「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第2章】基本例題～基本問題27

基本例題

基本例題6 自由落下

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「自由落下運動」です。物体が重力だけを受けて、初速度ゼロで落下する運動の基本的な計算が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「半分の高さ \(9.8 \text{ m}\) だけ落下する時間 \(t_1\)」を求める問題です。自由落下は初速度 \(v_0=0\)、加速度 \(g\) の等加速度直線運動であることを踏まえ、変位（落下距離）\(y\) と時間 \(t\) を結びつける公式を選択します。
この設問における重要なポイント

• 自由落下運動では、鉛直下向きを正とすると、初速度 \(v_0=0\)、加速度 \(a=g\) となります。
• 変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) が、自由落下では \(y = \displaystyle\frac{1}{2} g t^2\) と簡略化されます。
• 問題で与えられている物理量（\(y=9.8 \text{ m}\), \(g=9.8 \text{ m/s}^2\)）をこの式に代入して \(t_1\) を求めます。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正の向きとします。
小球は自由落下するので、初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a = g = 9.8 \text{ m/s}^2\) の等加速度直線運動をします。
変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) を用います。
落下距離 \(y = 9.8 \text{ m}\) のときにかかる時間を \(t_1\) とすると、
$$ y = \displaystyle\frac{1}{2} g t_1^2 $$
ここに、\(y = 9.8 \text{ m}\)、\(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) を代入します。
$$ 9.8 = \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2 $$

上記で立式した方程式を \(t_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
9.8 &= \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2 \\[2.0ex]
\end{aligned}
$$
両辺を \(9.8\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
1 &= \displaystyle\frac{1}{2} t_1^2 \\[2.0ex]
t_1^2 &= 2.0 \\[2.0ex]
t_1 &= \sqrt{2.0}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{2.0} \approx 1.414…\) であり、問題文で与えられた数値の有効数字が2桁（\(9.8\)）であるため、答えも有効数字2桁に丸めます。
$$ t_1 \approx 1.4 \text{ [s]} $$

自由落下の「落下距離 = \(0.5 \times\) 重力加速度 \(\times\) (時間)\(^2\)」という公式を使います。
今、落下した距離は \(9.8 \text{ m}\)、重力加速度は \(9.8 \text{ m/s}^2\) です。
これを式に入れると「\(9.8 = 0.5 \times 9.8 \times (t_1)^2\)」となります。
両辺に \(9.8\) があるので消去すると「\(1 = 0.5 \times (t_1)^2\)」となり、これを解くと「\((t_1)^2 = 2\)」です。
したがって、時間 \(t_1\) は \(\sqrt{2}\) 秒となり、これはおよそ \(1.4\) 秒です。

半分の高さ \(9.8 \text{ m}\) を落下するのにかかる時間は、約 \(1.4 \text{ s}\) です。計算過程、有効数字の処理ともに適切であり、物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「半分の高さの地点を通過する速さ \(v_1\)」を求める問題です。(1)で落下時間 \(t_1\) を求めた流れを引き継ぎ、速度と時間の関係式 \(v = gt\) を使って速さを計算するのが最も素直なアプローチです。
この設問における重要なポイント

• (1)で求めた時間 \(t_1\) を利用する。
• 速度と時間の関係式 \(v = v_0 + at\) を自由落下の形 \(v=gt\) で用いる。
• 計算途中では、(1)で求めた \(t_1 = \sqrt{2.0}\) のように、丸める前の値を使うとより正確な計算ができる。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とします。速度と時間の関係式 \(v = v_0 + at\) を用います。自由落下なので初速度 \(v_0=0\)、加速度 \(a=g\) です。半分の高さを落下したときの速さを \(v_1\)、そのときまでの時間を \(t_1\) とすると、
$$ v_1 = g t_1 $$

(1)の結果 \(t_1 = \sqrt{2.0} \text{ s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= 9.8 \times t_1 \\[2.0ex]
&= 9.8 \times \sqrt{2.0} \\[2.0ex]
&\approx 9.8 \times 1.414 \\[2.0ex]
&= 13.8572…
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、
$$ v_1 \approx 14 \text{ [m/s]} $$

方法1: 「速さ = 重力加速度 \(\times\) 時間」という公式を使います。(1)で落下時間が \(\sqrt{2}\) 秒（約 \(1.4\) 秒）とわかったので、速さ \(v_1\) は「\(9.8 \times \sqrt{2}\)」で計算できます。これは約 \(14 \text{ m/s}\) です。
方法2 (別解): 時間がわからない場合でも、「(速さ)\(^2 = 2 \times\) 重力加速度 \(\times\) 落下距離」という便利な公式があります。これを使うと、\((v_1)^2 = 2 \times 9.8 \times 9.8\) となります。\(v_1\) を求めるには、この式の平方根をとればよく、結果は「\(9.8 \times \sqrt{2}\)」となり、同じく約 \(14 \text{ m/s}\) が得られます。

半分の高さの地点を通過する速さは、約 \(14 \text{ m/s}\) です。2つの異なる解法で同じ結果が得られ、計算の正しさが確認できました。有効数字の処理も適切です。

問(3)

思考の道筋とポイント
「地面に衝突する直前の速さ \(v_2\)」を求める問題です。これは、全落下距離 \(y = 19.6 \text{ m}\) を落下したときの速さに相当します。問(2)の別解で用いた、時間を含まない公式 \(v^2=2gy\) を使うのが最も直接的で計算も簡単です。
この設問における重要なポイント

• 全落下距離は \(y = 19.6 \text{ m}\) であることを正しく読み取る。
• 時間 \(t\) を介さずに、変位 \(y\) と速度 \(v\) を直接結びつける公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) が最も効率的。
• \(2 \times 9.8 = 19.6\) という関係に気づくと、計算が大幅に簡略化できる。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とします。初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a = g = 9.8 \text{ m/s}^2\)、全落下距離 \(y = 19.6 \text{ m}\) です。
速度と変位の関係式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を用います。
$$ v_2^2 – 0^2 = 2gy $$
$$ v_2^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6 $$

$$
\begin{aligned}
v_2^2 &= 2 \times 9.8 \times 19.6
\end{aligned}
$$
ここで \(2 \times 9.8 = 19.6\) なので、
$$
\begin{aligned}
v_2^2 &= 19.6 \times 19.6 \\[2.0ex]
v_2^2 &= 19.6^2 \\[2.0ex]
v_2 &= 19.6
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(20 \text{ m/s}\) となります。
$$ v_2 \approx 20 \text{ [m/s]} $$

方法1: 時間を使わない「(速さ)\(^2 = 2 \times\) 重力加速度 \(\times\) 落下距離」の公式を使います。全落下距離は \(19.6 \text{ m}\) なので、\((v_2)^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6\) となります。ここで \(2 \times 9.8\) はちょうど \(19.6\) になるので、式は「\((v_2)^2 = 19.6 \times 19.6\)」と簡単になります。つまり、速さ \(v_2\) は \(19.6 \text{ m/s}\) です。答えの桁数を合わせるため、およそ \(20 \text{ m/s}\) とします。
方法2 (別解): まず、\(19.6 \text{ m}\) 落ちるのにかかる時間を計算します。「落下距離 = \(0.5 \times\) 重力加速度 \(\times\) (時間)\(^2\)」から、\(19.6 = 0.5 \times 9.8 \times (t_2)^2\) となり、これを解くと時間はぴったり \(2.0\) 秒と求まります。次に「速さ = 重力加速度 \(\times\) 時間」から、速さ \(v_2\) は \(9.8 \times 2.0 = 19.6 \text{ m/s}\) と計算できます。これもおよそ \(20 \text{ m/s}\) です。

