「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 23】Step 2

Step 2

293 ヤングの実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ヤングの干渉実験における光路差の厳密な計算と近似」です。以前の類題では \(\sin\theta \approx \tan\theta\) という近似を用いましたが、本問では三平方の定理と近似式 \(\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{1}{2}y\) を用いて、より丁寧に光路差を導出するプロセスを学習します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
スリット\(S_1\)からスクリーン上の点Pまでの距離\(S_1P\)を、図形情報から求める問題です。図に補助線を引いて直角三角形を作り、三平方の定理を適用することで、\(S_1P\)を\(L, d, x\)を用いて表します。
この設問における重要なポイント

• 図から計算に必要な直角三角形を正しく見つけ出す。
• 直角三角形の各辺の長さを、与えられた文字(\(L, d, x\))で正確に表現する。
• 三平方の定理を正しく適用する。

具体的な解説と立式
図のように、スリット\(S_1\)からスクリーンに垂線を引き、その足を\(H_1\)とします。すると、直角三角形\(\triangle S_1H_1P\)ができます。
この直角三角形の各辺の長さは以下のようになります。

• 底辺 \(S_1H_1\): スリットとスクリーンの距離なので、\(S_1H_1 = L\)。
• 高さ \(H_1P\): 点Pの座標は\(x\)、点\(S_1\)のy座標に相当する位置は\(d/2\)なので、その差は \(H_1P = x – \frac{d}{2}\)。

三平方の定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) を\(\triangle S_1H_1P\)に適用すると、斜辺\(S_1P\)の長さは次のように求められます。
$$ (S_1P)^2 = (S_1H_1)^2 + (H_1P)^2 $$
$$ (S_1P)^2 = L^2 + (x – \frac{d}{2})^2 $$
したがって、\(S_1P\)は次のようになります。
$$ S_1P = \sqrt{L^2 + (x – \frac{d}{2})^2} $$

この設問は、文字式を導出するものであり、具体的な数値計算は不要です。

スリット\(S_1\)から点Pまでのまっすぐな距離を求めます。そのために、図の中に直角三角形を作ります。\(S_1\)からスクリーンにまっすぐ垂線を引くと、底辺の長さが\(L\)、高さが「\(x\)から\(d/2\)を引いた長さ」の直角三角形ができます。この三角形に三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使うと、斜辺の長さ、すなわち\(S_1P\)の長さを式で表すことができます。

三平方の定理を用いて、\(S_1P\)の長さを \(L, d, x\) を用いて厳密に \(\sqrt{L^2 + (x – \frac{d}{2})^2}\) と表すことができました。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた\(S_1P\)の厳密な式を、問題文で与えられた近似式 \(\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{1}{2}y\) が使える形に変形し、実際に近似計算を行う問題です。まず、平方根の中の\(L^2\)を外に出すことで、\(\sqrt{1+…}\) の形を作ります。
この設問における重要なポイント

• 式を変形して、指定された近似式が適用できる形を作り出す。
• 近似式における\(y\)が、自分の式ではどの部分に対応するのかを正確に見抜く。
• 近似を適用し、式を整理する。

具体的な解説と立式
(1)で求めた式は \(S_1P = \sqrt{L^2 + (x – \frac{d}{2})^2}\) です。
この式の平方根の中から\(L^2\)を括りだします。
$$ S_1P = \sqrt{L^2 \left\{ 1 + \frac{1}{L^2}(x – \frac{d}{2})^2 \right\}} $$
$$ S_1P = L \sqrt{1 + \frac{1}{L^2}(x – \frac{d}{2})^2} $$
この式は、問題文の \(S_1P = L\sqrt{1+ア}\) の形と一致します。したがって、空欄アに入る式は \(\frac{1}{L^2}(x – \frac{d}{2})^2\) です。

次に、近似計算を行います。
近似式 \(\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{1}{2}y\) において、\(y\)に相当するのは \(\frac{1}{L^2}(x – \frac{d}{2})^2\) です。
ヤングの実験の条件 \(d \ll L, x \ll L\) より、\(y\)の値は1に比べて非常に小さい（\(|y| \ll 1\)）ため、この近似式を適用できます。
$$
\begin{aligned}
S_1P &= L \sqrt{1 + \frac{1}{L^2}(x – \frac{d}{2})^2} \\
&\approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{L^2}(x – \frac{d}{2})^2 \right\} \\
&= L \left\{ 1 + \frac{1}{2L^2}(x – \frac{d}{2})^2 \right\}
\end{aligned}
$$

この設問は、文字式を導出・変形するものであり、具体的な数値計算は不要です。

(1)で求めた式はルート（平方根）が入っていて複雑なので、簡単な式に「近似」します。そのために、問題文で与えられたお助けツール「\(\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{1}{2}y\)」を使います。まず、(1)の式を無理やり \(\sqrt{1+…}\) の形にするために、ルートの中から\(L^2\)を外に出します。すると、アの部分が特定できます。次に、このアの部分を\(y\)とみなして、お助けツールを適用します。すると、複雑だったルートの式が、簡単な足し算の式に変わります。

空欄アは \(\frac{1}{L^2}(x – \frac{d}{2})^2\) であり、近似後の\(S_1P\)は \(L \left\{ 1 + \frac{1}{2L^2}(x – \frac{d}{2})^2 \right\}\) となります。複雑な平方根の計算を、簡単な一次式で近似する強力な手法を正しく適用できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)(2)と全く同じ手順で、もう一方の経路長\(S_2P\)を求め、最終的に光路差 \(S_2P – S_1P\) を計算する問題です。\(S_1P\)の計算における \(x – \frac{d}{2}\) の部分が、\(S_2P\)では \(x + \frac{d}{2}\) に変わるだけです。
この設問における重要なポイント

• 対称性を利用して、\(S_2P\)の近似式を素早く導出する。
• 2つの近似式の差を計算する。展開と整理を正確に行う。

具体的な解説と立式
\(S_2P\)の導出
(1)と同様に、\(\triangle S_2H_2P\)（\(H_2\)は\(S_2\)からスクリーンへの垂線の足）に三平方の定理を適用します。
底辺は\(L\)、高さは \(x – (-\frac{d}{2}) = x + \frac{d}{2}\) となります。
$$ S_2P = \sqrt{L^2 + (x + \frac{d}{2})^2} $$
(2)と同様に近似式を適用します。
$$
\begin{aligned}
S_2P &= L \sqrt{1 + \frac{1}{L^2}(x + \frac{d}{2})^2} \\
&\approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2L^2}(x + \frac{d}{2})^2 \right\}
\end{aligned}
$$

光路差 \(S_2P – S_1P\) の計算
上で求めた\(S_2P\)の近似式と、(2)で求めた\(S_1P\)の近似式の差を計算します。
$$ S_2P – S_1P \approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2L^2}(x + \frac{d}{2})^2 \right\} – L \left\{ 1 + \frac{1}{2L^2}(x – \frac{d}{2})^2 \right\} $$

光路差の式を計算します。
$$
\begin{aligned}
S_2P – S_1P &\approx L \left\{ 1 + \frac{1}{2L^2}(x + \frac{d}{2})^2 – 1 – \frac{1}{2L^2}(x – \frac{d}{2})^2 \right\} \\[2.0ex]&= L \cdot \frac{1}{2L^2} \left\{ (x + \frac{d}{2})^2 – (x – \frac{d}{2})^2 \right\} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2L} \left\{ (x^2 + xd + \frac{d^2}{4}) – (x^2 – xd + \frac{d^2}{4}) \right\} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2L} (2xd) \\[2.0ex]&= \frac{xd}{L}
\end{aligned}
$$

\(S_2P\)の長さも、\(S_1P\)と全く同じ方法で計算できます。違いは、高さが「\(x + d/2\)」になる点だけです。同じように近似計算をすると、\(S_2P\)の簡単な式が得られます。光路差は、この2つの式の引き算（\(S_2P – S_1P\)）です。実際に引き算してみると、多くの項が打ち消し合って消えていき、最終的に \(\frac{xd}{L}\) という非常にシンプルな結果になります。

\(S_2P\)の近似式は \(L \left\{ 1 + \frac{1}{2L^2}(x + \frac{d}{2})^2 \right\}\) であり、光路差は \(\frac{xd}{L}\) となります。この光路差の表式は、\(\sin\theta \approx \tan\theta\) を用いた簡易的な方法で得られる結果と一致しており、今回のより丁寧な計算の妥当性が確認できます。

問(4)

思考の道筋とポイント
光が強め合う（明線ができる）点の\(x\)座標を求める問題です。強め合いの条件は「光路差が波長の整数倍」です。(3)で求めた光路差の式をこれに適用します。
この設問における重要なポイント

• 強め合いの干渉条件（光路差 = \(m\lambda\)）を正しく適用する。
• 原点Oの上下に対称に縞模様ができるため、位置\(x\)は正負両方の値をとることを考慮する。

具体的な解説と立式
光が強め合う条件は、2つの光の光路差が、波長\(\lambda\)の整数倍になるときです。
$$ S_2P – S_1P = m\lambda \quad (m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) $$
(3)で求めた光路差 \(\frac{xd}{L}\) を代入します。
$$ \frac{xd}{L} = m\lambda $$
この式を、求めたい\(x\)について解きます。
$$ x = \frac{m\lambda L}{d} $$
問題文では\(m\)を \(m=0, 1, 2, \dots\) と指定しているので、原点Oの上下にできる縞を表現するために、\(x\)座標は正負両方の値をとるとして、\(\pm\)をつけます。
$$ x = \pm \frac{m\lambda L}{d} \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$

この設問は、条件式を解いて文字式を導出するものであり、具体的な数値計算は不要です。

明るい線が見える条件は、「光の距離の差 = 波長の整数倍」です。(3)で計算した「距離の差」は \(\frac{xd}{L}\) でした。したがって、「\(\frac{xd}{L} = m\lambda\)」という式が成り立ちます。これを\(x\)について解けば、明るい線が現れる場所の座標がわかります。縞模様は中心Oの上側にも下側にもできるので、答えにはプラスマイナス(\(\pm\))をつけます。

強め合う点の\(x\)座標は \(x = \pm \frac{m\lambda L}{d}\) となります。\(m=0\)のとき\(x=0\)となり、スクリーン中央が明るくなることが示され、物理的に妥当な結果です。

問(5)

思考の道筋とポイント
隣り合う明るい縞（明線）の間隔\(\Delta x\)を求める問題です。(4)で求めた明線の位置の式を使い、\(m\)番目の明線の位置と\((m+1)\)番目の明線の位置の差を計算します。
この設問における重要なポイント

• 隣り合う縞の間隔は、次数が1違う縞の位置の差で計算できる。

具体的な解説と立式
(4)の結果より、\(m\)番目の明線の位置\(x_m\)は次のように表せます。（正の側のみ考えれば十分です）
$$ x_m = \frac{m\lambda L}{d} $$
同様に、その隣の\((m+1)\)番目の明線の位置\(x_{m+1}\)は、
$$ x_{m+1} = \frac{(m+1)\lambda L}{d} $$
隣り合う明線の間隔\(\Delta x\)は、これらの差として計算できます。
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m \\[2.0ex]&= \frac{(m+1)\lambda L}{d} – \frac{m\lambda L}{d} \\[2.0ex]&= \frac{(m+1 – m)\lambda L}{d} \\[2.0ex]&= \frac{\lambda L}{d}
\end{aligned}
$$

明るい縞の間隔を求めます。(4)で、\(m\)番目の明るい縞の位置がわかりました。その一つ隣、つまり\((m+1)\)番目の明るい縞の位置も同じ式で表せます。この2つの位置を引き算すれば、縞の間隔がわかります。計算すると、途中の\(m\)が消えて、間隔は場所によらず一定になることがわかります。

