「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第2章】基本問題28～37

基本問題

28 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度を含む鉛直投げ上げ運動」です。上昇している物体（気球）から別の物体（小球）をはなすときの、初速度の考え方と、その後の運動の追跡が重要なポイントになります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の最大のポイントは、上昇中の気球から「静かに」落とされた小球の初速度をどう考えるかです。地面で静止している観測者から見ると、手放された瞬間の小球は、気球と同じ速度、つまり鉛直上向きに \(4.9 \text{ m/s}\) の速度を持っています。
したがって、小球の運動は、高さ \(58.8 \text{ m}\) の位置から初速度 \(4.9 \text{ m/s}\) で鉛直上向きに投げ上げられた運動（鉛直投げ上げ）と全く同じになります。
この運動を開始してから、地面に達するまでの時間を求めます。
この設問における重要なポイント

• 小球の（地面に対する）初速度 \(v_0\) は、気球の速度と同じ \(4.9 \text{ m/s}\)（鉛直上向き）である。
• 座標軸を設定する：小球を落とした点を原点(\(y=0\))、鉛直上向きを正の向きとする。
• 各物理量を符号付きで整理する：初速度 \(v_0 = +4.9 \text{ m/s}\)、加速度 \(a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2\)。
• 地面の位置は、原点から下方に \(58.8 \text{ m}\) なので、最終的な変位は \(y = -58.8 \text{ m}\) となる。
• 変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を用いて、\(t\) に関する二次方程式を解く。

具体的な解説と立式
小球を落とした点を原点(\(y=0\))とし、鉛直上向きを正の向きとします。
地面から見た小球の初速度は、気球の速度と同じで \(v_0 = +4.9 \text{ m/s}\) です。
加速度は重力加速度のみなので \(a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2\) です。
小球が地上に達したとき、その位置は原点よりも \(58.8 \text{ m}\) 下方にあるため、変位は \(y = -58.8 \text{ m}\) となります。
これらの物理量を、等加速度直線運動の変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) に代入します。
$$ -58.8 = 4.9t + \displaystyle\frac{1}{2}(-9.8)t^2 $$

上記で立式した方程式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
-58.8 &= 4.9t – 4.9t^2
\end{aligned}
$$
このままでは計算しにくいので、両辺を \(4.9\) で割ります。ここで \(58.8 = 12 \times 4.9\) であることを利用すると、
$$
\begin{aligned}
-12 &= t – t^2
\end{aligned}
$$
式を整理して、
$$
\begin{aligned}
t^2 – t – 12 &= 0
\end{aligned}
$$
この二次方程式を因数分解します。
$$
\begin{aligned}
(t – 4)(t + 3) &= 0
\end{aligned}
$$
解は \(t = 4.0\) または \(t = -3.0\) となります。時間は負の値をとらないので、
$$ t = 4.0 \text{ [s]} $$

ボールは最初、気球と同じ上向きの速さ \(4.9 \text{ m/s}\) を持っています。ここから、重力に引かれて一度少しだけ上昇し、その後落ちてきて、最終的に地面（出発点より \(58.8 \text{ m}\) 下）に達します。
この全体の動きを「変位の公式」で一本の式にします。上向きをプラスとすると、初速度は \(+4.9\)、最終的な位置は \(-58.8\) となります。
式は「\(-58.8 = 4.9 \times t – 0.5 \times 9.8 \times t^2\)」となります。
この時間 \(t\) の二次方程式を解くと、答えは \(4.0\) 秒と求まります。

小球が地上に達するまでの時間は \(4.0 \text{ s}\) です。二次方程式の解として出てきた負の解 \(t=-3.0 \text{ s}\) は、物理的には「もし小球が地面から投げ上げられてこの運動をしていたとしたら、\(3.0\) 秒前に地面を出発していた」ということを意味しており、数学的な解としては存在しますが、この問題の答えとしては不適切です。物理的に意味のある正の解を選ぶことが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度の概念を用いた初速度の決定:
  • 核心: この問題で最も重要な物理的洞察は、「上昇しつつある気球から静かに落とす」という記述を正しく解釈することです。これは「気球に乗っている人から見ると、小球の初速度は0（相対速度が0）」という意味です。
  • 理解のポイント: 地上で静止している観測者から見ると、小球は手放された瞬間に、気球が持っている速度をそのまま受け継ぎます。したがって、小球の地面に対する初速度は、気球の速度と同じく鉛直上向きに \(4.9 \text{ m/s}\) となります。この初速度さえ正しく設定できれば、問題は「高さのある場所からの鉛直投げ上げ運動」に帰着します。
• 座標軸の設定と変位の符号:
  • 核心: 鉛直投げ上げ運動では、物体が原点より上にも下にも移動するため、座標軸を設定し、各物理量の符号を厳密に扱うことが不可欠です。
  • 理解のポイント: 小球を落とした点を原点(\(y=0\))、鉛直上向きを正とすると、地面は原点より下方にあるため、その変位は負の値（\(y = -58.8 \text{ m}\)）となります。この「変位の符号」を正しく設定できるかどうかが、正解に至るための第二の関門です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 降下する気球からの落下: もし気球が「降下」している場合、小球の初速度は「鉛直下向き」になります。その後の運動は「鉛直投げ下ろし」の問題として扱います。
  • 水平に動く乗り物からの落下: 電車や飛行機から物を「静かに落とす」場合、物の初速度は乗り物の水平速度と同じになります。その後の運動は、水平方向の等速直線運動と鉛直方向の自由落下を組み合わせた「水平投射」の問題となります。
  • 速さを問う問題: もしこの問題で「地上に達する速さ」を問われたら、(1)で求めた時間 \(t=4.0 \text{ s}\) を \(v = v_0 – gt\) に代入するか、力学的エネルギー保存則 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を利用して解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「誰から見て」の運動か？: 問題文の「〜から静かに落とす」という表現を見たら、まず「相対速度」の問題だと疑います。
  2. 地面（静止系）での初速度に変換: 相対速度の考え方を使って、必ず「地面から見た物体の初速度」をベクトル（向きと大きさ）として決定します。
  3. 座標軸を明確に設定: 原点をどこに、正の向きをどちらにするかを最初に宣言します。特に、原点と最終地点の位置関係から、変位の符号（プラスかマイナスか）を慎重に判断します。
  4. 運動全体を一つの式で: 小球は一度上昇してから下降しますが、運動中ずっと加速度は一定（\(-g\)）です。したがって、上昇と下降を分けずに、運動の開始から終了までを一本の等加速度直線運動の式で記述するのが最も賢明なアプローチです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 初速度を0と勘違いする:
  • 誤解: 「静かに落とす」という言葉だけを見て、初速度 \(v_0=0\) の自由落下運動として計算してしまう。
  • 対策: 「何から静かに落とすのか」を常に意識します。動いている物体から落とす場合は、その物体の速度が初速度になる、という原理を徹底しましょう。
• 変位の符号ミス:
  • 誤解: 地面の高さが \(58.8 \text{ m}\) だからといって、変位の式に \(y = +58.8\) を代入してしまう。
  • 対策: 「変位」は「後の位置 – 初めの位置」です。原点を「落とした点」、正の向きを「上向き」と設定した場合、地面は原点より下にあるので、その位置（変位）は必ず負の値になります。座標軸と原点を図に描いて確認する習慣が有効です。
• 運動を分割して考えてしまう:
  • 誤解: 「最高点までの上昇」と「最高点からの下降」を別々の運動として計算しようとし、複雑な計算に陥ってしまう。
  • 対策: 運動の途中で加速度が変わらない限り、それは単一の等加速度直線運動です。上昇も下降も、同じ \(a=-g\) という加速度で支配されているため、出発点から終点までを一本の式で結びつけるのが最もシンプルで間違いが少ない方法です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 時間の計算に \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を選んだ理由:
  • 選定理由: この問題では、物理量として「変位 \(y\)」「初速度 \(v_0\)」「加速度 \(a\)」が分かっており、「時間 \(t\)」を求めたい。最終的な速さ \(v\) は分かっていません。したがって、\(v\) を含まず、これら4つの物理量を結びつける唯一の公式が \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) だからです。
  • 適用根拠: 小球の運動は、上昇から下降まで通して加速度が一定（\(-g\)）の等加速度直線運動であるため、この公式を運動全体に適用することができます。もし \(v=v_0+at\) や \(v^2-v_0^2=2ay\) を使おうとしても、未知数が \(v\) と \(t\) の2つになってしまい、この式だけでは解けません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 二次方程式の整理:
  • \(-58.8 = 4.9t – 4.9t^2\) のような式が出てきたら、まず \(t^2\) の係数が正になるように全ての項を左辺（または右辺）に移項し、\(4.9t^2 – 4.9t – 58.8 = 0\) のように、見慣れた \(ax^2+bx+c=0\) の形に整理する癖をつけましょう。これにより、符号ミスを防げます。
• 共通の数で割る:
  • 係数が \(4.9, -4.9, -58.8\) のように複雑な場合、すぐに解の公式に走るのではなく、「最も小さい係数（この場合は4.9）で全体を割れないか？」と試みることが重要です。物理の問題では、多くの場合きれいな整数比になるように数値が設定されています。この一手間で、計算の難易度が劇的に下がります。
• 因数分解を試みる:
  • \(t^2 – t – 12 = 0\) のような簡単な二次方程式になったら、解の公式よりも因数分解の方が速く、かつ計算ミスが少ないです。「掛けて \(-12\)、足して \(-1\) になる2つの数」(\(-4\) と \(+3\)) を探す練習をしておきましょう。
• 解の吟味:
  • 二次方程式の解が複数出てきた場合、必ず物理的な意味を考えます。時間は負の値を取り得ないので、\(t>0\) の解のみが適切です。出てきた負の解（\(t=-3\)）が何を意味するのか（注釈にある通り）まで考えられると、理解が一層深まります。

29 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げ運動と\(v-t\)グラフの解釈」です。グラフの持つ物理的な意味を正しく理解することが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図中の時刻\(t_1\)がグラフ上でどのような点かを確認します。\(t_1\)では、グラフが横軸（\(t\)軸）と交わっており、これは縦軸の値、すなわち速度\(v\)が0であることを意味します。次に、鉛直投げ上げ運動において、速度が0になる瞬間が物理的にどのような状態かを考えます。
この設問における重要なポイント

• 鉛直投げ上げ運動では、物体は最高点で一瞬だけ速度が0になります。
• \(v-t\)グラフの縦軸は速度\(v\)を表します。

具体的な解説と立式
小石を真上に投げ上げる運動では、小石は上昇するにつれて重力によって速さが減少し、やがて速度が0になります。この速度が0になった瞬間が、小石が最も高い位置、すなわち「最高点」に達したときです。その後、小石は下降に転じ、速度は負の向き（下向き）に増加していきます。
問題の\(v-t\)グラフを見ると、時刻\(t=t_1\)において速度\(v\)が0になっています。これは、まさしく小石が最高点に達した瞬間を表しています。

この設問はグラフの読み取りと物理現象の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

ボールを真上に投げると、だんだんスピードが落ちて、一番高いところで一瞬だけ止まりますよね。その後、今度は下向きに落ちてきます。グラフの\(t_1\)という点は、縦軸の「速度\(v\)」がちょうど0になっている点です。つまり、この\(t_1\)は、ボールが「一瞬だけ止まった」瞬間、すなわち最高点に達した時刻を表しているのです。

時刻\(t_1\)は、グラフから速度\(v\)が0になる時刻と読み取れます。これは鉛直投げ上げ運動において物体が最高点に到達した状態に対応するため、\(t_1\)は小石が最高点に達する時刻を示します。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(v-t\)グラフの「傾き」が、物理的にどのような量を表すかを理解しているかが問われます。鉛直投げ上げ運動は等加速度直線運動の一種であり、その加速度が何によって決まるかを考え、グラフの傾きと結びつけます。
この設問における重要なポイント

• \(v-t\)グラフの傾きは、加速度\(a\)を表します。
• 鉛直投げ上げ運動の加速度は、常に鉛直下向きに重力加速度\(g\)です。

具体的な解説と立式
一般に、速度\(v\)と時刻\(t\)のグラフ（\(v-t\)グラフ）において、その傾きは単位時間あたりの速度の変化、すなわち加速度\(a\)を表します。
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \quad (\text{v-tグラフの傾き}) $$
一方、鉛直投げ上げ運動では、運動の向きにかかわらず、物体には常に鉛直下向きに重力が作用しています。ニュートンの運動方程式より、その加速度は常に一定で、重力加速度に等しくなります。鉛直上向きを正とすると、加速度は\(a = -g\)となります。
したがって、\(v-t\)グラフの傾きは\(-g\)に等しくなります。問題では「重力加速度の大きさ\(g\)」が問われているため、これはグラフの傾きの「大きさ（絶対値）」に相当します。

この設問は物理概念の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

\(v-t\)グラフの「傾き」は、速度がどれくらいのペースで変わるか、つまり「加速度」を表します。投げ上げられた小石は、地球の重力に引かれてだんだんスピードが落ちていきます。このスピードを変化させる原因が重力であり、そのときの加速度を「重力加速度\(g\)」と呼びます。したがって、グラフの傾きの急さ（大きさ）が、重力加速度の大きさ\(g\)を示していることになります。

\(v-t\)グラフの傾きは加速度を表します。鉛直投げ上げ運動における加速度は、上向きを正とすると\(-g\)です。したがって、重力加速度の大きさ\(g\)は、\(v-t\)グラフの傾きの大きさに示されます。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(v-t\)グラフと軸で囲まれた「面積」が、物理的にどのような量を表すかを理解しているかが問われます。問題で指定されている三角形が、運動のどの区間に対応しているかを考え、その面積が何を表すかを判断します。
この設問における重要なポイント

• \(v-t\)グラフと時間軸で囲まれた面積は、物体の変位（移動距離）を表します。

具体的な解説と立式
一般に、\(v-t\)グラフと時間軸（\(t\)軸）で囲まれた部分の面積は、物体の変位\(\Delta x\)を表します。これは、微小時間\(\Delta t\)の間に進む距離が（速さ）×（時間）で\(v \Delta t\)と表され、これを運動の始めから終わりまで足し合わせる（積分する）操作が、グラフの面積を求めることに対応するためです。
問題で問われている三角形は、\(v\)軸（\(t=0\)の線）、\(t\)軸、そして\(v-t\)直線で囲まれており、これは時刻\(0\)から\(t_1\)までの区間に対応します。
(1)で確認したように、時刻\(t_1\)は小石が最高点に達する時刻です。また、この区間では速度\(v\)は常に正であるため、小石は一貫して上昇しています。
したがって、この三角形の面積は、時刻\(0\)から\(t_1\)までの間、すなわち投げ上げられてから最高点に達するまでの移動距離を表します。これは、投げ上げた地点を基準とした「最高点の高さ」に他なりません。

この設問は物理概念の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

\(v-t\)グラフでは、グラフの線と横軸（時間軸）で囲まれた部分の「面積」が、物体が「どれだけ進んだか（移動距離）」を表す、というルールがあります。問題になっている三角形は、時刻\(0\)（投げた瞬間）から時刻\(t_1\)（最高点に達した瞬間）までの部分に対応しています。つまり、この三角形の面積は、投げた瞬間から最高点に達するまでに進んだ距離、すなわち「最高点の高さ」を示しているのです。

