問題の確認
wave#01各設問の思考プロセス
(1) この波の振幅 \(A\)、波長 \(\lambda\)、波の伝わる速さ \(v\)、振動数 \(f\)、周期 \(T\) を求めよ。
- 振幅 \(A\) の決定: 与えられた \(y-x\) グラフ（波形グラフ）から、\(y\) 軸方向の振動の中心からの最大変位を読み取ります。
- 波長 \(\lambda\) の決定: \(y-x\) グラフから、空間的に同じ位相の点（例: 隣り合う山と山、または谷と谷）の間の距離、すなわち1波長分の長さを読み取ります。
- 波の伝わる速さ \(v\) の計算: 波の山PがP’へ移動した距離 \(\Delta x\) と、その移動に要した時間 \(\Delta t = 0.10\) s を用いて、\(\displaystyle v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) の式から計算します。
- 周期 \(T\) の計算: 求めた波の速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) を用い、波の基本式 \(v = \frac{\lambda}{T}\) を変形して \(T = \frac{\lambda}{v}\) から計算します。
- 振動数 \(f\) の計算: 求めた周期 \(T\) を用い、関係式 \(\displaystyle f = \frac{1}{T}\) から計算します。あるいは、基本式 \(v = f\lambda\) を変形して \(\displaystyle f = \frac{v}{\lambda}\) から計算することもできます。
(2) 波の山Pが 図の位置から、\(x=10.0\) m のところまで移動するには何秒かかるか。
- 初期位置と目標位置の確認: 波の山Pの初期位置 \(x_P\) を図から読み取り、目標位置 \(x_{目標} = 10.0\) m を問題文から確認します。
- 移動距離の計算: 山Pが移動しなければならない距離 \(D = x_{目標} – x_P\) を計算します。
- 使用する速さの確認: (1)で求めた波の伝わる速さ \(v\) を用います。波は一定の速さで進むと考えます。
- 時間の計算: 関係式「時間 \(t\) = 距離 \(D\) / 速さ \(v\)」を用いて、必要な時間を計算します。
各設問の具体的な解説と解答
(1) この波の振幅 \(A\)、波長 \(\lambda\)、波の伝わる速さ \(v\)、振動数 \(f\)、周期 \(T\) を求めよ。
問われている内容の明確化:
波の5つの基本的な物理量（振幅、波長、速さ、振動数、周期）を、与えられた波形グラフと時間情報から求めます。
具体的な解説と計算手順:
振幅 \(A\):
波形グラフの \(y\) 軸を見ると、波の振動の中心（\(y=0\) m）からの最大の変位は \(0.50\) m です。
したがって、振幅 \(A\) は、
$$A = 0.50 \text{ m}$$
波長 \(\lambda\):
波形グラフの \(x\) 軸を見ると、1つの完全な波のパターン（例えば、山から次の山まで、または原点から同じ位相の次の点まで）の長さを読み取ります。
図の実線を見ると、\(x=0\) m から波が始まり、\(x=2.0\) m で1つの波長が終わっていることが分かります（山と谷が1つずつ含まれる）。
したがって、波長 \(\lambda\) は、
$$\lambda = 2.0 \text{ m}$$
波の伝わる速さ \(v\):
実線の波の山Pの初期位置は、図から \(x_P = 0.5\) m と読み取れます。
0.10秒後に、この山はP’の位置に移動し、その位置は \(x_{P’} = 1.0\) m と読み取れます。
山PがP’まで移動した距離 \(\Delta x\) は、
$$\Delta x = x_{P’} – x_P = 1.0 \text{ m} – 0.5 \text{ m} = 0.5 \text{ m}$$
この移動にかかった時間 \(\Delta t\) は \(0.10\) s です。
したがって、波の伝わる速さ \(v\) は、
$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0.5 \text{ m}}{0.10 \text{ s}} = 5.0 \text{ m/s}$$
周期 \(T\):
波の基本式 \(v = \frac{\lambda}{T}\) を用いて周期 \(T\) を求めます。
$$T = \frac{\lambda}{v}$$
値を代入すると、
$$T = \frac{2.0 \text{ m}}{5.0 \text{ m/s}} = \frac{2}{5} \text{ s} = 0.40 \text{ s}$$
振動数 \(f\):
振動数 \(f\) と周期 \(T\) の関係は \(f = \frac{1}{T}\) です。
$$f = \frac{1}{T}$$
値を代入すると、
$$f = \frac{1}{0.40 \text{ s}} = \frac{1}{2/5 \text{ s}} = \frac{5}{2} \text{ Hz} = 2.5 \text{ Hz}$$
（別解として、\(v = f\lambda\) から \(f = \frac{v}{\lambda} = \frac{5.0 \text{ m/s}}{2.0 \text{ m}} = 2.5 \text{ Hz}\) としても求められます。）
使用した物理公式:
- 速さの定義: \(\displaystyle v = \frac{\text{距離}}{\text{時間}}\)
- 波の基本式: \(v = f\lambda\), \(\displaystyle v = \frac{\lambda}{T}\)
- 周期と振動数の関係: \(\displaystyle f = \frac{1}{T}\)
計算方法の平易な説明:
- 振幅 \(A\): グラフの波の高さ（または谷の深さ）を見ます。一番高いところ（または低いところ）の \(y\) の値が0.50なので、振幅は0.50mです。
- 波長 \(\lambda\): グラフで、波1個分の長さを \(x\) 軸方向で見ます。例えば、\(x=0\) から \(x=2.0\) まででちょうど波1個分なので、波長は2.0mです。
