「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 28】Step 2(382~387)

Step 2

382 誘導起電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「レンツの法則とファラデーの電磁誘導の法則」です。棒磁石がコイルを通過する際に生じる誘導電流の向きと大きさが、時間とともにどのように変化するかを定性的に理解する力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、棒磁石が落下する際の誘導電流の時間変化をグラフから選ぶ問題です。正しく判断するためには、「誘導電流の向き」と「誘導電流の大きさ」という2つの側面を正確に分析する必要があります。
「向き」は、レンツの法則と右ねじの法則を用いて段階的に決定します。
「大きさ」は、ファラデーの電磁誘導の法則に基づいて考えます。特に、磁石が自由落下によって加速し、コイルを通過する後半の方が速くなるという点が、電流の大きさの非対称性を生む重要な鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 棒磁石が作る磁場の向き（S極側では磁力線が吸い込まれる）と、それがコイルを貫く向きを正しく把握すること。
• レンツの法則における「変化を妨げる」という言葉の意味を、「増加なら逆向きの磁場を、減少なら同じ向きの磁場を作る」と具体的に理解すること。
• 誘導電流の大きさは、磁束の大きさそのものではなく、磁束の「時間変化率」に比例すること。そして、この変化率は磁石の速度に依存すること。

具体的な解説と立式
この問題は物理法則の定性的な理解を問うものであり、具体的な計算式よりも、現象のステップごとの物理的な解釈が重要です。

ステップ1：磁石がコイルに近づくとき（S極が接近）

1. 磁束の向きと変化: 棒磁石はS極が下を向いています。S極には磁力線が吸い込まれるため、磁石の下側には上向きの磁場が形成されます。したがって、磁石がコイルに近づくと、コイルを貫く上向きの磁束 \(\Phi\) が増加します。
2. レンツの法則: コイルは「上向き磁束の増加」を妨げるために、自ら下向きの磁場を作ろうとします。
3. 右ねじの法則: 下向きの磁場を作るには、どのような向きに電流を流せばよいかを考えます。右手の親指を発生させたい磁場（下向き）に合わせると、残りの4本の指はコイルの手前側で下向きに巻きます。
4. 電流の符号: この電流の向きは、問題の図で定義されている電流 \(I\) の正の向きと一致します。したがって、この区間では正の電流（\(I > 0\)）が流れます。

ステップ2：磁石がコイルの中心付近を通過するとき

• 問題文に「長いコイル」とあることから、磁石がコイルの十分内側にあるときを考えます。このとき、磁石に対するコイルの相対的な位置関係の変化が小さくなり、コイルを貫く磁束 \(\Phi\) の時間変化はほぼゼロになります。
• ファラデーの電磁誘導の法則 \(V = -N \displaystyle\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) より、\(\Delta \Phi \approx 0\) であるため、誘導起電力 \(V\) はほぼ0となります。
• その結果、抵抗を流れる誘導電流 \(I\) もほぼ0になります。

ステップ3：磁石がコイルから遠ざかるとき（N極が離脱）

1. 磁束の向きと変化: 磁石がコイルを通り過ぎて遠ざかっていくと、コイルを貫いていた上向きの磁束 \(\Phi\) が減少していきます。
2. レンツの法則: コイルは「上向き磁束の減少」を妨げる（補う）ために、自ら上向きの磁場を作ろうとします。
3. 右ねじの法則: 上向きの磁場を作るには、右手の親指を発生させたい磁場（上向き）に合わせます。すると、残りの4本の指はコイルの手前側で上向きに巻きます。
4. 電流の符号: この電流の向きは、問題の図で定義されている電流 \(I\) の正の向きとは逆です。したがって、この区間では負の電流（\(I < 0\)）が流れます。

ステップ4：誘導電流の大きさの比較

• 磁石は重力によって加速されながら落下します。空気抵抗や電磁誘導による制動力は働きますが、速度は増加し続けます。
• したがって、磁石がコイルに進入する時の速度よりも、コイルから離脱する時の速度の方が速くなります。
• ファラデーの電磁誘導の法則によれば、誘導起電力（および誘導電流）の大きさは、磁束の時間変化率 \(|\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}|\) に比例します。磁石の速度が速いほど、単位時間あたりの磁束の変化は激しくなるため、誘導電流は大きくなります。
• よって、コイルから遠ざかる際に流れる負の電流のピーク（振幅の絶対値）は、コイルに近づく際に流れる正の電流のピークよりも大きくなります。

本問は定性的な考察が中心であり、数値計算は不要です。上記の4つのステップの論理的帰結をまとめます。

1. 最初に正の電流が流れる。
2. 次に電流がほぼゼロになる期間がある。
3. その後に負の電流が流れる。
4. 負の電流の振幅（絶対値）は、正の電流の振幅より大きい。

これらの条件をすべて満たすグラフを選択肢から探します。

この問題は、磁石とコイルの「鬼ごっこ」のようなものです。3つの場面に分けて考えましょう。

1. S極が近づく時（前半戦）: コイルはS極に「来るな！」と反発します。反発するには、コイルの上側を同じS極にする必要があります。つまり、下向きの磁場を作ります。右手の親指を下に向けると、他の指はコイルの手前側で下を向きます。これは電流のプラスの向きなので、グラフはまずプラス側に山を作ります。
2. S極が遠ざかる時（後半戦）: 今度はコイルがS極に「行くな！」と引き留めます。引き留めるには、コイルの上側を反対のN極にする必要があります。つまり、上向きの磁場を作ります。右手の親指を上にむけると、他の指はコイルの手前側で上を向きます。これは電流のマイナスの向きなので、グラフは次にマイナス側に谷を作ります。
3. 山の大きさを比べる: 磁石は落ちながらどんどんスピードアップします。速く動くほど、コイルは強く反応し、より大きな電流が流れます。したがって、後から来る後半戦（マイナスの谷）の方が、前半戦（プラスの山）よりも深くなります。

これら3つのポイントを合わせると、(1)のグラフが正解だとわかります。

以上の考察から、誘導電流 \(I\) は時間 \(t\) とともに次のように変化することがわかります。

1. まず、正の向きにパルス状の電流が流れる。
2. 次に、磁石がコイルの中心付近を通過する間、電流はほぼゼロになる。
3. その後、負の向きにパルス状の電流が流れる。
4. 落下によって磁石が加速するため、後半に流れる負の電流のピークの絶対値は、前半に流れる正の電流のピークよりも大きい。

この特徴をすべて満たしているのは、選択肢(1)のグラフです。この現象はエネルギー保存則とも整合性がとれています。誘導電流によって発生するジュール熱のエネルギーは、磁石の力学的エネルギーが減少した分に相当します。このエネルギー変換を引き起こすのが、誘導電流が磁石に及ぼす力（電磁ブレーキ）であり、その向きは常に磁石の運動を妨げる向き（近づくときは反発力、遠ざかるときは引力）となります。これはレンツの法則の帰結と一致しており、我々の分析が物理的に妥当であることを裏付けています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• レンツの法則とファラデーの電磁誘導の法則:
  • 核心: この問題は、電磁誘導の2大法則であるレンツの法則（向きが決まる）とファラデーの法則（大きさが決まる）を、総合的に理解しているかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • レンツの法則（向き）: 誘導電流は「変化を妨げる」向きに流れます。「磁束が増えるなら、それを打ち消す磁場を作る」「磁束が減るなら、それを補う磁場を作る」という2パターンを正確に使い分けることが重要です。
    • ファラデーの法則（大きさ）: 誘導起電力（ひいては誘導電流）の大きさは、磁束の強さそのものではなく、磁束の「時間変化の速さ」\(|\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}|\)に比例します。磁石が速く動くほど、この変化は激しくなり、電流も大きくなります。
• 右ねじの法則:
  • 核心: レンツの法則によって定まった「コイルが作るべき磁場の向き」から、実際に流れる「誘導電流の向き」を決定するための必須ツールです。
  • 理解のポイント: 親指を「作るべき磁場の向き」に合わせると、残りの4本の指が「電流の向き」を示します。これを機械的に適用できるようにしておく必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • N極を落下させる場合: S極とN極では磁力線の向きが逆なので、誘導電流の向き（グラフの正負）がすべて逆転します。
  • コイルを下から上に通過させる場合: 磁石は重力で減速します。そのため、コイルに近づく時（前半）の方が速度が速く、遠ざかる時（後半）の方が遅くなります。結果として、前半の誘導電流のピークが後半よりも大きくなります。
  • コイルの巻き数を2倍にする場合: ファラデーの法則 \(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) より、誘導起電力は巻き数 \(N\) に比例します。したがって、電流の振幅（山の高さと谷の深さ）が全体的に2倍になります。
  • 抵抗Rを小さくする場合: オームの法則 \(I = V/R\) より、同じ誘導起電力 \(V\) が発生しても、流れる電流 \(I\) は大きくなります。グラフの振幅が大きくなります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 定義の確認: まず、電流の「正の向き」が図でどのように定義されているかを絶対に確認します。
  2. 現象の分割: 磁石の運動を「コイルに近づく時」「コイルから遠ざかる時」の2つのフェーズに明確に分けます。（長いコイルなら「通過中」も加える）
  3. 向きの決定: 各フェーズで、「(A) コイルを貫く磁束の向きと変化（増/減）は？ → (B) レンツの法則で妨げる向きは？ → (C) 右ねじの法則で電流の向き（+/-）は？」という3ステップを順番に実行します。
  4. 大きさの比較: 磁石の速度変化（加速か減速か）を考慮し、ファラデーの法則に基づいて、前半と後半の電流のピークの大小を判断します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• レンツの法則の単純化によるミス:
  • 誤解: 「磁石の磁場と逆向きの磁場を作る」と単純に覚えてしまい、磁束が減少する場合に間違える。
  • 対策: 「変化を妨げる」という言葉の本質を理解する。「増加を妨げる（→逆向きの磁場）」「減少を妨げる（→同じ向きの磁場）」と、2つの状況を明確に区別して覚えることが重要です。
• 電流の大きさの判断ミス:
  • 誤解: 磁石の速度変化を考慮せず、コイルへの接近時と離脱時で誘導電流の大きさは同じだと考えてしまう（グラフ(2)や(3)を選んでしまう）。
  • 対策: 誘導電流の大きさは「磁束の時間変化率」で決まる、と肝に銘じる。自由落下では必ず加速するため、後半の方が速度が速く、磁束変化も激しくなり、電流は大きくなる、という論理の流れを徹底する。
• 右ねじの法則の適用ミス:
  • 誤解: 右ねじの法則の親指を、元の「磁石の磁場の向き」に合わせてしまう。
  • 対策: 親指を合わせる向きは、あくまで「レンツの法則によってコイルがこれから作ろうとする磁場」の向きである、と強く意識する。思考のステップを混同しないことが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• レンツの法則:
  • 選定理由: この問題の根幹である「誘導電流の向き」を決定するために、最初に適用すべき最も基本的な法則です。現象の方向性を定めるために不可欠です。
  • 適用根拠: コイルを貫く磁束が時間変化するという、電磁誘導が起こるための大前提が満たされているため、この法則が適用できます。
• ファラデーの電磁誘導の法則 (\(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: 誘導電流の「大きさ」がなぜ変化するのか、その物理的根拠を示すために用います。特に、磁石の速度が「時間変化率 \(\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\)」に影響するという関係性を説明するために選択します。
  • 適用根拠: 磁石が落下運動することで、コイルを貫く磁束 \(\Phi\) が時間 \(t\) とともに変化します。この変化の度合い（微分）が起電力の大きさを決定するという物理法則そのものです。
• 右ねじの法則:
  • 選定理由: レンツの法則でわかった抽象的な「磁場の向き」を、具体的な「電流の向き」という観測可能な量に変換するための、実用的なツールとして選択します。
  • 適用根拠: 電流とその周りに発生する磁場の関係は、常にこの法則に従うという電磁気学の基本ルールに基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 思考の可視化: 問題用紙の図に、ためらわずに情報を書き込みましょう。「①磁石の磁場（上向き）」「②磁束が増加」「③コイルは下向き磁場を作る」「④よって電流は正」のように、ステップごとに矢印やメモを書き込むことで、頭の中の混乱を防ぎ、見直しも容易になります。
• 段階的思考の徹底: 「向きの判断」と「大きさの判断」を完全に分けて考えましょう。まずレン-ツの法則と右ねじの法則でグラフの形（正→負）を確定させ、その後に速度変化を考慮して振幅の大小（後半の方が大きい）を決定する、というように、一度に全てを考えようとしないことがミスを防ぐコツです。
• 結論の吟味: 導き出した答えが物理的に妥当か、最後に確認する習慣をつけましょう。例えば、「誘導電流による力は常に磁石の運動を妨げる向きに働くはずだ」という原則を考えます。今回の結論では、接近時には反発力（S極を近づけるとコイル上端がS極になる）、離脱時には引力（S極が遠ざかるとコイル上端がN極になる）が働くことになり、これはレンツの法則と一致します。このような確認作業が、自信を持って解答する助けとなります。

