無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「波形グラフから波の式を立てる」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「波形グラフからの物理量の読み取りと波の式の立式」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
振幅\(A\)、波長\(\lambda\)、周期\(T\)を求める問題です。振幅と波長は、与えられた時刻\(t=0\)の波形グラフ（y-xグラフ）から直接読み取ることができます。周期\(T\)はグラフからは直接読み取れないため、問題文で与えられている波の速さ\(v\)と、グラフから読み取った波長\(\lambda\)を用いて、波の基本公式 \(v = \lambda/T\) から計算します。
この設問における重要なポイント

• 振幅\(A\)は、y-xグラフにおける変位\(y\)の最大値（山の高さ）である。
• 波長\(\lambda\)は、y-xグラフにおける波1つ分の長さである。
• 周期\(T\)は、波の基本公式 \(v = f\lambda = \lambda/T\) を使って計算する。

具体的な解説と立式
与えられた\(t=0\)のy-xグラフから、物理量を読み取ります。
振幅\(A\): グラフの変位の最大値から、\(A = 0.20\) [m] です。
波長\(\lambda\): グラフで、原点(\(x=0\))から始まり、山と谷を1つずつ越えて再び変位が0になる点(\(x=4.0\))までが1波長です。したがって、\(\lambda = 4.0\) [m] です。

次に、周期\(T\)を求めます。波の速さ\(v\)、波長\(\lambda\)、周期\(T\)の間には次の関係があります。
$$ v = \frac{\lambda}{T} $$
この式を\(T\)について解くと、
$$ T = \frac{\lambda}{v} \quad \cdots ① $$

問題文より \(v = 5.0\) m/s、グラフより \(\lambda = 4.0\) m なので、これらを式①に代入します。
$$ T = \frac{4.0}{5.0} = 0.80 \text{ [s]} $$

グラフの見た目から、波の高さである「振幅」と、波の1サイクルの長さである「波長」を読み取ります。次に、「周期」（1回の振動にかかる時間）は、波が1波長分進むのにかかる時間と同じです。「時間＝距離÷速さ」なので、「周期＝波長÷速さ」で計算できます。

この波の振幅は \(0.20\) m、波長は \(4.0\) m、周期は \(0.80\) s です。それぞれの物理量と単位が正しく対応しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
原点(\(x=0\))の媒質の時間変化（y-tグラフ）とその式を求める問題です。y-tグラフを描くには、まず原点の媒質が\(t=0\)の直後にどちらに動くかを知る必要があります。これは、波の進行方向から判断します。波がx軸正の向きに進むので、少し時間が経ったときの原点の変位は、\(t=0\)のときの少し左側の点の変位と同じになります。これによって振動の開始パターン（\(\sin\)型か\(-\sin\)型かなど）を決定し、グラフと式を作成します。
この設問における重要なポイント

• 波の進行方向から、特定の点の媒質の振動の向きを判断する。
• y-tグラフは、振幅\(A\)と周期\(T\)を持つ単振動のグラフである。
• \(t=0\)での変位と、その直後の動きから、単振動の式（\(A\sin\omega t\), \(-A\sin\omega t\), \(A\cos\omega t\)など）の形を決定する。

具体的な解説と立式
まず、原点(\(x=0\))の媒質の動きを考えます。
\(t=0\)のy-xグラフを見ると、原点では \(y=0\) です。
波はx軸の正の向きに進むので、少し時間が経った後の波形は、現在の波形を少し右にずらしたものになります。このとき、原点(\(x=0\))の位置の変位は、元の波形の少し左側(\(x<0\))の変位を見ればわかります。グラフで\(x\)がわずかに負の領域を見ると、\(y\)は負の値をとっています。
したがって、原点の媒質は\(t=0\)の直後、y軸の負の向きに動き始めます。

この情報をもとに、原点のy-tグラフを描きます。

• 縦軸を\(y_0\)、横軸を\(t\)とします。
• \(t=0\)で\(y_0=0\)から始まり、負の方向に変位します。
• \(t=T/4 = 0.80/4 = 0.20\) s で最小値 \(-A = -0.20\) m になります。
• \(t=T/2 = 0.40\) s で再び \(y_0=0\) になります。
• \(t=3T/4 = 0.60\) s で最大値 \(A = 0.20\) m になります。
• \(t=T = 0.80\) s で \(y_0=0\) に戻ります。

