未来の得点力へ！高校物理 問題演習「波形グラフの読み取り：振幅・波長・速さ・周期・振動数の計算」

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波のグラフの読み取りと基本公式」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の基本的な5つの物理量（振幅、波長、速さ、振動数、周期）を求める問題です。まずグラフから直接読み取れる量（振幅\(A\)、波長\(\lambda\)）を確定させます。次に、問題文の時間情報（0.10秒）とグラフの波形の移動距離から、速さ\(v\)を計算します。最後に、これらの3つの量（\(\lambda, v\)）を元に、波の基本公式を駆使して残りの2つ（振動数\(f\)、周期\(T\)）を求めます。
この設問における重要なポイント

• 波形グラフ(\(y-x\)グラフ)から振幅と波長を正しく読み取る。
• 波の移動距離と経過時間から、波の伝わる速さを計算する。
• 波の基本公式 \(v = f\lambda\) と \(T = 1/f\) を使いこなし、各物理量を関連付けて計算する。

具体的な解説と立式
振幅 \(A\) と 波長 \(\lambda\)
与えられた波形グラフから直接読み取ります。

• 振幅 \(A\): 振動の中心(\(y=0\))からの最大の変位なので、グラフの山の高さから \(A = 0.50 \text{ [m]}\)。
• 波長 \(\lambda\): 1つの波の繰り返しパターンの長さなので、グラフから \( \lambda = 2.0 \text{ [m]}\)。

波の伝わる速さ \(v\)
波の山PがP’まで移動した距離 \(\Delta x\) と時間 \(\Delta t\) から速さを求めます。
グラフより、山Pの位置は \(x_P = 0.50 \text{ m}\)、P’の位置は \(x_{P’} = 1.0 \text{ m}\) です。
移動距離 \(\Delta x\) は、
$$ \Delta x = x_{P’} – x_P $$
移動時間 \(\Delta t\) は \(0.10 \text{ s}\) なので、速さ \(v\) は、
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
周期 \(T\) と 振動数 \(f\)
波の基本公式 \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) と \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) を用います。
$$ T = \frac{\lambda}{v} $$
$$ f = \frac{1}{T} $$

速さ \(v\) の計算:
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= 1.0 – 0.50 = 0.50 \text{ [m]} \\[2.0ex]v &= \frac{0.50 \text{ [m]}}{0.10 \text{ [s]}} \\[2.0ex]&= 5.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
周期 \(T\) の計算:
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2.0 \text{ [m]}}{5.0 \text{ [m/s]}} \\[2.0ex]&= 0.40 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f\) の計算:
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{0.40 \text{ [s]}} \\[2.0ex]&= 2.5 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

まずグラフを見て、波の高さ（振幅）が0.50m、波1個の長さ（波長）が2.0mであることを読み取ります。次に、波の山が0.5m進むのに0.10秒かかったと書いてあるので、速さは「距離÷時間」で 0.5 ÷ 0.10 = 5.0 m/s です。周期は、波が1波長(2.0m)進むのにかかる時間なので、「距離÷速さ」で 2.0 ÷ 5.0 = 0.40秒。振動数は周期の逆数なので、1 ÷ 0.40 = 2.5 Hz となります。

各物理量は、振幅 \(A = 0.50\) m, 波長 \(\lambda = 2.0\) m, 速さ \(v = 5.0\) m/s, 振動数 \(f = 2.5\) Hz, 周期 \(T = 0.40\) s となります。計算結果は互いに \(v=f\lambda\) などの基本公式を満たしており、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
波の山Pが特定の場所まで移動するのにかかる時間を求める問題です。波は一定の速さ \(v\) で進むと考えることができるので、「時間 = 距離 ÷ 速さ」という単純な等速運動の考え方を適用します。まずは、山Pが移動すべき距離を正確に計算することが第一歩です。
この設問における重要なポイント

• 波の特定の位相（山など）は、波の速さ \(v\) で等速直線運動する。
• 移動距離は「目標位置 – 初期位置」で計算する。
• (1)で求めた波の速さを正しく用いる。

具体的な解説と立式
波の山Pの初期位置は、グラフから \(x_P = 0.50\) m です。
目標位置は \(x_{\text{目標}} = 10.0\) m です。
したがって、山Pが移動しなければならない距離 \(D\) は、
$$ D = x_{\text{目標}} – x_P $$
波の伝わる速さ \(v\) は、(1)で求めた \(v = 5.0\) m/s です。
かかる時間 \(t\) は、「時間 = 距離 / 速さ」の関係から求められます。
$$ t = \frac{D}{v} $$

$$
\begin{aligned}
D &= 10.0 – 0.50 = 9.5 \text{ [m]} \\[2.0ex]t &= \frac{9.5 \text{ [m]}}{5.0 \text{ [m/s]}} \\[2.0ex]&= 1.9 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

(1)で波の速さが 5.0m/s だと分かりました。
山Pは最初 \(x=0.50\)m の位置にいます。この山が \(x=10.0\)m の位置まで進むには、あと \(10.0 – 0.50 = 9.5\)m 進む必要があります。
「時間＝距離÷速さ」なので、\(9.5 \text{m} \div 5.0 \text{m/s} = 1.9\)秒 かかります。

