「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第4章】基本例題～基本問題72

基本例題

基本例題13 運動方程式

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「運動方程式の基本的な適用」です。物体にはたらく力を正しく見つけ出し、運動の法則に基づいて方程式を立てる、力学の最も重要なプロセスを学びます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
与えられた力（張力）の値から、物体の加速度を求める、運動方程式の最も基本的な適用問題です。まずは物体にはたらく力を正確に図示し、次に自分で設定した座標軸の向きに従って、力の符号を間違えずに運動方程式を立てることが最も重要です。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式 \(ma=F\) の右辺 \(F\) は、物体にはたらく全ての力を合わせた「合力」である。
• 計算を始める前に、必ず座標軸の「正の向き」を自分で決める。
• 正の向きと同じ向きの力は正（プラス）、逆向きの力は負（マイナス）として合力を計算する。

具体的な解説と立式
質量 \(m=10 \text{ kg}\) の物体にはたらく力は、鉛直上向きの張力 \(T\) と、鉛直下向きの重力 \(mg\) の2つです。

まず、重力の大きさを計算します。
$$ W = mg $$
次に、座標軸を設定します。ここでは、鉛直上向きを正の向きとします。

この設定に従い、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。

• 左辺は \(ma\)。
• 右辺の合力 \(F\) は、正の向きにはたらく力（張力 \(T\)）から、負の向きにはたらく力（重力 \(mg\)）を引いたものになります。

したがって、運動方程式は次のようになります。
$$ ma = T – mg $$

立式した運動方程式 \(ma = T – mg\) に、問題で与えられた値を代入します。

\(m=10 \text{ kg}\), \(T=148 \text{ N}\), \(g=9.8 \text{ m/s}^2\) です。
$$
\begin{aligned}
10 \times a &= 148 – 10 \times 9.8 \\[2.0ex]
10a &= 148 – 98 \\[2.0ex]
10a &= 50 \\[2.0ex]
a &= \displaystyle\frac{50}{10} \\[2.0ex]
a &= 5.0 \text{ [m/s}^2\text{]}
\end{aligned}
$$

物体の運動の様子を計算するための公式「運動方程式」を使います。この式は「質量 × 加速度 = 物体にはたらく力の合計（合力）」という関係を表します。
まず、物体にかかっている力を全て見つけます。今回は、糸が上に引く力「張力 \(148 \text{ N}\)」と、地球が下に引く力「重力 \(98 \text{ N}\)」の2つです。
次に、計算の基準となる向きを決めます。ここでは「上向き」をプラス（正）の向きとしましょう。すると、合力はプラスの力（張力）からマイナスの力（重力）を引いて、\(148 – 98 = 50 \text{ N}\) となります。
これを運動方程式に当てはめると「\(10 \text{ kg} \times a = 50 \text{ N}\)」という式ができます。この式を解くことで、加速度 \(a\) が \(5.0 \text{ m/s}^2\) であることがわかります。

計算結果は \(a = +5.0 \text{ m/s}^2\) となりました。値が正（プラス）であるため、加速度の向きは、最初に設定した正の向き、すなわち「鉛直上向き」であることがわかります。
上向きの張力（\(148 \text{ N}\)）が下向きの重力（\(98 \text{ N}\)）よりも大きいので、物体が上向きに加速するという結果は物理的に考えても妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
今度は物体の加速度が与えられており、未知の力である張力 \(T\) を求める問題です。基本的な考え方は(1)と全く同じで、運動方程式を立てて解きます。ここでの鍵は、与えられた加速度の「向き」を、自分で設定した座標軸に合わせて「符号」として正しく式に反映させることです。
この設問における重要なポイント

• 座標軸の正の向きと逆向きのベクトル量（速度、加速度など）は、負（マイナス）の値で表現される。
• この解説では鉛直上向きを正としているため、鉛直下向きの加速度 \(2.0 \text{ m/s}^2\) は、運動方程式に \(a = -2.0 \text{ m/s}^2\) として代入する必要がある。

具体的な解説と立式
(1)と同様に、鉛直上向きを正の向きとして運動方程式 \(ma = T – mg\) を用います。

問題文には「物体が鉛直下向きに \(2.0 \text{ m/s}^2\) の加速度で下降」とあります。これは、我々が設定した正の向き（鉛直上向き）とは逆向きの加速度です。

したがって、運動方程式に代入する加速度 \(a\) の値は、負の符号をつけた \(a = -2.0 \text{ m/s}^2\) となります。

これを運動方程式に代入すると、以下の式が得られます。
$$ m \times (-2.0) = T – mg $$

立式した運動方程式 \(m \times (-2.0) = T – mg\) に、数値を代入して \(T\) を求めます。

\(m=10 \text{ kg}\), \(g=9.8 \text{ m/s}^2\) です。
$$
\begin{aligned}
10 \times (-2.0) &= T – 10 \times 9.8 \\[2.0ex]
-20 &= T – 98 \\[2.0ex]
T &= 98 – 20 \\[2.0ex]
T &= 78 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

(1)と同じく「質量 × 加速度 = 合力」の運動方程式を使います。向きの基準も(1)と同じく「上向き」をプラスとします。
今回は、物体が「下向きに \(2.0 \text{ m/s}^2\)」で加速しています。これはプラスの向きとは逆なので、加速度はマイナスの値、つまり \(a = -2.0\) として扱います。
合力は、まだわからない上向きの張力 \(T\) と下向きの重力 \(98 \text{ N}\) を合わせて「\(T – 98\)」と表せます。
これらを運動方程式に当てはめると「\(10 \times (-2.0) = T – 98\)」という式ができます。この方程式を \(T\) について解くと、張力の大きさが求まります。

計算の結果、張力は \(T = 78 \text{ N}\) となりました。
この値は、物体の重力 \(98 \text{ N}\) よりも小さいです。下向きの重力の方が上向きの張力よりも強くはたらくため、物体が下向きに加速するという問題の状況と一致します。したがって、この結果は物理的に妥当であると言えます。

問(3)

思考の道筋とポイント
「一定の速さ」というキーワードが物理的に何を意味するのかを正しく解釈することが、この問題を解くための全てです。「速さが一定」ということは、速度が変化していない、つまり「加速度が0」であることを意味します。この事実を運動方程式に適用すれば、張力を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 「速さが一定」「等速」「等速度」という言葉は、全て加速度 \(a=0\) を意味する。
• 加速度 \(a=0\) のとき、運動方程式 \(ma=F\) は \(0=F\) となる。これは、物体にはたらく力の合力が0、すなわち「力がつりあっている」状態を表す式と全く同じである。
• 物体が上昇中か下降中か、またその速さの値（この問題では \(4.0 \text{ m/s}\)）は、加速度が0である限り、力の大きさには影響しない。

具体的な解説と立式
物体は「一定の速さ \(4.0 \text{ m/s}\) で上昇」しているため、その加速度は \(a=0 \text{ m/s}^2\) です。

これまでと同様に、鉛直上向きを正として立てた運動方程式 \(ma = T – mg\) を使います。

この式に \(a=0\) を代入します。
$$ m \times 0 = T – mg $$
この式を整理すると、
$$ T = mg $$
となり、これは上向きの張力と下向きの重力が等しいという「力のつりあい」の式そのものです。

\(a=0\) を代入した運動方程式（または、力のつりあいの式）を解きます。
$$
\begin{aligned}
10 \times 0 &= T – 10 \times 9.8 \\[2.0ex]
0 &= T – 98 \\[2.0ex]
T &= 98 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

問題文にある「一定の速さ」という言葉に注目します。これは、スピードが変わらない、つまり「加速も減速もしていない」状態を意味します。物理学では、これを「加速度が0」であると考えます。
運動方程式「質量 × 加速度 = 合力」に、この \(a=0\) を入れてみましょう。式は「\(10 \times 0 = T – 98\)」となります。
左辺が0になるので、式は「\(0 = T – 98\)」となり、これを解くと \(T=98 \text{ N}\) が求まります。これは、上向きの力と下向きの力が等しく、つりあっている状態を示しています。

