「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 30】Step 2

Step 2

425 電子の比電荷

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、電子の基本的な物理量である「電気素量」と「質量」が、歴史的にどのように測定されてきたかに関する知識と、それらを用いた基本的な計算を問うものです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄①

思考の道筋とポイント
「帯電した粒子の電気量の大きさと質量との比」が何と呼ばれるかを問う、用語の定義に関する問題です。これは物理学における基本的な用語の知識が試されます。
この設問における重要なポイント

• 物理用語の正確な定義を覚えているか。
• 電気量 \(q\) と質量 \(m\) の比、すなわち \(q/m\) を指す言葉を知っているか。

具体的な解説と立式
問題文で問われている「電気量の大きさと質量との比」は、物理学で「比電荷（specific charge）」と呼ばれる量の定義そのものです。特に電子の場合、その電気量の大きさが電気素量 \(e\) であるため、比電荷は \(e/m\) と表されます。

この設問は知識を問うものであり、計算は不要です。

粒子の性質を表す指標の一つに、「質量の軽さに対して、どれだけ電気を持っているか」を示すものがあります。これを「比電荷」と呼びます。本文はこの言葉の定義をそのまま尋ねています。

「電気量の大きさと質量との比」は比電荷の定義であるため、解答は「比電荷」となります。

空欄②

思考の道筋とポイント
「油滴を帯電させて」「電子の電気量の大きさeの値を測定」した科学者の名前を問う問題です。これは物理学史上の非常に有名な実験であり、実験名とその功績者を知っているかが問われます。
この設問における重要なポイント

• 「油滴の実験」で「電気素量 \(e\)」を測定したのが「ミリカン」であることを覚えているか。

具体的な解説と立式
微小な油滴を電場中に浮遊させ、その運動を精密に観測することで、油滴の持つ電気量が必ず特定の最小単位（電気素量 \(e\)）の整数倍になることを発見し、その値 \(e\) を高い精度で求めたのは、アメリカの物理学者ミリカンです。この実験は「ミリカンの油滴実験」として知られています。

この設問は知識を問うものであり、計算は不要です。

「電気には、それ以上分けられない最小の粒があるはずだ」と考え、油滴を使った賢い実験でその最小単位（電気素量）の大きさを突き止めた科学者がいます。その人の名前が「ミリカン」です。

油滴の実験と電気素量の測定を結びつける人物はミリカンです。

空欄③

思考の道筋とポイント
「電子の比電荷 \(e/m\) を測定」した科学者の名前を問う問題です。これは電子の発見と密接に関連する、物理学史上の重要な業績です。
この設問における重要なポイント

• 陰極線の研究から「電子の比電荷 \(e/m\)」を測定したのが「トムソン」であることを覚えているか。

具体的な解説と立式
イギリスの物理学者J.J.トムソンは、真空放電管内の陰極線の正体が負の電荷を持つ粒子の流れであることを突き止め、これを「電子」と名付けました。彼は、陰極線が電場や磁場によって曲げられる度合いを測定することで、世界で初めて電子の比電荷 \(e/m\) の値を求めました。

この設問は知識を問うものであり、計算は不要です。

ミリカンが電気の最小単位の大きさを測るより前に、別の科学者が「電気の粒（電子）は、その重さに対してどれくらいの電気量を持っているか」という比率（比電荷）を測ることに成功しました。その人が、電子の発見者でもある「トムソン」です。

電子の比電荷の測定と結びつく人物はトムソンです。

空欄④

思考の道筋とポイント
電子の電気素量 \(e\) と比電荷 \(e/m\) の値が与えられ、それらを用いて電子の質量 \(m\) を計算する問題です。比電荷の定義式を変形することで、質量を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• \(m = e \div (e/m)\) という関係を導き、正しく計算できるか。
• 指数計算と有効数字の扱いに注意する。

具体的な解説と立式
電子の質量 \(m\) は、電気素量 \(e\) と比電荷 \(e/m\) を用いて、次のように計算できます。
$$ m = \frac{e}{\left(\frac{e}{m}\right)} $$
問題文で与えられた値を代入します。
\(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ [C]}\)
\( \displaystyle\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \text{ [C/kg]} \)

与えられた値を代入して、質量 \(m\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
m &= \frac{1.6 \times 10^{-19}}{1.76 \times 10^{11}} \\[2.0ex]&= \frac{1.6}{1.76} \times \frac{10^{-19}}{10^{11}} \\[2.0ex]&= 0.9090… \times 10^{-19-11} \\[2.0ex]&= 0.9090… \times 10^{-30} \\[2.0ex]&= 9.090… \times 10^{-31}
\end{aligned}
$$
与えられた数値の有効数字は、\(e\) が2桁、\(e/m\) が3桁です。計算結果は、有効数字の桁数がより少ない方に合わせるのが原則なので、2桁で答えます。したがって、小数点以下第2位を四捨五入します。
$$ m \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ [kg]} $$

電子の「電気量」と、「質量1kgあたりの電気量（比電荷）」が分かっています。ここから電子の「質量」を求めるには、単純な割り算をすればOKです。
「質量」 = 「電気量」 ÷ 「質量1kgあたりの電気量」
という計算になります。

計算結果は \(m \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ [kg]}\) となり、これは現在知られている電子の質量と一致する妥当な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電子の基本物理量に関する歴史的知識
  • 核心: この問題は計算よりも、現代物理学の基礎を築いた歴史的な実験とその結果に関する知識が中心です。特に、電子という粒子の性質を決定づけた2つの重要な測定値を正しく理解しているかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 電気素量 \(e\): ミリカンが油滴の実験で測定。全ての電荷の基本単位。
    • 比電荷 \(e/m\): トムソンが陰極線の実験で測定。電子の「動きやすさ」を示す指標。
    • 質量 \(m\): 上記2つの測定値を組み合わせることで、間接的に求められた。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • トムソンの実験の具体的な内容: 電子を電場と磁場に通し、それぞれの力（\(F_E=eE\), \(F_B=evB\)）が釣り合う条件や、電場だけで曲げられる軌道を分析して比電荷を求める、といった計算問題。
  • ミリカンの実験の具体的な内容: 油滴に働く重力、浮力、空気抵抗、そして静電気力が釣り合う条件から、油滴の電荷を求める計算問題。
  • 他の粒子の比電荷: 陽子やα粒子など、電子以外の粒子の比電荷を比較したり計算したりする問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 知識問題か計算問題かを見極める: 問題文が物理学史上の事実や用語の定義を問うているのか、それとも具体的な数値を代入して計算を求めているのかを最初に判断します。
  2. キーワードと人名・業績を結びつける: 「油滴」→「ミリカン」→「電気素量 \(e\)」、「陰極線」→「トムソン」→「比電荷 \(e/m\)」という関連付けを瞬時に思い出せるようにしておきます。
  3. 計算問題では単位に注目する: 比電荷の単位が [C/kg] であることから、これを電気量 [C] で割れば、\( \frac{\text{[C]}}{\text{[C/kg]}} = \text{[kg]} \) となり、質量の単位が出てくることが分かります。単位を意識することで、どのような計算をすればよいかのヒントになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ミリカンとトムソンの業績の混同:
  • 誤解: どちらが電気素量を、どちらが比電荷を測定したのかを混同してしまう。
  • 対策: 「比電荷が先に、電気素量が後に測定された」という歴史的な順序で覚えるのが有効です。トムソンが電子の存在を提唱し、その性質（比電荷）を調べた後、ミリカンがその電子1個の電荷の大きさ（電気素量）を精密に測定した、というストーリーで記憶しましょう。
• 指数の計算ミス:
  • 誤解: ④の計算で、\( 10^{-19} \div 10^{11} \) を \( 10^{-19-11} = 10^{-30} \) とするところを、\( 10^{-19+11} = 10^{-8} \) などと間違えてしまう。
  • 対策: 指数法則 \( a^m \div a^n = a^{m-n} \) を正確に適用する練習を繰り返します。特に負の指数が絡む計算は間違いやすいので、慎重に扱います。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: ④の計算結果 \(9.090…\) を、どこで丸めてよいか分からなくなる。または、与えられた桁数よりも多く答えてしまう。
  • 対策: 割り算や掛け算では、与えられた数値の中で最も有効数字の桁数が少ないものに合わせる、というルールを徹底します。この問題では \(1.6\) が2桁なので、答えも2桁（\(9.1\)）にします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 質量の導出式 (\( m = e / (e/m) \)):
  • 選定理由: この問題は、既知の2つの量 \(e\) と \(e/m\) から、未知の量 \(m\) を導出するものです。これらの3つの量をつなぐ関係式は、比電荷の定義式 \( (\text{比電荷}) = e/m \) しかありません。
  • 適用根拠: この定義式を、求めたい量である \(m\) について代数的に解くことで、\( m = e / (e/m) \) という計算式が論理的に導かれます。これは物理法則というよりは、定義式に基づいた単純な式変形です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の分離: ④の計算では、まず係数部分（\(1.6/1.76\)）と指数部分（\(10^{-19}/10^{11}\)）に分けて計算すると、思考が整理されミスが減ります。
• 概算による検算: \(1.6/1.76\) は、だいたい \(1.6/1.6=1\) に近い値になるはずだと予測できます。計算結果が \(0.909…\) となったことで、大きくは外れていないと確認できます。また、指数の \( -30 \) というオーダーも、電子の質量が非常に小さいという知識と照らし合わせて、妥当性を確認します。
• 単位の確認: 計算式の両辺で単位が合っているかを確認する（ディメンションチェック）のも有効な手段です。左辺は [kg]、右辺は [C] / [C/kg] = [kg] となり、式が正しそうだと判断できます。

426 電界中の電子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電場中での荷電粒子の運動」です。電場に垂直に入射した荷電粒子が、放物線軌道を描く様子を解析する問題で、重力場での物体の斜方投射と全く同じ考え方で解くことができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電場中にいる電子の加速度を求める問題です。まず、電子が電場から受ける力を求め、次にニュートンの運動方程式 \(ma=F\) を適用して加速度を計算します。力の向きと加速度の向きを正しく判断することが重要です。
この設問における重要なポイント

• 電子の電荷は負（\(-e\)）であるため、受ける力の向きは電場の向きと逆になる。
• 運動方程式 \(ma=F\) を用いて、力から加速度を求める。

具体的な解説と立式
問題の図と設定より、電場は下向き（y軸の負の向き）です。電子の電気量は \(-e\) なので、電場から受ける静電気力 \( \vec{F} \) は、
$$ \vec{F} = (-e)\vec{E} $$
となり、力の向きは電場の向きとは逆、すなわち上向き（y軸の正の向き）となります。
力の大きさは \(F = eE\) です。
この力が働くy軸方向について運動方程式を立てます。加速度を \(a\) とすると、
$$ ma = F $$
したがって、
$$ ma = eE $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を \(a\) について解きます。
$$ a = \frac{eE}{m} $$
この加速度の向きは、力の向きと同じでy軸の正の向きです。

電子はマイナスの電気を持っているので、プラスからマイナスへ向かう電場（この問題では下向き）とは逆向きの力、つまり上向きの力を受けます。この力によって電子は上向きに加速されます。その加速度の大きさは、物理の基本ルールである運動方程式 \(ma=F\)（力 \(F\) を質量 \(m\) で割る）から計算できます。

電子の加速度は、y軸の正の向きに大きさ \( \displaystyle\frac{eE}{m} \) となります。これは一定の力による運動なので、加速度も一定です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電子が長さ \(L\) の金属板の間を通り抜けるのに要する時間 \(t\) を求める問題です。電子の運動をx軸方向とy軸方向に分解して考えます。x軸方向には力が働かないため、電子は入射したときの速さ \(v_0\) のまま等速直線運動をします。
この設問における重要なポイント

• 運動の分解：x軸方向には力が働かないため、等速直線運動とみなす。
• x軸方向の速度は、入射時の速度 \(v_0\) で一定である。

具体的な解説と立式
電子はx軸方向に、速さ \(v_0\) の等速直線運動をします。金属板の長さは \(L\) なので、この距離を進むのに要する時間 \(t\) は、
$$ L = v_0 t $$
という関係式で表されます。

上の式を \(t\) について解きます。
$$ t = \frac{L}{v_0} $$

電子は横方向（x方向）には、最初に飛び込んだ速さ \(v_0\) のまま、ずっと同じ速さで進みます。長さ \(L\) の区間をこの速さで通り抜けるのにかかる時間は、小学校で習う「時間＝距離÷速さ」の公式で簡単に計算できます。

時間は \( \displaystyle\frac{L}{v_0} \) となります。金属板が長いほど、また入射速度が遅いほど、通り抜けるのに時間がかかるという直感に合う結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
金属板の間を出るときの、電子のy軸方向の速さ \(v_y\) を求める問題です。y軸方向の運動は、初速度0、加速度 \(a\)（(1)で計算済み）の等加速度直線運動です。金属板を通り抜ける時間 \(t\)（(2)で計算済み）だけ加速された後の速度を、公式を用いて計算します。
この設問における重要なポイント

• y軸方向の運動は、初速度0の等加速度直線運動である。
• 等加速度直線運動の速度の公式 \(v = v_0 + at\) を使う。

具体的な解説と立式
y軸方向の運動について、初速度は \(v_{0y}=0\)、加速度は(1)で求めた \(a = \displaystyle\frac{eE}{m}\) です。
等加速度直線運動の速度の公式 \(v_y = v_{0y} + at\) を用いると、
$$ v_y = 0 + at = at $$
この式に、(1)で求めた \(a\) と(2)で求めた \(t\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
v_y &= at \\[2.0ex]&= \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{L}{v_0} \right) \\[2.0ex]&= \frac{eEL}{mv_0}
\end{aligned}
$$

電子は縦方向（y方向）には、(1)で求めた一定の加速度で、時間とともにどんどん速くなっていきます。金属板を通り抜ける時間（(2)で計算済み）だけ加速された後の縦方向の速さは、「速さ＝加速度×時間」という公式で計算できます。

y軸方向の速さ \(v_y\) は \( \displaystyle\frac{eEL}{mv_0} \) となります。電場が強いほど、また金属板の中にいる時間が長いほど、y方向の速度が大きくなるという妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
金属板の間を出るまでに、電子がy軸方向に動いた距離を求める問題です。(3)と同様に、y軸方向の運動が初速度0の等加速度直線運動であることに着目し、変位の公式を用います。
この設問における重要なポイント

• y軸方向の運動は、初速度0の等加速度直線運動である。
• 等加速度直線運動の変位の公式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を使う。

具体的な解説と立式
y軸方向の運動について、初速度は \(v_{0y}=0\)、加速度は \(a = \displaystyle\frac{eE}{m}\) です。
等加速度直線運動の変位の公式 \(y = v_{0y}t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用いると、
$$ y = 0 \cdot t + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2 $$
この式に、(1)で求めた \(a\) と(2)で求めた \(t\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2}at^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) \left( \frac{L}{v_0} \right)^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \frac{eE}{m} \frac{L^2}{v_0^2} \\[2.0ex]&= \frac{eEL^2}{2mv_0^2}
\end{aligned}
$$