時刻\(0\)から\(t_1\)までの\(v-t\)グラフの面積は、その間の移動距離を表します。この時間区間は、小石が投げ上げられてから最高点に達するまでなので、面積は最高点の高さに等しくなります。

問(4)

思考の道筋とポイント
「もとの位置にもどる」という条件を、物理量を使ってどのように表現できるかを考えます。これは「全行程での変位が0になる」ことを意味します。この条件を、(3)で用いた\(v-t\)グラフの面積と変位の関係を使って、グラフ上で表現することを試みます。
この設問における重要なポイント

• もとの位置にもどる、という条件は、運動全体の変位が0になることを意味します。
• \(v-t\)グラフにおいて、\(t\)軸より上側の面積は正の変位、下側の面積は負の変位を表します。
• 変位が0になるのは、正の変位と負の変位の和が0、つまり正の面積と負の面積の大きさが等しくなるときです。

具体的な解説と立式
小石がもとの位置にもどる、ということは、時刻\(0\)からその時刻\(t_2\)までの合計の変位が0になることを意味します。
\(v-t\)グラフにおいて、変位はグラフと時間軸で囲まれた面積で表されます。

• 時刻\(0 \sim t_1\)の区間（上昇）: 速度\(v\)は正なので、\(t\)軸より上側にある三角形の面積は正の変位（上昇距離）を表します。
• 時刻\(t_1\)以降の区間（下降）: 速度\(v\)は負なので、\(t\)軸より下側にある領域の面積は負の変位（下降距離）を表します。

もとの位置にもどるためには、上昇した距離と下降した距離が等しくなければなりません。これは、グラフ上で「\(t\)軸より上側の面積の大きさ」と「\(t\)軸より下側の面積の大きさ」が等しくなることを意味します。
鉛直投げ上げ運動では、加速度が一定（\(-g\)）であるため、\(v-t\)グラフは直線になります。この直線の対称性から、上昇にかかる時間（\(0 \sim t_1\)）と、最高点から同じ高さまで下降するのにかかる時間（\(t_1 \sim t_2\)）は等しくなります。
したがって、時刻\(t_1\)から\(t_2\)までの時間は\(t_1\)に等しく、
$$ t_2 – t_1 = t_1 $$
という関係が成り立ちます。これを解くと、
$$ t_2 = 2t_1 $$
となります。この時刻\(t_2\)をグラフの\(t\)軸上に記入します。このとき、\(t=t_2\)での速度は、対称性から\(-v_0\)となります。

この設問はグラフ上での作図を求めるものであり、具体的な計算は不要です。上記「具体的な解説と立式」で述べた通り、\(t_2 = 2t_1\)となる点を\(t\)軸上に見つけ、\(t_2\)と記入します。

小石が投げた場所に戻ってくる、ということは、「上がった距離」と「落ちてきた距離」が同じになる、ということです。\(v-t\)グラフでは、面積が距離を表しましたね。\(t\)軸より上の三角形の面積が「上がった距離」、\(t\)軸より下の三角形の面積が「落ちてきた距離」です。この2つの三角形の面積が同じになればよいわけです。
グラフはまっすぐな直線なので、運動はとても対称的です。つまり、最高点まで上がるのにかかった時間（\(t_1\)）と、最高点から元の場所まで落ちてくるのにかかる時間（\(t_2 – t_1\)）は全く同じになります。ということは、戻ってくる時刻\(t_2\)は、\(t_1\)のちょうど2倍の時刻になる、ということです。

もとの位置に戻る時刻\(t_2\)は、上昇にかかる時間\(t_1\)の2倍、すなわち\(t_2 = 2t_1\)となる。この点を\(t\)軸上にプロットすることで、上昇距離（\(t\)軸より上の面積）と落下距離（\(t\)軸より下の面積）が等しくなり、全変位が0という条件を満たす。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(v-t\)グラフの物理的意味の完全な理解:
  • 核心: この問題は、\(v-t\)グラフの2大要素である「傾き」と「面積」が、それぞれ「加速度」と「変位」に対応するという、運動学の根幹をなす関係性を理解しているかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 傾き = 加速度 (\(a\)): グラフの傾きが一定の負の値であることから、この運動が「等加速度直線運動」であり、加速度が常に一定の負の値（鉛直下向きの重力加速度）であることを読み取ります。
    • 面積 = 変位 (\(\Delta x\)): グラフと時間軸で囲まれた面積が、物体の位置の変化量を表します。時間軸より上側の面積は正の変位（上昇）、下側の面積は負の変位（下降）を意味します。
• 鉛直投げ上げ運動の物理モデル:
  • 核心: 鉛直投げ上げが、初速度を与えられた後、重力のみを受けて運動する「等加速度直線運動」であると正しくモデル化できることが前提となります。
  • 理解のポイント:
    • 最高点: 速度が正から負に転じる点、すなわち速度\(v\)が0になる瞬間が最高点です。
    • 対称性: 空気抵抗を無視する場合、上昇過程と下降過程は時間的に対称です。最高点に達する時間と、最高点から元の高さに戻るまでの時間は等しくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(x-t\)グラフや\(a-t\)グラフとの相互変換: \(v-t\)グラフを元に、\(x-t\)グラフ（傾きが\(v\)になる曲線）や\(a-t\)グラフ（傾きが0の水平線）を描かせる問題。逆の変換も同様です。
  • 斜方投射: 運動を水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（鉛直投げ上げ）に分解し、それぞれの方向について\(v-t\)グラフを考える問題。
  • 2物体のすれ違い・衝突: 2つの物体の\(v-t\)グラフを同一の座標軸に描き、2つのグラフの面積の差（相対的な変位）などから、すれ違いや衝突の条件を考察する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を絶対確認: 縦軸が位置\(x\)、速度\(v\)、加速度\(a\)のどれなのかを最初に確認します。これを間違うと全てが台無しになります。
  2. グラフの形状を把握: グラフが直線か、水平か、曲線かを見て、運動の種類（等加速度、等速、非等加速度）を大まかに掴みます。今回の問題では、右下がりの直線なので「負の等加速度運動」と即座に判断します。
  3. 特別な点に注目: グラフが軸と交わる点には重要な物理的意味があります。
     • \(t\)軸との交点（\(v=0\)）: 運動の向きが変わる点（今回の場合は最高点）。
     • \(v\)軸との交点（\(t=0\)）: 初速度\(v_0\)。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(v-t\)グラフと\(x-t\)グラフの解釈の混同:
  • 誤解: \(v-t\)グラフが\(t\)軸を横切る点（\(t_1\)）を、物体が「出発点に戻ってきた」と勘違いする。
  • 対策: \(v=0\)は「速度がゼロ」になった瞬間であり、「変位がゼロ」とは異なります。変位がゼロになるのは、\(t\)軸の上下の面積の大きさが等しくなる時刻（\(t_2\)）です。「傾きは加速度、面積は変位」という基本を常に意識することが対策になります。
• 「速度」と「速さ」の混同:
  • 誤解: \(t > t_1\)の区間で、グラフが下がっていくのを見て「減速している」と誤解する。
  • 対策: 速度は向きを含むベクトル量（グラフの縦軸の値そのもの）、速さはその大きさ（\(t\)軸からの距離）です。\(t > t_1\)の区間では、速度は負の方向に増えており、速さ（\(|v|\)）は増加しています。
• 変位と道のり（移動距離）の混同:
  • 誤解: 時刻\(t_2\)までの移動距離を求めるときに、単純に\(t=0\)から\(t_2\)までの面積（変位=0）を計算してしまう。
  • 対策: 「変位」は位置の変化（プラス・マイナスあり）、「道のり」は実際に動いた総距離（常にプラス）です。道のりを求めるには、\(t\)軸の上下の面積の「絶対値」を足し合わせる必要があります（この問題では、上昇距離 + 下降距離）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の速度式 (\(v = v_0 + at\)):
  • 選定理由: この問題の運動は、加速度が一定（\(a=-g\)）の等加速度直線運動そのものです。この式は、その運動における速度と時間の関係を直接記述する最も基本的な公式です。
  • 適用根拠: (2)で「重力加速度の大きさ\(g\)はグラフの何に示されるか」という問いに答える際に、この公式が役立ちます。式を\(v = (-g)t + v_0\)と変形すると、これが傾き\(-g\)、\(v\)切片\(v_0\)の一次関数であることがわかります。これにより、\(v-t\)グラフの傾きが加速度\(-g\)に対応し、その大きさが\(g\)になるという論理的な説明が可能になります。
• 変位と\(v-t\)グラフの面積の関係:
  • 選定理由: (3)と(4)は、移動距離や位置に関する問いであり、\(v-t\)グラフからこれらの量を求めるための最も直接的な方法が「面積の計算」だからです。
  • 適用根拠: 変位は「速度と微小時間の積の総和（積分）」で定義されます。これは数学的に、\(v-t\)グラフと時間軸で囲まれた面積を求める操作と完全に一致します。したがって、(3)の最高点の高さ（上昇中の変位）や(4)の「もとの位置にもどる」（総変位が0）という条件を、グラフの面積を用いて解釈するのは物理的に正当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の徹底管理:
  • 最初に座標軸の正の向きを定義します（例：鉛直上向きを正）。一度決めたら、全ての物理量（速度、変位、加速度）の符号をその定義に従って一貫して扱います。重力加速度の「大きさ」\(g\)は常に正の値ですが、ベクトル量である「加速度」\(a\)は、上向きを正とすれば\(-g\)となります。この区別を明確にすることが、符号ミスを防ぐ鍵です。
• グラフの対称性の活用:
  • (4)で見たように、空気抵抗を無視する放物運動では、運動に高い対称性が現れます。上昇時間と下降時間が等しい（\(t_2 = 2t_1\)）、同じ高さでは上昇時と下降時で速さが等しい（\(t=t_2\)での速度は\(-v_0\)）などです。こうした対称性に気づくことで、複雑な計算を避け、検算にも利用できます。
• 面積計算の基本の確認:
  • もし具体的な数値で面積を計算する問題が出た場合、三角形（\(\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}\)）や台形（\(\frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ}\)）の公式を正確に使うことが基本です。グラフから底辺や高さを読み取る際には、目盛りの値を慎重に確認しましょう。

30 自由落下と鉛直投げ下ろし

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「時間差のある2物体の落下運動」です。自由落下と鉛直投げ下ろしという、2種類の等加速度直線運動を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
2つの物体が異なる時刻に、異なる初期条件で運動を始める問題です。この種の問題を解く鍵は、「同時に地面に落ちる」という条件を数式でどう表現するかです。これは「ビルの屋上から地面までの落下距離が、2つの小石で等しい」ことを意味します。
まず、どちらの物体の運動時間を基準にするかを決めます。問題文が「小石Bを投げ下ろしてから…の時間\(t\)」を問うているので、小石Bの落下時間を\(t\)と置くのが最も自然です。小石AはBより2.0秒早く運動を始めているため、Aの落下時間は\(t+2.0\)秒となります。
それぞれの運動について、等加速度直線運動の変位の公式を用いて落下距離を表し、それらが等しいとして方程式を立てて解きます。
この設問における重要なポイント

• 2つの物体の運動時間の設定を間違えないこと（Aは\(t+2.0\)秒、Bは\(t\)秒）。
• 自由落下は初速度\(v_0=0\)、鉛直投げ下ろしは初速度\(v_0=24.5 \, \text{m/s}\)の等加速度直線運動である。
• 「同時に地面に落ちる」という条件を「落下距離が等しい」と読み替えて立式する。

具体的な解説と立式
ビルの屋上を原点(\(y=0\))とし、鉛直下向きを正の向きとします。重力加速度の大きさを\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)とします。
(1)で求める「小石Bを投げ下ろしてから地面に落ちるまでの時間」を\(t \, \text{[s]}\)とします。
小石Aは小石Bよりも\(2.0 \, \text{s}\)早く落下を始めているので、小石Aが地面に落ちるまでの全落下時間は \((t+2.0) \, \text{[s]}\) となります。

等加速度直線運動の変位の公式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) を用いて、それぞれの落下距離（地面に達したときの変位）を表します。

小石A（自由落下）の変位 \(y_A\):
初速度 \(v_{0\text{A}} = 0\)、加速度 \(a=g\)、時間は \((t+2.0)\)。
$$ y_A = 0 \cdot (t+2.0) + \frac{1}{2} g (t+2.0)^2 \quad \cdots ① $$

小石B（鉛直投げ下ろし）の変位 \(y_B\):
初速度 \(v_{0\text{B}} = 24.5 \, \text{m/s}\)、加速度 \(a=g\)、時間は \(t\)。
$$ y_B = v_{0\text{B}} t + \frac{1}{2} g t^2 \quad \cdots ② $$

2つの小石は同時に地面に落ちるので、その落下距離は等しくなります。
$$ y_A = y_B $$

\(y_A = y_B\) の式に、与えられた数値を代入して\(t\)に関する方程式を立てます。
$$ \frac{1}{2} \times 9.8 \times (t+2.0)^2 = 24.5 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$
この式を整理します。
$$ 4.9 (t+2.0)^2 = 24.5 t + 4.9 t^2 $$
左辺を展開します。
$$ 4.9 (t^2 + 4.0t + 4.0) = 24.5 t + 4.9 t^2 $$
$$ 4.9 t^2 + 19.6 t + 19.6 = 24.5 t + 4.9 t^2 $$
両辺から \(4.9 t^2\) の項を消去し、\(t\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
19.6 t + 19.6 &= 24.5 t \\[2.0ex]24.5 t – 19.6 t &= 19.6 \\[2.0ex]4.9 t &= 19.6 \\[2.0ex]t &= \frac{19.6}{4.9} \\[2.0ex]t &= 4.0
\end{aligned}
$$

小石Aと小石Bが落ちた距離は、どちらもビルの高さなので同じです。そこで、「Aが落ちた距離」と「Bが落ちた距離」を、それぞれ物理の公式を使って式で表します。このとき、AはBより2秒長く飛んでいるので、Aの落下時間は「\(t+2.0\)秒」、Bの落下時間は「\(t\)秒」とします。そして、「Aの落下距離の式 = Bの落下距離の式」という方程式を立てます。この方程式を解くことで、時間\(t\)が求められます。

小石Bが投げ下ろされてから地面に落ちるまでの時間は \(t=4.0 \, \text{s}\) と求まりました。これは正の値であり、物理的に妥当な解です。このとき、小石Aの全落下時間は \(4.0 + 2.0 = 6.0 \, \text{s}\) となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
ビルの高さ\(h\)は、小石が屋上から地面まで落下した距離に等しいです。(1)で求めた時間\(t\)を用いて、小石Aまたは小石Bの落下距離を計算すれば、それがビルの高さになります。どちらの小石で計算しても結果は同じになるはずなので、計算が簡単な方を選ぶか、両方で計算して検算に使うと確実です。
この設問における重要なポイント

