「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 19】Step 2

Step 2

253 弦の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦の固有振動」です。弦の長さや張力が決まっているとき、定在波が生じる振動数（固有振動数）が、基本振動数の整数倍になるという関係を理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、弦の固有振動数の関係を問う、シンプルながら本質的な問題です。ポイントは、問題文で与えられた最初の状態（振動数\(f\)、弦長\(L\)で図の定在波）が、最も単純な「基本振動」であると見抜くことです。そして、弦の長さと張力が固定されている場合、定在波が生じる振動数（固有振動数）は、この基本振動数のきれいな整数倍になる、という法則を適用します。
この設問における重要なポイント

• 図に示された腹が1つの定在波は「基本振動」である。
• 問題で与えられた振動数\(f\)は、基本振動の振動数\(f_1\)に相当する。
• 弦の長さ\(L\)とおもりが一定なので、弦を伝わる波の速さ\(v\)は一定である。
• 弦の固有振動数\(f_m\)は、基本振動数\(f_1\)の整数(\(m\))倍になる。(\(f_m = m f_1\))

具体的な解説と立式
この問題を2つのステップで考えます。

ステップ1：初期状態（基本振動）の分析
問題の図は、弦の両端が節となり、腹が1つだけある状態です。これは基本振動（\(m=1\)）と呼ばれます。
このときの振動数が\(f\)、弦の長さが\(L\)です。
基本振動の波長を\(\lambda_1\)とすると、定在波の条件式より、
$$ L = 1 \cdot \frac{\lambda_1}{2} $$
よって、\(\lambda_1 = 2L\) です。
このとき、弦を伝わる波の速さ\(v\)は、波の基本式より、
$$ v = f \lambda_1 = f \cdot (2L) \quad \cdots ① $$
この速さ\(v\)は、弦の張力とおもりの重さで決まるため、振動数を変えても一定です。

ステップ2：問いの状態（\(m\)倍振動）の分析
次に、弦の長さを\(L\)に固定したまま、振動数を変えて腹が\(m\)個の定在波（\(m\)倍振動）が生じる場合を考えます。
このときの振動数を\(f_m\)、波長を\(\lambda_m\)とします。
定在波の条件式より、
$$ L = m \cdot \frac{\lambda_m}{2} $$
よって、\(\lambda_m = \displaystyle\frac{2L}{m}\) です。
このときの波の基本式は、
$$ v = f_m \lambda_m = f_m \left( \frac{2L}{m} \right) \quad \cdots ② $$

ステップ1と2の結合
式①と②の速さ\(v\)は等しいので、
$$ f \cdot (2L) = f_m \left( \frac{2L}{m} \right) $$
この式を\(f_m\)について解くことで、答えが求まります。

式①と②から、
$$
\begin{aligned}
f \cdot (2L) &= f_m \left( \frac{2L}{m} \right) \\[2.0ex]f &= \frac{f_m}{m} \\[2.0ex]f_m &= mf
\end{aligned}
$$
ここで、\(m=1, 2, 3, \dots\) です。

まず、最初の状態は、振動数\(f\)で一番シンプルな「基本の揺れ」（基本振動）が起きていることを確認します。
次に、弦の長さや張りを変えずに、もっと複雑な揺れ（腹が\(m\)個の\(m\)倍振動）を起こしたい場合を考えます。
弦の振動のルールとして、「複雑な揺れの振動数は、基本の揺れの振動数のきれいな整数倍になる」という性質があります。
腹が2つの揺れ（2倍振動）なら振動数は\(2f\)、腹が3つ（3倍振動）なら\(3f\)となります。
したがって、腹が\(m\)個の揺れ（\(m\)倍振動）を起こすには、振動数を\(mf\)にすればよい、と結論できます。

定在波が生じる振動数は \(mf\) (\(m=1, 2, 3, \dots\)) と表せます。
これは、弦の固有振動数が基本振動数\(f\)の整数倍になるという、物理的に正しい関係を示しています。
\(m=1\)のときは\(f_1 = 1 \cdot f = f\)となり、与えられた初期状態と一致します。
\(m=2, 3, \dots\)とすることで、2倍振動、3倍振動といった高次の固有振動数が得られ、結果は妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 弦の固有振動数の関係:
  • 核心: 弦の長さ\(L\)と張力（それによって決まる波の速さ\(v\)）が固定されている場合、安定した定在波が生じる振動数（固有振動数）は、とびとびの値しか取れません。そして、それらの値は、最も低い振動数である「基本振動数 \(f_1\)」の単純な整数倍になる、という法則がこの問題の全てです。
  • 理解のポイント:
    • 公式: \(f_m = m f_1 \quad (m=1, 2, 3, \dots)\)
    • \(m\)は定在波の「腹の数」に一致します。
    • この問題で与えられた振動数\(f\)は、腹が1つの基本振動（\(m=1\)）のときのものです。つまり、\(f_1 = f\) と読み替えることができます。
    • したがって、腹が\(m\)個のときの振動数\(f_m\)は、\(f_m = m f_1 = mf\) となります。
• 波の速さの不変性:
  • 核心: 上記の固有振動数の関係が成り立つ大前提として、「波の速さ\(v\)が一定である」という条件があります。
  • 理解のポイント: 弦を伝わる波の速さ\(v\)は、弦の張力（おもりの重さ）と線密度（弦の種類）のみで決まります。問題の設定では、弦の長さ\(L\)を固定し、振動数だけを変化させるため、弦の物理的な条件は変わらず、速さ\(v\)は一定に保たれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 弦の長さを変える問題: 振動数\(f\)と張力（速さ\(v\)）を固定し、腹が\(m\)個の定在波ができるときの弦の長さ\(L_m\)を求める問題。(\(L_m = m \cdot \frac{v}{2f}\) となり、長さが腹の数に比例する)
  • おもりの重さを変える問題: 弦長\(L\)と振動数\(f\)を固定し、腹が\(m\)個の定在波ができるときのおもりの質量\(M_m\)を求める問題。(\(v \propto \sqrt{M}\) の関係から、\(M_m \propto \frac{1}{m^2}\) という関係を導く)
  • 気柱の共鳴:
    • 開管（両端が開いている管）: 弦の振動と同様に、固有振動数は基本振動数の整数倍 (\(f_m = m f_1\)) になります。
    • 閉管（一端が閉じている管）: 固有振動数は基本振動数の「奇数倍」 (\(f_m = (2m-1) f_1\)) になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 不変量と変数を特定する: 問題文から「〜を固定し」「〜を変化させた」という部分を正確に読み取ります。弦の長さ\(L\)、振動数\(f\)、張力（速さ\(v\)）、腹の数\(m\)のうち、何が一定で何が変化するのかを最初に整理することが最も重要です。
  2. 基準状態を把握する: 問題で与えられた最初の状態が、腹が1つの「基本振動」なのか、それとも腹が複数ある「倍振動」なのかを図や説明から正確に把握します。これが基本振動数\(f_1\)を特定する鍵です。
  3. 2つの基本式を連立させる: どんな弦の振動の問題も、結局は「定在波の条件式 \(L = m \cdot \frac{\lambda_m}{2}\)」と「波の基本式 \(v = f_m \lambda_m\)」の2つを連立させて解くことに帰着します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 基本振動数の誤認:
  • 誤解: 問題で与えられた振動数を、どんな場合でも基本振動数だと早合点してしまう。例えば、もし最初の図の腹が2つだったら、与えられた振動数\(f\)は2倍振動のものであり、基本振動数は\(f/2\)となります。
  • 対策: 必ず図や問題文から腹の数を確認し、「与えられた振動数\(f\)は、基本振動数の何倍にあたるのか？」を冷静に判断する癖をつけましょう。
• 波の速さ\(v\)が変化するという誤解:
  • 誤解: 振動数\(f\)を変えるのだから、\(v=f\lambda\)の式に従って速さ\(v\)も変わるはずだ、と考えてしまう。
  • 対策: 「波の速さ\(v\)は、あくまで波を伝える媒体（この場合は弦）の物理的性質（張力と線密度）だけで決まる」という大原則を徹底しましょう。振動数を変えても、弦を張り替えたりおもりを交換したりしない限り、速さ\(v\)は一定です。その代わり、波長\(\lambda\)が変化します。
• 各種の固有振動数の公式の混同:
  • 誤解: 弦の振動（整数倍）、開管の共鳴（整数倍）、閉管の共鳴（奇数倍）の公式をごちゃ混ぜに覚えてしまう。
  • 対策: \(f_m=mf_1\)のような結果だけを暗記するのではなく、定在波の「形」（両端が節、開口端が腹など）から、毎回 \(L\) と \(\lambda\) の関係式を立てて自分で導出する練習をしましょう。論理的に導くプロセスを理解すれば、混同することはなくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 固有振動数の関係式 (\(f_m = m f_1\)):
  • 選定理由: この問題は、弦の長さと張力が固定された「共振系」における、共振周波数の関係を問うているからです。このような系では、特定の周波数（固有振動数）でしかエネルギーが効率よく伝わらず、安定した大きな振動（定在波）が維持されません。
  • 適用根拠: この関係式は、以下の論理的なステップから導かれます。
    1. 弦の速さ\(v\)は一定である。
    2. 腹が\(m\)個の定在波の波長は、定在波の条件式 \(L = m \frac{\lambda_m}{2}\) より、\(\lambda_m = \frac{2L}{m}\) となる。
    3. 波の基本式 \(f_m = v/\lambda_m\) に代入すると、\(f_m = v / (\frac{2L}{m}) = m \cdot (\frac{v}{2L})\) となる。
    4. 基本振動数（\(m=1\)）は \(f_1 = \frac{v}{2L}\) である。
    5. したがって、\(f_m = m \cdot f_1\) という関係が成立する。この導出過程そのものが、公式適用の論理的根拠です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比例式の活用: この問題は計算がほとんどありませんが、類似問題では比例計算が頻出します。\(f_m = m f_1\) は、\(\frac{f_m}{m} = f_1\) (一定) という比例関係を意味します。例えば「腹が2個で400Hzなら、腹が5個では何Hz？」と問われたら、\(\frac{400}{2} = \frac{f_5}{5}\) という比例式を立て、\(f_5 = 400 \times \frac{5}{2} = 1000 \text{ Hz}\) と素早く計算できるように練習しましょう。
• 文字式の扱いに慣れる: 答えが具体的な数値ではなく文字式で与えられる問題は、物理法則の理解度を直接問う良問です。具体的な数値がないことに戸惑わず、物理量を文字のまま数式として扱い、代数的な処理を正確に行う練習を積みましょう。
• 物理的な直感で検算: 例えば、腹の数\(m\)を増やすということは、より細かく弦を振動させることを意味します。そのためには、より高い振動数\(f_m\)が必要になるはずです。したがって、答えが\(f/m\)のような形になったら「おかしい」と気づくことができます。このように、計算結果が物理的な直感と合っているかを確認する習慣が重要です。

