Step 2
264 動く音源の波長
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「動く音源によるドップラー効果の基本的な計算」です。音源の進行方向前方と後方で、それぞれ波長と振動数がどのように変化するかを、公式を用いて正確に計算する能力が試されます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ドップラー効果の基本原理: 音源が動くと、進行方向前方では波が圧縮されて波長が短くなり、後方では波が引き伸ばされて波長が長くなります。
- 波長の公式（音源が動く場合）: 観測される波長 \(\lambda’\) は、音源が近づく場合は \(\lambda’ = \displaystyle\frac{V-v_S}{f}\)、遠ざかる場合は \(\lambda’ = \displaystyle\frac{V+v_S}{f}\) となります。
- 波の基本式: 音速 \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、常に \(V = f\lambda\) の関係が成り立ちます。観測される振動数 \(f’\) は、変化した波長 \(\lambda’\) を用いて \(f’ = \displaystyle\frac{V}{\lambda’}\) から求められます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、音源Sが観測点Pに「近づく」状況を考え、波長が短くなる公式を適用して波長を求め、次に波の基本式から振動数を計算します。
- (2)では、音源Sが観測点Qから「遠ざかる」状況を考え、波長が長くなる公式を適用して波長を求め、次に波の基本式から振動数を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
音源Sは点Pに向かって動いているため、点Pにいる観測者にとっては音源が「近づいて」きます。このとき、音波は進行方向に圧縮され、波長は短くなり、振動数は高くなります。この物理現象を正しく理解し、対応する公式を使って波長と振動数を計算します。
この設問における重要なポイント
- 音源が観測者に近づく場合、波長は短くなる。
- 波長の公式: \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-v_S}{f}\)
- 観測される振動数は、波の基本式 \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{\lambda_1}\) から求める。
具体的な解説と立式
点Pに伝わる音波の波長 \(\lambda_1\)
音源Sは速さ \(v_S = 20 \, \text{m/s}\) で点Pに近づいています。音速は \(V = 340 \, \text{m/s}\)、音源の振動数は \(f = 500 \, \text{Hz}\) です。
音源が近づく場合、波長は圧縮されて短くなるため、次の式を用います。
$$ \lambda_1 = \frac{V-v_S}{f} $$
点Pで観測される振動数 \(f_1\)
点Pで観測される振動数 \(f_1\) は、音速 \(V\) と、上で求めた波長 \(\lambda_1\) を用いて、波の基本式から計算できます。
$$ f_1 = \frac{V}{\lambda_1} $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の波長の式（音源が近づく場合）: \(\lambda’ = \displaystyle\frac{V-v_S}{f}\)
- 波の基本式: \(V = f\lambda\)
波長 \(\lambda_1\) の計算:
与えられた数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= \frac{340 – 20}{500} \\[2.0ex]
&= \frac{320}{500} \\[2.0ex]
&= 0.640 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f_1\) の計算:
計算した \(\lambda_1\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{340}{0.640} \\[2.0ex]
&= 531.25 \, \text{[Hz]}
\end{aligned}
$$
問題で与えられた数値の有効数字は2桁または3桁ですが、解答の形式に合わせて有効数字3桁とし、531 [Hz] とします。
救急車が自分に向かってくると、サイレンの音は圧縮されて波長が短くなります。まず、この短くなった波長を計算します。次に、音の高さ（振動数）は「速さ ÷ 波長」で決まるので、この関係を使って、実際に聞こえる高い方の音の振動数を求めます。
