「重要問題集」徹底解説（66〜70問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題66 (近畿大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、熱機関の基本的な概念である「熱効率」、そしてその熱機関を利用した「仕事」について問うています。前半(1)～(3)は熱機関そのものの熱と仕事の関係を、後半(4)～(5)はその熱機関を動力源とするポンプの仕事に関する問題です。
この問題の核心は、熱機関のエネルギー収支（\(Q_1 = W + Q_2\)）と熱効率の定義（\(e = W/Q_1\)）を正しく理解し、具体的な数値を当てはめて計算することです。また、仕事の単位[J]と熱量の単位[J]が同じエネルギーの単位であることを認識することも重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱機関の効率」と「仕事」です。熱力学第一法則の応用として、熱機関のエネルギーの流れを正しく把握することが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 熱機関のエネルギー保存: 高熱源から吸収した熱量\(Q_1\)の一部が仕事\(W\)に変換され、残りが低熱源に熱量\(Q_2\)として排出されます。関係式は \(Q_1 = W + Q_2\) です。
2. 熱効率の定義: 熱機関が吸収した熱量\(Q_1\)のうち、どれだけの割合が仕事\(W\)に変換されたかを示す指標です。定義式は \(e = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1}\) です。
3. 潜熱（蒸発熱）: 物質が状態変化する際にやり取りする熱量です。質量\(m\)の物質が状態変化するのに必要な熱量は \(Q = mL\)（\(L\)は蒸発熱などの潜熱）で計算します。
4. 仕事の計算: ポンプが水を持ち上げる仕事は、水の位置エネルギーの増加分に等しく、\(W = mgh\) で計算できます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、低熱源で起こっている現象（水蒸気→水）に着目し、放出される熱量\(Q_2\)を潜熱の計算から求めます（問1）。
2. 次に、熱効率の定義式 \(e = (Q_1 – Q_2) / Q_1\) を用いて、吸収した熱量\(Q_1\)を逆算します（問2）。
3. \(W = Q_1 – Q_2\) の関係から1秒あたりの仕事（仕事率）を求め、指定された時間（10分）を掛けて総仕事量を計算します（問3）。
4. 後半は、ポンプの仕事です。位置エネルギーの増加分として、特定の体積の水を持ち上げるのに必要な仕事を計算します（問4）。
5. 最後に、(3)で求めた熱機関が供給できる総仕事量と、(4)で求めた単位体積あたりの仕事量から、くみ出せる水の総体積を求めます（問5）。

問(1)

思考の道筋とポイント
低熱源へ放出される熱量 \(Q_2\) は、100℃の水蒸気が100℃の水になるときに放出する熱量（凝縮熱）に等しいです。これは、水の蒸発熱を用いて計算できます。

この設問における重要なポイント

• 放出される熱量は、状態変化に伴う潜熱である。
• 100℃の水蒸気 \(\rightarrow\) 100℃の水 の変化で放出される熱量は、蒸発熱に等しい。
• 単位の換算（kg \(\rightarrow\) g）に注意する。

具体的な解説と立式

• 毎秒状態変化する水の質量: \(m = 2.0\) kg \(= 2.0 \times 10^3\) g
• 水の蒸発熱: \(L_v = 2.3 \times 10^3\) J/g

毎秒放出される熱量 \(Q_2\) は、潜熱の公式 \(Q=mL\) を用いて計算します。
$$Q_2 = m L_v$$

$$
\begin{aligned}
Q_2 &= (2.0 \times 10^3) \times (2.3 \times 10^3) \\[2.0ex]
&= 4.6 \times 10^6 \text{ J}
\end{aligned}
$$

この熱機関では、仕事が終わった後の「燃えカス」である100℃の水蒸気を、100℃の水に戻すことで熱を捨てています。このとき放出される熱の量は、「質量 × 蒸発熱」で計算できます。問題文で与えられた数値を代入して計算します。

毎秒放出される熱量は \(4.6 \times 10^6\) J です。これは、熱機関が外部に捨てている熱エネルギーの量に相当します。

問(2)

思考の道筋とポイント
熱効率の定義式 \(e = \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1}\) を用いて、高熱源から取り入れる熱量 \(Q_1\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 熱効率の公式を正しく使えること。
• 未知数が \(Q_1\) のみの方程式を立てて解く。

具体的な解説と立式

• 熱効率: \(e = 15\% = 0.15\)
• 低熱源へ放出する熱量: \(Q_2 = 4.6 \times 10^6\) J （問(1)の結果）

熱効率の公式は、
$$e = \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1}$$
数値を代入すると、
$$0.15 = \frac{Q_1 – 4.6 \times 10^6}{Q_1}$$

この方程式を \(Q_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0.15 Q_1 &= Q_1 – 4.6 \times 10^6 \\[2.0ex]
Q_1 – 0.15 Q_1 &= 4.6 \times 10^6 \\[2.0ex]
0.85 Q_1 &= 4.6 \times 10^6 \\[2.0ex]
Q_1 &= \frac{4.6 \times 10^6}{0.85} \\[2.0ex]
Q_1 &= 5.411… \times 10^6
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(5.4 \times 10^6\) J となります。

この熱機関の「燃費」（熱効率）は15%です。これは、取り入れた熱のうち15%しか仕事にならず、残りの85%は捨てられることを意味します。(1)で計算した「捨てられた熱量 \(Q_2\)」が、全体の85%に相当するわけではありません。計算式に当てはめて解くのが確実です。

