「良問の風」攻略ガイド（46〜50問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題46 (高知大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

こんにちは！この問題は、ばね振り子の基本的な性質から、途中で質量が変化する場合の振動、さらには加速度運動するエレベーターの中での振動と、ステップアップしていく構成になっていますね。一つ一つの物理現象を丁寧にひも解いていきましょう。特に(1)の最初の伸びを表す文字 \(a\) と、(2)のエレベーターの加速度を表す文字 \(a\) が同じである点に注意しつつ、混乱しないように解説していきますね。

ばねの下端に物体P（質量 \(2m\)）と物体Q（質量 \(m\)）を接合したものを吊るし、つり合い状態からQを切り離した後のPの単振動、およびPだけを吊るしたばねを加速度運動するエレベーター内に持ち込んだ場合のつり合いと振動について考察する問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「力のつり合い」「フックの法則」「単振動（振動中心、周期、振幅、エネルギー保存）」「慣性力」といった、力学の基本かつ重要なテーマを網羅しています。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力のつり合い: 物体が静止している、または等速直線運動しているとき、物体にはたらく力の合力は \(0\) です。
2. フックの法則: ばねの弾性力は、ばねの自然長からの伸び（または縮み）に比例します (\(F=kx\))。
3. 単振動の周期: 質量 \(M\)、ばね定数 \(k\) のばね振り子の周期は \(T=2\pi\sqrt{M/k}\) です。
4. 単振動の振動中心: 復元力が \(0\) になる位置、すなわち力のつり合いの位置です。
5. 単振動の振幅: 振動中心から振動の端までの距離です。物体が運動を開始した位置（速度0）が端になることが多いです。
6. 単振動における力学的エネルギー保存: 摩擦などがなければ、運動エネルギーと弾性ポテンシャルエネルギーの和は（重力がある場合は重力ポテンシャルエネルギーも考慮し）保存されますが、水平ばね振り子や鉛直ばね振り子では、振動中心からの変位を用いた有効なポテンシャルエネルギーを考えることで、よりシンプルにエネルギー保存を扱えます (\(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}kx^2\))。
7. 慣性力: 加速度運動する観測者から物体を見たとき、実際にはたらく力に加えて、観測者の加速度と逆向きに \(m\alpha\)（\(m\)は物体の質量、\(\alpha\)は観測者の加速度）の慣性力がはたらいているように見えます。

全体的な戦略としては、

1. (1) PQ一体の状態:
   • (a) まず、PとQが一体となった状態での力のつり合いから、ばね定数 \(k\) を求めます。
   • (b) 次に、PとQ一体の質量 \(3m\) を用いて、単振動の周期の公式を適用します。
2. (1) Qを切り離した後のPの運動:
   • (c) P単独になったときの新しい力のつり合いの位置（振動中心）を求め、もとのつり合い位置からのずれを計算します。
   • (d) Qを切り離した瞬間（もとのつり合い位置）が新しい単振動の端となることから、振幅を求めます。
   • (e) P単独の質量 \(2m\) を用いて、単振動の周期の公式を適用します。
   • (f) 単振動のエネルギー保存則（または \(v_{\text{max}} = A\omega\)）を用いて、振動中心での速さを求めます。
3. (2) エレベーター内のPの運動:
   • (g) 上向きに加速するエレベーター内でPが静止している状態を考えます。エレベーター内で観測すると、Pには重力、ばねの力、そして下向きの慣性力がはたらき、これらがつり合っていると考えます。
   • (h) ばね振り子の周期が、重力加速度や一定の慣性力の影響を受けるかどうかを考察します。

問1 (a)

思考の道筋とポイント

物体P（質量 \(2m\)）と物体Q（質量 \(m\)）を接合した全体の質量は \(2m+m=3m\) です。このおもりがばねに吊るされてつり合っているとき、ばねの弾性力（上向き）と全体の重力（下向き）がつり合っています。ばねの伸びは \(a\) と与えられています。

この設問における重要なポイント

• 力のつり合いの条件を正しく立てること。
• フックの法則 \(F=kx\) を用いること。

具体的な解説と立式

PとQを一体とみなすと、質量は \(M = 2m+m = 3m\)。
このおもりにはたらく力は、

• 重力: \(Mg = 3mg\)（鉛直下向き）
• ばねの弾性力: \(F_{\text{弾性}} = ka\)（鉛直上向き、\(k\) はばね定数、\(a\) は伸び）

力のつり合いより、(上向きの力) = (下向きの力) なので、
$$ka = 3mg$$
これをばね定数 \(k\) について解くと、
$$k = \frac{3mg}{a}$$

上記立式の通り。

ばねにおもりPとQ（合計質量 \(3m\)）を吊るしたら、ばねが \(a\) だけ伸びて止まった、という状況です。このとき、ばねがおもりを上に引っ張る力（弾性力 \(ka\)）と、おもり全体にかかる重力（\(3mg\)）が等しくなっています。この関係からばねの強さ（ばね定数 \(k\)）を求めます。

ばね定数 \(k = \frac{3mg}{a}\) です。
単位は、右辺が \([\text{N}]/[\text{m}]\) となり、ばね定数の単位として正しいです。

問1 (b)

思考の道筋とポイント

PとQが一体となった系（質量 \(3m\)）を単振動させたときの周期を求めます。ばね定数は(a)で求めた \(k\) を使います。

この設問における重要なポイント

• 単振動の周期の公式 \(T = 2\pi\sqrt{M/k}\) を使うこと。
• 質量 \(M\) にはPとQの合計質量 \(3m\) を用いること。

具体的な解説と立式

PとQを一体（質量 \(M=3m\)）として振動させる場合、その周期 \(T_{PQ}\) は、単振動の周期の公式より、
$$T_{PQ} = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{3m}{k}}$$
ここに、(a)で求めた \(k = \frac{3mg}{a}\) を代入します。
$$T_{PQ} = 2\pi\sqrt{\frac{3m}{3mg/a}} = 2\pi\sqrt{\frac{3m \cdot a}{3mg}}$$

$$T_{PQ} = 2\pi\sqrt{\frac{3ma}{3mg}}$$

分母分子の \(3m\) を約分すると、

$$T_{PQ} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}}$$

ばね振り子の周期は、おもりの質量が大きいほど長く、ばねが強い（ばね定数 \(k\) が大きい）ほど短くなります。公式 \(T = 2\pi\sqrt{M/k}\) に、全体の質量 \(3m\) と(a)で求めたばね定数 \(k\) を代入して計算します。

PとQを一体で振動させたときの周期 \(T_{PQ} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}}\) です。
単位は、\(\sqrt{[\text{m}] / [\text{m/s}^2]} = \sqrt{[\text{s}^2]} = [\text{s}]\) となり、周期の単位として正しいです。

問1 (c)

思考の道筋とポイント

Qを切り離すと、ばねに吊るされているおもりの質量はPのみ（\(2m\)）に変わります。これにより、力のつり合いの位置（単振動の振動中心）が変化します。新しい振動中心の位置を求め、もとのつり合い位置（PQ一体でのつり合い位置）からのずれを計算します。

この設問における重要なポイント

• Qを切り離した後の、P単独での力のつり合いの位置を求める。
• もとのつり合い位置と比較して、振動中心がどれだけ移動したかを考える。

具体的な解説と立式

もとのつり合い位置（PとQが一体のとき）では、ばねの伸びは \(a\) でした。
Qを切り離した後、P（質量 \(2m\)）単独での力のつり合いを考えます。このときのばねの自然長からの伸びを \(l\) とすると、

• 重力: \(2mg\)（下向き）
• ばねの弾性力: \(kl\)（上向き）

力のつり合いより、\(kl = 2mg\)。
よって、新しいつり合い位置でのばねの伸び \(l\) は、
$$l = \frac{2mg}{k}$$
ここに \(k = \frac{3mg}{a}\) を代入すると、
$$l = \frac{2mg}{3mg/a} = \frac{2mg \cdot a}{3mg} = \frac{2}{3}a$$
これがQを切り離した後のPの振動中心でのばねの伸びです。
もとのつり合い位置での伸びは \(a\) でした。新しい振動中心での伸びは \(\frac{2}{3}a\) です。
ばねは自然長の位置を \(0\) として下向きに伸びるので、伸びが \(a\) から \(\frac{2}{3}a\) に変わるということは、振動中心がもとのつり合い位置より \(a – \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a\) だけ「上」に移動したことを意味します。
Pは、この新しいつり合いの位置（伸びが \(\frac{2}{3}a\) の位置）を中心として振動します。

上記立式の通り。

おもりQを取り去ると、Pだけになるので、ばねを下に引っ張る重力が小さくなります。そのため、ばねの伸びも小さくなり、新しいつり合いの位置（振動の中心）は、Qがあったときよりも上の位置に移動します。どれだけ上に移動したかを計算します。

Pはもとのつり合いの位置から \(\frac{1}{3}a\) だけ上の位置を中心にして振動します。
もとのつり合い位置（伸び \(a\)）は、PとQの重さ \(3mg\) を支える位置。新しい振動中心（伸び \(\frac{2}{3}a\)）は、Pの重さ \(2mg\) を支える位置です。

問1 (d)

思考の道筋とポイント

Qを「静かに」切り離した瞬間、Pはもとのつり合いの位置（ばねの伸び \(a\)）にあり、その瞬間のPの速度は \(0\) です。単振動において、速度が \(0\) になる位置は振動の端です。したがって、Qを切り離した瞬間のPの位置が、新しい単振動の端となります。振幅は、この端の位置と新しい振動中心との距離です。

この設問における重要なポイント

• 「静かに切り離す」とは、その瞬間の速度が \(0\) であることを意味する。
• 速度が \(0\) の位置は単振動の端である。
• 振幅は振動中心から端までの距離。

具体的な解説と立式

Qを切り離した瞬間、Pの位置はばねの伸びが \(a\) のところです。この位置が新しい単振動の「端」になります。
新しい振動中心は、(c)で求めたように、ばねの伸びが \(l = \frac{2}{3}a\) のところです。
振幅 \(A\) は、振動の端と振動中心との間の距離なので、
$$A = |(\text{端の位置の伸び}) – (\text{振動中心の伸び})| = \left|a – \frac{2}{3}a\right| = \left|\frac{1}{3}a\right| = \frac{1}{3}a$$
（あるいは、(c)で求めた「もとのつり合いの位置から振動中心までの距離」がそのまま振幅になります。）

上記立式の通り。

Qをそっと取り除いた瞬間、Pは「あれ？軽くなった！」と感じて動き出します。この動き出す直前の位置（もともとPとQが一緒に止まっていた位置）が、Pの新しい振動の最も下の位置（端っこ）になります。そして、(c)で求めた新しいつり合いの位置が振動の真ん中。この端っこと真ん中の間の距離が振幅です。

Pの振動の振幅 \(A = \frac{1}{3}a\) です。
これは(c)で求めた振動中心の移動距離と同じ値です。これは、静かに質量を変化させた場合、変化前のつり合い位置が新しい単振動の端になるという典型的なパターンです。

問1 (e)

思考の道筋とポイント

Qを切り離した後のP単独（質量 \(2m\)）の単振動の周期を求めます。ばね定数は \(k = \frac{3mg}{a}\) です。

この設問における重要なポイント

• 単振動の周期の公式 \(T = 2\pi\sqrt{M/k}\) を使うこと。
• 質量 \(M\) にはP単独の質量 \(2m\) を用いること。

具体的な解説と立式

P単独（質量 \(2m\)）での単振動の周期を \(T_P\) とすると、
$$T_P = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}$$
ここに \(k = \frac{3mg}{a}\) を代入します。
$$T_P = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{3mg/a}} = 2\pi\sqrt{\frac{2m \cdot a}{3mg}}$$

$$T_P = 2\pi\sqrt{\frac{2ma}{3mg}}$$

分母分子の \(m\) を約分すると、

$$T_P = 2\pi\sqrt{\frac{2a}{3g}}$$

ばね振り子の周期は、おもりの質量とばねの強さ（ばね定数）で決まります。今度はP（質量 \(2m\)）だけが振動するので、その質量と(a)で求めたばね定数を使って周期を計算します。

P単独での振動周期 \(T_P = 2\pi\sqrt{\frac{2a}{3g}}\) です。
(b)で求めた \(T_{PQ} = 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}}\) と比較すると、質量が \(3m\) から \(2m\) に減少したため、周期は \(\sqrt{2/3}\) 倍（約0.816倍）に変化しています（同じ \(k\) に対して）。

問1 (f)

思考の道筋とポイント

Pが新しい振動中心（力のつり合いの位置）を通過するとき、その速さは最大になります。この最大速度 \(v_{\text{max}}\) は、単振動のエネルギー保存則 \(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}Mv_{\text{max}}^2\) から求めることができます。ここで \(A\) は振幅、\(M\) はPの質量 \(2m\) です。
あるいは、角振動数 \(\omega_P = \sqrt{k/(2m)}\) を用いて \(v_{\text{max}} = A\omega_P\) からも求められます。

