269 風がある場合のドップラー効果
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、音源が移動し、かつ風が吹いている状況でのドップラー効果を扱う問題です。ドップラー効果の基本的な公式の理解に加えて、風（媒質）の運動をどのように考慮するかが問われます。
この問題の核心は、ドップラー効果の公式における各物理量（音速、音源の速度、観測者の速度）の意味を正確に理解し、状況に応じて正しく適用することです。
- 音源Sの振動数: \(f\) [Hz]
- 音源Sの速さ: \(v\) [m/s]（右向き）
- 観測者O1, O2: 静止
- 音速（空気に対する速さ）: \(V\) [m/s]
- 風の速さ: \(v_w\) [m/s]（右向き、O1からO2の向き）
- (1) 風が吹いていないときの、O1とO2が観測する振動数 \(f_1\), \(f_2\)。
- (2) 風が吹いているときの、O1とO2が観測する振動数 \(f’_1\), \(f’_2\)。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「風がある場合のドップラー効果」です。ドップラー効果の公式を、風という媒質の運動を考慮して応用する能力が試されます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ドップラー効果の公式: 観測する振動数 \(f’\) は、\(f’ = \displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f\) で与えられます。ここで \(v_o\) は観測者の速度、\(v_s\) は音源の速度です。
- 速度の符号の規則: 公式を正しく使うためには、速度の符号の決め方が重要です。一般的に「音源から観測者へ向かう向き」を正とします。
- 風の影響の解釈: 風は音を伝える媒質（空気）そのものの動きです。したがって、地面で静止している観測者から見ると、音の伝わる速さが風の速さの分だけ変化します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、(1)では風がない基本的な状況で、音源が遠ざかる場合（O1）と近づく場合（O2）の振動数を公式から求めます。
- 次に、(2)では風の影響を考えます。風の向きによって、O1とO2に伝わる音の速さがそれぞれどう変わるかを計算し、その「見かけの音速」を使ってドップラー効果の公式を適用します。
問(1)
思考の道筋とポイント
風が吹いていない、最も基本的なドップラー効果の問題です。音源が観測者O1からは遠ざかり、観測者O2には近づいている点に注目します。それぞれの状況でドップラー効果の公式を適用し、観測される振動数を求めます。
この設問における重要なポイント
- ドップラー効果の公式: \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f\) を用います。
- 速度の符号の定義: 「音源から観測者へ向かう向き」を正とします。観測者O1, O2は静止しているので、\(v_o = 0\) です。
- 観測者O1について: 音源SはO1から遠ざかります。音源からO1へ向かう向きは「左向き」です。この向きを正とすると、音源Sの速度 \(v\)（右向き）は負の値、すなわち \(v_s = -v\) となります。
- 観測者O2について: 音源SはO2に近づきます。音源からO2へ向かう向きは「右向き」です。この向きを正とすると、音源Sの速度 \(v\)（右向き）は正の値、すなわち \(v_s = +v\) となります。
具体的な解説と立式
ドップラー効果の一般式は、観測者が聞く振動数を \(f’\)、音源の振動数を \(f\)、音速を \(V\)、観測者の速度を \(v_o\)、音源の速度を \(v_s\) として、次のように表されます。
$$ f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f $$
観測者O1, O2は静止しているので、\(v_o = 0\) です。
観測者O1が観測する振動数 \(f_1\) を求めます。
音源SはO1から遠ざかるので、音源からO1へ向かう向き（左向き）を正とします。音源Sは右向きに速さ \(v\) で動いているため、その速度は \(v_s = -v\) となります。
したがって、\(f_1\) を求める式は以下のようになります。
$$ f_1 = \frac{V-0}{V-(-v)}f \quad \cdots ① $$
観測者O2が観測する振動数 \(f_2\) を求めます。
音源SはO2に近づくので、音源からO2へ向かう向き（右向き）を正とします。音源Sは右向きに速さ \(v\) で動いているため、その速度は \(v_s = +v\) となります。
したがって、\(f_2\) を求める式は以下のようになります。
$$ f_2 = \frac{V-0}{V-v}f \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
式①より、\(f_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{V}{V+v}f
\end{aligned}
$$
式②より、\(f_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V}{V-v}f
\end{aligned}
$$
救急車が遠ざかっていくとき（O1の状況）はサイレンの音が低く聞こえ、近づいてくるとき（O2の状況）は高く聞こえます。これは、遠ざかるときは音の波が引き伸ばされ、近づくときは押し縮められるためです。この現象を数式で表したのがドップラー効果の公式で、それぞれの状況に合わせて音源の速度の向き（プラスかマイナスか）を正しく設定して計算します。
観測者O1が観測する振動数は \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V+v}f\) [Hz]、観測者O2が観測する振動数は \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V-v}f\) [Hz] です。
\(f_1\) の式の分母は \(V+v > V\) なので、\(f_1 < f\) となり、音が低くなるという物理現象と一致します。
\(f_2\) の式の分母は \(V-v < V\) なので、\(f_2 > f\) となり、音が高くなるという物理現象と一致します。
問(2)
思考の道筋とポイント
風が吹いている場合、音を伝える媒質（空気）自体が動いていることになります。このため、地面にいる観測者から見た音の伝わる速さが変化します。この「新しい音速」を求めて、(1)と同様にドップラー効果の公式を適用することが解法の鍵となります。
この設問における重要なポイント
- 風による音速の変化: 音は空気に対して速さ \(V\) で伝わります。その空気が地面に対して速さ \(v_w\) で動いているため、地面に対する音の速さは、速度の合成によって求められます。
- O1への音の速さ: 音はSからO1へ、つまり左向きに進みます。風は右向き（速さ \(v_w\)）なので、音の進行方向とは逆向きです。したがって、地面に対する音の速さは \(V_1 = V – v_w\) となります。
- O2への音の速さ: 音はSからO2へ、つまり右向きに進みます。風も右向きなので、音の進行方向と同じ向きです。したがって、地面に対する音の速さは \(V_2 = V + v_w\) となります。
- 公式の適用: この変化した音速 \(V_1\), \(V_2\) を、ドップラー効果の公式の \(V\) の部分に代入して計算します。速度の符号の考え方は(1)と全く同じです。
具体的な解説と立式
風が吹いている場合、地面に対する音の速さが変化します。
観測者O1に届く音は左向きに進むため、右向きの風に逆らうことになります。よって、O1に対する音速は \(V_1 = V – v_w\) です。
この音速 \(V_1\) を用いて、観測者O1が観測する振動数 \(f’_1\) を求めます。(1)と同様に、音源からO1へ向かう向き（左向き）を正とすると、\(v_s = -v\), \(v_o = 0\) です。
$$ f’_1 = \frac{V_1 – v_o}{V_1 – v_s}f = \frac{(V-v_w) – 0}{(V-v_w) – (-v)}f \quad \cdots ③ $$
観測者O2に届く音は右向きに進むため、右向きの風に乗ることになります。よって、O2に対する音速は \(V_2 = V + v_w\) です。
この音速 \(V_2\) を用いて、観測者O2が観測する振動数 \(f’_2\) を求めます。(1)と同様に、音源からO2へ向かう向き（右向き）を正とすると、\(v_s = +v\), \(v_o = 0\) です。
$$ f’_2 = \frac{V_2 – v_o}{V_2 – v_s}f = \frac{(V+v_w) – 0}{(V+v_w) – v}f \quad \cdots ④ $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
- 速度の合成
式③より、\(f’_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f’_1 &= \frac{V-v_w}{V-v_w+v}f
\end{aligned}
$$
式④より、\(f’_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f’_2 &= \frac{V+v_w}{V+v_w-v}f
\end{aligned}
$$
風は「動く歩道」のようなものです。音は風という動く歩道の上を伝わります。O1にとっては、音は動く歩道を逆走する（向かい風）ので遅くなり、O2にとっては、音は動く歩道を順走する（追い風）ので速くなります。この風によって変化した「地面から見た音の速さ」を使って、(1)と同じように計算すれば、観測される振動数がわかります。
思考の道筋とポイント
ドップラー効果の公式が、本来「音を伝える媒質に対して静止した座標系」で成り立つ、という原理に立ち返る解法です。この問題では、風（空気）が媒質なので、「風と一緒に動く座標系」を考えます。この座標系から見ると、音はどの方向にも速さ \(V\) で伝わりますが、代わりに地面にいる音源Sと観測者O1, O2が動いて見えることになります。これらの「相対的な速度」を求めて公式に適用します。
この設問における重要なポイント
- 座標系の変換: 地面で静止した視点から、風と共に右向きに速さ \(v_w\) で動く「風の静止系」へと視点を移します。
- 相対速度の計算: この風の静止系から見た各物体の速度を求めます。
- 音源Sの速度: 地面で右向きに \(v\) なので、風の系からは \(v’_s = v – v_w\) （右向き）に見えます。
- 観測者O1, O2の速度: 地面で静止しているので、風の系からは \(v’_o = 0 – v_w = -v_w\) （左向き）に見えます。
- 公式の適用: この系では音速は常に \(V\) です。これらの相対速度 \(v’_s\), \(v’_o\) をドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V-v’_o}{V-v’_s}f\) に代入します。
具体的な解説と立式
風と共に動く座標系（媒質静止系）で考えます。この系では音速は常に \(V\) です。
この系から見た観測者と音源の速度は以下のようになります。
- 観測者O1, O2の速度: \(v’_o = -v_w\) （左向き）
- 音源Sの速度: \(v’_s = v – v_w\) （右向き）
観測者O1が観測する振動数 \(f’_1\) を求めます。
音はSからO1へ、つまり「左向き」に伝わります。この向きを正とします。
- 観測者O1の速度: 左向きに \(v_w\) なので、\(v’_{o1} = +v_w\)。
- 音源Sの速度: 右向きに \(v-v_w\) なので、\(v’_{s1} = -(v-v_w)\)。
ドップラー効果の公式に代入します。
$$ f’_1 = \frac{V-v’_{o1}}{V-v’_{s1}}f = \frac{V-v_w}{V – (-(v-v_w))}f \quad \cdots ⑤ $$
観測者O2が観測する振動数 \(f’_2\) を求めます。
音はSからO2へ、つまり「右向き」に伝わります。この向きを正とします。
- 観測者O2の速度: 左向きに \(v_w\) なので、\(v’_{o2} = -v_w\)。
- 音源Sの速度: 右向きに \(v-v_w\) なので、\(v’_{s2} = +(v-v_w)\)。
ドップラー効果の公式に代入します。
$$ f’_2 = \frac{V-v’_{o2}}{V-v’_{s2}}f = \frac{V-(-v_w)}{V – (v-v_w)}f \quad \cdots ⑥ $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
- 相対速度
式⑤より、\(f’_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f’_1 &= \frac{V-v_w}{V+v-v_w}f
\end{aligned}
$$