縦方向（y方向）に動いた距離を求めます。これも等加速度運動の公式で計算できます。初めは縦方向には動いていなかったので、「距離＝1/2 × 加速度 × 時間の2乗」という公式が使えます。

y軸方向に動いた距離は \( \displaystyle\frac{eEL^2}{2mv_0^2} \) となります。この軌道は \(y = \left( \frac{eE}{2mv_0^2} \right) x^2\) という形の放物線の一部であり、重力下での水平投射と同じ形の運動であることがわかります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解
  • 核心: 電子の二次元的な運動を、互いに直交する「力が働かない方向（x軸）」と「一定の力が働く方向（y軸）」に分けて考える、というアプローチがこの問題の全てです。
  • 理解のポイント:
    • x軸方向: 力がゼロなので、運動は単純な「等速直線運動」。\(x = v_0 t\) の関係式のみで記述できます。
    • y軸方向: 一定の力 \(F=eE\) が働くので、運動は「等加速度直線運動」。\(v_y = at\), \(y = \frac{1}{2}at^2\) などの公式が使えます。
    • 時間 \(t\) が、これら2つの独立した運動を結びつける唯一の架け橋となります。
• 運動方程式と静電気力
  • 核心: y軸方向の運動を具体的に記述するために、まず静電気力の公式 \(F=qE\) で力の大きさを求め、それを運動方程式 \(ma=F\) に代入して加速度を決定する、という一連の流れを確実に実行できることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 重力下での水平投射: この問題は、重力 \(mg\) が働く空間で、物体を水平に初速 \(v_0\) で投げ出す「水平投射」と全く同じ数学的構造をしています。静電気力 \(eE\) が重力 \(mg\) に、電子の質量 \(m\) が物体の質量 \(m\) に対応します。このアナロジーを理解しておくと、見通しが良くなります。
  • 電場と磁場の両方が存在する領域: この問題の電場領域の後に、磁場領域が続く問題も頻出です。その場合、磁場中ではローレンツ力 \(F=evB\) を受けて等速円運動を始めるため、運動の種類が切り替わる点に注意が必要です。
  • 偏向電極とスクリーン: この問題の金属板を出た後に、さらに直進してスクリーンに到達する設定の問題（オシロスコープの原理問題）もよく出題されます。その場合は、金属板を出た後の運動が「等速直線運動」になることを利用して解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定: まず、問題で指定された座標軸（特に正の向き）を確認します。指定がなければ、入射方向をx軸、力が働く方向をy軸と自分で設定します。
  2. 力の分析: 荷電粒子に働く力を特定します。この問題ではy軸方向の静電気力のみです。力の向き（電場と電荷の符号から判断）を絶対に間違えないようにします。
  3. 運動の種類の特定: 各軸について、力が働くか否かを判断し、運動の種類（等速 or 等加速度）を決定します。
  4. 時間 \(t\) を求める: 多くの場合、まずx軸方向の運動（等速直線運動）から、特定の領域を通過する時間 \(t\) を求めることが、問題を解く第一歩となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の向きの勘違い:
  • 誤解: 電子は負電荷であることを見落とし、力の向きを電場の向きと同じ（下向き）にしてしまう。
  • 対策: 常に「電荷の符号は正か負か？」と自問する癖をつけます。正電荷なら力は電場と同じ向き、負電荷（電子など）なら力は電場と逆の向き、という基本を徹底します。
• 運動の分解の混同:
  • 誤解: x方向にも加速度があると考えてしまったり、y方向の初速度を \(v_0\) と置いてしまう。
  • 対策: 運動をx, yに分解したら、それぞれの方向について完全に独立して考えます。「x方向の運動に関係するのはx方向の速度と距離だけ」「y方向の運動に関係するのはy方向の初速度、加速度、速度、距離だけ」と意識を切り分けることが重要です。
• 公式の誤用:
  • 誤解: (4)の距離を求める際に、\(y=v_y t\) のように、等速直線運動の公式を誤って使ってしまう。
  • 対策: y軸方向は「加速している」ことを常に念頭に置き、必ず「等加速度直線運動の公式」を使うことを徹底します。公式を選ぶ前に、その運動が「等速」なのか「等加速度」なのかを必ず確認します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=eE\)):
  • 選定理由: (1)で「加速度」という、運動の変化の度合いを示す量を求めたいからです。運動の変化（加速度）とその原因（力）を結びつける唯一の法則が運動方程式です。
  • 適用根拠: 電場から受ける力 \(F=eE\) が一定であるため、それによって生じる加速度 \(a\) も一定となります。この関係を定量的に示すために運動方程式を用います。
• 等速・等加速度直線運動の公式:
  • 選定理由: (2)以降では、時間、速度、距離といった具体的な運動の様子を問われています。運動の種類が「等速」あるいは「等加速度」と特定できれば、これらの量を計算するための便利な公式が用意されているため、それらを利用するのが最も効率的です。
  • 適用根拠: x軸方向には力が働かないので「等速直線運動」。y軸方向には一定の力が働くので「等加速度直線運動」。この運動の種類の判断が、公式選択の直接的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字のまま計算を進める: この問題は全て文字式で答えるため、計算ミスは起こりにくいですが、もし数値計算が必要な場合でも、できるだけ計算の最終段階まで文字のまま式変形を行うことが推奨されます。
• 代入の確認: (3)や(4)の計算では、(1)で求めた \(a\) と(2)で求めた \(t\) を代入します。代入する式が正しいか、代入する場所を間違えていないか、一つ一つ確認しながら進めます。
• 次元（単位）の確認: 計算結果の単位が、求められている物理量の単位と一致するかを確認する（次元解析）と、大きなミスを防げます。例えば(4)の距離の計算結果 \( \frac{eEL^2}{2mv_0^2} \) の単位を調べると、\( \frac{\text{[C]} \cdot \text{[V/m]} \cdot \text{[m]}^2}{\text{[kg]} \cdot \text{([m/s])}^2} \) となり、\(eV\) がエネルギー [J] の次元を持つことなどを利用して変形すると、最終的に [m] になることが確認できます。

427 ミリカンの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ミリカンの油滴の実験」です。この実験は、電場中での油滴の運動を観測することで、電荷がとびとびの値（量子化）を持つことを示し、その最小単位である電気素量 \(e\) を測定した、物理学史において非常に重要なものです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
油滴の電気量 \(q\) を求める問題です。油滴は「一定の速さ」で運動しているため、力がつり合っている状態です。「電圧なしでの落下時」と「電圧ありでの上昇時」の2つのケースについて、それぞれ力のつりあいの式を立て、それらを連立させて解くことで \(q\) を導出します。
この設問における重要なポイント

• 油滴に働く力は、重力、空気抵抗、静電気力の3つである。
• 空気抵抗の向きは、常に油滴の運動方向と逆向きになる。
• 「一定の速さ」という記述から、力のつりあいの式（合力=0）を立てる。

具体的な解説と立式
油滴の質量を \(m\)、電気量の大きさを \(q\)、重力加速度の大きさを \(g\) とします。鉛直上向きを正の向きとして、力のつりあいを考えます。

ケース1：電圧なしで落下（速さ \(v_1\)）
油滴は下向きに運動しているので、空気抵抗は上向きに働きます。
働く力は、上向きの空気抵抗（大きさ \(kv_1\)）と、下向きの重力（大きさ \(mg\)）です。
力のつりあいの式は、
$$ kv_1 – mg = 0 \quad \cdots ① $$

ケース2：電圧ありで上昇（速さ \(v_2\)）
油滴は上向きに運動しているので、空気抵抗は下向きに働きます。また、油滴が上昇するためには、静電気力が上向きに働く必要があります。
働く力は、上向きの静電気力（大きさ \(qE\)）、下向きの重力（大きさ \(mg\)）、そして下向きの空気抵抗（大きさ \(kv_2\)）です。
力のつりあいの式は、
$$ qE – mg – kv_2 = 0 \quad \cdots ② $$
式①と②を連立して、\(mg\) を消去し、\(q\) を求めます。

式①より、\(mg = kv_1\) となります。これを式②に代入すると、
$$
\begin{aligned}
qE – (kv_1) – kv_2 &= 0 \\[2.0ex]qE &= kv_1 + kv_2 \\[2.0ex]qE &= k(v_1 + v_2)
\end{aligned}
$$
したがって、\(q\) について解くと、
$$ q = \frac{k(v_1 + v_2)}{E} $$

油滴が一定の速さで動いているときは、「上向きの力の合計」と「下向きの力の合計」が等しくなっています。
・落ちるとき：上向きの力（空気抵抗） = 下向きの力（重力）
・上がるとき：上向きの力（電気の力） = 下向きの力（重力 + 空気抵抗）
この2つの式を見比べると、「重力」の部分が共通しています。そこで、1番目の式を使って「重力」を「空気抵抗」の式で表し、それを2番目の式に代入することで、電気の量 \(q\) を求めることができます。

油滴の電気量の大きさ \(q\) は \( \displaystyle\frac{k(v_1 + v_2)}{E} \) となります。この式は、実験で測定可能な量（\(v_1, v_2, E\)）と、油滴と空気の性質で決まる定数 \(k\) で表されており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
複数の電気量の測定値から、電気素量 \(e\) の存在を突き止め、その値を推定する問題です。これはミリカンの実験の思考過程を追体験するものです。もし電気量が \(e\) の整数倍（\(q=ne\)）になっているならば、測定値どうしの差もまた \(e\) の整数倍になるはずです。この性質を利用して、データの背後にある基本単位 \(e\) を見つけ出します。
この設問における重要なポイント

• 電荷の量子性（\(q=ne\)）の考え方を用いる。
• 測定値の差を計算することで、基本単位 \(e\) を推定する。
• 全てのデータを用いて平均値を計算し、より信頼性の高い \(e\) の値を求める。

具体的な解説と立式
まず、与えられた測定値（単位: \( \times 10^{-19} \text{C} \)）の隣り合う値の差を計算します。
$$ 8.05 – 4.86 = 3.19 $$
$$ 9.67 – 8.05 = 1.62 $$
$$ 11.25 – 9.67 = 1.58 $$
$$ 14.46 – 11.25 = 3.21 $$
$$ 16.02 – 14.46 = 1.56 $$
これらの差を見ると、約 \(1.6\) またはその2倍の約 \(3.2\) になっています。このことから、電荷の基本単位である電気素量 \(e\) は、およそ \(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{C}\) であると強く推測されます。

次に、この推定値 \(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{C}\) を用いて、各測定値が \(e\) の何倍になっているか（整数 \(n\) の値）を求めます。
$$ 4.86 \div 1.6 \approx 3.04 \rightarrow n=3 $$
$$ 8.05 \div 1.6 \approx 5.03 \rightarrow n=5 $$
$$ 9.67 \div 1.6 \approx 6.04 \rightarrow n=6 $$
$$ 11.25 \div 1.6 \approx 7.03 \rightarrow n=7 $$
$$ 14.46 \div 1.6 \approx 9.04 \rightarrow n=9 $$
$$ 16.02 \div 1.6 \approx 10.01 \rightarrow n=10 $$
よって、各測定値はそれぞれ \(3e, 5e, 6e, 7e, 9e, 10e\) に対応すると考えられます。

最後に、これらのデータ全体から最も確からしい \(e\) の値を求めるため、全測定値の合計を、対応する倍率の合計で割ります。
$$ e = \frac{(4.86 + 8.05 + 9.67 + 11.25 + 14.46 + 16.02) \times 10^{-19}}{3+5+6+7+9+10} $$

$$
\begin{aligned}
e &= \frac{64.31 \times 10^{-19}}{40} \\[2.0ex]&= 1.60775 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
測定値の有効数字が3桁または4桁であるため、結果を有効数字3桁に丸めます。
$$ e \approx 1.61 \times 10^{-19} \text{ [C]} $$

測定された電気の量は一見バラバラですが、実は「電気の最小ブロック（電気素量 \(e\)）」がいくつか集まったものだと考えます。このブロック1個分の大きさを知るために、まず測定値の差を計算します。すると、差がだいたい1.6かその2倍の3.2になることから、ブロック1個の大きさは約1.6だと見当がつきます。次に、各測定値がブロック何個分に相当するか（3個、5個、…）を調べます。最後に、全ての測定値の合計（ブロックの総数分）を、ブロックの総数（3+5+…）で割ることで、ブロック1個分のより正確な大きさを計算します。

各測定値は \(3e, 5e, 6e, 7e, 9e, 10e\) と表せ、電気素量の値は \(1.61 \times 10^{-19} \text{C}\) と求められます。これは、電荷が量子化されているという考え方と実験データが見事に一致することを示す、非常に説得力のある結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあい
  • 核心: この実験の物理的解析の根幹は、油滴が「一定の速さ」で運動している点にあります。これは、油滴に働く全ての力のベクトル和がゼロ、すなわち「力がつり合っている」状態を意味します。
  • 理解のポイント:
    • 落下時: 下向きの重力と、上向きの空気抵抗がつりあう。
    • 上昇時: 上向きの静電気力と、下向きの重力および空気抵抗の和がつりあう。
    • この2つの状況でつりあいの式を立て、連立させることが解法の鍵です。
• 電荷の量子性
  • 核心: (2)で問われているのは、ミリカンの実験が明らかにした最も重要な物理的発見、すなわち「全ての電荷は電気素量 \(e\) の整数倍である」という原理です。
  • 理解のポイント: この原理があるからこそ、一見バラバラに見える測定値の差を取ることで、その背後にある共通の基本単位 \(e\) をあぶり出すことができるのです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 終端速度の問題: 空気抵抗や粘性抵抗を受けながら落下する物体の運動は、やがて力がつりあって一定の速さ（終端速度）に達します。この終端速度を求める問題は、(1)の落下時のつりあいの式と同じ考え方で解くことができます。
  • 未知の物理量を求める問題: (1)では \(q\) を求めましたが、逆に \(q\) と \(e\) が既知で、油滴の半径や質量 \(m\) を求める問題も考えられます。その場合は、重力 \(mg\) を球の体積と密度で表したり（\(mg = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g\)）、ストークスの法則（\(kv\) の \(k\) が半径に比例する）を用いたりします。
  • 統計的なデータ処理: (2)のように、複数の測定値から最も確からしい値を求める手法は、他の物理実験の問題でも応用されます。誤差を減らすために平均値を取る、という考え方は科学の基本です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の状態を把握する: まず、物体が「加速している」のか「等速運動している」のかを問題文から読み取ります。「一定の速さ」「終端速度」といった言葉があれば、力のつりあいを考えます。
  2. 働く力を全て図示する: 対象となる物体（この場合は油滴）に働く力を、向きと大きさを意識しながら全て矢印で書き出します。重力、空気抵抗、静電気力、浮力など、考えられる力を漏れなくリストアップします。
  3. 座標軸を設定し、つりあいの式を立てる: 鉛直上向きなどを正として座標軸を定め、力の各成分の和がゼロになるようにつりあいの式を立てます。
  4. 実験データの規則性を探る: (2)のようなデータが与えられたら、まずは差を取ってみる、比を取ってみるなど、データ間に隠された規則性や共通の単位がないかを探る、というアプローチを試みます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 空気抵抗の向きの間違い:
  • 誤解: (1)の上昇時に、空気抵抗の向きを落下時と同じ上向きにしてしまう。
  • 対策: 空気抵抗は、常に「物体の運動を妨げる向き」に働く、という基本を徹底します。物体が下に動いていれば上向きに、上に動いていれば下向きに働きます。
• 力のつりあいの式の立て間違い:
  • 誤解: (1)の上昇時に、\(qE + mg – kv_2 = 0\) のように、力の向き（符号）を間違えて式を立ててしまう。
  • 対策: 最初に「上向きを正」などと座標軸の向きを明確に定めてから、各力のベクトルがその向きに沿っているか逆らっているかで、プラス・マイナスの符号を機械的に割り振るようにすると、ミスが減ります。
• データ解析の方法が分からない:
  • 誤解: (2)で、測定値の平均をいきなり取ってしまったり、どうして差を計算するのかが理解できない。
  • 対策: 「電荷は \(e\) の整数倍」という仮説をまず立てます。すると、測定値 \(q_A = n_A e\), \(q_B = n_B e\) の差は \(q_A – q_B = (n_A – n_B)e\) となり、差もまた \(e\) の整数倍になるはずです。この論理を理解することで、差を計算する操作の意味が分かります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあいの式 (\( \sum F = 0 \)):
  • 選定理由: (1)の問題文に「一定の速さ \(v_1\) で落下」「一定の速さ \(v_2\) で上昇」とあります。速度が一定ということは、加速度がゼロであることを意味します。
  • 適用根拠: ニュートンの運動方程式 \( \sum F = ma \) において、加速度 \(a=0\) なので、力の合力はゼロ \( \sum F = 0 \) となります。これが、力のつりあいの式を選択する直接的な論理的根拠です。
• 電荷の量子性の仮定 (\( q=ne \)):
  • 選定理由: (2)では、一見無関係に見える測定値の集まりから、共通の物理法則を導き出すことが求められています。このような場合に、背後にある物理モデル（仮説）を立ててデータを解釈する必要があります。
  • 適用根拠: 電荷が連続的な値ではなく、とびとびの基本単位を持つという「電荷の量子性」は、現代物理学の根幹をなす考え方です。この仮説を適用することで、実験データが持つ意味（各測定値が \(e\) の何倍か）を初めて解明できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の処理: (1)では、2つのつりあいの式から未知数 \(mg\) を消去します。\(mg = kv_1\) をもう一方の式に代入するという、基本的な連立方程式の解法を確実に行います。
• データ差の計算: (2)では、隣り合う数値の引き算を複数回行います。単純な計算ですが、焦るとミスをしやすいので、一つ一つ丁寧に行い、検算します。
• 平均値の計算: (2)の最後の平均値計算では、分子の足し算と分母の足し算をそれぞれ正確に行います。電卓が使えない場合は、筆算で慎重に計算し、桁を間違えないように注意します。
• 有効数字: 最終的な答えを出す際には、問題文で与えられた数値の有効数字を確認し、それに合わせて結果を丸めることを忘れないようにします。

