「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 26】Step3

360 オームの法則

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、導体中の自由電子の運動を単純なモデルで考えることにより、オームの法則や抵抗、ジュール熱といったマクロな電気的性質が、電子の電荷や質量、数密度といったミクロな物理量からどのように導かれるのかを理解する問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「オームの法則のミクロな導出」です。導体中の自由電子の運動を単純なモデル（ドルーデモデル）で考えることにより、電界、電流、抵抗、抵抗率、ジュール熱といったマクロな物理量が、電子の電荷や質量、数密度といったミクロな量とどのよう関係しているのかを解き明かしていきます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄①

思考の道筋とポイント
導体中の電界の強さ \(E\) を求める問題です。長さ \(L\) の導体に電圧 \(V\) がかかっているとき、導体内部には一様な電界が生じると考えます。このとき、電界の強さ \(E\) と電位差（電圧） \(V\)、距離 \(L\) の間には基本的な関係式が成り立ちます。
この設問における重要なポイント

• 一様な電界: 導体内部の電界は、場所によらず一定の強さであると仮定します。
• 電界と電位の関係: 一様な電界 \(E\) の中で、電界の向きに距離 \(d\) だけ離れた2点間の電位差は \(V=Ed\) と表されます。この問題では距離が \(L\) なので、\(V=EL\) となります。

具体的な解説と立式
長さ \(L\) の導体の両端に電圧 \(V\) がかかっているので、導体内部には大きさ \(E\) の一様な電界が生じます。電界の強さ \(E\) と電位差 \(V\)、導体の長さ \(L\) の関係は次式で与えられます。
$$ V = EL $$

上記の式を \(E\) について解きます。
$$ E = \frac{V}{L} $$

電圧とは「電気的な坂の高さ」のようなもので、電界の強さは「坂の傾き」に相当します。長さ \(L\) の距離で高さ \(V\) の坂があれば、その傾きは \(V/L\) となります。

導体中の電界の強さは \(E = \displaystyle\frac{V}{L}\) [V/m] です。電圧 \(V\) が大きいほど、また導体が短い \(L\) ほど、内部の電界は強くなります。これは直感的にも妥当です。

空欄②

思考の道筋とポイント
自由電子が電界から受ける力の大きさ \(F\) を求める問題です。電荷を持つ粒子が電界中に置かれると、力を受けます。その力の大きさは、電荷の大きさと電界の強さの積で与えられます。
この設問における重要なポイント

• 電子の電荷: 電子の電荷は \(-e\) ですが、問題では力の「大きさ」が問われているため、正の値である電気素量 \(e\) を用います。
• 力の公式: 電荷 \(q\) の粒子が電界 \(E\) から受ける力の公式は \(F=qE\) です。

具体的な解説と立式
電気素量 \(e\) の大きさの電荷を持つ電子は、①で求めた電界 \(E\) から力を受けます。力の大きさ \(F\) は、電荷の大きさ \(e\) と電界の強さ \(E\) の積で表されます。
$$ F = eE $$

上記で立てた式に、①で求めた \(E = \displaystyle\frac{V}{L}\) を代入します。
$$ F = e \times \frac{V}{L} = \frac{eV}{L} $$

電気を帯びた粒（電子）は、電気的な坂（電界）があると、坂を転がり落ちるような力（静電気力）を受けます。その力の大きさは、粒の電気量と坂の傾きの掛け算で決まります。

電子が受ける力の大きさは \(F = \displaystyle\frac{eV}{L}\) [N] です。この力によって電子は加速されます。力の向きは、電子の電荷が負なので、電界の向きとは逆向きになります。

空欄③

思考の道筋とポイント
電子の加速度の大きさ \(a\) を求める問題です。物体が力を受けると、その方向に加速されます。この関係はニュートンの運動方程式で記述されます。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式: 質量 \(m\) の物体が力 \(F\) を受けて加速度 \(a\) で運動するときの関係式 \(ma=F\) を用います。
• 電子の質量: 加速される物体は電子なので、その質量 \(m\) を使います。

具体的な解説と立式
②で求めた力 \(F\) を受けた質量 \(m\) の電子は、運動方程式に従って加速されます。加速度の大きさを \(a\) とすると、以下の関係が成り立ちます。
$$ ma = F $$

上記で立てた式を \(a\) について解き、②で求めた \(F = \displaystyle\frac{eV}{L}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{F}{m} \\[2.0ex]
&= \frac{eV/L}{m} \\[2.0ex]
&= \frac{eV}{mL}
\end{aligned}
$$

物体は、受けた力に比例し、その物体の質量（動きにくさ）に反比例する加速度で運動します。電子も同様に、電界から受けた力によって加速されます。

電子の加速度の大きさは \(a = \displaystyle\frac{eV}{mL}\) [m/s²] です。この加速度は、衝突して速度を失うまでの間、一定であるとモデルでは考えます。

空欄④

思考の道筋とポイント
自由電子の速度の最大値 \(v_{\text{最大}}\) を求める問題です。問題のv-tグラフのモデルでは、電子は衝突直後に速度が0になり、次の衝突までの時間 \(T\) の間、一定の加速度で加速され続けます。
この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動: 電子は一定の加速度 \(a\) で運動します。
• 初速度: 衝突直後の速度は \(0\) と考えます。
• 加速時間: 次の衝突までの時間 \(T\) だけ加速されます。

具体的な解説と立式
電子は、初速度 \(0\) から、③で求めた一定の加速度 \(a\) で時間 \(T\) だけ加速されます。時間 \(T\) 後の速度が最大値 \(v_{\text{最大}}\) となります。等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) を用いると、
$$ v_{\text{最大}} = 0 + aT $$

上記で立てた式に、③で求めた \(a = \displaystyle\frac{eV}{mL}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}} &= aT \\[2.0ex]
&= \frac{eV}{mL} \times T \\[2.0ex]
&= \frac{eVT}{mL}
\end{aligned}
$$

「速さ = 加速の度合い × 加速した時間」という関係です。衝突してから次の衝突までの \(T\) 秒間、一定の割合でどんどん速くなり、衝突直前に速さが最大になります。

自由電子の速度の最大値は \(v_{\text{最大}} = \displaystyle\frac{eVT}{mL}\) [m/s] です。この速度は、衝突までの時間が長いほど、また加速度が大きいほど大きくなります。

空欄⑤

思考の道筋とポイント
自由電子の平均の速度 \(\bar{v}\) を求める問題です。v-tグラフを見ると、速度は \(0\) から \(v_{\text{最大}}\) まで直線的に（一定の割合で）増加しています。このような場合の平均速度は、簡単に計算できます。
この設問における重要なポイント

• v-tグラフの形状: 速度が時間に対して線形に増加する、原点を通る直線となっています。
• 平均速度の計算: 等加速度運動で速度が \(v_0\) から \(v\) に変化した場合、平均速度は \(\bar{v} = \displaystyle\frac{v_0 + v}{2}\) で求められます。

具体的な解説と立式
電子の速度は、時間 \(0\) で \(0\)、時間 \(T\) で \(v_{\text{最大}}\) となります。この間、速度は一定の割合で増加するため、平均の速度 \(\bar{v}\) は、初速度と最終速度の平均値として計算できます。
$$ \bar{v} = \frac{0 + v_{\text{最大}}}{2} $$

上記で立てた式に、④で求めた \(v_{\text{最大}} = \displaystyle\frac{eVT}{mL}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\bar{v} &= \frac{v_{\text{最大}}}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \times \frac{eVT}{mL} \\[2.0ex]
&= \frac{eVT}{2mL}
\end{aligned}
$$

速度が0から最大値まで一定のペースで増えていくので、その間の平均の速さは、ちょうど最大値の半分になります。例えば、時速0kmから時速100kmまで一定の割合で加速した場合、平均の速さは時速50kmです。

自由電子の平均の速度は \(\bar{v} = \displaystyle\frac{eVT}{2mL}\) [m/s] です。この平均速度は、電子の流れの全体的な速さ（ドリフト速度）と見なすことができ、電流の大きさを決める重要な量です。

