が深まります。

問題53 (横浜市立大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、シリンダー内に封入された1モルの単原子分子理想気体が経験する1サイクルの状態変化を、V-Tグラフ（体積V 対 絶対温度Tグラフ）を用いて解析するものです。グラフから各状態の物理量を特定し、P-Vグラフ（圧力P 対 体積Vグラフ）へ変換するスキル、そしてサイクル全体の熱の吸収量や熱効率を計算する能力が問われます。特に、V-Tグラフ上で原点を通る直線が示す物理的な意味（定圧変化）を正確に捉えることが、問題を解き進める上での重要な鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くための基本的なアプローチは、まず与えられたV-Tグラフから各状態変化（A→B, B→C, C→D, D→A）がどのような種類（定積、定圧、等温、断熱など）に該当するかを特定することです。特に、V-Tグラフ上で原点を通る直線は、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を \(V = \frac{nR}{P}T\) と変形することで、傾き \(\frac{nR}{P}\) が一定、すなわち圧力が一定である「定圧変化」を表すことを見抜くことが重要です。
各状態の圧力・体積・温度が明らかになれば、P-Vグラフへの変換、各過程での熱の出入り（単原子分子理想気体の定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\) を使用）、1サイクルでの仕事（P-Vグラフで囲まれた面積）、そして熱効率の計算へと進むことができます。

問(1) 状態Aの圧力、状態CとDの圧力と温度

思考の道筋とポイント
状態Aの圧力は、与えられた温度 \(T_0\) と体積 \(V_0\) を用いて、理想気体の状態方程式から直接求めることができます。
次に、V-Tグラフにおいて、線分BCおよび線分DAは、それぞれの延長線が原点を通る直線です。これは、\(V\) が \(T\) に比例すること (\(V \propto T\)) を意味します。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) (ここで \(n=1\)) を \(V = (\frac{R}{P})T\) の形に変形すると、\(V \propto T\) であるためには係数 \((\frac{R}{P})\) が一定でなければならず、これは圧力 \(P\) が一定であることを示します。したがって、過程B→Cと過程D→Aは定圧変化です。
この定圧変化の性質と、グラフから読み取れる各状態の体積や温度の情報を組み合わせることで、状態Cおよび状態Dの圧力と温度を順次決定していきます。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) を全ての計算の基本とします。
• V-Tグラフ上で原点を通る直線が定圧変化を表すという重要な性質を理解し、適用します。
• グラフから各状態の体積と温度の値を正確に読み取ります。
  • 状態A: \(T_A=T_0, V_A=V_0\)
  • 状態B: \(T_B=4T_0, V_B=V_0\)
  • 状態C: \(V_C=2V_0\)。温度 \(T_C\) と圧力 \(P_C\) は未知。
  • 状態D: \(V_D=2V_0\)。温度 \(T_D\) と圧力 \(P_D\) は未知。

具体的な解説と立式
気体は1モル (\(n=1\)) です。

状態Aにおける圧力 \(P_A\):
状態Aの温度は \(T_A = T_0\)、体積は \(V_A = V_0\) です。理想気体の状態方程式 \(P_A V_A = RT_A\) (物質量 \(n=1\) を代入) より、
$$P_A V_0 = RT_0 \quad \cdots ①$$

状態Bにおける圧力 \(P_B\):
状態Bの温度は \(T_B = 4T_0\)、体積は \(V_B = V_0\) です。理想気体の状態方程式 \(P_B V_B = RT_B\) より、
$$P_B V_0 = R(4T_0) \quad \cdots ②$$

過程B→C (定圧変化) と状態Cの圧力 \(P_C\)、温度 \(T_C\):
V-Tグラフで線分BCの延長が原点を通るため、過程B→Cは定圧変化です。したがって、状態Cの圧力 \(P_C\) は状態Bの圧力 \(P_B\) に等しくなります。
$$P_C = P_B \quad \cdots ③$$
状態Cの体積はグラフから \(V_C = 2V_0\) と読み取れます。状態Cの温度を \(T_C\) とすると、状態方程式 \(P_C V_C = RT_C\) が成り立ちます。
$$P_C (2V_0) = RT_C \quad \cdots ④$$

過程D→A (定圧変化) と状態Dの圧力 \(P_D\)、温度 \(T_D\):
同様に、V-Tグラフで線分DAの延長が原点を通るため、過程D→Aは定圧変化です。したがって、状態Dの圧力 \(P_D\) は状態Aの圧力 \(P_A\) に等しくなります。
$$P_D = P_A \quad \cdots ⑤$$
状態Dの体積はグラフから \(V_D = 2V_0\) と読み取れます。状態Dの温度を \(T_D\) とすると、状態方程式 \(P_D V_D = RT_D\) が成り立ちます。
$$P_D (2V_0) = RT_D \quad \cdots ⑥$$

状態Aの圧力 \(P_A\):
式①から \(P_A\) について解くと、
$$P_A = \displaystyle\frac{RT_0}{V_0}$$

状態Bの圧力 \(P_B\):
式②から \(P_B\) について解くと、
$$P_B = \displaystyle\frac{4RT_0}{V_0}$$

状態Cの圧力 \(P_C\) と温度 \(T_C\):
式③より \(P_C = P_B\) であるから、
$$P_C = \displaystyle\frac{4RT_0}{V_0}$$
この \(P_C\) の値を式④ \(P_C (2V_0) = RT_C\) に代入します。
$$\left(\displaystyle\frac{4RT_0}{V_0}\right) (2V_0) = RT_C$$
左辺を整理すると、\(V_0\) が約分されて \(8RT_0\) となります。
$$8RT_0 = RT_C$$
両辺に \(R\) (\(R \neq 0\)) が共通しているので、\(R\) で割ると、
$$T_C = 8T_0$$

状態Dの圧力 \(P_D\) と温度 \(T_D\):
式⑤より \(P_D = P_A\) であるから、
$$P_D = \displaystyle\frac{RT_0}{V_0}$$
この \(P_D\) の値を式⑥ \(P_D (2V_0) = RT_D\) に代入します。
$$\left(\displaystyle\frac{RT_0}{V_0}\right) (2V_0) = RT_D$$
左辺を整理すると、\(V_0\) が約分されて \(2RT_0\) となります。
$$2RT_0 = RT_D$$
両辺に \(R\) (\(R \neq 0\)) が共通しているので、\(R\) で割ると、
$$T_D = 2T_0$$

(1) まず、A地点の気体の状態（温度 \(T_0\)、体積 \(V_0\)）が分かっているので、理想気体の万能法則である状態方程式 \(PV=RT\)（気体は1モルなので \(n=1\) としています）を使って、A地点の圧力を計算します。
次に、グラフのB地点からC地点へ向かう線、そしてD地点からA地点へ向かう線に注目してください。これらの線は、まっすぐ原点に向かって伸びていますね。V-Tグラフでこのように原点を通る直線は、「圧力が一定の変化（定圧変化）」を意味します。この性質を利用すると、B地点とC地点の圧力は同じ、D地点とA地点の圧力も同じ、ということが分かります。
B地点の圧力は、B地点の温度（グラフから \(4T_0\)）と体積（グラフから \(V_0\)）を使って、やはり状態方程式から計算できます。これがそのままC地点の圧力になります。C地点の体積はグラフから \(2V_0\) と分かるので、C地点の圧力と体積が分かれば、再び状態方程式を使ってC地点の温度を計算できます。
D地点についても同様に、A地点の圧力と同じ圧力であり、D地点の体積は \(2V_0\) ですから、これらの値を使ってD地点の温度を状態方程式から計算します。

状態Aにおける圧力は \(P_A = \displaystyle\frac{RT_0}{V_0}\) です。
状態Cにおける圧力は \(P_C = \displaystyle\frac{4RT_0}{V_0}\)、温度は \(T_C = 8T_0\) です。
状態Dにおける圧力は \(P_D = \displaystyle\frac{RT_0}{V_0}\)、温度は \(T_D = 2T_0\) です。
これらの結果は、V-Tグラフの特性と理想気体の状態方程式から論理的に導き出されたものであり、各物理量の単位（圧力は [Pa]、温度は [K]）も適切です。また、\(P_A = P_D\) と \(P_B = P_C\) という関係が得られたことは、後のP-Vグラフの形状が特定の形（この場合は長方形）になることを示唆しています。

問(2) P-Vグラフの作成

思考の道筋とポイント
問(1)で求めた各状態A, B, C, Dにおける圧力と、グラフから読み取れる体積の値を整理します。
各過程がP-Vグラフ上でどのような線になるかを特定します。

• A→B: V-Tグラフより体積 \(V_0\) が一定のまま温度が上昇しています。これは定積変化です。P-Vグラフ上では、体積 \(V_0\) が一定の垂直な直線となります。圧力は \(P_A = \frac{RT_0}{V_0}\) から \(P_B = \frac{4RT_0}{V_0}\) へと上昇します。
• B→C: 問(1)で確認した通り、定圧変化です。圧力 \(P_B = \frac{4RT_0}{V_0}\) が一定のまま体積が \(V_0\) から \(2V_0\) へと増加します。P-Vグラフ上では、圧力 \(P_B\) が一定の水平な直線となります。
• C→D: V-Tグラフより体積 \(2V_0\) が一定のまま温度が下降しています。これは定積変化です。P-Vグラフ上では、体積 \(2V_0\) が一定の垂直な直線となります。圧力は \(P_C = \frac{4RT_0}{V_0}\) から \(P_D = \frac{RT_0}{V_0}\) へと下降します。
• D→A: 問(1)で確認した通り、定圧変化です。圧力 \(P_D = \frac{RT_0}{V_0}\) が一定のまま体積が \(2V_0\) から \(V_0\) へと減少します。P-Vグラフ上では、圧力 \(P_D\) が一定の水平な直線となります。

これらの情報を基に、縦軸に圧力 \(P\)、横軸に体積 \(V\) をとったグラフ上に、各状態点をプロットし、それらを適切な種類の線で結び、A→B→C→D→Aの順に変化の方向を矢印で示します。

この設問における重要なポイント

• 各状態の (圧力 \(P\), 体積 \(V\)) の値を正確に把握すること。
  • 状態A: (\(P_A = \frac{RT_0}{V_0}\), \(V_A = V_0\))
  • 状態B: (\(P_B = \frac{4RT_0}{V_0}\), \(V_B = V_0\))
  • 状態C: (\(P_C = \frac{4RT_0}{V_0}\), \(V_C = 2V_0\))
  • 状態D: (\(P_D = \frac{RT_0}{V_0}\), \(V_D = 2V_0\))
• 定積変化はP-Vグラフ上でV軸に平行な（垂直な）直線、定圧変化はP軸に平行な（水平な）直線になることを理解していること。
• サイクルA→B→C→D→Aの順番に矢印で変化の向きを正確に示すこと。