428 光電効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果」です。金属に光を当てたときに電子が飛び出す現象について、エネルギー保存則（アインシュタインの光電効果の式）を用いて、各エネルギーの値を具体的に計算する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄①

思考の道筋とポイント
波長 \(3.0 \times 10^{-7} \text{ m}\) の紫外線が持つ光子のエネルギーを求める問題です。光子のエネルギーと波長の関係式 \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) に、与えられた数値を代入して計算します。
この設問における重要なポイント

• 光子のエネルギーの公式 \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) を正しく使えるか。
• 指数計算を正確に行えるか。

具体的な解説と立式
光子のエネルギーを \(E\)、プランク定数を \(h\)、光速を \(c\)、波長を \( \lambda \) とすると、次の関係式が成り立ちます。
$$ E = \frac{hc}{\lambda} $$
問題で与えられた値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\)
\(c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}\)
\( \lambda = 3.0 \times 10^{-7} \text{ m} \)

与えられた値を代入して、エネルギー \(E\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{3.0 \times 10^{-7}} \\[2.0ex]&= 6.6 \times \frac{10^{-34} \times 10^8}{10^{-7}} \\[2.0ex]&= 6.6 \times 10^{-34+8-(-7)} \\[2.0ex]&= 6.6 \times 10^{-19} \text{ [J]}
\end{aligned}
$$
有効数字は2桁でよいので、このまま解答となります。

光の粒（光子）1個が持つエネルギーは、「プランク定数 \(h\) × 光速 \(c\) ÷ 波長 \( \lambda \)」で計算できます。問題文に全ての数値が与えられているので、公式に当てはめて計算するだけです。

光子のエネルギーは \(6.6 \times 10^{-19} \text{ J}\) となります。

空欄②

思考の道筋とポイント
速さ \(6.3 \times 10^5 \text{ m/s}\) で飛び出してきた電子の運動エネルギーを求める問題です。運動エネルギーの公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に、与えられた数値を代入して計算します。
この設問における重要なポイント

• 運動エネルギーの公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を正しく使えるか。
• 指数を含む数値の2乗の計算を正確に行えるか。

具体的な解説と立式
電子の運動エネルギーを \(K\)、質量を \(m\)、速さを \(v\) とすると、次の関係式が成り立ちます。
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 $$
問題で与えられた値を代入します。
\(m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
\(v = 6.3 \times 10^5 \text{ m/s}\)

与えられた値を代入して、運動エネルギー \(K\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2} \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (6.3 \times 10^5)^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 9.1 \times 6.3^2 \times 10^{-31} \times (10^5)^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 9.1 \times 39.69 \times 10^{-31} \times 10^{10} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 361.179 \times 10^{-21} \\[2.0ex]&= 180.5895 \times 10^{-21} \\[2.0ex]&= 1.805895 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、
$$ K \approx 1.8 \times 10^{-19} \text{ [J]} $$

動いている物体が持つ運動エネルギーは、「1/2 × 質量 × 速さの2乗」で計算できます。電子の質量と速さは問題文に書かれているので、公式に当てはめて計算します。

電子の運動エネルギーは \(1.8 \times 10^{-19} \text{ J}\) となります。問題文で与えられた数値は全て有効数字2桁なので、計算結果も2桁でまとめるのが適切です。

空欄③

思考の道筋とポイント
「自由電子が、陽イオンからの引力の束縛を断ち切って外部に飛び出すために必要なエネルギー」を求める問題です。これは、光電効果における「仕事関数 \(W\)」の定義そのものです。アインシュタインの光電効果の式（エネルギー保存則）を用いて、仕事関数を求めます。
この設問における重要なポイント

• アインシュタインの光電効果の式 \(E = W + K\) を理解しているか。
• 仕事関数 \(W\) は、光子のエネルギー \(E\) と電子の運動エネルギーの最大値 \(K\) の差で求められる。

具体的な解説と立式
光電効果におけるエネルギー保存則は、
$$ (\text{光子のエネルギー}) = (\text{仕事関数}) + (\text{電子の運動エネルギーの最大値}) $$
と表されます。これを記号で書くと、
$$ E = W + K $$
となります。ここで、求めたい「飛び出すために必要なエネルギー」は仕事関数 \(W\) のことです。
この式を \(W\) について解くと、
$$ W = E – K $$
空欄①で求めた \(E\) と、空欄②で求めた \(K\) の値を代入します。

$$
\begin{aligned}
W &= (6.6 \times 10^{-19}) – (1.8 \times 10^{-19}) \\[2.0ex]&= (6.6 – 1.8) \times 10^{-19} \\[2.0ex]&= 4.8 \times 10^{-19} \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

光が持っていたエネルギー（①で計算）が、電子を金属から「引きはがすためのエネルギー」（③、求めたい値）と、飛び出した電子の「運動エネルギー」（②で計算）の2つに分けられます。つまり、「①のエネルギー = ③のエネルギー + ②のエネルギー」という関係が成り立ちます。この式から、③のエネルギーは「①のエネルギー – ②のエネルギー」という引き算で求められます。

仕事関数 \(W\) は \(4.8 \times 10^{-19} \text{ J}\) となります。光子のエネルギーの一部が仕事関数として使われ、残りが運動エネルギーになるという物理モデルと一致する、妥当な計算結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• アインシュタインの光電効果の式
  • 核心: この問題は、光電効果におけるエネルギー保存則 \(E = W + K\) を理解し、それを使って具体的な数値を計算できるかを問うものです。
  • 理解のポイント:
    • \(E\): 入射した光子1個が持つ全エネルギー。\(E=hc/\lambda\) で計算。
    • \(W\): 電子を金属の束縛から引き離すために最低限必要なエネルギー（仕事関数）。金属の種類によって決まる。
    • \(K\): 光子のエネルギーから仕事関数を支払った「おつり」の部分。これが飛び出す電子の運動エネルギーの最大値となる。
  • この問題は、この \(E = W + K\) という関係式を、\(W = E – K\) の形で利用しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 限界波長・限界振動数を求める問題: 仕事関数 \(W\) が分かっている場合に、光電効果が起こるギリギリの光の波長（限界波長 \( \lambda_0 \)）や振動数（限界振動数 \( \nu_0 \)）を求める問題。\(W = h\nu_0 = hc/\lambda_0\) の関係を使います。
  • 阻止電圧を求める問題: 飛び出した電子を逆向きの電圧で止める「阻止電圧 \(V_0\)」を求める問題。電子の運動エネルギー \(K\) と、電場がする仕事 \(eV_0\) が等しい（\(K=eV_0\)）という関係を利用します。
  • グラフ問題: 横軸を光の振動数 \( \nu \)、縦軸を電子の運動エネルギー \(K\) としたグラフ（\(K-\nu\)グラフ）を読み解く問題。\(K = h\nu – W\) の関係から、グラフは傾きがプランク定数 \(h\)、縦軸切片が \(-W\) の直線になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 現象の特定: 「金属に光を当てる」「電子が飛び出す」といった記述から、光電効果の問題であると判断します。
  2. エネルギーの関係式を書き出す: まずは基本となる \(E = W + K\) の式を書き出します。
  3. 各エネルギーを計算または特定する: 問題文で与えられた情報から、\(E, W, K\) のうち、計算できるものを先に計算します。
     • 光の波長 \( \lambda \) や振動数 \( \nu \) が与えられていれば、\(E\) が計算できます。
     • 電子の速さ \(v\) や運動エネルギー \(K\) が与えられていれば、\(K\) が分かります。
     • 仕事関数 \(W\) や限界波長 \( \lambda_0 \) が与えられていれば、\(W\) が分かります。
  4. 残りの未知数を求める: エネルギー保存則の式に、分かっている値を代入して、残りの未知数を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 各エネルギーの役割の混同:
  • 誤解: 光子のエネルギー \(E\) と電子の運動エネルギー \(K\) を混同し、\(W = K – E\) のように引き算の順序を間違えてしまう。
  • 対策: エネルギーの大小関係を常に意識します。入射する光子のエネルギー \(E\) が最も大きく、それが仕事関数 \(W\) と運動エネルギー \(K\) に分配される、というイメージをしっかり持ちます。\(E\) が「元手」、\(W\) が「必要経費」、\(K\) が「おつり」と考えると、\(E = W + K\) の関係が自然に理解できます。
• 指数の計算ミス:
  • 誤解: ①や②の計算で、\(10^{-34} \times 10^8 / 10^{-7}\) や \((10^5)^2\) のような指数計算を間違える。
  • 対策: 指数法則（\(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(a^m / a^n = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\)）を確実にマスターしておくことが不可欠です。特に負の指数が絡む計算は、符号に注意して慎重に行います。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: 計算結果を適切な桁数で丸めるのを忘れたり、桁を間違えたりする。
  • 対策: 問題文で「有効数字2桁」と明確な指示がある場合は、それに従います。指示がない場合でも、与えられた物理量の有効数字を確認し、計算結果もそれに合わせるのが基本です。この問題では、与えられた定数が全て2桁なので、答えも2桁にするのが適切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光子のエネルギーの式 (\(E = hc/\lambda\)):
  • 選定理由: ①では、光という波の性質（波長 \( \lambda \)）から、その粒子としての性質（エネルギー \(E\)）を求める必要があります。この2つの側面を結びつけるのが、プランクとアインシュタインによって確立されたこの公式です。
  • 適用根拠: 光電効果は、光の波動性だけでは説明できない（光の強さではなく振動数に依存するなど）ため、光をエネルギーの塊（光子）として扱う必要があります。そのエネルギーを計算するための定義式がこれです。
• 運動エネルギーの式 (\(K = \frac{1}{2}mv^2\)):
  • 選定理由: ②では、運動している電子のエネルギーを求めたいからです。これは、ニュートン力学における運動エネルギーの定義式そのものです。
  • 適用根拠: 飛び出した電子は、質量 \(m\) を持つ粒子として振る舞います。その運動状態を表すエネルギーとして、この古典的な公式がそのまま適用できます。
• アインシュタインの光電効果の式 (\(W = E – K\)):
  • 選定理由: ③では、光子から電子へのエネルギーの受け渡しプロセス全体を考える必要があります。このプロセスにおけるエネルギー保存則を記述したのが光電効果の式です。
  • 適用根拠: 「光子が消滅し、そのエネルギーが電子に吸収される。吸収されたエネルギーは、まず電子を束縛から解放するために使われ（仕事関数）、残りが運動エネルギーになる」という物理モデルに基づいています。このエネルギーの収支決算を行うために、この式が選ばれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 係数と指数を分けて計算する: \(K = \frac{1}{2} \times 9.1 \times (6.3)^2 \times 10^{-31} \times (10^5)^2\) のように、数値の部分（係数）と10のべき乗の部分（指数）を別々に計算し、最後に合体させると、計算の見通しが良くなり、ミスを減らせます。
• 概算で検算する: 例えば②の計算では、\(6.3^2 \approx 40\)、\(9.1 \approx 9\) とすると、\(K \approx \frac{1}{2} \times 9 \times 40 \times 10^{-21} = 180 \times 10^{-21} = 1.8 \times 10^{-19}\) となり、計算結果のオーダー（\(10^{-19}\)）や係数の桁（1.8）がだいたい合っていることを確認できます。
• 単位を書き添える: 計算の各段階で単位を意識することで、物理的な意味を見失わずに済みます。特に、最終的な答えには必ず単位 [J] をつけるようにします。

429 光電効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光電効果の実験」であり、その結果を表すグラフの解釈が中心となります。光電管に加える電圧と流れる電流の関係から、光電子の性質を読み解く能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
回路に流れる電流 \(I\) の向きを特定する問題です。電流の正体は電子の流れですが、電流の向きは「正電荷の流れの向き」と定義されているため、電子の流れとは逆向きになります。まず、電子がどちらの向きに流れるかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 電子は負の電荷を持つ。
• 負電荷は、電位の高い（プラスの）方向に力を受けて移動する。
• 電流の向きは、電子の移動方向と逆向きである。

具体的な解説と立式
光は陰極Cに照射されるため、電子は陰極Cから飛び出します。
図2のグラフを見ると、制御電圧 \(V\) が正の領域で電流が流れています。制御電圧 \(V\) は「電極Cに対する電極Pの電位」と定義されているため、\(V>0\) は陽極Pが陰極Cよりも電位が高い状態を意味します。
電子は負の電荷（\(-e\)）を持つため、電位の高い陽極Pに引き寄せられます。
したがって、電子は陰極Cから陽極Pの向きへ、つまり電流計Aをア→イの向きに通過します。
電流の向きは、この電子の流れとは逆向きに定義されているため、イ→アの向きとなります。

この設問は向きを判断するものであり、計算は不要です。

電子はマイナスの電気を帯びた粒です。磁石のN極とS極が引き合うように、電気の世界ではマイナスはプラスに引き寄せられます。図1の回路で電圧をかけると、Pがプラス極、Cがマイナス極になります。そのため、Cから飛び出した電子はPに向かって流れます（ア→イ）。しかし、電流の向きは、昔の科学者が「電気が流れるのはプラスの粒だ」と勘違いしていたときの名残で、電子の流れとは逆向き（イ→ア）と決められています。

電子の移動方向と電流の向きの関係を正しく理解し、イ→アと判断できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
飽和電流 \(I_0\) の値から、単位時間あたりにCで発生した光電子の個数 \(n\) を求める問題です。飽和電流とは、発生した光電子が1個も逃さず全て陽極Pに到達したときの電流値を指します。電流の定義「単位時間あたりに流れる電気量」から立式します。
この設問における重要なポイント

• 電流 \(I\) [A] は、1秒あたりに通過する電気量 \(Q\) [C] を意味する。
• 電子 \(n\) 個が運ぶ総電気量は \(ne\) である。

具体的な解説と立式
飽和電流 \(I_0\) は、単位時間あたりに発生したすべての光電子が陽極Pに到達することで生じる電流です。
単位時間あたりに発生する光電子の個数を \(n\) 個とします。
電子1個が持つ電気量の大きさは \(e\) です。
したがって、単位時間あたりに回路を流れる電気量の合計は \(ne\) となります。
これが電流の定義そのものなので、次の関係式が成り立ちます。
$$ I_0 = ne $$

