「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 23】Step1 & 例題

Step1

① 干渉縞の間隔

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ヤングの干渉実験における干渉縞の間隔」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
ヤングの実験では、2つのスリットを通った光が互いに干渉し合うことで、スクリーン上に明暗の縞模様（干渉縞）ができます。この問題は、その「縞の間隔」がどのような要因によって変化するのかを問うています。
結論から言えば、干渉縞の間隔 \(\Delta x\) は公式 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) で与えられます。この公式を正しく導出し、各物理量が分母にあるのか分子にあるのかを理解することが、問題を解くための鍵となります。公式を丸暗記するのではなく、なぜこの形になるのか、その導出過程を理解しておくことが応用力を高めます。

この設問における重要なポイント

• 干渉縞の間隔の公式: \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\)
• 各文字の意味:
  • \(\Delta x\): 隣り合う明線（または暗線）の間隔
  • \(L\): スリットからスクリーンまでの距離
  • \(\lambda\): 光の波長
  • \(d\): 複スリットS₁, S₂の間隔
• 公式から読み取れる関係:
  • \(\Delta x\) は \(d\) に反比例します。つまり、スリット間隔 \(d\) が小さいほど、干渉縞の間隔 \(\Delta x\) は大きくなります。
  • \(\Delta x\) は \(\lambda\) に比例します。つまり、波長 \(\lambda\) が長いほど、干渉縞の間隔 \(\Delta x\) は大きくなります。
• 可視光の波長: 光は色によって波長が異なります。可視光では、赤色光が最も波長が長く、青色（紫色）光は波長が短くなります。(\(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{青}}\))

具体的な解説と立式
ヤングの実験において、スクリーン上の中心から距離 \(x\) の点にできる明線の条件を考えます。
スリット間隔を \(d\)、スリットからスクリーンまでの距離を \(L\) とすると、2つのスリットから点 \(x\) までの経路差は \(\displaystyle\frac{dx}{L}\) と近似できます。
明線ができる条件は、この経路差が波長 \(\lambda\) の整数 \(m\) 倍になるときです。
$$ \frac{dx}{L} = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) \quad \cdots ① $$
この式を \(x\) について解くと、\(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) が求まります。
$$ x_m = \frac{mL\lambda}{d} \quad \cdots ② $$
干渉縞の間隔 \(\Delta x\) は、隣り合う明線の間隔なので、\((m+1)\) 番目の明線の位置 \(x_{m+1}\) と \(m\) 番目の明線の位置 \(x_m\) の差として計算できます。
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m \quad \cdots ③ $$
この \(\Delta x\) を求めることで、各設問に答えることができます。

式②、③を用いて、干渉縞の間隔 \(\Delta x\) を具体的に計算します。
\((m+1)\) 番目の明線の位置 \(x_{m+1}\) は、式②の \(m\) に \((m+1)\) を代入して、
$$ x_{m+1} = \frac{(m+1)L\lambda}{d} $$
よって、干渉縞の間隔 \(\Delta x\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m \\[2.0ex]&= \frac{(m+1)L\lambda}{d} – \frac{mL\lambda}{d} \\[2.0ex]&= \frac{mL\lambda + L\lambda – mL\lambda}{d} \\[2.0ex]&= \frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$
この公式 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) を用いて各設問を考えます。

(1) \(\Delta x\) とスリット間隔 \(d\) の関係
公式より、\(\Delta x\) は \(d\) に反比例します。したがって、\(d\) が小さいときの方が \(\Delta x\) は大きくなります。

(2) \(\Delta x\) と波長 \(\lambda\) の関係
公式より、\(\Delta x\) は \(\lambda\) に比例します。赤色光は青色光よりも波長が長い（\(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{青}}\)）ため、赤い光を用いたときの方が \(\Delta x\) は大きくなります。

ヤングの実験でできる縞模様の間隔 \(\Delta x\) は、\(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) という公式で表せます。この公式を分数の計算問題のように考えてみましょう。

• \(L\) はスリットとスクリーンの距離、\(\lambda\) は光の波長（色）、\(d\) はスリットのすき間の幅です。
• (1) スリットの幅 \(d\) は、公式の「分母」にあります。算数で習ったように、分母の数が小さいほど、分数全体の答えは大きくなります。なので、\(d\) が「小さいとき」に縞の間隔 \(\Delta x\) は大きくなります。
• (2) 光の波長 \(\lambda\) は、公式の「分子」にあります。分子の数が大きいほど、分数全体の答えは大きくなります。光の色では、虹の色の順番で赤が一番波長が長く、青や紫は短いです。なので、波長 \(\lambda\) が大きい「赤い光」のときに、縞の間隔 \(\Delta x\) は大きくなります。

② 回折格子の格子定数

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回折格子の格子定数の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
回折格子とは、ガラス板などに非常にたくさんの細い溝（スリット）を等間隔に刻んだものです。光を波として考えたとき、この回折格子を通ることで光は干渉し、スペクトルのように色が分かれて見えます。
この問題で問われている「格子定数 \(d\)」とは、その無数にある溝と溝の「1つ分の間隔」のことです。問題文には「\(1.0 \, \text{cm}\) あたり \(500\) 本の溝がある」と書かれています。これは、\(500\) 本の溝をずらっと並べると、その全体の長さが \(1.0 \, \text{cm}\) になる、ということです。
したがって、全体の長さを溝の本数で割れば、溝1本あたりの間隔、すなわち格子定数が求められます。計算の際には、単位をcmからmへ変換することを忘れないように注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 格子定数 \(d\) の定義: 隣り合う溝（スリット）の中心間の距離。
• 計算方法: 格子定数は、与えられた長さとその中に含まれる溝の本数から、次のように計算できます。\(d = \displaystyle\frac{\text{全体の長さ}}{\text{溝の本数}}\)
• 単位換算: 問題はcmで与えられていますが、答えはmで求められているため、単位換算が必要です。\(1 \, \text{cm} = 10^{-2} \, \text{m}\)
• 有効数字: 問題文の数値が「1.0cm」「500本」と与えられているため、計算結果も有効数字2桁で表すのが適切です。

具体的な解説と立式
まず、問題文の情報を整理します。

• 全体の長さ: \(L = 1.0 \, \text{cm}\)
• その長さに含まれる溝の本数: \(N = 500\) 本

求めたいのは格子定数 \(d\) [\(\text{m}\)] です。
格子定数 \(d\) は、全体の長さをその中に含まれる溝の本数で割ることで求められます。
$$ d = \frac{L}{N} $$
計算する前に、単位を国際単位系（SI）のメートル[\(\text{m}\)]に統一します。
$$ L = 1.0 \, \text{cm} = 1.0 \times 10^{-2} \, \text{m} $$
これらの値を式に代入して、格子定数 \(d\) を求める式を立てます。
$$ d = \frac{1.0 \times 10^{-2}}{500} \quad \cdots ① $$

式①を計算します。
$$
\begin{aligned}
d &= \frac{1.0 \times 10^{-2}}{500} \\[2.0ex]&= \frac{1.0 \times 10^{-2}}{5.0 \times 10^2} \\[2.0ex]&= \frac{1.0}{5.0} \times 10^{-2-2} \\[2.0ex]&= 0.20 \times 10^{-4} \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-1} \times 10^{-4} \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-5} \, \text{m}
\end{aligned}
$$
したがって、この回折格子の格子定数は \(2.0 \times 10^{-5} \, \text{m}\) です。

「格子定数」と聞くと難しそうですが、要は「たくさんの溝の、1つ分の間隔はどれくらい？」というだけの話です。

1. 問題文は「\(1.0 \, \text{cm}\) の長さに \(500\) 本の溝がぎっしり詰まっている」と言っています。
2. じゃあ、溝1本分の間隔は？と聞かれたら、全体の長さを本数で割ればいいですよね。（例：10cmのパンを5等分したら、1切れの長さは 10 ÷ 5 = 2cm）
3. 計算の前に、単位をmに揃えます。\(1.0 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}\) です。
4. では計算してみましょう。格子定数 \(d = \displaystyle\frac{\text{全体の長さ}}{\text{本数}} = \frac{0.01 \, \text{m}}{500 \, \text{本}} = 0.00002 \, \text{m}\)
5. このままだと0が多くて読みにくいので、理科でよく使う \(A \times 10^n\) の形に直します。有効数字を2桁にすると、\(2.0 \times 10^{-5} \, \text{m}\) となります。

③ 回折格子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回折格子の原理」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
回折格子によって鋭い明線ができる現象は、実は「回折」と「干渉」という2つの物理現象が連続して起こることで説明されます。この2段階のプロセスを正確に理解することが、この問題を解く鍵となります。

1. 第一段階：回折
   光が回折格子の一つ一つの非常に狭いスリット（透明な部分）を通過するとき、波の性質によって光は直進するだけでなく、スリットの背後に回り込むように広がります。この現象が「回折」です。
2. 第二段階：干渉
   回折格子には無数のスリットがあるため、それぞれのスリットから回折した光（たくさんの波）が出てきます。これらの波が空間で重なり合い、特定の方向では波の山と山、谷と谷がそろって強め合います。この現象が「干渉」です。この強め合いによって、スクリーン上に明るい線（明線）が観測されます。

この問題は、この2段階のプロセスを正しく言葉で表現できるかを問うています。

この設問における重要なポイント

• 回折 (Diffraction): 波がスリットのような狭い隙間を通過するときに、その背後に回り込んで広がっていく現象。回折格子では、まず各スリットでこの現象が起こることが前提となる。
• 干渉 (Interference): 複数の波が重なり合うことで、互いに強め合ったり弱め合ったりする現象。回折格子では、多数のスリットから回折した波同士が干渉し、明暗の縞模様を作る。
• 屈折 (Refraction): 光が空気から水に入るなど、異なる媒質の境界で進行方向を変える現象。狭い隙間を通り抜ける現象とは異なる。
• 散乱 (Scattering): 光が空気中のチリなどに当たって、四方八方に不規則に散らばる現象。空が青く見える原因。特定の方向に規則的な明線を作る回折格子の現象とは異なる。

