「良問の風」攻略ガイド（81〜85問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題81 (東京電機大+東京理科大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ドップラー効果と音の反射という、波の分野における重要な概念を組み合わせた複合問題です。船の運動、音波の伝播、そして観測される音の振動数がどのように変化するかを正確に捉え、段階的に考察することが求められます。特に、反射面をどのように扱うか、そして複数の物理現象が時間軸上でどのように関連しているかを整理することがポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• ドップラー効果の公式: 音源が動く場合、観測者が動く場合、それぞれについて正しく公式を適用することが求められます。特に、音源や観測者が音の伝播方向に対して近づくのか遠ざかるのかによって、公式内の符号が変わる点に注意が必要です。
• 音の反射の扱い: 壁で音が反射する際、壁を一種の「新しい音源」として考えることができます。壁が静止していれば、壁が受け取った振動数の音をそのままの振動数で反射する音源として扱います。
• 音波の伝播: 音は空間を一定の速さ（音速）で伝わります。この基本的な性質「距離 = 速さ × 時間」を用いて、音波の移動距離や所要時間を計算します。
• 波の数保存の考え方: 音源からある一定時間内に放出された波の「個数」は、観測者がその音を聞く際に振動数や聞こえる時間が異なったとしても、その「総数」は変わらないという重要な原理です。

各設問に対して、これらの法則を適切に適用し、数式を立てて解いていきます。

問1

思考の道筋とポイント
この設問の核心は、ドップラー効果を2段階で正しく適用することです。

1. 船（音源）から壁（観測者とみなす）へ音波が伝わる過程: 船が壁に近づきながら音を出すため、壁に到達する音の振動数は、船が静止している場合に出す音の振動数 \(f_0\) よりも高くなります。この壁が受け取る（観測する）振動数を \(f_1\) とします。
2. 壁（新たな音源とみなす）から船（観測者）へ反射音が伝わる過程: 壁は受け取った振動数 \(f_1\) の音をそのまま反射します。今度は、この壁を振動数 \(f_1\) を発する静止した音源とみなします。船（観測者）がその音源（壁）に向かって進むため、船が聞く反射音の振動数 \(f_2\) は、\(f_1\) よりもさらに高くなります。
3. 振動数のずれの情報を利用する: 問題文から、最終的に船が聞く反射音の振動数 \(f_2\) は、元の振動数 \(f_0\) よりも \(20 \, \text{Hz}\) 高いことが分かります（船が壁に近づいているため、振動数は必ず高くなる方向へずれます）。この \(f_2 = f_0 + 20 \, \text{Hz}\) という関係と、上記で導出した \(f_2\) を \(v\) で表す式を用いて方程式を立て、船の速さ \(v\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• ドップラー効果の公式を、音源が動く場合と観測者が動く場合それぞれについて正しく使い分けること。
  • 音源が観測者に速さ \(v_{\text{音源}}\) で近づく場合: \(f_{\text{観測}} = \displaystyle\frac{V}{V-v_{\text{音源}}} f_{\text{音源}}\)
  • 観測者が音源に速さ \(v_{\text{観測者}}\) で近づく場合: \(f_{\text{観測}} = \displaystyle\frac{V+v_{\text{観測者}}}{V} f_{\text{音源}}\)
• 壁の役割の理解: 壁は、受け取った振動数の音をそのまま反射する「鏡」のような役割を果たし、同時にその振動数の音を発する「新しい静止音源」としての役割も担うと考えることが重要です。
• 定性的な理解の活用: 船が壁に近づいているため、観測される振動数は元の振動数よりも高くなる、という物理的な直感を常に持つこと。これにより、\(f_2 = f_0 + 20 \, \text{Hz}\) という関係を自信を持って使うことができ、また計算結果の妥当性確認にも役立ちます。

具体的な解説と立式
1. 船から壁へ音が伝わる際のドップラー効果（壁が聞く振動数 \(f_1\)）
船は音源であり、速さ \(v\) で静止している壁（ここでは一時的な観測者とみなします）に近づいています。このとき、壁が観測する音の振動数を \(f_1\) とすると、ドップラー効果の公式（音源が観測者に近づく場合）より、
$$f_1 = \frac{V}{V-v} f_0$$
ここで、\(V = 340 \, \text{m/s}\) は音速、\(f_0 = 840 \, \text{Hz}\) は音源が本来出す音の振動数です。

2. 壁で反射した音が船へ伝わる際のドップラー効果（船が聞く振動数 \(f_2\)）
壁は、受け取った振動数 \(f_1\) の音をそのまま反射します。この壁を、振動数 \(f_1\) の音を発する静止した音源とみなすことができます。船は観測者であり、速さ \(v\) でこの壁（音源）に近づいています。船上の人が聞く反射音の振動数を \(f_2\) とすると、ドップラー効果の公式（観測者が音源に近づく場合）より、
$$f_2 = \frac{V+v}{V} f_1$$

3. \(f_1\) の式を \(f_2\) の式に代入し、\(f_2\) を \(f_0\) と \(v\) で表す
上記で求めた \(f_1\) の式を \(f_2\) の式に代入すると、
$$f_2 = \frac{V+v}{V} \cdot \left(\frac{V}{V-v} f_0\right)$$
\(V\) が約分できるので、
$$f_2 = \frac{V+v}{V-v} f_0$$
この式は、音源でもあり観測者でもある物体が、静止した反射体に速さ \(v\) で近づく場合に観測する反射音の振動数を表す一般式としてよく用いられます。

4. 振動数のずれの条件を適用する
問題文より、船上の人が聞く反射音の振動数 \(f_2\) は、元の振動数 \(f_0\) よりも \(20 \, \text{Hz}\) ずれていたとあります。船は壁に近づいているため、反射音の振動数は元の振動数 \(f_0\) よりも高くなるはずです。したがって、
$$f_2 = f_0 + 20 \, \text{Hz}$$
数値を代入すると、
$$f_2 = 840 \, \text{Hz} + 20 \, \text{Hz} = 860 \, \text{Hz}$$

5. 方程式を立てる
上記の \(f_2\) に関する2つの表現（\(v\) を用いた式と、具体的な数値）が等しいとおくことで、船の速さ \(v\) に関する方程式を立てることができます。
$$860 = \frac{340+v}{340-v} \times 840$$

立式した方程式 \(860 = \displaystyle\frac{340+v}{340-v} \times 840\) を \(v\) について解いていきましょう。
まず、方程式の両辺を \(840\) で割ります。
$$\frac{860}{840} = \frac{340+v}{340-v}$$
左辺の分数を簡単にします。分子・分母はともに \(20\) で割り切れます (\(860 = 43 \times 20\), \(840 = 42 \times 20\))。
$$\frac{43}{42} = \frac{340+v}{340-v}$$
次に、分母を払うために、両辺に \(42 \times (340-v)\) を掛けます。
$$43 \times (340-v) = 42 \times (340+v)$$
左辺と右辺をそれぞれ展開します。
$$43 \times 340 – 43v = 42 \times 340 + 42v$$
\(v\) を含む項を右辺に、定数項（\(340\) を含む項）を左辺に集めます。
$$43 \times 340 – 42 \times 340 = 42v + 43v$$
左辺を \(340\) でくくり、右辺の \(v\) の係数をまとめます。
$$(43-42) \times 340 = (42+43)v$$
$$1 \times 340 = 85v$$
$$340 = 85v$$
最後に、\(v\) について解きます。
$$v = \frac{340}{85}$$
ここで、\(340 = 4 \times 85\) (あるいは、\(340 = 17 \times 20\) と \(85 = 17 \times 5\) を利用して \(\displaystyle\frac{17 \times 20}{17 \times 5} = \frac{20}{5} = 4\)) です。
したがって、
$$v = 4$$
よって、船の速さ \(v\) は \(4 \, \text{m/s}\) と求められます。

1. 船から出た音が壁に届くとき、船が壁に近づいている影響で、音の高さ（振動数）が少し上がります。この上がった振動数を \(f_1\) とします。
2. 次に、壁で反射された音（これは振動数 \(f_1\) を持っています）を、壁に向かって進んでいる船が聞きます。このときも船が音源（壁）に近づいている影響で、音の高さがさらに上がります。この最終的に船が聞く振動数を \(f_2\) とします。
3. 問題文から、この \(f_2\) が、元の音の振動数 \(f_0 = 840 \, \text{Hz}\) よりも \(20 \, \text{Hz}\) 高い \(860 \, \text{Hz}\) になったことが分かっています。
4. 一方、\(f_2\) は船の速さ \(v\) と音速 \(V=340 \, \text{m/s}\)、元の振動数 \(f_0=840 \, \text{Hz}\) を使って \(f_2 = \displaystyle\frac{340+v}{340-v} \times 840\) と表すことができます。
5. この2つの \(f_2\) の表現が等しい (\(860 = \displaystyle\frac{340+v}{340-v} \times 840\)) という方程式を立て、これを \(v\) について解きます。
6. 計算を進めると、\(v=4 \, \text{m/s}\) が求まります。途中の計算では、いきなり大きな数を掛け合わせるのではなく、約分したり共通因数でくくったりすると、計算が楽になりミスも減らせます。

船の速さは \(v = 4 \, \text{m/s}\) と計算できました。
この値の妥当性を考えてみましょう。音速 \(V=340 \, \text{m/s}\) と比較して、船の速さ \(v=4 \, \text{m/s}\) は十分に小さい値です。これは、一般的な船の速さとしても現実的な範囲内にあります。
また、観測された振動数の変化 \( \Delta f = 20 \, \text{Hz}\) は、元の振動数 \(f_0 = 840 \, \text{Hz}\) の約 \(2.4\%\) です。振動数の変化率が比較的小さいことからも、船の速さ \(v\) が音速 \(V\) に対してそれほど大きくないことが予想され、得られた結果 \(v=4 \, \text{m/s}\) は物理的に妥当と言えるでしょう。

問2

思考の道筋とポイント
この設問では、船が音を発してからその反射音を聞くまでの時間 \(T = 2 \, \text{s}\) という情報が鍵となります。

1. この \(2 \, \text{s}\) の間に、音波は「船から出て壁まで進み、壁で反射してその時点の船の位置まで戻ってくる」という経路をたどります。音波が進んだ総距離を考えます。
2. 同じくこの \(2 \, \text{s}\) の間に、船も壁に向かって一定の速さ \(v\) (問1で \(4 \, \text{m/s}\) と求めました) で進んでいます。船が進んだ総距離を考えます。
3. 音を発射したときの船と岩壁との距離を \(x\) とします。この \(x\) と、音波が進んだ総距離、船が進んだ総距離の間には、幾何学的な関係が成り立ちます。この関係式を正しく立てることができれば、\(x\) を求めることができます。

特に重要なのは、音が壁まで進む距離（行き）と、壁から反射して船に戻るまでの距離（帰り）の合計が、音波が \(2 \, \text{s}\) 間に進んだ総距離に等しいという点です。また、その間に船自身も移動しているため、帰りの距離は単純に行きの距離と同じではありません。
模範解答で示されている \(2x = VT + vT\) という関係式は、この状況をうまくまとめたものです。この式の意味を理解することがポイントです。
（この式は、音が行った距離を \(x\)、帰ってきた距離を \(x’\) としたとき、音の進んだ総距離 \(VT = x+x’\) と、船の移動により生じる経路差 \(x-x’ = vT\) を連立させて \(x’\) を消去することで得られます。）

この設問における重要なポイント

• 音波と船の両方が、\(T = 2 \, \text{s}\) という共通の時間だけ運動していることを明確に意識すること。
• 音波が進む経路（行き：船→壁、帰り：壁→\(2\text{s}\)後の船）と、船が進む経路（初期位置→\(2\text{s}\)後の位置）を正確に把握すること。図を描いて視覚化すると理解しやすくなります。
• 初期距離 \(x\)、音速 \(V\)、船の速さ \(v\)、経過時間 \(T\) の間に成り立つ関係式 \(2x = VT + vT\) を導出、または正しく理解して適用できること。この式は \(x = \displaystyle\frac{(V+v)T}{2}\) とも書けます。

具体的な解説と立式
船が汽笛を鳴らし始めてから反射音を聞くまでの時間 \(T = 2 \, \text{s}\) です。
この時間 \(T\) の間に、音波が進んだ総距離を \(L_{\text{音}}\) とすると、音速 \(V\) を用いて、
$$L_{\text{音}} = V \times T$$
一方、船も同じ時間 \(T\) の間に、壁に向かって速さ \(v\) で進んでいます。船が進んだ総距離を \(L_{\text{船}}\) とすると、
$$L_{\text{船}} = v \times T$$
音を発射したときの船と岩壁の間の距離を \(x\) とします。

音波の経路を考えます。
1. 行き（船から壁へ）: 音波は距離 \(x\) を進みます。
2. 帰り（壁から船へ）: 音波が壁で反射した後、\(T\) 秒後の船の位置まで戻ってきます。この間に船は \(L_{\text{船}} = vT\) だけ壁に近づいています。
壁から見て、音が船に追いつくまでの距離を \(x_{\text{帰り}}\) とします。
音波が進んだ総距離は \(L_{\text{音}} = x + x_{\text{帰り}}\) です。

ここで、船の動きと音の経路の関係を考えます。
音が出発した点（船の初期位置）と、音が戻ってきた点（\(T\) 秒後の船の位置）の間は、船が進んだ距離 \(vT\) だけ離れています。
壁を基準に考えると、壁から音が出た船の初期位置までの距離は \(x\)。壁から音が戻ってきた船の位置までの距離は \(x_{\text{帰り}}\)。
この差 \(x – x_{\text{帰り}}\) が、船の移動距離 \(vT\) に相当します。
$$x – x_{\text{帰り}} = vT$$
したがって、\(x_{\text{帰り}} = x – vT\)。
これを \(L_{\text{音}} = x + x_{\text{帰り}}\) に代入すると、
$$VT = x + (x – vT)$$
$$VT = 2x – vT$$
この式を \(x\) について整理すると、
$$2x = VT + vT$$
両辺を \(2\) で割ると、
$$x = \frac{VT + vT}{2} = \frac{(V+v)T}{2}$$
これが求める距離 \(x\) を計算するための式です。

上記で導出した式 \(x = \displaystyle\frac{(V+v)T}{2}\) に、与えられた数値と問1で求めた \(v\) の値を代入して \(x\) を計算します。
与えられた値は、
音速 \(V = 340 \, \text{m/s}\)
船の速さ \(v = 4 \, \text{m/s}\) (問1の結果より)
時間 \(T = 2 \, \text{s}\)

これらの値を式に代入します。
$$x = \frac{(340 \, \text{m/s} + 4 \, \text{m/s}) \times 2 \, \text{s}}{2}$$
まず、分子の括弧内を計算します (\(340+4=344\))。
$$x = \frac{344 \, \text{m/s} \times 2 \, \text{s}}{2}$$
分子を計算します (\(344 \times 2 = 688\))。
$$x = \frac{688 \, \text{m}}{2}$$
最後に割り算を実行します。
$$x = 344 \, \text{m}$$
したがって、音を発射したときの船と岩壁の距離 \(x\) は \(344 \, \text{m}\) です。

1. 船が音を出してから、その音が壁で跳ね返って再び船に聞こえるまでに \(2 \, \text{s}\) かかりました。
2. この \(2 \, \text{s}\) の間に、音は壁まで行って戻ってくるという非常に長い距離を進みます。具体的には「音速 \(V=340 \, \text{m/s} \times 2 \, \text{s} = 680 \, \text{m}\)」です。
3. 一方、同じ \(2 \, \text{s}\) の間に、船も壁に向かって少し進んでいます。その距離は「船の速さ \(v=4 \, \text{m/s} \times 2 \, \text{s} = 8 \, \text{m}\)」です。
4. ここで、船と壁の最初の距離を \(x\) とすると、「\(2 \times x\)」という量が、「音が実際に \(2 \, \text{s}\) で進んだ総距離 (\(VT\))」と「船が実際に \(2 \, \text{s}\) で進んだ総距離 (\(vT\))」の和に等しい、つまり \(2x = VT + vT\) という関係が成り立ちます。
5. この式に \(V=340, T=2, v=4\) を代入すると、\(2x = 340 \times 2 + 4 \times 2 = 680 + 8 = 688\) となります。
6. したがって、\(x = 688 \div 2 = 344 \, \text{m}\) と求まります。