具体的な解説と立式
（HTML形式では直接的な図の描画が困難なため、模範解答の図を参照し、どのような線を描けばよいかを言葉で補足説明します。）

P-Vグラフを描くために、まず各状態の圧力と体積の値を整理します。
便宜上、\(P_{\text{low}} = \displaystyle\frac{RT_0}{V_0}\) および \(P_{\text{high}} = \displaystyle\frac{4RT_0}{V_0}\) とおきます。

• 状態A: (\(V_0\), \(P_{\text{low}}\))
• 状態B: (\(V_0\), \(P_{\text{high}}\))
• 状態C: (\(2V_0\), \(P_{\text{high}}\))
• 状態D: (\(2V_0\), \(P_{\text{low}}\))

これらの点をP-Vグラフ上にプロットし、指示された順に結びます。

1. A→B (定積変化): 点A(\(V_0, P_{\text{low}}\))から点B(\(V_0, P_{\text{high}}\))へ、体積 \(V_0\) 上の垂直な線分を上向きの矢印で描きます。
2. B→C (定圧変化): 点B(\(V_0, P_{\text{high}}\))から点C(\(2V_0, P_{\text{high}}\))へ、圧力 \(P_{\text{high}}\) 上の水平な線分を右向きの矢印で描きます。
3. C→D (定積変化): 点C(\(2V_0, P_{\text{high}}\))から点D(\(2V_0, P_{\text{low}}\))へ、体積 \(2V_0\) 上の垂直な線分を下向きの矢印で描きます。
4. D→A (定圧変化): 点D(\(2V_0, P_{\text{low}}\))から点A(\(V_0, P_{\text{low}}\))へ、圧力 \(P_{\text{low}}\) 上の水平な線分を左向きの矢印で描きます。

これにより、P-Vグラフは、これらの4点を頂点とする長方形を時計回りに回るサイクルとして描かれます。

（この設問は作図であるため、上記「具体的な解説と立式」に記述した各状態点の座標特定と、それらを結ぶ線の種類の説明が計算過程に相当します。）

P-Vグラフとは、縦軸に圧力(P)、横軸に体積(V)をとったグラフのことです。
まず、(1)で計算したA、B、C、Dそれぞれの地点での「圧力」と「体積」の組み合わせを、P-Vグラフ用紙の上に点としてプロットします。
次に、A地点からB地点への変化、B地点からC地点への変化、といった各プロセスが、P-Vグラフ上でどのような線になるかを考えます。
• A→Bは「体積が一定（\(V_0\)のまま）」の変化だったので、P-Vグラフでは \(V=V_0\) の位置でまっすぐ縦に引かれる線になります（圧力が上昇）。
• B→Cは「圧力が一定（\(P_B\)のまま）」の変化だったので、P-Vグラフでは \(P=P_B\) の位置でまっすぐ横に引かれる線になります（体積が増加）。
• C→Dも「体積が一定（\(2V_0\)のまま）」の変化なので、縦の線です（圧力が下降）。
• D→Aも「圧力が一定（\(P_A\)のまま）」の変化なので、横の線です（体積が減少）。
これらの線をA→B→C→D→Aの順番に矢印でつなぐと、サイクル全体を表すP-Vグラフが完成します。この問題の場合、きれいな長方形のサイクルが描かれるはずです。

（模範解答の図を参照し、横軸に体積V、縦軸に圧力Pをとり、点A\( (V_0, \frac{RT_0}{V_0}) \)、点B\( (V_0, \frac{4RT_0}{V_0}) \)、点C\( (2V_0, \frac{4RT_0}{V_0}) \)、点D\( (2V_0, \frac{RT_0}{V_0}) \) を頂点とし、A→B→C→D→Aの順に矢印で結ばれた長方形を描く。）
このP-Vグラフは、2つの定積過程と2つの定圧過程からなるサイクルであり、図形としては長方形を形成します。サイクルが時計回りに描かれていることは、このサイクル全体として気体が外部に正味の仕事をしていることを示唆しています。

問(3) 吸収した熱量の総和 \(Q_{IN}\)

思考の道筋とポイント
気体が熱を「真に吸収する」のは、その過程で気体の温度が上昇する場合です。1サイクルの各過程（A→B, B→C, C→D, D→A）において温度変化を確認し、どの過程で熱を吸収しているかを特定します。

• A→B (定積変化): 温度が \(T_A=T_0\) から \(T_B=4T_0\) へ上昇します。したがって、この過程で熱を吸収します。
• B→C (定圧変化): 温度が \(T_B=4T_0\) から \(T_C=8T_0\) へ上昇します (問(1)の結果より)。したがって、この過程で熱を吸収します。
• C→D (定積変化): 温度が \(T_C=8T_0\) から \(T_D=2T_0\) へ下降します (問(1)の結果より)。したがって、この過程では熱を放出します。
• D→A (定圧変化): 温度が \(T_D=2T_0\) から \(T_A=T_0\) へ下降します (問(1)の結果より)。したがって、この過程では熱を放出します。

よって、熱を吸収するのは過程A→Bと過程B→Cです。
過程A→Bは定積変化なので、吸収する熱量 \(Q_{AB}\) は \(nC_V \Delta T\) で計算します。
過程B→Cは定圧変化なので、吸収する熱量 \(Q_{BC}\) は \(nC_P \Delta T\) で計算します。
気体は1モルの単原子分子理想気体なので、定積モル比熱 \(C_V = \displaystyle\frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_P = \displaystyle\frac{5}{2}R\) を用います。
最終的に、真に吸収した熱量の総和 \(Q_{IN}\) は、\(Q_{AB}\) と \(Q_{BC}\) の和として求められます。

この設問における重要なポイント

• 熱を吸収するのは温度が上昇する過程である、という原則を正しく適用すること。
• 定積変化と定圧変化では、熱量の計算に用いるモル比熱が異なる（それぞれ \(C_V\) と \(C_P\)）ことを理解し、正しく使い分けること。
• 単原子分子理想気体の場合のモル比熱の値（\(C_V = \frac{3}{2}R, C_P = \frac{5}{2}R\)）を正確に用いること。

具体的な解説と立式
気体は1モル (\(n=1\)) の単原子分子理想気体です。

過程A→B (定積加熱):
この過程での温度変化は \(\Delta T_{AB} = T_B – T_A = 4T_0 – T_0 = 3T_0\) です。
吸収する熱量 \(Q_{AB}\) は、定積モル比熱 \(C_V = \displaystyle\frac{3}{2}R\) を用いて、次のように計算されます。
$$Q_{AB} = nC_V \Delta T_{AB} = 1 \cdot \displaystyle\frac{3}{2}R (3T_0) \quad \cdots ⑦$$

過程B→C (定圧加熱):
この過程での温度変化は \(\Delta T_{BC} = T_C – T_B = 8T_0 – 4T_0 = 4T_0\) です（\(T_C=8T_0\) は問(1)の結果）。
吸収する熱量 \(Q_{BC}\) は、定圧モル比熱 \(C_P = \displaystyle\frac{5}{2}R\) を用いて、次のように計算されます。
$$Q_{BC} = nC_P \Delta T_{BC} = 1 \cdot \displaystyle\frac{5}{2}R (4T_0) \quad \cdots ⑧$$

1サイクルの間に気体が真に吸収した熱量の総和 \(Q_{IN}\) は、これら温度が上昇する過程で吸収した熱量の合計です。
$$Q_{IN} = Q_{AB} + Q_{BC} \quad \cdots ⑨$$

式⑦から \(Q_{AB}\) の値を計算します。
$$Q_{AB} = \displaystyle\frac{3}{2}R (3T_0) = \displaystyle\frac{9}{2}RT_0$$
式⑧から \(Q_{BC}\) の値を計算します。
$$Q_{BC} = \displaystyle\frac{5}{2}R (4T_0) = \displaystyle\frac{20}{2}RT_0 = 10RT_0$$
式⑨にこれらの値を代入して、\(Q_{IN}\) を計算します。
$$Q_{IN} = \displaystyle\frac{9}{2}RT_0 + 10RT_0$$
通分して計算すると、
$$Q_{IN} = \displaystyle\frac{9}{2}RT_0 + \displaystyle\frac{20}{2}RT_0 = \displaystyle\frac{9+20}{2}RT_0 = \displaystyle\frac{29}{2}RT_0$$

気体が「熱を吸収する」のは、その過程で気体の温度が上がるときです。今回のサイクルの図を見ると、A地点からB地点へ行くときと、B地点からC地点へ行くときに温度が上昇しています。
A→Bの変化は「体積が一定のまま（定積）」温度が上がるので、このときに吸収する熱量は「気体の物質量 \(n\) × 定積モル比熱 \(C_V\) × 温度の上昇分」で計算できます。単原子分子の理想気体の場合、\(C_V\) は \(\frac{3}{2}R\) という決まった値です（\(R\) は気体定数）。
B→Cの変化は「圧力が一定のまま（定圧）」温度が上がるので、このときに吸収する熱量は「気体の物質量 \(n\) × 定圧モル比熱 \(C_P\) × 温度の上昇分」で計算できます。単原子分子の理想気体の場合、\(C_P\) は \(\frac{5}{2}R\) という決まった値です。
これら2つの過程で吸収した熱量をそれぞれ計算し、足し合わせれば、1サイクル全体で吸収した熱量の総和 \(Q_{IN}\) が求まります。

1サイクルの間に、気体が真に吸収した熱量の総和 \(Q_{IN}\) は \(\displaystyle\frac{29}{2}RT_0\) です。
この値は正であり、熱力学的なサイクルが外部から熱エネルギーを取り入れていることを示しています。単位も \(RT_0\) がエネルギーの次元を持つため、[J] となり物理的に妥当です。

問(4) 熱効率 \(e\)

思考の道筋とポイント
熱機関の熱効率 \(e\) は、1サイクルで気体が外部にした正味の仕事 \(W\) を、そのサイクル中に気体が吸収した熱量の総和 \(Q_{IN}\) で割った値として定義されます。すなわち、\(e = \displaystyle\frac{W}{Q_{IN}}\) です。
\(Q_{IN}\) は問(3)で既に計算済みです。
1サイクルで気体がした正味の仕事 \(W\) は、P-Vグラフ上でサイクルが囲む図形の面積に等しくなります。問(2)で作成したP-Vグラフは長方形ABCDを形成しているので、その面積は「縦の辺の長さ × 横の辺の長さ」で簡単に求めることができます。長方形の縦の辺の長さは圧力差 (\(P_B – P_A\)) であり、横の辺の長さは体積差 (\(V_C – V_B\)) です。（ここで \(V_B=V_A\) なので、体積差は \(V_C-V_A\) または \(2V_0-V_0\) となります。）

この設問における重要なポイント

• 熱効率の定義式 \(e = \displaystyle\frac{W}{Q_{IN}}\) を正しく理解し、適用すること。
• 1サイクルで気体がする正味の仕事 \(W\) が、P-Vグラフ上でサイクルによって囲まれた領域の面積で求められることを知っていること。
• 今回のP-Vグラフが長方形であるため、仕事 \(W\) の計算が「(圧力差) × (体積差)」で容易に行えること。

