「良問の風」攻略ガイド（46〜50問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題46 (高知大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばね振り子の基本的な性質から、途中で質量が変化する場合の振動、さらには加速度運動するエレベーターの中での振動と、ステップアップしていく構成になっています。一つ一つの物理現象を丁寧にひも解いていきましょう。特に(1)の最初の伸びを表す文字 \(a\) と、(2)のエレベーターの加速度を表す文字 \(a\) が同じである点に注意しつつ、混乱しないように解説していきます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「力のつり合い」「フックの法則」「単振動（振動中心、周期、振幅、エネルギー保存）」「慣性力」といった、力学の基本かつ重要なテーマを網羅しています。

問(1)

思考の道筋とポイント
(a) 物体PとQを一体（質量 \(3m\)）とみなし、この物体がばねに吊るされてつり合っている状態を考えます。ばねの弾性力と全体の重力がつりあっていることから、ばね定数 \(k\) を求めます。

(b) PとQが一体のまま振動する場合の周期を、単振動の公式を用いて計算します。

(c) Qを切り離すと、P単独（質量 \(2m\)）での新しいつり合いの位置が決まります。これが新しい振動中心です。もとのつり合い位置との差を求めます。

(d) 「静かに切り離す」ので、切り離した瞬間（もとのつり合い位置）の速さは \(0\) です。速さが \(0\) の点は単振動の端なので、この位置と新しい振動中心との距離が振幅となります。

(e) P単独での振動の周期を、質量 \(2m\) を用いて計算します。

(f) 単振動のエネルギー保存則を用いて、振動中心での速さ（最大速さ）を求めます。

この設問における重要なポイント

• 力のつり合いの位置が、単振動の振動中心となる。
• 単振動の周期は、振動する物体の質量とばね定数のみで決まる。
• 「静かに」質量が変化する場合、変化前のつり合いの位置が、変化後の新しい単振動の「端」となる。
• 振幅は、振動中心から端までの距離である。

具体的な解説と立式

• (a) ばね定数 \(k\):PとQを一体（質量 \(3m\)）とみなし、力のつりあいを考えます。伸びは \(a\) です。「上向きの力 = 下向きの力」より、
  $$ ka = (2m+m)g \quad \cdots ① $$
• (b) P,Q一体での振動周期 \(T_{PQ}\):質量 \(3m\)、ばね定数 \(k\) の単振動の周期を求めます。
  $$ T_{PQ} = 2\pi\sqrt{\frac{3m}{k}} \quad \cdots ② $$
• (c) 新しい振動中心:Qを切り離した後、P単独（質量 \(2m\)）でのつり合いの位置を考えます。このときのばねの伸びを \(l\) とします。「上向きの力 = 下向きの力」より、
  $$ kl = 2mg \quad \cdots ③ $$
  もとのつり合い位置（伸び \(a\)）と新しいつり合い位置（伸び \(l\)）の差を求めます。
• (d) 振幅 \(A\):Qを切り離した瞬間、Pはもとのつり合い位置（伸び \(a\)）にあり、速さは \(0\) です。ここが新しい単振動の端となります。振幅 \(A\) は、この端と新しい振動中心（伸び \(l\)）との距離です。
  $$ A = a – l \quad \cdots ④ $$
• (e) Q切り離し後のPの周期 \(T_P\):質量 \(2m\)、ばね定数 \(k\) の単振動の周期を求めます。
  $$ T_P = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} \quad \cdots ⑤ $$
• (f) 振動中心での速さ \(v_{\text{最大}}\):単振動のエネルギー保存則より、端でのエネルギーと中心でのエネルギーは等しくなります。「端での弾性エネルギー = 中心での運動エネルギー」より、
  $$ \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}(2m)v_{\text{最大}}^2 \quad \cdots ⑥ $$