明線間隔\(\Delta x\)は \(\frac{\lambda L}{d}\) となります。この結果は、簡易的な方法で求めたヤングの実験の明線間隔と完全に一致し、計算の正しさが裏付けられます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路差の導出（三平方の定理と近似計算）:
  • 核心: ヤングの実験における光路差を、より厳密な方法で導出するプロセスそのものがこの問題の核心です。この一連の流れを理解することが最重要となります。
  • 理解のポイント:
    • ステップ1: 三平方の定理で経路長 \(S_1P\), \(S_2P\) を正確に立式する。
    • ステップ2: 近似式 \(\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{1}{2}y\) が使えるように、\(L\)で括りだして式を変形する。
    • ステップ3: 近似を適用して平方根を外し、経路長を簡単な多項式で表す。
    • ステップ4: 経路長の差を計算し、最終的な光路差 \(\frac{xd}{L}\) を得る。この結果が簡易法と一致することの確認も重要。
• 強め合いの干渉条件:
  • 核心: 導出した光路差に対して、基本的な干渉条件「光路差 = \(m\lambda\)」を適用することです。
  • 理解のポイント:
    • 光路差: (3)で求めた \(\frac{xd}{L}\) を用いる。
    • 位相変化: この実験では、2つの光はスリットを通過するだけで、反射は起こらないため、位相の変化は考慮する必要がない。
    • 強め合いの条件: したがって、光路差が波長の整数倍であれば、そのまま同位相で強め合う。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 近似を用いない問題: もし近似を用いずに干渉条件を問われたら、\(\sqrt{L^2 + (x + \frac{d}{2})^2} – \sqrt{L^2 + (x – \frac{d}{2})^2} = m\lambda\) という、解くのが困難な式になります。近似計算のありがたみを理解するための比較として出題されることがあります。
  • 近似の次数を上げる問題: より精度の高い近似 \(\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{1}{2}y – \frac{1}{8}y^2\) などを使って計算する問題。計算は複雑になりますが、基本的な考え方は同じです。
  • 水中でのヤング実験: 装置全体が屈折率\(n\)の液体で満たされている場合。光路差は\(n\)倍の \(\frac{nxd}{L}\) となり、干渉条件は \(\frac{nxd}{L} = m\lambda\) となります。結果として、明線間隔は \(\frac{1}{n}\) 倍に狭まります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 導出方法の確認: 問題文が、簡易的な方法（\(\sin\theta \approx \tan\theta\)）を想定しているのか、本問のような厳密な近似計算を求めているのかを読み取ります。「三平方の定理」「近似式」といったキーワードがあれば、本問のパターンです。
  2. 座標設定の確認: どこが原点で、どちらが正の向きかを正確に把握します。これにより、経路長を計算する際の辺の長さ（例: \(x – d/2\)）の符号が正しく決まります。
  3. 近似の適用範囲: \(|y| \ll 1\) という条件が満たされているか（ヤングの実験では通常満たされます）を意識します。この条件が、なぜ \(d \ll L, x \ll L\) から言えるのかを理解しておくことが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 近似式の適用ミス:
  • 誤解: (2)で、\(S_1P = \sqrt{L^2 + (x – \frac{d}{2})^2}\) を、\(L + \sqrt{(x – \frac{d}{2})^2}\) のように、ルートを安易に分割してしまう。
  • 対策: \(\sqrt{A+B} \neq \sqrt{A} + \sqrt{B}\) という数学の基本ルールを再確認しましょう。必ず、\(L^2\)で括りだして \(\sqrt{1+y}\) の形を作ってから近似を適用する、という手順を守ります。
• 光路差の計算ミス:
  • 誤解: (3)の \(S_2P – S_1P\) の計算で、\((x + \frac{d}{2})^2 – (x – \frac{d}{2})^2\) の展開を間違える。
  • 対策: \(A^2 – B^2 = (A+B)(A-B)\) の因数分解公式を使うと、より速く安全に計算できます。
    \(A = x + d/2, B = x – d/2\) とすると、
    \(A+B = 2x\)
    \(A-B = d\)
    よって、\((A+B)(A-B) = 2xd\) となり、計算ミスが減ります。
• \(m\)の扱いの混同:
  • 誤解: (4)で、\(m\)は正の整数のみと考え、\(x\)が負になる場合を見落とす。
  • 対策: 干渉縞はスクリーン中央Oに対して上下対称に現れることをイメージしましょう。したがって、位置\(x\)は正負両方の値をとるため、\(\pm\) をつけるか、\(m\)を \(0, \pm 1, \pm 2, \dots\) のように定義する必要があります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 三平方の定理:
  • 選定理由: 2点間の直線距離を、その点の座標（直交成分）から計算するための、最も基本的で厳密な幾何学の法則だからです。光の経路長を正確に表現するために、まずこの定理から出発します。
  • 適用根拠: 光が直進するという前提と、デカルト座標系における距離の定義そのものです。
• 近似式 \(\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{1}{2}y\):
  • 選定理由: 三平方の定理で得られた平方根の式は、そのままでは差の計算が非常に困難です。そこで、物理的な条件（\(d \ll L, x \ll L\)）を利用して、この複雑な式を扱いやすい多項式（一次式）に変換するために、この近似式が選ばれます。
  • 適用根拠: この近似式は、関数 \(f(y) = (1+y)^{1/2}\) を \(y=0\) の周りでテイラー展開（高校範囲外）したときの一次までの項と一致します。高校物理では、これは二項定理 \((1+y)^\alpha \approx 1+\alpha y\) の特殊な場合として与えられます。\(|y| \ll 1\) のときに高次の項が無視できるほど小さくなるため、この近似が成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式の整理を丁寧に行う: (2)や(3)の計算過程は、文字が多くて混乱しがちです。
  \(S_2P – S_1P \approx \frac{1}{2L} \{ (x+\frac{d}{2})^2 – (x-\frac{d}{2})^2 \}\)
  のように、共通の係数 \(\frac{1}{2L}\) を括りだしてから中括弧の中を計算するなど、式全体の見通しを良くする工夫をしましょう。
• 対称性を意識する: \(S_1P\)の計算で \(x – d/2\) が出てきたら、\(S_2P\)では \(x + d/2\) になるだろう、と予測できます。これにより、計算を省略したり、検算したりすることができます。
• 因数分解公式の活用: 前述の通り、\(A^2-B^2 = (A+B)(A-B)\) は、この問題の光路差計算において非常に有効です。暗算で展開しようとせず、一度この公式を適用する癖をつけると、符号ミスなどを劇的に減らせます。
• 結果の物理的意味を考える: 最終的に得られた光路差 \(\frac{xd}{L}\) が、簡易的な方法の結果と一致することを確認する作業は、良い検算になります。もし結果が異なれば、途中の計算過程に間違いがあると気づくことができます。

294 回折格子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回折格子による光の干渉」です。ヤングの実験が2つのスリットによる干渉だったのに対し、回折格子は非常に多くのスリット（溝）による多光束の干渉を扱います。しかし、強め合う条件式はヤングの実験と全く同じ形になるため、基本的な考え方は共通しています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
格子定数\(d\)を求める問題です。格子定数とは、回折格子に刻まれた隣り合う溝（スリット）の中心間の距離を指します。「1.0mmあたり250本」という情報から、1本あたりの間隔を計算します。単位の換算に注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 格子定数の定義を理解している（全長 ÷ 本数）。
• 単位をSI基本単位（メートル）に正しく変換できる。

具体的な解説と立式
格子定数\(d\)は、回折格子の単位長さあたりの溝の本数の逆数で与えられます。
問題文より、\(1.0 \text{ mm}\) の長さに250本の溝があるので、格子定数\(d\)は次のようになります。
$$ d = \frac{1.0 \text{ mm}}{250 \text{ 本}} $$
計算する前に、単位をメートルに変換します。
\(1.0 \text{ mm} = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}\)
したがって、
$$ d = \frac{1.0 \times 10^{-3} \text{ [m]}}{250} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{1.0 \times 10^{-3}}{250} \\[2.0ex]&= \frac{1.0 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^2} \\[2.0ex]&= 0.4 \times 10^{-5} \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^{-6} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

「格子定数」とは、溝1本あたりの幅（間隔）のことです。「1.0mmの長さに250本の溝がぎっしり詰まっている」ので、1本あたりの間隔を求めるには、全長を本数で割り算します。つまり、「\(1.0 \text{ mm} \div 250\text{ 本}\)」を計算します。計算しやすいように、1.0mmをメートルに直してから計算しましょう。

格子定数は \(4.0 \times 10^{-6} \text{ m}\) となります。これは \(4.0 \mu \text{m}\) であり、回折格子の格子定数として物理的に妥当な値です。

問(2)

思考の道筋とポイント
4次(\(m=4\))の明線が観測される角度\(\theta\)を求める問題です。回折格子の干渉条件式 \(d \sin\theta = m\lambda\) に、(1)で求めた格子定数\(d\)、与えられた波長\(\lambda\)、そして次数\(m=4\)を代入して、\(\sin\theta\)の値を求め、そこから角度\(\theta\)を算出します。
この設問における重要なポイント

• 回折格子の強め合いの条件式 \(d \sin\theta = m\lambda\) を正しく使える。
• 与えられた数値を正確に代入し、\(\sin\theta\) の値を計算できる。
• \(\sin\theta\) の値から、対応する角度\(\theta\)を求めることができる。

具体的な解説と立式
回折格子によって光が強め合う（明線ができる）条件は、隣り合うスリットからの光の光路差 \(d \sin\theta\) が、波長\(\lambda\)の整数倍になるときです。
$$ d \sin\theta = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
この問題では、4次(\(m=4\))の明線を考えます。したがって、条件式は次のようになります。
$$ d \sin\theta = 4\lambda $$
この式を \(\sin\theta\) について解くと、
$$ \sin\theta = \frac{4\lambda}{d} $$
この式に、(1)で求めた\(d\)と、問題文で与えられた\(\lambda\)の値を代入します。

与えられた値を代入して \(\sin\theta\) を計算します。
代入する値は、
格子定数: \(d = 4.0 \times 10^{-6} \text{ m}\)
波長: \(\lambda = 5.0 \times 10^{-7} \text{ m}\)
次数: \(m=4\)

これらの値を \(\sin\theta\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\sin\theta &= \frac{4 \times (5.0 \times 10^{-7})}{4.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]&= \frac{20 \times 10^{-7}}{4.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]&= 5.0 \times 10^{-1} \\[2.0ex]&= 0.5
\end{aligned}
$$
\(\sin\theta = 0.5\) となる角度\(\theta\)は、\(30^\circ\)です。

明るい線が見える方向の角度\(\theta\)を求めるには、公式「\(d \sin\theta = m\lambda\)」を使います。この問題では4番目の明るい線なので、\(m=4\)です。この式に、(1)で求めた\(d\)の値と、問題文にある\(\lambda\)の値を代入して、\(\sin\theta\)を計算します。計算すると\(\sin\theta = 0.5\)となるので、これを満たす角度\(\theta\)は\(30^\circ\)だとわかります。

4次の明線が観測される角度は\(30^\circ\)です。計算結果も妥当であり、干渉条件を正しく適用できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
スクリーン中央O付近での、隣り合う明るい点の間隔を求める問題です。「中央O付近」という記述から、角度\(\theta\)が非常に小さいとみなし、近似式 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を使うことができます。ヤングの実験と同様に、\(\tan\theta\)をスクリーン上の位置\(x\)と距離\(L\)で表し、干渉条件式と組み合わせることで、明線の間隔を求めます。
この設問における重要なポイント

• 微小角の近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を適用する。
• \(\tan\theta = x/L\) の関係を用いる。
• 隣り合う明線の間隔は、次数が1違う明線の位置の差で計算できる。

具体的な解説と立式
スクリーン中央O付近では、角度\(\theta\)が非常に小さいと考えられるため、近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) が成り立ちます。
また、スクリーン上の中心Oから距離\(x_m\)にある\(m\)次の明線について、\(\tan\theta = \frac{x_m}{L}\) と表せます。
これらを干渉条件式 \(d \sin\theta = m\lambda\) に適用すると、
$$ d \sin\theta \approx d \tan\theta = d \frac{x_m}{L} $$
よって、
$$ d \frac{x_m}{L} = m\lambda $$
この式を\(x_m\)について解くと、\(m\)次の明線の位置は、
$$ x_m = \frac{m\lambda L}{d} $$
隣り合う明るい点の間隔\(\Delta x\)は、\(m\)次の明線と\((m+1)\)次の明線の位置の差で求められます。
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m = \frac{(m+1)\lambda L}{d} – \frac{m\lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d} $$
この式に、与えられた数値を代入して\(\Delta x\)を計算します。