計算の結果、張力は \(T = 98 \text{ N}\) となりました。この値は物体の重力（\(98 \text{ N}\)）の大きさとちょうど等しいです。
物体にはたらく力がつりあっている場合、物体は静止し続けるか、または等速直線運動を続けます（慣性の法則）。問題文の「一定の速さで上昇」という状況と、力がつりあっているという計算結果は完全に一致しており、妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 \(ma=F\):
  • 核心: この問題は、ニュートンの第二法則である運動方程式 \(ma=F\) を理解し、正しく適用できるかを試すものです。この一つの法則が、静止、等速運動、加速運動といった、物体が取りうる全ての運動状態を統一的に記述します。
  • 理解のポイント:
    • \(m\): 運動の変化のしにくさ（慣性）を表す質量。
    • \(a\): 運動の状態がどう変化しているかを表す加速度。速度の変化率です。
    • \(F\): 運動状態を変化させる原因となる力の「合計」（合力）。複数の力がはたらく場合は、ベクトルとして足し合わせる必要があります。
• 力のつりあいとの関係:
  • 核心: 物体が静止または等速直線運動をしている場合、加速度は \(a=0\) です。これを運動方程式に代入すると \(m \times 0 = F\)、すなわち \(F=0\) となります。これは「力のつりあい」の条件式そのものです。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあいは、運動方程式の特別な場合（\(a=0\) の場合）と理解することが重要です。これにより、静力学と動力学が同じ法則の下にあることがわかります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面上の運動: 重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解し、運動方程式を立てる問題。垂直抗力が加わります。
  • 摩擦力がはたらく運動: 運動を妨げる向きに動摩擦力がはたらきます。運動方程式の合力 \(F\) に、摩擦力の項が追加されます。
  • 連結された物体の運動: 2つ以上の物体が糸などでつながれて一緒に運動する問題。それぞれの物体について運動方程式を立て、張力などを未知数として連立方程式を解きます。
  • エレベーター内の運動: エレベーターが上下に加速する中で、中の物体の見かけの重さ（体重計の目盛りなど）を問う問題。観測者の立場によって慣性力を考えるか、絶対座標系で考えるかのアプローチがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体を特定する: まず、どの物体に着目して運動方程式を立てるのかを明確にします。
  2. 力を全て図示する: 着目物体にはたらく力を「もれなく、だぶりなく」全て矢印で描き出します。重力、張力、垂直抗力、摩擦力などが代表的です。
  3. 座標軸を設定する: 運動の向きや、斜面の向きに合わせて座標軸（正の向き）を設定します。一度決めたら、その問題の中では変えない方が混乱が少ないです。（ただし、設問ごとに変えるアプローチも有効です）
  4. 運動方程式を立てる: 座標軸の向きに従って、力と加速度の成分を正負の符号をつけて運動方程式 \(ma=F\) に代入します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力のつりあいと運動方程式の混同:
  • 誤解: (1)や(2)のように加速しているのに、力のつりあいの式 \(T=mg\) を立ててしまう。
  • 対策: 「加速しているか？」を常に自問する癖をつけます。問題文に「加速度」「〜の速さで上昇/下降」などの記述があれば、それは \(a \neq 0\) の可能性が高いです。力がつりあうのは「静止」または「速さが一定」のときだけ、と明確に区別します。
• 合力の計算ミス:
  • 誤解: 運動方程式の \(F\) に、はたらく力のうちの一つだけを代入してしまう。例えば(1)で \(10a = 148\) としてしまう。
  • 対策: \(F\) はあくまで「合力（力の合計）」であることを徹底します。力を図示した後、設定した正の向きに従って、全ての力を足し合わせる（逆向きの力は引く）という手順を必ず踏むようにします。
• 符号のミス:
  • 誤解: (2)で鉛直上向きを正とした場合に、下向きの加速度を \(a=2.0\) のまま代入してしまい、\(10 \times 2.0 = T – 98\) という誤った式を立てる。
  • 対策: 座標軸を設定したら、その向きを矢印で大きく書いておく。そして、全てのベクトル量（力、速度、加速度）をその矢印と見比べて、同じ向きならプラス、逆向きならマイナス、と一つ一つ確認しながら式に代入する習慣をつけます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: この問題は、物体に力がはたらき、その結果として物体の運動状態（速度）が変化する、という力学の根幹を扱っています。物体の「運動の変化（加速度 \(a\)）」と、その原因である「力（\(F\)）」の関係を記述する唯一の法則が運動方程式であるため、これを選択します。
  • 適用根拠:
    • (1), (2)のように加速度が0でない場合: 力が運動を変化させている状況なので、運動方程式を直接適用します。
    • (3)のように加速度が0の場合: 「速さが一定」という情報から \(a=0\) と判断し、運動方程式に代入します。これにより、結果として力のつりあいの式が導かれます。このように、運動方程式は力のつりあいの状態も内包する、より包括的な法則と位置づけられます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 重力の計算: 質量 \(m=10 \text{ kg}\) と重力加速度 \(g=9.8 \text{ m/s}^2\) から重力 \(W=mg\) を計算する際に、\(10 \times 9.8 = 98 \text{ N}\) という計算は頻出ですが、暗算に頼らず、毎回丁寧に確認します。
• 移項のミス: (2)の別解で \(20 = 98 – T\) から \(T\) を求める際に、\(T = 98 + 20\) のように符号を間違えるケアレスミスが起こりがちです。落ち着いて、\(T\) を左辺に、数値を右辺に移項する操作（\(T = 98 – 20\)）を丁寧に行います。
• 単位の確認: 計算結果が出たら、求めた物理量の単位が正しいかを確認する癖をつけます。加速度なら \(\text{[m/s}^2\text{]}\)、力なら \(\text{[N]}\) となっているかを見ることで、立式の間違いに気づくきっかけにもなります。
• 物理的な妥当性の吟味: (1)では上向きの力が重力より大きいから上に加速するはず、(2)では下に加速するから重力の方が上向きの力より大きいはず、(3)では等速だから力がつりあうはず、といった物理的な直感と計算結果が一致するかを最後に確認します。この一手間が、検算として非常に有効です。

基本例題14 斜面上の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「なめらかな斜面上の運動」です。物体にはたらく重力を、斜面に平行な成分と垂直な成分に分解し、運動方程式を立てることが基本となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
斜面上の物体の運動を分析する問題です。最大のポイントは、重力を「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」の2つに分解することです。斜面に平行な方向の運動が、物体の加速・減速を決定します。また、「なめらかな」という条件から、摩擦を考える必要がないため、運動中にはたらく力は常に一定となり、加速度も一定になります。
この設問における重要なポイント

• 重力 \(mg\) を、斜面に平行な成分 \(mg\sin\theta\) と、斜面に垂直な成分 \(mg\cos\theta\) に分解する。
• 斜面に平行な方向について運動方程式を立てる。
• 摩擦がない場合、上昇中と下降中ではたらく力（重力の斜面成分）は全く同じであるため、加速度の大きさと向きも常に同じになる。

具体的な解説と立式
まず、物体にはたらく力を考えます。物体には、鉛直下向きの「重力 \(mg\)」と、斜面から垂直に受ける「垂直抗力 \(N\)」がはたらいています。

次に、これらの力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解して考えます。運動は斜面に沿って起こるので、この方向に座標軸を取ると便利です。ここでは、斜面に沿って上向きを正とします。

• 斜面に垂直な方向:
  重力の垂直成分 \(mg\cos30^\circ\) と垂直抗力 \(N\) がつりあっています。
  $$ N – mg\cos30^\circ = 0 $$
  この方向には運動しないため、力の合計は0です。
• 斜面に平行な方向:
  この方向にはたらく力は、重力の平行成分 \(mg\sin30^\circ\) のみです。この力は常に斜面下向きにはたらきます。
  我々は斜面上向きを正と定めたので、この力は負の力となります。したがって、合力 \(F\) は、
  $$ F = -mg\sin30^\circ $$
  となります。この力は、物体が上昇しているときも、下降しているときも、向きも大きさも変わりません。
  したがって、運動方程式 \(ma=F\) は、
  $$ ma = -mg\sin30^\circ $$
  と立式できます。この式から、加速度 \(a\) は物体の質量 \(m\) によらないことがわかります。

立式した運動方程式の両辺を \(m\) で割ると、加速度 \(a\) が求まります。
$$ a = -g\sin30^\circ $$
ここに、\(g=9.8 \text{ m/s}^2\), \(\sin30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
a &= -9.8 \times \displaystyle\frac{1}{2} \\[2.0ex]
&= -4.9 \text{ [m/s}^2\text{]}
\end{aligned}
$$

斜面上の物体を動かす（この場合は上向きの運動を邪魔し、下向きの運動を助ける）力の正体は、重力の一部である「斜面に沿った分力」です。この力の大きさは「重さ \(mg\) × \(\sin30^\circ\)」で計算できます。
運動方程式「\(m \times a = F\)」に、この力を代入します。斜面上向きをプラスとすると、力は常に下向きなので、マイナスの符号を付けて「\(F = -mg\sin30^\circ\)」となります。
したがって、式は「\(m \times a = -mg\sin30^\circ\)」となります。両辺に \(m\) があるので消去でき、数値を代入すれば加速度が求まります。この計算は、物体が坂を上っているときも下っているときも全く同じです。

計算結果 \(a = -4.9 \text{ m/s}^2\) のマイナスの符号は、加速度の向きが座標軸の正の向き（斜面上向き）とは逆、すなわち「斜面下向き」であることを示しています。
この加速度は、上昇中と下降中で変わりません。

• 上昇中: 運動の向き（正）と加速度の向き（負）が逆なので、物体は減速します。
• 下降中: 運動の向き（負）と加速度の向き（負）が同じなので、物体は加速します。

これは物理的な直感とも一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で、この運動が一定の加速度 \(-4.9 \text{ m/s}^2\) で起こる「等加速度直線運動」であることがわかりました。点Aから最高点Pまでの運動について、初速度、加速度、そして最高点での速度がわかっているので、これらの情報を使って移動距離を求めます。等加速度直線運動の3つの公式のうち、時間 \(t\) を含まない \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うのが最も効率的です。
この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の3公式（\(v = v_0 + at\), \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\), \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)）を使いこなせるか。
• 「最高点」という言葉が、物理的に「速度 \(v=0\)」を意味することを理解しているか。
• (1)で設定した座標軸（斜面上向きが正）に合わせて、初速度や加速度の符号を正しく代入できるか。

具体的な解説と立式
時間 \(t\) が関係しない等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を用います。

この運動の始点（点A）と終点（最高点P）について、各物理量を整理します。

• 初速度 \(v_0\): 問題文より、斜面上向きに \(9.8 \text{ m/s}\)。正の向きと同じなので \(v_0 = +9.8 \text{ m/s}\)。
• 最高点での速度 \(v\): 最高点では一瞬静止するので \(v = 0 \text{ m/s}\)。
• 加速度 \(a\): (1)で求めた通り \(a = -4.9 \text{ m/s}^2\)。
• 移動距離 \(x\): 求める距離 \(d\)。