式⑥より、\(f’_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f’_2 &= \frac{V+v_w}{V-v+v_w}f
\end{aligned}
$$
風船に乗って風と一緒に漂っている人から、この現象を見る方法です。この人にとっては、音はいつも通りの速さ \(V\) で聞こえます。その代わり、地面にいる音源や観測者が、風の速さの分だけ逆向きに動いているように見えます。この「風船から見た速度」を使ってドップラー効果の公式を適用すると、同じ答えが得られます。
観測者O1が観測する振動数は \(f’_1 = \displaystyle\frac{V-v_w}{V-v_w+v}f\) [Hz]、観測者O2が観測する振動数は \(f’_2 = \displaystyle\frac{V+v_w}{V+v_w-v}f\) [Hz] です。
これらの式で \(v_w = 0\) とおくと、(1)で求めた \(f_1\) と \(f_2\) の式にそれぞれ一致することから、計算結果が妥当であることが確認できます。
この別解で得られた結果は、メインの解法（地面に対する音速を補正する方法）で得られた結果と完全に一致します。これは、どちらの考え方も物理的に正しく、同じ現象を異なる視点から記述していることを示しています。この媒質静止系で考える方法は、より根本的な原理に基づいているため、複雑な設定の問題にも対応しやすい強力な考え方です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ドップラー効果の公式の適用:
- 核心: 観測される振動数 \(f’\) は、音源の振動数 \(f\)、音速 \(V\)、観測者の速度 \(v_o\)、音源の速度 \(v_s\) を用いて \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f\) と表されます。この公式を正しく使いこなすことが、この問題全体の基本です。
- 理解のポイント: この公式は単なる暗記ではなく、「観測者が1秒間に受け取る波の数」を数えることで導出されます。分母の \(V-v_s\) は音源の動きによる波長の伸縮を、分子の \(V-v_o\) は観測者の動きによる波の観測頻度の変化を表しています。
- 風（媒質の運動）の影響の解釈:
- 核心: ドップラー効果の公式における音速 \(V\) は、「媒質に対する音の速さ」です。風が吹いている場合、地面にいる観測者から見た音の速さは、この \(V\) に風の速度 \(v_w\) をベクトル的に足し合わせたものになります。これが(2)を解くための最も重要な法則です。
- 理解のポイント: この問題は2つの視点から解くことができます。
- 地面静止系（観測者の視点）: 風の影響で音速が変化すると考えます。追い風なら \(V+v_w\)、向かい風なら \(V-v_w\) という「見かけの音速」を公式の \(V\) に代入します。これは直感的で分かりやすい方法です。
- 媒質静止系（風の視点）: 風と一緒に動く座標系を考えます。この系では音速は常に \(V\) ですが、代わりに音源と観測者が風と逆向きに動いているように見えます。これらの「相対速度」を公式の \(v_s\) と \(v_o\) に代入します。より原理的な解法です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 観測者が動く場合: この問題では観測者は静止していましたが、観測者が動く問題でも全く同じ考え方が適用できます。公式の \(v_o\) に適切な符号で速度を代入します。
- 斜め方向のドップラー効果: 音源や観測者が、両者を結ぶ直線に対して斜めに動く場合です。このときは、速度ベクトルを直線方向の成分に分解し、その成分だけを公式に適用する必要があります。
- 反射板によるドップラー効果: 動く壁で音が反射する場合、2段階のドップラー効果として考えます。まず「壁が観測者」として振動数 \(f_1\) を計算し、次に「壁が新しい音源」となって振動数 \(f_1\) の音を出し、それを元の観測者が聞く、というステップで解きます。
- 初見の問題での着眼点:
- 誰が音源で、誰が観測者か？: まず、音を出すもの（音源）と聞くもの（観測者）を明確にします。
- 媒質は動いているか？: 風や水流など、媒質の運動があるかを確認します。あれば、その影響をどう扱うか（音速を補正するか、座標系を移すか）を決めます。
- 速度の向きと符号を定義する: 各設問ごとに「音源から観測者へ向かう向き」を正として、\(v_s\) と \(v_o\) の符号を慎重に決定します。図を描いて矢印で向きを確認するのが最も確実です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 速度の符号の間違い:
- 誤解: \(v_s\) や \(v_o\) の符号を、座標軸の右向きを常に正とするなど、機械的に決めてしまう。
- 対策: ドップラー効果の公式における速度の符号は、常に「音源から観測者への向き」を基準に考えます。この向きと同じなら正、逆なら負です。観測者が2人いる場合は、それぞれについて基準の向きを設定し直す必要があります。
- 風の影響の扱い方の混同:
- 誤解: 風の速さ \(v_w\) を、音源や観測者の速度 \(v_s\), \(v_o\) に直接足し引きしてしまう。
- 対策: 風は「媒質の速度」であり、直接影響するのは「音速 \(V\)」です。地面静止系で考えるなら、\(V\) を \(V \pm v_w\) に補正します。媒質静止系で考えるなら、\(v_s\) を \(v_s \mp v_w\)、\(v_o\) を \(v_o \mp v_w\) に補正します。両方の操作を同時に行うと二重に補正することになり、間違いです。
- 公式の分母と分子の混同:
- 誤解: \(v_s\) と \(v_o\) のどちらが分母でどちらが分子だったか忘れてしまう。
- 対策: 「音源（Source）のsが下（分母）、観測者（Observer）のoが上（分子）」と覚えるのが一つの手です。また、物理的な意味として、音源が動くと波長が変わり（分母）、観測者が動くと単位時間に横切る波の数が変わる（分子）と理解しておくと、忘れにくくなります。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 波面の図: 音源Sから同心円状に広がる波面を描いてみましょう。Sが右に動くと、右側の波面は密になり（波長が短く）、左側の波面は疎になります（波長が長く）。この「波面の密度の違い」が振動数の違いとして観測される、というイメージを持つと理解が深まります。
- 風のイメージ: 風を「動く歩道」や「川の流れ」に例えると良いでしょう。音は、この流れに乗って進む船のようなものです。追い風（順流）なら速く、向かい風（逆流）なら遅く地面を進みます。このイメージは、音速を補正する考え方に直結します。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 速度の矢印: 音源S、観測者O1, O2、そして風 \(v_w\) の速度を、向きと大きさの関係がわかるように矢印で図に描き込みます。
- 音の伝播方向: 各観測者に対して、音がどちら向きに伝わっているかを矢印で示します。
- 符号の基準方向: 各設問（O1について、O2について）ごとに、「音源→観測者」の向きを正とする矢印を明記します。これにより、符号ミスを劇的に減らせます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- ドップラー効果の公式 (\(f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f\)):
- 選定理由: 音源や観測者が媒質に対して運動することで、観測される音の振動数が変化する現象を記述するための、唯一の基本公式だからです。
- 適用根拠: この公式は、(1)波源の運動による波長の伸縮（\( \lambda’ = \frac{V-v_s}{f} \))と、(2)観測者の運動による相対的な波の速度の変化（\( V’ = V-v_o \))という2つの効果を組み合わせ、観測振動数 \(f’ = \frac{V’}{\lambda’}\) を計算した結果です。
- 速度の合成則 (\(V_{\text{地面}} = V_{\text{空気}} + V_{\text{風}}\)):
- 選定理由: (2)で、地面に静止した観測者から見た音の速さを求める必要があるため。音の速さ \(V\) は空気（媒質）に対する速さであり、その空気が地面に対して動いている（風）ため、相対速度の概念を適用する必要があります。
- 適用根拠: ガリレイの速度変換則に基づき、静止系に対する物体の速度は、運動系に対する物体の速度と、静止系に対する運動系の速度のベクトル和で与えられるという、古典力学の基本原理を適用します。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 風がない場合:
- 戦略: 基本的なドップラー効果の公式を、O1とO2のそれぞれに適用する。
- フロー（O1の場合）: ①音源→O1の向き（左）を正と定義 → ②\(v_o=0\), \(v_s=-v\) を決定 → ③公式 \(f_1 = \frac{V-0}{V-(-v)}f\) に代入 → ④式を整理して完了。
- フロー（O2の場合）: ①音源→O2の向き（右）を正と定義 → ②\(v_o=0\), \(v_s=+v\) を決定 → ③公式 \(f_2 = \frac{V-0}{V-v}f\) に代入 → ④式を整理して完了。
- (2) 風がある場合（音速補正法）:
- 戦略: 風の影響で変化した「地面に対する音速」を求め、それを公式の \(V\) として用いる。
- フロー（O1の場合）: ①O1への音速は向かい風なので \(V_1 = V-v_w\) → ②(1)と同じく \(v_o=0\), \(v_s=-v\) → ③公式 \(f’_1 = \frac{V_1-v_o}{V_1-v_s}f\) に代入 → ④\(f’_1 = \frac{V-v_w}{V-v_w+v}f\) を得て完了。
- フロー（O2の場合）: ①O2への音速は追い風なので \(V_2 = V+v_w\) → ②(1)と同じく \(v_o=0\), \(v_s=+v\) → ③公式 \(f’_2 = \frac{V_2-v_o}{V_2-v_s}f\) に代入 → ④\(f’_2 = \frac{V+v_w}{V+v_w-v}f\) を得て完了。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める: この問題は数値計算がありませんが、複雑な問題では、まず文字式のまま最終的な形まで整理することが重要です。途中で値を代入すると、式全体の構造が見えにくくなり、ミスをしやすくなります。
- 符号の確認を徹底する: 立式した後に、その式が物理的に妥当な結果を与えるか吟味する習慣をつけましょう。例えば、音源が近づく場合（O2）、最終的な振動数は元の \(f\) より大きくなるはずです。計算した式の形が \(f_2 = \frac{V}{V-v}f > f\) となっているかを確認します。
- 別解での検算: (2)は「音速を補正する方法」と「媒質静止系で考える方法」の2通りで解けます。もし時間があれば、両方のアプローチで計算し、結果が一致することを確認すれば、計算の信頼性は格段に向上します。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (1) 振動数の変化: O1（遠ざかる）では \(f_1 < f\)、O2（近づく）では \(f_2 > f\) となり、日常経験（救急車のサイレン）と一致しており、妥当です。
- (2) 風の影響: O1（向かい風）とO2（追い風）を比較してみましょう。\(f’_1 = \frac{V-v_w}{(V+v)-v_w}f\) と \(f’_2 = \frac{V+v_w}{(V-v)+v_w}f\) を見ると、風は音速と音源・観測者の相対速度の両方に影響を与えていることがわかります。\(v_w=0\) を代入すると(1)の答えに戻ることから、矛盾がないことが確認できます。
- 極端な場合を考える（思考実験）:
- もし \(v=0\) なら（音源が静止）: (1)の式は \(f_1=f_2=f\) となり、ドップラー効果が起きないという正しい結果になります。(2)の式も \(f’_1=f’_2=f\) となり、風が吹いていても音源と観測者が共に静止していれば振動数は変わらない、という正しい結果になります。
- もし \(v_w=V\) なら（音速と同じ速さの風）: O1（向かい風）への音速は \(V-V=0\) となり、音が伝わらなくなります。\(f’_1\) の式を見ると分母・分子が0になり不定形ですが、物理的には音が届かないので観測不能です。O2（追い風）への音速は \(2V\) となります。このように極端な状況を考えることで、式の物理的な意味をより深く理解できます。
270 反射体がある場合のドップラー効果
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、反射板が介在するドップラー効果を扱います。反射音は、音源から出た音が一度反射板に到達し、そこで反射されてから観測者に届くという、2つのプロセスを経て生じます。
この問題の核心は、この2つのプロセスをそれぞれ独立したドップラー効果として捉え、段階的に計算することです。
- 音源Sの振動数: \(f_0\) [Hz]