具体的な解説と立式
1サイクルで気体がした正味の仕事 \(W\) は、問(2)で作成したP-Vグラフにおいて、長方形ABCDが囲む面積に等しくなります。
長方形の縦の辺の長さ（圧力差）は \(P_B – P_A\) です（\(P_B = P_C\) および \(P_A = P_D\) に注意）。
長方形の横の辺の長さ（体積差）は \(V_C – V_B\) です（\(V_A = V_B\) および \(V_C = V_D\) に注意）。
問(1)の結果から、
圧力差: \(P_B – P_A = \displaystyle\frac{4RT_0}{V_0} – \displaystyle\frac{RT_0}{V_0}\)
体積差: \(V_C – V_B = 2V_0 – V_0\)
したがって、仕事 \(W\) は、
$$W = (P_B – P_A)(V_C – V_B) = \left(\displaystyle\frac{4RT_0}{V_0} – \displaystyle\frac{RT_0}{V_0}\right) (2V_0 – V_0) \quad \cdots ⑩$$
熱効率 \(e\) は、この仕事 \(W\) を問(3)で求めた吸収熱量 \(Q_{IN} = \displaystyle\frac{29}{2}RT_0\) で割ることによって求められます。
$$e = \displaystyle\frac{W}{Q_{IN}} \quad \cdots ⑪$$

まず、式⑩を用いて仕事 \(W\) を計算します。
圧力差は、
$$P_B – P_A = \displaystyle\frac{4RT_0}{V_0} – \displaystyle\frac{RT_0}{V_0} = \displaystyle\frac{3RT_0}{V_0}$$
体積差は、
$$V_C – V_B = 2V_0 – V_0 = V_0$$
よって、仕事 \(W\) は、
$$W = \left(\displaystyle\frac{3RT_0}{V_0}\right) (V_0) = 3RT_0$$
次に、式⑪にこの \(W = 3RT_0\) と、問(3)で求めた \(Q_{IN} = \displaystyle\frac{29}{2}RT_0\) を代入して熱効率 \(e\) を計算します。
$$e = \displaystyle\frac{3RT_0}{\frac{29}{2}RT_0}$$
\(RT_0\) が分子と分母で共通しているので約分すると、
$$e = \displaystyle\frac{3}{\frac{29}{2}}$$
分数の割り算なので、逆数を掛けて、
$$e = 3 \cdot \displaystyle\frac{2}{29} = \displaystyle\frac{6}{29}$$

熱効率とは、この熱サイクル（熱機関）が、吸い込んだ熱エネルギーのうち、どれだけの割合を実際の「仕事」として取り出すことができたか、という効率を示す数値です。
1. まず、このサイクルが1周する間に、気体が外部に対してした「正味の仕事」を計算します。これは、(2)で描いたP-Vグラフ（長方形でしたね）が囲んでいる部分の面積に相当します。長方形の面積は「縦の長さ（圧力の差）× 横の長さ（体積の差）」で簡単に計算できます。
2. 次に、(3)で計算した「気体が1サイクルの間に吸収した熱量の総和 \(Q_{IN}\)」の値を使います。
3. 最後に、熱効率 \(e\) は、「ステップ1で計算した正味の仕事 \(W\) ÷ ステップ2の吸収した熱量 \(Q_{IN}\)」で計算します。

1サイクルにおける熱効率 \(e\) は \(\displaystyle\frac{6}{29}\) です。
熱効率は、エネルギー変換の効率を示す無次元量であり、その値は常に 0 より大きく 1 より小さい範囲にあります（つまり \(0 < e < 1\)）。今回の結果、\(\displaystyle\frac{6}{29}\) は約 \(0.207\) であり、この条件をきちんと満たしています。これは、吸収した熱エネルギーの約20.7%が仕事として取り出されたことを意味します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 全ての設問を通して、気体の状態量（圧力、体積、温度）を関連付ける基本法則として用いられました。
• V-Tグラフの解釈とP-Vグラフへの変換:
  • V-Tグラフ上で原点を通る直線が定圧変化を表すことを見抜くこと。
  • 定積変化、定圧変化がP-Vグラフ上でどのように表現されるか（それぞれV軸に垂直な線、P軸に垂直な線）を理解すること。
• 単原子分子理想気体のモル比熱と熱量計算:
  • 定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)、定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\)。
  • 定積変化での熱量 \(Q_V = nC_V\Delta T\)、定圧変化での熱量 \(Q_P = nC_P\Delta T\)。
  • 熱を吸収するのは温度が上昇する過程であるという判断。
• 1サイクルの仕事と熱効率:
  • P-Vグラフ上でサイクルが囲む面積が、1サイクルで気体がする正味の仕事 \(W\) を表すこと。
  • 熱効率の定義: \(e = \frac{W}{Q_{IN}}\) （吸収した熱量に対する正味の仕事の割合）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか。
  • P-Vグラフ、P-Tグラフなど、異なる種類のグラフで与えられたサイクル問題。
  • 断熱変化や等温変化を含む、より複雑なサイクルの解析。
  • 複数の気体が相互作用するような問題（例：ピストンで仕切られた2種類の気体）。
  • 冷凍サイクルなど、熱効率以外の性能係数が問われる問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか。
  1. グラフの軸の確認: まず、与えられたグラフが何の物理量を軸に取っているか（P-V, V-T, P-Tなど）を正確に把握します。
  2. 各過程の変化の種類の特定: グラフの形状や問題文の記述から、各過程が定積、定圧、等温、断熱のいずれに該当するかを状態方程式を元に判断します。特にV-Tグラフで原点を通る直線は定圧、P-Tグラフで原点を通る直線は定積、P-Vグラフで \(PV=\text{一定}\) の反比例曲線は等温、といった特徴を覚えておくと便利です。
  3. 状態量の洗い出し: 各状態（A, B, C, D…）について、既知の物理量と未知の物理量を整理し、状態方程式を駆使して全ての状態量を決定します。
  4. 熱力学第一法則の適用: 各過程における内部エネルギー変化、熱の出入り、仕事を熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) で関連付けます。
  5. サイクル全体のエネルギー収支: \(Q_{IN}\) (吸収熱の総和)、\(Q_{OUT}\) (放出熱の総和)、\(W_{\text{正味}}\) (1サイクルの仕事) の関係 (\(W_{\text{正味}} = Q_{IN} – Q_{OUT}\)) を意識します。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か。
  • グラフの読み取りミスをしないこと（特に目盛りの値）。
  • モル比熱の値を正しく使うこと（単原子分子か二原子分子か、定積か定圧か）。
  • 仕事や熱量の符号の扱いに注意すること（吸収か放出か、した仕事かされた仕事か）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• V-Tグラフの解釈ミス:
  • 現象: V-Tグラフで原点を通る直線が「定圧変化」であることを見落とし、他の変化と誤解する。
  • 対策: 状態方程式 \(V = (nR/P)T\) から、\(V \propto T\) ならば \(P\) は一定、という関係をしっかり理解する必要があります。繰り返し練習してパターンを掴みましょう。
• モル比熱の混同:
  • 現象: 定積変化と定圧変化で使うモル比熱（\(C_V\) と \(C_P\)）を間違える。
  • 対策: \(C_P = C_V + R\) の関係も重要です。「定圧」の時は圧力一定を保つために体積変化（仕事）が伴うので、より多くの熱が必要（だから \(C_P > C_V\)）とイメージするのも一つの手です。
• 仕事の計算:
  • 現象: P-Vグラフで囲まれた面積が仕事であることは知っていても、複雑な形状の場合に計算を誤る。今回は長方形なので単純でした。
  • 対策: 各過程の仕事を計算し、サイクル全体で足し合わせる方法も基本として押さえておく。時計回りのサイクルなら正味の仕事は正、反時計回りなら負。
• 熱の吸収と放出の判断:
  • 現象: 温度が上昇する過程で熱を吸収し、下降する過程で熱を放出するという原則を忘れがちです。
  • 対策: \(Q_{IN}\) を計算する際は、必ず温度変化を確認し、吸収する熱量のみを足し合わせるように注意しましょう。
• 熱効率の定義:
  • 現象: \(Q_{IN}\) の代わりに \(Q_{IN} – Q_{OUT}\) (=W) を分母にしてしまうなどの誤解。
  • 対策: 熱効率は「投入した熱エネルギーのうち、どれだけ仕事に変換できたか」という割合なので、分母は「投入した（吸収した）熱エネルギー \(Q_{IN}\)」であることをしっかり覚えましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか。
  • V-TグラフからP-Vグラフへの変換: V-Tグラフで与えられた情報を、P-Vグラフという別の視覚表現に置き換えることで、各状態変化の性質（特に仕事の有無や大きさ）がより明確になりました。例えば、V-TグラフのA→B（縦線）はP-Vグラフでも縦線（定積）、V-TグラフのB→C（原点を通る直線）はP-Vグラフでは横線（定圧）になる、といった対応関係を視覚的に理解することが重要でした。
  • P-Vグラフと仕事の面積: P-Vグラフ上でサイクルが囲む長方形の面積が、1サイクルで気体が外部にした正味の仕事を表すということを図から読み取るのは、計算を簡略化し、物理的な意味を捉える上で非常に有効でした。
• 図を描く際に注意すべき点は何か。
  • 軸の取り方と目盛り: グラフの縦軸と横軸が何の物理量を表しているか、目盛りの値は何かを正確に把握し、プロットする。
  • 状態点と変化の経路: 各状態点（A, B, C, D）を明確に示し、変化の方向（A→Bなど）を矢印で記入する。
  • 変化の種類と線の形状: 定積ならV軸に垂直、定圧ならP軸に垂直、等温なら反比例曲線、といったように、変化の種類に応じた線の形状を正しく描く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
  • 選定理由: 気体のマクロな状態量（P, V, T, n）の関係を知りたい、または未知の状態量を求めたい場合。
  • 適用根拠: 問題文で「理想気体」と明記されているため。
• V-Tグラフで \(V=kT \Rightarrow P=\text{一定}\):
  • 選定理由: V-Tグラフの線の形状から圧力変化の有無を判断したい場合。
  • 適用根拠: 状態方程式 \(PV=nRT\) を \(V=(nR/P)T\) と変形し、グラフの傾き \(k=nR/P\) が一定なら \(P\) も一定であるという論理。
• 熱量 \(Q=nC\Delta T\):
  • 選定理由: 気体の温度変化に伴う熱の出入りを計算したい場合。
  • 適用根拠: モル比熱の定義。変化の種類（定積か定圧か）によって \(C\) の値 (\(C_V\) または \(C_P\)) を使い分ける必要がある。
• 仕事 \(W=P\Delta V\) (定圧):
  • 選定理由: 定圧変化で気体が外部にする仕事を計算したい場合。
  • 適用根拠: 仕事の定義 \(dW=PdV\) を \(P\) が一定の条件で積分した結果。
• 熱効率 \(e=W/Q_{IN}\):
  • 選定理由: 熱機関の性能（吸収した熱に対する仕事の割合）を評価したい場合。
  • 適用根拠: 熱効率の定義そのもの。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. グラフの読解と変化の特定: V-Tグラフから各状態の \(V, T\) の値を読み取り、各過程（A→B, B→C, C→D, D→A）がどのような種類の状態変化（定積、定圧など）であるかを状態方程式を元に判断する。
2. 全状態量の導出 (問1): 状態方程式を繰り返し適用し、全ての状態（A, B, C, D）における圧力、体積、温度を決定する。
3. P-Vグラフへの変換 (問2): 求めた (P, V) の値に基づき、P-Vグラフを作成する。
4. 吸収熱量の計算 (問3): 温度が上昇する過程（A→B, B→C）を特定し、それぞれの過程が定積か定圧かによって適切なモル比熱（\(C_V, C_P\)）を用いて吸収熱量を計算し、合計する。
5. 1サイクルの仕事の計算 (問4準備): P-Vグラフでサイクルが囲む面積（長方形の面積）を計算して、1サイクルあたりの正味の仕事を求める。
6. 熱効率の計算 (問4): 5で求めた仕事 \(W\) と4で求めた吸収熱量 \(Q_{IN}\) を用いて、\(e = W/Q_{IN}\) により熱効率を計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 状態量の代入ミス: 多くの状態量（\(T_0, 4T_0, 8T_0, V_0, 2V_0\) など）を扱うため、式に代入する際に値を間違えないように注意が必要でした。
  • モル比熱の選択: \(C_V = \frac{3}{2}R\) と \(C_P = \frac{5}{2}R\) の使い分け。
  • 分数の計算: \(Q_{IN}\) の計算で \(\frac{9}{2}RT_0 + 10RT_0\) のような計算、熱効率の \(3 / (\frac{29}{2})\) のような計算。
  • 単位や定数の扱い: 気体定数 \(R\) や \(T_0, V_0\) といった文字定数は最後まで残ることが多いので、約分などで消し忘れがないようにする。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 単位を意識する: 今回は文字式ベースでしたが、数値計算が入る場合は特に単位の確認が重要です。
  • 途中式を丁寧に書く: 特に分数の計算や、複数の項がある式の整理では、省略せずに書くことでミスを発見しやすくなります。
  • 文字定数の扱い: \(RT_0\) のような塊を一つの単位のように扱って計算を進め、最後に整理すると見通しが良くなることがあります。
  • 検算: 時間があれば、別の角度から（例えば熱力学第一法則全体で \(W=Q_{IN}-Q_{OUT}\) を確認するなど）検算する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性。
  • 熱効率の範囲: 熱効率 \(e\) は \(0 < e < 1\) の範囲にあるはずです。今回の答え \(\frac{6}{29}\) はこの範囲を満たしています。 もし1を超えるような値が出たら、計算ミスや立式の誤りを疑います。
  • 物理量の符号: 熱量 \(Q_{IN}\) は吸収なので正の値、仕事 \(W\) もサイクルが時計回りなので正の値（気体が外部に仕事をする）になることが期待されます。
  • 状態量の整合性: 例えば、温度が上昇すれば内部エネルギーは増加するはず、定圧で膨張すれば外部に仕事をするはず、といった基本的な関係と矛盾がないかを確認します。
• 「解の吟味」を通じて得られること:
  • 計算ミスや立式の誤りを早期に発見できる。
  • 物理法則や公式の適用条件についての理解が深まる。
  • 問題の状況と得られた結果の物理的な意味を結びつけて考える力が養われる。
  • より複雑な問題に取り組む際の自信につながる。