具体的な解説と立式
この問題は物理現象の概念的な理解を問うものであり、計算式を立てる必要はありません。文中の空欄に当てはまる物理用語を、その定義に基づいて選びます。

1. 最初の空欄: {屈折・回折}
文脈は「多くの溝と溝との間の透明な部分から出るときに｛　｝した光」となっています。この「透明な部分」は光にとって非常に狭いスリットです。波が狭いスリットを通過する際に、その背後に回り込むように広がる現象は「回折」です。したがって、最初の空欄には回折が入ります。

2. 次の空欄: {干渉・散乱}
文脈は「回折した光が｛　｝するためである」となっています。回折格子には多数のスリットがあり、それぞれのスリットから回折した光（波）が広がっていきます。これらの多数の波が重なり合い、特定の方向で強め合って「鋭い明線」を作ります。複数の波が重なり合って強め合ったり弱め合ったりする現象は「干渉」です。したがって、次の空欄には干渉が入ります。

この問題に計算過程はありません。

回折格子で明線ができる仕組みを、2つのステップで考えてみましょう。

• ステップ1：光が狭いすき間を通り抜ける光が回折格子のとても狭いすき間（溝）を通ると、まっすぐ進むだけでなく、じわっと扇状に広がります。水面の波が防波堤の狭い切れ目を通ると、その向こう側に円形に広がっていくのと同じイメージです。この現象を「回折」と呼びます。「屈折」は水の中のストローが曲がって見える現象なので、ここでは違います。
• ステップ2：広がった光どうしが力を合わせる回折格子にはすき間がたくさんあるので、それぞれのすき間から広がった光（波）がたくさん出てきます。これらの波が重なり合うとき、波のタイミング（山と谷）がうまくそろう方向があります。その方向では、光がとても強くなります。これが「明線」の正体です。このように、波どうしが強め合ったり弱め合ったりする現象を「干渉」と呼びます。「散乱」は光がチリなどに当たってバラバラに散らばる現象なので、ここでは違います。

つまり、「回折」した光が「干渉」することで、きれいな明線ができるのです。

④ 回折格子

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「回折格子による明線の方向計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、回折格子の基本的な公式 \(d \sin\theta = m\lambda\) を用いて、具体的な数値を計算する典型的な問題です。計算を正確に行うためには、2つのステップを丁寧に進めることが重要です。
第一のステップは、格子定数 \(d\) の算出です。「1.0cmあたり1000本」という情報から、溝1本あたりの間隔を求めます。このとき、単位をcmからmに変換するのを忘れないようにしましょう。
第二のステップは、明線の条件式への代入と計算です。求めた \(d\) と、問題文で与えられている波長 \(\lambda\)、次数 \(m\) を公式に代入し、未知数である角度 \(\theta\) を求めます。最終的に \(\sin\theta\) の値が、\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) といった有名な角度に対応する値になることが多いと予測しながら計算を進めると、見通しが良くなります。

この設問における重要なポイント

• 格子定数 \(d\) の計算:
  \(d = \displaystyle\frac{\text{全体の長さ}}{\text{溝の本数}}\) で計算します。単位をmに直すことが必須です。
• 回折格子の明線条件式: \(d \sin\theta = m\lambda\)
  • \(d\): 格子定数 [\(\text{m}\)]
  • \(\theta\): 明線ができる方向の角度（入射光に対して測る）
  • \(m\): 明線の次数（\(m=0\)が中央の最も明るい線）
  • \(\lambda\): 光の波長 [\(\text{m}\)]
• 単位の統一: 計算ミスを防ぐため、すべての物理量をm（メートル）に統一してから計算を開始するのが最も安全です。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている値を整理します。

• 溝の密度: 1.0 cm あたり 1000 本
• 光の波長: \(\lambda = 5.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\)
• 明線の次数: \(m = 10\)

最初に、格子定数 \(d\) を計算します。全体の長さ \(L = 1.0 \, \text{cm} = 1.0 \times 10^{-2} \, \text{m}\) を、溝の本数 \(N=1000\) で割ります。
$$ d = \frac{1.0 \times 10^{-2}}{1000} \quad \cdots ① $$
次に、回折格子の明線の条件式に、各値を代入します。求めたい角度を \(\theta\) とすると、条件式は以下のようになります。
$$ d \sin\theta = m\lambda $$
この式に、式①と与えられた \(\lambda\), \(m\) の値を代入すると、\(\theta\) を求めるための方程式が立てられます。
$$ \left( \frac{1.0 \times 10^{-2}}{1000} \right) \sin\theta = 10 \times (5.0 \times 10^{-7}) \quad \cdots ② $$

式②を \(\sin\theta\) について解きます。
まず、式の左辺と右辺をそれぞれ計算しやすい形に変形します。
左辺の格子定数 \(d\) の部分は、
$$ d = \frac{1.0 \times 10^{-2}}{1000} = \frac{1.0 \times 10^{-2}}{10^3} = 1.0 \times 10^{-5} \, \text{m} $$
右辺は、
$$ 10 \times (5.0 \times 10^{-7}) = 50 \times 10^{-7} = 5.0 \times 10^{-6} \, \text{m} $$
したがって、式②は次のようになります。
$$ (1.0 \times 10^{-5}) \sin\theta = 5.0 \times 10^{-6} $$
\(\sin\theta\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
\sin\theta &= \frac{5.0 \times 10^{-6}}{1.0 \times 10^{-5}} \\[2.0ex]&= 5.0 \times 10^{-6 – (-5)} \\[2.0ex]&= 5.0 \times 10^{-1} \\[2.0ex]&= 0.50
\end{aligned}
$$
\(\sin\theta = 0.50\) となる角度は、\(0^\circ \le \theta < 90^\circ\) の範囲で \(\theta = 30^\circ\) です。

この問題は、CDの虹色が見えるのと同じ原理（回折格子）で、特定の色の光がどの角度で強く見えるかを計算する問題です。

1. ステップ1：格子定数 \(d\)（溝1本分の間隔）を求める
   「1.0cmに1000本」なので、1本あたりの間隔 \(d\) は、\(1.0\,\text{cm} \div 1000\) です。計算しやすいように単位をmに直すと、\(0.01\,\text{m} \div 1000 = 0.00001\,\text{m}\) となります。
2. ステップ2：公式に当てはめる
   回折格子の公式は \(d \sin\theta = m\lambda\) です。ここに、わかっている値をすべて入れます。
   • \(d = 0.00001\)
   • \(m = 10\)
   • \(\lambda = 5.0 \times 10^{-7} = 0.0000005\)

   \(0.00001 \times \sin\theta = 10 \times 0.0000005\)

3. ステップ3：計算する
   右辺を計算すると \(10 \times 0.0000005 = 0.000005\)。
   式は \(0.00001 \times \sin\theta = 0.000005\) となります。
   ここから \(\sin\theta\) を求めると、\(\sin\theta = \displaystyle\frac{0.000005}{0.00001} = 0.5\)。
4. ステップ4：角度を求める
   \(\sin\theta\) が \(0.5\) (つまり \(1/2\)) になる角度は、三角定規でおなじみの \(30^\circ\) です。

⑤ 光路長

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「媒質中の光路長の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
光は真空中を最も速く進み、ガラスや水のような媒質中では速度が遅くなります。光の干渉などを考えるとき、異なる媒質を通る光の「波としての進み具合」を同じ基準で比較する必要が出てきます。そのために導入されるのが「光路長（または光学距離）」という概念です。
光路長とは、「媒質中をある距離だけ進むのにかかる時間」と同じ時間で、「真空中ならばどれだけの距離を進めるか」に換算したものです。
屈折率 \(n\) の媒質中では光の速さは真空中の \(\displaystyle\frac{1}{n}\) 倍になるため、進むのに \(n\) 倍の時間がかかります。したがって、光路長は実際の距離の \(n\) 倍になります。この問題は、この定義を理解し、公式に当てはめるだけのシンプルな計算問題です。

この設問における重要なポイント

• 光路長の公式: 屈折率 \(n\) の媒質中を、実際の距離 \(L\) だけ光が進むとき、その光路長 \(L’\) は次式で与えられます。
  \(L’ = nL\)
• 各文字の意味:
  • \(L’\): 光路長（光学距離）[\(\text{m}\)]
  • \(n\): 媒質の絶対屈折率（単位なし）
  • \(L\): 媒質中での実際の距離 [\(\text{m}\)]
• 屈折率 \(n\) は常に1以上なので、光路長 \(L’\) は実際の距離 \(L\) よりも長くなるか、等しくなります（\(n=1\) の真空中の場合）。

具体的な解説と立式
まず、問題で与えられている値を整理します。

• 絶対屈折率: \(n = 1.5\)
• ガラスの厚さ（実際の距離）: \(L = 0.10 \, \text{m}\)

求めたいのは、ガラス中の光路長 \(L’\) です。
光路長の公式 \(L’ = nL\) に、これらの値を代入して式を立てます。
$$ L’ = 1.5 \times 0.10 \quad \cdots ① $$

式①を計算します。
$$
\begin{aligned}
L’ &= 1.5 \times 0.10 \\[2.0ex]&= 0.15 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
したがって、ガラス中の光路長は \(0.15 \, \text{m}\) です。

「光路長」とは、光にとっての「体感距離」のようなものです。
光は、何もない空間（真空）よりもガラスの中の方が進みにくいです。屈折率が1.5ということは、光の速さが \(\displaystyle\frac{1}{1.5}\) 倍に落ちて、進むのに1.5倍の時間がかかる、ということです。

• 光にとって、ガラスの中を \(0.10 \, \text{m}\) 進むのは、何もない空間を \(0.10 \, \text{m}\) 進むより1.5倍大変（時間がかかる）。
• この「大変さ」を距離に換算したのが光路長です。
• 計算はとてもシンプルで、実際の距離に屈折率を掛け算するだけです。
  \( \text{光路長} = \text{実際の距離} \times \text{屈折率} = 0.10 \, \text{m} \times 1.5 = 0.15 \, \text{m} \)

