「名問の森」徹底解説（34〜36問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題34 (静岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、床に固定された鉛直ばねの上に台を置き、さらにその上におもりを乗せた系の単振動に関する問題です。一体となって運動する場合の性質や、運動中におもりが台から離れる条件、そして離れた後のそれぞれの運動について考察します。力学の様々な要素が詰まった総合問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直ばね振り子」と、その運動中に「物体が分離する条件」です。力のつり合い、運動方程式、単振動の性質、そしてエネルギー保存則といった力学の基本法則を総動員して解く総合問題です。

問(1)

思考の道筋とポイント
初めの静止状態では、おもりPと台Qにはたらく力はつり合っています。PとQを質量 \((m+M)\) の一つの物体とみなし、この物体にはたらく重力（下向き）と、ばねの弾性力（上向き）がつり合うという式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 静止しているので、力のつり合いを考える。
• おもりPと台Qを一体として扱う。
• ばねの弾性力は、フックの法則 \(F=kx\) に従う。

具体的な解説と立式
おもりPと台Qを一体とみなすと、その合計の質量は \((m+M)\) です。
この物体にはたらく下向きの重力は \((m+M)g\) です。
ばねが自然長から \(d\) だけ縮んでいるとき、ばねが物体を押し上げる上向きの弾性力は \(kd\) です。
物体は静止しているので、これらの力はつり合っています。
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの弾性力}) &= (\text{下向きの重力}) \\[2.0ex]
kd &= (m+M)g
\end{aligned}
$$

つりあいの式 \(kd = (m+M)g\) を \(d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{(m+M)g}{k}
\end{aligned}
$$

最初、おもりと台は静止しています。これは、おもりと台にかかる下向きの重力の合計と、縮んだばねが押し返そうとする上向きの力がちょうど同じ大きさでつり合っている状態です。このつり合いの式を立てて、ばねがどれだけ縮んでいるか（\(d\)）を計算します。

ばねの自然長からの縮み \(d\) は \(d = \displaystyle\frac{(m+M)g}{k}\) となります。
この結果は、質量が大きく、ばねが柔らかい（\(k\)が小さい）ほど、縮みが大きくなるという直感と一致しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
運動している最中のおもりPと台Qを、それぞれ別々の物体として考え、それぞれにはたらく力をすべて図示します。そして、鉛直上向きを正とする座標軸に沿って、それぞれの物体について運動方程式 \(ma=F\) を立てます。PとQの間にはたらく垂直抗力 \(N\) を、作用・反作用の関係として正しく扱うことが重要です。
この設問における重要なポイント

• PとQ、それぞれの物体にはたらく力を正確に把握する。
• PがQから受ける力（垂直抗力\(N\)）と、QがPから受ける力（垂直抗力\(N\)の反作用）を区別する。
• 座標軸の正の向き（鉛直上向き）に合わせて、力の符号を決める。
• ばねの縮みは、自然長の位置 \(l\) と現在の座標 \(x\) から \(l-x\) と表される。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とし、加速度を \(a\) とします。

おもりPにはたらく力:

• 台Qから受ける垂直抗力: \(N\) (上向き)
• 重力: \(mg\) (下向き)

したがって、おもりPの運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
ma &= N – mg \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

台Qにはたらく力:

• ばねからの弾性力: ばねの縮みは \((l-x)\) なので、弾性力は \(k(l-x)\) (上向き)
• 重力: \(Mg\) (下向き)
• おもりPから受ける力（垂直抗力の反作用）: \(N\) (下向き)

したがって、台Qの運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
Ma &= k(l-x) – Mg – N \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

この設問では立式のみが問われているため、これ以上の計算は不要です。

物体が動いている途中の一瞬を切り取って考えます。おもりPと台Qそれぞれについて、「質量×加速度＝合力」という運動のルール（運動方程式）を式にします。このとき、おもりPには「重力」と「台Qから押される力（垂直抗力）」が、台Qには「重力」「ばねから押される力」「おもりPから押される力（垂直抗力の反作用）」がはたらいていることを正確に書き出すのがポイントです。

