問題16 (大阪大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、弾丸が木材に打ち込まれる際の力学的な現象を扱います。前半(I)は木材が固定されている場合、後半(II)は木材が滑らかな床の上で動ける場合と、条件が異なります。それぞれの状況で、弾丸が木材から受ける一定の抵抗力を考慮しながら、仕事とエネルギーの関係や運動量保存則を駆使して問題を解き明かしていくことになります。特に、木材が動く場合は、弾丸と木材を一つの「系」として捉える視点が重要になります。
- 弾丸の質量: \(m\) [kg]
- 木材の質量: \(M\) [kg]
- 木材の長さ: \(l\) [m]
- 弾丸の初めの速さ (I, II(3)で共通): \(v_0\) [m/s]
- 弾丸が木材から受ける抵抗力: 大きさ \(F\) [N] で常に一定
- I. 木材を固定した場合:
- 弾丸を速さ \(v_0\) で打つと、深さ \(d\) [m] まで入り込んで止まった。このときの抵抗力 \(F\) の大きさは？
- 弾丸が木材を貫くには、はじめの速さ \(v_1\) [m/s] はいくら以上でなければならないか？
- II. 木材を滑らかな床の上に置いた場合:
- 弾丸をⅠと同じ速さ \(v_0\) で打つと、木材に入り込み、一体となって一定の速さ \(v\) [m/s] で動いた。その速さ \(v\) と、弾丸が入り込んだ深さ \(d’\) [m] は？
- 弾丸が木材を貫くためには、はじめの速さ \(v_2\) [m/s] はいくら以上でなければならないか？
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。
- 仕事と運動エネルギーの関係: 物体がされた仕事の分だけ、その物体の運動エネルギーが変化します。特に、摩擦力や抵抗力のような「非保存力」が仕事をすると、その分だけ力学的エネルギーは熱などに変わって失われます。数式で表すと \(\Delta K = W\) (運動エネルギーの変化 = された仕事) となります。
- 運動量保存則: 外力が働かない（または外力の合力が0の）系では、系の全運動量は常に一定に保たれます。衝突や合体といった現象を分析するのに非常に強力なツールです。数式で表すと \(\sum p_{\text{初}} = \sum p_{\text{後}}\) (初めの運動量の和 = 後の運動量の和) となります。
パートIでは主に仕事と運動エネルギーの関係を、パートIIでは運動量保存則と仕事とエネルギーの関係（熱の発生を含む）の両方を用いて考えていきましょう。
問 I (1)
思考の道筋とポイント
木材が固定されているため、弾丸は初速 \(v_0\) で木材に進入し、一定の抵抗力 \(F\) を受けながら減速し、深さ \(d\) で停止します。この過程で弾丸が持っていた運動エネルギーは、すべて抵抗力 \(F\) による仕事（摩擦熱）に変換されたと考えられます。仕事と運動エネルギーの関係を使いましょう。
この設問における重要なポイント
- 木材は静止したままで動きません。
- 弾丸の運動エネルギーが、抵抗力 \(F\) によって \(d\) の距離だけ仕事をされることでゼロになります。
- 仕事と運動エネルギーの関係式: \(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W_{\text{された仕事}}\) を利用します。
具体的な解説と立式
弾丸の初めの運動エネルギーを \(K_{\text{初}}\)、止まった後の運動エネルギーを \(K_{\text{後}}\) とします。
初めの運動エネルギーは \(K_{\text{初}} = \displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\) です。
弾丸は最終的に止まるので、後の運動エネルギーは \(K_{\text{後}} = 0\) です。
弾丸が木材から受ける抵抗力は \(F\) で、弾丸の進行方向と逆向きに働きます。弾丸が木材にくい込む距離は \(d\) なので、抵抗力が弾丸にした仕事 \(W_{\text{抵抗力}}\) は、力の向きと移動の向きが \(180^\circ\) 反対であるため、負の仕事となります。
$$W_{\text{抵抗力}} = -Fd \quad \cdots ①$$
仕事と運動エネルギーの関係 \(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W_{\text{抵抗力}}\) より、次のように立式できます。
$$0 – \frac{1}{2}mv_0^2 = -Fd \quad \cdots ②$$
使用した物理公式
- 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
- 仕事: \(W = (\text{力}) \times (\text{力の向きの変位})\) または \(W = Fx \cos\theta\)
- 仕事と運動エネルギーの関係: \(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W\)
式②を \(F\) について解きます。
まず、両辺に \(-1\) を掛けて、符号を整理します。
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = Fd$$
次に、この式を \(F\) について解くと、
$$F = \frac{mv_0^2}{2d} \quad \cdots ③$$