つまり、光からすれば「ガラスの中を0.10m進んだけど、これは真空中の0.15mを進んだのと同じくらい疲れたな」という感覚です。この「0.15m」が光路長です。

⑥ 反射による位相の変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の反射における位相の変化」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
光が異なる物質の境界面で反射するとき、その状況によって反射光の波の形（位相）が反転する場合と、しない場合があります。この違いは、薄膜による干渉など、光の波の性質が関わる現象を理解する上で非常に重要です。
この位相変化のルールは、光が進んできた媒質の屈折率と、反射する相手の媒質の屈折率の大小関係だけで決まります。このルールを覚えるには、ロープの波の反射である「固定端反射」と「自由端反射」をイメージするのが最も効果的です。

この設問における重要なポイント

• ルール1（固定端反射に相当）: 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ向かう境界面で反射するとき、位相は \(\pi\)ずれる。これは、波の山が谷に、谷が山になる「反転」を意味します。
• ルール2（自由端反射に相当）: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ向かう境界面で反射するとき、位相は ずれない。これは、波の山は山のまま、谷は谷のまま反射することを意味します。
• 覚え方として、「屈折率が大きい」＝「光にとって進みにくい、重い相手」とイメージすると、ロープの反射と結びつけやすくなります。

具体的な解説と立式
この問題は計算式を立てるのではなく、上記のルールを各状況に適用します。

1. 最初の空欄：空気から水への反射

• 光が入射してくる媒質：空気（屈折率 \(n_{\text{空気}} = 1.0\)）
• 光が反射する媒質：水（屈折率 \(n_{\text{水}} = 1.3\)）
• 屈折率の大小関係は、\(n_{\text{空気}} < n_{\text{水}}\) となっています。これは「小→大」のパターンです。
• したがって、ルール1（固定端反射に相当）が適用され、光の位相は \(\pi\)ずれる を選びます。

2. 次の空欄：水から空気への反射

• 光が入射してくる媒質：水（屈折率 \(n_{\text{水}} = 1.3\)）
• 光が反射する媒質：空気（屈折率 \(n_{\text{空気}} = 1.0\)）
• 屈折率の大小関係は、\(n_{\text{水}} > n_{\text{空気}}\) となっています。これは「大→小」のパターンです。
• したがって、ルール2（自由端反射に相当）が適用され、光の位相は ずれない を選びます。

この問題に計算過程はありません。

光の反射を、ロープを壁に向かって振ったときの波の反射でイメージしてみましょう。

• 「位相が\(\pi\)ずれる」＝ 固定端反射
  ロープの端を壁にしっかり結びつけて（固定端）、波を送ると、壁で跳ね返った波は上下ひっくり返って戻ってきます。これが「位相が\(\pi\)ずれる」状態です。光の世界では、屈折率が「小さい」媒質（軽いロープ）から「大きい」媒質（重い壁）へ進むときにこの反射が起こります。問題の「空気(屈折率1.0) → 水(屈折率1.3)」の反射は、このパターンに当てはまります。
• 「位相がずれない」＝ 自由端反射
  ロープの端を、自由に上下できるリングに通して（自由端）、波を送ると、跳ね返った波はひっくり返らずにそのままの形で戻ってきます。これが「位相がずれない」状態です。光の世界では、屈折率が「大きい」媒質（重いロープ）から「小さい」媒質（軽いリング）へ進むときにこの反射が起こります。問題の「水(屈折率1.3) → 空気(屈折率1.0)」の反射は、このパターンに当てはまります。

⑦ 薄膜による干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「薄膜による光の干渉」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
シャボン玉が虹色に見えるのは、シャボン玉自体に色がついているからではありません。太陽光や照明の光（白色光）がシャボン玉の薄い膜に当たったときに起こる、光の波の性質に由来する現象です。
この現象の核心は、シャボン玉の膜の「表面で反射する光」と、「膜の内部を一度透過し、裏面で反射してから再び出てくる光」という、2つの経路を通った光が存在することです。この2つの光が私たちの目に届くとき、それらは重なり合います。波である光が重なり合うと、特定の条件で強め合ったり弱め合ったりします。この現象が、空欄①の答えです。
さらに、光が強め合う条件は、2つの光がたどる経路の長さの差（光路差）と、光の波長によって決まります。シャボン玉の膜の厚さは、重力などの影響で場所によって均一ではありません。また、シャボン玉を見る角度によっても、光が膜の中を進む距離は変わります。つまり、見る場所や角度によって光路差が変化するのです。光路差が変わると、強め合う条件を満たす光の「種類」も変わります。この光の「種類」の違いが、空欄②の答えであり、私たちが「色」として認識するものです。

この設問における重要なポイント

• 薄膜による干渉: 薄い膜の表面からの反射光と、裏面からの反射光が重なり合って干渉すること。シャボン玉の虹色は、この薄膜干渉の代表例です。
• 光路差: 2つの光の進む距離の差。シャボン玉の場合、主に膜の厚さ \(d\) と見る角度に依存します。
• 干渉条件と色: 白色光は、様々な波長（色）の光が混ざったものです。膜の厚さや見る角度によって決まる光路差に対して、特定の波長の光だけが強め合う条件を満たします。その結果、その波長に対応する色が強調されて見えるのです。
• 条件の変化: シャボン玉の膜の厚さや見る角度が連続的に変化するため、強め合う波長も連続的に変化し、美しい虹色の模様が生まれます。

具体的な解説と立式
この問題は物理現象の概念的な理解を問うものであり、計算式を立てる必要はありません。文中の空欄に当てはまる物理用語を、その定義に基づいて選びます。

1. 空欄①
シャボン玉の膜の表面で反射した光と、裏面で反射した光が重なり合い、強め合ったり弱め合ったりする現象を「干渉」と呼びます。したがって、空欄①には「干渉」が入ります。

2. 空欄②
干渉によって強め合う条件は、光路差と光の波長で決まります。シャボン玉の膜の厚さや見る角度が場所によって異なるということは、光路差が場所によって異なることを意味します。その結果、それぞれの場所で強め合う条件を満たす光の「波長」が異なります。光の波長の違いは、人間の目には色の違いとして認識されるため、シャボン玉は場所によって色が異なって見えます。したがって、空欄②には「波長」が入ります。

この問題に計算過程はありません。

シャボン玉がなぜ虹色に見えるのか、その仕組みを簡単に説明します。

• シャボン玉の膜は、とても薄い水の膜です。光がシャボン玉に当たると、一部は膜の「表面」で跳ね返り、一部は膜の中を通り抜けて「裏面」で跳ね返ります。
• こうして、私たちの目には「表面で跳ね返った光」と「裏面で跳ね返った光」の2つの光が届きます。この2つの光が目の中で合体するとき、波のタイミングが合えば強め合い、ズレていれば弱め合います。この現象を「① 干渉」と呼びます。
• シャボン玉の膜の厚さは、場所によって少しずつ違います。膜の厚さが違うと、「裏面」で跳ね返る光が走る距離も変わってきます。
• 走る距離が変わると、強め合うことができる光の「色」が変わります。光の色の正体は「② 波長」という波の長さなので、場所によって強め合う波長が違う、ということになります。
• その結果、シャボン玉のある部分では赤い光が、別の部分では青い光が強められて見え、全体としてきれいな虹色の模様が生まれるのです。

⑧ くさび形空気層による干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「くさび形空気層による光の干渉」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
2枚のガラス板で作られたくさび形のすき間（空気層）に上から光を当てると、干渉縞が見えます。これは、空気層の上面（上のガラス板の下面）で反射する光と、空気層の下面（下のガラス板の上面）で反射する光の2つが干渉するために起こります。
この問題を解く上で最も重要なのは、2つの反射における位相変化を正しく理解することです。

1. 上面での反射（光①）: ガラスから空気へ向かう境界面での反射です。屈折率は「大→小」なので、位相はずれません（自由端反射）。
2. 下面での反射（光②）: 空気からガラスへ向かう境界面での反射です。屈折率は「小→大」なので、位相は\(\pi\)ずれます（固定端反射）。

この結果、光路差 \(2d\) に加えて、片方の反射だけで位相が\(\pi\)ずれることによる影響（半波長分のずれ）を考慮して干渉条件を立てる必要があります。
また、「密着させたところから数えて3本目の明線」が次数 \(m\) のいくつに対応するのかを間違えないことも重要です。密着点（\(d=0\)）では、光路差は0ですが、下面反射で位相が\(\pi\)ずれるため、2つの光は弱め合います。つまり、端は暗線になります。したがって、明線は \(m=0, 1, 2, \dots\) と数えて、3本目は \(m=2\) に対応します。

この設問における重要なポイント

• 光路差: 空気層の厚さが \(d\) の場所では、2つの反射光の光路差は往復分の \(2d\) となります。
• 位相変化: 上面反射（ガラス→空気）では位相変化なし。下面反射（空気→ガラス）では位相が\(\pi\)ずれる。
• 明線の条件式: 光路差 \(2d\) が、位相のずれを考慮して「半波長の奇数倍」になるときに強め合います。
  \(2d = (m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)\)
• 次数mの対応:
  • 1本目の明線: \(m=0\)
  • 2本目の明線: \(m=1\)
  • 3本目の明線: \(m=2\)

具体的な解説と立式
求めたい空気層の厚さを \(d\)、光の波長を \(\lambda\) とします。
干渉する2つの光は、

• 光①: 上のガラス板の下面で反射する光
• 光②: 下のガラス板の上面で反射する光

です。

光②は光①に比べて、空気層を厚さ \(d\) だけ往復する分、経路が長くなります。したがって、経路差は \(2d\) です。
次に位相変化を考えます。

• 光①の反射（ガラス→空気）: 屈折率 大→小 なので、位相変化なし。
• 光②の反射（空気→ガラス）: 屈折率 小→大 なので、位相が\(\pi\)ずれる。

片方だけ位相が\(\pi\)ずれるので、強め合い（明線）の条件は、経路差が波長の半整数倍になるときです。
$$ 2d = (m + \frac{1}{2})\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) \quad \cdots ① $$
問題では「密着させたところから数えて3本目の明線」について問われています。密着点（\(d=0\)）は暗線となるため、明線は \(m=0\) から始まります。

