「名問の森」徹底解説（37〜39問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題37 (早稲田大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、3つの同じばねと質量が等しい2つの球A、Bが直線状に連結され、摩擦のない水平面上に置かれた系の運動を扱います。ばねの両端は固定されており、初めは全てのばねが自然長である状態から、様々な条件で変位させたり、振動させたりします。複数のばねが絡むため、力のつり合いや実効的なばね定数の考え方、そして系の対称性がポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「連結されたばね振り子系における力のつり合いと単振動」が中心テーマです。3つのばねと2つの物体が関わるため、それぞれの物体に働く力を正確に把握し、力のつり合いや運動方程式を立てることが基本となります。また、系の対称性や、複数のばねが組み合わさったときの「合成ばね定数」の考え方も有効です。仕事とエネルギーの関係も問われています。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体Bを右に \(d\) だけ「静かに」変位させるため、その過程および最終状態で物体AとBは力のつり合いを保っています（加速度が0）。物体Aの右への変位を \(x_A\) とおき、物体Aおよび物体Bそれぞれに働く水平方向の力のつり合いの式を立てます。各ばねの自然長からの伸びまたは縮みを正確に把握することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 「静かに変位させる」とは、各瞬間で物体が力のつり合いを保っている（加速度が0）と考えるか、最終状態でつり合っていると考えます。
• 各ばねの「自然長からの」伸びまたは縮みを正確に計算します。初期状態では全てのばねは自然長です。
• 物体Aと物体Bそれぞれについて、水平方向の力のつり合いを考えます。
• 3つのばねを左からS₁（左壁-A間）、S₂（A-B間）、S₃（B-右壁間）とします。

具体的な解説と立式
Bを右に \(d\) だけ変位させ、このときAも右に \(x_A\) だけ変位したとします。右向きを正とします。
ばねS₁は \(x_A\) だけ伸びるので、Aを左向き（負の向き）に \(kx_A\) の力で引きます。
ばねS₂は、Aが \(x_A\)、Bが \(d\) だけ右に変位したので、S₂の伸びは \((d – x_A)\) となります（\(d > x_A\) と仮定）。S₂はAを右向き（正の向き）に \(k(d-x_A)\) の力で引き、Bを左向き（負の向き）に \(k(d-x_A)\) の力で引きます。
ばねS₃は、Bが \(d\) だけ右に変位したので、\(d\) だけ縮みます。S₃はBを左向き（負の向き）に \(kd\) の力で押します。

物体Aについての力のつり合いの式:
$$-kx_A + k(d-x_A) = 0 \quad \cdots ①$$
物体Bに加えている外力の大きさを \(F\)（右向きを正）とすると、物体Bについての力のつり合いの式:
$$-k(d-x_A) – kd + F = 0 \quad \cdots ②$$

まず、式①からAの変位 \(x_A\) を求めます。
$$-kx_A + kd – kx_A = 0$$
$$kd = 2kx_A$$
両辺を \(2k\) で割ると（\(k \neq 0\)）、
$$x_A = \frac{d}{2}$$
次に、この \(x_A = d/2\) を式②に代入して外力 \(F\) を求めます。
$$-k\left(d-\frac{d}{2}\right) – kd + F = 0$$
$$-k\left(\frac{d}{2}\right) – kd + F = 0$$
$$-\frac{1}{2}kd – kd + F = 0$$
$$-\frac{3}{2}kd + F = 0$$
よって、外力の大きさ \(F\) は、
$$F = \frac{3}{2}kd$$

物体Bをゆっくりと右に \(d\) だけ動かすと、物体Aもそれにつられて動きます。このとき、AもBも力がつり合っています。
物体Aには、左のばねから引かれる力と、真ん中のばねから引かれる（または押される）力が働いてつり合います。この関係から、Aがどれだけ動くかがわかります。
物体Bには、真ん中のばねから引かれる（または押される）力、右のばねから押される力、そして手で加えている外力が働いてつり合います。Aの動きがわかれば、これらの力の大きさが計算でき、結果として外力の大きさが求まります。

Aは右に \(\displaystyle\frac{d}{2}\) だけ変位します。Bに加えている外力の大きさは \(\displaystyle\frac{3}{2}kd\) です。
Aの変位が \(d/2\) であるとき、ばねS₁は \(d/2\) 伸び、ばねS₂も \(d-d/2 = d/2\) 伸びています。このため、Aには左のばねS₁から左向きに \(kd/2\)、真ん中のばねS₂から右向きに \(kd/2\) の力が働き、これらがつり合っています。
物体Bには、真ん中のばねS₂から左向きに \(kd/2\) の力が働き、右のばねS₃は \(d\) だけ縮んでいるため左向きに \(kd\) の力でBを押します。したがって、Bに働くばねからの力の合力は左向きに \(kd/2 + kd = (3/2)kd\) となり、これとつり合うためには外力 \(F\) は右向きに \((3/2)kd\) である必要があります。これは計算結果と一致しており、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
Bを初めの位置（\(x=0\) のときのBの位置）に固定します。この状態でAに大きさ \(d\) の変位（例えば右に \(d\)）を与えて静かに放すと、Aは単振動を始めます。
Bが固定されているため、ばねS₂の右端も固定されているとみなせます。したがって、Aは左端が固定されたばねS₁と、右端が固定されたばねS₂の間にあります。Aが元のつり合い位置（\(x=0\)、S₁とS₂が自然長のときのAの位置）から変位すると、S₁とS₂の両方から復元力を受けます。このときのAの実効的なばね定数を求め、それを用いて単振動の周期を計算します。
振幅は与えられた変位の大きさ \(d\) です。振動中心はAの元のつり合い位置 \(x=0\) です。Aが振動中心を通るときの速さは、単振動のエネルギー保存則、または \(v_{\text{max}} = (\text{振幅}) \times (\text{角振動数})\) の関係から求めます。

この設問における重要なポイント

• Bは固定されているため、ばねS₂の右端は動きません。
• Aは、左のばねS₁と右のばねS₂によって力を受けます。Aが \(x\) だけ変位すると、S₁は \(x\) だけ伸び（または縮み）、S₂も \(x\) だけ縮む（または伸びる）ため、両方のばねが同じ向きに復元力を及ぼします。
• Aに対する実効的なばね定数は、2つのばねのばね定数の和 \(k+k=2k\) となります（ばねの並列接続に相当）。
• 振動中心は \(x=0\) です。振幅は与えられた変位 \(d\) です。

具体的な解説と立式
Bが初めの位置に固定されているため、ばねS₂の右端は動きません。おもりAを元のつり合いの位置 \(x=0\) から右向きに \(x\) だけ変位させたとします。
ばねS₁は \(x\) だけ伸びるので、Aを左向きに \(kx\) の力で引きます。
ばねS₂は \(x\) だけ縮むので、Aを左向きに \(kx\) の力で押します。
したがって、Aに働く合力 \(F_A\)（復元力、左向きなので負）は、
$$F_A = -kx – kx = -(2k)x$$
この式は \(F_A = -K_{\text{実効}}x\) の形をしており、Aに対する実効的なばね定数 \(K_{\text{実効}} = 2k\) であることがわかります。
よって、Aは \(x=0\) を振動中心として、実効的なばね定数 \(2k\) のもとで単振動をします。
この単振動の角振動数を \(\omega_A\)、周期を \(T_A\) とすると、
$$\omega_A = \sqrt{\frac{K_{\text{実効}}}{m}} = \sqrt{\frac{2k}{m}}$$
周期 \(T_A\) は、
$$T_A = \frac{2\pi}{\omega_A} \quad \cdots ③$$
Aに大きさ \(d\) の変位を与えて静かに放すので、この単振動の振幅は \(A_0 = d\) です。
Aが初めの位置 (\(x=0\)、振動中心) を通るときの速さを \(v_{\text{max}}\) とすると、これは単振動の最大速度に相当します。単振動のエネルギー保存則より、振動の端での弾性エネルギーが振動中心での運動エネルギーに等しくなります。
$$\frac{1}{2}K_{\text{実効}}A_0^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 \quad \cdots ④$$

周期 \(T_A\) の計算:
式③に \(\omega_A = \sqrt{\frac{2k}{m}}\) を代入します。
$$T_A = \frac{2\pi}{\sqrt{2k/m}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$$

速さ \(v_{\text{max}}\) の計算:
\(K_{\text{実効}} = 2k\) と振幅 \(A_0 = d\) を式④に代入します。
$$\frac{1}{2}(2k)d^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2$$
両辺の \(\frac{1}{2}\) を消去すると、
$$2kd^2 = mv_{\text{max}}^2$$
$$v_{\text{max}}^2 = \frac{2kd^2}{m}$$
速さ \(v_{\text{max}}\) は正なので、
$$v_{\text{max}} = d\sqrt{\frac{2k}{m}}$$
（別解として、\(v_{\text{max}} = A_0 \omega_A = d \cdot \sqrt{\frac{2k}{m}}\) からも同じ結果が得られます。）

物体Bが固定されていると、おもりAは左右の2つのばね（S₁とS₂）に挟まれたような状態で振動します。Aを少し動かすと、両方のばねがAを元の位置（つり合いの位置）に戻そうとするように働きます。このため、Aにとっては、ばねが2倍の強さ（実効的なばね定数が \(2k\)）になったのと同じように感じられます。
この「強くなったばね」で振動するので、1往復にかかる時間（周期）は、通常の1つのばねの場合とは異なります。公式を使って計算します。
Aを \(d\) だけずらして手を放すので、この \(d\) が振動の幅（振幅）になります。Aが振動の中心（元のつり合いの位置 \(x=0\)）を通過するときに速さが最も大きくなります。この最大の速さは、振動の端で持っていた「ばねのエネルギー」が、振動の中心ではすべて「運動のエネルギー」に変わったとして、エネルギー保存の法則から計算できます。

Aの振動の周期は \(T_A = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\) です。
Aが初めの位置 (\(x=0\)) を通るときの速さは \(v_{\text{max}} = d\sqrt{\displaystyle\frac{2k}{m}}\) です。
ばねが2つ並列に効いてくるため、実効的なばね定数が \(2k\) となり、周期は通常のばね1つの場合に比べて \(1/\sqrt{2}\) 倍に短縮されます。角振動数は \(\sqrt{2}\) 倍になるため、同じ振幅 \(d\) であれば最大速度も \(\sqrt{2}\) 倍になります。

問(3)

思考の道筋とポイント
AとBの両方に外力を加えて、同じ向きに等しい大きさ \(d\) の変位を与えてから同時に静かに放します。
この場合、AとBは常に同じように運動する（つまり、AとBの相対的な位置関係が変わらない）と推測されます。もしそうであれば、AとBの間にあるばねS₂は、常に自然長のまま変化しないことになります。
この仮定が正しければ、ばねS₂はAにもBにも力を及ぼさず、Aの運動は左のばねS₁のみによって決まり、Bの運動は右のばねS₃のみによって決まることになります。AとBの質量は等しく (\(m\))、S₁とS₃のばね定数も等しい（ともに \(k\)）ため、AとBはそれぞれ独立に同じ単振動をすると考えられます。

この設問における重要なポイント

• AとBが同じ向きに同じだけ変位して放されるため、運動の対称性から、AとBはその後も同じように運動し続けると推測されます。
• もしAとBが同じように運動するならば、AとBの間の距離は常に一定に保たれ、中間のばねS₂は自然長のまま変化しません。
• したがって、ばねS₂はAおよびBに力を及ぼさず、Aの運動は左のばねS₁のみに、Bの運動は右のばねS₃のみに支配されると考えられます。
• 結果として、A（またはB）は、片端が固定されたばね定数 \(k\) のばねにつながれた質量 \(m\) の物体として単振動します。

具体的な解説と立式
AとBの両方に、同じ向き（例えば右向き）に等しい大きさ \(d\) の変位を与えて同時に静かに放します。
初期状態では全てのばねは自然長であり、AとBの間のばねS₂も自然長です。
ここで、AとBがその後も常に同じ変位 \(x(t)\) を保ったまま運動すると仮定します。つまり、AとBの相対位置は変わらないということです。この仮定が成り立つならば、AとBの間にあるばねS₂の長さは常に自然長のままなので、S₂からの弾性力はAにもBにも働きません。
この仮定のもとでは、物体Aは、左端が壁に固定されたばねS₁（ばね定数 \(k\)）のみによって運動します。Aの元のつり合い位置（\(x=0\)）からの変位を \(x\) とすると、ばねS₁からの復元力は \(-kx\) です。
同様に、物体Bは、右端が壁に固定されたばねS₃（ばね定数 \(k\)）のみによって運動します。Bの元のつり合い位置からの変位も \(x\) なので、ばねS₃からの復元力は \(-kx\) です。
AとBの質量はともに \(m\) であり、それぞれが受ける復元力の形も同じ (\(-kx\)) なので、AとBは全く同じ単振動をします。この結果、AとBの相対距離は常に変わらず、ばねS₂が伸び縮みすることはないという最初の仮定は正当化されます。

よって、物体A（および物体B）は、実効的なばね定数が \(k\)、質量が \(m\) の単振動を行います。
この単振動の角振動数を \(\omega_B\)、周期を \(T_B\) とすると、
$$\omega_B = \sqrt{\frac{k}{m}}$$
周期 \(T_B\) は、
$$T_B = \frac{2\pi}{\omega_B} \quad \cdots ⑤$$

式⑤に \(\omega_B = \sqrt{\frac{k}{m}}\) を代入して、Aの振動の周期 \(T_B\) を求めます。
$$T_B = \frac{2\pi}{\sqrt{k/m}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

物体AとBを同じ方向に同じだけずらして同時に手を放すと、2つの物体はその後もずっと同じように動き続けると考えられます（まるでシンクロしているかのように）。そうすると、AとBの間にある真ん中のばねS₂は、常に自然の長さを保ったままになり、伸びも縮みもしないので、AにもBにも力を及ぼしません。
この結果、Aの動きは左側のばねS₁だけで決まり、Bの動きは右側のばねS₃だけで決まることになります。AもBも質量は同じで、S₁とS₃も同じ強さのばねなので、A（とB）はそれぞれ、1つのばねにつながれたごく普通の単振動をします。その周期を計算します。

Aの振動の周期は \(T_B = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\) です。
これは、質量 \(m\) の物体がばね定数 \(k\) の1つのばねで単振動するときの標準的な周期の公式と同じです。AとBを同じように動かしたことで、中間のばねS₂が実質的に機能しなくなった（力を及ぼさなくなった）と解釈できます。

問(4)

思考の道筋とポイント
AとBの両方に外力を加えて、互いに逆向きに等しい大きさ \(d\) の変位を静かに与えます。

(ア) 外力がした仕事の和
「静かに与える」とあるので、外力がした仕事の和は、系の弾性エネルギーの増加分に等しいと考えられます。初期状態では全てのばねは自然長なので、初期の弾性エネルギーは0です。最終状態で各ばねがどれだけ伸び縮みしているかを考え、それぞれの弾性エネルギーを計算し、その合計が求める仕事となります。

(イ) Aの振動の周期
両球を同時に静かに放すと、系の対称性から、AとBは対称的な運動（互いに逆向きに同じ速さで動き、同じ振幅で振動する）をすると考えられます。このとき、AとBのちょうど真ん中の点（初期状態でのS₂の中点）は常に動かないとみなすことができます。
この「動かない中点」を固定点として考えると、物体Aは、左のばねS₁と、ばねS₂の左半分に接続されて振動するように見えます。ばねの長さが半分になるとばね定数は2倍になるという性質を利用するか、あるいは直接Aに働く力を考え、復元力の形から実効的なばね定数を求めます。

この設問における重要なポイント

• (ア) 「静かに与える」なので、外力の仕事の和 = 系の弾性エネルギーの増加分。
• AとBを互いに逆向きに \(d\) ずつ変位させるため、ばねS₁は \(d\) 変位、S₃は \(d\) 変位、そして中間のS₂は \(2d\) 変位します。
• (イ) AとBの運動の対称性により、中間のばねS₂の中点は動きません。
• Aの運動は、左のばねS₁と、実質的にばね定数が \(2k\) となったS₂の半分が並列に作用しているとみなせます。したがって、Aに対する実効的なばね定数は \(k + 2k = 3k\) となります。
• あるいは、Aに働く力を直接計算し、復元力の形から実効的なばね定数を求めます。

