問題46 (高知大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)(f)の別解1: 力学的エネルギー保存則（重力を含む）を用いた解法
- 模範解答のメイン解法（単振動のエネルギー保存則）が復元力による位置エネルギーのみを考慮するのに対し、別解1では重力による位置エネルギーと弾性エネルギーを個別に扱います。
- 設問(1)(f)の別解2: 単振動の速度公式を用いた解法
- エネルギー保存則を使わず、振幅と角振動数から直接最大速度を求めます。
- 設問(1)(c)〜(f)の別解3: 微積分を用いた運動方程式の解法
- 運動方程式を微分方程式として解くことで位置・速度の時間変化を導出し、そこから振動中心、振幅、周期、最大速度をすべて導きます。
- 設問(1)(f)の別解1: 力学的エネルギー保存則（重力を含む）を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理法則の統一的理解: 「振動中心」や「振幅」が、運動方程式の解として自然に現れる定数であることを理解できます。また、エネルギー保存則の立式における「基準の取り方」の違い（単振動のエネルギー vs 通常の力学的エネルギー）を比較することで、保存則への理解が深まります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「鉛直ばね振り子と慣性力」です。力のつりあい、単振動の諸量（周期、振幅、速さ）、そして非慣性系（エレベーター内）での運動方程式の扱いが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- フックの法則: ばねの弾性力は伸びに比例します（\(F=kx\)）。
- 力のつりあい: 静止している物体では、力のベクトル和が \(0\) になります。
- 単振動のエネルギー保存則: 振動中心を基準とした変位 \(x\) を用いると、\(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{一定}\) が成り立ちます（重力の影響は中心位置のずれとして吸収されます）。
- 慣性力: 加速度 \(a\) で運動する観測者から見ると、物体には \(-ma\) の慣性力が働きます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、まずPとQが一体となっている状態でのつりあいを考え、ばね定数を求めます。次にQを切り離した後のP単独の運動について、新たなつりあい位置（振動中心）と、初期位置（端）との関係から振幅を求めます。
- (2)では、加速するエレベーター内での力のつりあいを考えます。重力に加えて慣性力を考慮することで、見かけの重力が変化した状況として扱います。
問(1)(a)(b)
思考の道筋とポイント
まずはPとQがつながった状態での静止状態を考えます。
「つり合った」という言葉から、力のつりあいの式を立ててばね定数 \(k\) を求めます。
次に、この系全体を振動させたときの周期を公式から求めます。
この設問における重要なポイント
- 一体とみなす: PとQは接続されているので、質量 \(2m + m = 3m\) の一つの物体として扱います。
- ばねの伸び: 自然長から \(a\) だけ伸びています。
- 周期の公式: 質量 \(M\)、ばね定数 \(k\) のばね振り子の周期は \(T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}\) です。
具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とします。
PとQを合わせた質量は \(3m\) です。
働く力は以下の通りです。
- 重力: \(3mg\) （下向き）
- 弾性力: \(ka\) （上向き）
力のつりあいの式（上向きの力 = 下向きの力）を立てます。
$$
\begin{aligned}
ka &= 3mg
\end{aligned}
$$
これを \(k\) について解きます。
次に、周期 \(T_{\text{PQ}}\) を求めます。
質量 \(M=3m\)、ばね定数 \(k\) を周期の公式に代入します。
使用した物理公式
- フックの法則: \(F = kx\)
- 力のつりあい: \((\text{力のベクトル和}) = 0\)
- 単振動の周期: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}\)
つりあいの式より、
$$
\begin{aligned}
k &= \frac{3mg}{a}
\end{aligned}
$$
周期の公式より、
$$
\begin{aligned}
T_{\text{PQ}} &= 2\pi\sqrt{\frac{3m}{k}}
\end{aligned}
$$
求めた \(k\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_{\text{PQ}} &= 2\pi\sqrt{\frac{3m}{\frac{3mg}{a}}} \\[2.0ex]
&= 2\pi\sqrt{\frac{3m \cdot a}{3mg}} \\[2.0ex]
&= 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}}
\end{aligned}
$$
重い荷物（\(3m\)）をぶら下げたら \(a\) だけ伸びて止まりました。このことから、ばねの強さ（ばね定数）がわかります。
そのばね定数を使って、揺らしたときのリズム（周期）を計算しました。
ばね定数は \(k = \frac{3mg}{a}\)、周期は \(2\pi\sqrt{\frac{a}{g}}\) です。
周期の次元は \(\sqrt{[\text{L}]/[\text{L}][\text{T}]^{-2}} = [\text{T}]\) となり正しいです。
問(1)(c)(d)(e)
思考の道筋とポイント
Qを切り離すと、P（質量 \(2m\)）だけがばねにつながれた状態になります。
軽くなった分、ばねは縮もうとしてPを引き上げます。
単振動の中心は「力がつり合う位置」です。P単独でのつりあい位置を求め、元の位置（Qを切り離した瞬間の位置）との距離を考えます。
この設問における重要なポイント
- 振動中心: P単独での力のつりあい位置。
- 初期位置: Qを切り離した瞬間は、まだ動いていないので、元のつりあい位置（自然長から \(a\) 伸びた位置）にいます。また、初速度は \(0\) です。
- 振幅: 単振動において、速度が \(0\) になる点（折り返し点）は「端」です。振動中心から端までの距離が振幅になります。
具体的な解説と立式
自然長の位置を原点 \(O\) とし、鉛直下向きを \(x\) 軸とします。
Q切り離し直後のPの位置（初期位置）は \(x_{\text{始}} = a\) です。
P単独でのつりあい位置（振動中心）の座標を \(x_c\) とします。
このとき、ばねの伸びは \(x_c\) です。
P（質量 \(2m\)）についての力のつりあいの式は、
$$
\begin{aligned}
k x_c &= 2mg
\end{aligned}
$$
これより \(x_c\) を求めます。
(c) 求める距離は、元の位置 \(a\) から新しい中心 \(x_c\) までの移動距離 \(a – x_c\) です。
(d) Pは位置 \(a\) で静かに（初速度 \(0\) で）動き出しました。つまり、位置 \(a\) は振動の「下端」になります。振幅 \(A\) は、中心 \(x_c\) と端 \(a\) の距離に等しいです。
(e) 周期 \(T_{\text{P}}\) は、質量が \(2m\) に変わったことに注意して公式を使います。
使用した物理公式
- 力のつりあい: \(kx = mg\)
- 振幅の定義: \(A = |x_{\text{端}} – x_{\text{中心}}|\)
- 単振動の周期: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}\)
つりあいの式より、
$$
\begin{aligned}
x_c &= \frac{2mg}{k}
\end{aligned}
$$
(a)の結果 \(k = \frac{3mg}{a}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
x_c &= \frac{2mg}{\frac{3mg}{a}} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3}a
\end{aligned}
$$
(c) 上の位置（中心）までの距離は、
$$
\begin{aligned}
