「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第2章】基本問題28～37

基本問題

28 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度を含む鉛直投げ上げ運動」です。上昇している物体（気球）から別の物体（小球）をはなすときの、初速度の考え方と、その後の運動の追跡が重要なポイントになります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の最大のポイントは、上昇中の気球から「静かに」落とされた小球の初速度をどう考えるかです。地面で静止している観測者から見ると、手放された瞬間の小球は、気球と同じ速度、つまり鉛直上向きに \(4.9 \text{ m/s}\) の速度を持っています。
したがって、小球の運動は、高さ \(58.8 \text{ m}\) の位置から初速度 \(4.9 \text{ m/s}\) で鉛直上向きに投げ上げられた運動（鉛直投げ上げ）と全く同じになります。
この運動を開始してから、地面に達するまでの時間を求めます。
この設問における重要なポイント

• 小球の（地面に対する）初速度 \(v_0\) は、気球の速度と同じ \(4.9 \text{ m/s}\)（鉛直上向き）である。
• 座標軸を設定する：小球を落とした点を原点(\(y=0\))、鉛直上向きを正の向きとする。
• 各物理量を符号付きで整理する：初速度 \(v_0 = +4.9 \text{ m/s}\)、加速度 \(a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2\)。
• 地面の位置は、原点から下方に \(58.8 \text{ m}\) なので、最終的な変位は \(y = -58.8 \text{ m}\) となる。
• 変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を用いて、\(t\) に関する二次方程式を解く。

具体的な解説と立式
小球を落とした点を原点(\(y=0\))とし、鉛直上向きを正の向きとします。
地面から見た小球の初速度は、気球の速度と同じで \(v_0 = +4.9 \text{ m/s}\) です。
加速度は重力加速度のみなので \(a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2\) です。
小球が地上に達したとき、その位置は原点よりも \(58.8 \text{ m}\) 下方にあるため、変位は \(y = -58.8 \text{ m}\) となります。
これらの物理量を、等加速度直線運動の変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) に代入します。
$$ -58.8 = 4.9t + \displaystyle\frac{1}{2}(-9.8)t^2 $$

上記で立式した方程式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
-58.8 &= 4.9t – 4.9t^2
\end{aligned}
$$
このままでは計算しにくいので、両辺を \(4.9\) で割ります。ここで \(58.8 = 12 \times 4.9\) であることを利用すると、
$$
\begin{aligned}
-12 &= t – t^2
\end{aligned}
$$
式を整理して、
$$
\begin{aligned}
t^2 – t – 12 &= 0
\end{aligned}
$$
この二次方程式を因数分解します。
$$
\begin{aligned}
(t – 4)(t + 3) &= 0
\end{aligned}
$$
解は \(t = 4.0\) または \(t = -3.0\) となります。時間は負の値をとらないので、
$$ t = 4.0 \text{ [s]} $$

ボールは最初、気球と同じ上向きの速さ \(4.9 \text{ m/s}\) を持っています。ここから、重力に引かれて一度少しだけ上昇し、その後落ちてきて、最終的に地面（出発点より \(58.8 \text{ m}\) 下）に達します。
この全体の動きを「変位の公式」で一本の式にします。上向きをプラスとすると、初速度は \(+4.9\)、最終的な位置は \(-58.8\) となります。
式は「\(-58.8 = 4.9 \times t – 0.5 \times 9.8 \times t^2\)」となります。
この時間 \(t\) の二次方程式を解くと、答えは \(4.0\) 秒と求まります。

