無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「気体分子のエネルギーと速さの比較」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体分子のエネルギーと速さ」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
水素分子と酸素分子の平均運動エネルギーの比を求める問題です。ここで鍵となるのは、「気体分子1個あたりの平均運動エネルギーは、気体の種類によらず、絶対温度 \(T\) だけで決まる」という気体分子運動論の非常に重要な結論です。
この設問における重要なポイント

• 気体分子1個あたりの平均運動エネルギー \(\overline{K}\) は、ボルツマン定数を \(k_B\) として \(\overline{K} = \displaystyle\frac{3}{2}k_B T\) と表される。
• この式からわかるように、平均運動エネルギーは気体の種類（分子量や質量）には依存しない。
• したがって、温度が同じであれば、どんな種類の気体分子でも平均運動エネルギーは等しい。

具体的な解説と立式
水素ガスと酸素ガスは、どちらも同じ温度 \(0^\circ\text{C}\) です。
気体分子1個あたりの平均運動エネルギー \(\overline{K}\) は、絶対温度を \(T\) とすると、
$$ \overline{K} = \frac{3}{2}k_B T $$
と表されます。
この式は、分子の質量 \(m\) や分子量を含んでいません。つまり、平均運動エネルギーは気体の種類によらず、絶対温度 \(T\) のみに比例します。
今、水素分子と酸素分子は同じ温度に置かれているため、それぞれの平均運動エネルギー \(\overline{K}_{\text{H}_2}\) と \(\overline{K}_{\text{O}_2}\) は等しくなります。
$$ \overline{K}_{\text{H}_2} = \overline{K}_{\text{O}_2} $$
したがって、水素1分子あたりの平均運動エネルギーは、酸素1分子あたりの平均運動エネルギーの1倍です。

上記の解説の通り、立式と同時に結論が導かれます。比を計算すると、
$$ \frac{\overline{K}_{\text{H}_2}}{\overline{K}_{\text{O}_2}} = 1 $$

気体分子の「平均運動エネルギー」は、その気体の「温度」だけで決まります。分子が重いか軽いか（水素か酸素か）は関係ありません。
問題では、水素ガスと酸素ガスはどちらも同じ \(0^\circ\text{C}\) なので、温度が同じです。
したがって、両者の平均運動エネルギーも全く同じになります。よって、答えは1倍です。

水素1分子あたりの平均運動エネルギーは、酸素1分子あたりの平均運動エネルギーの1倍です。これは気体分子運動論の基本原則であり、しっかりと理解しておくべき重要なポイントです。

問(2)

思考の道筋とポイント
水素分子と酸素分子の「平均の速さ」の比を求める問題です。(1)で、両者の平均運動エネルギーが等しいことがわかりました。この事実と、運動エネルギーの定義式 \(\overline{K} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}\) を使って、速さの比を計算します。ここでいう「平均の速さ」は、二乗平均速度 \(\sqrt{\overline{v^2}}\) のことを指していると解釈するのが一般的です。
この設問における重要なポイント

• (1)より、\(\overline{K}_{\text{H}_2} = \overline{K}_{\text{O}_2}\) である。
• 平均運動エネルギーの定義は \(\overline{K} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\)。
• 分子1個の質量 \(m\) は、分子量に比例する。

具体的な解説と立式
(1)の結果から、水素分子と酸素分子の平均運動エネルギーは等しいので、
$$ \frac{1}{2}m_{\text{H}_2}\overline{v_{\text{H}_2}^2} = \frac{1}{2}m_{\text{O}_2}\overline{v_{\text{O}_2}^2} \quad \cdots ① $$
ここで、\(m_{\text{H}_2}\) と \(m_{\text{O}_2}\) はそれぞれ水素分子と酸素分子1個の質量、\(\overline{v_{\text{H}_2}^2}\) と \(\overline{v_{\text{O}_2}^2}\) はそれぞれの速さの2乗の平均です。
式①を整理すると、
$$ \frac{\overline{v_{\text{H}_2}^2}}{\overline{v_{\text{O}_2}^2}} = \frac{m_{\text{O}_2}}{m_{\text{H}_2}} $$
両辺の正の平方根をとると、二乗平均速度の比が得られます。
$$ \frac{\sqrt{\overline{v_{\text{H}_2}^2}}}{\sqrt{\overline{v_{\text{O}_2}^2}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{O}_2}}{m_{\text{H}_2}}} \quad \cdots ② $$
分子1個の質量 \(m\) は分子量 \(M\) に比例するので、質量の比は分子量の比に等しくなります。
$$ \frac{m_{\text{O}_2}}{m_{\text{H}_2}} = \frac{M_{\text{O}_2}}{M_{\text{H}_2}} = \frac{32}{2} = 16 $$
これを式②に代入します。

