「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第2章】応用問題

38 自由落下と鉛直投げ上げ

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直投げ上げ運動と自由落下運動を組み合わせた、いわゆる「出会い問題」です。2つの物体が同じ時刻に同じ位置に来る「衝突」という条件を数式で表現することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げと自由落下の出会い問題」です。それぞれの物体の運動を等加速度直線運動の公式で記述し、衝突条件を適用して解いていきます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体AとBが衝突する時刻を求める問題です。衝突するということは、ある時刻 \(t\) において、2つの物体の位置（y座標）が等しくなるということです。そこで、まずそれぞれの物体の時刻 \(t\) におけるy座標 \(y_A\) と \(y_B\) を式で表し、\(y_A = y_B\) という方程式を立てて \(t\) について解きます。
この設問における重要なポイント

• 座標設定の確認: 鉛直上向きが正なので、重力加速度は \(a = -g\) として扱います。
• 物体Aの運動: 初速度 \(V\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動（鉛直投げ上げ）。
• 物体Bの運動: 初速度 \(0\)、初期位置 \(H\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動（自由落下）。
• 衝突条件の立式: \(y_A = y_B\)。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とすると、時刻 \(t\) における物体Aと物体Bのy座標は、等加速度直線運動の公式 \(y = y_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いて次のように表せます。

物体Aは、原点O(\(y_0=0\))から初速度 \(V\) で投げ上げられるので、その位置 \(y_A\) は、
$$ y_A = Vt – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$
物体Bは、高さ \(H\) (\(y_0=H\))から初速度 \(0\) で自由落下するので、その位置 \(y_B\) は、
$$ y_B = H – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
衝突するとき、2つの物体のy座標は等しくなるので、\(y_A = y_B\) が成り立ちます。
$$ Vt – \frac{1}{2}gt^2 = H – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ③ $$

上記で立てた式③を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
Vt – \frac{1}{2}gt^2 &= H – \frac{1}{2}gt^2 \\[2.0ex]Vt &= H \\[2.0ex]t &= \frac{H}{V}
\end{aligned}
$$

A君が上に進む距離から重力で引き戻される分を引いたものがA君の高さ、B君が最初にいた高さHから重力で落ちた分を引いたものがB君の高さです。この二人の高さが同じになる時間を求めます。式を立ててみると、お互いに重力で動く分は同じなので打ち消し合い、結局「A君が重力なしで速さVで進んだ距離がHになる時間」を求めればよいことになります。

物体AとBが衝突する時刻は \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) です。
この結果は、初速度 \(V\) が大きいほど、また初期の距離 \(H\) が小さいほど、衝突までの時間が短くなることを示しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
衝突する位置のy座標を求める問題です。(1)で衝突する時刻 \(t\) が分かったので、この時刻を物体Aの位置 \(y_A\) の式（または物体Bの位置 \(y_B\) の式）に代入すれば、衝突した瞬間のy座標が計算できます。
この設問における重要なポイント

• (1)の結果の利用: (1)で求めた \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) を正確に代入します。
• 計算の正確性: 分数を含む計算を間違えないように丁寧に行います。

具体的な解説と立式
(1)で求めた衝突時刻 \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) を、物体Aの位置を表す式 \(y_A = Vt – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に代入します。
$$ y_A = V \left( \frac{H}{V} \right) – \frac{1}{2}g \left( \frac{H}{V} \right)^2 $$

上記で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
y_A &= V \cdot \frac{H}{V} – \frac{1}{2}g \cdot \frac{H^2}{V^2} \\[2.0ex]&= H – \frac{gH^2}{2V^2}
\end{aligned}
$$

(1)で「何秒後に衝突するか」がわかったので、その時間を使って「A君が打ち上げられてからその時間だけ経ったときの高さ」を計算します。投げ上げの公式に時間を代入するだけです。

衝突する位置のy座標は \(H – \displaystyle\frac{gH^2}{2V^2}\) です。
この式は、初速度 \(V\) が大きいほど、第二項が小さくなり、より高い位置（\(H\)に近い位置）で衝突することを示しています。これは、速く打ち上げた方が、Bがあまり落ちてこないうちに追いつくという直感と一致しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
この衝突が起こるための初速度 \(V\) の条件を求める問題です。問題文には「物体Aが地面に落ちる前に空中で衝突した」とあります。これは、衝突が起こる位置のy座標が地面よりも上、つまり正の値でなければならないことを意味します。ヒントにもある通り、\(y_A > 0\) という条件を使います。
この設問における重要なポイント

• 物理的条件の数式化: 「空中で衝突する」という条件を \(y_A > 0\) という不等式で表現します。
• 不等式の計算: (2)で求めた \(y_A\) の式を使って不等式を立て、\(V\) について解きます。\(V\) は初速度の大きさなので \(V>0\) であることも考慮します。

具体的な解説と立式
衝突が空中で起こるための条件は、(2)で求めた衝突位置のy座標 \(y_A\) が正であることです。
$$ y_A > 0 $$
したがって、次の不等式が成り立ちます。
$$ H – \frac{gH^2}{2V^2} > 0 $$

上記で立てた不等式を \(V\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
H &> \frac{gH^2}{2V^2}
\end{aligned}
$$
両辺に \(2V^2\) を掛けます（\(V>0\) なので \(V^2>0\) であり、不等号の向きは変わりません）。
$$
\begin{aligned}
2HV^2 &> gH^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(2H\) で割ります（\(H>0\) なので不等号の向きは変わりません）。
$$
\begin{aligned}
V^2 &> \frac{gH}{2}
\end{aligned}
$$
両辺の正の平方根をとります。\(V\) は速さなので \(V>0\) です。
$$
\begin{aligned}
V &> \sqrt{\frac{gH}{2}}
\end{aligned}
$$

「空中で出会う」ということは、「出会った場所の高さが0より大きい」ということです。(2)で計算した出会う高さを表す式が0より大きくなるような、発射速度\(V\)の条件を計算します。

衝突が起こるためには、初速度 \(V\) は \(V > \sqrt{\displaystyle\frac{gH}{2}}\) を満たす必要があります。
もし \(V = \sqrt{\displaystyle\frac{gH}{2}}\) であった場合、衝突位置は \(y_A = 0\) となり、ちょうど地面で衝突（Aが着地する瞬間にBが到達）することを意味します。それよりも速い初速度で打ち上げなければ、Aが着地する前にBと空中で出会うことはできない、という物理的に妥当な結果が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の公式の適用:
  • 核心: この問題の全ての運動は、重力という一定の力が働く状況下での運動、すなわち「等加速度直線運動」です。したがって、その運動を記述する公式 \(y = y_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) や \(v = v_0 + at\) を正しく適用することが全ての基本となります。
  • 理解のポイント: 鉛直上向きを正と定めた座標系では、重力加速度は常に負の値 \(a = -g\) となることを忘れないでください。物体A（投げ上げ）と物体B（自由落下）で、初速度 \(v_0\) と初期位置 \(y_0\) の値は異なりますが、加速度 \(a\) は共通です。
• 「衝突」の物理的条件の数式化:
  • 核心: 物理学における「衝突」や「出会い」は、「同じ時刻に、同じ位置に存在する」ことを意味します。これを数式で表現する、すなわち物体Aの位置 \(y_A\) と物体Bの位置 \(y_B\) を時刻 \(t\) の関数として表し、\(y_A = y_B\) という方程式を立てることが、(1)を解くための最も重要なステップです。
• 相対運動の考え方:
  • 核心: 複数の物体が関わる問題では、一方の物体から見たもう一方の物体の運動（相対運動）を考えると、問題が劇的に簡単になることがあります。この問題では、両物体に共通の加速度 \(-g\) が働いているため、相対加速度がゼロになります。
  • 理解のポイント: Bから見たAの運動は、重力の影響がキャンセルされた「等速直線運動」として扱えます。初期距離 \(H\) を相対初速度 \(V\) で進むのにかかる時間を求めるだけ、という非常にシンプルな問題に帰着します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 追い越し問題: 高速道路で自動車がトラックを追い越す問題など。両者の位置を時間の関数で表し、位置が等しくなる時刻を求めます。相対速度の考え方が有効です。
  • 水平投射と自由落下: 水平に投げ出された物体と、同じ高さから自由落下する物体が、地面に同時に到達することを証明する問題。鉛直方向の運動だけ見れば、両者は全く同じ運動（自由落下）をしています。
  • 斜方投射: 2つの物体を異なる角度・初速で投げ、空中で衝突させる問題。水平方向(x)と鉛直方向(y)に運動を分解し、「時刻tで \(x_A=x_B\) かつ \(y_A=y_B\) となる」という連立方程式を解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定: まず、どの向きを正とするか、原点をどこに置くかを明確に決めます。これにより、初速度や加速度の符号が確定します。
  2. 物体の運動を個別に記述: 登場する全ての物体について、時刻 \(t\) における位置と速度を、等加速度運動の公式などを用いて数式で表現します。
  3. 問題の条件を数式に翻訳する: 「衝突する」「追い越す」「最も近づく」といった問題文のキーワードを、位置や速度を用いた数式（方程式や不等式）に変換します。
  4. 相対運動の利用を検討する: 複数の物体が同じ加速度で運動している場合、相対運動の考え方を適用できないか検討します。計算を大幅に簡略化できる可能性があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号のミス:
  • 誤解: 鉛直上向きを正と決めたにもかかわらず、重力加速度 \(g\) を正の値として公式に代入してしまう。あるいは、下向きの初速度を正としてしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、座標軸の向き（どちらが正か）を大きく書き出し、それに従って全てのベクトル量（位置、速度、加速度）の符号を機械的に決定する習慣をつけましょう。\(a = -g\) と最初に明記しておくのが有効です。
• 公式の混同・誤用:
  • 誤解: 自由落下の公式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を、初期位置が原点でない場合や、鉛直上向きを正とした場合にそのまま使ってしまう。
  • 対策: \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) や \(v=gt\) は、「原点から」「下向きを正として」自由落下させた場合の特殊な形に過ぎません。常に基本の式 \(y = y_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) に立ち返り、問題の状況に合わせて \(y_0\), \(v_0\), \(a\) の値を一つずつ代入する癖をつけましょう。
• 相対運動の誤解:
  • 誤解: 相対速度は正しく計算できても、相対加速度がゼロになることを見落とし、複雑な計算をしてしまう。
  • 対策: 相対運動を考える際は、必ず「相対初速度」と「相対加速度」の両方を計算する手順を踏みましょう。特に、重力下での運動のように、関わる物体すべてに同じ加速度がかかる場合、相対加速度はゼロになる、というパターンを覚えておくと非常に強力です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • v-tグラフ: 物体Aと物体Bの速度 \(v\) を縦軸、時間 \(t\) を横軸にとったグラフを描くと、現象の理解が深まります。
    • 物体Aのグラフ: \(v=V-gt\) なので、縦軸の切片が \(V\)、傾きが \(-g\) の右下がりの直線。
    • 物体Bのグラフ: \(v=-gt\) なので、原点を通り、傾きが \(-g\) の右下がりの直線。
    • 2本の直線は常に平行になります。これが相対加速度がゼロ（相対速度が一定）であることを視覚的に示しています。
  • y-tグラフ: 物体Aと物体Bの位置 \(y\) を縦軸、時間 \(t\) を横軸にとったグラフを描くと、衝突が視覚化できます。
    • 物体Aのグラフ: 上に凸の放物線。
    • 物体Bのグラフ: \(y=H\) を頂点とする、上に凸の放物線。
    • 2つのグラフが交わる点が「衝突」であり、その点のt座標とy座標が(1)と(2)の答えに対応します。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 初期状態と途中状態を描く: 時刻 \(t=0\) の図と、衝突する瞬間（時刻 \(t\)）の図を並べて描くと、変位の関係が分かりやすくなります。
  • ベクトルを矢印で示す: 初速度 \(V\)、重力加速度 \(g\) などのベクトル量を矢印で図に書き込み、座標軸の正の向きと比べて符号を判断する助けとします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の変位の式 (\(y = y_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\)):
  • 選定理由: この問題は、時刻 \(t\) における物体の「位置」が重要になるため、位置と時間の関係を表すこの式が最も適しています。
  • 適用根拠: 運動が重力のみによるもので、加速度が一定(\(-g\))であるため、等加速度直線運動の公式を適用できることが保証されています。
• 衝突条件 (\(y_A = y_B\)):
  • 選定理由: (1)で「衝突する時刻」を求めるために、衝突という物理現象を数学的な等式に変換する必要があるため。
  • 適用根拠: 「衝突」の定義そのものが「同一時刻・同一位置」であるため、これは物理法則というより定義に基づいた論理的な要請です。
• 不等式 (\(y_A > 0\)):
  • 選定理由: (3)で「空中で衝突する」という条件を数学的に扱うため。
  • 適用根拠: 「空中」とは、座標設定上「地面より上」、すなわちy座標が0より大きい領域を指します。これも問題文の条件を論理的に数式へ翻訳したものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 衝突時刻の計算:
   • 戦略: 2物体の位置が等しくなる条件から方程式を立てる。
   • フロー: ①物体Aの位置 \(y_A(t)\) を立式 → ②物体Bの位置 \(y_B(t)\) を立式 → ③衝突条件 \(y_A(t) = y_B(t)\) として方程式を立てる → ④方程式を \(t\) について解く。
   • (別解フロー): ①相対初速度を計算 → ②相対加速度が0であることを確認 → ③等速直線運動の式（距離=速さ×時間）を立式 → ④式を \(t\) について解く。
2. (2) 衝突位置の計算:
   • 戦略: (1)で求めた時刻を、位置の式に代入する。
   • フロー: ①(1)で求めた \(t\) の値を \(y_A(t)\) または \(y_B(t)\) の式に代入 → ②代数計算を実行してy座標を求める。
3. (3) 初速度の条件決定:
   • 戦略: 「空中で衝突」という条件を不等式で表現する。
   • フロー: ①(2)で求めた衝突位置 \(y_A\) を使う → ②条件 \(y_A > 0\) として不等式を立てる → ③不等式を \(V\) について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題は文字式のみで構成されているため、計算過程で混乱しがちです。特に(2)や(3)では、(1)の結果を代入した後に、焦って展開せずに、項を一つ一つ確認しながら丁寧に計算を進めましょう。
• 単位や次元の確認: 例えば、(1)で求めた時刻 \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) の次元は [L] / ([L]/[T]) = [T] となり、時間の次元と一致します。このように、得られた結果の次元が物理的に正しいかを確認する（次元解析）ことで、大きなミスを発見できます。
• 検算の実施: (2)の計算では、\(y_A\) の式だけでなく、\(y_B = H – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) の式にも \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) を代入して同じ結果になるか確認することで、計算ミスを防げます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 時刻 \(t\): \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\)。もし初速度 \(V\) が非常に大きければ、衝突時間は短くなるはず。もし初期距離 \(H\) が大きければ、衝突時間は長くなるはず。式はこれらの直感と一致しています。
  • (2) 位置 \(y_A\): \(y_A = H – \displaystyle\frac{gH^2}{2V^2}\)。もし \(V\) が無限大なら、\(y_A \rightarrow H\) となり、Bが全く落下しないうちにAが到達することを意味し、妥当です。もし \(g=0\)（無重力）なら、\(y_A = H\) となり、これも妥当です。
  • (3) 条件 \(V\): \(V > \sqrt{\displaystyle\frac{gH}{2}}\)。この式の右辺は、高さ \(H/2\) から物体を自由落下させたときに地面に達する速さ \(\sqrt{2g(H/2)} = \sqrt{gH}\) とは異なりますが、Aが最高点に達する前に衝突する場合など、複雑な条件が絡んだ結果です。限界状況（\(y_A=0\) となる場合）を考えると、\(V^2 = \displaystyle\frac{gH}{2}\) となります。
• 別解との比較:
  • (1)の時刻が、座標系を立てて解く方法と、相対運動で解く方法の2通りで完全に一致しました。これは、両方の解法の正しさと、物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。異なるアプローチで同じ結論に至ることを確認する作業は、物理学の学習において非常に重要です。