具体的な解説と立式
(ア) 外力がした仕事の和 \(W_{\text{外}}\)
初期状態では、全てのばねは自然長であり、系の弾性エネルギーは0です。
AとBに外力を加えて、互いに逆向きに等しい大きさ \(d\) の変位を静かに与えた後の状態を考えます。例えば、Aを右に \(d\) だけ、Bを左に \(d\) だけ変位させたとします。（どちら向きでも弾性エネルギーは変位の2乗に比例するため結果は同じです。）

• ばねS₁: Aが \(d\) 変位するので、S₁の伸び（または縮み）は \(d\)。弾性エネルギーは \(\frac{1}{2}kd^2\)。
• ばねS₂: AとBが互いに逆方向に \(d\) ずつ動くので、AとBの間隔は \(2d\) だけ変化します。S₂の伸び（または縮み）は \(2d\)。弾性エネルギーは \(\frac{1}{2}k(2d)^2\)。
• ばねS₃: Bが \(d\) 変位するので、S₃の伸び（または縮み）は \(d\)。弾性エネルギーは \(\frac{1}{2}kd^2\)。

外力がした仕事の和 \(W_{\text{外}}\) は、これらの弾性エネルギーの増加分の合計に等しいです。
$$W_{\text{外}} = \frac{1}{2}kd^2 + \frac{1}{2}k(2d)^2 + \frac{1}{2}kd^2 \quad \cdots ⑥$$

(イ) Aの振動の周期 \(T_C\)
AとBを互いに逆向きに \(d\) ずつ変位させた状態から同時に静かに放すと、AとBは対称的な運動をします。このため、AとBの間にあるばねS₂の中点は常に動きません。
物体Aが元のつり合い位置から右に \(x\) だけ変位したとき、対称性からBは同時に左に \(x\) だけ変位します。
このとき、

• ばねS₁は \(x\) だけ伸び、Aを左向きに \(kx\) の力で引きます。
• ばねS₂は、Aが右に \(x\)、Bが左に \(x\) 動くので、S₂の全長は \(2x\) だけ伸びます。したがって、S₂はAを左向きに \(k(2x)\) の力で引きます。

よって、Aに働く合力 \(F_A\)（復元力、左向きなので負）は、
$$F_A = -kx – k(2x) = -3kx$$
この式は \(F_A = -K_{\text{実効}}x\) の形をしており、Aに対する実効的なばね定数 \(K_{\text{実効}} = 3k\) であることがわかります。
Aの質量は \(m\) なので、この単振動の角振動数を \(\omega_C\)、周期を \(T_C\) とすると、
$$\omega_C = \sqrt{\frac{K_{\text{実効}}}{m}} = \sqrt{\frac{3k}{m}}$$
周期 \(T_C\) は、
$$T_C = \frac{2\pi}{\omega_C} \quad \cdots ⑦$$

(ア) 外力がした仕事の和 \(W_{\text{外}}\) の計算:
式⑥を計算します。
$$W_{\text{外}} = \frac{1}{2}kd^2 + \frac{1}{2}k(4d^2) + \frac{1}{2}kd^2$$
$$W_{\text{外}} = \frac{1}{2}kd^2 + 2kd^2 + \frac{1}{2}kd^2$$
$$W_{\text{外}} = \left(\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2}\right)kd^2 = (1 + 2)kd^2 = 3kd^2$$

(イ) Aの振動の周期 \(T_C\) の計算:
式⑦に \(\omega_C = \sqrt{\frac{3k}{m}}\) を代入します。
$$T_C = \frac{2\pi}{\sqrt{3k/m}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{3k}}$$

(ア) 外力がした仕事の和:
物体AとBを、互いに反対方向にそれぞれ \(d\) だけゆっくりと動かすとき、外力が仕事をしてばねにエネルギーを蓄えます。このときにした仕事の合計は、3つのばねそれぞれに蓄えられた「弾性エネルギー」の合計に等しくなります。
左のばねS₁と右のばねS₃は、それぞれ \(d\) だけ伸びる（または縮む）ので、それぞれ \(\frac{1}{2}kd^2\) のエネルギーを持ちます。
真ん中のばねS₂は、AとBが反対方向に \(d\) ずつ動くため、合計で \(2d\) だけ伸びる（または縮む）ことになります。そのため、S₂には \(\frac{1}{2}k(2d)^2\) のエネルギーが蓄えられます。
これら3つのエネルギーを合計したものが、外力がした仕事の和です。

(イ) Aの振動の周期:
物体AとBを互いに反対方向に同じだけずらして同時に手を放すと、2つの物体はその後もずっと鏡に映したように対称的に動き続けると考えられます。このため、AとBの間にある真ん中のばねS₂は、その中心点が動かないまま伸び縮みします。
Aの運動を考えるとき、Aは左側のばねS₁から力を受け、さらに真ん中のばねS₂からも力を受けます（S₂の変形はAとBの相対変位 \(2x\) に対応）。これらの力を合わせると、Aにはたらく復元力は、あたかもばね定数が \(3k\) の単一のばねにつながれているかのように振る舞います。この実効的なばね定数を使って、Aの振動の周期を計算します。

(ア) 外力がした仕事の和は \(3kd^2\) です。
(イ) Aの振動の周期は \(T_C = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{3k}}\) です。
(ア)の仕事は、各ばねの変形エネルギーの和として妥当です。
(イ)の周期は、実効的なばね定数が \(3k\) となった場合の質量 \(m\) の単振動の周期であり、結果は妥当です。問(2)では実効 \(2k\) で周期 \(2\pi\sqrt{m/(2k)}\)、問(3)では実効 \(k\) で周期 \(2\pi\sqrt{m/k}\) であったことと比較すると、実効的なばね定数が大きくなるほど周期が短くなるという一般的な傾向と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いとフックの法則: 静止状態や単振動の振動中心を決定する上で基本となります。ばねの弾性力 \(F=-kx\) を正しく扱うことが重要です。
• 運動方程式と単振動: 物体に働く合力から運動方程式を立て、それが \(F=-Kx’\) （\(K\)は実効的なばね定数、\(x’\)は振動中心からの変位）の形になるかを確認することで単振動であると判断し、その \(K\) と質量から周期や角振動数を導きます。
• 合成ばね定数: 複数のばねが関わる場合、それらを一つのばねとみなしたときの実効的なばね定数を考えることが有効です。本問では、(問2)で並列ばねに近い状況、(問4イ)では対称性から実効的なばね定数が \(3k\) となる状況が現れました。
• 仕事とエネルギーの関係: 外力がした仕事は、系のエネルギー変化に等しいという関係が用いられました（特に問1、問4ア）。静かに変位させる場合は、運動エネルギーの変化を考慮せず、ポテンシャルエネルギー（弾性エネルギー）の変化のみを考えます。
• 対称性の利用: (問3)や(問4)のように、系の物理的配置や初期条件に対称性がある場合、運動も対称的になることがあり、解析を大幅に簡略化できることがあります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方が応用できる類似問題のパターン:
  • 複数のばねや物体が直線状または平面上で連結された振動系。
  • 電気振動回路（LC回路）とのアナロジー（インダクタンスが質量、コンデンサ容量の逆数がばね定数に相当する関係）。
  • 分子の格子振動など、微小振動を単振動として近似するモデル。
• 初見の問題でどこに着目すればよいか:
  1. 系の構成要素と接続関係の把握: いくつの物体があり、それらが何（ばね、糸など）でどのように繋がっているか（直列か並列か、固定端か自由端かなど）を正確に図から読み取ります。
  2. 力の図示とつり合い位置（振動中心）の特定: 各物体に働く力を丁寧に図示し、まず系全体または各部分が静止できる力のつり合いの位置（これが単振動の振動中心となることが多い）を見つけます。
  3. 対称性の有無の確認と活用: 質量の配置、ばね定数、初期条件などに対称性があれば、それを利用して運動の様子を推測したり、計算を簡略化したりできないか検討します（例：不動点の出現、同位相/逆位相振動など）。
  4. 実効的なパラメータ（合成ばね定数、換算質量など）の導入: 複数のばねがある場合、それらを一つの実効的なばねとみなせるか、あるいは複数の物体が連成している場合に換算質量のような考え方が使えないかを検討し、単一の単振動の問題に帰着できないか試みます。
• 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
  • ばねの「自然長からの変位」と、設定した「座標」を明確に区別し、弾性力の計算を間違えないようにします。
  • 複数の物体がある場合、各物体について個別に運動方程式を立てるのが基本ですが、時には系全体で考えたり、対称性を利用したりすると見通しが良くなることがあります。
  • 「静かに」変位させる、放す、といった言葉は、初速度0や力のつり合いを示唆することが多いので、注意深く読み取ります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ばねの変位の誤認、特に複数のばねが絡む場合:
  • ありがちな誤解: 各ばねの伸び・縮みを、全体の変位や他の物体の変位と混同してしまう。特に中間のばねの変位は、両端の物体の相対的な位置変化で決まることに注意が必要です。
  • 対策: 各ばねの両端がどの点に接続されているかを常に意識し、それぞれの自然長を基準とした変位を個別に丁寧に計算します。図を描いて視覚的に確認することが有効です。
• 合成ばね定数の誤用または計算ミス:
  • ありがちな誤解: ばねの並列接続と直列接続の区別を間違える、あるいは適用できない状況で無理に使おうとする。
  • 対策: 並列接続は「同じ変位に対して力が加算される（変位が共通で力が分配される）」、直列接続は「同じ力に対して変位が加算される（力が共通で変位が分配される）」という基本を理解します。(問2)や(問4イ)の状況がどちらに類似するかを正しく判断します。
• 対称性の見落としまたは不適切な適用による計算の複雑化:
  • ありがちな誤解: 対称性に気づかずに複雑な連立方程式を解こうとする、あるいは対称性を過度に単純化して誤った仮定をしてしまう。
  • 対策: 図をよく観察し、質量の配置、ばねの配置、初期条件などに対称性がないか探します。対称性がある場合、運動がどのように単純化されるか（例：不動点の出現、同調した運動、逆対称な運動）を考察し、それに基づいて変数を減らしたり、運動を分解したりします。
• 単振動の振動中心の誤り:
  • ありがちな誤解: 安易に座標の原点やばねの自然長の位置を振動中心としてしまう。
  • 対策: 必ず、振動する物体（または系）に働く力のつり合いの位置を計算し、そこを振動中心として扱います。外力が加わったり、系の構成が変わったりすれば、振動中心も変化する可能性があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • 3つのばねに挟まれた2つの球が、条件によってどのように連動して振動するか、あるいは独立に振動するかを想像します。(問1)では片方を引っ張るともう片方も動き、(問2)では片方が固定されもう片方だけが振動、(問3)では両方が同じように動き、(問4)では両方が逆向きに動きます。これらの違いが運動にどう影響するかをイメージします。
  • (問4)で逆向きに放したとき、中央のばねS₂が最も激しく伸縮し、両端のばねS₁とS₃はそれに合わせて伸縮するが、全体の運動は対称的になる様子。対称性から真ん中の点が動かない（節になる）というイメージは重要です。
• 図示の重要性:
  • 各物体に働く力をベクトルで正確に図示することが、運動方程式や力のつり合いの式を正しく立てるための大前提です。特に、各ばねが物体を引くか押すか、その向きを間違えないようにします。
  • ばねの自然長、各物体の変位、ばねの伸び・縮みを明確に図示することで、混乱を防ぎ、立式の助けになります。
  • (問4イ)の別解のように、対称性から不動点を見つけ、それを固定端とみなした等価な系（より単純な系）を図示できると、問題の本質的な理解が深まります。
• 図を描く際の注意点:
  • 座標軸の原点と正の向きを明確に定めます。これにより、変位や力の符号が一貫します。
  • 各ばねの自然長の状態を基準として、現在の伸びや縮みを正しく表現します（例えば、\(x_A – x_B – L_0\) のように）。
  • 力の矢印は、向きだけでなく、どの物体からどの物体へ働いているのか、あるいはどのばねによる力なのかを明確に区別します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合い (\(\sum F=0\)):
  • 選定理由（問1）: 「静かに変位させる」という記述から、最終状態では物体AとBがそれぞれ力のつり合いの状態にあると判断し適用しました。
• 運動方程式 (\(ma=F\)) と単振動の判定 (\(F=-Kx\)):
  • 選定理由（問2, 問4イ）: 物体が振動運動をする際に、その運動が単振動であるかを確認し、実効的なばね定数 \(K\) を求めるために、まず運動方程式を立て、それが復元力の形 \(F=-Kx\) になるかを確認しました。
• 単振動の周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{m/K}\)):
  • 選定理由（問2, 問3, 問4イ）: 運動が単振動であると確認（または仮定）できた後、その周期を求めるために、物体の質量 \(m\) と実効的なばね定数 \(K\) を用いてこの公式を適用しました。
• 弾性エネルギーの公式 (\(U_s = \frac{1}{2}kx^2\)) と仕事とエネルギーの関係:
  • 選定理由（問4ア）: 外力が「静かに」仕事をする場合、その仕事は系のポテンシャルエネルギー（ここでは弾性エネルギー）の増加に等しいという関係を用いるために適用しました。\(x\) は自然長からの変位です。
  • 選定理由（問2の速さ計算）: 単振動の端での弾性エネルギーが、振動中心での運動エネルギーに変換されるというエネルギー保存則の考え方を適用しました。
• 各物理公式が成り立つための「前提条件」（例：フックの法則は弾性限界内、単振動は復元力が変位に比例する場合など）を常に意識することが、公式の誤用を防ぎ、物理現象のより深い理解につながります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 系の設定と変数の定義の確認: 各物体の質量、ばね定数、変位を表す文字などを明確にし、座標軸の取り方（原点、正の向き）も確認します。
2. 各物体への力の分析と図示: 状況に応じて、各物体に働く力を全てリストアップし、向きを考慮しながらベクトルとして図示します。特にばねの力の向きと大きさに注意します。
3. 適用する物理法則の選択: 状況（静止、運動、衝突、単振動など）と問いの内容に応じて、力のつり合い、運動方程式、エネルギー保存則、単振動の公式、仕事とエネルギーの関係など、最適な物理法則を選択します。
4. 丁寧な立式: 選択した法則に従って、具体的な数式を立てます。未知数と既知数を整理し、符号や変数の定義に一貫性を持たせます。
5. 正確な計算と求解: 立てた代数方程式や連立方程式を、計算ミスに注意しながら正確に解き、求める物理量を導出します。
6. 結果の物理的な吟味と検証: 得られた答えが物理的に妥当か（単位は正しいか、符号は状況に合っているか、極端な条件下で予想される振る舞いと一致するかなど）を必ず検討し、検証します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 複数のばねの変位の計算: 特に中間のばねS₂の伸び（または縮み）は、両端に接続された物体AとBの変位の差（または和、状況による）で決まるため、混同しやすいポイントです。
  • 符号のミス: 力の向き、変位の向きを座標軸の正方向と照らし合わせて正確に符号を決定することが不可欠です。特に復元力は変位と逆符号になります。
  • 合成ばね定数の計算: 並列か直列か、あるいはそれ以外の特殊な状況（問4イの対称性利用など）かを正しく判断し、実効的なばね定数を計算する際のミス。
  • 文字が多く複雑な代数計算: \(m, k, d\) など複数の文字定数を含む式の整理や連立方程式の求解には注意が必要です。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 図を丁寧に描き、各部分の変位や力の関係を視覚的に確認する: 図は思考の助けとなり、立式の誤りを減らします。
  • 文字が多く複雑な場合は、一度に計算しようとせず、段階的に整理しながら進める: 例えば、まず各ばねの変位を文字で表し、次に各力を表し、それから運動方程式を立てる、といったステップを踏みます。
  • 可能であれば、対称性を利用して計算を簡略化する視点を持つ: (問3)や(問4イ)のように、対称性を見抜ければ大幅に計算が楽になることがあります。
  • 求めた結果を元の運動方程式やエネルギーの式に代入して検算する習慣をつける: 時間が許せば、自己チェックとして有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 計算ミスや立式の誤りを発見する強力な手段となります。
  • 物理法則が現象をどのように記述しているかについての理解を深め、直感を養います。
  • 単に答えを出すだけでなく、「なぜこの結果になるのか」を考えることで、論理的思考力や応用力が向上します。
• 「解の吟味」を通じて具体的に何ができるか:
  • 特殊なケースや極端な値を代入してみる: 例えば、もし中央のばねS₂がなかったら（\(k \to 0\) とするか、あるいは取り除く）各問いの答えはどうなるか？ もし全てのばねが非常に硬かったら（\(k \to \infty\)）？ 質量が非常に小さかったら（\(m \to 0\)）？ これらの極端な場合を考えて、結果が物理的に予想される振る舞いや、より単純な既知のケースに帰着するかどうかを確認します。
  • 単位（次元）の一貫性の確認: 最終的な答えの単位が、求められている物理量の単位と一致しているか、また、式を構成する各項の単位の整合性が取れているかを確認します。
  • 他の問いとの比較や整合性の確認: 例えば、(問2)、(問3)、(問4イ)で求められたAの振動の周期が、それぞれ異なる物理的状況（異なる実効的ばね定数）を反映してどのように変化しているか、その理由を物理的に説明できるか、などを考えます。