与えられた値を代入して \(\Delta x\) を計算します。
代入する値は、
波長: \(\lambda = 5.0 \times 10^{-7} \text{ m}\)
スクリーンまでの距離: \(L = 2.0 \text{ m}\)
格子定数: \(d = 4.0 \times 10^{-6} \text{ m}\)

これらの値を \(\Delta x\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{\lambda L}{d} \\[2.0ex]&= \frac{(5.0 \times 10^{-7}) \times 2.0}{4.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]&= \frac{10 \times 10^{-7}}{4.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]&= 2.5 \times 10^{-1} \\[2.0ex]&= 0.25 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

ヤングの実験と同じように、明るい点の間隔を求めます。スクリーンの中央付近では、角度\(\theta\)が小さいので \(\sin\theta\) は \(\tan\theta\) とほぼ同じとみなせます。また、\(\tan\theta\) は図形から \(x/L\) と表せます。これらを公式 \(d \sin\theta = m\lambda\) に当てはめると、明るい点の間隔\(\Delta x\)は \(\frac{\lambda L}{d}\) で計算できることがわかります。この式に、問題文や(1)で求めた数値を代入して計算します。

スクリーン中央付近での明るい点の間隔は \(0.25 \text{ m}\) となります。これは \(25 \text{ cm}\) であり、実験装置のスケールから考えて妥当な値です。

問(4)

思考の道筋とポイント
回折格子に白色光を当てたときに見える光の色について答える問題です。白色光が様々な色の光（つまり、様々な波長の光）の集まりであることを理解し、干渉条件式 \(d \sin\theta = m\lambda\) が波長\(\lambda\)にどう依存するかを考察します。
この設問における重要なポイント

• 白色光は、様々な波長の光が混ざったものである。
• 0次(\(m=0\))の回折光の特徴を理解する。
• 1次(\(m=1\))の回折光が、波長によって分光されることを理解する。
• 可視光の波長の大小関係（赤色 > 紫色）を知っている。

具体的な解説と立式
0次の回折光 (\(m=0\))
干渉条件式 \(d \sin\theta = m\lambda\) に \(m=0\) を代入すると、
$$ d \sin\theta = 0 \cdot \lambda = 0 $$
$$ \sin\theta = 0 \quad \rightarrow \quad \theta = 0^\circ $$
これは、波長\(\lambda\)の値に関わらず、すべての色の光が\(\theta=0\)、つまり回折格子の正面（中央O）に集まることを意味します。様々な色の光が混ざると白色に見えるため、0次の回折光は白色になります。

1次の回折光 (\(m=1\))
\(m=1\) のときの干渉条件は、
$$ d \sin\theta = \lambda $$
この式を \(\sin\theta\) について解くと、
$$ \sin\theta = \frac{\lambda}{d} $$
この式から、回折される角度\(\theta\)は、波長\(\lambda\)に依存することがわかります。
可視光の波長は、赤色が最も長く、紫色が最も短いです。（\(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{紫}}\)）
したがって、

• 波長が長い赤色の光ほど、\(\sin\theta\)が大きくなり、より大きな角度\(\theta\)で回折されます（中央から遠い位置に見える）。
• 波長が短い紫色の光ほど、\(\sin\theta\)が小さくなり、より小さな角度\(\theta\)で回折されます（中央に近い位置に見える）。

よって、1次の回折光を見たとき、スクリーンの中央に近いのは紫色の光です。

この設問は、定性的な考察を問うものであり、具体的な計算は不要です。

白色光は虹の色の光がすべて混ざったものです。

• 0次（真ん中）の光: 公式 \(d \sin\theta = m\lambda\) で \(m=0\) とすると、波長\(\lambda\)に関係なく\(\theta=0\)となります。つまり、すべての色の光が真ん中の一点に集まります。色が全部混ざるので、光は白く見えます。
• 1次（真ん中の隣）の光: \(m=1\) の場合、公式は \(d \sin\theta = \lambda\) となります。これを見ると、波長\(\lambda\)が短いほど、角度\(\theta\)も小さくなることがわかります。虹の七色では、紫が一番波長が短く、赤が一番長いです。したがって、角度が一番小さい、つまり真ん中に一番近い場所に見えるのは紫色の光です。

0次の回脱光は白色、1次の回折光で中央に近いのは紫色、という結果が得られました。これは回折格子が光を波長ごとに分ける「分光」作用を持つことを示しており、物理的に正しい現象です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回折格子の干渉条件 (\(d \sin\theta = m\lambda\)):
  • 核心: 回折格子の問題を解く上での絶対的な基礎となる公式です。隣り合うスリット（溝）を通過した光の経路差（\(d \sin\theta\)）が、波長の整数倍（\(m\lambda\)）になるときに、すべてのスリットからの光が強め合う（明線となる）という原理を数式化したものです。
  • 理解のポイント:
    • \(d\): 格子定数（隣り合うスリットの間隔）。
    • \(\theta\): 入射方向に対する回折光の角度。
    • \(m\): 次数と呼ばれる整数（\(m=0\)が中央の0次光、\(m=1\)が1次光、…）。
    • \(\lambda\): 光の波長。

    この式の各文字が何を意味し、どのように求められるかを理解することが全てです。

• 格子定数の計算:
  • 核心: 問題文で与えられる「単位長さあたりの溝の本数」から、格子定数\(d\)を正しく計算できること。
  • 理解のポイント: 格子定数\(d\)は「溝1本あたりの間隔」なので、「全長 ÷ 本数」で計算します。単位換算（特にmm→m）を忘れないことが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 観測できる最大次数を求める問題: 干渉条件 \(d \sin\theta = m\lambda\) において、\(\sin\theta\) の最大値は1です（\(\theta=90^\circ\)のとき）。したがって、観測可能な最大の次数\(m_{\text{max}}\)は、\(d \sin 90^\circ \ge m_{\text{max}}\lambda\)、すなわち \(m_{\text{max}} \le d/\lambda\) を満たす最大の整数として求められます。
  • スペクトルの重なりを問う問題: 例えば、白色光を当てたとき、2次のスペクトル（\(m=2\)）の赤色光と、3次のスペクトル（\(m=3\)）の紫色光のどちらがより大きな角度で回折されるか、といった問題。それぞれの条件式 \(d \sin\theta_1 = 2\lambda_{\text{赤}}\) と \(d \sin\theta_2 = 3\lambda_{\text{紫}}\) を立て、\(\sin\theta\) の値を比較します。
  • 斜め入射の問題: 光が回折格子に垂直ではなく、角度\(\alpha\)で斜めに入射する場合。光路差の式が \(d(\sin\theta – \sin\alpha) = m\lambda\) のように変化します。図を描いて光路差を正しく計算する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 格子定数\(d\)の計算: まず、問題文の情報（例: 1mmに500本）から、格子定数\(d\)をSI単位（m）で計算します。これが全ての計算の基礎になります。
  2. 干渉条件式の立式: 基本公式 \(d \sin\theta = m\lambda\) を書き出します。
  3. 変数の特定: 問題文で与えられているのは \(d, \lambda, m, L, x, \theta\) のうちどれで、何を求めるのかを明確にします。
  4. 近似の要否判断: 「中央付近」「間隔を求めよ」といった記述があれば、\(\sin\theta \approx \tan\theta = x/L\) の近似を使う可能性が高いと判断します。一方、(2)のように角度そのものを問われたり、角度が大きい場合は近似は使えません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 格子定数\(d\)の計算ミス:
  • 誤解: (1)で、\(d = 250 / (1.0 \times 10^{-3})\) のように、分子と分母を逆にしてしまう。または、単位換算を忘れる。
  • 対策: 「1mmに250本」→「1本の間隔は？」と日本語で意味を考えれば、「\(1\text{mm} \div 250\text{本}\)」という正しい立式ができます。単位換算は計算の最初に必ず行う癖をつけましょう。
• ヤングの実験との混同:
  • 誤解: 回折格子の明線間隔を、ヤングの実験の公式 \(\Delta x = \frac{\lambda L}{d}\) を暗記してそのまま使おうとする。
  • 対策: (3)のように、\(\theta\)が小さいという近似が使える場合に限り、結果的に同じ式になります。しかし、(2)のように\(\theta\)が大きい（\(30^\circ\)）場合にはこの式は使えません。公式を丸暗記するのではなく、基本の干渉条件 \(d \sin\theta = m\lambda\) から出発し、必要に応じて近似を適用する、という思考プロセスを身につけることが重要です。
• 白色光の色の順番:
  • 誤解: (4)で、波長の長い赤色の方が中央に近いと勘違いする。
  • 対策: 条件式 \(\sin\theta = m\lambda/d\) を見れば、「\(\lambda\)が大きいほど\(\theta\)も大きい」という関係は一目瞭然です。虹の色の順番（赤橙黄緑青藍紫）と、赤が長波長側、紫が短波長側であるという基本的な知識を再確認しておきましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 格子定数の定義式 (\(d = (\text{全長}) / (\text{本数})\)):
  • 選定理由: 干渉条件式 \(d \sin\theta = m\lambda\) を使うためには、まずパラメータである格子定数\(d\)を決定する必要があります。問題文には「単位長さあたりの本数」が与えられているため、その逆数をとることで\(d\)を求めるのが最も直接的な方法です。
  • 適用根拠: これは格子定数という物理量の定義そのものです。
• 回折格子の干渉条件式 (\(d \sin\theta = m\lambda\)):
  • 選定理由: 回折格子による光の干渉という現象を記述する、中心的な物理法則だからです。明線の方向\(\theta\)を求めたり、スクリーン上の位置を計算したりするすべての議論の出発点となります。
  • 適用根拠: この式は、隣り合うスリットから来る波の光路差が波長の整数倍になるという、波の重ね合わせの原理（干渉の条件）を幾何学的に表現したものです。多数のスリットがあっても、隣同士の条件さえ満たせば、すべての波が強め合うことになります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算: (1)や(2)のように、\(10^{-3}\) や \(10^{-6}\) といった指数が頻出します。割り算の際の指数の処理（例: \(10^{-3} / 10^2 = 10^{-5}\)）や、掛け算の際の処理を正確に行いましょう。
• 分母と分子の確認: (2)の \(\sin\theta = \frac{4\lambda}{d}\) のような計算では、どの数値を分子に、どの数値を分母に代入するかを、式をよく見て確認しましょう。焦ると間違いやすいポイントです。
• 三角関数の値: (2)で \(\sin\theta = 0.5\) となったとき、即座に \(\theta=30^\circ\) と変換できるように、基本的な三角関数の値（\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\)など）は確実に覚えておきましょう。
• 近似の判断: 問題文に「中央付近」「間隔」とあれば近似計算、(2)のように具体的な角度を問われれば厳密計算、というように、問題の要求に応じて計算方法を切り替える意識を持つことが大切です。

295 くさび型空気層による干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「くさび形空気層による干渉の応用」です。基本的な干渉条件の理解に加え、ガラス板を動かしたり、たわませたりした場合に、干渉縞がどのように変化するかを考察する問題です。光路差の変化と干渉条件の周期性を結びつける思考が求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点C（端Aから距離\(x\)の位置）における空気層の厚さ\(d\)を求める問題です。これはくさび形空気層の問題における基本的な設問であり、図形中の相似な三角形を見つけ、その辺の比が等しいという関係から立式します。
この設問における重要なポイント

• 図形の中から相似な三角形を見つけ出す。
• 相似比の関係（底辺と高さの比が等しい）を正しく立式する。

具体的な解説と立式
2枚のガラス板が作るくさび形の空気層を考えます。図には、相似な2つの直角三角形が見られます。

1. 底辺が\(L\)、高さが\(D\)の、くさび全体の大きな三角形
2. 底辺が\(x\)、高さが\(d\)の、点Cまでの部分的な小さな三角形

これら2つの三角形は、頂角（端Aの部分）が共通であり、互いに相似です。したがって、対応する辺の比は等しくなります。
$$ \frac{d}{x} = \frac{D}{L} $$
この関係式を、求めたい\(d\)について解きます。
$$ d = \frac{D}{L}x $$