毎秒取り入れる熱量は \(5.4 \times 10^6\) J です。捨てた熱量 \(4.6 \times 10^6\) J よりも大きい値であり、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
熱機関が10分間にする仕事を求めます。まず、1秒あたりにする仕事（仕事率）を求め、それに時間（10分 = 600秒）を掛けます。

この設問における重要なポイント

• 1秒あたりの仕事 \(W\) は \(W = Q_1 – Q_2\)。
• 総仕事量は、(1秒あたりの仕事) × (時間)。
• 時間の単位を秒に換算する（10分 = 600秒）。

具体的な解説と立式

• 1秒あたりの仕事 \(W\):
  $$W = Q_1 – Q_2$$
• 10分間の総仕事量 \(W_{total}\):
  $$W_{total} = W \times (10 \times 60)$$

まず、1秒あたりの仕事を計算します。計算の途中なので、有効数字を1桁多くとって計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= 5.41 \times 10^6 – 4.6 \times 10^6 \\[2.0ex]
&= 0.81 \times 10^6 \text{ J/s}
\end{aligned}
$$
次に、10分間の総仕事量を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{total} &= (0.81 \times 10^6) \times (10 \times 60) \\[2.0ex]
&= (0.81 \times 10^6) \times 600 \\[2.0ex]
&= 486 \times 10^6 \\[2.0ex]
&= 4.86 \times 10^8
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(4.9 \times 10^8\) J となります。

「取り入れた熱量」から「捨てた熱量」を引いた差額が、実際に仕事になったエネルギーです。まず、この「1秒あたりにできる仕事」を計算します。そして、10分間ではその何倍の仕事ができるかを、時間を掛けることで計算します。

10分間にする仕事は \(4.9 \times 10^8\) J です。

問(4)

思考の道筋とポイント
ポンプが1m³の水を45mの高さまで持ち上げるのに必要な仕事を計算します。この仕事は、持ち上げた水の位置エネルギーの増加分に等しいです。

この設問における重要なポイント

• 仕事は位置エネルギーの増加分に等しい: \(W = mgh\)。
• 1m³の水の質量を計算する必要がある（水の密度 \(\rho = 1.0 \times 10^3\) kg/m³）。

具体的な解説と立式

• 持ち上げる水の体積: \(V = 1.0\) m³
• 水の密度: \(\rho = 1.0 \times 10^3\) kg/m³
• 持ち上げる水の質量: \(m = \rho V = (1.0 \times 10^3) \times 1.0 = 1.0 \times 10^3\) kg
• 持ち上げる高さ: \(h = 45\) m
• 重力加速度: \(g = 9.8\) m/s²

必要な仕事 \(W_{pump}\) は、
$$W_{pump} = mgh$$

$$
\begin{aligned}
W_{pump} &= (1.0 \times 10^3) \times 9.8 \times 45 \\[2.0ex]
&= 441 \times 10^3 \\[2.0ex]
&= 4.41 \times 10^5
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(4.4 \times 10^5\) J となります。

ポンプの仕事は、水を高いところに持ち上げることです。このとき、水の位置エネルギーが増加します。この「増えた位置エネルギー」の分だけ、ポンプは仕事をしたことになります。位置エネルギーは「質量 × 重力加速度 × 高さ」で計算できます。

1m³の水を排出するのに必要な仕事は \(4.4 \times 10^5\) J です。

問(5)

思考の道筋とポイント
10分間にくみ出せる水の体積を求めます。これは、熱機関が10分間に供給できる総仕事量（(3)の結果）を、1m³の水をくみ出すのに必要な仕事量（(4)の結果）で割ることで計算できます。

この設問における重要なポイント

• (くみ出せる総体積) = (利用できる総仕事量) / (単位体積あたりの仕事量)

具体的な解説と立式

• 10分間に熱機関ができる総仕事: \(W_{total} = 4.86 \times 10^8\) J （(3)の有効数字を増やした値）
• 1m³の水をくみ出すのに必要な仕事: \(W_{pump} = 4.41 \times 10^5\) J （(4)の有効数字を増やした値）

求める水の体積を \(V_{total}\) とすると、
$$V_{total} = \frac{W_{total}}{W_{pump}}$$

$$
\begin{aligned}
V_{total} &= \frac{4.86 \times 10^8}{4.41 \times 10^5} \\[2.0ex]
&= 1.102… \times 10^3
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(1.1 \times 10^3\) m³ となります。

(3)で、この熱機関が10分間にどれだけの仕事ができるかがわかっています。(4)で、1m³の水をくみ出すのにどれだけの仕事が必要かがわかっています。したがって、割り算をすることで、10分間の総仕事量で、何m³の水をくみ出せるかが計算できます。

