「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第2章】応用問題

38 自由落下と鉛直投げ上げ

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直投げ上げ運動と自由落下運動を組み合わせた、いわゆる「出会い問題」です。2つの物体が同じ時刻に同じ位置に来る「衝突」という条件を数式で表現することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げと自由落下の出会い問題」です。それぞれの物体の運動を等加速度直線運動の公式で記述し、衝突条件を適用して解いていきます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体AとBが衝突する時刻を求める問題です。衝突するということは、ある時刻 \(t\) において、2つの物体の位置（y座標）が等しくなるということです。そこで、まずそれぞれの物体の時刻 \(t\) におけるy座標 \(y_A\) と \(y_B\) を式で表し、\(y_A = y_B\) という方程式を立てて \(t\) について解きます。
この設問における重要なポイント

• 座標設定の確認: 鉛直上向きが正なので、重力加速度は \(a = -g\) として扱います。
• 物体Aの運動: 初速度 \(V\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動（鉛直投げ上げ）。
• 物体Bの運動: 初速度 \(0\)、初期位置 \(H\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動（自由落下）。
• 衝突条件の立式: \(y_A = y_B\)。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とすると、時刻 \(t\) における物体Aと物体Bのy座標は、等加速度直線運動の公式 \(y = y_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いて次のように表せます。

物体Aは、原点O(\(y_0=0\))から初速度 \(V\) で投げ上げられるので、その位置 \(y_A\) は、
$$ y_A = Vt – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$
物体Bは、高さ \(H\) (\(y_0=H\))から初速度 \(0\) で自由落下するので、その位置 \(y_B\) は、
$$ y_B = H – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
衝突するとき、2つの物体のy座標は等しくなるので、\(y_A = y_B\) が成り立ちます。
$$ Vt – \frac{1}{2}gt^2 = H – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ③ $$

上記で立てた式③を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
Vt – \frac{1}{2}gt^2 &= H – \frac{1}{2}gt^2 \\[2.0ex]
Vt &= H \\[2.0ex]
t &= \frac{H}{V}
\end{aligned}
$$

A君が上に進む距離から重力で引き戻される分を引いたものがA君の高さ、B君が最初にいた高さHから重力で落ちた分を引いたものがB君の高さです。この二人の高さが同じになる時間を求めます。式を立ててみると、お互いに重力で動く分は同じなので打ち消し合い、結局「A君が重力なしで速さVで進んだ距離がHになる時間」を求めればよいことになります。

物体AとBが衝突する時刻は \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) です。
この結果は、初速度 \(V\) が大きいほど、また初期の距離 \(H\) が小さいほど、衝突までの時間が短くなることを示しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
衝突する位置のy座標を求める問題です。(1)で衝突する時刻 \(t\) が分かったので、この時刻を物体Aの位置 \(y_A\) の式（または物体Bの位置 \(y_B\) の式）に代入すれば、衝突した瞬間のy座標が計算できます。
この設問における重要なポイント

• (1)の結果の利用: (1)で求めた \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) を正確に代入します。
• 計算の正確性: 分数を含む計算を間違えないように丁寧に行います。

具体的な解説と立式
(1)で求めた衝突時刻 \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) を、物体Aの位置を表す式 \(y_A = Vt – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に代入します。
$$ y_A = V \left( \frac{H}{V} \right) – \frac{1}{2}g \left( \frac{H}{V} \right)^2 $$

上記で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
y_A &= V \cdot \frac{H}{V} – \frac{1}{2}g \cdot \frac{H^2}{V^2} \\[2.0ex]
&= H – \frac{gH^2}{2V^2}
\end{aligned}
$$

(1)で「何秒後に衝突するか」がわかったので、その時間を使って「A君が打ち上げられてからその時間だけ経ったときの高さ」を計算します。投げ上げの公式に時間を代入するだけです。

衝突する位置のy座標は \(H – \displaystyle\frac{gH^2}{2V^2}\) です。
この式は、初速度 \(V\) が大きいほど、第二項が小さくなり、より高い位置（\(H\)に近い位置）で衝突することを示しています。これは、速く打ち上げた方が、Bがあまり落ちてこないうちに追いつくという直感と一致しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
この衝突が起こるための初速度 \(V\) の条件を求める問題です。問題文には「物体Aが地面に落ちる前に空中で衝突した」とあります。これは、衝突が起こる位置のy座標が地面よりも上、つまり正の値でなければならないことを意味します。ヒントにもある通り、\(y_A > 0\) という条件を使います。
この設問における重要なポイント

• 物理的条件の数式化: 「空中で衝突する」という条件を \(y_A > 0\) という不等式で表現します。
• 不等式の計算: (2)で求めた \(y_A\) の式を使って不等式を立て、\(V\) について解きます。\(V\) は初速度の大きさなので \(V>0\) であることも考慮します。

具体的な解説と立式
衝突が空中で起こるための条件は、(2)で求めた衝突位置のy座標 \(y_A\) が正であることです。
$$ y_A > 0 $$
したがって、次の不等式が成り立ちます。
$$ H – \frac{gH^2}{2V^2} > 0 $$

上記で立てた不等式を \(V\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
H &> \frac{gH^2}{2V^2}
\end{aligned}
$$
両辺に \(2V^2\) を掛けます（\(V>0\) なので \(V^2>0\) であり、不等号の向きは変わりません）。
$$
\begin{aligned}
2HV^2 &> gH^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(2H\) で割ります（\(H>0\) なので不等号の向きは変わりません）。
$$
\begin{aligned}
V^2 &> \frac{gH}{2}
\end{aligned}
$$
両辺の正の平方根をとります。\(V\) は速さなので \(V>0\) です。
$$
\begin{aligned}
V &> \sqrt{\frac{gH}{2}}
\end{aligned}
$$

「空中で出会う」ということは、「出会った場所の高さが0より大きい」ということです。(2)で計算した出会う高さを表す式が0より大きくなるような、発射速度\(V\)の条件を計算します。