383 コイルに生じる誘導起電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ファラデーの電磁誘導の法則と\(\phi-t\)グラフの関係」です。与えられた磁束と時間の関係を示すグラフから、誘導起電力が時間とともにどのように変化するかを計算し、グラフ化する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
与えられた\(\phi-t\)グラフから誘導起電力\(V\)の\(V-t\)グラフを作成する問題です。この変換の鍵は、ファラデーの電磁誘導の法則 \(V = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) を正しく理解し、適用することにあります。
特に重要なのは、誘導起電力\(V\)が、磁束\(\phi\)そのものではなく、\(\phi\)の「時間変化率」、すなわち\(\phi-t\)グラフの「傾き」に比例するという点です。さらに、式の先頭にあるマイナス符号の役割を忘れてはいけません。これは、グラフの傾きが正の区間では起電力が負に、傾きが負の区間では起電力が正になることを意味します。
この設問における重要なポイント

• 誘導起電力\(V\)は、磁束\(\phi\)ではなく、磁束の時間変化率\(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\)に比例する。
• \(V = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) の関係から、\(V\)は\(\phi-t\)グラフの傾きに\(-N\)を掛けた値になる。（この問題では\(N=1\)）
• \(\phi-t\)グラフが直線の場合、その区間の傾きは一定であり、誘導起電力\(V\)も一定値となる。
• 起電力の正負は、問題文で定義された向きと、物理法則（ファラデーの法則のマイナス符号、またはレンツの法則）の両方から確認する必要がある。

具体的な解説と立式
回路は1巻きと考えられるため、ファラデーの電磁誘導の法則におけるコイルの巻き数\(N\)は1とします。したがって、誘導起電力\(V\)を求める式は次のようになります。
$$ V = – \frac{\Delta \phi}{\Delta t} $$
この式は、誘導起電力\(V\)が\(\phi-t\)グラフの傾き \(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) に\(-1\)を掛けた値に等しいことを示しています。
図2のグラフを、傾きが一定である3つの区間（と傾きが0の区間）に分けて、それぞれの誘導起電力\(V\)を計算します。

1. 区間 \(0 \le t < 0.01\) s
この区間の傾き \(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) を求めます。
$$ \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{\phi_{\text{後}} – \phi_{\text{前}}}{t_{\text{後}} – t_{\text{前}}} = \frac{0.050 – 0}{0.010 – 0} $$

2. 区間 \(0.01 \le t < 0.02\) s
同様に、この区間の傾きを求めます。
$$ \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{0.150 – 0.050}{0.020 – 0.010} $$

3. 区間 \(0.02 \le t < 0.03\) s
この区間ではグラフが水平なので、傾きは0です。
$$ \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = 0 $$

4. 区間 \(0.03 \le t < 0.04\) s
同様に、この区間の傾きを求めます。
$$ \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{0 – 0.150}{0.040 – 0.030} $$
これらの傾きの値に\(-1\)を掛けることで、各区間の\(V\)が求まります。

【符号の物理的な吟味】
計算だけでなく、レンツの法則でも符号を確認しておきましょう。

• 磁束増加時 (\(0 < t < 0.02\)): 図1の上向きの磁束が増加するため、コイルはそれを妨げる「下向き」の磁場を作ろうとします。右ねじの法則を適用すると、電流は時計回りに流れます。これは問題で定義された正の向き（反時計回り）とは逆なので、起電力\(V\)は負となります。
• 磁束減少時 (\(0.03 < t < 0.04\)): 上向きの磁束が減少するため、コイルはそれを補う「上向き」の磁場を作ろうとします。右ねじの法則より、電流は反時計回りに流れます。これは正の向きと一致するため、起電力\(V\)は正となります。

これらの定性的な考察は、後で行う計算結果と一致するはずです。

各区間について、\(V = – \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) を用いて誘導起電力\(V\)を計算します。

1. 区間 \(0 \le t < 0.01\) s
$$
\begin{aligned}
V_1 &= – \left( \frac{0.050 – 0}{0.010 – 0} \right) \\[2.0ex]&= – \frac{0.050}{0.010} \\[2.0ex]&= -5.0 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$
2. 区間 \(0.01 \le t < 0.02\) s
$$
\begin{aligned}
V_2 &= – \left( \frac{0.150 – 0.050}{0.020 – 0.010} \right) \\[2.0ex]&= – \frac{0.100}{0.010} \\[2.0ex]&= -10 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$
3. 区間 \(0.02 \le t < 0.03\) s
\(\phi\)が一定で変化しないため、\(\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = 0\) です。
$$ V_3 = 0 \text{ [V]} $$
4. 区間 \(0.03 \le t < 0.04\) s
$$
\begin{aligned}
V_4 &= – \left( \frac{0 – 0.150}{0.040 – 0.030} \right) \\[2.0ex]&= – \left( \frac{-0.150}{0.010} \right) \\[2.0ex]&= -(-15) \\[2.0ex]&= 15 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$

誘導起電力\(V\)は、\(\phi-t\)グラフの「傾き」を計算して、それにマイナスをつけた値になります。グラフは4つのパートに分かれているので、それぞれ計算していきましょう。

1. 最初のパート (\(0 \sim 0.01\)秒): 傾きは「縦の変化(0.050) ÷ 横の変化(0.010)」で 5.0 です。これにマイナスをつけて、起電力は \(-5.0\) V。
2. 2番目のパート (\(0.01 \sim 0.02\)秒): 傾きは「縦の変化(0.150 – 0.050 = 0.100) ÷ 横の変化(0.010)」で 10 です。これにマイナスをつけて、起電力は \(-10\) V。
3. 3番目のパート (\(0.02 \sim 0.03\)秒): グラフは真横で平らなので、傾きは 0 です。したがって、起電力も 0 V。
4. 最後のパート (\(0.03 \sim 0.04\)秒): 傾きは「縦の変化(0 – 0.150 = -0.150) ÷ 横の変化(0.010)」で -15 です。これにマイナスをつけて、起電力は \(-(-15) = +15\) V。

これらの値を時間ごとにグラフに描けば完成です。

計算結果をまとめると、誘導起電力\(V\)は時間\(t\)とともに次のように変化します。

• \(0 \le t < 0.01\) s の区間: \(V = -5.0\) V （一定）
• \(0.01 \le t < 0.02\) s の区間: \(V = -10\) V （一定）
• \(0.02 \le t < 0.03\) s の区間: \(V = 0\) V
• \(0.03 \le t < 0.04\) s の区間: \(V = 15\) V （一定）