これらの値を公式に代入します。
$$ 0^2 – (+9.8)^2 = 2 \times (-4.9) \times d $$

立式した方程式を \(d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0^2 – (9.8)^2 &= 2 \times (-4.9) \times d \\[2.0ex]
-(9.8)^2 &= -9.8 \times d \\[2.0ex]
d &= \displaystyle\frac{(9.8)^2}{9.8} \\[2.0ex]
d &= 9.8 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

等加速度運動には便利な3つの公式があります。今回は、時間 \(t\) が登場しない公式「\(v^2 – v_0^2 = 2ax\)」を使うのが最も簡単です。これは「後の速度の2乗 – 初めの速度の2乗 = 2 × 加速度 × 距離」という意味です。
最高点では一瞬止まるので「後の速度 \(v=0\)」です。初めの速度は \(v_0=9.8\)、加速度は(1)で求めた \(a=-4.9\) です。これらの値を公式に当てはめると「\(0^2 – 9.8^2 = 2 \times (-4.9) \times d\)」という式ができます。これを \(d\) について解けば、最高点までの距離が求まります。

最高点までの距離は \(d=9.8 \text{ m}\) と計算できました。計算結果は正の値であり、距離として妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜面における力の分解と運動方程式:
  • 核心: 斜面上の運動を扱う問題の最も基本的なアプローチは、重力を「斜面に平行な成分」と「斜面に垂直な成分」に分解することです。そして、物体の実際の運動（加速・減速）を引き起こすのは、斜面に平行な方向の合力です。この合力を用いて運動方程式 \(ma=F\) を立てることが、問題解決の第一歩となります。
  • 理解のポイント:
    • 斜面に平行な力 \(mg\sin\theta\): 物体を斜面下向きに滑らせようとする力。この力が加速度の源泉です。
    • 斜面に垂直な力 \(mg\cos\theta\): 物体を斜面に押し付ける力。この力は垂直抗力とつりあっています。
• 等加速度直線運動としての理解:
  • 核心: なめらかな斜面上の運動では、物体にはたらく力（重力の分力）が常に一定です。したがって、運動方程式 \(ma=F\) より、加速度 \(a\) も常に一定となります。これは、物体が「等加速度直線運動」をすることを意味します。
  • 理解のポイント:
    • この事実を理解することで、等加速度直線運動の3つの公式（\(v=v_0+at\), \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\), \(v^2-v_0^2=2ax\)）を適用して、速度、時間、距離などを計算することができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦のある斜面: 斜面に平行な方向の力に、運動を妨げる向きの「動摩擦力 \(\mu’N\)」が加わります。上昇中と下降中で動摩擦力の向きが逆になるため、加速度も異なる値になる点に注意が必要です。
  • 斜面と水平面の接続: 斜面を滑り降りた物体が、そのまま水平面を運動する問題。斜面（等加速度運動）と水平面（等速運動または摩擦による減速運動）で、運動の種類を分けて考える必要があります。
  • 斜方投射との関連: 斜面上の運動は、重力加速度 \(g\) の代わりに、見かけの重力加速度 \(g’ = g\sin\theta\) を持つ1次元の投げ上げ運動と見なすことができます。この視点を持つと、問題の見通しが良くなることがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「なめらか」か「粗い」か: 問題文のこの一言で、摩擦を考慮するかどうかが決まります。これが最も重要な分岐点です。
  2. 力の図示と分解: まずは物体にはたらく力を全て図示し、重力を斜面に平行・垂直な成分に分解する、という手順を機械的に実行します。
  3. 座標軸の設定: 斜面に沿った向き（上向きか下向き）を正として設定します。初速度の向きを正に取ると計算がしやすいことが多いです。
  4. 解法の選択:
     • 加速度や運動の途中の様子を問われたら、運動方程式を立てるのが基本です。
     • 始点と終点の速さや高さ（距離）の関係だけを問われ、かつ摩擦がない場合は、力学的エネルギー保存則が強力な選択肢になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• sinとcosの混同:
  • 誤解: 重力の分力を計算する際に、斜面に平行な成分を \(mg\cos\theta\)、垂直な成分を \(mg\sin\theta\) と取り違えてしまう。
  • 対策: 角度 \(\theta\) が0に近づく極限を考えます。斜面が水平に近づくと（\(\theta \to 0\)）、滑り落ちる力は0に、押し付ける力は重力そのものに近づくはずです。\( \sin0=0, \cos0=1 \) なので、平行成分が \(\sin\theta\)、垂直成分が \(\cos\theta\) を含むと覚えられます。
• 上昇中と下降中で加速度が変わると誤解する:
  • 誤解: なめらかな斜面なのに、上昇中は減速、下降中は加速するから、加速度が異なると考えてしまう。
  • 対策: 加速度は「力の合計」によって決まります。なめらかな斜面では、はたらく力（重力の分力）は常に斜面下向きで一定です。したがって、加速度も常に斜面下向きで一定です。運動の向きと加速度の向きの関係によって、加速するか減速するかが決まる、という関係を正しく理解することが重要です。
• エネルギー保存則での高さの計算ミス:
  • 誤解: 位置エネルギー \(mgh\) を計算する際に、高さ \(h\) に斜面の距離 \(d\) をそのまま代入してしまう。
  • 対策: 位置エネルギーの高さ \(h\) は、あくまで「鉛直方向の高さ」です。斜面の距離 \(d\) と傾斜角 \(\theta\) から、\(h = d\sin\theta\) という関係を使って正しく変換する手順を忘れないようにします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: (1)で「加速度」そのものを問われているため、加速度と力の関係を直接結びつける運動方程式が最も直接的な解法となります。
  • 適用根拠: 物体にはたらく力（重力の分力）が特定でき、その結果として生じる運動の変化（加速度）を求めたい、という問題の構造に完全に合致しています。
• 等加速度直線運動の公式 (\(v^2-v_0^2=2ax\)):
  • 選定理由: (2)では、始点と終点の「速さ」と「距離」の関係が問われています。運動の途中の「時間」は問われていません。このような場合、時間 \(t\) を含まないこの公式が最も効率的です。
  • 適用根拠: (1)で運動が等加速度直線運動であることが確定しているため、この公式を適用する正当性が保証されています。
• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: (2)の別解として選択。問題に「なめらかな」という記述があり、保存力でない力（摩擦力）が仕事をしないことが保証されています。また、問われているのが始点と終点の状態（速さと高さ）の関係であるため、エネルギー保存則の適用条件に合致します。
  • 適用根拠: 運動の途中の過程を問わず、2つの時点での状態を比較して未知数を求める際に非常に有効です。運動方程式と比べて、ベクトルの符号などを細かく気にする必要が少ないという利点があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値: \(\sin30^\circ = 1/2\), \(\cos30^\circ = \sqrt{3}/2\) などの基本的な三角関数の値は、瞬時に正確に使えるようにしておく必要があります。
• 符号の徹底: 座標軸の正の向きを最初に決めたら、速度、加速度、力などのベクトル量を式に代入する際に、その向きを一つ一つ確認し、正負の符号を間違えないようにします。特に加速度 \(a\) が負の値になる場合に注意が必要です。
• 二乗の計算: (2)で \(9.8^2\) のような計算が出てきますが、すぐに計算せずに式の形で残しておくと、\(9.8\) で約分できることに気づき、計算が楽になります。むやみに筆算を始めず、式全体を眺めてから計算を進める癖をつけると、ミスが減り、時間も短縮できます。
• 単位の次元チェック: エネルギー保存則の式 \(\frac{1}{2}mv^2 = mgh\) の両辺の単位（次元）がエネルギーの単位 \([J]\) になっているかを確認する、といったチェックも有効です。

基本例題15 2物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「接触した2物体の運動」です。複数の物体が互いに力を及ぼし合いながら一体となって運動する状況を、運動方程式を用いて解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
求める力 \(f\) は、物体Aが物体Bを押す力です。この力は、物体Bを加速させる唯一の水平方向の力です。したがって、物体Bだけに着目し、その運動方程式を立てることで \(f\) を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 複数の物体がある場合、まずは1つの物体だけを「切り出して」考える。
• 物体Bを加速させている力は、外部から加えられた力 \(F\) ではなく、AがBを押す力 \(f\) である。
• AとBは一体となって運動しているので、物体Bの加速度も、与えられた加速度 \(a = 1.5 \text{ m/s}^2\) に等しい。

具体的な解説と立式
物体Bに着目します。物体Bの質量を \(m_{\text{B}}\)、加速度を \(a\) とします。

座標軸は、運動の向きである水平右向きを正とします。

物体Bにはたらく水平方向の力は、物体Aが右向きに押す力 \(f\) のみです。

したがって、物体Bについての運動方程式 \(ma=F\) は、以下のように立式できます。
$$ m_{\text{B}} a = f $$

立式した運動方程式に、与えられた値を代入します。

\(m_{\text{B}} = 2.4 \text{ kg}\), \(a = 1.5 \text{ m/s}^2\) です。
$$
\begin{aligned}
2.4 \times 1.5 &= f \\[2.0ex]
f &= 3.6 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

電車が2両連結されているのをイメージしてください。前の車両（物体B）を動かしているのは、すぐ後ろの車両（物体A）が押す力 \(f\) です。一番先頭のエンジン（外力 \(F\)）は、直接は前の車両（B）を押していません。
したがって、前の車両（B）だけの運動を考えます。運動方程式「質量 × 加速度 = 力」に、Bの質量 \(2.4 \text{ kg}\) と、全体の加速度 \(1.5 \text{ m/s}^2\) を当てはめると、「\(2.4 \times 1.5 = f\)」という式が作れます。これを計算すれば、AがBを押す力 \(f\) が求まります。