衝突が起こるためには、初速度 \(V\) は \(V > \sqrt{\displaystyle\frac{gH}{2}}\) を満たす必要があります。
もし \(V = \sqrt{\displaystyle\frac{gH}{2}}\) であった場合、衝突位置は \(y_A = 0\) となり、ちょうど地面で衝突（Aが着地する瞬間にBが到達）することを意味します。それよりも速い初速度で打ち上げなければ、Aが着地する前にBと空中で出会うことはできない、という物理的に妥当な結果が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の公式の適用:
  • 核心: この問題の全ての運動は、重力という一定の力が働く状況下での運動、すなわち「等加速度直線運動」です。したがって、その運動を記述する公式 \(y = y_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) や \(v = v_0 + at\) を正しく適用することが全ての基本となります。
  • 理解のポイント: 鉛直上向きを正と定めた座標系では、重力加速度は常に負の値 \(a = -g\) となることを忘れないでください。物体A（投げ上げ）と物体B（自由落下）で、初速度 \(v_0\) と初期位置 \(y_0\) の値は異なりますが、加速度 \(a\) は共通です。
• 「衝突」の物理的条件の数式化:
  • 核心: 物理学における「衝突」や「出会い」は、「同じ時刻に、同じ位置に存在する」ことを意味します。これを数式で表現する、すなわち物体Aの位置 \(y_A\) と物体Bの位置 \(y_B\) を時刻 \(t\) の関数として表し、\(y_A = y_B\) という方程式を立てることが、(1)を解くための最も重要なステップです。
• 相対運動の考え方:
  • 核心: 複数の物体が関わる問題では、一方の物体から見たもう一方の物体の運動（相対運動）を考えると、問題が劇的に簡単になることがあります。この問題では、両物体に共通の加速度 \(-g\) が働いているため、相対加速度がゼロになります。
  • 理解のポイント: Bから見たAの運動は、重力の影響がキャンセルされた「等速直線運動」として扱えます。初期距離 \(H\) を相対初速度 \(V\) で進むのにかかる時間を求めるだけ、という非常にシンプルな問題に帰着します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 追い越し問題: 高速道路で自動車がトラックを追い越す問題など。両者の位置を時間の関数で表し、位置が等しくなる時刻を求めます。相対速度の考え方が有効です。
  • 水平投射と自由落下: 水平に投げ出された物体と、同じ高さから自由落下する物体が、地面に同時に到達することを証明する問題。鉛直方向の運動だけ見れば、両者は全く同じ運動（自由落下）をしています。
  • 斜方投射: 2つの物体を異なる角度・初速で投げ、空中で衝突させる問題。水平方向(x)と鉛直方向(y)に運動を分解し、「時刻tで \(x_A=x_B\) かつ \(y_A=y_B\) となる」という連立方程式を解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定: まず、どの向きを正とするか、原点をどこに置くかを明確に決めます。これにより、初速度や加速度の符号が確定します。
  2. 物体の運動を個別に記述: 登場する全ての物体について、時刻 \(t\) における位置と速度を、等加速度運動の公式などを用いて数式で表現します。
  3. 問題の条件を数式に翻訳する: 「衝突する」「追い越す」「最も近づく」といった問題文のキーワードを、位置や速度を用いた数式（方程式や不等式）に変換します。
  4. 相対運動の利用を検討する: 複数の物体が同じ加速度で運動している場合、相対運動の考え方を適用できないか検討します。計算を大幅に簡略化できる可能性があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号のミス:
  • 誤解: 鉛直上向きを正と決めたにもかかわらず、重力加速度 \(g\) を正の値として公式に代入してしまう。あるいは、下向きの初速度を正としてしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、座標軸の向き（どちらが正か）を大きく書き出し、それに従って全てのベクトル量（位置、速度、加速度）の符号を機械的に決定する習慣をつけましょう。\(a = -g\) と最初に明記しておくのが有効です。
• 公式の混同・誤用:
  • 誤解: 自由落下の公式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を、初期位置が原点でない場合や、鉛直上向きを正とした場合にそのまま使ってしまう。
  • 対策: \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) や \(v=gt\) は、「原点から」「下向きを正として」自由落下させた場合の特殊な形に過ぎません。常に基本の式 \(y = y_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) に立ち返り、問題の状況に合わせて \(y_0\), \(v_0\), \(a\) の値を一つずつ代入する癖をつけましょう。
• 相対運動の誤解:
  • 誤解: 相対速度は正しく計算できても、相対加速度がゼロになることを見落とし、複雑な計算をしてしまう。
  • 対策: 相対運動を考える際は、必ず「相対初速度」と「相対加速度」の両方を計算する手順を踏みましょう。特に、重力下での運動のように、関わる物体すべてに同じ加速度がかかる場合、相対加速度はゼロになる、というパターンを覚えておくと非常に強力です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • v-tグラフ: 物体Aと物体Bの速度 \(v\) を縦軸、時間 \(t\) を横軸にとったグラフを描くと、現象の理解が深まります。
    • 物体Aのグラフ: \(v=V-gt\) なので、縦軸の切片が \(V\)、傾きが \(-g\) の右下がりの直線。
    • 物体Bのグラフ: \(v=-gt\) なので、原点を通り、傾きが \(-g\) の右下がりの直線。
    • 2本の直線は常に平行になります。これが相対加速度がゼロ（相対速度が一定）であることを視覚的に示しています。
  • y-tグラフ: 物体Aと物体Bの位置 \(y\) を縦軸、時間 \(t\) を横軸にとったグラフを描くと、衝突が視覚化できます。
    • 物体Aのグラフ: 上に凸の放物線。
    • 物体Bのグラフ: \(y=H\) を頂点とする、上に凸の放物線。
    • 2つのグラフが交わる点が「衝突」であり、その点のt座標とy座標が(1)と(2)の答えに対応します。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 初期状態と途中状態を描く: 時刻 \(t=0\) の図と、衝突する瞬間（時刻 \(t\)）の図を並べて描くと、変位の関係が分かりやすくなります。
  • ベクトルを矢印で示す: 初速度 \(V\)、重力加速度 \(g\) などのベクトル量を矢印で図に書き込み、座標軸の正の向きと比べて符号を判断する助けとします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の変位の式 (\(y = y_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\)):
  • 選定理由: この問題は、時刻 \(t\) における物体の「位置」が重要になるため、位置と時間の関係を表すこの式が最も適しています。
  • 適用根拠: 運動が重力のみによるもので、加速度が一定(\(-g\))であるため、等加速度直線運動の公式を適用できることが保証されています。
• 衝突条件 (\(y_A = y_B\)):
  • 選定理由: (1)で「衝突する時刻」を求めるために、衝突という物理現象を数学的な等式に変換する必要があるため。
  • 適用根拠: 「衝突」の定義そのものが「同一時刻・同一位置」であるため、これは物理法則というより定義に基づいた論理的な要請です。
• 不等式 (\(y_A > 0\)):
  • 選定理由: (3)で「空中で衝突する」という条件を数学的に扱うため。
  • 適用根拠: 「空中」とは、座標設定上「地面より上」、すなわちy座標が0より大きい領域を指します。これも問題文の条件を論理的に数式へ翻訳したものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 衝突時刻の計算:
   • 戦略: 2物体の位置が等しくなる条件から方程式を立てる。
   • フロー: ①物体Aの位置 \(y_A(t)\) を立式 → ②物体Bの位置 \(y_B(t)\) を立式 → ③衝突条件 \(y_A(t) = y_B(t)\) として方程式を立てる → ④方程式を \(t\) について解く。
   • (別解フロー): ①相対初速度を計算 → ②相対加速度が0であることを確認 → ③等速直線運動の式（距離=速さ×時間）を立式 → ④式を \(t\) について解く。
2. (2) 衝突位置の計算:
   • 戦略: (1)で求めた時刻を、位置の式に代入する。
   • フロー: ①(1)で求めた \(t\) の値を \(y_A(t)\) または \(y_B(t)\) の式に代入 → ②代数計算を実行してy座標を求める。
3. (3) 初速度の条件決定:
   • 戦略: 「空中で衝突」という条件を不等式で表現する。
   • フロー: ①(2)で求めた衝突位置 \(y_A\) を使う → ②条件 \(y_A > 0\) として不等式を立てる → ③不等式を \(V\) について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題は文字式のみで構成されているため、計算過程で混乱しがちです。特に(2)や(3)では、(1)の結果を代入した後に、焦って展開せずに、項を一つ一つ確認しながら丁寧に計算を進めましょう。
• 単位や次元の確認: 例えば、(1)で求めた時刻 \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) の次元は [L] / ([L]/[T]) = [T] となり、時間の次元と一致します。このように、得られた結果の次元が物理的に正しいかを確認する（次元解析）ことで、大きなミスを発見できます。
• 検算の実施: (2)の計算では、\(y_A\) の式だけでなく、\(y_B = H – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) の式にも \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\) を代入して同じ結果になるか確認することで、計算ミスを防げます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 時刻 \(t\): \(t = \displaystyle\frac{H}{V}\)。もし初速度 \(V\) が非常に大きければ、衝突時間は短くなるはず。もし初期距離 \(H\) が大きければ、衝突時間は長くなるはず。式はこれらの直感と一致しています。
  • (2) 位置 \(y_A\): \(y_A = H – \displaystyle\frac{gH^2}{2V^2}\)。もし \(V\) が無限大なら、\(y_A \rightarrow H\) となり、Bが全く落下しないうちにAが到達することを意味し、妥当です。もし \(g=0\)（無重力）なら、\(y_A = H\) となり、これも妥当です。
  • (3) 条件 \(V\): \(V > \sqrt{\displaystyle\frac{gH}{2}}\)。この式の右辺は、高さ \(H/2\) から物体を自由落下させたときに地面に達する速さ \(\sqrt{2g(H/2)} = \sqrt{gH}\) とは異なりますが、Aが最高点に達する前に衝突する場合など、複雑な条件が絡んだ結果です。限界状況（\(y_A=0\) となる場合）を考えると、\(V^2 = \displaystyle\frac{gH}{2}\) となります。
• 別解との比較:
  • (1)の時刻が、座標系を立てて解く方法と、相対運動で解く方法の2通りで完全に一致しました。これは、両方の解法の正しさと、物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。異なるアプローチで同じ結論に至ることを確認する作業は、物理学の学習において非常に重要です。