Pの運動方程式は \(ma = N – mg\)、Qの運動方程式は \(Ma = k(l-x) – Mg – N\) となります。
これらの式は、各物体にはたらく力を正しく反映しています。ちなみに、2つの式を足し合わせると、\((m+M)a = k(l-x) – (m+M)g\) となり、これはPとQを一体とみなしたときの運動方程式に一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
PとQが一体となって単振動する場合、その振動の中心は、系全体にはたらく力がつりあう位置です。これは問(1)で求めた最初の静止位置に他なりません。この位置を座標 \(x\) で表します。
周期は、鉛直ばね振り子の周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{\frac{\text{質量}}{\text{ばね定数}}}\) を用いて求めます。このとき、振動している物体の質量はPとQの合計 \((m+M)\) であることに注意します。
この設問における重要なポイント

• 単振動の中心は、力のつり合いの位置である。
• 周期の公式における「質量」は、振動している物体全体の質量である。

具体的な解説と立式
振動の中心座標:
単振動の中心は、PとQを一体とみなしたときの力のつり合いの位置です。問(1)より、このときばねは自然長から \(d\) だけ縮んでいます。
床を原点(\(x=0\))とし、ばねの自然長の上端が \(x=l\) の位置にあるので、振動中心の座標 \(x_{\text{c}}\) は、
$$
\begin{aligned}
x_{\text{c}} &= l – d
\end{aligned}
$$
問(1)の結果 \(d = \displaystyle\frac{(m+M)g}{k}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
x_{\text{c}} &= l – \frac{(m+M)g}{k}
\end{aligned}
$$

周期:
PとQが一体となって振動するので、振動する物体の質量は \((m+M)\) です。ばね定数は \(k\) なので、周期 \(T\) の公式より、
$$
\begin{aligned}
T &= 2\pi\sqrt{\frac{m+M}{k}}
\end{aligned}
$$

この設問では、公式を適用するだけであり、複雑な計算はありません。

物体が一体で振動するとき、その振動の「真ん中」は、力がつり合って静止できる位置になります。これは問(1)で求めた最初の静止位置と同じです。周期（1往復にかかる時間）は、おもりが重いほど長く、ばねが硬いほど短くなるという性質があり、公式を使って計算できます。この場合のおもりは、PとQを合わせた全体の質量で考えます。

振動の中心座標は \(x = l – d = l – \displaystyle\frac{(m+M)g}{k}\)、周期は \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m+M}{k}}\) となります。
これらは鉛直ばね振り子の基本的な性質を表す式であり、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
おもりPが台Qから離れるのは、QがPを押し上げる力、すなわち垂直抗力 \(N\) が \(0\) になるときです。一体となって運動し続けるためには、運動中のどの瞬間においても \(N \ge 0\) でなければなりません。
まず、問(2)で立てた2つの運動方程式から加速度 \(a\) を消去し、垂直抗力 \(N\) を座標 \(x\) の関数として表します。次に、\(N\) が最も小さくなる位置を特定し、その位置で \(N \ge 0\) となる条件を考えます。静かに手を放して運動を始める場合、手を放した位置が振動の下端となり、押し下げた距離が振幅 \(A\) となることを利用します。
この設問における重要なポイント

• 物体が離れる条件は、垂直抗力 \(N=0\)。
• 垂直抗力 \(N\) が最小になるのは、加速度が最小（最も下向きに大きい）とき、すなわち振動の最高点である。
• 静かに放す場合、放した位置が振動の下端となり、つり合いの位置から放した位置までの距離が振幅となる。