• 1本目の明線: \(m=0\)
• 2本目の明線: \(m=1\)
• 3本目の明線: \(m=2\)

したがって、式①に \(m=2\) を代入します。
$$ 2d = (2 + \frac{1}{2})\lambda \quad \cdots ② $$
この式を \(d\) について解くことで、答えが求まります。

式②に、問題で与えられた波長 \(\lambda = 6.0 \times 10^{-7} \, \text{m}\) を代入して \(d\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
2d &= (2 + \frac{1}{2})\lambda \\[2.0ex]2d &= \frac{5}{2}\lambda \\[2.0ex]d &= \frac{5}{4}\lambda \\[2.0ex]&= \frac{5}{4} \times (6.0 \times 10^{-7}) \\[2.0ex]&= 5 \times (1.5 \times 10^{-7}) \\[2.0ex]&= 7.5 \times 10^{-7} \, \text{m}
\end{aligned}
$$
したがって、3本目の明線の位置における空気層の厚さは \(7.5 \times 10^{-7} \, \text{m}\) です。

2枚のガラス板のすき間で見える虹色の縞模様の、3番目の明るい線の場所の厚さを求める問題です。

1. 光は、すき間の上面で反射する光と、下面で反射する光に分かれます。この2つの光が干渉します。
2. 下面での反射は、空気からガラスへの反射なので、位相がひっくり返ります（\(\pi\)ずれる）。上面の反射ではひっくり返りません。
3. 片方だけひっくり返る場合、明るくなる条件は「すき間の厚さの2倍（光の往復距離）が、(m+0.5)×波長になるとき」という公式で表せます。
4. すき間の始まり（厚さ0）は暗い線になります。なので、明るい線は \(m=0, 1, 2, \dots\) と数えます。「3本目の明線」は \(m=2\) のときです。
5. 公式に \(m=2\) を入れると、\(2d = (2+0.5)\lambda = 2.5\lambda\) となります。
6. これを \(d\) について解くと \(d = \frac{2.5}{2}\lambda = 1.25\lambda\)。
7. 最後に、波長 \(\lambda = 6.0 \times 10^{-7}\) を代入して計算します。
   \(d = 1.25 \times (6.0 \times 10^{-7}) = 7.5 \times 10^{-7} \, \text{m}\) となります。

例題

例題63 ヤングの干渉実験

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ヤングの干渉実験における光路差と干渉条件」です。光の波動性を示す代表的な現象であり、光路差を幾何学的な近似を用いて求める過程が重要となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問①

思考の道筋とポイント
空欄①は、2つのスリット\(S_1\), \(S_2\)からスクリーン上の点Pに至る光の経路の差（光路差）\(S_2H\)を、\(\sin\theta\) を用いて表した際の係数を答える問題です。問題文の \(|S_1P – S_2P| \approx S_2H \approx\) [ ① ] \(\sin\theta\) という形式が最大のヒントです。図の直角三角形\(S_1S_2H\)に着目し、\(S_2H\) の長さを三角比を用いて表し、問題文の形式と比較します。
この設問における重要なポイント

• 光路差 \(\Delta L = |S_1P – S_2P|\) を幾何学的に求める。
• 近似 \(S_1P // S_2P\) により、光路差は\(S_2H\)と等しくなる。
• 直角三角形\(S_1S_2H\)において、辺と角の関係から \(S_2H\) を \(d\) と \(\theta\) で表す。

具体的な解説と立式
ヤングの実験では、スリット間隔\(d\)がスクリーンまでの距離\(L\)に比べて非常に小さいため、2つの光線\(S_1P\)と\(S_2P\)はほぼ平行とみなせます。
このとき、光路差 \(|S_1P – S_2P|\) は、図において\(S_1\)から線分\(S_2P\)に下ろした垂線の足をHとすると、線分\(S_2H\)の長さに近似できます。
$$ |S_1P – S_2P| \approx S_2H $$
次に、直角三角形\(S_1S_2H\)に着目します。斜辺は\(S_1S_2\)で、その長さは\(d\)です。また、\(S_1P // S_2P\) の関係から、\(\angle S_1S_2H = \angle PO’O = \theta\) となります。
したがって、三角比の定義より、\(S_2H\)の長さは次のように表せます。
$$ S_2H = S_1S_2 \sin\theta = d \sin\theta $$
問題文では、光路差が [ ① ] \(\sin\theta\) と与えられているので、この式と比較すると、空欄①に入るのは \(d\) であることがわかります。

この設問は、文字式を特定するものであり、具体的な数値計算は不要です。

2つの光の「距離の差」は、図の\(S_2H\)の長さに相当します。直角三角形\(S_1S_2H\)に注目すると、三角比の関係から「\(S_2H = d \times \sin\theta\)」と表せます。問題文の空欄は「[ ① ] \(\times \sin\theta\)」という形になっているので、見比べると[ ① ]に入るのは \(d\) だとわかります。

光路差は \(d \sin\theta\) と近似できます。問題文の形式から、その係数である \(d\) が空欄①の答えとなります。

問②

思考の道筋とポイント
空欄②は、光路差 \(|S_1P – S_2P|\) を、実験で直接測定できる量（スリット間隔\(d\)、スクリーンまでの距離\(L\)、スクリーン中心O’からの距離\(x\)）を用いて表す問題です。ここで鍵となるのが、問題文にもヒントがある「\(\sin\theta \approx \tan\theta\)」という微小角の近似です。①の結果から光路差は \(d \sin\theta\) と表せるので、この \(\sin\theta\) を \(x\) と \(L\) で表した \(\tan\theta\) で置き換えます。
この設問における重要なポイント

• 微小角の近似（\(\sin\theta \approx \tan\theta\)）が成り立つ条件（\(x \ll L\)）を理解している。
• 図中の直角三角形\(O’OP\)から、\(\tan\theta\)を正しく表現できる。

具体的な解説と立式
①の結果から、光路差は次のように表せます。
$$ |S_1P – S_2P| \approx d \sin\theta $$
ヤングの干渉実験では、通常 \(x \ll L\) という条件が成り立ちます。このとき、角度\(\theta\)は非常に小さくなるため、微小角の近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を用いることができます。
図の大きな直角三角形\(O’OP\)において、\(\tan\theta\)は底辺がO’O=\(L\)、高さがO’P=\(x\)なので、次のように表せます。
$$ \tan\theta = \displaystyle\frac{x}{L} $$
したがって、光路差は以下のように近似できます。
$$ |S_1P – S_2P| \approx d \sin\theta \approx d \tan\theta = \displaystyle\frac{dx}{L} $$
よって、空欄②に入るのは \(\displaystyle\frac{dx}{L}\) です。

この設問は、文字式を導出するものであり、具体的な数値計算は不要です。

光路差の式 \(d \sin\theta\) には、直接測ることが難しい\(\theta\)が含まれています。これを測りやすい量だけで表すために、近似を使います。\(\theta\)がとても小さい角度の場合、\(\sin\theta\) の値と \(\tan\theta\) の値はほとんど同じになります。図の大きな三角形（\(O’OP\)）を見ると、\(\tan\theta\) は「\(x \div L\)」で計算できます。そこで、\(\sin\theta\) を「\(x/L\)」で置き換えることで、光路差を「\(d \times x / L\)」という、測定可能な量だけで表すことができます。

光路差を測定可能な量 \(d, x, L\) を用いて \(\displaystyle\frac{dx}{L}\) と表すことができました。これはヤングの干渉実験で頻繁に用いられる重要な近似式です。

問③

思考の道筋とポイント
空欄③は、隣り合う明線どうしの間隔\(\Delta x\)を求める問題です。問題文の誘導「明線の干渉条件は、[ ② ] = \(m\lambda\)」に従います。この条件を満たすスクリーン上の位置\(x\)を\(m\)（整数）の式で表し、\(m\)番目の明線の位置\(x_m\)と、その隣の\((m+1)\)番目の明線の位置\(x_{m+1}\)を求めます。その差 \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\) を計算することで、明線間隔が求まります。
この設問における重要なポイント

• 明線の干渉条件: 光路差 = \(m\lambda\) （\(m\)は整数）
• 隣り合う明線の間隔は、\(m\)番目と\((m+1)\)番目の位置の差で計算できる。

具体的な解説と立式
スクリーン上に明線ができるのは、2つの光の光路差が波長\(\lambda\)の整数倍になるときです。問題文の通り、②の結果を用いて明線の条件式を立てます。
中心から\(m\)番目の明線までの距離を\(x_m\)とすると、次の関係式が成り立ちます。
$$ \displaystyle\frac{dx_m}{L} = m\lambda \quad \cdots (A) $$
この式を\(x_m\)について解くと、
$$ x_m = \displaystyle\frac{m L \lambda}{d} $$
同様に、\(m+1\)番目の明線の位置\(x_{m+1}\)は、(A)式の\(m\)を\(m+1\)に置き換えることで得られます。
$$ x_{m+1} = \displaystyle\frac{(m+1) L \lambda}{d} $$
隣り合う明線の間隔\(\Delta x\)は、これらの差として計算できます。
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{(m+1) L \lambda}{d} – \displaystyle\frac{m L \lambda}{d} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{(m+1 – m)L\lambda}{d} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{L\lambda}{d}
\end{aligned}
$$

明るい線（明線）が現れる場所の条件は、「光の距離の差 = 波長の整数倍」です。この条件を使って、まず「m番目の明線」が中心からどれだけ離れた位置\(x_m\)にあるかを式で表します。次に、その一つ隣の「(m+1)番目の明線」の位置\(x_{m+1}\)も同じように式で表します。明線の間隔\(\Delta x\)は、この2つの位置の引き算（\(x_{m+1} – x_m\)）で求められます。計算してみると、途中の\(m\)が消えて、間隔は\(m\)の値に関わらず常に一定になることがわかります。