空欄⑥

思考の道筋とポイント
電流 \(I\) を、電子の平均速度 \(\bar{v}\) などを用いて表す問題です。電流の正体は電荷の流れであり、その大きさは「導体の断面を1秒間に通過する電気量」として定義されます。
この設問における重要なポイント

• 電流の定義: \(I = \displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}\)（単位時間あたりの通過電気量）。
• 通過する電子の数: 1秒間に導体の断面を通過する電子の数を考えます。平均速度 \(\bar{v}\) で動く電子は、1秒間に距離 \(\bar{v}\) だけ進みます。したがって、断面積 \(S\) の断面を1秒間に通過する電子は、体積 \(S\bar{v}\) の中に含まれる電子です。
• 総電気量: 体積 \(S\bar{v}\) の中の電子数は \(n \times (S\bar{v})\) 個なので、その総電気量は \(e \times (nS\bar{v})\) となります。

具体的な解説と立式
電流 \(I\) は、導体の断面積 \(S\) を単位時間あたりに通過する電気量として定義されます。
単位体積あたりの自由電子の数は \(n\)、電子1個の電荷の大きさは \(e\)、電子の平均速度は \(\bar{v}\) です。
1秒間に断面積 \(S\) の面を通過する電子は、底面積 \(S\)、高さ \(\bar{v}\) の円柱の体積 \(S\bar{v}\) 内に含まれる電子です。
この体積内の電子の数は \(n \times S\bar{v}\) 個です。
したがって、1秒間に通過する総電気量、すなわち電流 \(I\) は、
$$ I = e \times (nS\bar{v}) = enS\bar{v} $$

この設問は公式を導出・記述するものであり、具体的な計算はありません。

電流の大きさは、①電子1個の電気量、②電子の密度、③導線の断面積、④電子の平均速度、の4つの要素の掛け算で決まります。これらが多いほど、速いほど、太いほど、たくさんの電気が流れることになります。

電流を表す基本式は \(I = enS\bar{v}\) [A] です。この式は、ミクロな電子の運動とマクロな電流を結びつける非常に重要な関係式です。

空欄⑦

思考の道筋とポイント
⑥で導いた電流の式に、⑤で計算した具体的な平均速度 \(\bar{v}\) の値を代入する問題です。これにより、電流 \(I\) が、電圧 \(V\) や導体の材質・形状を決めるミクロな量（\(m, e, n, T, L, S\)）でどのように表されるかがわかります。
この設問における重要なポイント

• 代入: ⑥の \(I = enS\bar{v}\) に、⑤の \(\bar{v} = \displaystyle\frac{eVT}{2mL}\) を代入します。

具体的な解説と立式
⑥で求めた電流の基本式 \(I = enS\bar{v}\) に、⑤で求めた平均速度 \(\bar{v}\) の具体的な表現を代入します。
$$ I = enS\bar{v} $$

$$
\begin{aligned}
I &= enS \times \left( \frac{eVT}{2mL} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{e^2 n S T V}{2mL}
\end{aligned}
$$
模範解答の表記に合わせると、
$$ I = \frac{e^2 nTSV}{2mL} $$

⑥で作った電流のレシピ（\(I = enS\bar{v}\)）に、⑤で計算した電子の平均の速さの具体的な値を当てはめて、最終的な電流の式を完成させます。

電流 \(I\) は \(I = \displaystyle\frac{e^2 nTSV}{2mL}\) [A] と表されます。この式をよく見ると、\(I\) は電圧 \(V\) に比例していることがわかります（\(I \propto V\)）。これはまさにオームの法則が成り立つことをミクロな視点から示したものです。

空欄⑧

思考の道筋とポイント
導体の抵抗 \(R\) を求める問題です。オームの法則 \(V=RI\) を用いて、⑦で求めた \(I\) と \(V\) の関係式から抵抗 \(R\) を導出します。
この設問における重要なポイント

• オームの法則: 抵抗 \(R\) は、電圧 \(V\) と電流 \(I\) の比、\(R = \displaystyle\frac{V}{I}\) で定義されます。
• 式の変形: ⑦で求めた式を \(V\) について解くか、直接 \(R = \displaystyle\frac{V}{I}\) を計算します。

具体的な解説と立式
オームの法則によれば、抵抗 \(R\)、電圧 \(V\)、電流 \(I\) の間には \(V=RI\) の関係があります。これを \(R\) について解くと、
$$ R = \frac{V}{I} $$

上記で立てた式に、⑦で求めた \(I = \displaystyle\frac{e^2 nTSV}{2mL}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{V}{\displaystyle\frac{e^2 nTSV}{2mL}} \\[2.0ex]
&= V \times \frac{2mL}{e^2 nTSV} \\[2.0ex]
&= \frac{2mL}{e^2 nTS}
\end{aligned}
$$

オームの法則によれば、抵抗は「電圧 ÷ 電流」で計算できます。⑦で求めた電流の式を使ってこの割り算を実行すると、抵抗がミクロな量でどのように表されるかがわかります。

導体の抵抗は \(R = \displaystyle\frac{2mL}{e^2 nTS}\) [Ω] です。この式から、抵抗は導体の長さ \(L\) に比例し、断面積 \(S\) に反比例する（\(R \propto \displaystyle\frac{L}{S}\)）という、よく知られた性質が導かれます。

空欄⑨

思考の道筋とポイント
導体の抵抗率 \(\rho\) を求める問題です。抵抗 \(R\) は、導体の長さ \(L\) と断面積 \(S\) という形状に依存します。この形状依存性を分離した、物質固有の値を抵抗率 \(\rho\) といいます。関係式 \(R = \rho \displaystyle\frac{L}{S}\) を用います。
この設問における重要なポイント

• 抵抗と抵抗率の関係: \(R = \rho \displaystyle\frac{L}{S}\) という関係を使い、\(\rho\) について解きます。
• 物理的意味: 抵抗率は、その物質そのものの電気の流れにくさを表す量です。

具体的な解説と立式
抵抗 \(R\) と抵抗率 \(\rho\)、導体の長さ \(L\)、断面積 \(S\) の間には、以下の関係があります。
$$ R = \rho \frac{L}{S} $$
これを \(\rho\) について解くと、
$$ \rho = R \frac{S}{L} $$

上記で立てた式に、⑧で求めた \(R = \displaystyle\frac{2mL}{e^2 nTS}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\rho &= \left( \frac{2mL}{e^2 nTS} \right) \times \frac{S}{L} \\[2.0ex]
&= \frac{2m}{e^2 nT}
\end{aligned}
$$

抵抗の値は導線の長さや太さで変わってしまいますが、抵抗率はその物質固有の値です。⑧で求めた抵抗の式から、長さ \(L\) と断面積 \(S\) の影響を取り除くと、抵抗率が求まります。

抵抗率は \(\rho = \displaystyle\frac{2m}{e^2 nT}\) [Ω・m] です。この式には導体の形状に関する \(L\) や \(S\) が含まれておらず、電子の質量 \(m\)、電荷 \(e\)、数密度 \(n\)、衝突までの時間 \(T\) といった、物質の種類や状態で決まるミクロな量だけで表されています。これは抵抗率が物質固有の量であることと整合します。

空欄⑩

思考の道筋とポイント
単位時間あたりに1個の電子が電界からもらうエネルギー（仕事率） \(\varepsilon\) を求める問題です。仕事率は、力と速度の積で計算できます。ここでは、電子が受ける力 \(F\) と、電子の平均速度 \(\bar{v}\) を使います。
この設問における重要なポイント

• 仕事率の公式: 力 \(F\) を加えながら速度 \(v\) で動く物体に対する仕事率は \(P = Fv\) です。
• 平均速度の使用: 電子の速度は変動しますが、単位時間あたりの平均的なエネルギーを考えるので、平均速度 \(\bar{v}\) を用いるのが適切です。

具体的な解説と立式
単位時間あたりに力がする仕事、すなわち仕事率は、力と速度の積で与えられます。電子1個が電界から受ける力の大きさは \(F\)、電子の平均速度は \(\bar{v}\) なので、電子1個が単位時間あたりに電界からもらうエネルギー \(\varepsilon\) は、
$$ \varepsilon = F \bar{v} $$