具体的な解説と立式
問(2)の運動方程式① \(ma = N – mg\) より、\(N = m(a+g)\) です。
また、PとQを一体とみなした運動方程式は \((m+M)a = k(l-x) – (m+M)g\) でした。
ここから加速度 \(a\) は、
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{k(l-x)}{m+M} – g
\end{aligned}
$$
これを \(N\) の式に代入すると、
$$
\begin{aligned}
N &= m \left( \left( \frac{k(l-x)}{m+M} – g \right) + g \right) \\[2.0ex]
&= \frac{mk}{m+M}(l-x)
\end{aligned}
$$
PとQが一体で運動し続けるためには、常に \(N \ge 0\) である必要があります。\(m, k, (m+M)\) は全て正なので、この条件は、
$$l-x \ge 0 \quad \text{すなわち} \quad x \le l$$
となります。これは、運動している物体の座標 \(x\) が、ばねの自然長の位置 \(l\) を超えなければよい、ということを意味します。
単振動において、座標 \(x\) が最大になるのは振動の上端です。したがって、振動の上端の座標 \(x_{\text{上端}}\) が \(l\) 以下であれば、PはQから離れません。
$$
\begin{aligned}
x_{\text{上端}} \le l
\end{aligned}
$$
振動の中心は \(x_{\text{c}} = l-d\) です。初めの静止位置（振動中心）から距離 \(A\) だけ押し下げて静かに放すと、その距離 \(A\) が単振動の振幅になります。
振動の上端の座標は、\(x_{\text{上端}} = (\text{中心座標}) + (\text{振幅}) = (l-d) + A\) です。
したがって、条件式は、
$$
\begin{aligned}
(l-d) + A \le l
\end{aligned}
$$

条件式 \((l-d) + A \le l\) を \(A\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
A \le d
\end{aligned}
$$
押し下げる距離が振幅 \(A\) に等しいので、求める押し下げる距離は \(d\) 以下である必要があります。
$$(\text{押し下げる距離}) \le d$$
問(1)の結果を代入すると、
$$(\text{押し下げる距離}) \le \frac{(m+M)g}{k}$$

おもりと台が離れないためには、台がおもりを常に押し続けている必要があります。この「押す力」が垂直抗力です。振動中、一番この力が弱くなるのはどこでしょう？それは、一番上まで行って折り返す瞬間です。このとき、台は下向きに最大の加速度で動こうとします。もしこの動きが急すぎて、おもりが自力で落ちる重力加速度よりも速く台が下向きに加速しようとすると、おもりはついていけずに台から離れてしまいます。ですから、一番危ない最高点でも垂直抗力がゼロ以上であれば、ずっと離れない、ということになります。この条件から、振幅（押し下げる距離）の限界が決まります。

PがQから離れないための条件は、振幅 \(A\) がつり合い位置でのばねの縮み \(d\) を超えないこと、と結論付けられます。これは、振動の上端がばねの自然長の位置を超えないことを意味しており、物理的に直感的な結果と一致します。

問(5)

思考の道筋とポイント
この問題は2つのパートに分かれています。

1. Pが達する最高点の高さ:
まず、PとQが離れる瞬間を特定します。問(4)の議論から、これは垂直抗力 \(N=0\) となる \(x=l\)（ばねの自然長の位置）です。
次に、運動の開始（静止位置から \(2d\) 押し下げて放す）から、Pが離れる \(x=l\) までの過程で、PとQを一体とみなした系の力学的エネルギーが保存されることを利用して、\(x=l\) での速さ \(v\) を求めます。
最後に、Pは位置 \(x=l\) から初速 \(v\) で鉛直投げ上げ運動を始めるので、その最高点の高さを計算します。

2. Pが離れた後のQの単振動の振幅:
Pが離れた瞬間、Qは質量 \(M\) の物体として、新たな単振動を開始します。この新しい単振動の振動中心は、質量 \(M\) のみでの力のつり合いの位置になります。
Pが離れた瞬間のQの位置 (\(x=l\)) と速さ (\(v\)) を初期条件として、この新しい単振動のエネルギー保存則を立て、振幅 \(A’\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 運動の途中で系が変化する（Pが分離する）問題では、変化の前後でエネルギー保存則などを適用し直す必要がある。
• 単振動のエネルギー保存則（A方式: 振動中心を基準とする）が計算に便利。
• Pが離れた後、Qの単振動の振動中心が変わることに注意する。