点Pに伝わる音波の波長は \(0.640 \, \text{m}\)、観測される振動数は \(531 \, \text{Hz}\) です。音源が近づくことで、波長は静止時（\(340/500 = 0.68 \, \text{m}\)）より短くなり、振動数は元の振動数（\(500 \, \text{Hz}\)）より高くなっています。この結果は物理的な予測と一致しており、妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
点Qは、音源Sの進行方向と反対側にあります。したがって、点Qにいる観測者にとっては音源が「遠ざかって」いきます。このとき、音波は進行方向後方に引き伸ばされ、波長は長くなり、振動数は低くなります。この物理現象に対応する公式を使って計算します。
この設問における重要なポイント
- 音源が観測者から遠ざかる場合、波長は長くなる。
- 波長の公式: \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{V+v_S}{f}\)
- 観測される振動数は、波の基本式 \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{\lambda_2}\) から求める。
具体的な解説と立式
点Qに伝わる音波の波長 \(\lambda_2\)
音源Sは点Qから速さ \(v_S = 20 \, \text{m/s}\) で遠ざかっています。
音源が遠ざかる場合、波長は引き伸ばされて長くなるため、次の式を用います。
$$ \lambda_2 = \frac{V+v_S}{f} $$
点Qで観測される振動数 \(f_2\)
点Qで観測される振動数 \(f_2\) は、音速 \(V\) と、上で求めた波長 \(\lambda_2\) を用いて、波の基本式から計算できます。
$$ f_2 = \frac{V}{\lambda_2} $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の波長の式（音源が遠ざかる場合）: \(\lambda’ = \displaystyle\frac{V+v_S}{f}\)
- 波の基本式: \(V = f\lambda\)
波長 \(\lambda_2\) の計算:
与えられた数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_2 &= \frac{340 + 20}{500} \\[2.0ex]
&= \frac{360}{500} \\[2.0ex]
&= 0.720 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
振動数 \(f_2\) の計算:
計算した \(\lambda_2\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{340}{0.720} \\[2.0ex]
&= 472.22\dots \, \text{[Hz]}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁とし、472 [Hz] とします。
救急車が自分から遠ざかっていくと、サイレンの音は間延びして波長が長くなります。まず、この長くなった波長を計算します。次に、「振動数 = 速さ ÷ 波長」の関係を使って、実際に聞こえる低い方の音の振動数を求めます。
点Qに伝わる音波の波長は \(0.720 \, \text{m}\)、観測される振動数は \(472 \, \text{Hz}\) です。音源が遠ざかることで、波長は静止時（\(0.68 \, \text{m}\)）より長くなり、振動数は元の振動数（\(500 \, \text{Hz}\)）より低くなっています。この結果は物理的な予測と一致しており、妥当です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ドップラー効果による波長の変化:
- 核心: 音源が運動することで、音源の前方と後方で波の「波長」が変化することが、ドップラー効果の根本的な原因です。
- 理解のポイント:
- 前方（近づく場合）: 波がぎゅっと「圧縮」され、波長は短くなります。公式: \(\lambda’ = \displaystyle\frac{V-v_S}{f}\)。
- 後方（遠ざかる場合）: 波がだらっと「伸長」され、波長は長くなります。公式: \(\lambda’ = \displaystyle\frac{V+v_S}{f}\)。
- 波の基本式による振動数の決定:
- 核心: 観測者が聞く音の高さ（振動数 \(f’\)）は、この変化した波長 \(\lambda’\) と、不変の音速 \(V\) によって、波の基本式 \(f’ = \displaystyle\frac{V}{\lambda’}\) から一意に決まります。