上の式を \(n\) について解きます。
$$ n = \frac{I_0}{e} $$

電流とは「電気の粒が1秒間に何クーロン分流れたか」を表す量です。今、1秒間に \(n\) 個の電子が流れて、そのときの電流が \(I_0\) だったとします。電子1個の電気量は \(e\) なので、\(n\) 個の電子が持つ電気量の合計は \(ne\) です。これが \(I_0\) と等しくなるので、\(I_0 = ne\) という式が成り立ちます。個数 \(n\) を知りたいので、この式を変形すれば答えが出ます。

単位時間あたりに発生する光電子の個数は \( \displaystyle\frac{I_0}{e} \) 個となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
制御電圧を \(-V_S\) にしたときに電流が0になった、という事実から、Cで発生する光電子の運動エネルギーの最大値 \(K_{\text{最大}}\) を求める問題です。これは、最も運動エネルギーの大きい電子が、逆向きの電場による仕事によってエネルギーをすべて失い、陽極Pに到達できなくなる条件を考えます。仕事とエネルギーの関係を用いて立式します。
この設問における重要なポイント

• 阻止電圧 \(-V_S\) は、最大の運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) を持つ電子をちょうど止めるための電圧である。
• 仕事とエネルギーの関係：\( (\text{後の運動エネルギー}) – (\text{前の運動エネルギー}) = (\text{された仕事}) \)。
• 電子が電位差 \(V_S\) の逆電場を乗り越えるときにされる仕事は \(-eV_S\)。

具体的な解説と立式
光電子が陰極Cを飛び出すときの運動エネルギーの最大値を \(K_{\text{最大}}\) とします。
この電子が陽極Pにギリギリ到達できなかったとき、Pでの運動エネルギーは0になります。
この間の運動エネルギーの変化 \( \Delta K \) は、
$$ \Delta K = 0 – K_{\text{最大}} = -K_{\text{最大}} $$
一方、電子がCからPへ移動する間に静電気力がする仕事 \(W\) を考えます。制御電圧が \(-V_S\) のとき、Pの電位はCより \(V_S\) だけ低く、電子の進行方向とは逆向きに力が働きます。電子がこの電位差 \(V_S\) を進むときに電場からされる仕事は負となり、その大きさは \(eV_S\) です。したがって、
$$ W = -eV_S $$
仕事とエネルギーの関係 \( \Delta K = W \) より、
$$ -K_{\text{最大}} = -eV_S $$

上の式を \(K_{\text{最大}}\) について解きます。
$$ K_{\text{最大}} = eV_S $$

飛び出してくる電子を、逆向きの電圧（電気の坂道）で止めます。「阻止電圧 \(-V_S\)」とは、一番元気な（運動エネルギーが最大の）電子ですら、坂を上りきれずに押し返されてしまう、ギリギリの坂の高さのことです。このとき、電子が持っていた運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) が、坂を上るのに使われる電気的な位置エネルギー \(eV_S\) にちょうど等しくなります。したがって、\(K_{\text{最大}} = eV_S\) という関係が成り立ちます。

光電子の運動エネルギーの最大値は \(eV_S\) となります。阻止電圧の大きさ \(V_S\) が大きいほど、飛び出す電子のエネルギーも大きいという、物理的に妥当な関係です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光電効果のI-V特性グラフの解釈
  • 核心: この問題は、光電効果の実験結果を表す電流-電圧（I-V）特性グラフ（図2）の物理的意味を正しく理解しているかが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 飽和電流 \(I_0\): 電圧を大きくしていくと、発生した光電子が全て陽極に到達し、それ以上電流が増えなくなる。このときの電流値が飽和電流 \(I_0\) であり、これは「単位時間あたりに発生する光電子の数」に比例します。
    • 阻止電圧 \(-V_S\): 電圧を逆向き（負）にしていくと、光電子は電場に押し返されて陽極に到達しにくくなる。ついに最も運動エネルギーの大きい電子さえも到達できなくなり、電流がゼロになる。このときの電圧が阻止電圧 \(-V_S\) であり、これは「光電子の運動エネルギーの最大値」に対応します。
• 仕事とエネルギーの関係
  • 核心: (3)で阻止電圧と運動エネルギーを結びつけるのは、仕事とエネルギーの関係です。
  • 理解のポイント: 電子が電位差 \(-V_S\) の逆電場を乗り越えるとき、静電気力から \(-eV_S\) の負の仕事をされます。この仕事によって運動エネルギーがちょうどゼロになる条件が \(K_{\text{最大}} – eV_S = 0\)、すなわち \(K_{\text{最大}} = eV_S\) です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光の強度や振動数を変えたときのグラフ変化:
    • 光の強度を強くする（明るくする）: 単位時間あたりにやってくる光子の数が増えるため、発生する光電子の数も増える。→ 飽和電流 \(I_0\) が大きくなる。阻止電圧 \(-V_S\) は変わらない。
    • 光の振動数を大きくする（波長を短くする）: 光子1個あたりのエネルギー \(h\nu\) が大きくなるため、飛び出す光電子の運動エネルギーの最大値も大きくなる。→ 阻止電圧 \(-V_S\) の絶対値が大きくなる。飽和電流 \(I_0\) は変わらない。
  • アインシュタインの光電効果の式との接続: この問題で求めた \(K_{\text{最大}} = eV_S\) を、光電効果の式 \(h\nu = W + K_{\text{最大}}\) に代入することで、\(h\nu = W + eV_S\) という関係式を導く問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認する: まず、縦軸が電流 \(I\)、横軸が電圧 \(V\) であることを確認します。特に横軸の電圧 \(V\) が「どこの電位を基準にした、どこの電位か」という定義を問題文で正確に把握します。
  2. グラフの重要な点に注目する: グラフ上の特徴的な点、すなわち「電流が一定になる部分（飽和電流 \(I_0\)）」と「電流がゼロになる点（阻止電圧 \(-V_S\)）」が、それぞれ何を意味しているのかを考えます。
  3. 物理法則と結びつける: 「飽和電流」は電流の定義（\(I=ne/t\)）と、「阻止電圧」は仕事とエネルギーの関係（\(K_{\text{最大}}=eV_S\)）と、それぞれ対応する物理法則を思い出して立式します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流の向きと電子の流れの向きの混同:
  • 誤解: (1)で、電子がア→イに流れるから、電流の向きもア→イだと答えてしまう。
  • 対策: 「電流の向きは、電子（負電荷）の流れと逆」という定義を徹底的に覚えます。これは回路問題を解く上での大原則です。
• 阻止電圧の符号の扱い:
  • 誤解: (3)で、\(K_{\text{最大}} = -eV_S\) のように、符号を間違えてしまう。
  • 対策: 仕事とエネルギーの関係 \(K_{後} – K_{前} = W\) を丁寧に適用します。\(K_{後}=0\), \(K_{前}=K_{\text{最大}}\)、そして逆電場からされる仕事は負なので \(W=-eV_S\)。よって \(0 – K_{\text{最大}} = -eV_S\) となり、\(K_{\text{最大}} = eV_S\) となります。エネルギーの観点から「運動エネルギーが、電場による位置エネルギーに変わった」と考え、\(K_{\text{最大}} = e V_S\) と直感的に立式するのも有効です。
• 飽和電流と光の振動数の関係の誤解:
  • 誤解: 光の振動数を大きくすれば、電子が勢いよく飛び出すので電流も増えるだろう、と勘違いする。
  • 対策: 飽和電流は「電子の数」だけで決まり、阻止電圧は「電子1個のエネルギー」だけで決まる、ということを明確に区別して理解します。光の強度は光子の数に、光の振動数は光子1個のエネルギーに対応します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電流の定義 (\(I_0 = ne\)):
  • 選定理由: (2)では「単位時間あたりの個数」と「電流」を結びつける必要があります。これを直接結びつけるのが電流の定義式です。
  • 適用根拠: 「電流とは、単位時間に断面を通過する電気量の総和である」という定義に基づいています。単位時間あたり \(n\) 個の電子が通過する場合、その総電気量は \(ne\) となるため、この式が適用されます。
• 仕事とエネルギーの関係 (\(K_{\text{最大}} = eV_S\)):
  • 選定理由: (3)では、電子の運動を妨げる「電圧」と、電子が持つ「運動エネルギー」という、異なる物理量を関係づける必要があります。この2つを結びつけるのが、仕事とエネルギーの関係です。
  • 適用根拠: 「電流がゼロになる」という現象は、「最もエネルギーの大きい電子の運動エネルギー \(K_{\text{最大}}\) が、電場からされる負の仕事によって、ちょうどゼロにされた」と解釈できます。このエネルギーの収支関係を式にしたものが \(K_{\text{最大}} = eV_S\) です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の変形: (2)の \(I_0 = ne\) から \(n\) を求めるような単純な式変形でも、焦ると \(n=e/I_0\) のように間違える可能性があります。落ち着いて移項を行います。
• 物理量の定義の再確認: \(V\) が「Cに対するPの電位」であること、\(V_S\) が電圧の「大きさ」を表す正の値であることなど、問題文で定義された文字の意味を正確に把握することが、特に(3)での符号ミスを防ぐ上で重要です。
• グラフの読み取り: グラフの横軸が \(V\) であり、電流がゼロになる点の座標が \(-V_S\) であることを正確に読み取ります。このマイナス符号が物理的に重要な意味を持ちます。

430 X線の発生

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の発生原理」です。高電圧で加速された電子がターゲットに衝突する際に、その運動エネルギーがX線（電磁波）のエネルギーに変換される過程を、仕事とエネルギーの関係、そして光量子仮説を用いて理解する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄①

思考の道筋とポイント
電圧 \(V\) によって加速された電子が、ターゲットに衝突する直前に持つ運動エネルギーを求める問題です。初速度がゼロの電子が、電位差 \(V\) のある区間を移動するとき、静電気力がした仕事の分だけ運動エネルギーが増加します。
この設問における重要なポイント

• 仕事と運動エネルギーの関係：\( (\text{後の運動エネルギー}) – (\text{前の運動エネルギー}) = (\text{された仕事}) \)。
• 電荷 \(q\) の粒子が電位差 \(V\) で加速されるときにされる仕事は \(W = qV\)。

具体的な解説と立式
フィラメント（陰極）から出た電子は、初速度がほぼ0とみなせます。この電子が、電気量 \(e\)、電位差 \(V\) の高電圧装置によってターゲット（陽極）まで加速されます。
このとき、静電気力が電子にする仕事 \(W\) は、
$$ W = eV $$
仕事とエネルギーの関係から、電子が得る運動エネルギー \(K\) はこの仕事に等しくなります。
$$ K = W $$
したがって、
$$ K = eV $$

この設問は法則を文字式で表現するものであり、計算は不要です。

電子は、電圧 \(V\) という「電気的な坂」を転がり落ちることで加速します。このとき、電子は \(eV\) という大きさの電気的な位置エネルギーを失い、その分だけ運動エネルギーを得ます。したがって、電子が持つ運動エネルギーは \(eV\) となります。

電子の運動エネルギーは \(eV\) となります。加速電圧 \(V\) が大きいほど、電子はより大きな運動エネルギーを持つことになり、物理的に妥当な結果です。

空欄②

思考の道筋とポイント
発生するX線の振動数の「最大値」を求める問題です。これは、電子がターゲットに衝突して急停止する際に、持っていた運動エネルギーが、最も効率よく、つまり「すべて」1個のX線光子のエネルギーに変換された場合に相当します。
この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則：電子の運動エネルギーが、X線光子のエネルギーに変換される。
• 光子のエネルギーの公式：\(E=h\nu\)。
• 振動数が最大になるのは、エネルギーが最大になるときである。

具体的な解説と立式
電子が持つ運動エネルギーは、(1)で求めた通り \(eV\) です。
この運動エネルギーが、すべて1個のX線光子のエネルギーに変換されたとき、その光子のエネルギーは最大となり、対応する振動数 \( \nu_{\text{最大}} \) も最大となります。
光子のエネルギーを \(E_{\text{光子}}\) とすると、エネルギー保存則より、
$$ E_{\text{光子}} = (\text{電子の運動エネルギー}) $$
光子のエネルギーは \(h\nu\) で表されるので、
$$ h\nu_{\text{最大}} = eV $$

上の式を \( \nu_{\text{最大}} \) について解きます。
$$ \nu_{\text{最大}} = \frac{eV}{h} $$

電子がターゲットにぶつかって急ブレーキをかけるとき、その運動エネルギーが光（X線）に変わります。最もエネルギーの高いX線（＝最も振動数が大きいX線）が出てくるのは、電子が持っていた運動エネルギー \(eV\) を「全額」、1個のX線光子に変換した場合です。光のエネルギーは \(h\nu\) なので、\(h\nu = eV\) というエネルギーの等式が成り立ちます。

X線の振動数の最大値は \( \displaystyle\frac{eV}{h} \) となります。加速電圧 \(V\) が大きいほど、より高い振動数のX線が発生することを示しており、物理的に正しい結果です。

空欄③

思考の道筋とポイント
発生するX線の「最短波長」を求める問題です。波の基本的な性質として、振動数と波長は反比例の関係にあります。したがって、振動数が最大となるとき、波長は最短となります。
この設問における重要なポイント

• 波の基本式：\(c = \nu\lambda\)。
• 振動数と波長は反比例の関係にある（\( \lambda = c/\nu \)）。
• 振動数が最大 ↔ 波長が最短。

具体的な解説と立式
光速を \(c\)、振動数を \( \nu \)、波長を \( \lambda \) とすると、これらの間には次の関係式が成り立ちます。
$$ c = \nu\lambda $$
この式を波長 \( \lambda \) について解くと、
$$ \lambda = \frac{c}{\nu} $$
この関係から、波長 \( \lambda \) が最短（\( \lambda_{\text{最短}} \)）になるのは、振動数 \( \nu \) が最大（\( \nu_{\text{最大}} \)）のときです。
$$ \lambda_{\text{最短}} = \frac{c}{\nu_{\text{最大}}} $$

上の式に、(2)で求めた \( \nu_{\text{最大}} = \displaystyle\frac{eV}{h} \) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_{\text{最短}} &= \frac{c}{\nu_{\text{最大}}} \\[2.0ex]&= c \cdot \frac{1}{\nu_{\text{最大}}} \\[2.0ex]&= c \cdot \frac{h}{eV} \\[2.0ex]&= \frac{hc}{eV}
\end{aligned}
$$

波の性質として、振動数が大きい（波が細かく震える）ほど、波の山から山までの長さ（波長）は短くなります。②でX線の最大の振動数を求めたので、そのときの波長が最短の波長になります。波の基本式 \( \lambda = c/\nu \) に、②で求めた \( \nu \) を代入すれば計算できます。