隣り合う明線の間隔\(\Delta x\)は \(\displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) となります。この結果は、明線間隔がスクリーンまでの距離\(L\)と波長\(\lambda\)に比例し、スリット間隔\(d\)に反比例することを示しており、実験事実と一致します。

問④

思考の道筋とポイント
空欄④は、③で導出した明線間隔の式 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) を用いて、具体的な数値から光源の波長\(\lambda\)を算出する問題です。与えられている値は、スリット間隔\(d\)、スクリーンまでの距離\(L\)、そして観測された明線間隔\(\Delta x\)です。式を\(\lambda\)について解き、数値を代入して計算します。単位の換算（mmをmに直す）に注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• ③で導出した明線間隔の式を正しく利用できる。
• 数値を代入する際に、単位を基本単位（メートル）に統一する。
• 指数計算を正確に行う。

具体的な解説と立式
③で導出した明線間隔の式は以下の通りです。
$$ \Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d} $$
この式を、求めたい波長\(\lambda\)について解きます。両辺に\(d\)を掛け、\(L\)で割ると、
$$ \lambda = \displaystyle\frac{\Delta x \cdot d}{L} $$
この式に、問題文で与えられた数値を代入します。

与えられた値を代入して\(\lambda\)を計算します。
代入する値は、
スリット間隔: \(d = 0.50 \text{ mm} = 0.50 \times 10^{-3} \text{ m}\)
スクリーンまでの距離: \(L = 1.0 \text{ m}\)
明線間隔: \(\Delta x = 1.1 \text{ mm} = 1.1 \times 10^{-3} \text{ m}\)

これらの値を\(\lambda\)の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \displaystyle\frac{\Delta x \cdot d}{L} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{(1.1 \times 10^{-3}) \times (0.50 \times 10^{-3})}{1.0} \\[2.0ex]&= (1.1 \times 0.50) \times (10^{-3} \times 10^{-3}) \\[2.0ex]&= 0.55 \times 10^{-6} \\[2.0ex]&= 5.5 \times 10^{-7} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

③で求めた関係式「明線間隔 = (スクリーンまでの距離 × 波長) ÷ スリット間隔」を、求めたい「波長」が主役になるように変形します。すると、「波長 = (明線間隔 × スリット間隔) ÷ スクリーンまでの距離」という式が得られます。この式に、問題文に書かれている数値を代入します。このとき、長さの単位がmm（ミリメートル）で与えられているものは、計算前にm（メートル）に直しておくのがポイントです（1 mm = 0.001 m）。

計算の結果、光源の波長は \(5.5 \times 10^{-7} \text{ m}\) と求められました。これは約 \(550 \text{ nm}\) であり、可視光の緑色に相当する波長で、物理的に妥当な値です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路差の近似計算:
  • 核心: ヤングの干渉実験の根幹は、2つのスリットからスクリーン上の点Pまでの経路の差（光路差）を、実験条件（\(d \ll L, x \ll L\)）を利用して簡単な式で近似することにあります。
  • 理解のポイント:
    1. 第一段階の近似（平行光線近似）: \(d \ll L\) であるため、2つの光線\(S_1P\)と\(S_2P\)はほぼ平行とみなせます。これにより、光路差は \(d \sin\theta\) と表せます。
    2. 第二段階の近似（微小角の近似）: \(x \ll L\) であるため、角度\(\theta\)は非常に小さく、\(\sin\theta \approx \tan\theta\) が成り立ちます。図形的に \(\tan\theta = \displaystyle\frac{x}{L}\) なので、光路差は最終的に \(\displaystyle\frac{dx}{L}\) と近似できます。この導出プロセス全体を理解することが不可欠です。
• 光の干渉条件:
  • 核心: 光路差が波長\(\lambda\)の整数倍（\(m\lambda\)）のとき、波は同位相で重なり合って強め合い（明線）、半波長の奇数倍（\((m+\frac{1}{2})\lambda\)）のとき、逆位相で重なり合って弱め合います（暗線）。
  • 理解のポイント: ヤングの実験では、2つのスリットは同位相の波源とみなせるため、この最も基本的な干渉条件がそのまま適用されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 暗線の位置・間隔を求める問題: 干渉条件を「光路差 = \((m+\frac{1}{2})\lambda\)」に変えて計算します。\(m\)番目の暗線の位置\(x’_m\)は \(\displaystyle\frac{(m+\frac{1}{2})L\lambda}{d}\) となり、隣り合う暗線の間隔は、明線間隔と同じ \(\displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) になります。
  • 媒質中で実験を行う問題: 屈折率\(n\)の媒質中では、光の波長が \(\lambda’ = \displaystyle\frac{\lambda}{n}\) に変化します。したがって、明線間隔の式は \(\Delta x’ = \displaystyle\frac{L\lambda’}{d} = \displaystyle\frac{L\lambda}{nd}\) となり、空気中の \(\displaystyle\frac{1}{n}\) 倍になります。
  • 回折格子の問題: 基本的な考え方は同じで、光路差は \(d\sin\theta\) です。スリットの数が多いことで、明線がより鋭くなるという特徴があります。
  • 白色光を用いた問題: 白色光は様々な波長の光の集まりです。中心(\(m=0\))では全ての波長の光が強め合うため白い明線になりますが、次数が上がるにつれて波長\(\lambda\)によって位置\(x_m\)がずれるため、スペクトルのように色が分かれて見えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 近似条件の確認: まず、問題設定がヤングの実験の近似（\(d \ll L, x \ll L\)）を使える状況かを確認します。
  2. 光路差の導出: どのような幾何学的状況で光路差を計算するのかを図から把握します。基本は \(d\sin\theta \approx \displaystyle\frac{dx}{L}\) です。
  3. 問われている条件の特定: 「明線」なのか「暗線」なのかを問題文から正確に読み取り、正しい干渉条件（\(m\lambda\) or \((m+\frac{1}{2})\lambda\)）を選択します。
  4. 変数の確認: 何が与えられていて、何を求めるのかを明確にします。特に、波長が空気中なのか媒質中なのかに注意します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算のミス:
  • 誤解: (4)の計算で、\(d=0.50 \text{ mm}\) や \(\Delta x=1.1 \text{ mm}\) を、そのまま \(0.50\) や \(1.1\) として計算してしまう。
  • 対策: 物理計算の基本として、計算を始める前に全ての物理量をSI基本単位（この場合はメートル）に統一する習慣をつけましょう。\(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\) の換算を確実に行います。
• \(d\) と \(L\) の混同:
  • 誤解: 明線間隔の公式 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) の分子と分母を逆に覚えてしまい、\(\displaystyle\frac{d\lambda}{L}\) と間違える。
  • 対策: 公式を丸暗記するのではなく、「光路差 \(\displaystyle\frac{dx_m}{L} = m\lambda\)」という干渉条件の基本式から毎回導出する癖をつけると、間違いがなくなります。また、「スリット間隔\(d\)が狭いほど、スクリーンまでの距離\(L\)が遠いほど、干渉縞は広がる（\(\Delta x\)は大きくなる）」という物理的イメージと結びつけて覚えるのも有効です。
• 明線と暗線の条件の混同:
  • 誤解: 明線の条件を \((m+\frac{1}{2})\lambda\) としたり、暗線の条件を \(m\lambda\) としたりする。
  • 対策: 「同位相の波源から出る波が、ぴったり波長分ずれていれば、山と山、谷と谷が重なって強め合う（明線）」→ 光路差 = \(m\lambda\)。「半波長分ずれていれば、山と谷が重なって弱め合う（暗線）」→ 光路差 = \((m+\frac{1}{2})\lambda\)。このように、波の重なりのイメージと条件式を結びつけて理解しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光路差の近似式 (\(|S_1P – S_2P| \approx \displaystyle\frac{dx}{L}\)):
  • 選定理由: 干渉の条件を議論するには、まず光路差を求める必要があります。しかし、三平方の定理を用いた厳密な計算は非常に複雑です。そこで、ヤングの実験特有の幾何学的条件（\(d \ll L, x \ll L\)）を利用して、測定可能な物理量\(d, x, L\)だけで表せる、扱いやすい近似式を導出するために選択します。
  • 適用根拠: この近似は、①\(d \ll L\) による平行光線近似と、②\(x \ll L\) による微小角の近似（\(\sin\theta \approx \tan\theta\)）という2つの妥当な物理的近似に基づいています。このプロセスを経ることで、複雑な現象をシンプルな数式で扱えるようになります。
• 明線の条件式 (光路差 = \(m\lambda\)):
  • 選定理由: 問題が「明線」、つまり光が強め合う条件について問うているため、この公式を選択します。
  • 適用根拠: 2つのスリット\(S_1\), \(S_2\)は、単一光源\(S\)からの同じ波面が到達した点なので、互いに「同位相」の波源とみなせます。同位相の2つの波が重なって振幅が最大になる（強め合う）のは、経路の差が波長の整数倍になるときです。これは波の重ね合わせの原理から導かれる普遍的な法則です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の統一を最優先: (4)の計算のように、異なる単位（mとmm）が混在している場合、計算を始める前に必ず全ての値をSI基本単位（メートル）に揃えましょう。「\(d = 0.50 \text{ mm} = 0.50 \times 10^{-3} \text{ m}\)」「\(\Delta x = 1.1 \text{ mm} = 1.1 \times 10^{-3} \text{ m}\)」のように、最初に書き出してしまうのが安全です。
• 指数計算の分離: 複雑な計算では、数値の部分と指数の部分を分けて計算するとミスが減ります。(4)の計算では、まず \(1.1 \times 0.50\) を計算し、次に \(10^{-3} \times 10^{-3}\) を計算して、最後にそれらを掛け合わせます。
  $$ (1.1 \times 0.50) \times (10^{-3} \times 10^{-3}) = 0.55 \times 10^{-6} $$
• 式の変形は丁寧に: \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{d}\) から \(\lambda\) を求める式に変形する際、焦って移項ミスをしないように注意しましょう。
  1. 両辺に \(d\) を掛ける: \(\Delta x \cdot d = L\lambda\)
  2. 両辺を \(L\) で割る: \(\displaystyle\frac{\Delta x \cdot d}{L} = \lambda\)