計算の結果、AがBを押す力は \(f = 3.6 \text{ N}\) となりました。この力によって、質量 \(2.4 \text{ kg}\) の物体Bが \(1.5 \text{ m/s}^2\) の加速度で運動していることになります。

問(2)

思考の道筋とポイント
外部からAを押す力 \(F\) を求める問題です。力 \(F\) は物体Aに直接はたらいているため、今度は物体Aに着目して運動方程式を立てます。このとき、物体Aにはたらく水平方向の力は、外力 \(F\) だけではないことに注意が必要です。作用・反作用の法則により、AがBを押しているのと同時に、BもAを同じ大きさ \(f\) の力で押し返しています。
この設問における重要なポイント

• 作用・反作用の法則を正しく適用する。AがBを押す力が \(f\) ならば、BがAを押し返す力も \(f\) である。
• 物体Aにはたらく水平方向の力は、右向きの \(F\) と左向きの \(f\) の「合力」である。
• (1)で求めた \(f\) の値を利用する。

具体的な解説と立式
物体Aに着目します。物体Aの質量を \(m_{\text{A}}\)、加速度を \(a\) とします。

座標軸は(1)と同様に、水平右向きを正とします。

物体Aにはたらく水平方向の力は2つあります。

1. 外部から右向きに押される力 \(F\) （正の向き）
2. 物体Bから左向きに押し返される力 \(f\) （負の向き）

したがって、物体Aにはたらく合力は \(F – f\) となります。

物体Aについての運動方程式 \(ma=F\) は、以下のように立式できます。
$$ m_{\text{A}} a = F – f $$

立式した運動方程式に、与えられた値と(1)で求めた \(f\) の値を代入します。

\(m_{\text{A}} = 4.0 \text{ kg}\), \(a = 1.5 \text{ m/s}^2\), \(f = 3.6 \text{ N}\) です。
$$
\begin{aligned}
4.0 \times 1.5 &= F – 3.6 \\[2.0ex]
6.0 &= F – 3.6 \\[2.0ex]
F &= 6.0 + 3.6 \\[2.0ex]
F &= 9.6 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

今度は後ろの車両（物体A）の運動を考えます。この車両は、エンジンの力 \(F\) で右に押されると同時に、前の車両（B）から \(f\) の力で左に押し返されています。したがって、Aを実際に加速させている正味の力は、差し引きした \(F – f\) となります。
Aの運動方程式「質量 × 加速度 = 正味の力」に、Aの質量 \(4.0 \text{ kg}\)、加速度 \(1.5 \text{ m/s}^2\)、そして(1)で求めた押し返す力 \(f=3.6 \text{ N}\) を当てはめると、「\(4.0 \times 1.5 = F – 3.6\)」という式が作れます。これを解けば、外部からの力 \(F\) が求まります。

計算の結果、外部から押す力は \(F = 9.6 \text{ N}\) となりました。この力 \(F\) は、物体A自身を加速させるための力と、物体Bを介して押すための力 \(f\) の両方を含んでいます。したがって、\(F\) が \(f\) よりも大きいという結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式の適用対象（着目物体）の分離:
  • 核心: 複数の物体が関連する運動では、それぞれの物体を独立した対象として「切り離し」、その物体に「直接」はたらく力だけを考えて運動方程式を立てることが基本中の基本です。
  • 理解のポイント:
    • 物体Bを加速させるのは、AがBを押す力 \(f\) であり、外力 \(F\) ではありません。
    • 物体Aを加速させるのは、外力 \(F\) とBからの反作用 \(f\) の「合力」です。
• 作用・反作用の法則:
  • 核心: 物体Aが物体Bに力 \(f\) を及ぼすとき、必ず物体Bも物体Aに、大きさが同じで向きが逆の力 \(f\) を及ぼします。この法則を理解していないと、物体Aの運動方程式を正しく立てることができません。
  • 理解のポイント:
    • 作用と反作用は、必ず異なる2つの物体間にはたらきます。
    • 運動方程式を立てる際には、着目物体が「受ける」力だけを考えます。
• 「一体として見る」という考え方（系の運動方程式）:
  • 核心: 複数の物体が同じ加速度で運動する場合、それらを一つの「系（システム）」と見なすことができます。このとき、系全体の運動方程式は「（系の全質量）×（加速度）＝（系にはたらく外力の合力）」となります。
  • 理解のポイント:
    • 物体間でお互いに及ぼし合う力（作用・反作用のペア）は「内力」と呼ばれ、系全体の運動方程式を立てる際には相殺されるため考慮する必要がありません。
    • この考え方は、外力や全体の加速度を求める際に非常に有効ですが、内力（この問題の \(f\)）を求めることはできません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 糸でつながれた2物体の運動: 接触する物体の「押し合う力」が、糸でつながれた物体の「張り合う力（張力）」に置き換わっただけで、考え方は全く同じです。後ろの物体に着目して張力を求め、前の物体（または全体）の運動方程式で外力を求めます。
  • 重ねた物体の運動: 上の物体と下の物体を重ねて、下の物体を引く問題。上の物体は、下の物体との間の「摩擦力」によって加速します。上の物体に着目して摩擦力を求め、下の物体の運動方程式を立てます。
  • 滑車を介した2物体の運動: 2つの物体が異なる向きに運動しますが、糸でつながれているため加速度の「大きさ」は同じです。それぞれの物体について、運動方向に合わせて運動方程式を立て、連立して解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 何を問われているか？: 「物体間の力（内力）」か、「外力」か、「加速度」か。
     • 内力（\(f\) や張力）を問われたら、必ず物体を一つずつ分離して考える必要があります。
     • 外力や加速度だけなら、「一体として見る」方法が使えないか検討します。
  2. 力の図示: 各物体を個別に描き出し、その物体が「受けている」力を、重力、垂直抗力、外力、接触力（張力、摩擦力など）の全てについて、もれなく図示します。
  3. 立式の順番: 通常、力がかかっている末端の物体（この問題ではB）から考えると、未知数が少なく、式が立てやすいことが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 内力と外力の混同:
  • 誤解: (1)で物体Bの運動方程式を立てる際に、外力 \(F\) がはたらいていると勘違いして \(m_{\text{B}}a = F\) や \(m_{\text{B}}a = F+f\) のような式を立ててしまう。
  • 対策: 力を図示する際に、「その物体に直接触れているもの」からしか力は受けないと意識します。Bに直接触れて力を及ぼしているのはAだけです。
• 作用・反作用の力の書き忘れ:
  • 誤解: (2)で物体Aの運動方程式を立てる際に、Bから押し返される力 \(f\) を忘れ、\(m_{\text{A}}a = F\) と誤ってしまう。
  • 対策: 「AがBを押すなら、BもAを押し返す」と、作用・反作用のペアを常にセットで考える癖をつけます。2つの物体の力の図を並べて描き、作用・反作用のペアに印をつけるのも有効です。
• 「一体として見る」方法の誤用:
  • 誤解: (1)で内力 \(f\) を求めたいのに、全体を一体と見てしまい、\(f\) が式に出てこなくて困る。
  • 対策: 「一体として見る」方法は、内力を消去する方法であると理解します。したがって、内力を求めたいときには使えない、と明確に認識しておくことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: この問題は、力が物体にどのような加速度を生じさせるかを問う、動力学の典型問題です。力、質量、加速度の関係を記述する法則は運動方程式以外にないため、これを選択します。
  • 適用根拠:
    • (1) 物体Bについて: Bを加速させる原因（力 \(f\)）を、結果（質量 \(m_{\text{B}}\) と加速度 \(a\)）から逆算するために適用します。
    • (2) 物体Aについて: Aの運動の結果（質量 \(m_{\text{A}}\) と加速度 \(a\)）が、原因（力の合力 \(F-f\)）と等しいという関係を立式するために適用します。
    • (2) 別解（一体として）: 系全体の運動の結果（全質量 \(M\) と加速度 \(a\)）が、原因（外力 \(F\)）と等しいという関係を立式するために適用します。問題の状況に応じて、方程式を適用する「対象（着目物体）」を柔軟に選ぶことがポイントです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 小数の掛け算: \(2.4 \times 1.5\) や \(6.4 \times 1.5\) のような小数の計算は、焦るとミスしやすいポイントです。「×1.5」は「元の数と、その半分を足す」と考えると暗算しやすくなります（例: \(2.4 + 1.2 = 3.6\)）。筆算する場合でも、必ず検算を行います。
• 移項の符号ミス: (2)のメインの解法で \(6.0 = F – 3.6\) から \(F\) を求める際に、\(F = 6.0 – 3.6\) といった移項ミスをしないよう注意します。
• 質量の取り違え: 物体AとBの質量を、立式の際に逆にしてしまわないように注意します。問題文と自分の式を指差し確認する習慣が有効です。
• ダブルチェック: (2)をメインの解法と別解の両方で解いてみて、答えが一致することを確認する、といったダブルチェックは非常に有効な検算方法です。

基本例題16 2物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「滑車につながれた2物体の運動」です。2つの物体が糸を介して連動する、力学の典型的な問題です。それぞれの物体について運動方程式を立て、連立して解くのが基本アプローチとなります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1), 問(2)

思考の道筋とポイント
この問題では、2つの物体が連動しているため、単独では運動が決まりません。物体AとB、それぞれについて運動方程式を立て、未知数である加速度 \(a\) と張力 \(T\) を求める連立方程式の問題として扱います。1本の軽い糸でつながれているため、AとBの加速度の大きさは等しく、糸の張力の大きさも共通で \(T\) とおけることが最大のポイントです。
この設問における重要なポイント