• ビルの高さ \(h\) = 小石Aの落下距離 = 小石Bの落下距離。
• 有効数字の扱いに注意する。問題文で与えられた数値（\(2.0 \, \text{s}\), \(9.8 \, \text{m/s}^2\), \(24.5 \, \text{m/s}\)）の有効数字は2桁または3桁なので、最終的な答えは最も桁数の少ない2桁に合わせるのが適切です。

具体的な解説と立式
ビルの高さ\(h\)は、小石Aが時間\((t+2.0) = (4.0+2.0) = 6.0 \, \text{s}\)で落下する距離\(y_A\)に等しいです。式①を用いると、
$$ h = y_A = \frac{1}{2} g (t+2.0)^2 $$
あるいは、小石Bが時間\(t=4.0 \, \text{s}\)で落下する距離\(y_B\)に等しいです。式②を用いると、
$$ h = y_B = v_{0\text{B}} t + \frac{1}{2} g t^2 $$
どちらの式を使っても\(h\)を求めることができます。

小石Aの落下距離の式を使って計算します。\(t=4.0 \, \text{s}\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4.0 + 2.0)^2 \\[2.0ex]&= 4.9 \times (6.0)^2 \\[2.0ex]&= 4.9 \times 36 \\[2.0ex]&= 176.4
\end{aligned}
$$
問題文中の数値の有効数字は2桁（\(2.0\), \(9.8\)）なので、答えも有効数字2桁で表します。
$$ h \approx 1.8 \times 10^2 \, \text{[m]} $$
念のため、小石Bの式でも検算してみましょう。
$$
\begin{aligned}
h &= 24.5 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4.0)^2 \\[2.0ex]&= 98.0 + 4.9 \times 16 \\[2.0ex]&= 98.0 + 78.4 \\[2.0ex]&= 176.4
\end{aligned}
$$
同じ結果となり、計算が正しいことが確認できました。

(1)で、小石Bが地面に落ちるまでにかかる時間は\(4.0\)秒だとわかりました。ビルの高さは、小石Bがこの\(4.0\)秒間に進んだ距離と同じです。そこで、鉛直投げ下ろしの距離を計算する公式に、初速度\(24.5 \, \text{m/s}\)や時間\(4.0 \, \text{s}\)などの値を代入すれば、ビルの高さが計算できます。

ビルの高さは\(176.4 \, \text{m}\)と計算されました。問題文で与えられている数値の有効数字が最も少ないもので2桁であるため、答えは四捨五入して有効数字2桁の\(1.8 \times 10^2 \, \text{m}\)とするのが適切です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の公式の適用:
  • 核心: この問題は、重力による運動が「等加速度直線運動」であることを理解し、適切な公式を選択して適用できるかが全てです。特に、変位\(y\)、初速度\(v_0\)、加速度\(a\)、時間\(t\)の関係を表す \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) を使いこなすことが求められます。
  • 理解のポイント:
    • 自由落下（小石A）: 「静かに落下」は初速度\(v_0=0\)を意味します。
    • 鉛直投げ下ろし（小石B）: 与えられた初速度\(v_0=24.5 \, \text{m/s}\)で運動を開始します。
    • 両者に共通して、鉛直下向きに重力加速度\(g\)が働きます。
• 2物体の運動における時間と位置の関係性の把握:
  • 核心: 2つの物体の運動を、共通の座標軸と時間軸の上で関連付けて考える能力が重要です。
  • 理解のポイント:
    • 時間関係: 小石Bが動き出すのを基準（時間\(t\)）とすると、それより2.0秒早く動き出した小石Aの運動時間は \((t+2.0)\) 秒となります。この時間設定が立式の第一歩です。
    • 位置関係: 「同時に地面に落ちる」という現象を、「2つの小石の落下距離（変位）が等しい」という数式上の条件 (\(y_A = y_B\)) に変換することが、問題を解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 追い越し・すれ違い問題: 先に出発した物体に、後から出発した物体が追いつく時刻や位置を求める問題。これも「2物体の位置が等しくなる」(\(x_A = x_B\)) という条件で立式します。
  • 衝突問題: 上から落下する物体と、下から投げ上げられる物体が空中で衝突する時刻や位置を求める問題。座標軸の正の向きを一つに定め（例：鉛直上向きを正）、両者の位置が等しくなる条件で解きます。この場合、一方の初速度は正、もう一方は負（またはその逆）となり、加速度は両方とも\(-g\)となります。
  • 相対運動の利用（別解）: この問題のように、2物体が同じ加速度で運動する場合、一方から見たもう一方の運動は「相対加速度が0」、すなわち「等速直線運動」に見えます。これを利用すると、2次方程式を回避して問題を解ける場合があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準を定める: まず、座標の原点（どこを0とするか）と正の向き（上向きか下向きか）、そして時刻の基準（誰が動き出した瞬間を\(t=0\)とするか）を自分で明確に設定します。
  2. 時間関係を整理する: 問題文を読み、各物体の運動時間を、基準となる時間\(t\)を使って表現します。（例：\(t\)と\(t+2.0\)）
  3. 物理条件を数式に翻訳する: 「同時に落ちる」「追いつく」「すれ違う」といった問題文のキーワードを、\(y_A = y_B\) のような物理的な等式に変換します。ここが最も重要なステップです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動時間の設定ミス:
  • 誤解: 小石Bの時間を\(t\)、Aの時間を\(t-2.0\)と設定してしまう。これは数学的には可能ですが、\(t\)がAの落下時間を表すことになり、(1)の問いとの対応がずれて混乱を招きます。
  • 対策: 問題文で求められている時間（今回はBの時間）を\(t\)と置くのが最も素直で間違いが少ないです。そして、各物体の運動開始の前後関係をよく考え、「AはBより長く運動している」→「Aの時間は \(t+2.0\)」と正しく設定します。
• 初期条件の代入ミス:
  • 誤解: 小石A（自由落下）の式を立てる際に、間違えて初速度\(v_0=24.5\)を代入してしまう。
  • 対策: 立式する前に、各物体について「初速度\(v_0\), 加速度\(a\), 時間」の3点セットを問題用紙の隅にメモする習慣をつけましょう。（A: \(v_0=0, a=g, \text{時間}=t+2.0\)）、（B: \(v_0=24.5, a=g, \text{時間}=t\)）
• 2次方程式の展開・計算ミス:
  • 誤解: \((t+2.0)^2\) の展開で、\(t^2 + 4.0t + 4.0\) とすべきところを \(t^2 + 4.0\) としてしまい、真ん中の項を忘れる。
  • 対策: 公式 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) を落ち着いて適用すること。また、(1)の計算では、両辺の \(4.9t^2\) の項が消えることに気づくと、計算が一次方程式になり大幅に簡略化できます。式全体を俯瞰して、楽な計算方法がないか探す癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変位の公式 (\(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\)):
  • 選定理由: この問題は、物体の「位置（落下距離）」と「時間」の関係が中心となっています。等加速度直線運動の3つの主要な公式のうち、最終速度\(v\)を含まずに位置と時間の関係を直接記述できるのはこの公式だけです。
  • 適用根拠: 問題の核心である「同時に地面に落ちる \(\rightarrow\) 落下距離が等しい (\(y_A = y_B\))」という条件を立式するために、各物体の落下距離\(y\)を、それぞれの運動時間を使って表現する必要があります。この公式は、その要求に完璧に応えるものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(g=9.8\) の扱いに慣れる:
  • 物理の問題では、\(g=9.8\) が頻繁に使われます。そして、\(9.8 = 2 \times 4.9\) という関係から、\(4.9\) の倍数が計算途中によく現れます。今回の問題でも、\(19.6 = 4 \times 4.9\)、\(24.5 = 5 \times 4.9\) という関係が隠れており、これに気づくと \(4.9t = 19.6\) の割り算が暗算レベルで可能になります。
• 検算の習慣:
  • (2)でビルの高さを求める際、小石Aの式と小石Bの式の両方で計算してみましょう。両者の結果が一致すれば、(1)で求めた時間\(t\)も、(2)の計算も正しい可能性が非常に高まります。少し手間はかかりますが、確実性を上げるための有効な手段です。
• 有効数字の意識:
  • 計算の途中では、有効数字より1桁多く（例：176.4のように）計算を進め、最終的な答えを出すときに、問題文で与えられた数値の最も少ない有効数字に合わせます。今回は\(2.0\)や\(9.8\)が2桁なので、答えも2桁（\(1.8 \times 10^2\)）に丸めます。この処理を忘れると減点対象になるので注意が必要です。

31 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射の運動解析」です。水平に投げ出された物体の運動を、互いに影響しない水平方向と鉛直方向の2つの運動に分解して考えることが基本となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
水平到達距離\(l\)を求める問題です。水平投射の運動を、水平方向と鉛直方向に分けて考えます。距離\(l\)は水平方向の移動距離なので、水平方向の運動のみに着目します。水平方向には、運動を妨げる力（空気抵抗）は無視するため、小球は投げ出されたときの水平方向の速さ\(6.0 \, \text{m/s}\)を保ったまま飛び続けます。
この設問における重要なポイント

• 水平投射の水平方向の運動は、初速度のまま進む「等速直線運動」である。
• 等速直線運動の移動距離は「（一定の）速さ × 時間」で求められる。

具体的な解説と立式
水平方向の運動について考えます。座標軸を、投げ出した点を原点とし、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとります。
水平方向の初速度は \(v_x = 6.0 \, \text{m/s}\) です。
水平方向には力が働かないので、加速度は \(a_x = 0\) です。
したがって、水平方向の運動は、速さ \(v_x\) で進む等速直線運動となります。
地面に達するまでの時間は、問題文より \(t = 3.0 \, \text{s}\) です。
この時間で進む水平距離が\(l\)なので、等速直線運動の公式 \((\text{距離}) = (\text{速さ}) \times (\text{時間})\) を用いて立式します。
$$ l = v_x t $$

与えられた値を代入して、水平到達距離\(l\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
l &= 6.0 \times 3.0 \\[2.0ex]&= 18
\end{aligned}
$$
したがって、距離\(l\)は \(18 \, \text{m}\) となります。

ボールを横に投げたとき、その横方向の動きだけを見ると、ボールはずっと同じ速さで進み続けます。今回は、横向きに秒速\(6.0 \, \text{m}\)の速さで、\(3.0\)秒間飛んだわけです。したがって、横方向に進んだ距離は、単純に「速さ \(6.0 \, \text{m/s}\) × 時間 \(3.0 \, \text{s}\)」で計算できます。

水平到達距離は \(18 \, \text{m}\) と計算されました。問題で与えられた数値の有効数字は \(6.0 \, \text{m/s}\) (2桁)、\(3.0 \, \text{s}\) (2桁) なので、計算結果の \(18 \, \text{m}\) も2桁となり、有効数字の観点からも適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
投げ出した所の高さ\(h\)を求める問題です。高さは鉛直方向の距離なので、今度は鉛直方向の運動に着目します。小球を水平に投げ出した瞬間、小球の速度は水平成分しか持っていません。つまり、鉛直方向の初速度は0です。その後、重力によって鉛直下向きに加速されていきます。これは、初速度0で物体を静かに手放す「自由落下」と全く同じ運動です。
この設問における重要なポイント

• 水平投射の鉛直方向の運動は、初速度0の「自由落下」である。
• 自由落下の落下距離は、等加速度直線運動の公式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) で計算できる。

具体的な解説と立式
鉛直方向の運動について考えます。鉛直下向きを正の向きとします。
水平に投げ出したため、鉛直方向の初速度は \(v_{0y} = 0\) です。
鉛直方向には重力が働くため、加速度は重力加速度 \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) となります。
したがって、鉛直方向の運動は自由落下運動です。
地面に達するまでの時間 \(t = 3.0 \, \text{s}\) の間に落下する距離が高さ\(h\)に相当します。
自由落下の公式（等加速度直線運動の変位の式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) で \(v_0=0, a=g\) としたもの）を用いて立式します。
$$ h = \frac{1}{2} g t^2 $$

与えられた値を代入して、高さ\(h\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.0)^2 \\[2.0ex]&= 4.9 \times 9.0 \\[2.0ex]&= 44.1
\end{aligned}
$$
問題文で与えられた数値の有効数字は2桁（\(6.0, 3.0, 9.8\)）なので、答えも有効数字2桁に丸めます。
$$ h \approx 44 \, \text{[m]} $$

ボールを横に投げたときの、縦方向の動きだけを考えてみましょう。これは、同じ高さからボールを真下にポトンと落とした「自由落下」と全く同じ動きになります。つまり、自由落下で\(3.0\)秒間に落ちる距離を計算すれば、それが投げた高さ\(h\)になるわけです。自由落下の距離は「\(0.5 \times 9.8 \times (\text{時間})^2\)」という公式で計算できます。