この設問における重要なポイント

• 単振動において、振動中心で速さが最大になる。
• 単振動のエネルギー保存則、または \(v_{\text{max}} = A\omega\) の公式の利用。

具体的な解説と立式

P単独の単振動において、振幅 \(A = \frac{1}{3}a\)、質量 \(2m\)、ばね定数 \(k = \frac{3mg}{a}\)。
単振動のエネルギー保存則より、端での弾性ポテンシャルエネルギー（振動中心を基準とした場合）が、振動中心での運動エネルギーに等しくなります。
振動中心を基準とした端でのポテンシャルエネルギーは \(\frac{1}{2}kA^2\)。
振動中心での運動エネルギーは \(\frac{1}{2}(2m)v_{\text{max}}^2\)。
$$\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}(2m)v_{\text{max}}^2$$
$$kA^2 = 2mv_{\text{max}}^2$$
これを \(v_{\text{max}}\) について解くと、\(v_{\text{max}} = A\sqrt{\frac{k}{2m}}\)。
ここに \(A = \frac{a}{3}\) と \(k = \frac{3mg}{a}\) を代入します。
$$v_{\text{max}} = \frac{a}{3}\sqrt{\frac{3mg/a}{2m}}$$

$$v_{\text{max}} = \frac{a}{3}\sqrt{\frac{3mg}{2ma}} = \frac{a}{3}\sqrt{\frac{3g}{2a}}$$

平方根の中に \(a^2/9\) を入れると、

$$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{a^2}{9} \cdot \frac{3g}{2a}} = \sqrt{\frac{3a^2g}{18a}} = \sqrt{\frac{ag}{6}}$$

単振動では、振動の端っこ（一番伸びたところや縮んだところ）で蓄えられたエネルギーが、振動の真ん中を通るときにすべて速さのエネルギー（運動エネルギー）に変わります。このエネルギーの変換の式から、真ん中を通るときの速さ（最大の速さ）を計算します。

振動の中心を通過するときの速さ \(v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{ag}{6}}\) です。
単位は \(\sqrt{[\text{m}] \cdot [\text{m/s}^2]} = \sqrt{[\text{m}^2/\text{s}^2]} = [\text{m/s}]\) となり、速さの単位として正しいです。

問2 (g)

思考の道筋とポイント

上向きに加速度 \(a\) で運動するエレベーターの中でPが静止している状況を考えます。エレベーター内で観測すると、Pには下向きの慣性力 \(2ma\) がはたらいているように見えます。この慣性力と重力、そしてばねの弾性力がつり合っています。ばねの伸びは、最初のPQ一体のつり合いの伸びと同じ \(a\) とされています。
注意: ここで問題文中の「大きさ \(a\) の加速度」と、(1)で定義された「ばねの伸び \(a\)」は同じ文字ですが、意味が異なります。解説中はエレベーターの加速度を \(a_{\text{el}}\) などと区別して考えるとよいですが、最終的な解答は問題文に合わせて \(a\) を用います。

この設問における重要なポイント

• 加速度運動する系（エレベーター）内での力のつり合いを考える。
• 慣性力を導入する。向きは観測系（エレベーター）の加速度と逆向き、大きさは（物体の質量）\(\times\)（観測系の加速度）。
• 問題文の指示通り、エレベーターの加速度の大きさを \(a\) とし、ばねの伸びも \(a\) となっている点に注意。

具体的な解説と立式

エレベーターが上向きに加速度 \(a\) で運動している。エレベーター内で物体P（質量 \(2m\)）を見ると、Pには以下の力がはたらいてつり合っている。

• 重力: \(2mg\)（鉛直下向き）
• ばねの弾性力: \(ka’\)（鉛直上向き）。ここで、ばねの伸び \(a’\) は問題文より、最初のPQ全体のつり合いの伸びと同じ \(a\) である。よって弾性力は \(ka\)。
• 慣性力: \(F_{\text{慣性力}} = (2m)a\)（鉛直下向き、エレベーターの加速度と逆向き）。

エレベーター内での力のつり合いより、（上向きの力）＝（下向きの力の合計）
$$ka = 2mg + 2ma$$
ここに、(1)(a)で求めたばね定数 \(k = \frac{3mg}{a_0}\) を代入します。（ここで \(a_0\) は最初のPQ全体の伸びを指す「\(a\)」です。混乱を避けるため、ここでの「伸び \(a\)」とエレベーターの「加速度 \(a\)」を区別するために、\(k = \frac{3mg}{(\text{伸び }a)}\) と理解してください。）
よって、\(k = \frac{3mg}{a}\) （ここでの \(a\) は伸び）。
$$\left(\frac{3mg}{a}\right)a = 2mg + 2ma \quad (\text{左辺の } a \text{ は伸び、右辺の } a \text{ はエレベーターの加速度})$$

$$\frac{3mg}{a} \cdot a = 2mg + 2ma$$
$$3mg = 2mg + 2ma$$
$$3mg – 2mg = 2ma$$
$$mg = 2ma$$

エレベーターの加速度 \(a\) について解くと（\(m \neq 0\) なので両辺の \(m\) を消去）、

$$a = \frac{1}{2}g$$

エレベーターが上に加速すると、私たちは下に押し付けられるような感じがしますね。これが慣性力です。物体Pも同様に下向きの慣性力を受けます。エレベーターの中で見ると、Pは静止しているので、ばねが上に引っ張る力と、Pの重さ＋下向きの慣性力の合計が釣り合っています。この釣り合いの式からエレベーターの加速度を求めます。

エレベーターの加速度の大きさ \(a = \frac{1}{2}g\) です。
このとき、Pにはたらく見かけの重力は \(2mg + 2m(\frac{1}{2}g) = 2mg + mg = 3mg\) となります。この見かけの重力 \(3mg\) と、ばねの弾性力 \(ka = (\frac{3mg}{a})a = 3mg\) がつり合っていることになります。

問2 (h)

思考の道筋とポイント

ばね振り子の周期は \(T = 2\pi\sqrt{M/k}\) で与えられ、おもりの質量 \(M\) とばね定数 \(k\) のみで決まります。重力加速度 \(g\) や、一定の慣性力が加わることによる見かけの重力加速度の変化は、振動の中心の位置を変えるだけで、振動の周期には影響しません。

この設問における重要なポイント

• ばね振り子の周期の式を理解していること。
• 周期が何に依存し、何に依存しないかを把握していること。

具体的な解説と立式

P単独の質量は \(2m\)、ばね定数は \(k\)。
エレベーターが加速度運動していても、Pの質量 \(2m\) とばね定数 \(k\) は変化しません。
ばね振り子の周期は \(T = 2\pi\sqrt{\frac{\text{質量}}{\text{ばね定数}}}\) であり、重力加速度の大きさ（あるいは見かけの重力加速度の大きさ）には依存しません。
したがって、エレベーター内でのPの振動周期は、(e)で求めた静止した地上でのP単独の振動周期 \(T_P = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}\) と同じです。
よって、周期は(e)の1倍です。

比較するまでもなく、周期は変わらない。

ばね振り子の揺れる速さ（周期）は、おもりの重さ（質量）とばねの硬さだけで決まります。エレベーターが加速していて、見かけの重さが変わったとしても、おもり自体の「重さ(質量)」と「ばねの硬さ」は変わらないので、揺れる速さ（周期）も変わりません。

周期は(e)の1倍です。
これは重要な性質で、鉛直ばね振り子の周期は、つり合いの位置（振動中心）が重力や一定の慣性力によって変わっても、周期自体は変わらないということを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いとフックの法則: (1)(a)や(1)(c)、(2)(g)で、物体が静止している（またはつり合っている）状態での力の関係を正しく記述することが基本でした。
• 単振動の基本性質（周期、振動中心、振幅）: (1)(b, c, d, e, f)では、単振動の周期の公式、振動中心が力のつり合い位置であること、振幅の定義（端と中心の距離）を理解しているかが問われました。
• 力学的エネルギー保存則（単振動において）: (1)(f)では、単振動におけるエネルギー保存（\(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}Mv_{\text{max}}^2\) など）の考え方が有効でした。
• 慣性力: (2)(g)では、加速度運動するエレベーター内で物体を観測する際に慣性力を考慮する必要がありました。
• ばね振り子の周期の普遍性: (2)(h)では、ばね振り子の周期が（見かけの）重力加速度によらず、質量とばね定数のみで決まるという重要な性質が問われました。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン:
  • 途中で物体系の質量が変化する単振動問題。
  • 加速度運動する台の上での物体の運動や振動（電車内での振り子など）。
  • エレベーター内のばね振り子や単振り子。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 系の状態変化の特定: どこで何が変化するのか（例: Qの切り離し、エレベーターの加速）。
  2. 各状態での力のつり合い: 静止時やつり合い振動の中心を求める際に重要。
  3. エネルギー保存則の適用可否: 非保存力が仕事をしていなければ、エネルギー保存は強力なツール。
  4. 慣性系か非慣性系か: 加速度運動する系で物体を見る場合は、慣性力を導入すると非慣性系でもニュートンの法則の形で扱える。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 振動中心は必ず「力のつり合いの位置」であると再確認する。
  • 質量が変化した直後の速度は、変化直前の速度と同じ（力を受けずに瞬間的に質量だけが変わる場合）。ただし、この問題では「静かに切り離す」なので、その瞬間の速度が \(0\) であることが初期条件となる。
  • 文字の定義に注意する（特に同じ文字が異なる意味で使われている場合）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動中心の誤認: 質量が変わった後の新しい振動中心を正しく求められない。
• 振幅の誤認: どこが単振動の端になるのかを誤解する（Qを切り離した瞬間の位置が端）。
• 慣性力の向きや大きさの誤り: 慣性力は観測系の加速度と「逆向き」に「\(m\alpha\)」。
• 単振動の周期が重力に依存するという誤解（ばね振り子の場合）: 単振り子と混同しない。

対策:

• 力の図示を丁寧に行い、つり合いの式を正確に立てる。
• 単振動の各パラメータ（振動中心、振幅、周期、角振動数）の定義と求め方を再確認する。
• 慣性力は「見かけの力」であることを理解し、導入方法をマスターする。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった図（模範解答中の図も含む）:
  1. 力のつり合いを示す図: ばねの伸びと、それに対応する重力や弾性力を矢印で示す。
  2. 単振動の模式図: 振動中心、振幅、端の位置関係を視覚的に捉える。
  3. エレベーター内の力の図: 慣性力を含めて、Pにはたらく力を図示する。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の作用点、向き、大きさを意識する。
  • 座標軸（特に変位の向き）を明確にする。
  • 振動の状況（どこが中心でどこが端か）を図で整理する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(ka=Mg\): 力のつり合い時に適用（\(M\) はおもりの総質量）。
• \(T=2\pi\sqrt{M/k}\): ばね振り子の周期を求める際に適用。
• \(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}Mv_{\text{max}}^2\): 単振動のエネルギー保存則。振幅と最大速度の関係。
• \(F_{\text{慣性力}} = M\alpha\): 加速度 \(\alpha\) の非慣性系で運動を記述する際に適用。

なぜその公式がこの場面で有効なのか、その前提条件は何かを常に意識することが大切。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1a,b) PQ一体の状態 \(\rightarrow\) 力のつり合いから \(k\)、周期公式から \(T_{PQ}\)。
2. (1c,d,e,f) Q分離 \(\rightarrow\) P単独のつり合い位置（新振動中心）、分離時の位置が端（速度0） \(\rightarrow\) 振幅、P単独の周期、エネルギー保存から \(v_{\text{max}}\)。
3. (2g) エレベーター加速 \(\rightarrow\) Pに慣性力 \(\rightarrow\) エレベーター内での力のつり合い \(\rightarrow\) \(a_{\text{el}}\)。
4. (2h) ばね振り子の周期の性質 \(\rightarrow\) 変わらない。

このように、状況の変化に応じて適用する法則や考えるべきポイントを整理する能力が求められます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべき点:
  • \(k = 3mg/a\) の代入計算。分数の扱い。
  • \(A = a/3\) のような値を \(v_{\text{max}}\) の計算に代入する際の \(a\) の処理。
  • (g)での力のつり合いの立式と、加速度 \(a_{\text{el}}\) について解く計算。
• 日頃の練習:
  • 文字式の計算に習熟する。特に分母に分数が入る場合など。
  • 単位の一貫性を確認する。
  • 計算結果が極端な値（物理的にありえない値）になっていないか確認する。