音を発射したときの船と岩壁の距離は \(x = 344 \, \text{m}\) と求められました。
この結果の妥当性を確認してみましょう。
音が壁に到達するのにかかる時間 \(t_{\text{往路}} = \displaystyle\frac{x}{V} = \frac{344 \, \text{m}}{340 \, \text{m/s}} \approx 1.0118 \, \text{s}\)。
この間に船が進む距離は \(v \times t_{\text{往路}} = 4 \, \text{m/s} \times 1.0118 \, \text{s} \approx 4.047 \, \text{m}\)。
音が壁に到達したとき、壁と船の間の距離は \(x – (v \times t_{\text{往路}}) = 344 \, \text{m} – 4.047 \, \text{m} = 339.953 \, \text{m}\)。
反射音がこの距離 \(339.953 \, \text{m}\) を船（壁に向かって \(v\) で進んでいる）に届くまでの時間 \(t_{\text{復路}}\) は、
\(t_{\text{復路}} = T – t_{\text{往路}} = 2 \, \text{s} – 1.0118 \, \text{s} = 0.9882 \, \text{s}\)。
この間に音が進む距離は \(V \times t_{\text{復路}} = 340 \, \text{m/s} \times 0.9882 \, \text{s} \approx 335.988 \, \text{m}\)。
一方、船が \(T=2\text{s}\) の間に進んだ総距離は \(vT = 4 \, \text{m/s} \times 2 \, \text{s} = 8 \, \text{m}\)。
反射音が船に届いたとき、壁から船までの実際の距離は \(x – vT = 344 \, \text{m} – 8 \, \text{m} = 336 \, \text{m}\)。
そして、反射音がこの \(336 \, \text{m}\) を進むのに要する時間は \(\displaystyle\frac{336 \, \text{m}}{340 \, \text{m/s}} \approx 0.9882 \, \text{s}\)。
\(t_{\text{往路}} + t_{\text{復路}} = 1.0118 \, \text{s} + 0.9882 \, \text{s} = 2.0000 \, \text{s}\) となり、辻褄が合います。
したがって、計算結果は物理的に妥当であると言えます。

問3

思考の道筋とポイント
この設問では、「波の数保存則」という重要な考え方を用います。

1. 音源である船が、汽笛を \( \Delta t_0 = 10 \, \text{s}\) の間鳴らし続けると、ある一定の数の波が空間に放出されます。この放出された波の総数を \(N\) とします。
2. 船上の人は、この放出された波が壁で反射してきたものを聞きます。その際、船が聞く反射音の振動数は \(f_2\) (問1で \(860 \, \text{Hz}\) と計算済み) に変化しています。
3. ここで最も重要なのは、音源が放った波の「総数」\(N\) と、観測者である船上の人が聞く波の「総数」\(N\) は同じであるという点です（波が途中で消えたり、新たに発生したりしない限り）。
4. この関係「総波数 = 振動数 × 時間」すなわち \(N = f_0 \Delta t_0 = f_2 \Delta t_2\) を利用して、反射音が聞こえる時間 \( \Delta t_2\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 波の数保存の原理の理解と適用: 音源から放出された波の総数は、観測者がそれをどのような条件下（異なる振動数や異なる時間）で聞こうとも、変わらないという物理的原則を理解していること。
• 関係式の活用: 波の総数 \(N\) は、「1秒あたりの波の数（振動数 \(f\)）」と「その状態が継続した時間（\( \Delta t\)）」の積、すなわち \(N = f \Delta t\) で表されます。
• 上記から導かれる \(f_0 \Delta t_0 = f_2 \Delta t_2\) という等式を正しく立てて用いること。
  • \(f_0\): 音源が本来出す音の振動数 (\(840 \, \text{Hz}\))
  • \( \Delta t_0\): 音源が音を出していた時間 (\(10 \, \text{s}\))
  • \(f_2\): 観測者（船上の人）が聞く反射音の振動数 (\(860 \, \text{Hz}\))
  • \( \Delta t_2\): 観測者がその反射音を聞いていた時間（求めたい量）

具体的な解説と立式
音源である船が、本来の振動数 \(f_0 = 840 \, \text{Hz}\) の汽笛を、時間 \( \Delta t_0 = 10 \, \text{s}\) の間鳴らし続けました。
この間に音源から放出された波の総数を \(N\) とすると、その数は、
$$N = f_0 \times \Delta t_0$$
と表せます。
船上の人は、この音波が壁で反射してきたものを聞きます。このとき船が聞く反射音の振動数は、問1で計算した通り \(f_2 = 860 \, \text{Hz}\) です。
船上の人がこの反射音を聞き続ける時間を \( \Delta t_2\) とすると、船上の人が聞く波の総数も同じく \(N\) となります。これは、音源が放った波の個数と観測者が聞く波の個数は、波が途中で消滅したり新たに生成されたりしない限り等しい、という「波の数保存則」に基づいています。
したがって、
$$N = f_2 \times \Delta t_2$$
これら2つの \(N\) に関する式は等しいので、以下の関係が成り立ちます。
$$f_0 \Delta t_0 = f_2 \Delta t_2$$
この式を用いて、船上で反射音が聞こえる時間 \( \Delta t_2\) を求めます。

上記で立てた関係式 \(f_0 \Delta t_0 = f_2 \Delta t_2\) に、具体的な数値を代入します。
音源の振動数 \(f_0 = 840 \, \text{Hz}\)
音源が音を出していた時間 \( \Delta t_0 = 10 \, \text{s}\)
観測者が聞く反射音の振動数 \(f_2 = 860 \, \text{Hz}\) (問1の結果より)

これらの値を代入すると、
$$840 \, \text{Hz} \times 10 \, \text{s} = 860 \, \text{Hz} \times \Delta t_2$$
左辺を計算します。
$$8400 = 860 \Delta t_2$$
次に、\( \Delta t_2\) について解きます。
$$ \Delta t_2 = \frac{8400}{860}$$
分子と分母の末尾にある \(0\) を消去して（すなわち、分子と分母を \(10\) で割って）分数を簡単にします。
$$ \Delta t_2 = \frac{840}{86}$$
さらに、分子と分母を \(2\) で割ります。
$$ \Delta t_2 = \frac{420}{43}$$
この分数を小数で表すために割り算を実行します。
$$420 \div 43 \approx 9.76744… \, \text{s}$$
問題の模範解答では「約 \(9.8 \, \text{s}\)」と示されています。これは有効数字2桁で答えた場合に相当します（9.76… を小数点第2位で四捨五入）。もし有効数字3桁で答えるならば \(9.77 \, \text{s}\) となります。ここでは模範解答の表現に合わせて「約 \(9.8 \, \text{s}\)」としますが、分数 \(\displaystyle\frac{420}{43} \, \text{s}\) が最も正確な表現です。

1. 船が \(10 \, \text{s}\) 間汽笛を鳴らすと、たくさんの「音の波」が送り出されます。その「波の総数」は「元の振動数 (\(f_0=840\)\(\text{Hz}\)) \(\times\) 音を出した時間 (\(10\)\(\text{s}\))」で計算できます。計算すると \(8400\) 個の波です。
2. 船に戻ってくる反射音は、振動数が \(f_2=860\)\(\text{Hz}\) に上がっています。これは、1秒あたりに船が聞く波の数が \(860\) 個であることを意味します。
3. 船が送り出した波の「総数」（\(8400\) 個）と、船が聞くことになる反射音の波の「総数」は同じはずです。
4. したがって、「反射音の振動数 (\(f_2=860\)\(\text{Hz}\)) \(\times\) 反射音が聞こえる時間 (\( \Delta t_2\))」も、同じく \(8400\) 個の波に相当します。
5. この関係式 \(860 \times \Delta t_2 = 8400\) を \( \Delta t_2\) について解くと、\( \Delta t_2 = \displaystyle\frac{8400}{860} = \frac{420}{43} \approx 9.767…\) となり、約 \(9.8 \, \text{s}\) と求まります。

船上で反射音が聞こえる時間は \( \Delta t_2 = \displaystyle\frac{420}{43} \, \text{s} \approx 9.77 \, \text{s}\) となります。模範解答に合わせて約 \(9.8 \, \text{s}\) と表記します。
この時間は、音源が音を出していた時間 \( \Delta t_0 = 10 \, \text{s}\) よりも短くなっています。
この現象は、観測者が聞く音の振動数 \(f_2 = 860 \, \text{Hz}\) が、音源の振動数 \(f_0 = 840 \, \text{Hz}\) よりも高い (\(f_2 > f_0\)) ために起こります。単位時間あたりにより多くの波を聞くことになるので、音源が放出した全ての波を聞き終えるのにかかる時間は、音源が音を出していた時間よりも必然的に短くなります。これは物理的に理にかなった結果です。
逆に、もし船が壁から遠ざかるような状況で、\(f_2 < f_0\) となる場合には、反射音が聞こえる時間 \( \Delta t_2\) は \( \Delta t_0\) よりも長くなることが予想されます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果:
  • この問題を解く上で最も中心的な物理概念です。音源や観測者が運動することにより、観測される音の振動数が変化する現象を正確に理解し、公式を適用できることが求められました。
  • 特に、船から壁への音（音源が動くケース）と、壁で反射した音を船が聞く（観測者が動くケース、壁は静止音源）という2段階のドップラー効果を正しく処理する必要がありました。
  • 公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V \mp v_{\text{観測者}}}{V \mp v_{\text{音源}}} f_0\) における符号の選択（近づく場合は振動数が高くなる方向、遠ざかる場合は低くなる方向）が極めて重要です。
• 音の反射:
  • 壁は、入射した音波を同じ振動数で反射する性質を持つと考えます。この問題では、壁を「受け取った音の振動数をそのまま発する静止した新しい音源」と見なすことができました。
• 波の伝播（距離＝速さ×時間）:
  • 音波が一定の速さ（音速 \(V\)）で空間を伝わるという基本的な性質です。問2では、この関係を用いて音波の移動距離や船の移動距離を時間と関連付け、初期位置を求めました。
• 波の数保存の原理:
  • 問3で決定的な役割を果たしました。ある時間間隔 \(\Delta t_0\) で音源から振動数 \(f_0\) で放出された波の総数 (\(N = f_0 \Delta t_0\)) は、観測者がその音を異なる振動数 \(f_2\) で異なる時間間隔 \( \Delta t_2\) の間に観測したとしても、その総数 (\(N = f_2 \Delta t_2\)) は保存される、という考え方です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法が応用できる類似問題のパターン:
  • 救急車や電車の警笛など、日常生活におけるドップラー効果を扱う問題（音源が通り過ぎる場合など、近づく・遠ざかるが切り替わるケースも含む）。
  • 反射板が動いている場合の問題（例えば、動いている車に音を当ててその反射音を聞く場合など）。この場合、反射板が音を聞くときと、反射板が音を出すときの両方で反射板の運動を考慮する必要があります。
  • 風が吹いている中でのドップラー効果。音速が風速の影響を受け、音の伝播方向によって実効的な音速が変わるため、公式の \(V\) を適切に修正する必要があります。
  • 光のドップラー効果（天文学で遠方の星の光のスペクトル変化を観測するなど。ただし、光の場合は相対論的効果が絡むため、音のドップラー効果の公式とは異なります）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 音源は何か、観測者は誰か？: 問題の各段階（例：直接音、反射音）において、音を発しているものと、それを聞いているものを明確に特定します。
  2. それぞれの運動状態（速度と方向）はどうか？: 音源と観測者がそれぞれ静止しているか、動いているか。動いている場合、その速さと向き（互いに近づいているか、遠ざかっているか）を正確に把握します。
  3. 音の反射はあるか？反射体は動いているか？: 音が何らかの物体で反射している場合、その反射体をどのように扱うか（静止音源と見なせるか、動く音源か）を判断します。
  4. 問われている物理量は何か？: 振動数、波長、速さ、距離、時間など、何を求めたいのかを明確にし、それに応じた物理法則や公式を選択します。
  5. 時間経過と現象の対応: 複数の事象が時間的に連続して起こる場合（例：音を発射→壁に到達→反射→船に到達）、それぞれの区間で何が起きているかを整理します。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • ドップラー効果の公式は、\(V\)、\(v_{\text{音源}}\)、\(v_{\text{観測者}}\) の符号の扱いが非常に重要です。「近づく＝振動数増加」「遠ざかる＝振動数減少」という定性的な結果と照らし合わせながら、符号を決定する習慣をつけましょう。
  • 複雑な状況では、図を描いて物理現象を視覚化することが極めて有効です。音の伝播経路や物体の運動方向などを図示することで、立式の誤りを減らすことができます。
  • 「波の数保存則」は、音源が音を出している時間と観測者が音を聞いている時間が異なる場合に特に有効な考え方です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ドップラー効果の公式における符号の誤り:
  • ありがちなミス: 近づく場合と遠ざかる場合の \(v_{\text{音源}}\) や \(v_{\text{観測者}}\) の符号の選択を間違える。あるいは、どの速度が分母でどの速度が分子かを混同する。
  • 対策: 「近づけば振動数は上がり、遠ざかれば振動数は下がる」という大原則を常に意識します。公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V \mp v_{\text{観測者}}}{V \mp v_{\text{音源}}} f_0\) を基本形とし、観測者が近づくなら分子で \(+v_{\text{観測者}}\)、遠ざかるなら \(-v_{\text{観測者}}\)。音源が近づくなら分母で \(-v_{\text{音源}}\)、遠ざかるなら \(+v_{\text{音源}}\) と、結果的に振動数が適切に変化するように符号を選びます。
• 反射の取り扱いの誤解:
  • ありがちなミス: 壁での反射を1回のドップラー効果で処理しようとしたり、反射によって音の振動数そのものが変化すると誤解したりする。
  • 対策: 壁での反射は、(1)壁が音を受け取る（このとき壁が動いていればドップラー効果が発生）、(2)壁がその受け取った振動数の音を新たな音源として発する（このときも壁が動いていればドップラー効果が発生）、という2段階で考えるのが基本です。本問のように壁が静止していれば、壁は受け取った振動数 \(f_1\) の音を、そのまま振動数 \(f_1\) の静止音源として発します。
• 問2における距離と時間の関係の混乱:
  • ありがちなミス: 音が進んだ総距離と船が進んだ総距離、そして初期距離 \(x\) の関係を正しく立式できない。特に、反射音が戻ってくる距離の扱いで混乱しやすい。
  • 対策: 音が船から出て壁に当たり、反射して船に戻ってくるまでの全行程で、音と船がそれぞれどれだけの時間動き、どれだけの距離を進むのかを図で整理します。\(2x = VT + vT\) の関係式を導出過程から理解するか、少なくともその意味するところ（音の往復距離と船の移動距離の関連性）を把握することが重要です。
• 問3における「波の数保存則」の理解不足や不適用:
  • ありがちなミス: なぜ \(f_0 \Delta t_0 = f_2 \Delta t_2\) が成り立つのかを理解せず、単純な時間の比例計算などをしてしまう。
  • 対策: 音源が単位時間に \(f_0\) 個の波を \( \Delta t_0\) 秒間出し続けると、総数 \(f_0 \Delta t_0\) 個の波が放出される、という基本的な定義に立ち返ります。これらの波は途中で消えたり増えたりしないので、観測者が聞く波の総数も同じはずだ、という物理的な考察が重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • (1) ドップラー効果のイメージ化と図示:
    • イメージ: 船から発せられた音の波面が、船の進行方向（壁側）では圧縮され、間隔が狭まる（振動数が高くなる）様子を思い浮かべます。壁で反射した波面も同様に、壁から船に向かう際に、船がその波面に向かって進むことで、船にとってはさらに波面の間隔が狭まって観測されるイメージです。
    • 図示: 船と壁を簡単な図形で描き、それぞれの速度ベクトル（向きと大きさの概念）を矢印で示します。音の伝播方向（船→壁、壁→船）も矢印で明示します。各段階で「音源はどちらか」「観測者はどちらか」「それぞれの速度はどうか」を書き込むと、状況が整理されます。
  • (2) 距離と時間の関係のイメージ化と図示:
    • イメージ: 船が音を出した瞬間と、その音が壁で反射して船に戻ってきた瞬間の、船の位置関係を捉えます。その間、音は壁まで往復するような動きをし、船自身も壁に向かって移動しています。
    • 図示: 一直線の数直線上に、船の初期位置、壁の位置、そして \(2 \, \text{s}\) 後の船の位置をプロットします。音波がたどった経路（船初期位置→壁→\(2 \, \text{s}\)後船位置）を矢印で示し、各区間の距離を \(x\) や \(vT\)、\(VT\) といった記号で書き込むことで、\(2x = VT+vT\) のような関係式が視覚的に理解しやすくなります。模範解答に示されている図もこの点をうまく表現しています。
  • (3) 波の数のイメージ化と図示:
    • イメージ: 音源が一定時間、「タン、タン、タン…」とリズミカルに波を送り出していると想像します。この「タン」の総数は、聞く側でリズムの速さ（振動数）が変わったとしても、同じ総数だけ聞こえるはずだ、というイメージです。
    • 図示: 時間軸を描き、音源が音を発している区間 (\( \Delta t_0\)) と、観測者が音を聞いている区間 (\( \Delta t_2\)) を示します。それぞれの区間における波の密度（振動数 \(f_0\) と \(f_2\)）が異なることを模式的に表現するのも良いでしょう。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 速度ベクトルを明確に: 運動する物体の速度は、向きと大きさを表す矢印で明確に示します。
  • 音の伝播方向を示す: 音がどちらの向きに進んでいるのかを矢印で示します。
  • 距離や時間などの物理量を書き込む: 図の中に、問題で与えられた数値や求めたい未知数を記号で書き込み、関係性を整理します。
  • 状況を簡略化しつつ本質を捉える: あまりに詳細で複雑な図はかえって混乱を招くこともあります。問題の本質を捉え、必要な情報だけを分かりやすく表現するバランスが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ドップラー効果の公式 \(f’ = \displaystyle\frac{V \mp v_{\text{観測者}}}{V \mp v_{\text{音源}}} f_0\):
  • 選択の根拠: 問題文に「船が動きながら音を出し、その反射音を聞く」「振動数がずれた」という記述があることから、音源または観測者の運動によって振動数が変化する現象、すなわちドップラー効果を扱う必要があると判断します。
  • 適用の根拠: この公式は、音速 \(V\)、音源の速度 \(v_{\text{音源}}\)、観測者の速度 \(v_{\text{観測者}}\)、元の振動数 \(f_0\) の間の関係を一般的に表しています。問題の具体的な状況（誰が動き、どちら向きに動き、何が静止しているか）に合わせて、公式中の \(v_{\text{音源}}\) や \(v_{\text{観測者}}\) に値を代入し、符号を正しく選択することで適用します。
• 距離 = 速さ × 時間 (\(L=vt\)):
  • 選択の根拠: 「一定の速さで運動する物体（音波や船）が、ある時間でどれだけの距離を進むか」という、運動を記述する最も基本的な関係です。問2のように、音の到達時間や船の移動距離が関わる場面では、この法則の適用が考えられます。
  • 適用の根拠: 音速 \(V\) や船の速さ \(v\) が一定であるという条件下で、時間 \(T\) の間に進む距離を求める際に直接適用できます。
• 波の数保存則に基づく関係式 \(f_0 \Delta t_0 = f_2 \Delta t_2\):
  • 選択の根拠: 「音源が一定時間音を出し続け、それを観測者が（異なる振動数で）聞く」という状況で、音を出した時間と聞いた時間が異なる可能性があり、かつその間の振動数の変化も考慮する必要がある場合、この法則が有効です。
  • 適用の根拠: 音源から放出された波の「個数」そのものは、途中で消えたり増えたりしない（理想的な状況下で）という物理的な洞察に基づいています。したがって、放出された総波数と観測された総波数は等しくなければならず、この等式が成り立ちます。