- 速さ \(v\): 波の山PがP’まで0.5m進むのに0.10秒かかったと書いてあります。速さは「距離÷時間」なので、0.5m ÷ 0.10秒 = 5.0m/sです。
- 周期 \(T\): 波が1波長(2.0m)進むのにかかる時間のことです。「時間＝距離÷速さ」なので、2.0m ÷ 5.0m/s = 0.40秒です。
- 振動数 \(f\): 1秒間に波が何回振動するか（何個の波が出てくるか）です。周期の逆数なので、1 ÷ 0.40秒 = 2.5Hzです。
この設問における重要なポイント:
- 波形グラフから振幅と波長を正しく読み取ること。
- 波の移動の様子（PからP’への移動）から速さを正確に計算すること。
- 波の基本公式 \(v = f\lambda = \lambda/T\) と \(f=1/T\) を理解し、正しく適用すること。
振幅 \(A = 0.50\) m
波長 \(\lambda = 2.0\) m
波の伝わる速さ \(v = 5.0\) m/s
振動数 \(f = 2.5\) Hz
周期 \(T = 0.40\) s
(2) 波の山Pが 図の位置から、\(x=10.0\) m のところまで移動するには何秒かかるか。
問われている内容の明確化:
図に示された初期位置にある波の山Pが、\(x=10.0\) m の位置まで到達するのに要する時間を求めます。
具体的な解説と計算手順:
波の山Pの初期位置は、(1)で確認したように \(x_P = 0.5\) m です。
山Pが移動する目標位置は \(x_{目標} = 10.0\) m です。
したがって、山Pが移動しなければならない距離 \(D\) は、
$$D = x_{目標} – x_P = 10.0 \text{ m} – 0.5 \text{ m} = 9.5 \text{ m}$$
波の伝わる速さ \(v\) は、(1)で求めたように \(v = 5.0\) m/s です。
かかる時間 \(t\) は、「時間 = 距離 / 速さ」の関係から求められます。
$$t = \frac{D}{v}$$
値を代入すると、
$$t = \frac{9.5 \text{ m}}{5.0 \text{ m/s}} = 1.9 \text{ s}$$
使用した物理公式:
時間 = 距離 / 速さ (\(t = D/v\))
計算方法の平易な説明:
(1)で波の速さが 5.0m/s だと分かりました。
山Pは最初 \(x=0.5\)m の位置にいます。この山が \(x=10.0\)m の位置まで進むには、あと (10.0 – 0.5) = 9.5m 進む必要があります。
「時間＝距離÷速さ」なので、9.5m ÷ 5.0m/s = 1.9秒 かかります。
この設問における重要なポイント:
- 波の山が等速で移動すると考えること（問題に特に断りがなければ）。
- 移動距離を正しく計算すること（目標位置 – 初期位置）。
- (1)で求めた波の速さを正確に用いること。
波の山Pが図の位置から \(x=10.0\) m のところまで移動するには \(1.9\) 秒かかる。
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 波の進行と波形: 波は形を保ったまま一定の速さで空間を伝わっていきます。\(y-x\)グラフは、ある瞬間の波の形（空間的な広がり）を表します。
- 波の基本5要素: 振幅(\(A\))、波長(\(\lambda\))、速さ(\(v\))、振動数(\(f\))、周期(\(T\))は波を特徴づける基本的な量であり、互いに関連しています。
- \(A\): 媒質の最大変位。
- \(\lambda\): 空間的な波1つ分の長さ。
- \(v\): 波が位相を伝える速さ。
- \(T\): 媒質の一点が1回振動する時間、または波が1波長進む時間。
- \(f\): 単位時間に媒質が振動する回数、または単位時間に波源から出る波の数。
- 波の基本公式:
- \(v = f\lambda\)
- \(T = 1/f\)
- これらから \(v = \lambda/T\) も導かれます。
- 等速運動の考え方: 波の特定の位相（山や谷など）は一定の速さで進むため、その移動に関しては等速直線運動の「距離＝速さ×時間」の関係が適用できます。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- グラフの種類の確認: 波の問題では、\(y-x\)グラフ（波形グラフ、ある瞬間の空間的な形）と \(y-t\)グラフ（単振動グラフ、ある位置の媒質の時間的な変化）が登場します。どちらのグラフが与えられているかを最初に確認することが非常に重要です。本問は\(y-x\)グラフです。
- 波の進行方向の利用: 波が進む向きは、波形が時間とともにどちらにずれるかを判断するのに役立ちます。本問では「\(x\)の正の向きに進む」と明記されています。
- 読み取りの正確さ: グラフから振幅、波長、特定の点の位置などを読み取る際は、目盛りを正確に読みましょう。
- 単位の一貫性: 計算過程で単位が一貫しているか確認しましょう。例えば、距離がm、時間がsなら、速さはm/sとなります。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 振幅と波の高さの混同: 振幅は振動の中心からの最大変位であり、波の山から谷までの高さの半分です。
- 波長とグラフの横軸全体の長さの混同: 波長は1つの完全な波の長さであり、グラフに描かれている範囲全体が1波長とは限りません。
- 波の速さと媒質の振動の速さの混同: 波の速さ(\(v\))は波の位相が進む速さであり、媒質そのものが移動する速さではありません（媒質は通常その場で振動します）。媒質の振動の速さは時々刻々変化します。
- 時間の計算ミス: (2)のような問題で、Pが0.10秒でP’に移動したという情報を、最終的な答えを出すための時間と混同しないように注意しましょう。0.10秒は速さを求めるために使った時間です。
- 初期位置の見落とし: (2)で移動距離を計算する際、初期位置 \(x_P = 0.5\) m を考慮せず、単に \(10.0\) m を距離としてしまうミスに注意しましょう。
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