問題54 (日本大+近畿大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、単原子分子からなる理想気体がP-Vグラフ上で示す三角形のサイクルA→B→C→Aについて、各過程での熱の吸収、仕事、温度変化などを詳細に解析するものです。P-Vグラフから直接読み取れる情報に加え、理想気体の状態方程式や熱力学第一法則を駆使して、サイクル全体のエネルギー変換や特定の条件下での物理量を求める必要があります。特に、直線経路B→Cにおける温度の最大値や熱の吸収・放出の転換点を求める設問は、物理法則の深い理解と数学的な処理能力が試されるポイントです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、P-Vグラフから各状態変化の特性を正確に読み取り、理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)) と熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)) を基本に据えて各物理量を計算していくことです。A→B間は定積変化、C→A間は定圧変化であることがグラフから明らかです。B→C間は圧力が体積の一次関数として変化する直線経路であり、この過程の扱いに注意が必要です。単原子分子理想気体の内部エネルギーの式 (\(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\)) や、定積モル比熱 (\(C_V = \frac{3}{2}R\))、定圧モル比熱 (\(C_P = \frac{5}{2}R\)) も適宜用います。物質量 \(n\) と気体定数 \(R\) は問題文に与えられていませんが、これらを用いて計算を進め、最終的に \(P_0, V_0, T_A\) などを用いて解答を表します。

問(1) A→B間およびC→A間で気体が吸収した熱量

思考の道筋とポイント
A→B間はP-Vグラフから体積が \(V_0\) で一定であるため、定積変化です。この過程で気体が吸収する熱量 \(Q_{AB}\) は、\(Q_{AB} = nC_V \Delta T_{AB}\) で計算できます。まず、状態Aと状態Bの温度 \(T_A, T_B\) を状態方程式 \(PV=nRT\) を用いて \(P_0, V_0, n, R\) で表し、温度変化 \(\Delta T_{AB} = T_B – T_A\) を求めます。
C→A間はP-Vグラフから圧力が \(P_0\) で一定であるため、定圧変化です。この過程で気体が吸収する熱量 \(Q_{CA}\) は、\(Q_{CA} = nC_P \Delta T_{CA}\) で計算できます。同様に、状態Cと状態Aの温度 \(T_C, T_A\) を求め、温度変化 \(\Delta T_{CA} = T_A – T_C\) を計算します。「吸収した熱量」を問われているので、計算結果の符号に注意します（負であれば放出を意味します）。

この設問における重要なポイント

• グラフからA→Bが定積変化、C→Aが定圧変化であることを見抜くこと。
• 各状態の温度を、状態方程式 \(PV=nRT\) を用いて圧力と体積から導き出すこと。
• 単原子分子理想気体の定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\) と定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\) を正しく使用すること。
• 熱量の計算式 \(Q = nC\Delta T\) を適用し、特に \(\Delta T\) の向き（温度上昇か下降か）に注意すること。

具体的な解説と立式
気体の物質量を \(n\)、気体定数を \(R\) とします。
状態A: \(P_A=P_0, V_A=V_0\)。状態方程式より \(nRT_A = P_A V_A = P_0V_0\)。
状態B: \(P_B=2P_0, V_B=V_0\)。状態方程式より \(nRT_B = P_B V_B = (2P_0)V_0 = 2P_0V_0\)。
状態C: \(P_C=P_0, V_C=2V_0\)。状態方程式より \(nRT_C = P_C V_C = P_0(2V_0) = 2P_0V_0\)。

A→B間の吸収熱量 \(Q_{AB}\):
この過程は定積変化です。気体が吸収する熱量 \(Q_{AB}\) は、定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\) （単原子分子理想気体）と温度変化 \(T_B – T_A\) を用いて、以下のように表されます。
$$Q_{AB} = nC_V(T_B – T_A) = n \cdot \frac{3}{2}R (T_B – T_A) = \frac{3}{2}(nRT_B – nRT_A) \quad \cdots ①$$

C→A間の吸収熱量 \(Q_{CA}\):
この過程は定圧変化です。気体が吸収する熱量 \(Q_{CA}\) は、定圧モル比熱 \(C_P = \frac{5}{2}R\) （単原子分子理想気体）と温度変化 \(T_A – T_C\) を用いて、以下のように表されます。
$$Q_{CA} = nC_P(T_A – T_C) = n \cdot \frac{5}{2}R (T_A – T_C) = \frac{5}{2}(nRT_A – nRT_C) \quad \cdots ②$$

A→B間の吸収熱量 \(Q_{AB}\):
式①に、\(nRT_A = P_0V_0\) および \(nRT_B = 2P_0V_0\) を代入します。
$$Q_{AB} = \frac{3}{2}(2P_0V_0 – P_0V_0)$$
括弧内を計算すると \(P_0V_0\) なので、
$$Q_{AB} = \frac{3}{2}P_0V_0$$

C→A間の吸収熱量 \(Q_{CA}\):
式②に、\(nRT_A = P_0V_0\) および \(nRT_C = 2P_0V_0\) を代入します。
$$Q_{CA} = \frac{5}{2}(P_0V_0 – 2P_0V_0)$$
括弧内を計算すると \(-P_0V_0\) なので、
$$Q_{CA} = \frac{5}{2}(-P_0V_0) = -\frac{5}{2}P_0V_0$$

(1) まず、A地点からB地点への変化に着目します。グラフを見ると、体積はずっと \(V_0\) のまま変わっていません。このような変化を「定積変化」といいます。このとき気体が吸収する熱量は、「物質量 \(n\) × 定積モル比熱 \(C_V\) × 温度の上昇分」で計算できます。単原子分子の理想気体の場合、\(C_V\) は \(\frac{3}{2}R\) という決まった値です（\(R\) は気体定数）。温度の上昇分は、A地点とB地点の温度の差で、これは状態方程式 \(PV=nRT\) から \(P_0V_0\) や \(2P_0V_0\) と関連付けて計算できます。
次に、C地点からA地点への変化です。グラフを見ると、圧力はずっと \(P_0\) のまま変わっていません。このような変化を「定圧変化」といいます。このとき気体が吸収する熱量は、「物質量 \(n\) × 定圧モル比熱 \(C_P\) × 温度の上昇分」で計算できます。単原子分子の理想気体の場合、\(C_P\) は \(\frac{5}{2}R\) という決まった値です。この過程では温度が下がる（Aの方がCより温度が低い）ので、計算結果はマイナスになります。これは「熱を吸収した」のではなく、「熱を放出した」ことを意味します。

A→B間で気体が吸収した熱量は \(\displaystyle\frac{3}{2}P_0V_0\) です。この値は正なので、気体は実際に熱を吸収しています。
C→A間で気体が吸収した熱量は \(-\displaystyle\frac{5}{2}P_0V_0\) です。この値は負なので、気体は熱を吸収するのではなく、\(\displaystyle\frac{5}{2}P_0V_0\) の熱を放出しています。
どちらの結果も \(P_0V_0\) というエネルギーの次元を持つ量で表されており、物理的に妥当です。