投げ出した所の高さは \(44.1 \, \text{m}\) と計算されました。有効数字を考慮して、\(44 \, \text{m}\) とするのが適切です。水平方向に速く投げても、ゆっくり投げても、同じ高さから投げれば地面に落ちるまでの時間は変わらない、という物理法則とも一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解（プリンシプル・オブ・スーパーポジション）:
  • 核心: 水平投射のような2次元の運動は、互いに直交する2つの1次元運動（水平方向と鉛直方向）に分解して考えることができる、という物理学の基本原則を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないため、等速直線運動。速度は常に一定。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くため、等加速度直線運動（自由落下）。速度は一定の割合で増加。
• 運動の独立性:
  • 核心: 分解した2つの方向の運動は、互いに干渉せず独立している、という事実を理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向の速さがどれだけ大きくても、鉛直方向の落下運動（地面に到達するまでの時間）には一切影響しません。
    • 2つの運動を結びつける唯一の共通パラメータが「時間 \(t\)」です。ある時刻\(t\)における物体の位置は、水平方向の運動で決まるx座標と、鉛直方向の運動で決まるy座標の組み合わせで決まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 初速度が斜め上向きや斜め下向きの場合。これも水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（鉛直投げ上げ・投げ下ろし）に分解して考えます。鉛直方向の初速度が0でなくなる点が水平投射との違いです。
  • 地面に達する直前の速度: 地面に達する直前の速度ベクトルを求める問題。水平方向の速度\(v_x\)（常に一定）と、鉛直方向の速度\(v_y = gt\)をそれぞれ計算し、三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を使って合成します。
  • 動く物体からの投射: 例えば、一定速度で飛ぶ飛行機から物資を投下する問題。物資は投下された瞬間、飛行機と同じ水平速度を持つため、地上から見ると水平投射と同じ運動になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動を分解する: 問題を見たら、まず「水平方向」と「鉛直方向」に思考を分け、それぞれの運動が「等速」なのか「等加速度」なのかを判断します。
  2. 各方向の初期条件を整理する: 水平方向と鉛直方向それぞれについて、「初速度 \(v_0\)」「加速度 \(a\)」を書き出します。水平投射なら（水平: \(v_{0x}, a_x=0\)）、（鉛直: \(v_{0y}=0, a_y=g\)）となります。
  3. 時間 \(t\) を媒介変数として使う: 問いが水平方向のこと（距離\(l\)など）でも、与えられた情報が鉛直方向のこと（高さ\(h\)など）である場合、まず鉛直方向の運動から時間\(t\)を求め、その\(t\)を使って水平方向の計算をする、といったように、時間\(t\)を2つの運動の橋渡し役として利用します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 水平方向と鉛直方向の運動の混同:
  • 誤解: 鉛直方向の落下距離\(h\)を計算する際に、誤って水平方向の初速度\(6.0 \, \text{m/s}\)を公式に入れてしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、必ず「水平方向」「鉛直方向」と見出しをつけ、それぞれの運動モデル（等速 or 自由落下）と使う公式を分けて書き出す癖をつけましょう。思考の混線を防ぐことができます。
• 鉛直方向の初速度を0としない:
  • 誤解: 「水平投射」という言葉に惑わされず、鉛直方向の運動を考える際に、初速度が0であることを忘れがちになる。
  • 対策: 「水平に」投げ出す、という言葉は「鉛直方向の初速度成分は0である」と機械的に翻訳できるように訓練します。図を描いて、初速度ベクトルが真横を向いていることを視覚的に確認するのも有効です。
• 有効数字の処理ミス:
  • 誤解: (2)の計算で \(44.1 \, \text{m}\) という答えをそのまま書いてしまう。
  • 対策: 計算の最終段階で、必ず問題文で与えられた数値（\(6.0, 3.0, 9.8\)）の有効数字の桁数を確認します。この問題では全て2桁なので、答えも2桁に丸める必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 水平方向: 等速直線運動の式 (\(x = vt\)):
  • 選定理由: (1)で問われているのは水平距離\(l\)です。水平方向の運動は、力が働かないため加速度が0の「等速直線運動」です。この運動における距離・速さ・時間の関係を表す最も単純で直接的な公式が \(x=vt\) です。
  • 適用根拠: 運動の分解により、水平方向の運動は単純な等速直線運動としてモデル化できるため、この公式の適用が物理的に正当化されます。
• 鉛直方向: 自由落下の式 (\(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (2)で問われているのは高さ\(h\)、すなわち鉛直方向の落下距離です。鉛直方向の運動は、初速度0、加速度\(g\)の「自由落下」です。この運動の落下距離と時間の関係を表す最も直接的な公式が \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) です。
  • 適用根拠: 運動の分解により、鉛直方向の運動は単純な自由落下としてモデル化できます。これは等加速度直線運動の公式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) において、初期条件 \(v_0=0\) と \(a=g\) を代入した特別な場合に相当し、その適用は物理的に正当です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算の順序を意識する:
  • \(h = \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.0)^2\) のような計算では、まず累乗（\(3.0^2 = 9.0\)）を計算し、その後に掛け算を行うという数学の基本ルールを徹底します。
• \(g=9.8\) の計算の工夫:
  • \(\displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8\) は \(4.9\) となることを覚えておくと、計算が一段階早くなります。\(4.9 \times 9.0\) のような計算は、筆算で丁寧に行いましょう。
• 単位の確認:
  • 全ての物理量が基本単位（m, s, m/s, m/s²）に揃っているかを確認します。もしkm/hなどが含まれていたら、計算前にm/sに変換する必要があります。この問題では全て基本単位なので、そのまま計算できます。

32 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射の運動解析」です。水平に投げ出された物体の運動を、水平方向と鉛直方向という互いに独立した2つの運動に分解して考えることが、問題を解く上での基本戦略となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小石が海面に落下するまでの時間\(t\)を求める問題です。時間は、水平方向の運動と鉛直方向の運動で共通のパラメータです。この問題では、鉛直方向の落下距離（がけの高さ \(40 \, \text{m}\)）が与えられているため、鉛直方向の運動に着目して時間を計算するのが定石です。水平投射の鉛直方向の運動は「自由落下」と全く同じです。
この設問における重要なポイント

• 水平投射の鉛直方向の運動は、初速度0の「自由落下」とみなせる。
• 自由落下の落下距離と時間の関係式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を用いる。

具体的な解説と立式
投げ出した点を原点とし、鉛直下向きを正の向きとします。
がけの高さは \(h = 40 \, \text{m}\)、重力加速度の大きさは \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) です。
鉛直方向の運動は自由落下なので、落下距離\(h\)と時間\(t\)の関係は以下の式で表されます。
$$ h = \frac{1}{2} g t^2 $$

上の式に数値を代入して、\(t\)について解きます。
$$ 40 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$
$$ 40 = 4.9 t^2 $$
$$ t^2 = \frac{40}{4.9} $$
計算しやすいように、分母と分子を10倍します。
$$ t^2 = \frac{400}{49} $$
\(t>0\) なので、両辺の平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
t &= \sqrt{\frac{400}{49}} \\[2.0ex]&= \frac{20}{7} \\[2.0ex]&\approx 2.857 \dots
\end{aligned}
$$
問題文の有効数字は2桁（\(40, 21, 9.8\)）なので、答えも有効数字2桁に丸めます。
$$ t \approx 2.9 \, \text{[s]} $$
後の設問のために、\(t = \displaystyle\frac{20}{7} \, \text{s}\) と分数の形で覚えておくと計算が楽になります。

ボールが地面に落ちるまでの時間は、ボールの「縦の動き」だけで決まります。この縦の動きは、同じ高さからボールを静かに落とす「自由落下」と同じです。高さ\(40 \, \text{m}\)を自由落下するのにかかる時間を、公式を使って計算します。

落下時間は約\(2.9 \, \text{s}\)と求まりました。正の値であり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
水平方向に飛んだ距離\(x\)を求める問題です。水平方向の運動は、初速度\(21 \, \text{m/s}\)の「等速直線運動」です。この速さで、(1)で求めた時間\(t\)だけ進んだ距離を計算します。
この設問における重要なポイント

• 水平投射の水平方向の運動は「等速直線運動」である。
• 移動距離は「速さ × 時間」で求められる。
• (1)で求めた時間\(t\)を、小数に丸める前の分数の形 \(\displaystyle\frac{20}{7} \, \text{s}\) で使うと計算が正確かつ簡単になる。

具体的な解説と立式
水平方向の運動は、速さ \(v_x = 21 \, \text{m/s}\) の等速直線運動です。
(1)で求めた落下時間 \(t = \displaystyle\frac{20}{7} \, \text{s}\) を用いて、水平距離\(x\)を計算します。
$$ x = v_x t $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= 21 \times \frac{20}{7} \\[2.0ex]&= 3 \times 20 \\[2.0ex]&= 60
\end{aligned}
$$
したがって、水平距離は \(60 \, \text{m}\) となります。

横方向には、秒速\(21 \, \text{m}\)の一定のスピードで進み続けます。(1)で、海面に落ちるまでの時間が約\(2.9\)秒（正確には \(\frac{20}{7}\) 秒）とわかったので、「速さ × 時間」で横に進んだ距離を計算します。

水平距離は\(60 \, \text{m}\)と求まりました。有効数字は2桁で適切です。時間\(t\)を分数のまま使ったことで、割り算が綺麗にできて計算ミスが減らせます。

問(3)

思考の道筋とポイント
海面に落下するときの「鉛直方向の速さ」\(v_y\)を求める問題です。鉛直方向の運動は自由落下なので、自由落下の速度公式 \(v_y = gt\) を使って計算します。
この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の速さは、自由落下によって時間とともに増加する。
• 自由落下の速度公式 \(v_y = gt\) を用いる。
• ここでも時間\(t\)は分数の形 \(\displaystyle\frac{20}{7} \, \text{s}\) で使う。

具体的な解説と立式
鉛直方向の運動は自由落下なので、時刻\(t\)における鉛直方向の速さ\(v_y\)は以下の式で表されます。
$$ v_y = gt $$
ここに、\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) と \(t = \displaystyle\frac{20}{7} \, \text{s}\) を代入します。

値を代入して計算します。\(9.8 = 1.4 \times 7\) であることを利用すると便利です。
$$
\begin{aligned}
v_y &= 9.8 \times \frac{20}{7} \\[2.0ex]&= \frac{9.8}{7} \times 20 \\[2.0ex]&= 1.4 \times 20 \\[2.0ex]&= 28
\end{aligned}
$$
したがって、鉛直方向の速さは \(28 \, \text{m/s}\) となります。

縦の動き（自由落下）に注目します。(1)で求めた時間だけ、重力によって加速された結果、下向きの速さがいくらになったかを計算します。これは「速さ = \(9.8 \times\) 時間」という公式で求められます。

鉛直方向の速さは\(28 \, \text{m/s}\)と求まりました。有効数字も2桁で適切です。

問(4)

思考の道筋とポイント
海面に落下するときの「速さ」\(v\)を求める問題です。これは、速度ベクトルの大きさを意味します。落下する瞬間の小石は、水平方向の速さ\(v_x\)と鉛直方向の速さ\(v_y\)の両方を持っています。この2つの速度成分は互いに直交しているため、三平方の定理を使って合成することで、全体の速さ\(v\)を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 速さ\(v\)は、水平速度\(v_x\)と鉛直速度\(v_y\)を合成した速度ベクトルの大きさである。
• \(v_x\)と\(v_y\)は直交するため、三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を用いて合成する。

具体的な解説と立式
海面に落下する瞬間の速度の成分は以下の通りです。

• 水平方向の速さ: \(v_x = 21 \, \text{m/s}\) （常に一定）
• 鉛直方向の速さ: \(v_y = 28 \, \text{m/s}\) （(3)で求めた値）

これらの成分を三平方の定理で合成します。
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

値を代入して計算します。
$$ v = \sqrt{21^2 + 28^2} $$
ここで、\(21 = 3 \times 7\)、\(28 = 4 \times 7\) であることに気づくと、計算が簡単になります。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(3 \times 7)^2 + (4 \times 7)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{3^2 \times 7^2 + 4^2 \times 7^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{(3^2 + 4^2) \times 7^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{(9 + 16) \times 7^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{25 \times 7^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{5^2 \times 7^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{(5 \times 7)^2} \\[2.0ex]&= 5 \times 7 = 35
\end{aligned}
$$
したがって、速さは \(35 \, \text{m/s}\) となります。

落下する瞬間の小石は、「横向きの速さ」と「下向きの速さ」の両方を持っています。この2つの速さは直角に交わっているので、全体の速さは、この2辺を持つ直角三角形の斜辺の長さに相当します。三平方の定理を使って、この斜辺の長さを計算します。

速さは\(35 \, \text{m/s}\)と求まりました。\(v_x:v_y = 21:28 = 3:4\) という辺の比から、合成後の速さは比が5の \(35 \, \text{m/s}\) となることが予測でき、計算結果と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と独立性:
  • 核心: 水平投射という2次元の運動を、互いに影響を及ぼさない「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下」という2つの1次元運動に分解して考える、という物理学の基本原則が全てです。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 速度は \(v_x = 21 \, \text{m/s}\) で常に一定。
    • 鉛直方向: 初速度0、加速度\(g\)の自由落下。
    • この2つの運動を結びつける唯一のパラメータが「時間 \(t\)」です。
• 速度の合成:
  • 核心: ある瞬間の物体の「速さ」は、その瞬間の速度の各成分（水平成分\(v_x\)と鉛直成分\(v_y\)）をベクトルとして合成した結果の大きさであることを理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 速度の成分\(v_x\)と\(v_y\)は互いに直交しているため、合成後の速さ\(v\)は三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を用いて計算できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 初速度が斜めの場合。水平方向は等速直線運動、鉛直方向は鉛直投げ上げ（または投げ下ろし）として分解します。鉛直方向の初速度\(v_{0y}\)が0でなくなる点が大きな違いです。
  • 特定の角度で地面に衝突する条件: 地面に衝突する角度が与えられている場合、それは速度の鉛直成分と水平成分の比、すなわち \(\tan\theta = \displaystyle\frac{v_y}{v_x}\) を意味します。この関係式を使って未知数を求める問題に応用できます。
  • 壁への衝突: 途中に垂直な壁があり、そこに衝突する時刻や高さを求める問題。壁までの水平距離が与えられていれば、まず水平方向の運動から衝突時刻\(t\)を求め、その\(t\)を使って鉛直方向の落下距離を計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 情報を方向別に整理する: 問題文から読み取れる情報を「水平方向」と「鉛直方向」に分けてメモします。（例：水平: \(v_x=21\), \(x=?\)。鉛直: \(h=40\), \(v_{0y}=0\), \(g=9.8\)）
  2. 時間\(t\)を求める経路を探す: ほとんどの放物運動の問題では、まず時間\(t\)を求めることが突破口になります。情報が豊富な方の運動（この問題では高さがわかっている鉛直方向）から\(t\)を計算します。
  3. 計算途中の値は分数で保持する: (1)で求めた時間\(t\)を、小数（\(2.9\)）に丸めてしまうと、(2)以降の計算で誤差が大きくなったり、計算が複雑になったりします。\(t = \displaystyle\frac{20}{7}\) のように分数のまま保持し、後の計算に代入するのが鉄則です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速さと速度成分の混同:
  • 誤解: (4)で速さ\(v\)を求めるときに、\(v_x\)と\(v_y\)を単純に足してしまう（\(21+28=49\)）。
  • 対策: 速度はベクトル量であり、向きを持つことを常に意識します。互いに直交するベクトルの合成は、三平方の定理で行うことを徹底します。速度の合成図（直角三角形）を描く習慣をつけると、ミスを防げます。
• 時間\(t\)の計算ミスと不適切な使用:
  • 誤解: \(t^2 = \displaystyle\frac{40}{4.9}\) の計算で、電卓に頼ってしまい、その後の計算が複雑になる。
  • 対策: \(4.9\)を見たら、分母分子を10倍して\(49=7^2\)を作る、というテクニックは非常に有効です。これにより、\(t=\displaystyle\frac{20}{7}\)という綺麗な分数が得られ、後の計算が劇的に楽になります。物理の計算では、このような工夫が求められることが多いです。
• 三平方の定理の計算ミス:
  • 誤解: \(\sqrt{21^2 + 28^2}\) を見て、そのまま \(441+784\) を計算してしまい、時間がかかったり計算ミスをしたりする。
  • 対策: 大きな数の平方根の計算では、まず「共通因数でくくる」ことを考えます。\(21=3 \times 7\), \(28=4 \times 7\) と因数分解することで、\(7^2\)をルートの外に出せ、中の計算が \(3^2+4^2=25=5^2\) という簡単なものになります。これは数学の計算テクニックですが、物理では頻出します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直方向: \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) と \(v_y = gt\):
  • 選定理由: (1)では落下距離\(h\)から時間\(t\)を、(3)では時間\(t\)から鉛直速度\(v_y\)を求めます。鉛直方向の運動は「自由落下」であり、これらの公式は自由落下における「距離と時間の関係」「速度と時間の関係」をそれぞれ直接記述するものです。
  • 適用根拠: 運動を鉛直方向に分解すると、初速度0、加速度\(g\)の等加速度直線運動となるため、これらの公式が適用できます。
• 水平方向: \(x = v_x t\):
  • 選定理由: (2)では水平距離\(x\)を求めます。水平方向の運動は「等速直線運動」であり、この公式は等速直線運動の「距離・速さ・時間」の関係を直接記述します。
  • 適用根拠: 運動を水平方向に分解すると、力が働かないため加速度0の等速直線運動となるため、この公式が適用できます。
• 速度の合成: \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\):
  • 選定理由: (4)では速さ\(v\)（速度ベクトルの大きさ）を求めます。速度の水平成分と鉛直成分が分かっている場合、それらを合成して全体の大きさを求めるには、ベクトルの合成（この場合は三平方の定理）が必要です。
  • 適用根拠: 速度ベクトルは、互いに直交する基底ベクトル（水平方向と鉛直方向）の線形結合で表せます。その大きさ（ノルム）は、ユークリッド空間の定義から、各成分の二乗和の平方根となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数を活用する: 上述の通り、計算途中で無理に小数にせず、分数のまま計算を進めることで、約分が利用でき、結果的に計算が簡単かつ正確になります。
• 比を活用する: (4)の速度の合成では、\(v_x:v_y = 21:28 = 3:4\) であることに気づけば、合成後の速さ\(v\)は、辺の比が \(3:4:5\) の直角三角形のアナロジーから、\(5 \times 7 = 35\) と暗算で求めることも可能です。このような有名な整数比（\(3:4:5\), \(5:12:13\)など）に気づく力は、計算時間を短縮する上で非常に有効です。
• 単位の一貫性を保つ: 計算に用いる全ての物理量の単位が、メートル（m）、秒（s）、キログラム（kg）などの基本単位系（SI単位系）に統一されていることを確認してから計算を始めることが、混乱を防ぐ基本です。