a – x_c &= a – \frac{2}{3}a \\[2.0ex]
&= \frac{1}{3}a
\end{aligned}
$$
(d) 振幅 \(A\) はこの距離そのものです。
$$
\begin{aligned}
A &= \frac{1}{3}a
\end{aligned}
$$
(e) 周期 \(T_{\text{P}}\) は、質量 \(2m\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
T_{\text{P}} &= 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} \\[2.0ex]
&= 2\pi\sqrt{\frac{2m}{\frac{3mg}{a}}} \\[2.0ex]
&= 2\pi\sqrt{\frac{2a}{3g}}
\end{aligned}
$$
Qがいなくなって軽くなったので、Pは上に引っ張られます。
最終的に落ち着く場所（新しいつりあい位置）を計算すると、元の場所より \(a/3\) だけ上でした。
Pは元の場所（一番下）からスタートして、新しい中心を通り越し、さらに \(a/3\) だけ上まで行って戻ってくる運動（単振動）を繰り返します。だから振幅は \(a/3\) です。
中心の変位は \(a/3\)、振幅は \(a/3\)、周期は \(2\pi\sqrt{\frac{2a}{3g}}\) です。
質量が \(3m\) から \(2m\) に減ったので、周期は短くなっています（\(\sqrt{3} \to \sqrt{2/3}\)）。
問(1)(f)
思考の道筋とポイント
単振動において、速さが最大になるのは「振動中心」を通過するときです。
ここでは模範解答のメイン解法である「単振動のエネルギー保存則」を用いて解きます。
この法則は、重力の影響を「振動中心からの変位」に置き換えることで、水平ばね振り子と同じ形式（\(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{一定}\)）で扱えるという便利なものです。
この設問における重要なポイント
- 単振動のエネルギー保存則: 振動中心を基準（変位 \(0\)）とすると、位置エネルギーは \(\frac{1}{2}kx^2\) の形だけで表現でき、重力による位置エネルギー項を省略できます。
- 状態の比較:
- 端（初期位置）: 変位 \(x = A = \frac{a}{3}\)、速さ \(v = 0\)
- 中心（最大速さの位置）: 変位 \(x = 0\)、速さ \(v = v_{\text{最大}}\)
具体的な解説と立式
振動中心を基準とした単振動のエネルギー保存則を立てます。
質量は \(2m\)、振幅は \(A = \frac{a}{3}\) です。
$$
\begin{aligned}
(\text{端でのエネルギー}) &= (\text{中心でのエネルギー}) \\[2.0ex]
\frac{1}{2}k A^2 + 0 &= 0 + \frac{1}{2}(2m)v_{\text{最大}}^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 単振動のエネルギー保存則: \(\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \text{一定}\)
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}k \left( \frac{a}{3} \right)^2 &= \frac{1}{2}(2m)v_{\text{最大}}^2 \\[2.0ex]
\frac{1}{2}k \frac{a^2}{9} &= m v_{\text{最大}}^2 \\[2.0ex]
v_{\text{最大}}^2 &= \frac{k a^2}{18m}
\end{aligned}
$$
ここで \(k = \frac{3mg}{a}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}}^2 &= \frac{\frac{3mg}{a} \cdot a^2}{18m} \\[2.0ex]
&= \frac{3mga}{18m} \\[2.0ex]
&= \frac{ga}{6}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}} &= \sqrt{\frac{ga}{6}}
\end{aligned}
$$
ばね振り子のエネルギーは、「ばねの伸び縮みによるエネルギー」と「運動エネルギー」を行き来します。
一番端っこ（スタート地点）では、ばねのエネルギーが最大で、スピードはゼロです。
真ん中（中心）では、ばねのエネルギー（振動成分）がゼロになり、その分がすべてスピードに変わります。
このエネルギーの交換ルールを使って、最大スピードを計算しました。
答えは \(\sqrt{\frac{ga}{6}}\) です。
次元は \(\sqrt{[\text{L}][\text{T}]^{-2}[\text{L}]} = [\text{L}][\text{T}]^{-1}\) で速さの次元になっています。
思考の道筋とポイント
「単振動のエネルギー保存則」を使わず、通常の「重力による位置エネルギー」と「ばねの弾性エネルギー」をすべて考慮する方法です。
基準面を明確に設定する必要があります。
この設問における重要なポイント
- 基準面の設定: 初期位置（端）を重力による位置エネルギーの基準（高さ \(0\)）とします。
- 高さの関係: 中心位置は、初期位置より \(\frac{1}{3}a\) だけ「上」にあります。
具体的な解説と立式
初期位置（端、自然長から \(a\)）を重力による位置エネルギーの基準（高さ \(0\)）とします。
中心位置（自然長から \(\frac{2}{3}a\)）は、基準より高さ \(\frac{1}{3}a\) だけ上になります。
1. 端（初期位置）でのエネルギー
- 運動エネ: \(0\)
- 重力位置エネ: \(0\)
- 弾性エネ: \(\frac{1}{2}ka^2\)
2. 中心でのエネルギー
- 運動エネ: \(\frac{1}{2}(2m)v_{\text{最大}}^2\)
- 重力位置エネ: \(2mg \cdot \frac{a}{3}\)
- 弾性エネ: \(\frac{1}{2}k \left( \frac{2}{3}a \right)^2\)
保存則より、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}ka^2 &= \frac{1}{2}(2m)v_{\text{最大}}^2 + \frac{2}{3}mga + \frac{1}{2}k \left( \frac{2}{3}a \right)^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則: \(K_{\text{前}} + U_{\text{前}} = K_{\text{後}} + U_{\text{後}}\)
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}ka^2 &= mv_{\text{最大}}^2 + \frac{2}{3}mga + \frac{1}{2}k \cdot \frac{4}{9}a^2 \\[2.0ex]
mv_{\text{最大}}^2 &= \frac{1}{2}ka^2 – \frac{2}{9}ka^2 – \frac{2}{3}mga \\[2.0ex]
&= \frac{5}{18}ka^2 – \frac{2}{3}mga
\end{aligned}
$$
\(k = \frac{3mg}{a}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
mv_{\text{最大}}^2 &= \frac{5}{18} \cdot \frac{3mg}{a} \cdot a^2 – \frac{2}{3}mga \\[2.0ex]
&= \frac{5}{6}mga – \frac{4}{6}mga \\[2.0ex]
&= \frac{1}{6}mga \\[2.0ex]
v_{\text{最大}}^2 &= \frac{ga}{6} \\[2.0ex]
v_{\text{最大}} &= \sqrt{\frac{ga}{6}}
\end{aligned}
$$
重力も含めたすべてのエネルギーを計算しました。
ばねが縮んでエネルギーが減り、位置が高くなってエネルギーが増え、その差し引き分が運動エネルギーになります。
計算は少し複雑になりますが、結果は同じになります。
メイン解法と同じ結果が得られました。
