「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 15】Step3

232 縦波

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、x軸の正の向きに伝わる縦波について、ある時刻における媒質の密度分布を示したグラフ（ρ-xグラフ）から、媒質の変位と速度に関する情報を読み取る問題です。縦波の特性、特に「密度の変化」と「媒質の変位・速度」との間の位相関係を正しく理解しているかが問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波における媒質の密度・変位・速度の関係」です。与えられたρ-xグラフ（密度の空間分布）を、媒質の変位のグラフ（y-xグラフ）に変換し、そこから各点の運動状態を読み解くのが基本的なアプローチです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
x軸の正の向きに媒質が最も大きく変位している位置を求める問題です。そのためには、まず密度のグラフ（ρ-xグラフ）を媒質の変位のグラフ（y-xグラフ）に変換する必要があります。縦波の各点における媒質の動きを正しくイメージし、y-xグラフを正確に描くことが核心となります。
この設問における重要なポイント

• 密部と疎部の変位: 密部（\(x_8\)）と疎部（\(x_4\)）の中心では、媒質は動けず変位は0（\(y=0\)）です。
• 変位の向きの判断:
  • 密部（例：\(x_8\)）には、その両側から媒質が集まってきます。波は右に進むので、\(x_8\)の少し左側の媒質は右向き（正）に、少し右側の媒質は左向き（負）に変位しています。
  • 疎部（例：\(x_4\)）からは、その両側へ媒質が散っていきます。波は右に進むので、\(x_4\)の少し左側の媒質は左向き（負）に、少し右側の媒質は右向き（正）に変位しています。
• 変位の大きさ: 変位の大きさは、密部と疎部の中間点（この問題では\(x_2, x_6\)）で最大になります。

具体的な解説と立式
媒質の変位を、x軸の正の向きを正として\(y\)で表します。与えられたρ-xグラフと上記のポイントから、y-xグラフを作成します。

1. 密部（\(x_8\)）と疎部（\(x_4\)）では、変位はゼロです。
   $$ y(x_4) = 0, \quad y(x_8) = 0 $$
2. 密部と疎部の中間点である\(x_2\)と\(x_6\)で、変位の大きさは最大になります。
   • \(x_2\)（\(x_0\)と\(x_4\)の間）では、媒質は\(x_0\)から離れ、\(x_4\)からも離れるように動くため、変位はx軸負の向きに最大となります。
   • \(x_6\)（\(x_4\)と\(x_8\)の間）では、媒質は\(x_4\)から離れ、\(x_8\)に近づくように動くため、変位はx軸正の向きに最大となります。
3. これらの点を滑らかにつなぐと、y-xグラフが得られます。このグラフから、「x軸の正の向きに媒質が最も大きく変位している」、すなわち変位\(y\)が正で最大となる位置は\(x_6\)であることがわかります。

この問題はグラフの解釈が主であり、具体的な数値計算はありません。y-xグラフを描き、その形状から判断します。
作成したy-xグラフにおいて、y座標が正で最大値をとる点のx座標を読み取ると、\(x_6\)となります。

縦波を「人の列」に例えてみましょう。「密部」は人がぎゅうぎゅうに混んでいる場所、「疎部」はスカスカな場所です。

• 混雑の中心（\(x_8\)）やスカスカの中心（\(x_4\)）にいる人は、前後から押されたり引かれたりして、結果的に元の位置から動けません（変位ゼロ）。
• 「x軸の正の向きに最も大きく変位している」とは、「右方向に最も押し出されている人」を探すことです。それは、スカスカな場所（\(x_4\)）を通り過ぎて、次の混雑した場所（\(x_8\)）に向かっている途中の人、つまり\(x_6\)の位置にいる人です。

媒質がx軸の正の向きに最も大きく変位している位置は\(x_6\)です。これは、ρ-xグラフをy-xグラフに正しく変換することで導かれます。y-xグラフは、ρ-xグラフのcos型に対して、-sin型となり、位相が\( \displaystyle\frac{\pi}{2} \)（90°）遅れている関係になります。