- 理解のポイント: ドップラー効果の問題は、(1)まず波長の変化を求め、(2)次に波の基本式で振動数を求める、という2段階のプロセスで解くのが最も確実で物理的理解も深まります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 観測者が動く場合: 観測者が動く場合は、波長は変化せず、観測者が波を横切る相対速度が変化します。このタイプの問題と混同しないように注意が必要です。
- 斜め方向のドップラー効果: 音源が観測者の真横を通過するような問題。この場合、音源の速度ベクトルを、観測者と音源を結ぶ直線方向の成分に分解して \(v_S\) として用いる必要があります。真横を通過する瞬間は、直線方向の速度成分が0になるため、ドップラー効果は起こりません。
- 風が吹いている場合: 媒質である空気が動いているので、音速 \(V\) そのものが変化します。風上へは \(V-w\)、風下へは \(V+w\) のように音速を補正してから、ドップラー効果の計算を行います。
- 初見の問題での着眼点:
- 音源と観測者の位置関係: まず、音源が観測者に「近づく」のか「遠ざかる」のかを正確に把握します。これが全ての計算の出発点です。
- 物理量の整理: 問題文から、音速 \(V\)、音源の速さ \(v_S\)、音源の振動数 \(f\) の値を正確に抜き出し、記号と数値を対応させます。
- 計算の2段階プロセスを意識: 「①波長を求める → ②振動数を求める」という流れを常に意識します。振動数を直接求める公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V \mp v_S}f\) も便利ですが、波長を一度経由することで、物理的なイメージが掴みやすくなり、応用問題にも強くなります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 近づく場合と遠ざかる場合の公式の混同:
- 誤解: (1)と(2)で、分母の符号（\(V-v_S\) か \(V+v_S\) か）を逆にしてしまう。
- 対策: 「近づくと音は高くなる（振動数大→波長小）」「遠ざかると音は低くなる（振動数小→波長大）」という物理現象を常に念頭に置きます。波長を小さくするには分母を \(V-v_S\) に、波長を大きくするには分母を \(V+v_S\) にすればよい、と結果から逆算して公式を適用する習慣をつけるとミスが減ります。
- 有効数字の処理ミス:
- 誤解: 計算途中で四捨五入してしまい、最終的な答えに誤差が生じる。例えば、(1)で \(\lambda_1 = 0.64 \, \text{m}\) としてから \(f_1\) を計算すると、結果が微妙にずれる可能性があります。
- 対策: 計算途中では、できるだけ多くの桁数を保持するか、分数のまま計算を進めるのが理想です。最終的な答えを出す段階で、問題の指示や与えられた数値の有効数字に合わせて四捨五入します。
- 単位のつけ忘れ:
- 誤解: 波長に [Hz]、振動数に [m] といった単位の間違いや、単位のつけ忘れ。
- 対策: 答えを書く最後の瞬間に、「何を求めたのか？」を再確認し、波長なら [m]、振動数なら [Hz] と、正しい単位を記述する癖をつけましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 波長の公式 (\(\lambda’ = \displaystyle\frac{V \mp v_S}{f}\)):
- 選定理由: (1)と(2)で、音源の運動によって変化した波長を直接計算するために使用します。これはドップラー効果の定義から導かれる関係式です。
- 適用根拠:
- (1) 点P（近づく場合）: 1秒間に \(f\) 個の波が、音源が静止している場合より \(v_S\) だけ短い区間 \((V-v_S)\) に詰め込まれるため、波1個の長さ（波長）は \(\displaystyle\frac{V-v_S}{f}\) となります。
- (2) 点Q（遠ざかる場合）: 1秒間に \(f\) 個の波が、音源が静止している場合より \(v_S\) だけ長い区間 \((V+v_S)\) に引き伸ばされるため、波1個の長さ（波長）は \(\displaystyle\frac{V+v_S}{f}\) となります。
- 波の基本式 (\(f’ = \displaystyle\frac{V}{\lambda’}\)):
- 選定理由: 計算した新しい波長 \(\lambda’\) をもとに、観測者が聞く振動数 \(f’\) を求めるために使用します。
- 適用根拠: 観測者にとって、音は常に音速 \(V\) で伝わってきます。その波の空間的なパターン（波長 \(\lambda’\)）が分かれば、時間的なパターン（振動数 \(f’\)）は、普遍的な関係式である \(V=f’\lambda’\) によって一意に決まります。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 簡単な割り算でも油断しない: \(320 \div 500\) や \(360 \div 500\) といった計算は、小数点の位置を間違えやすいです。\(32 \div 50\) や \(3.6 \div 5\) のように、0を消して簡単な形にしてから計算するとミスが減ります。