39 水平投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平投射の典型的な問題です。水平に飛ぶ飛行機から静かに投下された物資は、飛行機と同じ水平速度を持つため、水平投射されたと見なせます。運動を水平方向と鉛直方向に分解して考えることが基本となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射」です。水平投射は、「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」という2つの独立した運動の組み合わせ（重ね合わせ）として捉えるのが定石です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物資が地上に着くまでの時間を求める問題です。この時間は、物資が鉛直方向に距離 \(l\) だけ落下するのにかかる時間です。水平方向の運動とは無関係に決まるため、鉛直方向の運動、すなわち自由落下運動だけを考えます。
この設問における重要なポイント

• 運動の分離: 時間を求めるには、鉛直方向の運動だけを見ればよい。
• 座標設定: 投下点を原点(0, 0)、鉛直下向きをy軸の正の向きとすると、物資の運動は扱いやすくなります。
• 自由落下の公式: 初速度0、加速度 \(g\) の等加速度直線運動として、変位の式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を用います。

具体的な解説と立式
物資を投下した点を原点とし、鉛直下向きをy軸の正の向きとします。
物資の鉛直方向の運動は、初速度0の自由落下運動です。
時刻 \(t\) における鉛直方向の変位を \(y\) とすると、
$$ y = \frac{1}{2}gt^2 $$
物資は高さ \(l\) を落下して地上に着くので、着地したときの変位は \(y=l\) となります。したがって、着地時刻を \(t\) とすると、次の式が成り立ちます。
$$ l = \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$

上記で立てた式①を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
t^2 &= \frac{2l}{g}
\end{aligned}
$$
時間は正なので、
$$
\begin{aligned}
t &= \sqrt{\frac{2l}{g}}
\end{aligned}
$$

ボールを真下に落とすのと同じで、物資が高さ \(l\) の距離を重力に引かれて落ちるのにかかる時間を計算します。自由落下の公式「距離 = 0.5 × 重力加速度 × 時間の2乗」を使います。

物資が地上に着くまでの時間は \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{2l}{g}}\) です。
この時間は、飛行機の速さ \(v_0\) には依存せず、落下する高さ \(l\) だけで決まります。これは水平投射の重要な特徴であり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
飛行機の速さ \(v_0\) を求める問題です。物資は飛行機から「静かに」投下されるため、投下された瞬間の物資の水平方向の速度は飛行機の速度 \(v_0\) と同じです。水平方向には力が働かないため、物資の水平速度は着地するまでずっと \(v_0\) のままです。
一方、鉛直方向の速度は時間とともに増加します。着地時の角度が \(45^\circ\) という条件は、着地時の速度の水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) の大きさが等しいことを意味します。
この設問における重要なポイント

• 水平速度の保存: 物資の水平方向の速度 \(v_x\) は常に \(v_0\) で一定です。
• 鉛直速度の計算: 着地時刻 \(t\) における鉛直方向の速度 \(v_y\) を、自由落下の速度の式 \(v_y = gt\) から計算します。
• 着地角度の条件: 着地角度が \(45^\circ\) なので、\(v_x = v_y\) が成り立ちます。

具体的な解説と立式
物資の水平方向の速度 \(v_x\) は、飛行機の速さ \(v_0\) に等しく、常に一定です。
$$ v_x = v_0 \quad \cdots ① $$
物資の鉛直方向の運動は自由落下なので、時刻 \(t\) における鉛直方向の速度 \(v_y\) は、
$$ v_y = gt \quad \cdots ② $$
着地する時刻は(1)で求めた \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{2l}{g}}\) です。
着地時の速度の水平成分と鉛直成分の大きさが等しいという条件から、
$$ v_x = v_y \quad \cdots ③ $$

まず、着地時の鉛直方向の速度 \(v_y\) を計算します。式②に(1)で求めた \(t\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= g \times \sqrt{\frac{2l}{g}} \\[2.0ex]&= \sqrt{g^2 \times \frac{2l}{g}} \\[2.0ex]&= \sqrt{2gl}
\end{aligned}
$$
着地条件 \(v_x = v_y\) と \(v_x = v_0\) より、
$$
\begin{aligned}
v_0 &= v_y \\[2.0ex]&= \sqrt{2gl}
\end{aligned}
$$

物資が地面に45°の角度でぶつかるということは、その瞬間の「横向きの速さ」と「下向きの速さ」が同じ大きさだということです。横向きの速さは飛行機の速さ\(v_0\)のまま変わりません。下向きの速さは、(1)で求めた落下時間を使って計算できます。この2つの速さが等しいという関係から、飛行機の速さ\(v_0\)を求めます。

飛行機の速さは \(v_0 = \sqrt{2gl}\) です。
この速さは、高さ \(l\) から自由落下した物体が地面に到達するときの速さと同じです。これは、着地角度が \(45^\circ\) という特殊な条件から導かれる興味深い結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
投下点の真下の点Aと着地点Bの間の距離 \(L\) を求める問題です。この距離は、物資が水平方向に進んだ距離（水平到達距離）に等しいです。水平方向の運動は等速直線運動なので、「距離 = 速さ × 時間」で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動: 速さ \(v_0\) の等速直線運動。
• 時間: (1)で求めた落下時間 \(t\) を用いる。
• 速さ: (2)で求めた飛行機の速さ \(v_0\) を用いる。

具体的な解説と立式
水平到達距離 \(L\) は、水平方向の速さ \(v_0\) で、落下時間 \(t\) の間だけ進んだ距離です。
$$ L = v_0 t $$
この式に、(1)で求めた \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{2l}{g}}\) と、(2)で求めた \(v_0 = \sqrt{2gl}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
L &= v_0 t \\[2.0ex]&= \sqrt{2gl} \times \sqrt{\frac{2l}{g}} \\[2.0ex]&= \sqrt{2gl \times \frac{2l}{g}} \\[2.0ex]&= \sqrt{4l^2} \\[2.0ex]&= 2l
\end{aligned}
$$

物資が横方向に飛んだ距離を求めます。横方向には「(2)で求めた飛行機の速さ」で「(1)で求めた落下時間」だけ飛び続けます。単純に「速さ × 時間」を計算すれば、横方向に飛んだ距離がわかります。

水平到達距離は \(L=2l\) です。
落下高さのちょうど2倍の距離を進むという、非常にきれいな結果になりました。これは着地角度が \(45^\circ\) という条件によって、\(v_0\) と \(t\) の中に含まれる \(g\) がうまく相殺されたためです。

問(4)

思考の道筋とポイント
飛行機から見た物資の位置と運動を説明する問題です。これは相対運動の問題です。飛行機と物資の運動を比較し、その差を考えることで、相対的な運動がどうなるかを分析します。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の相対運動: 飛行機と物資は、水平方向には全く同じ速度 \(v_0\) で運動しています。したがって、水平方向の相対速度はゼロです。
• 鉛直方向の相対運動: 飛行機は鉛直方向には運動しません（速度ゼロ）。物資は鉛直方向に自由落下運動をします。
• 運動の合成: これら2つの相対運動を合成して、飛行機から見た物資の運動を記述します。

具体的な解説と立式
飛行機から見た物資の相対的な運動を考えます。

水平方向：
飛行機の速度を \(v_{\text{飛行機}, x} = v_0\)、物資の速度を \(v_{\text{物資}, x} = v_0\) とします。
飛行機から見た物資の水平方向の相対速度は、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{相対}, x} &= v_{\text{物資}, x} – v_{\text{飛行機}, x} \\[2.0ex]&= v_0 – v_0 \\[2.0ex]&= 0
\end{aligned}
$$
水平方向の相対速度がゼロなので、物資は飛行機に対して水平方向には移動しません。つまり、物資は常に飛行機の真下にあります。

鉛直方向：
飛行機の鉛直速度を \(v_{\text{飛行機}, y} = 0\)、物資の鉛直速度を \(v_{\text{物資}, y} = gt\) とします（鉛直下向きを正）。
飛行機から見た物資の鉛直方向の相対速度は、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{相対}, y} &= v_{\text{物資}, y} – v_{\text{飛行機}, y} \\[2.0ex]&= gt – 0 \\[2.0ex]&= gt
\end{aligned}
$$
これは、初速度0、加速度 \(g\) の自由落下運動そのものです。

結論：
以上のことから、飛行機から見ると、物資は真下に向かって自由落下運動をしているように見えます。

この設問は記述問題であり、計算過程は不要です。

飛行機と物資は、横方向には全く同じペースで進み続けます。そのため、飛行機から見ると、物資は横には動かず、常に自分の真下にいるように見えます。一方で、物資は下に向かって落ちていきます。この2つを合わせると、飛行機に乗っている人からは、物資がその場で真下にスーッと落ちていく「自由落下」に見える、ということになります。