問(2) A→B→C間で気体がした仕事

思考の道筋とポイント
気体がする仕事は、P-Vグラフ上でその変化の経路とV軸（体積軸）とで囲まれた領域の面積で表されます。
A→B間: この過程は定積変化（体積 \(V_0\) で一定）です。体積が変化しないため、気体がする仕事は0です。
B→C間: この過程はP-Vグラフ上で点B(\(V_0, 2P_0\))と点C(\(2V_0, P_0\))を結ぶ直線です。この間に気体がする仕事は、P-Vグラフ上で線分BCと、BおよびCからV軸に下ろした垂線、そしてV軸で囲まれた台形の面積に相当します。台形の面積は「(上底の圧力 + 下底の圧力) × (体積の変化量) / 2」で計算できます。
A→B→C間で気体がした総仕事は、これら二つの過程での仕事の和 (\(W_{AB} + W_{BC}\)) となります。

この設問における重要なポイント

• 定積変化では気体がする仕事はゼロであることを理解していること。
• P-Vグラフ上で、変化の経路の下側の面積が気体のする仕事を表すことを理解していること。
• B→C間のような直線的な変化の場合、仕事は台形の面積として計算できること。

具体的な解説と立式
A→B間の仕事 \(W_{AB}\):
この過程は定積変化であり、体積の変化 \(\Delta V = 0\) です。したがって、気体がする仕事は、
$$W_{AB} = 0 \quad \cdots ③$$

B→C間の仕事 \(W_{BC}\):
この過程は、P-Vグラフ上で点B(\(V_B=V_0, P_B=2P_0\))と点C(\(V_C=2V_0, P_C=P_0\))を結ぶ直線です。
この間に気体がする仕事は、P-Vグラフ上でこの直線とV軸の間の面積（台形）に等しくなります。
台形の面積の公式 \(\frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ}\) を用いると、ここでの「上底」と「下底」は圧力の値 \(P_B\) と \(P_C\)、「高さ」は体積の変化 \(V_C – V_B\) に対応します。
$$W_{BC} = \frac{P_B + P_C}{2} (V_C – V_B) \quad \cdots ④$$

A→B→C間で気体がした仕事 \(W_{ABC}\) は、\(W_{AB}\) と \(W_{BC}\) の和として与えられます。
$$W_{ABC} = W_{AB} + W_{BC} \quad \cdots ⑤$$

式③より \(W_{AB} = 0\)。
式④に各値を代入して \(W_{BC}\) を計算します。
\(P_B = 2P_0\), \(P_C = P_0\), \(V_B = V_0\), \(V_C = 2V_0\)。
$$W_{BC} = \frac{2P_0 + P_0}{2} (2V_0 – V_0)$$
$$W_{BC} = \frac{3P_0}{2} (V_0) = \frac{3}{2}P_0V_0$$
式⑤にこれらの値を代入して、A→B→C間で気体がした仕事 \(W_{ABC}\) を計算します。
$$W_{ABC} = 0 + \frac{3}{2}P_0V_0 = \frac{3}{2}P_0V_0$$

気体がする「仕事」は、P-Vグラフ（縦軸が圧力P、横軸が体積Vのグラフ）の上で、変化を表す線とその下のV軸とで囲まれた部分の「面積」として計算できます。
A地点からB地点への変化は、グラフ上で見ると体積が全く変わっていません（まっすぐ縦の線）。この場合、面積はゼロなので、気体がした仕事もゼロです。
B地点からC地点への変化は、グラフ上で斜めの直線になっています。この線とV軸とで囲まれた図形は台形になります。台形の面積は「（B地点の圧力＋C地点の圧力）×（C地点の体積－B地点の体積）÷２」という公式で計算できます。
A→B→Cという一連の変化で気体がした仕事の合計は、A→Bでの仕事（ゼロ）とB→Cでの仕事（台形の面積）を足し合わせたものになります。

A→B→C間で気体がした仕事は \(\displaystyle\frac{3}{2}P_0V_0\) です。
この仕事の値は正であり、A→B→Cの過程全体として気体が外部に対して正の仕事をしたことを意味します。これは、P-Vグラフ上で体積が増加する方向（右向き）への移動が伴っていることと整合します。単位も \(P_0V_0\) であり、エネルギーの次元を持つため、仕事として物理的に妥当です。

問(3) 1サイクルの間に気体が実質的に吸収した熱量 (図示)

思考の道筋とポイント
1サイクル (A→B→C→A) が完了すると、気体の状態は最初の状態Aに完全に戻ります。したがって、1サイクルにおける内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{cycle}}\) はゼロです。
熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) を1サイクル全体に適用すると、\(0 = Q_{\text{cycle}} – W_{\text{cycle}}\) となります。ここで、\(Q_{\text{cycle}}\) は1サイクルの間に気体が「実質的に吸収した熱量」（つまり、吸収した熱量から放出した熱量を差し引いた正味の熱量）であり、\(W_{\text{cycle}}\) は1サイクルの間に気体が外部にした「正味の仕事」です。
この関係から、\(Q_{\text{cycle}} = W_{\text{cycle}}\) が成り立ちます。
P-Vグラフにおいて、サイクルが時計回りに描かれている場合、そのサイクルが囲む図形の面積は、気体が1サイクルで外部にした正味の仕事 \(W_{\text{cycle}}\) を表します。今回のサイクルA→B→C→Aは三角形を形成しています。
したがって、1サイクルの間に気体が実質的に吸収した熱量は、P-Vグラフ上でサイクルABCが囲む三角形の面積によって表されます。

この設問における重要なポイント

• 1サイクルが完了すると、気体の内部エネルギーは元の値に戻るため、\(\Delta U_{\text{cycle}}=0\) であること。
• 熱力学第一法則を1サイクルに適用すると、実質的に吸収した熱量 \(Q_{\text{cycle}}\) は、気体がした正味の仕事 \(W_{\text{cycle}}\) に等しい (\(Q_{\text{cycle}} = W_{\text{cycle}}\)) こと。
• P-Vグラフ上でサイクルが囲む領域の面積が、1サイクルで気体がした正味の仕事を表すという重要な関係を理解していること。

具体的な解説と立式
（HTML形式では直接的な図の描画が困難なため、模範解答の図を参照し、どの部分を斜線で示せばよいかを言葉で補足説明します。）

1サイクル (A→B→C→A) を経ると、気体の状態は初期状態Aに戻ります。このため、1サイクル全体での内部エネルギーの変化は \(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\) となります。
熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) を1サイクルに適用すると、
$$0 = Q_{\text{cycle}} – W_{\text{cycle}}$$
ここで、\(Q_{\text{cycle}}\) は1サイクルの間に気体が実質的に吸収した熱量（吸収熱量と放出熱量の正味の和）であり、\(W_{\text{cycle}}\) は1サイクルの間に気体が外部にした正味の仕事です。
上の式から、
$$Q_{\text{cycle}} = W_{\text{cycle}}$$
P-Vグラフにおいて、サイクルが囲む領域の面積は、そのサイクルで気体がする正味の仕事 \(W_{\text{cycle}}\) を表します。今回のサイクルA→B→C→Aは、P-Vグラフ上で三角形ABCを形成します。
したがって、1サイクルの間に気体が実質的に吸収した熱量は、P-Vグラフ上で三角形ABCによって囲まれた部分の面積で表されます。この領域を斜線で示すことが求められています。

（この設問はP-Vグラフ上に面積を図示するものであるため、上記の「具体的な解説と立式」セクションの記述が、その根拠と方法を示す計算過程に相当します。）

1サイクルというのは、気体の状態がA→B→C→Aと一巡りして、最初の状態Aにきっちり戻ってくる変化のことです。このとき、気体の「元気のもと」である内部エネルギーも、最初と同じ状態Aの内部エネルギーに戻るので、結局、内部エネルギーの変化はプラスマイナスゼロになります。
物理の重要な法則である「熱力学第一法則」によると、「内部エネルギーの変化 = 吸収した熱量 – 気体がした仕事」という関係があります。内部エネルギーの変化がゼロということは、「1サイクルで実質的に吸収した熱量 = 1サイクルで気体がした正味の仕事」となるわけです。
そして、気体が1サイクルで「した正味の仕事」の量は、P-Vグラフ上でサイクルがグルっと囲んでいる部分の「面積」に等しくなります。今回のグラフでは、A、B、Cの3つの点でできる三角形の面積がそれに当たります。
したがって、問題で問われている「気体が実質的に吸収した熱量」は、この三角形ABCの面積で表されるので、P-Vグラフのその部分を斜線で示せばよいのです。

（模範解答の図を参照し、P-Vグラフ上の三角形ABCの内部を斜線で示す。）
この斜線で示された三角形ABCの面積が、1サイクルで気体が外部にした正味の仕事であり、同時に、熱力学第一法則により、1サイクルで気体が実質的に吸収した熱量（吸収した熱と放出した熱の差引勘定）に等しくなります。

問(4) 状態A, B, Cでの絶対温度の比 \(T_A:T_B:T_C\)

思考の道筋とポイント
理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) から、絶対温度 \(T\) は \(T = \frac{PV}{nR}\) と表すことができます。ここで、物質量 \(n\) と気体定数 \(R\) はサイクルを通じて一定です。したがって、絶対温度 \(T\) は圧力 \(P\) と体積 \(V\) の積 \(PV\) に比例します (\(T \propto PV\))。
この関係を利用して、状態A, B, Cそれぞれにおける \(PV\) の積を計算し、その比を取ることで、絶対温度の比 \(T_A:T_B:T_C\) を求めることができます。
各状態の圧力と体積はグラフから直接読み取れます。

• 状態A: \(P_A = P_0\), \(V_A = V_0\)
• 状態B: \(P_B = 2P_0\), \(V_B = V_0\)
• 状態C: \(P_C = P_0\), \(V_C = 2V_0\)

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式から導かれる \(T \propto PV\) の関係を正しく理解し、適用すること。
• グラフから各状態の圧力 \(P\) と体積 \(V\) の値を正確に読み取り、それぞれの積 \(PV\) を計算すること。
• 得られた積の比を、最も簡単な整数の比で表現すること。

具体的な解説と立式
理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、絶対温度 \(T\) は \(PV\) の積に比例します。したがって、状態A, B, Cにおける絶対温度の比は、それぞれの状態での \(PV\) の積の比に等しくなります。
$$T_A : T_B : T_C = P_A V_A : P_B V_B : P_C V_C$$
各状態での \(PV\) の積を計算します。
状態A: $$P_A V_A = P_0 \cdot V_0 = P_0V_0 \quad \cdots ⑥$$
状態B: $$P_B V_B = (2P_0) \cdot V_0 = 2P_0V_0 \quad \cdots ⑦$$
状態C: $$P_C V_C = P_0 \cdot (2V_0) = 2P_0V_0 \quad \cdots ⑧$$
これらの積を用いて、絶対温度の比を表すと、
$$T_A : T_B : T_C = P_0V_0 : 2P_0V_0 : 2P_0V_0 \quad \cdots ⑨$$