上記で立てた式に、②で求めた \(F = \displaystyle\frac{eV}{L}\) と ⑤で求めた \(\bar{v} = \displaystyle\frac{eVT}{2mL}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\varepsilon &= \left( \frac{eV}{L} \right) \times \left( \frac{eVT}{2mL} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{e^2 V^2 T}{2mL^2}
\end{aligned}
$$

電界が電子を引っ張る力と、電子が実際に進む平均の速さを掛け合わせることで、電界が電子1個に対して1秒あたりにどれだけのエネルギーを与えているか（仕事をしているか）がわかります。

電子1個が単位時間あたりにもらうエネルギーは \(\varepsilon = \displaystyle\frac{e^2 V^2 T}{2mL^2}\) [J/s] です。このエネルギーは、電子がイオンと衝突することで熱エネルギーに変わり、導体が発熱する原因となります。

空欄⑪

思考の道筋とポイント
単位時間あたりに導体中の「全」自由電子が電界からもらうエネルギー \(P\) を求める問題です。これは導体全体の消費電力に相当します。⑩で求めた電子1個あたりのエネルギー \(\varepsilon\) に、導体内に存在する全自由電子の数を掛けることで求められます。
この設問における重要なポイント

• 全自由電子の数: 導体の体積は \(LS\)。単位体積あたりの電子数は \(n\)。したがって、導体内の全自由電子の数は \(N_{\text{全}} = nLS\) です。
• 総エネルギー: 全エネルギーは (1個あたりのエネルギー) × (総数) で計算します。

具体的な解説と立式
導体全体の消費電力 \(P\) は、電子1個あたりの仕事率 \(\varepsilon\) と、導体内の全電子数 \(N_{\text{全}}\) の積で与えられます。
導体の体積は \(V_{\text{導体}} = LS\) であり、単位体積あたりの電子数は \(n\) なので、全電子数は \(N_{\text{全}} = nLS\) です。
したがって、
$$ P = N_{\text{全}} \times \varepsilon = (nLS) \varepsilon $$

上記で立てた式に、⑩で求めた \(\varepsilon = \displaystyle\frac{e^2 V^2 T}{2mL^2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
P &= (nLS) \times \left( \frac{e^2 V^2 T}{2mL^2} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{n L S e^2 V^2 T}{2mL^2} \\[2.0ex]
&= \frac{e^2 n S T V^2}{2mL}
\end{aligned}
$$
模範解答の表記に合わせると、
$$ P = \frac{e^2 nTSV^2}{2mL} $$