弾丸が最初に持っていた運動エネルギー（\(\frac{1}{2}mv_0^2\)）が、木材の中を \(d\) だけ進む間に、抵抗力 \(F\) に逆らって仕事をすることで、すべて熱に変わってしまったと考えます。つまり、「最初の運動エネルギー」＝「抵抗力がした仕事（の絶対値）」という関係です。これを式にすると \(\frac{1}{2}mv_0^2 = Fd\) となり、ここから \(F\) を求めます。
抵抗力の大きさは \(F = \displaystyle\frac{mv_0^2}{2d}\) [N] です。
この結果の単位を確認すると、分子が \(\text{kg} \cdot (\text{m/s})^2 = \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2\)、分母が \(\text{m}\) なので、全体として \(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\) となり、これは力 \(F\) の単位 [N]（ニュートン）と一致します。物理的な次元も合っていますね。
また、\(v_0\) が大きいほど、または \(d\) が小さいほど \(F\) が大きくなるという関係も、直感的に理解できる結果です。
問 I (2)
思考の道筋とポイント
弾丸が木材を「貫く」ぎりぎりの状態とは、弾丸が木材の長さ \(l\) だけ進んで、木材の反対側の面に達した瞬間にちょうど止まる（速度が0になる）状態を指します。このときも、弾丸の運動エネルギーが抵抗力 \(F\) による仕事で全て失われると考えます。抵抗力 \(F\) の大きさは(1)で求めたものを使用します。
この設問における重要なポイント
- 木材は静止したままです。
- 「貫くぎりぎり」とは、木材の長さ \(l\) を進んでちょうど速度が \(0\) になる状態です。
- 抵抗力 \(F\) は(1)で求めた \(F = \displaystyle\frac{mv_0^2}{2d}\) を使います。
- ここでも仕事と運動エネルギーの関係式を利用します。
具体的な解説と立式
弾丸が木材を貫くために必要となるはじめの速さを \(v_1\) とします。
このときの初めの運動エネルギーは \(K_{\text{初}} = \displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2\) です。
貫くぎりぎりの状態では、木材の長さ \(l\) だけ進んで止まるので、後の運動エネルギーは \(K_{\text{後}} = 0\) です。
この間に抵抗力 \(F\) がした仕事 \(W_{\text{抵抗力}}\) は、
$$W_{\text{抵抗力}} = -Fl \quad \cdots ④$$
仕事と運動エネルギーの関係 \(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W_{\text{抵抗力}}\) より、
$$0 – \frac{1}{2}mv_1^2 = -Fl \quad \cdots ⑤$$
使用した物理公式
- 仕事と運動エネルギーの関係: \(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W\)
式⑤を \(v_1\) について解きます。
まず、両辺に \(-1\) を掛けて符号を整理します。
$$\frac{1}{2}mv_1^2 = Fl$$
次に、(1)で求めた抵抗力 \(F = \displaystyle\frac{mv_0^2}{2d}\) (式③) をこの式に代入します。
$$\frac{1}{2}mv_1^2 = \left(\frac{mv_0^2}{2d}\right)l$$
両辺の \(\displaystyle\frac{1}{2}m\) を消去します（\(m \neq 0\)）。
$$v_1^2 = \frac{v_0^2 l}{d}$$
\(v_1\) は速さなので \(v_1 > 0\) です。したがって、両辺の平方根をとると、
$$v_1 = \sqrt{\frac{v_0^2 l}{d}} = v_0 \sqrt{\frac{l}{d}} \quad \cdots ⑥$$
(1)と考え方はほとんど同じです。弾丸が持つ運動エネルギー（今度は \(\frac{1}{2}mv_1^2\)）が、抵抗力 \(F\) に逆らって木材の全長 \(l\) だけ仕事をすることで全て失われると考えます。式にすると \(\frac{1}{2}mv_1^2 = Fl\) となり、これに(1)で求めた \(F\) の値を代入して \(v_1\) を求めます。
弾丸が木材を貫くための最小の初速は \(v_1 = v_0 \sqrt{\displaystyle\frac{l}{d}}\) [m/s] です。
もし \(l=d\) ならば \(v_1 = v_0\) となり、これは(1)の状況（深さ \(d\) で止まる）と一致しますね。
もし \(l>d\) ならば \(\sqrt{l/d} > 1\) なので \(v_1 > v_0\) となります。これは、より長い距離を進むためには、より大きな初速が必要であることを意味しており、直感とも合致します。
問 II (3)
思考の道筋とポイント
今度は木材が滑らかな床の上にあるため、弾丸が打ち込まれると木材も動き出します。弾丸と木材は一体となって動くとのことです。
一体となった速さ \(v\) の求め方: 床が滑らかであるため、弾丸と木材を一つの「系」として考えると、水平方向には外力が働きません。したがって、この系の全運動量は保存されます。これを利用して \(v\) を求めましょう。