33 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射の運動解析」です。水平に投げ出された物体の運動を、水平方向と鉛直方向という互いに独立した2つの運動に分解して考えることが、問題を解く上での基本戦略となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Aに達するまでの時間\(t\)を求める問題です。時間は、水平方向の運動と鉛直方向の運動で共通のパラメータです。この問題では、鉛直方向の落下距離（机の高さ \(0.40 \, \text{m}\)）が与えられているため、鉛直方向の運動に着目して時間を計算するのが定石です。水平投射の鉛直方向の運動は「自由落下」と全く同じです。
この設問における重要なポイント

• 水平投射の鉛直方向の運動は、初速度0の「自由落下」とみなせる。
• 自由落下の落下距離と時間の関係式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を用いる。

具体的な解説と立式
投げ出した点を原点とし、鉛直下向きを正の向きとします。
机の高さは \(h = 0.40 \, \text{m}\)、重力加速度の大きさは \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) です。
鉛直方向の運動は自由落下なので、落下距離\(h\)と時間\(t\)の関係は以下の式で表されます。
$$ h = \frac{1}{2} g t^2 $$

上の式に数値を代入して、\(t\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
0.40 &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \\[2.0ex]0.40 &= 4.9 t^2 \\[2.0ex]t^2 &= \frac{0.40}{4.9}
\end{aligned}
$$
計算しやすいように、分母と分子を10倍します。
$$ t^2 = \frac{4.0}{49} $$
\(t>0\) なので、両辺の平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
t &= \sqrt{\frac{4.0}{49}} \\[2.0ex]&= \frac{2.0}{7.0} \\[2.0ex]&\approx 0.2857 \dots
\end{aligned}
$$
問題文の有効数字は2桁（\(0.40, 9.8\)）なので、答えも有効数字2桁に丸めます。
$$ t \approx 0.29 \, \text{[s]} $$
後の設問のために、\(t = \displaystyle\frac{2.0}{7.0} \, \text{s}\) と分数の形で覚えておくと計算が楽になります。

ボールが床に落ちるまでの時間は、ボールの「縦の動き」だけで決まります。この縦の動きは、同じ高さからボールを静かに落とす「自由落下」と同じです。高さ\(0.40 \, \text{m}\)を自由落下するのにかかる時間を、公式を使って計算します。

落下時間は約\(0.29 \, \text{s}\)と求まりました。正の値であり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
投げ出した速さ\(v_0\)を求める問題です。\(v_0\)は水平方向の速さなので、水平方向の運動（等速直線運動）に着目します。水平方向に進んだ距離（\(0.40 \, \text{m}\)）と、(1)で求めた落下時間\(t\)を使って計算します。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動は「等速直線運動」である。
• 移動距離は「速さ × 時間」で求められる。
• (1)で求めた時間\(t\)を、小数に丸める前の分数の形 \(\displaystyle\frac{2.0}{7.0} \, \text{s}\) で使うと計算が正確かつ簡単になる。

具体的な解説と立式
水平方向の運動は、速さ \(v_0\) の等速直線運動です。
水平方向に進んだ距離は \(x = 0.40 \, \text{m}\) です。
(1)で求めた落下時間 \(t = \displaystyle\frac{2.0}{7.0} \, \text{s}\) を用いて、等速直線運動の公式 \(x = v_0 t\) に値を代入します。
$$ 0.40 = v_0 \times \frac{2.0}{7.0} $$

上の式を\(v_0\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
v_0 &= 0.40 \times \frac{7.0}{2.0} \\[2.0ex]&= 0.20 \times 7.0 \\[2.0ex]&= 1.4
\end{aligned}
$$
したがって、投げ出した速さは \(1.4 \, \text{m/s}\) となります。

横の動きに注目します。「横に進んだ距離 = 横向きの速さ × 時間」という関係が成り立ちます。今、横に進んだ距離と時間がわかっているので、この式を使って横向きの速さを逆算します。

投げ出した速さは\(1.4 \, \text{m/s}\)と求まりました。有効数字は2桁で適切です。時間\(t\)を分数のまま使ったことで、計算が簡単になりました。

問(3)

思考の道筋とポイント
水平到達距離を2倍にするために、初速度を何倍にすればよいかを考える問題です。水平到達距離の公式 \(x = v_0 t\) に含まれる各変数が、この操作によってどう変わるか（あるいは変わらないか）を考察します。
この設問における重要なポイント

• 投げる高さを変えない限り、落下時間\(t\)は変わらない。
• 水平到達距離\(x\)は、落下時間\(t\)が一定の場合、初速度\(v_0\)に正比例する。

具体的な解説と立式
水平到達距離\(x\)は、初速度\(v_0\)と落下時間\(t\)を用いて \(x = v_0 t\) と表されます。
点Bは点Aより2倍離れているので、目標とする水平到達距離は \(x’ = 2x\) です。
このときの初速度を \(v_0’\) とします。
小球を投げる高さは変わらないので、鉛直方向の運動（自由落下）の様子は変わらず、落下時間\(t\)は一定です。
したがって、新しい条件での関係式は、
$$ x’ = v_0′ t $$
となります。ここに \(x’ = 2x\) と \(x = v_0 t\) を代入すると、
$$ 2(v_0 t) = v_0′ t $$
時間\(t\)は0ではないので、両辺を\(t\)で割ることができます。
$$ v_0′ = 2v_0 $$
これは、新しい初速度\(v_0’\)が、もとの初速度\(v_0\)の2倍であることを示しています。

この設問は物理法則の比例関係を問うものであり、具体的な数値計算は不要です。

ボールが空中にいる時間（落下時間）は、投げる高さが同じなら、横に投げる速さを変えても変わりません。同じ時間で2倍遠くまでボールを飛ばしたい場合、単純に考えて、2倍の速さで投げてあげればよいということになります。

水平到達距離を2倍にするには、初速度を2倍にする必要があります。これは、水平到達距離が初速度に比例するという物理法則から導かれる、論理的に正しい結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と独立性:
  • 核心: 水平投射の運動は、互いに影響を及ぼさない「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下」という2つの単純な運動の組み合わせとして完全に記述できる、という物理学の基本原則を理解することが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないため、速度は初速度\(v_0\)のまま一定です。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くため、初速度0、加速度\(g\)の自由落下運動をします。
    • 落下時間: 落下時間\(t\)は、投げる高さ\(h\)のみによって決まり、水平方向の初速度\(v_0\)の大きさには依存しません。これは非常に重要な性質です。
• 水平到達距離と初速度の比例関係:
  • 核心: 水平到達距離を表す式 \(x = v_0 t\) から、落下時間\(t\)が一定（つまり、投げる高さが同じ）であれば、水平到達距離\(x\)は初速度\(v_0\)に正比例することを理解すること。
  • 理解のポイント:
    • この比例関係を理解していれば、(3)の問いは具体的な計算をせずとも、「距離を2倍にするなら、速さも2倍にすればよい」と即座に結論を導き出せます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 初速度が斜め上向きの場合。鉛直方向の運動が自由落下ではなく「鉛直投げ上げ」に変わるだけで、運動を分解して考える基本アプローチは全く同じです。
  • 未知数が異なる問題: 例えば、初速度\(v_0\)と落下時間\(t\)が与えられ、高さ\(h\)と水平距離\(x\)を求める問題。あるいは、高さ\(h\)と水平距離\(x\)が与えられ、初速度\(v_0\)と時間\(t\)を求める問題（今回の問題構成）。どの組み合わせでも、2つの方向の運動方程式を連立させることで解けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 情報を方向別に整理する: 問題文から読み取れる数値を「水平方向の情報」と「鉛直方向の情報」に分けてメモします。（例：水平: \(x=0.40\), \(v_0=?\)。鉛直: \(h=0.40\), \(v_{0y}=0\)）
  2. 時間\(t\)を求める: ほとんどの場合、まず時間\(t\)を求めることが突破口になります。情報が揃っている方の運動（この問題では高さがわかっている鉛直方向）から\(t\)を計算します。
  3. 比例関係を疑う: (3)のように「〜を何倍にすればよいか」という問いは、物理法則における比例・反比例の関係を問うています。具体的な数値を代入して再計算するのではなく、関係式（今回は \(x=v_0t\)）を眺めて、変数の関係性から答えを導く方が速く、本質的な理解にもつながります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 落下時間は初速度に依存するという誤解:
  • 誤解: (3)で、速く投げたら空中にいる時間も変わるだろうと考えてしまい、複雑な計算を始めてしまう。
  • 対策: 「同じ高さから投げれば、どんなに速く横に投げても、真下にポトンと落としても、地面に着くまでの時間は同じ」という、水平投射の最も重要な性質を肝に銘じましょう。これは、鉛直方向の運動が水平方向の運動から独立していることの直接的な帰結です。
• 計算途中の値の丸め誤差:
  • 誤解: (1)で求めた \(t \approx 0.29 \, \text{s}\) を使って(2)の計算をすると、\(v_0 = 0.40 / 0.29 \approx 1.379…\) となり、答えが微妙にずれたり、計算が面倒になったりする。
  • 対策: 計算の途中では、平方根や分数の形（\(t = \displaystyle\frac{2.0}{7.0}\)）を保ったまま次の計算に進むのが鉄則です。これにより、約分などの恩恵を受けられ、計算が正確かつ簡単になります。
• 水平方向と鉛直方向の情報の混同:
  • 誤解: (1)で時間\(t\)を求めるときに、水平距離\(0.40 \, \text{m}\)を使ってしまう。あるいは(2)で初速度\(v_0\)を求めるときに、高さ\(0.40 \, \text{m}\)を使ってしまう。
  • 対策: 立式する前に、必ず「これは水平方向の話か？鉛直方向の話か？」と自問自答する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直方向: \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\):
  • 選定理由: (1)では、与えられた情報（落下距離\(y=h\)）と求めたい情報（時間\(t\)）を直接結びつける公式が必要です。鉛直方向の運動は自由落下であり、この公式がその要求に合致します。
  • 適用根拠: 運動を鉛直方向に分解すると、初速度0、加速度\(g\)の等加速度直線運動となるため、この公式が適用できます。
• 水平方向: \(x = v_0t\):
  • 選定理由: (2)では、与えられた情報（水平距離\(x\)）と(1)で求めた時間\(t\)、そして求めたい情報（初速度\(v_0\)）の3つを結びつける公式が必要です。水平方向の運動は等速直線運動であり、この公式がその要求に合致します。
  • 適用根拠: 運動を水平方向に分解すると、力が働かないため加速度0の等速直線運動となるため、この公式が適用できます。
• (3)の比例関係の考察:
  • 選定理由: (3)は具体的な値を求めるのではなく、変数間の関係性を問うています。したがって、個別の計算式ではなく、物理法則を一般的に表す \(x=v_0t\) という関係式そのものを分析の対象とします。
  • 適用根拠: 物理法則の普遍性に基づき、\(t\)が一定という条件下で\(x\)と\(v_0\)の関係を考察します。\(x\)が\(v_0\)の1乗に比例していることから、\(x\)を2倍にするには\(v_0\)も2倍にする必要があると論理的に結論付けられます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数を活用する: 計算途中で無理に小数にせず、\(t = \displaystyle\frac{2.0}{7.0}\) のように分数のまま計算を進めることで、(2)の計算 \(v_0 = 0.40 \times \displaystyle\frac{7.0}{2.0}\) のように約分が使え、計算が簡単かつ正確になります。
• 平方根の計算テクニック: \(t^2 = \displaystyle\frac{0.40}{4.9}\) のような形が出てきたら、すぐに電卓に頼るのではなく、分母分子を10倍して \(t^2 = \displaystyle\frac{4.0}{49}\) と変形し、平方根が簡単に求められる形（\(\sqrt{4.0}=2.0, \sqrt{49}=7.0\)）にできないか試みる癖をつけましょう。
• 有効数字の管理: 計算の途中では有効数字より1桁多く計算するか、分数のまま保持し、最終的な答えを出す段階で、問題文で与えられた数値の最も少ない有効数字の桁数（この問題では2桁）に合わせるようにしましょう。

34 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射の運動解析」です。斜め上方に投げ出された物体の運動を、互いに影響しない水平方向と鉛直方向の2つの運動に分解して考えることが基本となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が最高点に達するまでの時間\(t\)と、その高さ\(h\)を求める問題です。斜方投射は、水平方向と鉛直方向の運動に分解して考えます。
「最高点に達する」という現象は、鉛直方向の運動に注目したときに「速度が0になる」瞬間です。したがって、まず鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）の公式を使って時間\(t\)を求めます。
次に、高さ\(h\)を求めます。これも鉛直方向の変位なので、今求めた時間\(t\)を使って変位の公式から計算する方法と、時間を含まない公式を使って直接計算する方法（別解）があります。
この設問における重要なポイント

• 斜方投射は、水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「鉛直投げ上げ」の組み合わせである。
• 最高点では、鉛直方向の速度成分\(v_y\)が0になる。
• 座標軸の向き（例：鉛直上向きを正）を定め、加速度の符号（\(a_y = -g\)）を正しく扱う。

具体的な解説と立式
投げ出した点を原点とし、水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。
初速度の成分は、\(v_{0x} = 10 \, \text{m/s}\)、\(v_{0y} = 9.8 \, \text{m/s}\)です。
重力加速度の大きさは \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) なので、加速度の成分は \(a_x = 0\)、\(a_y = -g = -9.8 \, \text{m/s}^2\) となります。

最高点までの時間 \(t\) の計算
鉛直方向の運動に着目します。最高点では鉛直方向の速度 \(v_y\) が0になるので、鉛直投げ上げの速度の公式 \(v_y = v_{0y} + a_y t\) を用いて立式します。
$$ 0 = v_{0y} – gt \quad \cdots ① $$

最高点の高さ \(h\) の計算
求めた時間\(t\)を用いて、鉛直方向の変位の公式 \(y = v_{0y}t + \displaystyle\frac{1}{2}a_y t^2\) から高さ\(h\)を求めます。
$$ h = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$