これらの公式は、それぞれが特定の物理的状況や法則に対応しています。どの公式をどの場面で使うべきかは、問題文で与えられた条件と問われている内容を照らし合わせ、現象の背後にある物理法則を正しく理解することで判断できるようになります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問1 (船の速さ \(v\) の導出):
   • 現象の分析: 音は「船（音源）→壁（反射・一時的観測者）」と「壁（新音源）→船（観測者）」の2段階で伝わる。それぞれの段階でドップラー効果が発生する。
   • 第1段階の立式（船→壁）: 音源が静止観測者に近づくので、壁が聞く振動数 \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-v} f_0\)。
   • 第2段階の立式（壁→船）: 静止音源に観測者が近づくので、船が聞く振動数 \(f_2 = \displaystyle\frac{V+v}{V} f_1\)。
   • 式の統合: 上記2式から \(f_1\) を消去し、\(f_2 = \displaystyle\frac{V+v}{V-v} f_0\) を得る。
   • 条件の適用と方程式化: 問題文より \(f_2 = f_0 + 20 \, \text{Hz} = 860 \, \text{Hz}\)。よって、\(860 = \displaystyle\frac{V+v}{V-v} f_0\)。
   • 計算: 上記の方程式に \(V=340, f_0=840\) を代入し、\(v\) について解く。
2. 問2 (初期距離 \(x\) の導出):
   • 現象の分析: 音が船から出て壁で反射し船に戻るまでの時間 \(T=2\text{s}\) の間に、音と船の両方が移動する。
   • 距離関係の発見: 音が進んだ総距離 \(VT\)、船が進んだ総距離 \(vT\)、初期距離 \(x\) の間には、\(2x = VT + vT\) の関係が成り立つ（音の往路 \(x\) と復路 \(x’\) の和が \(VT\)、差が \(vT\) であることから導かれる）。
   • 立式: \(2x = (V+v)T\)。
   • 計算: \(V=340, v=4\) (問1の結果), \(T=2\) を代入し、\(x\) について解く。
3. 問3 (反射音が聞こえる時間 \( \Delta t_2\) の導出):
   • 現象の分析: 音源が一定時間 \( \Delta t_0 = 10\text{s}\) 音を出し続け、それを観測者が（ドップラー効果で振動数が変わった状態で）聞く。
   • 原理の適用: 波の数保存則（音源が放出した波の総数と観測者が聞く波の総数は等しい）。
   • 立式: 放出された総波数 \(N_0 = f_0 \Delta t_0\)。観測された総波数 \(N_2 = f_2 \Delta t_2\)。\(N_0 = N_2\) より、\(f_0 \Delta t_0 = f_2 \Delta t_2\)。
   • 計算: \(f_0=840, \Delta t_0=10, f_2=860\) (問1の結果) を代入し、\( \Delta t_2\) について解く。

このように、各設問で「何が起きているのか（現象分析）」「どの法則が使えるか（原理・公式の選択）」「どうやって式を立てるか（立式）」「どうやって解くか（計算）」というステップを意識的に踏むことで、複雑な問題でも論理的に解答にたどり着くことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 問1の \(v\) を求める計算での注意点:
  • 方程式 \(860 = \displaystyle\frac{340+v}{340-v} \times 840\) を変形する際、まず両辺を \(840\) で割り \(\displaystyle\frac{860}{840} = \frac{43}{42}\) と約分することで、その後の計算が少し楽になります。
  • \(43(340-v) = 42(340+v)\) を展開するとき、分配法則を正確に適用し、符号ミスに注意します。特に、\(43 \times 340\) や \(42 \times 340\) のような大きな数をすぐに計算するのではなく、後の整理 (\((43-42) \times 340\)) で簡単になることを見越せると良いでしょう。
  • 最終的な \(340 = 85v\) からの割り算 \(v = 340/85\) も、\(85 \times 4 = (80+5)\times 4 = 320+20=340\) のように九九や簡単な暗算で確認できるとスムーズです。
• 問2の \(x\) を求める計算での注意点:
  • \(x = \displaystyle\frac{(V+v)T}{2}\) の式は比較的単純ですが、代入する数値を間違えないようにします（特に \(v\) の値）。計算順序（括弧内が先、次に掛け算、最後に割り算）を守ります。
• 問3の \( \Delta t_2\) を求める計算での注意点:
  • \( \Delta t_2 = \displaystyle\frac{f_0 \Delta t_0}{f_2} = \frac{840 \times 10}{860} = \frac{8400}{860}\)。まず末尾の0を消して \(\displaystyle\frac{840}{86}\) とし、さらに2で割って \(\displaystyle\frac{420}{43}\) と約分することで、割り算が少し楽になります。
  • \(420 \div 43\) の割り算は筆算などで丁寧に行い、求められる有効数字に注意して結果を丸めます。
• 日頃の練習で意識すべきこと:
  • 途中式を丁寧に書く習慣: 計算過程を省略せずに記述することで、ミスを発見しやすくなり、論理の飛躍も防げます。
  • 単位の確認: 計算の各ステップで物理量の単位が正しく扱われているかを確認する癖をつけると、次元的に誤った式変形に気づくことがあります。
  • 検算の実施: 時間が許せば、求めた答えを元の問題条件や方程式に代入して矛盾がないか確認したり、別の角度からアプローチして同じ結果が得られるか試したりします。
  • 概算の活用: 計算を始める前や計算結果が出た後に、答えがどの程度のオーダーになるか大まかに予測し、実際の計算結果がそれと大きくかけ離れていないか確認します。
  • 文字式のまま計算を進める: 可能な限り、具体的な数値を代入するのは計算の最後の段階にし、それまでは文字式のまま計算を進めることで、見通しが良くなったり、計算ミスを減らせたりすることがあります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• (1) 船の速さ \(v = 4 \, \text{m/s}\):
  • 物理的な妥当性:
    • 値の符号: 船の「速さ」なので、正の値であるべきです。結果は \(+4 \, \text{m/s}\) であり問題ありません。
    • 値の大きさ: 音速 \(V=340 \, \text{m/s}\) と比較して、\(4 \, \text{m/s}\) は十分に小さい値です。これは、一般的な船の速度としても現実的な範囲です。もし \(v\) が音速を超えるような異常な値になった場合は、計算過程や立式を疑うべきです。
    • 振動数の変化との整合性: 観測された振動数の変化は \(20 \, \text{Hz}\) で、これは元の振動数 \(840 \, \text{Hz}\) の約 \(2.4\%\) です。振動数の変化率が比較的小さいことから、船の速さ \(v\) が音速 \(V\) に対してそれほど大きくないことが予想され、得られた結果と矛盾しません。
• (2) 初期距離 \(x = 344 \, \text{m}\):
  • 物理的な妥当性:
    • 値の符号: 距離なので、正の値であるべきです。結果は \(+344 \, \text{m}\) であり問題ありません。
    • 値の大きさの感覚: 音が \(2 \, \text{s}\) で往復できる距離であり、その間に船も \(8 \, \text{m}\) 移動することを考慮すると、数百メートルというスケールは妥当です。極端に短い距離（例：数メートル）や長すぎる距離（例：数キロメートル）ではないことを確認します。
• (3) 反射音が聞こえる時間 \( \Delta t_2 \approx 9.8 \, \text{s}\):
  • 物理的な妥当性:
    • 値の符号: 時間なので、正の値であるべきです。結果は約 \(+9.8 \, \text{s}\) であり問題ありません。
    • 元の吹鳴時間との比較: 音源が音を出していた時間 \( \Delta t_0 = 10 \, \text{s}\) に対して、観測時間が \( \Delta t_2 \approx 9.8 \, \text{s}\) と短くなっています。これは、観測される振動数 \(f_2 = 860 \, \text{Hz}\) が元の振動数 \(f_0 = 840 \, \text{Hz}\) よりも高い (\(f_2 > f_0\)) ためです。単位時間あたりにより多くの波を聞くことになるので、音源が放出した全ての波を聞き終えるのにかかる時間は短縮される、という物理的な状況と一致しています。もし \(f_2 < f_0\) であれば、\( \Delta t_2 > \Delta t_0\) となるはずであり、その点も確認できます。
    • 極端な場合を想定: もしドップラー効果が全くなく \(f_2 = f_0\) であれば、\( \Delta t_2 = \Delta t_0 = 10 \, \text{s}\) となるはずです。今回の結果はそれよりも少し短いので、ドップラー効果（近づく効果）と整合しています。

このように、得られた答えに対して「物理的にありえるか？」「他の条件と矛盾しないか？」と自問自答する習慣は、ケアレスミスを防ぐだけでなく、物理現象そのものへの理解を深める上で非常に重要です。

問題82 (名城大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、音源や反射体（壁）が運動することによって観測される音の振動数が変化する「ドップラー効果」と、振動数がわずかに異なる2つの音が重なり合うことで生じる「うなり」の現象を組み合わせた問題です。それぞれの条件下で、音源と観測者（または壁）の相対的な運動を正確に把握し、適切な公式を適用することが求められます。
図の配置は、左から順に「観測者、音源S、壁」が並んでいるものとします。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• ドップラー効果の公式: 音源の速度を \(v_S\)、観測者の速度を \(v_O\) としたとき、観測者が聞く音の振動数 \(f’\) は、元の振動数を \(f_{\text{元}}\) として、
  $$f’ = \displaystyle\frac{V \pm v_O}{V \mp v_S} f_{\text{元}}$$
  と表されます。符号の選択は、観測者や音源が互いに近づくのか遠ざかるのかによって決まります。一般的に、観測者が音源に近づく場合は分子で \(+v_O\)、遠ざかる場合は \(-v_O\)。音源が観測者に近づく場合は分母で \(-v_S\)、遠ざかる場合は \(+v_S\)。
• 反射音のドップラー効果: 壁による音の反射は、2段階のドップラー効果として考えることができます。
  1. 壁が音源からの音を「観測者」として受け取る。このとき壁が動いていればドップラー効果が生じます。
  2. 壁が受け取った振動数の音を、今度は壁自身が「音源」となって反射（再放射）する。このときも壁が動いていればドップラー効果が生じます。壁が静止している場合は、壁が受けた音の振動数と反射する音の振動数は同じになります。
• うなりの振動数: 振動数がわずかに異なる2つの音 \(f_A\) と \(f_B\) が重なると、1秒あたり \(n = |f_A – f_B|\) 回のうなりが聞こえます。

各設問に対して、これらの法則を適切に適用し、数式を立てて解いていきます。

問1

音源Sが左へ動くということは、「観測者(左) — 音源S(中) — 壁(右)」という配置において、音源Sは観測者に近づき、壁からは遠ざかる運動です。

(ア) Sから観測者に直接到達する音の振動数 \(f_1\) はいくらか。

思考の道筋とポイント
音源Sが観測者に近づいています。観測者は静止しています。ドップラー効果の公式（音源が動く場合）を適用します。音源が近づくので、振動数は元の振動数よりも高くなるはずです。
この設問における重要なポイント

• 音源Sが観測者に速さ \(v\) で近づく。
• 観測者は静止している。
• ドップラー効果により、観測される振動数は \(f_0\) より高くなる。

具体的な解説と立式
音源Sが速さ \(v\) で観測者に近づいています。観測者は静止しています。
このとき、観測者が聞く直接音の振動数 \(f_1\) は、ドップラー効果の公式より次のように表されます。
音源が観測者に近づく場合、分母から \(-v_S\) （音源の速さ）を引きます。
$$f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-v} f_0$$

上記の立式がそのまま結論となります。
$$f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-v} f_0$$

音源Sがあなた（観測者）に速さ \(v\) で近づいてくる状況を想像してください。救急車のサイレンが近づいてくるときに音が高く聞こえるのと同じ現象です。音源が近づくと、音の波の間隔（波長）が圧縮されるため、1秒間にあなたの耳に届く波の数（振動数）が増えます。
ドップラー効果の公式 \(f’ = \frac{\text{音速}}{\text{音速} – \text{音源の速さ(近づく場合)}} \times \text{元の振動数}\) を使うと、\(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-v} f_0\) と計算できます。

Sから観測者に直接到達する音の振動数 \(f_1\) は \(\displaystyle\frac{V}{V-v} f_0\) [Hz] です。
分母が \(V-v\) となっており、\(v>0\) かつ \(v<V\) のとき \(V-v < V\) なので、\(f_1 > f_0\) となります。これは音源が近づく場合に振動数が高くなるという物理現象と一致しており、妥当です。

(イ) 壁で反射して観測者に到達する音の振動数 \(f_2\) はいくらか。

思考の道筋とポイント
壁による反射音の振動数を求めるには、2つのステップで考えます。
1. まず、音源Sから壁に向かう音について考えます。音源Sは壁から遠ざかっており、壁は静止しています。壁が「聞く」（受け取る）音の振動数 \(f_{\text{壁}}\) を求めます。
2. 次に、壁はその振動数 \(f_{\text{壁}}\) の音を反射します。壁は静止しているので、壁を新たな音源と考えると、その音源の振動数は \(f_{\text{壁}}\) です。この音源（壁）は静止しており、観測者も静止しているので、観測者が聞く反射音の振動数 \(f_2\) は \(f_{\text{壁}}\) に等しくなります。
この設問における重要なポイント

• ステップ1：音源Sが壁から速さ \(v\) で遠ざかる。壁は静止した観測者とみなせる。壁が受け取る振動数 \(f_{\text{壁}}\) は \(f_0\) より低くなる。
• ステップ2：壁が振動数 \(f_{\text{壁}}\) の音を出す静止した音源となる。観測者も静止している。したがって、観測者が聞く振動数 \(f_2\) は \(f_{\text{壁}}\) と等しい。