この結果をグラフに描きます。結果は、\(\phi-t\)グラフの傾きが正の区間では\(V\)が負、傾きが負の区間では\(V\)が正となり、ファラデーの法則とレンツの法則に正しく従っています。また、傾きが急な区間ほど起電力の絶対値が大きくなっており、物理的に妥当な結果と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ファラデーの電磁誘導の法則 (\(V = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\)) の定量的理解:
  • 核心: 誘導起電力\(V\)が、磁束\(\phi\)の「時間変化率」、すなわち\(\phi-t\)グラフの「傾き」に比例するという関係を数式レベルで理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 傾きと大きさ: \(\phi-t\)グラフの傾きの絶対値が大きい（グラフが急）ほど、誘導起電力\(V\)の絶対値も大きくなります。
    • 傾きと符号: 式のマイナス符号が重要です。傾きが正（右上がり）なら\(V\)は負、傾きが負（右下がり）なら\(V\)は正、傾きが0（水平）なら\(V\)は0となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(V-t\)グラフから\(\phi-t\)グラフを復元する問題: \(V = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) を変形すると \(\Delta \phi = -V \Delta t\) となります。これは、\(V-t\)グラフと時間軸で囲まれた「面積」にマイナスをつけたものが、磁束の変化量\(\Delta \phi\)に対応することを意味します。各区間の面積を計算して、\(\phi\)の値を順にプロットしていくことで復元できます。
  • 起電力の正の向きの定義が逆の場合: 問題文で定義される正の向きが逆（例：時計回り）だった場合、最終的に描く\(V-t\)グラフの縦軸の正負がすべて反転します。
  • コイルの巻き数が\(N\)回の場合: 誘導起電力は\(N\)に比例するため、計算される\(V\)の値がすべて\(N\)倍になります。グラフは縦方向に\(N\)倍に拡大されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸と定義を確認: まず、縦軸が磁束\(\phi\)なのか、起電力\(V\)なのかを確認します。次に、起電力や電流の「正の向き」がどのように定義されているかを絶対に確認します。
  2. グラフを区間に分割: \(\phi-t\)グラフの傾きが一定になる区間ごとに線を引いて、問題を分割します。
  3. 各区間の傾きを計算: 各区間の始点と終点の座標を正確に読み取り、「(縦の変化量) / (横の変化量)」で傾きを計算します。符号に注意してください。
  4. マイナス符号を適用: 計算した傾きの値に、ファラデーの法則のマイナス符号を適用して\(V\)の値を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(V\)と\(\phi\)の混同:
  • 誤解: \(\phi-t\)グラフの形（台形）を、そのまま\(V-t\)グラフの形だと思ってしまう。
  • 対策: 「起電力は、磁束の『値』ではなく『変化の度合い（傾き）』で決まる」と常に意識する。グラフの形を変換するイメージを持つことが重要です。
• ファラデーの法則のマイナス符号の付け忘れ:
  • 誤解: \(V = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) だと勘違いし、傾きが正のときに\(V\)も正、傾きが負のときに\(V\)も負としてしまう。
  • 対策: \(V = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) のマイナスはレンツの法則を表す重要なものだと覚え、計算の最後に必ず符号が反転することを確認する癖をつける。
• 傾きの計算ミス:
  • 誤解: 傾きの計算で、\(\Delta \phi = \phi_{\text{後}} – \phi_{\text{前}}\) の引き算の順序を間違えたり、単純な割り算を間違えたりする。
  • 対策: 計算式 \(\frac{\phi_2 – \phi_1}{t_2 – t_1}\) を必ず書き出し、どの数値をどこに代入するかを明確にしてから計算する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ファラデーの電磁誘導の法則 (\(V = -N \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: この問題は「磁束\(\phi\)の時間変化」がグラフで与えられ、「誘導起電力\(V\)」を求めるという設定です。この2つの物理量を直接結びつける法則は、ファラデーの電磁誘導の法則以外にありません。
  • 適用根拠: \(\phi-t\)グラフは、まさに磁束\(\phi\)が時間\(t\)の関数として与えられている状況そのものです。その時間微分（グラフが折れ線なので、各区間の傾きで代用）が起電力に直結するというこの法則を適用するのが、最も直接的かつ強力な解法です。マイナス符号はレンツの法則（エネルギー保存則）を内包しており、起電力の向き（符号）まで一度に決定できるため、非常に効率的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標の丁寧な読み取り: グラフから数値を読み取る際は、各区間の始点と終点の座標（(\(t_1, \phi_1\)) と (\(t_2, \phi_2\))）を、問題用紙に明確に書き出すことから始めましょう。
• 計算式の明記: 傾きを求める際に、いきなり暗算せず、\(\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{\phi_2 – \phi_1}{t_2 – t_1}\) という基本形を必ず書き、そこに数値を代入するプロセスを踏むことで、代入ミスや符号ミスを防ぎます。
• 符号のダブルチェック: ファラデーの法則のマイナス符号を使って計算した結果と、「レンツの法則＋右ねじの法則」で定性的に考えた符号（磁束が増える→逆向きの磁場→電流は時計回り→Vは負、など）が一致するかを検算する習慣をつけると、ミスを劇的に減らせます。

384 渦電流

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「渦電流とレンツの法則」です。導体中を磁石が動く、あるいは導体の近くで磁束が変化する際に生じる渦電流の向きと、それによって生じる力の向きを、レンツの法則に基づいて定性的に理解する力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
磁石を1円玉から遠ざけるときの、1円玉に流れる渦電流の向きを問う問題です。思考の出発点は「1円玉を貫く磁束がどう変化するか」です。これを正確に捉え、レンツの法則と右ねじの法則を段階的に適用します。
この設問における重要なポイント

• 磁石のN極が上なので、1円玉に近い側はS極であること。
• S極には磁力線が吸い込まれるため、1円玉を貫く磁束は上向きであること。
• レンツの法則の「減少を妨げる」とは、「同じ向きの磁場を作って補う」という意味であること。

具体的な解説と立式

1. 磁束の向きの特定: 問題の図1で、円盤状磁石はN極が上を向いています。したがって、1円玉に近い下側はS極です。磁力線はN極から出てS極に入るため、1円玉の位置では、S極に吸い込まれる向き、すなわち上向きに磁束が貫いています。
2. 磁束の変化: 磁石を真上にすばやく引き上げると、1円玉を貫く上向きの磁束が減少します。
3. レンツの法則の適用: 1円玉は、この「上向き磁束の減少」を妨げる（補う）ために、自ら上向きの磁場を作ろうとします。
4. 右ねじの法則の適用: 右手の親指を、作るべき磁場の向き（上向き）に合わせます。すると、残りの4本の指が巻く向きが電流の向きを示します。これは、真上から見ると反時計回りになります。

この設問は定性的な判断を問うものであり、計算は不要です。

磁石が1円玉に「さようなら」と離れていきます。1円玉はレンツの法則という「あまのじゃく」な性質を持っているので、「行かないで！」と磁石を引き留めようとします。磁石の下側はS極なので、これを引き留めるには、1円玉の上面がN極になればよいわけです。上面をN極にするような電流の向きを右ねじの法則で探します。右手の親指を上（N極の向き）に向けると、他の4本の指は反時計回りに巻きます。これが電流の向きです。

以上の考察から、1円玉に流れる渦電流の向きは反時計回りです。これは、磁石が遠ざかるという変化を妨げる引力を生じさせる向きであり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
問(1)の結果を利用して、磁石と1円玉の間に働く力の向きを答える問題です。問(1)で1円玉がどのような電磁石になったかを考え、磁極間に働く力（引力か斥力か）を判断します。主語が「1円玉にはたらく力」であることに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 電流が流れる導体は電磁石としてはたらく。
• N極とS極の間には引力が働く。
• レンツの法則は、力の向きで解釈すると「変化を妨げる向きに力が働く」となる。

具体的な解説と立式

1. 1円玉の磁化: 問(1)の考察より、1円玉には反時計回りの渦電流が流れ、上面がN極、下面がS極の電磁石のようになります。
2. 磁石の極: 1円玉の上にある磁石の下側はS極です。
3. 働く力: 1円玉の上面のN極と、磁石の下面のS極の間には、互いに引き合う力、すなわち引力が働きます。
4. 力の向き: したがって、磁石は1円玉を上に引きつけ、同時に1円玉は磁石を下に引きつけます。問題で問われているのは「磁石から1円玉にはたらく力」なので、その向きは上向きです。

【別解：レンツの法則からの直接的解釈】
レンツの法則は、誘導現象が「もとの変化を妨げる」ように起こることを示します。

• もとの変化：磁石が1円玉から遠ざかる（上に動く）。
• 妨げる力：この「遠ざかる」という変化を妨げる力とは、磁石を引き留めようとする引力です。
• 力の向き：引力が働くということは、1円玉は磁石から上向きに引かれることを意味します。したがって、力は上向きです。

この設問は定性的な判断を問うものであり、計算は不要です。

問(1)で、1円玉は磁石を引き留めるために上面がN極になりました。一方、磁石の下側はS極です。N極とS極はくっつきたがるので、互いに引力が働きます。つまり、1円玉は磁石から「こっちへおいで」と上向きに引っ張られます。

磁石から1円玉にはたらく力は上向きです。これは、磁石が上に遠ざかる運動を妨げる向きであり、レンツの法則と完全に一致しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は、棒磁石を金属板の上で水平に動かす状況です。磁石の右側（進行方向の前方）の金属板に生じる渦電流の向きを考えます。鍵となるのは、棒磁石のN極の周りにできる磁場の様子を立体的にイメージし、磁石の右側の領域で磁束がどう変化するかを捉えることです。
この設問における重要なポイント

• 棒磁石のN極から出た磁力線は、ループを描いてS極に戻る。
• 磁石の側方では、磁力線は下向きに金属板を貫く。
• 磁石が近づくことで、その領域の磁束が増加する。

具体的な解説と立式

1. 磁束の向きの特定: 棒磁石のN極から出た磁力線は、上に出てからループを描き、磁石の側面を通って下側のS極へ向かいます。したがって、棒磁石のすぐ右側の金属板の領域では、磁力線は下向きに金属板を貫いています。
2. 磁束の変化: 磁石が右向きに動くと、N極がこの領域に近づいてきます。その結果、この領域を貫く下向きの磁束が増加します。
3. レンツの法則の適用: 金属板は、この「下向き磁束の増加」を妨げるために、自ら上向きの磁場を作ろうとします。
4. 右ねじの法則の適用: 右手の親指を、作るべき磁場の向き（上向き）に合わせると、残りの4本の指は反時計回りに巻きます。これが、その領域に生じる渦電流の向きです。

この設問は定性的な判断を問うものであり、計算は不要です。

磁石が右に動くので、磁石の右側にある金属板の部分から見れば、N極が「こんにちは！」と近づいてくるように見えます。金属板は「来るな！」と反発したいので、自分もN極になります。上面をN極にするには、右ねじの法則より、反時計回りに電流を流せばよいことになります。

棒磁石の右側では、反時計回りの渦電流が流れます。これは、近づいてくるN極に対して斥力を生じさせる向きであり、物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
棒磁石が金属板から受ける力の水平成分の向きを問う問題です。この種の問題では、力の働く対象（主語）が「棒磁石」なのか「金属板」なのかを正確に把握することが極めて重要です。レンツの法則で直接わかるのは「運動している物体が受ける力」であり、そこから作用・反作用の法則を使って問われている力を求めるのが安全な思考ルートです。
この設問における重要なポイント

• レンツの法則は、運動している物体（棒磁石）には、その運動を妨げる向きの力が働くことを示す。
• 作用・反作用の法則により、金属板が受ける力は、棒磁石が受ける力と逆向きになる。
• 問題文の「棒磁石から金属板にはたらく力」という表現を正しく読み解く。

具体的な解説と立式
【解法1：作用・反作用の法則を利用する（推奨）】

1. 棒磁石が受ける力を考える: まず、運動している物体である「棒磁石」が受ける力を考えます。
   • もとの変化：棒磁石が右向きに運動している。
   • レンツの法則の適用：電磁誘導により、この運動を妨げる向きの力が棒磁石に働きます。
   • 結論：棒磁石は、金属板から左向きの力を受けます。これは電磁ブレーキとして知られる現象です。
2. 金属板が受ける力を考える: 次に、作用・反作用の法則を適用します。
   • 作用：「金属板」が「棒磁石」に及ぼす力が左向き。
   • 反作用：「棒磁石」が「金属板」に及ぼす力は、その逆で右向きとなります。
3. 結論: 問題で問われているのは「棒磁石から金属板にはたらく力」なので、答えは右向きです。