物資の位置は常に飛行機の真下にあり、飛行機から見ると自由落下しているように見える。
これは、空気抵抗を無視した場合の水平投射における重要な性質です。物資を届けたい目標地点の真上で投下すれば、物資は目標地点に命中することを示唆しています（実際には空気抵抗があるためそうはなりません）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性（重ね合わせの原理）:
  • 核心: 水平投射の運動は、「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」という、互いに影響を及ぼさない2つの単純な運動に分解して考えることができます。これがこの問題の最も根幹をなす物理法則です。
  • 理解のポイント: (1)で落下時間を求める際には鉛直方向の運動だけを、(3)で水平到達距離を求める際には水平方向の運動だけを考えればよい、というように、問題を単純化できます。時間 \(t\) が両方の運動を結びつける共通のパラメータとなります。
• 速度のベクトル的性質:
  • 核心: 物体の速度は、大きさと向きを持つベクトル量です。ある瞬間の速度は、そのときの水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) のベクトル和として合成されます。
  • 理解のポイント: (2)の「着地角度が\(45^\circ\)」という条件は、速度ベクトルの向きに関する情報です。これは、速度の水平成分と鉛直成分の大きさの比が \(v_x : v_y = 1 : 1\) であることを意味し、\(v_x = v_y\) という関係式を導く鍵となります。
• 相対運動:
  • 核心: (4)で問われるように、運動は観測者の立場によって見え方が変わります。飛行機から見た物資の運動を考えるには、物資の速度から飛行機の速度をベクトル的に引き算した「相対速度」を求めます。
  • 理解のポイント: 水平方向の速度が両者で全く同じため、水平方向の相対速度はゼロになります。その結果、飛行機から見ると物資は真下に落ちるだけの単純な運動に見えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 地上から斜め上方に物体を投げ出す運動。これも「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ運動」に分解して考えます。最高点では鉛直速度がゼロになる、などの特徴があります。
  • 崖の上からの斜方投射: 水平投射と斜方投射の組み合わせ。初期位置と初速度の鉛直成分に注意すれば、同じように運動を分解して解くことができます。
  • 動く台からの投射: 電車の中からボールを投げるなど。投げた物体の初速度は、「台の速度」と「台に対する投射速度」のベクトル和になる点に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定を明確にする: まず、原点をどこに置くか（投下点か、地面か）、どちらの向きを正とするか（上向きか、下向きか）を決めます。投射運動では、投射点を原点とし、進行方向と鉛直下向きをそれぞれ正とすると計算が楽になることが多いです。
  2. 運動を水平・鉛直に分解する: 物体の運動をx成分とy成分に分け、それぞれの方向について運動方程式や公式を立てます。
  3. 時間 \(t\) を共通の変数として扱う: 水平方向の運動と鉛直方向の運動は、時間 \(t\) を介してつながっています。一方の運動から \(t\) を求め、もう一方の運動の解析に利用するのが定石です。
  4. 速度や角度の条件を成分で考える: 「速度が水平になる」「地面と\(30^\circ\)の角度をなす」といった条件は、速度の鉛直成分がゼロ(\(v_y=0\))、あるいは成分の比が \(v_x : v_y = \cos 30^\circ : \sin 30^\circ\) のように、成分に関する数式に変換して扱います。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 初速度の誤解:
  • 誤解: 飛行機から「静かに」投下された物資の初速度をゼロと考えてしまう。
  • 対策: 「静かに投下」とは、あくまで「飛行機に対して」静かに、つまり相対速度ゼロで放すという意味です。地上から見れば、物資は飛行機と同じ速度 \(v_0\) を水平方向に持っています。これは慣性の法則によるものです。
• 水平方向の運動の誤解:
  • 誤解: 水平方向にも重力加速度の影響があると考え、等加速度運動の式を適用してしまう。
  • 対策: 運動を分解したら、それぞれの方向に働く力を明確にしましょう。水平方向には（空気抵抗を無視すれば）何も力が働かないので、加速度はゼロ、つまり等速直線運動です。加速度がかかるのは鉛直方向のみです。
• 角度の条件の扱い方:
  • 誤解: 着地角度 \(45^\circ\) という条件をどう使えばいいかわからない。あるいは、\(\tan 45^\circ = \displaystyle\frac{v_y}{v_x}\) という関係は知っていても、\(v_x\) や \(v_y\) を正しく計算できない。
  • 対策: 速度ベクトルの図を描く習慣をつけましょう。速度ベクトルと水平線がなす角が \(\theta\) のとき、その正接 \(\tan\theta\) は、速度の鉛直成分と水平成分の大きさの比 \(\displaystyle\frac{|v_y|}{|v_x|}\) に等しくなります。この関係を常に思い出せるようにしておきましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • ストロボ写真のイメージ: 物体の運動を、一定時間間隔で撮影したストロボ写真のようにイメージします。
    • 水平方向: 点の間隔は常に等しい（等速直線運動）。
    • 鉛直方向: 点の間隔は下にいくほど広がっていく（自由落下運動）。
    • この2つを合成した軌跡が放物線になります。
  • 速度ベクトルの図示: 着地する瞬間の速度ベクトルを描いてみます。水平なベクトル \(v_x\) と鉛直なベクトル \(v_y\) を描き、その合成ベクトルが地面と \(45^\circ\) の角度をなす図を描くことで、\(v_x\) と \(v_y\) の大きさが等しいことが視覚的に一目瞭然となります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 運動の分解を図示する: 1つの図の中に、水平方向の運動と鉛直方向の運動を射影のように描き込むと、両者の関係性が理解しやすくなります。
  • 座標軸を明記する: 自分で設定したx軸、y軸と原点を必ず図に書き込み、符号のミスを防ぎます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 自由落下の式 (\(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\), \(v_y = gt\)):
  • 選定理由: (1), (2)で、鉛直方向の運動（初速度0、加速度g）における「距離と時間の関係」「速度と時間の関係」を求めるため。
  • 適用根拠: 鉛直方向には重力のみが働き、加速度が一定であるため、等加速度直線運動の公式が適用できます。特に初速度が0なので、自由落下の簡略化された公式が使えます。
• 等速直線運動の式 (\(x = v_0 t\)):
  • 選定理由: (3)で、水平方向の運動（初速度\(v_0\)、加速度0）における「距離と時間の関係」を求めるため。
  • 適用根拠: 水平方向には力が働かず、加速度がゼロであるため、等速直線運動の公式を適用します。
• 速度の成分の関係式 (\(v_x = v_y\)):
  • 選定理由: (2)で、着地角度\(45^\circ\)という幾何学的な条件を、物理量である速度成分の関係に変換するため。
  • 適用根拠: 速度ベクトルの定義と、三角関数の定義に基づきます。\(\tan 45^\circ = 1 = \displaystyle\frac{v_y}{v_x}\) より導かれます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 落下時間の計算:
   • 戦略: 鉛直方向の運動（自由落下）に注目する。
   • フロー: ①鉛直下向きを正とする → ②自由落下の変位の式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を立てる → ③ \(y=l\) を代入し、\(t\) について解く。
2. (2) 初速度の計算:
   • 戦略: 着地角度の条件から、速度の水平成分と鉛直成分の関係式を立てる。
   • フロー: ①水平速度 \(v_x = v_0\) を確認 → ②鉛直速度 \(v_y = gt\) に(1)の \(t\) を代入して計算 → ③着地条件 \(v_x = v_y\) より、\(v_0\) を求める。
3. (3) 水平距離の計算:
   • 戦略: 水平方向の運動（等速直線運動）に注目する。
   • フロー: ①水平方向の距離の式 \(L = v_0 t\) を立てる → ②(1)の \(t\) と(2)の \(v_0\) を代入して \(L\) を計算する。
4. (4) 相対運動の説明:
   • 戦略: 飛行機と物資の各方向の速度を比較し、相対速度を考える。
   • フロー: ①水平方向の相対速度がゼロであることを示す → ②鉛直方向の相対運動が自由落下であることを示す → ③結論をまとめる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の計算を丁寧に行う: この問題では \(\sqrt{g^2 \times \frac{2l}{g}}\) や \(\sqrt{2gl} \times \sqrt{\frac{2l}{g}}\) のような平方根の計算が頻出します。根号の中に入れる、外に出す、まとめる、といった操作を焦らず正確に行いましょう。
• 文字の消去を確認する: (3)の計算では、\(L = v_0 t\) に \(v_0\) と \(t\) を代入すると、重力加速度 \(g\) がきれいに消去されます。このように、途中の物理量が最終結果に残らない場合があります。計算結果がきれいな形になったときは、それが物理的に意味のあることなのか、単なる偶然なのかを考えてみるのも良い訓練になります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) 水平距離 \(L=2l\): 距離の次元を持つ \(l\) の定数倍となっており、次元的に正しいです。もし着地角度が \(45^\circ\) ではなく、もっと浅い角度（例：\(30^\circ\)）なら、水平速度 \(v_x\) が鉛直速度 \(v_y\) より大きいことを意味し、水平距離は \(2l\) より長くなるはず、といった考察ができます。
• 極端な場合を考える（思考実験）:
  • もし重力 \(g\) が非常に大きかったらどうなるか？ (1)より落下時間 \(t\) は短くなり、(2)より速い \(v_0\) でないと \(45^\circ\) で着地できません。物理的な直感と式が一致しているかを確認できます。
  • もし落下高さ \(l\) が非常に大きかったら？ \(t\), \(v_0\), \(L\) はすべて大きくなります。これも直感と一致します。
• (4)の結論の再確認: 飛行機から見て物資が自由落下するということは、重力のない宇宙空間で、静止している宇宙船から静かに放した物体がその場に留まり続ける（相対速度ゼロ）のと似ています。共通の運動（この問題では水平方向の等速直線運動）は、相対的な運動を考える上では無視できる、という普遍的な原理の現れと見ることができます。

40 水平投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平投射された小球が斜面に落下する、という応用的な設定です。基本的な考え方は通常の水平投射と同じですが、落下地点が水平な地面ではなく、傾きを持つ斜面上の点であるという条件をどう数式で表現するかがポイントになります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面への水平投射」です。水平投射の基本である「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」への分解と、落下点が斜面上の点であるという幾何学的な条件を組み合わせることが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) における小球のx座標を求める問題です。小球は水平方向には力を受けないため、等速直線運動をします。したがって、「距離 = 速さ × 時間」の関係を使ってx座標を求めます。
この設問における重要なポイント

• 運動の分離: x座標を求めるには、水平方向の運動だけを見ればよい。
• 水平方向の運動: 初速度 \(v_0\)、加速度0の等速直線運動。

具体的な解説と立式
小球の水平方向の運動は、初速度 \(v_0\) の等速直線運動です。
時刻 \(t\) におけるx座標は、等速直線運動の公式 \(x = vt\) より、
$$ x = v_0 t \quad \cdots ① $$

この設問は立式そのものが答えであり、これ以上の計算はありません。

小球は横方向には一定の速さ \(v_0\) で飛び続けます。\(t\) 秒後の横方向の位置は、単純に「速さ × 時間」で計算できます。

時刻 \(t\) におけるx座標は \(v_0 t\) です。これは等速直線運動の基本的な表現です。

問(2)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) における小球のy軸方向の速度を求める問題です。鉛直方向の運動は重力による等加速度直線運動です。座標軸が鉛直上向きを正としているため、重力加速度は \(-g\) となります。
この設問における重要なポイント

• 運動の分離: y方向の速度を求めるには、鉛直方向の運動だけを見ればよい。
• 鉛直方向の運動: 初速度0、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動（自由落下）。
• 符号の注意: y軸は上向きが正なので、下向きの速度は負の値で表されます。

具体的な解説と立式
小球の鉛直方向の運動は、初速度0、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動です。
時刻 \(t\) におけるy軸方向の速度を \(v_y\) とすると、等加速度直線運動の速度の式 \(v = v_0 + at\) より、
$$ v_y = 0 + (-g)t $$
したがって、
$$ v_y = -gt \quad \cdots ① $$

この設問は立式そのものが答えであり、これ以上の計算はありません。

小球は下向きにどんどん加速していきます。その速さは自由落下の公式「速さ = 重力加速度 × 時間」で計算できます。ただし、y軸は上向きが正と決められているので、下向きの速度であることからマイナス符号が付きます。

時刻 \(t\) におけるy軸方向の速度は \(-gt\) です。時間が経つにつれて負の方向に大きくなる、下向きの速度を表しており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球の軌道を表す式を、yをxの関数として求める問題です。これは、時刻 \(t\) におけるx座標とy座標を表す2つの式から、媒介変数である \(t\) を消去することで得られます。
この設問における重要なポイント

• x座標の式: (1)で求めた \(x = v_0 t\)。
• y座標の式: 鉛直方向の運動から、\(y = -\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) となる。
• \(t\)の消去: 2つの式を連立させ、\(t\) を消去します。

具体的な解説と立式
(1)より、時刻 \(t\) におけるx座標は、
$$ x = v_0 t \quad \cdots ① $$
一方、時刻 \(t\) におけるy座標は、初速度0、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動なので、
$$ y = -\frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
この2つの式から \(t\) を消去します。まず、式①を \(t\) について解きます。
$$ t = \frac{x}{v_0} \quad \cdots ③ $$
この式③を式②に代入します。

式③を式②に代入して、yをxの式で表します。
$$
\begin{aligned}
y &= -\frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0} \right)^2 \\[2.0ex]&= -\frac{1}{2}g \frac{x^2}{v_0^2} \\[2.0ex]&= -\frac{g}{2v_0^2}x^2
\end{aligned}
$$

小球の軌跡、つまりx座標とy座標の直接の関係を知りたい問題です。x座標とy座標は、どちらも「時間 \(t\)」を使って表すことができます。そこで、x座標の式を「\(t\) = …」の形に変形し、それをy座標の式に代入することで、時間を介さずにxとyを直接結びつける式を作ります。

軌道を表す式は \(y = -\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}x^2\) です。
これは、原点を頂点とし、y軸負の方向に開いた放物線を表す式であり、水平投射の軌跡が放物線を描くという事実と一致しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
斜面上に落下した地点のx座標を求める問題です。落下地点は、「小球の軌道」と「斜面」の交点です。したがって、(3)で求めた軌道の式と、斜面を表す直線の式を連立させて解くことで、交点の座標を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 軌道の式: (3)で求めた \(y = -\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}x^2\)。
• 斜面の式: 傾斜角が \(45^\circ\) で、原点を通り、x>0の領域ではy<0となる直線です。傾きは \(-1\) なので、式は \(y = -x\) となります。
• 連立方程式: 2つの式を連立させて、原点O以外の交点のx座標を求めます。

具体的な解説と立式
落下地点の座標を \((x_1, y_1)\) とします。この点は、(3)で求めた軌道上にあります。
$$ y_1 = -\frac{g}{2v_0^2}x_1^2 \quad \cdots ① $$
また、この点は傾斜 \(45^\circ\) の斜面上にあります。図から、この斜面は原点を通り傾きが \(-1\) の直線なので、その方程式は \(y=-x\) です。したがって、落下地点の座標は次の関係を満たします。
$$ y_1 = -x_1 \quad \cdots ② $$
この2つの式を連立させて、\(x_1\) を求めます。

式②を式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
-x_1 &= -\frac{g}{2v_0^2}x_1^2
\end{aligned}
$$
この方程式を \(x_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{g}{2v_0^2}x_1^2 – x_1 &= 0 \\[2.0ex]x_1 \left( \frac{g}{2v_0^2}x_1 – 1 \right) &= 0
\end{aligned}
$$
この方程式の解は \(x_1 = 0\) または \(\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}x_1 – 1 = 0\) です。
\(x_1 = 0\) は飛び出した原点を表すので、求める落下地点のx座標は後者から得られます。
$$
\begin{aligned}
\frac{g}{2v_0^2}x_1 – 1 &= 0 \\[2.0ex]\frac{g}{2v_0^2}x_1 &= 1 \\[2.0ex]x_1 &= \frac{2v_0^2}{g}
\end{aligned}
$$

小球が落ちた場所は、「小球が飛んでいく放物線の軌道」と「地面の斜面」が交わった点です。(3)で求めた軌道の式と、斜面を表す直線の式（この場合は \(y=-x\)）を連立方程式として解くことで、交点の座標、つまり落下地点の座標を計算します。