具体的な解説と立式
ステップ1: 壁が受け取る音の振動数 \(f_{\text{壁}}\)
音源Sは、壁に対して速さ \(v\) で遠ざかっています。壁は静止しています。
このとき、壁が受け取る音の振動数 \(f_{\text{壁}}\) は、ドップラー効果の公式より次のように表されます。
音源が観測者（この場合は壁）から遠ざかる場合、分母に \(+v_S\) （音源の速さ）を加えます。
$$f_{\text{壁}} = \displaystyle\frac{V}{V+v} f_0$$
ステップ2: 壁からの反射音を観測者が聞く振動数 \(f_2\)
壁は静止しており、振動数 \(f_{\text{壁}}\) の音を反射します。このとき、壁は振動数 \(f_{\text{壁}}\) の静止した音源と見なせます。観測者も静止しているので、観測者が聞く反射音の振動数 \(f_2\) は、壁が受けた音の振動数 \(f_{\text{壁}}\) と同じになります。
$$f_2 = f_{\text{壁}} = \displaystyle\frac{V}{V+v} f_0$$

上記の立式がそのまま結論となります。
$$f_2 = \displaystyle\frac{V}{V+v} f_0$$

壁からの反射音を考えるときは、2段階で考えます。
1. まず、音源Sから出た音が壁に届くときの振動数を計算します。Sは壁から速さ \(v\) で遠ざかっているので、壁が受け取る音の振動数 \(f_{\text{壁}}\) は、元の振動数 \(f_0\) よりも低くなります。公式では \(f_{\text{壁}} = \displaystyle\frac{V}{V+v} f_0\) となります。
2. 次に、壁はこの \(f_{\text{壁}}\) の振動数の音をそのまま反射します。壁も観測者も動いていないので、観測者が聞く反射音の振動数 \(f_2\) は、この \(f_{\text{壁}}\) と同じになります。

壁で反射して観測者に到達する音の振動数 \(f_2\) は \(\displaystyle\frac{V}{V+v} f_0\) [Hz] です。
分母が \(V+v\) となっており、\(v>0\) のとき \(V+v > V\) なので、\(f_2 < f_0\) となります。これは音源が反射体（壁）から遠ざかる場合に振動数が低くなるという物理現象と一致しており、妥当です。

(ウ) 観測者には1秒間に \(n_1\) 回のうなりが聞こえた。Sの速さ \(v\) はいくらか。

思考の道筋とポイント
うなりは、振動数が異なる2つの音、この場合は直接音（振動数 \(f_1\)）と壁からの反射音（振動数 \(f_2\)）が干渉することで生じます。うなりの回数 \(n_1\) は、2つの振動数の差の絶対値 \(|f_1 – f_2|\) で与えられます。
(ア)で求めた \(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-v} f_0\) と、(イ)で求めた \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V+v} f_0\) を用います。
一般に、\(v>0\) のとき \(V-v < V+v\) なので、その逆数は \(\displaystyle\frac{1}{V-v} > \displaystyle\frac{1}{V+v}\) となり、\(f_1 > f_2\) です。
この設問における重要なポイント

• うなりの発生源：直接音 \(f_1\) と反射音 \(f_2\)。
• うなりの振動数の公式：\(n_1 = |f_1 – f_2|\) （ここで \(f_1 > f_2\)）。
• \(f_1\) と \(f_2\) の式を代入し、\(v\) についての方程式を解く。

具体的な解説と立式
うなりの振動数の公式より、
$$n_1 = |f_1 – f_2|$$
ここで、\(f_1 = \displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\) および \(f_2 = \displaystyle\frac{V}{V+v}f_0\) です。
\(v>0\) であれば \(V-v < V+v\) なので、\(\displaystyle\frac{1}{V-v} > \displaystyle\frac{1}{V+v}\) となり、\(f_1 > f_2\) が成り立ちます。
したがって、
$$n_1 = f_1 – f_2 = \displaystyle\frac{V}{V-v}f_0 – \displaystyle\frac{V}{V+v}f_0$$
この式を \(v\) について解いていきます。

まず、右辺を共通因数 \(Vf_0\) でくくります。
$$n_1 = Vf_0 \left( \displaystyle\frac{1}{V-v} – \displaystyle\frac{1}{V+v} \right)$$
次に、括弧の中の分数を通分します。分母は \((V-v)(V+v)\) となり、分子は \((V+v) – (V-v)\) です。
$$n_1 = Vf_0 \left( \displaystyle\frac{(V+v) – (V-v)}{(V-v)(V+v)} \right)$$
分子を整理し、分母を展開すると \(V^2-v^2\) となります。
$$n_1 = Vf_0 \left( \displaystyle\frac{V+v-V+v}{V^2-v^2} \right) = Vf_0 \left( \displaystyle\frac{2v}{V^2-v^2} \right) = \displaystyle\frac{2Vvf_0}{V^2-v^2}$$
この式を \(v\) について解くため、まず両辺に \((V^2-v^2)\) を掛けて分母を払います。
$$n_1(V^2-v^2) = 2Vvf_0$$
左辺を展開し、全ての項を一方の辺に集めて \(v\) の降べきの順に整理すると、\(v\) についての2次方程式が得られます。
$$n_1V^2 – n_1v^2 = 2Vf_0v$$
$$n_1v^2 + 2Vf_0v – n_1V^2 = 0$$
この2次方程式に解の公式 \(x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) を適用します（\(a=n_1, b=2Vf_0, c=-n_1V^2\)）。
$$v = \displaystyle\frac{-(2Vf_0) \pm \sqrt{(2Vf_0)^2 – 4(n_1)(-n_1V^2)}}{2n_1}$$
根号の中を計算し、整理を進めます。
$$v = \displaystyle\frac{-2Vf_0 \pm \sqrt{4V^2f_0^2 + 4n_1^2V^2}}{2n_1} = \displaystyle\frac{-2Vf_0 \pm \sqrt{4V^2(f_0^2 + n_1^2)}}{2n_1}$$
\(\sqrt{4V^2} = 2V\) （\(V>0\)）なので、根号の外に出し、分子の共通因子 \(2V\) でくくり、最後に約分します。
$$v = \displaystyle\frac{-2Vf_0 \pm 2V\sqrt{f_0^2 + n_1^2}}{2n_1} = \displaystyle\frac{2V(-f_0 \pm \sqrt{f_0^2 + n_1^2})}{2n_1}$$
$$v = \displaystyle\frac{V(-f_0 \pm \sqrt{f_0^2 + n_1^2})}{n_1}$$
音源の速さ \(v\) は正であるため、\(\sqrt{f_0^2 + n_1^2} > f_0\) を考慮し、複号の正の方を選びます。
$$v = \displaystyle\frac{V(\sqrt{f_0^2 + n_1^2} – f_0)}{n_1}$$

1. うなりが1秒間に \(n_1\) 回聞こえるということは、直接音の振動数 \(f_1\) と反射音の振動数 \(f_2\) の差が \(n_1\) であることを意味します。つまり \(n_1 = |f_1 – f_2|\) です。
2. (ア)と(イ)で求めた \(f_1\) と \(f_2\) の式を代入すると、\(n_1 = \displaystyle\frac{2Vvf_0}{V^2-v^2}\) という関係が得られます。
3. この式は音源Sの速さ \(v\) を含んでいるので、この式を \(v\) について解けばよいことになります。
4. 式を変形すると、\(v\) についての2次方程式 \(n_1v^2 + 2Vf_0v – n_1V^2 = 0\) が得られます。
5. 2次方程式の解の公式を使って \(v\) を求めます。速さ \(v\) は正の値なので、2つ出てくる解のうち正の方を選びます。

音源Sの速さ \(v\) は \(\displaystyle\frac{V(\sqrt{f_0^2 + n_1^2} – f_0)}{n_1}\) [m/s] です。
この式は、\(n_1 > 0\) のときに \(v > 0\) を与えます。また、うなりの回数 \(n_1\) が非常に小さい (\(n_1 \to 0\)) 場合、\(v \to 0\) となることが期待されます。これは、音源が動かなければうなりは生じないという直感と一致します。

問2

音源Sは静止しており、「観測者(左) — 音源S(中) — 壁(右)」という配置で、壁が左へ（音源Sおよび観測者に近づく向きへ）速さ \(u\) で動きます。

(ア) 壁で反射して観測者に到達する音の振動数 \(f_{II}\) はいくらか。

思考の道筋とポイント
これも2段階のドップラー効果で考えます。
1. まず、音源S（静止）から壁（速さ \(u\) でSに近づく）へ向かう音について考えます。壁が「観測者」として受け取る音の振動数 \(f_{\text{壁受信}}\) を求めます。
2. 次に、壁はその振動数 \(f_{\text{壁受信}}\) の音を反射します。このとき、壁は振動数 \(f_{\text{壁受信}}\) の音源となり、観測者にも速さ \(u\) で近づいています。観測者は静止しています。この動く音源（壁）からの音を観測者が聞く振動数 \(f_{II}\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• ステップ1：音源Sは静止。壁はSに速さ \(u\) で近づく観測者とみなせる。壁が受け取る振動数 \(f_{\text{壁受信}}\) は \(f_0\) より高くなる。
• ステップ2：壁は振動数 \(f_{\text{壁受信}}\) の音源となり、観測者に速さ \(u\) で近づく。観測者は静止している。観測者が聞く振動数 \(f_{II}\) は \(f_{\text{壁受信}}\) よりさらに高くなる。

具体的な解説と立式
ステップ1: 壁が受信する音の振動数 \(f_{\text{壁受信}}\)
音源Sは静止しており、振動数 \(f_0\) の音を発しています。壁は、音源Sに速さ \(u\) で近づいています（壁が動く観測者の役割）。
観測者が音源に近づく場合、分子で \(+v_O\) （観測者の速さ）を加えます。
$$f_{\text{壁受信}} = \displaystyle\frac{V+u}{V} f_0$$
ステップ2: 壁が反射する音を観測者が聞く振動数 \(f_{II}\)
次に、壁は振動数 \(f_{\text{壁受信}}\) の音源として振る舞い、観測者に速さ \(u\) で近づいています。観測者は静止しています。
音源が観測者に近づく場合、分母から \(-v_S\) （音源の速さ）を引きます。ここでの音源の振動数は \(f_{\text{壁受信}}\) です。
$$f_{II} = \displaystyle\frac{V}{V-u} f_{\text{壁受信}}$$
\(f_{\text{壁受信}}\) の式を代入すると、
$$f_{II} = \displaystyle\frac{V}{V-u} \cdot \left( \displaystyle\frac{V+u}{V} f_0 \right)$$
\(V\) が約分されて、
$$f_{II} = \displaystyle\frac{V+u}{V-u} f_0$$

上記の立式と変形がそのまま計算過程となります。
$$f_{\text{壁受信}} = \displaystyle\frac{V+u}{V} f_0$$
$$f_{II} = \displaystyle\frac{V}{V-u} f_{\text{壁受信}} = \displaystyle\frac{V}{V-u} \cdot \displaystyle\frac{V+u}{V} f_0 = \displaystyle\frac{V+u}{V-u} f_0$$

壁が動く場合の反射音も、2段階で考えます。
1. まず、音源Sは止まっていますが、壁がSに速さ \(u\) で近づいています。このため、壁が「聞く」音の振動数 \(f_{\text{壁受信}}\) は、元の \(f_0\) より高くなります。計算すると \(f_{\text{壁受信}} = \displaystyle\frac{V+u}{V} f_0\) です。
2. 次に、この \(f_{\text{壁受信}}\) の音を、壁が音源となって反射します。このとき、壁は観測者にも速さ \(u\) で近づいています。そのため、観測者が聞く音の振動数 \(f_{II}\) は、\(f_{\text{壁受信}}\) よりもさらに高くなります。計算すると \(f_{II} = \displaystyle\frac{V}{V-u} f_{\text{壁受信}}\) です。
これら2つの効果を合わせると、\(f_{II} = \displaystyle\frac{V+u}{V-u} f_0\) となります。

壁で反射して観測者に到達する音の振動数 \(f_{II}\) は \(\displaystyle\frac{V+u}{V-u} f_0\) [Hz] です。
\(u>0\) かつ \(u<V\) のとき、\(V+u > V-u > 0\) なので、\(\displaystyle\frac{V+u}{V-u} > 1\) となり、\(f_{II} > f_0\) です。これは、壁が音源および観測者に近づくため、二重にドップラー効果を受けて振動数が元の振動数よりも高くなるという物理現象と一致しており、妥当です。

(イ) 観測者には1秒間に \(n_2\) 回のうなりが聞こえた。壁の速さ \(u\) はいくらか。

思考の道筋とポイント
音源Sは固定されているので、観測者が聞く直接音の振動数は \(f_0\) のままです。
壁からの反射音の振動数は、(2ア)で求めた \(f_{II} = \displaystyle\frac{V+u}{V-u} f_0\) です。
うなりの回数 \(n_2\) は、これら2つの振動数の差の絶対値 \(|f_0 – f_{II}|\) で与えられます。
(2ア)の結果より \(f_{II} > f_0\) なので、\(n_2 = f_{II} – f_0\) となります。
この設問における重要なポイント

• うなりの発生源：直接音 \(f_0\)（Sは静止）と反射音 \(f_{II}\)。
• うなりの振動数の公式：\(n_2 = |f_{II} – f_0|\)。ここで \(f_{II} > f_0\)。
• \(f_{II}\) の式を代入し、\(u\) についての方程式を解く。

具体的な解説と立式
うなりの振動数の公式より、
$$n_2 = |f_{II} – f_0|$$
音源Sは静止しているので、観測者が聞く直接音の振動数は \(f_0\) です。
壁からの反射音の振動数は \(f_{II} = \displaystyle\frac{V+u}{V-u}f_0\) です。
\(u>0\) かつ \(u<V\) のとき、\(V+u > V-u\) より \(\displaystyle\frac{V+u}{V-u} > 1\) なので、\(f_{II} > f_0\) です。
したがって、
$$n_2 = f_{II} – f_0 = \displaystyle\frac{V+u}{V-u}f_0 – f_0$$
この式を \(u\) について解いていきます。

まず、右辺を共通因数 \(f_0\) でくくります。
$$n_2 = f_0 \left( \displaystyle\frac{V+u}{V-u} – 1 \right)$$
次に、括弧の中の分数を通分します。分母は \(V-u\)、分子は \((V+u) – (V-u)\) です。
$$n_2 = f_0 \left( \displaystyle\frac{(V+u) – (V-u)}{V-u} \right)$$
分子の括弧を外し、整理すると \(2u\) となります。
$$n_2 = f_0 \left( \displaystyle\frac{V+u-V+u}{V-u} \right) = f_0 \left( \displaystyle\frac{2u}{V-u} \right) = \displaystyle\frac{2uf_0}{V-u}$$
この式を \(u\) について解くため、まず両辺に \((V-u)\) を掛けて分母を払います。
$$n_2(V-u) = 2uf_0$$
左辺を展開し、\(u\) を含む項と含まない項に整理します。
$$n_2V – n_2u = 2uf_0$$
\(u\) を含む項を右辺に集めます。
$$n_2V = 2uf_0 + n_2u$$
右辺を \(u\) でくくります。
$$n_2V = u(2f_0 + n_2)$$
したがって、\(u\) は次のように求められます。
$$u = \displaystyle\frac{n_2V}{2f_0 + n_2}$$

1. 音源Sは止まっているので、直接聞こえる音の振動数は \(f_0\) です。
2. (2ア)で計算したように、壁からの反射音の振動数は \(f_{II} = \displaystyle\frac{V+u}{V-u}f_0\) です。壁が近づいているので、この \(f_{II}\) は \(f_0\) よりも大きいです。
3. うなりが1秒間に \(n_2\) 回聞こえるので、\(n_2 = f_{II} – f_0\) となります。
4. この式に \(f_{II}\) の具体的な形を代入すると、\(n_2 = \displaystyle\frac{2uf_0}{V-u}\) という関係が得られます。
5. この式を壁の速さ \(u\) について解けば、答えが得られます。