254 弦の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦の振動とうなりの融合」です。弦の定在波の知識と、うなりに関する知識という、2つの異なる単元の内容を組み合わせて解く能力が試されます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
未知の振動数 \(f\) を持つ弦と、既知の振動数を持つ2つのおんさとの「うなり」の情報から、\(f\) を特定する問題です。うなりの公式 \(f_{\text{うなり}} = |f_1 – f_2|\) を2つの条件に適用し、両方を満たす解を見つける論理パズルのような思考が求められます。絶対値を含む方程式の扱いに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• うなりの振動数 \(f_{\text{うなり}}\) は、2つの音源の振動数の差の絶対値に等しい。
• \(|x – a| = b\) の解は \(x = a + b\) と \(x = a – b\) の2つの可能性がある。
• 2つの条件を同時に満たす唯一の解を求める。

具体的な解説と立式
弦の基本振動の振動数を \(f\) [Hz] とします。

条件1：振動数 \(f_1 = 332\) Hz のおんさとのうなり
1秒間に2回のうなりが観測されたので、うなりの振動数は \(f_{\text{うなり1}} = 2\) Hz です。
うなりの公式より、
$$ |f – 332| = 2 \quad \cdots ① $$

条件2：振動数 \(f_2 = 328\) Hz のおんさとのうなり
こちらも1秒間に2回のうなりが観測されたので、うなりの振動数は \(f_{\text{うなり2}} = 2\) Hz です。
うなりの公式より、
$$ |f – 328| = 2 \quad \cdots ② $$
これら2つの式を両方満たす \(f\) を求めます。

まず、式①を解きます。
$$ f – 332 = \pm 2 $$
よって、\(f\) の候補は、
$$
\begin{aligned}
f &= 332 + 2 = 334 \text{ [Hz]} \\
\text{または} \quad f &= 332 – 2 = 330 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$
次に、式②を解きます。
$$ f – 328 = \pm 2 $$
よって、\(f\) の候補は、
$$
\begin{aligned}
f &= 328 + 2 = 330 \text{ [Hz]} \\
\text{または} \quad f &= 328 – 2 = 326 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$
両方の条件で共通して候補に挙がっているのは \(f = 330\) Hz です。
したがって、弦の振動数は \(330\) Hz と決まります。

うなりが1秒間に2回聞こえるということは、弦の振動数が、相手の音の振動数と「2だけずれている」ことを意味します。
まず、332Hzのおんさと比べて2ずれているので、弦の振動数は330Hzか334Hzのどちらかです。
次に、328Hzのおんさと比べても2ずれているので、弦の振動数は326Hzか330Hzのどちらかです。
この両方の条件に当てはまるのは「330Hz」しかありません。

弦の基本振動の振動数は \(330 \text{ Hz}\) です。
この値は、332Hzとの差が \(|330-332|=2\) Hz、328Hzとの差が \(|330-328|=2\) Hz となり、両方のうなりの条件を正しく満たしているため、妥当な答えです。

問(2)

思考の道筋とポイント
弦の基本振動の波長を求める問題です。図から、弦が「基本振動」していることを読み取り、弦の長さと波長の関係式を適用します。単位の換算（cm → m）を忘れないように注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 基本振動では、弦の長さ \(L\) が半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) に等しい。
• 単位の換算：\(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)

具体的な解説と立式
問題文より、弦の長さは \(L = 80.0 \text{ cm}\) です。物理計算では通常メートル(m)を基本単位とするため、単位を換算します。
$$ L = 80.0 \text{ cm} = 0.800 \text{ m} $$
図に示されているのは腹が1つの基本振動なので、弦の長さ \(L\) と波長 \(\lambda\) の間には以下の関係が成り立ちます。
$$ L = \frac{\lambda}{2} $$

上の式を \(\lambda\) について解き、\(L=0.800 \text{ m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 2L \\[2.0ex]&= 2 \times 0.800 \\[2.0ex]&= 1.60 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

図に描かれている波の形は、波1つ分（＝1波長）のちょうど半分です。弦の長さが \(0.800 \text{ m}\) なので、本当の波長は単純にその2倍、つまり \(1.60 \text{ m}\) となります。

基本振動の波長は \(1.60 \text{ m}\) です。問題文の「80.0cm」が有効数字3桁であるため、答えも有効数字3桁の \(1.60 \text{ m}\) とするのが適切です。

問(3)

思考の道筋とポイント
弦を伝わる波の速さを求める問題です。(1)で振動数 \(f\)、(2)で波長 \(\lambda\) がすでに求まっているので、波の三要素の関係式である \(v=f\lambda\) に代入するだけで計算できます。
この設問における重要なポイント

• 波の速さ、振動数、波長の関係は、波の基本式 \(v=f\lambda\) で与えられる。

具体的な解説と立式
(1)より、弦の振動数は \(f = 330 \text{ Hz}\) です。
(2)より、弦を伝わる波の波長は \(\lambda = 1.60 \text{ m}\) です。
波の速さを \(v\) とすると、波の基本式は以下のようになります。
$$ v = f\lambda $$

上の式に \(f\) と \(\lambda\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 330 \times 1.60 \\[2.0ex]&= 528 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

波の速さは、単純に「振動数 × 波長」で求められます。(1)で求めた振動数 \(330 \text{ Hz}\) と、(2)で求めた波長 \(1.60 \text{ m}\) を掛け合わせることで、速さが計算できます。