問題38 (山口大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねで繋がれた2つの等しい質量を持つ球AとBの系に、同じ質量の球Cが弾性衝突することから始まる一連の運動を扱います。衝突後のAとCの速度、AとBの系の重心の運動、そして重心から見たAとBの単振動、最後に床から見たAの速度の時間変化を求めることが主な内容です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、「弾性衝突」、「運動量保存則」、「重心の運動」、そして「相対座標系における単振動」といった複数の重要な物理概念を組み合わせたものです。特に、重心から見た運動を考えることで、2体問題が単一の物体の単振動の問題に帰着できる点がポイントとなります。

問(1)

思考の道筋とポイント
球Aと球Cの弾性衝突を考えます。衝突は瞬間的に起こるため、その間、ばねの力や物体Bの影響は無視でき、AとCの2物体のみからなる系で運動量と運動エネルギーが保存されると考えます。特に、質量が等しい2つの物体が弾性衝突する場合、速度が交換されるという重要な性質があります。

この設問における重要なポイント

• AとCの2体系で考えます（衝突の瞬間はBとばねは無関係とみなせます）。
• 弾性衝突なので、運動量保存則と力学的エネルギー保存則（または反発係数 \(e=1\) の式）が成り立ちます。
• 特に重要な知識として、質量が等しい2物体が弾性衝突する場合、速度が交換されるという性質があります。

具体的な解説と立式
衝突前の球Aの速度を \(v_A = 0\)、球Cの速度を \(v_C = v_0\)（右向きを正とします）とします。
衝突直後の球Aの速度を \(v_A’\)、球Cの速度を \(v_C’\) とします。
質量が等しい2物体（AとCの質量はともに \(m\)）の弾性衝突なので、速度が交換されます。
したがって、
$$v_A’ = v_C$$ $$v_C’ = v_A$$
となります。

別解: 運動量保存則と反発係数の式を用いる場合
運動量保存則（右向きを正）:
$$m v_A + m v_C = m v_A’ + m v_C’$$
$$m \cdot 0 + m v_0 = m v_A’ + m v_C’$$
両辺を \(m\) で割ると、
$$v_0 = v_A’ + v_C’ \quad \cdots ①$$
反発係数の式（弾性衝突なので \(e=1\)）:
$$e = 1 = -\frac{v_A’ – v_C’}{v_A – v_C} = -\frac{v_A’ – v_C’}{0 – v_0}$$
$$1 = \frac{v_A’ – v_C’}{v_0}$$
よって、
$$v_0 = v_A’ – v_C’ \quad \cdots ②$$

速度交換の知識を用いれば、衝突前のAの速度は0、Cの速度は \(v_0\) なので、衝突直後はAの速度が \(v_0\)、Cの速度が \(0\) となります。

別解の場合：
式① \(v_0 = v_A’ + v_C’\) と式② \(v_0 = v_A’ – v_C’\) を連立させて解きます。
式① + 式② を計算すると:
$$(v_A’ + v_C’) + (v_A’ – v_C’) = v_0 + v_0$$
$$2v_A’ = 2v_0$$
したがって、衝突直後のAの速さは、
$$v_A’ = v_0$$
この結果を式①に代入すると:
$$v_0 = v_0 + v_C’$$
したがって、衝突直後のCの速さは、
$$v_C’ = 0$$

同じ重さのボール同士がまっすぐぶつかって、エネルギーが失われない理想的なぶつかり方（弾性衝突）をした場合、ぶつかった後はお互いの速さがまるごと入れ替わることが知られています。
今回、止まっていた球Aに球Cが速さ \(v_0\) でぶつかるので、ぶつかった後はAが速さ \(v_0\) で動き出し、Cは止まります。
これは、「運動の勢いの合計（運動量）」と「運動エネルギーの合計」が、ぶつかる前後で変わらないという2つの物理法則から導き出すこともできます。

衝突直後のAの速さは \(v_0\)（右向き）、Cの速さは \(0\) です。
これは物理的に妥当な結果です。例えば、ビリヤードの球で、静止している手玉と同じ質量の的玉に正面衝突させると、的玉が勢いよく飛び出し、手玉がほぼその場で静止する現象（ストップショット）と似ています。

問(2)

思考の道筋とポイント
衝突後、球Aと球Bからなる系には水平方向の外力が働きません（床は滑らかで、ばねの力はAとBの間の内力です）。したがって、AとBの系全体の運動量は保存されます。このため、AとBの系の重心Gは等速度運動をします。
衝突直後のAの速度は \(v_0\)、Bの速度は \(0\) であることから、この瞬間のA-B系の全運動量を計算し、それと重心の運動量 \((m_A+m_B)v_G\) が等しいという関係から重心Gの速さ \(v_G\) を求めることができます。
模範解答のヒントにある「AとBの速度が等しくなる瞬間を考えるとよい」というのは、その瞬間の共通の速度が重心の速度と一致するという性質を利用するものですが、運動量保存から直接求める方がより一般的で直接的です。

この設問における重要なポイント

• A-B系には水平方向の外力が働かないため、系の全運動量は保存されます。
• その結果として、重心Gは等速度運動をします。
• 重心速度 \(v_G\) は、系の全運動量を全質量で割ることで求められます: \(v_G = \displaystyle\frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A+m_B}\)。

具体的な解説と立式
衝突直後の時刻を \(t=0\) とします。このとき、球Aの速度は \(v_A(0) = v_0\)（右向きを正）、球Bの速度は \(v_B(0) = 0\) です。
球Aと球Bの系には水平方向に外力が働かないため、この系の全運動量は保存されます。
重心Gの速度を \(v_G\) とすると、重心の速度の定義から、系の全運動量 \(P_{AB}\) は \((m+m)v_G = 2mv_G\) と書けます。
衝突直後の系の全運動量は \(m v_A(0) + m v_B(0)\) です。
したがって、運動量保存則より、
$$m v_0 + m \cdot 0 = (m+m)v_G$$
$$mv_0 = 2mv_G \quad \cdots ③$$
この式から重心Gの速さ \(v_G\) を求めます。

式③ \(mv_0 = 2mv_G\) の両辺を \(2m\) で割ると（\(m \neq 0\)）、
$$v_G = \frac{mv_0}{2m}$$
$$v_G = \frac{v_0}{2}$$

2つの物体AとBがばねでつながれて動くとき、外から力が加わらなければ、AとB全体の「運動の勢いの中心（重心）」は一定の速さで動き続けます。
衝突直後、Aは速さ \(v_0\) で動き出し、Bはまだ止まっています。このときのAとBの運動の勢いの合計を計算し、それをAとBの質量の合計（\(2m\)）で割ったものが、重心の速さになります。

衝突後のAとBの重心Gの速さは \(v_G = \displaystyle\frac{v_0}{2}\) です。
これは、衝突によってAが得た運動量 \(mv_0\) が、その後AとBの2つの物体（合計質量 \(2m\)）の重心運動として分配される（ただし、Bは最初は動いていないので、初期の運動量はAのみ）と考え、系の全運動量が \(2m v_G\) と等しくなることから導かれます。重心は、AとBの中間点を常に保ちながら（質量が等しいため）、この速さ \(v_0/2\) で等速直線運動を続けます。

問(3)

思考の道筋とポイント
重心Gと共に動く観測者（重心座標系）から見ると、重心Gは静止しているように見えます。この座標系では、AとBは重心Gに対して対称な位置で、それぞれ単振動を行います。
ばねはAとBの間にあり、質量が等しいAとBの重心Gは常にばねの中点にあります。このため、ばねは重心Gで実質的に2つに分割されたと考えることができます。元のばね（ばね定数\(k\)、自然長\(l_0\)）が自然長の半分の長さ (\(l_0/2\)) の2つのばねに分割されたと考えると、それぞれのばね定数は元の2倍の \(2k\) になります。
したがって、A（またはB）は、重心Gに一端が固定された、実効的なばね定数\(2k\)のばねにつながれて単振動するとみなせます。この単振動の周期を求めます。
次に、AB間の距離の最小値と最大値を求めるには、この単振動の振幅を求める必要があります。重心系でのA（またはB）の初速度と、実効的なばね定数から、単振動のエネルギー保存則を用いて振幅を計算します。AB間の距離は、ばねの長さに対応し、\(l_0 \pm 2 \times (\text{重心からの振幅})\) となります。

この設問における重要なポイント

• 重心Gと共に動く座標系（重心系）で考えます。この系では重心は静止しています。
• 重心系では、AとBは重心Gに対して対称に単振動します。
• ばねは重心Gで実質的に2つに分割され、それぞれの部分のばね定数は\(2k\)となります（ばねの長さが半分になるとばね定数は2倍になるという性質から）。
• A（またはB）は、質量\(m\)、実効的なばね定数\(2k\)の単振動を行います。
• 単振動の振幅を求めるには、重心系での初速度とエネルギー保存則（または \(v_{\text{max}} = A\omega\)）を用います。
• AB間の距離は、ばねの全長に相当し、その最小値・最大値は単振動の振幅から決まります。

具体的な解説と立式
周期の計算:
重心Gから見ると、球A（質量\(m\)）は、実効的なばね定数\(K_{\text{実効}} = 2k\)、自然長が元のばねの半分 \(l_0/2\) となるような「半分のばね」の端につながれて単振動すると考えることができます（この「半分のばね」のもう一端はGに固定されているとみなせます）。
したがって、この単振動の角振動数を\(\omega_G\)、周期を\(T_G\)とすると、
$$\omega_G = \sqrt{\frac{K_{\text{実効}}}{m}} = \sqrt{\frac{2k}{m}}$$
周期 \(T_G\) は、
$$T_G = \frac{2\pi}{\omega_G} \quad \cdots ④$$

AB間の距離の最小値・最大値の計算:
重心Gと共に動く観測者から見たAの初速度（衝突直後の相対速度）を求めます。
床から見た衝突直後のAの速度は\(v_A’ = v_0\)、重心Gの速度は\(v_G = v_0/2\)（いずれも右向き）でした。
したがって、重心Gから見た衝突直後のAの相対速度\(v_{AG}\)は（右向きを正とする）、
$$v_{AG} = v_A’ – v_G = v_0 – \frac{v_0}{2} = \frac{v_0}{2}$$
同様に、重心Gから見た衝突直後のBの相対速度\(v_{BG}\)は（Bの床から見た初速は0）、
$$v_{BG} = v_B(\text{初}) – v_G = 0 – \frac{v_0}{2} = -\frac{v_0}{2}$$
（つまり、Bは重心Gから見て左向きに速さ\(v_0/2\)で動き出すように見えます。）
AとBは、重心Gに対して対称に、それぞれ同じ振幅（これを \(d_G\) とします）で単振動します。
衝突直後(\(t=0\))、ばねは自然長(\(l_0\))なので、AとBはそれぞれの単振動の振動中心（重心Gから見て、対応する「半分のばね」が自然長の半分の長さ\(l_0/2\)になる位置、つまり重心Gからの相対変位が0の位置）にあり、そこで上記の相対速度を持ちます。したがって、この相対速度の大きさが各々の単振動の最大速度となります。
単振動の最大速度と振幅の関係 \(v_{\text{max}} = (\text{振幅}) \times (\text{角振動数})\) より、A（またはB）の重心Gに対する振幅を\(d_G\)とすると、
$$|v_{AG}| = d_G \omega_G$$
$$\frac{v_0}{2} = d_G \sqrt{\frac{2k}{m}} \quad \cdots ⑤$$
この\(d_G\)は、重心Gから見たA（またはB）の最大変位（振幅）です。
AB間の距離は、ばねの全長です。ばねの自然長は\(l_0\)。
ばねが最も縮んだとき、AとBはそれぞれ\(d_G\)だけ重心Gに近づくので、AB間の距離の最小値\(l_{\text{min}}\)は、
$$l_{\text{min}} = l_0 – 2d_G \quad \cdots ⑥$$
ばねが最も伸びたとき、AとBはそれぞれ\(d_G\)だけ重心Gから遠ざかるので、AB間の距離の最大値\(l_{\text{max}}\)は、
$$l_{\text{max}} = l_0 + 2d_G \quad \cdots ⑦$$

周期 \(T_G\) の計算:
式④に \(\omega_G = \sqrt{\frac{2k}{m}}\) を代入します。
$$T_G = \frac{2\pi}{\sqrt{2k/m}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$$

振幅 \(d_G\) の計算:
式⑤ \(\displaystyle\frac{v_0}{2} = d_G \sqrt{\frac{2k}{m}}\) より、\(d_G\) について解きます。
$$d_G = \frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{m}{2k}}$$

AB間の距離の最小値 \(l_{\text{min}}\) と最大値 \(l_{\text{max}}\) の計算:
求めた \(d_G\) を式⑥と式⑦に代入します。
$$l_{\text{min}} = l_0 – 2 \left(\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{m}{2k}}\right) = l_0 – v_0\sqrt{\frac{m}{2k}}$$
$$l_{\text{max}} = l_0 + 2 \left(\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{m}{2k}}\right) = l_0 + v_0\sqrt{\frac{m}{2k}}$$

AとBの重心Gは一定の速さで動いているので、Gと一緒に動く人から見ると、Gは止まって見えます。この人から見ると、AとBはGを挟んで反対方向に、同じ幅で振動する（単振動）ように見えます。
このとき、ばねはGのところで実質的に半分に分かれ、AとBがそれぞれ「半分の長さで硬さが2倍になったばね」で振動していると考えることができます。この考え方から、振動の1往復の時間（周期）を計算します。
次に、AB間の距離が一番短くなるときと長くなるときを考えます。これは、Gから見たA（またはB）の振動の幅（振幅）によって決まります。Gから見たAの動き始めの速さが、この単振動での最大の速さになるので、それと周期（または角振動数）の関係から振幅を求めます。ばねの自然の長さに、この振幅の2倍（AとBが両側に振れるため）を足したり引いたりしたものが、AB間の距離の最大値と最小値になります。

重心Gから見たAとBの単振動の周期は \(T_G = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\) です。
AB間の距離の最小値は \(l_{\text{min}} = l_0 – v_0\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\)、最大値は \(l_{\text{max}} = l_0 + v_0\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\) です。
周期は、実効的なばね定数が\(2k\)となるため、質量\(m\)の物体がばね定数\(k\)のばねで振動する場合の周期 \(2\pi\sqrt{m/k}\) よりも短く（\(1/\sqrt{2}\)倍に）なっています。これは、より硬いばねで振動するため、振動が速くなることに対応しています。
距離の最小値・最大値は、ばねの自然長\(l_0\)から、AとBがそれぞれ重心Gに対して振幅\(d_G\)で振動する分だけ変化することを示しており、物理的に妥当な形です。

問(4)

思考の道筋とポイント
床から見たAの速度 \(v_A(t)\) は、重心Gの速度 \(v_G\) と、重心Gから見たAの相対速度 \(v_{AG}(t)\) のベクトル和として表せます。
$$v_A(t) = v_G + v_{AG}(t)$$
重心Gの速度 \(v_G = v_0/2\) は一定です（問2より）。
重心Gから見たAの相対速度 \(v_{AG}(t)\) は、単振動の速度です。問(3)で、重心Gから見たAの運動は、角振動数 \(\omega_G = \sqrt{2k/m}\)、初速度（最大速度）\(v_0/2\) の単振動であるとわかりました。時刻 \(t=0\) でAは振動中心（ばねが自然長 \(l_0/2\) の位置、重心Gからの相対変位0）におり、右向きに最大速度 \(v_0/2\) を持つので、その後の相対速度は \(v_{AG}(t) = \frac{v_0}{2}\cos(\omega_G t)\) と表せます。