  このように、一段階ずつ着実に変形する癖をつけることが大切です。

• 科学表記の活用: 計算結果が \(0.00000055\) のようになった場合、\(5.5 \times 10^{-7}\) のように科学表記（指数表記）で表すことで、0の数を間違えるといったケアレスミスを防ぎ、有効数字も明確になります。

例題64 薄膜による干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「薄膜による光の干渉」です。シャボン玉や水面に広がる油膜が色づいて見える現象の原理であり、光の「光路差」と「反射における位相変化」という2つの重要な概念を正しく理解し、組み合わせることが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
2つの光①と②の干渉を考える上で、その位相差の原因となる「経路の差」を求める問題です。問題文で指定された \(HP+PQ\) が経路の差となることを理解し、これを幾何学的に計算することが目標です。計算を簡潔にするため、模範解答で示されているように、薄膜下面を鏡と見立てて光の経路を一直線に伸ばす「鏡像法」を用いるのが非常に有効です。
この設問における重要なポイント

• 光の反射の法則（入射角=反射角）を利用して、図形の中に合同な三角形を見つけ出す。
• 補助線を巧みに引くことで、求める長さ(\(HP+PQ\))を、既知の量（\(d, r\)）で表せる直角三角形の一辺に変換する。

具体的な解説と立式
光②は薄膜内を O→P→Q と進みます。一方、光①は点Qで反射します。この2つの光の経路の差を考えます。
点Oから光①の光線に垂線OIを下ろすと、同じ波面上にある点Oと点Iは同位相です。したがって、2つの光の経路の差は、薄膜内を進む経路 \(OP+PQ\) と、それに対応する空気中の経路 \(IQ\) の差、すなわち \(OP+PQ-IQ\) となります。
ここで、図より \(IQ = OH\) であるため、経路の差は \(OP+PQ-OH = (OP-OH)+PQ = HP+PQ\) となります。

この \(HP+PQ\) の長さを計算するために、補助線を引きます。
点Qから薄膜下面に垂線QRを下ろし、その足をRとします。\(QR=d\)です。
次に、線分QRを下に延長し、線分HPの延長線との交点をSとします。
このとき、\(\triangle PRQ\)と\(\triangle PRS\)において、

• 辺PRは共通
• \(\angle PRQ = \angle PRS = 90^\circ\)
• 光の反射の法則より、入射角と反射角は等しいので \(\angle QPR = r\)。また、\(\angle SPR\) も \(r\) となります。

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、\(\triangle PRQ \equiv \triangle PRS\) となります。

この合同な関係から、\(PQ = PS\) であり、また \(RS = QR = d\) であることがわかります。
したがって、求める経路の差は、
$$ HP+PQ = HP+PS = HS $$
と変形できます。
最後に、大きな直角三角形である \(\triangle QHS\) に着目します。
斜辺ではない一辺 \(QS\) の長さは \(QS = QR+RS = d+d = 2d\) です。
また、錯角の関係から \(\angle QSH = r\) となります。
よって、三角比の関係から、
$$ HS = QS \cos r $$
$$ HS = 2d \cos r $$
となり、経路の差が求められます。

この設問は、文字式を導出するものであり、具体的な数値計算は不要です。

光②が、光①に比べてどれだけ遠回りしたか（経路の差）を計算します。計算を簡単にするため、下の境界面を「鏡」だと考えて、光②の経路をまっすぐに伸ばしてみましょう。点Pで反射する光は、まるで鏡の向こう側にある点Sから直進してきたかのように見えます。すると、光②が遠回りした距離は、点Hからこの点Sまでの直線距離HSと等しくなります。あとは、補助線を使ってできた大きな直角三角形（\(\triangle QHS\)）に注目し、三角比（コサイン）を使って辺の長さを計算すれば、HSの長さが \(2d \cos r\) であることがわかります。

2つの光の経路の差は \(2d \cos r\) となります。これは薄膜による干渉を考える際の基本となる式であり、幾何学的な考察から正しく導出できました。

問(2)

思考の道筋とポイント
光①と②が点Qで強め合う条件を求める問題です。光の干渉条件を正しく立式するためには、「光路差」と「反射による位相変化」の2つの要素を正確に考慮する必要があります。この2つの要素を足し合わせた結果、位相が揃う（同位相になる）条件が強め合いの条件となります。
この設問における重要なポイント

• 光路差 = 屈折率 × 経路差。
• 反射による位相変化のルールを正しく適用する（屈折率「小→大」の反射で位相が\(\pi\)ずれる）。
• 強め合いの条件は、最終的な位相差が \(2m\pi\) (波長の整数倍) となること。

具体的な解説と立式
干渉条件を考えるために、以下の3つのステップで考えます。

ステップ1：光路差の計算
(1)で求めた経路の差は \(2d \cos r\) でした。これは、屈折率\(n\)の薄膜内での距離です。干渉条件を考えるには、これを空気中（真空中）での長さに換算した「光路差」に変換する必要があります。
$$ \text{光路差} = n \times (\text{経路差}) = 2nd \cos r $$

ステップ2：反射による位相変化の確認
次に、2つの光が反射する際に位相がどう変化するかを確認します。

• 光①: 点Qで反射します。これは、屈折率の小さい媒質（空気, \(n_{\text{空気}}=1.00\)）から大きい媒質（薄膜, \(n\)）へ向かう光が境界面で反射するケースです。この「小→大」の反射では、位相が\(\pi\)ずれます。これは、経路が半波長 \(\lambda/2\) だけ長くなるのと同じ効果です。
• 光②: 点Pで反射します。これは、屈折率の大きい媒質（薄膜, \(n\)）から小さい媒質（空気, \(n_{\text{空気}}=1.00\)）へ向かう光が境界面で反射するケースです。この「大→小」の反射では、位相は変化しません。

ステップ3：干渉条件の立式
以上の考察から、光①と光②は、反射の時点で既に位相が\(\pi\)ずれている（逆位相の）関係にあることがわかります。
逆位相の関係にある2つの波が、干渉して強め合う（再び同位相になる）ためには、光路差が半波長の奇数倍 \((m+\frac{1}{2})\lambda\) であれば、ちょうど位相のずれが補正されて揃います。
したがって、強め合いの条件は以下のようになります。
$$ (\text{光路差}) = (\text{半波長の奇数倍}) $$
$$ 2nd \cos r = (m+\frac{1}{2})\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$

この設問は、条件式を立式するものであり、具体的な計算は不要です。

光が強め合う条件を考えます。ここでのポイントは2つです。
1. 光路差: (1)で計算した遠回りした距離 \(2d \cos r\) は、膜の中での話です。光は膜の中では進みにくくなる（波長が短くなる）ので、空気中の距離に換算するために屈折率\(n\)を掛け算します。これが光路差 \(2nd \cos r\) です。
2. 反射での位相のずれ: 光①は膜の表面で反射するときに、波の形がひっくり返ります（位相が\(\pi\)ずれる）。一方、光②は膜の裏面で反射しますが、このときは波の形はひっくり返りません。
つまり、2つの光は、経路を進む前からすでに「逆位相」というハンデを背負っています。この逆位相の2つの光が強め合うためには、光路差が「半波長の奇数倍」であれば、ちょうど波の山と山、谷と谷が重なり合うことができます。この考えを数式にすると、求める答えになります。

