無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「気体分子の速さとエネルギーの計算」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体分子運動論の応用計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
標準状態における窒素分子の二乗平均速度 \(\sqrt{\overline{v^2}}\) を求める問題です。まず、その計算の元となる「速さの2乗の平均」\(\overline{v^2}\) を、問題文で与えられている圧力の公式 \(p = \displaystyle\frac{1}{3}\rho\overline{v^2}\) を利用して求めます。この式を使うためには、標準状態における窒素ガスの圧力 \(p\) と密度 \(\rho\) の値が必要です。圧力 \(p\) は問題文に与えられていますが、密度 \(\rho\) は与えられていないため、自分で計算する必要があります。
この設問における重要なポイント

• 求める「二乗平均速度」は \(\sqrt{\overline{v^2}}\) である。
• まず「速さの2乗の平均」\(\overline{v^2}\) を公式 \(p = \displaystyle\frac{1}{3}\rho\overline{v^2}\) から求める。
• 密度 \(\rho\) は、質量を体積で割ることで求められる (\(\rho = \text{質量}/\text{体積}\))。
• 1 mol あたりの質量（モル質量）と 1 mol あたりの体積（モル体積）が分かっていれば、密度を計算できる。
• 分子量28の窒素ガスのモル質量は \(28 \, \text{g/mol} = 28 \times 10^{-3} \, \text{kg/mol}\) である。

具体的な解説と立式
まず、「速さの2乗の平均」\(\overline{v^2}\) を求めるために、与えられた圧力の公式を変形します。
$$ p = \frac{1}{3}\rho\overline{v^2} $$
$$ \overline{v^2} = \frac{3p}{\rho} \quad \cdots ① $$
次に、この式に必要な密度 \(\rho\) を求めます。
密度は、単位体積あたりの質量です。標準状態では、1 mol の気体の体積 \(V_{\text{mol}}\) は \(2.24 \times 10^{-2} \, \text{m}^3/\text{mol}\) です。
一方、窒素（分子量28）1 mol の質量 \(M_{\text{mol}}\) は \(28 \, \text{g} = 28 \times 10^{-3} \, \text{kg}\) です。
したがって、密度 \(\rho\) は、モル質量をモル体積で割ることで計算できます。
$$ \rho = \frac{M_{\text{mol}}}{V_{\text{mol}}} \quad \cdots ② $$
最終的に求める二乗平均速度は \(\sqrt{\overline{v^2}}\) です。

まず、式②を用いて密度 \(\rho\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\rho &= \frac{28 \times 10^{-3} \text{ [kg/mol]}}{2.24 \times 10^{-2} \text{ [m}^3\text{/mol]}} \\[2.0ex]&= \frac{28}{2.24} \times 10^{-1} \text{ [kg/m}^3\text{]} \\[2.0ex]&= 12.5 \times 10^{-1} \text{ [kg/m}^3\text{]} \\[2.0ex]&= 1.25 \text{ [kg/m}^3\text{]}
\end{aligned}
$$
次に、この密度 \(\rho = 1.25 \, \text{kg/m}^3\) と、標準状態の圧力 \(p = 1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\) を式①に代入して、\(\overline{v^2}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\overline{v^2} &= \frac{3 \times (1.0 \times 10^5)}{1.25} \\[2.0ex]&= \frac{3}{1.25} \times 10^5 \\[2.0ex]&= 2.4 \times 10^5 \text{ [m}^2\text{/s}^2\text{]}
\end{aligned}
$$
最後に、この値の正の平方根をとって、二乗平均速度 \(\sqrt{\overline{v^2}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\overline{v^2}} &= \sqrt{2.4 \times 10^5} \\[2.0ex]&= \sqrt{24 \times 10^4} \\[2.0ex]&= \sqrt{4 \times 6} \times 10^2 \\[2.0ex]&= 2\sqrt{6} \times 10^2
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{6} \approx 2.45\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\overline{v^2}} &\approx 2 \times 2.45 \times 10^2 \\[2.0ex]&= 4.9 \times 10^2 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

「二乗平均速度」を求めるには、まず「速さの2乗の平均 \(\overline{v^2}\)」を計算し、最後にその平方根（ルート）をとります。
「速さの2乗の平均 \(\overline{v^2}\)」は、公式 \(p = \frac{1}{3}\rho\overline{v^2}\) を変形した \(\overline{v^2} = \frac{3p}{\rho}\) から計算できます。
この計算には圧力 \(p\) と密度 \(\rho\) が必要です。圧力は与えられていますが、密度は自分で計算します。密度は「1 mol の質量」を「1 mol の体積」で割れば求まります（単位をkgとm³に揃えるのを忘れずに）。
計算して得られた \(\overline{v^2}\) の値の平方根を計算すると、答えの「二乗平均速度」が得られます。