弾丸が入り込んだ深さ \(d’\) の求め方: 系全体のエネルギーの変化を考えます。弾丸の初期の運動エネルギーが、最終的に「一体となった弾丸と木材の運動エネルギー」と「弾丸が木材内部を相対的に \(d’\) だけ進む間に抵抗力 \(F\) がした仕事（これが摩擦熱となる）」に分配されると考えます。抵抗力 \(F\) の大きさは(1)で求めたものと同じです。
この設問における重要なポイント
- 床は滑らか \(\rightarrow\) 水平方向の外力は働かない \(\rightarrow\) 弾丸と木材の系で運動量保存則が成り立ちます。
- 弾丸と木材は一体となって同じ速さ \(v\) で動きます。
- エネルギー保存則を考える際には、抵抗力による仕事（摩擦熱）を考慮に入れます。この摩擦熱は \(Fd’\) と表されます（\(d’\) は弾丸が木材に対して相対的に進んだ距離）。
- 抵抗力 \(F\) は(1)で求めた値を使用します。
具体的な解説と立式
まず、一体となった速さ \(v\) を求めます。
衝突前の弾丸の運動量は \(mv_0\)。木材は静止しているので運動量は \(0\) です。
したがって、衝突前の系の全運動量 \(p_{\text{初}}\) は、
$$p_{\text{初}} = mv_0 + M \cdot 0 = mv_0$$
衝突後、弾丸と木材は一体となり、質量 \((m+M)\) の物体として速さ \(v\) で動きます。
したがって、衝突後の系の全運動量 \(p_{\text{後}}\) は、
$$p_{\text{後}} = (m+M)v$$
運動量保存則 \(p_{\text{初}} = p_{\text{後}}\) より、
$$mv_0 = (m+M)v \quad \cdots ⑦$$
次に、弾丸が入り込んだ深さ \(d’\) を求めます。
系の初めの力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\) は、弾丸の運動エネルギーのみです。
$$E_{\text{初}} = \frac{1}{2}mv_0^2$$
弾丸と木材が一体となった後の系の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\) は、一体となった物体の運動エネルギーです。
$$E_{\text{後}} = \frac{1}{2}(m+M)v^2$$
この過程で、弾丸が木材の内部を相対的に距離 \(d’\) だけ進む間に、抵抗力 \(F\) が仕事をし、その分が摩擦熱 \(Q_{\text{熱}}\) となります。この摩擦熱は \(Q_{\text{熱}} = Fd’\) と表されます。
エネルギー保存則（より正確には、仕事とエネルギーの関係）を考慮すると、初めの力学的エネルギーが、後の力学的エネルギーと発生した摩擦熱の和に等しくなります。
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)v^2 + Fd’ \quad \cdots ⑧$$
使用した物理公式
- 運動量保存則: \(m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_1′} + m_2\vec{v_2′}\) （特に一次元の合体では \(m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)V\)）
- エネルギー保存則（非保存力の仕事を含む場合）: \(E_{\text{力学・初}} = E_{\text{力学・後}} + Q_{\text{熱}}\)
速さ \(v\) の計算:
式⑦から \(v\) を求めます。両辺を \((m+M)\) で割ると、
$$v = \frac{m}{m+M}v_0 \quad \cdots ⑨$$
深さ \(d’\) の計算:
式⑧を \(Fd’\) について解きます。
$$Fd’ = \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{2}(m+M)v^2$$
この式に、上で求めた \(v = \displaystyle\frac{m}{m+M}v_0\) (式⑨) を代入します。
$$Fd’ = \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{2}(m+M)\left(\frac{m}{m+M}v_0\right)^2$$
右辺第2項の括弧を展開します。
$$Fd’ = \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{2}(m+M)\frac{m^2}{(m+M)^2}v_0^2$$
右辺第2項の \((m+M)\) を約分します。
$$Fd’ = \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{2}\frac{m^2}{m+M}v_0^2$$
右辺を \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\) でくくりだします。
$$Fd’ = \frac{1}{2}mv_0^2 \left(1 – \frac{m}{m+M}\right)$$
括弧の中を通分して計算します。\(1 – \displaystyle\frac{m}{m+M} = \frac{m+M-m}{m+M} = \frac{M}{m+M}\)。
$$Fd’ = \frac{1}{2}mv_0^2 \left(\frac{M}{m+M}\right) \quad \cdots ⑩$$