式⑨の比の各項に共通する因子 \(P_0V_0\) で各項を割ることにより、比を最も簡単な整数の形で表します。
$$T_A : T_B : T_C = \frac{P_0V_0}{P_0V_0} : \frac{2P_0V_0}{P_0V_0} : \frac{2P_0V_0}{P_0V_0}$$
$$T_A : T_B : T_C = 1 : 2 : 2$$

理想気体のルール \(PV=nRT\) を使うと、温度 \(T\) は「圧力 \(P\) × 体積 \(V\)」の値に比例することが分かります（気体の量 \(n\) と気体定数 \(R\) は一定なので）。
ということは、A地点、B地点、C地点の温度の比を知りたければ、それぞれの地点での「圧力 × 体積」の値を計算して、その比を求めればよいのです。
• A地点: 圧力 \(P_0\), 体積 \(V_0\) なので、積は \(P_0V_0\)。
• B地点: 圧力 \(2P_0\), 体積 \(V_0\) なので、積は \((2P_0)V_0 = 2P_0V_0\)。
• C地点: 圧力 \(P_0\), 体積 \(2V_0\) なので、積は \(P_0(2V_0) = 2P_0V_0\)。
これらの積の比は、\(P_0V_0 : 2P_0V_0 : 2P_0V_0\) となります。全部に共通する \(P_0V_0\) で割ってあげると、最も簡単な整数の比 \(1:2:2\) が得られます。

状態A, B, Cでの絶対温度の比 \(T_A:T_B:T_C\) は \(1:2:2\) です。
この結果は、状態Aの温度を \(T_A\) とすると、状態Bの温度 \(T_B\) および状態Cの温度 \(T_C\) はともに \(2T_A\) であることを示しています。これは、問(1)の立式途中で \(nRT_A = P_0V_0\), \(nRT_B = 2P_0V_0\), \(nRT_C = 2P_0V_0\) となっていたことからも確認でき、物理的に妥当です。

問(5) 1サイクルの間に気体がとる最高温度を \(T_A\) で表せ

思考の道筋とポイント
サイクル中の温度変化を考えます。問(4)より \(T_A:T_B:T_C = 1:2:2\)。
A→B (定積): \(T_A \rightarrow T_B = 2T_A\)。温度は上昇します。
B→C (直線): \(T_B = 2T_A \rightarrow T_C = 2T_A\)。始点と終点の温度は同じですが、途中の温度がこれより高くなる可能性があります。この過程がP-Vグラフ上で直線であるため、\(PV\) の積、すなわち温度が途中で極大値をとるかを確認する必要があります。
C→A (定圧): \(T_C = 2T_A \rightarrow T_A\)。温度は下降します。
したがって、最高温度は過程A→Bの終点B（温度 \(2T_A\)）、または過程B→Cの途中で現れる可能性があります。
過程B→CはP-Vグラフ上で2点B(\(V_0, 2P_0\))とC(\(2V_0, P_0\))を結ぶ直線です。この直線上の圧力 \(P\) を体積 \(V\) の関数 \(P(V)\) として表し、理想気体の状態方程式 \(T = \frac{PV}{nR}\) に代入することで、温度 \(T\) を体積 \(V\) の関数 \(T(V)\) として表現します。この \(T(V)\) が最大値をとる条件（通常は微分して極値を求めるか、\(V\) の2次関数の場合は平方完成する）を見つけ、そのときの温度 \(T_{\text{max}}\) を計算します。最後に、状態Aの温度 \(T_A = \frac{P_0V_0}{nR}\) を用いて、\(T_{\text{max}}\) を \(T_A\) の倍数として表します。

この設問における重要なポイント

• サイクル中で最高温度が現れる可能性のある過程を特定すること（特にB→C間）。
• 直線B→Cの経路における圧力 \(P\) を体積 \(V\) の関数として正確に表現すること。
• 状態方程式を用いて温度 \(T\) を体積 \(V\) の関数として表し、その関数の最大値を求める数学的な処理を行うこと（2次関数の最大・最小問題）。
• 最終的な答えを、状態Aの温度 \(T_A\) を用いて表現すること。

具体的な解説と立式
過程B→Cは、点B(\(V_0, 2P_0\))と点C(\(2V_0, P_0\))を結ぶ直線です。この直線の傾き \(m\) は、
$$m = \frac{P_C – P_B}{V_C – V_B} = \frac{P_0 – 2P_0}{2V_0 – V_0} = \frac{-P_0}{V_0}$$
直線の方程式は、点Bを通り傾き \(m\) の直線として、\(P – P_B = m(V – V_B)\) と書けます。
$$P – 2P_0 = -\frac{P_0}{V_0}(V – V_0)$$
これを \(P\) について解くと、過程B→Cにおける圧力 \(P(V)\) は体積 \(V\) の関数として、
$$P(V) = -\frac{P_0}{V_0}V + P_0 + 2P_0 = -\frac{P_0}{V_0}V + 3P_0 \quad \cdots ⑩$$
この関係式は、\(V_0 \le V \le 2V_0\) の範囲で成り立ちます。
理想気体の状態方程式 \(PV = nRT\) より、温度 \(T\) は \(T = \frac{PV}{nR}\) と表せます。これに式⑩を代入すると、過程B→C上の温度 \(T(V)\) は、
$$T(V) = \frac{1}{nR} \left( (-\frac{P_0}{V_0}V + 3P_0) V \right) = \frac{P_0}{nRV_0} (-V^2 + 3V_0V) \quad \cdots ⑪$$
この式は \(V\) に関する上に凸の2次関数です。この関数が最大値をとる \(V\) を見つけることで、最高温度 \(T_{\text{max}}\) を求めます。
状態Aの温度 \(T_A\) は、状態方程式 \(P_0V_0 = nRT_A\) より \(nR = \frac{P_0V_0}{T_A}\) と書けるので、これを式⑪に代入することもできますが、まずは \(T(V)\) の最大値を \(P_0, V_0, n, R\) を用いて求め、最後に \(T_A\) との関係を見ます。

式⑪の \(T(V) = \frac{P_0}{nRV_0} (-V^2 + 3V_0V)\) が最大となる \(V\) を求めます。
括弧内の2次関数 \(f(V) = -V^2 + 3V_0V\) を平方完成します。
$$f(V) = -(V^2 – 3V_0V) = -\left\{ \left(V – \frac{3}{2}V_0\right)^2 – \left(\frac{3}{2}V_0\right)^2 \right\} = -\left(V – \frac{3}{2}V_0\right)^2 + \frac{9}{4}V_0^2$$
したがって、\(f(V)\) は \(V = \displaystyle\frac{3}{2}V_0\) のときに最大値 \(\displaystyle\frac{9}{4}V_0^2\) をとります。
このときの温度 \(T_{\text{max}}\) は、
$$T_{\text{max}} = \frac{P_0}{nRV_0} \left( \frac{9}{4}V_0^2 \right) = \frac{9}{4} \frac{P_0V_0}{nR}$$
ここで、状態Aの温度 \(T_A\) については、状態方程式 \(P_0V_0 = nRT_A\) が成り立ちます。これから、\(\displaystyle\frac{P_0V_0}{nR} = T_A\) という関係が得られます。
この関係を \(T_{\text{max}}\) の式に代入すると、
$$T_{\text{max}} = \frac{9}{4}T_A$$
体積 \(V = \displaystyle\frac{3}{2}V_0\) は、過程B→Cの範囲 \(V_0 \le V \le 2V_0\) （すなわち \(\frac{2}{2}V_0 \le V \le \frac{4}{2}V_0\)）に含まれているため、この最大値は実際に到達可能です。
また、\(T_B = 2T_A\), \(T_C = 2T_A\) であり、\(\frac{9}{4}T_A = 2.25T_A\) なので、この \(T_{\text{max}}\) は \(T_B\) や \(T_C\) よりも高く、サイクル中の最高温度となります。

別解: 等温線との接線を利用
P-Vグラフ上で、等温線は \(PV = \text{一定}\) の形をした双曲線で表され、温度が高いほど原点から遠い位置に描かれます。過程B→CはP-Vグラフ上で直線です。この直線BC上の点で温度が最も高くなるのは、ある等温線がこの直線BCに接するときです。その接点における温度が最高温度 \(T_{\text{max}}\) となります。
直線BCの方程式は、式⑩より \(P = -\frac{P_0}{V_0}V + 3P_0\) です。
この直線が等温線 \(PV = K\) （\(K = nRT_{\text{max}}\)）と接する条件を考えます。
代入して \(V(-\frac{P_0}{V_0}V + 3P_0) = K\)、整理すると \(-\frac{P_0}{V_0}V^2 + 3P_0V – K = 0\)。
これが \(V\) についての重解を持つ条件（判別式 \(D=0\)）から \(K\) の最大値を求めることもできますが、模範解答では幾何学的な考察（直線BCの中点 \(V=\frac{3}{2}V_0, P=\frac{3}{2}P_0\) で接する）が示唆されています。この点での \(PV\) の積は、
$$P_M V_M = \left(\frac{3}{2}P_0\right) \left(\frac{3}{2}V_0\right) = \frac{9}{4}P_0V_0$$
したがって、\(nRT_{\text{max}} = \frac{9}{4}P_0V_0\)。
状態Aで \(nRT_A = P_0V_0\) なので、これらから \(T_{\text{max}} = \frac{9}{4}T_A\) が得られます。

このサイクルの中で、気体の温度が一番高くなるのはいつでしょうか？
A地点からB地点へ行くとき、温度は \(T_A\) から \(2T_A\) へと上がります。B地点とC地点の温度は同じ \(2T_A\) です。C地点からA地点へ行くときは温度が下がります。
では、B地点からC地点へ向かう途中で、\(2T_A\) よりももっと温度が高くなる瞬間はあるのでしょうか？ これを調べる必要があります。
B→Cの経路はP-Vグラフ上で斜めの直線なので、この線の上を動くとき、圧力Pと体積Vは特別な関係（一次関数）で結ばれています。この関係と理想気体のルール \(PV=nRT\) を組み合わせると、温度Tが体積Vの式で表せます。この式は、数学で習う「上に凸の放物線（2次関数）」の形になります。放物線の頂点で値が最大になるので、その頂点にあたる体積のときに温度が最高になります。
計算してみると、BとCのちょうど中間の体積 \(V=\frac{3}{2}V_0\) のときに温度が最も高くなることが分かります。この最高温度 \(T_{\text{max}}\) を、A地点の温度 \(T_A\) を使って表すと、\(\frac{9}{4}T_A\) となります。これは \(2.25T_A\) なので、B地点やC地点の温度 \(2T_A\) よりも高いですね。