具体的な解説と立式
Pが達する最高点の高さ:
初めの静止位置 \(x_{\text{c}} = l-d\) から \(2d\) 押し下げて放すので、運動の開始位置（下端）は \(x_{\text{下端}} = (l-d) – 2d = l-3d\) です。
この単振動の振動中心は \(x_{\text{c}} = l-d\) なので、振幅は \(A=2d\) です。
PとQが離れる位置は \(x=l\) です。この位置は、振動中心からの距離が \(l – (l-d) = d\) です。
一体での単振動のエネルギー保存則（A方式）より、下端でのエネルギーと \(x=l\) でのエネルギーは等しいです。
$$
\begin{aligned}
(\text{下端でのエネルギー}) &= (x=l \text{でのエネルギー}) \\[2.0ex]
\frac{1}{2}kA^2 &= \frac{1}{2}(m+M)v^2 + \frac{1}{2}k(\text{中心からの距離})^2 \\[2.0ex]
\frac{1}{2}k(2d)^2 &= \frac{1}{2}(m+M)v^2 + \frac{1}{2}k(d)^2
\end{aligned}
$$
Pが離れた後、位置 \(x=l\) から初速 \(v\) で鉛直投げ上げ運動をします。達する高さを \(h\) とすると、力学的エネルギー保存則より、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= mgh
\end{aligned}
$$
Pが達する最高点の床からの高さは \(l+h\) となります。

Pが離れた後のQの振幅 \(A’\):
Pが離れた後、Qは質量 \(M\) のみで単振動します。この新しい単振動の中心 \(x’_{\text{c}}\) は、質量 \(M\) での力のつり合いの位置なので、ばねの縮みを \(D\) とすると \(kD=Mg\) より \(D=\displaystyle\frac{Mg}{k}\)。よって \(x’_{\text{c}} = l-D\)。
Pが離れた瞬間（\(x=l\), 速さ\(v\)）を初期条件として、Qの新しい単振動のエネルギー保存則（A方式）を立てます。
\(x=l\) は、新しい振動中心 \(x’_{\text{c}} = l-D\) からの距離が \(l – (l-D) = D\) です。
$$
\begin{aligned}
(\text{離れた瞬間のエネルギー}) &= (\text{端でのエネルギー}) \\[2.0ex]
\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}k(\text{中心からの距離})^2 &= \frac{1}{2}k(A’)^2 \\[2.0ex]
\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}kD^2 &= \frac{1}{2}k(A’)^2
\end{aligned}
$$

Pの最高点:
まず、Pが離れるときの速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}k(2d)^2 &= \frac{1}{2}(m+M)v^2 + \frac{1}{2}k(d)^2 \\[2.0ex]
4kd^2 &= (m+M)v^2 + kd^2 \\[2.0ex]
(m+M)v^2 &= 3kd^2 \\[2.0ex]
v^2 &= \frac{3kd^2}{m+M}
\end{aligned}
$$
次に、投げ上げの高さを求めます。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{v^2}{2g} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2g} \cdot \frac{3kd^2}{m+M}
\end{aligned}
$$
ここで、問(1)の関係式 \(d = \displaystyle\frac{(m+M)g}{k}\) より \(k = \displaystyle\frac{(m+M)g}{d}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{3d^2}{2g(m+M)} \cdot \frac{(m+M)g}{d} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}d
\end{aligned}
$$
よって、Pが達する最高点の高さは \(l+h = l + \displaystyle\frac{3}{2}d\) です。

Qの振幅 \(A’\):
次に、Qの新しい振幅 \(A’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}kD^2 &= \frac{1}{2}k(A’)^2 \\[2.0ex]
Mv^2 + kD^2 &= k(A’)^2 \\[2.0ex]
(A’)^2 &= \frac{M}{k}v^2 + D^2
\end{aligned}
$$
\(v^2 = \displaystyle\frac{3kd^2}{m+M}\) と \(D = \displaystyle\frac{Mg}{k}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
(A’)^2 &= \frac{M}{k} \left( \frac{3kd^2}{m+M} \right) + \left( \frac{Mg}{k} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{3Md^2}{m+M} + \frac{M^2g^2}{k^2}
\end{aligned}
$$
ここで \(g = \displaystyle\frac{kd}{m+M}\) を用いて \(g^2\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
(A’)^2 &= \frac{3Md^2}{m+M} + \frac{M^2}{k^2} \left( \frac{kd}{m+M} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{3Md^2}{m+M} + \frac{M^2d^2}{(m+M)^2} \\[2.0ex]
&= \frac{3Md^2(m+M) + M^2d^2}{(m+M)^2} \\[2.0ex]
&= \frac{d^2}{(m+M)^2} (3M(m+M) + M^2) \\[2.0ex]
&= \frac{d^2}{(m+M)^2} (3Mm + 3M^2 + M^2) \\[2.0ex]
&= \frac{d^2}{(m+M)^2} (4M^2 + 3Mm)
\end{aligned}
$$
よって、振幅 \(A’\) は、
$$
\begin{aligned}
A’ &= \frac{d\sqrt{M(4M+3m)}}{m+M}
\end{aligned}
$$