この設問は、文字式を導出するものであり、具体的な数値計算は不要です。

くさび形の空気層は、大きな直角三角形と見なせます。端Aから距離\(x\)の場所にも、それと相似な小さな直角三角形ができています。三角形の相似の関係から、「（小さい三角形の高さ\(d\)）÷（小さい三角形の底辺\(x\)）」と「（大きい三角形の高さ\(D\)）÷（大きい三角形の底辺\(L\)）」は等しくなります。この関係を使って式を立てれば、\(d\)を\(x\)の式で表すことができます。

点Cにおける空気層の厚さ\(d\)は、\(\frac{D}{L}x\) と表せます。これは、くさび形空気層の問題における厚さを求める基本式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Cで観測される光が「明線→暗線→明線→暗線」と3回変化したときの、ガラス板の移動距離\(\Delta y\)を求める問題です。この現象は、ガラス板を動かすことで光路差が連続的に変化し、干渉条件が周期的に満たされるために起こります。明暗が1回切り替わる（例：明線→暗線）ごとに、光路差がどれだけ変化するのかを理解することが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 光路差は \(2d\) である。ガラス板を\(\Delta y\)動かすと、厚さ\(d\)が\(\Delta y\)変化し、光路差は \(2\Delta y\) 変化する。
• 明線と暗線は、光路差が \(\lambda/2\) 変化するごとに切り替わる。
• 「明→暗→明→暗」という変化が何回の切り替わりに相当するかを正しく数える。

具体的な解説と立式
まず、点Cにおける干渉条件を考えます。
光は垂直に入射し、空気層（屈折率\(n \approx 1\)）の厚さが\(d\)の場所を往復するので、光路差は \(2d\) です。
反射は、上のガラス下面（ガラス→空気、位相変化なし）と、下のガラス上面（空気→ガラス、位相変化\(\pi\)あり）で起こります。
片方のみ位相が\(\pi\)ずれるため、干渉条件は以下のようになります。

• 明線（強め合い）: \(2d = (m+\frac{1}{2})\lambda\)
• 暗線（弱め合い）: \(2d = m\lambda\)

これらの条件式から、光路差\(2d\)が \(\lambda/2\) 増加するごとに、明線と暗線が交互に現れることがわかります。
問題文では、観測される光が「明線 → 暗線 → 明線 → 暗線」と変化したとあります。これは、明暗の切り替わりが3回起きたことを意味します。

• 1回目: 明線 → 暗線
• 2回目: 暗線 → 明線
• 3回目: 明線 → 暗線

1回の切り替わりで光路差は \(\lambda/2\) 変化するので、3回の切り替わりで生じた光路差の合計の変化量 \(\Delta(\text{光路差})\) は、
$$ \Delta(\text{光路差}) = 3 \times \frac{\lambda}{2} = \frac{3}{2}\lambda $$
一方、上側のガラス板を鉛直上向きに\(\Delta y\)だけ動かすと、空気層の厚さ\(d\)が\(\Delta y\)だけ増加します。これにより、光路差\(2d\)は \(2\Delta y\) だけ増加します。
$$ \Delta(\text{光路差}) = 2\Delta y $$
したがって、この2つの式を結びつけると、
$$ 2\Delta y = \frac{3}{2}\lambda $$
この式を\(\Delta y\)について解きます。

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
2\Delta y &= \frac{3}{2}\lambda \\[2.0ex]\Delta y &= \frac{3}{4}\lambda
\end{aligned}
$$

ガラス板を少しずつ持ち上げると、光が往復する距離（光路差）が長くなっていき、それにつれて明るい点と暗い点が交互に見えます。明るい点と暗い点が切り替わるのは、光路差がちょうど半波長(\(\lambda/2\))分変化するごとです。問題では「明→暗→明→暗」と3回切り替わっているので、光路差は全部で「\(3 \times \lambda/2\)」だけ変化したことになります。一方、ガラス板を\(\Delta y\)持ち上げると、光の往復距離は\(2\Delta y\)だけ長くなります。この2つが等しいので、「\(2\Delta y = 3\lambda/2\)」という式が成り立ちます。これを\(\Delta y\)について解けば答えが求まります。

ガラス板の移動距離\(\Delta y\)は \(\frac{3}{4}\lambda\) となります。光路差の変化と明暗の周期性の関係を正しく理解し、立式できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
ガラス板を指で押して「たわませた」ときに、明線の間隔\(\Delta x\)がどうなるかを考察する問題です。まず、隣り合う明線の間隔\(\Delta x\)が何によって決まるのかを数式で導出します。次に、ガラスをたわませることが、その数式の中のどの物理量（パラメータ）を変化させることに相当するのかを考え、\(\Delta x\)への影響を結論付けます。
この設問における重要なポイント

• 明線間隔\(\Delta x\)の公式を導出できる。
• ガラス板をたわませることが、くさび形の「傾き」を局所的に変化させることだと理解できる。
• 間隔\(\Delta x\)と傾きの関係を正しく説明できる。

具体的な解説と立式
まず、隣り合う明線の間隔\(\Delta x\)を求めます。
明線の条件は \(2d = (m+\frac{1}{2})\lambda\) です。
これに(1)で求めた \(d = \frac{D}{L}x\) を代入します。
$$ 2 \cdot \frac{D}{L}x_m = (m+\frac{1}{2})\lambda $$
ここで、\(x_m\)は\(m\)番目の明線の位置です。この式を\(x_m\)について解くと、
$$ x_m = \frac{L}{2D}(m+\frac{1}{2})\lambda $$
同様に、\((m+1)\)番目の明線の位置\(x_{m+1}\)は、
$$ x_{m+1} = \frac{L}{2D}\left((m+1)+\frac{1}{2}\right)\lambda $$
したがって、明線の間隔\(\Delta x\)は、
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m = \frac{L}{2D}\lambda $$
この式が、明線間隔を決定する基本式です。

次に、ガラス板をたわませた場合を考えます。
指で押した点では、ガラス板は水平に近くなり、端Bに近づくにつれて、たわみが大きくなり、ガラス板の傾きは急になります。
ここで、\(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\) の式中の \(\frac{D}{L}\) は、くさび形全体の傾きを表しています。式を \(\Delta x = \frac{\lambda}{2(D/L)}\) と変形すると、明線間隔\(\Delta x\)は、くさび形の傾き\(D/L\)に反比例することがわかります。

したがって、

• 指で押した付近（傾きが小さい場所）では、\(\Delta x\)は大きくなります。
• 端Bに近づくにつれて（傾きが大きい場所）では、\(\Delta x\)は小さくなります。

よって、全体の傾向として「端Bに近づくにつれて、間隔\(\Delta x\)は小さくなる」と結論できます。

この設問は、定性的な考察を問うものであり、具体的な計算は不要です。

まず、明るい線の間隔\(\Delta x\)が何で決まるかを調べると、計算の結果「\(\Delta x = \frac{\lambda L}{2D}\)」となります。この式の \(D/L\) は、くさび形の「傾き」を表しています。式をよく見ると、間隔\(\Delta x\)は、この傾きが「小さい」ほど「大きく」なり、傾きが「大きい」ほど「小さく」なる、反比例の関係にあることがわかります。
さて、ガラス板を指で押して曲げると、指の周りは平らになり（傾きが小さく）、端っこ（B）にいくほど急な曲がり方（傾きが大きい）になります。
このことから、指の周りでは間隔は広がり、端Bに近づくにつれて間隔は狭くなっていく、と説明できます。

ガラス板をたわませると、端Bに近づくにつれて明線の間隔は小さくなります。これは、明線間隔がくさび形の傾きに反比例するという関係から、正しく導かれた結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路差の変化と干渉縞の移動の関係:
  • 核心: この問題の最も重要なポイントは、(2)で問われているように、物理的な操作（ガラス板を動かす）によって光路差が連続的に変化し、それに伴って干渉の条件が周期的に満たされ、明暗の縞が移動（または明滅）する現象を理解することです。
  • 理解のポイント:
    • 明暗の周期性: 明線と暗線は、光路差が \(\lambda/2\) 変化するごとに1回切り替わる。これは、波の位相が\(\pi\)変化することに対応します。
    • 光路差の変化量: ガラス板を\(\Delta y\)動かすと、光の往復距離が\(2\Delta y\)変化するため、光路差の変化は\(2\Delta y\)となる。この2点を結びつけて立式することが核心です。
• 干渉縞の間隔とくさびの傾きの関係:
  • 核心: (3)で問われているように、干渉縞の間隔\(\Delta x\)が、くさび形空気層の傾き（この問題では\(D/L\)）に反比例するという関係を、干渉の条件式から導き、物理的に解釈できることです。
  • 理解のポイント: \(\Delta x = \frac{\lambda}{2(D/L)}\) という式から、「傾きが急な場所ほど、厚さ\(d\)が急激に変化するため、次の干渉条件を満たすまでの水平距離\(\Delta x\)は短くなる（縞が密になる）」と直感的なイメージを結びつけることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 縞の移動本数を数える問題: (2)の逆で、「ガラス板を\(\Delta y\)動かしたとき、視野を横切る明線（または暗線）は何本か」という問題。光路差の変化量 \(2\Delta y\) が、1本分の光路差の変化量（明線なら\(\lambda\)）の何倍になるかを計算します。本数 \(N = \frac{2\Delta y}{\lambda}\)。
  • 液体を流し込む問題: くさび形の隙間に屈折率\(n\)の液体を流し込むと、光路差が \(2nd\) に、明線の条件が \(2nd = (m+\frac{1}{2})\lambda\) に変わります。その結果、明線間隔は \(\Delta x’ = \frac{L\lambda}{2nD}\) となり、空気中の \(\frac{1}{n}\) 倍に狭まります。
  • ニュートンリングでの応用: ニュートンリングでレンズを鉛直に\(\Delta y\)動かした場合も、(2)と全く同じ考え方で、中心点の明暗の変化を議論できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 静的な状況の分析: まず、(1)のように、何も動かさない状態での干渉条件と厚さの関係式を確立します。これが全ての考察の土台となります。
  2. 変化するパラメータの特定: (2)では厚さ\(d\)（光路差）が、(3)では傾き\(D/L\)が変化します。問題文の操作が、数式の中のどの変数を変化させているのかを正確に特定します。
  3. 変化の結果を追跡: 特定したパラメータの変化が、最終的に問われている物理量（\(\Delta y\)や\(\Delta x\)の様子）にどう影響するかを、数式をたどって論理的に結論付けます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路差の変化量の計算ミス:
  • 誤解: (2)で、ガラス板を\(\Delta y\)動かしたときの光路差の変化を、\(\Delta y\)としてしまう。
  • 対策: 光は空気層を「往復」していることを常に意識しましょう。厚さが\(\Delta y\)増えれば、光が進む距離は\(2\Delta y\)増えるため、光路差の変化も\(2\Delta y\)となります。
• 明暗の切り替わりのカウントミス:
  • 誤解: (2)で、「明→暗→明→暗」の変化を、4回の変化と数えてしまう。
  • 対策: 「→」の数を数えましょう。「明→暗」で1回、「暗→明」で1回、「明→暗」で1回、合計3回の「切り替わり」です。あるいは、光路差が\(\lambda/2\)変化するごとに状態が変わる、と覚えておけば、最初の明線の光路差を\(2d_1\)、最後の暗線の光路差を\(2d_2\)として、\(2d_2 – 2d_1 = 3 \times \lambda/2\) と直接立式することもできます。
• 傾きと間隔の関係の混同:
  • 誤解: (3)で、傾きが大きいほど間隔も大きい、と直感で間違える。
  • 対策: 必ず \(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\) のように数式を立ててから判断しましょう。この式から、\(\Delta x\)と傾き\(D/L\)が反比例の関係にあることは明らかです。数式に基づいた客観的な判断を心がけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 明線の条件式 (\(2d = (m+\frac{1}{2})\lambda\)):
  • 選定理由: この問題は、くさび形空気層における干渉を扱っており、その基本的な物理法則を表すのがこの条件式です。全ての議論の出発点となります。
  • 適用根拠: ①光路差が\(2d\)であること、②反射で片方のみ位相が\(\pi\)ずれること、という2つの物理的考察に基づいています。この2つの要素から、「逆位相の波が強め合うには、光路差が半波長の奇数倍であればよい」という論理で導かれます。
• 光路差の変化量 (\(\Delta(\text{光路差}) = 2\Delta y\)):
  • 選定理由: (2)では、ガラス板の移動という「操作」と、明暗の変化という「結果」を結びつける必要があります。その仲立ちをするのが「光路差の変化」です。ガラス板の移動量\(\Delta y\)が光路差にどう影響するかを表すこの式は、問題を解く上で不可欠です。
  • 適用根拠: 光が空気層を往復するという物理モデルに基づいています。厚さの変化量がそのまま往復の経路長の変化量に反映されます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の変形を丁寧に行う: (3)で明線間隔\(\Delta x\)を求める際、\(x_m\)の式から\(x_{m+1}\)の式を立て、その差を計算するプロセスを省略せずに丁寧に行いましょう。
  \(x_{m+1} – x_m = \frac{L\lambda}{2D}\{(m+1.5) – (m+0.5)\} = \frac{L\lambda}{2D}\)
  のように、共通因子を括りだして計算するとミスが減ります。
• 変化の回数を図示する: (2)のような問題で混乱しそうなときは、波のグラフを簡単に描いてみるのも手です。光路差が0から増えていくとして、\(0.5\lambda, 1.5\lambda, 2.5\lambda, \dots\)で明線、\(1\lambda, 2\lambda, 3\lambda, \dots\)で暗線になる様子を数直線上にプロットすると、変化の回数が視覚的に理解できます。
• 反比例の関係を明確にする: (3)では、\(\Delta x\)と傾き\(D/L\)の関係が重要です。\(\Delta x = \frac{\lambda}{2} \cdot \frac{L}{D}\) のように、定数部分と変数部分を分けて書くと、\(\Delta x\)が\(D/L\)に反比例することがより明確になり、考察しやすくなります。