最後に、(1)で求めた抵抗力 \(F = \displaystyle\frac{mv_0^2}{2d}\) (式③) をこの式の左辺に代入します。
$$\left(\frac{mv_0^2}{2d}\right)d’ = \frac{1}{2}mv_0^2 \left(\frac{M}{m+M}\right)$$
両辺の \(\displaystyle\frac{mv_0^2}{2}\) を消去します（\(m \neq 0, v_0 \neq 0\) と考えられます）。
$$\frac{d’}{d} = \frac{M}{m+M}$$
したがって、\(d’\) は、
$$d’ = \frac{M}{m+M}d \quad \cdots ⑪$$
速さ \(v\): 弾丸が木材にぶつかる前後で、弾丸と木材を合わせた全体の「勢い」（運動量）は変わりません。だから、「（弾丸の質量）×（弾丸の初速）＝（弾丸と木材の合計質量）×（一体となった速さ \(v\)）」という式を立てて \(v\) を求めます。
深さ \(d’\): 弾丸が最初に持っていた運動エネルギーが、最終的に「一体となった物体の運動エネルギー」と「弾丸が木材にめり込むときの摩擦で発生した熱（\(Fd’\)）」の２つに分けられた、と考えます。つまり、「（初めの弾丸の運動エネルギー）＝（後の全体の運動エネルギー）＋（摩擦熱）」というエネルギーの保存の式を立てます。これに(1)で求めた抵抗力 \(F\) と、上で計算した速さ \(v\) を代入して、\(d’\) を計算します。
一体となった速さは \(v = \displaystyle\frac{m}{m+M}v_0\) [m/s] です。
弾丸が入り込んだ深さは \(d’ = \displaystyle\frac{M}{m+M}d\) [m] です。
速さ \(v\) について、\(m+M > m\) なので、\(v < v_0\) となります。これは、弾丸が木材を動かすためにエネルギーを使うため、弾丸自身の速さが落ち、結果として一体となった後の速さは弾丸の初速より小さくなることを意味しており、物理的に妥当です。
深さ \(d’\) について、\(m+M > M\) なので、\(\displaystyle\frac{M}{m+M} < 1\) となります。したがって \(d’ < d\) です。これは、木材が固定されていた場合(I)に比べて、木材が動くことで弾丸が入り込む深さは浅くなることを示しています。弾丸の運動エネルギーの一部が木材を動かす運動エネルギーとして使われるため、抵抗力によって熱に変えられるエネルギーがその分減るためと考えられ、これも妥当な結果です。
問 II (4)
思考の道筋とポイント
弾丸が木材を「貫く」ぎりぎりの状況を考えます。この場合、弾丸が木材の長さ \(l\) だけ進んで木材の右端からちょうど出た瞬間に、弾丸と木材の速度が一時的に同じになる（つまり、その瞬間だけ見れば一体化して同じ速度 \(u\) で動く）と考えるのが一般的なアプローチです。この考え方に従い、運動量保存則とエネルギー保存則（摩擦熱 \(Fl\) を考慮）を連立させて解きます。抵抗力 \(F\) は(1)で求めた値を使用します。
この設問における重要なポイント
- 床は滑らかであり、運動量保存則が利用できます。
- 「貫くぎりぎり」とは、弾丸が木材の長さ \(l\) だけ相対的に進み、その瞬間に弾丸と木材が同じ速度 \(u\) になると考えます（この後、弾丸は木材から離れていきます）。
- エネルギー保存則では、摩擦熱 \(Fl\) を考慮します。
- 抵抗力 \(F\) は(1)で求めた \(F = \displaystyle\frac{mv_0^2}{2d}\) を使います。
具体的な解説と立式
弾丸が木材を貫くための最小の初速を \(v_2\) とします。
貫通するぎりぎりの瞬間、つまり弾丸が木材の右端に達したとき、弾丸と木材は同じ速度 \(u\) になると仮定します。
運動量保存則より、はじめの弾丸の運動量 \(mv_2\) が、貫通ぎりぎりで一体とみなせる状態の運動量 \((m+M)u\) に等しくなります。
$$mv_2 = (m+M)u \quad \cdots ⑫$$
エネルギー保存則を考えます。弾丸が木材の内部を相対的に \(l\) だけ進んだので、発生する摩擦熱は \(Fl\) です。
初めの弾丸の運動エネルギーが、貫通ぎりぎりの状態での（一体となったとみなせる）運動エネルギーと摩擦熱の和に等しくなります。
$$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}(m+M)u^2 + Fl \quad \cdots ⑬$$
使用した物理公式
- 運動量保存則
- エネルギー保存則（非保存力の仕事を含む）
式⑫から \(u\) を \(v_2\) で表します。
$$u = \frac{m}{m+M}v_2$$
これを式⑬に代入します。
$$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}(m+M)\left(\frac{m}{m+M}v_2\right)^2 + Fl$$
右辺第1項の括弧を展開します。
$$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}(m+M)\frac{m^2}{(m+M)^2}v_2^2 + Fl$$
右辺第1項の \((m+M)\) を約分します。
$$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}\frac{m^2}{m+M}v_2^2 + Fl$$