X線の最短波長は \( \displaystyle\frac{hc}{eV} \) となります。加速電圧 \(V\) が大きいほど、最短波長は短くなる（よりエネルギーの高いX線が出る）ことを示しており、物理的に正しい結果です。この最短波長は、デュエン-ハントの法則として知られています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギーの変換と保存
  • 核心: この問題は、異なる形のエネルギーがどのように変換され、その前後で総量が保存されるかを追跡する問題です。
  • 理解のポイント:
    • 第1段階（電子の加速）: 電場による「位置エネルギー」が、電子の「運動エネルギー」に変換されます。(\(K=eV\))
    • 第2段階（X線の発生）: 電子の「運動エネルギー」が、X線光子の「光のエネルギー」に変換されます。(\(h\nu = K\))
  • この2段階のエネルギー変換の連鎖を理解することが、問題全体を貫く最も重要な考え方です。
• 光量子仮説
  • 核心: 発生したX線を、波長 \( \lambda \) や振動数 \( \nu \) を持つ単なる波としてだけでなく、エネルギー \(E=h\nu\) を持つ「光子」という粒子として扱うことが不可欠です。
  • 理解のポイント: この仮説があるからこそ、電子1個の運動エネルギーが、X線光子1個のエネルギーに変換される、という一対一の対応関係を考えることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光電効果との比較:
    • X線発生（この問題）: （電子の運動エネルギー） → （光子のエネルギー）という変換。
    • 光電効果: （光子のエネルギー） → （仕事関数）+（電子の運動エネルギー）という変換。
    • これらはエネルギー変換の向きが逆のプロセスであり、対比して理解すると記憶に残りやすいです。
  • 連続X線と特性X線: この問題で扱っているのは、電子の制動放射による「連続X線」の最短波長です。実際のX線管からは、ターゲット原子の電子軌道遷移に由来する、特定の波長を持つ「特性X線」も発生します。この2種類のX線の発生原理の違いを問う問題も頻出です。
  • 数値計算問題: この問題で導出した式に、プランク定数 \(h\)、電気素量 \(e\)、光速 \(c\) の具体的な数値を代入して、特定の電圧 \(V\) に対する最短波長 \( \lambda_{\text{最短}} \) を計算させる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーの流れを追う: 問題文を読みながら、「誰がエネルギーを持っていて、それが誰に渡され、何に変わったか」というエネルギーの変遷を時系列で追いかけます。
  2. 最大・最小条件に注目する: 「振動数の最大値」「最短波長」のような言葉が出てきたら、それは「エネルギー変換の効率が100%になった理想的なケース」を考えればよい、というサインです。つまり、あるエネルギーが、別の形のエネルギーに「すべて」変換された状況を考えます。
  3. 適切なエネルギーの公式を選ぶ:
     • 電圧で加速された電子のエネルギー → \(K=eV\)
     • 光（X線）のエネルギー → \(E=h\nu\) または \(E=hc/\lambda\)
     • 状況に応じて、これらの公式を使い分け、等式で結びつけます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギーと運動量の混同:
  • 誤解: 電子の運動エネルギーを \(p^2/(2m)\) で考えようとして複雑にしてしまったり、光子のエネルギーを \(p=h/\lambda\) と混同したりする。
  • 対策: この問題では、運動量は必要ありません。一貫して「エネルギー」のみに着目して解くのが最もシンプルです。各物理現象で、どの保存則（エネルギーか運動量か）が重要かを見極めることが大切です。
• 振動数と波長の関係の混同:
  • 誤解: 振動数が最大になるとき、波長も最大になると勘違いしてしまう。
  • 対策: 波の基本式 \(c=\nu\lambda\) を常に思い出し、\( \nu \) と \( \lambda \) が「反比例」の関係にあることを徹底します。「振動数が大きい ⇔ 波長が短い ⇔ エネルギーが大きい」という三者の関係をセットで覚えておくと間違いがありません。
• \(eV\) の意味の誤解:
  • 誤解: \(eV\) を、電子ボルトというエネルギーの単位と、ジュール単位のエネルギーの計算式をごちゃ混ぜにしてしまう。
  • 対策: この問題の文脈では、\(e\) は電気素量[C]、\(V\) は電圧[V] なので、\(eV\) は仕事やエネルギー[J] を計算するための「式」です。1[eV] というエネルギーの「単位」とは区別して考えます。（結果的に、電圧 \(V\) で加速された電子の運動エネルギーは \(V\) [eV] となりますが、計算上は \(eV\) [J] として扱うのが基本です。）

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 仕事とエネルギーの関係 (\(K=eV\)):
  • 選定理由: (1)では、電子が「加速された結果」として持つ運動エネルギーを求めたい。その原因は「電場がした仕事」です。原因（仕事）と結果（運動エネルギーの変化）を直接結びつけるのが、仕事とエネルギーの関係です。
  • 適用根拠: 電子が電位差 \(V\) のある空間を移動するとき、静電気力からされる仕事は \(eV\) です。初速度がゼロであれば、された仕事がそのまま運動エネルギーになるため、この式が適用されます。
• 光子のエネルギーの式 (\(E=h\nu\)):
  • 選定理由: (2)では、発生したX線の「振動数」を求めたい。X線は電磁波（光）の一種であり、そのエネルギーと振動数を結びつけるのがこの公式です。
  • 適用根拠: 電子の運動エネルギーが光のエネルギーに変換される、という現象を数式で表現するために、光をエネルギー \(h\nu\) を持つ粒子（光子）と見なす必要があります。エネルギー保存則を適用するために、両辺をエネルギーの次元で揃える必要があり、この公式が選ばれます。
• 波の基本式 (\(\lambda = c/\nu\)):
  • 選定理由: (3)では、(2)で求めた「振動数」から「波長」を求めたい。あらゆる波に共通する、振動数と波長の関係式がこれです。
  • 適用根拠: X線も光速 \(c\) で進む電磁波であるため、この普遍的な関係式がそのまま適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の変形: この問題は文字式での解答が主ですが、(3)の \( \lambda = c / \nu_{\text{最大}} \) に \( \nu_{\text{最大}} = eV/h \) を代入する際など、分数の分母にさらに分数が来るような計算（繁分数）は、落ち着いて処理します。\(c \div (eV/h) = c \times (h/eV)\) のように、逆数の掛け算に直すとミスが減ります。
• 物理定数の役割を意識する: \(h\) や \(c\), \(e\) は、物理現象をつなぐ「通訳」のような役割を果たします。例えば、\(h\) はエネルギーと振動数を通訳し、\(c\) は振動数と波長を通訳します。どの定数がどの物理量の間を取り持っているかを意識すると、公式の成り立ちがより深く理解できます。

431 X線の発生

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の発生」であり、高電圧で加速された電子のエネルギーがX線光子のエネルギーに変換される過程を扱います。電子の粒子性（運動エネルギー）と波動性（物質波）、そしてX線の粒子性（光子エネルギー）という、現代物理学の重要な概念が凝縮された問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子を加速するための電源の極性を判断する問題です。電子はフィラメント（陰極）から放出され、ターゲット（陽極）に向かって加速されます。電子が負の電荷を持つことを考慮して、電位の高低を考えます。
この設問における重要なポイント

• 電子は負（\(-e\)）の電荷を持つ。
• 負電荷の粒子は、電位の低い方から高い方へ力を受けて加速される。

具体的な解説と立式
X線管内では、フィラメント（陰極）から放出された電子が、ターゲット（陽極）に引き寄せられて衝突します。
電子は負の電荷を持っているため、電位の高い（正電位の）方向へ静電気力を受けます。
したがって、電子を加速するためには、ターゲット（陽極）をフィラメント（陰極）よりも高電位にする必要があります。
図の回路を見ると、電源のイ側がターゲット（陽極）に接続されているため、イ側をプラス（＋）極にする必要があります。

この設問は極性を判断するものであり、計算は不要です。

電子はマイナスの電気を帯びています。マイナスの電気はプラスの電気に引き寄せられます。X線を発生させるには、電子を陰極から陽極に勢いよくぶつける必要があるので、陽極側をプラス極にして電子を強く引きつけなければなりません。図を見ると、イ側が陽極につながっているので、イがプラス極です。

電源のイ側が＋極であると正しく判断できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
陽極に到達する直前の電子の運動量の大きさと、そのときの物質波の波長を求める問題です。まず、加速電圧 \(V\) から電子の運動エネルギー \(K\) を求め、次に運動量 \(p\) を計算します。最後に、ド・ブロイ波長の公式 \( \lambda = h/p \) を使って波長を求めます。
この設問における重要なポイント

• 電子の運動エネルギーは \(K=eV\)。
• 運動量と運動エネルギーの関係は \(p = \sqrt{2mK}\)。
• 物質波の波長は \( \lambda = h/p \)。
• 与えられた定数と近似値を用いて、正確に数値計算を行う。

具体的な解説と立式
電子が電圧 \(V\) で加速されて得る運動エネルギー \(K\) は、
$$ K = eV $$
運動量 \(p\) と運動エネルギー \(K\) の関係式 \( K = \displaystyle\frac{p^2}{2m} \) より、
$$ p = \sqrt{2mK} $$
上の2式から、
$$ p = \sqrt{2meV} $$
また、物質波の波長 \( \lambda \) は、
$$ \lambda = \frac{h}{p} $$

与えられた数値を代入して、運動量 \(p\) を計算します。
\(V = 40 \text{ kV} = 40 \times 10^3 \text{ V}\)
$$
\begin{aligned}
p &= \sqrt{2meV} \\[2.0ex]&= \sqrt{2 \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (40 \times 10^3)} \\[2.0ex]&= \sqrt{(2 \times 9.1 \times 1.6 \times 40) \times 10^{-31-19+3}} \\[2.0ex]&= \sqrt{1164.8 \times 10^{-47}} \\[2.0ex]&= \sqrt{116.48 \times 10^{-46}}
\end{aligned}
$$
ここで、\(116.48 = 64 \times 1.82\) と変形できるので、与えられた近似値 \(\sqrt{1.82}=1.35\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
p &= \sqrt{64 \times 1.82 \times 10^{-46}} \\[2.0ex]&= \sqrt{64} \times \sqrt{1.82} \times \sqrt{10^{-46}} \\[2.0ex]&= 8 \times 1.35 \times 10^{-23} \\[2.0ex]&= 10.8 \times 10^{-23} \\[2.0ex]&= 1.08 \times 10^{-22}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\(p \approx 1.1 \times 10^{-22} \text{ [kg}\cdot\text{m/s]}\)。

次に、この運動量を用いて物質波の波長 \( \lambda \) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{h}{p} \\[2.0ex]&= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{1.08 \times 10^{-22}} \\[2.0ex]&= \frac{6.6}{1.08} \times 10^{-12} \\[2.0ex]&= 6.11… \times 10^{-12}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\( \lambda \approx 6.1 \times 10^{-12} \text{ [m]} \)。

まず、電子が加速されて得る運動エネルギーを \(K=eV\) で計算します。次に、その運動エネルギーを持つ粒子の運動量を \(p=\sqrt{2mK}\) で計算します。最後に、その運動量を持つ粒子が波として振る舞うときの波長を、\(\lambda=h/p\) で計算します。3段階の計算ですが、一つ一つの式は基本的です。数値計算では、与えられた近似値をうまく使えるように式を変形するのがポイントです。

電子の運動量は \(1.1 \times 10^{-22} \text{ kg}\cdot\text{m/s}\)、物質波の波長は \(6.1 \times 10^{-12} \text{ m}\) となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
発生するX線の「最短波長」を求める問題です。これは、電子が持つ運動エネルギーのすべてが、1個のX線光子のエネルギーに変換される、最もエネルギー変換効率の良いケースに対応します。
この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則：電子の運動エネルギーが、X線光子のエネルギーに変換される。
• 最短波長 \( \leftrightarrow \) 最大エネルギー \( \leftrightarrow \) 最大振動数。
• 電子の運動エネルギーは \(eV\)、光子のエネルギーは \(hc/\lambda\)。

具体的な解説と立式
電子が持つ運動エネルギー \(K=eV\) が、すべて1個のX線光子のエネルギー \(E_{\text{光子}}\) に変換されるとき、そのX線の波長は最短（\( \lambda_{\text{最短}} \)）になります。
エネルギー保存則より、
$$ (\text{電子の運動エネルギー}) = (\text{X線光子のエネルギー}) $$
$$ eV = \frac{hc}{\lambda_{\text{最短}}} $$

上の式を \( \lambda_{\text{最短}} \) について解き、与えられた数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_{\text{最短}} &= \frac{hc}{eV} \\[2.0ex]&= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (40 \times 10^3)} \\[2.0ex]&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6.4 \times 10^{-15}} \\[2.0ex]&= \frac{19.8}{6.4} \times 10^{-11} \\[2.0ex]&= 3.09375 \times 10^{-11}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\( \lambda_{\text{最短}} \approx 3.1 \times 10^{-11} \text{ [m]} \)。

電子がターゲットに衝突して、持っていた運動エネルギーを100%光のエネルギーに変換したとき、最もパワフルなX線（＝波長が最も短いX線）が生まれます。このエネルギーの変換を式にすると、「電子の運動エネルギー \(eV\) = X線のエネルギー \(hc/\lambda\)」となります。この式を \( \lambda \) について解けば、最短波長が計算できます。

発生するX線の最短波長は \(3.1 \times 10^{-11} \text{ m}\) となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギーの形態変化と保存則
  • 核心: この問題は、一連の物理現象の中でエネルギーがどのように姿を変えていくかを追跡することが中心です。
  • 理解のポイント:
    1. 仕事 → 運動エネルギー: 電源がした仕事 \(eV\) が、電子の運動エネルギー \(K\) になります (\(K=eV\))。
    2. 運動エネルギー → 光のエネルギー: 電子の運動エネルギー \(K\) が、X線光子のエネルギー \(E_{\text{光子}}\) になります (\(E_{\text{光子}}=K\))。
  • この2つのエネルギー変換の連鎖を理解し、\(eV = \frac{hc}{\lambda_{\text{最短}}}\) という関係式にたどり着けるかが核心です。
• 粒子性と波動性の二重の視点
  • 核心: (2)では、電子を「粒子」として運動量を計算し、同時に「波」として物質波の波長を計算します。この二重の視点を持つことが現代物理学の基本です。
  • 理解のポイント:
    • 粒子としての側面: 運動量 \(p\)、運動エネルギー \(K\)
    • 波としての側面: 波長 \( \lambda \)
    • これらをつなぐのがド・ブロイの関係式 \( \lambda = h/p \) です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光電効果との関係: X線の発生は光電効果の「逆過程」と考えることができます。
    • 光電効果: 光子 → 電子 （光エネルギーが電子の運動エネルギーに）
    • X線発生: 電子 → 光子 （電子の運動エネルギーが光エネルギーに）
    • この対比を理解しておくと、両方の現象の理解が深まります。
  • 電子顕微鏡の分解能: (2)で求めた電子の物質波の波長は、電子顕微鏡の性能（分解能）を決定する重要な要素です。加速電圧を上げるほど波長が短くなり、より細かいものが見えるようになる、という応用につながります。
  • 相対論的効果: 加速電圧が非常に高くなると、電子の速度が光速に近づき、相対論的効果（質量の増加など）を考慮する必要が出てきます。大学入試では稀ですが、発展的な問題として存在します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーの流れを把握する: まず、誰がエネルギー源で、そのエネルギーが何に変換されていくのか、という全体のストーリーを把握します。（電源 → 電子の運動エネルギー → X線のエネルギー）
  2. 問われている物理量を確認する: (2)のように「運動量と波長」を問われているのか、(3)のように「最短波長」を問われているのかで、使うべき公式の組み合わせが変わります。
  3. 最大・最小条件の意味を考える: (3)の「最短波長」は、「最大エネルギー」のX線に対応します。これは、電子の運動エネルギーが100%光子のエネルギーに変換される、最も効率の良い理想的なケースを考えればよい、ということを意味します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動エネルギーと運動量の計算順序:
  • 誤解: (2)で運動量を求めるときに、まず速さ \(v\) を計算しようとして \(v=\sqrt{2eV/m}\) の式に数値を代入し、計算が複雑になってしまう。
  • 対策: 運動エネルギー \(K=eV\) を先に計算し、その結果を使って運動量 \(p=\sqrt{2mK}\) を計算する方が、見通しが良く、計算も楽になることが多いです。\(p=\sqrt{2meV}\) の形にしてから数値を代入するのが賢明です。
• 単位の換算ミス:
  • 誤解: 加速電圧が 40kV と与えられているのに、\(V=40\) として計算してしまう。
  • 対策: k（キロ）、m（ミリ）、μ（マイクロ）、n（ナノ）などの接頭辞は、必ず \(10^3\), \(10^{-3}\), \(10^{-6}\), \(10^{-9}\) のように、10のべき乗に直してから計算を開始する習慣をつけます。
• 平方根の計算ミス:
  • 誤解: (2)の \(p=\sqrt{2meV}\) の計算で、指数部分の計算（\(-31-19+3 = -47\)）や、その後の平方根の処理（\(\sqrt{10^{-47}} = \sqrt{10 \times 10^{-48}} = \sqrt{10} \times 10^{-24}\) など）でミスをする。
  • 対策: 指数が偶数になるように調整する（例: \(10^{-47} \to 10^{-46}\)）のが、平方根の計算を簡単にするコツです。また、問題で与えられた近似値（\(\sqrt{1.82}=1.35\)）をうまく使えるように、係数部分を変形できないか検討します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動量と運動エネルギーの関係式 (\(p=\sqrt{2mK}\)):
  • 選定理由: (2)では、エネルギーの情報（\(K=eV\)）から運動量 \(p\) を求める必要があります。質量 \(m\)、運動エネルギー \(K\)、運動量 \(p\) の3つを直接結びつけるのがこの関係式です。
  • 適用根拠: \(K=\frac{1}{2}mv^2\) と \(p=mv\) という2つの定義式から \(v\) を消去することで導かれる、純粋に力学的な関係式です。
• ド・ブロイ波長の式 (\(\lambda=h/p\)):
  • 選定理由: (2)で「物質波の波長」を求めたいからです。粒子の運動状態（運動量 \(p\)）と波としての性質（波長 \( \lambda \)）を結びつける唯一の式がこれです。
  • 適用根拠: 電子も波として振る舞うという「物質波」の概念に基づいています。
• エネルギー保存則 (\(eV = hc/\lambda_{\text{最短}}\)):
  • 選定理由: (3)では、電子のエネルギーとX線のエネルギーの関係を考える必要があります。これはエネルギーの変換過程なので、エネルギー保存則が最も基本的な法則となります。
  • 適用根拠: 「最短波長」という条件から、電子の運動エネルギーが「すべて」X線光子のエネルギーに変換されたと解釈します。このエネルギーの等価関係を立式するために、この公式が選ばれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 計算しやすい形への変形: (2)の運動量の計算では、\(p=\sqrt{2meV}\) の根号の中を、\( \sqrt{(2 \times 1.6 \times 4) \times 9.1 \times 10^{-46}} \) のように計算しやすい部分とそうでない部分に分けるのではなく、模範解答のように \( \sqrt{1.82 \times …} \) の形に持っていくのが、与えられた近似値を使うための鍵となります。
• 有効数字を意識した計算: 問題で与えられている数値（40kV, 9.1, 6.6, 1.6, 3.0）は全て有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁に丸める必要があります。計算の途中で細かく丸めず、最後にまとめて丸めるのが基本です。
• 概算による検算: (3)の計算で、\( \lambda = \frac{6.6 \times 3.0}{1.6 \times 40} \times 10^{-34+8-(-19)-3} = \frac{19.8}{64} \times 10^{-10} \approx 0.3 \times 10^{-10} = 3 \times 10^{-11} \) [m] のように、大まかな桁と数値を計算して、詳細な計算結果（\(3.1 \times 10^{-11}\)）と大きくずれていないかを確認します。