このグラフは、\(-\sin\)型のカーブを描きます。

次に、この単振動を式で表します。振幅が\(A\)、角振動数が\(\omega\)の\(-\sin\)型の振動は、
$$ y_0(t) = -A \sin(\omega t) $$
と表せます。ここで、角振動数\(\omega\)は周期\(T\)と \(\omega = 2\pi/T\) の関係にあります。
(1)より \(A=0.20\) m, \(T=0.80\) s なので、
$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.80} = 2.5\pi \text{ [rad/s]} $$
よって、求める式は、
$$ y_0(t) = -0.20 \sin(2.5\pi t) \quad \cdots ② $$

(グラフは省略し、式の導出のみ示す)
上記「具体的な解説と立式」の通り、原点の振動は振幅\(A=0.20\) m、周期\(T=0.80\) s の\(-\sin\)型振動である。
角振動数\(\omega\)は、
$$ \omega = \frac{2\pi}{0.80} = 2.5\pi $$
よって、式は、
$$ y_0(t) = -0.20 \sin(2.5\pi t) $$

まず、原点の動きを調べます。波が右にスライドしていくのを想像すると、原点の位置はまず下に沈んでいくことがわかります。この「ゼロから始まって下に動く」動きは、数学の\(-\sin\)グラフと同じです。なので、原点の動きを表す式は \(y = -A \sin(\omega t)\) の形になります。あとは(1)で求めた振幅\(A\)と周期\(T\)を使って、\(\omega = 2\pi/T\) を計算し、式に代入すれば完成です。

原点の変位を表すグラフは\(-\sin\)カーブ、式は \(y_0(t) = -0.20 \sin(2.5\pi t)\) となります。この式に\(t=0\)を代入すると\(y_0=0\)、\(t\)がわずかに正の値をとると\(y_0\)は負となり、物理的な状況と一致しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
任意の座標\(x\)、時刻\(t\)における変位\(y(x,t)\)を表す式を作る問題です。基本的な考え方は、「点\(x\)の振動は、原点の振動が、波がそこまで伝わる時間だけ遅れて起こる」というものです。波の速さは\(v\)なので、原点から点\(x\)まで波が伝わるのにかかる時間は \(\Delta t = x/v\) です。したがって、(2)で求めた原点の振動の式 \(y_0(t)\) の時刻\(t\)を、\((t – x/v)\)で置き換えれば、\(y(x,t)\)の式が得られます。
この設問における重要なポイント

• x軸正方向に進む波では、点\(x\)の振動は原点の振動より時間 \(\Delta t = x/v\) だけ遅れる。
• この「時間の遅れ」は、式の\(t\)を\((t – \Delta t)\)で置き換えることで表現できる。
• 最終的に、波の式の標準形 \(y = A \sin 2\pi(\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda} + \dots)\) の形に整理する。

具体的な解説と立式
点\(x\)における時刻\(t\)の変位 \(y(x,t)\) は、原点における時刻 \((t – x/v)\) の変位 \(y_0(t-x/v)\) に等しい。
$$ y(x,t) = y_0\left(t – \frac{x}{v}\right) $$
(2)で求めた式 \(y_0(t) = -0.20 \sin(2.5\pi t)\) を用いて、
$$ y(x,t) = -0.20 \sin\left(2.5\pi \left(t – \frac{x}{v}\right)\right) $$
ここに、\(v=5.0\) m/s を代入します。
$$ y(x,t) = -0.20 \sin\left(2.5\pi \left(t – \frac{x}{5.0}\right)\right) \quad \cdots ③ $$
この式をさらに整理し、標準的な形にします。
$$
\begin{aligned}
y(x,t) &= -0.20 \sin\left(2.5\pi t – \frac{2.5\pi}{5.0}x\right) \\[2.0ex]
&= -0.20 \sin(2.5\pi t – 0.50\pi x)
\end{aligned}
$$
また、\(T=0.80\) s, \(\lambda=4.0\) m の関係を使うと、\(2.5\pi = 2\pi/T\), \(0.50\pi = 2\pi/\lambda\) なので、
$$ y(x,t) = -0.20 \sin\left(\frac{2\pi}{T}t – \frac{2\pi}{\lambda}x\right) = -0.20 \sin 2\pi\left(\frac{t}{T} – \frac{x}{\lambda}\right) $$
数値を代入した形では、
$$ y(x,t) = -0.20 \sin 2\pi\left(\frac{t}{0.80} – \frac{x}{4.0}\right) $$