\(Fl\) 以外の項を左辺に集めて、\(\displaystyle\frac{1}{2}v_2^2\) で整理します。
$$\frac{1}{2}v_2^2 \left(m – \frac{m^2}{m+M}\right) = Fl$$
左辺の括弧の中を通分して計算します。\(m – \displaystyle\frac{m^2}{m+M} = \frac{m(m+M)-m^2}{m+M} = \frac{m^2+mM-m^2}{m+M} = \frac{mM}{m+M}\)。
$$\frac{1}{2}v_2^2 \left(\frac{mM}{m+M}\right) = Fl$$
この式を \(v_2^2\) について解きます。
$$v_2^2 = \frac{2Fl(m+M)}{mM} \quad \cdots ⑭$$
ここで、(1)で求めた抵抗力 \(F = \displaystyle\frac{mv_0^2}{2d}\) (式③) を代入します。
$$v_2^2 = \frac{2\left(\frac{mv_0^2}{2d}\right)l(m+M)}{mM}$$
分子の \(2\) と分母の \(2d\) の中の \(2\) を約分し、さらに分子の \(m\) と分母の \(m\) を約分します。
$$v_2^2 = \frac{\frac{mv_0^2}{d}l(m+M)}{mM} = \frac{mv_0^2 l(m+M)}{mMd}$$
もう一度、分子の \(m\) と分母の \(m\) を約分します。
$$v_2^2 = \frac{v_0^2 l(m+M)}{Md}$$
\(v_2\) は速さなので \(v_2 > 0\) です。したがって、両辺の平方根をとると、
$$v_2 = v_0 \sqrt{\frac{l(m+M)}{Md}} \quad \cdots ⑮$$
ここでも、まず「運動量保存」の式を立てます。弾丸が木材にぶつかる前の勢いが、貫通するぎりぎりの瞬間に（一時的に一体となったと考えて）全体の勢いと同じになる、という考え方です。次に「エネルギー保存」の式。初めの弾丸の運動エネルギーが、貫通ぎりぎりの瞬間の全体の運動エネルギーと、木材を貫く間に摩擦で発生した熱（今度は木材の全長 \(l\) に対応して \(Fl\)）の合計になる、と考えます。この２つの式を連立させて、貫通に必要な初速 \(v_2\) を求めます。
弾丸が木材を貫くための最小の初速は \(v_2 = v_0 \sqrt{\displaystyle\frac{l(m+M)}{Md}}\) [m/s] です。
この結果を、木材を固定した場合の貫通速度 \(v_1 = v_0 \sqrt{\displaystyle\frac{l}{d}}\) (式⑥) と比較してみましょう。
\(\displaystyle\frac{v_2}{v_1} = \frac{v_0 \sqrt{\frac{l(m+M)}{Md}}}{v_0 \sqrt{\frac{l}{d}}} = \sqrt{\frac{l(m+M)}{Md} \cdot \frac{d}{l}} = \sqrt{\frac{m+M}{M}} = \sqrt{1 + \frac{m}{M}}\) となります。
\(m\) と \(M\) はどちらも正の質量なので、\(1 + \frac{m}{M} > 1\) であり、したがって \(\sqrt{1 + \frac{m}{M}} > 1\) です。よって、\(v_2 > v_1\) となります。
これは、木材が動ける場合の方が、固定されている場合よりも貫通させるのにより大きな初速が必要になることを意味します。弾丸のエネルギーの一部が木材を動かす運動エネルギーにも使われてしまうため、木材を貫通させるという仕事（摩擦熱の発生）に使えるエネルギーが相対的に減ってしまうからだと考えられ、物理的に妥当な結果と言えます。
【コラム】Q. 摩擦熱と仕事の関係について深掘り！
問題文の最後にあったこの質問、「前ページの図で、赤矢印で示された抵抗力 \(F\) がした仕事は負で、\(-Fx\) と読み取れる。すると、摩擦熱は \(Fx\) になりそうに思えるが、この考え方はどこが誤っているのか。(★)」について考えてみましょう。これは特に木材が動く場合（パートII）のエネルギー考察で非常に重要なポイントです。
解説:
この疑問を解き明かす鍵は、「どの物体がどの力から仕事をされ、その結果どうなるのか」を正確に捉えることです。
- 弾丸が抵抗力 \(F\) からされる仕事:
弾丸は、木材から進行方向とは逆向き（左向き）の抵抗力 \(F\) を受けます。そして、床に対して距離 \(x\)（右向き）だけ進みます。したがって、抵抗力が弾丸にする仕事 \(W_{\text{弾丸への仕事}}\) は、ご指摘の通り \(-Fx\) となります。この仕事は弾丸の運動エネルギーを減少させる効果があります。 - 木材が抵抗力の反作用からされる仕事:
作用・反作用の法則により、弾丸が木材から抵抗力 \(F\)（左向き）を受けるとき、木材は弾丸から同じ大きさ \(F\) の力（右向き、弾丸の進行方向と同じ向き）を受けます。木材はこの力を受けながら、床に対して距離 \(X\)（右向き）だけ進みます。したがって、この弾丸からの反作用が木材にする仕事 \(W_{\text{木材への仕事}}\) は \(+FX\) となります。この仕事は木材の運動エネルギーを増加させる効果があります。 - 弾丸と木材からなる「系」全体で、抵抗力（およびその反作用）がした正味の仕事:
弾丸と木材を一つの「系」として考えた場合、これらの抵抗力とその反作用は系内部の力、すなわち「内力」です。この内力が系全体にした正味の仕事 \(W_{\text{系・抵抗関連}}\) は、それぞれの物体がされた仕事の合計となります。