電子1個が1秒あたりにもらうエネルギー（⑩の答え）に、導体の中にいる電子の総数を掛ければ、導体全体で1秒あたりに消費されるエネルギー（消費電力）がわかります。

導体全体の消費電力は \(P = \displaystyle\frac{e^2 nTSV^2}{2mL}\) [J/s] です。この結果は、電子1個のエネルギーから計算した結果と完全に一致しました。これは、ここで用いた電子の運動モデルが、マクロな消費電力の法則と矛盾しないことを示しています。ミクロな視点とマクロな視点が繋がった瞬間です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電界中の荷電粒子の運動（ミクロな視点）:
  • 核心: この問題の根幹は、導体内の無数の自由電子が、電界から力を受けて加速し、陽イオンに衝突して減速するという運動を繰り返す、というミクロなモデルです。この一連のプロセスを物理法則で記述することが全ての出発点です。
  • 理解のポイント:
    1. 電界の生成: 電圧 \(V\) と長さ \(L\) から電界 \(E = V/L\) が決まる。
    2. 力の発生: 電界 \(E\) から電子は力 \(F = eE\) を受ける。
    3. 加速運動: 力 \(F\) により電子は運動方程式 \(ma=F\) に従って加速する。
    4. 平均化: 衝突を繰り返すため、個々の電子の複雑な運動を「平均速度 \(\bar{v}\)」という量で代表させる。
• 電流と抵抗の定義（マクロな視点との接続）:
  • 核心: 上記のミクロな電子の運動（特に平均速度 \(\bar{v}\)）を、我々が測定可能なマクロな量である「電流 \(I\)」に結びつけることが第二の核心です。
  • 理解のポイント:
    1. 電流の定義: 電流 \(I\) は、ミクロな量を用いて \(I = enS\bar{v}\) と表される。この式がミクロとマクロの架け橋です。
    2. オームの法則: 導出された \(I\) と \(V\) の関係式から、抵抗 \(R = V/I\) や抵抗率 \(\rho = R(S/L)\) というマクロな量を定義・計算する。
    3. エネルギー: 電子が電界から得るエネルギー（仕事）が、導体全体の消費電力（ジュール熱）\(P=IV\) につながる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ホール効果: 磁場中の導体を流れる電流を考える問題。電子は電界から受ける力に加えて、磁場からのローレンツ力も受ける。力のつり合いを考えることで、ホール電圧や荷電粒子の符号などを分析できる。
  • 半導体中のキャリアの運動: 半導体では、電子（負電荷）と正孔（正電荷と見なせる）の2種類のキャリアが電流に寄与する。それぞれのキャリアについて同様のモデルを考え、電流を足し合わせる。
  • プラズマや電解液中のイオンの運動: 気体や液体中の荷電粒子も、電界によって動かされる。粒子の種類や相互作用は異なるが、「電界→力→運動→電流」という基本的な思考フローは共通している。
• 初見の問題での着眼点:
  1. ミクロとマクロの対応関係を意識する: 問題で与えられているのはミクロな量（\(m, e, n\)など）か、マクロな量（\(V, I, R\)など）かを見極める。そして、どちらからどちらへと思考を進めるべきか（この問題のようにミクロからマクロを導くのか、逆か）を把握する。
  2. 運動のモデルを正確に読み取る: 問題文や図で、荷電粒子の運動がどのようにモデル化されているか（例：衝突で速度が0になる、等速直線運動と見なす、など）を正確に把握する。このモデルが立式の前提条件となる。
  3. 「平均」の意味を考える: 電子の速度は刻一刻と変化するが、電流や抵抗といった定常的な現象を扱う際は、時間平均された「平均速度」が重要になる。どの段階で平均の操作を行うかを見極める。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電荷の符号の扱い:
  • 誤解: 電子の電荷は \(-e\) なので、力の計算で \(F=(-e)E\) とし、その後の計算で符号の扱いに混乱する。
  • 対策: 問題で「力の大きさ」や「加速度の大きさ」が問われている場合は、最初から電荷の大きさ \(e\) を使って \(F=eE\) と立式するのが安全。力の向きは、電界の向きと逆であると別途理解しておけばよい。
• 最大速度と平均速度の混同:
  • 誤解: 電流の式 \(I=enS\bar{v}\) に、平均速度 \(\bar{v}\) ではなく最大速度 \(v_{\text{最大}}\) を代入してしまう。
  • 対策: 電流は、電子集団の「平均的」な流れによって生じるマクロな現象であることを常に意識する。v-tグラフを描いて、平均がどの値になるかを視覚的に確認する習慣をつける。この問題のモデルでは \(\bar{v} = v_{\text{最大}}/2\) であり、常に \(v_{\text{最大}}\) より小さい。
• 仕事率の計算での速度の選択:
  • 誤解: ⑩で電子1個の仕事率を計算する際に、どの速度を使えばよいか迷う。
  • 対策: 「単位時間あたりのエネルギー」とは、平均的な仕事率を指す。したがって、ここでも平均速度 \(\bar{v}\) を用いるのが妥当である。\(P = F\bar{v}\) と正しく立式する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • ピンボールマシン・モデル: 導体内部を、たくさんのピン（陽イオン）が固定されたピンボール台とイメージする。電子（ボール）は、電界という「台の傾き」によって一方向に加速されるが、すぐにピンにぶつかっては跳ね返され（速度を失い）、また加速される…という運動を繰り返す。このジグザグ運動全体として、ゆっくりと電界の逆向きに流れていく様子がドリフト速度（平均速度）のイメージである。
  • v-tグラフの活用: 問題で与えられたv-tグラフは、このモデルを理解する上で最も重要な図。グラフの傾きが「加速度 \(a\)」、グラフの最高点が「最大速度 \(v_{\text{最大}}\)」、グラフと時間軸で囲まれた面積を時間で割ったものが「平均速度 \(\bar{v}\)」に対応することを視覚的に理解する。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の向きと運動の向き: 電界の向き（高電位→低電位）、電子が受ける力の向き（電界と逆向き）、電子の平均的な運動（ドリフト）の向き（力と同じ向き）、電流の向き（電子の運動と逆向き）を、一つの図に明確に描き分ける。これらの関係が混乱しないように整理することが重要。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電界と電位の関係 (\(E=V/L\)):
  • 選定理由: マクロな操作である「電圧 \(V\) をかける」ことから、ミクロな電子に直接作用する「電界 \(E\)」を求めるために必要。
  • 適用根拠: 一様な電界という理想的な状況下での、電位（電気的な位置エネルギー）と電界（電気的な力）の関係を定義する基本公式。
• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 電子が電界から受けた力 \(F\) によって、どのように運動が変化するのか（加速度 \(a\) が生じるのか）を記述するため。力学と電磁気学を結びつける法則。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則。あらゆる物体の運動を支配する基本原理。
• 電流のミクロな定義 (\(I=enS\bar{v}\)):
  • 選定理由: 電子のミクロな運動（平均速度 \(\bar{v}\)）の結果として、どのようなマクロな現象（電流 \(I\)）が現れるかを記述するため。この問題における「ミクロとマクロの架け橋」となる最重要公式。
  • 適用根拠: 電流が「単位時間に断面を通過する電荷の量」であるという定義そのものを、電子の数と速度を用いて表現したもの。
• 抵抗と抵抗率の関係 (\(R=\rho L/S\)):
  • 選定理由: 導体全体の電気の流れにくさ（抵抗 \(R\)）から、物質固有の性質（抵抗率 \(\rho\)）を分離して評価するため。
  • 適用根拠: 抵抗が導体の長さに比例し、断面積に反比例するという実験事実を数式化したもの。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 電子1個の運動解析 (ミクロ):
   • 戦略: 電圧から出発し、電子1個の運動を順に追う。
   • フロー: ①電圧 \(V\) → ②電界 \(E=V/L\) → ③力 \(F=eE\) → ④加速度 \(a=F/m\) → ⑤最大速度 \(v_{\text{最大}}=aT\) → ⑥平均速度 \(\bar{v}=v_{\text{最大}}/2\)。
2. 導体全体の性質導出 (マクロ):
   • 戦略: 電子の平均的な振る舞いから、導体全体の電気的性質を導く。
   • フロー: ①平均速度 \(\bar{v}\) → ②電流 \(I=enS\bar{v}\) → ③抵抗 \(R=V/I\) → ④抵抗率 \(\rho=R(S/L)\)。
3. エネルギーの計算:
   • 戦略: 電子が電界から得るエネルギーを計算し、導体全体に拡張する。
   • フロー: ①電子1個の仕事率 \(\varepsilon = F\bar{v}\) → ②導体全体の仕事率（消費電力） \(P = (\text{全電子数}) \times \varepsilon\)。または、マクロな公式 \(P=IV\) で検算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように多くの物理量が関わる場合、途中で数値を代入する箇所はないが、後の設問で前の設問の結果を使うことが多い。例えば、⑧で抵抗 \(R\) を求める際に、\(I\) の式を丸ごと代入する。このとき、分数の割り算（逆数を掛ける）を丁寧に行う。
  \(R = \displaystyle\frac{V}{I} = V \div \left( \frac{e^2 nTSV}{2mL} \right) = V \times \frac{2mL}{e^2 nTSV}\)
  ここで、分子と分母の \(V\) を確実に約分するなど、慎重に式を整理する。
• 単位による検算: 例えば、⑨で抵抗率 \(\rho\) を求めた後、その単位を考えてみる。
  \(\rho = \displaystyle\frac{2m}{e^2 nT}\) の単位は [kg] / ([C]²・[m⁻³]・[s]) となり、これが本当に [Ω・m] と等価なのかを検証するのは難しい。しかし、\(R=\rho L/S\) から \(\rho = RS/L\) なので、単位は [Ω]・[m²]/[m] = [Ω・m] となるはずだ、という確認はできる。
• 物理的な意味からの確認: 導出された式の物理的な意味を考える。例えば、⑨の抵抗率 \(\rho = \displaystyle\frac{2m}{e^2 nT}\) は、電子の質量 \(m\) が大きいほど（動きにくい）、数密度 \(n\) が小さいほど（電荷を運ぶ担い手が少ない）、衝突時間 \(T\) が短いほど（すぐに邪魔される）、抵抗率が大きくなることを示しており、物理的に直感的な結果となっている。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • ⑦ 電流: \(I = \displaystyle\frac{e^2 nTSV}{2mL}\)。この式は \(I \propto V\) を示しており、オームの法則と整合する。これはモデルの妥当性を示唆する。
  • ⑧ 抵抗: \(R = \displaystyle\frac{2mL}{e^2 nTS}\)。この式は \(R \propto L\) かつ \(R \propto 1/S\) を示しており、抵抗に関する既知の法則と一致する。
  • ⑨ 抵抗率: \(\rho = \displaystyle\frac{2m}{e^2 nT}\)。この式には形状に関する \(L, S\) が含まれていない。これは抵抗率が物質固有の量であるという事実と一致する。
• 別解との比較:
  • ⑪ 消費電力: ミクロなアプローチ（全電子の仕事率の和）で求めた \(P = (nLS)\varepsilon\) と、マクロな公式 \(P=IV\) を使ったアプローチで求めた結果が完全に一致した。これは、①から⑩までの計算過程全体が自己無撞着であり、かつマクロな物理法則と整合していることの強力な証拠となる。異なる視点から同じ結論に至ることは、理解の正しさを裏付ける。

361 発熱量を最大にする抵抗

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、内部抵抗を持つ電池に外部抵抗を接続したときの、外部抵抗での消費電力（発熱量）に関する問題です。特に、消費電力が最大となる条件を求めることが核心となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電力の最大供給条件」です。電源（内部抵抗を持つ電池）から負荷（外部抵抗）へ、最も効率よく電力を供給するための条件を導き出します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
1秒間に抵抗\(R\)で発生する熱量を求める問題です。熱量は消費電力と等価であり、消費電力は抵抗値と電流の2乗の積で計算できます。まずは回路に流れる電流を求めることが第一歩です。
この設問における重要なポイント

• 回路全体の抵抗: 電池の内部抵抗\(r\)と外部抵抗\(R\)は直列に接続されていると見なせるため、回路全体の合成抵抗は \(R+r\) となります。
• 回路電流: 回路全体にオームの法則を適用して、流れる電流\(I\)を求めます。
• ジュール熱の公式: 抵抗\(R\)での消費電力（単位時間あたりのジュール熱）は \(P = RI^2\) で計算します。1秒間の熱量は、この電力の値そのものになります。

具体的な解説と立式
まず、回路に流れる電流の強さ \(I\) を求めます。起電力 \(E\)、回路全体の抵抗が \(R+r\) なので、オームの法則より、
$$ I = \frac{E}{R+r} \quad \cdots ① $$
次に、抵抗\(R\)で単位時間あたりに発生する熱量、すなわち消費電力 \(P_R\) を計算します。求める熱量 \(Q\) は、1秒間あたりの熱量なので \(Q=P_R\) です。
$$ Q = P_R = RI^2 \quad \cdots ② $$

②式に①式を代入して、\(Q\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
Q &= R \left( \frac{E}{R+r} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{RE^2}{(R+r)^2}
\end{aligned}
$$

まず、電池のパワー（起電力\(E\)）を、回路全体の抵抗（外部抵抗\(R\)と内部抵抗\(r\)の合計）で割って、回路に流れる電流の大きさを計算します。次に、その電流を使って、抵抗\(R\)だけで消費される電力（熱量）を「\(R \times (\text{電流})^2\)」の公式で計算します。