地面に衝突する直前の速さは \(19.6 \text{ m/s}\) であり、有効数字2桁で答えると \(20 \text{ m/s}\) となります。2つの解法で同じ結果が得られ、計算の正しさが確認できました。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 自由落下運動の本質的理解:
  • 核心: 自由落下運動が、単に物が落ちる現象ではなく、「初速度 \(v_0=0\)、加速度が一定値の重力加速度 \(g\)」という等加速度直線運動の一種であることを理解するのが全ての出発点です。
  • 理解のポイント: この理解により、物理学で最も基本的な運動モデルである「等加速度直線運動の3公式」をそのまま適用できることがわかります。
• 等加速度直線運動の3公式の使い分け:
  • 核心: 状況に応じて、3つの公式を適切に選択する能力が問われます。
    1. \(v = v_0 + at\) （時間 \(t\) から速さ \(v\) を求めたいとき）
    2. \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) （時間 \(t\) から距離 \(y\) を求めたいとき）
    3. \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) （時間 \(t\) を介さずに、距離 \(y\) と速さ \(v\) を直接結びつけたいとき）
  • 理解のポイント: 自由落下では \(v_0=0\), \(a=g\) となるため、それぞれ \(v=gt\), \(y=\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\), \(v^2=2gy\) という、よりシンプルな形で使用できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 鉛直投げ上げ・投げ下ろし: 初速度 \(v_0\) が \(0\) でないだけの問題です。等加速度直線運動の公式の \(v_0\) に値を代入すれば全く同じように解けます。特に投げ上げでは、最高点で速さ \(v=0\) となる点が重要なポイントです。
  • 水平投射・斜方投射: 運動を「水平方向（力が働かないので等速直線運動）」と「鉛直方向（重力だけが働くので自由落下または鉛直投げ上げ）」に分解して考える問題。鉛直方向の運動は、この問題と全く同じ考え方で解くことができます。
  • 力学的エネルギー保存則の利用: この問題は、力学的エネルギー保存則を使っても解くことができます。特に(2)と(3)は、位置エネルギーが運動エネルギーに変換されると考えることで、\(mgy = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) という関係から速さ \(v\) を求めることができます。質量 \(m\) に依存しないため、運動方程式から解くのと全く同じ結果になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の種類を特定: まず、問題が「自由落下」「投げ下ろし」「投げ上げ」のどれに当たるかを確認します。これにより初速度 \(v_0\) の値が決まります。
  2. 座標軸の設定: 鉛直下向きを正とするか、上向きを正とするかを最初に決めます。これにより、速度 \(v\)、変位 \(y\)、加速度 \(a\)（\(+g\) か \(-g\) か）の符号が一貫して決まります。
  3. 物理量の整理: 問題文で与えられている量（既知量）と、求めたい量（未知量）を、\(y, v_0, v, a, t\) の5つの記号で整理します。
  4. 最適な公式の選択: 整理した物理量を見比べて、「どの公式を使えば最も少ないステップで未知量を求められるか」を考えます。特に「時間 \(t\) が不要」な場合は、\(v^2 – v_0^2 = 2ay\) の公式が非常に強力です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 落下距離と時間の関係の誤解:
  • 誤解: (1)で \(9.8 \text{ m}\) 落ちるのに \(1.4 \text{ s}\) かかったので、(3)で \(19.6 \text{ m}\)（距離が2倍）落ちる時間はその2倍の \(2.8 \text{ s}\) だ、と勘違いしてしまう。
  • 対策: \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) の式から、落下距離 \(y\) は時間 \(t\) の2乗に比例する（\(t = \sqrt{2y/g}\)）ことを正しく理解する。距離が2倍なら、かかる時間は \(\sqrt{2}\) 倍になります。実際に計算すると、\(t_1 = \sqrt{2.0} \approx 1.4 \text{ s}\)、\(t_2 = 2.0 \text{ s}\) であり、\(t_2/t_1 = 2.0/1.4 \approx 1.4 \approx \sqrt{2}\) となっていることを確認しましょう。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: (2)の計算で、(1)で求めた近似値 \(t_1 = 1.4 \text{ s}\) を使って \(v_1 = 9.8 \times 1.4 = 13.72 \rightarrow 14 \text{ m/s}\) と計算してしまう。今回は結果が同じになりますが、問題によっては誤差が生じます。
  • 対策: 計算の途中では、できるだけ丸める前の値（この場合は \(t_1 = \sqrt{2.0}\)）を使うように心がける。\(v_1 = 9.8 \times \sqrt{2.0}\) のように立式し、最後に計算して丸めるのが最も正確です。
• 公式の符号ミス:
  • 誤解: 鉛直投げ上げの問題なのに、自由落下の公式 \(v=gt\) をそのまま使い、加速度の符号を間違える。
  • 対策: 常に等加速度直線運動の一般式（\(v = v_0 + at\) など）を元に考え、自分で設定した座標軸に従って各物理量の符号（例：上向き正なら \(a=-g\)）を決定する習慣をつける。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変位と時間の関係式 (\(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (1)では「落下距離 \(y\)」が与えられ、「時間 \(t\)」を求めたい。この2つの物理量を直接結びつけるのがこの公式だからです。
  • 適用根拠: 等加速度直線運動の基本公式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2} a t^2\) に、自由落下運動の条件である「初速度 \(v_0=0\)」と「加速度 \(a=g\)」を代入したものです。
• 速度と変位の関係式 (\(v^2 = 2gy\)):
  • 選定理由: (2)と(3)では「落下距離 \(y\)」が与えられ、「速さ \(v\)」を求めたい。このとき、時間を計算する必要がないため、この公式が最も直接的で計算も楽になります。
  • 適用根拠: これは、\(v=v_0+at\) と \(y=v_0t+\frac{1}{2}at^2\) の2式から時間 \(t\) を消去して導かれる関係式です。時間情報が不要な場合に、思考と計算のステップを大幅に短縮してくれます。
• 速度と時間の関係式 (\(v = gt\)):
  • 選定理由: (2)の別解のように、時間 \(t\) がすでに分かっている（または先に計算した）状況で、速さ \(v\) を求めたい場合に用います。
  • 適用根拠: 等加速度直線運動の速度の定義式 \(v = v_0 + at\) に、自由落下の条件 \(v_0=0, a=g\) を適用したものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(g=9.8\) の計算テクニックを身につける:
  • \(9.8\) という数字は、\(2 \times 4.9\) や \(19.6 \div 2\) といった関係にあります。
  • (3)の計算 \(v_2^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6\) では、機械的に計算するのではなく、\(2 \times 9.8 = 19.6\) であることに気づくと、\(v_2^2 = 19.6^2\) となり、平方根の計算が不要になります。このような数値のパターンに敏感になることで、計算速度と正確性が向上します。
• 平方根の値を覚えておく:
  • 物理で頻出する \(\sqrt{2} \approx 1.41\)、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) の値は暗記しておくと、計算や検算が格段に速くなります。
• 別解による検算:
  • (2)や(3)のように、複数の公式で解ける問題は、時間に余裕があれば両方のアプローチで計算してみましょう。答えが一致すれば、計算が正しいことの強力な裏付けになります。
• 単位を書き込む習慣:
  • 計算の各ステップで単位を書き込むことで、次元的に正しいか（例：速さを求めているのに単位が \(s\) になっていないか）をチェックでき、ケアレスミスを防げます。
• 文字式で立式してから代入:
  • 焦っていきなり数値を代入すると、どの公式を使っているのか、何の計算をしているのかが曖昧になりがちです。まず \(v^2 = 2gy\) のように文字式を書き、その後に \(v_2^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6\) と数値を代入する癖をつけると、思考が整理され、見直しも容易になります。