$$W_{\text{系・抵抗関連}} = W_{\text{弾丸への仕事}} + W_{\text{木材への仕事}} = (-Fx) + (+FX) = -F(x-X)$$ - 摩擦熱との関係:
問題の図から、弾丸が木材に対して相対的にめり込んだ深さ \(d’\) は、弾丸の床に対する移動距離 \(x\) と木材の床に対する移動距離 \(X\) の差で与えられます。つまり、\(d’ = x-X\) です。
これを先ほどの \(W_{\text{系・抵抗関連}}\) の式に代入すると、
$$W_{\text{系・抵抗関連}} = -F(x-X) = -Fd’$$
この仕事 \(W_{\text{系・抵抗関連}}\) は負の値です。これは何を意味するのでしょうか？ これは、弾丸と木材の系の力学的エネルギーが、これらの内力の働きによって \(Fd’\) だけ減少したことを示しています。そして、この減少した力学的エネルギーこそが、弾丸と木材の間で発生した摩擦熱 \(Q_{\text{熱}}\) に等しいのです。
$$Q_{\text{熱}} = Fd’$$
だから、(3)のエネルギー保存則の式 \(\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m+M)v^2 + Fd’\) における \(Fd’\) の項は、まさにこの発生した摩擦熱を表しているわけです。
誤解の原因とまとめ:
「摩擦熱は \(Fx\) になりそう」と考えてしまうのは、弾丸の視点だけで仕事を評価し、弾丸がされた負の仕事の絶対値がそのまま熱になる、と考えてしまうためかもしれません。しかし、木材も弾丸から力を受けて（正の）仕事をされており、これも考慮に入れる必要があります。
摩擦熱は、弾丸と木材が互いにこすれ合いながら動いた**相対的な距離**（この問題では \(d’\) や \(l\)）に、その間に働いていた抵抗力（またはその反作用）の大きさ \(F\) を掛けたものとして発生する、と理解するのが正しいアプローチです。この視点は、非保存力が働く系のエネルギー問題を考える上で非常に重要です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 仕事と運動エネルギーの関係（エネルギー保存則）:
- この問題を解く上で最も根幹となる法則の一つです。特に非保存力である抵抗力が物体にする仕事と、その物体の運動エネルギー変化の関係 (\(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W\)) を正確に理解し適用することが求められました。
- 抵抗力がする仕事が負となり、それが熱エネルギーに変換されるという視点（パートI、パートII共通）、または系のエネルギー保存を考える際に発生熱量 \(Q_{\text{熱}}\) を考慮に入れること（パートII: \(E_{\text{力学・初}} = E_{\text{力学・後}} + Q_{\text{熱}}\)）が鍵でした。
- 運動量保存則:
- パートIIで木材が動く状況において、弾丸と木材を一つの「系」と見なしたとき、床が滑らかであるために水平方向には外力が働かず、系の全運動量が保存されること。これは衝突や合体といった現象を扱う上での基本的な考え方です。
- どの範囲を「系」と定義するか、その系に働く「外力」は何か（そしてそれは無視できるか）を見極めることが、運動量保存則適用の第一歩です。
- 内力と外力の区別と役割:
- 弾丸と木材の間で働く抵抗力とその反作用は、弾丸と木材を一つの系として見た場合には「内力」となります。内力は系の運動量を変えることはありませんが、系の力学的エネルギーを熱のような他の形態のエネルギーに変換することができます。
- 床からの垂直抗力や重力は「外力」ですが、この問題では水平方向の運動に注目しているため、水平方向の外力の有無が運動量保存則の適用判断に重要でした。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法が応用できる類似問題のパターン:
- 摩擦のある水平面や斜面を物体が滑る問題（動摩擦力が抵抗力と同様の役割を果たします）。
- ばねに物体が衝突したり、弾丸がばねに打ち込まれたりする問題（この場合は弾性エネルギーも力学的エネルギーに含めて考えます）。
- 複数の物体が衝突し、合体したり分裂したりする問題全般（運動量保存則が主役になることが多いです）。
- 杭打ち機のように、抵抗を受けながら物体が地面などにめり込んでいく現象の解析。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
- 保存則の適用可能性の検討:
- まず、系に働く外力の合力がゼロ（または特定の方向でゼロ）かどうかを確認し、運動量保存則が使える場面か判断します。衝突、合体、分裂などのキーワードがあれば、運動量保存則を優先的に考えましょう。
- 次に、エネルギーについて考えます。摩擦力や空気抵抗などの非保存力が仕事をするかどうかに注目します。仕事をする場合は、仕事と運動エネルギーの関係（あるいは熱の発生を含むエネルギー保存）を、しない場合は力学的エネルギー保存則を適用します。
- 「系」の適切な設定:
- 複数の物体が相互作用している場合、どの物体群を一つの「系」として扱うかによって、内力と外力の区別や、適用できる保存則が変わってきます。問題に応じて最適な「系」を設定する能力が重要です。
- 力の作用・反作用の法則の意識:
- 複数の物体間で力が及ぼしあう場合、それぞれの物体にどのような力が働いているのか、図を描いて力を正確に把握することが不可欠です。特に内力はペアで存在します。