小球が地上に達するまでの時間は \(4.0 \text{ s}\) です。二次方程式の解として出てきた負の解 \(t=-3.0 \text{ s}\) は、物理的には「もし小球が地面から投げ上げられてこの運動をしていたとしたら、\(3.0\) 秒前に地面を出発していた」ということを意味しており、数学的な解としては存在しますが、この問題の答えとしては不適切です。物理的に意味のある正の解を選ぶことが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度の概念を用いた初速度の決定:
  • 核心: この問題で最も重要な物理的洞察は、「上昇しつつある気球から静かに落とす」という記述を正しく解釈することです。これは「気球に乗っている人から見ると、小球の初速度は0（相対速度が0）」という意味です。
  • 理解のポイント: 地上で静止している観測者から見ると、小球は手放された瞬間に、気球が持っている速度をそのまま受け継ぎます。したがって、小球の地面に対する初速度は、気球の速度と同じく鉛直上向きに \(4.9 \text{ m/s}\) となります。この初速度さえ正しく設定できれば、問題は「高さのある場所からの鉛直投げ上げ運動」に帰着します。
• 座標軸の設定と変位の符号:
  • 核心: 鉛直投げ上げ運動では、物体が原点より上にも下にも移動するため、座標軸を設定し、各物理量の符号を厳密に扱うことが不可欠です。
  • 理解のポイント: 小球を落とした点を原点(\(y=0\))、鉛直上向きを正とすると、地面は原点より下方にあるため、その変位は負の値（\(y = -58.8 \text{ m}\)）となります。この「変位の符号」を正しく設定できるかどうかが、正解に至るための第二の関門です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 降下する気球からの落下: もし気球が「降下」している場合、小球の初速度は「鉛直下向き」になります。その後の運動は「鉛直投げ下ろし」の問題として扱います。
  • 水平に動く乗り物からの落下: 電車や飛行機から物を「静かに落とす」場合、物の初速度は乗り物の水平速度と同じになります。その後の運動は、水平方向の等速直線運動と鉛直方向の自由落下を組み合わせた「水平投射」の問題となります。
  • 速さを問う問題: もしこの問題で「地上に達する速さ」を問われたら、(1)で求めた時間 \(t=4.0 \text{ s}\) を \(v = v_0 – gt\) に代入するか、力学的エネルギー保存則 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を利用して解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「誰から見て」の運動か？: 問題文の「〜から静かに落とす」という表現を見たら、まず「相対速度」の問題だと疑います。
  2. 地面（静止系）での初速度に変換: 相対速度の考え方を使って、必ず「地面から見た物体の初速度」をベクトル（向きと大きさ）として決定します。
  3. 座標軸を明確に設定: 原点をどこに、正の向きをどちらにするかを最初に宣言します。特に、原点と最終地点の位置関係から、変位の符号（プラスかマイナスか）を慎重に判断します。
  4. 運動全体を一つの式で: 小球は一度上昇してから下降しますが、運動中ずっと加速度は一定（\(-g\)）です。したがって、上昇と下降を分けずに、運動の開始から終了までを一本の等加速度直線運動の式で記述するのが最も賢明なアプローチです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 初速度を0と勘違いする:
  • 誤解: 「静かに落とす」という言葉だけを見て、初速度 \(v_0=0\) の自由落下運動として計算してしまう。
  • 対策: 「何から静かに落とすのか」を常に意識します。動いている物体から落とす場合は、その物体の速度が初速度になる、という原理を徹底しましょう。
• 変位の符号ミス:
  • 誤解: 地面の高さが \(58.8 \text{ m}\) だからといって、変位の式に \(y = +58.8\) を代入してしまう。
  • 対策: 「変位」は「後の位置 – 初めの位置」です。原点を「落とした点」、正の向きを「上向き」と設定した場合、地面は原点より下にあるので、その位置（変位）は必ず負の値になります。座標軸と原点を図に描いて確認する習慣が有効です。
• 運動を分割して考えてしまう:
  • 誤解: 「最高点までの上昇」と「最高点からの下降」を別々の運動として計算しようとし、複雑な計算に陥ってしまう。
  • 対策: 運動の途中で加速度が変わらない限り、それは単一の等加速度直線運動です。上昇も下降も、同じ \(a=-g\) という加速度で支配されているため、出発点から終点までを一本の式で結びつけるのが最もシンプルで間違いが少ない方法です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 時間の計算に \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を選んだ理由:
  • 選定理由: この問題では、物理量として「変位 \(y\)」「初速度 \(v_0\)」「加速度 \(a\)」が分かっており、「時間 \(t\)」を求めたい。最終的な速さ \(v\) は分かっていません。したがって、\(v\) を含まず、これら4つの物理量を結びつける唯一の公式が \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) だからです。
  • 適用根拠: 小球の運動は、上昇から下降まで通して加速度が一定（\(-g\)）の等加速度直線運動であるため、この公式を運動全体に適用することができます。もし \(v=v_0+at\) や \(v^2-v_0^2=2ay\) を使おうとしても、未知数が \(v\) と \(t\) の2つになってしまい、この式だけでは解けません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 二次方程式の整理:
  • \(-58.8 = 4.9t – 4.9t^2\) のような式が出てきたら、まず \(t^2\) の係数が正になるように全ての項を左辺（または右辺）に移項し、\(4.9t^2 – 4.9t – 58.8 = 0\) のように、見慣れた \(ax^2+bx+c=0\) の形に整理する癖をつけましょう。これにより、符号ミスを防げます。
• 共通の数で割る:
  • 係数が \(4.9, -4.9, -58.8\) のように複雑な場合、すぐに解の公式に走るのではなく、「最も小さい係数（この場合は4.9）で全体を割れないか？」と試みることが重要です。物理の問題では、多くの場合きれいな整数比になるように数値が設定されています。この一手間で、計算の難易度が劇的に下がります。
• 因数分解を試みる:
  • \(t^2 – t – 12 = 0\) のような簡単な二次方程式になったら、解の公式よりも因数分解の方が速く、かつ計算ミスが少ないです。「掛けて \(-12\)、足して \(-1\) になる2つの数」(\(-4\) と \(+3\)) を探す練習をしておきましょう。
• 解の吟味:
  • 二次方程式の解が複数出てきた場合、必ず物理的な意味を考えます。時間は負の値を取り得ないので、\(t>0\) の解のみが適切です。出てきた負の解（\(t=-3\)）が何を意味するのか（注釈にある通り）まで考えられると、理解が一層深まります。