- 電卓がない場合: \(340 \div 0.64\) のような計算は、\(34000 \div 64\) の筆算になります。計算スペースを十分に取り、落ち着いて計算しましょう。検算として、おおよその値を予測するのも有効です（例: \(300 \div 0.6 = 500\) なので、答えは500より少し大きいはず、など）。
- 問題文の数値をマークする: 計算に使う数値（\(V=340, v_S=20, f=500\)）を問題文で丸で囲むなどして、代入ミスを防ぎます。特に似たような数値が多い問題では有効です。
265 ドップラー効果とうなり
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「複数の動く音源によるドップラー効果と、観測者の位置による聞こえ方の違い」です。2つの音源からの音を、異なる位置にいる2人の観測者がそれぞれどのように聞くかを分析します。ドップラー効果の基本に加え、うなりの原理や、観測者の位置によって「近づく」「遠ざかる」の関係がどう変わるかを正確に把握する力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ドップラー効果（音源が動く場合）: 音源が観測者に近づくか遠ざかるかによって、観測される波長と振動数が変化します。
- 観測者の位置と相対運動: 音源の運動方向が同じでも、観測者の位置によって、音源が「近づいてくる」のか「遠ざかっていく」のかの関係性が変わります。
- うなりの原理: 振動数がわずかに異なる2つの音を同時に聞くと、音の強弱が周期的に変化する「うなり」が生じます。1秒あたりのうなりの回数は、2つの音の振動数の差の絶対値で与えられます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- Iでは、観測者Aから見て2つの音源S1, S2がそれぞれ「近づいてくる」状況として、ドップラー効果を適用し、各振動数を求めます。その後、2つの振動数の差からうなりの回数を計算します。
- IIでは、観測者Bの位置から見たときのS1, S2との相対運動を考えます。S1は「遠ざかり」、S2は「近づく」状況になることを把握し、それぞれの振動数を求め、Iの場合と比較します。
I. 観測者Aについて
問(1)
思考の道筋とポイント
静止している観測者Aと、左向きに動く音源S1の関係を考えます。図から、観測者Aは音源S1の進行方向前方にいるため、音源S1は観測者Aに「近づいて」きます。したがって、音波は圧縮され、波長は短くなり、振動数は高くなります。
この設問における重要なポイント
- 音源が観測者に近づく場合、波長は短くなる。
- 波長の公式: \(\lambda_1 = \displaystyle\frac{V-v_1}{f}\)
- 観測される振動数は、波の基本式 \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{\lambda_1}\) から求める。
具体的な解説と立式
音源S1からの音の波長 \(\lambda_1\)
音源S1は速さ \(v_1\) で観測者Aに近づいています。音源が近づく場合、波長は圧縮されて短くなるため、次の式を用います。
$$ \lambda_1 = \frac{V-v_1}{f} $$
音源S1からの音の振動数 \(f_1\)
観測者Aが聞く振動数 \(f_1\) は、音速 \(V\) と波長 \(\lambda_1\) を用いて、波の基本式から計算できます。
$$ f_1 = \frac{V}{\lambda_1} $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の波長の式（音源が近づく場合）: \(\lambda’ = \displaystyle\frac{V-v_S}{f}\)
- 波の基本式: \(V = f\lambda\)
振動数 \(f_1\) の計算:
$$
\begin{aligned}
f_1 &= \frac{V}{\lambda_1} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{\displaystyle\frac{V-v_1}{f}} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{V-v_1}f
\end{aligned}
$$
音源S1は観測者Aに向かってくるので、音は圧縮されて波長が短くなります。そして、音は高く聞こえます。まず波長を求め、次に「振動数＝速さ÷波長」の関係から、高く聞こえる音の振動数を計算します。