弦を伝わる波の速さは \(528 \text{ m/s}\) です。(1), (2)で求めた値を正しく使って計算した結果であり、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• うなりの公式と論理的思考:
  • 核心: この問題の最大の山場は(1)です。物理法則としては「うなりの振動数は、2つの音源の振動数の差の絶対値に等しい (\(f_{\text{うなり}} = |f_1 – f_2|\))」という一点に尽きます。しかし、それ以上に重要なのは、この法則を2つの異なる条件に適用し、得られた複数の可能性の中から唯一共通する解を見つけ出す「論理的な絞り込み思考」です。
  • 理解のポイント:
    • \(|f – 332| = 2\) という式は、\(f\) が \(332\) からの「距離」が \(2\) であることを意味します。数直線上で考えれば、\(332+2=334\) と \(332-2=330\) の2点が候補になります。
    • 同様に、\(|f – 328| = 2\) は、\(f\) が \(328\) からの距離が \(2\) であることを意味し、候補は \(328+2=330\) と \(328-2=326\) の2点です。
    • この2つの条件を同時に満たす点は \(330\) しかありません。
• 弦の基本振動の条件:
  • 核心: 弦の両端が固定されている場合、最も単純な振動（基本振動）では、弦の長さ \(L\) が、弦を伝わる波の波長 \(\lambda\) のちょうど半分になる (\(L = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) という幾何学的な関係を理解していることが重要です。
  • 理解のポイント: 図に描かれた「腹が1つの波形」を見て、これが「波長の半分」であると即座に判断できるかが鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 未知のおんさの振動数を求める問題: 逆に、振動数が既知の弦と、未知のおんさでうなりを観測し、おんさの振動数を特定する問題。
  • ドップラー効果とうなりの組み合わせ: 救急車（音源）が近づいたり遠ざかったりするときに観測される音の振動数と、静止しているおんさの音との間で生じるうなりを考える問題。
  • 弦の張力を変えてうなりを調整する問題: 弦の張力を変えると波の速さ \(v\) が変わり、基本振動数 \(f_1 = v/(2L)\) も変わります。特定のおんさとのうなりが消える（\(f_1\)がおんさの振動数と一致する）ように張力を調整する問題など。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「うなり」というキーワードに注目: 問題文に「うなり」があれば、即座に \(f_{\text{うなり}} = |f_1 – f_2|\) の公式を思い出します。
  2. 複数の条件を探す: うなりの問題で未知数を特定させる場合、通常は(1)のように2つ以上の条件が与えられます。それらを見つけ出し、連立させて解く方針を立てます。
  3. 定在波の「形」を確認: 弦や気柱の問題では、図や説明文から「基本振動」なのか「倍振動」なのかを必ず確認します。これにより、\(L\) と \(\lambda\) の関係式が決まります。
  4. 単位の統一: 問題文でcmが使われていても、計算はmに直して行うのが基本です。特に速さ(m/s)を求める際には必須です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 絶対値を考慮しない:
  • 誤解: \(|f – 332| = 2\) を \(f – 332 = 2\) とだけ考えてしまい、\(f=334\) という可能性しか出さない。
  • 対策: うなりの公式には絶対値がついていることを常に意識しましょう。「差が2」なのであって、「どちらが大きいか」は分かりません。したがって、必ずプラスの場合とマイナスの場合の両方を検討する必要があります。
• 2つの条件の一方しか使わない:
  • 誤解: 最初の条件 \(|f – 332| = 2\) から \(f=330\) または \(f=334\) と出した時点で、どちらか一方を適当に選んでしまう。
  • 対策: 物理の問題では、与えられた条件は（特別な指示がない限り）全て使うのが原則です。2つ目の条件（328Hzのおんさ）は、候補を絞り込むために不可欠な情報であると認識しましょう。
• 波長と弦の長さの混同:
  • 誤解: (2)で、弦の長さ \(L=0.800 \text{ m}\) をそのまま波長 \(\lambda\) の値だとしてしまう。
  • 対策: 定在波の「見た目の形」と、それを構成する進行波の「波長」は別物です。基本振動の形は「半波長」である、という基本を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• うなりの公式 (\(f_{\text{うなり}} = |f_1 – f_2|\)):
  • 選定理由: 問題文に「うなり」という現象が明記されており、その発生回数が与えられているため、この現象を定量的に記述する唯一の公式であるこれを選択します。
  • 適用根拠: うなりは、2つの波の重ね合わせによって、振幅が周期的に変化する現象です。この振幅の変動周期の逆数がうなり振動数であり、計算すると2つの元の振動数の差の絶対値に一致することが数学的に証明されています。
• 弦の基本振動の条件式 (\(L = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)):
  • 選定理由: 問題文に「基本振動」と明記され、その図も示されているため、この特定の定在波の幾何学的条件を表すこの式を選択します。
  • 適用根拠: 弦の両端は振動の節（動かない点）になるという境界条件を満たす最も単純な波形が、この腹が1つの形です。この形は、正弦波の半周期分に相当するため、この関係式が成り立ちます。
• 波の基本式 (\(v = f\lambda\)):
  • 選定理由: (3)で波の「速さ」を求める必要があり、(1)で「振動数」、(2)で「波長」が求まっているため、これら3つの基本量を結びつけるこの公式を選択します。
  • 適用根拠: この式は、波が「1周期の時間 \(T\) の間に 1波長の距離 \(\lambda\) 進む」という波の定義そのもの（\(v=\lambda/T\)）と、振動数と周期の関係（\(f=1/T\)）から導かれる、あらゆる波に共通の普遍的な法則です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 数直線を描いて考える: (1)のような絞り込み問題では、数直線を描いて視覚的に考えるとミスが減ります。332と328の点をプロットし、それぞれから距離2の点（334, 330, 326）をプロットすると、重なる点が330であることが一目瞭然になります。
• 単位換算の徹底: cmをmに直す（\(80.0 \text{ cm} \rightarrow 0.800 \text{ m}\)）のような単位換算は、計算の一番最初に行う癖をつけましょう。計算の途中で行うと、忘れたり間違えたりする原因になります。
• 有効数字の意識: 問題文の数値「80.0cm」「332Hz」「328Hz」はすべて有効数字3桁です。したがって、計算結果も有効数字3桁で答えるのが最も適切です。(1)の330Hz、(2)の1.60m、(3)の528m/sは、すべてこのルールに従っています。計算の最終段階で、有効数字を揃えることを意識しましょう。

255 気柱の共鳴

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「開管の気柱共鳴」です。両端が開いた管に生じる定在波の性質を理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
開管における「基本振動」の波長を求める問題です。開管の共鳴では、管の両端が定在波の「腹」になるという境界条件を正しく理解しているかが鍵となります。基本振動は、腹が両端に、節が中央に1つだけある最も単純な形です。
この設問における重要なポイント

• 開管では、管の両端が定在波の「腹」になる。
• 基本振動では、管の長さ\(L\)は半波長\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)に等しい。
• 単位の換算（cm → m）を忘れずに行う。

具体的な解説と立式
問題文より、管の長さは \(L = 68.0 \text{ cm}\) です。計算のためにメートル(m)に換算します。
$$ L = 68.0 \text{ cm} = 0.680 \text{ m} $$
基本振動が生じるとき、管の両端が腹となり、その間に節が1つできます。腹から隣の腹までの距離は半波長\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)に相当します。
したがって、基本振動の波長を\(\lambda_1\)とすると、管の長さ\(L\)との間に以下の関係が成り立ちます。
$$ L = \frac{\lambda_1}{2} $$

上の式を\(\lambda_1\)について解き、\(L=0.680 \text{ m}\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= 2L \\[2.0ex]&= 2 \times 0.680 \\[2.0ex]&= 1.36 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

両端が開いた管で一番シンプルな共鳴（基本振動）が起きるとき、管の中にはちょうど波長の半分がすっぽり収まる形になります。したがって、波長そのものの長さは、管の長さの2倍となります。\(0.680 \text{ m}\)の2倍で、\(1.36 \text{ m}\)です。

基本振動が生じているときの音波の波長は\(1.36 \text{ m}\)です。問題文の数値が有効数字3桁なので、答えも3桁で表すのが適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
振動数を0Hzから上げていったときの「3回目の共鳴」の振動数を求める問題です。開管の共鳴は、基本振動（1倍振動）、2倍振動、3倍振動…の順に起こります。したがって、「3回目の共鳴」は「3倍振動」を指します。3倍振動のときの波長を求め、与えられた音速と波の基本式を使って振動数を計算します。
この設問における重要なポイント