まず、おもりと台がどこで離れるかを考えます。これは、台がおもりを押し上げる力がゼロになる、ばねが自然の長さに戻った瞬間です。次に、最初に手を放した位置から、この離れる位置まで、全体のエネルギーが保存されることを利用して、離れる瞬間の速さを計算します。離れた後、おもりはただの投げ上げ運動になるので、その速さからどれだけ高く上がるかを計算できます。
後半は、おもりが離れた後の台の運動です。台だけが残って振動を続けますが、このとき振動する物体の質量が変わったので、振動の中心も変わります。おもりが離れた瞬間の台の位置と速さを「初期状態」として、新しい振動のエネルギーがどれだけかを計算します。このエネルギーを使って、新しい振動の振幅（振れ幅）を求めることができます。

Pが達する最高点の高さは \(l + \displaystyle\frac{3}{2}d\)、Pが離れた後のQの単振動の振幅は \(A’ = \displaystyle\frac{d\sqrt{M(4M+3m)}}{m+M}\) となります。
計算は複雑ですが、エネルギー保存則という一貫した物理法則に基づいて導出されています。特に、運動の途中で系が変化する問題では、変化の瞬間の物理量（位置、速度）を正確に把握し、それを次の運動の初期条件として用いることが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 鉛直ばね振り子と物体の分離条件:
  • 核心: この問題は、鉛直ばね振り子という単振動のモデルをベースに、「物体が面から離れる」という現象を物理的にどう捉えるかが問われる複合問題です。単振動の基本法則と、垂直抗力がゼロになるという分離条件を正確に結びつけることが核心となります。
  • 理解のポイント:
    1. 力の図示と運動方程式: まず、一体で運動しているとき、分離した後のそれぞれについて、物体にはたらく力（重力、弾性力、垂直抗力）を正確に図示し、運動方程式を立てることが全ての基本です。
    2. 振動中心の特定: 鉛直ばね振り子では、力がつりあう位置が振動の中心となります。運動の途中で質量が変化する場合（問(5)）、振動中心も変化することに注意が必要です。
    3. 分離条件の物理的意味: 物体が離れるのは「垂直抗力 \(N=0\) のとき」です。これは、台がおもりを支える必要がなくなった瞬間を意味します。運動方程式から \(N\) を導出し、この条件を適用することが一連の流れです。
    4. エネルギー保存則の的確な適用: 運動のフェーズ（一体か、分離後か）に応じて、適切な系に対してエネルギー保存則を適用します。特に、分離の瞬間は、前の運動の終点であり、次の運動の始点となるため、その時点での位置と速度を正確に求めることが鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • エレベーター内のばね振り子: 加速する座標系（非慣性系）での単振動。見かけの重力が変化し、力のつり合いの位置（振動中心）が移動します。
  • 糸でつながれた物体の単振動: 糸がたるむ条件（張力 \(T=0\)）が、本問の分離条件（垂直抗力 \(N=0\)）と全く同じ考え方で解けます。
  • 衝突と単振動の組み合わせ: 衝突直後の速度を、その後の単振動の初期条件として解析する問題。運動量保存則と単振動の知識が融合されます。
  • 摩擦のある面での単振動: 振動中心が動摩擦力によって左右にずれる問題。エネルギーのやり取りがより複雑になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の変化点を見抜く: 物体が分離する、糸がたるむ、衝突する、最大摩擦力を超えるなど、運動のルールが変わる「イベント」が発生する瞬間を特定することが最優先です。その瞬間の物理量（位置、速度）が、次の運動の初期条件になります。
  2. 振動中心は動くものと心得る: 重力が変化したり（エレベーター問題）、質量が変化したり（本問(5)）、一定の摩擦力が働いたりすると、振動中心は初期のつり合い位置から移動します。常に「その時点で振動している物体にはたらく力がつりあう位置はどこか？」と自問する癖をつけましょう。
  3. エネルギー保存則の使い分け:
     • A方式（単振動のエネルギー保存）: 振動中心が固定されている単振動では、計算が非常に簡潔になる強力なツールです。振動の端と任意の点を結びつけるのに最適です。