基本例題7 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げ運動」です。物体を鉛直上向きに投げた後の、重力だけが働く運動を扱います。これは等加速度直線運動の代表的な例です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が「最高点に達する」という条件が物理的に何を意味するかを考えます。鉛直上向きに投げ上げられた物体は、速度が徐々に減少し、最高点で一瞬だけ速度が \(0\) になります。この条件を、速度と時間の関係式に適用して時間を求めます。
この設問における重要なポイント

• 座標軸を設定する：ビルの屋上を原点(\(y=0\))、鉛直上向きを正の向きとする。
• 物理量を符号付きで整理する：初速度 \(v_0 = +29.4 \text{ m/s}\)、加速度 \(a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2\)。
• 最高点の条件を適用する：最高点では速度 \(v = 0\)。
• 適切な公式を選択する：速度と時間の関係式 \(v = v_0 + at\) を用いる。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正の向き、屋上を原点(\(y=0\))とします。
初速度は \(v_0 = 29.4 \text{ m/s}\)、加速度は重力加速度のみなので \(a = -g = -9.8 \text{ m/s}^2\) です。
最高点に達したとき、速度は \(v=0\) になります。このときの時刻を \(t_1\) とします。
等加速度直線運動の速度と時間の関係式 \(v = v_0 + at\) に、これらの値を代入します。
$$ 0 = v_0 – g t_1 $$
数値を代入すると、
$$ 0 = 29.4 – 9.8 \times t_1 $$

上記で立式した方程式を \(t_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 29.4 – 9.8 \times t_1 \\[2.0ex]
9.8 \times t_1 &= 29.4 \\[2.0ex]
t_1 &= \displaystyle\frac{29.4}{9.8} \\[2.0ex]
&= 3.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

上に投げたボールは、重力によってだんだん遅くなり、一番高いところで一瞬だけ止まります。この「速さが0になる」という点がポイントです。
初めの速さは \(29.4 \text{ m/s}\) で、重力によって1秒間に \(9.8 \text{ m/s}\) ずつ速さが減っていきます。
速さが \(0\) になるまでの時間は、「初めの速さ ÷ 1秒あたりに減る速さ」で計算できます。
したがって、\(29.4 \div 9.8 = 3.0\) なので、3.0秒後に最高点に達することがわかります。

小球が最高点に達するまでの時間は \(3.0 \text{ s}\) です。計算結果は妥当であり、有効数字も問題文に合わせています。

問(2)

思考の道筋とポイント
「最高点の高さ \(h\)」は、(1)で求めた時間 \(t_1 = 3.0 \text{ s}\) の間に小球が屋上から移動した距離（変位）です。変位と時間の関係式を使って計算するのが一つの方法です。また、時間を使わない公式を使えば、(1)の結果に依存せずに直接高さを求めることもできます。
この設問における重要なポイント

• 最高点の高さ \(h\) は、時刻 \(t_1\) での変位 \(y\) に等しい。
• 解法1: (1)で求めた時間 \(t_1\) を、変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) に代入する。
• 解法2: 時間を含まない速度と変位の関係式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を利用する。

具体的な解説と立式
(1)と同じ座標設定（屋上原点、上向き正）を用います。
最高点の高さ \(h\) は、時刻 \(t_1 = 3.0 \text{ s}\) での変位 \(y\) に等しいので、\(h = y(t_1)\) です。
変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いて、
$$ h = v_0 t_1 – \displaystyle\frac{1}{2} g t_1^2 $$
数値を代入すると、
$$ h = 29.4 \times 3.0 – \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.0)^2 $$

$$
\begin{aligned}
h &= 29.4 \times 3.0 – \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times 9.0 \\[2.0ex]
&= 88.2 – 4.9 \times 9.0 \\[2.0ex]
&= 88.2 – 44.1 \\[2.0ex]
&= 44.1 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
問題文の有効数字は2桁（\(9.8\)）と3桁（\(29.4\)）ですが、解答の慣例に従い2桁に丸めます。
$$ h \approx 44 \text{ [m]} $$

方法1: (1)で最高点まで3.0秒かかるとわかったので、この3.0秒間にどれだけ進むかを計算します。「進んだ距離 = (初めの速さ \(\times\) 時間) – (重力で減速したぶんの距離)」で計算でき、\(29.4 \times 3.0 – 0.5 \times 9.8 \times 3.0^2 = 44.1\) となります。
方法2: 時間を使わない公式「(終わりの速さ)\(^2\) – (初めの速さ)\(^2\) = \(2 \times\) 加速度 \(\times\) 距離」を使います。最高点では速さが0なので、「\(0^2 – 29.4^2 = 2 \times (-9.8) \times h\)」となります。これを \(h\) について解いても \(44.1\) が求まります。

最高点の高さは屋上から約 \(44 \text{ m}\) です。2つの異なる方法で同じ結果が得られ、計算の正しさが確認できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
「投げてから小球が屋上にもどる」とは、出発点に戻ってくるということです。座標の上では、変位 \(y\) が再び \(0\) になることを意味します。この条件を変位と時間の関係式に適用して、時刻 \(t_2\) を求めます。また、投げ上げ運動の「対称性」を利用すると、より簡単に計算できます。
この設問における重要なポイント

• 解法1: 屋上に戻ったとき、変位 \(y=0\) であることを利用する。
• 解法2: 運動の対称性を利用する。最高点までの上昇時間と、最高点から元の高さまで下降する時間は等しい。したがって、往復時間 \(t_2\) は、片道の時間 \(t_1\) の2倍になる。

具体的な解説と立式
変位 \(y=0\) となる時刻 \(t_2\) を求めます。変位と時間の関係式 \(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2} g t^2\) を用います。
$$ 0 = v_0 t_2 – \displaystyle\frac{1}{2} g t_2^2 $$
数値を代入すると、
$$ 0 = 29.4 \times t_2 – \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times t_2^2 $$

$$
\begin{aligned}
0 &= 29.4 t_2 – 4.9 t_2^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(4.9\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
0 &= 6 t_2 – t_2^2 \\[2.0ex]
0 &= t_2 (6 – t_2)
\end{aligned}
$$
この方程式の解は \(t_2=0\) と \(t_2=6.0\) です。\(t_2=0\) は投げた瞬間を表すので、屋上に戻ってきた時刻は \(t_2 = 6.0 \text{ s}\) です。

方法1: 「元の高さに戻ってくる」ということは「位置の変化（変位）が0」ということです。変位の式が0になる時間を計算すると、答えが \(t=0\)（投げた瞬間）と \(t=6.0\)（戻ってきた瞬間）の2つ出てきます。
方法2: 投げ上げ運動は、上がるのにかかる時間と、同じ高さまで下りるのにかかる時間が同じです。(1)で最高点まで3.0秒かかるとわかったので、そこから屋上まで戻ってくるのにも3.0秒かかります。したがって、合計時間は \(3.0 + 3.0 = 6.0\) 秒です。

屋上に戻るまでの時間は \(6.0 \text{ s}\) です。対称性を利用する解法は非常に簡潔で強力です。

問(4)

思考の道筋とポイント
「投げてから \(9.0\) 秒後に小球が地上に落下した」という情報から、「ビルの高さ \(H\)」を求めます。屋上を原点(\(y=0\))、上向きを正としているので、地上は負の変位を持つ位置になります。時刻 \(t = 9.0 \text{ s}\) での小球の変位 \(y\) を計算し、その大きさ（絶対値）がビルの高さ \(H\) に相当します。
この設問における重要なポイント