296 薄膜による干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「薄膜による光の干渉」です。シャボン玉や水に浮いた油膜が色づいて見える現象の原理を扱います。光の波動性、特に位相の概念を正しく理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
光が空気中から屈折率の異なる薄膜中へ入る際に、波長がどのように変化するかを問う問題です。屈折率と波長の関係式を正しく適用できるかが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 屈折率\(n\)の媒質中では、光の波長は空気中（または真空中）の\(1/n\)倍になる。
• 光の振動数は、媒質によらず一定である。

具体的な解説と立式
空気中での光の波長を\(\lambda_0\)、薄膜の屈折率を\(n\)とすると、薄膜中での光の波長\(\lambda\)は、以下の式で与えられます。
$$ \lambda = \frac{\lambda_0}{n} $$

与えられた値を代入します。
\(\lambda_0 = 6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\)、\(n=1.5\) なので、
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{1.5} \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^{-7} \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

光は、水中やガラスのような進みにくい物質の中では「歩幅」が狭くなります。この「歩幅」が波長です。屈折率が1.5の物質に入ると、波長は1.5分の1に短くなります。元の波長を1.5で割ることで、薄膜の中での波長が計算できます。

薄膜中の光の波長は \(4.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\) です。空気中の波長より短くなっており、物理的に正しい結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
上方から光を見るとき、干渉するのは「薄膜の上面で反射する光(光A)」と「薄膜の下面で反射する光(光B)」です。この2つの光の経路差と、反射時に生じる位相の変化を正確に把握し、干渉の条件式を立てることが重要です。
この設問における重要なポイント

• 干渉する光: ①上面反射光、②下面反射光。
• 光路差: 光Bは光Aに比べて、厚さ\(d\)の薄膜を往復する分だけ長く進む。光路差は\(2nd\)。
• 位相変化:
  • 光A: 上面（空気→薄膜）での反射。屈折率が小→大なので、位相が\(\pi\)ずれる。
  • 光B: 下面（薄膜→空気）での反射。屈折率が大→小なので、位相はずれない。
• 干渉条件: 反射で位相が逆転しているため、強め合う条件は「光路差＝半波長の奇数倍」となる。

具体的な解説と立式
上方から観測したとき干渉する2つの光について考えます。

1. 光A: 薄膜の上面（空気 \(n_{\text{空気}}=1.0\) → 薄膜 \(n=1.5\)）で反射する光。
2. 光B: 薄膜の下面（薄膜 \(n=1.5\) → 空気 \(n_{\text{空気}}=1.0\)）で反射する光。

光Bは光Aに比べて、厚さ\(d\)の薄膜（屈折率\(n\)）を往復します。したがって、2つの光の光路差\(\Delta L\)は、
$$ \Delta L = 2nd $$
次に、反射による位相変化を調べます。

• 光Aの反射: 屈折率が小さい媒質から大きい媒質に向かう境界での反射なので、位相が\(\pi\)ずれる（半波長分ずれる）。
• 光Bの反射: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質に向かう境界での反射なので、位相はずれない。

2つの光は、反射の有無によってすでに位相が反転しています。そのため、2つの光が強め合う（山と山が重なる）ためには、光路差\(2nd\)が、空気中の波長\(\lambda_0\)の半波長の奇数倍であればよいことになります。
$$ 2nd = (m + \frac{1}{2})\lambda_0 \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$

最小の厚さ\(d\)を求めるので、\(m=0\)の場合を考えます。
$$ 2nd = (0 + \frac{1}{2})\lambda_0 $$
$$ d = \frac{\lambda_0}{4n} $$
値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{4 \times 1.5} \\[2.0ex]&= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{6.0} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^{-7} \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

上から来る光は、薄膜の表面で反射する光と、底で反射する光の2つに分かれます。この2つが再び出会ったときに干渉します。

• 表面での反射は、相手が「硬い」（屈折率大）ので、位相がひっくり返ります（山が谷になる）。
• 底での反射は、相手が「軟らかい」（屈折率小）ので、位相はそのままです。

片方だけがひっくり返っているので、2つの光を強め合わせるには、経路の長さの差が「半波長、1.5波長、2.5波長…」となっていればOKです。一番薄い場合を考えたいので、「経路差＝半波長」となる厚さを求めます。

計算の結果、最小の厚さは \(1.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\) となりました。これは物理的に妥当な値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
下方から光を見るとき、干渉するのは「薄膜をそのまま透過する光(光C)」と「薄膜内を1往復（2回反射）してから透過する光(光D)」です。問(2)と同様に、この2つの光の光路差と位相変化を調べます。
この設問における重要なポイント

• 干渉する光: ①直接透過光、②2回反射後に透過する光。
• 光路差: 光Dは光Cに比べて、薄膜を往復する分だけ長く進む。光路差は\(2nd\)。
• 位相変化:
  • 光C: 反射は起こらない。
  • 光D: 下面（大→小）と上面（大→小）で2回反射する。どちらも位相はずれない。
• 干渉条件: 反射による位相のずれがないため、強め合う条件は「光路差＝波長の整数倍」となる。

具体的な解説と立式
下方から観測したとき干渉する2つの光について考えます。

1. 光C: 薄膜をそのまま透過する光。
2. 光D: 薄膜の下面で反射し、次に上面で反射して、下方へ透過する光。

光Dは光Cに比べて、厚さ\(d\)の薄膜（屈折率\(n\)）を往復します。したがって、光路差\(\Delta L\)は問(2)と同じく、
$$ \Delta L = 2nd $$
次に、光Dの経路で起こる反射による位相変化を調べます。

• 下面での反射: 薄膜(大)→空気(小)なので、位相はずれない。
• 上面での反射: 薄膜(大)→空気(小)なので、位相はずれない。

光Cは反射しないので、2つの光の間で反射による位相の差は生じません。

したがって、2つの光が強め合うためには、光路差\(2nd\)が、空気中の波長\(\lambda_0\)の整数倍であればよいことになります。
$$ 2nd = m\lambda_0 \quad (m=1, 2, 3, \dots) $$
ここで、\(m=0\)は厚さ\(d=0\)を意味し、物理的に意味のある最小の厚さではないため除外します。

\(d>0\)で最小の厚さを求めるので、\(m=1\)の場合を考えます。
$$ 2nd = 1 \cdot \lambda_0 $$
$$ d = \frac{\lambda_0}{2n} $$
値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{2 \times 1.5} \\[2.0ex]&= \frac{6.0 \times 10^{-7}}{3.0} \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-7} \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

下から見る場合は、まっすぐ通り抜ける光と、薄膜の中で2回反射してから通り抜ける光の干渉を考えます。
この2回の反射は、どちらも「軟らかい」相手（屈折率小）への反射なので、位相はひっくり返りません。
両方ともひっくり返らないので、2つの光を強め合わせるには、経路の長さの差が「1波長、2波長、3波長…」となっていればOKです。一番薄い場合を考えたいので、「経路差＝1波長」となる厚さを求めます。

計算の結果、最小の厚さは \(2.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\) となりました。これは上方から見た場合とは異なる条件から導かれた妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(2)と(3)で導出した強め合いの条件式を比較することで、明暗の関係がどうなるかを考察します。
この設問における重要なポイント

• 上方から見る強め合い（明線）の条件: \(2nd = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda_0\)
• 下方から見る強め合い（明線）の条件: \(2nd = m\lambda_0\)
• この2つの条件式は、一方が強め合いの条件なら、もう一方は弱め合いの条件となっている。

具体的な解説と立式
上方から見る場合と下方から見る場合で、干渉する光の組み合わせが異なり、反射による位相変化の有無が変わります。

• 上方から見る場合: 反射が1回（小→大）で位相が\(\pi\)ずれるため、強め合いの条件は \(2nd = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda_0\)。
• 下方から見る場合: 反射が2回（大→小）で位相のずれがないため、強め合いの条件は \(2nd = m\lambda_0\)。

ここで、ある厚さ\(d\)について考えます。
もし、この厚さが上方から見て強め合う（明るく見える）条件 \(2nd = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda_0\) を満たしているとすると、この式は下方から見た場合の弱め合いの条件に他なりません。したがって、その場所は下方から見ると暗く見えます。
逆に、この厚さが下方から見て強め合う（明るく見える）条件 \(2nd = m\lambda_0\) を満たしているとすると、この式は上方から見た場合の弱め合いの条件であるため、上方から見ると暗く見えます。
このように、ある厚さに対して、一方で見れば明るく、もう一方でみれば暗くなるという関係が成立します。

上方から見る場合、干渉する2つの光のうち片方だけが位相がひっくり返りました。一方、下方から見る場合は、干渉する2つの光はどちらもひっくり返りませんでした。
このように、強め合うか弱め合うかの大元となる「位相のひっくり返り」のルールが、上方と下方で異なります。その結果、ある厚さの薄膜が上方から見て明るく見える（強め合う）とき、下方から見ると必ず暗く見え（弱め合い）、その逆もまた成り立ちます。つまり、明るい場所と暗い場所が完全に入れ替わるのです。