39 水平投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平投射の典型的な問題です。水平に飛ぶ飛行機から静かに投下された物資は、飛行機と同じ水平速度を持つため、水平投射されたと見なせます。運動を水平方向と鉛直方向に分解して考えることが基本となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射」です。水平投射は、「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」という2つの独立した運動の組み合わせ（重ね合わせ）として捉えるのが定石です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物資が地上に着くまでの時間を求める問題です。この時間は、物資が鉛直方向に距離 \(l\) だけ落下するのにかかる時間です。水平方向の運動とは無関係に決まるため、鉛直方向の運動、すなわち自由落下運動だけを考えます。
この設問における重要なポイント

• 運動の分離: 時間を求めるには、鉛直方向の運動だけを見ればよい。
• 座標設定: 投下点を原点(0, 0)、鉛直下向きをy軸の正の向きとすると、物資の運動は扱いやすくなります。
• 自由落下の公式: 初速度0、加速度 \(g\) の等加速度直線運動として、変位の式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を用います。

具体的な解説と立式
物資を投下した点を原点とし、鉛直下向きをy軸の正の向きとします。
物資の鉛直方向の運動は、初速度0の自由落下運動です。
時刻 \(t\) における鉛直方向の変位を \(y\) とすると、
$$ y = \frac{1}{2}gt^2 $$
物資は高さ \(l\) を落下して地上に着くので、着地したときの変位は \(y=l\) となります。したがって、着地時刻を \(t\) とすると、次の式が成り立ちます。
$$ l = \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$

上記で立てた式①を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
t^2 &= \frac{2l}{g}
\end{aligned}
$$
時間は正なので、
$$
\begin{aligned}
t &= \sqrt{\frac{2l}{g}}
\end{aligned}
$$

ボールを真下に落とすのと同じで、物資が高さ \(l\) の距離を重力に引かれて落ちるのにかかる時間を計算します。自由落下の公式「距離 = 0.5 × 重力加速度 × 時間の2乗」を使います。

物資が地上に着くまでの時間は \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{2l}{g}}\) です。
この時間は、飛行機の速さ \(v_0\) には依存せず、落下する高さ \(l\) だけで決まります。これは水平投射の重要な特徴であり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
飛行機の速さ \(v_0\) を求める問題です。物資は飛行機から「静かに」投下されるため、投下された瞬間の物資の水平方向の速度は飛行機の速度 \(v_0\) と同じです。水平方向には力が働かないため、物資の水平速度は着地するまでずっと \(v_0\) のままです。
一方、鉛直方向の速度は時間とともに増加します。着地時の角度が \(45^\circ\) という条件は、着地時の速度の水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) の大きさが等しいことを意味します。
この設問における重要なポイント