10分間にくみ出せる水の体積は \(1.1 \times 10^3\) m³ です。これは25mプール約3杯分に相当する量で、トンネル工事の排水量としては現実的なオーダーかもしれません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則（熱機関への応用）:
  • 核心: 熱機関は、高温の熱源から熱量\(Q_1\)を吸収し、その一部を外部への仕事\(W\)に変換し、残りの熱量\(Q_2\)を低温の熱源へ排出する装置です。このエネルギーの流れは、エネルギー保存則（熱力学第一法則）によって \(Q_1 = W + Q_2\) と記述されます。
  • 理解のポイント: この問題では、まず低熱源へ排出される\(Q_2\)を計算し(1)、次に熱効率\(e\)の情報を使って高熱源から吸収した\(Q_1\)を求め(2)、最後に差をとって仕事\(W\)を計算する(3)、という流れになっています。このエネルギー収支の三者の関係を正確に理解することが全ての基本です。
• 熱効率の定義:
  • 核心: 熱機関の性能を表す指標が熱効率\(e\)です。これは、吸収した熱量\(Q_1\)のうち、どれだけの割合が有効な仕事\(W\)に変換されたかを示し、\(e = \frac{W}{Q_1}\) で定義されます。
  • 理解のポイント: \(W = Q_1 – Q_2\) の関係を使うと、熱効率は \(e = \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1} = 1 – \frac{Q_2}{Q_1}\) とも書き換えられます。この式は、「吸収した熱を100%仕事に変えることはできず（\(e<1\)）、必ず熱を捨てる必要がある（\(Q_2>0\)）」という熱力学第二法則の原理を示唆しています。(2)では、この定義式を\(Q_1\)についての方程式として解くことが求められます。
• 仕事とエネルギーの関係:
  • 核心: ある物体に仕事\(W\)をすると、その物体のエネルギーが\(W\)だけ変化します。後半のポンプの問題では、ポンプが水にした仕事が、水の持つ位置エネルギーの増加分に等しいと考えます。
  • 理解のポイント: (4)でポンプが水を持ち上げる仕事は、水の質量を\(m\)、持ち上げる高さを\(h\)として \(W=mgh\) で計算できます。これは、力学の仕事とエネルギーの関係が、熱機関のような熱力学的な装置と結びつけて出題される典型的なパターンです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • カルノーサイクル: 理想的な熱機関であるカルノーサイクルの問題。断熱変化と等温変化を組み合わせたサイクルで、その熱効率は \(e = 1 – \frac{T_2}{T_1}\) （\(T_1, T_2\)は高熱源と低熱源の絶対温度）で与えられます。
  • 冷凍機・ヒートポンプ: 熱機関の逆のサイクルで動く装置。外部から仕事をすることで、低温の物体から熱を奪い、高温の物体へ熱を移動させます。性能はCOP（成績係数）という指標で評価されます。
  • 発電所のエネルギー変換: 火力発電や原子力発電など、熱エネルギーを電気エネルギーに変換するプロセス全体を一つの熱機関とみなす問題。エネルギーの変換効率や、冷却水へ排出される熱量などが問われます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーの流れを図示する: 高熱源、熱機関、低熱源、そして外部への仕事の4つの要素を図で描き、\(Q_1\), \(Q_2\), \(W\) のエネルギーの流れを矢印で書き込むと、問題の構造が視覚的に理解しやすくなります。
  2. 単位時間あたりか、総量か？: 問題で与えられている量や問われている量が、「毎秒あたり」の量（仕事率[W]や熱流[J/s]）なのか、それともある時間における「総量」（仕事[J]や熱量[J]）なのかを明確に区別することが重要です。(3)や(5)では、この区別ができていないと計算を誤ります。
  3. 単位の統一: 熱量の問題では、質量が[g]で与えられたり[kg]で与えられたりします。比熱や潜熱の単位（J/gかJ/kgか）をよく確認し、計算前に単位を統一する習慣をつけましょう。この問題では、(1)でkgをgに換算する必要がありました。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 熱効率の式の誤用:
  • 誤解: 熱効率を \(e = W/Q_2\) や \(e = Q_2/Q_1\) のように、定義を間違えて覚えてしまっている。
  • 対策: 熱効率は「投入したエネルギーのうち、どれだけ有効活用できたか」という割合です。投入したエネルギーは\(Q_1\)、有効活用できたのは仕事\(W\)なので、\(e=W/Q_1\)が基本形であると意味で理解しましょう。
• \(Q_1\)と\(Q_2\)の取り違え:
  • 誤解: (1)で計算した放出熱量を\(Q_1\)だと勘違いし、(2)の計算で混乱する。
  • 対策: \(Q_1\)は高熱源から「吸収する」熱、\(Q_2\)は低熱源へ「排出する」熱です。必ず \(Q_1 > Q_2\) となります。問題文の「復水器（冷却器）で捨てられる」という記述から、(1)で求める熱量が\(Q_2\)であることを正確に読み取ることが重要です。
• 仕事率と仕事の混同:
  • 誤解: (3)で、1秒あたりの仕事\(W\)を計算しただけで満足してしまい、時間（600秒）を掛けるのを忘れる。
  • 対策: 問題文の「10分間にする仕事は」という問いかけを最後までよく読み、単位が[J]になるように計算しているかを確認しましょう。仕事率[J/s]に時間[s]を掛けることで、仕事[J]が得られます。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• サンキーダイアグラム（エネルギーの流れ図）:
  • 熱機関の問題では、エネルギーの流れを帯の太さで表現するサンキーダイアグラムを描くのが非常に有効です。左から太い帯で\(Q_1\)が入り、途中で細い帯が仕事\(W\)として分岐し、残りの帯が\(Q_2\)として右に抜けていく図を描くことで、\(Q_1 = W + Q_2\) の関係が直感的に理解できます。
• ポンプの仕事のイメージ化:
  • (4)では、ポンプが水を持ち上げる様子を具体的にイメージします。ポンプが水塊をゆっくりと持ち上げるとき、ポンプが加える上向きの力は、水塊にはたらく重力\(mg\)とつりあっています。この力で距離\(h\)だけ動かすので、仕事は \(W = (\text{力}) \times (\text{距離}) = mgh\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(Q=mL_v\) (潜熱の計算):
  • 選定理由: (1)で、100℃の水蒸気が100℃の水になるという「状態変化」で放出される熱量を計算するため。
  • 適用根拠: 温度が一定のまま、気体から液体へと相転移している物理的状況。
• \(e = (Q_1-Q_2)/Q_1\) (熱効率の定義):
  • 選定理由: (2)で、熱効率\(e\)と放出熱量\(Q_2\)が既知の状況で、吸収熱量\(Q_1\)という熱機関の基本的な性能値を求めるため。
  • 適用根拠: 問題の装置が、熱を仕事に変換する「熱機関」としてモデル化されているため。
• \(W=mgh\) (位置エネルギーの増加):
  • 選定理由: (4)で、ポンプが水を持ち上げるという「仕事」を計算するため。この仕事の結果、水の力学的なエネルギー（位置エネルギー）が増加します。
  • 適用根拠: 物体を重力に逆らって高さ\(h\)だけ持ち上げる際に、外力がする最小の仕事は、その物体の位置エネルギーの増加分に等しいという、仕事とエネルギーの原理。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 放出熱量\(Q_2\)の計算:
   • 戦略: 毎秒2.0kgの水蒸気が水になるときに放出する潜熱を計算する。
   • フロー: \(m = 2.0 \times 10^3\) g, \(L_v = 2.3 \times 10^3\) J/g \(\rightarrow\) \(Q_2 = mL_v\)。
2. (2) 吸収熱量\(Q_1\)の計算:
   • 戦略: 熱効率の定義式に、\(e=0.15\)と(1)で求めた\(Q_2\)を代入する。
   • フロー: \(0.15 = (Q_1 – Q_2)/Q_1\) \(\rightarrow\) この方程式を\(Q_1\)について解く。
3. (3) 10分間の仕事の計算:
   • 戦略: ①1秒あたりの仕事\(W = Q_1 – Q_2\)を計算する。②それに600秒を掛ける。
   • フロー: \(W = Q_1 – Q_2\) \(\rightarrow\) \(W_{total} = W \times 600\)。
4. (4) ポンプの仕事の計算:
   • 戦略: 1m³の水の質量を計算し、それを45m持ち上げるための位置エネルギーの増加分を計算する。
   • フロー: \(m = \rho V = 1.0 \times 10^3\) kg \(\rightarrow\) \(W_{pump} = mgh\)。
5. (5) くみ出せる水量の計算:
   • 戦略: 熱機関が10分間にできる総仕事量を、1m³の水をくみ出すのに必要な仕事量で割る。
   • フロー: \(V_{total} = W_{total} / W_{pump}\)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算の徹底: (1)でkgをgに直すのを忘れると、答えが1000倍ずれてしまいます。計算を始める前に、すべての量の単位が基本単位（SI単位系など）または問題内で整合性がとれた単位系に揃っているかを確認しましょう。
• 有効数字の扱い: 模範解答のヒントにもあるように、途中の計算では、最終的な答えの有効数字よりも1桁多くとって計算を進めると、丸め誤差によるズレを防ぐことができます。
• パーセントの換算: 熱効率15%は、計算で使う際には小数0.15に直す必要があります。基本的なことですが、焦っていると見落としがちです。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• エネルギーの大小関係: 必ず \(Q_1 > Q_2\) および \(Q_1 > W\) となっているかを確認しましょう。吸収した熱量が、排出した熱量や仕事量より小さい場合は、計算が間違っています。
• 熱効率の意味との照らし合わせ: (2)で求めた\(Q_1\)と(1)の\(Q_2\)から仕事\(W\)を計算し、その仕事が\(Q_1\)のちょうど15%になっているか検算してみましょう。\(W/Q_1 = (Q_1-Q_2)/Q_1 = (5.41-4.6)/5.41 \approx 0.15\) となり、つじつまが合っていることが確認できます。
• 物理的なスケール感: (5)で求めた水の体積 \(1.1 \times 10^3\) m³ は、1100トンに相当します。これを10分で45m持ち上げるというのは、非常にパワフルな蒸気機関であることを示唆しており、問題設定として極端におかしい値ではないと判断できます。