思考の道筋とポイント
エネルギーを考えず、単振動の運動学的特徴（振幅と周期）から直接速さを求めます。
この設問における重要なポイント
- 最大速さの公式: \(v_{\text{最大}} = A\omega\)
具体的な解説と立式
最大速さ \(v_{\text{最大}}\) は、振幅 \(A\) と角振動数 \(\omega\) の積で表されます。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}} &= A\omega
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 最大速さ: \(v_{\text{最大}} = A\omega\)
ここで \(A = \frac{a}{3}\)、\(\omega = \frac{2\pi}{T_{\text{P}}} = \sqrt{\frac{3g}{2a}}\) です。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}} &= \frac{a}{3} \cdot \sqrt{\frac{3g}{2a}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{a^2}{9} \cdot \frac{3g}{2a}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{ga}{6}}
\end{aligned}
$$
「振幅（揺れ幅）」と「角振動数（リズムの速さ）」を掛け算すると、その最大スピードが求まります。
最もシンプルで計算ミスの少ない方法です。
メイン解法と同じ結果が得られました。
問(2)(g)
思考の道筋とポイント
エレベーターが加速度 \(\alpha\) で上昇しています。
エレベーターの中の人（非慣性系）から見ると、物体Pには重力と弾性力に加えて、下向きの「慣性力」が働きます。
この慣性力を考慮して、力のつりあいの式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 慣性力の向きと大きさ: 観測者の加速度 \(\alpha\)（上向き）と逆向き（下向き）に、大きさ \(m_{\text{P}}\alpha = 2m\alpha\) の力が働きます。
- 見かけの重力: 重力 \(2mg\) と慣性力 \(2m\alpha\) は共に下向きなので、合わせて \(2m(g+\alpha)\) の力が下向きに働いているとみなせます。これを「見かけの重力」と呼びます。
具体的な解説と立式
エレベーター内でのP（質量 \(2m\)）の力のつりあいを考えます。
ばねの伸びは \(a\) です。
- 上向きの力: 弾性力 \(ka\)
- 下向きの力: 重力 \(2mg\) ＋ 慣性力 \(2m\alpha\)
つりあいの式は、
$$
\begin{aligned}
ka &= 2mg + 2m\alpha
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 慣性力: \(F_{\text{慣性}} = -ma_{\text{観測者}}\)
- 力のつりあい（非慣性系）
(a)の結果 \(k = \frac{3mg}{a}\) を代入して \(\alpha\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{3mg}{a} \cdot a &= 2m(g + \alpha) \\[2.0ex]
3mg &= 2mg + 2m\alpha \\[2.0ex]
mg &= 2m\alpha \\[2.0ex]
\alpha &= \frac{1}{2}g
\end{aligned}
$$
エレベーターが急上昇すると、体が一瞬重く感じます。これが慣性力です。
Pにもこの力がかかり、重力と合わせて強く下に引っ張られます。
その結果、P単独（質量 \(2m\)）なのに、まるで重い荷物（質量 \(3m\)）をぶら下げたときと同じ長さ \(a\) だけ伸びてつり合いました。
つまり、「見かけの重さ」が \(1.5\) 倍になったということです。計算すると、加速度が \(0.5g\) であればつじつまが合うことがわかります。
答えは \(\frac{1}{2}g\) です。
\(2m\) の物体が \(3m\) 分の重力と同じ力で引かれるには、重力加速度が \(1.5\) 倍（\(g \to g + 0.5g\)）になる必要があります。直感的にも正しいです。
問(2)(h)
思考の道筋とポイント
エレベーター内でPを振動させたときの周期を考えます。
ばね振り子の周期の公式 \(T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}\) には、重力加速度 \(g\) が含まれていません。
これは、重力（や慣性力）が一定の力として働く場合、振動の中心位置（つりあい位置）はずれますが、振動のリズム（周期）自体には影響しないことを意味しています。
この設問における重要なポイント
- 周期の独立性: 鉛直ばね振り子の周期は、質量とばね定数だけで決まり、重力加速度や一定の慣性力には依存しません。
- 比較対象: (e)の周期 \(T_{\text{P}}\) と比較します。
具体的な解説と立式
エレベーター内での周期 \(T’\) は、質量 \(2m\)、ばね定数 \(k\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
T’ &= 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}
\end{aligned}
$$
これは(e)で求めた \(T_{\text{P}}\) と全く同じ式です。
したがって、倍率は \(1\) 倍です。
使用した物理公式
- 単振動の周期: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}\)
$$
\begin{aligned}
\frac{T’}{T_{\text{P}}} &= \frac{2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}} \\[2.0ex]
&= 1
\end{aligned}
$$
ばね振り子のリズムは、「質量」と「ばねの硬さ」だけで決まります。
重力が強くても弱くても（月に行っても）、ばねが伸びて振動する場所が変わるだけで、揺れるテンポ自体は変わりません。
エレベーターの中でも同じです。
答えは \(1\) 倍です。
もし単振り子（糸の振り子）であれば、復元力が重力に由来するため、周期は \(2\pi\sqrt{\frac{l}{g+\alpha}}\) となり変化します。しかし、ばね振り子の復元力はばねの弾性力由来なので、重力の影響を受けません。この違いは重要です。
思考の道筋とポイント
運動方程式を微分方程式として立て、それを解くことで位置 \(x(t)\) を時間の関数として導出します。
この関数から、振動の中心、振幅、周期、最大速度などのすべての情報が自然に得られることを示します。
この設問における重要なポイント
- 座標設定: 自然長の位置を原点 \(x=0\)、鉛直下向きを正とします。
- 初期条件: \(t=0\) で \(x=a\)（Q切り離し直後の位置）、\(v=0\)（初速度なし）。
具体的な解説と立式
1. 運動方程式の立式と解法
P（質量 \(2m\)）に働く力は、重力 \(2mg\)（正方向）と弾性力 \(-kx\)（負方向）です。
運動方程式は、
$$
\begin{aligned}
2m \frac{d^2x}{dt^2} &= 2mg – kx \\[2.0ex]
\frac{d^2x}{dt^2} &= -\frac{k}{2m} \left( x – \frac{2mg}{k} \right)
\end{aligned}
$$
ここで、角振動数 \(\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}}\)、振動中心 \(x_c = \frac{2mg}{k}\) と置くと、
$$
\begin{aligned}
\frac{d^2X}{dt^2} &= -\omega^2 X \quad (\text{ただし } X = x – x_c)
\end{aligned}
$$
これは単振動の標準形であり、一般解は
$$
\begin{aligned}
x(t) – x_c &= A \cos \omega t + B \sin \omega t \\[2.0ex]
x(t) &= x_c + A \cos \omega t + B \sin \omega t
\end{aligned}
$$
となります。
使用した物理公式