- 相対運動の視点の活用:
- パートIIの(3)や(4)の【別解】で示したように、一方の物体から見たもう一方の物体の運動（相対速度、相対加速度、相対変位）に着目すると、問題の見通しが良くなったり、計算が簡略化されたりすることがあります。特に、摩擦が絡む問題で「相対的にどれだけこすれ合ったか」は摩擦熱の計算に直結します。
- 保存則の適用可能性の検討:
- 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
- 力の向きと物体の運動（変位）の向きを正確に把握し、仕事の正負を間違えないようにしましょう。
- 「静止した」「一体となった」「貫通した（ぎりぎり）」といった問題文中の言葉が、物理的にどのような状態（速度は？相対速度は？エネルギーは？）を指しているのかを明確にイメージすることが大切です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 運動量保存則と力学的エネルギー保存則の混同や誤用:
- 現象: 運動量が保存される衝突（特に非弾性衝突）であっても、力学的エネルギーが保存されるとは限りません。今回の問題のように抵抗力（摩擦力）が働く場合、力学的エネルギーは熱に変わり減少します。
- 対策: それぞれの保存則が成り立つための条件（運動量保存: 外力の合力がゼロ。力学的エネルギー保存: 保存力以外の力が仕事をしない）を正確に理解し、問題の状況に応じて使い分ける訓練をしましょう。
- 仕事の計算における「距離」の誤解:
- 現象: 特にパートIIのように木材が動く場合、抵抗力がした仕事（最終的に摩擦熱になる部分）を計算する際の距離 \(d’\) や \(l\) は、弾丸が木材に対して相対的に進んだ距離です。床などの静止系から見た絶対的な移動距離ではない点に注意が必要です。
- 対策: 仕事を計算する際には、その力が働いている間に物体が「どの基準に対して」「どの方向に」「どれだけ」変位したのかを常に明確に意識しましょう。
- 抵抗力 \(F\) の値の扱い:
- 現象: この問題では、抵抗力 \(F\) の大きさが常に一定であるという重要な仮定があります。また、パートIの(1)で求めた \(F\) の具体的な式を、パートI(2)やパートIIでも使用することを見落とさないようにしましょう。
- 対策: 問題文の条件（力が一定か、変化するかなど）を注意深く読み取ること。そして、設問間で導出した結果が後の設問で利用できるかどうかを常に意識することが大切です。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
- パートI (木材固定時): 弾丸が木材にくい込んでいく際に、まるで硬いバターにナイフが入るように、周囲から抵抗を受けながら運動エネルギーを失っていく様子をイメージします。最終的にピタッと止まるまで、エネルギーが熱に変わっていく連続的な過程を思い描きましょう。
- パートII (木材滑走時): 弾丸が木材に接触した瞬間から、弾丸は木材を前方に押し始め、木材はそれによって加速されます。同時に弾丸自身は木材からの抵抗力で減速します。この「押す・押される」関係の中で、両者が一体となって進む場合や、弾丸が木材を突き抜けていく場合の違いを、スローモーションで再生するようにイメージできると良いでしょう。
- 図示（力の図示、運動の図示）の有効性とポイント:
- 力の図示: 各物体（弾丸、木材）にはたらく力を、作用点を明確にして矢印で正確に描くことが基本です。特に、弾丸に働く抵抗力と、木材に働くその反作用は、同じ大きさで逆向きであること（作用・反作用の法則）を意識して図示すると、力の関係性が明確になります。
- 運動の図示: 衝突前、衝突中（めり込んでいる最中）、衝突後（一体化または貫通）のそれぞれの段階で、各物体の速度ベクトルを模式的に描くと、運動量の変化やエネルギーの移り変わりを視覚的に捉えやすくなります。
- 図を描く際には、座標軸を適切に設定すると、力の成分分解や運動方程式の立式がスムーズに進みます。また、相対運動を考える際には、どの物体から見た運動を描いているのかを常に明確にすることが混乱を防ぐコツです。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 仕事と運動エネルギーの関係 \(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W\):
- 選定理由: 「抵抗力」という非保存力が存在し、それによって物体の速さが変化し「止まった」あるいは「貫いた（ぎりぎり止まった）」というように、運動エネルギーの変化が明確に記述されているため。
- 適用根拠: 物体が力を受けて運動状態が変化するあらゆる場合に成り立つ普遍的な関係式であるため、安心して適用できます。特に、エネルギーが熱に変わるような状況では必須の考え方です。
- 運動量保存則 \(\sum p_{\text{初}} = \sum p_{\text{後}}\):
- 選定理由: パートIIで「床が滑らか」という条件があり、弾丸と木材を一つの系と見なすと、水平方向には外力が作用しない（または無視できるほど小さい）と判断できるため。また、「一体となって動いた」や「貫いた」という記述は、衝突・合体・分裂といった運動量保存則が活躍する典型的な場面です。
- 適用根拠: 外力の合力がゼロである（またはある方向成分がゼロである）系において、その系（またはその方向成分）の全運動量は時間的に変化しない、というニュートンの運動法則から導かれる基本法則であるため。