音源S1が近づくため、波長は \(\displaystyle\frac{V-v_1}{f}\) となり、振動数は \(\displaystyle\frac{V}{V-v_1}f\) となります。\(V > v_1\) より分母は \(V\) より小さく、振動数は \(f\) より大きくなるため、物理的に妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
静止している観測者Aと、左向きに動く音源S2の関係を考えます。音源S2も観測者Aの方向へ動いているため、音源S2は観測者Aに「近づいて」きます。問(1)と同様に、波長は短くなり、振動数は高くなります。
この設問における重要なポイント
- 音源が観測者に近づく場合、波長は短くなる。
- 添え字を間違えないように、S2の速さ \(v_2\) を用いて計算する。
具体的な解説と立式
音源S2からの音の波長 \(\lambda_2\)
音源S2は速さ \(v_2\) で観測者Aに近づいています。問(1)と同様の考え方で、
$$ \lambda_2 = \frac{V-v_2}{f} $$
音源S2からの音の振動数 \(f_2\)
観測者Aが聞くS2からの音の振動数 \(f_2\) は、
$$ f_2 = \frac{V}{\lambda_2} $$
使用した物理公式
- ドップラー効果の波長の式（音源が近づく場合）: \(\lambda’ = \displaystyle\frac{V-v_S}{f}\)
- 波の基本式: \(V = f\lambda\)
振動数 \(f_2\) の計算:
$$
\begin{aligned}
f_2 &= \frac{V}{\lambda_2} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{\displaystyle\frac{V-v_2}{f}} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{V-v_2}f
\end{aligned}
$$
音源S2も観測者Aに向かってくるので、S1の場合と考え方は同じです。S2の速さを使って、同様に計算します。
音源S2が近づくため、波長は \(\displaystyle\frac{V-v_2}{f}\) となり、振動数は \(\displaystyle\frac{V}{V-v_2}f\) となります。結果は物理的に妥当です。
問(3)
思考の道筋とポイント
観測者Aは、振動数 \(f_1\) の音と振動数 \(f_2\) の音を同時に聞きます。問題の条件から \(v_1 > v_2\) なので、\(f_1\) と \(f_2\) は異なる値となり、うなりが生じます。1秒あたりのうなりの回数 \(N_A\) は、2つの振動数の差の絶対値 \(|f_1 – f_2|\) で求められます。
この設問における重要なポイント
- うなりの公式: \(N = |f_A – f_B|\)
- 計算の前に、\(f_1\) と \(f_2\) の大小関係を比較する。
具体的な解説と立式
1秒あたりのうなりの回数 \(N_A\) は、
$$ N_A = |f_1 – f_2| $$
ここで、\(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-v_1}f\), \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V-v_2}f\) です。
問題の条件 \(v_1 > v_2 > 0\) より、\(V-v_1 < V-v_2\) となります。分母が小さいほど分数の値は大きくなるので、\(f_1 > f_2\) であることがわかります。
したがって、絶対値はそのまま外すことができます。
$$ N_A = f_1 – f_2 $$
使用した物理公式
- うなりの公式: \(N = |f_A – f_B|\)
$$
\begin{aligned}
N_A &= f_1 – f_2 \\[2.0ex]
&= \frac{V}{V-v_1}f – \frac{V}{V-v_2}f \\[2.0ex]
&= Vf \left( \frac{1}{V-v_1} – \frac{1}{V-v_2} \right) \\[2.0ex]
&= Vf \left( \frac{(V-v_2) – (V-v_1)}{(V-v_1)(V-v_2)} \right) \\[2.0ex]
&= Vf \left( \frac{V-v_2 – V+v_1}{(V-v_1)(V-v_2)} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{V(v_1-v_2)}{(V-v_1)(V-v_2)}f
\end{aligned}
$$
観測者Aには、S1からの「とても高い音」と、S2からの「少し高い音」が同時に届きます。この2つの音の高さの「ずれ」が、1秒間に「ワーンワーン」と聞こえる回数になります。計算は、2つの振動数を引き算するだけです。