強め合いの条件は \(2nd \cos r = (m+\frac{1}{2})\lambda\) となります。これは、片方の反射でのみ位相が\(\pi\)ずれるタイプの薄膜干渉（シャボン玉や油膜など）における強め合いの条件として物理的に正しく、一般的な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路差と位相変化の総合判断:
  • 核心: 薄膜干渉の問題を解く核心は、(A)幾何学的な経路差、(B)媒質の屈折率、(C)反射面での位相変化、という3つの要素を正しく組み合わせて、最終的な干渉条件を立てることです。
  • 理解のポイント:
    • 光路差 = \(n \times (\text{経路差})\)
    • 位相変化: 屈折率「小→大」の反射で\(\pi\)ずれる。
• 経路差 \(2d \cos r\) の導出:
  • 核心: 光が薄膜に垂直に入射する場合(\(i=0, r=0\))、経路差は単純な往復距離\(2d\)となりますが、斜めに入射する場合は\(2d \cos r\)となります。この\(\cos r\)が付く理由を、鏡像法などを用いて幾何学的に理解することが、応用問題を解く上で非常に重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弱め合い（暗線）の条件: 本問とは逆に、弱め合う条件を問われた場合。反射ですでに\(\pi\)の位相差があるので、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\) になれば、逆位相のまま重なり弱め合います。→ \(2nd \cos r = m\lambda\)。
  • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置いた場合の干渉。場所によって厚さが変わる「空気層」による薄膜干渉とみなせます。反射はレンズ下面（ガラス→空気、大→小）と平面ガラス上面（空気→ガラス、小→大）で起こるので、本問と同様に片方だけ位相が\(\pi\)ずれます。
  • くさび形空気層: 2枚のガラスを重ねて端に紙などを挟んだもの。これも厚さ\(d\)が場所によって変わる薄膜干渉です。ニュートンリングと同様に、片方の反射でのみ位相がずれます。
  • 無反射コーティング: レンズ表面の反射を防ぐ技術。膜の厚さを調整し、特定の波長の光が弱め合う（反射光が打ち消し合う）ように設計します。上記の弱め合いの条件 \(2nd \cos r = m\lambda\) を利用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 媒質の屈折率を確認: 薄膜と、その両側の媒質の屈折率の大小関係を必ず確認します。これにより、反射の位相変化のパターンが決まります。
  2. 経路差の計算: 光がどの部分で経路差を生むのかを図で確認します。斜め入射なら \(2d \cos r\)、垂直入射なら \(2d\) が基本です。
  3. 反射面の特定: 光①と光②が、それぞれどの境界面で反射しているかを確認し、それぞれの反射で位相がずれるか（小→大）、ずれないか（大→小）を判断します。
  4. 条件の整理: 「光路差」と「反射による位相差の有無」を整理し、問われている「強め合い」か「弱め合い」の条件と組み合わせて立式します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 反射の位相変化の見落とし・混同:
  • 誤解: 反射はいつでも\(\pi\)ずれる、あるいは全くずれないと勘違いする。光①と②の両方でずれる、または両方ずれないと間違える。
  • 対策: 必ず「屈折率の大小関係」を確認する習慣をつけます。「小→大」の反射でのみ\(\pi\)ずれる、と呪文のように覚えましょう。問題ごとに、光①と光②の反射がそれぞれどちらのパターンに当てはまるかを指差し確認することが有効です。
• 経路差と光路差の混同:
  • 誤解: (2)で、経路差 \(2d \cos r\) をそのまま干渉条件に使ってしまい、屈折率\(n\)を掛け忘れる。
  • 対策: 「光路差」は「真空（空気）中の長さに換算したもの」という定義を明確に覚えます。媒質中を進んだ距離には、必ず屈折率\(n\)を掛けて「光路長」に変換してから干渉条件を考える、という手順を徹底しましょう。
• 強め合いと弱め合いの条件の逆転:
  • 誤解: 反射による位相差が\(\pi\)あるのに、強め合いの条件を「光路差 = \(m\lambda\)」としてしまう。
  • 対策: 干渉条件を公式として機械的に暗記するのではなく、「①光路差は？ ②反射による位相差は？ → 合わせて同位相になる条件は？」という思考プロセスを毎回踏むようにしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 光路差の式 (\(\Delta L = n \times (\text{経路差})\)):
  • 選定理由: 波の位相は、媒質中を「波がいくつ分」進んだかで決まります。媒質中では波長が \(\lambda/n\) に縮むため、同じ物理的な距離を進んでも、位相の変化は\(n\)倍になります。この効果を正しく評価するため、経路長に\(n\)を掛けて真空中の長さに換算した「光路差」という統一された物差しを用いる必要があります。
  • 適用根拠: これは、異なる媒質を進む波の位相を比較するための普遍的なルールです。
• 反射の位相変化の法則:
  • 選定理由: 反射は、波の伝播における境界条件の問題です。波が固定端で反射するか、自由端で反射するかに対応し、それによって初期位相が決まります。干渉は初期位相に大きく依存するため、この法則の適用が不可欠です。
  • 適用根拠: 屈折率の大きい媒質は波にとって「動きにくい」媒質なので固定端反射（位相が\(\pi\)反転）に、小さい媒質は「動きやすい」媒質なので自由端反射（位相はそのまま）に相当するという物理的アナロジーに基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 変数の特定: この種の問題は文字式での立式が主ですが、もし数値計算が伴う場合は、\(d, n, r, \lambda, m\) のうち、何が与えられていて何を求めるのかを明確にしましょう。特に\(m\)は「\(m=0\)から始まる」のか「\(m=1\)から始まる」のかで、最小の厚さなどが変わるため注意が必要です。
• 幾何学的関係の確認: \(\cos r\) を \(\sin i\) などで表す必要がある応用問題では、スネルの法則 \(1 \cdot \sin i = n \cdot \sin r\) と、三角関数の関係式 \(\cos r = \sqrt{1-\sin^2 r}\) を正確に使う必要があります。これらの関係式を混同しないように注意しましょう。
• 条件の書き出し: 複雑な問題では、計算を始める前に「光路差 = …」「反射の位相差: 光①は\(\pi\)ずれる, 光②はずれない」「求める条件: 強め合い」のように、各要素を箇条書きで書き出してから立式に進むと、混乱を防げます。

例題65 くさび形空気層による干渉

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「くさび形空気層による光の干渉」です。2枚のガラス板の間にできる、厚さが連続的に変化する空気層を光が通過・反射することで干渉縞が生じる現象です。ニュートンリングと並び、薄膜干渉の代表的な応用例です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ガラス板の端Aから距離\(x\)の位置における空気層の厚さ\(d\)を求める問題です。くさび形の全体の形状と、部分的な形状が相似であることに着目します。図の中に、相似な2つの直角三角形を見つけ出し、その辺の比が等しいという関係から立式します。
この設問における重要なポイント

• 図形の中から相似な三角形を見つけ出す。
• 相似比の関係を正しく立式する。
• 与えられた数値の単位（cm, mm）を基本単位（m）に変換して計算する。

具体的な解説と立式
2枚のガラス板がなす角を\(\theta\)とします。この角度\(\theta\)は非常に小さいので、\(\tan\theta \approx \theta\)が成り立ちます。
図には、頂角が共通で、一辺が水平な2つの直角三角形が見られます。

1. 底辺が\(L\)、高さが\(D\)の大きな三角形
2. 底辺が\(x\)、高さが\(d\)の小さな三角形

これら2つの三角形は互いに相似です。したがって、対応する辺の比は等しくなります。
$$ \displaystyle\frac{d}{x} = \displaystyle\frac{D}{L} $$
この関係式を、求めたい\(d\)について解きます。
$$ d = \displaystyle\frac{D}{L}x $$
この式に、与えられた数値を代入して、\(d\)を\(x\)の式で表します。

与えられた数値を代入して、\(d\)を\(x\)の式で表します。
代入する値は、
紙の厚さ: \(D = 0.10 \text{ mm} = 0.10 \times 10^{-3} \text{ m}\)
ガラス板の長さ: \(L = 20 \text{ cm} = 20 \times 10^{-2} \text{ m} = 0.20 \text{ m}\)

これらの値を\(d\)の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
d &= \displaystyle\frac{D}{L}x \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{0.10 \times 10^{-3}}{0.20}x \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{1.0 \times 10^{-4}}{2.0 \times 10^{-1}}x \\[2.0ex]&= 0.50 \times 10^{-3} x \\[2.0ex]&= 5.0 \times 10^{-4} x \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

くさび形の空気層は、大きな直角三角形と見なせます。端Aから距離\(x\)の場所にも、それと相似な小さな直角三角形ができています。三角形の相似の関係から、「（小さい三角形の高さ\(d\)）÷（小さい三角形の底辺\(x\)）」と「（大きい三角形の高さ\(D\)）÷（大きい三角形の底辺\(L\)）」は等しくなります。この関係を使って式を立て、\(d\)を\(x\)の式で表します。数値を代入する際は、mmやcmをmに直すのを忘れないようにしましょう。

空気層の厚さ\(d\)は、端Aからの距離\(x\)に比例し、\(d = 5.0 \times 10^{-4} x\) と表せます。これは、くさび形の形状を正しくモデル化できたことを示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
端Aから距離\(x\)の位置で暗線が見られる条件を求める問題です。薄膜干渉の問題と同様に、「光路差」と「反射による位相変化」の2つの要素を考慮して、弱め合いの条件を立式します。
この設問における重要なポイント

• 光が垂直に入射する場合の光路差は \(2d\) である。
• 反射による位相変化のルール（小→大で\(\pi\)ずれる）を正しく適用する。
• 暗線の条件は、最終的に位相が逆になる（弱め合う）こと。

具体的な解説と立式
干渉する2つの光は、以下の経路をたどります。

• 光①: 上のガラス板の下面で反射する。
• 光②: 上のガラス板を透過し、下のガラス板の上面で反射し、再び上のガラス板を透過して上方へ向かう。

ステップ1：光路差の計算
光は空気層に垂直に入射するため、厚さ\(d\)の場所での経路差は、空気層の往復距離である\(2d\)となります。
空気層の屈折率は\(n_{\text{空気}} \approx 1\)なので、光路差と経路差は等しいです。
$$ \text{光路差} = 2d $$

ステップ2：反射による位相変化の確認

• 光①: 上のガラス板の下面で反射します。これは、屈折率の大きい媒質（ガラス）から小さい媒質（空気）へ向かう光の反射です。この「大→小」の反射では、位相は変化しません。
• 光②: 下のガラス板の上面で反射します。これは、屈折率の小さい媒質（空気）から大きい媒質（ガラス）へ向かう光の反射です。この「小→大」の反射では、位相が\(\pi\)ずれます。

ステップ3：干渉条件の立式
以上の考察から、光①と光②は、反射の時点で既に位相が\(\pi\)ずれている（逆位相の）関係にあることがわかります。
逆位相の関係にある2つの波が、干渉してさらに弱め合う（暗線となる）ためには、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\) であれば、逆位相の関係が保たれて打ち消し合います。
したがって、暗線の条件は以下のようになります。
$$ (\text{光路差}) = (\text{波長の整数倍}) $$
$$ 2d = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
ここで、(1)で求めた \(d = 5.0 \times 10^{-4} x\) を代入します。
$$ 2 \times (5.0 \times 10^{-4} x) = m\lambda $$
$$ 1.0 \times 10^{-3} x = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$

この設問は、条件式を立式するものであり、具体的な計算は不要です。

暗い線（暗線）が見える条件を考えます。
1. 光路差: 光は厚さ\(d\)の空気層を往復するので、遠回りする距離は\(2d\)です。空気中なので、これがそのまま光路差になります。
2. 反射での位相のずれ: 上のガラスの下面での反射（ガラス→空気）では位相はずれませんが、下のガラスの上面での反射（空気→ガラス）では位相がひっくり返ります（\(\pi\)ずれる）。
つまり、2つの光は反射の時点ですでに逆位相になっています。この逆位相の2つの光が弱め合う（打ち消し合う）ためには、光路差がちょうど波長の整数倍であれば、逆位相のまま重なり合うことができます。この考えを数式にし、(1)で求めた\(d\)の式を代入すると、求める答えになります。