- 運動方程式: \(m\frac{d^2x}{dt^2} = F\)
- 単振動の一般解: \(x(t) = x_c + A \cos \omega t + B \sin \omega t\)
2. 定数の決定
(a)の結果 \(k = \frac{3mg}{a}\) を用いて、\(x_c\) と \(\omega\) を具体的に書きます。
$$
\begin{aligned}
x_c &= \frac{2mg}{k} \\[2.0ex]
&= \frac{2mg}{\frac{3mg}{a}} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{3}a
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\omega &= \sqrt{\frac{k}{2m}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{\frac{3mg}{a}}{2m}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{3g}{2a}}
\end{aligned}
$$
初期条件 \(t=0\) で \(x=a, v=0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
x(0) &= x_c + A = a \quad \Rightarrow \quad A = a – x_c = a – \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a \\[2.0ex]
v(t) &= \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin \omega t + B\omega \cos \omega t \\[2.0ex]
v(0) &= B\omega = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 0
\end{aligned}
$$
よって、位置の関数は
$$
\begin{aligned}
x(t) &= \frac{2}{3}a + \frac{1}{3}a \cos \left( \sqrt{\frac{3g}{2a}} t \right)
\end{aligned}
$$
3. 各設問への回答
この式 \(x(t)\) を読み解くだけで、(c)〜(f)の答えが得られます。
- (c) 振動中心からのずれ: 初期位置 \(x(0)=a\) は、中心 \(x_c = \frac{2}{3}a\) から \(a – \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a\) だけ下の位置です。問題文の「(c)だけ上の位置を中心にして」という表現に合わせると、中心は初期位置より \(1/3 a\) だけ「上」にあるので、答えは \(1/3 a\) です。
- (d) 振幅: \(\cos\) の係数が振幅です。\(A = \frac{1}{3}a\)。
- (e) 周期: \(T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{2a}{3g}}\)。
- (f) 最大速さ: \(v(t)\) の最大値は \(A\omega\) です。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}} &= \frac{1}{3}a \cdot \sqrt{\frac{3g}{2a}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{ag}{6}}
\end{aligned}
$$
運動方程式を解くことで、振動の様子を完全に記述する式 \(x(t)\) が得られました。
ここから必要な情報を読み取るだけで、すべての設問に答えられることが確認できました。
特に「中心の位置」や「振幅」が、初期条件と微分方程式の構造から自動的に決まる点は、物理の体系性を理解する上で非常に重要です。
メイン解法と同じ結果が得られました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 単振動の諸量（中心・振幅・周期）の決定プロセス
- 核心: 単振動の問題は、以下の3ステップで解くのが鉄則です。
- 振動中心 \(x_c\): 力のつりあい \(F=0\) から求める。
- 周期 \(T\): 復元力の比例定数 \(K\)（ばね定数 \(k\) など）と質量 \(M\) から \(T=2\pi\sqrt{M/K}\) で求める。
- 振幅 \(A\): 初期条件（スタート位置や初速度）と中心 \(x_c\) との関係から幾何学的に求める。
- 理解のポイント: 特に「振幅」は公式で決まるものではなく、初期条件（どこで手を離したか）によって決まる値であることを強く意識しましょう。本問では「初期位置＝端」なので、振幅＝|初期位置 – 中心| となります。
- 核心: 単振動の問題は、以下の3ステップで解くのが鉄則です。
- 慣性力と見かけの重力
- 核心: 加速度 \(\alpha\) で運動する観測者から見ると、すべての物体に \(-m\alpha\) の慣性力が働きます。重力 \(mg\) と慣性力 \(-m\alpha\) を合成した力 \(m(g-\alpha)\)（ベクトル和）を「見かけの重力」とみなすことで、静止系と同じ物理法則（つりあいや周期の公式）をそのまま適用できます。
- 理解のポイント: 鉛直ばね振り子の場合、重力（見かけの重力含む）は「つりあい位置」をずらすだけで、「周期」には影響しないという特性（周期の独立性）が重要です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 斜面上のばね振り子: 重力成分 \(mg \sin \theta\) が変わるだけで、周期 \(2\pi\sqrt{m/k}\) は変わりません。つりあい位置だけがずれます。
- 電車内の単振り子: 水平加速度 \(\alpha\) の電車内では、見かけの重力加速度 \(g’ = \sqrt{g^2 + \alpha^2}\) となり、周期は \(2\pi\sqrt{l/g’}\) に変化します（ばね振り子との違いに注意）。
- 浮力による単振動: 木片を水に沈めて離す問題では、浮力の変化 \(-\rho S g x\) が復元力となり、\(K = \rho S g\) として周期を求めます。
- 初見の問題での着眼点:
- 「つりあい」「静止」 \(\rightarrow\) 力のつりあい式 \(F=0\) を立てる。
- 「周期」 \(\rightarrow\) 復元力の定数 \(K\) を見つけ、\(2\pi\sqrt{M/K}\) に代入。
- 「最大速さ」 \(\rightarrow\) \(v_{\text{最大}} = A\omega\) が最速。エネルギー保存則は検算に使う。
- 「エレベーター」「加速する車」 \(\rightarrow\) 慣性力を矢印で描き込み、見かけの重力を定義する。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 質量の取り違え:
- 誤解: (1)の後半で、Qを切り離した後も質量 \(3m\) のまま計算してしまう。
- 対策: 「今、振動しているのは誰か？」を常に確認しましょう。Qが落ちた後はP（質量 \(2m\)）だけが振動体です。公式の \(M\) に \(2m\) を代入します。
- 座標の正負と「上・下」の混乱:
- 誤解: 座標軸を下向き正にとったのに、「上の位置」をプラスで答えてしまう、あるいは変位の引き算 \(x – x_c\) の符号を間違える。
- 対策: 図を描き、中心と端の位置関係を矢印で可視化しましょう。「中心より \(a/3\) 上」という物理的な位置関係を把握していれば、符号ミスは防げます。
- ばね振り子と単振り子の混同:
- 誤解: 「重力が変われば周期も変わるはず」と思い込み、(h)で周期が変わると答えてしまう。
- 対策: 周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) を書き、\(g\) が含まれていないことを指差し確認しましょう。単振り子 \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) との対比を常に意識してください。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)(f)での公式選択（\(v_{\text{最大}} = A\omega\)）:
- 選定理由: 振幅 \(A\) と周期 \(T\)（から求まる \(\omega\)）が既知であれば、代入するだけで一発で求まるため、計算ミスが最も少ないからです。
- 適用根拠: 単振動の速度の最大値は、円運動の射影と考えれば自明な関係式です。
- 問(2)(g)での公式選択（力のつりあい）:
- 選定理由: 「静止した」という記述があるため、加速度はゼロ（観測者から見て）です。運動方程式 \(ma=F\) は \(0=F\) となり、つりあいの式になります。
- 適用根拠: 慣性力を導入することで、非慣性系でもニュートンの運動法則（つりあい）が成立します。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の次元チェック:
- 答えが出たら単位を確認します。周期 \(T\) は時間の次元 \([\text{T}]\)（\(\sqrt{\text{長さ}/\text{加速度}}\)）、速さ \(v\) は \([\text{L}][\text{T}]^{-1}\)（\(\sqrt{\text{加速度}\times\text{長さ}}\)）になっているか。
- 係数の処理:
- \(2m\)、\(3m\)、\(a/3\) など、係数が複雑に入り組んでいます。途中式で \(m\) や \(a\) を勝手に消さず、最後まで丁寧に書き写しましょう。特にルートの中の分数は、分母分子を間違えやすいので注意が必要です。
- 極限の確認:
- もし \(a \to 0\)（ばねが硬い）なら？ \(k \to \infty\)、\(T \to 0\) となり、振動しなくなります。式の結果と直感が一致するか確認しましょう。
問題47 (名城大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)(ア)の別解1: 単振動のエネルギー保存則を用いた解法
- 模範解答のメイン解法（速度公式 \(v_{\text{最大}} = A\omega\)）に対し、別解1では振動中心を基準としたエネルギー保存則を用いて最大速度を求めます。
- 設問(2)(ア)の別解2: 力学的エネルギー保存則（重力を含む）を用いた解法
- 重力による位置エネルギーと弾性エネルギーを個別に扱う、最も基本的なエネルギー保存則の適用例を示します。
- 設問(2)(イ)の別解3: 微積分を用いた運動方程式の解法
- 運動方程式を微分方程式として解くことで、位置 \(x(t)\) の時間変化を導出し、そこから振幅や角振動数、初期位相を決定するプロセスを示します。
- 設問(3)の別解4: 垂直抗力の条件式を用いた解法
- 模範解答が「ばねの伸び」に着目して幾何学的に解くのに対し、別解4ではBに働く垂直抗力 \(N\) を変位 \(x\) の関数として表し、\(N \ge 0\) となる条件から振幅の限界を求めます。
- 設問(2)(ア)の別解1: 単振動のエネルギー保存則を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理法則の統一的理解: 「単振動の公式」や「エネルギー保存則」が、すべてニュートンの運動方程式から数学的に導かれる必然的な結果であることを理解できます。
- 汎用性: 特に別解4のアプローチは、外力が変化する場合や複雑な振動系においても「離れる条件 \(N=0\)」を機械的に適用できるため、応用範囲が広いです。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「鉛直ばね振り子と床からの離脱条件」です。力のつりあい、単振動の諸量（周期、振幅、速さ）、そして物体が床から離れる条件（垂直抗力 \(N=0\)）が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- フックの法則: ばねの弾性力は伸び（または縮み）に比例します（\(F=kx\)）。
- 力のつりあい: 静止している物体では、力のベクトル和が \(0\) になります。
- 単振動の速度公式: 最大速さは \(v_{\text{最大}} = A\omega\) で表されます。
- 単振動の変位公式: 時間 \(t\) とともに \(x = A \cos \omega t\) や \(x = A \sin \omega t\) の形で変化します。
- 離脱条件: 物体が床から離れる瞬間、垂直抗力 \(N\) が \(0\) になります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、AとBそれぞれの力のつりあいを考え、ばね定数と床からの垂直抗力を求めます。
- (2)では、単振動の公式を用いて最大速さと変位の時間変化を求めます。
- (3)では、振幅を大きくしたときにBが浮き上がる条件（垂直抗力が \(0\) になる条件）を考えます。
問(1)
思考の道筋とポイント
まずは静止状態での力のつりあいを考えます。
Aについては、重力とばねの弾性力がつりあっています。
Bについては、重力、ばねの弾性力（反作用）、床からの垂直抗力がつりあっています。
この設問における重要なポイント
- ばねの縮み: 自然長から \(a\) だけ縮んでいます。
- 弾性力の向き: ばねは縮んでいるので、元に戻ろうとして「押し出す」向きに力を及ぼします。つまり、Aを上向きに押し、Bを下向きに押します。
- 作用・反作用: Aがばねから受ける力と、Bがばねから受ける力は、同じ大きさ \(ka\) です。
具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とします。
ばね定数を \(k\)、床がBから受ける力（＝Bが床から受ける垂直抗力）を \(N\) とします。
1. 物体A（質量 \(m\)）について
- 働く力:
- 重力: \(mg\) （下向き）
- 弾性力: \(ka\) （上向き）
- つりあいの式:
$$
\begin{aligned}
ka &= mg \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
2. 物体B（質量 \(m\)）について
- 働く力:
- 重力: \(mg\) （下向き）
- 弾性力: \(ka\) （下向き、Aへの力の反作用）
- 垂直抗力: \(N\) （上向き）
- つりあいの式:
$$
\begin{aligned}
N &= mg + ka \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- フックの法則: \(F = kx\)
- 力のつりあい: \((\text{力のベクトル和}) = 0\)
式①より、ばね定数 \(k\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
k &= \frac{mg}{a}
\end{aligned}
$$
求めた \(k\) を式②に代入して \(N\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
N &= mg + \frac{mg}{a} \cdot a \\[2.0ex]
&= mg + mg \\[2.0ex]
&= 2mg
\end{aligned}
$$
作用・反作用の法則より、床がBから受ける力の大きさは \(N\) と等しいです。
Aはばねに乗っかっています。Aの重さ \(mg\) を支えるために、ばねは \(a\) だけ縮んで上向きに \(ka\) の力を出しています。これで \(k\) が求まります。
Bは床の上にいて、自分の重さ \(mg\) に加えて、縮んだばねから下向きに \(ka\)（これは \(mg\) と同じ大きさ）で押し付けられています。
だから床は、合計 \(2mg\) の力でBを支える必要があります。
ばね定数は \(k = \frac{mg}{a}\)、床が受ける力は \(2mg\) です。
Bにかかる力は、B自身の重さと、上に乗っているAの重さ（ばねを介して伝わる）の合計になっていることがわかります。直感的にも妥当です。
問(2)(ア)
思考の道筋とポイント
Aをさらに \(a\) だけ押し下げて放すと、単振動が始まります。
単振動の中心は「力のつりあい位置（点O）」です。
振動の端は「手を放した位置（点P）」です。
最大速さは振動の中心（点O）を通過するときに生じます。
ここでは模範解答のメイン解法である「単振動の速度公式 \(v_{\text{最大}} = A\omega\)」を用いて解きます。
この設問における重要なポイント
- 振幅 \(A\): 中心Oから端Pまでの距離なので、\(A = a\) です。
- 角振動数 \(\omega\): ばね定数 \(k\) と質量 \(m\) から \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) で求まります。
具体的な解説と立式