1秒間に抵抗\(R\)で発生する熱量は \(Q = \displaystyle\frac{RE^2}{(R+r)^2}\) [J] です。この式は、外部抵抗\(R\)の値によって熱量\(Q\)が変化することを示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
抵抗\(R\)で発生する熱量\(Q\)を最大にするための\(R\)の値を求める問題です。(1)で求めた\(Q\)の式は、\(R\)を変数とする関数と見なせます。この関数 \(Q(R)\) の最大値を求めるには、微分法を用いるのが最も確実で汎用性の高い方法です。
この設問における重要なポイント

• 関数の最大値: ある関数が最大値（または最小値）をとるとき、その点での微分係数（グラフの接線の傾き）は0になります。
• 商の微分法: \(Q(R) = \displaystyle\frac{RE^2}{(R+r)^2}\) を\(R\)で微分するために、商の微分公式 \(\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right)’ = \displaystyle\frac{f’g – fg’}{g^2}\) を用います。

具体的な解説と立式
(1)で求めた熱量 \(Q\) を \(R\) の関数 \(Q(R)\) と考えます。
$$ Q(R) = \frac{RE^2}{(R+r)^2} $$
この関数が最大値をとる条件は、\(Q(R)\) を \(R\) で微分した導関数 \(\displaystyle\frac{dQ}{dR}\) が0になるときです。
$$ \frac{dQ}{dR} = 0 $$

\(Q(R)\) を \(R\) で微分します。\(E^2\) は定数なので、前に出しておきます。
$$ Q(R) = E^2 \frac{R}{(R+r)^2} $$
商の微分法を用いて、
$$
\begin{aligned}
\frac{dQ}{dR} &= E^2 \frac{d}{dR} \left( \frac{R}{(R+r)^2} \right) \\[2.0ex]
&= E^2 \frac{(R)'(R+r)^2 – R \{(R+r)^2\}’}{\{(R+r)^2\}^2} \\[2.0ex]
&= E^2 \frac{1 \cdot (R+r)^2 – R \cdot 2(R+r) \cdot (R+r)’}{(R+r)^4} \\[2.0ex]
&= E^2 \frac{(R+r)^2 – 2R(R+r)}{(R+r)^4}
\end{aligned}
$$
分子の共通因数 \((R+r)\) で約分すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{dQ}{dR} &= E^2 \frac{(R+r) – 2R}{(R+r)^3} \\[2.0ex]
&= E^2 \frac{r-R}{(R+r)^3}
\end{aligned}
$$
\(\displaystyle\frac{dQ}{dR} = 0\) となる条件は、分子が0になるときなので、
$$ r-R = 0 $$
したがって、
$$ R = r $$
このとき、\(R<r\) で \(\displaystyle\frac{dQ}{dR}>0\) (増加)、\(R>r\) で \(\displaystyle\frac{dQ}{dR}<0\) (減少) となるため、\(R=r\) で \(Q\) は確かに最大値をとります。

抵抗\(R\)で発生する熱量\(Q\)を、横軸を\(R\)としたグラフに描くことを想像します。このグラフの山のてっぺん（最大値）を探すのが目的です。山のてっぺんでは、グラフの接線の傾きがちょうど0になります。この「傾きが0」という条件を、微分を使って数式にし、それを満たす\(R\)の値を求めます。