問(2)

思考の道筋とポイント
x軸の正の向きに媒質が最も速く動いている位置を求める問題です。媒質の各点は単振動をしていると見なせます。単振動では、速度は振動の中心（変位が0の位置）で最大になります。したがって、まず速度が最大になる候補点を挙げ、次にその速度の向きを判断します。
この設問における重要なポイント

• 速度が最大になる点: 媒質の速度は、変位が0の位置で最大になります。問(1)で作成したy-xグラフから、\(y=0\)となるのは\(x_4, x_8\)です。（\(x_0\)は解答範囲外）
• 速度の向きの判断（y-xグラフを用いる方法）: 波はx軸の正の向きに進みます。したがって、ある点xの媒質の少し後の動きは、その点の少し左側の媒質の現在の動きと同じになります。y-xグラフ上で、ある点の左側のyの符号を見ることで、その点の速度の向き（正負）がわかります。
  • 点xの左側で\(y>0\)なら、点xの媒質は正の向きに動きます。
  • 点xの左側で\(y<0\)なら、点xの媒質は負の向きに動きます。

具体的な解説と立式
問(1)で作成したy-xグラフを用いて、速度が最大となる各点の速度の向きを調べます。

1. 速度が最大となる候補点は、変位が0の\(x_4, x_8\)です。
2. 各点の速度の向きを判断します。
   • \(x_4\)の位置：\(x_4\)のすぐ左側では、y-xグラフは負の値をとります。したがって、\(x_4\)の媒質は負の向きに動きます。
   • \(x_8\)の位置：\(x_8\)のすぐ左側では、y-xグラフは正の値をとります。したがって、\(x_8\)の媒質は正の向きに動きます。
3. 以上の結果から、「x軸の正の向きに最も速く動いている」のは、速度が最大で、かつ向きが正である\(x_8\)の位置となります。

この問題もグラフの解釈が主であり、数値計算はありません。

1. 速度最大点（\(y=0\)）を特定：\(x_4, x_8\)。
2. 各点の速度の向きを判断：
   • \(v_y(x_4) < 0\)
   • \(v_y(x_8) > 0\)
3. 条件（速度が正で最大）に合う点を抽出：\(x_8\)。

波をサーフィンに例えます。y-xグラフが波の形です。波は右に進みます。サーファー（媒質）は波の斜面を上下に動きます。

• 速度が一番速くなるのは、波の高さがゼロの場所（\(x_4, x_8\)）です。
• 「正の向きに動く」とは、波の斜面を駆け上がっている状態です。
• \(x_8\)の場所を見ると、そのすぐ左側は波が盛り上がって（\(y>0\)）います。これから波を駆け上がるので、速度は上向き（正）です。
• \(x_4\)の場所を見ると、そのすぐ左側は谷（\(y<0\)）になっています。これから谷に滑り落ちるので、速度は下向き（負）です。