壁の速さ \(u\) は \(\displaystyle\frac{n_2V}{2f_0 + n_2}\) [m/s] です。
この式では、\(f_0 > 0, n_2 \ge 0, V > 0\) である限り、分母の \(2f_0+n_2\) は常に正であり、\(u \ge 0\) となります。
また、\(u < V\) という条件について吟味します。
\(\displaystyle\frac{n_2V}{2f_0 + n_2} < V\)。\(V>0, 2f_0+n_2 > 0\) なので、両辺を \(V\) で割り、\(2f_0+n_2\) を払うと、
\(n_2 < 2f_0 + n_2\)、すなわち \(0 < 2f_0\)。これは \(f_0>0\) であれば常に成り立ちます。
したがって、この場合の \(u\) は、うなりの回数 \(n_2\) がどんな正の値であっても（理論的には）、音速 \(V\) を超えることはありません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果の原理と公式の正しい適用:
  • 音源や観測者の運動方向（近づくか遠ざかるか）に応じて、振動数がどう変化するかを理解し、公式の符号を正しく選択すること。
• 反射音におけるドップラー効果の2段階処理:
  • 壁が音波を「受信する」際のドップラー効果（壁を観測者とみなす）。
  • 壁が音波を「送信（反射）する」際のドップラー効果（壁を音源とみなす）。
• うなりの原理:
  • うなりの回数（振動数） \(n\) は、2つの音の振動数 \(f_A, f_B\) の差の絶対値 \(n = |f_A – f_B|\) であること。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 音源と観測者の両方が複雑な運動をする場合。
  • 風が吹いている場合（音速 \(V\) が風速の影響で変化する）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 各要素の運動状態の把握: 音源、観測者、反射体のそれぞれの速度（大きさと向き）を明確にする。
  2. ドップラー効果の適用の判断: 相対的に運動していればドップラー効果を考慮する。
  3. うなりの条件確認: 「うなりが聞こえた」とあれば、どの2つの音によるものかを特定する。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 図を描いて状況を整理する。速度の向きを矢印で明確に示す。
  • 反射音はステップを分けて考える。
  • 計算過程は丁寧に。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ドップラー効果の公式の符号ミス:
  • 対策: 「近づけば振動数大、遠ざかれば振動数小」の原則で確認。
• 反射音の扱いでの混乱:
  • 対策: 壁が「聞く」ときと「出す」ときの2ステップを意識する。
• うなりの計算での単純な引き算:
  • 対策: 必ず振動数の「差の絶対値」をとる。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • (1) Sが観測者に近づく直接音は高く、壁から遠ざかり反射する音は低い。これらがうなりを生む。
  • (2) 直接音は \(f_0\)。壁がSと観測者に近づくため反射音は二重に高くなり、\(f_0\) とうなりを生む。
• 図示の有効性:
  • 運動方向を示す矢印と速さを書き込む。
  • 波長が変化するイメージを持つ。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 位置関係、速度の向きを明確に。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ドップラー効果の公式の選択: 音源または観測者の運動による振動数変化があるため。
• うなりの公式の選択: 「うなりが聞こえた」という記述から。
• 適用の根拠: 問題の現象が公式の前提条件と合致するか確認する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 状況の分析: 各設問での音源・壁の運動方向を正確に把握する。
2. 直接音の振動数 \(f_{\text{直接}}\) の導出。
3. 反射音の振動数 \(f_{\text{反射}}\) の導出 (2ステップ)。
4. うなりの式の立式と求解。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 途中式を省略しない。
• 文字式の整理を工夫する。
• 単位（次元）のチェック。
• 解の吟味（物理的に妥当か、特殊な場合で成り立つか）。
• 2次方程式の解の公式の正確な適用。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直感との照らし合わせ。
• 極端な条件での検証:
  • (1ウ) \(n_1 \to 0 ならば v \to 0\)。
  • (2イ) \(n_2 \to 0 ならば u \to 0\)。
• 式の依存関係の確認。

問題83 (岐阜大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、高速で移動する音源（列車）によって生じるドップラー効果、音波の伝播時間、そして相対運動をする系での音波観測といった、波動現象の複合的な理解を問う問題です。図を正確に読み取り、各瞬間の物理現象を的確に捉えることが重要になります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• ドップラー効果: 音源や観測者が運動することにより、観測される音の振動数が変化する現象。音源と観測者を結ぶ直線上における相対速度の成分が重要。
  • 音源が速さ \(v_S\) で、観測者に対して角度 \(\alpha_S\) の方向に近づく（または遠ざかる）場合、観測者が聞く振動数 \(f’\) は、元の振動数 \(f_{\text{元}}\)、音速 \(V\) として、
    \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V \mp v_S \cos\alpha_S} f_{\text{元}}\) （複号は近づくとき「-」、遠ざかるとき「+」）
  • 観測者が速さ \(v_O\) で、音源に対して角度 \(\alpha_O\) の方向に近づく（または遠ざかる）場合、
    \(f’ = \displaystyle\frac{V \pm v_O \cos\alpha_O}{V} f_{\text{元}}\) （複号は近づくとき「+」、遠ざかるとき「-」）
• 音波の伝播: 音波は音速 \(V\) で空間を伝わる。距離 \(d\) を伝わるのにかかる時間は \(t = d/V\)。
• 相対運動と時間の同時性: 複数の物体や波が関わる場合、それぞれの運動や伝播にかかる時間関係を正確に把握し、立式することが重要。

問1

思考の道筋とポイント
列車（音源）が観測者Pの前を通過する際、音源の速度ベクトルのうち、観測者Pと音源を結ぶ方向（視線方向）の成分がドップラー効果に寄与します。列車が遠方から近づくときは視線方向の接近速度が大きく、音は高く聞こえます。Pに最も近づく点Oを通過する瞬間は視線方向の速度成分が0になり、ドップラー効果による変化は（瞬間的には）ありません。その後遠ざかるにつれて視線方向の遠ざかる速度が大きくなり、音は低く聞こえます。
この設問における重要なポイント

• 音源の速度の、観測者との視線方向成分が変化すること。
• 近づくときは高く、遠ざかるときは低く聞こえるドップラー効果の基本。
• 最も近づく点Oを境に、接近から遠ざかるへと変化する。

具体的な解説と立式
列車が観測者Pに近づいてくる間、観測者が聞く音の振動数は \(f_0\) よりも高くなります。列車がPの正面の点Oを通過する瞬間、列車の運動方向は観測者Pの視線方向と垂直になるため、視線方向の速度成分は0となり、観測者が聞く音の振動数は \(f_0\) となります（厳密には音源がOに達する瞬間に発した音）。列車が点Oを通過して遠ざかっていく間、観測者が聞く音の振動数は \(f_0\) よりも低くなります。
この変化は連続的であり、最も高い状態から徐々に低くなり、点Oで \(f_0\) となった後、さらに低くなっていきます。したがって、音の高さは全体として「高く始まり徐々に低くなる」または「（最も高い点から）単純に減少していく」と表現できます。

観測者が聞く音の高さは、列車が近づいてくる遠方で最も高く、列車が遠ざかる遠方で最も低くなります。その間、音の高さは連続的に下がり続ける。
10字以内の解答としては、「単純に減少していく。」または「徐々に低くなっていく。」が適切です。

問2

思考の道筋とポイント
音源が \(\theta = 60^\circ\) の地点で音波を発したとき、観測者が聞く振動数を求めます。ここでの \(\theta\) は、問題の図および模範解答の図から判断すると、音源の速度ベクトル（軌道に平行）と、音源と観測者Pを結ぶ直線とのなす鋭角を指します。音源はこのとき観測者に近づいています。ドップラー効果の公式を適用する際、音源の速度のこの視線方向成分を用います。
この設問における重要なポイント

• 音源の速さ：\(v_{\text{列車}} = \frac{1}{2}V\)。
• 音源の速度ベクトルと音源-観測者間の視線がなす角：\(60^\circ\)。
• 音源が観測者に近づく速度の視線方向成分：\(v_{\text{成分}} = v_{\text{列車}} \cos 60^\circ\)。
• 観測者は静止。

具体的な解説と立式
音源の速さは \(v_{\text{列車}} = \frac{1}{2}V\) です。
音源の速度ベクトルと、音源と観測者Pを結ぶ直線とのなす角が \(60^\circ\) なので、音源が観測者Pに近づく速さの成分 \(v_{\text{成分}}\) は、
$$v_{\text{成分}} = v_{\text{列車}} \cos 60^\circ = \frac{1}{2}V \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}V$$観測者は静止しており、音源が近づいてくるので、観測者が聞く振動数 \(f_{(2)}\) は、$$f_{(2)} = \frac{V}{V – v_{\text{成分}}} f_0 = \frac{V}{V – \frac{1}{4}V} f_0$$

まず、分母を計算します。
$$V – \frac{1}{4}V = \frac{4V – V}{4} = \frac{3}{4}V$$
したがって、振動数 \(f_{(2)}\) は、
$$f_{(2)} = \frac{V}{\frac{3}{4}V} f_0$$
\(V\) を約分すると、
$$f_{(2)} = \frac{1}{\frac{3}{4}} f_0 = \frac{4}{3} f_0$$

1. 列車（音源）の速さは音速の半分、つまり \(\frac{1}{2}V\) です。
2. この列車が、観測者との間の視線に対して \(60^\circ\) の角度で近づいてくるとき、実際に観測者にまっすぐ向かってくる速さの成分は \(\frac{1}{2}V \times \cos 60^\circ = \frac{1}{4}V\) となります。
3. ドップラー効果の公式にこの値を代入し、\(f’ = \frac{\text{音速}}{\text{音速} – \text{近づく速さの成分}} \times \text{元の振動数}\) を計算します。

音源が \(\theta = 60^\circ\) の地点で発した音波を観測者が観測するときの振動数は \(\displaystyle\frac{4}{3}f_0\) です。
\(\frac{4}{3} \approx 1.33\) であり、1より大きいので、振動数は元の \(f_0\) より高くなっています。これは音源が観測者に近づいている状況と整合しており、妥当な結果です。

問3

思考の道筋とポイント
音源が観測者の正面の点Oで音波を発したときの状況を考えます。点Oでは、音源の運動方向（軌道に沿った方向）と、音源から観測者Pへの方向（OP間）は互いに垂直です。したがって、音源の速度の、観測者Pの視線方向成分は0になります。
この設問における重要なポイント

• 音源が点Oにあるとき、その速度ベクトルはOPと直交する。
• ドップラー効果は、音源と観測者を結ぶ視線方向の相対速度成分によって生じる。
• 視線方向の速度成分が0ならば、ドップラー効果による周波数変化はない。

具体的な解説と立式
音源が観測者Pの正面の点Oで音波を発するとき、音源の速度ベクトル（軌道方向）と観測者Pの方向（線分OP）は垂直に交わります。
このため、音源の速度の観測者Pへの視線方向成分は \(v_{\text{列車}} \cos 90^\circ = \frac{1}{2}V \cdot 0 = 0\) となります。
ドップラー効果は音源と観測者の間の視線方向の相対運動によって生じるため、この場合の視線方向の速度成分が0であることから、観測者が聞く音の振動数 \(f\) は、音源が発する元の振動数 \(f_0\) と同じになります。
$$f = f_0$$
観測者は、この受けた音波と同じ振動数 \(f\) の音波を送り返すので、送り返す音波の振動数も \(f_0\) です。

上記の考察により、計算は不要です。
$$f = f_0$$

列車がちょうどあなたの真横（点O）を通過する瞬間に音を出したとします。このとき、列車はあなたに近づいてもいなければ遠ざかってもいない（横切っているだけ）ので、音の高さは変わって聞こえません。つまり、観測者が聞く音の振動数 \(f\) は、列車が出した元の音の振動数 \(f_0\) と同じです。観測者はこの音と同じ振動数で音を送り返します。

観測者が送り返した音波の振動数 \(f\) は \(f_0\) です。
これは、音源が観測者の真横を通過する瞬間にはドップラー効果が（視線方向の速度成分がないため）生じないという重要な特性を示しています。

問4

思考の道筋とポイント
この設問では、時間の同時性を用いて関係式を立てます。
1. 音源が点Oで音波を発し、それが観測者Pに届くまでの時間 \(t_1\)。
2. 観測者Pが音波を受け取り、すぐに送り返す。この送り返された音波が、点Oから距離 \(r\) だけ離れた点Rにいる音源に届く。
このとき、「音源が点Oから点Rまで移動するのにかかった総時間」と、「音源が点Oで音を発してから、その音がPを経由して点Rにいる音源に届くまでの総時間」が等しいと考えます。
この設問における重要なポイント

• 音源がOで音を発してからPに届くまでの時間： \(t_{\text{O} \to \text{P}}\)。
• Pが音を送り返してからRの音源に届くまでの時間： \(t_{\text{P} \to \text{R}}\)。
• 音源がOからRまで移動する時間： \(t_{\text{列車}}\)。
• 時間関係： \(t_{\text{列車}} = t_{\text{O} \to \text{P}} + t_{\text{P} \to \text{R}}\)。

具体的な解説と立式
音源が点Oで音を発し、観測者Pに届くまでの時間は、
$$t_{\text{O} \to \text{P}} = \frac{l}{V}$$観測者Pが音波を送り返し、それが点Rにいる音源に届くまでの時間を考えます。点Pから点Rまでの距離は \(\sqrt{l^2 + r^2}\) なので、この音波の伝播時間は、$$t_{\text{P} \to \text{R}} = \frac{\sqrt{l^2+r^2}}{V}$$したがって、音源が点Oで音を発してから、観測者Pが送り返した音波が点Rの音源に届くまでの総時間は、$$t_{\text{全}} = t_{\text{O} \to \text{P}} + t_{\text{P} \to \text{R}} = \frac{l}{V} + \frac{\sqrt{l^2+r^2}}{V}$$一方、音源である列車が点Oから点Rまで距離 \(r\) を移動するのにかかる時間は、列車の速さが \(\frac{1}{2}V\) なので、$$t_{\text{列車}} = \frac{r}{\frac{1}{2}V} = \frac{2r}{V}$$これらの時間が等しいので、$$\frac{l}{V} + \frac{\sqrt{l^2+r^2}}{V} = \frac{2r}{V}$$

両辺に \(V\) を掛けて分母を払います。
$$l + \sqrt{l^2+r^2} = 2r$$
\(\sqrt{l^2+r^2}\) について整理します。
$$\sqrt{l^2+r^2} = 2r – l$$
両辺を2乗します。このとき、\(2r-l \ge 0\) の条件が必要です。
$$l^2+r^2 = (2r-l)^2$$
右辺を展開します。
$$l^2+r^2 = 4r^2 – 4rl + l^2$$
両辺から \(l^2\) を消去します。
$$r^2 = 4r^2 – 4rl$$
移項して整理します。
$$3r^2 – 4rl = 0$$
\(r\) で因数分解します。
$$r(3r – 4l) = 0$$
音源は点Oから移動しているので、\(r > 0\) です。したがって、\(r \neq 0\)。
よって、括弧の中が0でなければなりません。
$$3r – 4l = 0$$
これを \(r\) について解くと、
$$r = \frac{4}{3}l$$
この解が \(2r-l \ge 0\) を満たすか確認します。
\(2r-l = 2\left(\frac{4}{3}l\right) – l = \frac{8}{3}l – \frac{3}{3}l = \frac{5}{3}l\)。
距離 \(l\) は正なので \(\frac{5}{3}l > 0\) であり、条件を満たします。

1. まず、列車が点Oで音を出し、その音が観測者Pに届くまでの時間を計算します（距離 \(l\)、音速 \(V\)）。
2. 次に、観測者Pが音を出し返し、その音が点Rにいる列車に届くまでの時間を計算します（距離PR、音速 \(V\)）。PRの距離は、三平方の定理から \(l\) と \(r\) で表せます。
3. 列車が点Oから点Rまで距離 \(r\) を進む時間も計算します（速さ \(\frac{1}{2}V\)）。
4. 「列車がOで音を出してからP経由でRに音が届くまでの合計時間」と「列車がOからRまで進む時間」が等しいとして方程式を立て、\(r\) について解きます。

距離 \(r\) は \(\displaystyle\frac{4}{3}l\) です。
これは物理的に妥当な正の値です。

問5

思考の道筋とポイント
観測者Pが送った音波（振動数 \(f\)、Pは静止しているので音源は静止とみなせる）を、移動する列車上の測定器（これが観測者となる）が点Rを通過するときに観測します。測定器は列車とともに速さ \(\frac{1}{2}V\) で移動しています。ドップラー効果を適用するには、測定器の速度の、PからRへの方向（音の伝播方向）の成分を求める必要があります。
この設問における重要なポイント

• 音源：点Pに静止、振動数 \(f\)。
• 観測者：列車上の測定器、速さ \(v_{\text{列車}} = \frac{1}{2}V\) で移動中。
• 音波はPからRへ伝播する。測定器は点Rでこの音波を観測する。
• 測定器の速度の、PR方向（音源Pから遠ざかる方向）成分を求める。