29 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げ運動と\(v-t\)グラフの解釈」です。グラフの持つ物理的な意味を正しく理解することが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図中の時刻\(t_1\)がグラフ上でどのような点かを確認します。\(t_1\)では、グラフが横軸（\(t\)軸）と交わっており、これは縦軸の値、すなわち速度\(v\)が0であることを意味します。次に、鉛直投げ上げ運動において、速度が0になる瞬間が物理的にどのような状態かを考えます。
この設問における重要なポイント

• 鉛直投げ上げ運動では、物体は最高点で一瞬だけ速度が0になります。
• \(v-t\)グラフの縦軸は速度\(v\)を表します。

具体的な解説と立式
小石を真上に投げ上げる運動では、小石は上昇するにつれて重力によって速さが減少し、やがて速度が0になります。この速度が0になった瞬間が、小石が最も高い位置、すなわち「最高点」に達したときです。その後、小石は下降に転じ、速度は負の向き（下向き）に増加していきます。
問題の\(v-t\)グラフを見ると、時刻\(t=t_1\)において速度\(v\)が0になっています。これは、まさしく小石が最高点に達した瞬間を表しています。

この設問はグラフの読み取りと物理現象の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

ボールを真上に投げると、だんだんスピードが落ちて、一番高いところで一瞬だけ止まりますよね。その後、今度は下向きに落ちてきます。グラフの\(t_1\)という点は、縦軸の「速度\(v\)」がちょうど0になっている点です。つまり、この\(t_1\)は、ボールが「一瞬だけ止まった」瞬間、すなわち最高点に達した時刻を表しているのです。

時刻\(t_1\)は、グラフから速度\(v\)が0になる時刻と読み取れます。これは鉛直投げ上げ運動において物体が最高点に到達した状態に対応するため、\(t_1\)は小石が最高点に達する時刻を示します。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(v-t\)グラフの「傾き」が、物理的にどのような量を表すかを理解しているかが問われます。鉛直投げ上げ運動は等加速度直線運動の一種であり、その加速度が何によって決まるかを考え、グラフの傾きと結びつけます。
この設問における重要なポイント

• \(v-t\)グラフの傾きは、加速度\(a\)を表します。
• 鉛直投げ上げ運動の加速度は、常に鉛直下向きに重力加速度\(g\)です。

具体的な解説と立式
一般に、速度\(v\)と時刻\(t\)のグラフ（\(v-t\)グラフ）において、その傾きは単位時間あたりの速度の変化、すなわち加速度\(a\)を表します。
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \quad (\text{v-tグラフの傾き}) $$
一方、鉛直投げ上げ運動では、運動の向きにかかわらず、物体には常に鉛直下向きに重力が作用しています。ニュートンの運動方程式より、その加速度は常に一定で、重力加速度に等しくなります。鉛直上向きを正とすると、加速度は\(a = -g\)となります。
したがって、\(v-t\)グラフの傾きは\(-g\)に等しくなります。問題では「重力加速度の大きさ\(g\)」が問われているため、これはグラフの傾きの「大きさ（絶対値）」に相当します。

この設問は物理概念の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

\(v-t\)グラフの「傾き」は、速度がどれくらいのペースで変わるか、つまり「加速度」を表します。投げ上げられた小石は、地球の重力に引かれてだんだんスピードが落ちていきます。このスピードを変化させる原因が重力であり、そのときの加速度を「重力加速度\(g\)」と呼びます。したがって、グラフの傾きの急さ（大きさ）が、重力加速度の大きさ\(g\)を示していることになります。

\(v-t\)グラフの傾きは加速度を表します。鉛直投げ上げ運動における加速度は、上向きを正とすると\(-g\)です。したがって、重力加速度の大きさ\(g\)は、\(v-t\)グラフの傾きの大きさに示されます。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(v-t\)グラフと軸で囲まれた「面積」が、物理的にどのような量を表すかを理解しているかが問われます。問題で指定されている三角形が、運動のどの区間に対応しているかを考え、その面積が何を表すかを判断します。
この設問における重要なポイント

• \(v-t\)グラフと時間軸で囲まれた面積は、物体の変位（移動距離）を表します。

具体的な解説と立式
一般に、\(v-t\)グラフと時間軸（\(t\)軸）で囲まれた部分の面積は、物体の変位\(\Delta x\)を表します。これは、微小時間\(\Delta t\)の間に進む距離が（速さ）×（時間）で\(v \Delta t\)と表され、これを運動の始めから終わりまで足し合わせる（積分する）操作が、グラフの面積を求めることに対応するためです。
問題で問われている三角形は、\(v\)軸（\(t=0\)の線）、\(t\)軸、そして\(v-t\)直線で囲まれており、これは時刻\(0\)から\(t_1\)までの区間に対応します。
(1)で確認したように、時刻\(t_1\)は小石が最高点に達する時刻です。また、この区間では速度\(v\)は常に正であるため、小石は一貫して上昇しています。
したがって、この三角形の面積は、時刻\(0\)から\(t_1\)までの間、すなわち投げ上げられてから最高点に達するまでの移動距離を表します。これは、投げ上げた地点を基準とした「最高点の高さ」に他なりません。