したがって、正の向きに最も速いのは\(x_8\)です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の密度と変位の関係（位相のズレ）:
  • 核心: 縦波の「密度」と「変位」は、単純な比例関係にはありません。密度の変化が最大となる点（密部・疎部）では、媒質の変位はゼロになります。逆に、変位の大きさが最大となる点では、密度は元の密度\(\rho_0\)に戻ります。この位相が\( \displaystyle\frac{\pi}{2} \)（90°）ずれている関係を理解することが、(1)を解くための最も重要な法則です。
  • 理解のポイント: ρ-xグラフがcos型で与えられた場合、y-xグラフは-sin型になります。この変換を正しく行えるかが鍵です。密部には左右から媒質が集まり、疎部からは左右へ媒質が散っていく様子をイメージすることが、この関係を直感的に理解する助けになります。
• 縦波の変位と速度の関係（単振動モデル）:
  • 核心: 媒質の各点は、そのつり合いの位置を中心に単振動しています。単振動の物理法則に従い、速度は変位がゼロの点（振動の中心）で最大となり、変位が最大の点（振動の端）でゼロになります。これが(2)を解くための基本原理です。
  • 理解のポイント: y-xグラフを描いた後、各点の速度を考える問題は、単振動の問題に帰着します。速度の「大きさ」は変位ゼロの点で最大となり、速度の「向き」は波の進行方向から判断します（「波形を少し進めてみる」方法が有効）。
• 縦波の密度と速度の関係（同位相）:
  • 核心: 縦波では、「媒質の速度\(v_y\)」と「密度の変化\(\Delta \rho = \rho – \rho_0\)」は同位相です。つまり、密部（\(\Delta \rho > 0\)）では媒質は波の進行方向（\(v_y > 0\)）に動き、疎部（\(\Delta \rho < 0\)）では逆方向（\(v_y < 0\)）に動きます。この法則は(2)を解くための強力な別解（ショートカット）となります。
  • 理解のポイント: この関係を知っていれば、ρ-xグラフから直接、速度が最大かつ正の向きの点（＝最も密な点）を瞬時に見抜くことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 横波への変換問題: 縦波のρ-xグラフやy-xグラフを、対応する横波のy-xグラフで表現させる問題。位相関係（密度と変位は90°ずれ、密度と速度は同位相）を理解していれば、機械的に変換できます。
  • 音波の問題: 音波は縦波の代表例です。空気の圧力変化のグラフが、この問題の密度変化のグラフに相当します。圧力の高い点が密部、低い点が疎部です。
  • 時刻変化を問う問題: 「この状態から\( \displaystyle\frac{1}{4} \)周期後の密度分布はどうなるか？」といった問題。波形全体を\( \displaystyle\frac{1}{4} \)波長分だけ進行方向にずらすことで解答できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 与えられたグラフの種類を特定する: まず、グラフが「変位(y-x)」なのか「密度(ρ-x)」なのかを明確に確認します。これが全ての出発点です。
  2. 波の進行方向を確認する: 進行方向が正か負かによって、媒質の速度の向きの判断が変わるため、絶対に見落とさないようにします。
  3. 問われている物理量を確認する: 「変位」を問われているのか、「速度」を問われているのかを正確に把握します。それぞれで注目すべき点が異なります（変位最大は密・疎の中間、速度最大は密・疎の中心）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 密度と変位を混同する:
  • 誤解: 密度が最大の点（密部）で、変位も最大だと勘違いする。
  • 対策: 「密部＝媒質が集まってきて身動きが取れない点」とイメージし、変位はゼロであることを徹底しましょう。逆に、媒質が最も大きく動けるのは、密度が通常に戻る点（密部と疎部の中間）です。
• 速度の向きの判断ミス:
  • 誤解: y-xグラフ上で、山の点（\(y\)が正で最大）で速度も正、谷の点（\(y\)が負で最大）で速度も負だと考えてしまう。
  • 対策: 単振動の端では速度はゼロです。速度の向きは「波形を少しだけ進行方向にずらす」方法で判断するのが最も確実です。「ある点の少し未来の変位は、その点の少し手前（波がやってくる側）の現在の変位と同じ」という原理を使いましょう。
• ρ-xグラフから直接速度を判断する際のミス:
  • 誤解: 密部（\(\rho\)が最大）で速度が正、疎部（\(\rho\)が最小）で速度が負、という関係を逆に覚えてしまう。
  • 対策: 「密＝進行方向へ押し出される」「疎＝進行方向から取り残される」という因果関係で覚えましょう。波はエネルギーを進行方向に伝えるので、媒質が密になることで次の媒質を押し、波が伝わっていきます。この「押す」方向が速度の向きです。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • ばねの列モデル: 媒質を、ばねで連結された多数のおもりと見なすイメージ。密部はばねが縮んだ部分、疎部はばねが伸びた部分です。