上方から見る場合と下方から見る場合とでは、光路差は同じ\(2nd\)ですが、強め合いと弱め合いの条件式が完全に入れ替わります。したがって、明線の位置と暗線の位置も完全に入れ替わる、つまり逆転します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 反射における位相変化のルール:
  • 核心: 光の干渉問題を解く上で最も重要な分岐点となるのが、反射による位相変化の有無です。光路差だけでなく、この位相変化を考慮しないと正しい干渉条件を立てられません。
  • 理解のポイント:
    • 小 → 大 で反射: 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ向かう境界での反射では、位相が\(\pi\)（半波長分）ずれる。「固定端反射」に相当します。
    • 大 → 小 で反射: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ向かう境界での反射では、位相はずれない。「自由端反射」に相当します。
• 光路差と干渉条件:
  • 核心: 2つの光の経路の長さの差（光路差）が、波長の整数倍か半整数倍かによって、干渉の結果が決まります。
  • 理解のポイント:
    • 位相差なしの場合: 反射による位相のずれがない、または両方ずれる場合。光路差が波長の整数倍 (\(m\lambda\)) で強め合い、半整数倍 (\((m+1/2)\lambda\)) で弱め合います。
    • 位相差ありの場合: 片方の光だけが反射で位相がずれる場合。条件が逆転し、光路差が半整数倍 (\((m+1/2)\lambda\)) で強め合い、整数倍 (\(m\lambda\)) で弱め合います。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • くさび形空気層: 2枚のガラス板を重ね、一端に薄い紙などを挟んでくさび形の隙間を作ったもの。空気層の厚さが場所によって変わるため、干渉縞が観察されます。上面のガラス下面での反射（大→小）と、下面のガラス上面での反射（小→大）の干渉を考えます。
  • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置いたときにできる、同心円状の干渉縞。これもくさび形空気層の一種と見なせます。
  • 水中にある油膜: 空気ー油ー水のように、3つの媒質の屈折率がすべて異なる場合。各境界面での反射が「小→大」なのか「大→小」なのかを一つずつ丁寧に確認する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 干渉する光の経路を特定: まず、どの光とどの光が干渉して観測者に届くのか、光の経路を2つ図示します。反射光の干渉か、透過光の干渉かを見極めます。
  2. 光路差を計算: 2つの光の経路の幾何学的な差を求め、屈折率を考慮して光路差 (\(2nd\)など) を計算します。
  3. 各反射点での位相変化をチェック: 2つの経路に含まれる全ての反射点について、屈折率が「小→大」か「大→小」かを判定し、位相が\(\pi\)ずれるかどうかをリストアップします。
  4. 干渉条件を決定: 反射による位相のずれの合計（0か\(\pi\)か）に応じて、正しい強め合い・弱め合いの条件式を選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路差の計算で屈折率を忘れる:
  • 誤解: 光路差を、単なる幾何学的な距離の差 \(2d\) としてしまう。
  • 対策: 光は屈折率\(n\)の媒質中では波長が\(1/n\)倍になるため、同じ距離でも位相が\(n\)倍変化することを意識します。そのため、距離に屈折率を掛けた「光路長」で比較する必要があると覚えます。
• 位相変化のルールを逆にする:
  • 誤解: 屈折率が「大→小」で位相がずれると勘違いする。
  • 対策: 「固定端反射」と「自由端反射」のアナロジーで覚えます。屈折率が大きい媒質は「硬い壁（固定端）」、小さい媒質は「何もない空間（自由端）」とイメージします。硬い壁で跳ね返ると逆向きになる（位相がずれる）と覚えると間違えにくいです。
• 空気中の波長と媒質中の波長を混同する:
  • 誤解: 干渉条件式を立てる際に、光路差 \(2nd\) と比較する波長を、薄膜中の波長 \(\lambda\) にしてしまう。（例: \(2nd = m\lambda\)）
  • 対策: 光路差を \(2nd\) のように屈折率を考慮した「光路長」で計算した場合は、比較対象は必ず「空気中（真空中）の波長 \(\lambda_0\)」を使います。もし光路差を幾何学的な距離 \(2d\) で計算した場合は、比較対象は「媒質中の波長 \(\lambda\)」を使います。どちらかに統一することが重要ですが、\(\lambda_0\) を使う方が一般的で間違いが少ないです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波長変換の式 (\(\lambda = \lambda_0/n\)):
  • 選定理由: (1)で媒質中の波長を直接問われているため、また(2)の別解のように媒質中の波長を基準に干渉条件を考えるために使用します。
  • 適用根拠: 光の振動数\(f\)は媒質によらず不変です。波の基本式 \(v=f\lambda\) と、屈折率の定義 \(n=c/v\)（\(c\)は真空中の光速、\(v\)は媒質中の光速）から、\(v=c/n\)。よって \(\lambda = v/f = (c/n)/f = (c/f)/n = \lambda_0/n\) と導かれます。
• 干渉の条件式 (\(2nd = m\lambda_0\) or \((m+1/2)\lambda_0\)):
  • 選定理由: (2), (3)で薄膜の厚さを求めるために、光路差と位相の関係を数式で表現する必要があるため。
  • 適用根拠:
    • 光路差 \(2nd\) は、位相の差 \(\Delta\phi_{\text{path}} = \frac{2\pi}{\lambda_0}(2nd)\) を生みます。
    • 反射による位相差は \(\Delta\phi_{\text{reflection}}\)（0 または \(\pi\)）です。
    • 強め合う条件は、合計の位相差が \(2\pi\) の整数倍になること、つまり \(\Delta\phi_{\text{path}} + \Delta\phi_{\text{reflection}} = 2m\pi\) です。
    • (2)では \(\Delta\phi_{\text{reflection}}=\pi\) なので、\(\frac{2\pi}{\lambda_0}(2nd) + \pi = 2m\pi\) となります。したがって \(2nd = (m-1/2)\lambda_0\) となり、\(m’=m-1\)と置き換えれば \(2nd = (m’+1/2)\lambda_0\) となります。
    • (3)では \(\Delta\phi_{\text{reflection}}=0\) なので、\(\frac{2\pi}{\lambda_0}(2nd) = 2m\pi\) となります。したがって \(2nd = m\lambda_0\) となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算: \(10^{-7}\) のような指数を含む計算では、指数部分は最後にまとめて計算し、係数部分（6.0や1.5など）の計算を先に集中して行うとミスが減ります。
• 分数の計算: (2)の \(d = \lambda_0 / (4n)\) のような式では、分母の \(4 \times 1.5 = 6.0\) を先に計算してから割り算を実行するなど、計算手順を工夫すると間違いにくくなります。
• \(m\) の値の選択: 「最小の厚さ」を問われた場合、\(m\) にどの整数を代入すべきかを考えます。\(m=0, 1, 2, \dots\) のように定義した場合、通常は \(m=0\) が最小の正の厚さを与えます。しかし、(3)のように \(m=0\) が \(d=0\) に対応してしまう場合は、物理的に意味のある最初の解として \(m=1\) を選択する必要があります。常に式の物理的な意味を考えることが重要です。

297 薄膜による干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜めに入射する光の薄膜干渉」です。垂直入射の場合と光路差の式が異なる点、そして反射における位相変化のルールを正確に適用できるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
干渉する2つの光（上面反射光と下面反射光）を特定し、その光路差を幾何学的に求めます。光が斜めに入射するため、光路差の計算には屈折角\(r\)が関わってきます。また、今回は膜の下がガラスであり、その屈折率が膜より大きいという条件が、位相変化を考える上で決定的に重要です。
この設問における重要なポイント

• 干渉する光は、点Aで反射する光(経路A’C)と、膜内を進んで点Bで反射する光(経路ABC)である。
• 光路差は、幾何学的な経路差に屈折率を掛けたもの。膜内の経路(ABC)と、それに対応する空気中の経路(A’C)の差を計算する。
• 光路差の公式は \(2nL \cos r\) となる。
• 位相変化:
  • 上面反射（空気→膜）: 屈折率 小→大 なので位相が\(\pi\)ずれる。
  • 下面反射（膜→ガラス）: 屈折率 \(n < n_{\text{ガラス}}\)（小→大）なので位相が\(\pi\)ずれる。
• 干渉条件: 両方の光の位相が\(\pi\)ずつずれるため、位相の「ずれの差」は0。したがって、強め合いの条件は「光路差＝波長の整数倍」となる。

具体的な解説と立式
光路差の導出
干渉するのは、経路A’Cを進む光と経路ABCを進む光です。これらの光路差を求めます。
点Cから線分ABに垂線CHを下ろすと、A’とHは同じ波面にあります。したがって、光路差は経路HBCの光路長と等しくなります。
$$ \text{光路差} = n \times (\text{経路HBC}) $$
この光路差は、作図によって \(2nL \cos r\) となることが知られています。（ここでは詳細な導出は省略しますが、点Cの下面に対する対称点Dを考える方法が一般的です。）
よって、光路差は、
$$ \text{光路差} = 2nL \cos r $$
干渉条件の立式
次に、反射による位相変化を調べます。

1. 上面（空気→膜）での反射: 屈折率が \(1.0 \rightarrow n\) と大きくなるので、位相が\(\pi\)ずれる。
2. 下面（膜→ガラス）での反射: 屈折率が \(n \rightarrow n_{\text{ガラス}}\) と、問題文の条件「ガラスの屈折率はnより大きい」から、こちらも大きくなるので、位相が\(\pi\)ずれる。

両方の光で位相が\(\pi\)ずつずれるので、2つの光の間の位相差は0です。
したがって、反射光が強め合う（明るく見える）条件は、光路差が波長\(\lambda\)の整数倍になるときです。
$$ 2nL \cos r = m\lambda \quad (m=1, 2, 3, \dots) $$
問題文で\(m\)は正の整数と指定されているため、\(m=0\)は含みません。

2つの光の「寄り道」の長さを比べます。片方は膜の表面ですぐに反射し、もう片方は膜の中を往復してから反射します。この寄り道の長さの差（光路差）は、公式で \(2nL \cos r\) と表せます。
次に、反射するときの「ひっくり返り」（位相の変化）をチェックします。今回は、表面の反射（空気→膜）も、底面の反射（膜→ガラス）も、相手が自分より「硬い」（屈折率が大きい）ので、両方ともひっくり返ります。
2人ともひっくり返るので、結局ひっくり返りの差は「おあいこ」でゼロです。この場合、寄り道の長さがちょうど波長の1倍, 2倍, 3倍, … になるときに、2つの光は強め合います。

光路差は \(2nL \cos r\) であり、強め合いの条件は \(2nL \cos r = m\lambda\) となります。これは斜め入射の薄膜干渉における標準的な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
空気中から膜へ光が入射する際の、屈折の法則を適用して、未知の屈折角\(r\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 屈折の法則: \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\)
• 空気の屈折率は1.0として計算する。

具体的な解説と立式
空気（屈折率 \(n_1=1.0\), 入射角 \(i=60^\circ\)）から膜（屈折率 \(n_2=n=\sqrt{3}\), 屈折角 \(r\)）への屈折を考え、屈折の法則を適用します。
$$ n_1 \sin i = n_2 \sin r $$
$$ 1.0 \times \sin 60^\circ = \sqrt{3} \times \sin r $$

立式した式に値を代入し、\(\sin r\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
1.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} &= \sqrt{3} \sin r \\[2.0ex]\sin r &= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
屈折角\(r\)は \(0^\circ < r < 90^\circ\) の範囲にあるので、
$$ r = 30^\circ $$

光が空気から膜に入るときに曲がる角度を計算します。これには「屈折の法則」という決まったルールがあります。空気側での「屈折率×sin(角度)」と、膜側での「屈折率×sin(角度)」が等しくなる、という式に問題の数値を当てはめて計算するだけです。

屈折角は\(30^\circ\)と求まりました。入射角\(60^\circ\)よりも角度が小さくなっており、屈折率の大きい媒質に入射した際の振る舞いとして物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)で立てた強め合いの条件式に、(2)で求めた値と問題文で与えられた値を代入し、波長\(\lambda\)を整数\(m\)で表す式を導きます。そして、その\(\lambda\)が指定された可視光線の範囲内にあるような整数\(m\)を特定し、対応する\(\lambda\)の値をすべて計算します。
この設問における重要なポイント

• (1)の条件式と(2)の結果を組み合わせる。
• 波長\(\lambda\)が \(4.0 \times 10^{-7} \, \text{m} \le \lambda \le 8.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\) の範囲にある。
• 条件を満たす正の整数\(m\)をすべて見つけ出す。

具体的な解説と立式
(1)で求めた強め合いの条件式 \(2nL \cos r = m\lambda\) を用います。
この式に、\(n=\sqrt{3}\), \(r=30^\circ\), \(L=7.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\) を代入します。
$$ 2 \times \sqrt{3} \times (7.0 \times 10^{-7}) \times \cos 30^\circ = m\lambda $$
この式を\(\lambda\)について解くことで、条件を満たす波長を\(m\)の関数として求めます。