落下地点のx座標は \(\displaystyle\frac{2v_0^2}{g}\) です。
この結果は、初速度 \(v_0\) が大きいほど遠くに、重力加速度 \(g\) が大きいほど近くに落下することを示しており、物理的な直感と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と重ね合わせ:
  • 核心: この問題も、水平投射の基本に忠実に、「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」に分解して考えることが全ての出発点です。それぞれの方向で独立に運動の式を立て、それらを組み合わせることで複雑な現象を解析します。
  • 理解のポイント: 座標軸の取り方に注意が必要です。この問題では鉛直上向きがy軸の正なので、重力加速度は \(a_y = -g\)、y座標やy方向速度は負の値をとります。この符号の扱いは非常に重要です。
• 軌道の式の導出（媒介変数tの消去）:
  • 核心: (3)で問われる軌道の式は、物理現象を時間 \(t\) に依存しない幾何学的な図形（放物線）として表現するものです。xとyをそれぞれ \(t\) の関数で表した2つの式から、媒介変数である \(t\) を消去するという数学的な操作が核心となります。
• 物理的条件と幾何学的条件の融合:
  • 核心: (4)では、小球が落下する点は「物理法則に従う軌道上の点」であると同時に、「斜面という幾何学的な図形上の点」でもあります。この2つの条件を連立方程式として解く、という考え方が問題を解く鍵です。
  • 理解のポイント: 「斜面に着地した」という言葉を、「軌道の式 \(y=f(x)\)」と「斜面の式 \(y=g(x)\)」の連立方程式を解くことだと翻訳できるかが問われています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射から斜面への着地: 初速度に鉛直成分が加わるだけで、基本的な解法は全く同じです。軌道の式と斜面の式を連立させます。軌道の式の形が少し複雑になります。
  • 壁への衝突: 水平投射した物体が、正面の鉛直な壁に衝突する問題。衝突点のx座標が壁の位置で固定されるため、そこから衝突時刻や衝突点のy座標を求めることができます。
  • 動く斜面への着地: 斜面自体が動いている場合。相対運動の考え方が必要になり、難易度が上がります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の確認: 問題で指定された座標軸の向き（特にy軸が上向きか下向きか）を最初に確認し、加速度や速度の符号を間違えないようにします。
  2. 終点（着地点）の条件を数式化する: 問題のゴールはどこか？「地面に着地」なら \(y=0\)（地面がy=0の場合）、「斜面に着地」なら \(y=-x\)（この問題の場合）のように、終点の座標が満たすべき関係式を明確にします。
  3. 軌道の式を求める意味を理解する: 軌道の式は、時間 \(t\) に関係なく、いつでも成り立つ \(x\) と \(y\) の関係です。これと終点の条件式を組み合わせることで、特定の点（着地点）の座標が求まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 座標軸の向きと符号のミス:
  • 誤解: 前の問題（問27など）の癖で、鉛直下向きを正として計算してしまい、y座標やy方向速度の符号を間違える。
  • 対策: 問題ごとに座標軸の定義は異なります。問題を解き始める前に、必ず図を見て座標軸の向きを確認し、\(a_y = -g\) であることを答案の最初に明記する習慣をつけましょう。
• 斜面の式の誤り:
  • 誤解: 傾斜角が \(45^\circ\) だからといって、安易に \(y=x\) と置いてしまう。
  • 対策: 必ず図を見て、斜面がどの象限にあるかを確認しましょう。この問題では、小球は第4象限（\(x>0, y<0\)）にある斜面に落下します。原点を通る傾き \(-1\) の直線なので、式は \(y=-x\) となります。
• 連立方程式の解の吟味:
  • 誤解: (4)で \(x_1 \left( \frac{g}{2v_0^2}x_1 – 1 \right) = 0\) という方程式を解いた際に、\(x_1=0\) という解の意味を考えずに、答えが2つあると混乱してしまう。
  • 対策: 方程式の解が複数出てきた場合、それぞれが物理的に何を意味するのかを考えましょう。\(x_1=0\) は軌道と斜面の交点の一つですが、これは物理的には「出発点」に対応します。問題で問われているのは「落下地点」なので、\(0\) ではない方の解を選ぶ必要があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 軌道と斜面のグラフ: (3)で求めた放物線のグラフと、(4)で使う斜面の直線を、同じxy平面上に描いてみましょう。2つのグラフの交点が2つ（原点と落下地点）あることが視覚的に明確になります。これにより、(4)で連立方程式を解く意味が直感的に理解できます。
  • 時間の経過と位置の関係: 時刻 \(t\) が \(0 \rightarrow t_1 \rightarrow t_2 \rightarrow \dots\) と進むにつれて、小球の位置 \((x, y)\) が放物線に沿ってどう動いていくかをイメージします。そして、その点が斜線 \(y=-x\) 上に乗った瞬間が「着地」であると捉えます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸と原点を大きく描く: 符号ミスを防ぐため、xy軸と原点Oをはっきりと描きましょう。
  • ベクトルを成分分解して描く: 任意の時刻 \(t\) における速度ベクトルを描き、それを水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) に分解する図を描くと、各成分の大きさや向きの変化が理解しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等速直線運動の式 (\(x=v_0t\)) と 等加速度直線運動の式 (\(y=-\frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (1)〜(3)で、運動をx, y方向に分解し、それぞれの方向の運動法則を時刻 \(t\) の関数として表現するため。
  • 適用根拠: 水平方向には力が働かず加速度が0、鉛直方向には重力が働き加速度が \(-g\)（一定）であるという、水平投射の基本原理に基づきます。
• 媒介変数の消去:
  • 選定理由: (3)で、時刻 \(t\) に依存しない、xとyの直接的な関係式（軌道の式）を導出するため。これは物理というより数学的な手法です。
  • 適用根拠: 2つの変数x, yが、共通の第3の変数tを介して関係づけられている場合、tを消去することでx, yの直接の関係式を得ることができます。
• 連立方程式:
  • 選定理由: (4)で、「軌道上の点」と「斜面上の点」という2つの条件を同時に満たす点（=落下地点）の座標を求めるため。
  • 適用根拠: 求める未知数（この場合は \(x_1, y_1\)）に対して、独立した関係式が2つあれば、解を一つに特定できるという代数学の基本原理に基づきます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)-(3) 運動の記述と軌道の導出:
   • 戦略: 運動をx, yに分解し、時刻 \(t\) の関数として位置を記述。その後 \(t\) を消去する。
   • フロー: ①水平方向の位置 \(x(t)\) を立式 → ②鉛直方向の位置 \(y(t)\) を立式 → ③ \(x(t)\) の式を \(t=\dots\) の形に変形 → ④それを \(y(t)\) の式に代入し、\(y(x)\) の式（軌道）を導出。
2. (4) 落下地点の計算:
   • 戦略: 物理的な軌跡と、幾何学的な斜面との交点を求める。
   • フロー: ①落下地点が満たすべき斜面の条件式 (\(y_1=-x_1\)) を立てる → ②落下地点は軌道上にもあるので、(3)で求めた軌道の式に座標 \((x_1, y_1)\) を代入 → ③2つの式を連立させて \(x_1\) について解く → ④物理的に意味のある解（\(x_1 \neq 0\)）を選ぶ。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の徹底管理: この問題で最も重要なのは符号です。y軸が上向き正なので、y座標、y方向速度、重力加速度はすべて負またはゼロになります。計算の各ステップで、符号が物理的に正しいか（例：落下地点のy座標は負になっているか）を確認しましょう。
• 文字式計算の整理: (4)の計算では、\(x_1\) の二次方程式を解くことになります。移項や因数分解を丁寧に行い、計算ミスを防ぎましょう。特に、係数が分数になっているので、分数の扱いに注意が必要です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) 軌道の式: \(y = -(\text{正の定数}) \times x^2\) という形は、下に凸ではなく上に凸（y軸負方向に開く）の放物線を表しており、図のイメージと一致します。
  • (4) 落下地点のx座標: \(x_1 = \displaystyle\frac{2v_0^2}{g}\)。もし初速度 \(v_0\) が2倍になれば、x座標は4倍になります。これは、滞空時間が長くなり（yが同じ値になるまでの時間が長くなり）、かつ水平速度も速いため、直感よりも大きく飛距離が伸びることを示唆しており、興味深い結果です。また、\(g\) が大きいほど \(x_1\) が小さくなるのも直感と合っています。
• ヒントとの関連付け:
  • 問題のヒントに「傾角\(45^\circ\)の斜面上の点\((x, y)\)では、\(|x|=|y|\)」とあります。図から \(x>0, y<0\) なので、これは \(x = -y\) すなわち \(y=-x\) を意味します。この条件を(4)で正しく使えたかを確認することは、解答の妥当性を吟味する上で非常に有効です。

41 斜方投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜め下向きに投げ出す「斜方投射」の応用問題です。初速度が水平でも鉛直でもなく、斜めを向いている点が特徴です。このような場合も、運動を水平方向と鉛直方向に分解して考える基本方針は変わりません。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射（斜め下向き）」です。初速度ベクトルを水平成分と鉛直成分に分解し、それぞれの方向で運動の式を立てることが解析の第一歩です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が水面に達するまでの時間 \(t\) を求める問題です。この時間は、小球が鉛直方向に距離 \(h\) だけ移動するのにかかる時間です。鉛直方向の運動は、初速度の鉛直成分を持つ「鉛直投げ下ろし運動」となります。
この設問における重要なポイント

• 座標設定: 投射点を原点(0, 0)、鉛直下向きをy軸の正の向きとすると便利です。
• 初速度の分解: 初速度 \(v_0\) を鉛直成分 \(v_{0y}\) に分解します。\(v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ\)。
• 鉛直方向の運動: 初速度 \(v_{0y}\)、加速度 \(g\) の等加速度直線運動として、変位の式 \(y = v_{0y}t + \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を用います。
• 二次方程式: \(y=h\) を代入すると、\(t\) に関する二次方程式が得られます。

具体的な解説と立式
投射点を原点とし、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸の正の向きをとります。
初速度 \(v_0\) のy成分（鉛直下向き）は、
$$ v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ $$
小球の鉛直方向の運動は、初速度 \(v_{0y}\)、加速度 \(g\) の鉛直投げ下ろし運動です。
時刻 \(t\) におけるy座標は、
$$ y = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2 $$
水面に達するとき \(y=h\) となるので、
$$ h = (v_0 \sin 30^\circ)t + \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$
ここに、与えられた条件 \(v_0 = \sqrt{gh}\) と \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) を代入して整理します。

式①に \(v_0 = \sqrt{gh}\) と \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \left(\sqrt{gh} \cdot \frac{1}{2}\right)t + \frac{1}{2}gt^2 \\[2.0ex]h &= \frac{\sqrt{gh}}{2}t + \frac{1}{2}gt^2
\end{aligned}
$$
この式を \(t\) に関する二次方程式として整理します。両辺を2倍して、
$$
\begin{aligned}
2h &= \sqrt{gh} \cdot t + gt^2
\end{aligned}
$$
移項して整理すると、
$$ gt^2 + \sqrt{gh} \cdot t – 2h = 0 $$
この二次方程式を因数分解して解きます。たすき掛けなどを考えると、
$$ \left( \sqrt{g}t – \sqrt{h} \right) \left( \sqrt{g}t + 2\sqrt{h} \right) = 0 $$
したがって、
$$ \sqrt{g}t = \sqrt{h} \quad \text{または} \quad \sqrt{g}t = -2\sqrt{h} $$
\(t>0\) であるから、
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{g}} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{h}{g}}
\end{aligned}
$$

小球が水面に落ちるまでの時間を求めます。これは、小球が縦方向に \(h\) の距離を移動する時間のことです。小球は最初から下向きの初速度を持っているので、ただの自由落下よりも速く落ちます。この「最初の下向き速度を持った落下運動」の公式に、高さが \(h\) になるという条件を入れて、時間 \(t\) を計算します。計算の途中で \(t\) の二次方程式が出てきますが、物理的に意味のある正の解を選びます。

小球が水面に達するまでの時間は \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{h}{g}}\) です。
興味深いことに、この時間は高さ \(h\) から自由落下させた場合の時間と同じです。これは、初速度 \(v_0 = \sqrt{gh}\) という特殊な値が与えられているため、初速度による落下時間の短縮効果と二次方程式の解の形がうまく作用し合った結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
投射点から着水点までの水平距離 \(l\) を求める問題です。水平方向の運動は、力が働かないため等速直線運動です。したがって、「距離 = 速さ × 時間」で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動: 等速直線運動。
• 水平方向の初速度: \(v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ\)。
• 時間: (1)で求めた着水時間 \(t\) を用いる。

具体的な解説と立式
小球の水平方向の運動は、初速度 \(v_{0x}\) の等速直線運動です。
初速度のx成分は、
$$ v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ $$
水平距離 \(l\) は、この速さで時間 \(t\) だけ進んだ距離なので、
$$ l = v_{0x} t $$
したがって、
$$ l = (v_0 \cos 30^\circ) t \quad \cdots ① $$
この式に、与えられた \(v_0 = \sqrt{gh}\)、\(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)、そして(1)で求めた \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{h}{g}}\) を代入します。

式①に各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
l &= \left( \sqrt{gh} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \sqrt{\frac{h}{g}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{gh \times \frac{h}{g}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{h^2} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}}{2}h
\end{aligned}
$$

小球が横方向に進んだ距離を求めます。横方向には「初速度の横向き成分」の速さで、(1)で求めた「水面に落ちるまでの時間」だけ進み続けます。単純に「横向きの速さ × 時間」を計算します。

水平距離は \(l = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}h\) です。
高さ \(h\) に比例した距離となり、次元的にも妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
着水する瞬間の小球の速さ \(v\) を求める問題です。速さはスカラー量であり、速度ベクトルの大きさです。着水時の速度の水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) をそれぞれ求め、三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を用いて合成します。
この設問における重要なポイント

• 水平速度 \(v_x\): 等速直線運動なので、常に初速度の水平成分 \(v_{0x}\) に等しい。
• 鉛直速度 \(v_y\): 鉛直投げ下ろし運動の速度の式 \(v_y = v_{0y} + gt\) を用いて、着水時刻 \(t\) のときの速度を計算する。
• 速度の合成: \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を用いて速さを求める。

具体的な解説と立式
着水する瞬間の速度のx成分 \(v_x\) とy成分 \(v_y\) を求めます。
x成分は常に一定で、
$$ v_x = v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ $$
y成分は、時刻 \(t\) において、
$$ v_y = v_{0y} + gt = v_0 \sin 30^\circ + gt $$
求める速さ \(v\) は、これらの成分を合成して、
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$
$$ v = \sqrt{(v_0 \cos 30^\circ)^2 + (v_0 \sin 30^\circ + gt)^2} \quad \cdots ① $$
この式に、\(v_0 = \sqrt{gh}\) と \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{h}{g}}\) を代入して計算します。

まず、\(v_x\) と \(v_y\) を具体的に計算します。
$$
\begin{aligned}
v_x &= \sqrt{gh} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3gh}}{2}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
v_y &= \sqrt{gh} \cdot \frac{1}{2} + g \cdot \sqrt{\frac{h}{g}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{gh}}{2} + \sqrt{g^2 \cdot \frac{h}{g}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{gh}}{2} + \sqrt{gh} \\[2.0ex]&= \frac{3}{2}\sqrt{gh}
\end{aligned}
$$
これらを三平方の定理に代入します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= v_x^2 + v_y^2 \\[2.0ex]&= \left( \frac{\sqrt{3gh}}{2} \right)^2 + \left( \frac{3\sqrt{gh}}{2} \right)^2 \\[2.0ex]&= \frac{3gh}{4} + \frac{9gh}{4} \\[2.0ex]&= \frac{12gh}{4} \\[2.0ex]&= 3gh
\end{aligned}
$$
したがって、速さ \(v\) は、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{3gh}
\end{aligned}
$$