上記「具体的な解説と立式」の通り、(2)の答えの\(t\)を\((t-x/v)\)で置き換える。
$$
\begin{aligned}
y(x,t) &= y_0(t-x/v) \\[2.0ex]
&= -0.20 \sin\left(2.5\pi \left(t – \frac{x}{5.0}\right)\right) \\[2.0ex]
&= -0.20 \sin 2\pi\left(\frac{t}{0.80} – \frac{x}{4.0}\right)
\end{aligned}
$$

ある場所(\(x\))の揺れは、原点の揺れを録画したビデオを、波が届くまでの時間（距離\(x\)÷速さ\(v\)）だけ遅れて再生したものと同じです。数式で「時間を遅らせる」には、\(t\) を \((t – \text{遅れる時間})\) に書き換えるだけでOKです。(2)で作った原点の式にこの操作をすれば、いつでもどこでも変位がわかる万能な式が完成します。

座標\(x\)、時刻\(t\)における変位を表す式は \(y(x,t) = -0.20 \sin 2\pi\left(\frac{t}{0.80} – \frac{x}{4.0}\right)\) となる。この式に\(t=0\)を代入すると \(y(x,0) = -0.20 \sin(-\frac{2\pi x}{4.0}) = 0.20 \sin(\frac{\pi x}{2})\) となり、与えられたグラフの形と一致するため、妥当な式である。

問(4)

思考の道筋とポイント
(3)で導出した一般式に、指定された時刻 \(t=2.0\) s と位置 \(x=31\) m を代入して変位\(y\)の値を計算する問題です。計算過程で\(\sin\)の中の位相が大きくなりますが、\(\sin\)の周期性（\(2\pi\)ごとに同じ値をとる）を利用して、計算しやすい角度に変換するのがコツです。
この設問における重要なポイント

• 導出した一般式に、具体的な数値を代入して計算する。
• \(\sin\)関数の周期性 \(\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta\) （\(n\)は整数）を利用して計算を簡略化する。

具体的な解説と立式
(3)で求めた式に、\(t=2.0\) s, \(x=31\) m を代入します。
$$ y = -0.20 \sin 2\pi\left(\frac{2.0}{0.80} – \frac{31}{4.0}\right) \quad \cdots ④ $$

式④の\(\sin\)の中の計算を進めます。
$$ \frac{2.0}{0.80} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5 $$
$$ \frac{31}{4.0} = 7.75 $$
よって、
$$
\begin{aligned}
y &= -0.20 \sin 2\pi(2.5 – 7.75) \\[2.0ex]
&= -0.20 \sin 2\pi(-5.25) \\[2.0ex]
&= -0.20 \sin(-10.5\pi)
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\) の関係を使うと、
$$ y = 0.20 \sin(10.5\pi) $$
さらに、\(\sin\)の周期が\(2\pi\)であることを利用して、\(10.5\pi = 10\pi + 0.5\pi = 5 \times (2\pi) + \pi/2\) と分解します。
$$ \sin(10.5\pi) = \sin\left(5 \times 2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $$
したがって、求める変位は、
$$ y = 0.20 \times 1 = 0.20 \text{ [m]} $$

(3)で作った万能レシピに、\(t=2.0\), \(x=31\) という材料を代入して計算します。\(\sin\)の中の数字が大きくなりますが、\(\sin\)はぐるぐる回る円の動きのようなものなので、何周もした後の角度は、最後の半端な角度だけ考えればOKです。計算すると、最終的に\(\sin(90^\circ)\)と同じ値になるので、答えが求まります。

時刻 \(t=2.0\) s, \(x=31\) m での変位は \(0.20\) m となった。これは振幅の最大値であり、物理的にありえる値です。
物理的に吟味してみましょう。
\(t=0\)のとき、\(x=31\) m の点の変位は \(y(31,0) = 0.20 \sin(\pi \times 31 / 2) = 0.20 \sin(15.5\pi) = -0.20\) m。つまり、谷の底にいます。
そこから \(t=2.0\) s 経過します。周期は \(T=0.80\) s なので、\(2.0 / 0.80 = 2.5\) 周期分、時間が経過したことになります。
谷の底にいる媒質は、\(0.5\)周期後に山の頂点に、\(1\)周期後に元の谷の底に戻ります。
\(2.5\)周期後には、\(2\)周期で元に戻り、さらに\(0.5\)周期進むので、谷の底から山の頂点に移動します。
よって、変位は \(+0.20\) m となり、計算結果と一致します。

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