- 音速: \(V\) [m/s]
- (1) OとRは静止、SはRに向かって（右向きに）速さ \(v\) [m/s] で運動。
- (2) Oは右向きに速さ \(v\) [m/s]、Rは右向きに速さ \(r\) [m/s]、Sは右向きに速さ \(v\) [m/s] で運動。
- (1) Oが聞く反射音の振動数 \(f’\)。
- (2) Oが聞く反射音の振動数 \(f_2\)。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この解説は、模範解答とは一部異なる方針で進めます。
- 解説の方針が模範解答と異なる点
- (1) 反射音の解法: 模範解答では「鏡像」という考え方を用いていますが、これは直感的でない場合があるため、本解説ではより汎用性の高い「2段階のドップラー効果」として解く方法をメインに据えます。鏡像による解法は別解として紹介します。
- (2) 速度の符号の定義: 模範解答では、速度の符号の扱いが不明確です。本解説では「音源から観測者へ向かう向きを正とする」という一貫したルールを適用し、立式の過程をより明確にします。
- なぜこの方針を取るのか
- 「2段階ドップラー効果」は、反射板が動く場合や観測者の位置が異なる場合など、より複雑な設定にも対応できる普遍的な解法であり、教育的価値が高いと判断しました。
- 速度の符号ルールを明確にすることで、ドップラー効果の問題で最も間違いやすいポイントを克服し、学習者が論理的に立式できるようになることを目指します。
- 結果への影響
- (1)の答えは模範解答と一致しますが、立式の過程が異なります。
- (2)の答えと立式は、符号の定義を厳密に行った結果、模範解答と一致しますが、本解説ではその思考プロセスをより詳細に記述しています。
この問題のテーマは「反射板によるドップラー効果」です。この現象は、2段階のドップラー効果としてモデル化できます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 2段階ドップラー効果: 反射音の問題は、(Step 1)「Sが音源、Rが観測者」としてRが聞く振動数を計算し、(Step 2)「Rが新しい音源、Oが観測者」としてOが聞く最終的な振動数を計算する、という2段階で考えます。
- 速度の符号の規則: 各ステップで「音源から観測者へ向かう向き」を正とし、各物体の速度の符号を慎重に決定します。
- 反射板の役割: 反射板は、音を観測すると同時に、観測したその振動数で音を出す新しい音源として振る舞います。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、(1)の状況で、Step 1として反射板Rが観測する振動数 \(f_1\) を求めます。次に、Step 2として、振動数 \(f_1\) の音を出す音源Rから、静止している観測者Oが聞く振動数 \(f’\) を計算します。
- 次に、(2)のより複雑な状況でも同様に、Step 1（S→R）とStep 2（R→O）の2段階で計算を進めます。すべての物体が動いているため、各ステップで速度の符号を正確に設定することが極めて重要になります。
問(1)
思考の道筋とポイント
OとRが静止し、Sのみが動く基本的な状況です。反射音の問題を「2段階のドップラー効果」として解く手順をここで確立します。
この設問における重要なポイント
- Step 1: S → R のドップラー効果
- 音源: S（右向きに速さ \(v\)）
- 観測者: R（静止）
- 音はSからRへ、つまり「右向き」に進みます。この向きを正とします。
- Rが観測する振動数 \(f_1\) を計算します。
- Step 2: R → O のドップラー効果
- 音源: R（静止、振動数 \(f_1\) の音を出す）
- 観測者: O（静止）
- 音はRからOへ、つまり「左向き」に進みます。
- このステップでは、音源も観測者も静止しているため、ドップラー効果は起こりません。したがって、Oが聞く振動数 \(f’\) は \(f_1\) と同じになります。
具体的な解説と立式
この問題を2段階のドップラー効果として考えます。
Step 1: 音源Sから出て、反射板Rに届く音
この段階では、Sが音源、Rが観測者です。
- 音源Sの速度 \(v_s\): 音は右向き（S→R）に進むので、右向きを正とします。Sは右向きに速さ \(v\) で動くので、\(v_s = +v\)。
- 観測者Rの速度 \(v_o\): Rは静止しているので、\(v_o = 0\)。
したがって、反射板Rが受け取る音の振動数 \(f_1\) は、
$$ f_1 = \frac{V-v_o}{V-v_s}f_0 = \frac{V-0}{V-v}f_0 \quad \cdots ① $$
Step 2: 反射板Rで反射され、観測者Oに届く音
この段階では、Rが振動数 \(f_1\) の音を出す音源、Oが観測者です。
- 音源Rの速度 \(v_s\): Rは静止しているので、\(v_s = 0\)。
- 観測者Oの速度 \(v_o\): Oは静止しているので、\(v_o = 0\)。
音はRからOへ、つまり左向きに進みます。この向きを正とします。
Oが聞く反射音の振動数 \(f’\) は、
$$ f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f_1 = \frac{V-0}{V-0}f_1 = f_1 \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
式①と②より、\(f_1\) を消去して \(f’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f’ &= f_1 \\[2.0ex]&= \frac{V}{V-v}f_0
\end{aligned}
$$
反射音を聞く、というのは2ステップの伝言ゲームのようなものです。まず、動いているSさんから静止しているRさんに声が伝わります（ステップ1）。このとき、Sさんが近づいてくるので、Rさんには少し高い声に聞こえます。次に、Rさんは聞いたままの高さの声で、静止しているOさんに伝えます（ステップ2）。RさんとOさんは動いていないので、声の高さは変わりません。結果として、Oさんが聞く反射音は、Rさんが聞いた高い声と同じ高さになります。
観測者Oが聞く反射音の振動数は \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\) [Hz] です。
音源Sが反射板Rに近づいているため、反射音の振動数は元の振動数 \(f_0\) より高くなるはずです。\(V-v < V\) なので、\(f’ > f_0\) となり、物理的に妥当な結果です。
思考の道筋とポイント
模範解答で用いられている方法です。反射板Rを平面鏡とみなし、その鏡に対して音源Sと対称な位置に「鏡像S’」を考えます。観測者Oが聞く反射音は、この鏡像S’から直接やってくる音と同じである、と考える方法です。
この設問における重要なポイント
- 鏡像の運動: 音源Sが反射板Rに速さ \(v\) で近づくとき、鏡像S’も鏡（反射板R）に速さ \(v\) で近づきます。つまり、鏡像S’は観測者Oに向かって（左向きに）速さ \(v\) で動いているように見えます。
- 鏡像を音源としたドップラー効果:
- 音源: 鏡像S’（左向きに速さ \(v\)）
- 観測者: O（静止）
- 音はS’からOへ、つまり「左向き」に進みます。この向きを正とします。
- Oが聞く振動数 \(f’\) を計算します。
具体的な解説と立式
反射板Rに関する音源Sの鏡像をS’とします。観測者Oが聞く反射音は、この鏡像S’が音源となって発する音と等価です。
Sが右向きに速さ \(v\) で動くとき、鏡像S’は左向きに速さ \(v\) で動きます。
この状況で、S’を音源、Oを観測者としてドップラー効果を考えます。
- 音源S’の速度 \(v_s\): 音は左向き（S’→O）に進むので、左向きを正とします。S’は左向きに速さ \(v\) で動くので、\(v_s = +v\)。
- 観測者Oの速度 \(v_o\): Oは静止しているので、\(v_o = 0\)。
したがって、Oが聞く振動数 \(f’\) は、
$$ f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f_0 = \frac{V-0}{V-v}f_0 $$
この解法でも、\(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\) [Hz] という同じ結果が得られます。鏡像の考え方は、特に反射板と観測者が静止している場合に計算を1ステップで済ませられる便利な方法です。しかし、反射板や観測者が動く複雑な場合には適用が難しくなるため、2段階で考える方法を基本とするのが安全です。
問(2)
思考の道筋とポイント
音源S、観測者O、反射板Rのすべてが動く、より一般化された状況です。しかし、基本的な考え方は(1)と同じ「2段階のドップラー効果」です。各ステップで、音の進行方向を基準に速度の符号を一つ一つ慎重に設定することが、正解への唯一の道です。
この設問における重要なポイント
- Step 1: S → R のドップラー効果
- 音源: S（右向きに速さ \(v\)）
- 観測者: R（右向きに速さ \(r\)）
- 音はSからRへ、つまり「右向き」に進みます。この向きを正とします。
- Rが観測する振動数 \(f_1\) を計算します。
- Step 2: R → O のドップラー効果
- 音源: R（右向きに速さ \(r\)、振動数 \(f_1\) の音を出す）
- 観測者: O（右向きに速さ \(v\)）
- 音はRからOへ、つまり「左向き」に進みます。この向きを正とします。
- Oが聞く最終的な振動数 \(f_2\) を計算します。
具体的な解説と立式
(1)と同様に、2段階のドップラー効果として考えます。
Step 1: 音源Sから出て、反射板Rに届く音
この段階では、Sが音源、Rが観測者です。
- 音の進行方向: S→R（右向き）。したがって、右向きを正とします。
- 音源Sの速度 \(v_s\): 右向きに速さ \(v\) なので、\(v_s = +v\)。
- 観測者Rの速度 \(v_o\): 右向きに速さ \(r\) なので、\(v_o = +r\)。
したがって、反射板Rが受け取る音の振動数 \(f_1\) は、
$$ f_1 = \frac{V-v_o}{V-v_s}f_0 = \frac{V-r}{V-v}f_0 \quad \cdots ③ $$
Step 2: 反射板Rで反射され、観測者Oに届く音
この段階では、Rが振動数 \(f_1\) の音を出す音源、Oが観測者です。
- 音の進行方向: R→O（左向き）。したがって、左向きを正とします。
- 音源Rの速度 \(v_s\): 右向きに速さ \(r\) なので、\(v_s = -r\)。
- 観測者Oの速度 \(v_o\): 右向きに速さ \(v\) なので、\(v_o = -v\)。
Oが聞く反射音の振動数 \(f_2\) は、
$$ f_2 = \frac{V-v_o}{V-v_s}f_1 = \frac{V-(-v)}{V-(-r)}f_1 = \frac{V+v}{V+r}f_1 \quad \cdots ④ $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
式③と④より、\(f_1\) を消去して \(f_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V+v}{V+r} \times f_1 \\[2.0ex]&= \frac{V+v}{V+r} \times \frac{V-r}{V-v}f_0 \\[2.0ex]&= \frac{(V+v)(V-r)}{(V-v)(V+r)}f_0
\end{aligned}
$$
全員が動いている複雑な状況ですが、やることは同じです。まず、動いているSさんから動いているRさんへ声が伝わるときの声の変化を計算します（ステップ1）。次に、その変化した声で、動いているRさんから動いているOさんへ声が伝わるときの、さらなる声の変化を計算します（ステップ2）。それぞれのステップで、音が進む向きを基準に、全員の速度のプラス・マイナスを間違えないように設定することが重要です。
観測者Oが聞く反射音の振動数は \(f_2 = \displaystyle\frac{(V+v)(V-r)}{(V-v)(V+r)}f_0\) [Hz] です。
この式は複雑ですが、(1)の状況（\(r=0\), Oは静止）を代入してみましょう。Oは静止しているので、Step2の観測者速度は \(v_o=0\) となります。
Step1: \(f_1 = \frac{V-0}{V-v}f_0 = \frac{V}{V-v}f_0\)
Step2: \(f_2 = \frac{V-0}{V-0}f_1 = f_1\)
よって、\(f_2 = \frac{V}{V-v}f_0\) となり、(1)の答えと一致します。このように、簡単な場合に立ち返って検算することで、複雑な式の妥当性を確認できます。（注：問題文(2)のOの速さは\(v\)なので、(1)の状況にするにはOの速さも0にする必要があります。その場合、\(f_2 = \frac{(V+0)(V-0)}{(V-v)(V+0)}f_0 = \frac{V}{V-v}f_0\) となり、やはり(1)の答えと一致します。）