     • B方式（一般的な力学的エネルギー保存）: 振動中心が変化する、あるいは非保存力が仕事をするなど、複雑な状況でも普遍的に適用できる万能な法則です。立式は少し複雑になりますが、迷ったらこちらで考えるのが安全です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 座標とばねの変位の混同:
  • 誤解: 運動方程式やエネルギーの式で、ばねの弾性力 \(F=kx\) や弾性エネルギー \(U = \frac{1}{2}kx^2\) の \(x\) に、床からの座標をそのまま代入してしまう。
  • 対策: \(x\) は常に「ばねの自然長からの変化量（伸びまたは縮み）」であることを強く意識する。図に自然長の位置 \(l\) と現在の座標 \(x\) を描き、ばねの縮みは \((l-x)\) であることを明確に区別する。
• 振動中心の誤認:
  • 誤解: 問(5)でPが離れた後も、Qは元の振動中心（PとQが一体だったときのつり合い位置）で振動し続けると考えてしまう。
  • 対策: 振動中心は「その時点で振動している物体にはたらく力がつりあう位置」であると定義に立ち返る。質量が変われば、つり合いの位置も変わるため、振動中心も移動することを理解する。
• 物体が離れる位置の間違い:
  • 誤解: 物体が離れるのは、常に振動の最高点であると勘違いする。
  • 対策: 物体が離れるのは、あくまで「垂直抗力 \(N=0\) となる位置」である。本問では、たまたまそれがばねの自然長の位置であり、振幅によっては振動の最高点と一致しない場合もある。常に \(N=0\) の条件から出発する。
• エネルギー保存則の適用範囲ミス:
  • 誤解: 運動の開始からPが最高点に達するまで、一つのエネルギー保存則で計算しようとする。
  • 対策: エネルギー保存則は、閉じた系（構成要素や外部とのエネルギーのやり取りが変わらない系）に対して成り立つ。Pが分離する瞬間に系は「PとQの系」から「Pの系」と「Qの系」に変化する。この変化点を境に、エネルギー保存則を立て直す必要があることを認識する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 物体の運動状態（加速度）と力との関係を記述する、力学の最も基本的な法則だから。特に、複数の力が絡み、垂直抗力のような未知の力を求めたい場合に必須。
  • 適用根拠: 問(2)で各物体にはたらく力を分析し、問(4)で垂直抗力 \(N\) を加速度 \(a\) や位置 \(x\) の関数として表すために適用。
• 単振動の周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{m/k}\)):
  • 選定理由: 物体にはたらく復元力が変位に比例する（\(F=-Kx’\)）ことが分かっている場合、周期を最も効率的に計算できるから。
  • 適用根拠: 問(3)で、PとQが一体となって鉛直ばね振り子として運動することが分かっているため。別解のように運動方程式から導出することも可能だが、公式を知っていれば時間を短縮できる。
• 単振動のエネルギー保存則（A方式）:
  • 選定理由: 振動の中心を基準にすると、重力と弾性力による位置エネルギーの変化をまとめて「\(\frac{1}{2}kx’^2\)」というシンプルな形で扱えるため、計算が大幅に簡略化される。
  • 適用根拠: 問(5)で、振動の端（手を放した位置）と運動の途中（Pが離れる位置）の状態を結びつけるために適用。振動中心が明確な単振動の問題では最も強力なツールの一つ。
• 一般的な力学的エネルギー保存則（B方式）:
  • 選定理由: 振動中心が移動したり、単振動とみなせない区間があったりする場合でも、普遍的に適用できる基本法則だから。
  • 適用根拠: 問(5)の別解で、A方式の計算の妥当性を確認し、より基本的な法則からのアプローチを示すために適用。どんな状況でも使えるため、思考の拠り所となる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • 特に注意すべき点: 鉛直方向の運動では、座標軸の正の向き（上向きか下向きか）を最初に明確に定めることが重要。力、変位、速度、加速度の符号が、その設定した座標軸に対して正しいか、立式のたびに確認する。