• 物体AとBは、加速度の大きさが同じ \(a\)、糸の張力の大きさが同じ \(T\) である。
• Aの運動方向（下向き）とBの運動方向（上向き）を、それぞれの座標軸の正の向きに取ると、加速度 \(a\) を正の値として扱え、立式しやすい。
• 物体Aにはたらく力は、下向きの重力 \(Mg\) と上向きの張力 \(T\)。
• 物体Bにはたらく力は、上向きの張力 \(T\) と下向きの重力 \(mg\)。

具体的な解説と立式
物体Aと物体B、それぞれについて運動方程式を立てます。

• 物体Aについて:
  質量は \(M\)。運動方向である鉛直下向きを正とします。
  $$ Ma = Mg – T \quad \cdots ① $$
• 物体Bについて:
  質量は \(m\)。運動方向である鉛直上向きを正とします。
  $$ ma = T – mg \quad \cdots ② $$

これで、未知数が \(a\) と \(T\) の2つ、式が2つできたので、連立して解くことができます。

まず、①式と②式を足し合わせて \(T\) を消去し、\(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
(Ma) + (ma) &= (Mg – T) + (T – mg) \\[2.0ex]
(M+m)a &= Mg – mg \\[2.0ex]
(M+m)a &= (M-m)g \\[2.0ex]
a &= \displaystyle\frac{M-m}{M+m}g
\end{aligned}
$$
次に、求めた \(a\) を②式に代入して \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= ma + mg \\[2.0ex]
&= m(a+g) \\[2.0ex]
&= m \left( \displaystyle\frac{M-m}{M+m}g + g \right) \\[2.0ex]
&= m \left( \displaystyle\frac{M-m}{M+m}g + \displaystyle\frac{M+m}{M+m}g \right) \\[2.0ex]
&= m \left( \displaystyle\frac{(M-m) + (M+m)}{M+m} \right) g \\[2.0ex]
&= m \left( \displaystyle\frac{2M}{M+m} \right) g \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{2Mm}{M+m}g
\end{aligned}
$$

AとB、それぞれについて運動のルール（運動方程式）を立てます。
Aのルールは「\(M \times a = (\text{Aの重力}) – (\text{糸の力})\)」。
Bのルールは「\(m \times a = (\text{糸の力}) – (\text{Bの重力})\)」。
この2つの式をうまく組み合わせる（今回は足し算する）と、邪魔な「糸の力 \(T\)」が消えて、加速度 \(a\) を計算できます。
加速度 \(a\) がわかれば、それをどちらかのルールに当てはめ直すことで、糸の力 \(T\) も計算できます。

加速度 \(a = \frac{M-m}{M+m}g\)、張力 \(T = \frac{2Mm}{M+m}g\) と求まりました。
\(M>m\) という条件から、加速度 \(a\) は正の値となり、Aが下に、Bが上に加速するという状況と一致します。
また、張力 \(T\) は、\(T-mg = ma > 0\) より \(T>mg\)、\(Mg-T = Ma > 0\) より \(T<Mg\) となり、軽い物体Bの重力よりは大きく、重い物体Aの重力よりは小さい値になっています。これも物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
滑車をつるしている糸2の張力 \(S\) を求めます。問題の条件から、滑車自身の質量は無視でき、また、滑車は上下に動かずに静止しています。したがって、滑車にはたらく力はつりあっていると考えます。
この設問における重要なポイント

• 静止している物体には、力のつりあいの式を適用する。
• 滑車に直接はたらいている力を正しく見つける。上向きには糸2からの張力 \(S\)、下向きには糸1が左右から引く張力 \(T\) が2つ。
• 滑車には物体A, Bの重力は直接はたらいていないことに注意する。

具体的な解説と立式
滑車に着目します。滑車は静止しているので、にはたらく力の合力は0です。

滑車にはたらく力は以下の通りです。

• 上向きの力: 糸2が引く張力 \(S\)
• 下向きの力: 糸1が左側と右側でそれぞれ引く張力 \(T\) の2つ

力のつりあいの式は、「上向きの力の合計 = 下向きの力の合計」なので、
$$ S = T + T $$
$$ S = 2T $$

(2)で求めた \(T\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
S &= 2 \times \left( \displaystyle\frac{2Mm}{M+m}g \right) \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{4Mm}{M+m}g
\end{aligned}
$$

天井につながっている糸2は、滑車を支えています。滑車を下に引っ張っているのは、左右に垂れ下がっている糸1です。したがって、糸2が支えるべき力 \(S\) は、左右の糸1の張力 \(T\) を2本分合わせた力になります。つまり \(S=2T\) という関係です。(2)で求めた \(T\) を2倍すれば答えが求まります。

滑車をつるす糸の張力 \(S\) が求まりました。これは物体A, Bの重力の和 \( (M+m)g \) とは異なる値です。物体が加速運動しているため、単純な足し算にはならないことがわかります。

問(4)

思考の道筋とポイント
物体Aが高さ \(h\) だけ落下する時間 \(t\) とそのときの速さ \(v\) を求めます。(1)で求めたように、この運動は加速度 \(a\) が一定の等加速度直線運動です。初速度が0であることから、等加速度直線運動の公式を用いて \(t\) と \(v\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 運動が等加速度直線運動であると認識し、適切な公式を選択する。
• 時間 \(t\) を含まない速さ \(v\) の計算には、\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うと計算が簡潔になる。
• 初速度は \(v_0=0\)、移動距離は \(x=h\)、加速度は(1)で求めた \(a\) を用いる。

具体的な解説と立式
物体Aは初速度0、加速度 \(a\) で距離 \(h\) だけ落下します。

• 時間 \(t\) の計算:
  距離と時間の関係式 \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\) を用います。
  $$ h = 0 \cdot t + \frac{1}{2}at^2 $$
  $$ h = \frac{1}{2}at^2 $$
• 速さ \(v\) の計算:
  速さと距離の関係式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を用います。
  $$ v^2 – 0^2 = 2ah $$
  $$ v^2 = 2ah $$

まず、時間 \(t\) を求めます。
$$ t^2 = \frac{2h}{a} $$
この式に(1)で求めた \(a\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t^2 &= 2h \div \left( \displaystyle\frac{M-m}{M+m}g \right) \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{2h(M+m)}{(M-m)g} \\[2.0ex]
t &= \sqrt{\displaystyle\frac{2(M+m)h}{(M-m)g}}
\end{aligned}
$$
次に、速さ \(v\) を求めます。
$$ v = \sqrt{2ah} $$
この式に(1)で求めた \(a\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{2 \left( \displaystyle\frac{M-m}{M+m}g \right) h} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\displaystyle\frac{2(M-m)gh}{M+m}}
\end{aligned}
$$

物体が一定の加速度で運動するときに使える便利な公式があります。
時間を求めるには、距離・加速度・時間の関係式「\(h = \frac{1}{2}at^2\)」を使います。これを \(t\) について解けばOKです。
速さを求めるには、速さ・加速度・距離の関係式「\(v^2 = 2ah\)」を使います。これを \(v\) について解けば、速さが計算できます。