• 開管の固有振動は、基本振動、2倍振動、3倍振動…と、整数倍の振動数で起こる。
• 「\(n\)回目の共鳴」は「\(n\)倍振動」に対応する。
• \(n\)倍振動では、管の長さ\(L\)に半波長が\(n\)個入る。つまり \(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda_n}{2}\)。

具体的な解説と立式
3回目の共鳴は3倍振動（腹が3つ、節が2つ）のときに起こります。このときの振動数を\(f_3\)、波長を\(\lambda_3\)とします。
3倍振動では、管の長さ\(L\)の中に半波長\(\displaystyle\frac{\lambda_3}{2}\)が3つ入ります。
$$ L = 3 \cdot \frac{\lambda_3}{2} \quad \cdots ① $$
この式から3倍振動の波長\(\lambda_3\)を求めることができます。
次に、音速\(v = 340 \text{ m/s}\)と求めた波長\(\lambda_3\)を、波の基本式に適用して振動数\(f_3\)を求めます。
$$ v = f_3 \lambda_3 \quad \cdots ② $$

まず、式①から波長\(\lambda_3\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_3 &= \frac{2L}{3} \\[2.0ex]&= \frac{2 \times 0.680}{3} \\[2.0ex]&= \frac{1.36}{3} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
次に、式②を\(f_3\)について解き、各値を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_3 &= \frac{v}{\lambda_3} \\[2.0ex]&= \frac{340}{1.36/3} \\[2.0ex]&= \frac{340 \times 3}{1.36} \\[2.0ex]&= \frac{1020}{1.36} \\[2.0ex]&= 750 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

3回目の共鳴は、管の中に波長の半分が3つ入った、より複雑な定在波のときに起こります。このときの波長は、基本の波長(1.36m)の1/3になります。
波の速さは一定なので、「振動数 = 速さ ÷ 波長」の関係から、波長が1/3になると、振動数は3倍になります。
(1)の基本振動の振動数を計算すると \(340 \text{ m/s} \div 1.36 \text{ m} = 250 \text{ Hz}\) です。
したがって、3回目の共鳴の振動数はその3倍、つまり \(250 \text{ Hz} \times 3 = 750 \text{ Hz}\) となります。

3回目に共鳴した音の振動数は\(750 \text{ Hz}\)です。
この値は、(1)で考えた基本振動の振動数 \(f_1 = \displaystyle\frac{v}{\lambda_1} = \frac{340}{1.36} = 250 \text{ Hz}\) のちょうど3倍 (\(f_3 = 3f_1\)) となっており、開管の固有振動数の関係と一致します。このことからも、答えが妥当であることが確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 開管の共鳴条件:
  • 核心: 両端が開いた管（開管）では、両端が空気の振動が最も激しい「腹」になるという境界条件を理解することが最も重要です。この条件を満たす定在波だけが管内に安定して存在できます。
  • 理解のポイント:
    • 幾何学的条件: 両端が腹になるため、管の長さ\(L\)は、腹から腹までの距離（＝半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)）の整数倍でなければなりません。
    • 公式: \(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda_n}{2} \quad (n=1, 2, 3, \dots)\)
    • \(n\)は定在波の「腹の数」に一致します。
• 固有振動数の関係:
  • 核心: 開管の固有振動数（共鳴が起こる振動数）は、最も低い基本振動数\(f_1\)の単純な整数倍 (\(f_n = n f_1\)) になります。
  • 理解のポイント:
    • 振動数を0から上げていくと、基本振動(\(n=1\))、2倍振動(\(n=2\))、3倍振動(\(n=3\))…が順番に観測されます。
    • したがって、(2)で問われている「3回目の共鳴」は、そのまま「3倍振動」に対応します。これは閉管（奇数倍のみ）との大きな違いです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 閉管との比較問題: 同じ長さの開管と閉管で、基本振動数や、次に共鳴する振動数がどう違うかを問う問題。開管は\(f_1, 2f_1, 3f_1, \dots\)、閉管は\(f’_1, 3f’_1, 5f’_1, \dots\) となる関係を比較させます。
  • 開口端補正を考慮する問題: この問題では無視しましたが、より精密な設定では開口端補正\(\Delta L\)を考慮します。開管では両端に補正が必要なため、有効長は \(L+2\Delta L\) となります。共鳴条件式は \(L+2\Delta L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda_n}{2}\) に変わります。
  • 弦の振動とのアナロジー: 開管の共鳴条件 (\(L=n\frac{\lambda}{2}\), \(f_n=nf_1\)) は、両端が固定された弦の振動と全く同じ数式で表されます。境界条件（腹か節か）は異なりますが、数学的な構造は同じであると理解しておくと、知識の整理に役立ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 管の端の状態を最優先で確認: 問題が「開管」か「閉管」かを見極めます。これにより、適用すべき共鳴条件の基本形が決定します。
  2. 「n回目」の解釈: 「振動数を0から上げてn回目に共鳴」という表現に注意します。開管なら「n倍振動」、閉管なら「(2n-1)倍振動」と正確に読み替えることが重要です。
  3. 開口端補正の有無: 問題文に「開口端補正は無視する」という記述があるかを確認します。記述がなければ、考慮する必要があるかもしれません。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 閉管の共鳴条件との混同:
  • 誤解: 開管の問題なのに、閉管の条件式 \(L = (2n-1)\displaystyle\frac{\lambda}{4}\) を誤って適用してしまう。
  • 対策: 「開管は両端が腹」「閉管は片方が腹、片方が節」という定在波のイメージを、簡単な図を描いて常に確認する癖をつけましょう。境界条件の違いが、公式の違いを生み出します。
• 波長と管の長さの混同:
  • 誤解: (1)で、管の長さ \(L=0.680 \text{ m}\) をそのまま波長 \(\lambda\) の値だと考えてしまう。
  • 対策: 定在波の図をしっかり見ましょう。基本振動の形は、腹から腹までであり、これは波長の「半分」です。\(L = \lambda\) ではなく \(L = \lambda/2\) であることを視覚的に理解することが重要です。
• 計算の順序ミス:
  • 誤解: (2)で、まず基本振動数\(f_1\)を求めずに、いきなり3倍振動の波長\(\lambda_3\)を計算しようとして混乱する。
  • 対策: (2)を解く際には、「まず基本振動数\(f_1\)を求める \(\rightarrow\) 3回目の共鳴は3倍振動なので、\(f_3 = 3f_1\) を計算する」というステップを踏むと、計算が単純になりミスが減ります。この方法は検算としても非常に有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 開管の共鳴条件式 (\(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda_n}{2}\)):
  • 選定理由: この問題は「両端が開いた管」という物理的・幾何学的な制約の下での共鳴現象を扱っているため、この制約条件を数式化したこの公式を選択します。
  • 適用根拠: 管内で反射を繰り返す波が強め合って安定な定在波を形成するためには、両端が「腹」になるという境界条件を満たす必要があります。この幾何学的な条件が、管の長さ\(L\)が半波長の整数倍になる、というこの公式の物理的な根拠です。
• 波の基本式 (\(v = f\lambda\)):
  • 選定理由: 波の3つの基本量（速さ、振動数、波長）のうち2つが分かれば、残りの1つを計算できる、波に関する最も普遍的な法則だからです。
  • 適用根拠: (1)では\(L\)から\(\lambda_1\)を求め、(2)では\(v\)と\(\lambda_3\)から\(f_3\)を求めるために使用します。これは、波の種類によらず成り立つ大原則です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算を最初に行う: 計算を始める前に、\(68.0 \text{ cm}\) を \(0.680 \text{ m}\) に直すことを徹底しましょう。計算の途中で単位換算を行うと、忘れたり間違えたりするリスクが高まります。
• 繁分数の処理: (2)の計算で出てくる \(f_3 = \displaystyle\frac{340}{1.36/3}\) のような分母に分数がある形は、焦るとミスのもとです。落ち着いて「分母の逆数を掛ける」という操作を行い、\(f_3 = \displaystyle\frac{340 \times 3}{1.36}\) の形に直してから計算しましょう。
• 比例関係で検算する: 開管では固有振動数\(f_n\)は腹の数\(n\)に比例します (\(f_n \propto n\))。
  • まず基本振動数 \(f_1 = v/\lambda_1 = 340/1.36 = 250 \text{ Hz}\) を計算します。
  • (2)で求める3回目の共鳴（3倍振動）の振動数は、\(f_3 = 3 \times f_1 = 3 \times 250 = 750 \text{ Hz}\) となるはずです。
  • この別解ルートで計算し、本解の答えと一致するかを確認することで、確実な検算ができます。