1サイクルの間に気体がとる最高温度は \(\displaystyle\frac{9}{4}T_A\) です。
この値は \(T_B = 2T_A\) や \(T_C = 2T_A\) よりも大きいため (\(2.25T_A > 2T_A\))、この結果は物理的に妥当です。また、最高温度をとるときの体積は \(V = \displaystyle\frac{3}{2}V_0\) であり、これは過程B→Cの体積範囲 \(V_0 \le V \le 2V_0\) の中に確かに存在します。

問(6) B→C間において、状態Bからある途中の状態Mまでは気体は熱を吸収し、その後気体は熱を放出する。Mにおける気体の体積を求めよ。

思考の道筋とポイント
熱の吸収から放出に切り替わる点Mでは、微小な体積変化 \(dV\) の間に気体が吸収する熱量 \(dQ\) がゼロになる、と考えられます。すなわち、この点で \(dQ=0\) となります。
熱力学第一法則の微小変化の形は \(dQ = dU + dW\) です。ここで、\(dU = nC_V dT\) であり、\(dW = PdV\) です。
したがって、\(dQ = nC_V dT + PdV = 0\) となる条件を探します。
この式を \(dV\) で割ると、\(nC_V \frac{dT}{dV} + P = 0\) となります。
過程B→Cにおける \(P(V)\)（式⑩）と \(T(V)\)（式⑪）の関係を利用します。\(T(V)\) を \(V\) で微分して \(\frac{dT}{dV}\) を求め、これを上記の方程式に代入して \(V\) を求めます。

模範解答では、状態B（体積 \(V_0\)）から過程B→C上の任意の体積 \(V\) の状態Xまでの間に気体が吸収した総熱量 \(Q_{BX}\) を \(V\) の関数として具体的に求め、この \(Q_{BX}(V)\) が最大値をとる（すなわち、それ以降は吸収熱量が減少し始める＝放熱に転じる）ときの体積 \(V\) を求めています。これは、\(Q_{BX}(V)\) を \(V\) で微分してその導関数が0になる点を求めることに相当します。

この設問における重要なポイント

• 熱の吸収と放出が切り替わる点Mでは、微小な熱の出入り \(dQ\) がゼロになる（\(dQ=0\)）という条件を理解すること。
• 熱力学第一法則の微小変化の形 \(dQ = dU + PdV\) を適用すること。
• 内部エネルギーの微小変化 \(dU = nC_V dT\) と仕事の微小変化 \(dW = PdV\) を正しく用いること。
• 過程B→Cにおける圧力 \(P\) と温度 \(T\) を体積 \(V\) の関数として表し、必要な微分計算を行うこと。
• 最高温度となる点と、熱の吸収・放出が切り替わる点は一般に異なることを認識すること。

具体的な解説と立式
状態B（体積 \(V_0\)、圧力 \(2P_0\)）から過程B→C上の任意の体積 \(V\) の状態X（圧力 \(P(V)\)）までの間に気体が吸収した熱量を \(Q_{BX}(V)\) とします。熱力学第一法則より、
$$Q_{BX}(V) = \Delta U_{BX} + W_{BX}$$
ここで、\(\Delta U_{BX}\) は状態Bから状態Xまでの内部エネルギーの変化、\(W_{BX}\) は状態Bから状態Xまでに気体がした仕事です。
単原子分子理想気体なので \(C_V = \frac{3}{2}R\)。内部エネルギーの変化は、
$$\Delta U_{BX} = nC_V(T_X – T_B) = \frac{3}{2}(nRT_X – nRT_B) = \frac{3}{2}(P(V)V – P_B V_0)$$
\(P_B V_0 = (2P_0)V_0 = 2P_0V_0\)。過程B→C上の \(P(V)\) は式⑩より \(P(V) = -\frac{P_0}{V_0}V + 3P_0\)。
$$\Delta U_{BX} = \frac{3}{2}\left( \left(-\frac{P_0}{V_0}V + 3P_0\right)V – 2P_0V_0 \right) \quad \cdots ⑫$$
仕事 \(W_{BX}\) は、P-Vグラフ上でBからXまでの経路とV軸で囲まれた台形の面積です。
$$W_{BX} = \frac{P_B + P(V)}{2}(V – V_0) = \frac{2P_0 + (-\frac{P_0}{V_0}V + 3P_0)}{2}(V – V_0) \quad \cdots ⑬$$
熱の吸収から放出に切り替わる点Mは、この \(Q_{BX}(V)\) が \(V_0 < V < V_M\) で増加し、\(V_M < V < 2V_0\) で減少するような、\(Q_{BX}(V)\) が極大（最大）となる点です。このとき、\(\frac{dQ_{BX}}{dV} = 0\) が成り立ちます。

まず、\(\Delta U_{BX}\) と \(W_{BX}\) を \(V\) の関数として具体的に書き下し、整理します。
式⑫より、
$$\Delta U_{BX} = \frac{3}{2}\left( -\frac{P_0}{V_0}V^2 + 3P_0V – 2P_0V_0 \right)$$
式⑬について、\(P_B + P(V) = 2P_0 + (-\frac{P_0}{V_0}V + 3P_0) = 5P_0 – \frac{P_0}{V_0}V = \frac{P_0}{V_0}(5V_0 – V)\)。
よって、
$$W_{BX} = \frac{1}{2} \cdot \frac{P_0}{V_0}(5V_0 – V)(V – V_0) = \frac{P_0}{2V_0}(-V^2 + 6V_0V – 5V_0^2)$$
したがって、\(Q_{BX}(V) = \Delta U_{BX} + W_{BX}\) は、
$$Q_{BX}(V) = \frac{3}{2}\left( -\frac{P_0}{V_0}V^2 + 3P_0V – 2P_0V_0 \right) + \frac{P_0}{2V_0}(-V^2 + 6V_0V – 5V_0^2)$$
共通因子 \(\frac{P_0}{2V_0}\) でまとめると、
$$Q_{BX}(V) = \frac{P_0}{2V_0} \left[ 3(-V^2 + 3V_0V – 2V_0^2) + (-V^2 + 6V_0V – 5V_0^2) \right]$$
$$Q_{BX}(V) = \frac{P_0}{2V_0} \left[ -3V^2 + 9V_0V – 6V_0^2 – V^2 + 6V_0V – 5V_0^2 \right]$$
$$Q_{BX}(V) = \frac{P_0}{2V_0} \left( -4V^2 + 15V_0V – 11V_0^2 \right)$$
この \(Q_{BX}(V)\) は、模範解答で示されている \(Q = \frac{P_0}{2V_0}(V-V_0)(11V_0-4V)\) を展開したもの \(\frac{P_0}{2V_0}(-4V^2 + 15V_0V -11V_0^2)\) と一致します。
この \(Q_{BX}(V)\) が最大となるのは、この \(V\) に関する上に凸の2次関数の軸の位置です。
軸の方程式は \(V = -\frac{15V_0}{2 \times (-4)}\) で与えられます。
$$V_M = \frac{15V_0}{8}$$
この体積 \(V_M = \frac{15}{8}V_0\) は、過程B→Cの体積範囲 \(V_0 \le V \le 2V_0\) （すなわち \(\frac{8}{8}V_0 \le V \le \frac{16}{8}V_0\)）の間に存在します。
したがって、Mにおける気体の体積は \(\displaystyle\frac{15}{8}V_0\) です。

B地点からC地点へ向かう途中、気体は最初、熱をどんどん吸い込んでいきますが、あるMという地点を境にして、今度は熱を吐き出し始めるようになります。この「吸い込み」から「吐き出し」に切り替わるM地点のときの気体の体積はいくらか、というのが問題です。
このM地点は、B地点からそこまで気体が「吸収した熱の総量」が一番大きくなるピークの地点だと考えることができます。なぜなら、それより先に進むと熱の総量が減り始める（つまり熱を吐き出し始める）からです。
そこで、B地点（体積 \(V_0\)）から、途中のある体積 \(V\) の地点Xまでに行ったときに気体が吸収した熱の総量 \(Q_{BX}\) を、体積 \(V\) の式で表してみます。熱の量は、物理の法則（熱力学第一法則）から「内部エネルギーの変化」と「気体がした仕事」の合計として計算できます。
内部エネルギーの変化も、気体がした仕事も、それぞれ体積 \(V\) を使った式で表すことができます。そうして出来上がった \(Q_{BX}\) の式は、体積 \(V\) についての2次関数（上に凸の放物線）の形になります。この2次関数がどの \(V\) のときに最大値をとるか（つまり放物線の頂点はどこか）を数学的に調べると、そのときの体積 \(V\) が、求めるM地点の体積になります。