- 公式選択の訓練:
- 問題を読んだときに、「この状況ではどの物理法則が使えるだろうか？」「その法則が使える根拠（条件）はこの問題で満たされているだろうか？」と常に自問自答する癖をつけることが、論理的な公式選択能力を高める上で非常に重要です。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 問題状況の正確な把握:
- 木材は固定されているか、滑らかな床の上か？
- 弾丸の最終的な状態はどうなるか？（停止、一体化、貫通など）
- 与えられている物理量は何か？求める物理量は何か？
- 適用する物理法則の選択:
- 木材固定の場合: 主に仕事と運動エネルギーの関係。
- 木材が動ける場合: 運動量保存則と、仕事とエネルギーの関係（熱の発生を含む）の両方を視野に入れる。
- 変数の設定と図による状況整理:
- 未知の速さ、距離、抵抗力などを適切な文字で置きます。
- 物体にはたらく力や運動の様子を簡単な図で表現し、状況を視覚的に整理します。
- 選択した法則に基づく立式:
- 仕事とエネルギーの関係式では、どのエネルギーがどの仕事によってどのように変化したのか（あるいは熱になったのか）を正確に対応させます。初状態と後状態を明確にしましょう。
- 運動量保存の式では、注目する系の衝突（相互作用）前と後での全運動量が等しいことをベクトル量（一次元なら符号）に注意して立式します。
- 方程式の計算と解の導出:
- 立式した方程式（または連立方程式）を、求める変数について解きます。文字計算が多い場合は、計算ミスをしないよう、式を整理しながら慎重に進めます。
- 解の吟味と物理的な妥当性の確認:
- 得られた答えの単位は正しいか？
- 例えば、(3)で \(d’ < d\) となったように、他の条件との比較や極端な場合を考えて、結果が物理的に直感と合うかなどを検討します。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 計算過程における注意点（今回の問題より）:
- パートII(3)の深さ \(d’\) の導出や、パートII(4)の初速 \(v_2\) の導出では、多くの文字変数を含む分数の計算や式の変形が必要でした。このような場面では、通分、約分、括り出し、代入のタイミングなどを一つ一つ丁寧に行うことがミスを防ぐ鍵です。
- 特に、抵抗力 \(F = \displaystyle\frac{mv_0^2}{2d}\) を他の式に代入する際には、分数の分母分子を間違えないように、また、式全体が煩雑になりすぎないように注意が必要です。
- 日頃の計算練習で意識すべきこと:
- 途中式を丁寧に書く: 暗算に頼らず、一行一行、どのような計算操作（例: 「両辺を \(m\) で割る」「\(x\) について整理する」「式(A)を式(B)に代入する」など）を行っているのかを意識しながら記述する習慣をつけましょう。
- 計算のパターンを習得する: 物理でよく出てくる計算の形（特に複雑な分数の整理や連立方程式の解法など）は、何度も練習してスムーズに処理できるようにしておくと、思考の負担を減らせます。
- 検算の習慣: 時間が許せば、導出した答えを元の式に代入してみたり、異なるアプローチで計算してみたりして検算する習慣をつけましょう。また、前述の「解の吟味」も一種の検算として有効です。
- 単位の確認: 計算の各ステップで、物理量の単位が正しく扱われているか意識することも、間違いの発見に繋がります。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
- 極端な場合を考える: 例えば、パートII(3)で得られた深さ \(d’ = \displaystyle\frac{M}{m+M}d\) について考えてみましょう。
- もし木材の質量 \(M\) が非常に小さい（\(M \rightarrow 0\)）とすると、\(d’ \rightarrow 0\) となります。これは、非常に軽い木材は弾丸の衝突によってすぐに弾丸と同じ速さになってしまうため、弾丸はほとんど木材にめり込むことができない、という直感に合います。
- 逆に、もし木材の質量 \(M\) が非常に大きい（\(M \rightarrow \infty\)、つまり木材がほとんど動かない固定状態に近い）とすると、\(\displaystyle\frac{M}{m+M} = \frac{1}{m/M + 1} \rightarrow 1\) となり、\(d’ \rightarrow d\) となります。これは、パートI(1)の木材固定時の結果と一致し、妥当性が高いと言えます。
- 他の条件との比較: パートII(4)で \(v_2 > v_1\) であることを確認したように、異なる条件下での結果を比較し、その大小関係や傾向が物理的な直感や予想と一致するかどうかを検討することも有効な吟味方法です。
- 単位の一貫性: 計算結果の単位が、求めようとしている物理量の単位として正しいかどうかを常に確認しましょう。
- 極端な場合を考える: 例えば、パートII(3)で得られた深さ \(d’ = \displaystyle\frac{M}{m+M}d\) について考えてみましょう。
- 解の吟味の効用:
- 問題を解きっぱなしにせず、得られた答えの意味を深く考えることで、物理現象に対する理解が一層深まります。
- また、計算ミスや立式の誤りなど、ケアレスミスを発見する良い機会にもなります。
- この「吟味する」という習慣は、物理だけでなく、科学的な思考力全般を高める上で非常に大切です。
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