抵抗\(R\)で発生する熱量を最大にするには、\(R=r\) とすればよいことがわかります。これは「電力の最大供給条件」として知られる非常に重要な結果です。外部抵抗と電源の内部抵抗が等しいときに、電源から外部抵抗へ供給される電力が最大になります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 内部抵抗を含む回路のオームの法則:
  • 核心: 電池は理想的な起電力源ではなく、内部に抵抗\(r\)を持つと考えるのが現実的なモデルです。回路を流れる電流を計算する際は、外部抵抗\(R\)だけでなく、この内部抵抗\(r\)も考慮に入れ、回路全体の抵抗を \(R+r\) としてオームの法則を適用することが第一の核心です。
  • 理解のポイント: \(I = \displaystyle\frac{E}{R+r}\) という式は、電池の起電力\(E\)が、外部抵抗\(R\)と内部抵抗\(r\)の両方で消費（電圧降下）されることを意味しています。
• 電力の最大供給条件:
  • 核心: (2)で問われている「抵抗に発生する熱量を最大にしたい」という問いは、物理学・工学において「電力の最大供給条件」として知られる普遍的なテーマです。電源（内部抵抗\(r\)）から負荷（外部抵抗\(R\)）へ供給される電力が最大になるのは、外部抵抗と内部抵抗が等しくなるとき（\(R=r\)）である、という結論が第二の核心です。
  • 理解のポイント: この条件は、単に公式として暗記するのではなく、(1)で求めた電力の式 \(P(R) = \displaystyle\frac{RE^2}{(R+r)^2}\) から、微分法や相加・相乗平均の関係を用いて自力で導出できることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • インピーダンスマッチング: 交流回路において、電源から負荷へ最大電力を供給するためには、電源の内部インピーダンスと負荷のインピーダンスを整合させる（共役複素数の関係にする）必要があります。これは直流回路における本問題の考え方を交流に拡張したものです。
  • 音響機器の接続: アンプ（電源）とスピーカー（負荷）を接続する際にも、インピーダンスを合わせることで効率よく音響エネルギーを伝達できます。
  • アンテナと受信機: アンテナが受信した微弱な電波のエネルギーを、受信機に最大限伝えるためにも、インピーダンスマッチングの考え方が不可欠です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「〜を最大（最小）にしたい」という文言に注目する: このような最適化問題は、物理量を何かの変数（この問題では\(R\)）の関数として表現し、その関数の最大・最小を求める問題に帰着します。
  2. 変数と定数を区別する: 問題の中で変化させる量（変数）と、固定された量（定数）を明確に区別します。この問題では\(R\)が変数で、\(E, r\)が定数です。
  3. 関数を立てる: 最大化（または最小化）したい物理量（この問題では熱量\(Q\)）を、変数（\(R\)）を使って数式で表現します。\(Q(R) = \dots\) の形を作ることがゴールです。
  4. 数学的ツールを適用する: 関数が立てられたら、微分法や相加・相乗平均の関係など、知っている数学的な手法を適用して最大・最小値を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電流が最大になると電力が最大になるとの誤解:
  • 誤解: 抵抗\(R\)での消費電力を最大にするには、回路に流れる電流\(I\)を最大にすればよいと考え、\(I = \displaystyle\frac{E}{R+r}\) を最大にするために \(R=0\) と結論づけてしまう。
  • 対策: 消費電力は \(P=RI^2\) であり、\(R\)と\(I\)の両方に依存することを理解する。\(R=0\) のとき、電流\(I\)は最大になりますが、肝心の電力消費場所である\(R\)が0なので、消費電力も \(P=0 \cdot I^2 = 0\) となってしまいます。逆に\(R\)を無限大にすると、電流\(I\)が0に近づくため、やはり電力は0になります。したがって、最大値はその中間にあるはずだと直感的に理解することが重要です。
• 相加・相乗平均の適用条件の誤り:
  • 誤解: \(R + \displaystyle\frac{r^2}{R} + 2r\) の3項全体に相加・相乗平均を適用しようとするなど、適用範囲を間違える。
  • 対策: 相加・相乗平均の関係は、正の数にしか適用できません。また、積が定数になるような項の組み合わせ（この場合は \(R\) と \(\displaystyle\frac{r^2}{R}\)）を見つけて適用するのが定石です。定数項（\(2r\)）は関係の外に出しておき、変数部分の最小値を求めてから最後に足し合わせる、という手順を正確に踏むことが大切です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • エネルギーの分配のイメージ: 電池が生み出す全電力 \(P_{\text{全}} = EI\) は、内部抵抗\(r\)での消費電力 \(P_r = rI^2\) と外部抵抗\(R\)での消費電力 \(P_R = RI^2\) に分配されます（\(EI = rI^2 + RI^2\)）。\(R\)を変化させることは、このエネルギーの「分け前」を変えることに相当します。
  • グラフによる可視化: 横軸に\(R\)、縦軸に消費電力\(P_R\)をとったグラフをイメージします。\(R=0\)で\(P_R=0\)、\(R \rightarrow \infty\)で\(P_R \rightarrow 0\) となることから、グラフは原点から立ち上がって山を描き、再び0に近づいていく形になります。この「山のてっぺん」がどこにあるのかを探すのがこの問題の本質です。微分は、この山のてっぺん（接線の傾きが0の点）を探すための強力なツールです。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 回路図の正確な描写: 電池の記号の隣に、内部抵抗\(r\)を小さな抵抗の記号で明示的に描き加えることが重要です。これにより、\(r\)と\(R\)が直列接続であることが視覚的に明確になり、回路全体の抵抗を正しく計算できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• オームの法則 (\(I = E/(R+r)\)):
  • 選定理由: (1)で、回路の基本特性である電流を求めるため。全ての計算の出発点となる。
  • 適用根拠: キルヒホッフの第二法則（電圧則）を、この単純な直列回路に適用した結果です。起電力\(E\)が、電圧降下\(RI\)と\(rI\)の和に等しい（\(E = RI + rI\)）という物理法則に基づいています。
• 消費電力の公式 (\(P=RI^2\)):
  • 選定理由: (1)で、問題で問われている「抵抗で発生する熱量（＝電力）」を、計算した電流\(I\)から求めるため。
  • 適用根拠: 抵抗に電流を流すとジュール熱が発生するという物理現象を定量的に表す基本公式。\(P=VI\) や \(P=V^2/R\) といった他の形式もありますが、この問題では電流\(I\)が先に求まるため、\(P=RI^2\) を使うのが最も自然です。
• 微分法 (\(dQ/dR = 0\)):
  • 選定理由: (2)で、物理量（電力\(Q\)）をある変数（抵抗\(R\)）の関数とみなしたときの、その最大値を求めるため。
  • 適用根拠: 関数の極値を求めるための、数学における標準的で強力な手法。物理現象の最適化問題を解く際に頻繁に用いられます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 熱量の計算:
   • 戦略: 回路の基本法則に従い、電流を求め、電力に変換する。
   • フロー: ①回路全体の抵抗を把握 (\(R+r\)) → ②オームの法則で電流を立式 (\(I=E/(R+r)\)) → ③消費電力の公式に代入 (\(Q=RI^2\)) → ④式を整理して結論を導く。
2. (2) 最大値問題の解決:
   • 戦略: (1)で得た熱量の式を\(R\)の関数とみなし、数学的な手法で最大値を求める。
   • フロー（微分法）: ①\(Q(R)\)を\(R\)で微分する (\(dQ/dR\)を計算) → ②導関数が0になる条件を求める (\(dQ/dR=0\)) → ③その条件を満たす\(R\)の値を解く (\(R=r\))。
   • フロー（相加・相乗平均）: ①\(Q(R)\)の逆数をとる (\(1/Q\)) → ②式を変形して「変数＋変数の逆数」の形を作る → ③相加・相乗平均の関係を適用し、等号成立条件から\(R\)の値を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 微分計算の正確性: 商の微分 \(\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right)’ = \displaystyle\frac{f’g – fg’}{g^2}\) や、合成関数の微分 \(\{(R+r)^2\}’ = 2(R+r)\) を正確に実行することが重要です。特に、分子の \(f’g – fg’\) の符号を間違えないように注意が必要です。
• 文字式の整理: 微分後の式 \(E^2 \displaystyle\frac{(R+r)^2 – 2R(R+r)}{(R+r)^4}\) を整理する際、すぐに展開するのではなく、共通因数 \((R+r)\) で約分することで、計算が大幅に簡略化されます。複雑な式ほど、約分や因数分解の機会を探す癖をつけることが有効です。
• 相加・相乗平均の変形: \(\displaystyle\frac{R^2+2Rr+r^2}{R}\) を \(\left(R + \displaystyle\frac{r^2}{R}\right) + 2r\) と変形する過程は、慣れていないと間違いやすいポイントです。各項を丁寧に割り算し、変数\(R\)を含む項と定数項に分けることを意識しましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) 最大供給条件: \(R=r\) のとき、外部抵抗での消費電力 \(P_R = RI^2 = r(\frac{E}{2r})^2 = \frac{E^2}{4r}\) となります。一方、内部抵抗での消費電力は \(P_r = rI^2 = r(\frac{E}{2r})^2 = \frac{E^2}{4r}\) となり、両者は等しくなります。このとき、電池が発生する全電力 \(P_{\text{全}} = EI = E(\frac{E}{2r}) = \frac{E^2}{2r}\) のうち、ちょうど半分が外部抵抗で、残り半分が内部抵抗で消費されることがわかります。つまり、効率は50%です。この「効率50%のときに供給電力が最大になる」という事実は、この問題の物理的背景として重要です。
• 別解との比較:
  • (2)の最大値問題は、「微分法」と「相加・相乗平均の関係」という全く異なる数学的アプローチで解くことができました。両者で同じ \(R=r\) という結論が得られたことは、計算の正しさと結論の普遍性を強く裏付けています。どちらの解法も理解し、使えるようにしておくことが応用力に繋がります。

362 回路の対称性

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、すべての抵抗値が等しい立方体の形をした電気回路の合成抵抗を求める、典型的な問題です。一見複雑に見えますが、回路が持つ高い「対称性」を利用することで、キルヒホッフの法則による複雑な連立方程式を解くことなく、問題をエレガントに解くことができます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「対称性の高い電気回路の解析」です。キルヒホッフの法則を力ずくで適用すると計算が非常に煩雑になるため、回路の幾何学的な対称性に着目して、電流の流れや各点の電位の関係を直感的に捉えることが攻略の鍵となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
各辺を流れる電流を求める問題です。この回路は、電流の入口Aと出口Gを結ぶ対角線に対して高い対称性を持っています。この対称性から、電流は各分岐点で均等に分かれていくと考えることができます。
この設問における重要なポイント

• A点の対称性: 点Aからは、B, D, Eの3方向へ同じ抵抗\(r\)が接続されています。Aから見たB, D, Eは幾何学的に全く等価なので、電流 \(I\) はこの3方向に均等に3等分されます。
• B, D, E点の対称性: 例えば点Bに到達した電流は、次にCとFの2方向へ分かれます。Bから先の回路の構造はC方向とF方向で対称です。したがって、B点に流れ込んだ電流は、BCとBFに均等に2等分されます。これはD点、E点でも同様です。
• 合流点の対称性: 出口Gには、C, F, Hの3点から電流が流れ込みます。入口Aと出口Gの役割を入れ替えても回路は対称なので、C, F, HからGへ流れ込む電流は等しくなります。

具体的な解説と立式
1. A点での分岐:
点Aに流れ込んだ電流 \(I\) は、等価な3つの辺AB, AD, AEに3等分されます。
$$ I_{AB} = I_{AD} = I_{AE} = \frac{I}{3} \quad \cdots ① $$
2. B, D, E点での分岐:
辺ABを流れてきた電流 \(I_{AB}\) は、点Bで等価な2つの辺BC, BFに2等分されます。
$$ I_{BC} = I_{BF} = \frac{I_{AB}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{I}{3} \right) = \frac{I}{6} \quad \cdots ② $$
対称性から、他の点でも同様に分岐が起こります。
$$ I_{DC} = I_{DH} = \frac{I_{AD}}{2} = \frac{I}{6} $$
$$ I_{EF} = I_{EH} = \frac{I_{AE}}{2} = \frac{I}{6} $$
3. C, F, H点での合流:
点Cには、辺BCと辺DCから電流が流れ込み、辺CGへ流れていきます。キルヒホッフの第一法則より、
$$ I_{CG} = I_{BC} + I_{DC} = \frac{I}{6} + \frac{I}{6} = \frac{2I}{6} = \frac{I}{3} \quad \cdots ③ $$
対称性から、他の点でも同様に合流が起こります。
$$ I_{FG} = I_{BF} + I_{EF} = \frac{I}{6} + \frac{I}{6} = \frac{I}{3} $$
$$ I_{HG} = I_{DH} + I_{EH} = \frac{I}{6} + \frac{I}{6} = \frac{I}{3} $$