• 時刻 \(t = 9.0 \text{ s}\) での変位 \(y\) を計算する。
• 変位と時間の関係式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を用いる。
• ビルの高さ \(H\) は、地面の位置の変位 \(y\) の絶対値、つまり \(H = |y|\) である。

具体的な解説と立式
時刻 \(t = 9.0 \text{ s}\) での変位 \(y\) を計算します。
$$ y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2} g t^2 $$
数値を代入すると、
$$ y = 29.4 \times 9.0 – \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times (9.0)^2 $$
ビルの高さ \(H\) は、この変位 \(y\) の大きさ（絶対値）です。
$$ H = |y| $$

$$
\begin{aligned}
y &= 29.4 \times 9.0 – \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times 81.0 \\[2.0ex]
&= 264.6 – 4.9 \times 81.0 \\[2.0ex]
&= 264.6 – 396.9 \\[2.0ex]
&= -132.3 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
変位 \(y\) が負の値になったのは、小球が原点である屋上よりも下にあることを示しており、物理的に正しいです。
ビルの高さ \(H\) はこの変位の大きさなので、
$$ H = |-132.3| = 132.3 \text{ [m]} $$
有効数字2桁に丸めると、
$$ H \approx 1.3 \times 10^2 \text{ [m]} $$

9.0秒後にボールがどの高さにいるかを計算します。
「ボールの位置 = (初めの速さで9.0秒間上に進んだ距離) – (重力で下に引き戻された距離)」で計算します。
計算すると、\(29.4 \times 9.0 – 0.5 \times 9.8 \times 9.0^2 = 264.6 – 396.9 = -132.3 \text{ m}\) となります。
「マイナス」は「屋上（出発点）よりも下にいる」という意味です。つまり、屋上から \(132.3 \text{ m}\) 下の地面にいるということになります。
したがって、ビルの高さは \(132.3 \text{ m}\) であり、およそ \(1.3 \times 10^2 \text{ m}\) となります。

ビルの高さは \(1.3 \times 10^2 \text{ m}\) です。計算結果の符号が物理的な状況（屋上より下）を正しく表していることを確認し、最終的に絶対値をとって高さを求めるというプロセスが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 鉛直投げ上げ運動のモデル化:
  • 核心: 鉛直投げ上げ運動は、初速度 \(v_0\) を持ち、常に鉛直下向きに一定の重力加速度 \(g\) を受ける等加速度直線運動である、と正しくモデル化することが全ての基本です。
  • 理解のポイント: このモデル化により、複雑に見える現象を、等加速度直線運動の3公式というシンプルな数学的ツールで分析できることがわかります。
• 座標軸の設定と符号の厳密な適用:
  • 核心: 物理量をベクトルとして捉え、最初に設定した座標軸（原点と正の向き）に従って、初速度 \(v_0\)、変位 \(y\)、速度 \(v\)、加速度 \(a\) の符号を決定することが、計算ミスを防ぐ上で最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 上向きを正とすると、初速度は \(v_0 > 0\)、重力加速度は常に下向きなので \(a = -g\) となります。
    • 変位 \(y\) は、原点（屋上）より上なら正、下なら負の値をとります。
    • 速度 \(v\) は、上昇中は正、下降中は負の値をとります。
• 物理的条件の数式化:
  • 核心: 「最高点に達する」「屋上にもどる」といった日本語の表現を、物理的な数式（\(v=0\), \(y=0\)）に正確に翻訳する能力が問われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 運動を水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（鉛直投げ上げ）に分解して考えます。この問題で培った鉛直方向の運動の分析能力がそのまま活かされます。
  • 力学的エネルギー保存則を用いる問題: (2)の最高点の高さ \(h\) は、運動エネルギーが位置エネルギーに変換される過程として、\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh\) というエネルギー保存則からも求めることができます。運動方程式とエネルギー保存則、両方のアプローチができると理解が深まります。
  • 衝突と組み合わせた問題: 地面に落下した小球が跳ね返る場合など、複数の運動が組み合わさった問題でも、各区間（投げ上げ、落下、跳ね返り後）をそれぞれ等加速度直線運動として分析します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸を宣言する: 解答を書き始める前に、必ず「どの点を原点とし、どちらの向きを正とするか」を明記します。これが思考のブレを防ぎます。
  2. キーワードを数式に変換: 問題文中の「最高点」「元の位置」「地面」などのキーワードを見つけ、それぞれが \(v=0\), \(y=0\), \(y=-H\) のように、どの物理量がどのような値をとる条件に対応するのかを整理します。
  3. 対称性の利用を検討: (3)のように、出発点と同じ高さに戻ってくる時間を問われた場合、まず「対称性が使えないか？」と考えます。最高点までの時間の2倍、という考え方は計算を大幅に簡略化します。
  4. 時間 \(t\) の要不要で公式を選択: 求めたい量と与えられている量を見て、時間 \(t\) が関与しない場合は、\(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を使うと計算が楽になることが多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 加速度の符号ミス:
  • 誤解: 上昇中も下降中も、なんとなく加速度の符号を変えてしまう。あるいは、常に \(a=g\) としてしまう。
  • 対策: 重力は常に地球の中心（下向き）に働く力です。したがって、一度「上向きを正」と決めたら、運動のどの段階であっても加速度は常に \(a=-g\) で一定です。これを徹底してください。
• 変位と距離（高さ）の混同:
  • 誤解: (4)で計算した変位 \(y = -132.3 \text{ m}\) をそのまま答えとしてしまう。
  • 対策: 「変位」は向きを含むベクトル量（符号があり得る）、「高さ」や「距離」は大きさのみのスカラー量（常に0以上）であることを区別します。ビルの高さを問われたら、変位の絶対値 \(H = |y|\) をとることを忘れないようにしましょう。
• 対称性の誤用:
  • 誤解: (4)のように、出発点（屋上）と終点（地面）の高さが異なる運動に対しても、対称性を適用しようとしてしまう。
  • 対策: 運動の対称性は、あくまで「同じ高さの2点間」の運動（例：屋上→最高点→屋上）に対してのみ成立します。適用できる範囲を正しく理解することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度と時間の関係式 (\(v = v_0 + at\)):
  • 選定理由: (1)では、「最高点」という速度に関する条件（\(v=0\)）から「時間 \(t_1\)」を求めたい。速度 \(v\) と時間 \(t\) を直接結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: 加速度の定義を積分した、等加速度直線運動の最も基本的な関係式の一つです。
• 変位と時間の関係式 (\(y = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)):
  • 選定理由: (2), (3), (4)では、すべて「時間 \(t\)」と「変位 \(y\)」が関わっています。(2)は \(t_1\) から \(y=h\) を、(3)は \(y=0\) から \(t_2\) を、(4)は \(t=9.0\) から \(y=-H\) を求めるために使用します。
  • 適用根拠: 速度を時間で積分して得られる、時間と位置を結びつける基本公式です。
• 速度と変位の関係式 (\(v^2 – v_0^2 = 2ay\)):
  • 選定理由: (2)の別解で示したように、「時間 \(t\) の情報なしに」、初速度 \(v_0\) と終速度 \(v=0\) から変位 \(y=h\) を求めたい場合に非常に有効です。計算ステップを減らし、(1)の計算ミスが影響しないという利点があります。
  • 適用根拠: 上記の2つの基本公式から時間 \(t\) を消去して導かれる関係式で、時間情報が不要な問題で威力を発揮します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(g=9.8\) の倍数に慣れる:
  • 物理の問題では、\(g=9.8\) ときれいに割り切れる数値（例: \(19.6 = 2 \times 9.8\), \(29.4 = 3 \times 9.8\), \(49 = 5 \times 9.8\)）が初速度や距離として与えられることが非常に多いです。これらの関係に気づくと、(1)の \(29.4/9.8\) や(3)の \(29.4t_2 – 4.9t_2^2 = 0\) のような計算が暗算レベルで素早く処理できます。
• 二次方程式はまず因数分解を試みる:
  • (3)で出てくる \(t_2\) の二次方程式 \(6t_2 – t_2^2 = 0\) を見て、すぐに解の公式に飛びつかないこと。まずは共通因数 \(t_2\) でくくる \(t_2(6-t_2)=0\) という因数分解を試みるのが定石です。これにより、計算が格段に速く、かつ正確になります。
• 文字式で整理してから代入:
  • (2)の別解のように、まず \(h = \displaystyle\frac{v_0^2}{2g}\) というように文字式で関係を導き出してから、最後に数値を代入する癖をつけると、物理的な見通しが良くなり、複雑な計算の途中でのミスを減らせます。
• 答えの吟味:
  • 計算後に出た答えが物理的に妥当か、一瞬考える習慣をつけましょう。例えば、(4)で変位 \(y\) がマイナスになったとき、「屋上より下に落ちたのだから、マイナスで正しいな」と確認する。もしプラスの値が出たら、どこかで符号のミスがあったと気づくことができます。