具体的な解説と立式
音源は点Pにあり静止しており、振動数 \(f\) の音波を発します（(3)より \(f=f_0\)）。
観測者である列車上の測定器は、点Rを速さ \(v_{\text{列車}} = \frac{1}{2}V\) で通過します。このときの列車の進行方向（軌道に平行）と、音源Pと点Rを結ぶ直線PRとのなす角を \(\phi\) とします。
三角形OPRにおいて、OP=\(l\)、OR=\(r=\frac{4}{3}l\)。
PRの長さは、三平方の定理より、
$$PR = \sqrt{l^2 + r^2} = \sqrt{l^2 + \left(\frac{4}{3}l\right)^2} = \sqrt{l^2 + \frac{16}{9}l^2} = \sqrt{\frac{9l^2+16l^2}{9}} = \sqrt{\frac{25l^2}{9}} = \frac{5}{3}l$$角 \(\phi\) は、軌道（OR）とPRの間の角なので、\(\cos\phi = \frac{OR}{PR}\) となります。$$\cos\phi = \frac{r}{PR} = \frac{\frac{4}{3}l}{\frac{5}{3}l} = \frac{4}{5}$$測定器は音源Pから遠ざかる方向に、速さの成分 \(v_{\text{成分}} = v_{\text{列車}} \cos\phi\) を持ちます。$$v_{\text{成分}} = \frac{1}{2}V \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}V$$観測者（測定器）が音源Pから遠ざかるので、観測する振動数 \(f’\) は、$$f’ = \frac{V – v_{\text{成分}}}{V} f$$

\(v_{\text{成分}} = \frac{2}{5}V\) をドップラー効果の式に代入します。
$$f’ = \frac{V – \frac{2}{5}V}{V} f$$
分子を計算します。
$$V – \frac{2}{5}V = \frac{5V – 2V}{5} = \frac{3}{5}V$$
したがって、\(f’\) は、
$$f’ = \frac{\frac{3}{5}V}{V} f = \frac{3}{5}f$$

1. まず、観測者Pから点Rまでの距離PRを、\(l\) と \(r=\frac{4}{3}l\) を用いて三平方の定理で求めます。結果は \(\frac{5}{3}l\) です。
2. 次に、列車が点Rを通過するときの進行方向と、線分PRとの間の角度 \(\phi\) の余弦 \(\cos\phi\) を求めます。これは \(\frac{OR}{PR} = \frac{4}{5}\) となります。
3. 列車（測定器）の速さ \(\frac{1}{2}V\) のうち、PR方向（Pから遠ざかる方向）の成分は \(\frac{1}{2}V \cos\phi = \frac{2}{5}V\) です。
4. 音源Pは静止しており、測定器がこの速さで遠ざかるので、ドップラー効果の公式 \(f’ = \frac{V – \text{遠ざかる速さの成分}}{V} \times \text{元の振動数 } f\) を使って \(f’\) を計算します。

測定器が観測する振動数 \(f’\) は \(\displaystyle\frac{3}{5}f\) です。
\(\frac{3}{5} < 1\) なので、\(f’ < f\) となり、測定器が音源であるPから遠ざかっているため振動数が低くなるという結果と一致しており、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ドップラー効果における速度成分の理解: 音源や観測者の速度ベクトルそのものではなく、両者を結ぶ直線上の成分（視線方向速度成分）が振動数変化に寄与することを正確に理解する。
• 音波の伝播と時間の関係: 音が空間を一定の速さで伝わる性質を利用し、距離・速さ・時間の関係から方程式を立てる能力。特に、複数の事象が連続して起こる場合の総時間や時間差の扱い。
• 座標とベクトルの利用: 複雑な位置関係や速度の向きを扱う際に、座標系を設定したり、ベクトルを用いて幾何学的な関係（角度や距離）を求めることが有効。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 音源が円運動をする場合のドップラー効果。
  • 光のドップラー効果（基本的な考え方は似ているが、光速不変の原理など違いも）。
  • 反射板が動く場合のドップラー効果（2段階で考える）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 図の正確な読解: 角度や距離の関係、運動の向きを正確に把握する。特に、どの角度が何を示しているのかを注意深く確認する。
  2. ドップラー効果の適用条件の確認: 音源または観測者が運動しているか。その速度の視線方向成分はいくらか。近づいているか、遠ざかっているか。
  3. 時間に関する条件の探索: 「〜の瞬間に」「〜が〜に達したときに」といった記述は、時間に関する等式を立てるヒントになる。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 角度の定義が複数ある場合（(2)の\(\theta\)と(5)の\(\phi\)のように）、混同しないように注意する。
  • 幾何学的な関係（三平方の定理、三角比）を正しく使う。
  • 立式した方程式を解く際の計算ミスに気をつける（特に平方根や分数が絡む場合）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ドップラー効果の適用角度の誤り: 音源の速度ベクトルそのものではなく、視線方向の成分を使うことを忘れる、または角度の取り方を間違える。
  • 対策: 必ず音源と観測者を結ぶ直線を描き、速度ベクトルがその直線となす角（またはその余角）を正しく用いる。
• 時間関係の立式の誤り: 異なる基準時刻からの時間を混同する。
  • 対策: 各事象の発生時刻を明確にし、時間軸を意識して立式する。
• 符号のミス: ドップラー効果の公式で、近づく場合と遠ざかる場合の符号を取り違える。
  • 対策: 「近づけば高く、遠ざかれば低く」という結果を常に意識し、式がそれと矛盾しないか確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • (1) サイレンを鳴らした救急車が目の前を通り過ぎる時の音の変化を想起する。
  • (2)(5) 音源や観測者が斜めに動く場合、音の波面がどのように圧縮されたり引き伸ばされたりするかをイメージする。
  • (4) 音がP地点で「キャッチボール」され、その間に列車が移動していく様子を時系列で追いかける。
• 図示の有効性:
  • 問題図に速度ベクトル、距離、角度を書き込む。
  • 特に(4)のような時間の絡む問題では、各時刻での音源と音波の位置関係をステップごとに図示すると理解が深まる。
  • (5)では、P、R、列車の速度ベクトルの関係を明確に図示し、必要な角度を求める。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ドップラー効果の公式: 音源と観測者の相対運動があり、振動数変化が問われているため。どの物体が音源で、どの物体が観測者か、それぞれの運動状態はどうかを明確にし、適切な形の公式を選ぶ。
• 時間 = 距離 / 速さ: 音波の伝播や物体の等速運動の時間を計算する基本的な関係式。
• 三平方の定理・三角比: 図形的な位置関係から距離や角度を求める際に不可欠。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1)現象の定性的理解: ドップラー効果による音の高さ変化の一般的な傾向を把握。
2. (2)特定条件下でのドップラー効果: 速度の成分分解と公式適用。
3. (3)特殊な状況でのドップラー効果: 視線方向速度が0となるケースの理解。
4. (4)時間と距離の関係式: 複数の移動物体と音波伝播の時間を等式で結びつける。
   • 音の伝播にかかる時間と、音源の移動にかかる時間をそれぞれ定義し、問題文の条件に合わせて等式を構築。
   • 平方根を含む方程式の解法。
5. (5)再びドップラー効果: 今度は音源と観測者の役割が変わり、観測者が移動するケース。
   • 幾何学的な考察から、観測者の速度の視線方向成分を導出。
   • 公式に適用。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 角度の単位（ラジアンと度）の確認: 本問では度で与えられているが、三角関数計算時は注意。
• 平方根の計算: 2乗する際の符号、展開ミスに注意。\( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)。
• 分数の計算: 繁分数にならないよう、丁寧に処理する。
• 文字の置き換え: 複雑な式は、一部を別の文字で置き換えて計算し、最後に元に戻すのも一手。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理量の符号と大きさ: 振動数や距離は正の値か。速度が音速を超えていないか（通常は超えない設定）。
• 極端な場合の考察:
  • (2) もし \(\theta=90^\circ\) なら（点Oに相当）、\(f = f_0\) となるか。\(v_{\text{成分}}=0\) なのでOK。もし \(\theta=0^\circ\) なら（遠方から直線的に近づく）、\(f = \frac{V}{V-V/2}f_0 = 2f_0\) となるか。
  • (4) もし \(l=0\) なら（Pが軌道上）、\(r=0\) となるか（音は瞬時に返り、列車もO地点）。式は \(r(3r)=0\) となり \(r=0\)。妥当。
• 単位の一貫性: 式の各項の単位が揃っているか。

問題84 (奈良女子大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、円運動する音源からの音を円の外にいる静止観測者が聞くという状況で、ドップラー効果について考察するものです。音源の速度ベクトルと観測者の方向（視線方向）とのなす角度が時間とともに変化するため、観測される振動数も変化します。最大振動数、最小振動数、そして元の振動数が観測される条件、さらにそれらの音を聞く時間間隔などが問われています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• ドップラー効果: 音源と観測者の相対運動により、観測される音の振動数が変化する現象。特に、音源の速度の、観測者と音源を結ぶ直線方向（視線方向）の成分が重要。
  • 音源が視線方向に速さ \(v_{\text{視線}}\) で近づくとき: \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V – v_{\text{視線}}} f_0\)
  • 音源が視線方向に速さ \(v_{\text{視線}}\) で遠ざかるとき: \(f’ = \displaystyle\frac{V}{V + v_{\text{視線}}} f_0\)
• 等速円運動: 速さ \(v\)、半径 \(r\) の円運動の周期 \(T\) は \(T = \frac{2\pi r}{v}\)。角速度 \(\omega = \frac{v}{r} = \frac{2\pi}{T}\)。
• 幾何学的関係: 円と接線、三角形の性質（特に直角三角形における三平方の定理や三角比）を用いて、位置関係や角度を求める。
• 音の伝播時間: 音が距離 \(d\) を音速 \(V\) で伝わるのにかかる時間は \(t = d/V\)。

問1

思考の道筋とポイント
観測される振動数が最大になるのは、音源が観測者Pに対して視線方向に最も速く近づくときです。最小になるのは、最も速く遠ざかるとき。元の振動数 \(f_0\) が観測されるのは、視線方向の速度成分が0になるときです。
この設問における重要なポイント

• 最大振動数 \(f_H\): 音源の速度ベクトルがPを向き、Pにまっすぐ近づく点。これはPから円への接線上の点Aとなる。
• 最小振動数 \(f_L\): 音源の速度ベクトルがPからまっすぐ遠ざかる方向を向く点。これはPから円へのもう一方の接線上の点Cとなる。
• 振動数 \(f_0\): 音源の速度ベクトルがPへの視線と垂直になる点。これはPと円の中心Oを結ぶ直線と円との交点B（2箇所存在する）となる。

具体的な解説と立式

• 点A (\(f_H\)): 観測者Pから円に向かって引いた2本の接線のうち、自動車が左まわりに運動していることを考慮し、速度ベクトルがPの方向を向く方の接点をAとします。この点で音源はPにまっすぐ速さ \(v\) で近づくため、振動数は最大 \(f_H\) となります。
• 点C (\(f_L\)): もう一方の接点をCとします。この点で音源はPからまっすぐ速さ \(v\) で遠ざかるため、振動数は最小 \(f_L\) となります。
• 点B (\(f_0\)): 観測者Pと円の中心Oを結ぶ直線が円周と交わる2点（図でPに近い方を \(B_1\)、遠い方を \(B_2\) とするなどが考えられる）をBとします。これらの点では、音源の速度ベクトル（円の接線方向）がPO（またはPB）方向と垂直になるため、Pへの視線方向の速度成分が0となります。よってドップラー効果は生じず、振動数 \(f_0\) が観測されます。

（図への記入は、これらの条件に従って行います。模範解答の図も参照してください。）

点A、B、Cの特定は、音源の速度ベクトルと観測者Pへの視線方向の関係で決まります。AとCは接点、BはPO線上の点です。

問2

思考の道筋とポイント
点Aでは音源が速さ \(v\) で観測者Pにまっすぐ近づき、点Cでは速さ \(v\) でPからまっすぐ遠ざかります。これらの状況にドップラー効果の公式を適用し、得られた2つの式から \(v\) と \(f_0\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 最大振動数 \(f_H = \displaystyle\frac{V}{V-v}f_0\)
• 最小振動数 \(f_L = \displaystyle\frac{V}{V+v}f_0\)
• 上記2式からなる連立方程式を解いて \(v\) と \(f_0\) を表す。

具体的な解説と立式
最大振動数 \(f_H\) について（音源が速さ \(v\) で近づく）：
$$f_H = \frac{V}{V-v}f_0 \quad \cdots (i)$$
最小振動数 \(f_L\) について（音源が速さ \(v\) で遠ざかる）：
$$f_L = \frac{V}{V+v}f_0 \quad \cdots (ii)$$
式(i)より \(f_0 = \frac{V-v}{V}f_H\)。式(ii)より \(f_0 = \frac{V+v}{V}f_L\)。
よって、
$$\frac{V-v}{V}f_H = \frac{V+v}{V}f_L$$
両辺に \(V\) を掛けて、
$$(V-v)f_H = (V+v)f_L$$
展開して \(v\) について整理します。
$$Vf_H – vf_H = Vf_L + vf_L$$
$$Vf_H – Vf_L = vf_H + vf_L$$
$$V(f_H – f_L) = v(f_H + f_L)$$
したがって、\(v\) は次のように表せます。
$$v = \frac{f_H – f_L}{f_H + f_L}V \quad \cdots (iii)$$
次に、\(f_0\) を求めるために、式(i)を \(V-v = \frac{Vf_0}{f_H}\) と変形し、\(v = V – \frac{Vf_0}{f_H}\) とします。
同様に式(ii)を \(V+v = \frac{Vf_0}{f_L}\) と変形し、\(v = \frac{Vf_0}{f_L} – V\) とします。
これらを等しいとおくと、
$$V – \frac{Vf_0}{f_H} = \frac{Vf_0}{f_L} – V$$
$$2V = Vf_0 \left(\frac{1}{f_L} + \frac{1}{f_H}\right) = Vf_0 \frac{f_H + f_L}{f_H f_L}$$
\(V\) で割り、\(f_0\) について解くと、
$$f_0 = \frac{2f_H f_L}{f_H + f_L} \quad \cdots (iv)$$

上記「具体的な解説と立式」に計算過程を含めました。

1. 音源がまっすぐ近づいてくるときに聞こえる最も高い振動数 \(f_H\) と、まっすぐ遠ざかるときに聞こえる最も低い振動数 \(f_L\) を、それぞれドップラー効果の公式で表します。
2. これらの式には、求めたい音源の速さ \(v\) と元の振動数 \(f_0\) が含まれています。
3. 得られた2つの式を連立方程式として解くことで、\(v\) と \(f_0\) を \(f_H, f_L, V\) を使って表すことができます。

音源の速さ \(v\) と元の振動数 \(f_0\) は、それぞれ
$$v = \frac{f_H – f_L}{f_H + f_L}V$$
$$f_0 = \frac{2f_H f_L}{f_H + f_L}$$
と表されます。これらの式はドップラー効果の問題でよく見られる関係式です。

問3

思考の道筋とポイント
(2)で導出した \(v\) の式に与えられた数値を代入して、まず音源の速さ \(v\) を計算します。
「525 [Hz] の音を聞く周期が 9.42 [s]」という情報は、音源が円周を1周する時間（周期 \(T\)）が 9.42 [s] であることを意味します。なぜなら、最大振動数 \(f_H=525\) Hz は、音源が特定の点A（Pに最も近づく接点）を通過するたびに観測されるためです。
円運動の周期 \(T\)、速さ \(v\)、半径 \(r\) の関係式 \(T = \frac{2\pi r}{v}\) を用いて、半径 \(r\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• (2)で求めた \(v\) の公式を利用する。
• \(f_H\) を聞く周期は、音源の円運動の周期 \(T\) に等しい。
• 円運動の周期の公式 \(T = 2\pi r / v\) を利用する。
• \(\pi \approx 3.14\) として計算する。

具体的な解説と立式
まず、音源の速さ \(v\) を求めます。
$$v = \frac{f_H – f_L}{f_H + f_L}V = \frac{525 \text{ Hz} – 495 \text{ Hz}}{525 \text{ Hz} + 495 \text{ Hz}} \times 340 \text{ m/s}$$
次に、円運動の周期 \(T = 9.42\) s と \(v\) の値を使って、半径 \(r\) を求めます。
円周の長さは \(2\pi r\) なので、周期 \(T\) は \(T = \frac{2\pi r}{v}\) と表せます。
したがって、半径 \(r\) は、
$$r = \frac{vT}{2\pi}$$

まず \(v\) を計算します。
$$v = \frac{30}{1020} \times 340 = \frac{1}{34} \times 340 = 10 \text{ [m/s]}$$
次に \(r\) を計算します。\(T=9.42\) s、\(v=10\) m/s、\(\pi \approx 3.14\) を用います。
$$r = \frac{10 \text{ m/s} \times 9.42 \text{ s}}{2 \times 3.14} = \frac{94.2}{6.28}$$
ここで、\(9.42 = 3 \times 3.14\) であることに気づくと計算が容易になります。
$$r = \frac{10 \times (3 \times 3.14)}{2 \times 3.14} = \frac{10 \times 3}{2} = 15 \text{ [m]}$$