時間 \(t\) の計算
式①に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
0 &= 9.8 – 9.8 \times t \\[2.0ex]9.8t &= 9.8 \\[2.0ex]t &= 1.0 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$

高さ \(h\) の計算
式②に \(t=1.0 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= 9.8 \times 1.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.0)^2 \\[2.0ex]&= 9.8 – 4.9 \\[2.0ex]&= 4.9 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

ボールを斜めに投げたときの「縦の動き」は、真上にボールを投げる「鉛直投げ上げ」と同じです。一番高いところ（最高点）では、縦向きのスピードが一瞬だけ0になります。この性質を使って、「縦向きの初速度が\(9.8 \, \text{m/s}\)で、だんだん遅くなって0になるまでの時間」を計算します。
高さは、その時間でどれだけ上に進んだかを計算すれば求まります。

最高点に達するまでの時間は \(1.0 \, \text{s}\)、最高点の高さは \(4.9 \, \text{m}\) です。別解でも同じ結果が得られ、計算が正しいことが確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
水平到達距離\(l\)を求める問題です。水平到達距離は、水平方向の運動（等速直線運動）の速さと、全飛行時間によって決まります。
水平方向の速さは \(10 \, \text{m/s}\) で与えられています。
全飛行時間は、運動の対称性から、(1)で求めた最高点までの時間の2倍になります。
この設問における重要なポイント

• 斜方投射の運動の対称性: 上昇時間 = 下降時間。
• 全飛行時間 = 2 × (最高点までの時間)。
• 水平方向は、初速度の水平成分のまま進む「等速直線運動」である。

具体的な解説と立式
(1)より、最高点に達するまでの時間は \(t = 1.0 \, \text{s}\) です。
地面から投げて地面に戻る運動なので、運動の対称性から、最高点から地面に落下するまでの時間も同じく \(1.0 \, \text{s}\) となります。
したがって、全飛行時間\(T\)は、
$$
\begin{aligned}
T &= 2t \\[2.0ex]&= 2 \times 1.0 \\[2.0ex]&= 2.0 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$
この時間\(T\)の間、小球は水平方向に速さ \(v_x = 10 \, \text{m/s}\) の等速直線運動をしています。
水平到達距離\(l\)は、等速直線運動の公式 \((\text{距離}) = (\text{速さ}) \times (\text{時間})\) を用いて立式します。
$$ l = v_x T $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
l &= 10 \times 2.0 \\[2.0ex]&= 20 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

ボールが上がってから落ちてくるまでの全飛行時間は、(1)で求めた最高点までの時間のちょうど2倍です。この場合、\(1.0 \times 2 = 2.0\)秒間、ボールは空中にいます。
その間、ボールは横方向にずっと秒速\(10 \, \text{m}\)の一定の速さで進んでいます。
したがって、横に進んだ距離は「横向きの速さ \(10 \, \text{m/s}\) × 全飛行時間 \(2.0 \, \text{s}\)」で計算できます。

水平到達距離は \(20 \, \text{m}\) と求まりました。有効数字も2桁で適切です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と独立性:
  • 核心: 斜方投射という2次元の運動を、互いに影響を及ぼさない「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ」という2つの1次元運動に分解して考えることができる、という物理学の基本原則が全てです。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないため、速度は初速度の水平成分 \(v_x = 10 \, \text{m/s}\) のまま常に一定です。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くため、初速度の鉛直成分 \(v_{0y} = 9.8 \, \text{m/s}\) を持つ鉛直投げ上げ運動をします。加速度は常に鉛直下向きに\(g\)です。
• 最高点の物理的条件:
  • 核心: 物体が軌道の最高点に達した瞬間、その速度の「鉛直成分」が0になる (\(v_y=0\)) という事実を理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 最高点でも水平方向の速度は失われておらず、\(v_x = 10 \, \text{m/s}\) のままです。物体は静止するわけではありません。
    • この \(v_y=0\) という条件が、最高点までの時間や高さを計算する上での出発点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 初速度の角度と大きさから解く問題: この問題では初速度が成分で与えられていますが、初速度の大きさと角度（例：\(v_0=20 \, \text{m/s}\), \(\theta=30^\circ\)）で与えられる場合もあります。その際は、まず \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\), \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\) のように成分に分解する作業が最初に必要になります。
  • 水平到達距離が最大になる角度: 初速度の大きさが一定の場合、投射角が45°のときに水平到達距離が最大になる、という有名な性質を問う問題。
  • 打ち下ろし・打ち上げ: ビルの屋上から斜め下に投げたり（打ち下ろし）、谷底から向かいの崖に向かって投げたり（打ち上げ）する問題。運動の対称性が崩れるため、上昇時間と下降時間は等しくなりません。鉛直方向の変位が0でない等加速度運動として、2次方程式を解く必要が出てくる場合があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動を分解する: 問題が斜方投射だと分かったら、すぐに思考を「水平方向」と「鉛直方向」に分けます。
  2. 各方向の運動モデルを確定する: 水平方向は「等速直線運動」、鉛直方向は「鉛直投げ上げ」と確定し、それぞれの運動で使う公式を頭に思い浮かべます。
  3. 最高点・地面への落下などの条件を数式化する:
     • 「最高点」 \(\rightarrow\) \(v_y=0\)
     • 「地面に落下」 \(\rightarrow\) 鉛直方向の変位 \(y=0\)

     これらの条件を、等加速度運動の公式に代入して方程式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 加速度の符号ミス:
  • 誤解: 鉛直上向きを正と定めたにもかかわらず、重力加速度を \(a_y = g = +9.8\) として計算してしまう。
  • 対策: 最初に座標軸の向き（例：上向きを正）を定めたら、その向きと逆向きのベクトル量（この場合は重力加速度）には必ず負の符号をつける（\(a_y = -g\)）ことを徹底します。
• 最高点で速度が0になるという誤解:
  • 誤解: 最高点では物体が一瞬止まる、つまり速度が完全に0になると勘違いする。
  • 対策: 最高点で0になるのは「鉛直方向の速度成分」のみです。水平方向の速度は常に存在し続けていることを理解しましょう。図を描いて、各点での速度ベクトル（水平成分と鉛直成分の合成）をイメージする癖をつけると良いです。
• 時間の使い方を間違える:
  • 誤解: (2)で水平到達距離を求めるときに、(1)で求めた最高点までの時間（\(1.0 \, \text{s}\)）をそのまま使ってしまう。
  • 対策: 水平到達距離は「全飛行時間」で決まります。運動の対称性を思い出し、「全飛行時間 = 最高点までの時間 × 2」であることを確認してから計算に入りましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直方向: \(v_y = v_{0y} – gt\):
  • 選定理由: (1)で最高点までの時間\(t\)を求める際に、最高点の条件（\(v_y=0\)）と初速度\(v_{0y}\)、加速度\(-g\)を直接結びつける最もシンプルな公式だからです。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動は、初速度\(v_{0y}\)、加速度\(-g\)の等加速度直線運動としてモデル化できるため、この公式が適用できます。
• 鉛直方向: \(h = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) または \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gh\):
  • 選定理由: 最高点の高さ\(h\)を求めるためです。前者は時間\(t\)を使って計算し、後者（別解）は時間\(t\)を使わずに計算できます。後者の方が計算は楽ですが、どちらも同じ結果を与えます。問題に応じて使い分けるのが賢明です。
  • 適用根拠: どちらも鉛直方向の等加速度直線運動を記述する正しい公式です。
• 水平方向: \(l = v_x T\):
  • 選定理由: (2)で水平到達距離\(l\)を求めるためです。水平方向の運動は等速直線運動であり、この公式が距離、速さ、時間（全飛行時間\(T\)）の関係を直接記述します。
  • 適用根拠: 水平方向には力が働かないため、運動は単純な等速直線運動としてモデル化でき、この公式が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(g=9.8\) の扱いに慣れる:
  • この問題では、初速度の鉛直成分が \(v_{0y}=9.8 \, \text{m/s}\) と、重力加速度の大きさと全く同じ値に設定されています。これにより、\(t = v_{0y}/g = 9.8/9.8 = 1.0\) のように、計算が非常に簡単になります。問題作成者の意図を汲み取り、楽に計算できることに気づくことが重要です。
• 対称性の活用:
  • (2)で全飛行時間を求める際に、わざわざ「高さ\(4.9 \, \text{m}\)から自由落下する時間」を再計算するのではなく、「上昇時間と下降時間は等しい」という対称性を利用することで、即座に \(T=2t=2.0 \, \text{s}\) と結論できます。物理法則の対称性は、計算を大幅に簡略化する強力なツールです。
• 単位の確認:
  • 計算に使う全ての物理量が、m, s, m/s, m/s² といった基本単位に揃っていることを確認してから計算を始めましょう。

35 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射の公式導出」です。斜め上方に投げ出された物体の運動を、文字式を用いて一般的に解析します。水平方向と鉛直方向の運動に分解して考えることが基本戦略となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
初速度ベクトル\(v_0\)を、水平方向の成分\(v_{0x}\)と鉛直方向の成分\(v_{0y}\)に分解する問題です。図に示されているように、初速度ベクトルを斜辺とし、各成分を隣辺・対辺とする直角三角形を考え、三角比の定義を適用します。
この設問における重要なポイント

• ベクトルの分解には三角比（\(\cos\theta, \sin\theta\)）を用いる。
• 水平成分（x成分）は角度\(\theta\)に隣接する辺、鉛直成分（y成分）は角度\(\theta\)の対辺に対応する。

具体的な解説と立式
投げ出した点を原点とし、水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。
初速度\(v_0\)とx軸のなす角が\(\theta\)なので、三角比の定義から、
$$ \cos\theta = \frac{v_{0x}}{v_0} $$
$$ \sin\theta = \frac{v_{0y}}{v_0} $$
これらの式を、それぞれ\(v_{0x}\)と\(v_{0y}\)について解きます。

この設問は文字式の変形であり、具体的な数値計算は不要です。
$$ v_{0x} = v_0 \cos\theta $$
$$ v_{0y} = v_0 \sin\theta $$

斜め向きの矢印（初速度）を、真横向きの矢印（水平成分）と真上向きの矢印（鉛直成分）の2つに分解します。このとき、三角関数のサインとコサインを使うことで、それぞれの成分の大きさを計算できます。

初速度の水平成分は\(v_0 \cos\theta\)、鉛直成分は\(v_0 \sin\theta\)となります。これはベクトルの成分分解の基本であり、今後の放物運動の問題を解く上での出発点となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球が最高点に達するまでの時間\(t\)と、その高さ\(h\)を求める問題です。
「最高点に達する」という現象は、鉛直方向の運動に注目したときに「鉛直方向の速度が0になる」瞬間です。したがって、まず鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）の公式を使って時間\(t\)を求めます。
次に、高さ\(h\)を求めます。これも鉛直方向の変位なので、求めた時間\(t\)を使って変位の公式から計算する方法と、時間を含まない公式を使って直接計算する方法があります。
この設問における重要なポイント

• 最高点では、鉛直方向の速度成分\(v_y\)が0になる。
• 鉛直方向の運動は、初速度\(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)、加速度\(-g\)の等加速度直線運動である。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とします。

最高点までの時間 \(t\) の計算
鉛直方向の速度の式 \(v_y = v_{0y} – gt\) を用います。最高点では\(v_y=0\)となるので、
$$ 0 = v_0 \sin\theta – gt $$

最高点の高さ \(h\) の計算
求めた時間\(t\)を用いて、鉛直方向の変位の式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) から高さ\(h\)を求めます。
$$ h = (v_0 \sin\theta)t – \frac{1}{2}gt^2 $$

時間 \(t\) の計算
$$
\begin{aligned}
0 &= v_0 \sin\theta – gt \\[2.0ex]gt &= v_0 \sin\theta \\[2.0ex]t &= \frac{v_0 \sin\theta}{g}
\end{aligned}
$$

高さ \(h\) の計算
求めた\(t\)を高さの式に代入します。
$$
\begin{aligned}
h &= (v_0 \sin\theta) \left( \frac{v_0 \sin\theta}{g} \right) – \frac{1}{2}g \left( \frac{v_0 \sin\theta}{g} \right)^2 \\[2.0ex]&= \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g} – \frac{1}{2}g \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g^2} \\[2.0ex]&= \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g} – \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \\[2.0ex]&= \frac{2v_0^2 \sin^2\theta – v_0^2 \sin^2\theta}{2g} \\[2.0ex]&= \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}
\end{aligned}
$$

縦の動きだけを見ると、真上にボールを投げる「鉛直投げ上げ」と同じです。一番高いところ（最高点）では、縦向きのスピードが一瞬だけ0になります。この性質を使って、最高点までの時間を計算します。
高さは、その時間でどれだけ上に進んだかを計算すれば求まります。時間を使わない公式を使うと、もっと楽に計算できます。

最高点までの時間と高さが、初速度\(v_0\)、角度\(\theta\)、重力加速度\(g\)を用いて表せました。これらは斜方投射における重要な公式です。

問(3)

思考の道筋とポイント
水平到達距離\(l\)を求める問題です。水平到達距離は、「水平方向の速さ × 全飛行時間」で決まります。
水平方向の速さは(1)で求めた\(v_{0x}\)です。
全飛行時間は、運動の対称性から、(2)で求めた最高点までの時間\(t\)の2倍になります。
この設問における重要なポイント

• 運動の対称性: 上昇時間と下降時間は等しいので、全飛行時間 \(T = 2t\)。
• 水平方向は、初速度の水平成分のまま進む「等速直線運動」である。
• 三角関数の倍角の公式 \(2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta\) を用いて式を整理する。

具体的な解説と立式
(2)より、最高点に達するまでの時間は \(t = \displaystyle\frac{v_0 \sin\theta}{g}\) です。
運動の対称性から、全飛行時間\(T\)は、
$$ T = 2t = \frac{2v_0 \sin\theta}{g} $$
この時間\(T\)の間、小球は水平方向に速さ \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) の等速直線運動をしています。
水平到達距離\(l\)は、等速直線運動の公式を用いて立式します。
$$ l = v_{0x} T $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
l &= (v_0 \cos\theta) \times \left( \frac{2v_0 \sin\theta}{g} \right) \\[2.0ex]&= \frac{2v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g}
\end{aligned}
$$
ここで、問題文のヒントにある倍角の公式 \(2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta\) を用いて式を整理します。
$$ l = \frac{v_0^2 \sin2\theta}{g} $$

ボールが上がって落ちてくるまでの全飛行時間は、(2)で求めた最高点までの時間のちょうど2倍です。その間、ボールは横方向にずっと一定の速さで進んでいます。したがって、横に進んだ距離は「横向きの速さ × 全飛行時間」で計算できます。

水平到達距離の公式が導出できました。この式は、初速度の大きさと角度から直接飛距離を計算できるため、非常に有用です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)で求めた水平到達距離\(l\)が最大になる角度\(\theta\)を求める問題です。\(l\)の式に含まれる変数と定数を区別し、何が変化したときに\(l\)が最大になるかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 初速度の大きさ\(v_0\)と重力加速度\(g\)は一定（定数）として扱う。
• 水平到達距離\(l\)は、三角関数 \(\sin2\theta\) の値に比例する。
• 三角関数 \(\sin\) の値は、-1から1の範囲をとり、最大値は1である。