【解法2：各部分の力の合成による解釈】

1. 磁石の右側（前方）: 問(3)の通り、金属板のこの部分には反時計回りの渦電流が流れ、上面がN極になります。このN極は、棒磁石のN極から斥力を受けます。したがって、金属板はこの部分で右向きの力を受けます。
2. 磁石の左側（後方）: 磁石が右へ去っていくので、この部分を貫く下向きの磁束は減少します。レンツの法則より、金属板はこれを補うために自ら下向きの磁場を作ります。右ねじの法則より、時計回りの渦電流が流れ、金属板の上面はS極になります。このS極は、棒磁石のN極から引力を受けます。したがって、金属板はこの部分でも右向きの力を受けます。
3. 力の合成: 磁石の前方で受ける斥力も、後方で受ける引力も、どちらも金属板に右向きの力を及ぼします。よって、全体として金属板にはたらく力の水平方向の分力は右向きとなります。

この設問は定性的な判断を問うものであり、計算は不要です。

磁石が金属板の上を右に動くとき、磁石は金属板を「押しながら」進むとイメージできます。

• 磁石の前方では、金属板がN極になって磁石を押し返そうとします（斥力）。このとき、金属板は磁石から右向きに押されます。
• 磁石の後方では、金属板がS極になって磁石を引き留めようとします（引力）。このときも、金属板は磁石から右向きに引っ張られます。

どちらの力も、金属板を右向きに動かそうとする力です。したがって、金属板が受ける力は全体として右向きになります。

棒磁石から金属板にはたらく力の水平方向の分力は右向きです。これは、運動している棒磁石が左向きの電磁ブレーキを受けることの反作用であり、物理的に正しい結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• レンツの法則:
  • 核心: この問題は、誘導電流（渦電流）の向きと、それによって生じる力の向きを決定する、レンツの法則の深い理解を問うています。
  • 理解のポイント:
    • 電流の向き: 「磁束の変化を妨げる向きの磁場」をコイル（または導体部分）が作るように、誘導電流が流れる。
    • 力の向き: 「もとの運動（変化）を妨げる向き」に力が働く。これはエネルギー保存則の現れであり、電磁ブレーキの原理そのものです。
• 作用・反作用の法則:
  • 核心: 問(4)のように、複数の物体が相互に力を及ぼす場面で、問われている力がどちらの物体に働く力なのかを正確に見抜くために不可欠です。
  • 理解のポイント: レンツの法則から直接わかるのは「運動している物体が受ける力」です。問題が「静止している物体が受ける力」を問うている場合、作用・反作用の法則を適用して力の向きを反転させる必要があります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 磁石の極や運動方向が逆のパターン: N極をS極に、運動方向を右から左に変えるなど。すべての現象（磁束の変化、電流の向き、力の向き）が逆転します。一つ一つ基本に立ち返って考え直す練習になります。
  • 導体パイプ内を落下する磁石: 磁石が落下すると、パイプに渦電流が生じ、磁石の落下を妨げる上向きの力（電磁ブレーキ）が働きます。やがてこの力が重力とつりあうと、磁石は一定の速さ（終端速度）で落下します。
  • IHクッキングヒーターの原理: コイルに高周波の交流を流して磁束を急激に変化させ、金属製の鍋底に強力な渦電流を発生させます。この渦電流によるジュール熱で鍋が加熱されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の主語と目的語を確認: 問題文の「AからBにはたらく力」という表現に印をつけ、どちらが力を及ぼし、どちらが力を受けるのかを絶対に間違えないようにします。
  2. 「変化」を特定する: まず、現象の根源である「何がどう変化したか」を特定します。（例：上向き磁束が減少した、右向きに運動した）
  3. レンツの法則を二段階で使う:
     • 電流の向きを知りたい場合: 「磁束の変化を妨げる磁場」→ 右ねじの法則 → 「電流の向き」
     • 力の向きを知りたい場合: 「運動の変化を妨げる力」→ 「運動体には逆向きの力」
  4. 作用・反作用をチェック: 力の向きを答える問題では、最後に「問われている主語は、レンツの法則で考えた物体と同じか？違うか？」を確認し、必要なら力の向きを反転させます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 作用・反作用の混同（最重要）:
  • 誤解: 問(4)で、レンツの法則から「運動を妨げる力だから左向き」と即答してしまう。これは「棒磁石が」受ける力であり、問題の問いとは主語が異なります。
  • 対策: 力の向きを問われたら、必ず「AがBに及ぼす力」という形で主語と目的語を明確にする癖をつけます。「レンツの法則は運動体（磁石）が受ける力を教えてくれる」と覚え、問題が「静止している物体（金属板）が受ける力」を問うていれば、作用・反作用を適用する必要があると強く意識します。
• 磁力線の立体的なイメージ不足:
  • 誤解: 問(3)で、棒磁石のN極の真横でも、磁力線は上向きだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 磁力線はN極から出てループを描いてS極に戻る、という立体的なイメージを常に持つことが重要です。N極の真上は上向きですが、側面では横向きから下向きに変わっていくことを図で理解しておきましょう。
• 「近づく＝斥力、遠ざかる＝引力」の丸暗記:
  • 誤解: この覚え方自体は便利ですが、なぜそうなるのか（電流の向き→磁極の発生）を理解していないと、電流の向きを問われたときに答えられなくなります。
  • 対策: 力の向きを考えるときも、一度「妨げる磁場を作るには、ここに何極が発生するべきか？」と考える癖をつけると、電流の向きと力の向きを関連付けて理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• レンツの法則:
  • 選定理由: 電磁誘導における「向き」に関する現象（電流の向き、力の向き）を説明する、最も根源的な法則だからです。現象の方向性を決定するために不可欠です。
  • 適用根拠: 磁束が変化する、あるいは磁石と導体の相対運動がある、という電磁誘導の条件が満たされています。この法則はエネルギー保存則の現れであり、あらゆる電磁誘導現象に適用できるため、思考の出発点として最も信頼できます。
• 作用・反作用の法則:
  • 選定理由: 問(4)のように、2つの物体（磁石と金属板）が相互に力を及ぼし合っており、かつ問われている力が「運動していない物体」に働く力であるためです。レンツの法則で直接わかる力（運動体に働く力）から、問われている力（静止物体に働く力）を導き出すための、論理的な橋渡しとして選択します。
  • 適用根拠: 2物体間の相互作用には常に成り立つ物理学の基本法則であり、電磁気的な力も例外ではありません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図への積極的な書き込み: 問(3),(4)では、磁石の右側と左側で、渦電流の向き（時計回り/反時計回り）と、それによって生じる極（N/S）を図に書き込みましょう。これにより、力の向き（斥力/引力）が視覚的にわかり、間違いが減ります。
• 主語のマーキング: 問題文の「〜から〜にはたらく力」という部分に下線を引くなどして、主語と目的語を明確に意識する習慣をつけましょう。
• 思考のステップ化: 特に問(4)では、以下のように思考を段階に分けて整理することで、混乱を防ぎます。
  1. 運動体（磁石）が受ける力は？ → レンツの法則より、運動と逆向き（左向き）。
  2. 問われている力は？ → 金属板が受ける力。
  3. 両者の関係は？ → 作用・反作用。
  4. 結論は？ → 磁石が受ける力と逆向き（右向き）。

385 動く導体棒に発生する誘導起電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動く導体棒に生じる誘導起電力とエネルギー保存則」です。導体棒が磁場中を運動することで誘導起電力が生じ、電流が流れる一連の現象について、物理法則を段階的に適用して解き明かしていきます。最終的には、この現象がエネルギー保存則を満たしていることを確認します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

【空欄①〜④】磁束の変化と誘導起電力

思考の道筋とポイント
問題の前半は、導体棒が動くことで回路の面積が増え、その結果として回路を貫く磁束が増加する様子を捉え、ファラデーの電磁誘導の法則を適用して起電力を求める流れになっています。
この設問における重要なポイント

• 面積の変化量 \(\Delta S\) は、導体棒の長さ \(l\) と、導体棒が動いた距離で決まる。
• 磁束の変化量 \(\Delta \phi\) は、磁束密度 \(B\) と面積の変化量 \(\Delta S\) の積で表される。
• 誘導起電力 \(V\) の大きさは、磁束の変化量 \(\Delta \phi\) をかかった時間 \(\Delta t\) で割ったものに等しい。

具体的な解説と立式

1. 面積の増加分（①）: 導体棒は速さ \(v\) で右向きに動くので、\(t\) 秒間に進む距離は \(vt\) です。したがって、\(t\) 秒間に増加する回路の面積 \(\Delta S\) は、長方形の面積として計算できます。
   $$ \Delta S = l \times (vt) $$
2. 磁束の増加分（②）: 磁束は「磁束密度 × 面積」で定義されます。磁束密度 \(B\) は一様なので、面積の増加分 \(\Delta S\) に \(B\) を掛けることで、磁束の増加分 \(\Delta \phi\) が求まります。
   $$ \Delta \phi = B \Delta S $$
3. 法則名（③）: 回路を貫く磁束が変化するときに誘導起電力が生じるという法則は、「ファラデーの電磁誘導の法則」です。
4. 起電力の大きさ（④）: ファラデーの電磁誘導の法則によれば、誘導起電力 \(V\) の大きさは、磁束の時間変化率に等しくなります。
   $$ V = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} $$

1. 空欄①: \(\Delta S = l \times vt = vlt\)
2. 空欄②: \(\Delta \phi = B \Delta S = B(vlt) = vBlt\)
3. 空欄③: ファラデーの電磁誘導
4. 空欄④: \(V = \displaystyle\frac{\Delta \phi}{t} = \frac{vBlt}{t} = vBl\)

導体棒が右に動くと、回路の長方形が \(t\) 秒間で \(vt\) だけ横に伸びます。増えた面積は「縦×横」で \(l \times vt = vlt\) です（①）。この面積に磁束密度 \(B\) を掛けたものが、増えた磁束の量 \(vBlt\) です（②）。ファラデーの法則（③）は、「磁束が変化するスピードが電圧（起電力）になる」というルールなので、増えた磁束 \(vBlt\) をかかった時間 \(t\) で割ると、起電力は \(vBl\) となります（④）。