    • 縮んだばねの中心（密部）では、左右から押されておもりは動けません（変位ゼロ）。
    • 伸びたばねの中心（疎部）でも、左右に引かれておもりは動けません（変位ゼロ）。
    • 変位が最大になるのは、ばねの伸び縮みがゼロ（自然長）の点、つまり密部と疎部の中間です。
  • y-xグラフへの変換図: ρ-xグラフの下に、対応するy-xグラフを並べて描くのが最も有効な図解法です。
    • ρ-xの極大・極小点から垂線を下ろし、y-xグラフのゼロ点と対応させます。
    • ρ-xのゼロ点（\(\rho=\rho_0\)）から垂線を下ろし、y-xグラフの極大・極小点と対応させます。
    • この対応関係を一度自分で描いてみると、位相のズレが視覚的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 軸のラベルを明確に: 縦軸が密度\(\rho\)なのか変位\(y\)なのかを必ず明記します。
  • 位相関係を矢印で示す: ρ-xグラフの密部からy-xグラフの\(y=0\)の点へ、ρ-xグラフの\(\rho=\rho_0\)の点からy-xグラフの変位最大の点へ、それぞれ矢印を結んで対応関係を明示すると、思考が整理されます。
  • 速度の向きを書き込む: y-xグラフを描いた後、各点（特に\(y=0\)の点）に速度の向きを示す矢印（上向き↑ or 下向き↓）を書き込むと、(2)の解答ミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ρ-xグラフ → y-xグラフへの変換:
  • 選定理由: (1)で問われている「変位」に関する情報を得るため。与えられているのは「密度」の情報なので、両者を結びつける変換が必要になります。
  • 適用根拠: 縦波の物理的定義そのものです。密部・疎部では媒質が集合・拡散するため変位できずゼロになる、という原理に基づきます。
• y-xグラフと媒質の速度の関係:
  • 選定理由: (2)で問われている「速度」を、(1)で作成したy-xグラフから導出するため。
  • 適用根拠: 媒質の運動が単振動であるというモデルに基づいています。速度の向きは、「波は形を保ったまま進む」という波の基本性質から導かれます。
• （別解）\(v_y \propto \Delta \rho\) の関係式:
  • 選定理由: (2)を、y-xグラフを経由せずに、ρ-xグラフから直接解くため。より迅速な解法として選択します。
  • 適用根拠: これは波動の連続の式と運動方程式から導かれる、より高度な物理法則ですが、結果（同位相）は直感的なイメージ（密＝押す、疎＝引く）とも一致し、高校物理では結論を知識として用いることが許容されています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 最大変位位置の特定:
   • 戦略: ρ-xグラフをy-xグラフに変換し、グラフから読み取る。
   • フロー: ①ρ-xグラフの密部（\(x_8\)）と疎部（\(x_4\)）を特定 → ②これらの点では変位\(y=0\)とプロット → ③密部と疎部の中間点（\(x_2, x_6\)）で変位が最大になると判断 → ④\(x_6\)付近では媒質が右（正）に変位し、\(x_2\)付近では左（負）に変位すると判断 → ⑤y-xグラフを完成させ、\(y\)が正で最大となる\(x_6\)を解答とする。
2. (2) 正の最大速度位置の特定:
   • 戦略: y-xグラフ上で、変位がゼロの点の中から、速度が正の向きの点を探す。
   • フロー: ①y-xグラフ上で変位\(y=0\)の点（\(x_4, x_8\)）を速度最大の候補として特定 → ②波が右に進むので、各点の速度の向きを「少し左側の点の変位」で判断 → ③\(x_4\)では左側の\(y<0\)なので速度は負。\(x_8\)では左側の\(y>0\)なので速度は正。 → ④速度が正で最大となる\(x_8\)を解答とする。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• この問題には数値計算はありませんが、「作図ミス」「判断ミス」が計算ミスに相当します。
• グラフ変換の定型化: ρ-xグラフからy-xグラフへの変換は、毎回ゼロから考えるのではなく、「cos型→-sin型」のようにパターンとして覚えておくと、ミスが減り、時間も短縮できます。ただし、なぜそうなるのかという物理的理由は必ず理解しておきましょう。
• チェックリストの作成: 問題を解いた後、以下の項目をセルフチェックする習慣をつけましょう。
  • グラフの種類は正しく認識したか？
  • 波の進行方向は考慮したか？
  • 問われているのは変位か、速度か？
  • 速度の向きの判断方法は正しかったか？
  • （別解）密度と速度の関係は正しく適用できたか？