時間 \(t\) と速さ \(v\) が、与えられた文字 \(M, m, g, h\) で表されました。\(M\) と \(m\) の差が大きいほど加速度が大きくなるため、時間は短く、速さは大きくなります。また、落下距離 \(h\) が大きいほど時間と速さが大きくなることも式から読み取れ、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 連立した運動方程式:
  • 核心: この問題のように、複数の物体が互いに力を及ぼし合いながら連動して運動する場合、それぞれの物体について運動方程式を立て、それらを連立方程式として解くのが最も基本的かつ汎用的な解法です。
  • 理解のポイント:
    • 着目物体を分離する: 物体Aと物体Bを別々のものとして考え、それぞれにはたらく力を正確に図示します。
    • 未知数を設定する: 加速度の大きさ \(a\) と張力の大きさ \(T\) を未知数として設定します。
    • 連立して解く: 物体の数だけ運動方程式が立つので、それらを解くことで未知数を決定します。
• 束縛条件の理解:
  • 核心: 「糸が伸び縮みしない」という条件から、物体Aが下に \(x\) 動けば、物体Bは必ず上に \(x\) 動きます。これを時間で2回微分すると、両者の加速度の大きさが等しい（\(a_{\text{A}} = a_{\text{B}}\)）という関係が導かれます。また、「1本の軽い糸」では、どの部分でも張力の大きさが等しいです。これらの「束縛条件」があるからこそ、未知数を共通の \(a\) と \(T\) で置くことができます。
• 系全体の力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 摩擦や空気抵抗がない場合、系全体で「失われた位置エネルギーの合計」が「増加した運動エネルギーの合計」に等しくなります。この法則は、運動の途中経過（加速度や張力）を問わず、始状態と終状態の速さや位置の関係を直接求める際に非常に強力です。
  • 理解のポイント:
    • 系を構成する全ての物体の運動エネルギーと位置エネルギーを足し合わせる必要があります。
    • 張力は、Aには負の仕事、Bには正の仕事をしますが、糸の伸び縮みがないため移動距離が等しく、仕事の合計は0になります。そのため、張力は系のエネルギーを変化させない「内力」として扱えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 動滑車を含む問題: 動滑車が加わると、物体と動滑車の移動距離の関係が1:2になります。これにより、2つの物体の加速度の大きさが異なる（例: \(a_1 = 2a_2\)）という束縛条件が生まれます。立式がより複雑になります。
  • 斜面と滑車を組み合わせた問題: 一方の物体が斜面上を運動するパターン。斜面上の物体については、重力を分解して運動方程式を立てる必要があります。
  • 3体以上の問題: 物体が3つ以上つながっている場合でも、考え方は同じです。各物体について運動方程式を立て、連立して解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 束縛条件の確認: まず、各物体がどのように連動しているかを確認します。糸は1本か、動滑車はあるか、などから、各物体の加速度や速さの間の関係性を見抜きます。
  2. 座標軸の設定: 各物体について、実際の運動の向きを正として座標軸を設定すると、加速度を正の値として扱えるため、計算ミスが減ります。
  3. 解法の選択:
     • 加速度や張力（内力）を問われたら、運動方程式を連立するのが王道です。
     • 始点と終点の速さや移動距離の関係だけを問われ、かつ摩擦などがない場合は、エネルギー保存則が使えないか検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 張力と重力の混同:
  • 誤解: 物体Aの運動方程式を \(Ma = Mg\) としたり、物体Bの運動方程式を \(ma = T\) のように、一部の力だけで式を立ててしまう。
  • 対策: 必ず着目物体にはたらく「全ての力」を図示し、合力を正しく計算する癖をつけます。Aには重力と張力、Bにも重力と張力がはたらいています。
• 滑車にはたらく力の誤解:
  • 誤解: (3)で滑車にはたらく力のつりあいを考える際に、物体A, Bの重力 \(Mg\) や \(mg\) が直接滑車にかかると考えて、\(S = Mg + mg\) のような式を立ててしまう。
  • 対策: 滑車に直接触れているのは「糸」だけです。したがって、滑車が受ける力は、糸からの張力のみであると正しく認識することが重要です。
• エネルギー保存則の適用ミス:
  • 誤解: エネルギー保存則を物体AまたはB単体で適用しようとして、\(Mgh = \frac{1}{2}Mv^2\) のような式を立ててしまう。
  • 対策: 物体単体で見ると、張力が仕事をするため力学的エネルギーは保存しません。エネルギー保存則は、張力のような内力の影響が相殺される「系全体」で考える必要がある、と理解します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: (1)と(2)で、運動の動的な詳細（加速度 \(a\)）と、運動を引き起こしている内力（張力 \(T\)）の両方が問われています。これらの量を直接結びつけるのは運動方程式しかありません。2つの未知数に対して2つの物体があるので、連立方程式を立てるという方針が自然に導かれます。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則は、力と運動の関係を記述する最も基本的な法則であり、あらゆる力学の問題の出発点となります。
• 力のつりあい (\(F_{\text{合力}}=0\)):
  • 選定理由: (3)では、静止している「滑車」の張力が問われています。静止、すなわち加速度が0の状態を扱うのは、力のつりあいです。
  • 適用根拠: これは運動方程式で \(a=0\) とした特別な場合に相当し、静止物体や等速直線運動する物体に適用されます。
• 等加速度直線運動の公式:
  • 選定理由: (4)では、運動開始から特定の位置までの「時間」と「速さ」が問われています。運動が等加速度直線運動であることは(1)で確定しているため、これらの量を計算するのに最も適した公式群です。
  • 適用根拠: 加速度が一定という条件下で、時間・距離・速度の関係を直接計算できるため、運動方程式を時間で積分する手間を省くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の計算: (1), (2)の計算では、まず2式を足し算して \(T\) を消去するのが定石です。これにより、計算が簡潔になります。求めた \(a\) を代入して \(T\) を求める際、分数の計算（通分など）が複雑になりがちなので、慎重に計算を進めます。
• 文字式の整理: 計算過程で \(M+m\) や \(M-m\) のような塊が頻繁に現れます。これらを一つの塊として意識しながら計算を進めると、式全体の見通しが良くなります。
• ルートの計算: (4)の \(t\) と \(v\) の計算では、根号の中の分数の整理を丁寧に行います。特に、\(a\) を代入する際に、分母と分子を間違えないように注意が必要です。
• 極端な場合を考える（次元解析・物理的妥当性の吟味）:
  • もし \(M=m\) なら、加速度 \(a=0\) となり、つりあって動かないはずです。実際に式に代入すると \(a=0\) となり、正しいことがわかります。
  • もし \(m=0\) なら、物体Aは自由落下するはずです。式に \(m=0\) を代入すると \(a=g\) となり、これも正しいです。このようなチェックを行うことで、式の妥当性を確認できます。

基本例題17 静止摩擦力と動摩擦力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静止摩擦力と動摩擦力」です。物体が動き出す前と後で、摩擦力の種類とその性質がどのように変わるかを正確に理解し、それぞれの状況に応じて力のつりあいや運動方程式を使い分ける能力が問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「物体がすべりだす直前」という状態が、物理的に何を意味するのかを正しく解釈することが鍵となります。この瞬間、物体にはたらく静止摩擦力は、その上限である「最大摩擦力」に達しています。そして、物体はまだ静止しているので、水平方向に引く力と最大摩擦力はつりあっています。
この設問における重要なポイント

• 静止摩擦力は、外力の大きさに応じて \(0\) から最大摩擦力 \(F_0\) まで変化する。
• 「すべりだす直前」とは、引く力 \(f\) と静止摩擦力が等しく、かつその静止摩擦力が最大摩擦力 \(F_0\) になっている状態を指す。
• 最大摩擦力 \(F_0\) は、公式 \(F_0 = \mu N\) で計算できる。まずは垂直抗力 \(N\) を求める必要がある。

具体的な解説と立式
まず、物体にはたらく力を考えます。鉛直方向には「重力 \(W=mg\)」と「垂直抗力 \(N\)」、水平方向には「引く力 \(f\)」と「静止摩擦力」がはたらいています。

• 鉛直方向の力のつりあい:
  物体は上下には運動しないので、鉛直方向の力はつりあっています。
  $$ N – W = 0 $$
  したがって、垂直抗力 \(N\) は重力 \(W\) と等しくなります。
  $$ N = mg $$
• 最大摩擦力の計算:
  最大摩擦力 \(F_0\) は、静止摩擦係数 \(\mu\) と垂直抗力 \(N\) を用いて次のように表せます。
  $$ F_0 = \mu N $$
• 水平方向の力のつりあい:
  「すべりだす直前」では、引く力 \(f\) と最大摩擦力 \(F_0\) がつりあっています。
  $$ f = F_0 $$

まず、垂直抗力 \(N\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
N &= mg \\[2.0ex]
&= 2.0 \times 9.8 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
次に、この \(N\) を用いて最大摩擦力 \(F_0\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F_0 &= \mu N \\[2.0ex]
&= 0.50 \times (2.0 \times 9.8) \\[2.0ex]
&= 9.8 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
すべりだす直前の引く力 \(f\) は、この最大摩擦力 \(F_0\) に等しいので、
$$ f = 9.8 \text{ [N]} $$

重いタンスを押すときを想像してください。少しずつ力を加えていくと、ある瞬間、グッと動きますよね。その「動き出すギリギリの瞬間」の力の大きさを求める問題です。
この瞬間、床がタンスを押し返す力（静止摩擦力）は、その最大値（最大摩擦力）に達しています。そして、自分が押す力と最大摩擦力がちょうど等しくなっています。
最大摩擦力は「滑りにくさの度合い（静止摩擦係数）× 垂直抗力」で計算できます。まず垂直抗力（この場合は重力と同じ）を求め、次に最大摩擦力を計算します。それがそのまま答えになります。

計算の結果、すべりだす直前の力の大きさは \(f = 9.8 \text{ N}\) となりました。これは、この物体を動かすためには、最低でも \(9.8 \text{ N}\) より大きい力で引く必要があることを意味しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
引く力 \(f_1 = 9.9 \text{ N}\) が、(1)で求めた最大摩擦力 \(9.8 \text{ N}\) よりも大きいため、物体はすべりだします。物体がすべっている間にはたらく摩擦力は、静止摩擦力ではなく「動摩擦力」に変わります。動摩擦力の大きさは、すべっている間は一定です。この動摩擦力を考慮して、運動方程式を立て、加速度を求めます。
この設問における重要なポイント

• 引く力 \(f_1\) が最大摩擦力 \(F_0\) より大きいことを確認し、物体が「すべっている」状態であると判断する。
• すべっている間にはたらく摩擦力は、動摩擦力 \(F’ = \mu’ N\) であり、一定の値をとる。
• 物体の加速度は、水平方向の力の「合力」（引く力 \(f_1\) と動摩擦力 \(F’\) の差）によって決まる。

具体的な解説と立式
まず、物体がすべっていることを確認します。引く力 \(f_1 = 9.9 \text{ N}\) は、(1)で求めた最大摩擦力 \(F_0 = 9.8 \text{ N}\) より大きいので、物体はすべっています。

• 動摩擦力の計算:
  すべっているときにはたらく摩擦力は動摩擦力 \(F’\) であり、その大きさは動摩擦係数 \(\mu’\) と垂直抗力 \(N\) を用いて次のように表せます。
  $$ F’ = \mu’ N $$
• 水平方向の運動方程式:
  水平右向きを正の向きとします。物体にはたらく水平方向の力は、右向きの引く力 \(f_1\) と、左向きの動摩擦力 \(F’\) です。したがって、合力は \(f_1 – F’\) となります。
  運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) は、
  $$ ma = f_1 – F’ $$
  と立式できます。