導体棒が磁場を横切ることで生じる誘導起電力の大きさは \(V=vBl\) となります。これは導体棒の速さ \(v\)、磁束密度 \(B\)、導体棒の長さ \(l\) にそれぞれ比例する、非常に重要な公式です。

【空欄⑤〜⑧】電流の大きさと向き、電位

思考の道筋とポイント
④で求めた起電力 \(V\) をもとに、回路に流れる電流の大きさと向き、そして導体棒の両端の電位の高低を考えます。電流の大きさはオームの法則、向きはレンツの法則で決まります。
この設問における重要なポイント

• 回路全体を、起電力 \(V\) の電池と抵抗 \(R\) がつながった単純な回路と見なすことができる。
• レンツの法則：「変化を妨げる」向きに電流が流れる。
• 導体棒内の電子が受けるローレンツ力を考えると、電位の高低が直観的に理解できる。

具体的な解説と立式

1. 電流の強さ（⑤）: 回路の起電力が \(V=vBl\)、抵抗が \(R\) なので、オームの法則 \(V=RI\) を用いて電流 \(I\) の大きさを求めます。
   $$ I = \frac{V}{R} $$
2. 法則名と電流の向き（⑥, ⑦）: 導体棒が右に動くことで、回路を貫く「上向き」の磁束が増加します。レンツの法則（⑥）によれば、電流はこの変化を妨げる、すなわち「下向き」の磁場を作る向きに流れます。右ねじの法則を適用すると、親指を下向きにすると他の指は時計回りに巻きます。したがって、導体棒abには a→b の向き（⑦）に電流が流れます。
3. 電位の高低（⑧）: 電流がaからbの向きに流れるということは、導体棒abが、bを正極、aを負極とする電池のように振る舞っていることを意味します。したがって、点bのほうが点aよりも電位が高くなります（⑧）。
   （別解：ローレンツ力）導体棒内の自由電子は右向きに運動するため、磁場からローレンツ力を受けます。フレミングの左手の法則を電子（負の電荷）に適用すると、電子はaの向きに力を受けます。その結果、a側が負、b側が正に帯電するため、bの方が電位が高くなります。

• 空欄⑤: \(I = \displaystyle\frac{V}{R} = \frac{vBl}{R}\)

起電力（電圧）が \(vBl\) とわかったので、オームの法則から電流は \(I = \frac{vBl}{R}\) となります（⑤）。電流の向きは、上向きの磁場が増えるのを邪魔するために、回路が下向きの磁場を作る向きです。右ねじの法則（⑥）で確認すると、aからbの向きに電流が流れます（⑦）。電流がa→bと流れるので、bがプラス極、aがマイナス極の電池と同じです。よって、bの方が電位は高いです（⑧）。

電流の大きさ、向き、電位の高低が求められました。特に、ローレンツ力で考えると、起電力の発生源と電位の高低がより根本的に理解できます。

【空欄⑨〜⑩】電磁力と外力

思考の道筋とポイント
電流が流れる導体棒は、磁場から力を受けます（電磁力）。この力の大きさを計算し、導体棒が一定の速さで動き続けるために必要な外力の大きさを、力のつりあいから求めます。
この設問における重要なポイント

• 電流が磁場から受ける力（電磁力）の公式は \(F=IBl\)。
• 電磁力の向きはフレミングの左手の法則で決まる。
• 一定の速さで運動している物体にはたらく力はつりあっている（慣性の法則）。

具体的な解説と立式

1. 電磁力（⑨）: 導体棒abには、a→bの向きに強さ \(I\) の電流が流れています。この電流が磁束密度 \(B\) の磁場から受ける力 \(F\) の大きさは、公式 \(F=IBl\) で与えられます。
   $$ F = IBl $$
   この力の向きをフレミングの左手の法則で確認すると、中指を電流（a→b）、人差し指を磁場（上向き）に合わせると、親指は左を向きます。つまり、電磁力は導体棒の運動を妨げる左向きに働きます。
2. 外力（⑩）: 導体棒が一定の速さ \(v\) で運動を続けるためには、力がつりあっている必要があります。したがって、加えるべき外力 \(F’\) は、左向きに働く電磁力 \(F\) と大きさが等しく、向きが反対（右向き）でなければなりません。
   $$ F’ = F $$

• 空欄⑨: \(F = IBl = \left(\displaystyle\frac{vBl}{R}\right)Bl = \displaystyle\frac{vB^2l^2}{R}\)
• 空欄⑩: \(F’ = F = \displaystyle\frac{vB^2l^2}{R}\)

電流が流れる導体棒は、磁石から力を受けます。この力は、フレミングの左手の法則で調べると、運動を邪魔する左向きに働くことがわかります。この邪魔する力（電磁力）の大きさは計算すると \(\frac{vB^2l^2}{R}\) となります（⑨）。導体棒を一定の速さで動かし続けるには、この邪魔な力とちょうど同じ大きさの力で、右向きに引っ張り続ける必要があります。したがって、外力の大きさも同じ値になります（⑩）。

外力 \(F’\) は、電磁力 \(F\) とつりあう大きさであることがわかりました。この外力が、この現象におけるエネルギーの供給源となります。

【空欄⑪〜⑬】仕事、ジュール熱、エネルギー保存

思考の道筋とポイント
最後に、エネルギーの観点からこの現象を考察します。外力がした仕事 \(W\) と、抵抗で発生したジュール熱 \(Q\) をそれぞれ計算し、両者が等しくなること、すなわちエネルギー保存則が成り立っていることを確認します。
この設問における重要なポイント

• 仕事の定義: \(W = (\text{力}) \times (\text{距離})\)
• ジュール熱の公式: \(Q = (\text{電力}) \times (\text{時間}) = VIt\)
• エネルギー保存則: ある系に加えられた仕事は、その系のエネルギー増加分に等しい。

具体的な解説と立式

1. 外力の仕事（⑪）: 大きさ \(F’\) の外力で、導体棒を \(t\) 秒間（距離 \(s=vt\)）動かしたときの仕事 \(W\) は、次のように計算されます。
   $$ W = F’ \times s = F’ \times vt $$
2. ジュール熱（⑫）: \(t\) 秒間に抵抗 \(R\) で発生するジュール熱 \(Q\) は、電力 \(P=VI\) に時間 \(t\) を掛けることで求められます。
   $$ Q = VIt $$
3. エネルギー保存則（⑬）: ⑪と⑫で計算した \(W\) と \(Q\) を比較します。

• 空欄⑪:
  $$ W = F’ \times vt = \left(\frac{vB^2l^2}{R}\right) \times vt = \frac{v^2B^2l^2t}{R} $$
• 空欄⑫:
  $$ Q = VIt = (vBl) \left(\frac{vBl}{R}\right) t = \frac{v^2B^2l^2t}{R} $$
• 空欄⑬: ⑪と⑫の結果から、\(W=Q\) という関係が成り立ちます。

外から力を加えて引っ張ることで、導体棒にエネルギーを供給します。この供給したエネルギー（仕事 \(W\)）が、回路を流れる電流によって抵抗で熱（ジュール熱 \(Q\)）として消費されます。計算してみると、供給した仕事 \(W\) と発生した熱 \(Q\) はぴったり同じ量になることがわかります（⑪, ⑫）。これは、エネルギーは勝手に消えたり生まれたりしない、というエネルギー保存の法則（⑬）が成り立っていることを示しています。

外力がした仕事が、すべてジュール熱に変換されることが確認できました。これは、電磁誘導の現象がエネルギー保存則という物理学の大原則に支配されていることを示す、非常に重要な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 誘導起電力の二面性（マクロとミクロ）:
  • 核心: 導体棒に生じる誘導起電力は、2つの異なる視点から説明できることを理解するのが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • マクロな視点（ファラデーの法則）: 回路全体の面積が増加し、回路を貫く磁束 \(\phi\) が時間変化することで起電力 \(V\) が生じる (\(V = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\))。
    • ミクロな視点（ローレンツ力）: 導体棒内の自由電子が磁場中を運動することでローレンツ力を受け、導体棒の両端に電荷の偏り（電位差）が生じる。これが起電力の正体です (\(V=vBl\))。
• エネルギー保存則:
  • 核心: この一連の電磁誘導現象が、エネルギー保存則という物理学の根本原理に支配されていることを理解すること。
  • 理解のポイント: 「外力がした仕事 \(W\)」が、「回路で発生するジュール熱 \(Q\)」に過不足なく変換される (\(W=Q\))。外から加えたエネルギーが、電気エネルギーとなって消費されるというエネルギーの流れを捉えることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 導体棒が斜めに置かれている場合: 導体棒の長さが \(l\) であっても、電流が流れる経路の幅（レール幅）が \(d\) であれば、起電力は \(V=vBd\) となります。ローレンツ力は速度と垂直な方向にしか働かないため、導体棒の速度と垂直な成分が重要になります。
  • 導体棒が重力などで加速運動する場合: 導体棒にはたらく力はつりあいません。運動方程式 \(ma = (\text{合力})\) を立てる必要があります。速度 \(v\) が変化するため、起電力 \(V\) や電流 \(I\)、電磁力 \(F\) も時間とともに変化します。
  • 回路にコンデンサーや電池が含まれる場合:
    • コンデンサー：定常状態では電流は流れませんが、起電力 \(V=vBl\) によってコンデンサーには \(Q=CV\) の電荷が蓄えられます。
    • 電池：電池の起電力と誘導起電力が足されたり引かれたりして、回路全体の起電力が決まります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動状態の確認: 導体棒は「静止」「等速運動」「加速運動」のどれか？ これによって力の扱い（つりあい or 運動方程式）が決まります。
  2. エネルギーの流れを意識する: 「誰がエネルギーを供給し（仕事）、そのエネルギーはどこで何に変わったのか（ジュール熱、運動エネルギー変化など）？」というストーリーを最初に描くと、立式の方針が立てやすくなります。
  3. 力の向きを正確に把握: 「電流の向き（レンツの法則）」「電磁力の向き（フレミングの左手）」「外力の向き（力のつりあい）」を、それぞれ混同せずに一つずつ図に書き込んでいくことが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 起電力の公式 \(V=vBl\) の盲信:
  • 誤解: どんな状況でもこの公式が使えると思い込み、磁場 \(B\)、速度 \(v\)、導体 \(l\) が互いに直角でない場合にも適用してしまう。
  • 対策: この公式は \(B, v, l\) が互いに直角であるという条件付きのものです。条件が満たされない場合は、基本に立ち返り「ファラデーの法則 \(\Delta \phi / \Delta t\)」または「ローレンツ力 \(q v B \sin\theta\)」から考える癖をつけましょう。
• 電磁力と外力の混同:
  • 誤解: フレミングの左手の法則で求めた電磁力 \(F\) を、そのまま外力 \(F’\) だと考えてしまう。
  • 対策: フレミングの左手の法則で求まるのは、あくまで「電流が磁場から受ける力」です。外力は、運動状態（等速なら力のつりあい）を考慮して、電磁力との関係から導き出す、という思考のステップを明確に分けましょう。
• 仕事とジュール熱の計算式の混同:
  • 誤解: 仕事 \(W\) の計算で使う力 \(F’\) と、ジュール熱 \(Q\) の計算で使う起電力 \(V\) や電流 \(I\) をごちゃ混ぜにしてしまう。
  • 対策: \(W = F’s\) と \(Q = VIt\) という定義式を常に書き出してから、各文字に適切な物理量を代入する習慣をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ファラデーの法則 (\(V = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\)) と ローレンツ力による起電力 (\(V=vBl\)):
  • 選定理由: どちらも誘導起電力を求めるための公式ですが、現象を異なる視点から見ています。この問題では、空欄の誘導に従うことで、両者が同じ結果を与えることを確認し、電磁誘導への理解を深める構成になっています。
  • 適用根拠:
    • ファラデーの法則は、回路の「面積変化」というマクロな量から起電力を求める際に有効です。
    • ローレンツ力に基づく公式は、導体棒内の「電子の運動」というミクロな視点から起電力の発生源を説明するのに適しており、電位の高低を判断する際にも役立ちます。
• エネルギー保存則 (\(W=Q\)):
  • 選定理由: この問題の最終的な結論であり、現象全体の整合性を検証するための法則です。
  • 適用根拠: 摩擦や空気抵抗のない理想的な系では、外部から加えられた仕事（エネルギー）は、形を変えてもその総量は保存される、という物理学の大原則に基づいています。この法則は、複雑な問題の検算や、未知の量を求める際の強力な武器になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理: この問題のように \(v, B, l, R, t\) と多くの物理量が登場する場合、計算過程で指数（例: \(B^2, l^2\)）や文字の抜け漏れが起こりがちです。代入計算を行う際は、一行一行、慎重に項を書き写しましょう。
• 単位の一貫性: 計算結果の単位が正しいかを確認する癖をつけましょう。例えば、仕事 \(W\) とジュール熱 \(Q\) の単位はどちらもジュール [J] であり、次元が一致しているはずです。
• 分数の丁寧な扱い: \(\frac{vB^2l^2}{R}\) のような複雑な分数が頻出します。分子と分母を混同しないように、計算用紙には常に大きな横線を引いて、分子と分母を明確に区別して書くことが重要です。
• 最終チェック: 導き出した仕事 \(W\) とジュール熱 \(Q\) の最終的な式が、本当に一致するかを最後に見直しましょう。もし一致しなければ、それ以前の起電力、電流、力の計算のいずれかにミスがあることの確かな証拠となります。