まず、式の左辺を計算します。\(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) なので、
$$
\begin{aligned}
2 \times \sqrt{3} \times L \times \frac{\sqrt{3}}{2} &= m\lambda \\[2.0ex]3L &= m\lambda
\end{aligned}
$$
\(\lambda\)について解くと、
$$ \lambda = \frac{3L}{m} $$
ここに \(L=7.0 \times 10^{-7}\) を代入します。
$$ \lambda = \frac{3 \times (7.0 \times 10^{-7})}{m} = \frac{21.0 \times 10^{-7}}{m} $$
この\(\lambda\)が可視光線の範囲 \(4.0 \times 10^{-7} \le \lambda \le 8.0 \times 10^{-7}\) にある条件を考えます。
$$ 4.0 \times 10^{-7} \le \frac{21.0 \times 10^{-7}}{m} \le 8.0 \times 10^{-7} $$
両辺を \(10^{-7}\) で割り、逆数をとると（不等号の向きが変わる）、
$$ \frac{1}{8.0} \le \frac{m}{21.0} \le \frac{1}{4.0} $$
両辺に \(21.0\) を掛けると、
$$ \frac{21.0}{8.0} \le m \le \frac{21.0}{4.0} $$
$$ 2.625 \le m \le 5.25 $$
この範囲にある正の整数\(m\)は、\(m=3, 4, 5\) です。
それぞれの\(m\)に対応する波長\(\lambda\)を計算します。

• \(m=3\) のとき:
  $$ \lambda_3 = \frac{21.0 \times 10^{-7}}{3} = 7.0 \times 10^{-7} \, \text{[m]} $$
• \(m=4\) のとき:
  $$ \lambda_4 = \frac{21.0 \times 10^{-7}}{4} = 5.25 \times 10^{-7} \, \text{[m]} $$
• \(m=5\) のとき:
  $$ \lambda_5 = \frac{21.0 \times 10^{-7}}{5} = 4.2 \times 10^{-7} \, \text{[m]} $$

(1)と(2)で作った「明るくなるための設計図」の式に、問題で与えられた膜の厚さLなどの具体的な数値をすべて入れ込みます。すると、「波長\(\lambda\) = ある数字 ÷ \(m\)」という簡単な式が出来上がります。
あとは、整数\(m\)に 1, 2, 3, … と順番に代入して\(\lambda\)を計算し、その答えが可視光線の範囲（4.0～8.0 ×10⁻⁷m）に収まっているものをすべて選び出せば完了です。

計算の結果、\(m=3, 4, 5\) の場合に、波長が可視光線の範囲に入ることがわかりました。それぞれの波長は \(7.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\), \(5.25 \times 10^{-7} \, \text{m}\), \(4.2 \times 10^{-7} \, \text{m}\) です。模範解答では \(5.25 \times 10^{-7} \, \text{m}\) が有効数字2桁で \(5.3 \times 10^{-7} \, \text{m}\) と丸められていますが、計算結果としては同じです。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜入射における光路差の公式:
  • 核心: 光が薄膜に斜めに入射する場合、干渉する2つの光の光路差は \(2nL \cos r\) で与えられます。垂直入射の場合の \(2nL\) とは異なり、屈折角\(r\)の余弦 \(\cos r\) が掛かる点を正確に理解することが第一の核心です。
  • 理解のポイント: 光が斜めに進むことで、膜内での往復距離は長くなりますが、波面を基準に考えると、光路差は垂直入射よりも小さくなります。この \(\cos r\) の因子は幾何学的な関係から導かれます。
• 反射の位相変化の総合判断:
  • 核心: 干渉条件は、反射による位相変化の「差」で決まります。今回は、上面（空気→膜）と下面（膜→ガラス）の両方で屈折率が「小→大」となるため、両方の反射光で位相が\(\pi\)ずれます。
  • 理解のポイント:
    • 上面反射: 位相が\(\pi\)ずれる。
    • 下面反射: 位相が\(\pi\)ずれる。
    • 結果: 2つの光の位相のずれの差は \(\pi – \pi = 0\) となります。したがって、干渉条件は、反射による位相変化がない場合と同じ「光路差 = 整数倍の波長」で強め合いとなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • シャボン玉の干渉（膜の下が空気）: 膜の下が空気（屈折率が膜より小さい）の場合、下面の反射は「大→小」となり、位相はずれません。その結果、上面反射（ずれる）と下面反射（ずれない）で位相のずれの差が\(\pi\)となり、強め合いの条件が \(2nL \cos r = (m+1/2)\lambda\) に変わります。
  • 厚さが変化する膜: 膜の厚さ\(L\)が場所によって変わる場合、強め合いの条件を満たす場所が縞模様（干渉縞）として現れます。同じ明るさの縞は、\(L \cos r\) が等しい場所を結んだ線となります。
  • 白色光の入射: 白色光を入射させると、波長\(\lambda\)によって強め合う条件が異なるため、膜が虹色に見えます。特定の\(m\)と\(L, r\)に対して強め合う特定の色の光だけが見えることになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 媒質の構成を把握: まず「空気 | 膜 | ガラス」のように、3層の媒質とそれぞれの屈折率の大小関係（\(n_{\text{空気}} < n_{\text{膜}} < n_{\text{ガラス}}\)）を明確に把握します。
  2. 光の経路を図示: 干渉する2つの光の経路（上面反射と下面反射）を正確に図に描き込みます。
  3. 位相変化の判定: 2つの反射面それぞれについて、屈折率の大小関係から位相がずれる（\(\pi\)）か、ずれない（0）かを判断し、その差を求めます。
  4. 光路差の公式を選択: 入射が垂直か斜めかを確認し、適切な光路差の公式（\(2nL\) または \(2nL \cos r\)）を選択します。
  5. 条件式を立式: 位相のずれの差と光路差から、強め合い（または弱め合い）の条件式を立てます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路差の公式の混同:
  • 誤解: 斜め入射の問題なのに、垂直入射用の光路差の公式 \(2nL\) を使ってしまう。
  • 対策: 「斜めに入射したら \(\cos r\) がつく」と強く意識します。問題の図に光線が斜めに描かれていたら、必ず \(2nL \cos r\) を使う、と機械的に判断するのも一つの手です。
• 位相変化の判定ミス:
  • 誤解: 膜の下がガラスであることを見落とし、シャボン玉と同じように下面の反射では位相がずれないと判断してしまう。
  • 対策: 問題文の「その下に屈折率がnより大きいガラスがある」という記述は、この問題の最重要条件です。必ずチェックする癖をつけ、媒質の構成を図に書き込みましょう。
• 屈折角と入射角の混同:
  • 誤解: 光路差の式の \(\cos r\) に、入射角 \(i\) の値を入れてしまう。
  • 対策: 光路差はあくまで「膜の中」での経路に関わる量なので、使う角度も「膜の中」の角度、つまり屈折角\(r\)である、と論理的に結びつけて覚えます。
• 整数\(m\)の範囲の特定ミス:
  • 誤解: (3)で不等式を解いて \(m\) の範囲を求めるときに、計算を誤ったり、範囲に含まれる整数を数え間違えたりする。
  • 対策: \(2.625 \le m \le 5.25\) のような範囲が出てきたら、数直線を書いて視覚的に確認すると、\(m=3, 4, 5\) であることが一目でわかり、ミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光路差の式 (\(2nL \cos r\)):
  • 選定理由: (1)で、斜めに入射する光が干渉する際の光路差を正しく表現するために必須の公式です。
  • 適用根拠: 幾何学的な作図により導出されます。膜内を進む光(ABC)と、もし膜が無く空気中を進んだ場合の光(A’C)の光路長の差を計算することで得られます。この導出過程を一度は自分で追っておくことが、公式の深い理解と記憶の定着につながります。
• 屈折の法則 (\(n_1 \sin i = n_2 \sin r\)):
  • 選定理由: (2)で、光路差の計算に必要な屈折角\(r\)を、既知の入射角\(i\)から求めるために使用します。
  • 適用根拠: 波の伝播を記述するホイヘンスの原理から導かれる、光の基本的な性質です。異なる媒質間での光の振る舞いを記述する上で不可欠です。
• 干渉条件式 (\(光路差 = m\lambda\)):
  • 選定理由: (1), (3)で「明るく見える」という物理現象を、数式として定量的に扱うために必要です。
  • 適用根拠: 波の重ね合わせの原理に基づきます。2つの波の山と山（または谷と谷）が重なるとき、振幅が最大になり強め合います。これは、2つの波の位相差が \(2\pi\) の整数倍であることに相当します。今回は反射による位相差が0なので、光路差が波長の整数倍になるという条件に帰着します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の正確な値: \(\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2\)、\(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\) のような、頻出する三角関数の値は瞬時に、かつ正確に使えるようにしておくことが大前提です。
• ルートを含む計算: (3)の条件式を立てる際の \(2 \times \sqrt{3} \times L \times (\sqrt{3}/2) = 3L\) のような計算は、焦らず一つ一つ丁寧に行いましょう。
• 不等式の処理: (3)で \(m\) の範囲を求める不等式 \(4.0 \le \frac{21.0}{m} \le 8.0\) を解く際、逆数をとって \(1/8.0 \le m/21.0 \le 1/4.0\) と変形するステップは、不等号の向きが変わるなど間違いやすいポイントです。慎重に計算を進めましょう。
• 最終的な値の吟味: (3)で求めた波長が、指定された可視光線の範囲 \(4.0 \times 10^{-7} \text{m}\) から \(8.0 \times 10^{-7} \text{m}\) にきちんと収まっているかを、最後に必ず検算する習慣をつけましょう。

298 ニュートンリング

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ニュートンリング」です。平面ガラスと平凸レンズの間にできる、くさび形の空気層による光の干渉現象を扱います。幾何学的な関係から空気層の厚さを求め、それを光の干渉条件に適用する、という複合的な思考が求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図に示されたレンズとガラスの断面図から、幾何学的な関係式を導出する問題です。中心O、レンズ球面上の点C、接触点Bを含む直角三角形に注目し、三平方の定理を適用するのが定石です。
この設問における重要なポイント

• 図から適切な直角三角形（\(\triangle OCH\)）を見つけ出す。
• 三平方の定理を正しく適用する。
• 問題文で与えられた近似条件 \(d \ll R\) を利用して、\(d^2\) の項を無視する。

具体的な解説と立式
図の直角三角形\(\triangle OCH\)に着目します。各辺の長さは以下のようになります。

• 斜辺 OC: レンズの曲率半径なので \(R\)
• 辺 OH: \(OB – HB = R – d\)
• 辺 HC: 中心からの距離なので \(r\)

三平方の定理 \(OC^2 = OH^2 + HC^2\) を適用すると、
$$ R^2 = (R-d)^2 + r^2 $$

上記で立てた式を展開して整理します。
$$
\begin{aligned}
R^2 &= R^2 – 2Rd + d^2 + r^2 \\[2.0ex]0 &= -2Rd + d^2 + r^2 \\[2.0ex]r^2 &= 2Rd – d^2
\end{aligned}
$$
ここで、問題文の条件 \(d \ll r \ll R\) より、\(d\)は\(R\)に比べて非常に小さいため、\(d^2\)の項は\(2Rd\)に比べて無視できるほど小さいと考えられます。
したがって、\(d^2 \approx 0\) と近似すると、
$$ r^2 \approx 2Rd $$
この式を\(d\)について解くと、
$$ d \approx \frac{r^2}{2R} $$
となり、示すべき関係式が導かれます。

レンズの断面図を見て、中心O、点H、点Cを結んでできる直角三角形を探します。この三角形にピタゴラスの定理（三平方の定理）を当てはめます。出てきた式を整理すると、\(r^2 = 2Rd – d^2\) となります。ここで、レンズは非常に緩やかにカーブしている（\(R\)がとても大きい）ので、空気層の厚さ\(d\)はすごく薄いです。すごく薄い値を2乗すると、もっともっと小さくなるので、\(d^2\)は「ほぼ0」と見なして無視してしまいます。すると、求めたい式が出てきます。

三平方の定理と、物理的状況に基づいた近似によって、空気層の厚さ\(d\)と中心からの距離\(r\)、レンズの曲率半径\(R\)の関係式を正しく導出できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
ニュートンリングの暗環の条件を考えます。干渉するのは、レンズの下面で反射する光と、平面ガラスの上面で反射する光です。これらの光の光路差と位相変化を調べ、弱め合いの条件式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 光路差: 空気層（屈折率\(n=1.0\)）を往復するので、光路差は \(2d\)。
• 位相変化:
  • レンズ下面での反射: ガラス（大）→空気（小）なので、位相はずれない。
  • ガラス上面での反射: 空気（小）→ガラス（大）なので、位相が\(\pi\)ずれる。
• 干渉条件: 片方の光だけ位相がずれるので、弱め合い（暗環）の条件は「光路差＝波長の整数倍」となる。
• \(m\)の数え方: 「中心は0番目」なので、10番目の暗環は \(m=10\) に対応する。