上記の立式の過程がそのまま計算過程となります。

この立方体の回路を、同じ太さの水道管が12本組み合わさったものだと想像します。Aから勢いよく水を流し込むと、最初の分岐点Aでは、同じ条件の3本のパイプ（AB, AD, AE）に水は均等に3等分されて流れます。次に、Bにたどり着いた水は、その先の同じ条件の2本のパイプ（BC, BF）に均等に2等分されます。このように、対称な場所では電流（水流）が均等に分かれる、という考え方で各部分の電流を計算していきます。

各辺を流れる電流は以下の2種類に分けられます。

• Aから出る辺 (AB, AD, AE) と Gに入る辺 (CG, FG, HG): \(\displaystyle\frac{I}{3}\) [A]
• 中間の辺 (BC, BF, DC, DH, EF, EH): \(\displaystyle\frac{I}{6}\) [A]

出口であるG点に流れ込む電流の合計は \(I_{CG} + I_{FG} + I_{HG} = \frac{I}{3} + \frac{I}{3} + \frac{I}{3} = I\) となり、入口Aから流れ込んだ全電流に等しくなります。これにより、計算が自己無撞着であることが確認できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
AG間の電圧 \(V_{AG}\) を求める問題です。2点間の電位差（電圧）は、その2点を結ぶ経路の選び方によらず一定です。したがって、(1)で電流を求めた辺の中から、計算しやすい経路を一つ選び、各辺での電圧降下（= 抵抗 × 電流）を足し合わせれば、全体の電圧が求まります。
この設問における重要なポイント

• 電位差の経路不変性: AからGへの電位差は、どの経路（例: A→D→H→G, A→B→C→G, A→E→F→Gなど）で計算しても同じ値になります。
• 電圧降下の計算: 各辺での電圧降下は、オームの法則 \(V_{\text{辺}} = r \times I_{\text{辺}}\) で計算します。

具体的な解説と立式
AからGへの経路として、例えば A→D→H→G を選びます。AG間の電圧 \(V_{AG}\) は、この経路上の各抵抗での電圧降下の和に等しくなります。
$$ V_{AG} = V_{AD} + V_{DH} + V_{HG} $$
(1)で求めた各辺の電流値 \(I_{AD} = \displaystyle\frac{I}{3}\), \(I_{DH} = \displaystyle\frac{I}{6}\), \(I_{HG} = \displaystyle\frac{I}{3}\) を用いて、各電圧降下を計算します。
$$ V_{AD} = r \times I_{AD} = r \frac{I}{3} $$
$$ V_{DH} = r \times I_{DH} = r \frac{I}{6} $$
$$ V_{HG} = r \times I_{HG} = r \frac{I}{3} $$

各電圧降下を足し合わせます。
$$
\begin{aligned}
V_{AG} &= r \frac{I}{3} + r \frac{I}{6} + r \frac{I}{3} \\[2.0ex]
&= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right) rI \\[2.0ex]
&= \left( \frac{2}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} \right) rI \\[2.0ex]
&= \frac{5}{6} rI
\end{aligned}
$$

A地点からG地点までの「電気的な高さの差」を求めるのが目的です。どの道を通って坂を下っても、最終的な高さの差は同じです。ここでは、A→D→H→Gという道を選び、それぞれの区間（AD, DH, HG）でどれだけ「高さ」が下がるかを計算し、それらをすべて合計します。

AG間の電圧は \(V_{AG} = \displaystyle\frac{5}{6}rI\) [V] です。
念のため、別の経路 A→B→C→G で計算しても同じ結果になるか確認してみましょう。
\(V_{AG} = V_{AB} + V_{BC} + V_{CG} = r I_{AB} + r I_{BC} + r I_{CG} = r(\frac{I}{3}) + r(\frac{I}{6}) + r(\frac{I}{3}) = \frac{5}{6}rI\)。
確かに同じ結果となり、計算の正しさが裏付けられました。

問(3)

思考の道筋とポイント
AG間の合成抵抗 \(R_{AG}\) を求める問題です。この複雑な回路全体を、抵抗値 \(R_{AG}\) の一個の抵抗と見なします。この仮想的な抵抗に、電流 \(I\) が流れて電圧 \(V_{AG}\) が生じていると考え、オームの法則を適用します。
この設問における重要なポイント

• 回路全体のオームの法則: 回路全体について、\(V_{\text{全}} = R_{\text{全}} I_{\text{全}}\) が成り立ちます。この問題では、\(V_{\text{全}} = V_{AG}\), \(R_{\text{全}} = R_{AG}\), \(I_{\text{全}} = I\) です。

具体的な解説と立式
AG間の電圧を \(V_{AG}\)、合成抵抗を \(R_{AG}\)、回路全体に流れる電流を \(I\) とすると、オームの法則より以下の関係が成り立ちます。
$$ V_{AG} = R_{AG} \times I $$
この式を \(R_{AG}\) について解きます。
$$ R_{AG} = \frac{V_{AG}}{I} $$

(2)で求めた \(V_{AG} = \displaystyle\frac{5}{6}rI\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
R_{AG} &= \frac{\displaystyle\frac{5}{6}rI}{I} \\[2.0ex]
&= \frac{5}{6}r
\end{aligned}
$$

この立方体の回路全体を一つのブラックボックスと考えます。この箱に \(I\) という電流を流し込んだら、入口と出口の電圧差が \(V_{AG}\) になった、という関係が(2)でわかりました。オームの法則「抵抗 = 電圧 ÷ 電流」を使って、この箱全体の抵抗値を計算します。