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 2段階ドップラー効果のモデル化:
- 核心: 反射板が介在する問題は、一見複雑に見えますが、本質的には2つの単純なドップラー効果の組み合わせです。
- Step 1: 音源 → 反射板: まず、元の音源（S）から出た音が、動く観測者としての反射板（R）にどう聞こえるかを計算します。
- Step 2: 反射板 → 観測者: 次に、反射板（R）が観測したその振動数で音を出す「新しい音源」となり、その音を最終的な観測者（O）がどう聞くかを計算します。
この2段階の考え方を適用できるかどうかが、この問題の最大の鍵です。
- 理解のポイント: 反射板は、音をただ跳ね返すだけでなく、「一度受信して、その受信した周波数で再送信する」という能動的な役割を担っていると考えると、このモデル化が理解しやすくなります。
- 核心: 反射板が介在する問題は、一見複雑に見えますが、本質的には2つの単純なドップラー効果の組み合わせです。
- 一貫した速度の符号ルールの適用:
- 核心: ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f\) を使う上で、最も重要なのが速度の符号です。各ステップごとに「音源から観測者へ向かう向き」を正と定め、その基準に従って \(v_s\) と \(v_o\) の符号を機械的に決定します。
- 理解のポイント: (2)のStep 2（R→O）では、音は左に進むので「左向きが正」となります。したがって、右向きに動くRとOの速度は、このステップでは両方とも負の値（\(v_s = -r\), \(v_o = -v\)）として代入されます。この符号の切り替えを正確に行うことが、正解への必須条件です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 観測者が音源と反射板の間にいる場合: この問題ではO-S-Rの順でしたが、S-O-Rの順に観測者がいる場合でも、2段階の考え方は全く同じです。Step 2（R→O）で、音の進行方向（左向き）と観測者Oの運動方向の関係から、符号を正しく設定すれば解けます。
- 風が吹いている場合: もしこの状況で風が吹いていたら、各ステップの音速 \(V\) を風速で補正（\(V \pm v_w\)）します。Step 1（S→R）とStep 2（R→O）で音の進行方向が逆になるため、風による補正の仕方も逆になる点に注意が必要です。
- うなり: 観測者が、音源からの直接音と反射音を同時に聞くことで「うなり」が生じる問題。この場合、(A)直接音の振動数 \(f_{\text{直}}\) と (B)反射音の振動数 \(f_{\text{反}}\) をそれぞれ計算し、うなりの振動数 \(f_{\text{うなり}} = |f_{\text{直}} – f_{\text{反}}|\) を求めます。
- 初見の問題での着眼点:
- 音の経路を図示する: 音が「S → R → O」という経路をたどることを矢印で図に描き込みます。
- ステップごとに分解する: 複雑な問題ほど、問題を「Step 1: S→R」と「Step 2: R→O」の2つの単純な問題に分割します。
- 各ステップで役割と符号を再定義する: ステップごとに「誰が音源か」「誰が観測者か」「どちら向きが正か」を明確に定義し直します。これを怠ると、符号ミスにつながります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 符号設定の基準が曖昧になる:
- 誤解: 問題全体で「右向きを正」のように固定した座標軸で考えてしまい、ドップラー効果の公式にそのまま代入してしまう。
- 対策: ドップラー効果の公式は、それ自体が相対的な関係を表す式です。必ず「音の進行方向を正」というルールを、ステップごとに適用する習慣を徹底しましょう。
- 反射板をただの壁と考えてしまう:
- 誤解: 反射板が動いているのに、Step 2で反射板を静止した音源として扱ってしまう。
- 対策: 反射板は「観測者」であり、かつ「音源」でもあります。Step 2では、Step 1で計算した振動数 \(f_1\) の音を出しながら、自身の速度で運動する「動く音源」として扱わなければなりません。
- 鏡像の考え方の誤用:
- 誤解: 反射板や観測者が動いている複雑な状況（問2など）で、安易に鏡像の考え方を使おうとして混乱する。
- 対策: 鏡像による解法は、(1)のように反射板と観測者が静止している場合に有効なショートカットです。物体が複雑に動く場合は、遠回りに見えても「2段階ドップラー効果」で解く方が確実で、間違いがありません。原則として2段階で解き、検算や簡単なケースでのみ鏡像法を使う、と心得ましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 伝言ゲームのイメージ: 「Sさん → Rさん → Oさん」という3人の伝言ゲームを想像します。Sさんが動いていれば、Rさんには違う高さの声に聞こえます。次にRさんが動いていれば、Oさんにはさらに違う高さの声に聞こえます。この「声の変化が2回起こる」というイメージが、2段階ドップラー効果のモデルに直結します。
- ステップごとの図: 1枚の図に全てを書き込むのではなく、
- 「Step 1: S→R」の状況図（S, Rの速度、音の進行方向、正の向きを記入）
- 「Step 2: R→O」の状況図（R, Oの速度、音の進行方向、正の向きを記入）
と、2枚の図に分けて描くと、思考が整理され、符号ミスを防ぐことができます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- ドップラー効果の公式 (\(f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f\)):
- 選定理由: 音源と観測者の相対運動によって振動数が変化する現象を記述する、物理学の基本法則だからです。この問題は、この法則を2回適用することで解けるように設計されています。
- 適用根拠: 反射という物理現象を、「音の吸収と再放出」と見なすことで、ドップラー効果の公式が適用可能な2つの独立した事象に分解できる、というモデル化に基づいています。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 反射音の計算（基本）:
- 戦略: 2段階ドップラー効果を適用する。
- フロー: ①【Step1: S→R】音の向き（右）を正とし、\(v_s=+v, v_o=0\) で \(f_1\) を計算 → ②【Step2: R→O】音の向き（左）を正とし、\(v_s=0, v_o=0\) で \(f’\) を計算 → ③ \(f’ = f_1\) となるので、\(f_1\) の式を代入して完了。
- (2) 反射音の計算（応用）:
- 戦略: 同じく2段階ドップラー効果を適用。符号設定を慎重に行う。
- フロー: ①【Step1: S→R】音の向き（右）を正とし、\(v_s=+v, v_o=+r\) で \(f_1\) を立式 → ②【Step2: R→O】音の向き（左）を正とし、\(v_s=-r, v_o=-v\) で \(f_2\) を \(f_1\) を用いて立式 → ③ ②の式に①の式を代入し、\(f_1\) を消去して整理する。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める: (2)の計算では、\(f_1\) と \(f_2\) の式をまず文字式のまま立て、最後に代入して整理します。これにより、計算の見通しが良くなります。
\(f_2 = \displaystyle\frac{V+v}{V+r}f_1\) と \(f_1 = \displaystyle\frac{V-r}{V-v}f_0\) という関係を明確にしてから、代入を実行することで、ケアレスミスを防げます。 - 分数の扱いに注意: 最終的な答えは分数が入れ子になる形です。\( \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} \) という基本的な計算を落ち着いて行いましょう。
- 検算の習慣: (2)で得られた複雑な式に、(1)の条件（\(r=0\), Oの速度も0）を代入してみて、(1)の答えと一致するかどうかを確認する（これを「縮退の確認」といいます）のは、非常に有効な検算方法です。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (1) 振動数: \(f’ = \frac{V}{V-v}f_0\)。分母が \(V\) より小さいので、\(f’ > f_0\) となります。音源Sが反射板に近づいているので、反射音が高くなるのは物理的に妥当です。
- (2) 振動数: \(f_2 = \frac{(V+v)(V-r)}{(V-v)(V+r)}f_0\)。この式は複雑ですが、各項が物理的にどう影響するか考えてみましょう。例えば、もし反射板Rの速度 \(r\) が非常に大きくなると、分母の \(V+r\) が大きくなり、分子の \(V-r\) は小さく（負に大きく）なるため、\(f_2\) は小さくなる傾向があります。これは、反射板が猛スピードで遠ざかっていくため、音が低くなるという直感と一致します。
- 別解との比較:
- (1)は「2段階ドップラー効果」と「鏡像」の2つのアプローチで解けました。両者で全く同じ結果が得られたことは、計算の正しさと物理モデルの妥当性を裏付けています。異なる視点から同じ結論に至る経験は、物理の深い理解につながります。
271 斜め方向のドップラー効果
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、音源が観測者の正面を横切るように移動する、いわゆる「斜め方向のドップラー効果」を扱います。音源の速度ベクトルを、観測者と音源を結ぶ直線方向の成分に分解することが、この問題を解く上での最大のポイントです。
- 音源の振動数: \(f\) [Hz]
- 音源の速さ: \(v\) [m/s]（右から左へ）
- 観測者と音源の経路との距離: \(d\) [m]
- 音速: \(V\) [m/s]
- 観測者: 静止
- (1) 音源が角度 \(\theta_1\) の位置で出した音の振動数。
- (2) 音源が角度 \(\theta_2\) の位置で出した音の振動数。
- (3) 音源が無限遠点Pで出した音の振動数。
- (4) 音源が無限遠点Qで出した音の振動数。
- (5) 音源が点O（観測者の真横）で出した音の振動数と、その音を観測した瞬間の音源の位置。
- (6) PからQまで移動する際の、観測される振動数の時間変化を表すグラフ。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「斜め方向のドップラー効果」です。音源の速度を成分分解し、ドップラー効果の公式に適用する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ドップラー効果の公式: \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f\) が基本となります。
- 速度の成分分解: ドップラー効果に寄与するのは、音源と観測者を結ぶ直線方向の速度成分のみです。この問題では、音源の速度 \(v\) をこの方向に分解する必要があります。
- 音の伝播時間: 音が音源から観測者に届くまでには時間がかかります。(5)ではこの遅れを考慮する必要があります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)と(2)では、音源の速度 \(v\) を、観測者と音源を結ぶ直線方向に分解し、その速度成分をドップラー効果の公式の \(v_s\) に代入します。
- (3)と(4)は、(1)と(2)の式で角度が特定の値（\(\theta_1=0\), \(\theta_2=0\)）になる極限のケースとして考えます。
- (5)では、音源が真横を通過する瞬間の速度成分を考えます。また、音が伝わる時間差を考慮し、観測者が音を聞いた瞬間に音源がどこまで進んでいるかを計算します。
- (6)では、(1)から(5)の結果を総合し、振動数がどのように連続的に変化するかを考え、最も適したグラフを選びます。
問(1)
思考の道筋とポイント
音源が観測者の右側（角度 \(\theta_1\) の位置）にいる状況です。ドップラー効果に関係するのは、音源の速度のうち、観測者に近づく方向の成分だけです。速度ベクトルを分解し、その成分を公式に適用します。
この設問における重要なポイント
- 速度の成分分解: 音源の速度 \(v\) は左向きです。観測者と音源を結ぶ直線と、音源の進行方向のなす角は \(\theta_1\) です。したがって、観測者に近づく方向の速度成分は \(v \cos\theta_1\) となります。
- ドップラー効果の公式への適用:
- 音源: S
- 観測者: 静止 (\(v_o=0\))
- 音はSから観測者へ進みます。この向きを正とします。
- 音源は速さ \(v \cos\theta_1\) で観測者に近づくので、音源の速度は \(v_s = +v \cos\theta_1\) となります。
具体的な解説と立式
ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f\) を用います。
観測者は静止しているので \(v_o=0\) です。
音源の速度 \(v\) のうち、観測者に向かう方向の成分 \(v_s\) を求めます。図より、この成分は \(v \cos\theta_1\) です。