問題67 (大阪工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、熱気球が浮上する原理を、理想気体の状態方程式とアルキメデスの原理（浮力）を用いて解き明かすものです。

• [A]パートでは、まず準備として、理想気体の状態方程式から空気の密度と温度の関係を導き出します。
• [B]パートでは、具体的な熱気球モデルについて、内部の空気の温度を上げたときに、全体の重さと浮力がどのように変化し、どの条件で浮上するのかを考察します。

この問題の核心は、「温度が上がると気体の密度は小さくなる」という性質を状態方程式から導き、それが熱気球全体の重さの減少につながること、そして「浮力は周囲の空気の密度で決まるため一定」であることから、重力と浮力の大小関係が逆転する点（浮上開始点）を見つけ出すことです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「理想気体の状態方程式」と「浮力」の融合です。一見複雑に見えますが、基本法則を一つずつ丁寧に適用していくことが重要です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 理想気体の状態方程式: \(pV=nRT\)。気体の圧力、体積、物質量、温度の関係を表す基本法則です。
2. 密度と質量の関係: \(\rho = m/V\)。物質量\(n\)とモル質量\(m_0\)から質量\(m=nm_0\)を計算し、状態方程式と組み合わせることで、密度と他の物理量との関係を導けます。
3. アルキメデスの原理（浮力）: 物体が受ける浮力の大きさは、その物体が押しのけた流体（この場合は周囲の空気）の重さに等しい。\(f = \rho_{周囲} V g\)。
4. 力のつりあい: 物体が浮上を開始する瞬間は、物体全体の重力と浮力がちょうどつりあう瞬間です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. [A]パートでは、指示に従い、状態方程式と質量の定義式を組み合わせて、密度の式を導出します（ア〜エ）。
2. [B]パートでは、開口部が開放されているため「内外の圧力が等しい」という条件が重要になります。これと[A]で導いた関係を使い、内部空気の密度を温度の関数として表します（(2)）。
3. 次に、気球全体の重力（気球本体の重力＋内部空気の重力）と、気球が受ける浮力をそれぞれ式で表します（オ、カ）。
4. 温度\(T\)を変化させたときに、重力\(F\)と浮力\(f\)がどう変化するかを分析し、グラフを描き、浮上の原理を説明します（(3), (4)）。
5. 最後に、浮上条件である \(F=f\) の式を立て、浮上開始温度\(T_f\)を求めます（(5)）。