256 気柱の共鳴

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「閉管の気柱共鳴と開口端補正」です。実験データから波長、振動数、開口端補正を求め、さらに定在波の性質について理解を深める、気柱共鳴の総合問題です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
1回目と2回目の共鳴が起こったときの気柱の長さ \(L_1, L_2\) を使って、音波の波長 \(\lambda\) を求める問題です。それぞれの共鳴条件を考えるよりも、隣り合う共鳴点間の距離が半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) になるという関係を使うのが、開口端補正を考慮せずに済むため最も簡単で確実です。
この設問における重要なポイント

• 隣り合う共鳴点間の気柱の長さの差は、半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) に等しい。

具体的な解説と立式
1回目の共鳴が起こったときの水面までの長さを \(L_1 = 16.0 \text{ cm}\)、2回目の共鳴が起こったときの長さを \(L_2 = 50.0 \text{ cm}\) とします。
隣り合う共鳴点間の距離は半波長に等しいので、
$$ \frac{\lambda}{2} = L_2 – L_1 $$
この式から波長 \(\lambda\) を求めることができます。

上の式を \(\lambda\) について解き、値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 2(L_2 – L_1) \\[2.0ex]&= 2(50.0 – 16.0) \\[2.0ex]&= 2 \times 34.0 \\[2.0ex]&= 68.0 \text{ [cm]}
\end{aligned}
$$

1回目の共鳴と2回目の共鳴では、管の中にできる定在波の「腹と節のペア」が1つ分だけ増えています。このペアの長さがちょうど半波長分なので、水面の位置の差が半波長に相当します。したがって、\(50.0 \text{ cm} – 16.0 \text{ cm} = 34.0 \text{ cm}\) が半波長なので、1波長分はその2倍の \(68.0 \text{ cm}\) となります。

音波の波長は \(68.0 \text{ cm}\) です。実験データが有効数字3桁で与えられているため、答えも有効数字3桁で表すのが適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
おんさの振動数 \(f\) を求める問題です。(1)で波長 \(\lambda\) が求まり、音速 \(v\) は問題文で与えられているので、波の基本式 \(v=f\lambda\) を使って計算します。このとき、単位をmとsに統一する必要があることに注意します。
この設問における重要なポイント

• 波の基本式: \(v = f\lambda\)
• 単位の統一：計算前に、すべての物理量を基本単位（m, s）に変換する。

具体的な解説と立式
音速 \(v = 340 \text{ m/s}\)、(1)で求めた波長 \(\lambda = 68.0 \text{ cm} = 0.680 \text{ m}\) を波の基本式に代入します。
$$ v = f\lambda $$

上の式を \(f\) について解き、値を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{v}{\lambda} \\[2.0ex]&= \frac{340}{0.680} \\[2.0ex]&= 500 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して、\(5.00 \times 10^2 \text{ Hz}\) と表します。

波の速さ、振動数、波長は3点セットの関係です。今回は速さ（340 m/s）と波長（0.680 m）が分かっているので、「振動数 = 速さ ÷ 波長」の式に当てはめて計算します。

おんさの振動数は \(5.00 \times 10^2 \text{ Hz}\) です。単位換算を正しく行い、波の基本式に適用して得られた妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
開口端補正 \(\Delta L\) を求める問題です。1回目の共鳴条件「有効長 \(L_1 + \Delta L\) が \(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長に等しい」という関係式を利用します。(1)で波長 \(\lambda\) は求まっているので、代入すれば \(\Delta L\) が計算できます。
この設問における重要なポイント

• 閉管の基本振動の条件: \(L_1 + \Delta L = \displaystyle\frac{\lambda}{4}\)

具体的な解説と立式
1回目の共鳴では、気柱の実際の長さ \(L_1\) に開口端補正 \(\Delta L\) を加えた有効長が、\(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長に等しくなります。
$$ L_1 + \Delta L = \frac{\lambda}{4} $$
この式を \(\Delta L\) について解きます。

上の式を \(\Delta L\) について解き、\(L_1=16.0 \text{ cm}\), \(\lambda=68.0 \text{ cm}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= \frac{\lambda}{4} – L_1 \\[2.0ex]&= \frac{68.0}{4} – 16.0 \\[2.0ex]&= 17.0 – 16.0 \\[2.0ex]&= 1.0 \text{ [cm]}
\end{aligned}
$$

定在波の腹は、実は管の口から少しはみ出たところにできます。この「はみ出し分」が開口端補正です。1回目の共鳴では、このはみ出し分と実際の管の長さ(\(16.0 \text{ cm}\))を足したものが、ちょうど1/4波長(\(17.0 \text{ cm}\))になります。したがって、はみ出し分は \(17.0 – 16.0 = 1.0 \text{ cm}\) となります。

開口端補正は \(1.0 \text{ cm}\) です。一般的に管の半径の0.6倍程度と言われており、物理的に妥当な値です。

問(4)

思考の道筋とポイント
2回目の共鳴が起こっているときの、定在波の腹と節の位置を特定する問題です。
(ア) 空気が振動しないところは「変位の節」。
(イ) 空気の振動が最も激しいところは「変位の腹」。
(ウ) 空気の疎密の変化が最も激しいところは、空気が動けない「変位の節」と一致します。
これらの位置を、2回目の共鳴の定在波の形から具体的に計算します。
この設問における重要なポイント

• 変位の節：空気の振動がゼロの点。
• 変位の腹：空気の振動が最大の点。
• 疎密変化が最大 ⇔ 変位の節。
• 2回目の共鳴時の定在波の形を正確に把握する。

具体的な解説と立式
2回目の共鳴が起こっているとき、管口から \(50.0 \text{ cm}\) の水面が閉端（節）になっています。
定在波の節と腹は、半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の半分、つまり \(\displaystyle\frac{\lambda}{4}\) ごとに交互に現れます。
\(\lambda = 68.0 \text{ cm}\) なので、\(\displaystyle\frac{\lambda}{4} = 17.0 \text{ cm}\) です。

(ア) 空気が振動しないところ（節）
水面（管口から \(50.0 \text{ cm}\)）は節です。そこから \(\displaystyle\frac{\lambda}{2} = 34.0 \text{ cm}\) だけ管口側に進んだ場所にも節があります。
節の位置 = \(50.0 – 34.0 = 16.0 \text{ cm}\)。
よって、管口から \(16.0 \text{ cm}\) と \(50.0 \text{ cm}\) のところが節です。

(イ) 空気の振動が最も激しいところ（腹）
腹は、節と節の中間にできます。
腹の位置 = \(\displaystyle\frac{16.0 + 50.0}{2} = 33.0 \text{ cm}\)。
（開口端の腹は管口の外側 \(-\Delta L = -1.0 \text{ cm}\) の位置にありますが、問題では管内のみを考えるため、管口から \(33.0 \text{ cm}\) の位置が該当します。）

(ウ) 空気の疎密の変化が最も激しいところ
これは変位の節の位置と一致します。
よって、(ア)と同じく、管口から \(16.0 \text{ cm}\) と \(50.0 \text{ cm}\) のところです。

(ア) 節の位置: \(16.0 \text{ cm}\), \(50.0 \text{ cm}\)
(イ) 腹の位置: \((16.0 + 50.0) \div 2 = 33.0 \text{ cm}\)
(ウ) 疎密変化最大の位置: \(16.0 \text{ cm}\), \(50.0 \text{ cm}\)

2回目の共鳴では、管の中に節が2つ、腹が1つあります。
(ア) 空気が動かない場所（節）は、1回目の共鳴が起きた水面の高さ(\(16.0 \text{ cm}\))と、2回目の共鳴が起きた水面の高さ(\(50.0 \text{ cm}\))です。
(イ) 空気が一番激しく動く場所（腹）は、その2つの節のちょうど真ん中、つまり \((16.0+50.0)\div2 = 33.0 \text{ cm}\) の場所です。
(ウ) 空気が一番ぎゅうぎゅうに混んだり、スカスカになったりする場所は、意外にも空気が動けない場所（節）と同じです。