水面にぶつかる瞬間の速さを求めます。このときの小球の速度は、斜め下向きです。この斜め向きの速度は、「横向きの速度成分」と「下向きの速度成分」を合成したものです。それぞれの成分の大きさを計算し、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って、斜め向きの速さ（ベクトルの大きさ）を計算します。

着水する瞬間の速さは \(v = \sqrt{3gh}\) です。
初速度の2乗が \(v_0^2 = gh\) であったのに対し、着水時の速さの2乗は \(v^2 = 3gh\) となり、速くなっていることがわかります。これは重力によって仕事をされ、運動エネルギーが増加した結果であり、妥当です。別解の力学的エネルギー保存則を用いた解法とも結果が一致し、計算の正しさが裏付けられました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解（斜方投射）:
  • 核心: 水平投射と同様に、斜方投射も「水平方向の運動」と「鉛直方向の運動」に分解して考えるのが基本です。この問題の鍵は、初速度 \(v_0\) を三角比を用いて正しく水平成分 \(v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ\) と鉛直成分 \(v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ\) に分解できるかどうかにかかっています。
  • 理解のポイント: 水平方向は力が働かない「等速直線運動」、鉛直方向は初速度のある「鉛直投げ下ろし運動」となります。それぞれの運動モデルを正確に適用することが重要です。
• 二次方程式の利用:
  • 核心: (1)で落下時間を求める際、鉛直方向の運動の式 \(h = v_{0y}t + \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) が \(t\) に関する二次方程式となります。これを数学的に正しく解き、物理的に意味のある解（\(t>0\)）を選択する能力が問われます。
• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: (3)の速さを求める問題は、力学的エネルギー保存則を用いることで、よりエレガントに解くことができます。運動の始点と終点での「運動エネルギー」と「重力による位置エネルギー」の和が一定である、という法則です。
  • 理解のポイント: この法則は、途中の経路や時間に関係なく、始点と終点の状態だけで速さを求めることができる強力なツールです。特に「速さを求めよ」という問題で、非保存力（摩擦や空気抵抗）が働かない場合には、まずこの法則が使えないかを検討するのが定石です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 一般的な斜方投射: 地上から斜め上方にボールを投げる問題。最高点への到達時間、最高点の高さ、水平到達距離などを求めるのが典型です。鉛直方向の運動が「鉛直投げ上げ」になる点が異なります。
  • バスケットボールのシュート: リングの高さと水平距離が与えられ、シュートが入るための初速度や角度を求める問題。軌道の式を立て、リングの座標を代入して解きます。
  • ジェットコースターやスキーのジャンプ: これらも斜方投射の一種と見なせます。力学的エネルギー保存則と組み合わせる問題が多いです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 初速度ベクトルの分解: 問題を読み解いたら、まず初速度ベクトルを図示し、水平・鉛直成分に分解します。これが全ての計算の基礎となります。
  2. 座標軸の設定: 自分で計算しやすいように座標軸を設定します。特に鉛直方向は、上向きを正とするか下向きを正とするかで、その後の式の符号が全て変わってくるため、最初に明確に決めておくことが重要です。
  3. 求める量に応じた解法の選択:
     • 時間や位置を問われたら: 運動を成分に分解し、等加速度運動の公式を適用するのが基本。
     • 速さだけを問われたら: 力学的エネルギー保存則が使えないか、まず検討します。計算が大幅に楽になることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 初速度の分解ミス:
  • 誤解: \(\cos\) と \(\sin\) を取り違える。水平成分を \(v_0 \sin 30^\circ\)、鉛直成分を \(v_0 \cos 30^\circ\) とするなど。
  • 対策: 必ず図を描き、初速度ベクトルと水平・鉛直軸で直角三角形を作りましょう。「角度を挟む辺が\(\cos\)」と覚え、図と対応させて確認する習慣をつければミスを防げます。
• 二次方程式の解の選択ミス:
  • 誤解: (1)で二次方程式を解いた際に、負の解も答えとして認めてしまう、あるいは計算ミスで正しい解を選べない。
  • 対策: 時間 \(t\) は物理的に負の値を取り得ません。必ず \(t>0\) という条件を確認し、それに合致する解のみを選びましょう。また、因数分解が難しい場合は、解の公式 \(t = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) を落ち着いて使いましょう。
• エネルギー保存則の適用ミス:
  • 誤解: 位置エネルギーの基準点を曖昧にしたまま立式し、高さを間違える。運動エネルギーと位置エネルギーのどちらか一方を書き忘れる。
  • 対策: 式を立てる前に、「位置エネルギーの基準（U=0）はどこか」を答案に明記しましょう。この問題では水面を基準にするのが最も簡単です。その上で、「始点のK+U = 終点のK+U」と声に出しながら、各項を一つずつ丁寧に書き出しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 初速度ベクトルの分解図: 問題の図に、初速度 \(v_0\) を破線で水平成分 \(v_{0x}\) と鉛直成分 \(v_{0y}\) に分解した図を書き加えることが、理解の第一歩です。各成分の大きさを \(v_0\) と \(30^\circ\) を用いて書き込んでおくと、その後の立式がスムーズになります。
  • エネルギーの棒グラフ: 始点と終点でのエネルギーの内訳を棒グラフでイメージします。
    • 始点: 「運動エネルギー \(K_0\)」と「位置エネルギー \(U_h\)」の2つのブロックからなる棒グラフ。
    • 終点: 高さゼロなので位置エネルギーはなく、すべてが「運動エネルギー \(K_f\)」のブロックになっている棒グラフ。
    • この2つの棒グラフの「全長」が等しい、というのがエネルギー保存則の視覚的なイメージです。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸の原点と向きを明記する: 自分で設定した座標軸は、必ず図に描き込みましょう。
  • 既知の量と未知の量を区別する: 図の中に、問題文で与えられた \(h, v_0, 30^\circ\) などの情報を書き込み、求める \(t, l, v\) を疑問符付きで書き込むと、思考が整理されます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の公式群:
  • 選定理由: (1), (2), (3)の別解前まで。運動を時間追跡的に、つまり「いつ、どこで、どのくらいの速度か」を詳細に分析する必要があるため。
  • 適用根拠: 水平・鉛直の各方向で、加速度が一定（0 または \(g\)）であるため、これらの公式が厳密に成り立ちます。
• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: (3)の速さを求めるため。始点と終点の「状態」だけを比較して、途中の経過を問わずに速さを知りたい場合に最も効率的だから。
  • 適用根拠: 運動中に働く力が保存力である重力のみであり、非保存力（空気抵抗など）が仕事をしないため、力学的エネルギーの総和は一定に保たれます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 準備段階:
   • 戦略: 運動を解析するための下準備を行う。
   • フロー: ①座標軸を設定（例：投射点を原点、右向きx、下向きyを正） → ②初速度 \(v_0\) をx, y成分に分解 (\(v_{0x}\), \(v_{0y}\))。
2. (1) 時間の計算:
   • 戦略: 鉛直方向の運動に着目し、二次方程式を解く。
   • フロー: ①鉛直方向の変位の式 \(y(t)\) を立式 → ② \(y=h\) を代入し、\(t\) の二次方程式を立てる → ③方程式を解き、正の解を選ぶ。
3. (2) 水平距離の計算:
   • 戦略: 水平方向の運動（等速）に着目する。
   • フロー: ①水平方向の変位の式 \(l(t)\) を立式 → ②(1)で求めた時間 \(t\) を代入して \(l\) を計算。
4. (3) 速さの計算:
   • 戦略A（成分分解）: 着水時の速度成分を求め、合成する。
   • フローA: ①着水時の水平速度 \(v_x\) を求める（\(v_x=v_{0x}\)） → ②着水時の鉛直速度 \(v_y(t)\) を計算 → ③三平方の定理 \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) で合成。
   • 戦略B（エネルギー保存）: 始点と終点のエネルギーを比較する。
   • フローB: ①始点と終点の力学的エネルギーをそれぞれ立式 → ②両者が等しいとおき、\(v\) について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 定数の代入は最後に行う: (1)の二次方程式を解く際など、\(v_0 = \sqrt{gh}\) のような具体的な値は、式の整理がある程度進んでから代入する方が、見通しが良くなり計算ミスを減らせます。
• 平方根と2乗の扱いに注意: \((\sqrt{gh})^2 = gh\) のような計算は基本ですが、焦っているとミスしやすいポイントです。落ち着いて計算しましょう。
• 単位の確認: 最終的な答えの単位が、求められている物理量の単位（[s], [m], [m/s]）と一致しているかを確認する習慣は、検算として有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 時間: もし初速度の鉛直成分がゼロ（水平投射）だったら、時間はもっと長くなるはずです。式の上で比較は難しいですが、そうした定性的な考察が物理的センスを養います。
  • (3) 速さ: \(v = \sqrt{3gh}\)。もし初速度がゼロ（自由落下）なら、着水速度は \(\sqrt{2gh}\) です。初速度がある分、より速く着水するのは当然であり、結果は妥当です。
• 別解との比較:
  • (3)の速さが、運動の成分分解による複雑な計算と、エネルギー保存則による簡潔な計算で、見事に一致しました。これは、両方のアプローチが正しく、かつ物理法則が整合していることの強力な証拠です。難しい問題ほど、別解での検算は有効な武器となります。

42 斜方投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜方投射された小球が鉛直な壁に衝突する設定です。基本的な斜方投射の考え方に加え、「壁に衝突する」という条件と、「床に衝突する前に」という条件をどのように数式で表現するかが問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「壁への斜方投射」です。斜方投射を「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ運動」に分解して考える基本は同じです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が壁にぶつかるまでの時間 \(t\) を求める問題です。壁は水平距離 \(L\) の位置にあるため、この時間は、小球が水平方向に距離 \(L\) だけ進むのにかかる時間と等しくなります。水平方向の運動は等速直線運動なので、単純な「時間 = 距離 ÷ 速さ」で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 運動の分離: 時間を求めるには、水平方向の運動だけを見ればよい。
• 初速度の分解: 水平方向の初速度は \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\)。
• 水平方向の運動: 速さ \(v_{0x}\) の等速直線運動。

具体的な解説と立式
小球の水平方向の運動は、初速度 \(v_{0x}\) の等速直線運動です。
初速度のx成分は、
$$ v_{0x} = v_0 \cos\theta $$
小球が壁にぶつかるのは、水平方向に距離 \(L\) を進んだときです。
したがって、壁にぶつかるまでの時間を \(t\) とすると、等速直線運動の公式 \(x = vt\) より、
$$ L = v_{0x} t $$
$$ L = (v_0 \cos\theta) t \quad \cdots ① $$

上記で立てた式①を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{L}{v_0 \cos\theta}
\end{aligned}
$$

壁にぶつかるまでの時間は、横方向に距離 \(L\) を進むのにかかる時間です。小球は横方向には「初速度の横向き成分」である \(v_0 \cos\theta\) の速さでずっと進むので、時間は「距離 ÷ 速さ」で計算できます。

壁にぶつかるまでの時間は \(t = \displaystyle\frac{L}{v_0 \cos\theta}\) です。
この時間は、水平距離 \(L\) が大きいほど長く、初速度の水平成分 \(v_0 \cos\theta\) が大きいほど短くなります。物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球が床に衝突する前に壁に衝突するための条件を求める問題です。これは、(1)で求めた時刻 \(t\) に壁に衝突したとき、小球がまだ空中にある、すなわちy座標が正であることを意味します。
この設問における重要なポイント

• 物理的条件の数式化: 「床に衝突する前に壁に衝突する」という条件を、壁衝突時のy座標が正（\(y>0\)）であるという不等式で表現します。
• 鉛直方向の運動: 初速度の鉛直成分 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)、加速度 \(-g\) の鉛直投げ上げ運動。
• 変位の式の利用: 鉛直投げ上げの変位の式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を用います。
• 三角関数の公式: 計算を整理する過程で、2倍角の公式 \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\) を利用します。

具体的な解説と立式
小球が床に衝突する前に壁に衝突するためには、壁に衝突する時刻 \(t\) におけるy座標が \(y>0\) でなければなりません。
小球の鉛直方向の運動は、初速度 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)、加速度 \(-g\) の鉛直投げ上げ運動です。
時刻 \(t\) におけるy座標は、
$$ y = (v_0 \sin\theta)t – \frac{1}{2}gt^2 $$
この式に、(1)で求めた壁に衝突する時刻 \(t = \displaystyle\frac{L}{v_0 \cos\theta}\) を代入し、\(y>0\) という不等式を立てます。
$$ (v_0 \sin\theta)\left(\frac{L}{v_0 \cos\theta}\right) – \frac{1}{2}g\left(\frac{L}{v_0 \cos\theta}\right)^2 > 0 \quad \cdots ① $$

上記で立てた不等式①を \(v_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{L \sin\theta}{\cos\theta} – \frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2\theta} &> 0 \\[2.0ex]L \tan\theta &> \frac{gL^2}{2v_0^2 \cos^2\theta}
\end{aligned}
$$
両辺に \(2v_0^2 \cos^2\theta\) を掛けます（\(v_0>0, \cos\theta>0\) なので、この値は正）。
$$
\begin{aligned}
2v_0^2 \cos^2\theta \cdot L \tan\theta &> gL^2 \\[2.0ex]2v_0^2 \cos^2\theta \cdot L \frac{\sin\theta}{\cos\theta} &> gL^2 \\[2.0ex]2v_0^2 L \sin\theta \cos\theta &> gL^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(L\) で割ります（\(L>0\)）。
$$
\begin{aligned}
2v_0^2 \sin\theta \cos\theta &> gL
\end{aligned}
$$
ここで、三角関数の2倍角の公式 \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
v_0^2 \sin(2\theta) &> gL \\[2.0ex]v_0^2 &> \frac{gL}{\sin(2\theta)}
\end{aligned}
$$
\(v_0\) は速さなので \(v_0 > 0\) です。両辺の正の平方根をとって、
$$
\begin{aligned}
v_0 &> \sqrt{\frac{gL}{\sin(2\theta)}}
\end{aligned}
$$