  • 日頃の練習: 運動方程式を立てる際は、必ず力のベクトルを図示し、座標軸の向きと照らし合わせながら「\(ma = (\text{正の向きの力}) – (\text{負の向きの力})\)」と機械的に処理するのではなく、物理的な意味を確認しながら立式する。
• 文字の多さへの対策:
  • 特に注意すべき点: \(m, M, k, g, l, d, x, A\) など多くの文字が登場するため、代入のタイミングや式の整理で混乱しやすい。
  • 日頃の練習: 問(1)で導いた \(d = \frac{(m+M)g}{k}\) のような関係式は、箱で囲むなどして目立たせておく。計算の途中では、すぐに代入せずに文字のまま進め、最後の最後に代入する方が見通しが良くなることが多い。特に問(5)の \(A’\) の計算では、\(g\) や \(k\) を \(d\) を使って消去するなど、どの文字を残すと式がきれいになるか意識すると良い。
• 基準点の明確化:
  • 特に注意すべき点: エネルギーを考える際、位置エネルギーの基準点（床なのか、自然長の位置なのか、振動中心なのか）を明確に意識しないと、式が立てられない、あるいは間違える。
  • 日頃の練習: エネルギー保存則を立てる前には、必ず「高さの基準はここ」「弾性エネルギーの基準（自然長）はここ」と図に書き込む習慣をつける。A方式とB方式では基準の取り方が違うことを明確に理解する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 縮み \(d\): \(d = \frac{(m+M)g}{k}\)。質量 \((m+M)\) が大きいほど、重力加速度 \(g\) が大きいほど、ばね定数 \(k\) が小さい（ばねが柔らかい）ほど、\(d\) は大きくなる。これは直感と完全に一致する。
  • (4) 離れない条件 \(A \le d\): 振幅 \(A\) が大きいほど、振動の上端での下向き加速度が大きくなるため、離れやすくなる。\(d\) はつり合いの縮みなので、重力が大きいほど \(d\) も大きくなり、離れにくくなる（重りが押さえつける効果）。これも物理的に妥当。
  • (5) Pの最高点 \(l + \frac{3}{2}d\): 押し下げた距離が \(2d\) と大きいので、Pは分離後、かなりの高さまで上昇すると予想される。\(l\)（自然長の位置）から \(\frac{3}{2}d\) も上昇するという結果は、定量的に妥当かすぐには判断しにくいが、少なくとも \(l\) より高くなるという点で直感と合う。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし \(m=0\) だったら？: おもりがない場合。
    • \(d = Mg/k\) となり、台のみのつり合いの縮みと一致。
    • 離れるも何もないので、(4)の条件は意味をなさないが、式の上では \(A \le Mg/k\) となる。
    • (5)で \(m \rightarrow 0\) とすると、\(A’ \rightarrow \frac{d\sqrt{4M^2}}{M} = 2d\)。このとき \(d=Mg/k\)。つまり、台のみを \(2d\) 押し下げて放したときの振幅は \(2d\) となり、当然の結果と一致する。
  • もし \(g=0\)（無重力空間）だったら？:
    • \(d=0\)。つり合い位置は自然長の位置。
    • (4)の条件は \(A \le 0\) となり、少しでも動かせば離れることを示唆する。無重力ではPはQに押さえつけられないので、当然離れる。
    • このように、極端な状況を代入してみることで、式の正しさを検証できることがある。

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問題35

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、滑らかな斜面上に置かれた、ばねと糸で連結された2物体（PとQ）の運動を扱います。初めに系全体はつり合いの位置にあり、そこからさらに引き伸ばされて運動を開始します。運動の途中で糸がゆるむという条件変化も含まれており、単振動の解析が中心となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題の主なテーマは「連結された物体の単振動」および「単振動の途中で条件が変化する運動（糸のゆるみ）」です。斜面上での運動であるため、重力の斜面方向成分を考慮に入れる必要があります。

問(1)