386 動く導体棒に発生する誘導起電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ローレンツ力による誘導起電力」です。磁場中を運動する導体棒に生じる誘導起電力の大きさと向き（電位の高低）を、導体棒の運動方向や向きを変えながら考察する問題です。特に、起電力の発生には、磁場\(B\)、速度\(v\)、導体の長さ\(l\)の3つのベクトルが、互いにどのような角度をなしているかが重要になります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問①

思考の道筋とポイント
導体棒が、その長手方向と垂直な向きに運動する場合です。これは誘導起電力の公式 \(V=vBl\) がそのまま適用できる最も基本的な状況です。電位の高低は、導体棒内の自由電子が受けるローレンツ力の向きから判断します。
この設問における重要なポイント

• 磁場\(B\)、速度\(v\)、導体棒\(l\)が互いに直角であるため、公式 \(V=vBl\) が直接使える。
• フレミングの左手の法則は「正電荷」が受ける力の向きを示す。負電荷である電子が受ける力は、その逆向きになる。

具体的な解説と立式

1. 電位の高低の判断:
   • 導体棒内の自由電子（負電荷）は、棒とともに図の①の向き（右向き）に速さ \(v\) で運動します。
   • この電子が受けるローレンツ力の向きを考えます。まず、フレミングの左手の法則で「正電荷」が受ける力の向きを求めます。
   • 中指を正電荷の運動の向き（右向き）、人差し指を磁場の向き（上向き）に合わせると、親指はQ→Pの向きを指します。
   • 電子は負電荷なので、実際に受ける力はこれと逆のP→Qの向きとなります。
   • したがって、電子はQ側に集まります。その結果、Q側が負に帯電し、電子が不足したP側が正に帯電します。
   • よって、電位はPの方がQよりも高くなります。
2. 誘導起電力の大きさの計算:
   • 磁場\(B\)、速度\(v\)、導体棒\(l\)は互いに直角です。
   • したがって、誘導起電力の大きさ\(V_1\)は、公式を用いて次のように求められます。
     $$ V_1 = vBl $$

この設問は公式を適用するものであり、複雑な計算は不要です。

導体棒の中の電子も、棒と一緒に右（①の向き）に動きます。フレミングの左手の法則「電（中指：右）・磁（人差し指：上）・力（親指）」を合わせると、親指はPの向きを指します。これはプラスの電気が受ける力の向きです。電子はマイナスなので、その逆のQ側に押しやられます。電子（マイナス）が集まったQは電位が低くなり、逆にPは電位が高くなります。起電力の大きさは、基本公式 \(vBl\) そのものです。

誘導起電力の大きさは \(vBl\)、電位が高いのはP側です。

問②

思考の道筋とポイント
導体棒が、その長手方向に沿って運動する場合です。このとき、導体棒内の電子は磁場を「横切る」のではなく、磁力線に沿って動くことになります。ローレンツ力が働く条件を正しく理解しているかが問われます。
この設問における重要なポイント

• ローレンツ力は、荷電粒子が磁場を「横切る」ときにのみ働く。速度ベクトルと磁場ベクトルが平行な場合、ローレンツ力は0である。
• 導体棒が磁力線を切らない運動では、誘導起電力は発生しない。

具体的な解説と立式

1. 電位の高低の判断:
   • 導体棒は図の②の向き（Q→P方向）に運動します。
   • 導体棒内の自由電子も同じ向きに運動しますが、この運動方向は導体棒の長手方向と一致しています。
   • 電子が受けるローレンツ力は、電子の速度ベクトルと磁場ベクトルの両方に垂直な方向に働きます。この場合、ローレンツ力は導体棒に対して垂直な向き（図の①の向き）に働きますが、電子を導体棒の端から端へ移動させる力にはなりません。
   • したがって、電荷の偏りは生じず、PとQの電位は等しくなります。
2. 誘導起電力の大きさの計算:
   • 導体棒は磁力線を全く横切らず、磁力線に沿うように運動します。このような運動では、回路を仮想的に考えても磁束の変化が生じません。
   • したがって、誘導起電力は発生しません。
     $$ V_2 = 0 $$

この設問は物理法則の定性的な理解を問うものであり、計算は不要です。

導体棒が自分の伸びている方向（②の向き）に動いても、棒の中の電子は磁場を横切ることができません。イメージとしては、磁力線の森を、木をなぎ倒さずに木と木の間をすり抜けていくようなものです。磁力線を切らない限り、電磁誘導は起こりません。そのため、電圧（起電力）は発生せず、PとQの電位は同じままです。

誘導起電力の大きさは0V、PとQは等電位です。これは、起電力発生の条件を正しく理解しているかを確認する重要な設問です。

問③

思考の道筋とポイント
導体棒が、その長手方向に対して斜め（角度\(\theta\)）の向きに運動する場合です。この場合、速度ベクトル\(v\)を、導体棒に垂直な成分と平行な成分に分解して考えるのが有効です。
この設問における重要なポイント

• 起電力の発生に寄与するのは、導体棒と垂直な速度成分のみである。
• ベクトルの分解を正しく行い、有効な速度成分を特定する必要がある。

具体的な解説と立式

1. 電位の高低の判断:
   • 導体棒内の自由電子は、図の③の向きに速さ \(v\) で運動します。
   • フレミングの左手の法則で、正電荷が受ける力の向きを求めます。中指を速度の向き（③の向き）、人差し指を磁場の向き（上向き）に合わせると、親指はP→Qの向きを指します。
   • 電子は負電荷なので、実際に受ける力はこれと逆のQ→Pの向きとなります。
   • したがって、電子はP側に集まります。その結果、P側が負に帯電し、電子が不足したQ側が正に帯電します。
   • よって、電位はQの方がPよりも高くなります。
2. 誘導起電力の大きさの計算:
   • 速度 \(v\) を、導体棒に垂直な成分 \(v_{\perp}\) と平行な成分 \(v_{\parallel}\) に分解します。
   • 図から、\(v_{\perp} = v \cos\theta\)、\(v_{\parallel} = v \sin\theta\) となります。
   • 問②で見たように、導体棒に平行な速度成分 \(v_{\parallel}\) は起電力の発生に寄与しません。
   • 起電力は、導体棒に垂直な速度成分 \(v_{\perp}\) によってのみ生じます。
   • したがって、公式 \(V=vBl\) の \(v\) の部分を有効な速度成分 \(v_{\perp}\) に置き換えて計算します。
     $$ V_3 = v_{\perp} B l = (v \cos\theta) B l = vBl \cos\theta $$

この設問は公式に分解した成分を代入するものであり、複雑な計算は不要です。

斜めに動く場合、その動きを「棒を横切る動き」と「棒に沿った動き」に分解します。棒に沿った動きは起電力に関係ないので無視できます。棒を横切る動きの速さは、三角比を考えると \(v \cos\theta\) となります。この有効な速さを使って公式を適用すると、起電力は \( (v \cos\theta) \times Bl = vBl \cos\theta \) となります。電位の高低は、フレミングの法則で考えると、電子がP側に集まるので、Q側が高くなります。