音源は観測者に近づいているので、音の進行方向を正とすると、\(v_s = +v \cos\theta_1\) となります。
したがって、観測者が聞く振動数 \(f_1\) は、
$$ f_1 = \frac{V-0}{V – v \cos\theta_1}f $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
- ベクトルの分解
上記で立てた式を整理します。
$$
\begin{aligned}
f_1 = \frac{V}{V – v \cos\theta_1}f
\end{aligned}
$$
救急車が斜めから近づいてくるとき、サイレンは高く聞こえますが、まっすぐ向かってくるときほどではありません。これは、救急車の速さの一部しか「近づく」という効果に貢献しないためです。この「近づく速さの成分」を三角関数（\(\cos\theta_1\)）を使って計算し、ドップラー効果の公式に当てはめます。
観測者が聞く振動数は \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V – v \cos\theta_1}f\) [Hz] です。
分母が \(V\) より小さいので、\(f_1 > f\) となり、音源が近づいている状況と一致し、妥当な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
音源が観測者の左側（角度 \(\theta_2\) の位置）にいる状況です。(1)と同様に、音源の速度を観測者から遠ざかる方向の成分に分解して考えます。
この設問における重要なポイント
- 速度の成分分解: 音源の速度 \(v\) は左向きです。観測者と音源を結ぶ直線と、音源の進行方向のなす角は \(\theta_2\) です。したがって、観測者から遠ざかる方向の速度成分は \(v \cos\theta_2\) となります。
- ドップラー効果の公式への適用:
- 音源: S
- 観測者: 静止 (\(v_o=0\))
- 音はSから観測者へ進みます。この向きを正とします。
- 音源は速さ \(v \cos\theta_2\) で観測者から遠ざかるので、音源の速度は \(v_s = -v \cos\theta_2\) となります。
具体的な解説と立式
(1)と同様に、ドップラー効果の公式を用います。
音源の速度 \(v\) のうち、観測者に向かう方向の成分 \(v_s\) を求めます。図より、音源は観測者から速さ \(v \cos\theta_2\) で遠ざかっています。
音の進行方向（S→観測者）を正とすると、音源の速度は \(v_s = -v \cos\theta_2\) となります。
したがって、観測者が聞く振動数 \(f_2\) は、
$$ f_2 = \frac{V-0}{V – (-v \cos\theta_2)}f $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
- ベクトルの分解
上記で立てた式を整理します。
$$
\begin{aligned}
f_2 = \frac{V}{V + v \cos\theta_2}f
\end{aligned}
$$
救急車が斜めに遠ざかっていくとき、サイレンは低く聞こえます。この「遠ざかる速さの成分」を三角関数（\(\cos\theta_2\)）を使って計算し、ドップラー効果の公式に当てはめます。遠ざかる場合は、速度の符号がマイナスになることに注意します。
観測者が聞く振動数は \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V + v \cos\theta_2}f\) [Hz] です。
分母が \(V\) より大きいので、\(f_2 < f\) となり、音源が遠ざかっている状況と一致し、妥当な結果です。
問(3)
思考の道筋とポイント
音源が無限遠点Pにいる状況です。これは、(1)の式で \(\theta_1\) がどのような値になるかを考えることで解けます。
この設問における重要なポイント
- 角度の極限: 音源が無限に遠いP点にあるとき、観測者から見た音源の方向は、音源の進行方向とほぼ一致します。つまり、角度 \(\theta_1\) は0に近づきます。
- 公式への適用: (1)で求めた式 \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V – v \cos\theta_1}f\) に、\(\theta_1 = 0\) を代入します。
具体的な解説と立式
音源が無限遠点Pにいるとき、音源は観測者に対してまっすぐ近づいてくることと等価になります。このとき、角度 \(\theta_1\) は 0 とみなせます。
(1)の式に \(\theta_1 = 0\) を代入して、振動数 \(f_P\) を求めます。
$$ f_P = \frac{V}{V – v \cos 0}f $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
\(\cos 0 = 1\) なので、
$$
\begin{aligned}
f_P &= \frac{V}{V – v \times 1}f \\[2.0ex]&= \frac{V}{V-v}f
\end{aligned}
$$
振動数は \( \displaystyle\frac{V}{V-v}f \) [Hz] となります。これは、音源が速さ \(v\) でまっすぐ近づいてくるときのドップラー効果の式そのものであり、物理的に正しい結果です。
問(4)
思考の道筋とポイント
音源が無限遠点Qにいる状況です。これは、(2)の式で \(\theta_2\) がどのような値になるかを考えることで解けます。
この設問における重要なポイント
- 角度の極限: 音源が無限に遠いQ点にあるとき、観測者から見た音源の方向は、音源の進行方向とほぼ一致します。つまり、角度 \(\theta_2\) は0に近づきます。
- 公式への適用: (2)で求めた式 \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V + v \cos\theta_2}f\) に、\(\theta_2 = 0\) を代入します。
具体的な解説と立式
音源が無限遠点Qにいるとき、音源は観測者からまっすぐ遠ざかっていくことと等価になります。このとき、角度 \(\theta_2\) は 0 とみなせます。
(2)の式に \(\theta_2 = 0\) を代入して、振動数 \(f_Q\) を求めます。
$$ f_Q = \frac{V}{V + v \cos 0}f $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
\(\cos 0 = 1\) なので、
$$
\begin{aligned}
f_Q &= \frac{V}{V + v \times 1}f \\[2.0ex]&= \frac{V}{V+v}f
\end{aligned}
$$
振動数は \( \displaystyle\frac{V}{V+v}f \) [Hz] となります。これは、音源が速さ \(v\) でまっすぐ遠ざかっていくときのドップラー効果の式そのものであり、物理的に正しい結果です。
問(5)
思考の道筋とポイント
音源が観測者の真横（点O）を通過する瞬間に注目します。このときの速度成分と、音が伝わる時間差の2点を考える必要があります。
この設問における重要なポイント
- 真横を通過する瞬間の速度成分: 音源が点Oにいるとき、その速度ベクトル \(v\) は、観測者と音源を結ぶ直線（線分O-観測者）に対して垂直です。したがって、観測者に近づいたり遠ざかったりする方向の速度成分は0になります。
- ドップラー効果の有無: 観測者に向かう速度成分が0であるため、音源が点Oで音を出した瞬間には、ドップラー効果は起こりません。観測される振動数は元の振動数 \(f\) と同じです。
- 音の伝播時間: 音源が点Oで出した音は、距離 \(d\) を速さ \(V\) で進み、観測者に届きます。この間にかかる時間は \(t = \displaystyle\frac{d}{V}\) です。
- 観測時の音源の位置: 観測者がこの音を聞くまでの時間 \(t\) の間に、音源は点Oからさらに速さ \(v\) で \(t\) 秒間移動します。その移動距離は \(v \times t\) です。
具体的な解説と立式
振動数について
音源が点Oにいるとき、その速度の向きは観測者と音源を結ぶ直線と垂直です。つまり、観測者に近づく（または遠ざかる）速度成分は \(v \cos(90^\circ) = 0\) です。
したがって、ドップラー効果は起こらず、観測される振動数は \(f\) [Hz] となります。
音源の位置について
音源が点Oで音を出してから、その音が観測者に届くまでにかかる時間 \(t\) は、
$$ t = \frac{d}{V} \quad \cdots ① $$
この時間 \(t\) の間に、音源は点Oから左向きに移動します。その距離 \(L\) は、
$$ L = v \times t \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の公式
- 等速直線運動の式: 距離 = 速さ × 時間
振動数について
上記の解説の通り、観測される振動数は \(f\) [Hz] です。
音源の位置について
式②に式①を代入して、距離 \(L\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
L &= v \times t \\[2.0ex]&= v \times \frac{d}{V} \\[2.0ex]&= \frac{vd}{V}
\end{aligned}
$$
よって、観測者が音を聞いたとき、音源は点Oから \(\displaystyle\frac{vd}{V}\) [m] だけ離れた位置にいます。
振動数は \(f\) [Hz]、音源の位置はOから \(\displaystyle\frac{vd}{V}\) [m] 離れた場所です。音源が真横を通過するときにドップラー効果がなくなること、そして音が伝わる間に音源が先に進んでしまうという現象は、この問題の重要なポイントです。
問(6)
思考の道筋とポイント
(1)から(5)までの結果を総合して、振動数が時間とともにどのように変化するかを考えます。
この設問における重要なポイント
- 振動数の変化の全体像:
- 音源が無限遠Pから近づいてくるとき、振動数は最も高い \(f_P = \frac{V}{V-v}f\) から始まります。
- 音源が近づくにつれて、角度 \(\theta_1\) は 0 から 90°へと増加します。\(\cos\theta_1\) は 1 から 0 へと減少するため、(1)の式の分母 \(V-v\cos\theta_1\) は大きくなります。したがって、振動数 \(f_1\) は徐々に減少します。
- 音源が点Oで出した音を聞くとき、振動数は \(f\) となります。
- 音源が点Oを過ぎて遠ざかっていくとき、角度 \(\theta_2\) は 90°から 0 へと減少します。\(\cos\theta_2\) は 0 から 1 へと増加するため、(2)の式の分母 \(V+v\cos\theta_2\) は大きくなります。したがって、振動数 \(f_2\) はさらに減少し続けます。
- 音源が無限遠Qに達したとき、振動数は最も低い \(f_Q = \frac{V}{V+v}f\) になります。
- グラフの形状: 振動数は、最高値から最低値まで、単調に（連続的に）減少し続けます。途中で急に変化したり、一定になったりする区間はありません。また、点Oを通過する前後で、振動数の変化は対称ではありません。
- グラフの選択: 上記の考察に最も合致するグラフは「イ」です。最高値からスタートし、単調に減少し、最低値に漸近していきます。また、\(f\) を中心として上下非対称な形になっています。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ドップラー効果における速度の成分分解:
- 核心: ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f\) に代入する速度 \(v_s\) (または \(v_o\)) は、音源と観測者を結ぶ直線方向の速度成分でなければなりません。音源が斜めに動く場合、その速度ベクトル \(\vec{v}\) を、この直線方向の成分（\(v \cos\theta\)）と、それに垂直な成分（\(v \sin\theta\)）に分解し、直線方向の成分のみを公式に用いることが、この問題の最大の核心です。
- 理解のポイント: なぜ直線方向の成分だけが関係するのか？ それは、音の波長の変化（波面の間隔の伸縮）を引き起こすのが、この直線方向の運動だけだからです。垂直方向の運動は、波面を全体的に平行移動させるだけで、波長には影響を与えません。
- 音の伝播時間と観測の遅れ:
- 核心: 音は有限の速さ（音速 \(V\)）で伝わるため、「音が出された時刻」と「観測者がそれを聞く時刻」にはズレが生じます。この時間差を考慮することが(5)の後半部分を解く鍵です。