この設問は物理概念の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

\(v-t\)グラフでは、グラフの線と横軸（時間軸）で囲まれた部分の「面積」が、物体が「どれだけ進んだか（移動距離）」を表す、というルールがあります。問題になっている三角形は、時刻\(0\)（投げた瞬間）から時刻\(t_1\)（最高点に達した瞬間）までの部分に対応しています。つまり、この三角形の面積は、投げた瞬間から最高点に達するまでに進んだ距離、すなわち「最高点の高さ」を示しているのです。

時刻\(0\)から\(t_1\)までの\(v-t\)グラフの面積は、その間の移動距離を表します。この時間区間は、小石が投げ上げられてから最高点に達するまでなので、面積は最高点の高さに等しくなります。

問(4)

思考の道筋とポイント
「もとの位置にもどる」という条件を、物理量を使ってどのように表現できるかを考えます。これは「全行程での変位が0になる」ことを意味します。この条件を、(3)で用いた\(v-t\)グラフの面積と変位の関係を使って、グラフ上で表現することを試みます。
この設問における重要なポイント

• もとの位置にもどる、という条件は、運動全体の変位が0になることを意味します。
• \(v-t\)グラフにおいて、\(t\)軸より上側の面積は正の変位、下側の面積は負の変位を表します。
• 変位が0になるのは、正の変位と負の変位の和が0、つまり正の面積と負の面積の大きさが等しくなるときです。

具体的な解説と立式
小石がもとの位置にもどる、ということは、時刻\(0\)からその時刻\(t_2\)までの合計の変位が0になることを意味します。
\(v-t\)グラフにおいて、変位はグラフと時間軸で囲まれた面積で表されます。

• 時刻\(0 \sim t_1\)の区間（上昇）: 速度\(v\)は正なので、\(t\)軸より上側にある三角形の面積は正の変位（上昇距離）を表します。
• 時刻\(t_1\)以降の区間（下降）: 速度\(v\)は負なので、\(t\)軸より下側にある領域の面積は負の変位（下降距離）を表します。

もとの位置にもどるためには、上昇した距離と下降した距離が等しくなければなりません。これは、グラフ上で「\(t\)軸より上側の面積の大きさ」と「\(t\)軸より下側の面積の大きさ」が等しくなることを意味します。
鉛直投げ上げ運動では、加速度が一定（\(-g\)）であるため、\(v-t\)グラフは直線になります。この直線の対称性から、上昇にかかる時間（\(0 \sim t_1\)）と、最高点から同じ高さまで下降するのにかかる時間（\(t_1 \sim t_2\)）は等しくなります。
したがって、時刻\(t_1\)から\(t_2\)までの時間は\(t_1\)に等しく、
$$ t_2 – t_1 = t_1 $$
という関係が成り立ちます。これを解くと、
$$ t_2 = 2t_1 $$
となります。この時刻\(t_2\)をグラフの\(t\)軸上に記入します。このとき、\(t=t_2\)での速度は、対称性から\(-v_0\)となります。

この設問はグラフ上での作図を求めるものであり、具体的な計算は不要です。上記「具体的な解説と立式」で述べた通り、\(t_2 = 2t_1\)となる点を\(t\)軸上に見つけ、\(t_2\)と記入します。

小石が投げた場所に戻ってくる、ということは、「上がった距離」と「落ちてきた距離」が同じになる、ということです。\(v-t\)グラフでは、面積が距離を表しましたね。\(t\)軸より上の三角形の面積が「上がった距離」、\(t\)軸より下の三角形の面積が「落ちてきた距離」です。この2つの三角形の面積が同じになればよいわけです。
グラフはまっすぐな直線なので、運動はとても対称的です。つまり、最高点まで上がるのにかかった時間（\(t_1\)）と、最高点から元の場所まで落ちてくるのにかかる時間（\(t_2 – t_1\)）は全く同じになります。ということは、戻ってくる時刻\(t_2\)は、\(t_1\)のちょうど2倍の時刻になる、ということです。