解の吟味の習慣化

• 物理的な妥当性:
  • Qを切り離すと振動中心が上にずれるのは、支える重さが減るためで妥当。
  • 振幅が \(a/3\) となるのも、開始点が新しい振動からのずれに対応していて妥当。
  • エレベーターが上に加速すると、ばねの伸びが同じなら、より強い力で引っ張る必要があるため、慣性力が下向きに働くと考えられ、加速度 \(a_{\text{el}}\) が正の値で出るのは妥当。
  • ばね振り子の周期が重力（や見かけの重力）によらないのは重要な知識。
• 答えの文字 \(a\) が伸びなのか加速度なのか、常に文脈で判断する必要があった。

この問題を通して、ばね振り子の扱いや慣性力について、より深く理解できたことと思います。繰り返し練習して、これらの概念を自分のものにしてください。

問題47 (名城大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねで繋がれた二つの物体AとBの運動に関するものです。物体Aは鉛直方向に単振動を行い、その影響で床の上にある物体Bが床から離れるかどうか、という条件を考察します。力のつり合い、単振動の性質、そして作用・反作用の法則を正しく理解し適用することが鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、ばね振り子と力のつり合い、そして単振動の概念を組み合わせた、高校物理の力学分野における複合的な問題です。特に、2つの物体が相互作用し、片方が床から離れる条件を考える(3)は、物理法則の深い理解と応用力が試されます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• フックの法則: ばねの弾性力 \(F = k \times (\text{変形量})\)
• 力のつり合い: 物体が静止している、または加速度0で運動している場合、働く力の合力は0。
• 運動方程式: \(ma = F\)
• 単振動の条件と性質: 復元力が変位に比例し変位と逆向き (\(F = -Kx\))。振動中心、振幅、角振動数 \(\omega\)、周期 \(T\)。
• 力学的エネルギー保存則: 保存力のみが仕事をする場合、力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は一定。
• 作用・反作用の法則: 2物体間に力が働くとき、互いに大きさが等しく逆向きの力を及ぼし合う。

全体的な戦略としては、まず各物体にかかる力を正確に把握し、力のつり合いや運動方程式を立てます。単振動については、振動中心、振幅、角振動数を特定し、エネルギー保存則や単振動の公式を利用します。床から離れる条件は、垂直抗力が0になる瞬間として捉えます。

問1

思考の道筋とポイント
物体Aと物体B、それぞれに働く力を図示し、つり合いの式を立てます。ばねが「縮んでいる」状態にあるとき、物体Aには上向きの弾性力、物体Bには（ばねを介して）下向きの力が作用することを正確に理解することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 各物体に働く力を漏れなく図示し、その向きを正しく判断すること。
• ばねの弾性力は、Aに対してはAの運動を支える向き（上向き）、Bに対してはBを床に押し付ける向き（下向き）に働くこと。
• 作用・反作用の法則により、ばねがAを押す力とばねがBを押す力の大きさは等しい（\(ka\)）。

具体的な解説と立式
(1) 物体Aは、位置Oで静止しており、このときばねは自然長より \(a\) だけ縮んでいます。
物体Aに働く力は以下の通りです。

• 鉛直下向きの重力: \(mg\)
• 鉛直上向きのばねの弾性力: ばねの縮みが \(a\) なので、その大きさは \(ka\)

Aは静止しているため、これらの力はつり合っています。したがって、力のつり合いの式は、
$$mg = ka$$
この式から、ばね定数 \(k\) を求めることができます。

次に、床がBから受ける力の大きさ \(N\) を考えます。これは、物体Bに働く垂直抗力の大きさに等しいです。
物体Bに働く力は以下の通りです。

• 鉛直下向きの重力: \(mg\)
• 鉛直下向きのばねの弾性力: ばねが物体Aを \(ka\) の力で押し上げているので、作用・反作用の法則により、物体Bを \(ka\) の力で押し下げています。
• 鉛直上向きの床からの垂直抗力: \(N\)

Bも床の上で静止しているため、これらの力はつり合っています。鉛直上向きを正とすると、力のつり合いの式は、
$$N – mg – ka = 0$$
したがって、
$$N = mg + ka$$
先ほど導いた \(ka = mg\) の関係を用いると、\(N\) を \(m\) と \(g\) で表すことができます。

物体Aの力のつり合いの式 \(mg = ka\) から、ばね定数 \(k\) は、
$$k = \frac{mg}{a} \quad \cdots ①$$
次に、物体Bの力のつり合いの式 \(N = mg + ka\) に、①の \(ka=mg\) を代入すると、
$$N = mg + (mg)$$
$$N = 2mg$$

まず、空中で静止している物体Aに注目しましょう。Aには地球が下に引っ張る力（重力 \(mg\)）と、縮んだばねがAを上に押し上げる力（弾性力 \(ka\)）が働いています。これら二つの力が釣り合っているからAは静止できるので、\(mg = ka\) という関係が成り立ちます。この式から、ばねの硬さ（ばね定数 \(k\)）は \(mg/a\) だと分かります。
次に、床の上の物体Bに注目します。Bには地球が下に引っ張る力（重力 \(mg\)）、そして縮んだばねがBをさらに下に押し付ける力（これも \(ka\)）、最後に床がBを上に支える力（垂直抗力 \(N\)）が働いています。Bも静止しているので、下向きの力の合計 (\(mg + ka\)) と上向きの力 (\(N\)) が釣り合っています。つまり \(N = mg + ka\) です。先ほど \(ka\) は \(mg\) と同じだと分かったので、これを代入すると \(N = mg + mg = 2mg\) となります。これは、床がB自身の重さだけでなく、Aの重さ分も一緒に支えていることを意味しますね。

ばね定数は \(k = \displaystyle\frac{mg}{a}\)、床がBから受ける力の大きさは \(N = 2mg\) です。
これらの結果の単位を確認すると、\(k\) は \([\text{N/m}]\)、\(N\) は \([\text{N}]\) となり、それぞれ物理量として正しい単位を持っています。
また、AとBを一体として考えると全体の質量は \(2m\) であり、それらを支えるためには床から \(2mg\) の力が必要であるという直感とも一致しており、物理的に妥当な結果と言えます。

問2

思考の道筋とポイント
(ア) 物体Aは、つり合いの位置O点を中心として単振動を行います。単振動において、物体の速さが最大になるのは振動中心を通過するときです。この最大速度は、力学的エネルギー保存則を用いるか、単振動の公式 \(v_{\text{最大}} = A\omega\)（\(A\):振幅, \(\omega\):角振動数）を用いて求めることができます。
(イ) 単振動における物体の位置 \(x\) の時間 \(t\) による変化は、三角関数（\(\cos\) または \(\sin\)）で表されます。初期条件（\(t=0\) での位置と速度）と座標軸の取り方（O点原点、鉛直下向き正）を考慮して、適切な式を導きます。

この設問における重要なポイント

• 単振動の振動中心がどこか（力のつり合いの位置O点）、振幅がいくらか（O点からP点までの距離 \(a\)）を正しく把握すること。
• 角振動数 \(\omega = \sqrt{k/m}\) を計算し、それを用いて \(v_{\text{最大}}\) や \(x(t)\) を表すこと。
• 力学的エネルギー保存則を適用する際は、運動エネルギー、重力による位置エネルギー、弾性力による位置エネルギーを正しく評価し、基準点を明確にすること。
• \(x(t)\) の式を立てる際、\(t=0\) で物体がどの位置にあり、どちら向きに動いているか（または静止しているか）という初期条件を正確に反映させること。

具体的な解説と立式
(ア) Aの速さの最大値 \(v_{\text{最大}}\)
物体Aは、力のつり合いの位置であるO点を中心に単振動します。O点からさらに \(a\) だけ下のP点まで押し下げて静かに放すので、この単振動の振幅 \(A\) は \(a\) となります。
単振動の角振動数 \(\omega\) は、ばね定数 \(k\) と物体Aの質量 \(m\) を用いて次のように表されます。
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$
(1)で求めた \(k = \frac{mg}{a}\) を代入すると、
$$\omega = \sqrt{\frac{(mg/a)}{m}} = \sqrt{\frac{g}{a}}$$
単振動における速さの最大値 \(v_{\text{最大}}\) は、振幅 \(A\) と角振動数 \(\omega\) を用いて、
$$v_{\text{最大}} = A\omega$$
これに \(A=a\) と \(\omega = \sqrt{g/a}\) を代入することで \(v_{\text{最大}}\) が求まります。

【別解：力学的エネルギー保存則を用いる方法】
物体Aの運動において、働く力は保存力である重力とばねの弾性力のみなので、Aの力学的エネルギーは保存されます。
振動の始点であるP点（最も低い位置）と、速さが最大となる振動中心O点とで力学的エネルギー保存則を考えます。
ばねの自然長の位置を、重力による位置エネルギー \(U_{\text{重力}}\) の基準点 (\(h=0\)) とします。
O点は自然長の位置より \(a\) だけ下方にあるので、O点の高さは \(-a\) と表せます。
P点はO点よりさらに \(a\) だけ下方にあるので、P点の高さは \(-2a\) と表せます。

P点において（時刻 \(t=0\)、変位 \(x=a\)）：

• 速さ：\(v_{\text{P点}} = 0\) （静かに放すため）
• 運動エネルギー：\(K_{\text{P点}} = 0\)
• 高さ：\(h_{\text{P点}} = -2a\) より、重力による位置エネルギー：\(U_{\text{重力,P点}} = mg(-2a) = -2mga\)
• ばねの縮み：O点で \(a\) 縮んでおり、P点はO点よりさらに \(a\) 下なので、自然長からの縮みは \(2a\)。
  よって、弾性力による位置エネルギー：\(U_{\text{ばね,P点}} = \frac{1}{2}k(2a)^2 = 2ka^2\)
• P点での力学的エネルギー \(E_{\text{P点}}\)：\(E_{\text{P点}} = K_{\text{P点}} + U_{\text{重力,P点}} + U_{\text{ばね,P点}} = 0 – 2mga + 2ka^2\)

O点において（振動中心、変位 \(x=0\)）：

• 速さ：\(v_{\text{O点}} = v_{\text{最大}}\)
• 運動エネルギー：\(K_{\text{O点}} = \frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2\)
• 高さ：\(h_{\text{O点}} = -a\) より、重力による位置エネルギー：\(U_{\text{重力,O点}} = mg(-a) = -mga\)
• ばねの縮み：自然長からの縮みは \(a\)。
  よって、弾性力による位置エネルギー：\(U_{\text{ばね,O点}} = \frac{1}{2}ka^2\)
• O点での力学的エネルギー \(E_{\text{O点}}\)：\(E_{\text{O点}} = K_{\text{O点}} + U_{\text{重力,O点}} + U_{\text{ばね,O点}} = \frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2 – mga + \frac{1}{2}ka^2\)

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{P点}} = E_{\text{O点}}\) より、
$$-2mga + 2ka^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2 – mga + \frac{1}{2}ka^2$$
この式を \(v_{\text{最大}}\) について解きます。途中で \(ka=mg\) の関係式を用います。

(イ) Aの位置 \(x\) の時間変化 \(x(t)\)
問題文の指示通り、O点を原点 (\(x=0\)) とし、鉛直下向きを正とする \(x\) 軸をとります。
物体AはO点を中心に、振幅 \(A=a\) で単振動します。角振動数は \(\omega = \sqrt{g/a}\) です。
時刻 \(t=0\) において、AはP点（\(x=a\) の位置）にあり、そこで静かに放されるので初速度は \(v_0=0\) です。
単振動において、\(t=0\) で正の最大変位（振幅の位置）にあり初速度が0の場合、その運動は \(x(t) = A \cos(\omega t)\) の形で表されます。
したがって、振幅 \(A=a\) と角振動数 \(\omega = \sqrt{g/a}\) を代入して \(x(t)\) を求めます。

(ア) 速さの最大値 \(v_{\text{最大}}\)
角振動数 \(\omega\) は、
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{(mg/a)}{m}} = \sqrt{\frac{g}{a}}$$
振幅 \(A=a\) なので、速さの最大値 \(v_{\text{最大}}\) は、
$$v_{\text{最大}} = A\omega = a \cdot \sqrt{\frac{g}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{g}{a}} = \sqrt{ga}$$

【別解：力学的エネルギー保存則による計算】
エネルギー保存則の式：
$$-2mga + 2ka^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2 – mga + \frac{1}{2}ka^2$$
\(ka=mg\) を代入して整理します。
$$-2mga + 2(mg)a = \frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2 – mga + \frac{1}{2}(mg)a$$
$$0 = \frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2 – mga + \frac{1}{2}mga$$
$$0 = \frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2 – \frac{1}{2}mga$$
\(\frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2\) について整理すると、
$$\frac{1}{2}mv_{\text{最大}}^2 = \frac{1}{2}mga$$
両辺に \(\frac{2}{m}\) を掛けると（\(m \neq 0\) なので可能）、
$$v_{\text{最大}}^2 = ga$$
\(v_{\text{最大}} > 0\) なので、
$$v_{\text{最大}} = \sqrt{ga}$$