うなりの回数が、2つの音源の速度差 \(v_1-v_2\) に比例するような形で表されました。もし \(v_1=v_2\) ならばうなりは生じず \(N_A=0\) となり、直感と一致します。結果は妥当です。
II. 観測者Bについて
問(4)
思考の道筋とポイント
観測者BはS1とS2の間にいます。この位置で聞こえる音の高さが、観測者Aが聞いた音の高さとどう違うかを考えます。ポイントは、観測者の位置が変わることで、音源との「近づく・遠ざかる」の関係が変化することです。
- S1とBの関係: 音源S1は左向きに動いているので、Bから見ると「遠ざかって」いきます。
- S2とBの関係: 音源S2も左向きに動いているので、Bから見ると「近づいて」きます。
この関係に基づいて、Bが聞く振動数 \(f_1’\) と \(f_2’\) を求め、Aが聞いた \(f_1\) と \(f_2\) と比較します。
この設問における重要なポイント
- 観測者の位置によって、ドップラー効果の状況（接近か後退か）が変わる。
- 遠ざかる場合は振動数が低くなり、近づく場合は振動数が高くなる。
具体的な解説と立式
観測者Bが聞くS1からの音の振動数 \(f_1’\)
音源S1は観測者Bから遠ざかるため、振動数は低くなります。
$$ f_1′ = \frac{V}{V+v_1}f $$
観測者Bが聞くS2からの音の振動数 \(f_2’\)
音源S2は観測者Bに近づくため、振動数は高くなります。
$$ f_2′ = \frac{V}{V-v_2}f $$
観測者Aが聞いた音との比較
- S1からの音: Aが聞いたのは \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-v_1}f\)。Bが聞くのは \(f_1′ = \displaystyle\frac{V}{V+v_1}f\)。明らかに \(f_1 \neq f_1’\) です。
- S2からの音: Aが聞いたのは \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V-v_2}f\)。Bが聞くのも \(f_2′ = \displaystyle\frac{V}{V-v_2}f\)。よって \(f_2 = f_2’\) です。
したがって、観測者AとBで聞こえる音の高さが異なるのは、音源S1からの音です。その振動数は \(f_1’\) です。
使用した物理公式
- ドップラー効果の振動数の式（音源が動く場合）: \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V \mp v_S}f\)
上記の比較により、求める音源はS1であり、その振動数は \(f_1’\) であることがわかります。
$$ f_1′ = \frac{V}{V+v_1}f $$
Aさんにとっては、S1もS2も自分に向かってくるので、どちらの音も高く聞こえます。
一方、Bさんの位置に立つと、S1は自分から走り去っていくので音は低く聞こえ、S2は自分に向かってくるので音は高く聞こえます。
この二人の聞こえ方を比べると、S2からの音はどちらにとっても「近づいてくる」状況なので同じ高さに聞こえます。しかし、S1からの音は、Aさんには「近づく」高い音、Bさんには「遠ざかる」低い音に聞こえるため、異なっています。
観測者の位置によって音源との相対的な運動が変化し、聞こえる音が変わるというドップラー効果の本質を問う問題です。S1からの音の高さが異なり、その振動数は \(\displaystyle\frac{V}{V+v_1}f\) となります。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ドップラー効果における相対運動の重要性:
- 核心: ドップラー効果は、音源と観測者の「相対的な」運動（近づくか、遠ざかるか）によって決まります。音源の絶対的な運動方向だけではなく、観測者がどこにいるかが極めて重要です。
- 理解のポイント:
- 観測者A: 音源S1, S2の進行方向前方にいるため、両方の音源が「近づく」と観測します。
- 観測者B: S1とS2の間にいるため、S1は「遠ざかり」、S2は「近づく」と観測します。この位置関係の把握が問題の鍵です。
- うなりの発生条件と計算:
- 核心: 観測者が同時に聞く2つの音の振動数が異なるとき、うなりが生じます。
- 理解のポイント: 観測者Aは、速さの違うS1とS2が共に近づいてくるため、振動数が異なる2つの高い音（\(f_1, f_2\)）を聞き、うなりを観測します。うなりの回数は振動数の差 \(|f_1 – f_2|\) で計算できます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 観測者が動く場合: 観測者AまたはBが動いている場合、全ての計算に観測者の速度 \(v_O\) の効果（分子の \(V \mp v_O\)）を考慮する必要があります。