[A] ア, イ, ウ, エ

思考の道筋とポイント
理想気体の状態方程式、および質量と物質量の関係についての基本的な知識を問う問題です。定義に従って空欄を埋めていきます。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式を正しく覚えていること。
• 物質量(mol)と質量の関係を理解していること。
• 密度の定義式 \(\rho = m/V\) を使えること。

具体的な解説と立式

• ア, イ: 理想気体の状態方程式は \(pV=nRT\) です。したがって、アは \(nRT\)、イは「状態方程式」です。
• ウ: 1molあたりの質量が \(m_0\) なので、\(n\) molの空気の質量は、単純に掛け算で \(nm_0\) となります。
• エ: 密度の定義は \(\rho = \frac{\text{質量}}{\text{体積}}\) です。ウの結果から質量は \(nm_0\)、体積は \(V\) なので、\(\rho = \frac{nm_0}{V}\) となります。ここから、状態方程式 \(pV=nRT\) を変形した \(V = \frac{nRT}{p}\) を代入して \(V\) を消去します。
  $$\rho = \frac{nm_0}{V} = \frac{nm_0}{\frac{nRT}{p}} = \frac{nm_0 p}{nRT} = \frac{m_0 p}{RT}$$

上記の通りです。

• ア: \(nRT\)
• イ: 状態方程式
• ウ: \(nm_0\)
• エ: \(\displaystyle\frac{m_0 p}{RT}\)

(エ)の式は、気体の密度が圧力に比例し、絶対温度に反比例することを示しており、物理的に妥当な関係です。

[A](1)

思考の道筋とポイント
(エ)で導出した密度と温度の関係式 \(\rho = \displaystyle\frac{m_0 p}{RT}\) を用いて、圧力が一定の場合に温度\(T\)が増加すると密度\(\rho\)がどうなるかを説明します。

この設問における重要なポイント

• (エ)の結果 \(\rho = \frac{m_0 p}{RT}\) を利用する。
• \(p, m_0, R\) が定数であることから、\(\rho\) と \(T\) の関係を見出す。

具体的な解説と立式
(エ)で導いた式は \(\rho = \displaystyle\frac{m_0 p}{RT}\) です。
この式を \(\rho T = \displaystyle\frac{m_0 p}{R}\) と変形します。
問題の条件より、圧力 \(p\) は一定です。また、モル質量 \(m_0\) と気体定数 \(R\) も定数です。
したがって、式の右辺 \(\displaystyle\frac{m_0 p}{R}\) は一定値となります。
よって、\(\rho T = \text{一定}\) という関係が成り立ちます。
これは、密度\(\rho\)と絶対温度\(T\)が反比例の関係にあることを意味します。

\(\rho\)と\(T\)は反比例の関係にあるため、温度\(T\)が増加すると、空気の密度\(\rho\)は減少します。これは、温度が上がると気体分子の運動が激しくなり、同じ圧力と体積を保つためには分子の数を減らす必要がある（＝密度が下がる）という直感的なイメージとも一致します。

[B](2)

思考の道筋とポイント
球体内の空気と外部の空気について、[A](1)で導いた \(\rho T = \text{一定}\) の関係を適用します。開口部が開放されているため、内外の圧力は常に等しいという条件が使えます。

この設問における重要なポイント

• 開口部が開放 \(\rightarrow\) 内外の圧力 \(p\) が等しく、一定。
• [A](1)の結果より、\(\rho T = \text{一定}\) が成り立つ。

具体的な解説と立式
内外の圧力が等しいので、[A](1)で示した関係 \(\rho T = \text{一定}\) が、加熱前と加熱後の球体内空気について成り立ちます。

• 加熱前: 温度 \(T_0\), 密度 \(\rho_0\)
• 加熱後: 温度 \(T\), 密度 \(\rho\)

したがって、
$$\rho T = \rho_0 T_0$$

この式を \(\rho\) について解きます。
$$\rho = \rho_0 \frac{T_0}{T}$$

[A]パートで、空気は「温度が上がると密度が下がる」という反比例の関係にあることがわかりました。加熱前の温度と密度は \(T_0, \rho_0\)、加熱後は \(T, \rho\) なので、反比例の式 \(\rho T = \rho_0 T_0\) を立て、これを \(\rho\) について解きます。

加熱後の密度は \(\rho = \rho_0 \displaystyle\frac{T_0}{T}\) です。温度\(T\)が高くなるほど、密度\(\rho\)が小さくなるという[A](1)の結果と整合しています。