基本例題8 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射」です。物体を水平に投げ出したときの放物運動を扱います。この運動は、2つの単純な運動の組み合わせとして理解することが鍵となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が地面に当たるまでの時間 \(t\) は、鉛直方向に \(14.7 \text{ m}\) 落下するのにかかる時間によって決まります。水平方向の運動とは独立して、鉛直方向の運動（自由落下）だけを考えれば時間を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 座標軸を設定する：投げた点を原点とし、水平右向きをx軸の正、鉛直下向きをy軸の正の向きとする。
• 鉛直方向の運動は初速度 \(0\)、加速度 \(g\) の自由落下運動である。
• 落下距離 \(y = 14.7 \text{ m}\) となる時間 \(t\) を、自由落下の公式から求める。

具体的な解説と立式
投げた点を原点とし、水平方向にx軸、鉛直下向きにy軸をとります。
鉛直方向の運動は自由落下運動なので、初速度は \(v_{\text{0y}} = 0\)、加速度は \(a_y = g = 9.8 \text{ m/s}^2\) です。
変位と時間の関係式 \(y = v_{\text{0y}} t + \displaystyle\frac{1}{2} a_y t^2\) は、
$$ y = \displaystyle\frac{1}{2} g t^2 $$
となります。地面に当たるまでの時間は、落下距離 \(y\) が \(14.7 \text{ m}\) になるときなので、
$$ 14.7 = \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$

上記で立式した方程式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
14.7 &= \displaystyle\frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \\[2.0ex]
14.7 &= 4.9 \times t^2 \\[2.0ex]
t^2 &= \displaystyle\frac{14.7}{4.9} \\[2.0ex]
t^2 &= 3.0
\end{aligned}
$$
したがって、
$$ t = \sqrt{3.0} $$
ここで、\(\sqrt{3} \approx 1.732…\) であり、問題文の有効数字が2桁（\(9.8\)）であるため、答えも有効数字2桁に丸めます。
$$ t \approx 1.7 \text{ [s]} $$

ボールが横に飛ぶことと、下に落ちることは別々に考えられます。地面に着くまでの時間は、純粋に「高さ \(14.7 \text{ m}\) から物が自然に落ちる時間」と同じです。
自由落下の公式「落下距離 = \(0.5 \times\) 重力加速度 \(\times\) (時間)\(^2\)」を使います。
「\(14.7 = 0.5 \times 9.8 \times t^2\)」となり、これを解くと「\(t^2 = 3\)」なので、時間は \(\sqrt{3}\) 秒、およそ \(1.7\) 秒となります。

小球が地面に当たるまでの時間は約 \(1.7 \text{ s}\) です。計算過程、有効数字の処理ともに適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
水平方向に飛んだ距離 \(x\) は、水平方向の運動（等速直線運動）によって決まります。水平方向には、初速度 \(v_0 = 9.8 \text{ m/s}\) のままで、(1)で求めた時間 \(t\) だけ進み続けます。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動は、速さが一定（\(v_x = v_0 = 9.8 \text{ m/s}\)）の等速直線運動である。
• 「距離 = 速さ × 時間」の公式を用いる。
• 時間は(1)で求めた値を使う。計算途中では丸める前の \(\sqrt{3.0}\) を使うとより正確になる。

具体的な解説と立式
水平方向の運動は等速直線運動なので、その速さは常に初速度 \(v_0 = 9.8 \text{ m/s}\) と等しいです。
地面に当たるまでの時間 \(t = \sqrt{3.0} \text{ s}\) の間に進む水平距離 \(x\) は、
$$ x = v_0 t $$
数値を代入すると、
$$ x = 9.8 \times \sqrt{3.0} $$

$$
\begin{aligned}
x &= 9.8 \times \sqrt{3.0} \\[2.0ex]
&\approx 9.8 \times 1.732… \\[2.0ex]
&= 16.97… \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、
$$ x \approx 17 \text{ [m]} $$

ボールは横方向には、ずっと秒速 \(9.8 \text{ m}\) の一定の速さで飛んでいます。(1)で、ボールが空中にいる時間は約 \(1.7\) 秒だとわかりました。
したがって、横に飛んだ距離は「速さ \(\times\) 時間」で、\(9.8 \times 1.73 \approx 17\) メートルとなります。

水平方向に飛んだ距離は約 \(17 \text{ m}\) です。計算過程、有効数字の処理ともに適切です。

問(3)

思考の道筋とポイント
地面に当たる瞬間の速度 \(V\) は、その瞬間の「水平方向の速度成分 \(v_x\)」と「鉛直方向の速度成分 \(v_y\)」をベクトルとして合成したものです。
まず各成分の速さを求め、それらを使って三平方の定理で合成速度の大きさ \(V\) を、三角比で地面となす角 \(\theta\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 速度の水平成分 \(v_x\) は、常に初速度 \(v_0\) に等しい。
• 速度の鉛直成分 \(v_y\) は、自由落下の公式 \(v_y = gt\) で計算する。
• 合成速度の大きさ \(V\) は、三平方の定理 \(V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) で求める。
• 地面となす角 \(\theta\) は、\(v_x\) と \(v_y\) の関係（三角比）から求める。

具体的な解説と立式
地面に当たる瞬間の速度の各成分を求めます。
水平成分 \(v_x\) は常に一定です。
$$ v_x = v_0 = 9.8 \text{ m/s} $$
鉛直成分 \(v_y\) は、時間 \(t = \sqrt{3.0} \text{ s}\) 後の自由落下の速さなので、
$$ v_y = gt = 9.8 \times \sqrt{3.0} \text{ m/s} $$
合成速度の大きさ \(V\) は、これらの成分から三平方の定理を用いて求めます。
$$ V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$
地面となす角 \(\theta\) は、図より \(v_x\) と \(v_y\) からなる直角三角形の角であり、その関係は次式で表せます。
$$ \tan\theta = \displaystyle\frac{v_y}{v_x} $$