(イ) 位置 \(x(t)\)
振幅 \(A=a\)、角振動数 \(\omega = \sqrt{g/a}\)。
\(t=0\) で \(x=a\) (正の最大変位の位置) で初速度 \(0\) なので、
$$x(t) = A \cos(\omega t) = a \cos\left(\sqrt{\frac{g}{a}}t\right)$$

(ア) 物体Aは、つり合いの位置O点を中心にして、一番下のP点（O点から \(a\) だけ下）と一番上の点（O点から \(a\) だけ上）の間を行ったり来たりする単振動をします。この振動の「勢い」を表す角振動数 \(\omega\) は、ばねの硬さ \(k\) と物体の質量 \(m\) から \(\omega = \sqrt{k/m}\) と計算でき、(1)の結果を使うと \(\sqrt{g/a}\) となります。単振動では、真ん中のO点を通る時に速さが最大になります。その速さは「振幅 \(\times\) 角振動数」で求められ、振幅は \(a\) なので、\(a \times \sqrt{g/a} = \sqrt{ga}\) となります。
別のアプローチとしてエネルギーで考えることもできます。P点（速さ0）での位置エネルギーの合計（重力とばね）と、O点（速さ最大）での運動エネルギーと位置エネルギーの合計が等しい、というエネルギー保存の法則から計算しても同じ結果が得られます。

(イ) Aの位置 \(x\) が時間 \(t\) と共にどう変わるかを表す式を作ります。O点を \(x=0\)、下向きを正とします。Aは \(t=0\) のとき \(x=a\) の位置（P点、振動の一番下の端）から動き始めます。このような動き（端からスタートする単振動）は、コサイン関数を使って \(x(t) = (\text{振幅}) \cos((\text{角振動数}) t)\) と表せます。振幅は \(a\)、角振動数は \(\sqrt{g/a}\) なので、\(x(t) = a \cos(\sqrt{g/a} t)\) となります。

(ア) Aの速さの最大値は \(v_{\text{最大}} = \sqrt{ga}\) です。
(イ) Aの位置 \(x\) の時間変化は \(x(t) = a \cos\left(\sqrt{\frac{g}{a}}t\right)\) です。
これらの結果の次元（単位）を確認すると、\(\sqrt{ga}\) は \(\sqrt{[\text{m/s}^2] \cdot [\text{m}]} = [\text{m/s}]\) となり、速さの単位として正しいです。また、\(\sqrt{g/a} \cdot t\) は \(\sqrt{[\text{m/s}^2]/[\text{m}]} \cdot [\text{s}] = [\text{無次元}]\) となり、コサイン関数の引数として適切です。その結果 \(x(t)\) は \(a\) と同じ長さの次元を持ちます。
問題文で指定された座標軸（O点原点、鉛直下向き正）に基づいた \(x(t)\) であることを確認しましょう。\(t=0\) で \(x(0) = a \cos(0) = a\) となり、これはP点の位置と一致しています。

問3

思考の道筋とポイント
物体Bが床から離れるのは、Bに働く床からの垂直抗力 \(N_{\text{B}}\) が \(0\) になるときです。Aの振動に伴い、ばねの変形量（伸びまたは縮み）が変化し、それが物体Bに及ぼす力も変化します。\(N_{\text{B}}\) が最も小さくなるのは、ばねがBを最も強く上向きに引くとき、すなわち、ばねが（自然長から）最も伸びるときです。この状態がAの振動中に起こりうるかを考え、\(N_{\text{B}} \ge 0\) が常に成り立つための振幅 \(b\) の条件を導き出します。

この設問における重要なポイント

• 物体Bが床から離れる瞬間は、垂直抗力 \(N_{\text{B}}\) が \(0\) になる瞬間であると理解すること。
• 物体Aの位置 \(x\)（O点基準、下向き正）によって、ばねの自然長からの変形量（伸びか縮みか、その量はいくらか）がどう変わるかを正確に把握すること。
• O点はあくまで「力のつり合いの位置」であり、「ばねの自然長の位置」ではないことを常に意識すること。O点ではばねは \(a\) 縮んでいます。
• Bが最も離れやすくなるのは、Aが振動のどの位置にあるときかを特定すること（Aが最下点 \(x=b\) にあるとき）。

具体的な解説と立式
AをO点から距離 \(b\) だけ押し下げて放すので、AはO点 (\(x=0\)) を中心に振幅 \(b\) で単振動します。したがって、Aの変位 \(x\) の範囲は \(-b \le x \le b\) となります（鉛直下向きを正としています）。

物体Bに働く力は以下の通りです。

• 鉛直下向きの重力: \(mg\)
• ばねからの力: \(F_{\text{ばね}}\)（向きと大きさはAの位置 \(x\) に依存）
• 鉛直上向きの床からの垂直抗力: \(N_{\text{B}}\)

Bが床から離れないためには、常に \(N_{\text{B}} \ge 0\) である必要があります。

Aの位置が \(x\) のとき、ばねの「自然長からの縮み」は \(s = a-x\) であると問1,2の考察で確認しました（O点で \(a\) 縮み、そこからAが \(x\) だけ下がると、全体の縮みは \(a-x\) になる）。

• もし \(s = a-x > 0\) (つまり \(x < a\)) なら、ばねは縮んでいます。このとき、ばねはBを下向きに \(k(a-x)\) の力で押します。 Bの力のつり合いは \(N_{\text{B}} = mg + k(a-x)\) となります。\(a-x > 0\) なので \(k(a-x) > 0\)。したがって、\(N_{\text{B}} > mg > 0\) となり、この場合はBは床から離れません。
• もし \(s = a-x < 0\) (つまり \(x > a\)) なら、ばねは伸びています。その伸びの量は \(-s = x-a\) です。このとき、ばねはBを上向きに \(k(x-a)\) の力で引きます。
  Bの力のつり合いは \(N_{\text{B}} + k(x-a) = mg\) となります。よって \(N_{\text{B}} = mg – k(x-a)\)。
  Bが床から離れないためには \(N_{\text{B}} \ge 0\) が必要なので、\(mg – k(x-a) \ge 0\)、つまり \(mg \ge k(x-a)\) が条件となります。

Bが床から離れる可能性があるのは、ばねが伸びてBを上に引くとき、すなわち \(x > a\) の場合です。
このとき、\(N_{\text{B}}\) が \(0\) 以上を保つ条件 \(mg \ge k(x-a)\) が、Aの振動範囲 \([-b, b]\) の中で常に成り立っていればよいわけです。
条件が最も厳しくなるのは、左辺 \(k(x-a)\) が最大になるとき、つまり \(x-a\) が最大となるときです。これは、\(x\) がその取りうる最大値をとるときに起こります。
Aの振動範囲における \(x\) の最大値は \(b\) です。
したがって、Bが床から離れるかどうかは、Aが振動の最下点 \(x=b\) に来たときに、条件 \(mg \ge k(b-a)\) が満たされるかどうかで決まります (ただし、この議論は \(b>a\) の場合、すなわちばねが実際に伸びる可能性がある場合についてです)。

ここで、(1)より \(k = mg/a\)、すなわち \(mg = ka\) という関係がありました。これを代入すると、
$$ka \ge k(b-a)$$
ばね定数 \(k\) は正なので、両辺を \(k\) で割っても不等号の向きは変わりません。
$$a \ge b-a$$
これを \(b\) について整理すると、
$$2a \ge b \quad \text{つまり} \quad b \le 2a$$
この結果は、ばねが伸びる可能性のある \(b>a\) の仮定のもとで導かれました。

もし、最初に \(b \le a\) である場合はどうでしょうか。
この場合、Aが振動の最下点 \(x=b\) にあっても、\(x \le a\) なので、ばねの「縮み」\(a-x\) は \(0\) 以上、つまりばねは常に縮んでいるか自然長です。
このとき、Bはばねから下向きの力 \(k(a-x)\) を受けるか、力を受けません（自然長のとき）。
よって、垂直抗力 \(N_{\text{B}} = mg + k(a-x) \ge mg > 0\) となり、Bは床から離れることはありません。
この \(b \le a\) という条件は、\(a > 0\) とすれば、\(b \le 2a\) という条件に包含されます ( \(b \le a \) , \( b \le 2a\) は常に真)。

したがって、すべての場合を考慮すると、Bが床から離れないためには \(b \le 2a\) でなければなりません。

物体Bが床から離れるのは、床からの垂直抗力 \(N_{\text{B}}\) が \(0\) になるときです。
ばねがBを上向きに引く力 \(F_{\text{引上}}\) が、Bの重力 \(mg\) に等しくなるとき、\(N_{\text{B}}=0\) となります。
ばねがBを上向きに引くのは、ばねが自然長よりも伸びているときです。
AのO点からの変位を \(x\)（下向き正）とすると、O点ではばねは \(a\) 縮んでいるので、Aの位置が \(x\) のときのばねの自然長からの「縮み」は \(a-x\) です。
ばねが伸びるのは \(a-x < 0\)、すなわち \(x > a\) のときで、そのときの伸びの量は \(x-a\) です。
この伸びによるBへの上向きの引く力は \(k(x-a)\) です。
Bが床から離れないためには、この引く力が \(mg\) を超えないこと、つまり、
$$k(x-a) \le mg$$
が、Aの運動範囲（特に \(x>a\) となる範囲）で常に成り立たなければなりません。
この不等式が最も破られやすい（左辺が最大になる）のは、\(x\) が最大値をとるときです。Aの振幅は \(b\) なので、\(x\) の最大値は \(b\) です。
したがって、Aが最下点 \(x=b\) に来たときに、上の条件が満たされていれば、他のどの位置でも満たされます（ただし \(b>a\) の場合を考えています）。
$$k(b-a) \le mg$$
ここで、(1)で得られた関係 \(mg=ka\) を用います。
$$k(b-a) \le ka$$
ばね定数 \(k\) は正なので、両辺を \(k\) で割ると、
$$b-a \le a$$
これを \(b\) について解くと、
$$b \le 2a$$
この条件は \(b>a\) の仮定のもとで導きましたが、\(b \le a\) の場合は、Aが最下点 \(x=b\) にいても \(x \le a\) であるため、ばねは縮んでいるか自然長であり、Bを上向きに引くことはありません。したがって \(N_{\text{B}} \ge mg > 0\) となり、Bは離れません。この \(b \le a\) は \(b \le 2a\) を満たすので、最終的な条件は \(b \le 2a\) となります。

物体Bが床からプカッと浮き上がらないようにするには、Aの動きの幅（振幅 \(b\)）をどれくらいまでに抑えれば良いか、という問題ですね。
Bが浮き上がるのは、AのせいでばねがBを上に強く引っ張り、その力がB自身の重さ (\(mg\)) 以上になったときです。
ばねがBを上に引っ張るのは、ばねが「自然の長さ」よりも伸びたときです。Aのつり合い位置O点では、ばねは \(a\) だけ縮んでいました。
AがO点から下に \(x\) だけ動くと、ばねの縮み具合は「\(a\) から \(x\) を引いた分」になります。もし \(x\) が \(a\) より大きいと、これはマイナスになり、ばねは「\(x-a\) だけ伸びている」ことになります。
この「\(x-a\) の伸び」によってBを上に引っ張る力は \(k(x-a)\) です。
これがBの重さ \(mg\) を超えなければセーフなので、\(k(x-a) \le mg\) が条件です。
Aは一番下まで行くと \(x=b\) の位置に来ます。このときが一番Bが浮きやすい状況なので、この \(x=b\) を代入して \(k(b-a) \le mg\) であれば、常にBは浮きません。
(1)で \(mg\) は \(ka\) と等しいことが分かっているので、\(k(b-a) \le ka\) となります。
これを解くと \(b-a \le a\)、つまり \(b \le 2a\) という結果が得られます。
もし、そもそも振幅 \(b\) が \(a\) 以下 (\(b \le a\)) なら、Aが一番下に来てもばねは縮んだままか、せいぜい自然長なので、Bを上に引っ張ることはなく、絶対に浮きません。この場合も \(b \le 2a\) という条件は満たされていますね。