最大速さ \(v_{\text{最大}}\) は、振幅 \(A\) と角振動数 \(\omega\) の積で表されます。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}} &= A\omega
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 最大速さ: \(v_{\text{最大}} = A\omega\)
- 角振動数: \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
振幅 \(A = a\) です。
角振動数 \(\omega\) は、(1)の結果 \(k = \frac{mg}{a}\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
\omega &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{\frac{mg}{a}}{m}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{g}{a}}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}} &= a \cdot \sqrt{\frac{g}{a}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{a^2 \cdot \frac{g}{a}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{ga}
\end{aligned}
$$
単振動では、真ん中を通るときが一番速いです。
その速さは「揺れ幅（振幅）」と「リズムの速さ（角振動数）」の掛け算で決まります。
振幅は \(a\)、リズムはばねの強さと質量で決まるので、それらを計算して掛け合わせました。
答えは \(\sqrt{ga}\) です。
次元は \(\sqrt{[\text{L}][\text{T}]^{-2}[\text{L}]} = [\text{L}][\text{T}]^{-1}\) で速さの次元になっています。
思考の道筋とポイント
振動中心（点O）を基準とした単振動のエネルギー保存則を用います。
重力の影響は中心位置のずれとして考慮済みなので、式には現れません。
この設問における重要なポイント
- 単振動のエネルギー保存則: \(\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \text{一定}\)
具体的な解説と立式
振動中心Oでの変位は \(0\)、端Pでの変位は \(a\) です。
$$
\begin{aligned}
(\text{端でのエネルギー}) &= (\text{中心でのエネルギー}) \\[2.0ex]
\frac{1}{2}k a^2 + 0 &= 0 + \frac{1}{2}m v_{\text{最大}}^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 単振動のエネルギー保存則
$$
\begin{aligned}
k a^2 &= m v_{\text{最大}}^2 \\[2.0ex]
v_{\text{最大}}^2 &= \frac{k}{m} a^2
\end{aligned}
$$
\(k = \frac{mg}{a}\) を代入して、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{最大}}^2 &= \frac{mg}{ma} a^2 \\[2.0ex]
&= ga \\[2.0ex]
v_{\text{最大}} &= \sqrt{ga}
\end{aligned}
$$
ばねのエネルギーと運動エネルギーの交換を考えました。
端っこではばねのエネルギーが最大、真ん中では運動エネルギーが最大になります。
メイン解法と同じ結果が得られました。
思考の道筋とポイント
重力による位置エネルギーと弾性エネルギーをすべて考慮します。
基準面を点P（最下点）とします。
この設問における重要なポイント
- 基準面: 点P（高さ \(0\)）
- ばねの縮み: 点Pで \(2a\)、点Oで \(a\)
具体的な解説と立式
点P（高さ \(0\)、縮み \(2a\)）と点O（高さ \(a\)、縮み \(a\)）で比較します。
$$
\begin{aligned}
(\text{点Pの全エネ}) &= (\text{点Oの全エネ}) \\[2.0ex]
0 + \frac{1}{2}k(2a)^2 &= \frac{1}{2}m v_{\text{最大}}^2 + mga + \frac{1}{2}k a^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則
$$
\begin{aligned}
2ka^2 &= \frac{1}{2}m v_{\text{最大}}^2 + mga + \frac{1}{2}ka^2 \\[2.0ex]
\frac{3}{2}ka^2 – mga &= \frac{1}{2}m v_{\text{最大}}^2
\end{aligned}
$$
\(k = \frac{mg}{a}\) を代入して、
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2} \cdot \frac{mg}{a} \cdot a^2 – mga &= \frac{1}{2}m v_{\text{最大}}^2 \\[2.0ex]
\frac{3}{2}mga – mga &= \frac{1}{2}m v_{\text{最大}}^2 \\[2.0ex]
\frac{1}{2}mga &= \frac{1}{2}m v_{\text{最大}}^2 \\[2.0ex]
v_{\text{最大}} &= \sqrt{ga}
\end{aligned}
$$
重力も含めたすべてのエネルギーを計算しました。
ばねが縮んでエネルギーが減り、位置が高くなってエネルギーが増え、その差し引き分が運動エネルギーになります。
メイン解法と同じ結果が得られました。
問(2)(イ)
思考の道筋とポイント
変位 \(x\) の時間変化を求めます。
座標軸の設定（O原点、下向き正）と初期条件（\(t=0\) で \(x=a\)）を確認し、\(\cos\) 型か \(\sin\) 型かを判断します。
この設問における重要なポイント
- 初期条件: \(t=0\) のとき、Aは点P（\(x=a\)）にあり、静かに放されました（\(v=0\)）。
- グラフの形: \(t=0\) で最大値 \(+A\) から始まるので、\(x = A \cos \omega t\) の形になります。
具体的な解説と立式
振幅 \(A = a\)、角振動数 \(\omega = \sqrt{\frac{g}{a}}\) です。
\(t=0\) で \(x=a\) なので、余弦関数（コサイン）を用います。
$$
\begin{aligned}
x &= a \cos \omega t
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 単振動の変位: \(x = A \cos \omega t\)
\(\omega\) を代入して完成です。
$$
\begin{aligned}
x &= a \cos \left( \sqrt{\frac{g}{a}} t \right)
\end{aligned}
$$
スタート地点が一番下（プラスの最大値）なので、グラフは一番高いところから始まって下がっていく形になります。これはコサインのグラフと同じ形です。
揺れ幅は \(a\)、リズムは \(\sqrt{g/a}\) なので、それを式に当てはめました。
答えは \(x = a \cos \left( \sqrt{\frac{g}{a}} t \right)\) です。
\(t=0\) で \(x=a\) となり、初期条件を満たしています。
思考の道筋とポイント
運動方程式を微分方程式として立て、それを解くことで位置 \(x(t)\) を導出します。
これにより、\(\cos\) 型になる理由や角振動数の値が自然に導かれます。
この設問における重要なポイント
- 座標設定: 点Oを原点 \(x=0\)、鉛直下向きを正とします。
- ばねの縮み: 点Oはつりあい位置（自然長より \(a\) 縮み）です。位置 \(x\)（点Oより \(x\) 下）では、ばねはさらに \(x\) 縮むため、総縮み量は \(a+x\) となります。
- 力の向き: 弾性力は縮みを戻そうとするので上向き（負方向）、重力は下向き（正方向）です。
具体的な解説と立式
1. 運動方程式の立式