合成抵抗は \(R_{AG} = \displaystyle\frac{5}{6}r\) [Ω] となり、(1)から(3)の順で解いた結果と完全に一致します。この等電位点を見つける方法は、合成抵抗を求める問題に対して非常に強力な解法です。また、この簡略化された回路から、各部分にかかる電圧の比が \(R_{AP}:R_{PQ}:R_{QG} = \frac{r}{3}:\frac{r}{6}:\frac{r}{3} = 2:1:2\) であることもわかり、電流分布の計算の妥当性も確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回路の対称性の利用:
  • 核心: この問題の最も重要な核心は、物理法則そのものよりも、それを適用する上での「対称性」という考え方です。一見して複雑な回路でも、幾何学的な対称性があれば、電流の分布や電位もまた対称になる、という原理を利用します。
  • 理解のポイント:
    1. 電流の均等分岐: 対称な分岐点では、電流は等しく分かれる。 (例: A点から3方向へ \(I/3\) ずつ)
    2. 等電位点の存在: 対称な位置にある点は、電位が等しくなる。 (例: B, D, Eは同電位。C, F, Hも同電位)
  • この対称性の原理を適用することで、本来は多数の変数を含む複雑な連立方程式（キルヒホッフの法則）を解く手間を省き、問題を劇的に簡略化できます。
• オームの法則とキルヒホッフの法則の基本:
  • 核心: 対称性で問題を簡略化した後、最終的な計算を行うためには、電気回路の基本法則が必要です。
  • 理解のポイント:
    1. 電流則（第一法則）: 分岐点での電流の保存（\(I_{in} = I_{out}\)）は、電流の分布を追跡する上で必須です。
    2. 電圧則（第二法則）: 任意の閉路での電圧降下の和が0（または、2点間の電位差は経路によらない）という法則は、(2)でAG間の電圧を計算する際の論理的根拠となります。
    3. オームの法則: 各抵抗での電圧降下 (\(V=ri\)) や、回路全体の合成抵抗 (\(R_{AG} = V_{AG}/I\)) を計算する際の基本ツールです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 立方体の異なる2点間の合成抵抗: この問題では対角線AG間でしたが、同じ辺上の2点（例: AB間）や、同じ面の対角線上にある2点（例: AC間）の合成抵抗を求める問題もあります。それぞれ対称性の種類が異なるため、どこが等電位点になるか、あるいはどの辺の電流が等しくなるかを慎重に見極める必要があります。
  • 正四面体や正八面体などの抵抗回路: 立方体以外の正多面体の頂点と辺に抵抗を配置した回路も、高い対称性を持っており、同様のアプローチで解くことができます。
  • 無限に続く格子状の抵抗回路: 無限に広がる抵抗の網目（グリッド）の中心的な2点間の合成抵抗を求める問題。これも対称性を巧みに利用して解くことができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず対称性を探す: 複雑な回路に遭遇したら、まず図形を回転させたり反転させたりして、対称性がないかを探します。特に、電流の入口と出口を結ぶ線や、その線に垂直な面に関する対称性が重要です。
  2. 等電位点を見つける: 対称性から、電位が等しくなりそうな点のグループを探します。「入口からの電気的な距離が同じ点」は、等電位である可能性が高いです。
  3. 回路を書き直す（リドロー）: 等電位点を見つけたら、それらの点を一つの点にまとめて回路図を書き直してみます。多くの場合、複雑な立体回路が、単純な並列・直列の組み合わせに変換されます。
  4. 対称性が使えない場合はキルヒホッフの法則へ: どうしても対称性が見いだせない、あるいは対称性が低い回路の場合は、変数（未知の電流）を適切に設定し、キルヒホッフの法則に基づいて連立方程式を立てるという基本に立ち返ります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 対称性の誤認:
  • 誤解: 例えば、点Bから見て、その先のCとFはどちらもGへの経路の途中にあるから等価だろう、と安易に考えてしまう。
  • 対策: 対称性は厳密に判断する必要があります。点A（入口）と点G（出口）を固定したとき、回路全体のどの部分とどの部分が入れ替え可能かを考えます。例えば、A-G軸周りに120度回転させると、B→D→E→Bと点が入れ替わり、回路は不変です。このような操作で移りあう点が等価な点です。
• 電流の計算ミス:
  • 誤解: 分岐や合流を追っていくうちに、どの電流を足し合わせるのか、あるいは何等分するのかを混乱してしまう。
  • 対策: 各分岐点・合流点で、キルヒホッフの第一法則が成り立っているかを常に確認しながら計算を進める。例えば、(1)の結論が出た後、G点に流れ込む電流の和が本当に\(I\)になるか検算する習慣をつける。
• 等電位点の接続ミス:
  • 誤解: 等電位点を見つけて回路を書き直す際に、どの抵抗がどの点間に接続されるのかを間違えてしまう。
  • 対策: 元の回路図の各抵抗の両端がどの頂点に繋がっているかを一つ一つ確認しながら、簡略化した図に丁寧にマッピングしていく。例えば、抵抗BCはBとCを繋いでいるので、簡略図では点P(B,D,E)と点Q(C,F,H)を繋ぐ6本のうちの1本になる、というように確認します。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電位による色分け（高さのイメージ）: 回路図を立体的な地形図のようにイメージします。入口Aが最も電位が高く（標高が高い）、出口Gが最も低い。等電位点（B,D,EやC,F,H）は、同じ高さの「等高線」上にある点と見なせます。電圧降下は、坂道を下ることに相当します。このイメージを持つと、A→Gへの電圧降下が経路によらないことや、等電位点の意味が直感的に理解できます。
  • 回路のリドロー（書き直し）: 別解で示したように、等電位点を特定した後に回路図を平面に書き直す作業は、この問題の理解を深める上で非常に有効です。複雑な立体構造を、見慣れた直列・並列の図に変換することで、問題の本質が明確になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 電流の矢印を書き込む: (1)で各辺の電流を求めたら、その大きさと向き（A→G方向）を回路図に矢印とともに書き込む。これにより、(2)で電圧降下を計算する際に、どの電流の値を使えばよいかが一目瞭然になります。
  • 等電位点をマークする: 対称性から等電位だと判断した点（B,D,EやC,F,H）を、同じ色や記号でマークしておくと、思考が整理され、回路の簡略化の際にミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 対称性の原理:
  • 選定理由: キルヒホッフの法則を直接適用すると、未知数が多く計算が破綻するため。問題を解くための最も効率的な「ショートカット」として、まず対称性の利用を考えます。
  • 適用根拠: 「原因の対称性は結果の対称性に反映される」という物理学の普遍的な原理（キュリーの原理）に基づいています。回路の幾何学的対称性（原因）が、電流分布や電位の対称性（結果）を生み出します。
• キルヒホッフの法則:
  • 選定理由: 対称性によって電流分布の大枠を掴んだ後、各分岐・合流点での電流の具体的な値を決定したり、2点間の電圧を計算したりするための、電気回路における最も基本的な法則として使用します。
  • 適用根拠: それぞれ電荷保存則（第一法則）とエネルギー保存則（第二法則）という、物理学の根幹をなす保存則に基づいています。
• オームの法則:
  • 選定理由: 電流と抵抗値から電圧降下を計算したり、全体の電圧と電流から合成抵抗を求めたりと、電気回路の3つの基本量（V, I, R）を相互に変換するための必須ツールとして使用します。
  • 適用根拠: 多くの導体で実験的に成り立つ、電圧と電流の比例関係を記述した基本法則です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電流分布の決定:
   • 戦略: 回路の対称性に着目し、電流が均等に分岐・合流すると仮定して計算する。
   • フロー: ①入口Aでの3等分を計算 → ②中間点(B,D,E)での2等分を計算 → ③合流点(C,F,H)での合流を計算 → ④出口Gでの合流が全電流\(I\)になるか検算。
2. (2) 全体電圧の計算:
   • 戦略: 任意の経路を選び、各部分の電圧降下を足し合わせる。
   • フロー: ①計算しやすい経路を選択 (例: A→D→H→G) → ②各辺の電流値を(1)の結果から引用 → ③各辺の電圧降下をオームの法則で計算 (\(ri\)) → ④選んだ経路上の電圧降下をすべて合計する。
3. (3) 合成抵抗の計算:
   • 戦略: 回路全体を一つの抵抗とみなし、オームの法則を適用する。
   • フロー: ①回路全体のオームの法則 (\(V_{AG} = R_{AG} I\)) を立てる → ②(2)で求めた\(V_{AG}\)を代入 → ③式を\(R_{AG}\)について解く。
   • (別解フロー): ①等電位点を見つける (B,D,EとC,F,H) → ②回路を3つの並列抵抗ブロックに簡略化 → ③各ブロックの合成抵抗を計算 (\(r/3, r/6, r/3\)) → ④それらを直列合成して全体の抵抗を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の計算を丁寧に: この問題は分数の足し算が頻出します。特に(2)の電圧計算では \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\) のような計算が出てくるため、通分を正確に行うことが重要です。
• 文字と数字の分離: \(V_{AG} = (\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3})rI\) のように、数値部分（係数）と文字部分 (\(rI\)) を分けて計算すると、見通しが良くなり、計算ミスを減らせます。
• 検算の習慣: (2)で経路を一つ選んで電圧を計算した後、時間があれば別の経路でも計算してみて、同じ結果になるか確認する。別解の「等電位点」アプローチで(3)を解いた場合、(1)〜(3)の順で解いた結果と一致するかを確認する。複数の方法で同じ答えが出れば、その答えは非常に確からしいと言えます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 電流: 最も太い電流が\(I/3\)、最も細い電流が\(I/6\)と、全電流\(I\)より小さくなっており、物理的に妥当です。
  • (3) 合成抵抗: \(R_{AG} = \frac{5}{6}r \approx 0.83r\)。12本もの抵抗を組み合わせた結果、1本の抵抗\(r\)よりも抵抗値が小さくなっています。これは、電流が複数の経路に分かれる（並列接続の要素を含む）ため、全体として流れやすくなっていることを意味し、直感的に妥当な結果です。もし合成抵抗が\(r\)より大きくなったら、計算ミスを疑うべきです。
• 別解との比較:
  • この問題では、「電流分布を追う方法」と「等電位点で回路を簡略化する方法」という2つの異なるアプローチで合成抵抗を求めることができました。両者で得られた結果が \(\frac{5}{6}r\) で完全に一致したことは、それぞれの解法の正しさと、物理的な理解の確かさを強力に裏付けます。対称性の高い問題では、このように複数の視点からアプローチできることが多く、良い検証手段となります。

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