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 変位: \(x_6\)は疎部\(x_4\)と密部\(x_8\)の中間にあります。疎部から逃げ出し、密部に向かって押し寄せられる途中の点なので、変位が大きくなるのは物理的に妥当です。
  • (2) 速度: \(x_8\)は最も密な点です。媒質が最も圧縮されているということは、そこから次の媒質を最も強く押す（＝最も速く動く）状態にあると解釈でき、物理的直感と一致します。
• 別解との比較:
  • (2)の答え\(x_8\)は、y-xグラフから速度の向きを判断する方法と、ρ-xグラフから直接「密部では速度が正」と判断する方法の、全く異なる2つのアプローチで一致しました。これは、解答の正しさを強力に裏付けています。どちらか一方の解法で自信がない場合でも、もう一方の解法で検算することができます。

233 波の反射と重ね合わせ

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、x軸上を伝わるパルス波が自由端で反射する際の波形を、指定された時刻において作図する問題です。波の進行、自由端反射の性質、そして重ね合わせの原理という、波の基本的な3つの要素を組み合わせて解く能力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「パルス波の自由端反射と重ね合わせの原理」です。入射波が壁で反射して反射波となり、入射波と反射波が重なり合って観測される合成波を求める、という一連のプロセスを正確に作図することが目標です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

時刻\(t=4 \text{ s}\)の波形の作図

思考の道筋とポイント
時刻\(t=4 \text{ s}\)の波形を求める問題です。波は進み、壁で反射し、入射波と反射波が重なり合います。この一連の現象をステップバイステップで正確に作図することが求められます。この問題を解く最も効率的で間違いの少ない方法は、反射波を仮想的に作図する「作図法」を用いることです。
この設問における重要なポイント

• 波の移動距離の計算: まず、\(4 \text{ s}\)間で波がどれだけ進むかを計算します。距離 = 速さ × 時間。
• 入射波の作図（仮想）: 反射がないものとして、\(t=0 \text{ s}\)の波形を計算した距離だけ進行方向に平行移動させます。これを「仮想的な入射波」と呼びます。
• 反射波の作図: 自由端反射の場合、反射波は「仮想的な入射波」が反射面を越えた部分を、反射面（この場合はy軸）に対して線対称に折り返した形になります。
• 合成波の作図: 最終的に観測される波形は、反射面の手前（\(x<0\)）にある「仮想的な入射波」と、作図した「反射波」を、重ね合わせの原理に従って足し合わせたものになります。

具体的な解説と立式
この問題は作図によって解きます。以下の3ステップで進めます。

ステップ1：\(t=4 \text{ s}\)における仮想的な入射波の作図

波は速さ\(v=1 \text{ m/s}\)でx軸正の向きに進みます。\(t=4 \text{ s}\)後の波の移動距離\(d\)は、
$$ d = v \times t = 1 \times 4 = 4 \text{ [m]} $$
したがって、\(t=0 \text{ s}\)の波形全体をx軸正の向きに\(4 \text{ m}\)だけ平行移動させます。これが、もし反射面がなかった場合に\(t=4 \text{ s}\)に存在するであろう「仮想的な入射波」です。この仮想的な入射波を点線で描きます。