• 水平速度の保存: 物資の水平方向の速度 \(v_x\) は常に \(v_0\) で一定です。
• 鉛直速度の計算: 着地時刻 \(t\) における鉛直方向の速度 \(v_y\) を、自由落下の速度の式 \(v_y = gt\) から計算します。
• 着地角度の条件: 着地角度が \(45^\circ\) なので、\(v_x = v_y\) が成り立ちます。

具体的な解説と立式
物資の水平方向の速度 \(v_x\) は、飛行機の速さ \(v_0\) に等しく、常に一定です。
$$ v_x = v_0 \quad \cdots ① $$
物資の鉛直方向の運動は自由落下なので、時刻 \(t\) における鉛直方向の速度 \(v_y\) は、
$$ v_y = gt \quad \cdots ② $$
着地する時刻は(1)で求めた \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{2l}{g}}\) です。
着地時の速度の水平成分と鉛直成分の大きさが等しいという条件から、
$$ v_x = v_y \quad \cdots ③ $$

まず、着地時の鉛直方向の速度 \(v_y\) を計算します。式②に(1)で求めた \(t\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= g \times \sqrt{\frac{2l}{g}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{g^2 \times \frac{2l}{g}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{2gl}
\end{aligned}
$$
着地条件 \(v_x = v_y\) と \(v_x = v_0\) より、
$$
\begin{aligned}
v_0 &= v_y \\[2.0ex]
&= \sqrt{2gl}
\end{aligned}
$$

物資が地面に45°の角度でぶつかるということは、その瞬間の「横向きの速さ」と「下向きの速さ」が同じ大きさだということです。横向きの速さは飛行機の速さ\(v_0\)のまま変わりません。下向きの速さは、(1)で求めた落下時間を使って計算できます。この2つの速さが等しいという関係から、飛行機の速さ\(v_0\)を求めます。

飛行機の速さは \(v_0 = \sqrt{2gl}\) です。
この速さは、高さ \(l\) から自由落下した物体が地面に到達するときの速さと同じです。これは、着地角度が \(45^\circ\) という特殊な条件から導かれる興味深い結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
投下点の真下の点Aと着地点Bの間の距離 \(L\) を求める問題です。この距離は、物資が水平方向に進んだ距離（水平到達距離）に等しいです。水平方向の運動は等速直線運動なので、「距離 = 速さ × 時間」で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動: 速さ \(v_0\) の等速直線運動。
• 時間: (1)で求めた落下時間 \(t\) を用いる。
• 速さ: (2)で求めた飛行機の速さ \(v_0\) を用いる。

具体的な解説と立式
水平到達距離 \(L\) は、水平方向の速さ \(v_0\) で、落下時間 \(t\) の間だけ進んだ距離です。
$$ L = v_0 t $$
この式に、(1)で求めた \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{2l}{g}}\) と、(2)で求めた \(v_0 = \sqrt{2gl}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
L &= v_0 t \\[2.0ex]
&= \sqrt{2gl} \times \sqrt{\frac{2l}{g}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{2gl \times \frac{2l}{g}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{4l^2} \\[2.0ex]
&= 2l
\end{aligned}
$$

物資が横方向に飛んだ距離を求めます。横方向には「(2)で求めた飛行機の速さ」で「(1)で求めた落下時間」だけ飛び続けます。単純に「速さ × 時間」を計算すれば、横方向に飛んだ距離がわかります。

水平到達距離は \(L=2l\) です。
落下高さのちょうど2倍の距離を進むという、非常にきれいな結果になりました。これは着地角度が \(45^\circ\) という条件によって、\(v_0\) と \(t\) の中に含まれる \(g\) がうまく相殺されたためです。

問(4)

思考の道筋とポイント
飛行機から見た物資の位置と運動を説明する問題です。これは相対運動の問題です。飛行機と物資の運動を比較し、その差を考えることで、相対的な運動がどうなるかを分析します。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の相対運動: 飛行機と物資は、水平方向には全く同じ速度 \(v_0\) で運動しています。したがって、水平方向の相対速度はゼロです。
• 鉛直方向の相対運動: 飛行機は鉛直方向には運動しません（速度ゼロ）。物資は鉛直方向に自由落下運動をします。
• 運動の合成: これら2つの相対運動を合成して、飛行機から見た物資の運動を記述します。

具体的な解説と立式
飛行機から見た物資の相対的な運動を考えます。

水平方向：
飛行機の速度を \(v_{\text{飛行機}, x} = v_0\)、物資の速度を \(v_{\text{物資}, x} = v_0\) とします。
飛行機から見た物資の水平方向の相対速度は、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{相対}, x} &= v_{\text{物資}, x} – v_{\text{飛行機}, x} \\[2.0ex]
&= v_0 – v_0 \\[2.0ex]
&= 0
\end{aligned}
$$
水平方向の相対速度がゼロなので、物資は飛行機に対して水平方向には移動しません。つまり、物資は常に飛行機の真下にあります。

鉛直方向：
飛行機の鉛直速度を \(v_{\text{飛行機}, y} = 0\)、物資の鉛直速度を \(v_{\text{物資}, y} = gt\) とします（鉛直下向きを正）。
飛行機から見た物資の鉛直方向の相対速度は、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{相対}, y} &= v_{\text{物資}, y} – v_{\text{飛行機}, y} \\[2.0ex]
&= gt – 0 \\[2.0ex]
&= gt
\end{aligned}
$$
これは、初速度0、加速度 \(g\) の自由落下運動そのものです。

結論：
以上のことから、飛行機から見ると、物資は真下に向かって自由落下運動をしているように見えます。

この設問は記述問題であり、計算過程は不要です。

飛行機と物資は、横方向には全く同じペースで進み続けます。そのため、飛行機から見ると、物資は横には動かず、常に自分の真下にいるように見えます。一方で、物資は下に向かって落ちていきます。この2つを合わせると、飛行機に乗っている人からは、物資がその場で真下にスーッと落ちていく「自由落下」に見える、ということになります。