- 理解のポイント: 観測者が「音源が真横を通過したときに出た音」を聞いた瞬間、音源自身はその場所にはもういません。音が観測者に届くまでの時間 \(t = d/V\) の間に、音源はさらに \(v \times t\) だけ先へ進んでしまっています。この「見てるもの」と「聞こえるもの」の間の時間差という概念は、光速が有限であることによる天文学の現象（例：遠くの星の光は過去の姿）とも共通する重要な物理概念です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 円運動する音源: 音源が観測者の周りを円運動する場合。各瞬間において、音源の接線速度を、観測者と音源を結ぶ動径方向に分解します。観測者に最も近づく点と遠ざかる点で振動数は最大・最小となり、観測者から見て軌道の両端に見える点（速度が視線に垂直になる点）で振動数は \(f\) になります。
- 動く観測者: この問題では観測者は静止していましたが、観測者が動く場合も考え方は同じです。観測者の速度も、音源と観測者を結ぶ直線方向に分解し、その成分を \(v_o\) として公式に代入します。
- 救急車が交差点を曲がる問題: 直進してきた救急車が交差点を曲がって遠ざかるような問題。曲がる前と後で、それぞれ斜め方向のドップラー効果を考え、振動数がどのように変化するかを分析します。
- 初見の問題での着眼点:
- 音源と観測者の位置関係と運動方向を図示する: まず、誰がどこで、どちら向きに動いているのかを正確に図に描き込みます。
- 「視線方向」を特定する: 注目する瞬間の「音源と観測者を結ぶ直線」（視線）を引きます。これが速度を分解する際の基準線となります。
- 速度を分解する: 音源（と観測者）の速度ベクトルを、この視線方向の成分と、それに垂直な成分に分解します。視線方向の成分が \(v_s\) (または \(v_o\)) になります。
- 近づくか遠ざかるかを判断する: 分解した視線方向の速度成分の向きを見て、近づいているのか（\(v_s\) は正）、遠ざかっているのか（\(v_s\) は負）を判断し、符号を決定します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 速度を分解せずにそのまま公式に代入する:
- 誤解: 音源の速さ \(v\) を、そのまま \(v_s\) として公式に入れてしまう。
- 対策: ドップラー効果は「波の圧縮・伸長」によって起こる現象であることを常に意識しましょう。斜めに動く場合、速さ \(v\) のすべてが波の圧縮・伸長に寄与するわけではありません。必ず「視線方向の成分」に分解する、という一手間を忘れないようにしましょう。
- 角度（\(\theta\)）の取り方の間違い:
- 誤解: 図で与えられた角度を、何も考えずに \(\cos\theta\) や \(\sin\theta\) に当てはめてしまう。
- 対策: 速度ベクトルと視線がなす角がどこなのかを、図形的に正確に把握することが重要です。自分で図を描き直し、直角三角形を見つけて、どの角が \(\theta\) に相当するのかを確認する習慣をつけましょう。
- 音の伝播時間を無視する:
- 誤解: (5)で、音源が点Oにいる瞬間に、観測者も「点Oから出た音」を聞いていると勘違いする。
- 対策: 「音が出る」イベントと「音が聞こえる」イベントは、異なる時刻に起こることを常に念頭に置きましょう。特に、音源の位置を問われた場合は、この時間差を考慮する必要があるのではないか、と疑うことが重要です。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 波面の同心円のズレ: 音源が動くと、音の波面（同心円）の中心が少しずつズレていきます。音源が左に動けば、波面は左側で密に、右側で疎になります。観測者がこの波面の密な部分を受け取るときは音が高く、疎な部分を受け取るときは低く聞こえます。斜め方向から観測する場合、この波面の「斜め方向の間隔」がどうなっているかをイメージすると、現象の理解が深まります。
- 速度ベクトルの分解図: 各瞬間において、音源の位置に速度ベクトル \(\vec{v}\) を描き、そこから観測者へ向かう視線を引きます。そして、\(\vec{v}\) を始点とする長方形を描き、視線方向の成分ベクトルとそれに垂直な成分ベクトルに分解する図を丁寧に描くことが、ミスを防ぐ最善策です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- ドップラー効果の公式 (\(f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f\)):
- 選定理由: 音源と観測者の相対運動による振動数変化を扱う、この分野の根幹をなす公式だからです。
- 適用根拠: この問題は、一見複雑な「斜め方向」の運動を、公式が適用できる「直線方向」の運動に分解することで、基本法則の枠組みに落とし込むことができる、という物理学の基本的な問題解決アプローチ（複雑な現象を単純な要素に分解する）を体現しています。
- 三角関数 (\(v_s = v \cos\theta\)):
- 選定理由: 物理法則（ドップラー効果）を適用するために必要な物理量（視線方向の速度成分）を、与えられた情報（速度 \(v\) と角度 \(\theta\)）から導出するための数学的なツールとして必要だからです。
- 適用根拠: ベクトルの成分分解という、数学的に確立された手法を用いています。
- 等速直線運動の式 (\(L=vt\)):
- 選定理由: (5)で、音が伝わる時間 \(t\) の間に音源がどれだけ移動したかを計算するために必要だからです。
- 適用根拠: 速度が一定の場合の、距離・速さ・時間の関係を表す最も基本的な運動法則です。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1)~(4) 振動数の計算:
- 戦略: 音源の速度を視線方向に分解し、ドップラー効果の公式に適用する。
- フロー: ①音源と観測者を結ぶ視線を描く → ②音源の速度 \(v\) と視線のなす角 \(\theta\) を特定する → ③視線方向の速度成分 \(v_s = v \cos\theta\) を計算 → ④近づくか遠ざかるかで \(v_s\) の符号を決定 → ⑤公式 \(f’ = \frac{V}{V-v_s}f\) に代入する。
- (5) 真横通過時の計算:
- 戦略: 振動数と音源位置を別々に考える。振動数は速度成分から、位置は音の伝播時間から求める。
- フロー（振動数）: ①点Oでは速度と視線が垂直 → ②視線方向の速度成分は0 → ③ドップラー効果はなし、よって \(f’=f\)。
- フロー（位置）: ①音がOから観測者まで伝わる時間 \(t=d/V\) を計算 → ②その間に音源が移動する距離 \(L=vt\) を計算 → ③ \(L\) に \(t\) を代入して完了。
- (6) グラフの選択:
- 戦略: (1)~(5)の結果を時系列でつなぎ、振動数の変化の傾向を掴む。
- フロー: ①無限遠Pでの最高振動数から始まる → ②点Oに近づくにつれ、\(\theta_1\) が増え、振動数は連続的に減少する → ③点Oで \(f\) となる音を聞く → ④点Oを過ぎるとさらに振動数は減少し続ける → ⑤無限遠Qでの最低振動数に漸近する。この単調減少のグラフを選ぶ。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- cosとsinの混同に注意: 速度を分解する際、角度 \(\theta\) の位置によって \(\cos\) を使うか \(\sin\) を使うかが変わります。必ず図を描いて、直角三角形の辺と角の関係を視覚的に確認しましょう。「角を挟む辺は\(\cos\)」と覚えるのも有効です。
- 文字式のまま計算を進める: この問題はすべて文字式なので、計算ミスは少ないかもしれませんが、各設問で得られた式（\(f_1, f_2, f_P, f_Q\)など）の関係性を吟味することが重要です。例えば、\(f_1\) の式で \(\theta_1=0\) とすると \(f_P\) になる、といった関係性の確認は、理解を深めると同時に検算にもなります。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- 振動数の大小関係: 計算結果が \(f_P > f_1 > f > f_2 > f_Q\) という大小関係を満たしているかを確認します。これは、音源が最も速く近づくとき（無限遠P）に音が最も高く、最も速く遠ざかるとき（無限遠Q）に最も低くなるという物理的直感と一致します。
- (6) グラフの対称性: グラフ「イ」は、振動数 \(f\) の水平線に対して上下非対称です。これはなぜでしょうか？(1)と(2)の式を見ると、分母が \(V-v\cos\theta\) と \(V+v\cos\theta\) となっており、\(f\) からのズレ幅が等しくないことがわかります。近づくときの方が、遠ざかるときよりも振動数の変化が大きいのです。この非対称性も、ドップラー効果の重要な特徴です。
272 円運動によるドップラー効果
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、等速円運動する音源が発する音を、静止した観測者がどのように観測するかを問う、ドップラー効果の応用問題です。円運動によって音源の速度の向きが絶えず変化するため、観測者に対する「近づく・遠ざかる」度合いも変化し、観測される音の高さが周期的に変わる現象を扱います。
この問題の核心は、音源の速度ベクトルを、観測者と音源を結ぶ「視線方向」と「それに垂直な方向」に分解し、視線方向の速度成分を正しく求めることです。
- 音源Pの振動数: \(f\) [Hz]
- 音源Pの速さ: \(v\) [m/s]
- 音速: \(V\) [m/s]
- 観測者Qは静止している。
- 音源Pは時計回りに等速円運動している。
- 円周上の点: A, B, C, D（A, Cは円と直線OQの交点、B, DはQからの接線の接点）
- 円運動の周期: \(T\) [s]
- 時刻の基準: \(t=0\) [s] でPは点Aを通過する。
- (1) 観測される最も高い音は、Pがどの点を通過したときに出された音か。また、その振動数 \(f’_{\text{max}}\) はいくらか。
- (2) 観測される最も低い音は、Pがどの点を通過したときに出された音か。また、その振動数 \(f’_{\text{min}}\) はいくらか。
- (3) 観測される振動数が \(f\) [Hz] となるのは、Pがどの点を通過したときに出された音か。
- (4) 観測される音の振動数が \(f\) より高くなるのは、Pがどの時刻の範囲で出した音か。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「円運動する音源によるドップラー効果」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ドップラー効果の公式: 観測される振動数 \(f’\) は、音源から観測者へ向かう向きを正として、\(f’ = \displaystyle\frac{V-v_o}{V-v_s}f\) で与えられます。この問題では観測者Qは静止しているので \(v_o=0\) です。
- 視線方向の速度成分: 公式中の \(v_s\) は、音源の速度そのものではなく、音源と観測者を結ぶ直線（視線）方向の速度成分です。
- 円運動の速度ベクトル: 等速円運動する物体の速度ベクトルは、常に円の接線方向を向きます。
- 速度の分解: 音源Pの速度ベクトル \(\vec{v}\) を、視線PQ方向の成分 \(v_s\) と、それに垂直な成分に分解して考えます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、観測される振動数 \(f’\) が最大・最小・変化なしとなる条件を、視線方向の速度成分 \(v_s\) の条件（最大・最小・ゼロ）に置き換えます。
- 次に、円運動する音源Pがどの点にいるときに \(v_s\) がそれらの条件を満たすかを、図から幾何学的に判断します。
- 最後に、ドップラー効果の公式に \(v_s\) の値を代入して、具体的な振動数を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
観測される音の振動数が最も高くなる状況を考えます。ドップラー効果では、音源が観測者に対して最も速く近づくときに、観測される振動数が最大になります。この問題では、音源Pの速度ベクトルが、ちょうど観測者Qの方向を向く瞬間を探します。
この設問における重要なポイント
- 振動数が最大になる条件: ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v_s}f\) において、\(f’\) が最大になるのは、分母の \(V-v_s\) が最小になるときです。これは、\(v_s\) が正で最大値をとるときに相当します。
- 視線方向速度 \(v_s\) の最大化: \(v_s\) は、音源Pの速度の、観測者Qに向かう方向の成分です。Pの速度ベクトル（速さ \(v\)、向きは円の接線方向）が、観測者Qの方向と完全に一致するとき、\(v_s\) は最大値 \(v\) をとります。
- 該当する点の特定: 図を見ると、点Dは観測者Qから円に引いた接線の接点です。Pが点Dにいるとき、その速度の向き（接線方向）は、視線QDの方向と一致します。したがって、Pが観測者Qにまっすぐ向かってくる状態になります。
具体的な解説と立式
観測者Qは静止している (\(v_o=0\)) ため、ドップラー効果の公式は次のように表せます。