「床に落ちる前に壁にぶつかる」ということは、「壁にぶつかった瞬間の高さがプラス」だということです。(1)で求めた「壁にぶつかる時間」を、y座標（高さ）を表す式に代入します。そして、その高さが0より大きいという不等式を立て、初速度 \(v_0\) が満たすべき条件を計算します。

小球が床に衝突する前に壁に衝突するためには、\(v_0 > \sqrt{\displaystyle\frac{gL}{\sin(2\theta)}}\) を満たす必要があります。
この条件式の右辺は、水平到達距離が最大となる投射角 \(\theta=45^\circ\) のときに最小値をとります。これは、同じ初速度なら \(45^\circ\) で投げたときが最も遠くまで飛ぶ（壁に到達しやすい）という事実と関連しており、物理的に興味深い結果です。もし初速度がこの値より小さいと、壁に到達する前にy座標が0以下になってしまい、床に先に衝突してしまいます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解（斜方投射）:
  • 核心: この問題も、斜方投射の基本に忠実に、運動を「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ運動」に分解することが解析の出発点です。初速度 \(v_0\) を \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) と \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\) に正しく分解することが不可欠です。
  • 理解のポイント: (1)の壁に到達する時間は水平方向の運動だけで決まり、(2)の条件は鉛直方向の運動だけで決まる、というように、それぞれの運動が独立していることを利用して問題を解き進めます。
• 物理的条件の数式化:
  • 核心: この問題の最大のポイントは、「床に衝突する前に、壁に衝突する」という日本語で書かれた条件を、物理量を用いた数学的な不等式に翻訳することです。
  • 理解のポイント: これは、「壁に到達する時刻 \(t\) において、小球のy座標が正である（\(y(t) > 0\)）」と解釈できます。この不等式を立て、解くことが(2)の核心です。物理の問題は、このように文章で与えられた条件を数式に落とし込む能力が非常に重要になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 最大水平到達距離: 地面から投げた物体が最も遠くに到達する条件を求める問題。軌道の式を立て、\(y=0\) となる \(x\) を求め、それが最大になる \(\theta\) を求める（結果は \(\theta=45^\circ\)）。この問題の(2)の条件式は、この最大到達距離の公式と密接に関連しています。
  • 特定の点を通過する条件: 斜方投射された物体が、特定の座標 \((x_p, y_p)\) を通過するための初速度や角度の条件を求める問題。軌道の式にその座標を代入して方程式を解きます。
  • 安全領域の問題: 例えば、火山の噴火で、ある範囲に岩石が飛んでこないための条件など。到達距離の最大値を考えることで、安全な範囲を特定します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の分解: まずは定石通り、初速度を水平・鉛直成分に分解します。
  2. 時間 \(t\) の決定: 何かイベント（壁への衝突、最高点への到達など）が起こる時刻 \(t\) を、運動方程式や公式から求めます。この問題では、水平方向に \(L\) 進む時間として \(t\) が決まります。
  3. 条件の不等式化: 「〜する前に」「〜を越えるために」といった条件文を、位置や速度に関する不等式（例: \(y>0\), \(x>L\), \(v_y<0\) など）に変換します。
  4. 三角関数の変形: 斜方投射の問題では、最終的な条件式に \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) が混在することがよくあります。模範解答のように、2倍角の公式 \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\) を使って式を簡潔にできないか検討する癖をつけましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 条件の解釈ミス:
  • 誤解: 「床に衝突する前に壁に衝突する」という条件を、滞空時間（床に落ちるまでの時間）と壁に到達する時間の大小関係で考えようとして、計算が複雑になり混乱する。
  • 対策: ヒントにあるように、より直接的な条件「壁に衝突したときの高さがプラスである」と考えるのが最もシンプルで確実です。複雑な条件文は、できるだけ単純な座標や速度の条件に言い換える練習をしましょう。
• 不等式の計算ミス:
  • 誤解: 不等式の両辺に負の数を掛けたり割ったりして、不等号の向きを反転し忘れる。
  • 対策: 不等式の計算では、両辺に掛ける（または割る）式の符号を常に意識しましょう。この問題では \(2v_0^2 \cos^2\theta\) を掛けましたが、\(v_0>0\) かつ \(0<\theta<90^\circ\) の範囲では \(\cos\theta>0\) なので、この式は常に正です。したがって、不等号の向きは変わりません。
• 三角関数の公式の失念:
  • 誤解: \(2\sin\theta\cos\theta\) という形が出てきても、2倍角の公式に気づかず、そのままの形で答えにしてしまう。
  • 対策: 斜方投射の問題では、2倍角の公式は頻出します。特に \(\sin(2\theta)\) と \(\cos(2\theta)\) はいつでも使えるように復習しておきましょう。公式を適用することで、物理的な意味（例：\(45^\circ\)で最大到達距離）が見えやすくなることも多いです。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 軌道の変化をイメージする: 初速度 \(v_0\) を固定し、角度 \(\theta\) を変えると軌道がどう変わるか、逆に角度 \(\theta\) を固定し、\(v_0\) を変えると軌道がどう変わるかをイメージします。
    • \(v_0\) を大きくすると、軌道は全体的に「遠くへ、高く」なります。
    • (2)の条件は、「軌道がy>0の領域で直線x=Lと交わる」ための \(v_0\) の下限を求めている、と幾何学的に解釈できます。
  • 条件の境界線を考える: \(v_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{gL}{\sin(2\theta)}}\) という等式が成り立つ瞬間を考えます。これは、小球が壁に「ギリギリ」y=0の点（壁の根元）で衝突する状況に対応します。求める条件は、これよりも高く打ち上げる、つまり初速度を大きくする必要がある、というイメージにつながります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 軌道を複数描いてみる: 条件を満たす場合（壁の高い位置に当たる）の軌道と、満たさない場合（壁に当たる前に床に落ちる）の軌道を、同じ図に点線で描いてみると、問題の意図が視覚的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等速直線運動の式 (\(x=v_x t\)):
  • 選定理由: (1)で、水平方向に距離 \(L\) だけ離れた壁に到達する時間を求めるため。水平方向の運動は最も単純なこのモデルに従います。
  • 適用根拠: 水平方向には力が作用しないため、加速度はゼロです。
• 鉛直投げ上げの式 (\(y=v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (2)で、壁に到達した時刻 \(t\) におけるy座標（高さ）を求めるため。
  • 適用根拠: 鉛直方向には初速度があり、かつ一定の重力加速度 \(-g\) が働くため、この公式が適用されます。
• 不等式 (\(y>0\)):
  • 選定理由: (2)で、「床に落ちる前に」という物理的な制約条件を、数学的に扱うため。
  • 適用根拠: 座標軸の設定から、床は \(y=0\) の直線に対応します。それより上にある状態は \(y>0\) と表現されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 壁への到達時間の計算:
   • 戦略: 水平方向の運動のみに着目する。
   • フロー: ①初速度の水平成分 \(v_{0x}\) を求める → ②水平方向の等速直線運動の式 \(L = v_{0x}t\) を立てる → ③ \(t\) について解く。
2. (2) 初速度の条件決定:
   • 戦略: 壁に到達した瞬間のy座標が正である、という条件を不等式で表現する。
   • フロー: ①初速度の鉛直成分 \(v_{0y}\) を求める → ②鉛直方向の変位の式 \(y(t)\) を立式 → ③ \(y(t)\) の式に(1)で求めた \(t\) を代入 → ④ \(y>0\) という不等式を立てる → ⑤不等式を \(v_0\) について解く。計算の途中で2倍角の公式を適用して式を簡略化する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の整理を丁寧に行う: (2)の計算では、分母に \(\cos\theta\) や \(\cos^2\theta\) が現れ、式が複雑になりがちです。分母を払う際には、すべての項に正しく掛け算を実行するように注意しましょう。
• 文字の整理: \(v_0, \sin\theta, \cos\theta, g, L\) など多くの文字が登場します。求めるべき変数は \(v_0\) であることを常に意識し、それ以外の文字は定数として扱うことで、頭の中を整理しながら計算を進めましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • \(v_0 > \sqrt{\displaystyle\frac{gL}{\sin(2\theta)}}\) という条件について考えます。
  • もし壁までの距離 \(L\) が大きければ、より大きな初速度 \(v_0\) が必要になるはずです。式は \(v_0\) が \(\sqrt{L}\) に比例することを示しており、直感と一致します。
  • もし投射角 \(\theta\) が \(0^\circ\) や \(90^\circ\) に近づくと、\(\sin(2\theta)\) は \(0\) に近づき、条件を満たすために必要な \(v_0\) は無限大に発散します。これは、真横や真上に投げても壁に到達しない（またはy>0で到達しない）という物理的な状況を正しく反映しています。
• 軌道の式との関連:
  • この問題は軌道の式を求めずとも解けましたが、軌道の式 \(y = (\tan\theta)x – \displaystyle\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2\) を用いても解けます。壁に当たる点では \(x=L\) なので、\(y(L) > 0\) という不等式を立てると、全く同じ計算を経て同じ結論に至ります。両方のアプローチを理解することで、問題への理解が深まります。

43 自由落下と斜方投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜方投射された小球Pと、自由落下する小球Qの衝突を扱う、いわゆる「出会い問題」の応用形です。特に(2)では、初速度\(v_0\)の大きさによらずに衝突が起こる条件を問うており、物理現象に対する深い洞察が求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射と自由落下の出会い問題」です。それぞれの物体の運動をx, y成分に分解して時刻 \(t\) の関数で表し、衝突条件（同一時刻に同一座標）を適用します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) における小球Pの座標 \((x_P, y_P)\) を求める問題です。これは斜方投射の基本であり、運動を水平方向と鉛直方向に分解して、それぞれの変位の式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 初速度の分解: 初速度 \(v_0\) を水平成分 \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) と鉛直成分 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\) に分解します。
• 水平方向の運動: 初速度 \(v_{0x}\) の等速直線運動。
• 鉛直方向の運動: 初速度 \(v_{0y}\) の鉛直投げ上げ運動（加速度 \(-g\)）。

具体的な解説と立式
小球Pの運動をx方向とy方向に分解して考えます。
x方向の運動は、初速度 \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) の等速直線運動です。時刻 \(t\) におけるx座標 \(x_P\) は、
$$ x_P = (v_0 \cos\theta) t \quad \cdots ① $$
y方向の運動は、初速度 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)、加速度 \(-g\) の鉛直投げ上げ運動です。時刻 \(t\) におけるy座標 \(y_P\) は、
$$ y_P = (v_0 \sin\theta) t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$

この設問は立式そのものが答えであり、これ以上の計算はありません。

小球Pの運動を、横方向と縦方向に分けて考えます。横方向の位置は「横向きの初速度 × 時間」、縦方向の位置は「縦向きの初速度 × 時間」から「重力で引き戻される距離」を引いたものになります。

時刻 \(t\) における小球Pの座標は、x座標が \(v_0 t \cos\theta\)、y座標が \(v_0 t \sin\theta – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) です。これは斜方投射の運動を記述する基本的な式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
初速度 \(v_0\) によらずにPとQが衝突するための \(\tan\theta\) を求める問題です。「衝突する」とは、ある時刻 \(t_1\) においてPとQの座標が一致することです。この条件を立式し、その式が \(v_0\) に依存しない（\(v_0\) が式から消える）ように \(\theta\) を定めます。
この設問における重要なポイント

• 小球Qの運動: x座標は常に \(a\)、y座標は \(y_Q = b – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)。
• 衝突条件: ある時刻 \(t_1\) で、\(x_P(t_1) = x_Q(t_1)\) かつ \(y_P(t_1) = y_Q(t_1)\) が成立。
• 条件の具体化: \(x_P(t_1) = a\) と \(y_P(t_1) = y_Q(t_1)\) の2つの式を立てます。
• 「\(v_0\)によらない」の解釈: 最終的に得られる \(\theta\) の条件式に \(v_0\) が含まれないようにします。

具体的な解説と立式
衝突が起こる時刻を \(t_1\) とします。
小球Qの座標は、常に \(x_Q = a\)、\(y_Q = b – \displaystyle\frac{1}{2}gt_1^2\) です。
衝突の条件は、\(x_P(t_1) = x_Q(t_1)\) と \(y_P(t_1) = y_Q(t_1)\) です。

x座標についての条件から、(1)の式を用いて、
$$ (v_0 \cos\theta) t_1 = a \quad \cdots ① $$
y座標についての条件から、(1)の式とQのy座標の式を用いて、
$$ (v_0 \sin\theta) t_1 – \frac{1}{2}gt_1^2 = b – \frac{1}{2}gt_1^2 \quad \cdots ② $$
式②の両辺にある \(-\displaystyle\frac{1}{2}gt_1^2\) の項は相殺されるため、
$$ (v_0 \sin\theta) t_1 = b \quad \cdots ③ $$
衝突が起こるためには、式①と式③が同時に成り立つ必要があります。これらの式から \(v_0\) と \(t_1\) を消去して、\(\theta\) に関する条件を求めます。

式①と式③は、\(v_0\) と \(t_1\) を含む連立方程式と見なせます。
式①から \(t_1\) を求めると、
$$ t_1 = \frac{a}{v_0 \cos\theta} $$
これを式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
(v_0 \sin\theta) \left( \frac{a}{v_0 \cos\theta} \right) &= b \\[2.0ex]\frac{a \sin\theta}{\cos\theta} &= b \\[2.0ex]a \tan\theta &= b \\[2.0ex]\tan\theta &= \frac{b}{a}
\end{aligned}
$$

PとQがぶつかるためには、ある時刻にPとQのx座標とy座標がそれぞれピッタリ一致する必要があります。x座標が一致する条件と、y座標が一致する条件の2つの式を立てます。この2つの式をうまく組み合わせると、初速度 \(v_0\) や衝突時間 \(t_1\) がきれいに消去でき、角度 \(\theta\) に関する条件だけが残ります。

\(v_0\) によらず衝突するための条件は \(\tan\theta = \displaystyle\frac{b}{a}\) です。
この結果は、初速度の向き、すなわち仰角 \(\theta\) が、ちょうど点Qの方向 \((a, b)\) を向いていればよい、ということを示しています。初速度の大きさ \(v_0\) がどんな値であっても、最初からQを狙って投げれば必ず衝突するという、非常に興味深く、本質的な結果です。