もとの位置に戻る時刻\(t_2\)は、上昇にかかる時間\(t_1\)の2倍、すなわち\(t_2 = 2t_1\)となる。この点を\(t\)軸上にプロットすることで、上昇距離（\(t\)軸より上の面積）と落下距離（\(t\)軸より下の面積）が等しくなり、全変位が0という条件を満たす。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(v-t\)グラフの物理的意味の完全な理解:
  • 核心: この問題は、\(v-t\)グラフの2大要素である「傾き」と「面積」が、それぞれ「加速度」と「変位」に対応するという、運動学の根幹をなす関係性を理解しているかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 傾き = 加速度 (\(a\)): グラフの傾きが一定の負の値であることから、この運動が「等加速度直線運動」であり、加速度が常に一定の負の値（鉛直下向きの重力加速度）であることを読み取ります。
    • 面積 = 変位 (\(\Delta x\)): グラフと時間軸で囲まれた面積が、物体の位置の変化量を表します。時間軸より上側の面積は正の変位（上昇）、下側の面積は負の変位（下降）を意味します。
• 鉛直投げ上げ運動の物理モデル:
  • 核心: 鉛直投げ上げが、初速度を与えられた後、重力のみを受けて運動する「等加速度直線運動」であると正しくモデル化できることが前提となります。
  • 理解のポイント:
    • 最高点: 速度が正から負に転じる点、すなわち速度\(v\)が0になる瞬間が最高点です。
    • 対称性: 空気抵抗を無視する場合、上昇過程と下降過程は時間的に対称です。最高点に達する時間と、最高点から元の高さに戻るまでの時間は等しくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(x-t\)グラフや\(a-t\)グラフとの相互変換: \(v-t\)グラフを元に、\(x-t\)グラフ（傾きが\(v\)になる曲線）や\(a-t\)グラフ（傾きが0の水平線）を描かせる問題。逆の変換も同様です。
  • 斜方投射: 運動を水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（鉛直投げ上げ）に分解し、それぞれの方向について\(v-t\)グラフを考える問題。
  • 2物体のすれ違い・衝突: 2つの物体の\(v-t\)グラフを同一の座標軸に描き、2つのグラフの面積の差（相対的な変位）などから、すれ違いや衝突の条件を考察する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を絶対確認: 縦軸が位置\(x\)、速度\(v\)、加速度\(a\)のどれなのかを最初に確認します。これを間違うと全てが台無しになります。
  2. グラフの形状を把握: グラフが直線か、水平か、曲線かを見て、運動の種類（等加速度、等速、非等加速度）を大まかに掴みます。今回の問題では、右下がりの直線なので「負の等加速度運動」と即座に判断します。
  3. 特別な点に注目: グラフが軸と交わる点には重要な物理的意味があります。
     • \(t\)軸との交点（\(v=0\)）: 運動の向きが変わる点（今回の場合は最高点）。
     • \(v\)軸との交点（\(t=0\)）: 初速度\(v_0\)。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(v-t\)グラフと\(x-t\)グラフの解釈の混同:
  • 誤解: \(v-t\)グラフが\(t\)軸を横切る点（\(t_1\)）を、物体が「出発点に戻ってきた」と勘違いする。
  • 対策: \(v=0\)は「速度がゼロ」になった瞬間であり、「変位がゼロ」とは異なります。変位がゼロになるのは、\(t\)軸の上下の面積の大きさが等しくなる時刻（\(t_2\)）です。「傾きは加速度、面積は変位」という基本を常に意識することが対策になります。
• 「速度」と「速さ」の混同:
  • 誤解: \(t > t_1\)の区間で、グラフが下がっていくのを見て「減速している」と誤解する。
  • 対策: 速度は向きを含むベクトル量（グラフの縦軸の値そのもの）、速さはその大きさ（\(t\)軸からの距離）です。\(t > t_1\)の区間では、速度は負の方向に増えており、速さ（\(|v|\)）は増加しています。
• 変位と道のり（移動距離）の混同:
  • 誤解: 時刻\(t_2\)までの移動距離を求めるときに、単純に\(t=0\)から\(t_2\)までの面積（変位=0）を計算してしまう。
  • 対策: 「変位」は位置の変化（プラス・マイナスあり）、「道のり」は実際に動いた総距離（常にプラス）です。道のりを求めるには、\(t\)軸の上下の面積の「絶対値」を足し合わせる必要があります（この問題では、上昇距離 + 下降距離）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の速度式 (\(v = v_0 + at\)):
  • 選定理由: この問題の運動は、加速度が一定（\(a=-g\)）の等加速度直線運動そのものです。この式は、その運動における速度と時間の関係を直接記述する最も基本的な公式です。
  • 適用根拠: (2)で「重力加速度の大きさ\(g\)はグラフの何に示されるか」という問いに答える際に、この公式が役立ちます。式を\(v = (-g)t + v_0\)と変形すると、これが傾き\(-g\)、\(v\)切片\(v_0\)の一次関数であることがわかります。これにより、\(v-t\)グラフの傾きが加速度\(-g\)に対応し、その大きさが\(g\)になるという論理的な説明が可能になります。
• 変位と\(v-t\)グラフの面積の関係:
  • 選定理由: (3)と(4)は、移動距離や位置に関する問いであり、\(v-t\)グラフからこれらの量を求めるための最も直接的な方法が「面積の計算」だからです。
  • 適用根拠: 変位は「速度と微小時間の積の総和（積分）」で定義されます。これは数学的に、\(v-t\)グラフと時間軸で囲まれた面積を求める操作と完全に一致します。したがって、(3)の最高点の高さ（上昇中の変位）や(4)の「もとの位置にもどる」（総変位が0）という条件を、グラフの面積を用いて解釈するのは物理的に正当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の徹底管理:
  • 最初に座標軸の正の向きを定義します（例：鉛直上向きを正）。一度決めたら、全ての物理量（速度、変位、加速度）の符号をその定義に従って一貫して扱います。重力加速度の「大きさ」\(g\)は常に正の値ですが、ベクトル量である「加速度」\(a\)は、上向きを正とすれば\(-g\)となります。この区別を明確にすることが、符号ミスを防ぐ鍵です。
• グラフの対称性の活用:
  • (4)で見たように、空気抵抗を無視する放物運動では、運動に高い対称性が現れます。上昇時間と下降時間が等しい（\(t_2 = 2t_1\)）、同じ高さでは上昇時と下降時で速さが等しい（\(t=t_2\)での速度は\(-v_0\)）などです。こうした対称性に気づくことで、複雑な計算を避け、検算にも利用できます。
• 面積計算の基本の確認:
  • もし具体的な数値で面積を計算する問題が出た場合、三角形（\(\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}\)）や台形（\(\frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ}\)）の公式を正確に使うことが基本です。グラフから底辺や高さを読み取る際には、目盛りの値を慎重に確認しましょう。