[B] オ, カ

思考の道筋とポイント
気球全体の重力 \(F\) と、気球が受ける浮力 \(f\) をそれぞれ式で表します。

• 重力 \(F\): 「気球本体の重力」と「内部の空気の重力」の和です。
• 浮力 \(f\): 気球が押しのけた「外部の空気」の重さに等しいです。

この設問における重要なポイント

• 内部空気の質量は、その時点での密度\(\rho\)と体積\(V\)から計算する。
• 浮力は、周囲の空気の密度\(\rho_0\)と気球の体積\(V\)から計算する。

具体的な解説と立式

• オ（内部空気の質量）:
  内部空気の密度は \(\rho\)、体積は \(V\) なので、質量 \(m_{空気}\) は、
  $$m_{空気} = \rho V$$
  ここで、(2)の結果 \(\rho = \rho_0 \frac{T_0}{T}\) を代入すると、
  $$m_{空気} = \left(\rho_0 \frac{T_0}{T}\right)V$$
  したがって、オに入るのは \(\rho_0 V \frac{T_0}{T}\) です。
• カ（浮力）:
  浮力の大きさ \(f\) は、気球が押しのけた体積\(V\)の「周囲の空気」の重さに等しいです。周囲の空気の密度は \(\rho_0\) なので、その質量は \(\rho_0 V\) です。
  $$f = (\rho_0 V) g$$
  したがって、カに入るのは \(\rho_0 V\) です。

上記の通りです。

• オ: \(\rho_0 V \frac{T_0}{T}\)
• カ: \(\rho_0 V\)

気球全体の重力は \(F = \left(M + \rho_0 V \frac{T_0}{T}\right)g\) となり、温度\(T\)に依存して変化します。一方、浮力は \(f = \rho_0 V g\) となり、温度\(T\)によらず一定です。この違いが浮上の鍵となります。

[B](3)

思考の道筋とポイント
[B]オで導いた気球全体の重力 \(F\) の式を、温度 \(T\) の関数としてグラフに描きます。

この設問における重要なポイント

• グラフにする関数は \(F(T) = \left(M + \rho_0 V \frac{T_0}{T}\right)g\)。
• \(F\) は \(1/T\) に比例する形の関数。
• \(T \rightarrow 0\) と \(T \rightarrow \infty\) の極限を考える。

具体的な解説と立式
グラフにする関数は、
$$F(T) = Mg + \frac{\rho_0 V T_0 g}{T}$$
これは、\(y = a + b/x\) の形の反比例のグラフです。

• \(T\) が増加すると、第2項が減少し、\(F\) は減少します。
• \(T \rightarrow \infty\) の極限では、第2項が0に近づくため、\(F\) は \(Mg\) に漸近します。
• \(T \rightarrow 0\) の極限では、第2項が無限大に発散するため、\(F\) も無限大に発散します。

これらの特徴を持つグラフを描きます。縦軸が \(F\)、横軸が \(T\) で、\(T>0\) の領域で考えます。グラフは右下がりの曲線で、\(F=Mg\) が漸近線となります。

グラフの概形を描くため、これ以上の計算は不要です。

グラフは、\(T\)が小さいところで非常に大きく、\(T\)が大きくなるにつれて減少し、最終的に気球本体の重さ\(Mg\)に近づいていく曲線となります。これは、温度を上げるほど内部の空気が軽くなり、気球全体の重さも軽くなるという物理的な状況を正しく反映しています。

[B](4)

思考の道筋とポイント
気球が浮上する理由を、重力\(F\)と浮力\(f\)の関係から説明します。

この設問における重要なポイント

• 浮力 \(f = \rho_0 V g\) は、温度\(T\)によらず一定。
• 重力 \(F(T) = (M + \rho_0 V \frac{T_0}{T})g\) は、温度\(T\)の上昇とともに減少する。
• 浮上するのは、上向きの力（浮力）が下向きの力（重力）を上回るとき、つまり \(f > F\) のとき。

具体的な解説と立式
気球にはたらく力は、下向きの重力\(F\)と上向きの浮力\(f\)です。
浮力 \(f = \rho_0 V g\) は、周囲の空気の密度\(\rho_0\)で決まるため、内部の温度\(T\)によらず一定です。
一方、気球全体の重力 \(F(T) = (M + \rho_0 V \frac{T_0}{T})g\) は、温度\(T\)を上昇させると、内部の空気の質量が減少するため、\(T\)の増加とともに減少します。
初め（\(T=T_0\)）は、\(F = (M+\rho_0 V)g > f = \rho_0 V g\) なので、気球は浮上しません。
しかし、温度\(T\)を上げていくと、\(F\)は単調に減少していくため、やがて浮力\(f\)と等しくなります。さらに温度を上げると、重力\(F\)が浮力\(f\)よりも小さく（\(F < f\)）なります。
その結果、上向きの合力 (\(f-F\)) が生じ、気球は浮上します。

上記の説明が、気球が浮上する理由となります。

[B](5)

思考の道筋とポイント
気球が浮上を始めるのは、重力\(F\)と浮力\(f\)がちょうどつりあう瞬間です。このときの温度が \(T_f\) です。

この設問における重要なポイント

• 浮上開始の条件: \(F = f\)

具体的な解説と立式
浮上を開始する温度を \(T_f\) とすると、この温度で \(F(T_f) = f\) が成り立ちます。
$$\left(M + \rho_0 V \frac{T_0}{T_f}\right)g = \rho_0 V g$$