各成分の値を比較します。
$$ v_x = 9.8 $$
$$ v_y = 9.8\sqrt{3} $$
この2つの速度成分の比は、
$$ v_x : v_y = 9.8 : 9.8\sqrt{3} = 1 : \sqrt{3} $$
これは、辺の比が \(1:\sqrt{3}:2\) となる特別な直角三角形（\(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)）の関係を示しています。
図から、\(v_x\) が底辺、\(v_y\) が対辺に対応するので、角度 \(\theta\) は \(60^\circ\) となります。
$$ \theta = 60^\circ $$
合成速度 \(V\) はこの直角三角形の斜辺の長さに相当します。辺の比が \(1:\sqrt{3}:2\) なので、斜辺 \(V\) の大きさは、底辺 \(v_x\) の大きさの2倍になります。
$$
\begin{aligned}
V &= v_x \times 2 \\[2.0ex]
&= 9.8 \times 2 \\[2.0ex]
&= 19.6 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、
$$ V \approx 20 \text{ [m/s]} $$

地面にぶつかる瞬間、ボールは「横向きの速さ」と「下向きの速さ」の両方を持っています。
横向きの速さ \(v_x\) は、最初と同じ \(9.8 \text{ m/s}\) です。
下向きの速さ \(v_y\) は、重力で \(\sqrt{3}\) 秒間加速された結果で、計算すると \(9.8 \times \sqrt{3} \text{ m/s}\) となります。
この2つの速度の矢印で直角三角形を作ると、辺の比が \(9.8 : 9.8\sqrt{3}\)、つまり \(1 : \sqrt{3}\) となります。これは、角度が \(30^\circ, 60^\circ\) の有名な直角三角形です。この三角形の辺の比は \(1:\sqrt{3}:2\) なので、地面との角度は \(60^\circ\) で、全体の速さ（斜辺）は一番短い辺（横向きの速さ）の2倍、つまり \(9.8 \times 2 = 19.6 \text{ m/s}\)（約 \(20 \text{ m/s}\)）となります。

地面に当たるときの速度の大きさは約 \(20 \text{ m/s}\)、地面となす角は \(60^\circ\) です。速度の成分の比が特別な直角三角形に対応することに気づくと、計算が大幅に簡略化できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解という思考法:
  • 核心: 水平投射という2次元の放物運動を、互いに影響しない「水平方向の運動」と「鉛直方向の運動」という2つの単純な1次元運動に分解して考えること。これが放物運動を攻略するための最も重要な考え方です。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないため、初速度 \(v_0\) のまま進む等速直線運動。
    • 鉛直方向: 重力だけが働くため、初速度 \(0\) で落下する自由落下運動。
• 時間 \(t\) の共通性:
  • 核心: 分解された水平・鉛直の2つの運動は、独立しているように見えて、「時間 \(t\)」という共通のパラメータによって結びつけられています。
  • 理解のポイント: 鉛直方向に落下する時間と、水平方向に進む時間は全く同じです。そのため、一方の運動から時間を求め、それをもう一方の運動の計算に利用することができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 水平投射の最も一般的な応用例です。運動を分解する考え方は全く同じで、違いは鉛直方向の運動が「自由落下」から「鉛直投げ上げ」に変わるだけです。鉛直方向の初速度が \(0\) でなくなります。
  • 力学的エネルギー保存則の利用: (3)の地面に当たる速さ \(V\) は、エネルギー保存則を使っても求められます。初めのエネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）と終わりのエネルギー（運動エネルギー）が等しいことから、\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2 + mgy = \displaystyle\frac{1}{2}mV^2\) という式を立て、速さ \(V\) を直接計算できます。
  • 動く座標系からの投射: 電車の中からボールを投げるなど、観測者が動いている場合の問題。これも運動の分解と相対速度の考え方を組み合わせることで解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定: まず、原点とx軸（水平）、y軸（鉛直）の正の向きを決めます。水平投射では、投げた点を原点、水平方向をx軸の正、鉛直下向きをy軸の正とすると、全ての物理量が正の値となり計算が簡単になります。
  2. 思考の分離: 「水平方向だけを見る」「鉛直方向だけを見る」と、意識的に思考を切り替えます。
  3. 時間 \(t\) を求める: まず、どちらかの運動（通常は情報が多い鉛直方向の運動）に着目して、地面に落下するまでの時間 \(t\) を求めます。この \(t\) が、もう一方の運動を考える際の鍵となります。
  4. 速度の合成: 速度の大きさと向きを問われたら、必ず「x成分 \(v_x\)」と「y成分 \(v_y\)」を個別に計算し、最後に三平方の定理と三角比で合成する、という手順を思い出します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 水平運動と鉛直運動の混同:
  • 誤解: 水平方向の運動にも重力加速度 \(g\) が影響すると考え、\(x = v_0 t – \frac{1}{2}gt^2\) のような誤った式を立ててしまう。
  • 対策: 「力のない方向には加速度はゼロ」という運動の法則を徹底します。水平方向には力が働かないので、加速度は \(0\)。したがって、常に等速直線運動です。
• 鉛直方向の初速度の誤解:
  • 誤解: 鉛直方向の運動を考える際に、初速度を \(v_0\) と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「水平投射」という言葉の通り、初速度は水平方向にしかありません。したがって、鉛直方向の初速度は \(v_{0y}=0\) です。これを明確に意識することが重要です。
• 速度と速度成分の混同:
  • 誤解: (3)で地面に当たる速さを問われたときに、鉛直成分の速さ \(v_y\) だけを答えてしまう。
  • 対策: 速度はベクトルであり、合成された結果であることを常に意識します。必ず \(v_x\) と \(v_y\) の両方を考慮し、それらを合成した \(V\) が求める速さであることを理解しましょう。速度のベクトル図を描く習慣をつけると、このミスは防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直方向: \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) (問1)
  • 選定理由: 「時間 \(t\)」を求めるのが目的。鉛直方向の情報として「落下高さ \(y\)」が与えられているため、\(y\) と \(t\) を直接結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: これは、等加速度直線運動の一般式 \(y = v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2\) に、鉛直方向の条件（初速度 \(v_{0y}=0\)、加速度 \(a_y=g\)）を代入したものです。
• 水平方向: \(x = v_0t\) (問2)
  • 選定理由: 「水平距離 \(x\)」を求めるのが目的。(1)で「時間 \(t\)」が求まり、「水平の初速度 \(v_0\)」は与えられているため、これら3つの量を結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: これは、加速度が \(0\) の等速直線運動の定義そのものです。
• 速度の合成: \(V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) と \(\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}\) (問3)
  • 選定理由: 速度はベクトルであり、水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) は直交しています。直交する2つのベクトルを合成してその大きさを求めるには、数学的なツールである「三平方の定理」を用います。また、その向き（角度）を求めるには「三角比」を用いるのが基本です。
  • 適用根拠: ベクトルの合成に関する数学的な定義に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 特別な直角三角形への感度を高める:
  • (3)のように、速度の成分の比が \(v_x : v_y = 1 : \sqrt{3}\) となりました。この比を見たら、即座に「辺の比が \(1:\sqrt{3}:2\) の \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) の直角三角形だ」と気づけるようにしましょう。これにより、面倒な平方根の計算やアークタンジェントの計算をせずに、速さの大きさと角度を瞬時に求めることができます。\(1:1:\sqrt{2}\) のパターンも頻出です。
• \(g=9.8\) の計算に慣れる:
  • \(14.7 \div 4.9 = 3\) のように、\(g=9.8\) やその半分の \(4.9\) で割り切れる数値が問題設定でよく使われます。こうした計算に慣れておくと、時間を短縮できます。
• 必ず図を描く:
  • 特に(3)では、\(v_x\), \(v_y\), \(V\), \(\theta\) の関係をベクトル図として描くことが非常に重要です。図を描くことで、\(\tan\theta\) が \(\frac{v_y}{v_x}\) なのか \(\frac{v_x}{v_y}\) なのかを視覚的に確認でき、間違いを防げます。
• 途中計算では文字や根号を残す:
  • (2)の計算で、\(t \approx 1.7\) を代入するのではなく、\(t=\sqrt{3}\) のまま \(x = 9.8\sqrt{3}\) として計算を進める方が、誤差が少なく、より正確な答えが得られます。最後の最後で近似値を代入する癖をつけましょう。