30 自由落下と鉛直投げ下ろし

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「時間差のある2物体の落下運動」です。自由落下と鉛直投げ下ろしという、2種類の等加速度直線運動を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
2つの物体が異なる時刻に、異なる初期条件で運動を始める問題です。この種の問題を解く鍵は、「同時に地面に落ちる」という条件を数式でどう表現するかです。これは「ビルの屋上から地面までの落下距離が、2つの小石で等しい」ことを意味します。
まず、どちらの物体の運動時間を基準にするかを決めます。問題文が「小石Bを投げ下ろしてから…の時間\(t\)」を問うているので、小石Bの落下時間を\(t\)と置くのが最も自然です。小石AはBより2.0秒早く運動を始めているため、Aの落下時間は\(t+2.0\)秒となります。
それぞれの運動について、等加速度直線運動の変位の公式を用いて落下距離を表し、それらが等しいとして方程式を立てて解きます。
この設問における重要なポイント

• 2つの物体の運動時間の設定を間違えないこと（Aは\(t+2.0\)秒、Bは\(t\)秒）。
• 自由落下は初速度\(v_0=0\)、鉛直投げ下ろしは初速度\(v_0=24.5 \, \text{m/s}\)の等加速度直線運動である。
• 「同時に地面に落ちる」という条件を「落下距離が等しい」と読み替えて立式する。

具体的な解説と立式
ビルの屋上を原点(\(y=0\))とし、鉛直下向きを正の向きとします。重力加速度の大きさを\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)とします。
(1)で求める「小石Bを投げ下ろしてから地面に落ちるまでの時間」を\(t \, \text{[s]}\)とします。
小石Aは小石Bよりも\(2.0 \, \text{s}\)早く落下を始めているので、小石Aが地面に落ちるまでの全落下時間は \((t+2.0) \, \text{[s]}\) となります。

等加速度直線運動の変位の公式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) を用いて、それぞれの落下距離（地面に達したときの変位）を表します。

小石A（自由落下）の変位 \(y_A\):
初速度 \(v_{0\text{A}} = 0\)、加速度 \(a=g\)、時間は \((t+2.0)\)。
$$ y_A = 0 \cdot (t+2.0) + \frac{1}{2} g (t+2.0)^2 \quad \cdots ① $$

小石B（鉛直投げ下ろし）の変位 \(y_B\):
初速度 \(v_{0\text{B}} = 24.5 \, \text{m/s}\)、加速度 \(a=g\)、時間は \(t\)。
$$ y_B = v_{0\text{B}} t + \frac{1}{2} g t^2 \quad \cdots ② $$

2つの小石は同時に地面に落ちるので、その落下距離は等しくなります。
$$ y_A = y_B $$

\(y_A = y_B\) の式に、与えられた数値を代入して\(t\)に関する方程式を立てます。
$$ \frac{1}{2} \times 9.8 \times (t+2.0)^2 = 24.5 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$
この式を整理します。
$$ 4.9 (t+2.0)^2 = 24.5 t + 4.9 t^2 $$
左辺を展開します。
$$ 4.9 (t^2 + 4.0t + 4.0) = 24.5 t + 4.9 t^2 $$
$$ 4.9 t^2 + 19.6 t + 19.6 = 24.5 t + 4.9 t^2 $$
両辺から \(4.9 t^2\) の項を消去し、\(t\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
19.6 t + 19.6 &= 24.5 t \\[2.0ex]
24.5 t – 19.6 t &= 19.6 \\[2.0ex]
4.9 t &= 19.6 \\[2.0ex]
t &= \frac{19.6}{4.9} \\[2.0ex]
t &= 4.0
\end{aligned}
$$