この方程式を \(T_f\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
M + \rho_0 V \frac{T_0}{T_f} &= \rho_0 V \\[2.0ex]
\rho_0 V \frac{T_0}{T_f} &= \rho_0 V – M \\[2.0ex]
\frac{1}{T_f} &= \frac{\rho_0 V – M}{\rho_0 V T_0} \\[2.0ex]
T_f &= \frac{\rho_0 V T_0}{\rho_0 V – M}
\end{aligned}
$$

気球が浮き始めるのは、「気球全体の重さ」と「浮力」が等しくなった瞬間です。それぞれの力を表す式をイコールで結び、そのときの温度\(T_f\)を求めます。

浮上開始温度は \(T_f = \displaystyle\frac{\rho_0 V T_0}{\rho_0 V – M}\) です。

• 気球本体の質量\(M\)が大きいほど、分母が小さくなり、\(T_f\)は高くなります（より高温にしないと浮かない）。
• 浮力（\(\rho_0 V\)）が大きいほど、分母が大きくなり、\(T_f\)は低くなります（低い温度で浮く）。

これらは物理的に妥当な結果です。また、浮上するためには分母が正である必要があり、\(\rho_0 V > M\)、つまり「押しのけた空気の質量が気球本体の質量より大きい」という、アルキメデスの原理から導かれる自明な条件も内包しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式 (\(pV=nRT\)):
  • 核心: 気体の圧力・体積・温度・物質量の関係を支配する基本法則です。[A]パートでは、この式を質量や密度と結びつけることで、空気の密度が温度に反比例する関係 (\(\rho T = \text{一定}\)) を導き出します。
  • 理解のポイント: この「温度が上がると密度が下がる」という性質が、熱気球が浮上する根本的な原理です。状態方程式を単なる公式として覚えるだけでなく、密度との関係まで理解しておくことが重要です。
• アルキメデスの原理（浮力）:
  • 核心: 流体中の物体は、その物体が押しのけた流体の重さに等しい大きさの浮力を受けます (\(f = \rho_{流体} V g\))。
  • 理解のポイント: 熱気球の場合、押しのけている流体は「周囲の冷たい空気」です。したがって、浮力の大きさは、気球の体積\(V\)と周囲の空気の密度\(\rho_0\)で決まり、気球内部の温度をいくら上げても浮力の大きさ自体は変化しません。この「浮力は一定」という点が、重力との比較において極めて重要です。
• 力のつりあい:
  • 核心: 気球が浮上を開始する瞬間は、気球全体にはたらく重力（下向き）と浮力（上向き）がちょうどつりあう瞬間です。
  • 理解のポイント: 気球全体の重力は、「気球本体の重さ」と「内部の熱い空気の重さ」の和です。内部の空気は温度を上げると軽くなるため、気球全体の重力は温度とともに減少します。この減少する重力が、一定の浮力と等しくなる点が浮上開始点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 潜水艦の浮沈: 潜水艦は、バラストタンクに水を入れたり排出したりすることで全体の平均密度を変化させ、浮力を制御して浮沈します。重さを変えて浮力を制御する例です。
  • 氷がとけるときの水面変化: 水に浮いた氷がとけても水面は変化しませんが、氷の中に空気や他の物質が含まれている場合は水面が変化します。アルキメデスの原理と質量保存則を組み合わせる問題です。
  • 密閉容器内の気体の加熱: この問題と異なり、容器が密閉されている場合、加熱すると内部の圧力が増加します。この圧力変化が外部に力を及ぼすような問題に応用されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 開口部の有無（圧力条件の確認）: まず、気球や容器が開いているか閉じているかを確認します。開いていれば、内外の「圧力」が等しくなります。閉じていれば、内部の気体の「物質量（や質量）」が一定に保たれます。この条件の違いで、状態方程式の使い方が全く変わってきます。
  2. 重力と浮力の登場人物を特定する:
     • 重力: どの部分の重さを考えるべきか？（例：気球本体＋内部の気体）
     • 浮力: 何によって浮力が生じているか？（例：周囲の流体）