B→C間において、熱の吸収から放出に切り替わる状態Mにおける気体の体積は \(\displaystyle\frac{15}{8}V_0\) です。
この値 \(\frac{15}{8}V_0 = 1.875V_0\) は、過程B→Cの体積の範囲 \(V_0 (=1.0V_0)\) から \(2V_0 (=2.0V_0)\) の間に確かに存在します。
また、問(5)で求めた最高温度をとる体積 \(\frac{3}{2}V_0 = \frac{12}{8}V_0 = 1.5V_0\) とは異なる値であることに注意が必要です。一般的に、温度が最大になる点と、熱の吸収・放出が切り替わる点（\(dQ=0\) となる点、あるいは積算吸収熱量が最大となる点）は一致しません。これは、熱の出入りには仕事の項 \(PdV\) も関わってくるためです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)): 気体の状態量（圧力、体積、温度）を関連付ける基本法則として、全ての設問で活用されました。特に、温度の比を求めたり、温度を体積の関数として表したりする際に不可欠でした。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)): 気体の内部エネルギー変化、吸収（放出）する熱量、気体がする（される）仕事の関係を示す、熱力学の根幹をなす法則です。特に(1)の熱量計算の背景や、(3)のサイクル全体のエネルギー収支、(6)の熱の吸収・放出の転換点を考える際に重要でした。
• P-Vグラフと仕事: P-Vグラフ上で、状態変化の経路とV軸とで囲まれた面積が気体のする仕事を表すという関係は、(2)の仕事計算や(3)のサイクル全体の仕事（吸収熱量）の理解に役立ちました。
• 内部エネルギー (単原子分子理想気体): \(U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}PV\)。この関係は、温度変化や圧力・体積変化から内部エネルギー変化を計算する際に用いられます。
• 定積変化・定圧変化の性質と熱量:
  • 定積変化 (\(V=\text{一定}\)): \(W=0\), \(Q = nC_V\Delta T = \Delta U\)。A→B間。
  • 定圧変化 (\(P=\text{一定}\)): \(W=P\Delta V\), \(Q = nC_P\Delta T\)。C→A間。
  • 単原子分子理想気体のモル比熱: \(C_V = \frac{3}{2}R\), \(C_P = \frac{5}{2}R\)。
• P-Vグラフ上の直線変化の解析: 過程B→Cのような直線変化では、\(P\) を \(V\) の一次関数として表し、これを状態方程式や熱力学第一法則に代入して温度や熱量を \(V\) の関数として解析する手法が(5)(6)で用いられました。これは数学的な関数処理能力も要求されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか。
  • P-Vグラフ上で三角形や四角形など、直線で構成されるサイクル全般。
  • V-TグラフやP-Tグラフで与えられたサイクルをP-Vグラフに変換し、同様の解析を行う問題。
  • サイクル中の最高・最低温度、最大・最小圧力/体積を求める問題。
  • 熱の吸収・放出が切り替わる点を特定する問題（より高度な問題で出題されうる）。
  • 熱効率だけでなく、冷凍サイクルの成績係数などを求める問題の基礎。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか。
  1. グラフの種類と各点の座標: まず、与えられたグラフが何の軸で描かれているか（P-V, V-T, P-T）を確認し、各状態点（A, B, Cなど）の座標（物理量）を正確に読み取ります。
  2. 各過程の変化の種類の特定: グラフの形状や問題文の記述から、各過程が定積、定圧、等温、断熱、あるいはそれ以外の特定の関数関係（今回のB→Cのような直線）に従う変化なのかを判断します。
  3. 状態方程式の活用: 各状態点や過程において、常に理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) が成り立つことを念頭に置き、未知の物理量を他の既知の物理量で表すために活用します。
  4. 熱力学第一法則の適用: 熱の出入り、仕事、内部エネルギー変化が関わる場合は、必ず熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) に立ち返って考えます。特にサイクル全体では \(\Delta U = 0\) となること、微小変化では \(dQ = dU + PdV\) と書けることが重要です。
  5. P-Vグラフと面積の関係: 仕事の計算や、サイクル全体のエネルギー収支を考える際には、P-Vグラフを描き、面積との関連を意識すると理解が深まります。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か。
  • (5)や(6)のように、ある物理量（例：温度や吸収熱量）を別の物理量（例：体積）の関数として表し、その関数の最大値や特定の条件（例：微分係数が0）を満たす点を求める問題では、物理法則の理解に加えて、数学的な関数処理能力（2次関数、微分など）が必要になります。
  • 「最高温度」と「熱の吸収・放出の転換点」は、必ずしも一致するとは限らないことを理解しておく（(5)と(6)の答えが異なることから明らか）。
  • 物質量 \(n\) や気体定数 \(R\) が与えられていない場合でも、計算途中でこれらを用いて議論を進め、最終的に \(P_0, V_0, T_A\) など問題文で与えられた量で結果を表現できるように式変形する技術も大切です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• B→C間の変化の誤解:
  • 現象: P-Vグラフ上の直線変化を、等温変化や断熱変化と誤解する。
  • 対策: 直線であっても、PとVが特定の一次関数関係にあるだけで、必ずしも等温や断熱ではありません。状態方程式と照らし合わせて慎重に判断する必要があります。
• 仕事の計算ミス:
  • 現象: 特にB→C間のような斜めの直線の場合、単に \(P\Delta V\) ではなく、台形の面積として正しく計算する必要があります。
  • 対策: P-Vグラフ上の面積が仕事であることを常に意識し、図形の形状に応じた正しい面積計算を行う。
• 熱量の符号と吸収・放出の判断:
  • 現象: \(Q\) の計算結果が負になった場合、それは熱を放出したことを意味します。「吸収した熱量」を問われた際に、符号の扱いに注意が必要です。
  • 対策: 熱力学第一法則と温度変化の向きを常に確認する。温度が上昇すれば内部エネルギーは増加し、膨張すれば仕事をするため、熱の出入りはこれらのバランスで決まります。
• 最高温度点と \(dQ=0\) の点の混同 (問5, 6):
  • 現象: 温度が最大になる点と、熱の吸収から放出に切り替わる点（微小な熱の出入りがゼロになる点）は、一般的には異なります。これらを同一視すると誤答につながります。
  • 対策: それぞれの物理的な意味と導出方法を正確に理解する。最高温度は \(T(V)\) の最大値、熱の転換点は \(dQ/dV=0\) または積算熱量の極大値で求める。
• モル比熱の使い分け:
  • 現象: 定積変化では \(C_V\)、定圧変化では \(C_P\) を使う基本を間違える。
  • 対策: 各変化の定義と、その際のエネルギーの分配（仕事をするかしないか）を理解し、適切なモル比熱を選択する。
• 内部エネルギー変化の計算:
  • 現象: \(\Delta U = nC_V \Delta T = \frac{3}{2}(P_後V_後 – P_初V_初)\) の関係を正しく適用できない。
  • 対策: 状態方程式 \(nRT=PV\) を常に念頭に置き、温度変化と \(PV\) 積の変化を結びつける。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図示の重要性

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか。
  • P-Vグラフの活用: 問題自体がP-Vグラフで与えられていますが、各過程（A→B, B→C, C→A）がグラフ上でどのように表現され、仕事やサイクル全体のエネルギー収支が面積とどう関連するのかを常に意識することが重要でした。
  • (5)の最高温度の別解（等温線）: P-Vグラフ上に複数の等温線（\(PV=\text{一定}\) の双曲線）をイメージし、最も高い温度の等温線が直線BCに接する点が最高温度を与える、という幾何学的なイメージは、問題を別角度から理解する助けになります。
  • (6)の \(Q_{BX}(V)\) のグラフのイメージ: 状態Bから体積Vまでの積算吸収熱量 \(Q_{BX}\) が体積 \(V\) の関数としてどのように変化するかをグラフでイメージすることで、\(Q_{BX}\) が最大となる点（その点で吸収から放出に転じる）を視覚的に捉えることができます。
• 図を描く際に注意すべき点は何か。
  • P-Vグラフでは、軸の物理量（PとV）を明確にし、各状態点（A,B,C）の座標（圧力、体積）を正確にプロットする。
  • 変化の方向を矢印で示す。
  • 等温線や断熱線などの補助線を引く場合は、それらの特徴（例：等温線は双曲線、断熱線は等温線より傾きが急）を意識して描く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 理想気体の状態方程式 (\(PV=nRT\)):
  • 選定理由: 気体の圧力、体積、温度の関係を議論する基本。
  • 適用根拠: 「理想気体」と明記されているため。
• 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W\)):
  • 選定理由: 熱の出入り、仕事、内部エネルギー変化が関わるプロセス全般のエネルギー保存則。
  • 適用根拠: 閉じた系（物質の出入りがない系）のエネルギー変化を記述する普遍的な法則。
• 内部エネルギー \(U=\frac{3}{2}nRT\):
  • 選定理由: 単原子分子理想気体の内部エネルギーと温度の関係を知りたい、または内部エネルギー変化を計算したい場合。
  • 適用根拠: 「単原子分子理想気体」と明記されているため。
• \(Q=nC\Delta T\):
  • 選定理由: 定積変化または定圧変化における熱量を温度変化から求めたい場合。
  • 適用根拠: モル比熱の定義。\(C_V\)（定積）か \(C_P\)（定圧）かを変化の種類に応じて使い分ける。
• \(W=P\Delta V\) (定圧) / \(W=\int PdV\):
  • 選定理由: 気体がする仕事を計算したい場合。
  • 適用根拠: 仕事の定義。定圧なら簡単な積、それ以外なら積分（P-Vグラフの面積）。
• \(P(V)\) の一次関数 (B→C間):
  • 選定理由: P-Vグラフ上の直線経路における圧力と体積の関係を表すため。
  • 適用根拠: グラフが直線であるという幾何学的条件。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 目標の明確化: 何を求めるべきか（例：最高温度、熱の転換点の体積）を正確に把握する。
2. 関連する物理量の特定: 目標を達成するために、どの物理量（P, V, T, U, Q, W）の間の関係を調べる必要があるかを考える。
3. 数式モデルの構築:
   • 過程B→Cの \(P\) と \(V\) の関係式を導出する。
   • 状態方程式を用いて \(T\) を \(V\) の関数 \(T(V)\) で表す（問5）。
   • 熱力学第一法則を用いて、吸収熱量 \(Q_{BX}\) を \(V\) の関数 \(Q_{BX}(V)\) で表す（問6）。
4. 数学的解析:
   • \(T(V)\) の最大値を求める（2次関数の平方完成または微分）。
   • \(Q_{BX}(V)\) が極大（最大）となる \(V\) を求める（2次関数の軸の公式または微分）。
5. 物理的解釈と結果の検証: 得られた数学的な結果が、物理的な状況（例：体積の範囲、\(T_A\) との比較）と矛盾しないか、妥当であるかを確認する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 代数計算の複雑さ: 特に(5)(6)では、\(P(V)\) を代入して \(T(V)\) や \(Q_{BX}(V)\) を導出する際に、多くの項を含む多項式の計算となり、符号ミスや展開・整理のミスが起こりやすいです。
  • 2次関数の扱いの正確さ: 平方完成や軸の公式、微分の計算を正確に行う必要があります。
  • 文字定数の多さ: \(P_0, V_0, n, R\) といった文字定数を最後まで正確に引き継いで計算し、最終的に指定された形で表すための整理が必要です。
  • 積分の計算 (仕事 \(W_{BX}\)): 台形の面積として計算しましたが、基本は \(\int PdV\) であることを意識し、\(P\) が \(V\) の一次関数なので、積分結果が \(V\) の2次関数になることを理解しておく。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 途中式を省略しない: 複雑な計算ほど、各ステップを丁寧に記述し、見直しを容易にする。
  • 共通因数での整理: 式が煩雑になる前に、共通因数でくくり出すなどして、見通しを良くする工夫をする。
  • 微分・積分計算の習熟: 物理で頻出する関数の微分・積分の基本操作に習熟しておく。
  • グラフの概形との照合: 例えば、\(T(V)\) や \(Q_{BX}(V)\) が上に凸の放物線になることを予想し、計算結果がそれと矛盾しないか確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性。
  • (5) 最高温度: \(T_B=2T_A, T_C=2T_A\) であったのに対し、最高温度が \(T_{\text{max}}=\frac{9}{4}T_A = 2.25T_A\) となり、BやCより高い妥当な値か。また、そのときの体積 \(V=\frac{3}{2}V_0\) がB→Cの範囲内 (\(V_0 \le V \le 2V_0\)) にあるか。
  • (6) 熱の転換点の体積: 得られた体積 \(V_M=\frac{15}{8}V_0\) がB→Cの範囲内にあるか。また、これが最高温度を与える体積 \(\frac{3}{2}V_0\) と異なる値であることの意味を考える（一般にこれらは一致しない）。
  • 物理量の単位と符号: 各計算結果が正しい単位を持ち、物理的に意味のある符号（例：吸収熱なら正）を持っているか。
• 「解の吟味」を通じて得られること:
  • 計算ミスや論理展開の誤りの発見。
  • 物理法則の適用範囲や限界についての理解の深化。
  • 数式と物理現象の対応関係をより深く把握する能力の向上。
  • 解答に対する自信の獲得、あるいは疑問点の明確化による更なる学習への動機付け。

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