A（質量 \(m\)）の運動方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
m \frac{d^2x}{dt^2} &= mg – k(a+x)
\end{aligned}
$$
つりあいの式 \(mg = ka\) を用いて整理します。
$$
\begin{aligned}
m \frac{d^2x}{dt^2} &= ka – k(a+x) \\[2.0ex]
m \frac{d^2x}{dt^2} &= -kx \\[2.0ex]
\frac{d^2x}{dt^2} &= -\frac{k}{m} x
\end{aligned}
$$
これは角振動数 \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{a}}\) の単振動の方程式です。
使用した物理公式
- 運動方程式: \(m\frac{d^2x}{dt^2} = F\)
- 単振動の一般解: \(x(t) = A \cos \omega t + B \sin \omega t\)
2. 微分方程式の解
一般解は
$$
\begin{aligned}
x(t) &= A \cos \omega t + B \sin \omega t
\end{aligned}
$$
初期条件 \(t=0\) で \(x=a, v=0\) を適用します。
$$
\begin{aligned}
x(0) &= A = a \\[2.0ex]
v(t) &= -A\omega \sin \omega t + B\omega \cos \omega t \\[2.0ex]
v(0) &= B\omega = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 0
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
x(t) &= a \cos \omega t
\end{aligned}
$$
これは問(2)(イ)の答えと一致します。
運動方程式を立てて整理すると、\(x\) に比例して引き戻す力（復元力）だけが残ることがわかります。
これを数学的に解くと、コサインの式が出てきます。
つりあいの位置を原点にとることで、重力の影響が式から消える様子がよくわかります。
運動方程式から出発することで、つりあいの位置が振動中心（\(x=0\)）になることや、振動の形がコサインになることが数学的に示されました。
問(3)
思考の道筋とポイント
振幅を \(b\) に大きくして振動させます。
Aが上に動くと、ばねの縮みが減り、やがて自然長を超えて伸び始めます。
ばねが伸びると、Bはばねに引っ張り上げられます。
Bが床から離れる条件は、床からの垂直抗力 \(N\) が \(0\) になることです。
この設問における重要なポイント
- Bが浮くタイミング: Aが最上点（振動の上端）付近に達し、ばねが最も伸びたときです。
- ばねの伸び: 振動中心O（自然長より \(a\) 縮み）から \(b\) だけ上がった位置（上端）でのばねの状態を考えます。
- 座標 \(x\) とばねの力: 上向きを負、下向きを正としています。上端の座標は \(x = -b\) です。このとき、ばねの縮みは \(a + (-b) = a – b\) です。もし \(b > a\) なら、縮みは負、つまり \(b – a\) だけ伸びています。
具体的な解説と立式
Aが最上点（\(x = -b\)）に達したとき、Bが床から離れない条件を求めます。
このとき、ばねは自然長より \(b – a\) だけ伸びています（\(b > a\) と仮定。\(b \le a\) ならばねは縮んだままなのでBは浮きません）。
ばねの張力（引く力）を \(T\) とすると、
$$
\begin{aligned}
T &= k(b – a)
\end{aligned}
$$
B（質量 \(m\)）に働く力は、
- 重力: \(mg\) （下向き）
- 張力: \(T\) （上向き）
- 垂直抗力: \(N\) （上向き）
つりあいの式（または運動方程式）は、
$$
\begin{aligned}
N + T &= mg \\[2.0ex]
N &= mg – T
\end{aligned}
$$
Bが離れないためには \(N \ge 0\) であればよいです。
$$
\begin{aligned}
mg – k(b – a) &\ge 0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- フックの法則: \(F = kx\)
- 離脱条件: \(N = 0\)
\(k = \frac{mg}{a}\) を代入して \(b\) の条件を求めます。
$$
\begin{aligned}
mg – \frac{mg}{a}(b – a) &\ge 0
\end{aligned}
$$
両辺を \(mg\) で割ります（\(mg > 0\)）。
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{b – a}{a} &\ge 0 \\[2.0ex]
1 – \left( \frac{b}{a} – 1 \right) &\ge 0 \\[2.0ex]
2 – \frac{b}{a} &\ge 0 \\[2.0ex]
2 &\ge \frac{b}{a} \\[2.0ex]
b &\le 2a
\end{aligned}
$$
Aを大きく揺らすと、一番上に来たときにばねが伸びて、下のBを引っ張り上げようとします。
Bが持ち上がらないためには、Bの重さ \(mg\) が、ばねの引っ張る力より勝っていれば大丈夫です。
計算の結果、振幅 \(b\) が \(2a\)（自然長より \(a\) 上）までならギリギリ持ち上がらないことがわかりました。
答えは \(b \le 2a\) です。
\(b=a\) のとき（自然長の位置）、張力は \(0\) なので当然浮きません。
\(b=2a\) のとき、ばねの伸びは \(a\) となり、張力は \(ka = mg\) となります。ちょうどBの重力と同じ力で引くので、垂直抗力が \(0\) になり、浮く寸前となります。妥当です。
思考の道筋とポイント
Bに働く垂直抗力 \(N\) を、Aの変位 \(x\) の関数として一般的に表し、その最小値が \(0\) 以上である条件を求めます。
この方法は、どのタイミングで浮くかを考えなくても、数学的に最小値を評価するだけで解けるため強力です。
この設問における重要なポイント
- 垂直抗力の一般式: \(N = 2mg + kx\)
- 最小値の条件: \(x = -b\) で \(N\) が最小。
具体的な解説と立式
Aの変位が \(x\) のとき（下向き正）、ばねの縮みは \(a+x\) です。
ばねはBを大きさ \(k(a+x)\) の力で下向きに押します（\(a+x < 0\) なら上向きに引きます）。
Bのつりあいの式は、下向きを正として力の和を考えると、
$$
\begin{aligned}
(\text{重力}) + (\text{弾性力}) + (\text{垂直抗力}) &= 0 \\[2.0ex]
mg + k(a+x) – N &= 0
\end{aligned}
$$
（※垂直抗力 \(N\) は上向きなのでマイナス）
よって、
$$
\begin{aligned}
N &= mg + k(a+x) \\[2.0ex]
&= mg + ka + kx
\end{aligned}
$$
\(ka = mg\) より、
$$
\begin{aligned}
N &= 2mg + kx
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい
Aは振幅 \(b\) で振動するので、\(x\) の範囲は \(-b \le x \le b\) です。
\(N\) が最小になるのは \(x\) が最小（\(x = -b\)）のときです。
$$
\begin{aligned}
N_{\text{最小}} &= 2mg – kb
\end{aligned}
$$
離れない条件は \(N_{\text{最小}} \ge 0\) です。
$$
\begin{aligned}
2mg – kb &\ge 0 \\[2.0ex]
kb &\le 2mg \\[2.0ex]
\frac{mg}{a} b &\le 2mg \\[2.0ex]
b &\le 2a
\end{aligned}
$$
Bが床を押す力 \(N\) を計算式にしました。
\(N = 2mg + kx\) という式は、真ん中（\(x=0\)）では \(2mg\) の力で押しているけど、Aが上に動く（\(x\) がマイナスになる）と、その分だけ押す力が減ることを表しています。
一番減ったときでも \(0\) 以上なら浮かない、という条件から答えを出しました。
メイン解法と同じ結果が得られました。