各位置は物理法則に従って正しく特定できました。
(ア) \(16.0 \text{ cm}, 50.0 \text{ cm}\)
(イ) \(33.0 \text{ cm}\)
(ウ) \(16.0 \text{ cm}, 50.0 \text{ cm}\)

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 隣り合う共鳴点間の距離の不変性:
  • 核心: この問題で最も効率的かつ本質的な法則は、隣り合う共鳴点（大きな音が聞こえる場所）どうしの距離が、常に「半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)」に等しいという点です。
  • 理解のポイント:
    • 公式: \(L_2 – L_1 = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)
    • この関係式を使えば、測定が難しい「開口端補正 \(\Delta L\)」の値を気にすることなく、測定可能な気柱の長さ \(L_1, L_2\) から直接、波長 \(\lambda\) を求めることができます。これは実験における非常に重要なテクニックです。
• 閉管の共鳴条件と開口端補正:
  • 核心: 閉管（片方が閉じている管）では、管口（開口端）が腹、水面（閉端）が節となる定在波ができます。このとき、実際の気柱の長さ \(L\) に開口端補正 \(\Delta L\) を加えた「有効長」が、\(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長の奇数倍になる、という条件を理解することが基本です。
  • 公式: \(L_m + \Delta L = (2m-1)\displaystyle\frac{\lambda}{4} \quad (m=1, 2, 3, \dots)\)
• 変位と疎密の関係:
  • 核心: (4)で問われる、定在波における媒質の振る舞いです。空気の「変位（振動）」と「疎密（圧力）の変化」は、場所によって逆の性質を示します。
  • 理解のポイント:
    • 変位の腹 ＝ 疎密変化は最小: 空気が最も自由に動ける場所では、圧力の変化はほとんどありません。
    • 変位の節 ＝ 疎密変化は最大: 空気が全く動けない場所では、周りの空気がそこに押し寄せたり（密）、そこから引いたり（疎）するため、圧力の変化が最も激しくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 音速を求める問題: 逆に、おんさの振動数 \(f\) が既知の場合に \(L_1, L_2\) を測定し、音速 \(v\) を \(v = f\lambda = f \cdot 2(L_2 – L_1)\) として算出する、物理実験の定番問題。
  • 気温と音速の関係: 音速は気温に依存します（\(v \approx 331.5 + 0.6t\), \(t\)は摂氏温度）。気温が変わったときに共鳴点がどう移動するかを問う問題。
  • 開管との比較: 同じおんさを使ったとき、同じ長さの開管と閉管では、どのような共鳴が起こるか、その振動数や波長はどう違うかを比較させる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 管の端の状態を確認: まず「閉管」か「開管」かを見極めます。これで共鳴条件の基本形が決まります。
  2. 複数の共鳴点のデータに注目: \(L_1, L_2\) のように複数の共鳴点の長さが与えられたら、まずその差を取って \(L_2 – L_1 = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) から波長 \(\lambda\) を求めるのが定石です。
  3. 「変位」か「疎密」か: (4)のように、問題が「空気の振動（変位）」を問うているのか、「圧力や密度の変化（疎密）」を問うているのかを正確に区別します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 開口端補正 \(\Delta L\) の存在を忘れる:
  • 誤解: 1回目の共鳴条件を、安易に \(L_1 = \displaystyle\frac{\lambda}{4}\) と立式してしまう。
  • 対策: 気柱共鳴の問題では、常に開口端補正の可能性を念頭に置きましょう。特に、\(L_1\) と \(L_2\) のように複数の共鳴点が与えられている場合は、開口端補正を考慮する問題である可能性が非常に高いです。
• 変位と疎密の混同:
  • 誤解: (4)で、空気の振動が最も激しい場所（腹）で、疎密の変化も最も激しいと考えてしまう。
  • 対策: 「節では動けないからこそ、圧力がたまる・抜ける」という物理的なイメージを持ちましょう。ホースの先を指で塞ぐ（節を作る）と水圧が高まるのと同じです。変位と疎密は、腹と節の位置が入れ替わる「逆の関係」にあると覚えましょう。
• 単位換算のミス:
  • 誤解: (2)で音速 \(v=340 \text{ m/s}\) と波長 \(\lambda=68.0 \text{ cm}\) をそのまま \(v=f\lambda\) の式に入れてしまう。
  • 対策: 物理量の計算を行う際は、必ずSI単位系（メートル、秒、ヘルツなど）に統一する習慣をつけましょう。計算を始める前に、\(68.0 \text{ cm} \rightarrow 0.680 \text{ m}\) のように、すべての単位を揃えるのが最も安全です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 差分を取る操作 (\(L_2 – L_1 = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)):
  • 選定理由: (1)で波長を求める際に、未知数であり測定も難しい「開口端補正 \(\Delta L\)」を数式から消去できる、最もスマートで強力な方法だからです。
  • 適用根拠: 1回目と2回目の共鳴条件は、それぞれ \(L_1+\Delta L = \displaystyle\frac{1}{4}\lambda\) と \(L_2+\Delta L = \displaystyle\frac{3}{4}\lambda\) です。\(\Delta L\) は実験条件が変わらない限り一定なので、この2式を連立方程式と見なし、辺々を引き算することで \(\Delta L\) を消去し、測定可能な量だけで \(\lambda\) を表すことができます。
• 基本振動の条件式 (\(L_1 + \Delta L = \displaystyle\frac{\lambda}{4}\)):
  • 選定理由: (3)で開口端補正 \(\Delta L\) を求めるために使います。(1)で \(\lambda\) が、問題文で \(L_1\) が与えられているため、この式を使えば未知数である \(\Delta L\) を唯一特定できます。
  • 適用根拠: これは閉管における共鳴現象の最も基本的な定義式です。物理現象の原点に立ち返って未知数を求める、という論理的な流れに基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を揃えてから計算する: (2)の計算では、\(f = \displaystyle\frac{340 \text{ [m/s]}}{0.680 \text{ [m]}}\) のように、必ず単位をmに揃えてから割り算を実行します。cmのまま計算すると、100倍または1/100倍のオーダーミスが頻発します。
• 有効数字を意識する: 問題文の数値（16.0, 50.0, 340）はすべて有効数字3桁です。したがって、計算結果も有効数字3桁で答えるのが基本です。(1)の\(68.0 \text{ cm}\)、(2)の\(5.00 \times 10^2 \text{ Hz}\)、(3)の\(1.00 \text{ cm}\)（解答例は1.0cmだが、より厳密には1.00cmが望ましい）、(4)の\(33.0 \text{ cm}\)など、最後まで桁数を意識しましょう。
• 定在波の図を有効活用する: (4)のような問題では、頭の中だけで考えずに、定在波の概略図を描いてみましょう。節と腹の位置関係、腹と節の間隔が \(\lambda/4\) であることなどを図に書き込むことで、位置の計算ミスを視覚的に防ぐことができます。

257 気柱の圧力変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気柱の定在波における変位と圧力の関係」です。定在波を媒質の「変位」で表した場合と、「圧力（疎密）の変化」で表した場合では、腹と節の位置が逆転するという、非常に重要な概念を理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「空気の振動の振幅が最大となる点」を問う問題です。問題で与えられている図は、空気の「変位」の様子を表したものです。したがって、図の振幅が最大になっている点をそのまま答えればよい、というシンプルな問題です。
この設問における重要なポイント

• 問題の図は、空気分子の「変位」の振幅を表している。
• 「振動の振幅が最大」とは、定在波の「腹」のことである。
• 開管の開口部は、変位の腹になる。

具体的な解説と立式
問題で与えられた図は、空気の変位の定在波を表しています。「空気の振動の振幅が最大となる点」とは、この変位の定在波における「腹」の位置を指します。
図を見ると、点Aと点Cで振幅が最大になっていることがわかります。したがって、これらの点が変位の腹です。
この問題は図の読み取りが中心であり、数式による立式は不要です。

この設問は図の解釈に関するものであり、具体的な計算は不要です。

(1)の問いは、「図の中で、空気が一番大きく上下に揺れている場所はどこですか？」と聞いているのと同じです。図の波の形を見ると、AとCの場所で揺れ幅が最も大きくなっています。したがって、答えはAとCです。

空気の振動の振幅が最大となる点は、変位の腹であるAとCです。開管の開口端は空気が自由に動けるため、変位の腹になるという物理法則とも一致しており、妥当な結論です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「空気の圧力の変化が最大となる点」を問う問題です。これは、定在波における変位と圧力の関係を正しく理解しているかが鍵となります。結論から言うと、圧力の変化が最大になるのは、変位がゼロの「節」の位置です。
この設問における重要なポイント