ステップ2：\(t=4 \text{ s}\)における反射波の作図

自由端反射では、反射波は入射波の上下を反転させずに、左右だけを反転させた形になります。これは、作図上では、ステップ1で描いた「仮想的な入射波」のうち、反射面（\(x=0\)）を越えて\(x>0\)の領域にはみ出した部分を、反射面（y軸）を対称軸として折り返す（線対称移動する）ことで得られます。この反射波を別の点線で描きます。

ステップ3：\(t=4 \text{ s}\)における合成波の作図

観測される波形（合成波）は、入射波と反射波の重ね合わせによって決まります。

• \(x<0\)の領域では、「仮想的な入射波（ステップ1）」と「反射波（ステップ2）」の両方が存在するため、これらの変位を各点で足し合わせます。
• \(x>0\)の領域には、波は存在しません。

この足し算を実行し、最終的な合成波の波形を実線で描きます。

作図による足し算の過程を、特徴的な点の変位で確認します。
ステップ1、2で作図した\(t=4 \text{ s}\)における仮想的な入射波（\(y_{\text{入}}\)）と反射波（\(y_{\text{反}}\)）の変位を各点で読み取り、重ね合わせの原理に従って合成波の変位（\(y_{\text{合}}\)）を求めます。

\(x=-2 \text{ m}\)の点

仮想入射波の変位は \(y_{\text{入}} = -0.05 \text{ m}\)、反射波の変位は \(y_{\text{反}} = 0 \text{ m}\) です。したがって、合成波の変位は、
$$
\begin{aligned}
y_{\text{合}} &= y_{\text{入}} + y_{\text{反}} \\[2.0ex]
&= -0.05 + 0 \\[2.0ex]
&= -0.05 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

\(x=-1 \text{ m}\)の点

仮想入射波の変位は \(y_{\text{入}} = 0 \text{ m}\)、反射波の変位は \(y_{\text{反}} = 0.05 \text{ m}\) です。したがって、合成波の変位は、
$$
\begin{aligned}
y_{\text{合}} &= y_{\text{入}} + y_{\text{反}} \\[2.0ex]
&= 0 + 0.05 \\[2.0ex]
&= 0.05 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

\(x=0 \text{ m}\)の点（反射点）

仮想入射波の変位は \(y_{\text{入}} = 0.05 \text{ m}\)、反射波の変位は \(y_{\text{反}} = 0.05 \text{ m}\) です。したがって、合成波の変位は、
$$
\begin{aligned}
y_{\text{合}} &= y_{\text{入}} + y_{\text{反}} \\[2.0ex]
&= 0.05 + 0.05 \\[2.0ex]
&= 0.1 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
これらの点を結ぶと、最終的な合成波の波形が得られます。

1. もし壁がなかったら、波は4秒で4m右に進みます。まず、その「もしも」の波（仮想的な入射波）を薄く描きます。
2. 次に、壁の向こう側にはみ出した部分を、鏡に映すようにパタンと折り返して「反射波」を薄く描きます。自由端なので、上下はひっくり返しません。
3. 最後に、壁の手前にある「もしもの入射波」と「反射波」の2つの波を、各場所で高さを足し算します。これが本当に見える波（合成波）なので、これを実線で濃く描いて完成です。