標準状態での窒素ガス分子の二乗平均速度は \(4.9 \times 10^2 \, \text{m/s}\) です。
この速さは、マッハ1（音速、約340 m/s）を超える非常に高速ですが、気体分子の速さとしては物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
0℃（標準状態）の窒素ガス1分子あたりの平均運動エネルギー \(\overline{K}\) を求める問題です。平均運動エネルギーは \(\overline{K} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) で定義されます。
(1)の計算過程で「速さの2乗の平均」\(\overline{v^2}\) は求めたので、これと窒素ガス1分子の質量 \(m\) を使って計算します。1分子の質量は、モル質量をアボガドロ定数で割ることで得られます。
この設問における重要なポイント

• 平均運動エネルギーの定義式: \(\overline{K} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\)
• 1分子の質量 \(m\) は、モル質量 \(M_{\text{mol}}\) とアボガドロ定数 \(N_A\) を用いて \(m = \displaystyle\frac{M_{\text{mol}}}{N_A}\) と計算できる。
• (1)で求めた \(\overline{v^2} = 2.4 \times 10^5 \, \text{m}^2/\text{s}^2\) の値を利用する。

具体的な解説と立式
1分子あたりの平均運動エネルギー \(\overline{K}\) は、
$$ \overline{K} = \frac{1}{2}m\overline{v^2} \quad \cdots ① $$
で与えられます。
ここで、\(\overline{v^2}\) は(1)の計算過程で求めた \(2.4 \times 10^5 \, \text{m}^2/\text{s}^2\) です。
窒素分子1個の質量 \(m\) を計算します。窒素のモル質量 \(M_{\text{mol}}\) は \(28 \times 10^{-3} \, \text{kg/mol}\)、アボガドロ定数 \(N_A\) は \(6.0 \times 10^{23} \, \text{/mol}\) なので、
$$ m = \frac{M_{\text{mol}}}{N_A} \quad \cdots ② $$

まず、式②を用いて窒素分子1個の質量 \(m\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{28 \times 10^{-3} \text{ [kg/mol]}}{6.0 \times 10^{23} \text{ [/mol]}} \\[2.0ex]&= \frac{28}{6.0} \times 10^{-26} \text{ [kg]}
\end{aligned}
$$
次に、この質量 \(m\) と(1)で求めた \(\overline{v^2}\) を式①に代入して、\(\overline{K}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\overline{K} &= \frac{1}{2} \times \left( \frac{28}{6.0} \times 10^{-26} \right) \times (2.4 \times 10^5) \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times \frac{28}{6.0} \times 2.4 \times 10^{-26+5} \text{ [J]} \\[2.0ex]&= \frac{28 \times 1.2}{6.0} \times 10^{-21} \text{ [J]} \\[2.0ex]&= 28 \times 0.2 \times 10^{-21} \text{ [J]} \\[2.0ex]&= 5.6 \times 10^{-21} \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

分子1個の平均運動エネルギーは「\(\frac{1}{2} \times (\text{分子1個の質量}) \times (\text{速さの2乗の平均})\)」で計算できます。
「速さの2乗の平均」は(1)の計算途中で \(2.4 \times 10^5\) と求めました。
「分子1個の質量」は、「1 mol の質量（モル質量）」を「1 mol あたりの個数（アボガドロ定数）」で割れば求まります。窒素のモル質量は \(28 \, \text{g}\)、アボガドロ定数は \(6.0 \times 10^{23}\) です（単位をkgに直すのを忘れずに）。
これらの値をすべて運動エネルギーの式に代入して計算すれば、答えが得られます。