この設問における重要なポイント

• 床から見た速度 = 重心の速度 + 重心から見た相対速度。
• 重心の速度 \(v_G\) は等速です。
• 重心から見たAの相対速度 \(v_{AG}(t)\) は単振動の速度です。
• \(t=0\) でAは重心Gに対して相対変位0の位置（振動中心）におり、相対速度 \(v_0/2\)（これがこの単振動の最大速度）を持ちます。

具体的な解説と立式
床から見たAの速度を \(v_A(t)\)、重心Gの速度を \(v_G\)、重心Gから見たAの相対速度を \(v_{AG}(t)\) とすると、これらの間には次の関係があります（すべて右向きを正とします）。
$$v_A(t) = v_G + v_{AG}(t) \quad \cdots ⑧$$
問(2)より、重心の速度は \(v_G = \displaystyle\frac{v_0}{2}\) で一定です。
問(3)より、重心Gから見たAの運動は角振動数 \(\omega_G = \sqrt{\displaystyle\frac{2k}{m}}\) の単振動です。
衝突直後 \(t=0\) において、Aは重心Gに対して相対変位が0（ばねが自然長なので、重心Gから見てAは単振動の振動中心にいる）で、相対速度は \(v_{AG}(0) = v_0 – v_G = v_0 – v_0/2 = v_0/2\)（右向き）です。この \(v_0/2\) が、重心から見た単振動の最大速度となります。
したがって、重心Gから見たAの相対速度 \(v_{AG}(t)\) は、\(t=0\) で最大速度となるコサイン型の関数で表され、
$$v_{AG}(t) = \frac{v_0}{2}\cos(\omega_G t) = \frac{v_0}{2}\cos\left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)$$
となります。
これを式⑧に代入することで、床から見たAの速度 \(v_A(t)\) が求められます。

式⑧に \(v_G = \displaystyle\frac{v_0}{2}\) と \(v_{AG}(t) = \displaystyle\frac{v_0}{2}\cos\left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)\) を代入すると、
$$v_A(t) = \frac{v_0}{2} + \frac{v_0}{2}\cos\left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)$$
共通因子 \(\displaystyle\frac{v_0}{2}\) でくくると、
$$v_A(t) = \frac{v_0}{2}\left(1 + \cos\left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)\right)$$

床から見た物体Aの速さを知るには、2つの動きを合成して考えます。
1. AとBの重心Gが全体として動いていく速さ。これは一定です。
2. その重心Gの周りで、Aが振動する速さ。これは時間とともに変わります。
重心Gは \(v_0/2\) という一定の速さで右に動いています。
一方、重心Gから見ると、Aは衝突直後(\(t=0\))に右向きに \(v_0/2\) という速さで動き出し（これがAの重心に対する振動の最大速度です）、その後はコサインカーブを描くように速さが変化する単振動をします。
これら2つの速さ（一定の重心の速さと、時間で変化するGから見たAの速さ）を足し合わせることで、床から見たAの速さが時刻 \(t\) の関数として求まります。

Aの速度 \(v_A(t)\) は、\(v_A(t) = \displaystyle\frac{v_0}{2}\left(1 + \cos\left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)\right)\) です。
この結果を吟味してみましょう。
\(t=0\) のとき: \( \cos(0)=1 \) なので、\(v_A(0) = \frac{v_0}{2}(1+1) = v_0\)。これは衝突直後のAの速度と一致しており、妥当です。
\(\cos\) 関数の値は \(-1\) から \(1\) の間を変動するので、\(1 + \cos(\dots)\) の値は \(0\) から \(2\) の間を変動します。したがって、\(v_A(t)\) の値は \(0\) から \(v_0\) の間を変動することになります。
例えば、\(\sqrt{\frac{2k}{m}}t = \pi\) のとき（これは重心から見た単振動の半周期後）、\(\cos(\pi)=-1\) なので、\(v_A(t) = \frac{v_0}{2}(1-1) = 0\)。このとき、Aは床に対して一瞬静止します。これは、重心が右に \(v_0/2\) で動いているのに対し、Aが重心に対して左に \(v_0/2\) で動いている瞬間に対応します。

【コラム】Q. Bに対するAの運動を慣性力を用いて調べ,周期と\(l_1, l_2\)を求めてみよ。

思考の道筋とポイント
物体Bと共に動く観測者から物体Aの運動を見ます。Bは一般に加速度運動をしているため、この観測者は非慣性系にいることになります。したがって、Aの運動を記述する際には、Bの加速度によって生じる慣性力を考慮に入れる必要があります。
まず、物体Bの床に対する加速度 \(a_B\) を求めます。次に、Bから見たAの相対運動について運動方程式を立てます。Aには、ばねの力に加えて、Bの加速度 \(a_B\) とは逆向きに大きさ \(ma_B\) の慣性力が働くことになります。この慣性力を含めた合力が、AのBに対する相対運動の復元力となり、単振動の式を導いて周期を求めます。
AB間の距離の最小値・最大値は、この相対的な単振動の振幅から決定されます。

この設問における重要なポイント

• Bと共に動く座標系（Bを原点とする相対座標系）を考えます。
• 物体Bの床に対する加速度 \(a_B\) をまず求める必要があります。
• 物体Aには、ばねの力に加えて、Bの加速度 \(a_B\) とは逆向きに大きさ \(ma_B\) の慣性力が働きます。
• この慣性力を含めた合力が、AのBに対する相対運動の復元力となり、単振動の形になるかを確認します。

具体的な解説と立式
ばねが自然長 \(l_0\) から \(x_{\text{伸縮}}\) だけ変形している（伸びまたは縮み、縮みを正とするとモデル解答の図に合わせやすい）とします。
モデル解答のQの図では、ばねが \(x\) だけ縮んでいる状態を描いています。このとき、ばねはAを左（負の向き）に \(kx\)、Bを右（正の向き）に \(kx\) の力で押します。
物体Bの床に対する運動方程式（右向きを正、加速度を \(a_B\)）：
$$ma_B = kx_{\text{伸縮}} \quad \cdots (Q-1)$$
（ここで \(x_{\text{伸縮}}\) はばねの「縮み」を表す正の値とします。もし「伸び」なら \(x_{\text{伸縮}}\) は負。）
モデル解答では、ばねが \(x\) だけ縮んでいるとして、Bには右向きに \(kx\) の力が働いています。

Bと共に動く観測者からAを見ます。Aに働く力（右向きを正）は、
1. ばねの力: ばねが \(x\) 縮んでいるので、Aを左向き（負の向き）に \(kx\) の力で押します。つまり \(-kx\)。
2. 慣性力: Bの加速度 \(a_B\) と逆向きに \(ma_B\)。式(Q-1)より \(ma_B = kx\) なので、慣性力は左向き（負の向き）に \(kx\)。
AのBに対する相対加速度を \(a_{\text{相対}}\) とすると、Aの相対運動に関する運動方程式は、
$$ma_{\text{相対}} = (\text{ばねの力}) + (\text{慣性力})$$
$$ma_{\text{相対}} = -kx – kx = -2kx \quad \cdots (Q-2)$$
ここで \(x\) はばねの「縮み」の大きさを表しています。AのBに対する相対的な変位（例えば、Bを原点としたときのAの座標が \(- (l_0 – x)\) のように、自然長からのずれ）を \(X_{\text{相対}}\) とすると、\(x\) は \(X_{\text{相対}}\) に比例します。
より正確には、AとBの相対座標を \(X_{AB} = x_A – x_B\) とし、ばねの伸びを \(X = X_{AB} – (-l_0) = x_A – x_B + l_0\) （AがBの左にある場合、右向き正）などと定義する必要がありますが、モデル解答は「ばねが自然長よりxだけ縮んでいる」という状況から出発しています。この \(x\) はばね全体の縮みなので、これが相対変位に直接対応します。
式(Q-2)は \(ma_{\text{相対}} = -(2k)x\) の形なので、AはBに対して、実効的なばね定数 \(K_{\text{実効}} = 2k\) で単振動をすることがわかります。
したがって、周期 \(T\) は、
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K_{\text{実効}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}} \quad \cdots (Q-3)$$
これは問(3)で重心系から求めた周期と一致します。

次に、AB間の距離の最小値 \(l_1\) と最大値 \(l_2\) を求めます。
衝突直後、床から見るとAの速度は \(v_0\)（右向き）、Bの速度は \(0\)。ばねは自然長 (\(x=0\))。
Bから見たAの相対初速度 \(v_{\text{相対,初}}\) は、
$$v_{\text{相対,初}} = v_A(\text{初}) – v_B(\text{初}) = v_0 – 0 = v_0$$
この相対速度 \(v_0\) が、相対運動の単振動における最大速度となります（衝突直後はばねが自然長なので、相対変位0、つまり相対的な振動の中心にいるため）。
相対運動の振幅を \(A_{\text{相対}}\) とすると、\(v_{\text{相対,初}} = A_{\text{相対}} \omega_{\text{相対}}\)。
ここで角振動数 \(\omega_{\text{相対}} = \sqrt{K_{\text{実効}}/m} = \sqrt{2k/m}\)。
$$v_0 = A_{\text{相対}} \sqrt{\frac{2k}{m}}$$
よって、振幅 \(A_{\text{相対}}\) は、
$$A_{\text{相対}} = v_0 \sqrt{\frac{m}{2k}}$$
この \(A_{\text{相対}}\) は、ばねの自然長からの最大の伸びまたは縮みの大きさを表します。
AB間の距離は、ばねの長さそのものです。ばねが自然長 \(l_0\) から \(A_{\text{相対}}\) だけ伸び縮みするので、
最小値 \(l_1 = l_0 – A_{\text{相対}} = l_0 – v_0\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\) （ばねが最も縮んだとき）
最大値 \(l_2 = l_0 + A_{\text{相対}} = l_0 + v_0\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\) （ばねが最も伸びたとき）
これらは問(3)で求めた結果と一致します。

周期 \(T\) は式(Q-3)で与えられています。
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$$
振幅 \(A_{\text{相対}}\) は、
$$A_{\text{相対}} = v_0 \sqrt{\frac{m}{2k}}$$
AB間の距離の最小値 \(l_1\) と最大値 \(l_2\) は、
$$l_1 = l_0 – v_0\sqrt{\frac{m}{2k}}$$
$$l_2 = l_0 + v_0\sqrt{\frac{m}{2k}}$$

物体Bに乗っかって物体Aの動きを見ると、Bが（床に対して）加速しているために、Aには「慣性力」という見かけの力が働いているように見えます。Aに実際に働いている力は、ばねがAを引いたり押したりする力ですが、これに加えて慣性力も考慮する必要があります。
これらの力を合計すると、AはBに対して、ある中心点の周りを規則的に往復運動（単振動）することがわかります。この単振動の1往復にかかる時間（周期）を計算します。
また、衝突直後のBから見たAの速さが、この単振動における最大の速さになります。この最大の速さと周期（または角振動数）の関係から、Bから見てAがどれくらいの幅で振動するか（振幅）がわかります。ばねの自然の長さにこの振幅を足したり引いたりしたものが、AB間の距離の最大値と最小値になります。