Aの振動中にBが床から離れないためには、AのO点からの初期押し下げ距離（＝振幅）\(b\) が \(2a\) 以下、すなわち \(b \le 2a\) である必要があります。
この結果を物理的に考えてみましょう。もし \(b=2a\) ちょうどの場合、Aが振動の最下点（O点から \(2a\) 下）に来ると、ばねの自然長からの伸びは \(x-a = 2a-a=a\) となります。このとき、ばねがBを上に引く力は \(ka\) です。一方、Bの重力は \(mg\) ですが、(1)から \(ka=mg\) なので、この瞬間、ばねがBを上に引く力とBの重力がちょうどつり合い、床からの垂直抗力 \(N_{\text{B}}\) は \(0\) になります。これより \(b\) が少しでも大きいと（\(b>2a\)）、ばねがBを引く力が \(mg\) を超えてしまい、Bは床から離れてしまいます。したがって、\(b \le 2a\) という条件は物理的に妥当であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合い: 物体が静止している状態、あるいは運動状態が変化しない場合に、物体に働く力のベクトル和が0になるという基本法則です。問1ではAとBそれぞれのつり合いを考えました。
• フックの法則: ばねの弾性力が、ばねの自然長からの変形量に比例するという法則 (\(F=kx\))。ばねの問題では必須です。
• 単振動: 物体が平衡点の周りを往復する運動のうち、復元力が変位に比例し、変位と逆向きに働く場合に起こります。\(F=-Kx\) の形。
  • 振動中心: 復元力が0になる点（力のつり合いの位置）。
  • 振幅: 振動中心から最も離れた位置までの距離。
  • 角振動数 (\(\omega\)): 振動の速さを表す量で、\(\omega = \sqrt{K/m}\)（\(K\) は復元力の比例定数）。
• 力学的エネルギー保存則: 保存力（重力、弾性力など）のみが仕事をする場合に、運動エネルギーと位置エネルギーの和が一定に保たれる法則。問2(ア)の別解で用いました。基準点の取り方が重要です。
• 作用・反作用の法則: 物体Aが物体Bに力を及ぼすとき、物体Bも物体Aに大きさが等しく向きが反対の力を及ぼすという法則。問1でばねがAを押す力とBを押す力を考える際に暗黙的に用いています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水平ばね振り子、鉛直ばね振り子（特に、つり合いの位置が自然長からずれる場合）。
  • 複数の物体がばねで連結されている系。
  • 物体が床や壁から離れる条件、あるいは滑り出す条件を問う問題（摩擦力が絡む場合も）。
  • U字管内の液体の振動など、見かけは違えど単振動として扱える問題。
• 初見の問題で着目すべき点:
  1. 力の図示: まず、各物体に働く力をすべて正確に図示すること。特に接触力（垂直抗力、摩擦力）や遠隔力（重力、弾性力、電気力など）を漏らさずに。
  2. 座標軸の設定: 運動の方向や力の分解を考慮して、適切な座標軸を設定する。
  3. つり合いの位置の特定: 静止状態やつり合い振動の中心はどこか。
  4. 運動方程式の立式: 各物体について、運動方程式 \(ma=F\) を立てる。単振動の場合は \(F=-Kx\) の形を目指す。
  5. エネルギー保存則の適用の可否: 保存力のみが働くか、非保存力が仕事をするかを確認する。
  6. 「離れる」「滑る」の限界条件: 垂直抗力が0、静止摩擦力が最大摩擦力を超える、などの条件を数式化する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ばねの力の向き: ばねが「縮んでいる」のか「伸びている」のかを正確に判断し、それぞれの物体に働く力の向きを間違えないこと。特に2物体間にあるばねの場合、片方に働く力と他方に働く力は逆向き（作用・反作用）になります。
• 自然長とつり合いの位置の混同: ばね振り子では、特につり合いの位置が自然長の位置と一致しない場合（鉛直ばね振り子や本問の初期状態など）に注意が必要です。弾性エネルギーを計算する際の「変形量」は常に「自然長からの変化」です。
• 単振動の振幅と振動中心: 振動の中心は「力のつり合いの位置」です。振幅は「振動中心からの最大変位」です。これらを問題の状況に合わせて正しく設定することが重要です。
• 符号のミス: 座標軸の正の向きと力の向き、変位の向きを考慮して、式中の符号を間違えないように注意が必要です。

対策:

• 必ず力を図示する習慣をつける。
• 自然長の位置、つり合いの位置を明確に区別して図に書き込む。
• 単振動の基本的な定義（復元力、振動中心、振幅、周期、角振動数）をしっかり理解し、問題ごとにこれらの要素を特定する練習を積む。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効だった図:
  • 各物体にはたらく力のベクトル図（つり合い状態、振動中のある瞬間など）。
  • ばねの自然長、つり合いの位置、振動の端点などを示した位置関係の図。
• 図を描く際の注意点:
  • 力の矢印は、作用点を明確にし、向きと相対的な大きさがわかるように描く。
  • 座標軸の向きを明記する。
  • ばねの伸び縮みがわかるように、自然長の位置を基準として描くと良い。
  • 現象を単純化しすぎず、しかし本質がわかるように描く。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合い (\(\Sigma F = 0\)): 物体が静止している、または等速直線運動している場合に適用。本問ではAの初期静止状態、Bの静止状態で使用。
• フックの法則 (\(F=kx\)): ばねの弾性力を計算する際に使用。\(x\) は自然長からの変形量。
• 運動方程式 (\(ma=F\)): 物体の運動状態が変化する（加速度が生じる）場合に基本となる式。単振動の解析で加速度を求める際に使用。
• 単振動の角振動数 (\(\omega = \sqrt{k/m}\) または \(\sqrt{K/m}\)): 復元力が \(F=-Kx\) と表される場合に適用。\(K\) が有効な「ばね定数のようなもの」。
• 力学的エネルギー保存則: 外力や非保存力が仕事をしない場合に適用。基準点の選び方で式の形が変わるが、結果は同じになる。

これらの公式がなぜその場面で使えるのか（あるいは使えないのか）を常に自問自答する習慣が、応用力を高めます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 状況把握と図示: 問題文を読み解き、物体やばねの位置関係、働く力を図に描いて整理する。
2. 法則の選択: 静止していれば「力のつり合い」、運動していれば「運動方程式」や「エネルギー保存則」など、状況に応じた物理法則を選択する。
3. 立式: 選択した法則に基づいて数式を立てる。座標軸や力の向き、変数の定義を明確にする。
   • (1) Aのつり合い \(\rightarrow\) \(k\) の決定。Bのつり合い \(\rightarrow\) \(N\) の決定。
   • (2) 単振動の性質（\(\omega\), \(A\), \(v_{\text{最大}}\)）、初期条件 \(\rightarrow\) \(x(t)\) の決定。
   • (3) Bが離れる条件 (\(N_{\text{B}}=0\)) を特定し、Aの振動中のどの瞬間にその条件が最も満たされやすいかを考察 \(\rightarrow\) \(b\) の条件式の導出。
4. 計算実行: 立てた式を解いて答えを求める。文字計算を丁寧に行い、最後に数値を代入する方がミスが少ない。
5. 解の吟味: 得られた答えが物理的に妥当か（単位、符号、極端な場合の挙動など）を検討する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 式の各項や最終的な答えの単位が正しいか常に意識する。
• 文字式の利用: できるだけ計算の最後まで文字を使って進め、代入は最後に行う。これにより、途中の計算ミスを発見しやすくなったり、一般的な関係が見えやすくなったりする。
• 符号のチェック: 力の向き、変位の向き、座標軸の正負を常に意識し、式の符号が正しいか確認する。
• 途中式の明記: 計算過程を省略せずに丁寧に書くことで、間違いを発見しやすくなる。
• 検算: 時間が許せば、別の方法で解いたり、極端な値を代入したりして検算する。例えば、(2)(ア)は \(v_{\text{最大}}=A\omega\) とエネルギー保存則の2通りで確認できました。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性の確認:
  • 例えば、(1)で \(N=2mg\) となったのは、AとBの合計の重さを床が支えていると解釈でき、直感と合います。
  • (3)で \(b \le 2a\) という条件は、\(b\) が大きすぎるとBが浮くという直感と一致します。\(b=0\)（振動しない）なら当然浮かない。\(b=a\) のときは、(2)の状況と同じで浮かないはず（\(a \le 2a\) は \(a \ge 0\) なので成立）。
• 単位の確認: 解説の各所で触れた通り、常に単位が物理的に正しいかを確認しましょう。
• 極端な場合を考える:
  • もし \(a \rightarrow 0\) だったとしたらどうなるか？（ばねが最初から自然長に近い状態でつり合う状況は、\(mg\)が非常に小さい場合などを意味し、問題設定自体が難しくなりますが、思考実験として有効です）。
  • もし \(g \rightarrow 0\) だったとしたらどうなるか？（無重力状態では、つり合いの位置Oの定義が変わります）。
• 既知の事実との比較: 例えば、鉛直ばね振り子の周期の公式など、関連する知識と矛盾がないか確認する（本問では直接周期を問われてはいませんが）。

これらの振り返りポイントを意識して学習を進めることで、単に問題を解けるだけでなく、物理現象への深い理解と応用力が身につきます。頑張ってください！

問題48 (千葉大＋学習院大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、傾角30°の滑らかな斜面上で、ばねに繋がれた小球Aと、斜面を滑り降りてくる小球Bとの弾性衝突、そしてその後の各小球の運動を扱う力学の総合問題です。力学的エネルギー保存則、運動量保存則、単振動といった複数の重要な物理概念が絡み合っています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、斜面上の物体の運動エネルギーと位置エネルギーの変化、2体衝突における運動量とエネルギーのやり取り、そしてばねによる単振動という、力学の重要事項を網羅的に扱っています。各ステップでどの物理法則が適用できるかを正確に見極め、数式に落とし込んでいくことが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 力学的エネルギー保存則: 保存力（本問では重力とばねの弾性力）のみが仕事をする場合に、運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定に保たれます。
• 運動量保存則: 外力が働かない系（または、衝突のような極めて短い時間では内力に比べて無視できる系）では、系の全運動量は保存されます。
• 弾性衝突 (反発係数 \(e=1\)): 運動エネルギーが保存される衝突です。運動量保存則と合わせて、衝突後の速度を決定するのに用います。
• 単振動: ばねに繋がれた物体が、つり合いの位置（本問ではばねの自然長の位置）を中心に復元力を受けて行う周期的な往復運動です。そのエネルギーや周期に関する理解が必要です。

全体的な戦略としては、まずBがAに衝突するまでの運動を力学的エネルギー保存則で解析し、次にAとBの衝突を運動量保存則と反発係数の式で解析します。その後、Aの単振動の様子をエネルギー保存則で、Bの等加速度直線運動を運動の法則で追跡し、最終的に2回目の衝突の条件へと繋げます。

問1

思考の道筋とポイント
小球Bは、初速度0でAから距離 \(d\) の位置（高さ \(d \sin 30^\circ\)）から斜面を滑り降ります。この過程では重力のみが仕事をするため（斜面は滑らか）、力学的エネルギー保存則が適用できます。Bが最初に持っていた重力による位置エネルギーが、Aに衝突する直前にはすべてBの運動エネルギーに変換されると考えます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則が使える条件を正しく認識すること（保存力以外の力が仕事をしない）。
• 重力による位置エネルギーの基準点を適切に設定すること（通常、最も低い位置か初期位置を基準にすると計算が簡便）。
• 斜面の角度から、高さの変化量を正確に計算すること (\(h = d \sin \theta\))。

具体的な解説と立式
小球BがAに衝突する直前の位置（\(x=0\)）を重力による位置エネルギーの基準面（高さ0）とします。
Bが運動を始める前の初期状態（\(x=-d\) の位置）:

• 初速度: \(v_{\text{初}} = 0\)
• 基準面からの高さ: \(h = d \sin 30^\circ = d \cdot \frac{1}{2} = \frac{d}{2}\)
• 初期の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):
  $$E_{\text{初}} = (\text{運動エネルギー})_{\text{初}} + (\text{位置エネルギー})_{\text{初}} = 0 + mg\left(\frac{d}{2}\right) = \frac{1}{2}mgd$$

BがAに衝突する直前の最終状態（\(x=0\) の位置）:

• 速度: \(u\) （求める速さ）
• 基準面からの高さ: \(0\)
• 最終の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
  $$E_{\text{後}} = (\text{運動エネルギー})_{\text{後}} + (\text{位置エネルギー})_{\text{後}} = \frac{1}{2}mu^2 + 0 = \frac{1}{2}mu^2$$

力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) より、
$$\frac{1}{2}mgd = \frac{1}{2}mu^2$$
この式を \(u\) について解きます。

力学的エネルギー保存則の式:
$$\frac{1}{2}mgd = \frac{1}{2}mu^2$$
両辺に \(\frac{2}{m}\) を掛けます（質量 \(m \neq 0\) なので可）。
$$gd = u^2$$
\(u\) は速さなので \(u > 0\) です。したがって、
$$u = \sqrt{gd}$$