この式 \(N = 2mg + kx\) は、振動中にBが床を押す力が、中心位置での \(2mg\) を基準に、ばねの伸び縮み \(kx\) に応じて増減することを示しており、物理的にも非常に分かりやすい表現です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 単振動の運動方程式と振動中心
- 核心: 単振動の中心は、常に「力のつりあい位置」です。運動方程式 \(ma = F\) を立てると、\(F = -K(x – x_c)\) の形になり、\(x_c\) が中心座標、\(K\) が復元力の定数となります。
- 理解のポイント: 重力が働く鉛直ばね振り子でも、つりあい位置を原点にとれば、重力項が消えて \(ma = -kx\) という水平ばね振り子と同じ形の式になります。これにより、重力を無視して「ばねの力だけ」で振動しているかのように扱える（ただし中心はずれる）という本質を理解しましょう。
- 離脱条件（垂直抗力 \(N=0\)）
- 核心: 物体が面から離れる瞬間、垂直抗力 \(N\) は必ず \(0\) になります。
- 理解のポイント: 「離れる＝距離が開く」と幾何学的に考えるよりも、「押し合う力 \(N\) がなくなる」と力学的に捉える方が汎用性が高いです。特に振動問題では、垂直抗力 \(N\) も時間とともに振動（増減）するため、その最小値が \(0\) を下回らない条件を探すというアプローチが有効です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 天井から吊るされたばね振り子: 糸がたるむ条件（張力 \(T=0\)）は、本問の \(N=0\) と全く同じ構造です。
- 浮力による単振動: 水面に浮かぶ木片を押し込んで放す問題でも、浮力が復元力となり、木片が水面から飛び出す条件などを同様に議論できます。
- 2物体の連成振動: AとBがばねでつながれて水平面上で振動する場合も、重心運動と相対運動に分解すれば、本問のような単振動の知識がそのまま使えます。
- 初見の問題での着眼点:
- 「つりあい位置」を見つける \(\rightarrow\) そこが振動の中心。
- 「初期位置」を確認する \(\rightarrow\) 中心との距離が振幅 \(A\)。
- 「最大速さ」 \(\rightarrow\) \(v_{\text{最大}} = A\omega\) で即答。
- 「離れる」「浮く」 \(\rightarrow\) 垂直抗力 \(N\) の式を作り、\(N=0\) を代入。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 座標軸の正負の取り違え:
- 誤解: 下向きを正としたのに、上向きの変位をプラスで代入したり、重力 \(mg\) にマイナスをつけたりしてしまう。
- 対策: 最初に座標軸（原点と正の向き）を明確に図示し、すべてのベクトル（変位、速度、力）の向きをその軸に合わせて符号決定する習慣をつけましょう。特にばねの力 \(-kx\) のマイナスは「変位と逆向き」を意味することを忘れずに。
- ばねの「伸び」と「縮み」の混同:
- 誤解: 自然長からの変位なのか、つりあい位置からの変位なのかを混同し、エネルギー保存則の立式で \(x\) の値を間違える。
- 対策: エネルギー保存則を使うときは、「自然長基準（重力あり）」か「つりあい位置基準（重力なし）」のどちらか一方に統一しましょう。混ぜると必ず間違えます。推奨は「つりあい位置基準」です。
- 離脱条件の直感的誤解:
- 誤解: 「自然長に戻ったら離れる」と思い込む。
- 対策: 本問の結果 \(b \le 2a\) が示すように、自然長（\(b=a\)）を超えても、張力が重力 \(mg\) に達するまでは離れません。必ず \(N=0\) の式から導くようにしましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(2)(ア)での公式選択（\(v_{\text{最大}} = A\omega\)）:
- 選定理由: 振幅 \(A\) と角振動数 \(\omega\) が既知であれば、エネルギー保存則を解くよりも圧倒的に速く、計算ミスも少ないからです。
- 適用根拠: 単振動の速度の最大値は、円運動の射影としての性質から自明です。
- 問(3)での公式選択（力のつりあい・離脱条件）:
- 選定理由: 「離れる」という現象は力のバランスが崩れる瞬間に起こるため、力に着目するのが最も直接的です。
- 適用根拠: 離れる瞬間まではBは静止（または等加速度運動）しているため、その瞬間における力のつりあい（または運動方程式）が成立します。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の次元チェック:
- 答えが出たら単位を確認します。速さ \(v\) は \(\sqrt{g \times \text{長さ}}\) の形、力 \(N\) は \(mg\) と同じ次元になっているか。
- 係数の処理:
- \(2mg\) や \(ka\) など、係数が消えたり残ったりする計算では、途中式を省略せずに書きましょう。特に \(k = mg/a\) を代入する際は、分母の \(a\) と分子の \(a\) が約分されることを丁寧に確認してください。
- グラフの活用:
- (2)(イ)のようなグラフ描画問題では、\(t=0\) での値、傾き（速度）、周期などを数式と照らし合わせて確認することで、\(\sin\) と \(\cos\) の間違いや符号ミスを防げます。
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問題48 (千葉大＋学習院大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(3)(4)の別解1: 微積分を用いた運動方程式の解法
- 模範解答が単振動のエネルギー保存則を用いるのに対し、別解1では運動方程式を微分方程式として解くことで位置 \(x(t)\) の時間変化を導出し、そこから最下点座標や速度を求めます。
- 設問(5)の別解2: 相対運動を用いた解法
- 衝突後のAとBの運動を、重心運動と相対運動に分解して考える視点を提供します（ただし、本問ではAがばねにつながれているため、単純な等速運動の相対運動にはなりませんが、衝突の瞬間や周期性の理解に役立ちます）。
- 設問(3)(4)の別解1: 微積分を用いた運動方程式の解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理法則の統一的理解: 「単振動の公式」や「エネルギー保存則」が、すべてニュートンの運動方程式から数学的に導かれる必然的な結果であることを理解できます。
- 汎用性: 特に微積分アプローチは、外力が時間変化する場合や、減衰振動など、公式がそのまま使えない複雑な状況にも対応できる基礎力が身につきます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「斜面上の衝突と単振動」です。エネルギー保存則、運動量保存則、反発係数の式、そして単振動の性質を複合的に扱う力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力学的エネルギー保存則: 摩擦がないため、重力や弾性力による位置エネルギーと運動エネルギーの総和は保存されます。
- 運動量保存則: 衝突の瞬間、外力（重力やばねの力）の力積は無視できるため、運動量の総和は保存されます。
- 反発係数（はねかえり係数）: 弾性衝突では反発係数 \(e=1\) となり、衝突前後の相対速度の大きさが変わりません。
- 単振動: 復元力が働く物体の運動です。周期やエネルギー保存則を利用します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、Bが滑り落ちてAに衝突する直前の速度をエネルギー保存則から求めます。
- (2)では、衝突前後の運動量保存則と反発係数の式を連立させて、衝突直後の速度を求めます。
- (3)(4)では、衝突後のAの単振動について、エネルギー保存則を用いて最下点や特定位置での速度を求めます。
- (5)では、Aが単振動して戻ってくる時間と、Bが斜面を登って降りてくる時間が一致する条件を求めます。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
全て言語化した、超詳細解説。
なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
市販の解説では省略されてしまう「行間の思考」を、泥臭く解説しています。
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