Bに対するAの運動の周期は \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\) です。
AB間の距離の最小値は \(l_1 = l_0 – v_0\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\)、最大値は \(l_2 = l_0 + v_0\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}\) です。
これらの結果は、問(3)で重心座標系を用いて得られたものと完全に一致します。これは、異なる視点（重心系と相対座標系＋慣性力）から同じ物理現象を正しく解析できていることを示しており、理解の助けになります。相対座標系で考える場合、慣性力の導入とその向きを正確に行うことが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則とエネルギー保存則（特に衝突時）: 弾性衝突の解析において基本となる法則です。特に等質量2体の1次元弾性衝突における速度交換は、知っていると計算を大幅に簡略化できる重要な知識です。
• 重心の運動: 外力が働かない系（または外力のベクトル和がゼロの系）では、系の重心は等速直線運動をします。この性質を利用することで、多体問題を「重心の運動」と「重心から見た相対運動」に分離して考えることができ、問題の見通しを良くすることができます。
• 相対運動と重心座標系: 重心と共に動く座標系（重心座標系）から見ると、2体系の運動がそれぞれの物体の（重心に対する）単振動として記述できる場合があります。これにより、複雑な2体の結合振動を、より単純な単一の振動子の問題として扱えることがあります。
• 単振動の実効的なばね定数と換算質量: 2体問題でばねが介在する場合、相対運動や重心からの運動を考える際に、ばねが実質的に分割されたとみなせたり（本問のモデル解答での実効的ばね定数\(2k\)）、あるいは換算質量という概念を用いたりすることで、実効的なばね定数や振動のパラメータが変わることがあります。
• 速度の合成: 床などの静止系から見た速度は、運動する座標系（例：重心）の速度と、その座標系から見た相対速度のベクトル和として表されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方が応用できる類似問題のパターン:
  • 2つの物体がばねでつながれて直線上で運動する系全般（衝突が伴う場合も、伴わない場合も）。
  • 分子の振動モデル（例えば、2原子分子の振動を2つの質量とそれらを繋ぐばねとしてモデル化する場合）。
  • 天体の2体問題（ただし、力は重力となり、ポテンシャルエネルギーの形が異なりますが、重心の運動と相対運動に分離する考え方は共通）。
• 初見の問題でどこに着目すればよいか:
  1. 系の設定と保存則の確認: まず、系全体に外力が働くかどうかを確認し、運動量保存則が適用できるかを見極めます。次に、非保存力（摩擦など）が仕事をするかどうかを確認し、力学的エネルギー保存則の適用可否を判断します。衝突の種類（弾性か非弾性か）も重要です。
  2. 重心の利用の検討: 複数の物体が相互作用しながら運動する場合、まず重心の運動を考えると、全体の並進運動を分離でき、残りの運動（重心周りの運動や相対運動）が単純化されることが多いです。
  3. 相対座標系の導入の検討: 2物体の相対的な運動（例えば、ばねの伸び縮み）が問題の中心となる場合、一方の物体に固定した座標系や、重心に固定した座標系で考えることが有効です。加速度座標系になる場合は慣性力を忘れずに考慮します。
  4. 単振動への帰着の可能性: ばねやそれに類する線形の復元力が働く系では、単振動になる可能性を常に探ります。運動方程式を立てて \(F=-Kx’\) の形になるか、あるいは系のポテンシャルエネルギーが \(U = \frac{1}{2}Kx’^2 + C\) の形になるかを確認します。
• 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
  • 衝突現象は「瞬間的」に起こると考え、その間はばねの変位や物体Bの動き出しなどは無視できる（つまり、衝突に関与しない物体や力の影響は考えない）と仮定することが多いです。
  • 「重心Gと共に動いて観測する」という指示は、重心座標系での解析を明確に促しています。この座標系では、系の全運動量がゼロに見えるなどの利点があります。
  • ばねの分割モデル（例：重心がばねの中点にあるなら、ばね定数\(k\)のばねは、ばね定数\(2k\)の半分のばね2本と等価とみなせる）は便利な考え方ですが、その適用条件（重心が動かない、または重心から見て対称な運動など）を正しく理解しておく必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 衝突時にBやばねも動くと考えてしまう:
  • ありがちな誤解: (問1)のAとCの衝突の瞬間に、Aに繋がっているばねがすぐに縮んだり、Bが動き出したりすると考えてしまい、AとCの2体系だけで運動量保存則を適用することに躊躇する。
  • 対策: 「衝突」という現象が非常に短時間で起こることを理解します。特に指示がなければ、衝突力は他の力（この場合はばねの力や、Bを介して伝わる力）に比べて非常に大きいと仮定し、衝突に関与する物体間でのみ運動量保存則を適用します。
• 重心系での単振動におけるばね定数の誤り:
  • ありがちな誤解: 重心から見たA（またはB）の単振動を考える際に、元のばね定数 \(k\) をそのまま使ってしまう。
  • 対策: 重心から見た運動では、ばねが実質的に分割されたとみなせる場合や、あるいは換算質量という概念を用いて単一の振動子の問題に帰着させる場合など、実効的なばね定数や振動のパラメータが変わることを理解します。本問では、重心がばねの中点にあるため、A（またはB）は実効的にばね定数\(2k\)のばねで振動すると考えます。
• 相対速度と床から見た速度（絶対速度）の混同:
  • ありがちな誤解: (問4)でAの速度を求める際に、重心から見たAの相対速度だけで答えてしまう、あるいは重心の速度との足し算を忘れる・間違える。
  • 対策: どの座標系から見た速度を扱っているのかを常に明確に意識します。速度の合成則（ベクトル和）を正しく適用します。
• AB間の距離と単振動の振幅の関係の誤解:
  • ありがちな誤解: (問3)でAB間の距離の最大変化量を、重心から見た片方の物体の振幅 \(d_G\) と混同してしまう（正しくは \(2d_G\)）。
  • 対策: AB間の距離は、ばねの自然長 \(l_0\) を基準に、AとBがそれぞれ重心からどれだけ変位するかで決まります。AとBが逆位相で対称に振動する場合、ばねの伸び縮みの最大は \(2d_G\) となります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • 球Cが静止しているAに衝突し、Aが勢いよく飛び出し、Cが静止する様子（速度交換）。
  • 動き出したAがばねを介して静止しているBを押し始め、ばねが縮んでいく様子。やがてBも動き出し、AとBがばねを伸縮させながら全体として右方向に移動していく様子。
  • この全体の運動の中で、AとBの重心Gは一定の速さでスーッと右に動いていくイメージ。
  • もし重心Gと一緒に動く乗り物に乗ってAとBを見ると、Gは止まって見え、AとBはGを挟んで互いに逆向きに同じように近づいたり遠ざかったりする振動（単振動）をしているように見える。
• 図示の重要性:
  • 衝突の前後での各球の速度ベクトルを図示することで、運動量の変化や保存が視覚的に理解しやすくなります。
  • 重心Gの位置と速度、そして重心系で見たときのA、Bの相対的な位置と速度、ばねの変形の様子を図示することが、複雑な運動を整理する上で非常に有効です。
  • (問4)のAの速度の時間変化を求める際には、重心の等速運動と重心から見たAの単振動の速度をグラフで合成するイメージを持つと理解しやすいです。
• 図を描く際の注意点:
  • 座標軸の原点と正の向きを明確に設定します（床に固定された静止系か、重心と共に動く重心系かなど）。
  • 各物体の変位を明確に定義します（例：床からの絶対位置か、重心からの相対位置か）。
  • ばねの自然長、現在の長さ、そして自然長からの伸びまたは縮みを区別して図中に示すと、弾性力の計算ミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動量保存則:
  • 選定理由: (問1)の衝突の瞬間や、(問2)以降のA-B系全体には水平方向の外力が働かない（または衝突の極短時間では外力の力積が無視できる）ため、それぞれの系で運動量が保存されると判断し適用しました。
• 弾性衝突の条件（エネルギー保存則または反発係数\(e=1\)）:
  • 選定理由（問1）: 問題文に「弾性衝突した」と明記されているため、運動エネルギーが保存されるか、または反発係数が1であるという関係式を運動量保存則と組み合わせて使用しました。
• 単振動の周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{m/K_{\text{実効}}}\)):
  • 選定理由（問3, コラムQ）: 重心座標系や相対座標系で見たときに、物体の運動方程式が \(m’a’ = -K_{\text{実効}}x’\) という復元力の形に整理できたため、単振動であると判断し、その周期を公式から求めました。\(K_{\text{実効}}\) はその系での実効的なばね定数、\(m\) は振動する物体の質量（または換算質量）です。
• 速度の合成則 (\(\vec{v}_{\text{絶対}} = \vec{v}_{\text{座標系}} + \vec{v}_{\text{相対}}\)):
  • 選定理由（問4）: 床から見たAの速度を求める際に、基準となる座標系（重心G）の速度と、その座標系から見たAの相対速度がそれぞれ分かっていたため、これらのベクトル和として絶対速度を求めました。
• 各物理公式が成り立つための「前提条件」（例：運動量保存なら外力の力積が無視できる、エネルギー保存なら保存力のみが仕事をするなど）を常に意識することが、物理法則を正しく適用するための鍵です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 衝突段階の解析: まず、AとCの衝突に限定し、運動量保存則と弾性衝突の条件（エネルギー保存または反発係数）を用いて、衝突直後のAとCの速度を決定します。
2. 重心運動の解析: 衝突後のAとBの速度（Bは初め静止）から、A-B系の重心の速度を運動量保存則（A-B系には外力が働かないため）を用いて求めます。重心速度が一定であることを確認します。
3. 相対運動（単振動）の解析: 重心座標系に移行します。重心から見たA（およびB）の初速度を計算します。ばねが実質的にどのように作用するか（例：重心で分割されてばね定数が2倍になる）を考察し、重心から見たA（またはB）の単振動の角振動数、周期、振幅を求めます。
4. 絶対運動への変換: 必要に応じて、重心座標系で得られた結果（例：相対速度）を、速度の合成則を用いて床固定座標系での記述（例：Aの絶対速度）に戻します。
5. 各物理量の計算: 上記のステップで得られた関係式やパラメータを用いて、問われている具体的な物理量（周期、距離の最小値・最大値、速度の関数など）を計算します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 速度の符号（向き）の一貫した取り扱い: 特に衝突の計算や相対速度の計算において、設定した正の向きに対して速度の符号を間違えないようにします。
  • 質量の使い分け: 衝突に関与する質量、単振動する質量（単体か、換算質量か）、重心運動を考える際の全質量などを正確に区別します（本問では全て等質量 \(m\) であったため、この点は比較的単純でした）。
  • ばね定数の実効的な値の判断: (問3)や(コラムQ)で、重心系や相対座標系で考えたときに、見かけ上のばね定数が \(2k\) となる点。これを誤ると周期や振幅がずれます。
  • 相対速度と絶対速度の混同や合成ミス: (問4)で床から見たAの速度を求める際に、重心速度と相対速度を正しく合成できるか。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 各ステップでどの物体（または系）に着目しているかを明確にする: 特に多体問題では、どの部分の運動方程式か、どの系のエネルギー保存かを常に意識します。
  • 座標系（床固定系、重心系、相対系など）を意識し、速度や変位の基準を明確にする: どの速度がどの基準で測られたものかを混同しないようにします。
  • 図を積極的に活用し、物理量を視覚的に捉える: 力のベクトル、速度のベクトル、変位などを図示することで、符号や向きの間違いを防ぎやすくなります。
  • 複雑な計算になる前に、文字を整理したり、既知の関係式を適切に代入したりする: 式の見通しを良くし、計算ミスを減らす工夫をします。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 特に複数の物理現象が絡み合う複雑な問題では、得られた結果が各段階で物理的に意味のあるものか、直感と大きく矛盾しないかなどを確認することが、計算ミスや立式の誤りを発見し、理解を深める上で不可欠です。
• 「解の吟味」を通じて具体的に何ができるか:
  • 衝突の結果の確認: (問1)で、もしCの質量がAと異なっていたら速度交換は起こらないが、運動量とエネルギーは保存されるはず、といった一般的な知識と照らし合わせます。
  • 重心速度の妥当性: (問2)で求めた重心速度 \(v_G = v_0/2\) は、衝突後のAとBの速度の範囲内にあり、かつ初期運動量を全質量で割ったものとして妥当かを確認します。
  • 単振動の周期の比較: (問3)や(コラムQ)で得られた周期が、もしばねが1本で質量\(m\)の物体が振動する場合の周期 \(2\pi\sqrt{m/k}\) と比べてどう違うか、その理由は実効的なばね定数や振動に関わる質量（換算質量など）の違いで説明できるか、などを考えます。本問では実効的なばね定数が \(2k\) になるため周期が短くなっています。
  • AB間の距離の物理的制約の確認: (問3)で求めた距離の最小値 \(l_1\) が負にならないか（物理的にありえない）、ばねが極端に圧縮されるような状況になっていないかなどを確認します。\(l_1\) は \(l_0\) より小さく、\(l_2\) は \(l_0\) より大きくなるはずです。
  • Aの速度の時間変化の検証: (問4)で得られた \(v_A(t)\) の式に、\(t=0\) や、単振動の周期に関連する特徴的な時刻（例：\(t=T_G/2\) で \(v_A(t)=0\) となるか）などを代入して、物理的な状況と矛盾しないかを確認します。

問題39 (名古屋市立大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ゴムひもでつながれた2つの小球の運動を、様々な条件下で考察するものです。ゴムひもは「ゆるむと力を生じない」という特性を持つため、運動のフェーズによって働く力が変わる点に注意が必要です。単振動、自由落下、投げ上げ運動、そして2体問題としての重心の運動や相対運動など、多岐にわたる物理概念が関わってきます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、ゴムひもの特性を考慮した「単振動」および「鉛直方向の運動（自由落下、投げ上げ）」、そして2体問題における「重心の運動」と「相対運動」が複雑に絡み合っています。各設問の状況設定を正確に把握し、適切な物理法則を適用していくことが重要です。

(準備)

（問1の前に、問題文の初期設定における \(k, m, g, L, x_0\) の関係を整理します。）

問(1)

思考の道筋とポイント
小球Pは点Bで静止しているので、Pに働く力はつり合っています。Pに働く力は、重力（下向き）とゴムひもの弾性力（上向き）です。この力のつり合いから、ゴムひもの伸び \(x_0\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• Pは静止しているので、力のつり合いが成立します。
• ゴムひもの伸びが \(x_0\) なので、弾性力の大きさは \(kx_0\) です。
• Pに働く重力は \(mg\) です。

具体的な解説と立式
小球P（質量\(m\)）に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、鉛直上向きのゴムひもの弾性力 \(kx_0\) です。
点Bで静止しているため、これらの力がつり合っています。したがって、力のつり合いの式は、
$$kx_0 = mg \quad \cdots ①$$

式①からゴムひもの自然長からの伸び \(x_0\) を求めます。
$$x_0 = \frac{mg}{k}$$

おもりPがゴムひもで吊るされて静止しているとき、おもりを下に引っ張る「重力」と、ゴムひもが伸びておもりを上に引っ張り返そうとする「弾性力」がちょうど等しくなっています。この力のバランスの式から、ゴムひもがどれだけ伸びているか(\(x_0\))を計算します。

ゴムひもの自然長からの伸び\(x_0\)は、\(x_0 = \displaystyle\frac{mg}{k}\) です。
これは鉛直ばね振り子のつり合いの伸びと同じ形であり、おもりの質量が大きいほど、またゴムが柔らかい（\(k\)が小さい）ほど、伸びが大きくなることを示しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
PをQの位置（天井の位置、つまりゴムひもが自然長 \(L\) になるPの初期位置）まで持ち上げて静かに放すので、Pは初速度0で落下を始めます。
Pの位置が自然長位置A（天井から \(L\) 下方の位置）に達するまでは、ゴムひもはゆるんでおり力を及ぼさないため、Pは自由落下をします。位置Aを通過した後、Pがさらに下に進むとゴムひもが伸び始め、弾性力が上向きに働くようになります。
Pの速さが最大になるのは、Pに働く力の合力が0になる位置、すなわち力のつり合いの位置です。このつり合いの位置は、問(1)で求めた点B（自然長位置Aから \(x_0\) だけ下の位置）です。
天井を重力ポテンシャルエネルギーの基準とし、つり合い位置Bでの速さを求めるのが一つの方法です。モデル解答では、天井から位置Bまで直接力学的エネルギー保存則を適用する別解と、自由落下区間と単振動区間のエネルギーを考える方法の二つが示唆されています。

この設問における重要なポイント

• PはQの位置（天井）から初速0で運動開始。
• 天井から自然長位置A（距離\(L\)）までは自由落下。
• 自然長位置Aより下では、ゴムひもが伸びて弾性力が働く。
• 速さが最大になるのは、力のつり合いの位置（振動中心）、すなわち点B（自然長位置Aから\(x_0\)だけ下の位置）。
• 力学的エネルギー保存則を適用する。

具体的な解説と立式
天井を重力による位置エネルギーの基準点(\(y=0\))とし、鉛直下向きを\(y\)軸の正とします。
Pの初期位置は \(y=0\)（Qの位置＝天井）、初速度は \(0\)。
自然長位置Aは \(y=L\)。つり合い位置Bは \(y=L+x_0\)。
速さが最大になるのは、つり合い位置B (\(y=L+x_0\)) です。この位置での速さを\(v_{\text{max}}\)とします。
天井から位置Bまでの力学的エネルギー保存則を考えます。
初期状態（天井 \(y=0\)、速さ0）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\) は、(ゴムひもは自然長なので弾性エネルギーも0として)
$$E_{\text{初}} = \frac{1}{2}m(0)^2 + mg(0) = 0$$
速さが最大となるつり合い位置B (\(y=L+x_0\)、速さ\(v_{\text{max}}\)）での力学的エネルギー \(E_B\) は、運動エネルギー、重力ポテンシャルエネルギー、ゴムひもの弾性エネルギーの和です。位置Bではゴムひもの伸びが\(x_0\)なので、
$$E_B = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 + mg(-(L+x_0)) + \frac{1}{2}kx_0^2$$
（重力ポテンシャルエネルギーは天井基準なので、\(y\)だけ下の位置では \(-mgy\) となります。）
力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_B\) より、
$$0 = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 – mg(L+x_0) + \frac{1}{2}kx_0^2$$
変形して、
$$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = mg(L+x_0) – \frac{1}{2}kx_0^2 \quad \cdots ②$$
（これは、モデル解答の別解の式 \(mg(L+x_0) = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 + \frac{1}{2}kx_0^2\) と実質的に同じです。モデル解答では、重力ポテンシャルエネルギーの減少分が運動エネルギーと弾性エネルギーの増加分に等しい、という観点で立式しています。）

式②に、問(1)の結果 \(kx_0 = mg\) (つまり \(mg = kx_0\)) を代入します。
$$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = mgL + mgx_0 – \frac{1}{2}kx_0^2$$
ここで \(mgx_0\) の部分に \(kx_0^2\) を代入すると、
$$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = mgL + kx_0^2 – \frac{1}{2}kx_0^2$$
$$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = mgL + \frac{1}{2}kx_0^2$$
\(x_0 = \displaystyle\frac{mg}{k}\) を代入すると、
$$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = mgL + \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = mgL + \frac{1}{2}k\frac{m^2g^2}{k^2} = mgL + \frac{m^2g^2}{2k}$$
両辺を \(\frac{m}{2}\) で割ると、
$$v_{\text{max}}^2 = 2gL + \frac{mg^2}{k}$$
したがって、\(v_{\text{max}}\) は（速さは正なので）、
$$v_{\text{max}} = \sqrt{2gL + \frac{mg^2}{k}}$$

おもりPを一番上（天井の位置）から静かに放すと、最初はゴムひもがゆるんでいるので重力だけで自由落下します。ゴムひもが自然の長さに達した位置Aである程度の速さになっています。
位置Aより下にいくとゴムひもが伸び始めてPを上に引く力が働きだします。Pの速さが最大になるのは、このゴムひもがPを引く力とPにはたらく重力がちょうどつり合う位置Bです（ここが振動の中心になります）。
天井からこの位置Bまで落ちる間に、エネルギーは保存されます。最初に天井で持っていた位置エネルギー（運動エネルギーはゼロ、ゴムのエネルギーもゼロ）が、位置Bでは運動エネルギーとゴムの弾性エネルギー、そして（天井を基準とした）位置エネルギーに変わります。このエネルギー保存の関係から、位置Bでの速さ（これが最大速度）を計算します。

Pの速さの最大値 \(v_{\text{max}}\) は \(v_{\text{max}} = \sqrt{2gL + \displaystyle\frac{mg^2}{k}}\) です。
この式は、自由落下で得る運動エネルギーの項 (\(2gL\)) と、つり合い位置までさらに下がることで弾性力と重力のバランスから生じる運動エネルギーの項 (\(mg^2/k\)) の和の平方根となっています。\(\sqrt{2gL}\) は自然長Aでの速さの2乗に、\(mg^2/k\) は \(kx_0^2/m\) に相当し、これらはそれぞれエネルギーの次元を持っています。

問(3)

思考の道筋とポイント
Pは位置B（つり合い位置、自然長からの伸び \(x_0\)）で最大速度 \(v_{\text{max}}\) を持ち、ここを中心として単振動を行います（ただし、単振動の上端は自然長位置Aとは限りません。Aより上でゴムがゆるむため）。最下点は、この単振動の下の端です。
振動中心（位置B）からの振幅を \(A\) とすると、最下点でのゴムひもの伸び \(x_1\) は \(x_0 + A\) となります。
振幅 \(A\) は、単振動のエネルギー保存則から求めることができます。振動中心Bでの運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\) が、振動の端（最下点）ではすべて弾性エネルギー（と重力ポテンシャルエネルギーの変化分を考慮した単振動の位置エネルギー）に変わります。
より具体的には、つり合い位置Bを基準とした単振動のエネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2}kA^2\) を用います。