基本例題9 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射」です。物体を地面から斜め上向きに投げ出したときの放物運動を扱います。この運動は、水平投射と同様に、2つの単純な運動の組み合わせとして分析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が「最高点に達する」という条件は、鉛直方向の速度成分 \(v_y\) が一瞬だけ \(0\) になることを意味します。したがって、運動を水平と鉛直に分解し、鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）について速度と時間の関係式を立てることで、最高点に達するまでの時間 \(t_1\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 座標軸を設定する：投げた点を原点とし、水平右向きをx軸の正、鉛直上向きをy軸の正の向きとする。
• 初速度を分解する：\(v_0 = 20 \text{ m/s}\) を水平成分 \(v_{0x}\) と鉛直成分 \(v_{0y}\) に分解する。
• 鉛直方向の運動は、初速度 \(v_{0y}\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動（鉛直投げ上げ）である。
• 最高点の条件 \(v_y = 0\) を利用する。

具体的な解説と立式
投げた点を原点とし、水平方向にx軸、鉛直上向きにy軸をとります。
初速度 \(v_0 = 20 \text{ m/s}\) を、水平成分 \(v_{0x}\) と鉛直成分 \(v_{0y}\) に分解します。
$$ v_{0x} = v_0 \cos30^\circ = 20 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ m/s} $$
$$ v_{0y} = v_0 \sin30^\circ = 20 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 10 \text{ m/s} $$
鉛直方向の運動について、速度と時間の関係式 \(v_y = v_{0y} + a_y t\) を考えます。加速度は \(a_y = -g = -9.8 \text{ m/s}^2\) です。
最高点では \(v_y = 0\) なので、このときの時刻を \(t_1\) とすると、
$$ 0 = v_{0y} – g t_1 $$
数値を代入すると、
$$ 0 = 10 – 9.8 \times t_1 $$

上記で立式した方程式を \(t_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 10 – 9.8 \times t_1 \\[2.0ex]
9.8 \times t_1 &= 10 \\[2.0ex]
t_1 &= \displaystyle\frac{10}{9.8} \\[2.0ex]
&= 1.02… \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、
$$ t_1 \approx 1.0 \text{ [s]} $$

斜めに投げたボールの運動は、「横に進む動き」と「縦に上がって下りる動き」に分けられます。最高点に達する時間は、縦の動きだけで決まります。
最初に上向きに持っている速さは \(20 \sin30^\circ = 10 \text{ m/s}\) です。この上向きの速さが、重力（1秒間に \(9.8 \text{ m/s}\) ずつ速さを減らす）によって \(0\) になるまでの時間を計算します。
時間は「初めの上向きの速さ ÷ 1秒あたりに減る速さ」で、\(10 \div 9.8 \approx 1.0\) 秒となります。

最高点に達するまでの時間は約 \(1.0 \text{ s}\) です。計算過程、有効数字の処理ともに適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
最高点の高さ \(h\) は、(1)で求めた時間 \(t_1\) の間の「鉛直方向の移動距離」です。また、最高点までの水平距離 \(x_1\) は、同じ時間 \(t_1\) の間の「水平方向の移動距離」です。それぞれの方向の運動法則に従って計算します。
この設問における重要なポイント

• 最高点の高さ \(h\): 鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）の変位の式で計算する。時間を含まない公式 \(v_y^2 – v_{0y}^2 = 2a_y y\) を使うと計算が簡単な場合が多い。
• 水平距離 \(x_1\): 水平方向の運動（等速直線運動）の距離の式で計算する。
• 計算には(1)で求めた時間 \(t_1\) の、丸める前の値（\(10/9.8\)）を使うとより正確になる。

具体的な解説と立式
最高点の高さ \(h\) の計算
鉛直方向の運動について、時間を含まない公式 \(v_y^2 – v_{0y}^2 = 2a_y y\) を用います。
最高点では \(v_y=0\)、変位は \(y=h\)、加速度は \(a_y=-g\) です。
$$ 0^2 – v_{0y}^2 = 2(-g)h $$
$$ h = \displaystyle\frac{v_{0y}^2}{2g} $$

最高点までの水平距離 \(x_1\) の計算
水平方向の運動は、速さ \(v_{0x}\) の等速直線運動です。時間 \(t_1\) の間に進む距離 \(x_1\) は、
$$ x_1 = v_{0x} t_1 $$

高さ \(h\) の計算:
$$
\begin{aligned}
h &= \displaystyle\frac{(10)^2}{2 \times 9.8} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{100}{19.6} \\[2.0ex]
&= 5.102… \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\(h \approx 5.1 \text{ m}\)。

水平距離 \(x_1\) の計算:
(1)で求めた \(t_1 = \frac{10}{9.8} \text{ s}\) を使います。
$$
\begin{aligned}
x_1 &= v_{0x} t_1 \\[2.0ex]
&= (10\sqrt{3}) \times \left(\displaystyle\frac{10}{9.8}\right) \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{100\sqrt{3}}{9.8} \\[2.0ex]
&\approx \displaystyle\frac{100 \times 1.732}{9.8} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{173.2}{9.8} \\[2.0ex]
&= 17.67… \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\(x_1 \approx 18 \text{ m}\)。

高さh: 上向きの速さが \(10 \text{ m/s}\) から \(0\) になるまでにどれだけ高く上がるかを計算します。時間を使わない公式を使うと、\(h = (10^2) / (2 \times 9.8) \approx 5.1\) メートルと求まります。
水平距離x₁: 横方向には \(10\sqrt{3}\) (約 \(17.3\)) m/s の一定の速さで進みます。(1)で最高点まで約 \(1.0\) 秒かかるとわかったので、この間に進む距離は「速さ \(\times\) 時間」で、\(17.3 \times 1.02 \approx 18\) メートルとなります。

最高点の高さは約 \(5.1 \text{ m}\)、そこまでの水平距離は約 \(18 \text{ m}\) です。それぞれの方向の運動に分けて考えることで、正しく計算できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
「再び地上にもどる」までの運動は、最高点を境に対称的です。この「対称性」を利用するのが最も簡単で効率的な解法です。
最高点まで上がるのにかかった時間と、最高点から同じ高さの地面に下りるのにかかる時間は等しくなります。同様に、全水平到達距離は、最高点までの水平距離のちょうど2倍になります。
この設問における重要なポイント

• 運動の対称性を利用する。
• 地上にもどるまでの時間 \(t_2\) は、最高点までの時間 \(t_1\) の2倍。
• 水平到達距離 \(x_2\) は、最高点までの水平距離 \(x_1\) の2倍。

具体的な解説と立式
地上にもどるまでの時間 \(t_2\) の計算
運動の対称性より、
$$ t_2 = 2t_1 $$

水平到達距離 \(x_2\) の計算
運動の対称性より、
$$ x_2 = 2x_1 $$

時間 \(t_2\) の計算:
(1)の結果 \(t_1 = 1.02… \text{ s}\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
t_2 &= 2 \times 1.02… \\[2.0ex]
&= 2.04… \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\(t_2 \approx 2.0 \text{ s}\)。