- 音源が互いに逆向きに動く場合: 例えばS1が左向き、S2が右向きに動く場合、観測者A, Bから見た「接近・後退」の関係が変化します。
- 音源が観測者を追い越す場合: 観測者の前を音源が通過する前後で、ドップラー効果が「近づく」から「遠ざかる」に切り替わります。この切り替わりの前後で聞こえる振動数をそれぞれ計算する問題などがあります。
- 初見の問題での着眼点:
- 図を丁寧に分析する: まず、図から音源と観測者の位置関係、および運動の向きを正確に読み取ります。矢印を書き込むなどして視覚化するのが有効です。
- 観測者ごとに状況を整理する: 観測者が複数いる場合は、一人ずつに注目し、その観測者から見た各音源の運動（接近か後退か）をリストアップします。
- Aから見たS1: 接近
- Aから見たS2: 接近
- Bから見たS1: 後退
- Bから見たS2: 接近
- 振動数の大小を予測する: 計算前に、各状況で振動数が元の \(f\) より高くなるか低くなるかを予測します。これにより、公式の符号選択ミスを防ぎ、計算結果を検算できます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 観測者の位置を無視するミス:
- 誤解: 音源が2つとも左向きに動いているから、どの観測者にとっても同じように聞こえるだろうと早合点してしまう。
- 対策: 常に「観測者から見て」どう動いているかを考える癖をつけます。自分自身がその観測者の位置に立ったら、音源は自分に近づいてくるか、遠ざかっていくかをイメージすることが重要です。
- うなりの計算での大小関係のミス:
- 誤解: (3)で \(f_1\) と \(f_2\) の大小を考えずに、適当に \(f_2 – f_1\) などと計算してしまう。
- 対策: \(v_1 > v_2\) という条件から、分母の \(V-v_1\) と \(V-v_2\) の大小関係を考え、そこから \(f_1\) と \(f_2\) の大小関係を論理的に導き出してから引き算を実行します。速い方がより圧縮効果が強いので、振動数はより高くなる、と物理的に考えても良いでしょう。
- 文字式の通分ミス:
- 誤解: (3)のうなりの計算で、\((V-v_1)(V-v_2)\) で通分した後の分子の計算 \((V-v_2) – (V-v_1)\) で符号を間違える。
- 対策: カッコを省略せずに丁寧に書くことが鉄則です。\((V-v_2) – (V-v_1) = V-v_2 – V + v_1\) のように、分配法則を正確に適用します。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- ドップラー効果の振動数の式 (\(f’ = \displaystyle\frac{V}{V \mp v_S}f\)):
- 選定理由: この問題では、音源が動き観測者が静止しているため、この公式が基本となります。波長を介さずに直接振動数を求めることができます。
- 適用根拠:
- 接近する場合（AとS1, AとS2, BとS2）: 振動数が高くなる（\(f’ > f\)）ように、分母が小さくなる \(V-v_S\) を選択します。
- 遠ざかる場合（BとS1）: 振動数が低くなる（\(f’ < f\)）ように、分母が大きくなる \(V+v_S\) を選択します。
この「結果から符号を判断する」思考法は、公式の丸暗記によるミスを防ぐのに非常に有効です。
- うなりの公式 (\(N = |f_A – f_B|\)):
- 選定理由: (3)で、観測者Aが聞く2つの異なる振動数 \(f_1, f_2\) によって生じる音の強弱の変化の頻度を求めるために使用します。
- 適用根拠: うなりは、波の重ね合わせによって振幅が周期的に変化する現象であり、その周期（の逆数である振動数）は、元の波の振動数の差で与えられることが数学的に証明されています。物理現象と公式が直結している典型例です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 共通因数を活用する: (3)のうなりの計算では、\(N_A = \displaystyle\frac{Vf}{V-v_1} – \frac{Vf}{V-v_2}\) のように、共通部分である \(Vf\) を先に括り出すと、計算の見通しが良くなり、ミスを減らせます。
- 速度の添え字に注意: \(v_1\) と \(v_2\) という似た記号が出てくるため、どちらの音源について計算しているのかを常に意識し、代入を間違えないようにします。
- 分数の大小比較: \(f_1\) と \(f_2\) の大小比較のように、分数の大小を比べるときは、分子が同じであれば「分母が小さい方が大きい」という基本ルールを落ち着いて適用します。焦ると逆の判断をしがちです。
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