この設問における重要なポイント

• Pはつり合い位置B (\(y=L+x_0\)) を中心として単振動を行う。
• 最下点は単振動の下の端。
• 振動中心からの振幅 \(A\) は、\(v_{\text{max}} = A\omega\) の関係（\(\omega = \sqrt{k/m}\)）からも求められるし、エネルギー保存からも求められる。
• 最下点でのゴムひもの自然長からの総伸び \(x_1\) は、つり合い位置での伸び \(x_0\) に振幅 \(A\) を加えたもの (\(x_1 = x_0 + A\))。

具体的な解説と立式
Pは、つり合い位置B（自然長位置Aから \(x_0\) だけ下の位置）を中心として単振動を行います。この単振動の振幅を \(A\) とします。
問(2)で求めた最大速度 \(v_{\text{max}}\) は、振動中心Bでの速さです。単振動のエネルギー保存則（つり合い位置Bをポテンシャルエネルギーの基準とする。このポテンシャルは弾性力と重力の合力によるもの）より、振動中心での運動エネルギーが、振動の端でのポテンシャルエネルギーに等しくなります。
$$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2}kA^2 \quad \cdots ③$$
（ここで \(k\) はゴムひもの弾性定数です。）
この式から振幅 \(A\) を求めます。
最下点では、Pはつり合い位置Bから \(A\) だけ下に進むので、ゴムひもの自然長からの総伸び \(x_1\) は、
$$x_1 = x_0 + A \quad \cdots ④$$
別解: 天井から最下点までのエネルギー保存
天井を重力ポテンシャルエネルギーの基準(\(y=0\))とし、鉛直下向きを\(y\)軸の正とします。
Pを放した初期位置は \(y=0\)、初速0。初期の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}=0\)。
最下点でのPの位置を \(y_1 = L+x_1\)、このとき速さは0。ゴムひもの伸びは \(x_1\)。
最下点での力学的エネルギー \(E_{\text{最下点}}\) は、
$$E_{\text{最下点}} = \frac{1}{2}m(0)^2 + mg(-(L+x_1)) + \frac{1}{2}kx_1^2$$
力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{最下点}}\) より、
$$0 = -mg(L+x_1) + \frac{1}{2}kx_1^2$$
すなわち、
$$mg(L+x_1) = \frac{1}{2}kx_1^2 \quad \cdots ⑤_{\text{別解}}$$

まず、式③から振幅 \(A\) を求めます。
$$A^2 = \frac{m}{k}v_{\text{max}}^2$$
$$A = v_{\text{max}}\sqrt{\frac{m}{k}}$$
問(2)で求めた \(v_{\text{max}}^2 = 2gL + \displaystyle\frac{mg^2}{k}\) を代入します。
$$A = \sqrt{\left(2gL + \frac{mg^2}{k}\right)\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{2mgL}{k} + \frac{m^2g^2}{k^2}}$$
ここで、\(x_0 = mg/k\) の関係を用いると、ルートの中は \(\left(\frac{mg}{k}\right)^2 \left(\frac{2kL}{mg} + 1\right)\) と書けるので、
$$A = \frac{mg}{k}\sqrt{1 + \frac{2kL}{mg}}$$
これを式④ \(x_1 = x_0 + A\) に代入します。\(x_0 = mg/k\) なので、
$$x_1 = \frac{mg}{k} + \frac{mg}{k}\sqrt{1 + \frac{2kL}{mg}}$$
$$x_1 = \frac{mg}{k}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2kL}{mg}}\right)$$
これはモデル解答と一致します。

別解の計算過程:
式⑤\(_{\text{別解}}\) \(mg(L+x_1) = \displaystyle\frac{1}{2}kx_1^2\) は \(x_1\) についての2次方程式です。
$$kx_1^2 – 2mgx_1 – 2mgL = 0$$
解の公式を用いて \(x_1\) を求めます（\(x_1 > 0\)）。
$$x_1 = \frac{-(-2mg) \pm \sqrt{(-2mg)^2 – 4k(-2mgL)}}{2k} = \frac{2mg \pm \sqrt{4m^2g^2 + 8kmgL}}{2k}$$
$$x_1 = \frac{2mg \pm 2\sqrt{m^2g^2 + 2kmgL}}{2k} = \frac{mg \pm \sqrt{m^2g^2(1 + \frac{2kmgL}{m^2g^2})}}{k}$$
$$x_1 = \frac{mg}{k} \left(1 \pm \sqrt{1 + \frac{2kL}{mg}}\right)$$
物理的に \(x_1\) はつり合いの伸び \(x_0 = mg/k\) よりも大きくなければならないので、\(+\) の符号を選びます。
$$x_1 = \frac{mg}{k}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2kL}{mg}}\right)$$
これは最初の解法の結果と一致します。

おもりPは、つり合いの位置Bを中心にして振動します。一番上（天井）から放されたPは、つり合いの位置Bで最も速くなり、その後さらに下に下がって一瞬止まります。この止まる位置が「最下点」です。
「つり合いの位置Bから最下点までの距離」が、この単振動の振幅 \(A\) です。最下点でのゴムひもの全体の伸び \(x_1\) は、「つり合い位置Bでの伸び \(x_0\)」に「振幅 \(A\)」を足したものになります。
振幅 \(A\) は、つり合いの位置Bでの運動エネルギーが、振動の端（最下点）ではすべてゴムひもの弾性エネルギー（の増加分、つり合い位置を基準として）に変わるというエネルギーの関係から計算できます。

Pが最下点に達したとき、ゴムひもの自然長からの伸び \(x_1\) は \(x_1 = \displaystyle\frac{mg}{k}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2kL}{mg}}\right)\) です。
この \(x_1\) は、つり合いの伸び \(x_0 = mg/k\) よりも大きい値です。特に \(L=0\) の場合は \(x_1 = 2mg/k = 2x_0\) となり、これは自然長位置Aから静かに放した場合、つり合い位置Bを中心として振幅 \(x_0\) で単振動し、最下点では伸びが \(2x_0\) となることと一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
Pの運動は、いくつかの区間に分けられます。
1. 天井（Qの位置）から自然長位置Aまで: 距離 \(L\) の自由落下。
2. 自然長位置Aからつり合い位置Bまで: 単振動の一部。問題文でこの時間が \(t_0\) と与えられています。
3. つり合い位置Bから最下点まで: 単振動の中心から端までの運動なので、単振動の周期を \(T_{\text{SHM}}\) とすると、\(T_{\text{SHM}}/4\) の時間がかかります。
Pは「同じ運動を繰り返す」ので、天井まで戻り、そこから再び同じ運動を始めると考えられます。したがって、周期 \(T\) は、天井 \(\rightarrow\) A \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) 最下点 \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) A \(\rightarrow\) 天井、という1サイクルの時間です。
この運動の対称性を利用すると、周期 \(T\) は片道の時間の2倍になります。

この設問における重要なポイント

• Pの運動は、自由落下（または投げ上げ）区間と、単振動区間に分けられます。
• 周期Tは、これらの区間の時間の合計の往復分です。
• 自由落下時間 \(t_1\) は \(L = \frac{1}{2}gt_1^2\) から求めます。
• 単振動の周期 \(T_{\text{SHM}} = 2\pi\sqrt{m/k}\)。つり合い位置Bから最下点（または上端Aまでではない、もしAが端なら）までの時間は \(T_{\text{SHM}}/4\)。
• 問題文で与えられた \(t_0\)（AからBまでの時間）も利用します。

具体的な解説と立式
Pの運動の1サイクルは、天井から出発し、最下点を経て再び天井に戻るまでです。この運動は対称的なので、片道の時間を計算して2倍することで周期 \(T\) を求めます。
片道の運動は以下の部分から構成されます。
1. 天井（Qの位置）から自然長位置Aまで: 距離 \(L\) の自由落下。かかる時間を \(t_1\) とすると、
$$L = \frac{1}{2}gt_1^2 \quad \text{より} \quad t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g}}$$
2. 自然長位置Aからつり合い位置Bまで: この時間は問題文で \(t_0\) と与えられています。
3. つり合い位置Bから最下点まで: これは単振動の中心から端までの運動なので、単振動の周期を \(T_{\text{SHM}}\) とすると、\(T_{\text{SHM}}/4\) の時間がかかります。Pの質量は \(m\)、ゴムひもの弾性定数は \(k\) なので、単振動の周期 \(T_{\text{SHM}}\) は、
$$T_{\text{SHM}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
よって、Bから最下点までの時間は \(\frac{1}{4}T_{\text{SHM}} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\)。

全体の周期 \(T\) は、これらの片道の時間の合計の2倍です。
$$T = 2 \times \left(t_1 + t_0 + \frac{T_{\text{SHM}}}{4}\right)$$
$$T = 2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} + t_0 + \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\right) \quad \cdots ⑦$$

（式⑦が求める周期 \(T\) を表しています。これ以上の計算は、各項を具体的に求めることになりますが、設問は \(t_0\) を用いた形で求めているので、これで完了です。）

おもりPの運動は、いくつかの部分に分けられます。
1. 一番上（天井）からゴムひもが自然長になる位置Aまで：この間はゴムひもがゆるんでいるので、ただの自由落下です。かかる時間を \(t_1\) とします。
2. 位置Aからつり合いの位置Bまで：この間は単振動の一部で、問題文で時間が \(t_0\) と与えられています。
3. つり合いの位置Bから一番下の点（最下点）まで：これも単振動の一部で、中心から端までの動きなので、単振動の1周期の \(1/4\) の時間がかかります。
Pはこの動きを往復するので（最下点 \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) A \(\rightarrow\) 天井）、全体の周期 \(T\) は、これらの各区間の時間を合計して2倍したものになります。

Pの運動の周期 \(T\) は \(T = 2\left(\sqrt{\displaystyle\frac{2L}{g}} + t_0 + \displaystyle\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\right)\) です。
この式は、自由落下区間、単振動の区間（\(t_0\)で与えられた部分と、中心から端までの\(T_{\text{SHM}}/4\)の部分）の時間を組み合わせたものであり、それぞれの区間の運動特性を正しく反映しています。

問(5)

思考の道筋とポイント
1. Pの状態の特定: Pが最下点から上昇し、自然長位置Aに達した瞬間のPの速さ \(v_P\) が必要です。これは、問(2)で考えた運動の対称性から、Pが天井から自由落下してAに達したときの速さと同じで、上向きになります。
2. Qの運動開始: この瞬間にQは天井の位置で静かに解放されるので、初速0の自由落下を始めます。
3. Pの運動（Q解放後）: Pは自然長位置Aを上向きの初速 \(v_P\) で通過した後、ゴムひもがゆるむため、重力のみを受けて鉛直投げ上げ運動をします。
4. 衝突条件: PとQが衝突するのは、両者の天井からの距離が等しくなったときです。モデル解答では、Qから見たPの相対運動に注目しています。QもPも重力加速度 \(g\) で運動するため（Pは投げ上げ、Qは自由落下）、相対加速度は0です。つまり、Qから見るとPは等速直線運動をするように見えます。

この設問における重要なポイント

• Pが自然長位置Aに達した瞬間の、Pの上向きの速さを正確に求めること。これは天井からAまで自由落下した速さと同じです。
• Q解放後、Pは投げ上げ運動、Qは自由落下。両者の加速度はともに鉛直下向きに \(g\)。
• Qから見たPの相対加速度は0なので、Qから見たPの相対速度は一定です。
• 衝突は、Qから見たPが初期のPとQの間の距離（この場合は \(L\)）を、この一定の相対速度で進んだときに起こります。

具体的な解説と立式
Pが最下点から上昇し、自然長位置Aに達したときの上向きの速さ \(v_P\) は、天井からAまで自由落下したときの速さに等しく、\(v_P = \sqrt{2gL}\) です（問(2)の式③ \(v_A = \sqrt{2gL}\) と同じ。ここでは \(v_P\) と記述）。

この瞬間（これを新しい時刻の基準 \(t’=0\) とします）、Qは天井（\(y_Q=0\)）で静かに解放され（初速0）、Pは自然長位置A（天井から \(L\) 下方、\(y_P=L\)）で上向きに速さ \(v_P\) を持ちます。鉛直上向きを正の向きとして座標を取り直すと、Pの初速度は \(+v_P\)、Qの初速度は \(0\)。Pの初期位置は \(y_P(0)=-L\)、Qの初期位置は \(y_Q(0)=0\)（天井を原点、下向きを正とした場合。モデル解答に合わせて下向きを正とします）。
天井を原点、鉛直下向きを正とすると、
Qの初期位置: \(y_Q(0) = 0\), Qの初速度: \(v_{Qy}(0) = 0\)。
Pの初期位置: \(y_P(0) = L\), Pの初速度: \(v_{Py}(0) = -v_P = -\sqrt{2gL}\) (上向きなので負)。

Qから見たPの相対運動を考えます。
Qの加速度: \(a_{Qy} = g\) （下向き）
Pの加速度（ゴムひもがゆるんでいる間）: \(a_{Py} = g\) （下向き）
Qから見たPの相対加速度 \(a_{PQy} = a_{Py} – a_{Qy} = g – g = 0\)。
したがって、Qから見るとPは等速直線運動をします。
Qから見たPの相対初速度 \(v_{PQy}(0) = v_{Py}(0) – v_{Qy}(0) = -v_P – 0 = -v_P = -\sqrt{2gL}\)。
これは、Qから見てPが上向き（負の向き）に速さ \(v_P\) で近づいてくることを意味します。
初期のPとQの間の距離は \(L\) です（Pが \(y=L\)、Qが \(y=0\)）。
衝突までの時間 \(t’_{\text{衝突}}\) は、この距離 \(L\) を相対速度の大きさ \(v_P\) で進む時間なので、
$$t’_{\text{衝突}} = \frac{L}{v_P} = \frac{L}{\sqrt{2gL}} = \sqrt{\frac{L^2}{2gL}} = \sqrt{\frac{L}{2g}} \quad \cdots ⑧$$
この間にQが落下する距離が、衝突位置の天井からの距離 \(d\) になります。Qは初速0で自由落下するので、
$$d = \frac{1}{2}g(t’_{\text{衝突}})^2 \quad \cdots ⑨$$

式⑧で求めた衝突時間 \(t’_{\text{衝突}} = \sqrt{\displaystyle\frac{L}{2g}}\) を式⑨に代入します。
$$d = \frac{1}{2}g\left(\sqrt{\frac{L}{2g}}\right)^2$$
$$d = \frac{1}{2}g\left(\frac{L}{2g}\right)$$
$$d = \frac{L}{4}$$

おもりPが一番下まで行った後、再び上昇してきて、ゴムひもが自然の長さに戻る位置Aに達した瞬間を考えます。このときのPの速さは、実は最初に天井からAまで自由落下したときの速さと同じです（エネルギーが保存されるため）。
この瞬間に、天井に固定されていたQを静かに放します。すると、Qは真下に自由落下を始め、Pは真上に投げ上げられたような運動をします（ゴムひもがたるんでいるので、ゴムからの力は働きません）。
QからPを見ると、面白いことに、Pは一定の速さでQに近づいてくるように見えます。なぜなら、QもPも同じ重力加速度で運動しているため、お互いから見た加速度はゼロになるからです（相対加速度がゼロ）。
最初PとQは \(L\) だけ離れているので、この距離をQから見たPの速さ（相対速度）で割れば、衝突するまでの時間がわかります。
その時間だけQが自由落下した距離が、天井から測った衝突位置までの距離になります。

PとQが衝突する位置の天井からの距離 \(d\) は \(\displaystyle\frac{L}{4}\) です。
衝突までの時間は \(t’_{\text{衝突}} = \sqrt{L/(2g)}\)。この間にQが落下する距離は \((1/2)g(L/(2g)) = L/4\)。
同じ時間でPが上昇する距離は \(v_P t’_{\text{衝突}} – (1/2)g(t’_{\text{衝突}})^2 = \sqrt{2gL} \sqrt{L/(2g)} – L/4 = L – L/4 = 3L/4\)。Pの初期位置は天井から \(L\) 下方なので、衝突時のPの天井からの距離は \(L – 3L/4 = L/4\)。
よって、PとQは同じ位置（天井から \(L/4\) の距離）で衝突することが確認でき、結果は妥当です。

問(6)