0℃の窒素ガス1分子あたりの平均運動エネルギーは \(5.6 \times 10^{-21} \, \text{J}\) です。
非常に小さい値ですが、分子レベルのエネルギーとしては妥当な大きさです。
また、このエネルギーは温度に比例することが知られています (\(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}k_B T\))。この関係を使って検算することもできます。\(T = 273 \, \text{K}\), \(k_B \approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\) を用いると、\(\overline{K} = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 273 \approx 5.65 \times 10^{-21} \, \text{J}\) となり、計算結果とよく一致します。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 気体分子運動論の公式の定量的適用:
  • 核心: 気体分子運動論によって導かれた公式（\(p = \frac{1}{3}\rho\overline{v^2}\) や \(\overline{K} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}\)）に、具体的な数値を代入して物理量を計算する能力が問われています。
  • 理解のポイント: 公式を覚えているだけでは不十分で、式に含まれる各文字（特に密度 \(\rho\) や分子1個の質量 \(m\)）を、モル質量やモル体積、アボガドロ定数といった基本的な量から正しく計算できることが重要です。ミクロな量とマクロな量の間の変換をスムーズに行えるかが鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 異なる気体での計算: 例えば、ヘリウム（分子量4）や二酸化炭素（分子量44）など、異なる気体について同様の計算を行う問題。分子量が変わると、密度や分子1個の質量が変化します。
  • 異なる状態での計算: 標準状態ではなく、異なる温度・圧力の条件下での計算。この場合、理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を使って、その条件下での体積や密度を求める必要があります。
  • 「速さの2乗の平均」を求める問題: (1)で問われた「二乗平均速度」\(\sqrt{\overline{v^2}}\) ではなく、その2乗である \(\overline{v^2}\) を求める問題。最後の平方根の計算が不要になります。用語の違いに注意が必要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 求めたい量は何か？: まず、最終的に何を計算するのか（\(\sqrt{\overline{v^2}}\) なのか \(\overline{v^2}\) なのか \(\overline{K}\) なのか）を用語の定義に注意して明確にします。
  2. 使うべき公式は何か？: 求めたい量と、問題文で与えられている情報を結びつける公式を選択します。
  3. 公式に必要なパーツは揃っているか？: 選択した公式を使うために必要な物理量（\(p, \rho, m\) など）がすべて与えられているか確認します。足りないものがあれば、他の知識（密度の定義、モル質量の関係など）を使って計算できないか考えます。
  4. 単位の統一: 計算を実行する前に、すべての物理量の単位が基本単位（kg, m, s）に揃っているか必ず確認します。特に、gとkg、Lとm³の変換は間違いやすいポイントです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 用語の混同:
  • 誤解: 「二乗平均速度」を \(\overline{v^2}\) のことだと勘違いし、平方根をとるのを忘れてしまう。
  • 対策: 「二乗平均速度」は \(\sqrt{\overline{v^2}}\)、「速さの2乗の平均」は \(\overline{v^2}\) であると、用語と数式を正確に対応させて覚えることが重要です。「速度」というからには速さの次元 [m/s] を持つはず、と考えると混同を防げます。
• 質量の単位ミス:
  • 誤解: 分子量28をそのまま質量計算に使ってしまい、モル質量を \(28 \, \text{kg/mol}\) としたり、分子1個の質量を \(28 \, \text{kg}\) と勘違いしたりする。
  • 対策: 分子量は、基準となる原子（炭素12）の質量を12としたときの相対的な質量であり、単位はありません。モル質量は、分子量に単位 g/mol をつけたもの（\(28 \, \text{g/mol}\)）です。物理計算で使う基本単位は kg なので、必ず \(28 \times 10^{-3} \, \text{kg/mol}\) に変換する習慣をつけましょう。
• 密度 \(\rho\) の計算ミス:
  • 誤解: 密度を計算する際に、モル質量とモル体積の単位を揃えずに計算してしまう。
  • 対策: 密度を kg/m³ で求めるためには、質量を kg、体積を m³ で計算する必要があります。\(28 \, \text{g}\) を \(28 \times 10^{-3} \, \text{kg}\) に変換することを忘れないようにしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(p = \displaystyle\frac{1}{3}\rho\overline{v^2}\):
  • 選定理由: (1)では、分子の速さの平均値 \(\overline{v^2}\) を求めたい。問題文で与えられているマクロな量（圧力 \(p\)）と、ミクロな量（\(\overline{v^2}\)）を直接結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: この式は、気体分子運動論において、多数の分子の壁への衝突というミクロな現象から、圧力というマクロな量を導出した結果です。
• \(\overline{K} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\):
  • 選定理由: (2)では、1分子あたりの平均運動エネルギー \(\overline{K}\) を求めたい。これは運動エネルギーの定義そのものです。
  • 適用根拠: 運動エネルギーが \(\frac{1}{2} \times \text{質量} \times \text{速さ}^2\) で定義されることは、力学の基本です。気体中の多数の分子を扱うため、速さの2乗の平均値 \(\overline{v^2}\) を用いて、エネルギーの平均値 \(\overline{K}\) を定義します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算をまとめる: (2)の計算のように、\(10^A \times 10^B \div 10^C\) のような計算が多く出てきます。最後にまとめて \(10^{A+B-C}\) のように計算すると、途中の桁数を間違えるリスクを減らせます。
• 分数の計算の工夫: (1)の \(\displaystyle\frac{3}{1.25}\) のような計算は、分母・分子を4倍して \(\displaystyle\frac{12}{5}\) とすると、暗算しやすくなります。小数を含む分数は、整数に直す工夫が有効です。
• 別解による検算: (2)の解答は、\(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}k_B T\) という別の公式からも導出できます。このように、異なるアプローチで同じ答えが出ることを確認できれば、計算の信頼性が大幅に向上します。ボルツマン定数 \(k_B = R/N_A\) を計算し（\(R \approx 8.31 \, \text{J/(mol K)}\)）、\(T=273 \, \text{K}\) を代入してみるのも良い練習になります。

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