1. まず、(2)で求めた式を使って、与えられた振動数と音速の値から自動車の速さ \(v\) を計算します。
2. 次に、最も高い音（525 Hz）が聞こえる周期が9.42秒であることから、これが自動車が円周を1周する時間 \(T\) であるとわかります。
3. 円運動の速さ \(v\)、周期 \(T\)、半径 \(r\) の間には \(T = \frac{2\pi r}{v}\) という関係があるので、この式を \(r\) について解き、値を代入して半径 \(r\) を計算します。円周率 \(\pi\) は約3.14として計算します。

自動車の速さ \(v\) は 10 m/s、円周の半径 \(r\) は 15 m です。
これらの値は物理的に妥当な範囲と考えられます。

問4

(3)において、距離 OP が \(2r\) [m] に等しい、つまり OP = \(2 \times 15 = 30\) m の場合を考えます。

(ア) \(f_H\) [Hz] の音を聞いて、次に \(f_L\) [Hz] の音を聞くまでに、どれだけの時間がかかるか。

思考の道筋とポイント
\(f_H\) の音は音源が点Aで発した音、\(f_L\) の音は音源が点Cで発した音です。点Aと点Cは観測者Pから円への接点です。
「\(f_H\) の音を聞いて、次に \(f_L\) の音を聞くまでの時間」は、音源が点Aで音を発してからPに到達する時刻と、音源が点Cで音を発してからPに到達する時刻の差です。
Pから接点Aまでの距離PAと、Pから接点Cまでの距離PCは等しいです。
そのため、求める時間は、音源が点Aから点Cまで移動する時間に等しくなります。
\(\triangle OAP\) はOA \(\perp\) AP（接線なので）、OP=\(2r\)、OA=\(r\) の直角三角形です。この情報から中心角 \(\angle AOC\) を求め、音源がこの角度を移動する時間を計算します。
この設問における重要なポイント

• 点A、CはPからの接点であり、PA = PC。
• 求める時間は、音源がAからCへ移動する時間に等しい。
• 幾何学的に \(\triangle OAP\) から \(\angle AOP\) を求め、中心角 \(\angle AOC = 2\angle AOP\) を計算する。
• 音源が \(\angle AOC\) を回転する時間を、周期 \(T\) を用いて計算する。

具体的な解説と立式
点Aと点Cは、観測者Pから円への接点です。したがって、線分OAと線分PAは垂直であり、線分OCと線分PCも垂直です。また、PA = PC です。
\(\triangle OAP\) において、OA = \(r\)、OP = \(2r\)、\(\angle OAP = 90^\circ\) です。
\(\sin(\angle OPA) = \frac{OA}{OP} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}\)。したがって、\(\angle OPA = 30^\circ\)。
これにより、\(\angle AOP = 90^\circ – \angle OPA = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ\)。
同様に、\(\triangle OCP\) においても \(\angle COP = 60^\circ\)。
よって、音源が点Aから点Cまで移動する際に回転する中心角 \(\angle AOC\) は、
$$\angle AOC = \angle AOP + \angle COP = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$$
これは円周全体の \(\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}\) に相当します。
音源が円周を1周する時間（周期）は \(T = 9.42\) s なので、音源が点Aから点Cまで移動するのにかかる時間 \(t_{A \to C}\) は、
$$t_{A \to C} = \frac{1}{3}T$$
\(f_H\) の音はAで発せられ、\(f_L\) の音はCで発せられます。観測者がこれらの音を聞く時間間隔は、音源がAからCへ移動する時間に等しくなります（なぜなら、PA=PCなので、それぞれの音がPに到達するまでの伝播時間は同じだからです）。
$$ \Delta t_1 = t_{A \to C} $$

周期 \(T = 9.42\) s を用いて、
$$\Delta t_1 = \frac{1}{3} \times 9.42 \text{ s} = 3.14 \text{ s}$$

1. 最も高い音 \(f_H\) が聞こえるのは音源が点Aにあるとき、最も低い音 \(f_L\) が聞こえるのは音源が点Cにあるときです。点A、CはPから円への接線です。
2. 幾何学的な関係（OP=2r, OA=r）から、中心Oから見たAとCの間の角度（中心角 \(\angle AOC\)）を求めると120°になります。
3. これは円周の1/3なので、音源がAからCへ移動する時間は、周期 \(T\) の1/3となります。
4. PからAまでの距離とPからCまでの距離は等しいので、音がPに届くまでの時間は同じです。したがって、\(f_H\) を聞いてから \(f_L\) を聞くまでの時間は、音源がAからCへ移動する時間と同じになります。

\(f_H\) の音を聞いてから次に \(f_L\) の音を聞くまでの時間は 3.14 秒です。
これは周期 \(T=9.42\) s のちょうど \(1/3\) であり、\(\pi\) の値に近いです。

(イ) \(f_0\) [Hz] の音を聞いて、次に \(f_L\) [Hz] の音を聞き、再び \(f_0\) [Hz] の音を聞くまでに、どれだけの時間がかかるか。

思考の道筋とポイント
\(f_0\) の音が発せられるのは、音源の速度がPへの視線と垂直になる点Bです。これはPO線と円の交点で、Pに近い側を \(B_1\)、遠い側を \(B_2\) とします。模範解答の図に従い、最初の \(f_0\) は \(B_1\) 発、\(f_L\) はC発、次の \(f_0\) は \(B_2\) 発として考えます。
求める時間は、「\(B_1\)で発した音がPに到達した時刻」から「\(B_2\)で発した音がPに到達した時刻」までの時間です。
これは、音源が \(B_1\) を出発する時刻を基準（0）として、
(音源が \(B_1 \to B_2\) と移動する時間) + (音が \(PB_2\) を伝わる時間) – (音が \(PB_1\) を伝わる時間)
で計算できます。
この設問における重要なポイント

• 点 \(B_1\)：OP線上でPに近い円との交点。距離 \(PB_1 = OP – r = 2r – r = r\)。
• 点 \(B_2\)：OP線上でPに遠い円との交点。距離 \(PB_2 = OP + r = 2r + r = 3r\)。
• 音源が \(B_1\) から \(B_2\) へ移動する時間は半周期 \(T/2\)。
• 音がPへ到達するまでの伝播時間を考慮する。

具体的な解説と立式
最初の \(f_0\) の音は点 \(B_1\)（OP線上でPに近い円との交点）で発せられたもの、\(f_L\) の音は点Cで発せられたもの、再び \(f_0\) の音は点 \(B_2\)（OP線上でPから遠い円との交点）で発せられたものとします。
求める時間は、\(B_1\) で発せられた音が観測者Pに聞こえてから、\(B_2\) で発せられた音が観測者Pに聞こえるまでの時間です。

音源が \(B_1\) を通過する時刻を \(t=0\) とします。
このとき \(B_1\) で発せられた音がPに到達する時刻 \(t_{\text{聞}B_1}\) は、
\(PB_1 = OP – r = 2r – r = r\) なので、
$$t_{\text{聞}B_1} = \frac{PB_1}{V} = \frac{r}{V}$$
音源は \(B_1\) から円周上を左まわりに進み、\(B_2\) に到達します。\(B_1\) と \(B_2\) は直径の両端なので、音源が \(B_1\) から \(B_2\) まで移動するのにかかる時間は半周期 \(T/2\) です。
したがって、音源が \(B_2\) を通過する時刻は \(T/2\) です。
このとき \(B_2\) で発せられた音がPに到達する時刻 \(t_{\text{聞}B_2}\) は、
\(PB_2 = OP + r = 2r + r = 3r\) なので、
$$t_{\text{聞}B_2} = \frac{T}{2} + \frac{PB_2}{V} = \frac{T}{2} + \frac{3r}{V}$$よって、求める時間 \(\Delta t_2\) は、$$\Delta t_2 = t_{\text{聞}B_2} – t_{\text{聞}B_1} = \left(\frac{T}{2} + \frac{3r}{V}\right) – \frac{r}{V} = \frac{T}{2} + \frac{2r}{V}$$

与えられた値 \(T = 9.42\) s, \(r = 15\) m, \(V = 340\) m/s を代入します。
$$\Delta t_2 = \frac{1}{2} \times 9.42 \text{ s} + \frac{2 \times 15 \text{ m}}{340 \text{ m/s}}$$
$$\Delta t_2 = 4.71 \text{ s} + \frac{30}{340} \text{ s} = 4.71 \text{ s} + \frac{3}{34} \text{ s}$$
ここで、\(\frac{3}{34} \approx 0.088235…\) s です。
$$\Delta t_2 \approx 4.71 + 0.0882 \approx 4.7982 \text{ s}$$
模範解答の値 に合わせると、約 4.8 s となります。

1. 最初の \(f_0\) の音は、Pに近い点 \(B_1\) で自動車が出した音と考えます。この音がPに届く時刻を計算します。
2. 次に \(f_L\) の音が聞こえ、その次に再び \(f_0\) の音が聞こえます。この2回目の \(f_0\) の音は、Pから遠い点 \(B_2\) で自動車が出した音と考えます。
3. 自動車が \(B_1\) から \(B_2\) へ移動するには半周分の時間がかかります。\(B_2\) で音が出た後、その音がPに届くまでの時間も考慮します。
4. 最終的に、\(B_1\) で出た音が聞こえた時刻と、\(B_2\) で出た音が聞こえた時刻の差を計算します。

\(f_0\) の音を聞いてから次に \(f_L\) の音を聞き、再び \(f_0\) の音を聞くまでの時間は約 4.8 秒です。
この時間は、音源の移動時間（半周期）と、音源とPとの距離の変化による音の伝播時間の差の組み合わせで決まります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 円運動におけるドップラー効果: 音源の速度ベクトルと観測者への視線方向が常に変化するため、観測される振動数も連続的に変化する。視線方向の速度成分が最大・最小・ゼロになる条件を幾何学的に捉える。
• ドップラー効果の基本公式の適用: \(f’ = \frac{V}{V \mp v_{\text{視線}}} f_0\)。近づくか遠ざかるかで符号を選択。
• 音の伝播時間と事象のタイミング: 「音が発せられた時刻」と「音が観測された時刻」は異なる。この時間差（伝播時間）を考慮して、複数の事象の時間間隔を計算する必要がある。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 観測者が円運動し、音源が静止している場合。
  • 音源と観測者の両方が運動している場合のドップラー効果。
  • 光のドップラー効果（天体の運動観測など）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 音源の速度ベクトルの向き: 円運動の場合、常に接線方向。このベクトルと視線方向のなす角が鍵。
  2. 視線方向速度成分が最大・最小・ゼロになる点の特定: これが \(f_H, f_L, f_0\) が観測される点に対応する。幾何学的な考察（接線、中心を通る直線など）が有効。
  3. 「聞く」という言葉の意味: 音が観測者に到達した時点を指すため、音源が音を発した時刻からの伝播遅れを考慮する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 視線方向速度の誤解: 円運動の速さ \(v\) をそのままドップラー効果の公式に使ってしまう。
  • 対策: 必ず音源の速度ベクトルを視線方向に分解（射影）する。
• 音の伝播時間の無視: 特に時間間隔を問う問題で、音が発せられた時刻と観測される時刻を混同する。
  • 対策: 各事象の時刻を「発射時刻」と「到達時刻」に分けて整理する。
• 幾何学的な関係の誤り: 角度や距離の計算ミス。
  • 対策: 図を丁寧に描き、三角比や三平方の定理を正確に適用する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • 回転するメリーゴーランドに乗った人が出す声が、外で聞いている人には高さが周期的に変わって聞こえる様子を想像する（本問は音源が回転）。
  • 点Aでは救急車がまっすぐ自分に向かってくる最高の音、点Cではまっすぐ遠ざかる最低の音、点Bでは真横を通り過ぎる瞬間の元の高さの音、と対応させる。
• 図示の有効性:
  • (1)のA,B,Cの位置関係と速度ベクトルを図示することが理解の第一歩。
  • (4)では、OP=2rの関係を図に正確に反映させ、\(\triangle OAP\) や \(\triangle OCP\) の形状を把握する。点 \(B_1, B_2, C\) の位置関係と、そこからPへの距離を具体的に図から読み取る（または計算する）ことが重要。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ドップラー効果の公式: 音源が運動し、観測される振動数が変化するため。
• \(T = 2\pi r / v\): 等速円運動の周期と速さ、半径の関係。
• 時間 = 距離 / 速さ: 音波が一定の速さで伝播するため。
• 幾何学（三角比、三平方の定理）: 円運動の経路と観測点の位置関係から、角度や距離を特定するため。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 振動数が最大・最小・元になる点の特定: 速度ベクトルと視線の関係から幾何学的に判断。
2. (2) \(v, f_0\) の導出: \(f_H, f_L\) のドップラー効果の式を立て、連立して解く。
3. (3) 具体的な値の計算: (2)の式と周期の関係 \(T=2\pi r/v\) を用いる。
4. (4) 時間間隔の計算:
   • (ア) 幾何学からA,C間の中心角を求め、音源の移動時間を計算。PA=PCよりこれが聞く時間差。
   • (イ) \(B_1, B_2\) の位置とPからの距離を特定。音源の移動時間と音の伝播時間を組み合わせて、各音が「聞かれる」時刻を算出し、その差を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の処理: (2)では、比を取ったり代入したりして確実に解く。
• 数値計算の精度: (3)や(4)では、\(\pi\) の扱い（問題で指示があればそれに従う、なければ有効数字を考慮）や、割り算の精度に注意。
• 時間の計算の整理: (4)(イ)のように複数の時刻が絡む場合、基準時刻を明確にし、各事象の時刻を丁寧に追う。表を作るのも有効。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理量のオーダー: (3)で求めた \(v, r\) が現実的な値か（自動車の速さ、運動場の半径など）。
• 時間の大小関係: (4)で計算した時間が正の値になっているか。各区間の時間と全体の時間の整合性。
• 特殊な条件での確認: 例えば、もしPが無限遠にあれば、AとCは円の直径の両端に近づき、\(\angle AOC \approx 180^\circ\) となるはず、など。OP=\(2r\) は比較的Pが円に近い状況。

問題85 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、波が異なる媒質間を進む際の屈折現象と反射現象、そして波の基本的な性質（速さ、波長、振動数の関係）についての理解を問う問題です。図から入射角や屈折角を正確に読み取り、スネルの法則を正しく適用することが鍵となります。また、相対屈折率の概念も用いられます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解くためには、以下の物理法則や概念をしっかりと理解しておく必要があります。

• 波の基本式: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には \(v = f\lambda\) の関係があります。
• 屈折の法則 (スネルの法則): 媒質1から媒質2へ、入射角 \(i\) で入射し、屈折角 \(r\) で屈折する場合、媒質1に対する媒質2の屈折率 \(n_{12}\) は次のように表されます。
  $$n_{12} = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$$
  ここで、\(v_1, \lambda_1\) は媒質1での波の速さと波長、\(v_2, \lambda_2\) は媒質2での波の速さと波長です。
• 振動数の不変性: 波が異なる媒質間を屈折して進むとき、波の振動数 \(f\) は変化しません。
• 相対屈折率: 媒質1に対する媒質2の屈折率 \(n_{12}\)、媒質2に対する媒質3の屈折率 \(n_{23}\)、媒質1に対する媒質3の屈折率 \(n_{13}\) の間には、\(n_{13} = n_{12} \cdot n_{23}\) や \(n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}\) のような関係が成り立ちます。また、\(n_{12} = 1/n_{21}\) です。
• 反射の法則: 入射角と反射角は境界面の法線に対して等しくなります。
• 波の進行の可逆性: 波の進む経路を逆にたどっても、同じ角度の関係（入射角と屈折角が入れ替わるなど）が成り立ちます。

問1

思考の道筋とポイント
図に示された波面は、波の進行方向（射線）と垂直です。境界面Aに対する法線と射線のなす角が、それぞれ入射角と屈折角になります。図からこれらの角度を正確に読み取り、スネルの法則 \(\left(n_{12} = \frac{\sin i}{\sin r}\right)\) を用いて屈折率を求めます。
この設問における重要なポイント