誘導起電力の大きさは \(vBl \cos\theta\)、電位が高いのはQ側です。物理現象を正しくベクトルで捉え、有効な成分を見抜くことが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ローレンツ力による起電力発生のメカニズム:
  • 核心: 導体棒に生じる誘導起電力は、導体棒内の自由電子が磁場中を運動することでローレンツ力を受け、電荷の偏りが生じることで発生するという、ミクロな視点での理解が不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • 力の向き: フレミングの左手の法則は「正電荷」が受ける力の向きを示します。負電荷である電子が受ける力は、その逆向きになります。
    • 電位の発生: ローレンツ力によって電子が一方の端に集められると、その端は負（低電位）に、電子が不足したもう一方の端は正（高電位）になります。
• 起電力発生の条件（ベクトルの直交性）:
  • 核心: 誘導起電力の公式 \(V=vBl\) は、磁場 \(B\)、速度 \(v\)、導体 \(l\) が互いに直角である場合にのみ成立します。
  • 理解のポイント: 3つのベクトルが互いに直角でない場合は、起電力の発生に寄与する「有効な成分」に分解して考える必要があります。例えば、速度を導体棒に垂直な成分に分解する、などが有効です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 導体棒を回転させる問題: 導体棒の各部分で速度 \(v\) が異なります（中心から遠いほど速い）。この場合、積分を用いて起電力を計算する必要があります（大学物理）。高校物理では、棒の平均速度（中心点の速度）を使って近似的に求めるか、\(V = \frac{1}{2} B l^2 \omega\) という公式として扱います。
  • 磁場が斜めの場合: 今回は速度が斜めでしたが、磁場が斜めの場合もあります。いずれにせよ、「\(B, v, l\) のうち、互いに直角な成分だけが起電力に寄与する」という原則は変わりません。どのベクトルを分解するのが最も考えやすいかを見極めることが重要です。
  • ファラデーの法則で解く視点: ローレンツ力だけでなく、ファラデーの法則 \(V = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) でも解けることを理解しておくと便利です。これは、導体棒が単位時間に掃く面積（磁力線を切る面積）を考える方法で、\(V = B \times (l \times v_{\perp})\) のように計算できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. B, v, l の関係を図示: まず、磁場、速度、導体棒の3つのベクトルがどのような角度関係にあるかを図に正確に書き込みます。
  2. 電位の高低を先に決める: フレミングの左手の法則（と電子の負電荷）を使って、どちらの端に電子が集まるかを考え、電位の高低を先に確定させます。これが最も間違いにくい手順です。
  3. 有効成分を見つける: \(B, v, l\) のうち、互いに直角な成分はどれかを見つけます。速度 \(v\) を分解する（今回の解法）、導体棒の長さ \(l\) を分解するなどの方法があり、計算しやすい方法を選びます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• フレミングの左手の法則の誤適用（最重要）:
  • 誤解: 電子の運動にフレミングの左手の法則を直接適用し、親指の向きを電子が受ける力だと勘違いする。
  • 対策: 「フレミングの左手の法則は、あくまで正電荷（電流）が受ける力の向きを示す」と徹底的に覚える。電子の場合は、法則で求めた向きと逆になると機械的に処理する習慣をつけましょう。
• ベクトルの分解ミス:
  • 誤解: 問③で、速度の有効成分を \(v \cos\theta\) ではなく \(v \sin\theta\) と間違える。
  • 対策: 角度 \(\theta\) がどこの角なのかを正確に図で確認し、分解したいベクトルが斜辺となる直角三角形を描いて、三角比（\(\cos, \sin\)）の関係を明確にしてから式を立てます。
• ローレンツ力と電磁力の混同:
  • 誤解: ローレンツ力（電子1個が受ける力）と電磁力（導体棒全体が受ける力）を混同する。
  • 対策: ローレンツ力は「起電力の発生源」をミクロに説明するための力。電磁力は「導体棒に電流が流れた結果、棒全体が受けるマクロな力」と役割を明確に区別します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ローレンツ力 (\(f=qvB\)):
  • 選定理由: 誘導起電力が「なぜ」発生するのか、その根源的なメカニズムを説明するために不可欠です。特に、導体棒の両端の「電位の高低」を決定する際には、この法則に基づいて電荷の偏りを考えるのが最も直接的で分かりやすいです。
  • 適用根拠: 磁場中を荷電粒子が運動している、という現象の根幹に直接アプローチする法則だからです。
• 誘導起電力の公式 (\(V=vBl\)):
  • 選定理由: ローレンツ力による電荷の偏りが最大になったとき（電場による力とローレンツ力がつりあったとき）の電位差を、マクロな量（\(v, B, l\)）で簡潔に表現した公式。起電力の「大きさ」を計算する際に非常に便利です。
  • 適用根拠: この公式は、ローレンツ力の考え方を積分して導出された結果であり、\(B, v, l\) が互いに直角という条件下で、ミクロな現象をマクロな公式に置き換えることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• ベクトルの図示: この種の問題では、計算よりも図の正確さが重要です。速度ベクトルを分解した図や、力の向きを示す矢印を、ためらわずに大きく、分かりやすく書き込みましょう。
• 指の確認: フレミングの左手の法則を使う際は、実際に左手を出して、指の向きを一つ一つ声に出して確認する。「電流（正電荷の速度）は右、磁場は上、力は…P向き。これはプラスの力。電子は逆だからQ向き」のように、思考プロセスを言語化することで、混乱や勘違いを防ぎます。
• 成分分解の検算: 速度を分解した場合（\(v_{\perp} = v \cos\theta\)）と、長さを分解した場合（\(l_{\perp} = l \cos\theta\)）で、起電力の式（\(V = v_{\perp} B l\) と \(V = v B l_{\perp}\)）が同じ結果 \(vBl \cos\theta\) になることを確認する。異なるアプローチで同じ結論に至ることを確認できれば、理解が深まり、自信にもつながります。

387 動くコイルに発生する誘導起電力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動くコイルに生じる誘導起電力と磁束の時間変化」です。コイルが磁場を通過する際に、コイルを貫く磁束と、それによって生じる誘導電流が時間とともにどのように変化するかを、グラフで表現する問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

\(\phi-t\)グラフの作成

思考の道筋とポイント
コイルを貫く磁束\(\phi\)を求めるには、まずコイルのうち磁場の中にある部分の面積\(S\)を、時刻\(t\)の関数として正確に求めることが鍵となります。コイルの右辺PQが磁場に達する時刻、左辺SRが磁場に達する時刻などを基準に、場合分けして考えます。
この設問における重要なポイント

• 磁束\(\phi\)は、コイル全体ではなく「磁場の中にあるコイルの面積」に比例する。
• コイルの運動を、その位置関係によって明確な時間区間に分割して考える。
• 各区間の境界となる時刻は、コイルの速さ\(v\)と長さ\(l\)、磁場の幅\(2l\)から計算される。

具体的な解説と立式
コイルの右辺PQが磁場に進入し始めるのは、\(l\)だけ進んだときなので、時刻 \(t_1 = \displaystyle\frac{l}{v}\)。
PQが磁場を完全に通過し、コイル全体が磁場に進入するのは、\(l+l=2l\)だけ進んだときなので、時刻 \(t_2 = \displaystyle\frac{2l}{v}\)。
左辺SRが磁場の右端に達し、コイルが磁場から退出し始めるのは、\(l+2l=3l\)だけ進んだときなので、時刻 \(t_3 = \displaystyle\frac{3l}{v}\)。
コイル全体が磁場から完全に退出するのは、\(l+2l+l=4l\)だけ進んだときなので、時刻 \(t_4 = \displaystyle\frac{4l}{v}\)。
これに基づき、4つの区間で磁束\(\phi(t)\)を計算します。

1. 区間 \(0 \le t < \displaystyle\frac{l}{v}\)
コイルはまだ磁場に進入していません。したがって、磁場内の面積は0です。
$$ \phi(t) = 0 $$

2. 区間 \(\displaystyle\frac{l}{v} \le t < \frac{2l}{v}\)
コイルが磁場に進入中です。時刻\(t\)までにコイルが進んだ距離は\(vt\)。磁場に進入した長さは \(vt – l\) です。磁場内の面積\(S(t)\)は、
$$ S(t) = l \times (vt – l) $$
よって、磁束\(\phi(t)\)は、
$$ \phi(t) = B S(t) = Bl(vt – l) $$

3. 区間 \(\displaystyle\frac{2l}{v} \le t < \frac{3l}{v}\)
コイルは完全に磁場の中にあります。磁場内の面積はコイルの面積\(l^2\)で一定です。
$$ S(t) = l^2 $$
よって、磁束\(\phi(t)\)は、
$$ \phi(t) = B l^2 $$

4. 区間 \(\displaystyle\frac{3l}{v} \le t < \frac{4l}{v}\)
コイルが磁場から退出中です。磁場の外に出た長さは \(vt – 3l\) です。磁場内に残っている部分の長さは \(l – (vt – 3l) = 4l – vt\) です。磁場内の面積\(S(t)\)は、
$$ S(t) = l \times (4l – vt) $$
よって、磁束\(\phi(t)\)は、
$$ \phi(t) = B S(t) = Bl(4l – vt) $$

上記の立式で各区間の\(\phi(t)\)が求められています。これをグラフに描きます。

• \(t=\displaystyle\frac{l}{v}\)で\(\phi=0\)。
• \(t=\displaystyle\frac{2l}{v}\)で\(\phi = Bl(v(\frac{2l}{v}) – l) = Bl^2\)。
• \(t=\displaystyle\frac{3l}{v}\)で\(\phi = Bl^2\)。
• \(t=\displaystyle\frac{4l}{v}\)で\(\phi = Bl(4l – v(\frac{4l}{v})) = 0\)。

グラフは、\(t=0\)から\(\frac{l}{v}\)まで0、そこから\(\frac{2l}{v}\)まで線形に増加して\(Bl^2\)になり、\(\frac{3l}{v}\)まで一定、そこから\(\frac{4l}{v}\)まで線形に減少して0に戻る、台形を横に伸ばしたような形になります。

コイルが磁場を通り抜ける旅を4つのステージに分けます。

1. 旅の前 (\(0 \sim \frac{l}{v}\)秒): まだ磁場に入っていないので、磁束は0。
2. 進入中 (\(\frac{l}{v} \sim \frac{2l}{v}\)秒): だんだん磁場に入っていき、磁場内の面積が一定のペースで増えるので、磁束もまっすぐ増えていく。
3. ど真ん中 (\(\frac{2l}{v} \sim \frac{3l}{v}\)秒): コイルがすっぽり磁場の中。動いても磁場内の面積は変わらないので、磁束は最大のままで一定。
4. 退出中 (\(\frac{3l}{v} \sim \frac{4l}{v}\)秒): だんだん磁場から出ていき、磁場内の面積が一定のペースで減るので、磁束もまっすぐ減っていく。

これをグラフにすると、解答のような形になります。

コイルの運動に応じて、磁場内の面積が変化し、それに伴って磁束が変化する様子をグラフ化できました。グラフの形は物理的に妥当です。

\(I-t\)グラフの作成

思考の道筋とポイント
\(\phi-t\)グラフが描ければ、\(I-t\)グラフの作成は難しくありません。鍵は、ファラデーの法則 \(V = – \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) とオームの法則 \(I = V/R\) です。これは、誘導電流\(I\)が\(\phi-t\)グラフの「傾き」に比例し、符号が逆になることを意味します。
この設問における重要なポイント