具体的な解説と立式
(3)で求めた水平到達距離の式は、
$$ l = \frac{v_0^2}{g} \sin2\theta $$
です。ここで、初速度の大きさ\(v_0\)と重力加速度\(g\)は一定です。したがって、\(l\)が最大になるのは、\(\sin2\theta\)が最大値をとるときです。
三角関数の性質より、\(\sin\)の最大値は1なので、
$$ \sin2\theta = 1 $$
この条件を満たす角度\(\theta\)を求めます。

\(\sin2\theta = 1\) となる\(2\theta\)の値を考えます。
小球を投げ上げるので、角度\(\theta\)の範囲は \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) と考えられます。したがって、\(2\theta\)の範囲は \(0^\circ < 2\theta < 180^\circ\) です。
この範囲で \(\sin2\theta = 1\) を満たすのは、
$$ 2\theta = 90^\circ $$
したがって、
$$ \theta = 45^\circ $$

一番遠くまでボールを飛ばすには、どの角度で投げればいいか、という問題です。(3)で作った飛距離の公式を見ると、飛距離は \(\sin(2 \times \text{角度})\) という部分の大きさで決まることがわかります。この部分が一番大きくなるのは、\(\sin\)の値が最大値である1になるときです。それは、\(\sin\)の中身が\(90^\circ\)になるときなので、\(2 \times \text{角度} = 90^\circ\) となり、角度は\(45^\circ\)と求まります。

水平到達距離が最大になる投射角は\(45^\circ\)であることがわかりました。これは、空気抵抗を無視した場合の斜方投射における非常に有名な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と独立性（一般化）:
  • 核心: この問題は、具体的な数値ではなく文字式を用いて、斜方投射の運動を一般的に解析するものです。その根幹にあるのは、2次元の運動を「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ」という2つの独立した運動に分解して考えるという、普遍的なアプローチです。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 速度は \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) で常に一定。
    • 鉛直方向: 初速度 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動。
    • この問題で導出される一連の公式（時間、高さ、距離）は、この分解から論理的に導かれる帰結です。
• 物理条件の数式化:
  • 核心: 「最高点に達する」という物理的な現象を、「鉛直方向の速度成分が0になる (\(v_y=0\))」という数式上の条件に翻訳する能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • この \(v_y=0\) という条件を、鉛直方向の運動を記述する等加速度直線運動の公式に代入することが、時間\(t\)や高さ\(h\)を求めるための突破口となります。
• 水平到達距離の最大化条件:
  • 核心: 導出した水平到達距離の公式 \(l = \displaystyle\frac{v_0^2 \sin2\theta}{g}\) を分析し、どのパラメータを変化させると\(l\)が最大になるかを考察する能力。
  • 理解のポイント:
    • \(v_0\)と\(g\)が一定であるという条件下では、\(l\)の値は \(\sin2\theta\) の値のみに依存します。
    • 三角関数 \(\sin\) の最大値が1であることを利用して、最大到達距離を与える角度を求めます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 公式の暗記と導出のバランス:
  • この問題で導出する一連の公式（最高点までの時間 \(t\)、高さ \(h\)、水平到達距離 \(l\)）は非常に重要で、覚えておくと具体的な数値問題で時間を大幅に短縮できます。
  • しかし、公式の導出過程を理解しておくことがより重要です。なぜなら、打ち下ろしや高さの違う場所への着地など、公式がそのまま使えない「非対称」な問題に対応する力が養われるからです。
• 対称性のフル活用:
  • 時間: 上昇時間と下降時間は等しい (\(T=2t\))。
  • 速度: 同じ高さでは、上昇するときの速さと下降するときの速さは等しい。速度の鉛直成分は符号が逆になる (\(v_y \rightarrow -v_y\))。
  • これらの対称性を利用することで、計算を簡略化したり、検算を行ったりすることができます。
• 水平到達距離の公式の応用:
  • 公式 \(l = \displaystyle\frac{v_0^2 \sin2\theta}{g}\) から、同じ初速度の大きさ\(v_0\)で投げる場合、投射角が \(\theta\) のときと \(90^\circ – \theta\) のときで水平到達距離が同じになることがわかります（例：30°と60°）。これは \(\sin(2(90^\circ – \theta)) = \sin(180^\circ – 2\theta) = \sin2\theta\) となるためです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ベクトルの成分分解ミス:
  • 誤解: 水平成分と鉛直成分で \(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) を取り違える。
  • 対策: 常に初速度ベクトルを斜辺とする直角三角形を描き、角度\(\theta\)に対して「隣辺がコサイン、対辺がサイン」と確認する癖をつけましょう。
• 三角関数の計算ミス:
  • 誤解: \((v_0 \sin\theta)^2\) を \(v_0 \sin^2\theta\) と誤記したり、\(v_0^2 \sin\theta^2\) のように間違って展開したりする。正しくは \(v_0^2 \sin^2\theta\) です。
  • 対策: \(\sin^2\theta\) は \((\sin\theta)^2\) を意味するという数学の基本的な表記ルールを再確認しましょう。
• 倍角の公式の適用忘れ:
  • 誤解: (3)で \(l = \displaystyle\frac{2v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g}\) のまま解答を終えてしまう。
  • 対策: 問題文に「必要があれば〜を用いよ」というヒントがある場合は、必ずそれを使って式を最終形まで整理する意識を持ちましょう。物理では、しばしば数学の公式を使って結果をよりシンプルで美しい形にまとめることが求められます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 初速度の分解 (\(v_{0x} = v_0 \cos\theta, v_{0y} = v_0 \sin\theta\)):
  • 選定理由: 2次元の運動を、扱いやすい1次元の運動（等速直線運動と等加速度直線運動）に分けるための、最初の必須ステップだからです。
  • 適用根拠: ベクトルは互いに直交する成分の和として表現できるという数学的な原理に基づいています。
• 鉛直方向の速度式 (\(v_y = v_{0y} – gt\)):
  • 選定理由: (2)で最高点までの時間\(t\)を求めるのに最も適しています。なぜなら、最高点の物理的条件 \(v_y=0\) を使って、未知数\(t\)に関する簡単な一次方程式を立てることができるからです。
• 時間を含まない式 (\(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\)):
  • 選定理由: (2)の別解で高さ\(h\)を求めるのに非常に有効です。時間\(t\)を計算せずに\(h\)を直接求められるため、計算が簡潔になり、\(t\)の計算ミスが\(h\)に影響するのを防げます。
• 水平到達距離の最大値問題:
  • 選定理由: (4)は最適化問題です。導出した \(l = \displaystyle\frac{v_0^2}{g} \sin2\theta\) という関数において、変数\(\theta\)を動かしたときに\(l\)が最大になる条件を探します。
  • 適用根拠: \(v_0\)と\(g\)が定数であることから、\(l\)の最大化は \(\sin2\theta\) の最大化問題に帰着します。これは、関数の挙動をその構成要素に分解して分析するという、科学的な思考法そのものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の丁寧な扱い:
  • 分数の計算や通分、文字の次数（例：\(v_0\) と \(v_0^2\)）などを、焦らず丁寧に処理することが重要です。特に(2)の高さ\(h\)の計算のように、項が複数ある場合は符号にも注意しましょう。
• 公式の導出を練習する:
  • この問題で扱った一連の公式は、何も見ずに自力で導出できるようになるまで繰り返し練習することが、計算力と物理的思考力の両方を鍛える最良の方法です。
• 変数の区別を明確に:
  • 問題を解く際に、何が初期条件として与えられた定数（\(v_0, g, \theta\)）で、何が求めるべき変数（\(t, h, l\)）なのかを常に意識しましょう。(4)のように、今度は\(\theta\)が変数になるなど、状況に応じて定数と変数の役割が変わることもあります。

36 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「高さのある場所からの斜方投射（打ち上げ）」です。投げた地点と落下地点の高さが異なる、より一般的な放物運動を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
最高点に達するまでの時間\(t_1\)を求める問題です。この問題は、まず初速度を水平成分と鉛直成分に分解することから始まります。「最高点に達する」とは、鉛直方向の速度が0になる瞬間を指すため、鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）に注目して立式します。
この設問における重要なポイント

• 初速度の分解: \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\), \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)。
• 最高点の条件: 鉛直方向の速度成分 \(v_y = 0\)。
• 鉛直方向の運動は、初速度\(v_{0y}\)、加速度\(-g\)の等加速度直線運動である。

具体的な解説と立式
塔の上を原点(0, 0)とし、水平右向きをx軸の正、鉛直上向きをy軸の正とします。
初速度 \(v_0 = 19.6 \, \text{m/s}\)、角度 \(\theta = 30^\circ\) を成分分解します。
$$ v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ $$
$$ v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ $$
鉛直方向の運動について、速度の式 \(v_y = v_{0y} – gt\) を立てます。最高点では \(v_y=0\) なので、そのときの時間を\(t_1\)とすると、
$$ 0 = v_{0y} – gt_1 $$

まず初速度の成分を計算します。
水平成分\(v_{0x}\)は、
$$
\begin{aligned}
v_{0x} &= 19.6 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= 9.8\sqrt{3} \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
鉛直成分\(v_{0y}\)は、
$$
\begin{aligned}
v_{0y} &= 19.6 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex]&= 19.6 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 9.8 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、これらの値を用いて時間\(t_1\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
0 &= 9.8 – 9.8 t_1 \\[2.0ex]9.8 t_1 &= 9.8 \\[2.0ex]t_1 &= 1.0 \, \text{[s]}
\end{aligned}
$$

まず、斜め上向きの初速度を「横向きの速さ」と「縦向きの速さ」に分けます。ボールが最高点に達したとき、縦向きの速さだけが一瞬0になります。このことを利用して、縦の動き（鉛直投げ上げ）の公式から、最高点までの時間を計算します。

最高点に達するまでの時間は\(1.0 \, \text{s}\)と求まりました。有効数字2桁で適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「地上から」の最高点の高さ\(H\)を求める問題です。これは、「塔の高さ」と「塔の上から最高点までの高さ\(h\)」の和で求められます。まず、後者の\(h\)を計算します。これは、(1)で求めた時間\(t_1\)の間の鉛直方向の変位に相当します。
この設問における重要なポイント

• 求める高さ\(H\)は、塔の高さ\(39.2 \, \text{m}\)と、投げた点からの上昇分\(h\)の合計である。
• 投げた点からの上昇分\(h\)は、鉛直方向の運動の変位として計算する。

具体的な解説と立式
塔の上から最高点までの高さ\(h\)は、時間\(t_1\)での鉛直方向の変位です。変位の式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を用います。
$$ h = v_{0y}t_1 – \frac{1}{2}gt_1^2 $$
地上からの最高点の高さ\(H\)は、塔の高さ\(39.2 \, \text{m}\)との和になります。
$$ H = 39.2 + h $$

まず、塔の頂上からの高さ\(h\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
h &= 9.8 \times 1.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.0)^2 \\[2.0ex]&= 9.8 – 4.9 \\[2.0ex]&= 4.9 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
次に、地上からの高さ\(H\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
H &= 39.2 + 4.9 \\[2.0ex]&= 44.1 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\(H \approx 44 \, \text{m}\)となります。

まず、投げた場所から最高点まで、ボールがどれだけ高く上がったか(\(h\))を計算します。次に、その高さ\(h\)を、もともとの塔の高さ\(39.2 \, \text{m}\)に足し合わせることで、地面からのトータルの高さを求めます。

地上からの最高点の高さは\(44 \, \text{m}\)と求まりました。有効数字の処理も適切です。

問(3)

思考の道筋とポイント
投げてから「地面に達する」までの全飛行時間\(t_2\)を求める問題です。地面は、投げた点（原点）から見て鉛直下方に\(39.2 \, \text{m}\)の位置にあります。座標設定を鉛直上向きを正としているため、地面のy座標は \(-39.2 \, \text{m}\) となります。この鉛直方向の変位になる時刻\(t_2\)を、変位の公式から求めます。時間\(t_2\)に関する2次方程式を解くことになります。
この設問における重要なポイント

• 投げた点より下の位置への変位は、負の値で表される。
• 鉛直方向の変位の式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を用いて、時間に関する2次方程式を立てる。
• 2次方程式の解のうち、物理的に意味のある正の解を選ぶ。

具体的な解説と立式
鉛直方向の変位の式に、地面のy座標 \(y = -39.2 \, \text{m}\) と、その時刻\(t_2\)を代入します。
$$ -39.2 = v_{0y}t_2 – \frac{1}{2}gt_2^2 $$

値を代入して、\(t_2\)に関する2次方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
-39.2 &= 9.8 t_2 – \frac{1}{2} \times 9.8 t_2^2 \\[2.0ex]-39.2 &= 9.8 t_2 – 4.9 t_2^2
\end{aligned}
$$
この式の両辺を\(4.9\)で割ると、\(-8 = 2t_2 – t_2^2\) となります。これを整理すると、
$$ t_2^2 – 2t_2 – 8 = 0 $$
因数分解します。
$$ (t_2 – 4)(t_2 + 2) = 0 $$
\(t_2 > 0\) でなければならないので、物理的に意味のある解は、
$$ t_2 = 4.0 \, \text{[s]} $$

ボールが地面に落ちるまでの時間を求めます。投げた場所を基準（0m）とすると、地面は39.2m下にあります。これを「-39.2m」の変位として、縦の動きの公式に当てはめます。すると、時間についての2次方程式ができるので、これを解いて答えを求めます。

全飛行時間は\(4.0 \, \text{s}\)と求まりました。有効数字2桁で適切です。

問(4)

思考の道筋とポイント
水平到達距離\(l\)を求める問題です。これは「水平方向の速さ」と「全飛行時間」の積で計算できます。水平方向の速さは(1)で計算した\(v_{0x}\)で一定、全飛行時間は(3)で求めた\(t_2\)です。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動は、初速度の水平成分のままの等速直線運動である。
• 水平到達距離 = (水平方向の速さ) × (全飛行時間)。
• 計算に用いる\(\sqrt{3}\)の近似値は、求める有効数字（2桁）より1桁多い\(1.73\)を用いるのが望ましい。

具体的な解説と立式
水平方向の運動は、速さ \(v_{0x} = 9.8\sqrt{3} \, \text{m/s}\) の等速直線運動です。
全飛行時間は \(t_2 = 4.0 \, \text{s}\) なので、水平到達距離\(l\)は、
$$ l = v_{0x} t_2 $$

値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
l &= 9.8\sqrt{3} \times 4.0
\end{aligned}
$$
有効数字2桁での計算が求められているので、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) を用います。
$$
\begin{aligned}
l &\approx 9.8 \times 1.73 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 39.2 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 67.816
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、
$$ l \approx 68 \, \text{[m]} $$

ボールが空中にいる全時間は(3)で \(4.0\) 秒とわかりました。その間、ボールは横方向にずっと一定の速さで進み続けます。したがって、横に進んだ距離は、「横向きの速さ」と「全飛行時間」を掛け合わせることで計算できます。