まず、動摩擦力 \(F’\) の大きさを計算します。垂直抗力 \(N\) は(1)で計算した \(N = 2.0 \times 9.8 \text{ N}\) を用います。
$$
\begin{aligned}
F’ &= \mu’ N \\[2.0ex]
&= 0.25 \times (2.0 \times 9.8) \\[2.0ex]
&= 4.9 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
次に、この \(F’\) を用いて運動方程式を解き、加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
ma &= f_1 – F’ \\[2.0ex]
2.0 \times a &= 9.9 – 4.9 \\[2.0ex]
2.0a &= 5.0 \\[2.0ex]
a &= \displaystyle\frac{5.0}{2.0} \\[2.0ex]
a &= 2.5 \text{ [m/s}^2\text{]}
\end{aligned}
$$

(1)でわかったように、この物体は \(9.8 \text{ N}\) の力で動き出します。今回は \(9.9 \text{ N}\) という、それより強い力で引いているので、物体は間違いなく動いています。
動いている物体にはたらく摩擦力は「動摩擦力」と呼ばれ、その大きさは「動摩擦係数 × 垂直抗力」で計算できます。まず、この動摩擦力の大きさを計算します。
次に、物体を前に進ませる正味の力を考えます。これは「引く力 – 動摩擦力」で計算できます。
最後に、運動方程式「質量 × 加速度 = 正味の力」に、わかっている値を当てはめれば、加速度が求まります。

計算の結果、摩擦力の大きさは動摩擦力 \(F’ = 4.9 \text{ N}\)、加速度の大きさは \(a = 2.5 \text{ m/s}^2\) となりました。引く力が最大摩擦力を超えており、物体に正の合力がはたらくため、物体が加速するという結果は物理的に妥当です。また、動摩擦力(\(4.9 \text{ N}\))が最大摩擦力(\(9.8 \text{ N}\))より小さいという点も、一般的な摩擦の性質と一致しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 摩擦力の2つの顔（静止摩擦力と動摩擦力）の区別:
  • 核心: 摩擦力は、物体の運動状態によってその性質が根本的に変わります。この違いを理解し、問題の状況に応じて適切な摩擦力を選択できるかが、この問題の全てです。
  • 理解のポイント:
    • 静止摩擦力: 物体が「静止している」ときにはたらく。外力とつりあうように大きさが変化する「調整役」の力。ただし、\(F_0 = \mu N\) という上限がある。
    • 動摩擦力: 物体が「すべっている」ときにはたらく。運動方向と逆向きに、\(F’ = \mu’ N\) という「一定」の大きさで作用するブレーキ役の力。
• 運動のフェーズに応じた法則の適用:
  • 核心: 物体の運動状態（静止か、運動中か）を見極め、適用する物理法則を正しく切り替えることが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 静止時・すべりだす直前: 加速度が0なので、「力のつりあい」を考えます。
    • すべりだした後: 加速度が0ではないので、「運動方程式 \(ma=F\)\)」を考えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面上の摩擦: 物体を斜面に置き、滑り落ちるか、滑り落ちないかを判断する問題。重力の斜面成分 \(mg\sin\theta\) が「引く力」の役割を果たし、これが最大摩擦力 \(F_0 = \mu N = \mu mg\cos\theta\) を超えるかどうかで運動が決まります。
  • 力を加えても動かない場合: (1)とは逆に、加える力が最大摩擦力よりも小さい場合の問題。このとき、静止摩擦力の大きさは最大摩擦力 \(F_0\) ではなく、加えた力と「同じ大きさ」になります。
  • 重ねた物体の運動: 下の物体を引いたとき、上の物体が滑らずに一体で動くか、滑ってしまうかを問う問題。上の物体を動かすのは下の物体との間の静止摩擦力であり、この静止摩擦力が上の物体の最大摩擦力を超えないかどうかが分岐点になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず最大摩擦力を計算する: 摩擦の問題では、多くの場合、まず垂直抗力 \(N\) を求め、それを使って最大摩擦力 \(F_0 = \mu N\) を計算しておくことが全ての始まりです。これが物体が動き出すかどうかの「しきい値」になります。
  2. 引く力としきい値を比較する: 問題で与えられた「引く力」が、計算した「最大摩擦力 \(F_0\)」より大きいか、小さいか、等しいかを比較します。
  3. 運動状態を判断し、摩擦力を決定する:
     • 引く力 \(\leq F_0\) なら → 物体は静止。静止摩擦力は「引く力」と等しい。
     • 引く力 \(> F_0\) なら → 物体は運動。はたらく摩擦力は「動摩擦力 \(F’ = \mu’ N\)」。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静止摩擦力と最大摩擦力の混同:
  • 誤解: 物体が静止している場合、はたらく静止摩擦力は常に最大摩擦力 \(F_0 = \mu N\) だと思い込んでしまう。
  • 対策: 静止摩擦力は「必要な分だけ」はたらく可変の力であると理解します。外力が \(5 \text{ N}\) で最大摩擦力が \(10 \text{ N}\) なら、静止摩擦力は \(5 \text{ N}\) です。\(10 \text{ N}\) ではありません。
• 動摩擦力と静止摩擦力の混同:
  • 誤解: (2)のように物体が動いているのに、摩擦力として静止摩擦係数 \(\mu\) を使って \(F’ = \mu N\) と計算してしまう。
  • 対策: 「静止」なら静止摩擦係数 \(\mu\)、「運動」なら動摩擦係数 \(\mu’\) と、係数の使い分けを徹底します。通常、\(\mu > \mu’\) であることも覚えておくと良いでしょう。
• 運動方程式の合力の計算ミス:
  • 誤解: (2)で運動方程式を立てる際に、合力を \(f_1\) だけで計算したり、\(f_1 + F’\) のように足してしまったりする。
  • 対策: 力を図示する際に、必ず力の向きを矢印で明確に描きます。運動方向を正としたとき、逆向きの力（摩擦力）は必ず負の符号をつけて合力を計算する（つまり引き算する）ことを徹底します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 最大摩擦力の公式 (\(F_0 = \mu N\)):
  • 選定理由: (1)で「すべりだす直前」という、静止状態から運動状態へ移る「境界」の条件が問われています。この境界を定義するのが最大摩擦力の公式です。
  • 適用根拠: 実験的に、最大摩擦力は垂直抗力 \(N\) に比例することが知られており、その比例定数が静止摩擦係数 \(\mu\) です。この法則を使って、すべりだすために必要な力の最小値を計算します。
• 動摩擦力の公式 (\(F’ = \mu’ N\)):
  • 選定理由: (2)では、物体が「すべっている」状態が前提となっています。この状態での摩擦力を記述するのが動摩擦力の公式です。
  • 適用根拠: 実験的に、動摩擦力は物体の速さによらずほぼ一定で、垂直抗力 \(N\) に比例することが知られています。その比例定数が動摩擦係数 \(\mu’\) です。
• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: (2)で、力がつりあっていない（＝加速している）状態での「加速度」が問われています。力と加速度の関係を記述する法則は運動方程式しかありません。
  • 適用根拠: 物体にはたらく全ての力の合力を計算し、それが物体の質量と加速度の積に等しい、というニュートンの第二法則を適用して、未知の加速度を求めます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 重力加速度の値: \(g=9.8 \text{ m/s}^2\) の計算は頻出です。\(2.0 \times 9.8 = 19.6\), \(0.50 \times 19.6 = 9.8\), \(0.25 \times 19.6 = 4.9\) のような計算は、落ち着いて筆算するか、分数（\(0.25 = 1/4\) など）を使って暗算するなどの工夫をします。
• 有効数字: 問題文で質量が \(2.0 \text{ kg}\)、摩擦係数が \(0.50, 0.25\) と有効数字2桁で与えられているので、最終的な答えも2桁または3桁で答えるのが適切です。この問題では \(2.5 \text{ m/s}^2\) のように2桁で揃えられています。計算途中で多めに桁を取り、最後に丸めるのが基本です。
• 単位の確認: 力を計算したら単位は \(\text{[N]}\)、加速度なら \(\text{[m/s}^2\text{]}\) となっているかを確認します。
• 物理的な大小関係の確認: 計算後、最大摩擦力 \(F_0\) が動摩擦力 \(F’\) より大きくなっているか（\(9.8 \text{ N} > 4.9 \text{ N}\)）を確認します。これは摩擦の一般的な性質なので、もし逆転していたら計算ミスの可能性があります。

基本例題18 浮力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「液体中の物体にはたらく浮力」です。物体が液体中にあるとき、重力や張力に加えて、液体から上向きの力である「浮力」を受けます。この浮力の大きさを正しく計算し、力のつりあいを考えることができれば、問題を解くことができます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
液体中につるされた鉄球は静止しているため、鉄球にはたらく力はつりあっています。はたらく力は、鉛直下向きの「重力」、鉛直上向きの「糸の張力」、そして液体から受ける鉛直上向きの「浮力」の3つです。このうち、浮力の大きさをどう求めるかがこの問題の核心です。アルキメデスの原理 \(F = \rho_0 V g\) を正しく適用することが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 浮力の公式 \(F = \rho_0 V g\) において、\(\rho_0\) は「液体の密度」、\(V\) は「物体が液体に沈んでいる部分の体積」である。
• 物体の体積 \(V\) は、問題で直接与えられていないため、物体の質量 \(m\) と物体の密度 \(\rho\) から、関係式 \(V = \displaystyle\frac{m}{\rho}\) を使って求める必要がある。
• 物体にはたらく力は、下向きの重力 \(mg\) と、上向きの張力 \(T\) および浮力 \(F\) の3つであり、これらがつりあっている。