物資の位置は常に飛行機の真下にあり、飛行機から見ると自由落下しているように見える。
これは、空気抵抗を無視した場合の水平投射における重要な性質です。物資を届けたい目標地点の真上で投下すれば、物資は目標地点に命中することを示唆しています（実際には空気抵抗があるためそうはなりません）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性（重ね合わせの原理）:
  • 核心: 水平投射の運動は、「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」という、互いに影響を及ぼさない2つの単純な運動に分解して考えることができます。これがこの問題の最も根幹をなす物理法則です。
  • 理解のポイント: (1)で落下時間を求める際には鉛直方向の運動だけを、(3)で水平到達距離を求める際には水平方向の運動だけを考えればよい、というように、問題を単純化できます。時間 \(t\) が両方の運動を結びつける共通のパラメータとなります。
• 速度のベクトル的性質:
  • 核心: 物体の速度は、大きさと向きを持つベクトル量です。ある瞬間の速度は、そのときの水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) のベクトル和として合成されます。
  • 理解のポイント: (2)の「着地角度が\(45^\circ\)」という条件は、速度ベクトルの向きに関する情報です。これは、速度の水平成分と鉛直成分の大きさの比が \(v_x : v_y = 1 : 1\) であることを意味し、\(v_x = v_y\) という関係式を導く鍵となります。
• 相対運動:
  • 核心: (4)で問われるように、運動は観測者の立場によって見え方が変わります。飛行機から見た物資の運動を考えるには、物資の速度から飛行機の速度をベクトル的に引き算した「相対速度」を求めます。
  • 理解のポイント: 水平方向の速度が両者で全く同じため、水平方向の相対速度はゼロになります。その結果、飛行機から見ると物資は真下に落ちるだけの単純な運動に見えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 地上から斜め上方に物体を投げ出す運動。これも「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ運動」に分解して考えます。最高点では鉛直速度がゼロになる、などの特徴があります。
  • 崖の上からの斜方投射: 水平投射と斜方投射の組み合わせ。初期位置と初速度の鉛直成分に注意すれば、同じように運動を分解して解くことができます。
  • 動く台からの投射: 電車の中からボールを投げるなど。投げた物体の初速度は、「台の速度」と「台に対する投射速度」のベクトル和になる点に注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定を明確にする: まず、原点をどこに置くか（投下点か、地面か）、どちらの向きを正とするか（上向きか、下向きか）を決めます。投射運動では、投射点を原点とし、進行方向と鉛直下向きをそれぞれ正とすると計算が楽になることが多いです。
  2. 運動を水平・鉛直に分解する: 物体の運動をx成分とy成分に分け、それぞれの方向について運動方程式や公式を立てます。
  3. 時間 \(t\) を共通の変数として扱う: 水平方向の運動と鉛直方向の運動は、時間 \(t\) を介してつながっています。一方の運動から \(t\) を求め、もう一方の運動の解析に利用するのが定石です。
  4. 速度や角度の条件を成分で考える: 「速度が水平になる」「地面と\(30^\circ\)の角度をなす」といった条件は、速度の鉛直成分がゼロ(\(v_y=0\))、あるいは成分の比が \(v_x : v_y = \cos 30^\circ : \sin 30^\circ\) のように、成分に関する数式に変換して扱います。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 初速度の誤解:
  • 誤解: 飛行機から「静かに」投下された物資の初速度をゼロと考えてしまう。
  • 対策: 「静かに投下」とは、あくまで「飛行機に対して」静かに、つまり相対速度ゼロで放すという意味です。地上から見れば、物資は飛行機と同じ速度 \(v_0\) を水平方向に持っています。これは慣性の法則によるものです。
• 水平方向の運動の誤解:
  • 誤解: 水平方向にも重力加速度の影響があると考え、等加速度運動の式を適用してしまう。
  • 対策: 運動を分解したら、それぞれの方向に働く力を明確にしましょう。水平方向には（空気抵抗を無視すれば）何も力が働かないので、加速度はゼロ、つまり等速直線運動です。加速度がかかるのは鉛直方向のみです。
• 角度の条件の扱い方:
  • 誤解: 着地角度 \(45^\circ\) という条件をどう使えばいいかわからない。あるいは、\(\tan 45^\circ = \displaystyle\frac{v_y}{v_x}\) という関係は知っていても、\(v_x\) や \(v_y\) を正しく計算できない。
  • 対策: 速度ベクトルの図を描く習慣をつけましょう。速度ベクトルと水平線がなす角が \(\theta\) のとき、その正接 \(\tan\theta\) は、速度の鉛直成分と水平成分の大きさの比 \(\displaystyle\frac{|v_y|}{|v_x|}\) に等しくなります。この関係を常に思い出せるようにしておきましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • ストロボ写真のイメージ: 物体の運動を、一定時間間隔で撮影したストロボ写真のようにイメージします。
    • 水平方向: 点の間隔は常に等しい（等速直線運動）。
    • 鉛直方向: 点の間隔は下にいくほど広がっていく（自由落下運動）。
    • この2つを合成した軌跡が放物線になります。
  • 速度ベクトルの図示: 着地する瞬間の速度ベクトルを描いてみます。水平なベクトル \(v_x\) と鉛直なベクトル \(v_y\) を描き、その合成ベクトルが地面と \(45^\circ\) の角度をなす図を描くことで、\(v_x\) と \(v_y\) の大きさが等しいことが視覚的に一目瞭然となります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 運動の分解を図示する: 1つの図の中に、水平方向の運動と鉛直方向の運動を射影のように描き込むと、両者の関係性が理解しやすくなります。
  • 座標軸を明記する: 自分で設定したx軸、y軸と原点を必ず図に書き込み、符号のミスを防ぎます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 自由落下の式 (\(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\), \(v_y = gt\)):
  • 選定理由: (1), (2)で、鉛直方向の運動（初速度0、加速度g）における「距離と時間の関係」「速度と時間の関係」を求めるため。
  • 適用根拠: 鉛直方向には重力のみが働き、加速度が一定であるため、等加速度直線運動の公式が適用できます。特に初速度が0なので、自由落下の簡略化された公式が使えます。
• 等速直線運動の式 (\(x = v_0 t\)):
  • 選定理由: (3)で、水平方向の運動（初速度\(v_0\)、加速度0）における「距離と時間の関係」を求めるため。
  • 適用根拠: 水平方向には力が働かず、加速度がゼロであるため、等速直線運動の公式を適用します。
• 速度の成分の関係式 (\(v_x = v_y\)):
  • 選定理由: (2)で、着地角度\(45^\circ\)という幾何学的な条件を、物理量である速度成分の関係に変換するため。
  • 適用根拠: 速度ベクトルの定義と、三角関数の定義に基づきます。\(\tan 45^\circ = 1 = \displaystyle\frac{v_y}{v_x}\) より導かれます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 落下時間の計算:
   • 戦略: 鉛直方向の運動（自由落下）に注目する。
   • フロー: ①鉛直下向きを正とする → ②自由落下の変位の式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を立てる → ③ \(y=l\) を代入し、\(t\) について解く。
2. (2) 初速度の計算:
   • 戦略: 着地角度の条件から、速度の水平成分と鉛直成分の関係式を立てる。
   • フロー: ①水平速度 \(v_x = v_0\) を確認 → ②鉛直速度 \(v_y = gt\) に(1)の \(t\) を代入して計算 → ③着地条件 \(v_x = v_y\) より、\(v_0\) を求める。
3. (3) 水平距離の計算:
   • 戦略: 水平方向の運動（等速直線運動）に注目する。
   • フロー: ①水平方向の距離の式 \(L = v_0 t\) を立てる → ②(1)の \(t\) と(2)の \(v_0\) を代入して \(L\) を計算する。
4. (4) 相対運動の説明:
   • 戦略: 飛行機と物資の各方向の速度を比較し、相対速度を考える。
   • フロー: ①水平方向の相対速度がゼロであることを示す → ②鉛直方向の相対運動が自由落下であることを示す → ③結論をまとめる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の計算を丁寧に行う: この問題では \(\sqrt{g^2 \times \frac{2l}{g}}\) や \(\sqrt{2gl} \times \sqrt{\frac{2l}{g}}\) のような平方根の計算が頻出します。根号の中に入れる、外に出す、まとめる、といった操作を焦らず正確に行いましょう。
• 文字の消去を確認する: (3)の計算では、\(L = v_0 t\) に \(v_0\) と \(t\) を代入すると、重力加速度 \(g\) がきれいに消去されます。このように、途中の物理量が最終結果に残らない場合があります。計算結果がきれいな形になったときは、それが物理的に意味のあることなのか、単なる偶然なのかを考えてみるのも良い訓練になります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) 水平距離 \(L=2l\): 距離の次元を持つ \(l\) の定数倍となっており、次元的に正しいです。もし着地角度が \(45^\circ\) ではなく、もっと浅い角度（例：\(30^\circ\)）なら、水平速度 \(v_x\) が鉛直速度 \(v_y\) より大きいことを意味し、水平距離は \(2l\) より長くなるはず、といった考察ができます。
• 極端な場合を考える（思考実験）:
  • もし重力 \(g\) が非常に大きかったらどうなるか？ (1)より落下時間 \(t\) は短くなり、(2)より速い \(v_0\) でないと \(45^\circ\) で着地できません。物理的な直感と式が一致しているかを確認できます。
  • もし落下高さ \(l\) が非常に大きかったら？ \(t\), \(v_0\), \(L\) はすべて大きくなります。これも直感と一致します。
• (4)の結論の再確認: 飛行機から見て物資が自由落下するということは、重力のない宇宙空間で、静止している宇宙船から静かに放した物体がその場に留まり続ける（相対速度ゼロ）のと似ています。共通の運動（この問題では水平方向の等速直線運動）は、相対的な運動を考える上では無視できる、という普遍的な原理の現れと見ることができます。