波の山Pが \(x=10.0\) m のところまで移動するには \(1.9\) 秒かかります。計算は単純な等速運動のものであり、論理的に妥当です。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本5要素の関係性:
  • 核心: この問題は、波を特徴づける5つの基本的な物理量（振幅\(A\)、波長\(\lambda\)、速さ\(v\)、振動数\(f\)、周期\(T\)）の意味を理解し、それらを結びつける基本公式（\(v=f\lambda\), \(T=1/f\)）を自在に使いこなせるかが核心です。
  • 理解のポイント: \(y-x\)グラフからは空間的な情報（\(A, \lambda\)）が、波形の時間変化からは時間的な情報（この問題では\(v\)を介して\(T, f\)）が得られます。これらの情報を統合して、波の全体像を把握する能力が問われています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(y-t\)グラフが与えられる問題: ある特定の位置(\(x\))での媒質の変位の時間変化を示すグラフ。このグラフからは、振幅\(A\)と周期\(T\)を直接読み取ることができます。\(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの両方が与えられると、\(\lambda\)と\(T\)がわかるので、速さ\(v=\lambda/T\)を計算できます。
  • 波の式を求める問題: \(y(x, t) = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} \right)\) のような波の式を立てる問題。この問題で求めた\(A, T, \lambda\)を代入すれば、この波を表す式を作ることができます。
  • 媒質の速度を問う問題: 「\(x=1.0\)m の媒質の速度が最大になるのはいつか？」といった問題。媒質の速度は、波の速さ\(v\)とは別物です。媒質は単振動しており、振動の中心(\(y=0\))を通過するときに速度が最大になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの種類を判別する: 横軸が位置\(x\)か時間\(t\)かを確認し、\(y-x\)グラフか\(y-t\)グラフかをまず判別します。これにより、グラフから直接読み取れるものが何か（\(y-x\)なら\(\lambda\)、\(y-t\)なら\(T\)）が決まります。
  2. 与えられた情報を整理する: グラフから読み取れる情報と、問題文で与えられている数値情報（この問題では0.10秒）をリストアップします。
  3. ゴールから逆算する: 求めたい物理量（例えば\(f\)）を計算するために、どの公式を使えばよいか、その公式に必要なパーツ（\(v\)と\(\lambda\)）は揃っているか、と逆算して考え、計算の道筋を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(y-x\)グラフと\(y-t\)グラフの混同:
  • 誤解: \(y-x\)グラフの横軸を時間と勘違いして周期を読み取ったり、逆に\(y-t\)グラフから波長を読み取ろうとしたりする。
  • 対策: グラフを見たら、まず縦軸と横軸の物理量と単位を確認する癖をつけましょう。「\(y-x\)グラフは波の『写真』、\(y-t\)グラフは一点の『ビデオ』」とイメージすると区別しやすくなります。
• 波の速さ(\(v\))と媒質の速さの混同:
  • 誤解: 波の速さ\(v\)で媒質そのものが移動していくと考えてしまう。
  • 対策: 波は「位相」が伝わる速さであり、媒質は（横波の場合）その場で上下に振動しているだけです。両者は全く異なる物理量であることを理解しましょう。
• 移動距離の計算ミス:
  • 誤解: (2)で、移動距離を\(10.0\)mとしてしまう。
  • 対策: 移動距離は常に「最終位置 – 初期位置」です。問題の図やグラフから、対象となる点の「初期位置」がどこなのかを正確に把握することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v = \displaystyle\frac{\lambda}{T}\) (波の基本式):
  • 選定理由: 波の空間的な性質（波長\(\lambda\)）と時間的な性質（周期\(T\)）を結びつける、最も基本的で重要な関係式だからです。
  • 適用根拠: この式は、等速直線運動の基本式「速さ = 距離 ÷ 時間」を、波という現象に適用したものです。波が「1波長(\(\lambda\))という距離」を進むのにかかる時間が「1周期(\(T\))」である、と解釈できます。この考え方を理解していれば、公式を丸暗記する必要はありません。
• \(f = \displaystyle\frac{1}{T}\) (振動数と周期の関係):
  • 選定理由: 振動数と周期という、時間に関する2つの異なる表現を結びつける定義式だからです。
  • 適用根拠: 周期\(T\)は「1回の振動にかかる時間[s/回]」、振動数\(f\)は「1秒あたりの振動回数[回/s]」です。両者が互いに逆数の関係にあることは、その定義から明らかです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフに情報を書き込む: グラフの読み取り問題では、読み取った振幅や波長、点の座標などを、問題用紙のグラフ上に直接書き込むと、情報が整理されてミスが減ります。
• 単位を付けて計算する: \(v = \frac{0.50 \text{ [m]}}{0.10 \text{ [s]}} = 5.0 \text{ [m/s]}\) のように、計算過程で単位を書き込むことで、立式の誤りや単位の間違いに気づきやすくなります。
• 複数の公式で検算する: (1)で\(f\)を求める際、\(f=1/T\)で計算した後、\(v=f\lambda\)が成り立つか（\(5.0 = 2.5 \times 2.0\)）を確認するなど、別の公式を使って検算する習慣をつけると、計算の信頼性が高まります。
• 有効数字を意識する: 問題文で与えられた数値（0.10秒、0.50mなど）は有効数字2桁です。計算結果もそれに合わせるのが基本です。\(T=0.4\)sではなく\(T=0.40\)sと書くなど、最後の桁の0も意味を持つことを意識しましょう。

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