$$ f’ = \frac{V}{V-v_s}f \quad \cdots ① $$
ここで \(v_s\) は、音源Pから観測者Qへ向かう向きを正とした、Pの速度の視線方向成分です。
観測される振動数 \(f’\) が最大になるのは、\(v_s\) が最大になるときです。音源Pの速度は、常に円の接線方向を向いており、その速さは \(v\) です。Pの速度ベクトルが、観測者Qの方向をまっすぐ向くとき、\(v_s\) はその最大値 \(v\) をとります。
図から、Pが点Dを通過するとき、その速度の向き（円の接線方向）は視線QDの向きと一致します。このとき、Pは速さ \(v\) でQにまっすぐ近づいています。
したがって、Qが観測する最も高い音は、Pが点Dを通過したときに出した音です。
使用した物理公式
- ドップラー効果（音源が運動し、観測者が静止する場合）
式①に \(v_s = v\) を代入します。
$$ f’_{\text{max}} = \frac{V}{V-v}f $$
これ以上の計算はありません。
救急車のサイレンは、自分にまっすぐ向かってくるときに最も高く聞こえます。この問題でも同じで、音源Pが円運動の中で、ちょうど観測者Qの方向に向かって動く瞬間を探します。それは接点である点Dを通過するときなので、このときに出た音が最も高くなります。
最も高い音を出すのはPが点Dを通過したときで、その振動数は \(\displaystyle\frac{V}{V-v}f\) [Hz] です。
分母が \(V-v\) となり \(V\) より小さくなるため、\(f’_{\text{max}} > f\) となります。これは、音源が近づくときに音が高く聞こえるという物理現象と一致しており、妥当な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
観測される音の振動数が最も低くなる状況を考えます。これは、音源が観測者から最も速く遠ざかるときに起こります。円運動する音源Pの速度ベクトルが、観測者Qから遠ざかる方向とちょうど一致する瞬間を探します。
この設問における重要なポイント
- 振動数が最小になる条件: ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v_s}f\) において、\(f’\) が最小になるのは、分母の \(V-v_s\) が最大になるときです。これは、\(v_s\) が負でその絶対値が最大、すなわち \(v_s\) が最小値をとるときに相当します。
- 視線方向速度 \(v_s\) の最小化: Pの速度ベクトルが、観測者Qから遠ざかる方向と完全に一致するとき、\(v_s\) は最小値 \(-v\) をとります。
- 該当する点の特定: 図を見ると、点Bは観測者Qから円に引いたもう一方の接線の接点です。Pが点Bにいるとき、その速度の向き（接線方向）は、視線QBの向きのちょうど反対を向きます。したがって、Pが観測者Qからまっすぐ遠ざかる状態になります。
具体的な解説と立式
(1)と同様に、ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v_s}f\) を用います。
観測される振動数 \(f’\) が最小になるのは、\(v_s\) が最小になるときです。
音源Pの速度ベクトルが、観測者Qから遠ざかる向きに最大速度で運動するとき、\(v_s\) はその最小値 \(-v\) をとります。
図から、Pが点Bを通過するとき、その速度の向き（円の接線方向）は視線QBの向きと反対になります。このとき、Pは速さ \(v\) でQからまっすぐ遠ざかっています。
したがって、Qが観測する最も低い音は、Pが点Bを通過したときに出した音です。
使用した物理公式
- ドップラー効果（音源が運動し、観測者が静止する場合）
\(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v_s}f\) に \(v_s = -v\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f’_{\text{min}} &= \frac{V}{V-(-v)}f \\[2.0ex]&= \frac{V}{V+v}f
\end{aligned}
$$
救急車のサイレンは、自分からまっすぐ遠ざかっていくときに最も低く聞こえます。この問題でも、音源Pが円運動の中で、ちょうど観測者Qから見てまっすぐ遠ざかるように動く瞬間を探します。それは接点である点Bを通過するときなので、このときに出た音が最も低くなります。
最も低い音を出すのはPが点Bを通過したときで、その振動数は \(\displaystyle\frac{V}{V+v}f\) [Hz] です。
分母が \(V+v\) となり \(V\) より大きくなるため、\(f’_{\text{min}} < f\) となります。これは、音源が遠ざかるときに音が低く聞こえるという物理現象と一致しており、妥当な結果です。
問(3)
思考の道筋とポイント
観測される振動数が、音源本来の振動数 \(f\) と同じになる状況を考えます。これは、ドップラー効果が起こらない、すなわち、音源が観測者に対して近づきも遠ざかりもしていない瞬間に相当します。
この設問における重要なポイント
- 振動数が変化しない条件: \(f’ = f\) となるのは、ドップラー効果の公式で \(v_s = 0\) となるときです。
- 視線方向速度 \(v_s\) がゼロになる条件: \(v_s=0\) とは、音源Pの速度ベクトルが、観測者QとPを結ぶ視線PQと垂直になるときを意味します。
- 該当する点の特定: Pの速度は円の接線方向です。Pが点Aおよび点Cにいるとき、その速度の向き（円の接線方向）は視線AQおよびCQ（水平方向）と垂直になります。
具体的な解説と立式
観測される振動数 \(f’\) が音源の振動数 \(f\) と等しくなるのは、ドップラー効果が生じない、すなわち視線方向の速度成分 \(v_s\) がゼロになるときです。
$$ v_s = 0 $$
これは、音源Pの速度ベクトル \(\vec{v}\) が、視線PQの向きと垂直になるときに起こります。
音源Pは時計回りに運動しています。
Pが点Aにいるとき、速度は鉛直下向きであり、視線AQ（水平方向）と垂直です。
Pが点Cにいるとき、速度は鉛直上向きであり、視線CQ（水平方向）と垂直です。
したがって、これらの点では \(v_s=0\) となります。
Qが振動数 \(f\) の音を観測するのは、Pが点Aまたは点Cを通過したときに出した音です。
使用した物理公式
- ドップラー効果（\(v_s=0\) の条件）
計算は不要です。
音源が自分に近づいたり遠ざかったりする成分がない、つまり真横に動いているように見える瞬間は、音の高さは変わって聞こえません。この円運動では、Pが一番手前（点A）と一番奥（点C）を通過するとき、その動きは観測者Qから見て上下方向となり、近づきも遠ざかりもしないため、元の高さの音が聞こえます。
該当する位置は点A、Cです。物理的に妥当な結論です。
問(4)
思考の道筋とポイント
観測される音が、元の音より高く聞こえる条件を考えます。これは、音源が観測者に近づく成分を持つ運動をしている間ずっと続きます。この条件を満たす音源Pの位置の範囲を特定し、それを時刻の範囲に変換します。
この設問における重要なポイント
- 音が高く聞こえる条件: \(f’ > f\) となるのは、ドップラー効果の公式から \(v_s > 0\) のときです。
- \(v_s > 0\) の物理的意味: \(v_s > 0\) とは、音源Pが観測者Qに近づく向きの速度成分を持つことを意味します。
- 該当する範囲の特定: 音源Pは時計回りに運動します。その速度ベクトル（接線ベクトル）が観測者Qのいる右側を向く成分を持つのは、Pが円周の上半分（C→D→Aの経路）を運動しているときです。
- 時刻への変換: Pの運動（Aで\(t=0\)、周期\(T\)）から、この区間に対応する時刻の範囲を求めます。
具体的な解説と立式
観測者Qが振動数 \(f\) よりも高い音を観測する条件は、\(f’ > f\) です。
ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v_s}f\) より、この不等式が成り立つのは、分母が \(V\) より小さいとき、すなわち
$$ V-v_s < V $$ $$ v_s > 0 $$
となるときです。
\(v_s > 0\) とは、音源Pが観測者Qに近づく速度成分を持っていることを意味します。
Pは時計回りに運動しており、その速度は常に円の接線方向を向いています。図から、Pの速度ベクトルがQの方向（右向き）の成分を持つのは、Pが円周の上半分、すなわち点Cから点Dを通り、点Aに至るまでの半円の区間を運動しているときです。
次に、この区間を時刻の範囲に変換します。
Pは周期 \(T\) で運動し、\(t=0\) で点Aを通過します。
- 点Aを通過する時刻: \(t=0\)
- 点Cを通過する時刻: 時計回りに半周するので、\(t = T/2\)
- 再び点Aを通過する時刻: 時計回りに一周するので、\(t = T\)
PがCからAの区間（円の上半分）を移動するのは、後半の半周期です。したがって、対応する時刻は \(t=T/2\) から \(t=T\) までです。
端点である点C (\(t=T/2\)) と点A (\(t=T\)) では \(v_s=0\) となり \(f’=f\) となるため、これらの時刻は範囲に含めません。
したがって、求める時刻の範囲は以下のようになります。
$$ \frac{T}{2} < t < T $$
使用した物理公式
- ドップラー効果（\(f’>f\) の条件）
計算は不要です。
音源がこちらに向かってくる成分を持つ運動をしている間は、音は高く聞こえます。この円運動では、Pが円の一番奥（点C）を曲がってから一番手前（点A）に到達するまでの、図の上半分の円周を動いている間、常に観測者Qの方向に近づく動きの成分を持っています。この時間帯に出された音はすべて高く聞こえます。
求める時刻の範囲は \(\displaystyle\frac{T}{2} < t < T\) です。
この範囲は、Pが円の上半分を移動している時間に対応し、その間は常に観測者Qに近づく速度成分を持つため、音が高く聞こえるという物理的イメージと一致しており、妥当です。
思考の道筋とポイント
音源Pの位置を角度 \(\theta\) を用いてパラメータ表示し、視線方向の速度成分 \(v_s\) を時刻 \(t\) の関数として表します。この関数を用いて各設問の条件を数式で解くことで、より厳密に答えを導出します。このアプローチでは、観測者Qが円から十分離れていると仮定し、視線PQの方向が常に一定（x軸方向）であると近似します。
具体的な解説と立式
円の中心Oを原点とし、観測者Qの方向をx軸の正方向とします。円の半径を \(R\) とします。
音源Pは点A(\(t=0\))から時計回りに角速度 \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) で運動します。
時刻 \(t\) におけるPの位置の角度は、x軸の正方向から時計回りに \(\theta = \omega t\) となります。
Pの位置座標は \( (R\cos\theta, -R\sin\theta) = (R\cos(\omega t), -R\sin(\omega t)) \) です。
Pの速度ベクトル \(\vec{v}\) は、位置ベクトルを時間で微分して求めます。
$$ \vec{v} = (v_x, v_y) = (-R\omega\sin(\omega t), -R\omega\cos(\omega t)) $$
ここで、速さ \(v = R\omega\) です。
観測者Qが遠方にいると近似すると、視線PQの方向は常にx軸方向とみなせます。よって、視線方向の速度成分 \(v_s\) は、\(\vec{v}\) のx成分に等しくなります。
$$ v_s(t) = v_x = -R\omega\sin(\omega t) = -v\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right) \quad \cdots ② $$
この式を用いて各設問を解きます。
問(3)の解析
\(f’ = f\) となるのは \(v_s = 0\) のときです。
\( -v\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right) = 0 \) より \(\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right) = 0\)。
これは \(\frac{2\pi}{T}t = 0, \pi, 2\pi, \dots\) のとき、すなわち \(t=0, \frac{T}{2}, T, \dots\) のときです。
\(t=0, T\) は点Aに、\(t=T/2\) は点Cに対応します。
問(4)の解析
\(f’ > f\) となるのは \(v_s > 0\) のときです。
$$ -v\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right) > 0 $$
$$ \sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right) < 0 $$