作図の結果、\(t=4 \text{ s}\)における合成波は、\(x=-2 \text{ m}\)で変位\(-0.05 \text{ m}\)、\(x=-1 \text{ m}\)で変位\(0.05 \text{ m}\)、\(x=0 \text{ m}\)で変位\(0.1 \text{ m}\)となる折れ線の波形となります。特に、反射点である\(x=0\)では、入射波と反射波が強め合い、変位が大きくなっています。これは、壁が自由に動ける自由端反射の特徴であり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の独立性と重ね合わせの原理:
  • 核心: 複数の波が出会っても、互いに影響を与えずに通り過ぎ（波の独立性）、重なり合った点の変位は各波の変位のベクトル和になる（重ね合わせの原理）。この問題では、入射波と反射波という2つの波の足し算によって、観測される合成波が決定されます。これが現象を理解する上での最も根幹となる法則です。
  • 理解のポイント: 作図問題では、各波を別々のものとして描き、最後に機械的に足し算するという手順が、この原理を具体化したものです。
• 反射の法則（自由端・固定端）:
  • 核心: 波が境界で反射する際のルールを理解すること。この問題は「自由端反射」であり、波の山谷は反転せず、進行方向のみが逆になります。作図上では、反射面に対して「線対称」に折り返す操作に対応します。
  • 理解のポイント: 自由端反射は「壁が波に合わせて自由に動ける」状態です。入射波が壁を押し上げようとすると、壁は素直に押し上げられ、その動きが反射波となって返っていきます。だから山は山のまま反射します。これと対比して、固定端反射（山が谷になって返る、作図上は点対称）のルールも必ずセットで覚えておきましょう。
• 作図法（仮想波を用いる方法）:
  • 核心: 反射の問題を解くための、最も強力で実践的なテクニックです。反射を「壁の向こう側に仮想的な波源があり、そこから壁を透過してくる波」と見なす考え方です。
  • 理解のポイント: ①反射がないものとして入射波を進める（仮想的な入射波）、②壁を越えた部分を反射の法則に従って折り返す（反射波）、③壁の手前で入射波と反射波を重ねる（合成波）、という3ステップの手順を完全にマスターすることが、この種の作図問題を解く鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 固定端反射: この問題の「自由端」が「固定端」に変わっただけの問題。作図法のステップ②で、波を「線対称」ではなく「点対称」に折り返す点だけが異なります。
  • 連続波（正弦波など）の反射: パルス波ではなく、連続的な波が反射する問題。定常波（定在波）が生成される過程を問われます。作図法は全く同じように適用でき、入射波と反射波を重ねることで、節や腹の位置を特定できます。
  • 透過を伴う反射: 屈折率の異なる媒質の境界での反射と透過。入射波の一部が反射し、一部が透過する問題。反射波の作図は同じですが、透過波も考える必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 反射の種類を最優先で確認する: 「自由端」か「固定端」か。この一言で作図のルールが根本的に変わるため、絶対に見落とさないようにします。
  2. 時刻と速さから移動距離を計算する: まず「波が何メートル進むのか」を確定させます。これが作図の第一歩です。
  3. 反射面の位置を確認する: 反射面が\(x=0\)なのか、他の座標なのかを確認します。折り返しの基準となる軸を間違えないように注意します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 自由端と固定端のルールの混同:
  • 誤解: 自由端反射なのに、波の上下を反転させてしまう（固定端と間違える）。
  • 対策: 「自由＝反転しない」「固定＝反転する」と明確に覚えましょう。「自由端は腹、固定端は節」という定常波との関連で覚えるのも有効です。
• 重ね合わせの際の計算ミス:
  • 誤解: 入射波と反射波の足し算を、特定の一点だけで行い、他の部分の形状を適当に描いてしまう。
  • 対策: 波形が折れ線で与えられている場合、その角となる点（特徴的な点）をいくつか選び、それぞれの点で丁寧に足し算を実行します。その後、それらの点を直線で結ぶことで、正確な合成波の形が得られます。
• 仮想的な入射波と実際の入射波の混同:
  • 誤解: 作図のステップ③で、仮想的な入射波全体と反射波を重ねてしまう。
  • 対策: 重ね合わせを行うのは、波が実際に存在する領域（この問題では\(x<0\)）のみです。仮想的な入射波のうち、反射面を越えた部分は、あくまで反射波を作るための「下書き」であり、実際の波ではありません。作図の際は、仮想的な波は点線で、最終的な合成波は実線で描くなど、明確に区別しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 鏡のイメージ: 反射面を「鏡」と見なすイメージが非常に有効です。
    • 自由端反射: 普通の鏡。鏡の向こうに、左右対称な「像」としての波が見える。この像が反射波の正体です。
    • 固定端反射: 上下も左右も反転する不思議な鏡。鏡の向こうに、点対称な「像」が見える。
  • 作図の3ステップを色分けする:
    1. 仮想的な入射波を「青の点線」で描く。
    2. 反射波を「赤の点線」で描く。
    3. 合成波を「黒の実線」で描く。