• 波面と射線（波の進行方向）は直交する。
• 入射角 \(i\) と屈折角 \(r\) を図から正しく読み取る。
• スネルの法則を適用する。

具体的な解説と立式
図より、波面と境界面Aのなす角が示されていますが、入射角・屈折角は境界面の法線と波の進行方向（射線）とのなす角です。波面と射線は垂直なので、図に示された角度を使って入射角と屈折角を特定します。
与えられた図において、入射波の波面と境界面Aのなす角が示唆する角度から、法線と入射波の進行方向がなす入射角 \(i\) は \(45^\circ\) と読み取れます。同様に、屈折波の波面と境界面Aのなす角が示唆する角度から、法線と屈折波の進行方向がなす屈折角 \(r\) は \(30^\circ\) と読み取れます。
媒質1に対する媒質2の屈折率 \(n_{12}\) は、スネルの法則より、
$$n_{12} = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$$

三角関数の値を代入します。
\(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) （または \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)）
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
これらの値を式に代入すると、
$$n_{12} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$
小数で近似すると、\(\sqrt{2} \approx 1.414\) です。

1. まず、問題の図から、波が媒質1から媒質2に入射するときの入射角 \(i\) と屈折角 \(r\) を見つけます。入射角は \(45^\circ\)、屈折角は \(30^\circ\) です。
2. 次に、スネルの法則 \(n_{12} = \frac{\sin i}{\sin r}\) を使って、媒質1に対する媒質2の屈折率 \(n_{12}\) を計算します。
3. それぞれの角度のサインの値を代入して計算すると、屈折率が求まります。

媒質1に対する媒質2の屈折率 \(n_{12}\) は \(\sqrt{2}\) (約1.4) です。
屈折率が1より大きいということは、媒質2が媒質1よりも光学的に「密」であることを示しています。

問2

思考の道筋とポイント
波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、\(v = f\lambda\) という基本的な関係があります。媒質1における振動数 \(f_1\) と波長 \(\lambda_1\) が与えられているので、この式を用いて速さ \(v_1\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 波の基本式 \(v = f\lambda\) を利用する。
• 与えられた \(f_1\) と \(\lambda_1\) の値を用いる。

具体的な解説と立式
媒質1における波の振動数 \(f_1 = 25\) Hz、波長 \(\lambda_1 = 2.0\) cm です。
波の速さ \(v_1\) は、波の基本式を用いて、
$$v_1 = f_1 \lambda_1$$

与えられた値を代入します。
$$v_1 = 25 \text{ Hz} \times 2.0 \text{ cm} = 50 \text{ cm/s}$$

波の速さは、「振動数 × 波長」で計算できます。媒質1での振動数は25 Hz、波長は2.0 cmなので、これらを掛け合わせることで速さが求まります。

媒質1の中での波の速さ \(v_1\) は 50 cm/s です。
単位が cm/s であることに注意しましょう。

問3

思考の道筋とポイント
波が媒質1から媒質2へ屈折して入る際、振動数は変化しません。屈折率 \(n_{12}\) は、波長や速さの比としても表される (\(n_{12} = \lambda_1/\lambda_2 = v_1/v_2\)) ので、これらの関係式を用いて媒質2での波長 \(\lambda_2\) と速さ \(v_2\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 屈折時、振動数 \(f\) は不変。
• 屈折率と波長の関係: \(n_{12} = \lambda_1 / \lambda_2\)。
• 屈折率と速さの関係: \(n_{12} = v_1 / v_2\)。または、\(v_2 = f_2 \lambda_2\) を利用。

具体的な解説と立式
振動数 \(f_2\):
波が異なる媒質に屈折しても、その振動数は変化しません。したがって、媒質2での振動数 \(f_2\) は媒質1での振動数 \(f_1\) に等しくなります。
$$f_2 = f_1 = 25 \text{ Hz}$$
波長 \(\lambda_2\):
媒質1に対する媒質2の屈折率 \(n_{12}\) と、両媒質中での波長 \(\lambda_1, \lambda_2\) の間には、\(n_{12} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}\) の関係があります。
(1)より \(n_{12} = \sqrt{2}\)、問題文より \(\lambda_1 = 2.0\) cm なので、
$$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{n_{12}} = \frac{2.0 \text{ cm}}{\sqrt{2}}$$
速さ \(v_2\):
媒質2での速さ \(v_2\) は、波の基本式 \(v_2 = f_2 \lambda_2\) を用いて計算できます。
または、屈折率と速さの関係 \(n_{12} = \frac{v_1}{v_2}\) から、\(v_2 = \frac{v_1}{n_{12}}\) としても求められます。
(2)より \(v_1 = 50\) cm/s なので、後者の式を用いると、
$$v_2 = \frac{v_1}{n_{12}} = \frac{50 \text{ cm/s}}{\sqrt{2}}$$

波長 \(\lambda_2\) の計算:
$$\lambda_2 = \frac{2.0}{\sqrt{2}} = \frac{2.0 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2.0\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ cm} \approx 1.414 \text{ cm}$$
振動数 \(f_2\):
$$f_2 = 25 \text{ Hz}$$
速さ \(v_2\) の計算:
$$v_2 = \frac{50}{\sqrt{2}} = \frac{50 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{50\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \text{ cm/s} \approx 25 \times 1.414 = 35.35 \text{ cm/s}$$
または、\(v_2 = f_2 \lambda_2 = 25 \text{ Hz} \times \sqrt{2} \text{ cm} = 25\sqrt{2} \text{ cm/s}\)。

1. 波が媒質2に入っても、振動数（1秒間に振動する回数）は変わりません。なので、\(f_2\) は \(f_1\) と同じ25 Hzです。
2. 波長 \(\lambda_2\) は、(1)で求めた屈折率 \(n_{12}\) と \(\lambda_1\) を使って、\(n_{12} = \lambda_1 / \lambda_2\) の関係から求めます。
3. 速さ \(v_2\) は、計算した \(f_2\) と \(\lambda_2\) を使って \(v_2 = f_2 \lambda_2\) で求めるか、または \(v_1\) と \(n_{12}\) を使って \(n_{12} = v_1 / v_2\) の関係から求めます。

媒質2の中での波長 \(\lambda_2\) は \(\sqrt{2}\) cm (約1.4 cm)、振動数 \(f_2\) は 25 Hz、速さ \(v_2\) は \(25\sqrt{2}\) cm/s (約35 cm/s) です。
媒質1に比べて媒質2は屈折率が大きい (\(n_{12}=\sqrt{2} > 1\)) ため、波長と速さが小さくなっています (\(\lambda_2 < \lambda_1\), \(v_2 < v_1\))。振動数は不変です。これらの結果は物理的に整合しています。

問4

思考の道筋とポイント
媒質1に対する媒質2の屈折率 \(n_{12}\)、媒質1に対する媒質3の屈折率 \(n_{13}\) がわかっている（または計算できる）とき、媒質2に対する媒質3の屈折率 \(n_{23}\) を求めます。
相対屈折率の関係式 \(n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}\) を利用するのが直接的です。または、各媒質中の波の速さの比から求めることもできます。
この設問における重要なポイント

• 相対屈折率の関係 \(n_{ac} = n_{ab} \cdot n_{bc}\) や \(n_{23} = n_{13} / n_{12}\) を理解していること。
• または、\(n_{23} = v_2 / v_3\) と、\(v_2, v_3\) を \(v_1, n_{12}, n_{13}\) から導くこと。

具体的な解説と立式
媒質1に対する媒質2の屈折率 \(n_{12} = \sqrt{2}\) （(1)より）。
媒質1に対する媒質3の屈折率 \(n_{13} = 0.80\) （問題文より）。
求めたいのは、媒質2に対する媒質3の屈折率 \(n_{23}\) です。
これらの屈折率の間には、次の関係があります。
$$n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}$$

値を代入して計算します。
$$n_{23} = \frac{0.80}{\sqrt{2}} = \frac{0.80}{1.4142…}$$
計算すると、
$$n_{23} \approx 0.5656…$$
有効数字を考慮すると、約 0.57 となります。

媒質1を基準としたときの媒質2の屈折率 (\(n_{12}\)) と媒質3の屈折率 (\(n_{13}\)) がわかっていれば、媒質2から見た媒質3の屈折率 (\(n_{23}\)) は、\(n_{23} = n_{13} / n_{12}\) という簡単な式で計算できます。それぞれの値を代入して割り算をします。

媒質2に対する媒質3の屈折率 \(n_{23}\) は約 0.57 です。
\(n_{23} < 1\) であるため、媒質3は媒質2よりも光学的に「疎」な媒質であることがわかります。

問5

思考の道筋とポイント
境界面Bで反射された波が、媒質2を通り、再び境界面Aに達し、そこから媒質1へ出ていくときの屈折角を考えます。
境界面AとBは平行です。最初に媒質1から媒質2へ入射したときの屈折角は \(30^\circ\) でした。この光線が境界面Bで反射し、再び境界面Aに達するときの入射角は、幾何学的な関係（平行線の錯角）から \(30^\circ\) となります。
この波が媒質2（入射角 \(30^\circ\)）から媒質1へ屈折するときの屈折角を求めます。これは、波の進行の可逆性を利用すると簡単にわかります。
この設問における重要なポイント

• 境界面AとBは平行。
• 反射の法則。
• 媒質2から媒質1への入射角は、最初の媒質1から2への屈折角と等しくなる (\(30^\circ\))。
• 波の進行の可逆性、またはスネルの法則を再度適用する。

具体的な解説と立式
媒質1から境界面Aに入射した波は、屈折角 \(30^\circ\) で媒質2に入り、境界面Bに向かいます。境界面Bで反射するとき、反射の法則に従います。境界面AとBは平行なので、境界面Bで反射した波が再び境界面Aに達するときの入射角（媒質2側での角度）は、最初の屈折角と同じ \(30^\circ\) になります。
今度は、媒質2から媒質1へと波が進む状況を考えます。
媒質2における入射角を \(\theta_{\text{入射2}} = 30^\circ\)、媒質1における屈折角を \(\theta_{\text{屈折1}}\) とします。
媒質2に対する媒質1の屈折率 \(n_{21}\) は、\(n_{21} = \frac{1}{n_{12}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)。
スネルの法則を適用すると、
$$n_{21} = \frac{\sin \theta_{\text{入射2}}}{\sin \theta_{\text{屈折1}}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin \theta_{\text{屈折1}}} = \frac{1/2}{\sin \theta_{\text{屈折1}}}$$
これを \(\sin \theta_{\text{屈折1}}\) について解くと、
$$\sin \theta_{\text{屈折1}} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
したがって、
$$\theta_{\text{屈折1}} = 45^\circ$$
これは、波の進行の可逆性からも明らかです。媒質1から入射角 \(45^\circ\) で媒質2に入射すると屈折角 \(30^\circ\) となるので、逆に媒質2から入射角 \(30^\circ\) で媒質1に入射すれば、屈折角は \(45^\circ\) となります。

上記「具体的な解説と立式」に計算過程を含めました。

1. 波が媒質1から媒質2に入ったときの屈折角は \(30^\circ\) でした。
2. この波が境界面Bで反射し、再び境界面Aに向かうとき、境界面AとBが平行なので、境界面Aへの入射角は同じく \(30^\circ\) になります（媒質2側から見て）。
3. 今度は媒質2から媒質1へ波が進むので、入射角 \(30^\circ\) で媒質2から媒質1へ入るときの屈折角を求めます。
4. 波の進む経路は逆向きにもたどれる（波の進行の可逆性）ので、最初の入射（媒質1→2、入射角\(45^\circ\)→屈折角\(30^\circ\)）の逆を考えると、媒質2→1で入射角\(30^\circ\)なら屈折角は\(45^\circ\)になります。

境界面Bで反射された波が媒質2を通って媒質1へもどるときの屈折角は 45° です。
これは、最初の入射状況との対称性（可逆性）を反映しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• スネルの法則（屈折の法則）: \(n_{12} = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}\) の関係を理解し、正しく適用できること。
• 振動数の不変性: 波が媒質を移動（屈折）する際に、振動数は変化しないという重要な性質。
• 波の基本式: \(v = f\lambda\) は常に成り立つ基本関係。
• 相対屈折率の計算: \(n_{ac} = n_{ab} \cdot n_{bc}\) や \(n_{23} = n_{13}/n_{12}\) の関係を理解し利用できること。
• 波の進行の可逆性: 光路（波の経路）は逆向きにたどることができ、その際も屈折の法則が同様に成り立つこと。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 複数の平行な層状媒質を通過する波の屈折。
  • 全反射が起こる条件の判断（臨界角の計算など）。
  • レンズやプリズムによる光の屈折。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 図からの角度の読み取り: 波面と射線の関係を理解し、入射角・屈折角・反射角を正確に求める。法線が基準となることを忘れない。
  2. どの物理量が不変で、どれが変化するかの区別: 屈折では振動数は不変、速さと波長は変化する。
  3. 屈折率の意味の理解: 屈折率が大きい媒質ほど波速は遅く、波長は短くなる。
  4. 相対屈折率を求められたら、速さの比や波長の比もわかるという相互関係を意識する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 入射角・屈折角の定義の誤り: 境界面と波面のなす角などを誤って入射角としないこと。必ず法線と射線のなす角で考える。
  • 対策: 問題図に法線を描き入れ、角度を確認する習慣をつける。
• 屈折率の添え字の混同: \(n_{12}\)（1から2へ）と \(n_{21}\)（2から1へ）は逆数の関係 (\(n_{21} = 1/n_{12}\))。
  • 対策: 屈折率の定義（どの媒質に対するどの媒質の屈折率か）を常に明確にする。
• 振動数が変化すると誤解する: 屈折時に振動数は変化しない。
  • 対策: 「振動数不変」の原則をしっかり記憶する。
• sinの値の混同: \(\sin 30^\circ, \sin 45^\circ, \sin 60^\circ\) などの基本的な値を正確に使う。
  • 対策: 三角比の値を再確認する。単位円をイメージするのも有効。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象のイメージ化:
  • 水中に差し込んだ棒が折れ曲がって見える現象（光の屈折）と同様に、波が異なる媒質に入るときに進行方向が変わる様子をイメージする。
  • 波面が媒質の境界で折れ曲がり、波面の間隔（波長）も変わる様子を想像する。
• 図示の有効性:
  • 問題図に、法線、入射線、屈折線（または反射線）を明確に描き入れる。
  • 角度 \(i, r\) を明記する。
  • (5)のような複雑な経路では、波の進行をステップごとに追いかけ、各界面での入射角・屈折角を図示すると分かりやすい。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v=f\lambda\): 波の速さ、振動数、波長を結びつける普遍的な関係式。
• スネルの法則 (\(n_{12} = \sin i / \sin r\)): 異なる媒質の境界面で波が進行方向を変える「屈折」という現象を記述する実験則に基づく法則。
• スネルの法則 (\(n_{12} = v_1/v_2 = \lambda_1/\lambda_2\)): 屈折率が波の速さや波長の比で定義されること、またホイヘンスの原理からも導かれる関係。
• 振動数不変: 波源の振動がそのまま媒質を伝わるため、媒質が変わっても1秒あたりの振動の回数は変わらないという物理的考察。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 角度の特定とスネルの法則: 図から \(i, r\) を特定し、\(n_{12} = \sin i / \sin r\) で計算。
2. (2) 波の基本式: 与えられた \(f_1, \lambda_1\) から \(v_1 = f_1 \lambda_1\) で計算。
3. (3) 屈折時の変化:
   • \(f_2 = f_1\) (不変)。
   • \(\lambda_2 = \lambda_1 / n_{12}\) または \(v_2 = v_1 / n_{12}\)。
   • 残りの \(v_2\) または \(\lambda_2\) を \(v=f\lambda\) で計算。
4. (4) 相対屈折率: \(n_{23} = n_{13} / n_{12}\) で計算。
5. (5) 波の逆進とスネルの法則: 境界面Aへの入射角（媒質2側）を特定し、媒質2から1への屈折にスネルの法則を適用するか、波の進行の可逆性から判断。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の値の正確性: 特に \(\sin 45^\circ = 1/\sqrt{2}\) の有理化 \(\sqrt{2}/2\) を忘れずに。
• 分数の計算: 逆数をとる、通分するなどの操作を慎重に行う。
• 有効数字の扱い: 問題で指定があればそれに従う。指定がなければ、与えられた数値の桁数に合わせるのが一般的。近似値を用いる場合はその旨を明記する（例：\(\sqrt{2} \approx 1.41\)）。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 屈折率の値: \(n > 1\) ならば光（波）にとって「密」、\(n < 1\) ならば「疎」。結果が直感と合うか確認。
• 速さと波長の変化: 「密」な媒質に入ると速さと波長は小さくなる。「疎」な媒質に入ると速さと波長は大きくなる。振動数は不変。
• 角度の関係: 「密」な媒質に入るときは屈折角は入射角より小さく、「疎」な媒質に入るときは屈折角は入射角より大きくなる。
• (5)の結果が、最初の入射状況との対称性（可逆性）を反映しているか確認する。

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