暗線の条件は \(1.0 \times 10^{-3} x = m\lambda\) となります。\(m=0\)のとき \(x=0\) となり、ガラスが接触している端Aが暗線になるという実験事実とも一致しており、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
観測された暗線の本数から、光の波長\(\lambda\)を求める問題です。「1.0cmあたり20本」という情報から、隣り合う暗線の間隔\(\Delta x\)を計算することが最初のステップです。次に、(2)で導いた暗線の条件式を用いて、\(\Delta x\)と\(\lambda\)の関係式を導き、そこから\(\lambda\)を算出します。
この設問における重要なポイント

• 「単位長さあたりの本数」から「1本あたりの間隔」を正しく計算できる。
• (2)の条件式から、隣り合う暗線の間隔\(\Delta x\)を求める。
• 単位換算（cmをm）を正確に行う。

具体的な解説と立式
ステップ1：隣り合う暗線の間隔\(\Delta x\)の計算
問題文より、\(1.0 \text{ cm}\) の範囲に20本の暗線が観測されたとあります。
これは、20本の間隔の合計が \(1.0 \text{ cm}\) であることを意味します。
したがって、隣り合う暗線1本分の間隔\(\Delta x\)は、
$$ \Delta x = \displaystyle\frac{1.0 \text{ cm}}{20} = \displaystyle\frac{1.0 \times 10^{-2} \text{ m}}{20} $$

ステップ2：\(\Delta x\)と\(\lambda\)の関係式を導出
(2)で求めた暗線の条件式は \(1.0 \times 10^{-3} x = m\lambda\) です。
\(m\)番目の暗線の位置を\(x_m\)、\((m+1)\)番目の暗線の位置を\(x_{m+1}\)とすると、
$$ 1.0 \times 10^{-3} x_m = m\lambda \quad \cdots ① $$
$$ 1.0 \times 10^{-3} x_{m+1} = (m+1)\lambda \quad \cdots ② $$
②式から①式を引くと、
$$ 1.0 \times 10^{-3} (x_{m+1} – x_m) = (m+1)\lambda – m\lambda $$
ここで、\(x_{m+1} – x_m = \Delta x\) なので、
$$ 1.0 \times 10^{-3} \Delta x = \lambda $$

ステップ3：\(\lambda\)の計算
この関係式に、ステップ1で求めた\(\Delta x\)の値を代入して\(\lambda\)を計算します。
$$ \lambda = 1.0 \times 10^{-3} \times \left( \displaystyle\frac{1.0 \times 10^{-2}}{20} \right) $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 1.0 \times 10^{-3} \times \left( \displaystyle\frac{1.0 \times 10^{-2}}{20} \right) \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^{-3} \times (0.05 \times 10^{-2}) \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^{-3} \times (5.0 \times 10^{-4}) \\[2.0ex]&= 5.0 \times 10^{-7} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

まず、暗い線がどれくらいの間隔で並んでいるか（\(\Delta x\)）を計算します。「1.0cmに20本」なので、1本あたりの間隔は「1.0cm ÷ 20」で求まります。次に、(2)で求めた暗線の条件式を使って、この間隔\(\Delta x\)と波長\(\lambda\)の関係を調べます。計算すると、「\(\lambda = 1.0 \times 10^{-3} \times \Delta x\)」というシンプルな関係式が出てきます。この式に、先ほど計算した\(\Delta x\)の値を代入すれば、波長\(\lambda\)が計算できます。

計算の結果、光の波長は \(5.0 \times 10^{-7} \text{ m}\) と求められました。これは \(500 \text{ nm}\) であり、可視光の青緑色に相当する波長で、物理的に妥当な値です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• くさび形空気層における干渉条件の決定:
  • 核心: この問題の核心は、①幾何学的な関係（相似）から空気層の厚さ\(d\)を位置\(x\)の関数で表し、②光路差（\(2d\)）と③反射の位相変化（片側のみ\(\pi\)ずれる）を正しく組み合わせて、干渉条件（特に暗線条件 \(2d=m\lambda\)）を導出することです。
  • 理解のポイント:
    • 相似の関係: \(d/x = D/L\) という、くさび形の幾何学的特徴を数式化できること。
    • 光路差: 垂直入射なので、光路差は単純な往復距離 \(2d\) となること。
    • 位相変化: ガラス→空気（位相変化なし）と空気→ガラス（位相変化\(\pi\)あり）の反射の違いを認識し、その結果、弱め合い（暗線）の条件が「光路差 = 整数倍の波長」となることを理解すること。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 明線の条件を問う問題: 本問とは逆に、明線の条件を問われた場合。反射で\(\pi\)の位相差が生じているため、強め合うには光路差が半波長の奇数倍になる必要があります。→ \(2d = (m+\frac{1}{2})\lambda\)。
  • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置いた干渉縞。空気層の厚さ\(d\)が、中心からの距離\(r\)の関数として \(d \approx r^2/(2R)\)（\(R\)はレンズの曲率半径）で与えられます。干渉条件の考え方は本問と全く同じです。
  • 液体で満たされたくさび形: ガラスの隙間が屈折率\(n\)の液体で満たされている場合。光路差が \(2nd\) に変わります。反射はガラス→液体、液体→ガラスとなり、屈折率の大小関係によっては両方で位相が変化したり、両方で変化しなかったりする可能性があり、注意が必要です。
  • 干渉縞の数を数える問題: ガラス板の長さ\(L\)の間に、暗線（または明線）が全部で何本見えるか、という問題。\(x=L\) のときの\(m\)の最大値を計算することで求められます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 干渉が起きる層の特定: まず、どの層（この問題では空気層）で干渉が起きているかを確認します。
  2. 層の厚さの数式化: 層の厚さ\(d\)が、位置の変数（\(x\)や\(r\)）でどう表されるかを、図形の相似や三平方の定理などを用いて求めます。
  3. 反射面の屈折率を確認: 干渉に関わる2つの反射面（この問題では上のガラス下面と下のガラス上面）での屈折率の大小関係を調べ、位相変化の有無を判断します。
  4. 条件式の立式と変形: 光路差と位相変化を元に、問われている条件（明線か暗線か）の式を立て、(1)で求めた\(d\)の式を代入して、扱いやすい形に変形します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算のミス:
  • 誤解: (1)や(3)の計算で、\(L=20\text{cm}\), \(D=0.10\text{mm}\) などを、mに直さずに計算してしまう。
  • 対策: 物理計算では、与えられた数値をまずSI基本単位（メートル）に変換してから式に代入する、という手順を徹底しましょう。\(1\text{cm} = 10^{-2}\text{m}\), \(1\text{mm} = 10^{-3}\text{m}\) の換算は必須です。
• 暗線と明線の条件の混同:
  • 誤解: 反射で位相が\(\pi\)ずれているにもかかわらず、暗線の条件を「光路差 = 半波長の奇数倍」と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「反射だけで逆位相になっているから、弱め合うには光路差が\(0, \lambda, 2\lambda, \dots\)であればよい」というように、毎回論理的に条件を導き出す癖をつけましょう。公式の丸暗記は危険です。
• 暗線間隔の計算ミス:
  • 誤解: (3)で、「1.0cmあたり20本」という情報から、\(\Delta x = 1.0 \times 20\) や \(\Delta x = 20 / 1.0\) のように、割り算の順序を間違える。
  • 対策: 「20個の間隔を合わせると1.0cmになる」というイメージをしっかり持ちましょう。したがって、1個の間隔は「全長 ÷ 個数」で計算すると理解します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相似の関係式 (\(d/x = D/L\)):
  • 選定理由: 空気層の厚さ\(d\)は場所\(x\)によって変化するため、干渉条件を\(x\)の関数として表すには、まず\(d\)と\(x\)の関係を数式化する必要があります。くさび形の幾何学的特徴から、最も単純で直接的な関係が相似比によって得られるため、このアプローチを選択します。
  • 適用根拠: 2つのガラス板が直線であり、なす角が一定であるという問題設定から、どの部分を切り取っても同じ形の相似な三角形が現れることが保証されています。
• 暗線の条件式 (\(2d = m\lambda\)):
  • 選定理由: 問題が「暗線」、つまり光が弱め合う条件を問うているため、弱め合いの条件式を立てる必要があります。
  • 適用根拠: この問題では、2つの反射光のうち片方だけが位相が\(\pi\)ずれます。つまり、光路差が0でも既に逆位相で弱め合います。この初期状態から、さらに光路差が波長の整数倍(\(m\lambda\))だけずれても、波の位相関係は逆位相のままなので、弱め合いが維持されます。この物理的考察から、\(2d = m\lambda\) という条件式が論理的に導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を最初に書き出す: 計算を始める前に、問題で与えられた数値をすべてSI基本単位に直してメモする習慣をつけましょう。
  \(L = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m}\)
  \(D = 0.10 \text{ mm} = 1.0 \times 10^{-4} \text{ m}\)
  \(1.0 \text{ cm} = 1.0 \times 10^{-2} \text{ m}\)
• 分数の指数計算: (1)の \(d = \frac{D}{L}x\) の計算など、指数を含む分数の計算は慎重に行いましょう。
  $$ \displaystyle\frac{0.10 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-2}} = \displaystyle\frac{1.0 \times 10^{-4}}{2.0 \times 10^{-1}} = (\frac{1.0}{2.0}) \times 10^{-4 – (-1)} = 0.5 \times 10^{-3} = 5.0 \times 10^{-4} $$
  このように、係数部分と指数部分を分けて計算するとミスが減ります。
• 逆数の計算: (3)で、暗線間隔\(\Delta x\)を求める際、「20本/cm」という密度から「cm/本」という間隔を求めるには逆数をとる必要があります。焦って計算を間違えないよう、意味を考えて立式しましょう。
  \(\Delta x = \frac{1.0 \times 10^{-2} \text{ [m]}}{20 \text{ [本]}} = 5.0 \times 10^{-4} \text{ [m/本]}\)

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