432 ブラッグの条件

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の回折とブラッグの条件」です。結晶格子にX線を照射した際に、特定の角度で強い反射（干渉による強め合い）が起こる現象を、ブラッグの条件式を用いて定量的に解析する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

格子面の間隔dを求める問題

思考の道筋とポイント
X線が結晶格子で強め合って反射されるという記述から、ブラッグの条件を適用します。問題文で与えられている、次数 \(n=2\) のときの波長 \( \lambda \)、入射角 \(30^\circ\) の値をブラッグの条件式に代入し、未知数である格子面の間隔 \(d\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• ブラッグの条件式 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を用いる。
• 問題文から、\( \lambda = 8.0 \times 10^{-11} \text{ m} \), \( \theta = 30^\circ \), \( n=2 \) を正確に読み取る。

具体的な解説と立式
ブラッグの条件式は、
$$ 2d\sin\theta = n\lambda $$
です。
問題文より、X線が強め合ったときの条件は、
波長 \( \lambda = 8.0 \times 10^{-11} \text{ m} \)
入射角 \( \theta = 30^\circ \)
次数 \( n=2 \)
です。これらの値をブラッグの条件式に代入します。
$$ 2d\sin 30^\circ = 2 \times (8.0 \times 10^{-11}) $$

上の式を \(d\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{2 \times (8.0 \times 10^{-11})}{2\sin 30^\circ} \\[2.0ex]&= \frac{8.0 \times 10^{-11}}{\sin 30^\circ}
\end{aligned}
$$
ここで、\( \sin 30^\circ = 0.5 = \displaystyle\frac{1}{2} \) なので、
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{8.0 \times 10^{-11}}{0.5} \\[2.0ex]&= 16 \times 10^{-11} \\[2.0ex]&= 1.6 \times 10^{-10} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

結晶によるX線の反射が強め合うときには、「\(2d\sin\theta = n\lambda\)」というブラッグの条件が成り立ちます。この問題では、\(n=2\) のときに強め合ったと書かれているので、この式に \(n=2\) と、問題文にある \( \lambda \) と \( \theta \) の値をそのまま代入します。すると、未知数は \(d\) だけになるので、簡単な計算で \(d\) を求めることができます。

格子面の間隔 \(d\) は \(1.6 \times 10^{-10} \text{ m}\) となります。これは原子の大きさや原子間距離のオーダーとして妥当な値です。

sinθの値を求める問題

思考の道筋とポイント
同じ結晶格子（先ほど求めた間隔 \(d\) を持つ）に対して、今度は次数 \(n=1\) での反射が起こる条件を考えます。再びブラッグの条件式を用い、今度は \(n=1\) と、既知となった \(d\) および与えられた \( \lambda \) の値を代入して、未知数である \(\sin\theta\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 同じ結晶なので、格子面の間隔 \(d\) は先ほど求めた値を使う。
• ブラッグの条件式 \(2d\sin\theta = n\lambda\) に、今度は \(n=1\) を適用する。

具体的な解説と立式
同じ結晶格子なので、格子面の間隔は先ほど求めた \(d = 1.6 \times 10^{-10} \text{ m}\) です。
この格子面で、次数 \(n=1\) の反射が起こるときの入射角を \( \theta \) とします。
使用するX線の波長は変わらず \( \lambda = 8.0 \times 10^{-11} \text{ m} \) です。
ブラッグの条件式 \(2d\sin\theta = n\lambda\) に、これらの値を代入します。
$$ 2 \times (1.6 \times 10^{-10}) \sin\theta = 1 \times (8.0 \times 10^{-11}) $$

上の式を \(\sin\theta\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta &= \frac{1 \times (8.0 \times 10^{-11})}{2 \times (1.6 \times 10^{-10})} \\[2.0ex]&= \frac{8.0 \times 10^{-11}}{3.2 \times 10^{-10}} \\[2.0ex]&= \frac{8.0}{3.2} \times \frac{10^{-11}}{10^{-10}} \\[2.0ex]&= 2.5 \times 10^{-1} \\[2.0ex]&= 0.25
\end{aligned}
$$

同じ結晶に同じX線を当てる場合でも、当てる角度を変えると、別の条件（今度は \(n=1\)）で再び反射が強め合うことがあります。このときの角度 \( \theta \) を知るために、もう一度ブラッグの条件「\(2d\sin\theta = n\lambda\)」を使います。今度は \(n=1\) を代入し、先ほど計算した \(d\) の値も使います。すると、\(\sin\theta\) の値を計算することができます。

\(\sin\theta\) の値は 0.25 となります。\(n=2\) のとき \(\sin 30^\circ = 0.5\) であったのに対し、\(n=1\) では \(\sin\theta = 0.25\) となり、より小さい角度で強め合いが起こることがわかります。これは、ブラッグの条件式 \( \sin\theta = \frac{n\lambda}{2d} \) から、\(n\) が小さいほど \(\sin\theta\) も小さくなるという関係と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ブラッグの条件
  • 核心: この問題は、ブラッグの条件式 \(2d\sin\theta = n\lambda\) を正しく理解し、自在に使いこなせるかを試すものです。この一つの式だけで、問題の全てが解決します。
  • 理解のポイント:
    • この式は、結晶という「道具」を使って、波の「波長 \( \lambda \)」を測定したり、逆に既知の波長の波を使って、結晶の「格子面間隔 \(d\)」を調べたりするための、非常に強力な関係式です。
    • 式中の \(d, \theta, n, \lambda\) の4つの変数のうち、3つが分かれば残りの1つを求めることができる、という構造を理解することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電子線の回折: X線の代わりに、物質波としての電子線を結晶に照射する問題。その場合は、まずド・ブロイ波長の公式 \( \lambda = h/p \) を使って電子線の波長 \( \lambda \) を計算し、その結果をブラッグの条件式に適用します。
  • 観測可能な最大の次数を求める問題: ブラッグの条件式を \( n = \frac{2d\sin\theta}{\lambda} \) と変形します。\( \sin\theta \) の最大値は1（\( \theta=90^\circ \) のとき）なので、観測可能な最大の次数 \(n_{\text{最大}}\) は、\( \frac{2d}{\lambda} \) を超えない最大の整数として求められます。
  • 特定の結晶構造（例えば面心立方格子など）と関連付けた問題: 結晶の格子定数（単位格子の辺の長さ）から、特定の格子面（(100)面や(111)面など）の間隔 \(d\) を幾何学的に計算させ、その上でブラッグの条件を適用させる、より発展的な問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. キーワードの特定: 「結晶」「格子面」「X線（または電子線）」「強め合う」「反射」といったキーワードを見つけたら、即座にブラッグの条件を思い出します。
  2. ブラッグの条件式を書き出す: まずは \(2d\sin\theta = n\lambda\) の式を答案用紙に書き出します。
  3. 問題文と変数を対応させる: 問題文で与えられている数値を、\(d, \theta, n, \lambda\) のどれに対応するのか、一つ一つ慎重に確認し、式に代入します。
  4. 未知数を特定し、式を解く: どの変数が未知数なのかを明確にし、その変数について式を解きます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 角度 \( \theta \) の定義の誤解:
  • 誤解: 結晶表面の法線と入射X線のなす角を \( \theta \) としてしまう。
  • 対策: ブラッグの条件で使う \( \theta \) は、常に「入射X線の進行方向と格子面とのなす角（かすりの角、 glancing angle）」であると、図と共に正確に記憶します。
• 次数 \(n\) の扱い:
  • 誤解: 前半の問題で \(n=2\) を使った後、後半の問題でもうっかり \(n=2\) を使ってしまう。
  • 対策: 問題文を丁寧に読み、「どの条件のときに、どの値を求めるのか」を明確に区別します。前半は「\(n=2\) のときの \(d\)」、後半は「\(n=1\) のときの \(\sin\theta\)」を求める、というように、各設問の目的をはっきりさせることが重要です。
• 三角関数の値のミス:
  • 誤解: \( \sin 30^\circ = 1/2 \) を度忘れしたり、\( \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 \) と混同したりする。
  • 対策: \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) などの基本的な角度に対する三角関数の値は、瞬時に正確に言えるようにしておく必要があります。単位円や直角三角形の図を頭に思い浮かべる習慣をつけると、間違いが減ります。
• 単位の混同:
  • 誤解: 波長や格子面間隔の単位がメートル（m）、ナノメートル（nm）、オングストローム（Å）など、様々に与えられた場合に換算を間違える。
  • 対策: 計算を行う際は、全ての長さを同じ単位（通常はSI単位系のメートル）に揃えるのが基本です。\(1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}\), \(1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}\) の関係を覚えておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ブラッグの条件 (\(2d\sin\theta = n\lambda\)):
  • 選定理由: この問題は「結晶によるX線の干渉」という、特定の物理現象を扱っています。この現象を支配する唯一の基本法則がブラッグの条件だからです。
  • 適用根拠: 問題文に「X線が強め合って反射された」と明記されています。これは、隣り合う格子面で反射されたX線の経路差（図から \(2d\sin\theta\) と導出される）が、波長の整数倍（\(n\lambda\)）になるという、波の干渉における「強め合いの条件」が満たされたことを意味します。この物理的背景が、この公式を選択する直接的な理由です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式を整理してから代入する: 例えば前半の問題では、まず \( d = \frac{n\lambda}{2\sin\theta} \) の形に式を変形してから、数値を代入する方が、計算の見通しが良くなります。
• 指数計算の徹底: この問題では \(10^{-10}\) や \(10^{-11}\) といった指数が出てきます。割り算の際の指数法則（\(10^a / 10^b = 10^{a-b}\)）を正確に適用します。例えば、後半の計算では \(10^{-11} / 10^{-10} = 10^{-11 – (-10)} = 10^{-1}\) となります。
• 分数の計算: 後半の計算で \( \frac{8.0}{3.2} \) のような小数を含む分数が出てきます。これは \( \frac{80}{32} \) と同じなので、8で割って \( \frac{10}{4} \)、さらに2で割って \( \frac{5}{2} = 2.5 \) と、段階的に約分していくと計算ミスが減ります。

433 コンプトン効果

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンプトン効果」の最も単純なケース、すなわち「正面衝突」です。X線を粒子（光子）とみなし、電子との1次元的な衝突として扱うことで、運動量保存則とエネルギー保存則を立式する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

運動量保存則

思考の道筋とポイント
X線光子と電子の正面衝突について、運動量保存則を立式します。運動は一直線上で起こるため、成分分解は不要ですが、向きを考慮して符号を正しく設定することが重要です。
この設問における重要なポイント

• 運動量はベクトル量であるため、正の向きを定め、逆向きの運動量は負の値で表す。
• 光子の運動量の大きさは \(p = \displaystyle\frac{h}{\lambda}\)。
• 電子の運動量の大きさは \(p_e = mv\)。
• 運動量保存則：\( (\text{衝突前の運動量の和}) = (\text{衝突後の運動量の和}) \)。

具体的な解説と立式
初めのX線の進行方向を正の向きとします。

衝突前の運動量の和を考えます。

• 入射X線（光子）: 運動量の大きさは \( \displaystyle\frac{h}{\lambda} \)。向きは正の向きなので、運動量は \( +\displaystyle\frac{h}{\lambda} \)。
• 電子: 静止しているので運動量は0。

よって、衝突前の運動量の和は \( \displaystyle\frac{h}{\lambda} \) です。

次に、衝突後の運動量の和を考えます。

• 散乱X線（光子）: 運動量の大きさは \( \displaystyle\frac{h}{\lambda’} \)。逆向きにはね返されたので、運動量は \( -\displaystyle\frac{h}{\lambda’} \)。
• 電子: 運動量の大きさは \(mv\)。正の向きにはね飛ばされたので、運動量は \(+mv\)。

よって、衝突後の運動量の和は \( -\displaystyle\frac{h}{\lambda’} + mv \) です。

運動量保存則より、「衝突前の和」=「衝突後の和」なので、
$$ \frac{h}{\lambda} = -\frac{h}{\lambda’} + mv $$

この設問は法則を文字式で表現するものであり、計算は不要です。

ビリヤードの玉が正面衝突するのをイメージします。「衝突前の全体の勢いの合計」と「衝突後の全体の勢いの合計」は等しくなります。ただし、勢い（運動量）には向きがあるので、右向きをプラスと決めます。

• 衝突前：右向きのX線の勢い（\(h/\lambda\)）のみ。
• 衝突後：左向きに跳ね返ったX線の勢い（\(-h/\lambda’\)）と、右向きに弾き飛ばされた電子の勢い（\(mv\)）の合計。