• 変位の腹では、圧力の変化は最小になる（圧力の節）。
• 変位の節では、圧力の変化は最大になる（圧力の腹）。
• 物理的イメージ：空気が動けない場所（変位の節）では、周りの空気がそこに押し寄せてきて最も「密」になったり、そこから引いていって最も「疎」になったりするため、圧力の変化が激しくなる。

具体的な解説と立式
(1)で確認したように、点Aと点Cは変位の腹です。一方、図から点Bは変位が常にゼロ、すなわち「変位の節」であることがわかります。
定在波において、圧力の変化が最大になるのは、変位の節の位置です。
したがって、求める点はBとなります。
この問題も物理概念の理解を問うものであり、数式による立式は不要です。

この設問は物理概念の適用に関するものであり、具体的な計算は不要です。

(2)の問いは、「空気の混み具合（圧力）の変化が一番激しい場所はどこですか？」と聞いています。これは、空気が一番大きく動く場所（A, C）とは逆で、空気が全く動けない場所（B）で起こります。なぜなら、B点では、左右から空気が同時に押し寄せてきてぎゅうぎゅう詰め（高圧）になったり、逆に左右へ同時に引いていってスカスカ（低圧）になったりするため、圧力の変化が最も大きくなるのです。

空気の圧力の変化が最大となる点は、変位の節であるBです。変位と圧力の関係性を正しく適用した結果であり、妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 変位と圧力の関係性（逆位相）:
  • 核心: 気柱の定在波を考える上で最も重要な概念の一つです。媒質（空気）の「変位（振動の大きさ）」と「圧力（密度の変化）」は、場所によって正反対の振る舞いをします。
  • 理解のポイント:
    • 変位の腹 ⇔ 圧力の節: 空気が最も自由に大きく振動できる場所（変位の腹）では、空気の集散が起こりにくいため、圧力や密度の変化は最小になります。
    • 変位の節 ⇔ 圧力の腹: 空気が全く動けない場所（変位の節）では、その点に向かって周りの空気が押し寄せたり（高圧）、その点から周りの空気が引いたり（低圧）するため、圧力や密度の変化が最も激しくなります。
• 開管の境界条件:
  • 核心: 管の端が外気に開放されている「開管」では、その端点は空気が最も自由に動けるため、必ず「変位の腹」かつ「圧力の節」になります。
  • 理解のポイント: 問題の図で、開口端であるAとCが変位の腹になっているのは、この境界条件を満たしているからです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 閉管の場合: 一端が閉じている管では、閉端は空気が動けないため「変位の節」かつ「圧力の腹」になります。開口端は変わらず「変位の腹」かつ「圧力の節」です。
  • 圧力変化のグラフが与えられる問題: 逆に、縦軸が「圧力変化」のグラフが与えられ、「変位の振幅が最大となる点」を問われることがあります。その場合は、圧力変化がゼロの点（圧力の節）を選びます。
  • 媒質の速度を問う問題: 媒質の速度変化が最大になるのは、最も大きく動く「変位の腹」です。一方、速度が常にゼロなのは「変位の節」です。つまり、速度と変位は同じ振る舞いをします。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの縦軸を絶対確認: まず、与えられたグラフが「変位」を表しているのか、「圧力変化」を表しているのかを問題文で確認します。これが全ての判断の基準になります。
  2. 問われている物理量を確認: 問題が「振動の振幅（変位）」を問うているのか、「圧力・疎密の変化」を問うているのかを正確に区別します。
  3. 境界条件から考える: 管の端（開口端か閉端か）が、変位や圧力の腹・節のどちらになるかをまず確定させ、そこから内部の腹・節の位置を考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位と圧力の挙動の混同:
  • 誤解: 最もありがちなミスは、「振動が激しい場所（変位の腹）で、圧力の変化も激しい」と考えてしまうことです。
  • 対策: 「動けないからこそ、圧力がたまる」という物理的イメージを定着させましょう。例えば、満員電車で自分が全く動けない場所（節）ほど、周りから押される圧力（圧力変化）は大きくなる、と考えると覚えやすいです。変位と圧力は「逆の関係」と覚えましょう。
• 「腹」「節」という言葉の曖昧な使い方:
  • 誤解: 単に「腹はA, C」「節はB」とだけ覚えてしまい、何の物理量についての腹・節なのかを意識しない。
  • 対策: 普段から「変位の腹」「圧力の腹」のように、何の物理量について話しているのかを明確にする癖をつけましょう。この問題では、A, Cは「変位の腹」であり「圧力の節」、Bは「変位の節」であり「圧力の腹」です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変位と圧力の逆位相関係:
  • 選定理由: この問題は公式を適用するのではなく、物理概念の深い理解を問うています。問題が「変位」と「圧力」という2つの異なる側面から定在波を捉えさせようとしているため、この2つを結びつける関係性の理解が不可欠です。
  • 適用根拠（物理的思考プロセス）:
    • 点B（変位の節）を考える: 点Bは全く動きません。点Bの左右の空気は、同じタイミングで点Bに向かって動いたり（圧縮→高圧）、点Bから離れたり（膨張→低圧）します。その結果、点Bでは圧力の変化が最大になります。
    • 点A, C（変位の腹）を考える: 点AやCでは空気は大きく動きますが、それは周りの空気も一体となって動いているためです。特定の場所に空気が溜まったり、極端に少なくなったりはしないため、圧力の変化は最小になります。この論理的思考が、この問題を解く上での根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 概念の混同を防ぐための実践テクニック:
  • 図の重ね描き: 変位の定在波の図の上に、圧力の定在波の図を点線などで重ねて描く練習をしましょう。変位の腹の位置に圧力の節が、変位の節の位置に圧力の腹が来ることを視覚的に確認することで、両者の関係が記憶に定着します。
  • 用語の正確な使用: 普段の学習から、「変位の腹」「圧力の腹」のように、主語を明確にして用語を使う習慣をつけましょう。これにより、思考の混濁を防ぎます。
  • 物理的イメージの反復: 例えば「満員電車」や「水の出るホース」など、身近なものに例えて物理現象をイメージする訓練を繰り返すことが、概念の深い理解と記憶の定着に繋がります。

258 うなり

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「うなりの応用と物理的性質からの推理」です。うなりの公式を正しく使えるだけでなく、おんさに針金を巻くという物理的な操作が、振動数にどのような影響を与えるかを理解し、それを用いて解を絞り込む論理的思考力が試されます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、単にうなりの公式を適用するだけでは解けません。2つの条件からそれぞれ2つの候補が生まれ、合計4つの組み合わせが考えられます。最終的な決め手は、「針金を巻くと重くなり、振動数は下がる」という物理的な洞察です。この制約条件を使って、数学的にあり得る候補の中から、物理的に妥当な解を一つだけ選び出すプロセスが重要です。
この設問における重要なポイント

• うなり振動数 \(f_{\text{うなり}}\) は、「1秒あたりの」うなりの回数である。
• 振動体の質量を増やすと、その固有振動数は小さくなる。
• 2つの条件から得られる候補を吟味し、物理的に妥当な解を一つ選ぶ。

具体的な解説と立式
おんさAの振動数を \(f_A = 400 \text{ Hz}\) とします。
針金を巻く前のおんさBの振動数を \(f\)、巻いた後の振動数を \(f’\) とします。

条件1：針金を巻く前
2秒間に8回のうなりが生じたので、1秒あたりのうなり回数（うなり振動数）は、
$$ f_{\text{うなり1}} = \frac{8}{2} = 4 \text{ [Hz]} $$
うなりの公式より、
$$ |f_A – f| = 4 $$
$$ |400 – f| = 4 \quad \cdots ① $$

条件2：針金を巻いた後
5秒間に10回のうなりが生じたので、1秒あたりのうなり回数は、
$$ f_{\text{うなり2}} = \frac{10}{5} = 2 \text{ [Hz]} $$
うなりの公式より、
$$ |f_A – f’| = 2 $$
$$ |400 – f’| = 2 \quad \cdots ② $$