40 水平投射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平投射された小球が斜面に落下する、という応用的な設定です。基本的な考え方は通常の水平投射と同じですが、落下地点が水平な地面ではなく、傾きを持つ斜面上の点であるという条件をどう数式で表現するかがポイントになります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面への水平投射」です。水平投射の基本である「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」への分解と、落下点が斜面上の点であるという幾何学的な条件を組み合わせることが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) における小球のx座標を求める問題です。小球は水平方向には力を受けないため、等速直線運動をします。したがって、「距離 = 速さ × 時間」の関係を使ってx座標を求めます。
この設問における重要なポイント

• 運動の分離: x座標を求めるには、水平方向の運動だけを見ればよい。
• 水平方向の運動: 初速度 \(v_0\)、加速度0の等速直線運動。

具体的な解説と立式
小球の水平方向の運動は、初速度 \(v_0\) の等速直線運動です。
時刻 \(t\) におけるx座標は、等速直線運動の公式 \(x = vt\) より、
$$ x = v_0 t \quad \cdots ① $$

この設問は立式そのものが答えであり、これ以上の計算はありません。

小球は横方向には一定の速さ \(v_0\) で飛び続けます。\(t\) 秒後の横方向の位置は、単純に「速さ × 時間」で計算できます。

時刻 \(t\) におけるx座標は \(v_0 t\) です。これは等速直線運動の基本的な表現です。

問(2)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t\) における小球のy軸方向の速度を求める問題です。鉛直方向の運動は重力による等加速度直線運動です。座標軸が鉛直上向きを正としているため、重力加速度は \(-g\) となります。
この設問における重要なポイント

• 運動の分離: y方向の速度を求めるには、鉛直方向の運動だけを見ればよい。
• 鉛直方向の運動: 初速度0、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動（自由落下）。
• 符号の注意: y軸は上向きが正なので、下向きの速度は負の値で表されます。

具体的な解説と立式
小球の鉛直方向の運動は、初速度0、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動です。
時刻 \(t\) におけるy軸方向の速度を \(v_y\) とすると、等加速度直線運動の速度の式 \(v = v_0 + at\) より、
$$ v_y = 0 + (-g)t $$
したがって、
$$ v_y = -gt \quad \cdots ① $$

この設問は立式そのものが答えであり、これ以上の計算はありません。

小球は下向きにどんどん加速していきます。その速さは自由落下の公式「速さ = 重力加速度 × 時間」で計算できます。ただし、y軸は上向きが正と決められているので、下向きの速度であることからマイナス符号が付きます。

時刻 \(t\) におけるy軸方向の速度は \(-gt\) です。時間が経つにつれて負の方向に大きくなる、下向きの速度を表しており、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球の軌道を表す式を、yをxの関数として求める問題です。これは、時刻 \(t\) におけるx座標とy座標を表す2つの式から、媒介変数である \(t\) を消去することで得られます。
この設問における重要なポイント