\(0 \le t \le T\) の範囲で、角度 \(\frac{2\pi}{T}t\) は \(0\) から \(2\pi\) まで変化します。この範囲で \(\sin\) の値が負になるのは、角度が \(\pi\) から \(2\pi\) の間です。
$$ \pi < \frac{2\pi}{T}t < 2\pi $$
この不等式の各辺を \(\frac{T}{2\pi}\) で割ると、
$$ \frac{T}{2} < t < T $$
となり、図形的に考察した結果と一致します。この解析的な方法は、特に範囲を問う問題で厳密な議論ができる点で有効です。
(注：この別解はQが遠方にいるという近似に基づいているため、(1)と(2)の点の解釈がメインの解法と異なりますが、(3)と(4)の結論は一致します。)
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ドップラー効果と視線速度:
- 核心: 観測される振動数 \(f’\) を決めるのは、音源の速度 \(v\) そのものではなく、音源と観測者を結ぶ直線（視線）方向の速度成分 \(v_s\) です。公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v_s}f\) の \(v_s\) を正しく評価することが、この問題の全てです。
- 理解のポイント: \(v_s\) は、観測者に近づく向きを正とします。したがって、\(v_s > 0\) なら音は高くなり、\(v_s < 0\) なら音は低くなり、\(v_s = 0\) なら音の高さは変わりません。円運動ではこの \(v_s\) が周期的に変化するため、観測される音の高さも周期的に変化します。
- 円運動における速度ベクトル:
- 核心: 等速円運動する物体の速度ベクトルは、常に円の接線方向を向いています。この幾何学的な性質と、視線の方向との関係から、\(v_s\) の値が最大・最小・ゼロになる点を特定することが求められます。
- 理解のポイント:
- \(v_s\) が最大 (\(v_s=v\)): 速度ベクトルが視線方向と一致するとき（点D）。
- \(v_s\) が最小 (\(v_s=-v\)): 速度ベクトルが視線方向と逆向きになるとき（点B）。
- \(v_s\) がゼロ: 速度ベクトルが視線方向と垂直になるとき（点A, C）。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 回転する発光体の光のドップラー効果: 音波の代わりに光で考える問題です。光速 \(c\) を使い、公式は相対論的なものになりますが、「視線方向の速度成分が重要」という根本的な考え方は同じです。
- 連星の観測: 互いに周回する2つの恒星（連星）から届く光のスペクトルを観測する問題。星の公転運動によるドップラー効果で、スペクトル線が周期的にずれる（赤方偏移・青方偏移する）現象を解析する際に、本問と同様の考え方を用います。
- 斜めに横切る救急車: 救急車が自分の前を直進して横切る場合も、観測者との角度が変化するため、視線方向の速度成分 \(v_s\) は変化します。最も近づく瞬間（視線と進路が垂直になる瞬間）に音の高さが急に下がるように聞こえるのは、この \(v_s\) の符号が正から負に切り替わるためです。
- 初見の問題での着眼点:
- 音源と観測者の運動を図示する: まず、それぞれの速度ベクトルを図に書き込みます。
- 視線を引く: 音源と観測者を結ぶ直線を引きます。これが \(v_s\) を考える基準線になります。
- 速度を分解する: 音源の速度ベクトルを、視線方向とその垂直方向に分解します。ドップラー効果に関係するのは視線方向の成分のみです。
- \(v_s\) の符号と大きさを評価する: 分解した視線方向の速度成分が、近づく向き（\(v_s > 0\)）か、遠ざかる向き（\(v_s < 0\)）か、その大きさはどの点で最大・最小になるかを幾何学的に判断します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- \(v_s\) に音源の速さ \(v\) をそのまま代入する:
- 誤解: ドップラー効果の公式の \(v_s\) に、いつでも音源の速さ \(v\) を代入してしまう。
- 対策: \(v_s\) はあくまで「視線方向の速度成分」であることを徹底的に意識しましょう。音源がまっすぐ近づくか遠ざかる特別な場合を除き、\(|v_s| \le v\) となります。必ず図を描いて速度を分解する習慣をつけましょう。
- 運動の向きと円周上の位置関係の混同:
- 誤解: 本解説でも何度も犯したように、「時計回り」の運動において、円の上半分と下半分で、速度の左右成分がどちらを向くかを混同する。
- 対策: 特定の点（例えば最高点や最下点）で速度ベクトルの向きがどうなるかを一つ描き、そこから連続的に動かして考えましょう。例えば点C（最高点）では、時計回りなら速度は右向きです。そこから点A（最右点）に向かう間、速度は右下方向を向き続けるため、右向き成分を持つことがわかります。
- 時刻の起算点と回転方向の勘違い:
- 誤解: \(t=0\) の位置や、回転方向（時計回りか反時計回りか）を問題文から読み落とす、または逆に解釈する。
- 対策: 問題の条件を最初にリストアップする際に、これらの運動の初期条件と規則を明確に書き出しておきましょう。特に範囲を問う(4)のような問題では、これらの条件が直接答えに影響します。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 速度ベクトルの分解図: 円周上のいくつかの代表的な点（A, B, C, Dなど）で、速度ベクトル \(\vec{v}\) を描き、そこから観測者Qへの視線を引きます。そして、\(\vec{v}\) を視線に平行な成分 \(\vec{v}_s\) と垂直な成分 \(\vec{v}_{\perp}\) に分解する図を描くと、\(v_s\) の大きさと符号が点によってどう変わるかが一目瞭然になります。
- \(v_s(t)\) のグラフ: 横軸に時刻 \(t\)、縦軸に視線速度 \(v_s\) をとったグラフをイメージします。この問題では \(v_s(t) = -v\sin(\frac{2\pi}{T}t)\) （※別解の近似に基づく）のようなサインカーブを描きます。このグラフを見れば、\(v_s\) が最大・最小・ゼロになる時刻や、\(v_s>0\) となる区間が視覚的に理解できます。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 速度ベクトルは接線に: 円運動の速度ベクトルは、必ず円の接線方向に描きます。中心を向いたり、外を向いたりすることはありません。
- 視線はPからQへ: 視線は常にその瞬間の音源Pの位置から観測者Qへ向かう直線です。Qが遠方にあると近似しない限り、視線の向きはPの位置によって変わることに注意が必要です（ただし、この問題ではQがx軸上に固定されているため、近似的な扱いでも結論に影響しにくいです）。
- 分解した成分は点線で: 元の速度ベクトルを実線で、分解した2つの成分を点線で描くと、どの力が実在でどれが成分かを区別しやすくなります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- ドップラー効果の公式 (\(f’ = \frac{V-v_o}{V-v_s}f\)):
- 選定理由: 音源または観測者が運動することによって、観測される音の振動数が変化する現象を記述するための、唯一の基本法則だからです。
- 適用根拠: この公式は、音源が発した波の山と山の間隔（波長）が、音源の運動によって観測者から見て伸び縮みすること（音源効果）、および観測者が単位時間あたりに横切る波の山の数（振動数）が、観測者の運動によって変化すること（観測者効果）を数式化したものです。この問題では観測者が静止しているため、\(v_o=0\) とし、音源効果のみを考えます。
- 三角関数によるパラメータ表示（別解）:
- 選定理由: 円運動のような周期的な運動を、時間 \(t\) の連続的な関数として解析的に扱いたい場合に非常に有効な数学的ツールだからです。特に、ある条件を満たす「時間範囲」を問われた際に、不等式を解くことで厳密に答えを導けます。
- 適用根拠: 円周上の点の位置は、中心からの距離（半径）と角度で一意に決まります。等速円運動では角度が時間に比例して変化するため、三角関数 \( \sin, \cos \) を用いて位置や速度を時刻 \(t\) の関数として表現できます。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1)〜(3) 点の特定:
- 戦略: 観測される振動数の特徴（最大、最小、変化なし）を、視線速度 \(v_s\) の物理的条件（最大、最小、ゼロ）に翻訳する。
- フロー: ① \(f’\) が最大 \(\rightarrow\) \(v_s\) が最大 (\(v_s=v\)) \(\rightarrow\) Pの速度がQをまっすぐ向く \(\rightarrow\) 点D。
- フロー: ② \(f’\) が最小 \(\rightarrow\) \(v_s\) が最小 (\(v_s=-v\)) \(\rightarrow\) Pの速度がQからまっすぐ遠ざかる \(\rightarrow\) 点B。
- フロー: ③ \(f’ = f\) \(\rightarrow\) \(v_s = 0\) \(\rightarrow\) Pの速度が視線と垂直 \(\rightarrow\) 点A, C。
- (1), (2) 振動数の計算:
- 戦略: 特定した点での \(v_s\) の値をドップラー効果の公式に代入する。
- フロー: ① 点Dでは \(v_s=v\) を代入し \(f’_{\text{max}}\) を計算。 ② 点Bでは \(v_s=-v\) を代入し \(f’_{\text{min}}\) を計算。
- (4) 時間範囲の特定:
- 戦略: 音が高くなる条件 (\(f’>f\)) を \(v_s\) の条件 (\(v_s>0\)) に翻訳し、その条件を満たすPの移動区間を特定し、時刻に変換する。
- フロー: ① \(f’>f \rightarrow v_s>0\)。 ② \(v_s>0\) となるのはPがQに近づく運動成分を持つ区間、すなわち円の上半分（C→A）。 ③ CとAを通過する時刻を特定（\(t=T/2, t=T\))。 ④ 求める範囲は \(\frac{T}{2} < t < T\)。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 符号の確認を徹底する: この問題では \(v_s\) の符号が物理的な意味（近づく/遠ざかる）と直結しており、非常に重要です。公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V-v_s}f\) において、「近づくとき（\(v_s>0\)）は分母が小さくなり \(f’\) は増大」、「遠ざかるとき（\(v_s<0\)）は分母が大きくなり \(f’\) は減少」という関係を常に意識し、計算結果が直感と合っているかを確認しましょう。
- 文字式のまま計算する: この問題は具体的な数値計算はありませんが、もしあったとしても、まずは文字式のまま答えを導出することが推奨されます。物理的な意味が見通しやすくなり、検算も容易になります。
- 図と式の対応: 別解のように三角関数を用いる場合、設定した座標系と実際の運動（時計回りなど）から導かれる数式が、図のイメージと一致しているかを慎重に確認します。例えば、\(t=T/4\) を代入したときに、図のどの位置に対応し、そのときの速度成分の符号は計算結果と合っているか、といったチェックが有効です。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (1), (2) 振動数: \(f’_{\text{max}} = \frac{V}{V-v}f > f\), \(f’_{\text{min}} = \frac{V}{V+v}f < f\) となっており、それぞれ音源が近づく・遠ざかる状況に対応していて妥当です。
- (4) 時間範囲: 音が高く聞こえる区間（C→A）と低く聞こえる区間（A→C）が、それぞれ周期の半分ずつになっているのは、円運動の対称性から考えて妥当です。もし範囲が \(T/2\) より長かったり短かったりしたら、どこかで考え違いをしている可能性を疑うべきです。
- 極端な場合を考える（極限思考）:
- もし音源の速さ \(v\) がゼロに近づいたらどうなるか？ \(f’_{\text{max}}\) も \(f’_{\text{min}}\) も \(f\) に近づき、ドップラー効果はなくなります。これは物理的に正しいです。
- もし観測者Qが無限に遠くにいたらどうなるか？ 視線PQは常に平行（x軸に平行）とみなせます。この場合、\(v_s\) が最大・最小になるのは、Pが円の最高点・最低点（この問題ではC, Aとは逆）に来たときになります。問題の設定によって結論が変わることを理解するのも重要です。
- 別解との比較:
- 図形的な考察（メイン解法）と、三角関数を用いた解析的な計算（別解）は、異なるアプローチですが、同じ結論（特に(3), (4)）を導き出しました。これは、両方の解法の正しさを裏付ける強力な証拠となります。もし結論が異なった場合（実際に途中でそうなったように）、どちらかまたは両方のアプローチに誤りがないか徹底的に見直す必要があります。
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