水平到達距離は\(68 \, \text{m}\)と求まりました。有効数字の処理も適切です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と独立性:
  • 核心: この問題は、投げた点と落下点の高さが異なる、より一般的な斜方投射です。このような複雑に見える運動も、結局は「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ（等加速度直線運動）」という2つの独立した運動の組み合わせとして解析できる、という物理学の基本原則に帰着します。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 速度は \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) で常に一定。
    • 鉛直方向: 初速度 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動。
• 座標設定と変位の符号の重要性:
  • 核心: この問題のように投げた点と落下点の高さが違う場合、座標軸をどこに設定し、各位置の変位を符号付きでどう表現するかが、正しく立式するための絶対的な鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 投げた点を原点(0, 0)とし、鉛直上向きを正とすると、地面は原点より下にあるため、そのy座標は負の値（この問題では \(y = -39.2 \, \text{m}\)）となります。この符号の扱が、この問題の最大のポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 地面から投げて崖の上に着地する運動: この場合、着地点のy座標は正の値になります。
  • 斜め下に投げ下ろす運動: この場合、初速度の鉛直成分\(v_{0y}\)が最初から負の値になります。
  • 壁への衝突: 途中の壁に衝突する時刻や高さを求める問題。壁までの水平距離から衝突時刻を求め、その時刻での鉛直方向の変位を計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸を設定する: まず、原点と各軸の正の向きを自分で明確に定義します。（例：投げた点を原点、水平右向きをx正、鉛直上向きをy正）
  2. 初速度を分解する: 初速度を、設定した座標軸に合わせて水平成分と鉛直成分に分解します。
  3. 物理イベントを座標で表現する: 「最高点」\(\rightarrow\) \(v_y=0\)。「地面」\(\rightarrow\) \(y=-39.2\)。このように、問題文の言葉を座標と速度の条件に翻訳します。
  4. 対称性の崩れを認識する: 投げた点と着地点の高さが違うため、上昇時間と下降時間は等しくありません。したがって、安易に「全飛行時間は最高点までの時間の2倍」という関係を使わないように注意が必要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位の符号ミス:
  • 誤解: (3)で地面に達するまでの時間を計算する際、地面のy座標を \(y = +39.2\) として方程式を立ててしまう。
  • 対策: 最初に設定した座標軸（上向きが正）を常に意識し、「原点より下にある点はy座標が負になる」というルールを徹底します。図を描いて位置関係を視覚的に確認するのが最も効果的です。
• 対称性の誤用:
  • 誤解: (3)で全飛行時間\(t_2\)を求めるときに、(1)で求めた最高点までの時間\(t_1=1.0 \, \text{s}\)を単純に2倍して \(2.0 \, \text{s}\) と答えてしまう。
  • 対策: 運動の対称性が成り立つのは、投げた点と着地点が同じ高さの場合のみです。この問題のように高さが異なる場合は、対称性は使えないと肝に銘じ、鉛直方向の変位の式から2次方程式を解くという正規の手順を踏む必要があります。
• 高さの基準の混同:
  • 誤解: (2)で、投げた点から最高点までの高さ\(h=4.9 \, \text{m}\)をそのまま答えとしてしまう。
  • 対策: 問題文が「地上からの高さ\(H\)」を問うているのか、「投げた点からの高さ\(h\)」を問うているのかを正確に読み取ります。常に「何からの高さか」を意識することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直方向の速度式 (\(v_y = v_{0y} – gt\)):
  • 選定理由: (1)で最高点までの時間\(t_1\)を求めるのに最も適しています。最高点の物理的条件 \(v_y=0\) を使って、未知数\(t_1\)に関する簡単な一次方程式を立てることができるからです。
• 鉛直方向の変位式 (\(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (2)で投げた点からの高さ\(h\)を、(3)で地面までの全飛行時間\(t_2\)を求めるのに必須の公式です。物体の「位置（変位）」と「時間」の関係を直接記述しており、特に(3)のように出発点と到着点の高さが異なる非対称な運動では、この公式の重要性が際立ちます。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動が、初速度\(v_{0y}\)、加速度\(-g\)の等加速度直線運動としてモデル化できるため、この公式が適用できます。
• 水平方向の変位式 (\(l = v_{0x}t_2\)):
  • 選定理由: (4)で水平到達距離\(l\)を求めるためです。水平方向の運動は等速直線運動であり、この公式が距離、速さ、時間（全飛行時間\(t_2\)）の関係を直接記述します。
  • 適用根拠: 水平方向には力が働かないため、運動は単純な等速直線運動としてモデル化でき、この公式が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 問題設定の数値に隠された意図を読む:
  • この問題では、\(v_0=19.6 \, \text{m/s}\), \(g=9.8 \, \text{m/s}^2\) となっています。これにより、初速度の鉛直成分は \(v_{0y} = 19.6 \times \sin30^\circ = 9.8 \, \text{m/s}\) となり、重力加速度の大きさと一致します。その結果、最高点までの時間\(t_1\)が \(9.8/9.8 = 1.0 \, \text{s}\) と非常にきれいに求まります。このような問題作成者の意図に気づくと、計算に自信が持てます。
• 2次方程式の整理:
  • (3)で立てた式 \(-39.2 = 9.8 t_2 – 4.9 t_2^2\) は、一見複雑ですが、全ての項が\(4.9\)の倍数になっています。これに気づいて両辺を\(4.9\)で割ることで、係数が整数の簡単な2次方程式 \(t_2^2 – 2t_2 – 8 = 0\) に帰着できます。大きな係数のまま解の公式を使う前に、まず共通の数で割れないかを確認する癖をつけましょう。
• 平方根の近似値の扱い:
  • (4)で \(l = 9.8\sqrt{3} \times 4.0\) を計算する際、答えの有効数字が2桁であることを考慮し、\(\sqrt{3}\)にはそれより1桁多い3桁の近似値 \(1.73\) を使うのが一般的です。これにより、丸め誤差による影響を最小限に抑えることができます。

37 走る台車からの投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度と運動の合成」です。動いている物体から見た運動と、静止している物体から見た運動の違いを理解することが重要です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「床で静止している人」という、台車の外にいる観測者から見た運動を考える問題です。問題文には「筒から見て小球を真上に発射した」とありますが、これはあくまで台車と一緒に動いている人から見た運動です。静止している人から見ると、小球は発射される瞬間に、すでに台車と同じ水平方向の速度を持っています。
この設問における重要なポイント

• 速度の合成則: 「床から見た球の速度」は、「床から見た台車の速度」と「台車から見た球の速度」のベクトル和で表される。
• 水平方向の初速度を持つ鉛直投げ上げは、斜方投射と等価である。

具体的な解説と立式
台車の速さを \(\vec{v}_{\text{台車}}\)（水平方向）、筒から見た小球の発射速度を \(\vec{v}_{\text{発射}}\)（鉛直上向き）とします。
床で静止している人から見た小球の初速度 \(\vec{v}_{\text{初}}\) は、この2つの速度のベクトル和（合成速度）となります。
$$ \vec{v}_{\text{初}} = \vec{v}_{\text{台車}} + \vec{v}_{\text{発射}} $$
この合成された初速度 \(\vec{v}_{\text{初}}\) は、水平方向の成分（\(\vec{v}_{\text{台車}}\)）と鉛直方向の成分（\(\vec{v}_{\text{発射}}\)）の両方を持っています。
発射後、小球に働く力は重力のみです。
このように、初速度が斜め上向きで、重力下で行う運動は「斜方投射」と呼ばれます。

この設問は物理現象の分類を問うものであり、具体的な計算は不要です。

走っている電車の中でボールを真上に投げ上げるのを、ホームで静止している人が見ている状況を想像してみてください。ボールは、上に上がる力だけでなく、投げられた瞬間に電車と一緒に前に進む力も持っています。「上向き」の速さと「前向き」の速さが合わさるので、ホームの人から見ると、ボールは斜め上に飛び出し、きれいな放物線を描いて飛んでいくように見えます。このような運動を「斜方投射」と呼びます。

静止系から見ると、小球は水平方向と鉛直方向の両方に初速度成分を持つため、その運動は斜方投射として観測されます。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球がどこに落下するかを考える問題です。鍵となるのは、小球が空中を飛んでいる間の、小球と台車の「水平方向の運動」です。空気抵抗を無視すると、小球に働く力は鉛直方向の重力だけです。水平方向には力が働かないため、小球の水平方向の速度は変化しません。
この設問における重要なポイント

• 慣性の法則: 水平方向に力が働かない限り、物体の水平方向の速度は一定に保たれる。
• 小球の水平方向の速度は、発射された瞬間の台車の速度と等しい。
• 台車も一定の速さで走り続けるため、小球と台車の水平速度は常に等しい。

具体的な解説と立式
発射された瞬間、小球は台車と同じ水平方向の速度 \(v_{\text{台車}}\) を持ちます。
空気抵抗を無視すると、小球に働く力は鉛直下向きの重力のみです。水平方向には力が働かないため、慣性の法則により、小球の水平方向の速度は運動中ずっと \(v_{\text{台車}}\) のままで一定です（等速直線運動）。
一方、問題文より、台車も速さ \(v_{\text{台車}}\) で等速直線運動を続けています。
つまり、小球と台車は、常に同じ水平速度で運動し続けます。
したがって、両者の水平方向の相対的な位置関係は全く変わりません。小球は常に発射筒の真上に位置し続けることになります。
よって、小球が上昇して下降してきたとき、その落下地点は発射筒の真上の位置となります。

この設問は物理法則の理解を問うものであり、具体的な計算は不要です。

ボールを投げた後、ボールは横方向には台車と全く同じスピードで飛び続けます。台車も同じスピードで走り続けます。まるで二人三脚のように、横方向にはずっと同じペースで進むので、ボールが縦に上がって落ちてくる間、横の位置はずっと同じです。だから、ボールは投げた場所（発射筒）にちゃんと戻ってくるのです。

小球と台車の水平速度が常に等しいため、両者の水平位置は常に一致します。したがって、小球は発射筒の位置に落下します。これは慣性の法則から導かれる重要な帰結です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度と速度の合成:
  • 核心: 同じ物理現象であっても、観測者の運動状態によってその見え方（観測される速度や軌道）は異なる、という相対性の基本概念を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 台車から見た運動: 筒から見て「真上」に発射したので、台車に乗っている人にとっては、小球は単に上下運動する「鉛直投げ上げ」に見えます。
    • 床から見た運動: 床で静止している人にとっては、小球は「台車の水平速度」と「筒からの鉛直速度」が合成された斜め上向きの初速度を持つため、「斜方投射」に見えます。
    • この2つの見え方の関係は、速度の合成則 \(\vec{v}_{\text{床→球}} = \vec{v}_{\text{床→台車}} + \vec{v}_{\text{台車→球}}\) で結び付けられています。
• 慣性の法則:
  • 核心: (2)の問いに答えるための鍵となる法則です。一度与えられた水平方向の速度は、水平方向に力が働かない限り、変化しないという原理を理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 小球は発射された瞬間、台車と同じ水平速度を持ちます。
    • 発射後、小球に働く力は鉛直方向の重力のみです。水平方向には力が働かないため、小球の水平速度は発射された瞬間のまま一定に保たれます。
    • 台車も等速で走り続けるため、小球と台車の水平速度は常に等しく、水平方向の相対位置は変わりません。

応用テクニック：似た問題が出たらコ-コを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 加速・減速する台車: もし台車が一定の加速度で運動している場合、小球の水平速度は一定ですが、台車の水平速度は変化します。
    • 台車が加速する場合：小球は発射筒の後方に落ちます。
    • 台車が減速する場合：小球は発射筒の前方に落ちます。
  • 電車内の現象: 等速で走る電車の中でジャンプすると、同じ場所に着地するのはなぜか、という問い。これも慣性の法則で説明できます。
  • 川を渡る船: 船の速度（静水に対する速度）と川の流れの速度を合成して、岸から見た船の実際の運動を考える問題。これも速度の合成の典型例です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者を特定する: 問題文が「誰から見て」の運動を問うているのかを最初に明確にします。（例：「筒から見て」「床で静止している人から見ると」）
  2. 速度を分解・合成する: 観測者が変わる場合、速度の合成則を適用します。静止系（床）から見た速度を、運動している物体（台車）の速度と、その物体から見た相対速度のベクトル和として考えます。
  3. 各方向の力の有無を確認する: 運動を水平方向と鉛直方向に分解し、それぞれの方向に力が働いているかを確認します。力が働かなければ、その方向の速度は一定（慣性の法則）です。力が働いていれば、その方向に加速度が生じます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 観測者の視点の混同:
  • 誤解: (1)で、台車から見て真上に上がるのだから、床から見ても真上に上がるだろうと勘違いする。
  • 対策: 常に「誰が見ているのか？」を自問自答する癖をつけましょう。「台車から見て」と「床から見て」では、基準となる座標系が異なるため、運動の見え方が違うことを強く意識します。
• 水平方向の運動に関する誤解:
  • 誤解: (2)で、小球が上に上がっている間に台車が前に進むので、小球は発射筒の後方に落ちるだろう、と直感的に考えてしまう。
  • 対策: この直感的な誤りは、小球が発射された後、水平方向の速度を失うと考えてしまうことから生じます。空気抵抗を無視する限り、水平方向には減速させる力は働かないため、小球は台車と同じ水平速度を保ち続ける、という慣性の法則を論理的に適用することが重要です。
• 空気抵抗の影響を考えてしまう:
  • 誤解: 現実世界では空気抵抗があるので、小球の水平速度は少し遅くなり、発射筒の後方に落ちるはずだ、と考えてしまう。
  • 対策: 高校物理の力学の問題では、特に断りがない限り「空気抵抗は無視する」のが大原則です。理想的な状況で物理法則がどう働くかを考えることに集中しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の合成則 (\(\vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC}\)):
  • 選定理由: (1)で、異なる座標系（床と台車）から見た物体の運動を関連付けるために、この法則が不可欠だからです。
  • 適用根拠: この法則は、ガリレイの相対性原理の基本的な表現であり、ある慣性系での速度と、それに対して等速で動く別の慣性系での速度の関係を正しく記述します。
• 慣性の法則（運動の第一法則）:
  • 選定理由: (2)で、発射後の小球の水平方向の運動を予測するために必要です。
  • 適用根拠: 小球に働く力は鉛直方向の重力のみであり、水平方向には力が作用していません。運動の第一法則によれば、力が作用しない方向の運動状態（速度）は変化しないため、小球の水平速度は一定に保たれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• ベクトル図を描く:
  • (1)のような速度の合成を考える問題では、ベクトル図を描くことが非常に有効です。台車の速度ベクトル（水平）と、発射速度のベクトル（鉛直）を描き、その合成ベクトルが斜め上を向くことを視覚的に確認することで、なぜ斜方投射になるのかが直感的に理解できます。
• 思考実験を行う:
  • 「もし台車が止まっていたら？」「もし重力がなかったら？」といった思考実験をしてみることで、各要素が現象にどう影響しているかの理解が深まります。例えば、重力がなければ、小球は斜め上方に等速直線運動を続けるはずです。
• 言葉の定義を正確に:
  • 「速さ」と「速度」、「〜から見た」といった物理用語の定義を正確に理解し、使い分けることが、思考の混乱を防ぎ、正しい結論に至るための基本となります。

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