小球Bが斜面を滑り落ちるとき、最初に持っていた「高さのエネルギー」（位置エネルギー）が、だんだんと「速さのエネルギー」（運動エネルギー）に変わっていきます。斜面がツルツルなので、エネルギーが無駄になることはありません。
最初の位置エネルギーは、質量 \(m\)、重力加速度 \(g\)、高さ \(h\) で \(mgh\) と表せます。この問題での高さは、Aからの距離 \(d\) と斜面の角度 \(30^\circ\) から \(h = d \sin 30^\circ = d/2\) です。なので、最初のエネルギーは \(mg(d/2)\) です。
これが衝突直前にはすべて運動エネルギー \(\frac{1}{2}mu^2\) に変わるので、\(mg(d/2) = \frac{1}{2}mu^2\) という等式が成り立ちます。これを \(u\) について解くと、\(u=\sqrt{gd}\) となります。

衝突直前のBの速度 \(u\) は \(\sqrt{gd}\) です。
単位を確認してみましょう。重力加速度 \(g\) の単位は \([\text{m/s}^2]\)、距離 \(d\) の単位は \([\text{m}]\) です。したがって、\(gd\) の単位は \([\text{m}^2/\text{s}^2]\) となり、その平方根である \(u\) の単位は \([\text{m/s}]\) となって、速度の単位として正しいです。
また、直感的に考えても、Bが離れている距離 \(d\) が大きいほど、また重力加速度 \(g\) が大きいほど、衝突直前の速度 \(u\) は大きくなるという結果は妥当です。

問2

思考の道筋とポイント
小球Aと小球Bの衝突は弾性衝突（反発係数 \(e=1\)）です。衝突の前後で、AとBからなる系全体の運動量が保存されます（運動量保存則）。また、弾性衝突なので、反発係数の式も成り立ちます。これら2つの式を連立させることで、衝突直後のAの速度 \(v_A\) とBの速度 \(v_B\) を求めることができます。速度はベクトル量なので、\(x\) 軸の正負で向きを表すことに注意します。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則は、衝突方向（本問では斜面に平行な \(x\) 軸方向）について立てること。
• 衝突前のAの速度は \(0\) であること、衝突前のBの速度は \(u\) であること（\(x\) 軸正向き）を正しく式に反映させること。
• 弾性衝突なので反発係数 \(e=1\)。反発係数の式: \((\text{衝突後の相対速度}) = -e \times (\text{衝突前の相対速度})\) を正確に用いること。
• 得られた速度の符号が、衝突後の運動方向（\(x\) 軸の正方向か負方向か）を示していることを理解すること。

具体的な解説と立式
衝突直前のAの速度を \(u_A=0\)、Bの速度を \(u_B = u\)（\(x\) 軸正向き）とします。
衝突直後のAの速度を \(v_A\)、Bの速度を \(v_B\) とします（これらも \(x\) 軸方向の速度成分）。

運動量保存則（\(x\) 軸方向）:
(衝突前の全運動量) = (衝突後の全運動量)
$$M u_A + m u_B = M v_A + m v_B$$
$$M \cdot 0 + m u = M v_A + m v_B$$
$$mu = M v_A + m v_B \quad \cdots ①$$

反発係数の式（弾性衝突なので \(e=1\)）:
\(v_A – v_B = -e(u_A – u_B)\)
$$v_A – v_B = -1(0 – u)$$
$$v_A – v_B = u \quad \cdots ②$$
式①と式②を \(v_A\) と \(v_B\) についての連立方程式として解きます。

式①: \(mu = M v_A + m v_B\)
式②: \(u = v_A – v_B\)

式②から \(v_B = v_A – u\) とし、これを式①に代入します:
$$mu = M v_A + m (v_A – u)$$
$$mu = M v_A + m v_A – mu$$
右辺を \(v_A\) でまとめ、左辺に \(-mu\) を移項します:
$$mu + mu = (M+m)v_A$$
$$2mu = (M+m)v_A$$
したがって、\(v_A\) は、
$$v_A = \frac{2m}{M+m}u$$
次に、この \(v_A\) を \(v_B = v_A – u\) に代入して \(v_B\) を求めます:
$$v_B = \frac{2m}{M+m}u – u$$
共通因数 \(u\) でくくり、通分します:
$$v_B = \left(\frac{2m}{M+m} – \frac{M+m}{M+m}\right)u$$
$$v_B = \frac{2m – (M+m)}{M+m}u$$
$$v_B = \frac{2m – M – m}{M+m}u$$
$$v_B = \frac{m-M}{M+m}u$$
(1)で求めた \(u = \sqrt{gd}\) を代入すると、
$$v_A = \frac{2m}{M+m}\sqrt{gd}$$
$$v_B = \frac{m-M}{M+m}\sqrt{gd}$$

2つのボールがぶつかる時、2つの大切なルールがあります。1つ目は「運動量保存則」といって、ぶつかる前と後で、2つのボールを合わせた全体の「勢い」のようなものは変わらない、というルールです。式で書くと \(mu = Mv_A + mv_B\) となります（Aは最初止まっていたので勢い0）。
2つ目は「反発係数の式」です。今回は「弾性衝突」というよく跳ね返る衝突なので、反発係数は1です。このときの速度の関係は \(v_A – v_B = u\) となります。
この2つの式を連立方程式として解けば、衝突後のAの速度 \(v_A\) とBの速度 \(v_B\) が、衝突前のBの速度 \(u\) を使って表せます。

衝突直後のAの速度は \(v_A = \displaystyle\frac{2m}{M+m}u = \frac{2m}{M+m}\sqrt{gd}\) です。
衝突直後のBの速度は \(v_B = \displaystyle\frac{m-M}{M+m}u = \frac{m-M}{M+m}\sqrt{gd}\) です。
ここで各速度の向きを確認しましょう。\(M, m, u\) は全て正の値です。
\(v_A\) の係数 \(\frac{2m}{M+m}\) は常に正なので、\(v_A\) は常に正、つまり小球Aは衝突後、必ず \(x\) 軸の正方向（斜面右下向き）に動き出します。これは直感的にも理解できます。
一方、\(v_B\) の係数 \(\frac{m-M}{M+m}\) の符号は \(m-M\) の符号で決まります。問題文で \(m < M\) という条件が与えられているため、\(m-M < 0\) となります。したがって、\(v_B\) は負の値を取ります。これは、小球Bが衝突後、\(x\) 軸の負方向（斜面左上向き）にはね返ることを意味します。軽い物体が重い静止物体に弾性衝突すると、軽い物体ははね返るという現象と一致しており、物理的に妥当です。

問3

思考の道筋とポイント
衝突によって \(x\) 軸正方向に初速度 \(v_A\) を得た小球Aは、ばねの復元力を受けて単振動を開始します。Aの初期位置（原点 \(x=0\)）はばねの自然長の位置なので、この点が単振動の振動中心となります。Aが達する最下点（\(x\) 軸正方向の最大の変位）を \(x_0\) とすると、この位置ではAの速さは一瞬 \(0\) になります。このとき、衝突直後にAが持っていた運動エネルギーが、すべてばねの弾性エネルギー（ポテンシャルエネルギー）に変換されたと考え、単振動におけるエネルギー保存則を適用します。

この設問における重要なポイント

• 単振動の振動中心がどこか（本問では原点＝ばねの自然長の位置）を正しく認識すること。
• 単振動の端（最下点や最上点）では、物体の速さは一瞬 \(0\) になること。
• 単振動の系において力学的エネルギー（運動エネルギー + 弾性エネルギー）が保存されることを理解し、それを利用すること。具体的には、振動中心（\(x=0\)）での運動エネルギーが、振動の端（\(x=x_0\)）での弾性エネルギーに等しい。

具体的な解説と立式
小球Aは、原点 (\(x=0\)) を振動中心として単振動を行います。
衝突直後のAの状態（単振動が始まるときの状態とみなせる）:

• 位置: \(x=0\)
• 速度: \(v_A\)
• このときのAの運動エネルギー: \(\frac{1}{2}Mv_A^2\)
• このときのばねの弾性エネルギー: \(\frac{1}{2}k(0)^2 = 0\) （ばねは自然長）

したがって、Aの単振動における力学的エネルギー（全エネルギー）は \(\frac{1}{2}Mv_A^2\) です。

Aが最下点 \(x_0\) に達したときの状態:

• 位置: \(x=x_0\)
• 速度: \(0\) （最下点では一瞬静止）
• このときのAの運動エネルギー: \(0\)
• このときのばねの弾性エネルギー: \(\frac{1}{2}kx_0^2\)

単振動において力学的エネルギーは保存されるので、(振動中心での運動エネルギー) = (最下点での弾性エネルギー) が成り立ちます。
$$\frac{1}{2}Mv_A^2 = \frac{1}{2}kx_0^2$$
この式を \(x_0\) について解きます。\(x_0\) は最下点の座標なので \(x_0 > 0\) です。

単振動のエネルギー保存則より:
$$\frac{1}{2}Mv_A^2 = \frac{1}{2}kx_0^2$$
両辺に \(2\) を掛けて整理すると:
$$Mv_A^2 = kx_0^2$$
\(x_0^2\) について解くと:
$$x_0^2 = \frac{Mv_A^2}{k}$$
\(x_0 > 0\) （最下点の座標は正の変位）であり、\(v_A > 0\) なので、両辺の正の平方根をとると:
$$x_0 = \sqrt{\frac{Mv_A^2}{k}} = v_A\sqrt{\frac{M}{k}}$$

ボールAは、ぶつかった直後の勢い（速度 \(v_A\)）で動き出し、ばねを伸ばしていきます。最もばねが伸びた点（最下点 \(x_0\)）では、Aは一瞬止まります。このとき、最初にAが持っていた運動エネルギー（\(\frac{1}{2}Mv_A^2\)）が、すべてばねの伸びによるエネルギー（ばねのポテンシャルエネルギー \(\frac{1}{2}kx_0^2\)）に変わったと考えることができます。
したがって、「最初の運動エネルギー = 最下点でのばねのエネルギー」という式、つまり \(\frac{1}{2}Mv_A^2 = \frac{1}{2}kx_0^2\) が成り立ちます。これを \(x_0\) について解くと、\(x_0 = v_A\sqrt{M/k}\) が得られます。この \(x_0\) が、Aの単振動の振幅になります。

Aが達する最下点の座標 \(x_0\) は \(v_A\sqrt{\displaystyle\frac{M}{k}}\) です。
単位の確認をしてみましょう。\(v_A\) の単位は \([\text{m/s}]\)、\(M\) の単位は \([\text{kg}]\)、\(k\) の単位は \([\text{N/m}] = [\text{kg} \cdot \text{m/s}^2 / \text{m}] = [\text{kg/s}^2]\) です。
すると、\(\sqrt{M/k}\) の単位は \(\sqrt{[\text{kg}] / [\text{kg/s}^2]} = \sqrt{[\text{s}^2]} = [\text{s}]\)。
したがって、\(x_0 = v_A\sqrt{M/k}\) の単位は \([\text{m/s}] \cdot [\text{s}] = [\text{m}]\) となり、座標（長さ）の単位として正しいです。
物理的にも、衝突直後の速度 \(v_A\) が大きいほど、Aの質量 \(M\) が大きいほど（慣性が大きい）、また、ばね定数 \(k\) が小さいほど（ばねが柔らかい）、Aはより遠くまで変位する (\(x_0\) が大きくなる) という結果は直感と一致します。

問4

思考の道筋とポイント
小球Aは単振動をしています。単振動中、系の力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性エネルギーの和）は常に保存されます。この保存される力学的エネルギーの総量は、(3)で考えたように、衝突直後のAの運動エネルギー \(\frac{1}{2}Mv_A^2\)（または最下点での弾性エネルギー \(\frac{1}{2}kx_0^2\)）に等しいです。Aが \(x = \frac{1}{2}x_0\) の位置を通過するときの速さを \(w\) として、この位置での運動エネルギーと弾性エネルギーの和が、単振動の全エネルギーに等しいという式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 単振動のどの瞬間においても、運動エネルギーと弾性エネルギーの和が一定（単振動の全エネルギー）であることを利用すること。
• (3)で確立した関係式（\(kx_0^2 = Mv_A^2\) や全エネルギーが \(\frac{1}{2}Mv_A^2\) であること）をうまく活用すると計算が簡略化できる。
• 代数計算、特に \(x_0\) を含む項の処理を正確に行うこと。

具体的な解説と立式
小球Aの単振動における力学的エネルギーは一定で、その値は \(E_{\text{全}} = \frac{1}{2}Mv_A^2\) です（(3)より、これは \(\frac{1}{2}kx_0^2\) とも等しい）。
Aが \(x = \frac{1}{2}x_0\) の位置を速さ \(w\) で通過するとき、その瞬間の力学的エネルギーは、
$$(\text{運動エネルギー}) + (\text{弾性エネルギー}) = \frac{1}{2}Mw^2 + \frac{1}{2}k\left(\frac{x_0}{2}\right)^2$$
これが単振動の全エネルギー \(E_{\text{全}}\) に等しいので、
$$\frac{1}{2}Mv_A^2 = \frac{1}{2}Mw^2 + \frac{1}{2}k\left(\frac{x_0}{2}\right)^2$$
この式を \(w\) について解きます。(3)の結果から \(kx_0^2 = Mv_A^2\) であることを利用します。