• x座標の式: (1)で求めた \(x = v_0 t\)。
• y座標の式: 鉛直方向の運動から、\(y = -\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) となる。
• \(t\)の消去: 2つの式を連立させ、\(t\) を消去します。

具体的な解説と立式
(1)より、時刻 \(t\) におけるx座標は、
$$ x = v_0 t \quad \cdots ① $$
一方、時刻 \(t\) におけるy座標は、初速度0、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動なので、
$$ y = -\frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
この2つの式から \(t\) を消去します。まず、式①を \(t\) について解きます。
$$ t = \frac{x}{v_0} \quad \cdots ③ $$
この式③を式②に代入します。

式③を式②に代入して、yをxの式で表します。
$$
\begin{aligned}
y &= -\frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0} \right)^2 \\[2.0ex]
&= -\frac{1}{2}g \frac{x^2}{v_0^2} \\[2.0ex]
&= -\frac{g}{2v_0^2}x^2
\end{aligned}
$$

小球の軌跡、つまりx座標とy座標の直接の関係を知りたい問題です。x座標とy座標は、どちらも「時間 \(t\)」を使って表すことができます。そこで、x座標の式を「\(t\) = …」の形に変形し、それをy座標の式に代入することで、時間を介さずにxとyを直接結びつける式を作ります。

軌道を表す式は \(y = -\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}x^2\) です。
これは、原点を頂点とし、y軸負の方向に開いた放物線を表す式であり、水平投射の軌跡が放物線を描くという事実と一致しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
斜面上に落下した地点のx座標を求める問題です。落下地点は、「小球の軌道」と「斜面」の交点です。したがって、(3)で求めた軌道の式と、斜面を表す直線の式を連立させて解くことで、交点の座標を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 軌道の式: (3)で求めた \(y = -\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}x^2\)。
• 斜面の式: 傾斜角が \(45^\circ\) で、原点を通り、x>0の領域ではy<0となる直線です。傾きは \(-1\) なので、式は \(y = -x\) となります。
• 連立方程式: 2つの式を連立させて、原点O以外の交点のx座標を求めます。

具体的な解説と立式
落下地点の座標を \((x_1, y_1)\) とします。この点は、(3)で求めた軌道上にあります。
$$ y_1 = -\frac{g}{2v_0^2}x_1^2 \quad \cdots ① $$
また、この点は傾斜 \(45^\circ\) の斜面上にあります。図から、この斜面は原点を通り傾きが \(-1\) の直線なので、その方程式は \(y=-x\) です。したがって、落下地点の座標は次の関係を満たします。
$$ y_1 = -x_1 \quad \cdots ② $$
この2つの式を連立させて、\(x_1\) を求めます。

式②を式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
-x_1 &= -\frac{g}{2v_0^2}x_1^2
\end{aligned}
$$
この方程式を \(x_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{g}{2v_0^2}x_1^2 – x_1 &= 0 \\[2.0ex]
x_1 \left( \frac{g}{2v_0^2}x_1 – 1 \right) &= 0
\end{aligned}
$$
この方程式の解は \(x_1 = 0\) または \(\displaystyle\frac{g}{2v_0^2}x_1 – 1 = 0\) です。
\(x_1 = 0\) は飛び出した原点を表すので、求める落下地点のx座標は後者から得られます。
$$
\begin{aligned}
\frac{g}{2v_0^2}x_1 – 1 &= 0 \\[2.0ex]
\frac{g}{2v_0^2}x_1 &= 1 \\[2.0ex]
x_1 &= \frac{2v_0^2}{g}
\end{aligned}
$$

小球が落ちた場所は、「小球が飛んでいく放物線の軌道」と「地面の斜面」が交わった点です。(3)で求めた軌道の式と、斜面を表す直線の式（この場合は \(y=-x\)）を連立方程式として解くことで、交点の座標、つまり落下地点の座標を計算します。