思考の道筋とポイント
初めのつり合い状態（Pは位置B、Qは天井）に戻し、Qを静かに解放すると、PとQは初速0で共に落下を始めます。
このPとQからなる系に働く外力は、PとQそれぞれの重力のみです（ゴムひもの力は内力）。したがって、系の重心Gは、重力加速度\(g\)で鉛直下向きに加速度運動をします（初速0なので、自由落下と同じ運動）。
重心Gと共に動く観測者（重心系）から見ると、PとQにはそれぞれ上向きに大きさ \(mg\) の慣性力が働くように見え、これがそれぞれの重力 \(mg\)（下向き）と（見かけ上）打ち消し合います。その結果、重心系ではPとQはゴムひもの弾性力のみによって、重心Gに対して対称な運動をすると考えられます。
PとQの質量が等しいので、重心Gは常にPとQの中点にあります。
初期状態では、ゴムひもは \(x_0\) だけ伸びています。重心系で考えると、PとQはそれぞれ重心Gから \(x_0/2\) だけ離れた位置から、相対的に動き始めます。ゴムひも全体が自然長に戻ろうとする運動は、重心系ではそれぞれの球が実効的なばね定数 \(2k\) のばねで振動する運動（の最初の部分）と見なせます。
PとQが衝突するのは、AB間の距離が0になるとき、つまり重心Gの位置で衝突します。
運動は2段階に分けられます：
1. ゴムひもが伸びている状態から自然長に戻るまで：重心Gに対してP（またはQ）が単振動の一部を行う。
2. ゴムひもが自然長に戻った後（ゆるんだ後）：PとQは重心Gに対して弾性力が働かないため、それぞれ等速で重心Gに向かって進み衝突する。

この設問における重要なポイント

• PとQを一つの系として考え、その重心Gの運動をまず把握します（重心は加速度\(g\)で落下）。
• 重心Gと共に動く座標系（重心系）からPとQの相対運動を見ます。
• 重心系では、慣性力によって重力が見かけ上打ち消され、PとQはゴムひもの弾性力だけで運動するように見えます。
• PとQの質量が等しいので、重心Gは常にPとQの中点にあります。
• ゴムひもが伸びている間は、PとQはそれぞれ実効的なばね定数\(2k\)の「半分のゴムひも」で重心Gに対して単振動（の一部）をします。このときの初期変位は重心Gから見て \(x_0/2\) です。
• ゴムひもが自然長に戻った後は、PとQは重心Gに対して（弾性力がなくなるので）それぞれ等速で近づき、重心Gの位置で衝突します。

具体的な解説と立式
重心Gは初速0、加速度\(g\)で鉛直下向きに落下します。
重心系で考えると、PとQは重力と慣性力が相殺し、ゴムひもの弾性力のみで運動するように見えます。
初期状態（Q解放直後）では、ゴムひも全体の伸びは \(x_0\) です。PとQの質量が等しいので、重心GはPとQの中点にあり、PはGから見て \(x_0/2\) だけ下に、QはGから見て \(x_0/2\) だけ上にあります。
重心Gから見ると、P（またはQ）は、自然長 \(L/2\)、ばね定数 \(2k\) のゴムひもによって、初期変位（伸び）が \(x_0/2\) の位置から動き始めると考えられます。この運動は単振動の一部です。この単振動の角振動数 \(\omega_G\) は、問(3)と同様に \(\omega_G = \sqrt{2k/m}\) です。
P（またはQ）が重心Gに対して初期変位 \(x_0/2\)（これがこの単振動の端に相当）から振動中心（重心Gからの変位0、つまりゴムひもが自然長\(L/2\)の状態）に達するまでの時間 \(t_{\text{単振動}}\) は、この単振動の周期の \(1/4\) です。
$$t_{\text{単振動}} = \frac{1}{4} T_G = \frac{1}{4} \left(2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$$
このとき、PとQはそれぞれ重心Gに対して速さ \(u_G\) を持ちます。この \(u_G\) は、この単振動の最大速度であり、
$$u_G = (\text{振幅}) \times \omega_G = \frac{x_0}{2}\sqrt{\frac{2k}{m}}$$
ゴムひもが自然長 (\(L\)) に戻った後（つまり、PとQがそれぞれ重心Gに \(u_G\) の速さで向かっている状態）、ゴムひもはゆるみ、弾性力は働かなくなります。PとQは重心Gに対してそれぞれ等速 \(u_G\) で近づいていき、重心Gの位置で衝突します。
このとき、P（またはQ）が重心Gに達するまでの距離は \(L/2\) です（ゴムひも全体の自然長が \(L\) で、Gが中点なので）。
この等速運動にかかる時間 \(t_{\text{等速}}\) は、
$$t_{\text{等速}} = \frac{L/2}{u_G}$$
PとQが衝突するまでの全時間 \(T_{PQ}\) は、単振動部分の時間と等速運動部分の時間の和です。
$$T_{PQ} = t_{\text{単振動}} + t_{\text{等速}} \quad \cdots ⑩$$

まず、\(u_G\) を \(x_0 = mg/k\) （問(1)の結果）を用いて表します。
$$u_G = \frac{x_0}{2}\sqrt{\frac{2k}{m}} = \frac{mg}{2k}\sqrt{\frac{2k}{m}} = \frac{g}{2}\sqrt{\frac{m^2 \cdot 2k}{k^2 \cdot m}} = \frac{g}{2}\sqrt{\frac{2m}{k}} = g\sqrt{\frac{m}{2k}}$$
次に、各時間を計算します。
$$t_{\text{単振動}} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}$$
$$t_{\text{等速}} = \frac{L/2}{u_G} = \frac{L/2}{g\sqrt{m/(2k)}} = \frac{L}{2g}\sqrt{\frac{2k}{m}} = \frac{L}{g}\sqrt{\frac{k}{2m}}$$
したがって、式⑩より、衝突までの全時間 \(T_{PQ}\) は、
$$T_{PQ} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}} + \frac{L}{g}\sqrt{\frac{k}{2m}}$$

PとQを同時につり合いの状態から手を放すと、両方とも下に落ち始めます。このとき、2つの球の「重心G」も一緒に落ちていきます（加速度は重力加速度\(g\)です）。
もし、この落ちていく重心Gと一緒に動く人がPとQの運動を見ると、PとQには下向きの重力が働いていますが、観測者自身も同じように下に加速しているので、PとQには上向きの「慣性力」が働いているように見え、これが重力とちょうど打ち消し合います。その結果、この人から見ると、PとQはまるで重力がない空間でゴムひもの力だけで運動しているように見えます。
最初、ゴムひもは \(x_0\) だけ伸びています。PとQは重心Gに対して対称的なので、それぞれ \(x_0/2\) だけGから離れた位置から動き始めます。ゴムひもが自然の長さ(\(L\))に戻ろうとする運動は、Gから見るとP（またはQ）が「半分の長さで硬さ2倍のゴムひも」につながれた単振動（の最初の1/4周期）をします。
ゴムひもが自然長に戻った後は、PとQを引く力がなくなり、それぞれGに向かって一定の速さで進み、Gの位置で衝突します。
これら2つの運動（単振動の一部と等速運動）にかかる時間を合計したものが、衝突までの時間になります。

解放してからPとQが衝突するまでの時間 \(T_{PQ}\) は \(T_{PQ} = \displaystyle\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}} + \frac{L}{g}\sqrt{\frac{k}{2m}}\) です。
第1項は、重心周りの単振動でゴムひもが自然長に戻るまでの時間（\(1/4\)周期）であり、実効的なばね定数\(2k\)と質量\(m\)に基づいています。第2項は、ゴムひもがゆるんだ後、P（またはQ）が重心まで距離 \(L/2\) を、単振動の最大速度に相当する速さ \(u_G\) で等速で進む時間です。各項がそれぞれ物理的な意味を持っており、妥当な結果と考えられます。

【コラム】Q1. (6)で、PとQが衝突する位置はどこか。天井からの距離Dを答えよ。

思考の道筋とポイント
問(6)で、PとQが衝突するまでの時間 \(T_{PQ}\) を求めました。この間に、系の重心Gは初速0、加速度\(g\)で自由落下しています。PとQの質量は等しいため、衝突は常に重心Gの位置で起こります（PとQが重心に対して対称的に運動し、重心で出会うため）。
したがって、\(T_{PQ}\) の時間だけ重心Gが落下した距離を求め、それに重心Gの初期位置（Qを解放した瞬間のPとQの中点）の天井からの距離を加えることで、衝突位置の天井からの距離\(D\)が求まります。

この設問における重要なポイント

• 衝突は系の重心Gの位置で起こります（PとQの質量が等しいため、重心は常にPとQの中点）。
• 重心Gは初速0、加速度\(g\)で自由落下します。
• 衝突時刻 \(T_{PQ}\) における重心Gの天井からの位置を求めます。

具体的な解説と立式
重心Gの初期位置（Q解放時、\(t=0\)）の天井からの距離を \(y_{G0}\) とします。
Qは天井（位置 \(y=0\)）にあり、Pはつり合い位置B（天井からの距離 \(L+x_0\)) にあります。PとQの質量は等しいので、重心Gの初期位置はPとQの中点です。
$$y_{G0} = \frac{0 + (L+x_0)}{2} = \frac{L+x_0}{2}$$
重心Gは、初速0、加速度\(g\)で \(T_{PQ}\) の時間だけ自由落下します。したがって、\(T_{PQ}\) 後に重心Gが落下した距離 \(\Delta y_G\) は、
$$\Delta y_G = \frac{1}{2}g T_{PQ}^2$$
衝突位置の天井からの距離 \(D\) は、重心Gの初期位置にこの落下距離を加えたものになります。
$$D = y_{G0} + \Delta y_G = \frac{L+x_0}{2} + \frac{1}{2}g T_{PQ}^2 \quad \cdots (Q1-1)$$
ここに、問(1)で求めた \(x_0 = \displaystyle\frac{mg}{k}\) と、問(6)で求めた \(T_{PQ} = \displaystyle\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}} + \frac{L}{g}\sqrt{\frac{k}{2m}}\) を代入します。

式(Q1-1)に \(x_0 = \displaystyle\frac{mg}{k}\) と \(T_{PQ} = \displaystyle\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}} + \frac{L}{g}\sqrt{\frac{k}{2m}}\) を代入します。
$$D = \frac{1}{2}\left(L+\frac{mg}{k}\right) + \frac{1}{2}g\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}} + \frac{L}{g}\sqrt{\frac{k}{2m}}\right)^2$$
\(T_{PQ}^2\) の項を展開します:
\( \left(\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}} + \frac{L}{g}\sqrt{\frac{k}{2m}}\right)^2 = \left(\frac{\pi^2}{4}\frac{m}{2k}\right) + 2\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}\right)\left(\frac{L}{g}\sqrt{\frac{k}{2m}}\right) + \left(\frac{L^2}{g^2}\frac{k}{2m}\right) \)
\( = \frac{\pi^2 m}{8k} + \frac{\pi L}{g}\sqrt{\frac{m}{2k}\frac{k}{2m}} + \frac{L^2 k}{2mg^2} = \frac{\pi^2 m}{8k} + \frac{\pi L}{2g} + \frac{L^2 k}{2mg^2} \)
これを \(D\) の式に代入して \(\frac{1}{2}g\) を掛けます。
$$D = \frac{L}{2} + \frac{mg}{2k} + \frac{g}{2}\left( \frac{\pi^2 m}{8k} + \frac{\pi L}{2g} + \frac{L^2 k}{2mg^2} \right)$$
$$D = \frac{L}{2} + \frac{mg}{2k} + \frac{\pi^2 mg}{16k} + \frac{\pi L}{4} + \frac{L^2 k}{4mg}$$
\(L\) の項と \(\frac{mg}{k}\) の項でまとめると、
$$D = L\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{mg}{k}\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{16}\right) + \frac{kL^2}{4mg}$$
$$D = \frac{2+\pi}{4}L + \frac{8+\pi^2}{16}\frac{mg}{k} + \frac{kL^2}{4mg}$$
これはQの答えの模範解答と一致します。

おもりPとQが衝突するのは、2つの物体の「重心G」の位置です（PとQは同じ質量なので、Gは常にPとQのちょうど真ん中にあります）。
Qを放した瞬間、PとQの重心Gも初めの位置から下に落ち始めます。この重心Gは、ただの自由落下と同じように、重力加速度 \(g\) で加速しながら落ちていきます。
問(6)でPとQが衝突するまでの時間を計算したので、その時間だけ重心Gがどれだけ下に落ちたかを計算します。重心Gが最初にあった高さ（天井からの距離）に、この落ちた距離を足せば、それが衝突地点の天井からの距離になります。

(6)でPとQが衝突する位置の天井からの距離 \(D\) は \(D = \displaystyle\frac{2+\pi}{4}L + \frac{(8+\pi^2)mg}{16k} + \frac{kL^2}{4mg}\) です。
この式は複数の項から成り複雑に見えますが、重心の初期位置と、衝突までの時間 \(T_{PQ}\) の間の自由落下距離を正確に計算し足し合わせた結果であり、導出過程は論理的です。

【コラム】Q2. 前問の衝突の反発係数をeとする。衝突後のPとQの運動が静止系で見てどのようになるか、次の3つの場合について簡潔に述べよ。 (i) \(e=0\) (ii) \(e=1\) (iii) \(0<e<1\)

思考の道筋とポイント
衝突は重心Gの位置で起こります。衝突直前のPとQの重心Gに対する相対速度は、問(6)の途中で計算した \(u_G = g\sqrt{m/(2k)}\) の大きさで、互いに逆向きです（重心系で考えると、2つの物体の運動量は常に和がゼロなので）。
この衝突に反発係数 \(e\) の概念を適用します。衝突後のPとQの重心Gに対する相対速度の大きさは、衝突前の相対速度の大きさの \(e\) 倍になり、向きは逆転します。
床から見た（静止系で見た）運動は、この重心Gに対する相対運動と、重心G自身の運動（加速度 \(g\) の落下運動）を合成したものとして記述されます。

この設問における重要なポイント

• 衝突は重心Gの位置で起こります。
• 衝突直前のP, Qの重心Gに対する速度の大きさは \(u_G=g\sqrt{m/(2k)}\) で、互いに逆向きです。
• 反発係数 \(e\) の定義: \(e = -\frac{(\text{衝突後の相対速度})}{(\text{衝突前の相対速度})}\)。重心系では、衝突後のPとQの重心に対する速度の大きさはそれぞれ \(eu_G\) となり、向きは衝突前と逆向き（互いに遠ざかる向き）になります。
• \(e=0\) は完全非弾性衝突（一体となる）。\(e=1\) は弾性衝突。
• 床から見た運動は、重心の運動（加速度\(g\)の落下）と、重心周りの相対運動の重ね合わせとして記述されます。

具体的な解説と記述
衝突直前の重心Gに対するPの速度を \(-u_G\)、Qの速度を \(+u_G\) とします（例えば、Pが上から、Qが下から重心Gに向かってくる場合。重心Gでは速度の向きは反対称なので、相対速度の大きさの絶対値が \(u_G\))。衝突前の接近する相対速度の大きさは \(2u_G\) です。
衝突後の重心Gに対するPの速度を \(v’_P\)、Qの速度を \(v’_Q\) とします。
重心系での運動量保存則より \(mv’_P + mv’_Q = 0\)、つまり \(v’_P = -v’_Q\)。
反発係数の式より \(v’_P – v’_Q = -e(-u_G – u_G) = e(2u_G)\)。
これらを解くと、\(2v’_P = e(2u_G)\) よって \(v’_P = eu_G\)、そして \(v’_Q = -eu_G\)。
つまり、衝突後、PとQは重心Gに対して、それぞれ大きさ \(eu_G\) の速さで互いに遠ざかります。

(i) \(e=0\)（完全非弾性衝突）:
\(v’_P = 0, v’_Q = 0\)。衝突後、PとQは重心Gに対して相対的に静止します。これは、PとQが一体となって重心Gと全く同じ運動をすることを意味します。
静止系で見ると、PとQは衝突した瞬間から一体となり、重心Gの運動（衝突時の重心速度 \(v_G(T_{PQ}) = gT_{PQ}\) を初速として、加速度 \(g\) で落下）と一致する運動をします。つまり、一体となって重力加速度 \(g\) で落下を続けます。