小石Aと小石Bが落ちた距離は、どちらもビルの高さなので同じです。そこで、「Aが落ちた距離」と「Bが落ちた距離」を、それぞれ物理の公式を使って式で表します。このとき、AはBより2秒長く飛んでいるので、Aの落下時間は「\(t+2.0\)秒」、Bの落下時間は「\(t\)秒」とします。そして、「Aの落下距離の式 = Bの落下距離の式」という方程式を立てます。この方程式を解くことで、時間\(t\)が求められます。

小石Bが投げ下ろされてから地面に落ちるまでの時間は \(t=4.0 \, \text{s}\) と求まりました。これは正の値であり、物理的に妥当な解です。このとき、小石Aの全落下時間は \(4.0 + 2.0 = 6.0 \, \text{s}\) となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
ビルの高さ\(h\)は、小石が屋上から地面まで落下した距離に等しいです。(1)で求めた時間\(t\)を用いて、小石Aまたは小石Bの落下距離を計算すれば、それがビルの高さになります。どちらの小石で計算しても結果は同じになるはずなので、計算が簡単な方を選ぶか、両方で計算して検算に使うと確実です。
この設問における重要なポイント

• ビルの高さ \(h\) = 小石Aの落下距離 = 小石Bの落下距離。
• 有効数字の扱いに注意する。問題文で与えられた数値（\(2.0 \, \text{s}\), \(9.8 \, \text{m/s}^2\), \(24.5 \, \text{m/s}\)）の有効数字は2桁または3桁なので、最終的な答えは最も桁数の少ない2桁に合わせるのが適切です。

具体的な解説と立式
ビルの高さ\(h\)は、小石Aが時間\((t+2.0) = (4.0+2.0) = 6.0 \, \text{s}\)で落下する距離\(y_A\)に等しいです。式①を用いると、
$$ h = y_A = \frac{1}{2} g (t+2.0)^2 $$
あるいは、小石Bが時間\(t=4.0 \, \text{s}\)で落下する距離\(y_B\)に等しいです。式②を用いると、
$$ h = y_B = v_{0\text{B}} t + \frac{1}{2} g t^2 $$
どちらの式を使っても\(h\)を求めることができます。

小石Aの落下距離の式を使って計算します。\(t=4.0 \, \text{s}\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4.0 + 2.0)^2 \\[2.0ex]
&= 4.9 \times (6.0)^2 \\[2.0ex]
&= 4.9 \times 36 \\[2.0ex]
&= 176.4
\end{aligned}
$$
問題文中の数値の有効数字は2桁（\(2.0\), \(9.8\)）なので、答えも有効数字2桁で表します。
$$ h \approx 1.8 \times 10^2 \, \text{[m]} $$
念のため、小石Bの式でも検算してみましょう。
$$
\begin{aligned}
h &= 24.5 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4.0)^2 \\[2.0ex]
&= 98.0 + 4.9 \times 16 \\[2.0ex]
&= 98.0 + 78.4 \\[2.0ex]
&= 176.4
\end{aligned}
$$
同じ結果となり、計算が正しいことが確認できました。

(1)で、小石Bが地面に落ちるまでにかかる時間は\(4.0\)秒だとわかりました。ビルの高さは、小石Bがこの\(4.0\)秒間に進んだ距離と同じです。そこで、鉛直投げ下ろしの距離を計算する公式に、初速度\(24.5 \, \text{m/s}\)や時間\(4.0 \, \text{s}\)などの値を代入すれば、ビルの高さが計算できます。