単振動のエネルギー保存則の式:
$$\frac{1}{2}Mv_A^2 = \frac{1}{2}Mw^2 + \frac{1}{2}k\left(\frac{x_0^2}{4}\right)$$
両辺に \(2\) を掛けて整理すると:
$$Mv_A^2 = Mw^2 + \frac{1}{4}kx_0^2$$
ここで、(3)より \(kx_0^2 = Mv_A^2\) という関係があるので、これを代入します。
$$Mv_A^2 = Mw^2 + \frac{1}{4}(Mv_A^2)$$
\(Mw^2\) について解くと:
$$Mw^2 = Mv_A^2 – \frac{1}{4}Mv_A^2$$
$$Mw^2 = \frac{3}{4}Mv_A^2$$
両辺を \(M\) で割ります（\(M \neq 0\)）。
$$w^2 = \frac{3}{4}v_A^2$$
\(w\) は速さなので \(w > 0\) です（また \(v_A\) は衝突直後の速さなので \(v_A > 0\)）。したがって、
$$w = \sqrt{\frac{3}{4}v_A^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}v_A$$

ボールAがばねで振動している間、その「エネルギーの合計」（運動エネルギーとばねのエネルギーの和）はずっと同じです。最初にAが動き出す瞬間のエネルギーは \(\frac{1}{2}Mv_A^2\) でした。
Aが振動の最大幅の半分の位置 (\(x = \frac{1}{2}x_0\)) を通るとき、そのときの速さを \(w\) とすると、運動エネルギーは \(\frac{1}{2}Mw^2\)、ばねのエネルギーは \(\frac{1}{2}k(\frac{x_0}{2})^2\) です。
これら2つのエネルギーの合計が、最初のエネルギー \(\frac{1}{2}Mv_A^2\) と等しい、という式を立てます。
\(\frac{1}{2}Mv_A^2 = \frac{1}{2}Mw^2 + \frac{1}{2}k(\frac{x_0}{2})^2\)。
ここで、(3)で \(x_0\) と \(v_A\) の間には \(kx_0^2 = Mv_A^2\) という関係があることが分かっているので、これを利用して式を整理すると、\(w = \frac{\sqrt{3}}{2}v_A\) という結果が得られます。

Aが \(x = \frac{1}{2}x_0\) を通るときの速さ \(w\) は \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}v_A\) です。
ここで、\(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) なので、\(w\) は \(v_A\)（振動中心 \(x=0\) での速さ、これが単振動の最大速度）よりも小さい値となっています。振動中心から離れるにつれて速さが遅くなるという単振動の性質と一致しており、物理的に妥当な結果です。
もし \(x=0\) ならば \(w=v_A\)、\(x=x_0\) ならば \(w=0\) となることも、このエネルギー保存の式から導かれます。

問5

思考の道筋とポイント
Aが衝突後に単振動を行い、初めて原点 (\(x=0\)) に戻るまでの時間 \(t_A\) を計算します。これはAの単振動の周期 \(T_A\) の半分に相当します。
一方、Bは衝突後に初速度 \(v_B\) で \(x\) 軸方向に運動を開始します。(2)の結果から \(v_B\) は負であり、Bは斜面を一度左上向きに上がった後、重力の斜面成分によって減速し、やがて反転して再び斜面を下り、原点 (\(x=0\)) に戻ってきます。このBが原点に戻るまでの時間 \(t_B\) を計算します。Bの運動は等加速度直線運動です。
Aが原点に戻ったときにBと2回目の衝突が起こるためには、\(t_A = t_B\) が成り立たなければなりません。この時間の一致の条件から、Bが最初に置かれていたAからの距離 \(d\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 小球Aの運動（単振動）と小球Bの運動（等加速度直線運動）をそれぞれ独立に考え、それぞれの運動にかかる時間を正確に計算すること。
• Aが原点に戻る時間は、単振動の周期 \(T_A = 2\pi\sqrt{M/k}\) の半分であること。
• Bの運動において、初速度 \(v_B\) の向き（符号）と加速度の向き（常に斜面下向き \(g\sin30^\circ\)）を正確に考慮し、等加速度直線運動の公式を正しく適用して時間を求めること。
• 最終的に \(d\) を求めるために、これまでに得られた \(v_B\) と \(u\) の関係式、および \(u\) と \(d\) の関係式を代入し、複雑な代数計算を正確に行うこと。

具体的な解説と立式
1. Aが初めて原点に戻るまでの時間 \(t_A\):
小球A（質量 \(M\)、ばね定数 \(k\)）は単振動をします。その周期 \(T_A\) は、
$$T_A = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}$$
Aは衝突直後に原点 \(x=0\) から動き出し（\(x\) 軸正方向へ）、最下点 \(x_0\) に達した後、再び原点 \(x=0\) に戻ってきます。この運動にかかる時間は、単振動の半周期に相当します。
$$t_A = \frac{T_A}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = \pi\sqrt{\frac{M}{k}} \quad \cdots ③$$

2. Bが再び原点に戻るまでの時間 \(t_B\):
小球Bは、衝突直後に初速度 \(v_B = \frac{m-M}{M+m}u\) で運動を開始します。(2)で確認したように、\(m<M\) なので \(v_B < 0\) です。つまり、Bは \(x\) 軸負の向き（斜面左上向き）に打ち出されます。 Bに働く力は重力の斜面成分のみです（斜面は滑らか）。\(x\) 軸正方向（斜面右下向き）を正とすると、Bの加速度 \(a_B\) は、重力の斜面下向き成分により、 $$a_B = g \sin 30^\circ = g \cdot \frac{1}{2} = \frac{g}{2}$$ （この加速度は常に \(x\) 軸正方向、つまり斜面下向きに働きます） Bが時刻 \(t=0\)（衝突直後）に原点 \(x=0\) から初速度 \(v_B\) で運動を始め、時刻 \(t_B\) に再び原点 \(x=0\) に戻ってくるとします。等加速度直線運動の変位の式 \(x(t) = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を用いると、 $$0 = v_B t_B + \frac{1}{2}a_B t_B^2$$ $$0 = v_B t_B + \frac{1}{2}\left(\frac{g}{2}\right)t_B^2$$ $$0 = v_B t_B + \frac{g}{4}t_B^2$$ \(t_B \neq 0\)（衝突後なので \(t_B > 0\)）より、両辺を \(t_B\) で割ると、
$$0 = v_B + \frac{g}{4}t_B$$
これを \(t_B\) について解くと、
$$t_B = -\frac{4v_B}{g} \quad \cdots ④$$
ここで \(v_B\) は負の値なので、\(t_B\) は正の値となり、物理的に意味のある時間となります。

3. 時間の一致条件 \(t_A = t_B\) から \(d\) を求める:
式③と式④を等しいとおき、(2)で求めた \(v_B = \frac{m-M}{M+m}u\) と、(1)で求めた \(u = \sqrt{gd}\) を代入して、最終的に \(d\) について解きます。
$$\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = -\frac{4v_B}{g}$$
ここに \(v_B = \frac{m-M}{M+m}u\) を代入します。
$$\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = -\frac{4}{g}\left(\frac{m-M}{M+m}u\right)$$
\(m-M = -(M-m)\) を利用して、マイナス符号を整理すると、
$$\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = \frac{4(M-m)}{(M+m)g}u$$
次に、\(u = \sqrt{gd}\) を代入します。
$$\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = \frac{4(M-m)}{(M+m)g}\sqrt{gd}$$
この式を \(d\) について解くために、両辺を2乗します。

Aが初めて原点に戻るまでの時間 \(t_A\):
$$t_A = \pi\sqrt{\frac{M}{k}}$$
Bが再び原点に戻るまでの時間 \(t_B\):
$$t_B = -\frac{4v_B}{g} = -\frac{4}{g}\left(\frac{m-M}{M+m}u\right) = \frac{4(M-m)}{(M+m)g}u$$
2回目の衝突が起こる条件 \(t_A = t_B\) より、
$$\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = \frac{4(M-m)}{(M+m)g}u$$
ここに、(1)の結果 \(u = \sqrt{gd}\) を代入します。
$$\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = \frac{4(M-m)}{(M+m)g}\sqrt{gd}$$
両辺を2乗して \(d\) について整理します:
$$\left(\pi\sqrt{\frac{M}{k}}\right)^2 = \left(\frac{4(M-m)}{(M+m)g}\sqrt{gd}\right)^2$$
$$\pi^2 \frac{M}{k} = \frac{16(M-m)^2}{(M+m)^2 g^2} \cdot gd$$
$$\pi^2 \frac{M}{k} = \frac{16(M-m)^2 d}{(M+m)^2 g}$$
この式を \(d\) について解くと、
$$d = \pi^2 \frac{M}{k} \cdot \frac{(M+m)^2 g}{16(M-m)^2}$$
$$d = \frac{\pi^2 M g (M+m)^2}{16 k (M-m)^2}$$

Aがバネでビヨーンと一往復する半分（つまり元の位置に戻るまで）の時間を計算します。これは \(\pi\sqrt{M/k}\) となります。
一方、Bは衝突後、一旦斜面を上に進んでからUターンし、また元の衝突場所（原点）に戻ってきます。このBが戻ってくるまでの時間を計算します。Bは初速度 \(v_B\)（上向きなのでマイナスの値）で、常に下向きに \(g/2\) の加速度で運動します。原点に戻るまでの時間は \(t_B = -4v_B/g\) と計算できます。
この2つの時間、\(t_A\) と \(t_B\) がピッタリ同じになれば、Aが原点に戻ってきた瞬間にBも原点にいるので、2回目の衝突が起こります。
そこで \(t_A = t_B\) という式を立てます。この式には \(v_B\) や \(u\) が含まれていますが、これらは(1)や(2)で \(d\) を使って表すことができていたので、それらをすべて代入して、最終的に \(d\) について解く、という流れです。計算は少し複雑になりますが、順を追って行えば大丈夫です。

Aが初めて原点に戻ったときに、Bと2回目の衝突をするための初期距離 \(d\) は \(\displaystyle d = \frac{\pi^2 M g (M+m)^2}{16 k (M-m)^2}\) です。
この結果は、多くの物理定数を含んでおり複雑に見えます。各定数が結果にどのように影響するかを考察することは、理解を深める上で有益です。
例えば、ばね定数 \(k\) が大きい（ばねが硬い）場合、Aは速く原点に戻ります (\(t_A\) が小さい)。そのため、Bも速く原点に戻る必要があり、そのためにはBの初速度 \(|v_B|\) が適切である必要があり、それは \(u\) すなわち \(d\) の値に依存します。式の形から \(d\) は \(1/k\) に比例しており、\(k\) が大きいと \(d\) が小さくなることがわかります。これは、\(t_A\) が小さくなるので、\(t_B\) も小さくするために、\(u\) を小さく（つまり \(d\) を小さく）する必要がある、という直感と一致します。
また、\(M-m\) の項が分母に2乗で入っているため、\(M\) と \(m\) の質量差が小さいと \(d\) は非常に大きくなる傾向があります。これは、質量差が小さいと衝突後のBの速度 \(|v_B|\) が小さくなり、原点に戻るのに時間がかかるため、その間にAが戻ってくるようにするには、Aの周期を長くする（\(M/k\) を大きくする）か、あるいは \(u\) (つまり \(d\)) を非常に大きくして \(|v_B|\) を稼ぐ必要がある、といった複雑なバランスを示唆しています。
特に \(M=m\) の極限では分母が0に近づき \(d \rightarrow \infty\) となります。これは、\(M=m\) の場合、弾性衝突で速度が交換され \(v_B=0\) となるため、Bは衝突後に動かず原点に戻ることができず、2回目の衝突が（有限の \(d\) では）起こり得ないことと整合しています。（ただし、問題の前提は \(m<M\) です。）