具体的な解説と立式
鉄球にはたらく力は、鉛直下向きの重力 \(W\)、鉛直上向きの糸の張力 \(T\)、そして鉛直上向きの浮力 \(F\) の3つです。

鉄球は静止しているので、これらの力はつりあっています。鉛直上向きを正の向きとすると、力のつりあいの式は以下のようになります。
$$ T + F – W = 0 $$
それぞれの力の大きさを考えます。

• 重力 \(W\):
  $$ W = mg $$
• 浮力 \(F\):
  アルキメデスの原理より、浮力 \(F\) の大きさは、鉄球が押しのけた液体の重さに等しくなります。押しのけた液体の体積は鉄球の体積 \(V\) に等しく、液体の密度は \(\rho_0\) なので、
  $$ F = (\text{液体の密度}) \times (\text{押しのけた体積}) \times (\text{重力加速度}) $$
  $$ F = \rho_0 V g $$
  ここで、鉄球の体積 \(V\) は、鉄球の質量 \(m\) と密度 \(\rho\) を用いて次のように表せます。
  $$ V = \displaystyle\frac{m}{\rho} $$
  これを浮力の式に代入すると、浮力 \(F\) を与えられた文字だけで表すことができます。

まず、浮力 \(F\) を \(m, \rho, \rho_0, g\) を用いて表します。

鉄球の体積 \(V = \displaystyle\frac{m}{\rho}\) を、浮力の公式 \(F = \rho_0 V g\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= \rho_0 V g \\[2.0ex]
&= \rho_0 \left( \frac{m}{\rho} \right) g \\[2.0ex]
&= \frac{\rho_0 m g}{\rho}
\end{aligned}
$$
次に、力のつりあいの式 \(T + F – mg = 0\) を \(T\) について解き、上で求めた \(F\) の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= mg – F \\[2.0ex]
&= mg – \frac{\rho_0 m g}{\rho}
\end{aligned}
$$
最後に、共通因数 \(mg\) でくくって式を整理します。
$$
\begin{aligned}
T &= \left( 1 – \frac{\rho_0}{\rho} \right) mg
\end{aligned}
$$

糸が鉄球を支える力（張力 \(T\)）を求めます。
鉄球には3つの力がかかっています。

1. 下向きの「重力 \(mg\)」
2. 上向きの「糸の張力 \(T\)」
3. 上向きの「浮力 \(F\)」

鉄球は止まっているので、力のバランスが取れています。つまり、「上向きの力の合計 = 下向きの力の合計」です。
$$ T + F = mg $$
浮力 \(F\) は「液体の密度 \(\rho_0\) × 鉄球の体積 \(V\) × 重力加速度 \(g\)」で計算できます。
鉄球の体積 \(V\) は「鉄球の質量 \(m\) ÷ 鉄球の密度 \(\rho\)」で求められます。
これらを組み合わせると、浮力 \(F\) が計算でき、最終的に力のつりあいの式から張力 \(T\) が求まります。

張力の大きさは \(T = \left( 1 – \displaystyle\frac{\rho_0}{\rho} \right) mg\) となりました。
この式は、空気中（浮力を無視した場合）での張力 \(mg\) から、浮力分の力 \(\displaystyle\frac{\rho_0}{\rho}mg\) が差し引かれた形になっており、液体中では物体が軽くなったように感じることと対応しています。
もし液体の密度 \(\rho_0\) が鉄球の密度 \(\rho\) より小さい場合（普通の状態）、\(T\) は正の値となり、糸には張力がはたらきます。もし \(\rho_0 = \rho\) なら \(T=0\) となり、浮力と重力がつりあって、糸がなくても液体中に漂う状態になります。これらの考察から、得られた式は物理的に妥当であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• アルキメデスの原理:
  • 核心: 浮力の大きさは「物体が押しのけた流体の重さに等しい」という、この原理を正しく理解し、数式で表現できるかが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 浮力の公式は \(F = \rho_{\text{液体}} V g\) と覚えます。ここで、\(\rho_{\text{液体}}\) は周囲の流体の密度、\(V\) は物体が流体中に沈んでいる部分の体積です。物体の密度ではないことに注意が必要です。
    • なぜ浮力が生じるのか、という根源的な理解も重要です。物体の下面が受ける流体からの圧力は、上面が受ける圧力よりも（深さが深い分だけ）大きくなります。この圧力差が、上向きの力である浮力を生み出します。
• 力のつりあい:
  • 核心: 物体が液体中で静止している、つまり加速度が0であるため、物体にはたらく全ての力の合力は0になります。
  • 理解のポイント:
    • この問題では、鉛直上向きの力（張力 \(T\) と浮力 \(F\)）の和と、鉛直下向きの力（重力 \(mg\)）が等しくなります。この関係を正しく立式することが、問題を解くための最終ステップです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 物体が浮いている場合: 物体の一部だけが水面下にある場合、浮力は「水面下の体積」だけで計算します。このとき、浮力と重力がつりあっています。
  • 浮力と運動方程式: 液体中で糸を切り、物体が沈んでいく（または浮き上がっていく）ときの加速度を求める問題。この場合は、重力と浮力の合力を用いて運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) を立てます。
  • 見かけの重さ: ばねはかりで物体の重さを測る問題。液体中でのばねはかりの目盛りは、張力 \(T\) に相当します。空気中での重さ（\(mg\)）と液体中での見かけの重さ（\(T\)）の差が、浮力の大きさに等しくなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物体の状態を確認: 物体は静止しているか？運動しているか？全体が沈んでいるか？一部が浮いているか？これにより、力のつりあいを考えるのか、運動方程式を考えるのかが決まります。
  2. 力を全て図示する: 重力、張力、浮力など、物体にはたらく力を漏れなく描き出します。特に浮力の向き（常に鉛直上向き）を間違えないようにします。
  3. 浮力の計算に必要な要素を特定する: 浮力の公式 \(F = \rho_{\text{液体}} V g\) を計算するために、液体の密度 \(\rho_{\text{液体}}\) と、物体が沈んでいる体積 \(V\) が必要になります。問題文で与えられていない場合は、他の情報（質量や物体の密度など）から導出できないか考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 浮力の公式の密度を間違える:
  • 誤解: 浮力の計算で、液体の密度 \(\rho_0\) ではなく、物体の密度 \(\rho\) を使って \(F = \rho V g\) と計算してしまう。
  • 対策: アルキメデスの原理の定義「押しのけた『液体』の重さ」を常に思い出すようにします。計算するのはあくまで液体の重さなので、使うのは液体の密度である、と強く意識します。
• 体積の計算ミス:
  • 誤解: 浮力の公式の体積 \(V\) に、質量 \(m\) をそのまま代入するなど、次元の異なる量を誤って使ってしまう。
  • 対策: 質量 \(m\)、密度 \(\rho\)、体積 \(V\) の関係 \(m = \rho V\) を正確に理解し、必要に応じて \(V = m/\rho\) のように変形して使うことを徹底します。単位（次元）が合っているかを常に確認する癖も有効です。
• 力のつりあいの式の符号ミス:
  • 誤解: \(T + F + mg = 0\) のように、全ての力の向きを考えずに足してしまう。
  • 対策: 必ず座標軸（例えば上向き正）を設定し、それぞれの力がその向きに対して正か負かを判断してから式を立てるようにします。\(T(+), F(+), mg(-)\) のように符号を確認してから、\(T+F-mg=0\) と立式する手順を踏みます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 浮力の公式 (\(F = \rho_0 V g\)):
  • 選定理由: 問題の状況が「液体中に物体が沈んでいる」状態であり、張力を求めるためには、物体にはたらく未知の力である「浮力」を計算する必要があります。液体中の物体にはたらく上向きの力を記述する法則がアルキメデスの原理です。
  • 適用根拠: この法則は、流体中の圧力差から普遍的に導かれるものであり、液体中に物体がある場合には常に適用できます。
• 力のつりあいの式 (\(F_{\text{合力}}=0\)):
  • 選定理由: 問題文に「つり下げた状態」とあり、物体が静止していることが読み取れます。静止している（加速度が0の）物体の力学的状態を記述するのは、力のつりあいの法則です。
  • 適用根拠: 運動方程式 \(ma=F\) において、加速度 \(a=0\) の特別な場合が力のつりあいです。静止している物体にはたらく全ての力をベクトル的に足し合わせると0になる、という法則を適用して、未知の力（張力）を他の既知の力（重力と浮力）で表します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理: 計算の最終段階で、\(mg – \frac{\rho_0}{\rho}mg\) という形が出てきます。ここで計算を終えず、共通因数 \(mg\) でくくり、\((1 – \frac{\rho_0}{\rho})mg\) のように、よりシンプルで物理的な意味が分かりやすい形に整理する癖をつけます。
• 記号の区別: 物体の密度 \(\rho\) と液体の密度 \(\rho_0\) を混同しないように、計算中は常に注意を払います。問題文の記号を正確に書き写すことが基本です。
• 物理的な意味の吟味: 最終的に得られた答え \(T = (1 – \frac{\rho_0}{\rho})mg\) を吟味します。括弧の中の \(1\) は空気中での重さに対する比率、\(\frac{\rho_0}{\rho}\) は浮力による軽減効果の比率を表していると解釈できます。このように、式の各項がどのような物理的意味を持つかを考えることで、答えの妥当性を確認できます。もし、\(T = (1 – \frac{\rho}{\rho_0})mg\) のような答えが出たら、\(\rho_0 \to 0\)（液体が真空に近づく）の極限で \(T\) が発散してしまい、物理的におかしい、といった検算ができます。

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