ビルの高さは\(176.4 \, \text{m}\)と計算されました。問題文で与えられている数値の有効数字が最も少ないもので2桁であるため、答えは四捨五入して有効数字2桁の\(1.8 \times 10^2 \, \text{m}\)とするのが適切です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の公式の適用:
  • 核心: この問題は、重力による運動が「等加速度直線運動」であることを理解し、適切な公式を選択して適用できるかが全てです。特に、変位\(y\)、初速度\(v_0\)、加速度\(a\)、時間\(t\)の関係を表す \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) を使いこなすことが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 自由落下（小石A）: 「静かに落下」は初速度\(v_0=0\)を意味します。
    • 鉛直投げ下ろし（小石B）: 与えられた初速度\(v_0=24.5 \, \text{m/s}\)で運動を開始します。
    • 両者に共通して、鉛直下向きに重力加速度\(g\)が働きます。
• 2物体の運動における時間と位置の関係性の把握:
  • 核心: 2つの物体の運動を、共通の座標軸と時間軸の上で関連付けて考える能力が重要です。
  • 理解のポイント:
    • 時間関係: 小石Bが動き出すのを基準（時間\(t\)）とすると、それより2.0秒早く動き出した小石Aの運動時間は \((t+2.0)\) 秒となります。この時間設定が立式の第一歩です。
    • 位置関係: 「同時に地面に落ちる」という現象を、「2つの小石の落下距離（変位）が等しい」という数式上の条件 (\(y_A = y_B\)) に変換することが、問題を解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 追い越し・すれ違い問題: 先に出発した物体に、後から出発した物体が追いつく時刻や位置を求める問題。これも「2物体の位置が等しくなる」(\(x_A = x_B\)) という条件で立式します。
  • 衝突問題: 上から落下する物体と、下から投げ上げられる物体が空中で衝突する時刻や位置を求める問題。座標軸の正の向きを一つに定め（例：鉛直上向きを正）、両者の位置が等しくなる条件で解きます。この場合、一方の初速度は正、もう一方は負（またはその逆）となり、加速度は両方とも\(-g\)となります。
  • 相対運動の利用（別解）: この問題のように、2物体が同じ加速度で運動する場合、一方から見たもう一方の運動は「相対加速度が0」、すなわち「等速直線運動」に見えます。これを利用すると、2次方程式を回避して問題を解ける場合があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準を定める: まず、座標の原点（どこを0とするか）と正の向き（上向きか下向きか）、そして時刻の基準（誰が動き出した瞬間を\(t=0\)とするか）を自分で明確に設定します。
  2. 時間関係を整理する: 問題文を読み、各物体の運動時間を、基準となる時間\(t\)を使って表現します。（例：\(t\)と\(t+2.0\)）
  3. 物理条件を数式に翻訳する: 「同時に落ちる」「追いつく」「すれ違う」といった問題文のキーワードを、\(y_A = y_B\) のような物理的な等式に変換します。ここが最も重要なステップです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動時間の設定ミス:
  • 誤解: 小石Bの時間を\(t\)、Aの時間を\(t-2.0\)と設定してしまう。これは数学的には可能ですが、\(t\)がAの落下時間を表すことになり、(1)の問いとの対応がずれて混乱を招きます。
  • 対策: 問題文で求められている時間（今回はBの時間）を\(t\)と置くのが最も素直で間違いが少ないです。そして、各物体の運動開始の前後関係をよく考え、「AはBより長く運動している」→「Aの時間は \(t+2.0\)」と正しく設定します。
• 初期条件の代入ミス:
  • 誤解: 小石A（自由落下）の式を立てる際に、間違えて初速度\(v_0=24.5\)を代入してしまう。
  • 対策: 立式する前に、各物体について「初速度\(v_0\), 加速度\(a\), 時間」の3点セットを問題用紙の隅にメモする習慣をつけましょう。（A: \(v_0=0, a=g, \text{時間}=t+2.0\)）、（B: \(v_0=24.5, a=g, \text{時間}=t\)）
• 2次方程式の展開・計算ミス:
  • 誤解: \((t+2.0)^2\) の展開で、\(t^2 + 4.0t + 4.0\) とすべきところを \(t^2 + 4.0\) としてしまい、真ん中の項を忘れる。
  • 対策: 公式 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) を落ち着いて適用すること。また、(1)の計算では、両辺の \(4.9t^2\) の項が消えることに気づくと、計算が一次方程式になり大幅に簡略化できます。式全体を俯瞰して、楽な計算方法がないか探す癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変位の公式 (\(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\)):
  • 選定理由: この問題は、物体の「位置（落下距離）」と「時間」の関係が中心となっています。等加速度直線運動の3つの主要な公式のうち、最終速度\(v\)を含まずに位置と時間の関係を直接記述できるのはこの公式だけです。
  • 適用根拠: 問題の核心である「同時に地面に落ちる \(\rightarrow\) 落下距離が等しい (\(y_A = y_B\))」という条件を立式するために、各物体の落下距離\(y\)を、それぞれの運動時間を使って表現する必要があります。この公式は、その要求に完璧に応えるものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(g=9.8\) の扱いに慣れる:
  • 物理の問題では、\(g=9.8\) が頻繁に使われます。そして、\(9.8 = 2 \times 4.9\) という関係から、\(4.9\) の倍数が計算途中によく現れます。今回の問題でも、\(19.6 = 4 \times 4.9\)、\(24.5 = 5 \times 4.9\) という関係が隠れており、これに気づくと \(4.9t = 19.6\) の割り算が暗算レベルで可能になります。
• 検算の習慣:
  • (2)でビルの高さを求める際、小石Aの式と小石Bの式の両方で計算してみましょう。両者の結果が一致すれば、(1)で求めた時間\(t\)も、(2)の計算も正しい可能性が非常に高まります。少し手間はかかりますが、確実性を上げるための有効な手段です。
• 有効数字の意識:
  • 計算の途中では、有効数字より1桁多く（例：176.4のように）計算を進め、最終的な答えを出すときに、問題文で与えられた数値の最も少ない有効数字に合わせます。今回は\(2.0\)や\(9.8\)が2桁なので、答えも2桁（\(1.8 \times 10^2\)）に丸めます。この処理を忘れると減点対象になるので注意が必要です。

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31 水平投射