物理的制約：
おんさBに針金を巻くと、おんさの質量が増加します。質量が大きいものほど振動しにくくなるため、振動数は小さくなります。したがって、
$$ f > f’ \quad \cdots ③ $$
この3つの式をすべて満たす \(f\) を求めます。

まず、式①を解いて \(f\) の候補を求めます。
$$ 400 – f = \pm 4 $$
よって、\(f\) の候補は、
$$
\begin{aligned}
f &= 400 + 4 = 404 \text{ [Hz]} \\
\text{または} \quad f &= 400 – 4 = 396 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$
次に、式②を解いて \(f’\) の候補を求めます。
$$ 400 – f’ = \pm 2 $$
よって、\(f’\) の候補は、
$$
\begin{aligned}
f’ &= 400 + 2 = 402 \text{ [Hz]} \\
\text{または} \quad f’ &= 400 – 2 = 398 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$
最後に、物理的制約 \(f > f’\) を使って、正しい組み合わせを探します。

ケース1：もし \(f = 404 \text{ Hz}\) だった場合
このとき、\(f’ = 402 \text{ Hz}\) または \(f’ = 398 \text{ Hz}\) です。
\(404 > 402\) も \(404 > 398\) も両方とも成立します。したがって、\(f=404 \text{ Hz}\) は物理的にあり得る解です。

ケース2：もし \(f = 396 \text{ Hz}\) だった場合
このとき、\(f’ = 402 \text{ Hz}\) または \(f’ = 398 \text{ Hz}\) です。
\(396 > 402\) は成立しません。
\(396 > 398\) も成立しません。
したがって、\(f=396 \text{ Hz}\) は物理的にあり得ない解です。

以上の吟味から、唯一可能な解は \(f = 404 \text{ Hz}\) となります。

まず、最初の状態から、おんさBの振動数は400Hzと4Hzだけ違うので、「404Hz」か「396Hz」のどちらかです。
次に、Bに針金を巻くと、振動数は400Hzと2Hzだけ違うので、「402Hz」か「398Hz」のどちらかになります。
ここで大事なのは、「針金を巻くと重くなるので、振動数は必ず下がる」というルールです。
もし元の振動数が396Hzだったとすると、下がった後の振動数は396Hzより低いはずです。しかし、候補の402Hzも398Hzも396Hzより高いので、これはおかしいです。
もし元の振動数が404Hzだったとすると、下がった後の振動数は404Hzより低いはずです。候補の402Hzや398Hzは、どちらも404Hzより低いので、つじつまが合います。
したがって、元の振動数は404Hzだったと分かります。

針金を巻きつける前のおんさBの振動数は \(404 \text{ Hz}\) です。この値は、2つのうなりの条件と、質量を増やすと振動数が下がるという物理法則をすべて満たしており、論理的に導かれた唯一の解です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• うなりの公式と物理的性質による絞り込み:
  • 核心: この問題は、2つの物理法則を段階的に適用して解を一つに絞り込む、論理的な思考プロセスそのものが核心です。
    1. うなりの公式: まず、\(f_{\text{うなり}} = |f_1 – f_2|\) を用いて、数学的にあり得る振動数の「候補」を複数リストアップします。
    2. 振動体の物理的性質: 次に、「おんさに針金を巻くと質量が増え、振動数は小さくなる」という物理法則を「制約条件」として用いて、リストアップした候補の中から物理的に正しい唯一の解を選び出します。
  • 理解のポイント: うなりの公式だけでは答えが一つに決まりません。物理的な操作（針金を巻く）が振動数にどう影響するかを考察することが、この問題を解くための決定的な鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ヤスリで削る問題: おんさをヤスリで削る場合、質量が「減少」するため、振動数は「大きく」なります。この場合は \(f < f’\) という条件で解を絞り込むことになります。
  • 弦の振動との組み合わせ: おんさの代わりに弦を考え、張力を変える（おもりを重くする/軽くする）ことで振動数を変化させ、うなりを観測する問題。張力を上げると振動数は上がり、下げると振動数は下がります。
  • ドップラー効果との組み合わせ: 救急車が近づいてくるときと遠ざかるときの音を、静止したおんさと同時に鳴らしてうなりを観測する問題。ドップラー効果により振動数が変化するという物理法則を使って、救急車の速さや元の振動数を特定します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「うなり」の回数を1秒あたりに換算: 問題文が「\(t\)秒間に\(N\)回」と与えられていたら、まずうなり振動数 \(f_{\text{うなり}} = N/t\) [Hz] を計算します。これを忘れると、以降の計算が全てずれます。
  2. 振動数を変化させる操作に注目: 「針金を巻く」「削る」「温める」「張力を変える」など、振動数を変化させる原因となる物理的な操作に印をつけます。その操作が振動数を「上げる」のか「下げる」のかを判断することが、解を絞り込むための最大のヒントになります。
  3. 候補を全てリストアップする: うなりの公式を適用したら、可能性のある候補を全て書き出します。早合点して一つの可能性に飛びつかないことが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 物理的制約の適用忘れ:
  • 誤解: うなりの公式から候補をそれぞれ2つずつ出した後、どの組み合わせを選べばよいか分からなくなり、解答不能に陥る。
  • 対策: 「針金を巻く」という操作は、単なる飾りではなく、解を一つに絞り込むための決定的な条件であると認識しましょう。物理の問題では、与えられた条件は全て使うのが原則です。
• 振動数の増減の勘違い:
  • 誤解: 「針金を巻く」→「何かを足した」→「振動数も上がるはずだ」と直感的に誤解してしまう。
  • 対策: 「重いものほど、ゆっくりとしか動けない」という日常的な感覚を物理に結びつけましょう。ギターの太い弦（重い）が低い音（低い振動数）を出すのと同じです。質量が増えれば、振動は鈍くなり、振動数は下がります。
• 絶対値の外し間違い:
  • 誤解: \(|400 – f| = 4\) を \(f – 400 = 4\) とだけ計算して、\(f=404\) Hz という一つの候補しか出さない。
  • 対策: 絶対値の定義に忠実に、\(400 – f = +4\) と \(400 – f = -4\) の両方の可能性を必ず検討する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• うなりの公式 (\(f_{\text{うなり}} = |f_1 – f_2|\)):
  • 選定理由: 問題文に「うなり」という現象が明確に記述され、その回数が定量的に与えられているため、この現象を記述する唯一の公式であるこれを選択します。
  • 適用根拠: うなりは、周波数がわずかに異なる2つの波が干渉し合うことで、合成波の振幅が周期的に大きくなったり小さくなったりする現象です。その振幅の変化の周波数が、元の2つの周波数の差の絶対値に一致することが数学的に導かれます。
• 物理法則による絞り込み（質量増→振動数減）:
  • 選定理由: これは公式というより、振動現象の基本原理です。うなりの公式だけでは数学的に解が一つに定まらないため、物理的に妥当な解を選ぶための「判定基準」としてこの原理を用います。
  • 適用根拠: 物理の問題解決では、数学的に可能な解が複数存在する場合、物理法則に照らしてあり得ない解を排除する、というプロセスが頻繁に登場します。この問題は、その典型的な例です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• うなり振動数の正確な計算: 「2s間に8回」→ \(f_{\text{うなり}} = 8 \div 2 = 4\) Hz、「5s間に10回」→ \(f_{\text{うなり}} = 10 \div 5 = 2\) Hz のように、必ず「1秒あたり」に換算するステップを計算用紙に明記しましょう。
• 候補の組み合わせを丁寧に吟味する:
  • \(f\) の候補: {404, 396}
  • \(f’\) の候補: {402, 398}
  • この4つの数値を書き出した上で、「\(f > f’\) となる組み合わせはどれか？」を一つずつチェックします。
    • \(f=404\) の場合、\(f’=402\) or \(398\) はどちらも \(f>f’\) を満たす。→ \(f=404\) は正解の可能性あり。
    • \(f=396\) の場合、\(f’=402\) or \(398\) はどちらも \(f>f’\) を満たさない。→ \(f=396\) はあり得ない。
  • この丁寧な確認作業が、論理的なミスを防ぎます。
• 数直線で可視化する: 数直線上に基準となる400Hzをとり、\(f\)の候補(396, 404)と\(f’\)の候補(398, 402)をプロットします。「\(f\)は\(f’\)よりも数直線の右側にあるはずだ」という条件で探すと、\(f=404\)の組み合わせしか残らないことが視覚的にわかり、ミスを防げます。

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