落下地点のx座標は \(\displaystyle\frac{2v_0^2}{g}\) です。
この結果は、初速度 \(v_0\) が大きいほど遠くに、重力加速度 \(g\) が大きいほど近くに落下することを示しており、物理的な直感と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と重ね合わせ:
  • 核心: この問題も、水平投射の基本に忠実に、「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」に分解して考えることが全ての出発点です。それぞれの方向で独立に運動の式を立て、それらを組み合わせることで複雑な現象を解析します。
  • 理解のポイント: 座標軸の取り方に注意が必要です。この問題では鉛直上向きがy軸の正なので、重力加速度は \(a_y = -g\)、y座標やy方向速度は負の値をとります。この符号の扱いは非常に重要です。
• 軌道の式の導出（媒介変数tの消去）:
  • 核心: (3)で問われる軌道の式は、物理現象を時間 \(t\) に依存しない幾何学的な図形（放物線）として表現するものです。xとyをそれぞれ \(t\) の関数で表した2つの式から、媒介変数である \(t\) を消去するという数学的な操作が核心となります。
• 物理的条件と幾何学的条件の融合:
  • 核心: (4)では、小球が落下する点は「物理法則に従う軌道上の点」であると同時に、「斜面という幾何学的な図形上の点」でもあります。この2つの条件を連立方程式として解く、という考え方が問題を解く鍵です。
  • 理解のポイント: 「斜面に着地した」という言葉を、「軌道の式 \(y=f(x)\)」と「斜面の式 \(y=g(x)\)」の連立方程式を解くことだと翻訳できるかが問われています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射から斜面への着地: 初速度に鉛直成分が加わるだけで、基本的な解法は全く同じです。軌道の式と斜面の式を連立させます。軌道の式の形が少し複雑になります。
  • 壁への衝突: 水平投射した物体が、正面の鉛直な壁に衝突する問題。衝突点のx座標が壁の位置で固定されるため、そこから衝突時刻や衝突点のy座標を求めることができます。
  • 動く斜面への着地: 斜面自体が動いている場合。相対運動の考え方が必要になり、難易度が上がります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の確認: 問題で指定された座標軸の向き（特にy軸が上向きか下向きか）を最初に確認し、加速度や速度の符号を間違えないようにします。
  2. 終点（着地点）の条件を数式化する: 問題のゴールはどこか？「地面に着地」なら \(y=0\)（地面がy=0の場合）、「斜面に着地」なら \(y=-x\)（この問題の場合）のように、終点の座標が満たすべき関係式を明確にします。
  3. 軌道の式を求める意味を理解する: 軌道の式は、時間 \(t\) に関係なく、いつでも成り立つ \(x\) と \(y\) の関係です。これと終点の条件式を組み合わせることで、特定の点（着地点）の座標が求まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 座標軸の向きと符号のミス:
  • 誤解: 前の問題（問27など）の癖で、鉛直下向きを正として計算してしまい、y座標やy方向速度の符号を間違える。
  • 対策: 問題ごとに座標軸の定義は異なります。問題を解き始める前に、必ず図を見て座標軸の向きを確認し、\(a_y = -g\) であることを答案の最初に明記する習慣をつけましょう。
• 斜面の式の誤り:
  • 誤解: 傾斜角が \(45^\circ\) だからといって、安易に \(y=x\) と置いてしまう。
  • 対策: 必ず図を見て、斜面がどの象限にあるかを確認しましょう。この問題では、小球は第4象限（\(x>0, y<0\)）にある斜面に落下します。原点を通る傾き \(-1\) の直線なので、式は \(y=-x\) となります。
• 連立方程式の解の吟味:
  • 誤解: (4)で \(x_1 \left( \frac{g}{2v_0^2}x_1 – 1 \right) = 0\) という方程式を解いた際に、\(x_1=0\) という解の意味を考えずに、答えが2つあると混乱してしまう。
  • 対策: 方程式の解が複数出てきた場合、それぞれが物理的に何を意味するのかを考えましょう。\(x_1=0\) は軌道と斜面の交点の一つですが、これは物理的には「出発点」に対応します。問題で問われているのは「落下地点」なので、\(0\) ではない方の解を選ぶ必要があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 軌道と斜面のグラフ: (3)で求めた放物線のグラフと、(4)で使う斜面の直線を、同じxy平面上に描いてみましょう。2つのグラフの交点が2つ（原点と落下地点）あることが視覚的に明確になります。これにより、(4)で連立方程式を解く意味が直感的に理解できます。
  • 時間の経過と位置の関係: 時刻 \(t\) が \(0 \rightarrow t_1 \rightarrow t_2 \rightarrow \dots\) と進むにつれて、小球の位置 \((x, y)\) が放物線に沿ってどう動いていくかをイメージします。そして、その点が斜線 \(y=-x\) 上に乗った瞬間が「着地」であると捉えます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標軸と原点を大きく描く: 符号ミスを防ぐため、xy軸と原点Oをはっきりと描きましょう。
  • ベクトルを成分分解して描く: 任意の時刻 \(t\) における速度ベクトルを描き、それを水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) に分解する図を描くと、各成分の大きさや向きの変化が理解しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等速直線運動の式 (\(x=v_0t\)) と 等加速度直線運動の式 (\(y=-\frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (1)〜(3)で、運動をx, y方向に分解し、それぞれの方向の運動法則を時刻 \(t\) の関数として表現するため。
  • 適用根拠: 水平方向には力が働かず加速度が0、鉛直方向には重力が働き加速度が \(-g\)（一定）であるという、水平投射の基本原理に基づきます。
• 媒介変数の消去:
  • 選定理由: (3)で、時刻 \(t\) に依存しない、xとyの直接的な関係式（軌道の式）を導出するため。これは物理というより数学的な手法です。
  • 適用根拠: 2つの変数x, yが、共通の第3の変数tを介して関係づけられている場合、tを消去することでx, yの直接の関係式を得ることができます。
• 連立方程式:
  • 選定理由: (4)で、「軌道上の点」と「斜面上の点」という2つの条件を同時に満たす点（=落下地点）の座標を求めるため。
  • 適用根拠: 求める未知数（この場合は \(x_1, y_1\)）に対して、独立した関係式が2つあれば、解を一つに特定できるという代数学の基本原理に基づきます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)-(3) 運動の記述と軌道の導出:
   • 戦略: 運動をx, yに分解し、時刻 \(t\) の関数として位置を記述。その後 \(t\) を消去する。
   • フロー: ①水平方向の位置 \(x(t)\) を立式 → ②鉛直方向の位置 \(y(t)\) を立式 → ③ \(x(t)\) の式を \(t=\dots\) の形に変形 → ④それを \(y(t)\) の式に代入し、\(y(x)\) の式（軌道）を導出。
2. (4) 落下地点の計算:
   • 戦略: 物理的な軌跡と、幾何学的な斜面との交点を求める。
   • フロー: ①落下地点が満たすべき斜面の条件式 (\(y_1=-x_1\)) を立てる → ②落下地点は軌道上にもあるので、(3)で求めた軌道の式に座標 \((x_1, y_1)\) を代入 → ③2つの式を連立させて \(x_1\) について解く → ④物理的に意味のある解（\(x_1 \neq 0\)）を選ぶ。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の徹底管理: この問題で最も重要なのは符号です。y軸が上向き正なので、y座標、y方向速度、重力加速度はすべて負またはゼロになります。計算の各ステップで、符号が物理的に正しいか（例：落下地点のy座標は負になっているか）を確認しましょう。
• 文字式計算の整理: (4)の計算では、\(x_1\) の二次方程式を解くことになります。移項や因数分解を丁寧に行い、計算ミスを防ぎましょう。特に、係数が分数になっているので、分数の扱いに注意が必要です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) 軌道の式: \(y = -(\text{正の定数}) \times x^2\) という形は、下に凸ではなく上に凸（y軸負方向に開く）の放物線を表しており、図のイメージと一致します。
  • (4) 落下地点のx座標: \(x_1 = \displaystyle\frac{2v_0^2}{g}\)。もし初速度 \(v_0\) が2倍になれば、x座標は4倍になります。これは、滞空時間が長くなり（yが同じ値になるまでの時間が長くなり）、かつ水平速度も速いため、直感よりも大きく飛距離が伸びることを示唆しており、興味深い結果です。また、\(g\) が大きいほど \(x_1\) が小さくなるのも直感と合っています。
• ヒントとの関連付け:
  • 問題のヒントに「傾角\(45^\circ\)の斜面上の点\((x, y)\)では、\(|x|=|y|\)」とあります。図から \(x>0, y<0\) なので、これは \(x = -y\) すなわち \(y=-x\) を意味します。この条件を(4)で正しく使えたかを確認することは、解答の妥当性を吟味する上で非常に有効です。

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41 斜方投射