\(\tan\theta = \displaystyle\frac{b}{a}\) となり、座標を用いて解いた場合と完全に一致します。相対運動の考え方を用いると、「重力下で物体を狙って投げる場合、空気抵抗がなければ、その物体が落下することも考慮して少し上を狙う必要はなく、まっすぐその物体を狙えばよい」という、いわゆる「モンキーハンティング」問題と同じ物理的本質を持っていることが明確にわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性と重ね合わせ:
  • 核心: この問題も、2つの物体の運動をそれぞれ水平方向(x)と鉛直方向(y)に分解して考えることが基本です。小球Pは「等速直線運動」と「鉛直投げ上げ運動」の重ね合わせ、小球Qは「静止」と「自由落下運動」の重ね合わせとして記述されます。
• 衝突の条件:
  • 核心: 2つの物体が衝突するとは、「ある時刻 \(t_1\) において、2物体のx座標とy座標がそれぞれ同時に等しくなる」ことを意味します。これを \(x_P(t_1) = x_Q(t_1)\) と \(y_P(t_1) = y_Q(t_1)\) という連立方程式として表現することが、問題を解く上での数学的なアプローチとなります。
• 相対運動の概念（モンキーハンティング）:
  • 核心: (2)の「\(v_0\)によらず衝突する」という条件の本質は、相対運動の考え方で最も明確に理解できます。Qから見たPの運動を考えると、重力加速度が相殺され、Pは等速直線運動をしているように見えます。
  • 理解のポイント: この現象は「モンキーハンティング」として知られています。木から落ちる猿を狙うとき、猿が落ちることを予測して下を狙う必要はなく、猿がいた場所をまっすぐ狙えば、弾丸がそこに着くまでに猿も同じ時間だけ落下しているので必ず当たる、というものです。この問題は、その原理を数式で証明する問題と言えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • モンキーハンティング: まさにこの問題の原型です。猟師が木の上にいる猿を狙う設定で出題されます。
  • 2物体の斜方投射: 2つの物体を異なる初速度・角度で同時に投げ、空中で衝突させる問題。それぞれの物体の座標を \(t\) の関数で表し、座標が等しくなる条件から連立方程式を解きます。相対運動の考え方も有効です。
  • 動く目標への投射: 動いている目標に物体を当てる問題。目標の運動も考慮し、衝突条件を立てる必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 登場する全ての物体の運動をモデル化する: まず、PとQ、両方の物体のx座標とy座標を、それぞれ時刻 \(t\) の関数として書き下します。これが解析の材料になります。
  2. 衝突条件を明確に立式する: \(x_P = x_Q\) と \(y_P = y_Q\) という2つの等式を立てます。これが解法の骨格です。
  3. 「〜によらず」という条件の意味を考える: 「\(v_0\)によらず」といった条件が出てきたら、それは最終的な関係式からその文字（この場合は\(v_0\)）が消去されることを意味します。立式した連立方程式を、その文字が消えるようにうまく変形・整理できないか、という視点で解き進めます。
  4. 相対運動の視点を試す: 2物体間の問題、特に両者に同じ加速度（重力加速度など）が働いている場合は、相対運動の視点が極めて有効です。問題が劇的に簡単になったり、物理的な意味が明快になったりすることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• y座標の衝突条件の単純化:
  • 誤解: (2)で \(y_P = y_Q\) の式を立てる際に、\( (v_0 \sin\theta) t_1 – \frac{1}{2}gt_1^2 = b – \frac{1}{2}gt_1^2 \) となり、\(-\frac{1}{2}gt_1^2\) の項が両辺から消えることを見落とす。
  • 対策: 式を立てたら、すぐに代入などを始めるのではなく、まずは式そのものをよく観察し、簡略化できる部分がないかを確認する癖をつけましょう。この問題では、この項が消えることが、計算を大幅に単純化する鍵となっています。
• 「\(v_0\)によらず」の条件の扱い:
  • 誤解: \(v_0\) をどう扱っていいかわからず、計算の途中で行き詰まる。
  • 対策: この条件は「恒等式」の考え方に近いです。\(v_0\) がどんな値でも成り立つためには、\(v_0\) を含む項が最終的に消えなければなりません。この問題では、\(t_1\) を介して \(v_0\) を消去することで、\(\theta\)だけの関係式を導きました。
• 相対運動の速度と位置の混同:
  • 誤解: 相対運動を考える際に、相対速度の向きと、相対的な初期位置のベクトルの向きを混同する。
  • 対策: Qから見たPの運動を考える場合、「Qを原点に固定した座標系」をイメージしましょう。その座標系で、Pの初期位置は \((-a, -b)\) であり、Pの初速度（相対初速度）は \((v_0\cos\theta, v_0\sin\theta)\) です。Pが原点(Q)に向かってくるためには、速度ベクトルの向きが、Pの初期位置から原点へ向かうベクトルの向きと一致する必要があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 重力がない世界のPの運動: もし重力がなければ、Pは初速度の方向にまっすぐ等速直線運動をします。その軌跡は、原点を通る傾き \(\tan\theta\) の直線 \(y=(\tan\theta)x\) です。
  • 重力による「落下分」: 実際には、PもQも、この「重力がない世界」での位置から、同じ距離 \(\frac{1}{2}gt^2\) だけ鉛直下方に落下します。
  • 衝突のイメージ: PがQの方向（傾き \(b/a\)）を向いて投げ出された場合（\(\tan\theta = b/a\)）、重力がなければPは直線的にQの初期位置 \((a,b)\) に向かいます。PとQは同時に同じ距離 \(\frac{1}{2}gt^2\) だけ落下するので、Pがx=aに到達したとき、両者は必ず同じ高さにいます。これが衝突の本質です。この「落下分が同じ」というイメージが非常に重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 2つの物体の運動を一つの図に描く: Pの放物線軌道と、Qの鉛直な落下軌道を描き、それらがどこで交わるかを考えます。
  • 相対運動の図: Qを原点に固定した図を描き、Pが時刻0に \((-a, -b)\) の位置から、まっすぐ原点に向かって飛んでくる様子を描くと、相対運動の考え方が視覚的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動の成分分解と各公式:
  • 選定理由: (1)および(2)の正攻法。2次元の運動を、より単純な1次元の運動（等速直線運動と等加速度直線運動）の組み合わせとして扱うための、力学における最も基本的な手法だから。
  • 適用根拠: x方向とy方向の運動は互いに独立しており、それぞれの方向で運動法則が成り立つという「運動の独立性」に基づきます。
• 連立方程式:
  • 選定理由: (2)で、衝突条件（\(x_P=x_Q, y_P=y_Q\)）という2つの条件を同時に満たす解を求めるため。
  • 適用根拠: 未知数（この問題では \(t_1\) と \(\theta\) の関係）に対して、独立した方程式が2つ立てられれば、解を求めることができるという数学的原理に基づきます。
• 相対速度・相対加速度:
  • 選定理由: (2)の別解。2物体間の運動関係を問う問題で、特に両者に共通の加速度が働く場合に、問題を劇的に単純化できるため。
  • 適用根拠: 速度や加速度がベクトル量であり、観測者の運動状態によってその値が変わるという、相対性原理の基本的な考え方に基づきます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) Pの座標の導出:
   • 戦略: 斜方投射の基本に忠実に、運動をx, yに分解する。
   • フロー: ①初速度を \(v_{0x}, v_{0y}\) に分解 → ②x方向は等速直線運動として \(x_P(t)\) を立式 → ③y方向は鉛直投げ上げとして \(y_P(t)\) を立式。
2. (2) 衝突条件の導出:
   • 戦略A（座標で解く）: 衝突条件を連立方程式として解き、\(v_0\) を消去する。
   • フローA: ①Qの座標 \(x_Q(t), y_Q(t)\) を立式 → ②衝突時刻を \(t_1\) とし、衝突条件 \(x_P(t_1)=a\) と \(y_P(t_1)=y_Q(t_1)\) を立式 → ③後者の式を整理すると \( (v_0 \sin\theta) t_1 = b \) が得られる → ④前者の式 \( (v_0 \cos\theta) t_1 = a \) と連立させ、辺々割り算するなどして \(t_1, v_0\) を消去し、\(\tan\theta\) を求める。
   • 戦略B（相対運動で解く）: Qから見たPの運動を考える。
   • フローB: ①相対加速度がゼロであることを確認 → ②したがって、Qから見たPは等速直線運動をすると結論づける → ③衝突するためには、Pの初速度の向きがQの初期位置を向いていればよい、という条件を立てる → ④図からその条件を \(\tan\theta = b/a\) と立式する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の多さに惑わされない: \(v_0, \theta, a, b, g, t\) など多くの文字が出てきますが、何が変数で何が定数か、何を求めたいのかを常に意識しましょう。(2)では \(\theta, a, b\) の関係式を求めたいので、それ以外の文字(\(v_0, t_1\))は途中で消去すべき対象です。
• 式の割り算の利用: (2)の戦略Aで、\( (v_0 \sin\theta) t_1 = b \) と \( (v_0 \cos\theta) t_1 = a \) という2式が得られたとき、辺々を割り算すると \(\frac{v_0 t_1 \sin\theta}{v_0 t_1 \cos\theta} = \frac{b}{a}\) となり、一気に \(v_0\) と \(t_1\) を消去して \(\tan\theta = \frac{b}{a}\) を得ることができます。これは有効な計算テクニックです。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的意味の探求:
  • \(\tan\theta = b/a\) という結果は何を意味しているか？これは、小球Pの初速度ベクトルが、小球Qの初期位置 \((a,b)\) を指していることを意味します。このシンプルな幾何学的関係が、\(v_0\) の大きさによらず衝突が起こるための条件である、という物理的洞察を得ることが重要です。
• 別解との比較:
  • 座標で機械的に解いた結果と、相対運動という物理的な視点で解いた結果が、見事に一致しました。これにより、計算の正しさが保証されるだけでなく、「モンキーハンティング」という物理現象の数学的な裏付けと、その直感的な理解が結びつきます。この経験は、他の問題にも応用できる物理的な思考力を養います。

44 斜方投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平面ではなく傾いた「斜面」上での投射運動を扱います。通常の水平面での斜方投射と異なり、物体に働く重力加速度が、運動を記述する座標軸に対して斜めを向いている点が最大の特徴です。この重力加速度を、座標軸に沿って分解することが問題を解く鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面上の投射運動」です。この運動は、斜面に沿った方向の重力加速度の成分を「見かけの重力加速度」とみなすことで、水平面上の斜方投射と全く同じように扱うことができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
打ち出した直後の速度のy成分 \(v_{0y}\) を求める問題です。これは、初速度ベクトル \(\vec{v_0}\) を、問題で設定されたx軸とy軸に分解する、ベクトルの分解の問題です。
この設問における重要なポイント

• ベクトルの分解: 初速度 \(v_0\) は、x軸と \(60^\circ\) の角度をなしています。y軸はx軸と直交しているので、y成分は \(\sin\) を用いて計算できます。
• 座標軸の確認: 図aを参考に、\(v_0\) とy軸の関係を正確に把握します。

具体的な解説と立式
初速度のx成分を \(v_{0x}\)、y成分を \(v_{0y}\) とします。
図aより、初速度ベクトル \(\vec{v_0}\) はx軸と \(60^\circ\) の角度をなしています。y軸はx軸と直交しているので、y成分は次のように求められます。
$$ v_{0y} = v_0 \sin 60^\circ \quad \cdots ① $$

式①に \(\sin 60^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{0y} &= v_0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}}{2}v_0
\end{aligned}
$$

初めの速さ \(v_0\) を、x方向の分とy方向の分に分けます。三角比の考え方を使って、y方向の成分の大きさを計算します。

打ち出した直後の速度のy成分は \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}v_0\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
斜面上で運動している小球の加速度のy成分 \(a_y\) を求める問題です。小球に働く力は重力（と斜面からの垂直抗力）のみです。斜面上の運動を引き起こすのは、重力の斜面に平行な成分です。この「斜面に平行な重力加速度」を、さらにy軸方向に分解する必要があります。
この設問における重要なポイント

• 力の分解（二段階）:
  1. まず、鉛直下向きの重力加速度 \(g\) を、斜面に平行な成分と垂直な成分に分解します。斜面に平行な成分の大きさは \(g \sin 30^\circ\) です。
  2. 次に、この斜面に平行な加速度（これは斜面の最も急な下り方向を向く）を、y軸方向の成分に分解します。
• 符号の注意: y軸は斜面の上向きが正なので、下向きの加速度成分は負の値になります。

具体的な解説と立式
小球に働く加速度は、重力加速度 \(\vec{g}\) の斜面に平行な成分です。この成分の大きさは \(g \sin 30^\circ\) で、向きは斜面をまっすぐ下る方向です。
図bを見ると、この「斜面をまっすぐ下る方向」は、y軸の負の向きと一致しています。
したがって、加速度のy成分 \(a_y\) は、
$$ a_y = -g \sin 30^\circ \quad \cdots ① $$
加速度のx成分 \(a_x\) は、この図では0となります（重力の斜面平行成分がy軸と平行なため）。

式①に \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
a_y &= -g \cdot \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= -\frac{g}{2}
\end{aligned}
$$

小球を坂道で転がすと、重力の一部だけが坂に沿って働き、ボールを加速させます。この問題では、その「坂に沿って働く加速度」のy方向の成分を求めます。図をよく見ると、坂に沿って下向きに働く加速度は、ちょうどy軸のマイナス方向を向いていることがわかります。その大きさは、重力加速度 \(g\) と坂の傾き \(30^\circ\) から計算できます。

加速度のy成分は \(a_y = -\displaystyle\frac{g}{2}\) です。これは運動中ずっと一定です。この結果、斜面上の運動は、見かけの重力加速度が \(\displaystyle\frac{g}{2}\) の世界での斜方投射とみなせることになります。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球が最高点に到達するまでの時間 \(t_1\) を求める問題です。この運動は、初速度のy成分が \(v_{0y}\)、加速度のy成分が \(a_y\) の等加速度直線運動と見なせます。「最高点」とは、y方向の速度成分 \(v_y\) が0になる点です。
この設問における重要なポイント