具体的な解説と立式
暗環（弱め合い）の条件を考えます。
光路差は空気層の往復距離なので \(2d\) です。
反射による位相変化は、

1. レンズ下面（ガラス→空気）の反射: 屈折率「大→小」なので位相変化なし。
2. 平面ガラス上面（空気→ガラス）の反射: 屈折率「小→大」なので位相が\(\pi\)ずれる。

2つの光の間で位相が\(\pi\)（半波長分）ずれているため、弱め合う条件は光路差が波長の整数倍になるときです。
$$ 2d = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) \quad \cdots ② $$
(1)で求めた関係式 \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R} \quad \cdots ①\) を②に代入します。
$$ 2 \times \frac{r^2}{2R} = m\lambda $$
$$ \frac{r^2}{R} = m\lambda $$

上記で立てた式を\(R\)について解きます。
$$ R = \frac{r^2}{m\lambda} $$
10番目の暗環なので \(m=10\)、その半径は \(r = 1.2 \, \text{cm} = 1.2 \times 10^{-2} \, \text{m}\)、波長は \(\lambda = 6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\) です。これらの値を代入します。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{(1.2 \times 10^{-2})^2}{10 \times (6.0 \times 10^{-7})} \\[2.0ex]&= \frac{1.44 \times 10^{-4}}{60 \times 10^{-7}} \\[2.0ex]&= \frac{1.44 \times 10^{-4}}{6.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]&= 0.24 \times 10^2 \\[2.0ex]&= 24 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

暗い環ができる条件を考えます。レンズの底で反射する光とガラスの表面で反射する光が干渉しますが、ガラス表面の反射だけ位相がひっくり返ります。この場合、2つの光の経路の差がちょうど波長の整数倍（0倍, 1倍, 2倍, …）になるとき、光は打ち消し合って暗くなります。この条件の式と、(1)で求めたレンズの形に関する式を合体させ、与えられた数値を代入してレンズの曲がり具合（半径R）を計算します。

レンズの曲率半径は24 mと計算できました。ニュートンリングの実験で使われるレンズは、肉眼ではほとんど平らに見えるほど曲率半径が大きなものなので、この値は物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
レンズとガラスの隙間を屈折率\(n\)の液体で満たした場合、光路差と位相変化がどう変わるかを考えます。
この設問における重要なポイント

• 光路差: 隙間が屈折率\(n\)の液体で満たされるため、光路差は \(2nd\) に変わる。
• 位相変化:
  • レンズ下面の反射: ガラス（大）→液体（小）なので、位相はずれない。
  • ガラス上面の反射: 液体（小）→ガラス（大）なので、位相が\(\pi\)ずれる。
• 干渉条件: 位相変化の状況は空気のときと同じ（片方だけずれる）なので、暗環の条件式の形は変わらず「光路差＝波長の整数倍」となる。

具体的な解説と立式
隙間を屈折率\(n\)の液体で満たした場合、光路差は \(2nd\) となります。
反射による位相変化は、

1. レンズ下面（ガラス→液体）の反射: 問題文より\(n\)はガラスの屈折率より小さいので、「大→小」。位相変化なし。
2. 平面ガラス上面（液体→ガラス）の反射: 問題文より\(n\)はガラスの屈折率より小さいので、「小→大」。位相が\(\pi\)ずれる。

位相差が\(\pi\)ある状況は変わらないので、暗環の条件は、
$$ 2nd = m\lambda $$
となります。ここに、(1)の関係式 \(d = \displaystyle\frac{r’^2}{2R}\)（\(r’\)は液体を入れたときの半径）を代入すると、
$$ 2n \times \frac{r’^2}{2R} = m\lambda $$
$$ \frac{nr’^2}{R} = m\lambda $$

液体を入れたときの半径\(r’\)について解くと、
$$ r’^2 = \frac{mR\lambda}{n} \quad \rightarrow \quad r’ = \sqrt{\frac{mR\lambda}{n}} $$
一方、液体を入れる前（空気、\(n=1\)）の半径\(r\)は、(2)の途中式から、
$$ r^2 = mR\lambda \quad \rightarrow \quad r = \sqrt{mR\lambda} $$
両者の比をとると、
$$ \frac{r’}{r} = \frac{\sqrt{\frac{mR\lambda}{n}}}{\sqrt{mR\lambda}} = \sqrt{\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} $$
したがって、暗環の半径は \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\) 倍になります。

隙間を液体で満たすと、光が「寄り道」する部分の進みにくさが変わるため、光路差が\(n\)倍になります。しかし、反射で位相がひっくり返るルールは空気のときと同じです。そのため、暗くなる条件は「新しい光路差 \(2nd\) = 波長の整数倍」となります。この式から新しい半径\(r’\)を求め、元の半径\(r\)と割り算して、何倍になったかを計算します。

液体で満たすと光路差が大きくなるため、同じ次数の暗環（同じ\(m\)）は、より小さい厚さ\(d\)、すなわちより中心に近い半径\(r’\)で生じることになります。半径が小さくなるという結果（\(n>1\)なので\(1/\sqrt{n} < 1\)）は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 幾何学的関係と干渉条件の融合:
  • 核心: ニュートンリングの問題は、レンズの曲がり具合という「幾何学」と、光の波としての性質である「干渉」という、2つの異なる分野の知識を組み合わせて解く点に特徴があります。
  • 理解のポイント:
    • 幾何学: まず、三平方の定理を用いて、レンズの曲率半径\(R\)と中心からの距離\(r\)、そして隙間の厚さ\(d\)の関係式 \(d \approx \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を導き出します。
    • 干渉: 次に、光の干渉条件（光路差と位相変化）を考え、厚さ\(d\)と波長\(\lambda\)の関係式を立てます。
    • これら2つの式を連立させることで、観測されるリングの半径\(r\)とレンズの形状\(R\)を結びつけます。
• 反射における位相変化のルール:
  • 核心: 干渉の結果（明暗）を決定づける重要なルールです。
  • 理解のポイント:
    • レンズ下面での反射: ガラス（屈折率 大）から空気や液体（屈折率 小）へ向かう境界なので、位相はずれません。
    • ガラス上面での反射: 空気や液体（屈折率 小）からガラス（屈折率 大）へ向かう境界なので、位相が\(\pi\)（半波長分）ずれます。
    • この結果、干渉する2つの光の間には常に\(\pi\)の位相差が生じるため、弱め合い（暗環）の条件が「光路差 = 波長の整数倍」というシンプルな形になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 明環の半径を求める問題: もし明環の半径を問われたら、弱め合いではなく強め合いの条件を立てます。反射で位相が\(\pi\)ずれているので、強め合いの条件は「光路差 = 半波長の奇数倍」(\(2nd = (m+1/2)\lambda\))となります。
  • 透過光のニュートンリング: レンズとガラスを透過した光の干渉を考える問題。この場合、干渉するのは「直接透過する光」と「2回反射してから透過する光」です。2回の反射はどちらも「大→小」なので位相はずれません。よって、強め合いの条件は \(2nd = m\lambda\)、弱め合いは \(2nd = (m+1/2)\lambda\) となり、反射光で見る場合と明暗が逆転します。
  • レンズを上から押さえつける問題: レンズを押し下げて厚さ\(d\)が減少すると、同じ次数のリング（同じ\(m\)）は半径\(r\)が小さくなるため、リングが中心に向かって吸い込まれるように動きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 幾何学的関係の確認: まず、図から\(d\)と\(r\)の関係を導きます。三平方の定理と近似が基本です。
  2. 干渉する光の経路を特定: 反射光を見ているのか、透過光を見ているのかを問題文から確認します。
  3. 媒質の屈折率を確認: 隙間が空気か、液体か。レンズやガラスの屈折率との大小関係はどうか。これにより位相変化のルールが決まります。
  4. 位相変化の判定: 各反射面で「小→大」か「大→小」かを判定し、位相のずれの有無を確認します。
  5. 問われているのは明環か暗環か: 問題文が「明るい環」か「暗い環」かを確認し、適切な干渉条件（強め合い/弱め合い）を選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 幾何学的近似のミス:
  • 誤解: \(r^2 = 2Rd – d^2\) の式で、\(2Rd\)の項を無視してしまったり、近似の仕方を間違えたりする。
  • 対策: \(d\)は\(R\)に比べて「非常に小さい」というスケール感を常に意識します。非常に小さい数\(d\)を2乗した\(d^2\)は、\(d\)そのものよりもさらに無視できるほど小さくなる、と理解します。
• 暗環と明環の条件の混同:
  • 誤解: 反射で位相がずれているのに、弱め合い（暗環）の条件を \(2d = (m+1/2)\lambda\) と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「反射で位相が\(\pi\)ずれると、干渉条件が逆転する」と覚えます。つまり、本来の強め合い条件（整数倍）が弱め合いに、弱め合い条件（半整数倍）が強め合いになる、と整理します。
• \(m\)の数え方のミス:
  • 誤解: 「10番目の暗環」を\(m=9\)としてしまう。
  • 対策: 問題文の「中心は0番目とする」という注記を必ず確認します。0番目から数え始めるので、N番目は\(m=N\)に対応します。中心(\(r=0, d=0\))では、光路差が0で暗環の条件 \(2d=0\cdot\lambda\) を満たすため、中心が0番目の暗環となることを理解しておきます。
• 単位の換算ミス:
  • 誤解: (2)で半径\(r\)をcmのまま計算してしまう。
  • 対策: 計算に使う物理量は、必ずメートル(m)などの基本単位（SI単位系）に統一する習慣をつける。\(1.2 \, \text{cm} = 1.2 \times 10^{-2} \, \text{m}\) の換算を忘れない。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 幾何学的近似式 (\(d \approx r^2/(2R)\)):
  • 選定理由: (1)で、観測可能な量（半径\(r\)）と、直接測定が難しい微小な厚さ\(d\)を結びつけるために必要。これにより、干渉条件を\(r\)の式で表現できるようになります。
  • 適用根拠: 三平方の定理という厳密な幾何学法則と、\(d \ll R\) という物理的な状況設定（レンズの曲率が非常に緩やかであること）に基づいた数学的近似から導かれます。
• 干渉条件式 (\(2nd = m\lambda\)):
  • 選定理由: (2), (3)で「暗環」という物理現象を数式で表現し、未知数（\(R\)や\(r’\)）を求めるために必要。
  • 適用根拠: 波の重ね合わせの原理に基づきます。2つの波が逆位相（位相差が\(\pi, 3\pi, \dots\)）で重なると打ち消し合います。ニュートンリングの反射光では、反射の時点で既に位相差が\(\pi\)あるため、光路差による位相差が\(2\pi\)の整数倍（つまり光路差が波長の整数倍）のときに、合計の位相差が\(\pi\)の奇数倍となり、弱め合いが起こります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算: (2)の\(R\)の計算では、\((1.2 \times 10^{-2})^2 = 1.44 \times 10^{-4}\) のように、係数と指数の両方を正しく2乗します。また、分数の計算では、\(10^{-4} / 10^{-7} = 10^{-4 – (-7)} = 10^3\) のように、指数の引き算を慎重に行います。
• 単位の統一: 計算前に、すべての値をメートル、秒などの基本単位に変換するリストを作る。「\(r = 1.2 \, \text{cm} \rightarrow 1.2 \times 10^{-2} \, \text{m}\)」のように書き出しておくと、代入ミスを防げます。
• 平方根の扱い: (3)で半径の比を求める際、\(r’ = \sqrt{\frac{mR\lambda}{n}}\) と \(r = \sqrt{mR\lambda}\) のように、平方根の中身を整理してから比をとる。\(\frac{r’}{r} = \sqrt{\frac{r’^2}{r^2}}\) のように、2乗の比の平方根として計算すると、共通項が消えやすく、計算が楽になります。
• 近似の意識: この問題は全体が \(d \ll R\) という近似の上に成り立っていることを意識する。最終的な答えが物理的に妥当か（例：Rが非常に大きい値になるか）を考えることで、大きな計算ミスに気づくことがあります。

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