(ii) \(e=1\)（弾性衝突）:
\(v’_P = u_G, v’_Q = -u_G\)。衝突後、PとQは重心Gに対して、衝突前とちょうど同じ大きさの相対速度で、向きを逆にして遠ざかります。
重心系で見ると、PとQは衝突前と全く同じ運動を時間を逆行させるように開始します。つまり、ゴムひもは再び伸び始め、重心Gからの距離が \(x_0/2\) になるまで（ゴムひも全体の伸びが \(x_0\) になるまで）単振動（の一部）をし、そこで重心Gに対する速度が再び0になります。その後、また重心Gに向かって縮み始めるという運動を繰り返します。ゴムひもの長さは、自然長 \(L\) から、最初に解放されたときのPとQの間の距離（重心からの距離でいうと \(L/2 + x_0/2\) の2倍、つまり \(L+x_0\)）まで変化する振動を繰り返します。
静止系で見ると、重心Gが加速度 \(g\) で落下しながら、その周りでPとQが、ゴムひもの長さが \(L\) から \(L+x_0\) の間で周期的に変化するような相対的な振動運動を続けます。

(iii) \(0<e<1\)（非弾性衝突）:
\(v’_P = eu_G, v’_Q = -eu_G\)。衝突後、PとQは重心Gに対して、衝突前よりも小さい（\(e\) 倍の）相対速度で遠ざかります。
重心系で見ると、衝突によってエネルギーが失われるため（\(e<1\) だから）、その後の相対的な単振動の振幅は小さくなります。ゴムひもが伸びる最大の長さは \(L + e \times (\text{衝突前の最大相対変位})\) のようになり、元の \(L+x_0\) には戻りません。衝突を繰り返すごとに、重心に対する相対的な運動のエネルギーは減少し、振幅も小さくなっていきます。ゴムひもの最大の長さは徐々に自然長 \(L\) に近づいていくような減衰振動となります。
静止系で見ると、重心Gが加速度 \(g\) で落下しながら、その周りでPとQが、振幅を減らしながら相対的な振動を繰り返し、ゴムひもの伸縮幅は徐々に小さくなり、最終的には自然長 \(L\) に近い状態でPとQが重心と共に落下していくような運動に近づきます。

PとQの衝突後の運動は、反発係数 \(e\) の値によって大きく異なります。
(i) \(e=0\) の場合: PとQは一体となり、重心Gと同一の運動（初速 \(gT_{PQ}\)、加速度 \(g\) の落下運動）をする。
(ii) \(e=1\) の場合: 重心Gは加速度 \(g\) で落下を続ける。PとQは重心Gの周りで、衝突前の相対運動（ゴムひもの長さが \(L\) から \(L+x_0\) まで変化する単振動）を時間を反転させたように開始し、同じ運動を繰り返す。
(iii) \(0<e<1\) の場合: 重心Gは加速度 \(g\) で落下を続ける。PとQは重心Gの周りで、衝突によってエネルギーを失うため、振幅（ゴムひもの最大伸縮）を減らしながら相対的な振動を繰り返す。やがてゴムひもの伸縮は自然長 \(L\) に近い非常に小さいものに収束していく。
これらの記述は、モデル解答のQ2の解説の趣旨と一致しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ゴムひもの特性と弾性力: ゴムひもは伸びに比例した弾性力を生じるが、「ゆるむと力を生じない」という一方向性を持つ点が通常のばねと異なります。この特性を正確に運動方程式やエネルギー計算に反映させることが核心です。
• 力のつり合いと振動中心: 鉛直方向の運動では重力が常に働くため、単振動の振動中心は力が完全につり合う位置となります。おもりに働く力が変化すれば（例：Yがゆるむ、Yの固定方法が変わる）、振動中心も変化する可能性があります。
• 仕事とエネルギーの関係: 外力がした仕事は系のエネルギー変化に等しいという原理が問(1), (2)で中心的に用いられました。「ゆっくり」した操作と「急な」操作でのエネルギーの伝わり方の違いを理解することが重要です。
• 単振動の複合と非対称性: (問3), (4)のように複数のゴムひもが関わる場合や、振動の区間によって実効的なばね定数が変わる場合の扱い。特に問(4)では運動の非対称性が顕著です。
• 重心の運動と重心座標系: (問6)やコラムQのように、複数の物体が相互作用しながら運動する場合、系全体の重心の運動と、重心から見た相対運動に分けて考えると見通しが良くなることがあります。特に外力が重力のみの場合、重心は放物運動（鉛直なら自由落下と同様）し、重心系では慣性力によって重力が見かけ上相殺されるため、内力のみによる運動として解析しやすくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方が応用できる類似問題のパターン:
  • 一方向性のある復元力が働く系（例：床や壁との非弾性的な衝突を伴う振動、張力しか働かないがたるむことのある糸でつながれた振動）。
  • 複数のばねやゴムひもが並列または直列に接続された系の振動。
  • 振動の途中で系のパラメータ（質量、ばね定数、外力、束縛条件）が変化する問題。
  • 2体連結系の重心運動と相対運動、特にばねで連結された場合の相対的な単振動。
• 初見の問題でどこに着目すればよいか:
  1. 力を及ぼす要素の特性把握: ばね、ゴムひも、糸など、力を及ぼす各要素がどのような特性（張力のみか、両方向に働くか、ゆるむ条件、弾性限界など）を持つのかを問題文や図から正確に読み取ります。
  2. 運動フェーズの分割と接続条件: ゴムひもが「ゆるんでいる」区間と「張っている」区間、衝突の前後、固定条件の変化点などで運動のフェーズを明確に区別し、各フェーズの終状態が次のフェーズの始状態になる「接続条件」（位置や速度の連続性）を考えます。
  3. 力のつり合い位置（振動中心）の複数性: 条件によって力のつり合い位置が変化しないか確認します。これが振動中心の決定や移動に関わってきます。
  4. エネルギー保存則の適用範囲と仕事の計算: どの区間でどのエネルギーが保存されるか、あるいは非保存力や外力が仕事をしてエネルギーが変化するかを明確に区別します。「ゆっくり」と「急に」の操作の違いも仕事の計算に影響します。
  5. 重心の利用と相対運動の視点: 複数の物体が相互作用しながら全体として運動する場合、まず重心の運動を考えると見通しが良くなることが多いです。また、重心座標系や一方の物体に固定した相対座標系で考えることで、複雑な運動が単純な運動（単振動など）に帰着できることがあります。
• 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
  • ゴムひもの「自然長」がどこかを常に意識し、弾性エネルギーや弾性力は自然長からの「伸び」で決まることを徹底します。
  • 鉛直方向の運動なので、重力ポテンシャルエネルギーを常に考慮に入れるか、あるいはつり合い位置を基準とした単振動のポテンシャルエネルギー（重力の効果込み）を用いるかを明確にします。
  • 「静かに放す」「静かに解放する」は初速度0を意味し、「急に」操作する場合は慣性により位置や速度が直前と変わらないと考えることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ゴムひもがゆるむ条件の見落としや誤解:
  • ありがちな誤解: ゴムひもを常に弾性力が働く通常のばねとして扱ってしまい、ゆるんだ状態（張力ゼロ）を考慮しない。
  • 対策: ゴムひもの長さと自然長を常に比較し、張力が働いているか（伸びているか）、ゆるんでいるかを運動の各フェーズで判断します。ゆるんでいる区間では、そのゴムひもからの力はゼロになります。
• 単振動の振動中心の誤り、特に鉛直ばね振り子や条件変化時:
  • ありがちな誤解: ばねの自然長の位置を常に振動中心としてしまう。あるいは、系の質量や固定条件が変わったのに振動中心が不変だと思い込む。
  • 対策: 振動中心は常に「その時点で振動している物体（群）にかかる力のつり合いの位置」であると再認識します。重力や他の力が加われば自然長位置からずれますし、系の構成が変わればつり合い位置も変わります。
• エネルギー保存則の適用基準や項の混同:
  • ありがちな誤解: 弾性エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの基準点を途中で変えてしまう、または曖昧にする。単振動のエネルギー保存（A方式）と一般的な力学的エネルギー保存（B方式）を混同する。
  • 対策: エネルギー計算を行う前に、各ポテンシャルエネルギーの基準点を明確に定め、一貫して使用します。A方式を使う場合は、振動中心を基準とした変位を用いることを徹底します。
• 重心系や相対運動の解析における慣性力の扱いや速度の変換ミス:
  • ありがちな誤解: 加速度運動する座標系で運動を記述する際に慣性力を忘れる、または向きを間違える。相対速度と絶対速度の変換を誤る。
  • 対策: 非慣性系で運動方程式を立てる際は、必ず慣性力（座標系の加速度と逆向きに \(ma_{\text{座標系}}\)）を考慮に入れます。速度の合成はベクトル的に行います。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • (問4) Pがおもりをつり合い位置の上下に振動する際、上に動くと下のゴムひもYがたるんでXだけで引かれ、下に動くとYも張ってXとYの両方で引かれるため、上下で振動の「硬さ」が変わる様子をイメージします。
  • (問5) Pが上に、Qが下に同時に動き出し、重力の影響を受けながら相対的に近づいて衝突する様子。お互いから見ると相手が等速で近づいてくるように見えるという相対運動の面白さ。
  • (問6) PとQが全体として自由落下しながら、その中でゴムひもによって互いに引っぱり合い、縮んで伸びてを繰り返しながら最終的に重心で衝突する、というダイナミックな2体運動。
• 図示の重要性:
  • 各瞬間のPとQの位置関係、ゴムひもの伸び（またはゆるみ）、各物体に働く力をベクトルで正確に図示することが、立式の正確性、特に力の向きや変位の定義の理解に不可欠です。
  • エネルギー図を描いて、運動エネルギー、重力ポテンシャルエネルギー、弾性エネルギーの間の移り変わりを視覚化すると、エネルギー保存則の適用が容易になります。
  • (問6)のような2体問題では、重心Gの位置と、P,QのGからの相対位置を図示し、重心の運動と相対運動を分けて考えると、複雑な現象も整理しやすくなります。
• 図を描く際の注意点:
  • 座標軸の原点（天井、床、自然長位置など）と正の向きを明確に図中に示します。
  • ゴムひもの「自然長の位置」と、その時点での「実際の長さ」、「自然長からの伸び」を区別して描きます。
  • エネルギーの基準点を図中に示すと、ポテンシャルエネルギーの計算ミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合い (\(\sum F = 0\)):
  • 選定理由（問1など）: 物体が「静止している」あるいは単振動の「振動中心」にあるという記述から、その点では物体に働く合力がゼロであると判断し適用しました。
• 運動方程式 (\(ma = \sum F\)):
  • 選定理由: 物体が加速度運動をしている場合に、その加速度と力の関係を記述する基本法則として適用しました。単振動であることを示すためにも、まず運動方程式から復元力の形を導きます。
• 力学的エネルギー保存則 (\(E_k + U_g + U_s = \text{一定}\)):
  • 選定理由（問2, 問3, 問5など）: 空気抵抗が無視でき、ゴムひもの弾性力と重力という保存力のみが仕事をする区間において、物体の速さや変位の関係を求めるために適用しました。
• 単振動の周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{m/K_{\text{実効}}}\)):
  • 選定理由（問3, 問4, 問6, コラムQ）: 運動方程式などから復元力が変位に比例する形 (\(F=-K_{\text{実効}}x’\)) であることが確認できた（あるいは仮定できた）場合に、その周期を求めるために適用しました。実効的なばね定数や振動質量に注意が必要です。
• 重心の運動に関する法則:
  • 選定理由（問6, コラムQ）: 複数の物体からなる系で、内力のみが働くか、外力が単純（例：一定の重力のみ）な場合に、系全体の運動を代表する重心の運動を考えると問題が単純化できるため適用しました。
• 各物理公式が持つ意味と、それが成り立つための「前提条件」を常に意識し、問題の状況と照らし合わせて最も適切な公式を選択する論理的な思考プロセスが重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 初期状態・基準の設定: 問題文から初期条件（初速度、初期位置、ばねの初期状態など）を正確に読み取り、座標軸の原点や正の向き、エネルギーの基準点などを明確に設定します。
2. 力の分析と図示: 考察する物体（単体または系）に着目し、その物体に働く全ての力をベクトルとして図示します。特にゴムひもの場合、伸びているかゆるんでいるかで力の有無が変わる点に注意します。
3. 運動フェーズの識別と法則選択: 運動が時間とともにどのように変化するか（自由落下、単振動、等速運動、衝突など）のフェーズを識別し、各フェーズで適用すべき主要な物理法則（運動方程式、エネルギー保存則、運動量保存則、単振動の公式など）を選択します。
4. 丁寧な立式とパラメータの明確化: 選択した法則に基づいて、具体的な数式を立てます。この際、各物理量（質量、ばね定数、変位、速度、加速度など）を表す文字の定義を明確にし、一貫して使用します。
5. 条件の適用と連立処理: 「つり合い」「衝突」「ゆるむ」「最下点」など、問題文中のキーワードに対応する物理的な条件を数式に反映させます。必要であれば複数の式を連立させて解きます。
6. 正確な計算実行: 代数計算や数値計算を、符号や単位に注意しながら慎重に行います。
7. 解の物理的な吟味: 得られた答えが物理的に妥当か（例：値の範囲、符号の意味、極端な条件下での振る舞い）を必ず確認し、必要であれば見直しや修正を行います。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • ゴムひもの伸びの正確な計算: 自然長 \(L\) を基準として、おもりの位置から伸びを正しく計算すること。特に2つのゴムひもが関わる場合や、基準点が変わる場合に注意が必要です。
  • エネルギーの各項の符号と基準点の一貫性: 重力ポテンシャルエネルギーは高さの基準、弾性エネルギーは自然長からの伸びで決まります。これらの符号の取り扱いや基準点を途中で変えないようにすることが重要です。
  • 文字が多く複雑な代数計算の整理: \(m, g, k, L, x_0, a, b\) など多くの文字定数や変数が登場するため、式を整理したり、既知の関係式を適切に代入したりする際の計算ミスに注意します。
  • (問4)における周期計算での平方根の扱いと和: \(\sqrt{m/(2k)}\) と \(\sqrt{m/k}\) のような、似ているが異なる項の計算と、それらの正しい組み合わせ。
  • (問4)の振幅比の導出におけるエネルギー等式の正確な立式: どちらの振幅がどちらの実効ばね定数に対応するかを正確に把握し、エネルギーの式を立てること。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 各物理量を表す文字の定義と単位を常に明確にする: どの文字が何を表しているのか、その単位は何かを問題の文脈で常に意識します。
  • 図を有効活用し、力の向きや変位、エネルギー状態を視覚的に確認する: 図は思考の補助となり、立式の誤りを減らします。
  • エネルギーの収支や保存関係を丁寧に追う: どのエネルギーがどのエネルギーに変換されたのか、あるいは外力の仕事によってどれだけ変化したのか、収支関係を明確にすることで立式ミスを防ぎます。
  • 複雑な計算や複数のケースを扱う場合は、情報を整理する表やメモを作成する: (問4)のように条件で運動の性質が変わる場合、どの条件下でどのパラメータ（実効ばね定数など）が有効かを整理しておくと混乱を防げます。
  • 計算結果が出たら、必ず一度立ち止まって物理的な妥当性をチェックする習慣をつける: 明らかにおかしい値（例：負の速さ、エネルギーの増加など）が出ていないか確認します。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 計算ミスや立式の誤りを発見するだけでなく、物理法則の理解を深め、応用力を高めるために非常に重要です。
  • 特にゴムひものような特殊な要素が入る場合、その特性が結果にどう反映されるかを考えることが理解を助けます。
• 「解の吟味」を通じて具体的に何ができるか:
  • 極端な条件での検証: 例えば、もし \(L=0\)（自然長がない）や \(k \to \infty\)（非常に硬いゴム）、\(m \to 0\)（おもりがない）などの極端な値を考えてみて、結果が物理的に予想される振る舞いや、より単純な既知のケースに帰着するかどうかを確認します。
  • 物理的な意味の再考: (問2)の最大速度の式の各項は何を表すか？ (問4)で周期が単純な平均にならない理由は？振幅比が特定の値になる物理的な理由は？といった点を深く考えると、法則の理解が定着します。
  • ゴムひもが通常の「ばね」だった場合との比較: もしゴムひもがゆるまず、縮むときも反発力を示す通常のばねだったら、問(4)の周期や振幅比はどう変わるか（その場合は常に実効ばね定数 \(2k\) で振動するはず）、などを考えてみることで、ゴムひもの特性の重要性が際立ちます。
  • (問5)や(問6)での衝突位置や時間: \(L\) や \(x_0\) との大小関係は妥当か、物理的にあり得る範囲に収まっているかなどを確認します。

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