水平距離 \(x_2\) の計算:
(2)の結果 \(x_1 = 17.67… \text{ m}\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
x_2 &= 2 \times 17.67… \\[2.0ex]
&= 35.34… \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\(x_2 \approx 35 \text{ m}\)。

ボールが上がって下りてくる運動は、最高点を真ん中にして左右対称です。
(1)で最高点まで \(1.0\) 秒かかったので、地面に戻ってくるまでの合計時間はその2倍の \(2.0\) 秒です。
(2)で最高点まで水平に \(18\) m 進んだので、地面に戻ってくるまでに進む合計の水平距離もその2倍の \(35\) m（計算の途中の値を使うと \(17.6 \times 2 \approx 35\)）となります。

再び地上にもどるまでの時間は約 \(2.0 \text{ s}\)、水平到達距離は約 \(35 \text{ m}\) です。運動の対称性を利用することで、複雑な計算をせずに簡潔に解くことができました。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と合成:
  • 核心: 斜方投射という複雑な2次元の運動を、単純な2つの1次元運動、すなわち「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ運動」に分解して考えること。これが全ての基本です。
  • 理解のポイント:
    • 初速度の分解: まず初めに、初速度ベクトル \(v_0\) を水平成分 \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) と鉛直成分 \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\) に分解することが第一歩です。
    • 水平方向: 力が働かないため、速度 \(v_{0x}\) で等速直線運動をします。
    • 鉛直方向: 重力だけが働くため、初速度 \(v_{0y}\) で鉛直投げ上げ運動（加速度 \(-g\) の等加速度直線運動）をします。
• 物理的条件の数式化と対称性の利用:
  • 核心: 「最高点」や「再び地上にもどる」といった物理的な状況を、数式（\(v_y=0\) や \(y=0\)）に変換する能力と、運動の対称性を理解し活用することが、問題を効率的に解く鍵となります。
  • 理解のポイント:
    • 最高点: 鉛直方向の速度成分がゼロになる点 (\(v_y=0\))。水平方向の速度はゼロにならないことに注意。
    • 対称性: 同じ高さの地点から投げて同じ高さの地点に戻る場合、上昇にかかる時間と下降にかかる時間は等しく、最高点までの水平距離とそこから着地点までの水平距離も等しくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 高さの異なる地点への投射: 崖の上から斜め上に投げ上げる、あるいは斜め下に投げ下ろす問題。この場合、運動の対称性は使えません。鉛直方向の変位 \(y\) が \(0\) ではなく、崖の高さ \(-H\) などになる点に注意して、等加速度運動の公式を直接適用します。
  • 水平到達距離が最大になる角度: 初速度 \(v_0\) が一定のとき、水平到達距離 \(x_2\) が最大になるのは投射角が \(45^\circ\) のときである、という有名な性質を問う問題。
  • 力学的エネルギー保存則の利用: (2)の最高点の高さ \(h\) は、\(\displaystyle\frac{1}{2}m v_0^2 = mgh + \displaystyle\frac{1}{2}m v_x^2\) のように、エネルギー保存則からも求めることができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 初速度の分解: 何はともあれ、まず初速度を \(v_{0x}\) と \(v_{0y}\) に分解します。これが全ての計算の元になります。
  2. 思考の分離: 「水平方向」と「鉛直方向」でノートのスペースを分けるなどして、2つの運動を完全に別物として扱います。
  3. 鉛直方向から攻める: 通常、最高点や落下時間など、運動の節目を決めるのは鉛直方向の運動です。まず鉛直方向の運動に着目して時間 \(t\) を求めることが多いです。
  4. 対称性のチェック: 投げた点と着地点が同じ高さかを確認します。同じ高さであれば、(3)のように対称性を利用して計算を大幅に簡略化できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 初速度の分解ミス:
  • 誤解: \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を逆にしてしまう。\(v_{0x} = v_0 \sin\theta\), \(v_{0y} = v_0 \cos\theta\) と間違える。
  • 対策: 角度 \(\theta\) を挟む辺が \(\cos\)、向かい合う辺が \(\sin\) と覚える。あるいは、\(\theta=0\) の極端な場合（水平投射）を考えて、\(v_{0y}=0\) となるのは \(\sin0^\circ=0\) だから鉛直成分は \(\sin\) だ、と確認する習慣をつける。
• 最高点での速度の誤解:
  • 誤解: 最高点では完全に静止する、つまり速度が \(0\) になると勘違いする。
  • 対策: 最高点でゼロになるのは「鉛直方向の速度成分 \(v_y\)」だけです。水平方向には等速で運動し続けているため、最高点での速度は \(v_x = v_{0x}\) となります。速度ベクトルはゼロではありません。
• 加速度の混同:
  • 誤解: 水平方向の運動にも加速度 \(-g\) を適用してしまう。
  • 対策: 重力は鉛直下向きにしか働きません。したがって、加速度が存在するのは鉛直方向のみです。水平方向の加速度は常に \(0\) です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直方向: \(v_y = v_{0y} – gt\) (問1)
  • 選定理由: 「最高点」という速度に関する条件（\(v_y=0\)）から「時間 \(t_1\)」を求めたい。鉛直方向の速度と時間を結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動が、初速度 \(v_{0y}\)、加速度 \(-g\) の等加速度直線運動であるため、その速度式を適用します。
• 鉛直方向: \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gh\) (問2)
  • 選定理由: 「最高点の高さ \(h\)」を求めたい。初速度 \(v_{0y}\) と最高点での速度 \(v_y=0\) がわかっており、時間 \(t_1\) を使わずに直接高さを求められるため、この公式が効率的です。
  • 適用根拠: 鉛直方向の等加速度直線運動において、時間を含まない関係式を適用します。
• 水平方向: \(x = v_{0x}t\) (問2)
  • 選定理由: 「水平距離 \(x_1\)」を求めたい。水平方向は速さ \(v_{0x}\) が一定の等速直線運動であり、時間は(1)で求めた \(t_1\) を使うため、この単純な式で計算できます。
  • 適用根拠: 水平方向の運動が等速直線運動であるという物理法則そのものです。
• 対称性の利用 (問3)
  • 選定理由: 「再び地上にもどる」という、出発点と同じ高さに戻る運動について問われています。この場合、物理法則である「運動の対称性」を利用するのが、最も計算が少なく、速く、正確な解法だからです。
  • 適用根拠: 力学的エネルギー保存則から、同じ高さでは同じ速さの大きさを持つことが導かれ、そこから運動の時間的な対称性も証明されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角比の値を正確に:
  • \(\sin30^\circ = 0.5\), \(\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) のような基本的な三角比の値は、素早く正確に使えるようにしておく。特に \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) は必須です。
• 計算しやすい形での立式:
  • (1)で \(v_{0y} = 20\sin30^\circ = 10\) と先に計算しておくことで、その後の式が \(0 = 10 – 9.8t_1\) のように非常にシンプルになります。最初に各成分を計算しておくのが得策です。
• 途中計算での値の保持:
  • (2)で \(x_1\) を計算する際、(1)で求めた \(t_1 \approx 1.0\) という近似値を使うと誤差が大きくなります。\(t_1 = 10/9.8\) という分数の形のまま代入するか、より多くの桁数（例: \(1.02\)）を使って計算し、最後に有効数字に丸めるのが鉄則です。
• 単位の確認:
  • 時間、距離、高さなど、最終的に求めた物理量の単位が正しいかを確認する癖をつけることで、次元的な間違い（例：時間を求めているのに単位が m/s になるなど）を防げます。

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22 自由落下