• 最高点の条件: \(v_y = 0\)。
• y方向の運動: 初速度 \(v_{0y}\)、加速度 \(a_y\) の等加速度直線運動。
• 速度の公式: \(v_y = v_{0y} + a_y t\) を用います。

具体的な解説と立式
最高点に到達する時刻を \(t_1\) とします。最高点ではy方向の速度成分が0になるので、
$$ v_y(t_1) = 0 $$
y方向の速度の式は、
$$ v_y(t) = v_{0y} + a_y t $$
したがって、
$$ 0 = v_{0y} + a_y t_1 \quad \cdots ① $$
この式に、(1)で求めた \(v_{0y} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}v_0\) と、(2)で求めた \(a_y = -\displaystyle\frac{g}{2}\) を代入します。

式①に各値を代入して \(t_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &= \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 + \left(-\frac{g}{2}\right)t_1 \\[2.0ex]\frac{g}{2}t_1 &= \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \\[2.0ex]gt_1 &= \sqrt{3}v_0 \\[2.0ex]t_1 &= \frac{\sqrt{3}v_0}{g}
\end{aligned}
$$

「最高点」とは、y方向の速度が一瞬ゼロになるときです。y方向の運動は、初速度 \(v_{0y}\) で始まり、加速度 \(a_y\) でだんだん減速していきます。速度がゼロになるまでの時間を、等加速度運動の公式を使って計算します。

最高点に到達するまでの時間は \(t_1 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}v_0}{g}\) です。

問(4)

思考の道筋とポイント
最高点のy座標 \(y_1\) を求める問題です。(3)で最高点に到達する時間 \(t_1\) がわかったので、これをy方向の変位の式に代入して計算します。
この設問における重要なポイント

• y方向の運動: 初速度 \(v_{0y}\)、加速度 \(a_y\) の等加速度直線運動。
• 変位の公式: \(y = v_{0y}t + \displaystyle\frac{1}{2}a_y t^2\) を用います。

具体的な解説と立式
最高点のy座標を \(y_1\) とします。これは時刻 \(t_1\) におけるy座標です。
$$ y_1 = v_{0y}t_1 + \frac{1}{2}a_y t_1^2 \quad \cdots ① $$
この式に、\(v_{0y} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}v_0\), \(a_y = -\displaystyle\frac{g}{2}\), \(t_1 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}v_0}{g}\) を代入します。

式①に各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
y_1 &= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}v_0\right) \left(\frac{\sqrt{3}v_0}{g}\right) + \frac{1}{2}\left(-\frac{g}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}v_0}{g}\right)^2 \\[2.0ex]&= \frac{3v_0^2}{2g} – \frac{g}{4} \left( \frac{3v_0^2}{g^2} \right) \\[2.0ex]&= \frac{3v_0^2}{2g} – \frac{3v_0^2}{4g} \\[2.0ex]&= \frac{6v_0^2 – 3v_0^2}{4g} \\[2.0ex]&= \frac{3v_0^2}{4g}
\end{aligned}
$$

(3)で計算した「最高点に着くまでの時間」を使って、その時間でy方向にどれだけ進んだかを計算します。等加速度運動の距離の公式に、y方向の初速度、加速度、時間を代入します。

最高点のy座標は \(\displaystyle\frac{3v_0^2}{4g}\) です。

問(5)

思考の道筋とポイント
再びx軸上にもどるときのx座標を求める問題です。まず、x軸上にもどるまでの時間 \(t_2\) を求め、その時間を使ってx方向の移動距離を計算します。y方向の運動の対称性から、x軸にもどるまでの時間は、最高点に到達する時間の2倍になります。
この設問における重要なポイント

• 運動の対称性: y=0から打ち出され、再びy=0に戻ってくるまでの時間 \(t_2\) は、最高点に到達する時間 \(t_1\) の2倍です (\(t_2 = 2t_1\))。
• x方向の運動: x方向の運動は、初速度 \(v_{0x} = v_0 \cos 60^\circ\)、加速度 \(a_x = 0\) の等速直線運動です。
• x座標の計算: \(x_1 = v_{0x} t_2\)。

具体的な解説と立式
小球が再びx軸上にもどる（\(y=0\) となる）までの時間を \(t_2\) とします。
y方向の運動の対称性より、
$$ t_2 = 2t_1 $$
この時間 \(t_2\) の間に、小球はx方向に等速直線運動をします。
初速度のx成分は、
$$ v_{0x} = v_0 \cos 60^\circ $$
したがって、求めるx座標 \(x_1\) は、
$$ x_1 = v_{0x} t_2 = (v_0 \cos 60^\circ) (2t_1) \quad \cdots ① $$
この式に、\(\cos 60^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) と \(t_1 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}v_0}{g}\) を代入します。

式①に各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
x_1 &= \left( v_0 \cdot \frac{1}{2} \right) \times \left( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}v_0}{g} \right) \\[2.0ex]&= \frac{v_0}{2} \times \frac{2\sqrt{3}v_0}{g} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}v_0^2}{g}
\end{aligned}
$$

ボールを投げて元の高さに戻ってくるまでの時間は、一番高いところに届くまでの時間のちょうど2倍です。この時間を使って、その間に横方向（x方向）にどれだけ進んだかを計算します。横方向には一定の速さで進むので、「横向きの速さ × 時間」で計算できます。

再びx軸上にもどるときのx座標は \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}v_0^2}{g}\) です。これは、斜面上の「水平」到達距離に相当します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力の分解と座標系:
  • 核心: この問題の最大のポイントは、運動が起こる舞台（斜面）に合わせて設定されたxy座標系で物理法則を記述することです。運動の根本原因である重力（鉛直下向き）を、この斜面上の座標軸に沿って正しく成分分解できるかが全てです。
  • 理解のポイント: 小球の加速度は、重力加速度\(\vec{g}\)の「斜面に平行な成分」です。さらに、この斜面に平行な加速度ベクトルを、x成分とy成分に分解する必要があります。
• 斜方投射との関連づけ（見かけの重力）:
  • 核心: 斜面上の座標系で加速度の成分を求めてしまえば、この問題は「重力加速度の大きさが異なる（見かけの重力が働く）世界での、水平面上の斜方投射」と全く同じ問題として扱うことができます。
  • 理解のポイント: (3)以降の計算は、初速度\((v_{0x}, v_{0y})\)と加速度\((a_x, a_y)\)が分かっていれば、通常の斜方投射の問題を解く手順と完全に同じです。この「問題を別の視点から捉え直す」考え方ができると、見通しが非常に良くなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 遠心力と重力が働く場での運動: 例えば、回転する円錐の内面を運動する物体の問題など。この場合、重力と遠心力の合力が「見かけの重力」として働き、その力が作る「見かけの斜面」上での運動と考えることができます。
  • 電場と重力が同時に働く場での荷電粒子の運動: 荷電粒子は重力と静電気力を同時に受けます。この2つの力の合力が「見かけの重力」となり、その向きは鉛直方向から傾きます。この状況での投射運動は、本質的にこの問題と同じ考え方で解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の確認: まず、問題でどのような座標軸が設定されているかを正確に把握します。それが物理現象を記述する「言語」になります。
  2. 力のベクトルを全て図示し、座標軸に沿って分解する: 物体に働く力（この問題では重力）をすべて描き出し、設定された座標軸の各成分に分解します。これが加速度の成分を決定する最も重要なステップです。
  3. 運動をモデル化する: 各軸方向の初速度と加速度を整理し、どの運動モデル（等速か、等加速度か）が適用できるかを判断します。
  4. 既知の問題パターンに帰着させる: 「これは、見かけの重力が\(g’ = g\sin30^\circ\)の世界での斜方投射と同じだ」というように、自分がよく知っている問題の形に当てはめて考えることができないか、常に意識しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 加速度の分解ミス:
  • 誤解: 鉛直下向きの重力加速度\(g\)を、そのままy方向の加速度としてしまう。あるいは、斜面に平行な成分\(g\sin30^\circ\)を計算できても、それをx, y成分に分解する過程で間違える。
  • 対策: 必ず大きな図を描き、ベクトルを段階的に分解しましょう。①まず、鉛直下向きの\(\vec{g}\)を描く。②次に、それを「斜面に平行な成分」と「斜面に垂直な成分」に分解する。③最後に、その「斜面に平行な成分」を、問題のx軸とy軸に沿って分解する。この丁寧な手順がミスを防ぎます。
• 初速度と加速度の混同:
  • 誤解: 初速度の分解と加速度の分解で、用いる角度（\(60^\circ\)と\(30^\circ\)）を取り違える。
  • 対策: 「初速度」はx軸を基準に\(60^\circ\)の角度で与えられており、「加速度」は鉛直方向（重力）を基準に斜面の傾斜角\(30^\circ\)を使って分解します。何がどの角度を基準にしているのか、一つ一つ確認しながら進めましょう。
• 運動の対称性の誤用:
  • 誤解: x方向の運動も、y方向と同様に対称性があると考えてしまう。例えば、最高点に到達したときのx座標が、最終的な到達距離の半分だと勘違いする。
  • 対策: 運動の対称性が成り立つのは、加速度がその運動の軸と平行な（逆向きの）成分を持つ場合のみです。この問題では、y方向には加速度\(a_y\)がありますが、x方向の加速度は\(a_x=0\)（等速直線運動）です。したがって、時間の対称性（最高点までの時間と、そこから戻る時間が等しい）はy方向の運動から導かれますが、位置の対称性はx方向には成り立ちません。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 世界観の変換（重要）: この問題を「傾いた机の上でボールを転がしている」とイメージします。ただし、その机の上では、重力が真下ではなく、斜め下（y軸の負の方向）に向かって、しかも通常より弱い力（大きさ\(g/2\)）で働いている、と考えます。この「見かけの重力が働く平面」という視点を持つと、問題が非常にシンプルに見えてきます。
  • 2つの分解図: この問題を解くためには、2つの異なる分解図が不可欠です。
    1. 初速度の分解図（図a）: 初速度ベクトル\(\vec{v_0}\)を、x, y成分に分解する図。
    2. 加速度の分解図（図b）: 鉛直下向きの重力加速度ベクトル\(\vec{g}\)を、最終的にy成分に分解する図。

    この2つの図を自分で正確に描けることが、完答への絶対条件です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ベクトルの分解（三角比）:
  • 選定理由: 物理量（速度、加速度）を、運動を記述する座標系の基本ベクトル（x軸、y軸方向）で表現するための数学的ツール。
  • 適用根拠: 物理量がベクトルである以上、任意の直交座標系で成分に分解できるという普遍的な性質に基づきます。
• 等加速度直線運動の公式群 (\(v=v_0+at\), \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)):
  • 選定理由: (2)で加速度を求めた結果、各成分が時間によらない定数であることがわかったため。時間、位置、速度の関係を記述するのに最も適しています。
  • 適用根拠: 各軸方向の運動が、それぞれ独立した等加速度直線運動として扱えるため。
• 最高点の条件 (\(v_y=0\)):
  • 選定理由: (3)で「最高点」という物理的な状態を、数式で扱える条件に変換するため。
  • 適用根拠: y方向の速度が正（y軸正の向き）から負（y軸負の向き）に転じる点が最高点であり、その変化の瞬間には速度成分がゼロになるという運動学的な定義に基づきます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 準備段階（パラメータの決定）:
   • 戦略: 斜面上の運動を、水平面上の投射運動と同じように扱うためのパラメータ（初速度成分、加速度成分）を決定する。
   • フロー: ①初速度\(\vec{v_0}\)をx, y成分に分解し、\(v_{0x}, v_{0y}\)を求める（問1）。 → ②重力加速度\(\vec{g}\)をx, y成分に分解し、\(a_x, a_y\)を求める（問2）。
2. y方向の運動の解析（最高点）:
   • 戦略: y方向の運動を、初速度\(v_{0y}\)、加速度\(a_y\)の等加速度直線運動として扱う。
   • フロー: ①最高点の条件\(v_y=0\)を速度の式に適用し、時間\(t_1\)を求める（問3）。 → ②変位の式に時間\(t_1\)を代入し、最高点のy座標\(y_1\)を求める（問4）。
3. x方向の運動の解析（x軸への復帰）:
   • 戦略: y方向の運動の対称性を利用して時間を求め、その時間におけるx方向の変位を計算する。
   • フロー: ①y方向の運動の対称性から、再びx軸に戻るまでの時間\(t_2 = 2t_1\)を計算する。 → ②x方向の運動モデル（この場合は等速直線運動）の変位の式に\(t_2\)を代入し、x座標を求める（問5）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分解するベクトルの主体を明確にする: (1)では「初速度」を、(2)では「重力加速度」を分解しています。何を分解しているのかを常に意識し、ごちゃ混ぜにしないようにしましょう。
• 分数の計算を丁寧に行う: (4)の最高点のy座標を求める計算では、\(\displaystyle\frac{3v_0^2}{2g} – \frac{3v_0^2}{4g}\)のような計算が出てきます。通分などの基本的な計算を焦らず正確に行いましょう。
• 求めた値をメモする: (1)から(5)まで、前の設問の答えを次の設問で使う連鎖的な構造になっています。各設問で求めた\(v_{0y}, a_y, t_1\)などの値を、計算用紙のわかりやすい場所にメモしておくと、代入ミスを防げます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) 加速度\(a_y\): 大きさが\(g/2\)となり、\(g\)より小さくなりました。これは、斜面がなければ\(g\)の加速度で落下するところを、斜面があることで落下が「緩やか」になっていると解釈でき、直感と一致します。
  • (3) 時間\(t_1\): もし斜面の傾斜が急（\(30^\circ \rightarrow 90^\circ\)）になれば、\(a_y\)の大きさは\(g\)に近づき、最高点までの時間は短くなるはずです。式の上で確認することも可能です。
• 通常の斜方投射との比較:
  • この問題の(3), (4), (5)の答えの形は、通常の斜方投射の公式で、\(g\)を\(g/2\)に、\(\theta\)を\(60^\circ\)に置き換えたものと一致するかどうかを検算してみましょう。一致すれば、自分の「問題を置き換えて考える」というアプローチが正しかったことの強力な裏付けになります。

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