• 誘導電流\(I\)は、\(\phi-t\)グラフの傾きに \(-\frac{1}{R}\) を掛けたものに等しい。
• \(\phi-t\)グラフの傾きが一定の区間では、誘導電流\(I\)も一定値となる。
• \(\phi-t\)グラフの傾きが0の区間では、誘導電流\(I\)も0となる。
• 電流の正の向きの定義（P→Q→R→S）に注意して符号を決定する。

具体的な解説と立式
各区間について、\(\phi-t\)グラフの傾き \(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) を求め、誘導電流 \(I = -\frac{1}{R}\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) を計算します。

1. 区間 \(0 < t < \displaystyle\frac{l}{v}\)
\(\phi-t\)グラフの傾きは0です。
$$ I = 0 $$

2. 区間 \(\displaystyle\frac{l}{v} < t < \frac{2l}{v}\)
\(\phi-t\)グラフの傾きは、
$$ \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{Bl^2 – 0}{\frac{2l}{v} – \frac{l}{v}} = \frac{Bl^2}{\frac{l}{v}} = vBl $$
よって、誘導電流\(I\)は、
$$ I = -\frac{1}{R} (vBl) = -\frac{vBl}{R} $$

3. 区間 \(\displaystyle\frac{2l}{v} < t < \frac{3l}{v}\)
\(\phi-t\)グラフの傾きは0です。
$$ I = 0 $$

4. 区間 \(\displaystyle\frac{3l}{v} < t < \frac{4l}{v}\)
\(\phi-t\)グラフの傾きは、
$$ \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{0 – Bl^2}{\frac{4l}{v} – \frac{3l}{v}} = \frac{-Bl^2}{\frac{l}{v}} = -vBl $$
よって、誘導電流\(I\)は、
$$ I = -\frac{1}{R} (-vBl) = \frac{vBl}{R} $$

【符号の物理的な吟味】

• 進入時 (\(\frac{l}{v} < t < \frac{2l}{v}\)): 上向きの磁束が増加するので、レンツの法則より、これを妨げる「下向き」の磁場を作る向きに電流が流れます。右ねじの法則より、これは時計回り（P→S→R→Q）であり、定義された正の向きとは逆なので、\(I\)は負。計算結果と一致します。
• 退出時 (\(\frac{3l}{v} < t < \frac{4l}{v}\)): 上向きの磁束が減少するので、これを補う「上向き」の磁場を作る向きに電流が流れます。右ねじの法則より、これは反時計回り（P→Q→R→S）であり、定義された正の向きと一致するので、\(I\)は正。計算結果と一致します。

上記の立式で各区間の\(I\)の値が求められています。

\(\phi-t\)グラフの「坂道の傾き」から電流を求めます。

1. 進入前: 坂道は平ら（傾き0）なので、電流は0。
2. 進入中: 上り坂で、傾きは \(vBl\)。電流は「傾きにマイナスをつけてRで割る」ので、\(-\frac{vBl}{R}\)。
3. ど真ん中: 坂道は平ら（傾き0）なので、電流は0。
4. 退出中: 下り坂で、傾きは \(-vBl\)。電流は「傾きにマイナスをつけてRで割る」ので、\(-(-\frac{vBl}{R}) = \frac{vBl}{R}\)。

これをグラフにすると、解答のような、負の電流と正の電流が流れる2つの区間があるグラフになります。

\(\phi-t\)グラフから、ファラデーの法則とオームの法則を用いて\(I-t\)グラフを正しく導出できました。コイルが磁場に完全に入っている間は磁束が変化しないため、電流が流れないという点がポイントです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ファラデーの電磁誘導の法則とグラフの関係:
  • 核心: この問題は、誘導起電力（ひいては誘導電流）が、磁束\(\phi\)そのものではなく、磁束の「時間変化率」、すなわち\(\phi-t\)グラフの「傾き」によって決まるという関係を、グラフ作成を通して理解することが核心です。
  • 理解のポイント:
    • \(\phi-t\)グラフの傾き → \(V-t\)グラフの値: \(\phi-t\)グラフの傾きを計算し、それにマイナスをつけたものが、その区間の誘導起電力\(V\)の値になります (\(V = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\))。
    • \(V-t\)グラフの値 → \(I-t\)グラフの値: \(V-t\)グラフの値を抵抗\(R\)で割ったものが、誘導電流\(I\)の値になります (\(I = V/R\))。
    • 傾きが0なら電流も0: \(\phi-t\)グラフが水平な区間（磁束が変化しない区間）では、傾きが0なので誘導電流も0になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 三角形のコイルが通過する問題: コイルが三角形の場合、磁場に進入する面積の時間変化が一定ではなくなります（面積が\(t^2\)に比例するなど）。その結果、\(\phi-t\)グラフは曲線になり、その傾きである誘導起電力\(V\)は時間とともに変化（線形に増加など）します。\(I-t\)グラフも階段状ではなく、斜めの直線になります。
  • 磁場の幅がコイルより狭い場合: コイルが磁場を通過する際に、コイルの一部しか磁場に入らない状況が生まれます。運動のフェーズ分けがより複雑になりますが、各瞬間の「磁場内の面積」を正確に追跡するという基本は同じです。
  • \(I-t\)グラフから\(\phi-t\)グラフを復元する問題: \(I = -\frac{1}{R}\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) を変形すると \(\Delta \phi = -RI \Delta t\) となります。これは、\(I-t\)グラフと時間軸で囲まれた「面積」に\(-R\)を掛けたものが、磁束の変化量\(\Delta \phi\)に対応することを意味します。各区間の面積を計算して、\(\phi\)の値を順にプロットしていくことで復元できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動のフェーズ分け: コイルのどの部分が磁場のどの位置にあるかに着目し、運動を明確な時間区間に分割します。「進入開始」「進入完了」「退出開始」「退出完了」の4つの時刻を最初に計算するのが定石です。
  2. 磁場内の面積 \(S(t)\) を立式: 各区間において、時刻\(t\)の関数として、磁場の中にあるコイルの面積\(S(t)\)を正確に立式します。ここが最も重要なステップです。
  3. \(\phi-t\)グラフの作成: \(S(t)\)に磁束密度\(B\)を掛けて\(\phi(t)\)を求め、グラフの概形を描きます。
  4. 傾きから\(I\)を計算: \(\phi-t\)グラフの各区間の傾きを計算し、\(I = -\frac{1}{R} \times (\text{傾き})\) の関係式を使って、各区間の電流の値を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 磁束と電流の関係の混同:
  • 誤解: 磁束が大きい（\(\phi\)が大きい）区間で電流も大きくなると勘違いし、\(\phi-t\)グラフと同じ形の\(I-t\)グラフを描いてしまう。
  • 対策: 「電流は磁束の『大きさ』ではなく『変化』によって生じる」と常に意識する。コイルが完全に磁場内にあるとき、磁束は最大だが変化は0なので、電流も0になる、という点を特に注意します。
• ファラデーの法則のマイナス符号の付け忘れ:
  • 誤解: \(V = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) だと勘違いし、\(\phi-t\)グラフの傾きが正の区間で電流も正、傾きが負の区間で電流も負としてしまう。
  • 対策: \(V = – \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\) のマイナスはレンツの法則を表す重要なものだと覚え、計算の最後に必ず符号が反転することを確認する癖をつける。または、計算とは別にレンツの法則と右ねじの法則で電流の向きを定性的に確認し、計算結果と一致するかをダブルチェックします。
• 面積計算のミス:
  • 誤解: コイルが磁場に進入中の面積を計算する際、基準となる時刻や距離を間違える。（例：\(S(t) = l \times vt\) としてしまう）
  • 対策: 時刻\(t\)におけるコイルの位置を図に描き、「磁場に進入し始めたのは時刻\(l/v\)から」「その時刻からの経過時間は \(t-l/v\)\)」「その間に進んだ距離は \(v(t-l/v) = vt-l\)」というように、段階的に考えて立式します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 磁束の定義 (\(\phi = BS\)):
  • 選定理由: この問題の出発点です。コイルを貫く磁束という物理量を、観測可能な量（磁束密度\(B\)、面積\(S\)）で表現するために不可欠です。
  • 適用根拠: 一様な磁場中をコイルが運動する状況であり、磁場内の面積\(S\)を時刻\(t\)の関数として求めることで、磁束\(\phi\)も\(t\)の関数として表現できます。
• ファラデーの電磁誘導の法則 (\(V = – \frac{\Delta \phi}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: 「磁束\(\phi\)の時間変化」と「誘導起電力\(V\)」という2つの物理量を直接結びつける、この問題の根幹をなす法則です。
  • 適用根拠: \(\phi-t\)グラフを作成した後、その時間微分（グラフの傾き）を求めることで、起電力\(V\)を計算できます。マイナス符号により、起電力の向き（電流の符号）まで一度に決定できるため、非常に強力です。
• オームの法則 (\(I = V/R\)):
  • 選定理由: 回路に生じた起電力\(V\)と、実際に流れる電流\(I\)の関係を示すための、電気回路における最も基本的な法則です。
  • 適用根拠: コイル全体を、起電力\(V\)の電源と抵抗\(R\)からなる閉回路とみなせるため、この法則が適用できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 区間の境界値の確認: 各区間の境界となる時刻（\(\frac{l}{v}, \frac{2l}{v}, \dots\)）を計算した\(\phi(t)\)や\(I(t)\)の式に代入し、値が連続的につながるか（あるいは物理的に正しい不連続性を持つか）を確認する。例えば、\(t=\frac{2l}{v}\)を進入中の式と中央の式に代入すると、どちらも\(\phi=Bl^2\)となり、グラフが正しくつながることがわかります。
• 傾きの計算を慎重に: \(\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{\phi_2 – \phi_1}{t_2 – t_1}\) の計算では、分子・分母の引き算の順序を間違えないように注意します。特に、分母が \( (\frac{2l}{v}) – (\frac{l}{v}) = \frac{l}{v} \) のように分数になる場合、その後の計算（分母の逆数を掛ける）を丁寧に行いましょう。
• グラフの整合性チェック: 最終的に描いた\(\phi-t\)グラフと\(I-t\)グラフを見比べ、「\(\phi\)が増加している区間（傾きが正）では\(I\)は負」「\(\phi\)が減少している区間（傾きが負）では\(I\)は正」「\(\phi\)が一定の区間（傾きが0）では\(I\)は0」という関係が成り立っているかを必ず確認します。

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