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則: 斜面を滑り降りるBの運動（問1）、ばねに繋がれたAの単振動（問3, 4）で中心的な役割を果たします。運動エネルギー、重力による位置エネルギー、ばねの弾性力による位置エネルギーの間の変換を正しく捉えることが重要です。
• 運動量保存則: AとBの衝突現象（問2）において、衝突の前後で系全体の運動量が保存されること。特に衝突方向（斜面方向）の運動量に着目します。
• 弾性衝突の条件（反発係数 \(e=1\)）: 運動量保存則と合わせて、衝突後の各物体の速度を決定するために不可欠です（問2）。反発係数の式を正しく立てることが求められます。
• 単振動の性質: 衝突後のAの運動は単振動です。振動中心（本問ではばねの自然長の位置）、振幅、周期（特に半周期）、単振動におけるエネルギー保存を理解している必要があります（問3, 4, 5）。
• 等加速度直線運動: 衝突後のBの運動は、重力の斜面成分による一定の加速度を受ける等加速度直線運動です。運動の式を正しく適用し、時間を計算することが求められます（問5）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 水平面や鉛直面での物体間の衝突と、その後のばね振り子の運動。
  • 複数の物体が連続して衝突する問題。
  • 単振動と他の運動（例：放物運動、円運動）が組み合わさり、特定の条件（例：再会、特定の高さや位置への到達）を満たすための初期条件や時間を求める問題。
  • 摩擦がある場合のエネルギーの増減を考慮する問題への発展。
• 初見の問題で着目すべき点:
  1. 現象のフェーズ分け: 問題全体を時間的な流れ（衝突前 \(\rightarrow\) 衝突の瞬間 \(\rightarrow\) 衝突後Aの運動 \(\rightarrow\) 衝突後Bの運動 など）に分割して、各フェーズで何が起こっているかを把握する。
  2. 各フェーズで適用すべき物理法則の特定:
     • 滑らかな斜面での運動や自由落下 \(\rightarrow\) 力学的エネルギー保存則。
     • 物体間の衝突 \(\rightarrow\) 運動量保存則、反発係数の式。
     • ばねに繋がれた物体の運動 \(\rightarrow\) 単振動の法則、エネルギー保存則。
     • 一定の力が働く運動 \(\rightarrow\) 等加速度直線運動の公式、運動方程式。
  3. 座標軸と正負の向きの明確な設定: 速度、加速度、変位などのベクトル量を扱う上で非常に重要。設定を一貫して用いる。
  4. 保存則の適用条件の再確認: エネルギー保存則や運動量保存則が「なぜ使えるのか」その条件（外力が仕事をしない、外力が無視できるなど）を常に意識する。
  5. 連立方程式の確実な処理: 特に衝突問題では、未知数が複数になるため、式を正確に立てて解く計算力が求められる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量保存則と力学的エネルギー保存則の混同: 衝突現象では、運動量は（適切な条件下で）常に保存されますが、力学的エネルギーは弾性衝突の場合にのみ保存されます。一般的な非弾性衝突では力学的エネルギーは減少し、熱などに変わります。
• 単振動の振動中心の誤認: 本問ではAの初期位置（原点）がばねの自然長であり、そこが単振動の振動中心となるため比較的シンプルです。しかし、例えば鉛直ばね振り子のように重力が常に関わる系では、つり合いの位置が自然長の位置からずれるため、振動中心の特定がより重要になります。
• 速度・加速度・力の向き（符号）のミス: 設定した座標軸の正の向きに対して、各ベクトル量がどの向きであるかを正確に把握し、式の符号を間違えないように細心の注意を払う。特に、衝突後のBの速度 \(v_B\) が負になること、Bの運動中の加速度が常に斜面下向き（\(x\) 軸正方向）であることなど。
• 時間の計算における誤り: 単振動の周期と半周期の使い分け、等加速度直線運動の公式（特に初速度が0でない場合や、特定の変位に達する時間を求める場合）の正しい適用。
• 複雑な代数計算でのミス: (5)のように多くの物理定数を含む最終的な式を導出する過程では、計算ミスが起こりやすくなります。文字式のまま慎重に計算を進め、途中で確認する習慣が大切です。

対策:

• 各物理法則の定義、公式、そしてそれらが成り立つための「条件」をセットで正確に記憶し、理解する。
• 問題を解き始める前に、状況を図示し、力、速度、加速度などのベクトルを矢印で書き込み、向きを明確にする。
• 複雑な計算になりそうな場合は、一度立ち止まって計算の方針を確認し、一つ一つのステップを丁寧に書き出しながら進める。検算も有効。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効だった図（この問題で描くと良い図）:
  • 問題全体の状況を示す、斜面、物体A、物体B、ばねの位置関係図。
  • Bが滑り降りる際の、高さと速度変化のイメージ図（力学的エネルギー保存の理解補助）。
  • 衝突直前と直後の、AとBの速度ベクトルを図示したもの（運動量保存と相対速度の理解補助）。
  • 衝突後のAの単振動の様子（振動中心、振幅 \(x_0\)、最下点など）。
  • 衝突後のBの等加速度直線運動の様子（初速度の向き、加速度の向き、Uターンして戻ってくる軌跡のイメージ）。
  • 各物体に働く力のベクトル図（Bが滑るとき、衝突の瞬間、Aが振動するときなど、各フェーズで）。
• 図を描く際の注意点:
  • 座標軸の向き（\(x\) 軸とその正方向）を必ず明記する。
  • 既知の量（\(M, m, k, g, d, \theta\) など）と未知の量（\(u, v_A, v_B, x_0, w, t_A, t_B\) など）を区別して、あるいは求めるべき量を明確に示す。
  • ベクトル量（速度、加速度、力）は矢印で向きを正確に表現する。
  • ばねに関しては、自然長の位置、振動中心の位置、振幅などを区別して描くと、単振動の理解が深まる。
  • 現象の時間的変化を追うために、複数の図（例：衝突前、衝突直後、Aが最下点、Aが原点復帰時）を描くのも有効。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問1 (Bの衝突前速度 \(u\)):
  • 選択した法則: 力学的エネルギー保存則。
  • 根拠: Bが滑らかな斜面を重力によって滑り降りる運動であり、仕事をするのは保存力である重力のみ。摩擦や空気抵抗は無視。
• 問2 (衝突後速度 \(v_A, v_B\)):
  • 選択した法則: 運動量保存則 および 反発係数の式（弾性衝突）。
  • 根拠: 2物体間の衝突という短時間の現象では、系に働く外力（重力の斜面成分やばねの力）の影響は無視できる（または内力に比べて小さい）とみなせ、運動量が保存される。また、「弾性衝突」と明記されているため反発係数 \(e=1\) が使える。
• 問3 (Aの最下点 \(x_0\)):
  • 選択した法則: 単振動における力学的エネルギー保存則。
  • 根拠: 衝突後のAはばねの弾性力（保存力）のみを受けて単振動するため、その運動エネルギーと弾性エネルギーの和は一定。
• 問4 (Aの特定位置速度 \(w\)):
  • 選択した法則: 単振動における力学的エネルギー保存則。
  • 根拠: 問3と同様、Aの単振動中はその力学的エネルギーが常に保存されるため。
• 問5 (2回目衝突の条件 \(d\)):
  • 選択した法則: Aの単振動の周期の公式、Bの等加速度直線運動の公式。
  • 根拠: Aの運動は既知の単振動であり、原点に戻る時間は半周期。Bの運動は一定の加速度（重力の斜面成分）を受けるので等加速度直線運動。2つの独立した運動の時間が一致するという条件から逆算する。

これらの法則を選択する際には、その法則が成り立つための「前提条件」を常に意識し、問題の状況がその条件を満たしているかを自問自答する訓練が、物理の論理的思考力を高める上で非常に重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. Bの運動（衝突前）:
   • 初期状態（\(x=-d\)、静止）と衝突直前状態（\(x=0\)、速度 \(u\)）を定義。
   • 力学的エネルギー保存則を適用し、\(u\) を \(d, g\) で表す。
2. AとBの衝突:
   • 衝突直前（A:0, B:\(u\)）と衝突直後（A:\(v_A\), B:\(v_B\)）の状態を定義。
   • 運動量保存則（\(x\) 軸方向）を立式。
   • 反発係数の式（\(e=1\)）を立式。
   • 上記2式を連立し、\(v_A, v_B\) を \(u, M, m\) で表す。
3. Aの運動（衝突後、単振動）:
   • 振動中心は原点 (\(x=0\))、衝突直後の速度 \(v_A\) が単振動の初速（@原点）。
   • 単振動のエネルギー保存則を使い、原点での運動エネルギーが最下点 \(x_0\) での弾性エネルギーに等しいとして \(x_0\) を \(v_A, M, k\) で表す (問3)。
   • 同様に、\(x=x_0/2\) での速さ \(w\) を求める (問4)。
   • 単振動の周期 \(T_A = 2\pi\sqrt{M/k}\) から、Aが原点に戻る時間 \(t_A=T_A/2\) を計算 (問5)。
4. Bの運動（衝突後）:
   • 初速度 \(v_B\)、加速度 \(a_B = g\sin30^\circ\) の等加速度直線運動。
   • Bが原点に戻る（変位0）までの時間 \(t_B\) を計算 (問5)。
5. 2回目の衝突条件 (問5):
   • \(t_A = t_B\) とおき、これまでに導いた \(v_B, u\) の関係式を代入し、最終的に \(d\) を \(M, m, k, g\) で表す。

このように、問題の状況を時系列や物体ごとに分解し、それぞれのフェーズで適切な物理法則を適用していく論理の流れを意識することが重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の一貫性と確認: 本問は主に文字式ですが、途中で単位がおかしくないか、最終結果の単位が求めるべき物理量の単位と一致するかを意識することは、ミス発見の助けになります。
• 文字の丁寧な記述: \(M\) と \(m\)、\(u\) と \(v\) など、似た文字や添え字を正確に書き分け、混同しないようにする。
• 符号の厳密な取り扱い: 速度、加速度、変位などのベクトル量では、設定した座標軸に対する向き（正負）を常に意識し、式に正しく反映させる。特に衝突後の \(v_B\) の符号や、Bの運動中の加速度の向きは重要。
• 平方根や2乗の計算: 平方根をとる際は正負の吟味（速さや距離は正）、2乗する際は符号の変化に注意。
• 分数の計算・通分・約分: 複雑な分数式が出てくる場合、通分や約分を慎重に行う。
• 式の代入と整理: 複数の式を代入して一つの式にまとめる際、括弧の使用を適切に行い、展開や整理の各ステップを丁寧に進める。特に(5)のような問題では、最終的な式が複雑になるため、途中の計算過程を記録し、見直せるようにすることが推奨されます。
• 検算の習慣:
  • 時間があれば、別の方法でアプローチしてみる（例：エネルギーと運動方程式の両方で解けるかなど）。
  • 得られた結果に極端な値（例：\(m \ll M\)、\(k \rightarrow \infty\)など）を代入してみて、物理的に妥当な振る舞いをするか確認する。
  • 簡単なケースや既知の問題に帰着させてみて、結果が矛盾しないか確認する。

日頃の演習から、計算過程を丁寧にノートに書き出し、間違いやすいポイントを意識して取り組むことが、計算ミスを減らすための最も確実な方法です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直観との照らし合わせ:
  • (2)で \(m<M\) のとき \(v_B < 0\) となり、Bがはね返るという結果は、軽いボールが重いボールに当たってはね返るという日常的な経験や物理的直観と一致します。
  • (3)で振幅 \(x_0\) が、衝突直後のAの速度 \(v_A\) が大きいほど、Aの質量 \(M\) が大きいほど、また、ばね定数 \(k\) が小さい（ばねが柔らかい）ほど大きくなるという結果は、物理的に妥当と考えられます。
  • (5)の \(d\) の式は非常に複雑ですが、例えば \(M=m\) の場合を（問題の条件外ですが思考実験として）考えると、弾性衝突では速度が交換され \(v_A=u, v_B=0\) となります。このとき \(v_B=0\) なのでBは原点に戻れず、\(d\) の式の分母が \( (M-m)^2 = 0 \) となり発散する（解なし、または無限遠を意味する）ことと定性的に対応します。
• 単位の整合性確認: 各設問の解説で触れたように、得られた答えの単位が、求めるべき物理量の単位として正しいかを確認することは、基本的ながら重要な吟味方法です。
• 極端な条件下での挙動の考察:
  • 例えば、ばね定数 \(k\) が非常に大きい（硬いばね）場合、Aはほとんど振動せず、\(x_0 \rightarrow 0\)、周期 \(T_A \rightarrow 0\) となります。このとき(5)の \(d\) はどうなるべきか、などと考察することで、式の妥当性や物理現象への理解を深めることができます（\(d \propto 1/k\) なので \(d \rightarrow 0\)）。
  • 重力加速度 \(g\) が0（無重力空間）の場合、Bは滑り降りないので \(u=0\)。衝突も起こらず、問題全体が意味をなさなくなりますが、式の上では \(d \propto g\) となっており、\(g=0\) なら \(d=0\) となるなど、部分的な整合性は確認できます。
• 既知の公式や典型的な問題との比較: 例えば、1次元の2体弾性衝突の公式と、(2)で得られた \(v_A, v_B\) の式が（質量や初速度の対応を考えれば）一致することを確認するなど。

解答を導き出すだけでなく、その結果が物理的にどのような意味を持つのか、他の状況や知識とどう関連するのかを考える習慣は、物理の応用力を養う上で非常に大切です。

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