この2つが等しいという式を立てます。

運動量保存則は \( \displaystyle\frac{h}{\lambda} = -\frac{h}{\lambda’} + mv \) と表されます。各項の符号が、それぞれの運動方向を正しく反映しており、妥当な立式です。

エネルギー保存則

思考の道筋とポイント
X線光子と電子の衝突について、エネルギー保存則を立式します。エネルギーは向きを持たないスカラー量なので、衝突前後の各粒子のエネルギーの総和が等しい、という式を立てるだけです。
この設問における重要なポイント

• エネルギーはスカラー量であり、向き（符号）を考慮する必要はない。
• 光子のエネルギーは \( E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda} \)。
• 電子の運動エネルギーは \( K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \)。
• エネルギー保存則：\( (\text{衝突前のエネルギーの和}) = (\text{衝突後のエネルギーの和}) \)。

具体的な解説と立式
衝突前の系の全エネルギーを考えます。

• 入射X線（光子）: エネルギーは \( \displaystyle\frac{hc}{\lambda} \)。
• 電子: 静止しているので運動エネルギーは0。

よって、衝突前のエネルギーの和は \( \displaystyle\frac{hc}{\lambda} \) です。

次に、衝突後の系の全エネルギーを考えます。

• 散乱X線（光子）: 波長が \( \lambda’ \) になったので、エネルギーは \( \displaystyle\frac{hc}{\lambda’} \)。
• 電子: 速さ \(v\) で運動しているので、運動エネルギーは \( \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \)。

よって、衝突後のエネルギーの和は \( \displaystyle\frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2 \) です。

エネルギー保存則より、「衝突前の和」=「衝突後の和」なので、
$$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2 $$

この設問は法則を文字式で表現するものであり、計算は不要です。

衝突によって、エネルギーの総量は変わりません。

• 衝突前：エネルギーはすべて入射X線が持っている（\(hc/\lambda\)）。
• 衝突後：そのエネルギーは、跳ね返ったX線のエネルギー（\(hc/\lambda’\)）と、弾き飛ばされた電子の運動エネルギー（\(\frac{1}{2}mv^2\)）に分配される。

この「分配」の様子を等式で表します。

エネルギー保存則は \( \displaystyle\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda’} + \frac{1}{2}mv^2 \) と表されます。この式から、電子が運動エネルギーを得た分、光子のエネルギーは減少し、その結果として波長が長くなる（\( \lambda’ > \lambda \)）というコンプトン効果の基本的な性質が確認でき、妥当な立式です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 保存則の適用（運動量とエネルギー）
  • 核心: この問題は、X線光子と電子の衝突というミクロな現象を、高校物理で習う最も基本的な法則である「運動量保存則」と「エネルギー保存則」を用いて記述するものです。この2つの保存則を、正しく区別して適用できるかが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 運動量保存則: 運動量はベクトル量（向きを持つ量）です。したがって、1次元の衝突であっても、進行方向を正として、逆向きの運動量を負の符号で表す必要があります。
    • エネルギー保存則: エネルギーはスカラー量（大きさだけの量）です。したがって、向きは関係なく、単純に衝突前後のエネルギーの総和が等しいという式を立てます。
• 光子の粒子性
  • 核心: X線を、エネルギー \(E=hc/\lambda\) と運動量 \(p=h/\lambda\) を持つ「粒子」として扱うことが、この問題を解くための前提となります。
  • 理解のポイント: 光子の運動量とエネルギーの式を混同せずに、それぞれ運動量保存則とエネルギー保存則に正しく代入することが求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜め衝突（一般的なコンプトン効果）: この問題は1次元の正面衝突ですが、X線が斜めに散乱される問題がより一般的です。その場合は、運動量保存則をx成分とy成分に分解して、2本の式を立てる必要があります。エネルギー保存則の式はスカラーなので、1本のままで変わりません。
  • 未知の物理量を求める計算問題: この問題で立てた2本の式を連立させて、未知の物理量（例えば、散乱後の電子の速さ \(v\) やX線の波長 \( \lambda’ \)）を計算させる問題。
  • マクロな物体の衝突とのアナロジー: この問題は、質量 \(m_1\) の弾丸が静止している質量 \(m_2\) の物体に衝突する、という力学の衝突問題と全く同じ構造をしています。光子を「質量はないが運動量とエネルギーを持つ弾丸」と見なすことで、力学の知識を応用して考えることができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 現象の特定: 「X線光子と電子の衝突」という記述から、コンプトン効果（あるいはその一部）を扱う問題であると判断します。
  2. 座標軸と正の向きを設定する: 運動量保存則を立てる準備として、まず座標軸（この場合はx軸のみ）と、その正の向きを自分で決めます。通常は、入射光子の進行方向を正とします。
  3. 衝突前後の状態を整理する: 「衝突前」と「衝突後」に分けて、それぞれの粒子（光子と電子）の運動量とエネルギーを、記号を使って書き出します。このとき、運動量の符号に特に注意します。
  4. 2つの保存則を別々に立式する: 「運動量保存則」と「エネルギー保存則」は別の法則なので、それぞれ独立に式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量の符号のミス:
  • 誤解: 運動量保存則を立てる際に、はね返されたX線の運動量を、大きさだけ考えて \(+h/\lambda’\) と書いてしまう。
  • 対策: 運動量はベクトル量であることを常に意識し、最初に定めた正の向きと逆向きのベクトルには必ずマイナスの符号をつける、というルールを徹底します。図を描いて、各運動量ベクトルの向きを矢印で確認するのが有効です。
• 運動量とエネルギーの式の混同:
  • 誤解: エネルギー保存則の式に、運動量の項（\(h/\lambda\)）を入れてしまったり、逆に運動量保存則の式にエネルギーの項（\(hc/\lambda\)）を入れてしまう。
  • 対策: 「運動量」と「エネルギー」は全く異なる物理量であり、単位も違う（[kg·m/s]と[J]）ことを強く意識します。立式する際に、「この項は運動量か？エネルギーか？」と自問自答する癖をつけましょう。
• 電子のエネルギーの扱い:
  • 誤解: 衝突前の静止している電子にも、何らかのエネルギーがあるのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 高校物理の範囲では、特に断りがない限り、静止している粒子の運動エネルギーはゼロとして扱います。（厳密にはアインシュタインの静止エネルギー \(E=mc^2\) がありますが、衝突現象では運動エネルギーの変化が重要なので、通常は考慮しません。）

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動量保存則:
  • 選定理由: この問題は、外力が働かない系（孤立系）での2粒子衝突を扱っています。このような状況で常に成り立つ普遍的な法則が運動量保存則だからです。
  • 適用根拠: 光子と電子からなる系全体として、外部から力が加わっていないため、衝突の前後で系全体の運動量の総和は変化しません。この不変性（保存則）を数式で表現するために、この法則が選ばれます。
• エネルギー保存則:
  • 選定理由: 運動量保存則だけでは、未知数が多くて解を決定できません。衝突現象を記述するもう一つの重要な法則がエネルギー保存則です。
  • 適用根拠: 光子と電子の衝突は、エネルギーの損失がない「弾性衝突」と見なせます。したがって、衝突の前後で、運動エネルギーと光子のエネルギーの総和は保存されます。このエネルギーの保存則を立式することで、運動量保存則と連立させて問題を解くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 立式の前に図を描く: 問題文の状況を、模範解答にあるような簡単な図で表現する習慣をつけましょう。衝突前の状態と衝突後の状態を並べて描き、各粒子の運動方向を矢印で、運動量の大きさを記号で書き込むことで、立式の際の符号ミスなどを劇的に減らすことができます。
• 各項の物理的意味を確認する: 式を立てた後、それぞれの項が「衝突前の光子の運動量」「衝突後の電子の運動量」など、どの物理量に対応しているかを指で差しながら確認する作業は、ケアレスミスを防ぐのに非常に有効です。
• 文字の区別: 波長 \( \lambda \)（衝突前）と \( \lambda’ \)（衝突後）のように、プライム（’）の有無で物理量を区別する記法に慣れ、混同しないように注意します。

434 物質波

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「物質波（ド・ブロイ波）」です。電圧で加速された電子について、その粒子としての性質（運動エネルギー、運動量）と、波としての性質（物質波の波長）を、一連の計算によって具体的に求める問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

運動エネルギー

思考の道筋とポイント
電圧 \(1000 \text{ V}\) で加速された電子の運動エネルギー \(K\) を求めます。静止していた電子が、電位差 \(V\) のある区間を移動するとき、静電気力がした仕事 \(eV\) が、そのまま電子の運動エネルギーになります。
この設問における重要なポイント

• 仕事と運動エネルギーの関係から、\(K=eV\) という式を立てる。
• 与えられた電気素量 \(e\) と加速電圧 \(V\) の値を代入して計算する。

具体的な解説と立式
電子の電気量の大きさを \(e\)、加速電圧を \(V\) とすると、電子が電場からされる仕事は \(eV\) です。
これがすべて運動エネルギー \(K\) になるので、
$$ K = eV $$
問題で与えられた値を代入します。
\(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\)
\(V = 1000 \text{ V} = 1.0 \times 10^3 \text{ V}\)

与えられた値を代入して、運動エネルギー \(K\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
K &= (1.6 \times 10^{-19}) \times (1.0 \times 10^3) \\[2.0ex]&= 1.6 \times 10^{-19+3} \\[2.0ex]&= 1.6 \times 10^{-16} \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

電子が電圧 \(V\) によって加速されるとき、電気的な位置エネルギー \(eV\) をもらって、それがすべて運動エネルギーに変わります。この \(K=eV\) という式に、問題文の数値を代入するだけで計算できます。

電子の運動エネルギーは \(1.6 \times 10^{-16} \text{ J}\) となります。

運動量の大きさ

思考の道筋とポイント
電子の運動量の大きさ \(p\) を求めます。上で計算した運動エネルギー \(K\) と、与えられている質量 \(m\) を用いて、運動量と運動エネルギーの関係式 \(p = \sqrt{2mK}\) から計算します。
この設問における重要なポイント

• 運動量と運動エネルギーの関係式 \(p = \sqrt{2mK}\) を使う。
• 与えられた近似値（\(\sqrt{2} \approx 1.4\), \(\sqrt{9.1} \approx 3.0\)）をうまく利用して計算する。

具体的な解説と立式
運動量 \(p\)、質量 \(m\)、運動エネルギー \(K\) の間には、次の関係式が成り立ちます。
$$ p = \sqrt{2mK} $$
問題で与えられた値と、先ほど求めた \(K\) の値を代入します。
\(m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
\(K = 1.6 \times 10^{-16} \text{ J}\)

$$
\begin{aligned}
p &= \sqrt{2 \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^{-16})} \\[2.0ex]&= \sqrt{2 \times 9.1 \times 1.6} \times \sqrt{10^{-31} \times 10^{-16}} \\[2.0ex]&= \sqrt{2} \times \sqrt{9.1} \times \sqrt{1.6} \times \sqrt{10^{-47}} \\[2.0ex]&= \sqrt{2} \times \sqrt{9.1} \times \sqrt{16 \times 10^{-1}} \times \sqrt{10 \times 10^{-48}} \\[2.0ex]&= \sqrt{2} \times \sqrt{9.1} \times 4 \times \sqrt{10^{-1}} \times \sqrt{10} \times 10^{-24} \\[2.0ex]&= \sqrt{2} \times \sqrt{9.1} \times 4 \times 10^{-24}
\end{aligned}
$$
与えられた近似値を代入します。
$$
\begin{aligned}
p &\approx 1.4 \times 3.0 \times 4 \times 10^{-24} \\[2.0ex]&= 16.8 \times 10^{-24} \\[2.0ex]&= 1.68 \times 10^{-23}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、\(p \approx 1.7 \times 10^{-23} \text{ [kg}\cdot\text{m/s]}\)。

運動エネルギーが分かっている物体の運動量は、「\(\sqrt{2 \times \text{質量} \times \text{運動エネルギー}}\)」で計算できます。この計算では、ルートの中にたくさんの数字が入るので、ルートを分割して、問題文で与えられた近似値（\(\sqrt{2}\) と \(\sqrt{9.1}\)）が使えるように工夫します。

電子の運動量は \(1.7 \times 10^{-23} \text{ kg}\cdot\text{m/s}\) となります。

物質波の波長

思考の道筋とポイント
電子の物質波の波長 \( \lambda \) を求めます。上で計算した運動量 \(p\) と、与えられているプランク定数 \(h\) を用いて、ド・ブロイ波長の公式 \( \lambda = h/p \) から計算します。
この設問における重要なポイント

• ド・ブロイ波長の公式 \( \lambda = h/p \) を使う。
• 前の設問で計算した運動量の値（丸める前の値を使う方が精度が高い）を代入する。

具体的な解説と立式
運動量 \(p\) の粒子が持つ物質波の波長 \( \lambda \) は、プランク定数 \(h\) を用いて次のように表されます。
$$ \lambda = \frac{h}{p} $$
問題で与えられた \(h\) と、先ほど求めた \(p\) の値を代入します。
\(h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\)
\(p \approx 1.68 \times 10^{-23} \text{ kg}\cdot\text{m/s}\)

$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{1.68 \times 10^{-23}} \\[2.0ex]&= \frac{6.6}{1.68} \times 10^{-34 – (-23)} \\[2.0ex]&= 3.928… \times 10^{-11}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、
$$ \lambda \approx 3.9 \times 10^{-11} \text{ [m]} $$

動いている粒子は波としての性質も持っており、その波長は「プランク定数 \(h\) ÷ 運動量 \(p\)」で計算できます。プランク定数は与えられており、運動量は先ほど計算したので、割り算を実行するだけです。