     この2つの「登場人物」を正確にリストアップすることが、立式の第一歩です。

  3. 何が変数で、何が定数か？: 温度\(T\)を変化させたとき、それに伴って変化する量（内部空気の密度\(\rho\)、内部空気の質量、気球全体の重力\(F\)）と、変化しない量（気球の体積\(V\)、周囲の空気の密度\(\rho_0\)、浮力\(f\)）を明確に区別することが、現象を正しく理解する鍵となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 浮力の計算での密度の取り違え:
  • 誤解: 浮力を計算する際に、周囲の空気の密度(\(\rho_0\))ではなく、気球内部の熱い空気の密度(\(\rho\))を使ってしまう (\(f=\rho V g\))。
  • 対策: アルキメデスの原理を正確に思い出し、「浮力は、押しのけた『外部』の流体の重さ」であることを徹底しましょう。気球が熱くなっても、押しのけている周囲の空気の性質は変わらないので、浮力は一定です。
• 重力の計算での質量の取り違え:
  • 誤解: 気球全体の重力を考える際に、内部の空気の質量を忘れて、気球本体の質量\(M\)だけで計算してしまう。
  • 対策: 気球は「本体」と「内部の空気」を合わせたものが一つの物体です。重力を計算する際は、必ず両方の質量を足し合わせる必要があります。
• 状態方程式の誤用:
  • 誤解: 開口部があるのに、内部の空気の物質量\(n\)が一定として状態方程式を扱ってしまう。
  • 対策: 開口部がある場合、加熱によって膨張した空気は外部に逃げ出すため、物質量\(n\)は一定ではありません。この問題で一定なのは「圧力\(p\)」です。どの物理量が一定で、どの物理量が変数なのか、問題設定を正確に読み取ることが不可欠です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 力のベクトル図: 気球に働く力を図示するのが基本です。下向きに「気球本体の重力\(Mg\)」と「内部空気の重力\(m_{空気}g\)\)」、上向きに「浮力\(f\)」の3つの力のベクトルを描くと、力の関係が明確になります。
• \(F-T\)グラフと\(f-T\)グラフの重ね描き: (3)で重力\(F\)のグラフを描きましたが、そのグラフに、浮力\(f\)のグラフ（\(T\)軸に平行な直線）を重ねて描くと、浮上の原理が一目瞭然になります。
  • 最初は \(F > f\) で、気球は地面に押し付けられています。
  • 温度を上げていくと\(F\)の曲線が下がり、\(f\)の直線と交差します。この交点が、浮上を開始する温度\(T_f\)です。
  • さらに温度を上げると \(F < f\) となり、上向きの力が生じて浮上します。
• 密度の変化のイメージ: 温度を上げる \(\rightarrow\) 内部の気体分子が激しく運動する \(\rightarrow\) 開口部から一部の分子が逃げ出す \(\rightarrow\) 同じ体積\(V\)を占める分子の数が減る \(\rightarrow\) 密度が下がる、というミクロな視点での一連の流れをイメージできると、現象の理解が深まります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 理想気体の状態方程式:
  • 選定理由: [A]で、気体のマクロな物理量（圧力、体積、温度）とミクロな量（物質量）を結びつけ、密度と温度の関係を導出するために必要不可欠な法則だからです。
  • 適用根拠: 問題文で「空気を理想気体とみなして」と明記されているため。
• アルキメデスの原理:
  • 選定理由: [B]で、気球が空気中から受ける上向きの力、すなわち「浮力」を定量的に計算するため。
  • 適用根拠: 物体が流体（この場合は空気）の中に存在しているという物理的状況。
• 力のつりあいの式 (\(F=f\)):
  • 選定理由: (5)で「浮上を始める」という特定の瞬間を捉えるため。浮上を開始する瞬間は、力がつりあって地面からの垂直抗力がゼロになる瞬間であり、これを超えると上向きの合力が生じます。
  • 適用根拠: ある特定の条件下で、物体にはたらく力の合力がゼロになるという物理的状況。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. [A] 準備運動（密度と温度の関係）:
   • 戦略: ①状態方程式 \(pV=nRT\) と ②質量 \(m=nm_0\) と ③密度 \(\rho=m/V\) の3つの定義式を組み合わせる。
   • フロー: ①から\(V\)を、②から\(n\)を消去し、\(\rho\)を\(p, T\)などで表す式を導出する。
2. [B] 熱気球の解析:
   • (2) 内部空気の密度: [A]で導いた \(\rho T = \text{一定}\) の関係を、加熱前と加熱後に適用する。
   • (オ) 内部空気の重力: 質量を「密度×体積」で計算する。密度は(2)の結果を使う。
   • (カ) 浮力: アルキメデスの原理を適用。押しのけた「外部の」空気の重さを計算する。
   • (3) 重力のグラフ: (オ)の結果から、\(F\)が\(T\)のどのような関数になるかを分析し、概形を描く。
   • (4) 浮上の原理: 一定の浮力\(f\)と、温度上昇で減少する重力\(F\)を比較し、\(F<f\)となることで浮上すると説明する。
   • (5) 浮上開始温度: 浮上条件 \(F=f\) を立式し、未知数である温度\(T_f\)について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 記号の区別: \(\rho\)（内部の密度）と\(\rho_0\)（外部の密度）、\(T\)（内部の温度）と\(T_0\)（外部の温度）など、添え字の有無で意味が大きく異なる記号を正確に使い分けましょう。
• 分数の計算: (エ)や(5)のように、分母・分子に複数の項が含まれる計算では、通分や約分を慎重に行いましょう。
• 式の意味を考える: 例えば(5)で求めた \(T_f = \frac{\rho_0 V T_0}{\rho_0 V – M}\) という式を見て、分母が \((\text{浮力}/g) – (\text{気球の質量})\) という意味になっていることに気づくと、式の物理的な意味が理解でき、検算にもなります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な条件の確認: (5)で求めた \(T_f\) の式では、分母が \(\rho_0 V – M\) となっています。浮上するためには \(T_f\) が正の有限値である必要があるので、\(\rho_0 V – M > 0\)、すなわち \(\rho_0 V > M\) という条件が自然に導かれます。これは、「気球が押しのけた空気の質量（＝最大浮力/g）が、気球本体の質量よりも大きくなければ、いくら加熱しても浮上は不可能である」という物理的に当然の帰結であり、得られた式が妥当であることを示しています。
• 極端な場合を考える:
  • もし気球本体の質量がゼロ（\(M=0\)）だったら、(5)の式は \(T_f = \frac{\rho_0 V T_0}{\rho_0 V} = T_0\) となります。これは、内部の空気を全く加熱しなくても、内外の空気が同じ温度・密度である時点で重力と浮力がつりあう（ただし内部空気の重さと浮力が等しいだけ）ことを意味し、つじつまが合っています。
  • もし \(M\) が \(\rho_0 V\) に非常に近い値だったら、分母がゼロに近づくため \(T_f\) は非常に大きくなります。これは、浮力がギリギリの場合、浮上させるには内部の空気をほぼ真空に近い状態（超高温）にする必要があることを意味し、直感と一致します。

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問題68 (岩手大)