$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{\overline{v_{\text{H}_2}^2}}}{\sqrt{\overline{v_{\text{O}_2}^2}}} &= \sqrt{16} \\
&= 4
\end{aligned}
$$
したがって、水素分子の平均の速さは酸素分子の平均の速さの4倍です。

(1)で、水素と酸素の平均運動エネルギーは同じだとわかりました。運動エネルギーは「\(\frac{1}{2} \times \text{質量} \times \text{速さ}^2\)」で計算されます。
このエネルギーが同じだということは、「軽い分子ほど、速く動き回っている」ということです。
水素（分子量2）は酸素（分子量32）より16倍軽いです。
エネルギーを同じにするためには、速さの「2乗」が16倍になる必要があります。
したがって、速さ自体は \(\sqrt{16} = 4\) 倍になります。

水素分子の平均の速さは酸素分子の平均の速さの4倍です。軽い気体ほど速く運動しているという直感的なイメージとも一致し、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
温度が \(273^\circ\text{C}\) になったときの平均運動エネルギーが、\(0^\circ\text{C}\) のときの何倍になるかを問う問題です。ここでも(1)と同様に、「気体分子1個あたりの平均運動エネルギーは絶対温度に比例する」という法則を使います。重要なのは、計算にはセルシウス温度（℃）ではなく、絶対温度（K）を用いることです。
この設問における重要なポイント

• 平均運動エネルギー \(\overline{K}\) は絶対温度 \(T\) に比例する (\(\overline{K} \propto T\))。
• 絶対温度 \(T \, \text{[K]}\) とセルシウス温度 \(t \, [^\circ\text{C}]\) の関係は \(T = t + 273\)。

具体的な解説と立式
まず、それぞれの温度を絶対温度に変換します。
変化前の温度 \(t_1 = 0^\circ\text{C}\) は、
$$ T_1 = 0 + 273 = 273 \, \text{K} $$
変化後の温度 \(t_2 = 273^\circ\text{C}\) は、
$$ T_2 = 273 + 273 = 546 \, \text{K} $$
平均運動エネルギー \(\overline{K}\) は絶対温度 \(T\) に比例するので、
$$ \overline{K} = cT \quad (\text{cは比例定数}) $$
と書けます。
変化前のエネルギーを \(\overline{K_1}\)、変化後のエネルギーを \(\overline{K_2}\) とすると、
$$ \overline{K_1} = cT_1 $$
$$ \overline{K_2} = cT_2 $$
求めたいのは、エネルギーの比 \(\displaystyle\frac{\overline{K_2}}{\overline{K_1}}\) です。
$$ \frac{\overline{K_2}}{\overline{K_1}} = \frac{cT_2}{cT_1} = \frac{T_2}{T_1} \quad \cdots ① $$
この関係は、水素と酸素の両方に共通して成り立ちます。

式①に、計算した絶対温度の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{\overline{K_2}}{\overline{K_1}} &= \frac{546 \, \text{K}}{273 \, \text{K}} \\
&= 2
\end{aligned}
$$
したがって、水素と酸素のどちらの分子も、1分子あたりの平均運動エネルギーは2倍になります。

分子の平均運動エネルギーは「絶対温度」に比例します。
計算をするときは、摂氏（℃）を絶対温度（K）に直す必要があります。摂氏に273を足すと絶対温度になります。
はじめの温度は \(0^\circ\text{C}\) なので、絶対温度では \(0+273=273 \, \text{K}\) です。
後の温度は \(273^\circ\text{C}\) なので、絶対温度では \(273+273=546 \, \text{K}\) です。
絶対温度が \(273 \, \text{K}\) から \(546 \, \text{K}\) へと、ちょうど2倍になっています。
エネルギーは絶対温度に比例するので、エネルギーも2倍になります。これは水素でも酸素でも同じです。

温度が \(273^\circ\text{C}\) になったとき、水素と酸素の1分子あたりの平均運動エネルギーは、\(0^\circ\text{C}\) のときに比べてそれぞれ2倍になります。絶対温度で考える、という基本さえ押さえれば平易な問題ですが、この基本が非常に重要です。

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