    このように色分けすることで、どの波を足し合わせているのかが視覚的に明確になり、ミスを防げます。

• 図を描く際に注意すべき点:
  • 目盛りを正確に: x軸、y軸の目盛りを正確に描き、波形の特徴的な点の座標をプロットすることで、作図の精度が上がります。
  • 補助線を活用する: 重ね合わせの計算をする際に、各点の変位の値を縦方向に補助線で示し、その長さを足し合わせるように作図すると、視覚的に計算しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の進行距離の式 (\(d=vt\)):
  • 選定理由: 指定された時間後に、波形がどこまで移動しているかを特定するため。作図の最初のステップとして必須の計算です。
  • 適用根拠: 速さが一定の運動における、距離、速さ、時間の基本的な関係式です。
• 重ね合わせの原理 (\(y_{\text{合}} = y_{\text{入}} + y_{\text{反}}\)):
  • 選定理由: 入射波と反射波が同時に存在する領域で、実際に観測される変位を決定するため。
  • 適用根拠: 線形な系（変位が小さい場合の波など）で広く成り立つ物理学の基本原理です。波の変位を表す波動方程式が線形微分方程式であることに由来します。
• 自由端反射の作図法（線対称）:
  • 選定理由: 反射波の形状を、仮想的な入射波から簡単かつ正確に導出するための、確立された手法だからです。
  • 適用根拠: これは、境界条件（自由端では変位の空間微分がゼロ）を満たす波動方程式の解が、このような対称性を持つことに基づいています。高校物理では、この数学的背景よりも、結果としての作図ルールを使いこなすことが重視されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (全体) 合成波の作図:
   • 戦略: 仮想波を用いた作図法により、入射波と反射波を個別に描き、最後に重ね合わせる。
   • フロー:
     1. 移動距離計算: \(d = vt = 1 \times 4 = 4 \text{ m}\) を計算。
     2. 仮想入射波の作図: \(t=0\)の波形を右に\(4 \text{ m}\)平行移動させ、点線で描く。
     3. 反射波の作図: 仮想入射波の\(x>0\)の部分を、y軸に対して線対称に折り返し、別の点線で描く。
     4. 合成波の作図: \(x<0\)の領域で、仮想入射波と反射波の変位を各点で足し算する。特徴的な点（\(x=-2, -1, 0\)など）で計算し、それらを結んで実線で描く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• グラフの読み取りを慎重に: 元の波形や、作図途中の波形の座標と変位を正確に読み取ることが、計算ミスの防止につながります。特に、直線の傾きや切片を読み間違えないように注意しましょう。
• 分数のまま計算する: 座標や変位が分数になる場合、途中で小数に直さず、分数のまま計算を進めた方が正確な結果を得られることが多いです。
• 作図の丁寧さ: フリーハンドで描く場合でも、定規を使うなどして直線をきれいに描き、座標軸との交点などを明確にすることで、視覚的な勘違いによるミスを防げます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 自由端の動き: 自由端（\(x=0\)）は、波の振動に対して最も自由に動ける点（定常波の「腹」になる点）です。したがって、合成波の変位が大きくなるのは自然です。今回の結果では、\(x=0\)で変位が\(0.1 \text{ m}\)となっており、妥当な結果と言えます。
  • 波のエネルギー: 反射後も波の振幅（山の高さや谷の深さ）が大きく変わっていないことから、エネルギーが保存されている様子がうかがえます。
• 別解との比較:
  • この問題では、メインの「作図法」と、別解の「時系列で追う方法」があります。両方のアプローチで同じ結果が得られることを確認できれば、解答の正しさに対する信頼性は格段に向上します。試験本番では一つの方法で解き、見直しの際に別のアプローチで検算する、という使い方が有効です。

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