電子の物質波の波長は \(3.9 \times 10^{-11} \text{ m}\) となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 粒子性と波動性の関係性の理解と計算
  • 核心: この問題は、電子という一つの対象が持つ「粒子」としての側面（運動エネルギー、運動量）と、「波」としての側面（物質波の波長）を、一連の計算を通して結びつけることができるかを問うています。
  • 理解のポイント:
    1. 仕事 → エネルギー: 電圧 \(V\) から、粒子としての運動エネルギー \(K=eV\) を求める。
    2. エネルギー → 運動量: 運動エネルギー \(K\) から、粒子としての運動量 \(p=\sqrt{2mK}\) を求める。
    3. 運動量 → 波長: 運動量 \(p\) から、波としての波長 \( \lambda=h/p \) を求める。
  • この3ステップの連鎖が、この問題の構造そのものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電子以外の粒子: 電子の代わりに陽子やα粒子を加速させる問題。質量 \(m\) や電気量 \(q\) の値が変わるだけで、計算のプロセスは全く同じです。
  • 波長から電圧を求める逆問題: 特定の波長の物質波を得るためには、どれくらいの電圧で粒子を加速させる必要があるか、という逆の計算をさせる問題。\( \lambda \to p \to K \to V \) の順で計算します。
  • 電子顕微鏡の原理: 電子顕微鏡が高分解能である理由（加速電圧を上げると物質波の波長が短くなり、より小さいものが見える）を、この問題のような計算を通して定量的に説明させる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 求めたい物理量のリストアップ: 問題が何を求めているか（運動エネルギー、運動量、波長）を最初に確認します。
  2. 計算の順序を計画する: 上記の3ステップ（\(V \to K \to p \to \lambda\)）のように、どの物理量からどの物理量を計算できるか、という関係性を元に計算の段取りを考えます。
  3. 与えられた定数と近似値を確認する: 計算を始める前に、使える定数（\(m, e, h\)）と、計算のヒントとなる近似値（\(\sqrt{2}, \sqrt{9.1}\)）をチェックし、どのように利用するかを考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動エネルギーと運動量の関係式の誤り:
  • 誤解: \(p=\sqrt{2mK}\) の公式を忘れてしまい、まず速さ \(v\) を計算してから \(p=mv\) を計算しようとして、手間が増えたり計算ミスをしたりする。
  • 対策: \(K=eV\) と \(p=\sqrt{2mK}\) を組み合わせた \(p=\sqrt{2meV}\) という形を覚えておくと、電圧から直接運動量を計算できて便利です。
• 平方根の計算ミス:
  • 誤解: 運動量の計算で、根号の中の指数計算や、係数の計算を間違える。
  • 対策: 根号の中の計算は、係数部分と指数部分に分けて丁寧に行います。特に指数部分は、\(10^{-47}\) のように奇数になった場合、\(10^{-46} \times 10^{-1}\) のように偶数と奇数に分けるのではなく、\(10^{-48} \times 10^1\) のように、平方根が取れる偶数に調整するのが定石です。模範解答のように、与えられた近似値が使えるように係数をうまく分解する練習も重要です。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: 計算の途中で数値を丸めてしまい、最終的な答えに誤差が生じる。または、最終的な答えの有効数字を何桁にすればよいか分からない。
  • 対策: 計算の途中では、できるだけ多くの桁数（または分数のまま）で計算を進め、最後にまとめて有効数字を処理するのが原則です。この問題では、与えられた定数がすべて有効数字2桁なので、最終的な答えも2桁に揃えるのが適切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 仕事とエネルギーの関係 (\(K=eV\)):
  • 選定理由: 電子が「電圧で加速された」結果として持つ「運動エネルギー」を求めたいからです。原因（電場がした仕事 \(eV\)）と結果（運動エネルギーの増加 \(K\)）を直接結びつけるこの法則が最も適しています。
  • 適用根拠: 電子が電位差 \(V\) を通過する際に、保存力である静電気力のみが仕事をするため、その仕事量が運動エネルギーの増加分に等しくなります。
• 運動量と運動エネルギーの関係式 (\(p=\sqrt{2mK}\)):
  • 選定理由: 「運動エネルギー」というスカラ量から、「運動量」というベクトル量（の大きさ）を求めたいからです。この2つの力学量を直接結びつけるのがこの公式です。
  • 適用根拠: \(K=\frac{1}{2}mv^2\) と \(p=mv\) という2つの定義式から、速さ \(v\) を消去することで導出される関係式であり、常に成り立ちます。
• ド・ブロイ波長の式 (\(\lambda=h/p\)):
  • 選定理由: 電子という「粒子」の運動状態（運動量 \(p\)）から、その「波」としての性質（波長 \( \lambda \)）を求めたいからです。粒子性と波動性を結びつけるのが、このド・ブロイの関係式です。
  • 適用根拠: 「全ての物質は、その運動量に反比例する波長を持つ」という物質波の概念に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 加速電圧が \(1000 \text{ V}\) と、基本的な単位で与えられています。もし kV（キロボルト）などで与えられた場合は、必ず V に直してから計算します。
• 近似値のうまい使い方: 運動量の計算で、\(\sqrt{2 \times 9.1 \times 1.6}\) を計算する際に、\(\sqrt{2} \times \sqrt{9.1} \times \sqrt{1.6}\) と分解し、\(\sqrt{1.6} = \sqrt{16 \times 0.1} = 4\sqrt{0.1}\) などと変形するのではなく、模範解答のように \(\sqrt{2} \times \sqrt{9.1} \times 4 \times 10^{-24}\) の形に持っていくのが、与えられた近似値を使う上で最もスマートな方法です。このような式変形のパターンに慣れておくと良いでしょう。
• 割り算の筆算: 最後の波長の計算 \(6.6 / 1.68\) は、電卓がなければ筆算が必要です。小数点の位置を間違えないように、慎重に計算します。

435 光圧

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光圧」です。光が物体に当たるとき、運動量を持つ粒子（光子）の流れとして作用し、力や圧力を及ぼす現象を扱います。力積と運動量の関係を、個々の光子から多数の光子の集団へと拡張して考えることがポイントです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
平板が光子1個から受けた力積の大きさを求める問題です。直接平板の力積を考えるのではなく、まず「光子」の運動量の変化を計算します。力積は運動量の変化に等しいので、これにより「光子が受けた力積」が求まります。作用・反作用の法則により、平板が受けた力積は、光子が受けた力積と大きさが等しく向きが逆になります。
この設問における重要なポイント

• 光子の運動量の大きさは \(p = \displaystyle\frac{h\nu}{c}\)。
• 力積は運動量の変化量（\( \Delta p = p_{後} – p_{前} \)）に等しい。
• 運動量はベクトルなので、向きを考慮して符号を正しく設定する。

具体的な解説と立式
光子の運動に注目します。光子が平板に入射する向きを正の向きとします。

• 衝突前の光子の運動量 \(p_{前}\): 大きさは \( \displaystyle\frac{h\nu}{c} \)。向きは正なので、\( p_{前} = +\displaystyle\frac{h\nu}{c} \)。
• 衝突後の光子の運動量 \(p_{後}\): 垂直にはね返るので、大きさは同じ \( \displaystyle\frac{h\nu}{c} \)。向きは負なので、\( p_{後} = -\displaystyle\frac{h\nu}{c} \)。

光子が受けた力積 \(I_{光子}\) は、その運動量の変化に等しいので、
$$ I_{光子} = p_{後} – p_{前} $$
$$
\begin{aligned}
I_{光子} &= \left(-\frac{h\nu}{c}\right) – \left(+\frac{h\nu}{c}\right) \\[2.0ex]&= -\frac{2h\nu}{c}
\end{aligned}
$$
作用・反作用の法則により、平板が受けた力積 \(I_{平板}\) は、
$$ I_{平板} = -I_{光子} $$
$$
\begin{aligned}
I_{平板} &= – \left(-\frac{2h\nu}{c}\right) \\[2.0ex]&= +\frac{2h\nu}{c}
\end{aligned}
$$
したがって、平板が受けた力積の大きさは、
$$ |I_{平板}| = \frac{2h\nu}{c} $$

この設問は法則を文字式で表現するものであり、計算は不要です。

ボールを壁にぶつけて跳ね返らせるのをイメージします。平板が受けた衝撃（力積）を知りたいのですが、代わりにボール（光子）が受けた衝撃を計算します。ボールは、最初右向きに進んでいたのが、衝突後は左向きになります。運動の変化量は「後の運動量 – 前の運動量」で計算します。壁がボールに与えた衝撃と、ボールが壁に与えた衝撃は、大きさが同じはずなので、これで平板が受けた力積の大きさがわかります。

平板が受けた力積の大きさは \( \displaystyle\frac{2h\nu}{c} \) となります。もし光子が吸収されてはね返らない場合は、\(p_{後}=0\) となり、力積の大きさは \( \displaystyle\frac{h\nu}{c} \) となります。はね返る場合はその2倍の力積を与えることになり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
毎秒 \(N\) 個の光子が当たる場合に、平板が受ける力の大きさを求める問題です。力とは「単位時間あたりの力積」と考えることができます。したがって、(1)で求めた光子1個あたりの力積の大きさに、単位時間あたりの光子の個数 \(N\) を掛けることで、力の大きさが求まります。
この設問における重要なポイント

• 力 \(F\) と力積 \(I\) の関係：微小時間 \( \Delta t \) の間に働く力が一定の場合、\(I = F\Delta t\)。
• 単位時間あたりに受ける力積が、力の大きさに等しい。

具体的な解説と立式
(1)より、光子1個が衝突するたびに、平板は \( \displaystyle\frac{2h\nu}{c} \) の大きさの力積を受けます。
毎秒 \(N\) 個の光子が衝突するということは、1秒あたりに平板が受ける力積の合計は、
$$ (\text{1個あたりの力積}) \times (\text{1秒あたりの個数}) = \frac{2h\nu}{c} \times N $$
単位時間あたりに受ける力積は、及ぼされる力の大きさに等しいので、平板が受ける力の大きさ \(F\) は、
$$ F = \frac{2Nh\nu}{c} $$

この設問は法則を文字式で表現するものであり、計算は不要です。

(1)で、光子1個が当たるときの衝撃の大きさを計算しました。この衝撃が、1秒間に \(N\) 回連続で加わる状況を考えます。1秒間あたりの合計の衝撃が、平板が常に受けている「力」の大きさになります。したがって、1個あたりの衝撃の大きさに、個数 \(N\) を掛ければOKです。

平板が受ける力の大きさは \( \displaystyle\frac{2Nh\nu}{c} \) となります。単位時間あたりに当たる光子の数 \(N\) や、光子1個のエネルギー \(h\nu\) が大きいほど、力が強くなるという直感に合う結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
平板が光から受ける圧力 \(p\) を求める問題です。圧力は、単位面積あたりに働く力の大きさと定義されています。(2)で求めた力の大きさ \(F\) を、平板の面積 \(S\) で割ることで計算できます。
この設問における重要なポイント

• 圧力の定義式：\( P = \displaystyle\frac{F}{S} \)

具体的な解説と立式
圧力 \(p\) は、力の大きさ \(F\) を、その力が働く面積 \(S\) で割ることで求められます。
$$ p = \frac{F}{S} $$
この式に、(2)で求めた力の大きさ \(F = \displaystyle\frac{2Nh\nu}{c}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
p &= \frac{1}{S} \cdot F \\[2.0ex]&= \frac{1}{S} \cdot \frac{2Nh\nu}{c} \\[2.0ex]&= \frac{2Nh\nu}{Sc}
\end{aligned}
$$

圧力とは、「1平方メートルあたりに、どれくらいの力がかかっているか」を表す量です。(2)で板全体が受ける力の大きさを計算したので、これを板の面積 \(S\) で割れば、単位面積あたりの力、すなわち圧力が求まります。

平板が受ける圧力は \( \displaystyle\frac{2Nh\nu}{Sc} \) となります。力の大きさを面積で割るという、圧力の定義通りの計算であり、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力積と運動量の関係
  • 核心: この問題は、光子の衝突による力の発生を、「力積は運動量の変化に等しい」という法則から導き出すことが全ての基本です。
  • 理解のポイント:
    1. まず、光子1個の運動量の変化 \( \Delta p \) を計算する。
    2. これが光子1個が与える力積 \(I\) に等しいと考える (\(I = \Delta p\))。
    3. 次に、多数の光子が衝突する場合を考え、単位時間あたりの力積の合計を計算する。これが、平板が受ける平均的な力 \(F\) になる。(\(F = N \times I\))
• 光子の粒子性（運動量）
  • 核心: 光圧の現象は、光を単なる波としてではなく、運動量 \(p=h\nu/c\) を持つ「粒子」として扱わなければ説明できません。この光子の運動量の式を正しく使えることが前提となります。
  • 理解のポイント: 光子のエネルギー \(E=h\nu\) と運動量 \(p\) の間には \(E=pc\) という関係があります。この関係から \(p=E/c=h\nu/c\) を導出できるようにしておくと便利です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 光子が吸収される場合: 問題文が「光子は完全にはね返る」ではなく「完全に吸収される」となっている場合。このとき、衝突後の光子の運動量はゼロになります。したがって、光子の運動量の変化は \( \Delta p = 0 – (h\nu/c) = -h\nu/c \) となり、平板が受ける力積や力、圧力は、はね返る場合のちょうど半分になります。
  • 斜めに入射する場合: 光子が角度 \( \theta \) で入射し、同じ角度で反射する場合。このとき、運動量の変化を考えるには、平板に垂直な成分と平行な成分に分解する必要があります。平板に垂直な方向の力のみが圧力の原因となるため、運動量の垂直成分の変化（\(2 \times \frac{h\nu}{c}\cos\theta\)）に着目して計算します。
  • ソーラーセイル（太陽帆）: この光圧を利用して宇宙船を推進させる「ソーラーセイル」は、この問題の直接的な応用例です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 衝突の様子を確認する: まず、光子が「はね返る」のか「吸収される」のか、また「垂直に入射」するのか「斜めに入射」するのかを問題文で正確に把握します。これが運動量の変化を計算する上で最も重要です。
  2. 1個あたりの力積を求める: どのような問題であっても、まずは「光子1個」の衝突による運動量の変化（＝力積）を計算することが第一歩です。
  3. 時間的な要素を考慮する: 次に、「毎秒N個」や「時間 \(t\) の間に」といった時間に関する情報を使って、力や圧力といったマクロな量にスケールアップします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量の変化の計算ミス:
  • 誤解: (1)で、運動量の変化をスカラーのように考えて \( \frac{h\nu}{c} – \frac{h\nu}{c} = 0 \) としたり、単純な和 \( \frac{h\nu}{c} + \frac{h\nu}{c} = \frac{2h\nu}{c} \) としてしまい、符号の概念を忘れてしまう。
  • 対策: 運動量はベクトル量であることを常に意識し、必ず正の向きを定めて「後の運動量 – 前の運動量」を計算します。\(p_{後} = -p_{前}\) のような状況では、変化量は \(p_{後} – p_{前} = -p_{前} – p_{前} = -2p_{前}\) となることを徹底します。
• 力と力積の混同:
  • 誤解: (1)で力積を求めさせているのに、(2)で力を求めるときにどうすればよいか分からなくなる。
  • 対策: 「力積」は衝突一回あたりの衝撃の大きさ、「力」はその衝撃が時間的に平均化されたもの、というイメージを持つことが重要です。力 \(F\) とは、単位時間あたりの力積である、という関係（\(F = I_{合計}/t\)）を理解しておきましょう。
• 光子の運動量の式の誤り:
  • 誤解: 光子の運動量を \(h\nu\) や \(h/\lambda\) と混同する。
  • 対策: 光子の運動量は \(p=E/c\) の関係にあることを覚えるのが確実です。エネルギー \(E\) は \(h\nu\) または \(hc/\lambda\) なので、運動量は \(p=h\nu/c\) または \(p=h/\lambda\) となります。問題で振動数 \( \nu \) が与えられているか、波長 \( \lambda \) が与えられているかによって使い分けます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力積と運動量の関係 (\(I = \Delta p\)):
  • 選定理由: (1)では、衝突による「力積」を求めたい。衝突のような、ごく短時間に力が働く現象を分析するのに最も適した法則が、力積と運動量の関係です。
  • 適用根拠: ニュートンの運動方程式 \(F=ma = m\frac{\Delta v}{\Delta t}\) を変形すると \(F\Delta t = m\Delta v = \Delta p\) となり、力積が運動量の変化に等しいことが導かれます。この法則を光子に適用しています。
• 圧力の定義 (\(P=F/S\)):
  • 選定理由: (3)では「圧力」を求めたい。圧力の定義そのものが「単位面積あたりの力」だからです。
  • 適用根拠: (2)で求めた力 \(F\) は、面積 \(S\) 全体に均等に働いていると考えられます。したがって、その力を面積で割ることで、単位面積あたりの力、すなわち圧力が求められます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理: この問題はすべて文字式なので、計算ミスは起こりにくいですが、各文字（\(N, h, \nu, S, c\)）が何を意味しているかを常に意識しながら式を立てることが重要です。
• 単位の確認: 例えば(2)で求めた力の次元を確認してみます。\( \frac{Nh\nu}{c} \) の単位は、\( \frac{[1/s] \cdot [J \cdot s] \cdot [1/s]}{[m/s]} = \frac{[J]}{[m]} = \frac{[N \cdot m]}{[m]} = [N] \) となり、確かに力の単位になっていることが確認できます。このような次元解析は、立式の正しさを検証するのに役立ちます。
• 問題の構造を理解する: この問題は「(1)ミクロな1回の衝突 → (2)マクロな時間平均の力 → (3)マクロな空間平均の圧力」というように、スケールを大きくしていく構造になっています。この流れを理解すると、各設問の関係性が見えやすくなります。

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