• (a): 式①より、\(k = \frac{3mg}{a}\)。
• (b): 式②に \(k=\frac{3mg}{a}\) を代入。
  $$
  \begin{aligned}
  T_{PQ} &= 2\pi\sqrt{\frac{3m}{3mg/a}} \\[2.0ex]
  &= 2\pi\sqrt{\frac{a}{g}}
  \end{aligned}
  $$
• (c): 式③より \(l = \frac{2mg}{k}\)。これに \(k=\frac{3mg}{a}\) を代入。
  $$
  \begin{aligned}
  l &= \frac{2mg}{3mg/a} \\[2.0ex]
  &= \frac{2}{3}a
  \end{aligned}
  $$
  もとのつり合い位置からの距離は、\(a – l = a – \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a\)。
• (d): 式④と(c)の結果より、振幅 \(A = \frac{1}{3}a\)。
• (e): 式⑤に \(k=\frac{3mg}{a}\) を代入。
  $$
  \begin{aligned}
  T_P &= 2\pi\sqrt{\frac{2m}{3mg/a}} \\[2.0ex]
  &= 2\pi\sqrt{\frac{2a}{3g}}
  \end{aligned}
  $$
• (f): 式⑥より \(v_{\text{最大}}^2 = \frac{k}{2m}A^2\)。\(k=\frac{3mg}{a}\), \(A=\frac{a}{3}\) を代入。
  $$
  \begin{aligned}
  v_{\text{最大}}^2 &= \frac{1}{2m}\left(\frac{3mg}{a}\right)\left(\frac{a}{3}\right)^2 \\[2.0ex]
  &= \frac{3g}{2a} \cdot \frac{a^2}{9} \\[2.0ex]
  &= \frac{ag}{6}
  \end{aligned}
  $$
  よって、\(v_{\text{最大}} = \sqrt{\frac{ag}{6}}\)。

(a) ばねの強さを、おもり全体の重さと伸びから計算します。

(b) そのばねにおもり全体をつけたときの揺れの周期を計算します。

(c) Qを外すと軽くなるので、つりあう位置が上にずれます。そのずれた距離を計算します。

(d) Qを外した瞬間、Pは一番下で動き出すので、(c)で計算した距離がそのまま振幅になります。

(e) 今度はPだけの質量で揺れるので、そのときの周期を計算します。

(f) 振動の真ん中を通るときが一番速くなります。端っこでの位置エネルギーがすべて運動エネルギーに変わるとして、その速さを計算します。

各空欄の値は上記の通りです。質量が \(3m \to 2m\) と変化することで、振動中心、振幅、周期がすべて変化する様子がわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
(g) 上向きに加速度 \(a\) で運動するエレベーターの中でPが静止している状況を考えます。エレベーター内で観測すると、Pには下向きの慣性力 \(2ma\) がはたらいているように見えます。この慣性力と重力、そしてばねの弾性力がつり合っています。

(h) ばね振り子の周期は \(T = 2\pi\sqrt{M/k}\) で与えられ、質量 \(M\) とばね定数 \(k\) のみで決まります。重力加速度や、一定の慣性力は、振動の中心の位置を変えるだけで、周期には影響しません。

この設問における重要なポイント

• 加速度運動する系（エレベーター）内での力のつり合いを考える。
• 慣性力を導入する。向きは観測系の加速度と逆向き、大きさは（物体の質量）\(\times\)（観測系の加速度）。
• ばね振り子の周期が、重力や一定の慣性力に依存しないことを理解している。

具体的な解説と立式

• (g) 加速度 \(a\) の導出:エレベーターが上向きに加速度 \(a\) で運動している。エレベーター内で物体P（質量 \(2m\)）を見ると、Pにはたらく力がつりあっています。ばねの伸びは、最初のPQ全体のつり合いの伸びと同じ \(a\) です。「上向きの力 = 下向きの力の和」より、
  $$ ka = 2mg + 2ma $$
• (h) 周期の比較:ばね振り子の周期は \(T = 2\pi\sqrt{\frac{\text{質量}}{\text{ばね定数}}}\) であり、重力加速度の大きさ（あるいは見かけの重力加速度の大きさ）には依存しません。したがって、エレベーター内でのPの振動周期は、(e)で求めた静止した地上でのP単独の振動周期 \(T_P\) と同じです。

• (g): \(ka = 2mg + 2ma\) に、(a)で求めた \(k = \frac{3mg}{a}\) を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  \left(\frac{3mg}{a}\right)a &= 2mg + 2ma \\[2.0ex]
  3mg &= 2mg + 2ma \\[2.0ex]
  mg &= 2ma
  \end{aligned}
  $$
  加速度 \(a\) について解くと、
  $$ a = \frac{1}{2}g $$
• (h): 周期は変わらないので、(e)の周期の1倍です。

(g) エレベーターが上に加速すると、私たちは下に押し付けられるような感じがします。これが慣性力です。物体Pも同様に下向きの慣性力を受けます。エレベーターの中で見ると、Pは静止しているので、ばねが上に引っ張る力と、Pの重さ＋下向きの慣性力の合計が釣り合っています。この釣り合いの式からエレベーターの加速度を求めます。

(h) ばね振り子の揺れる速さ（周期）は、おもりの重さ（質量）とばねの硬さだけで決まります。エレベーターが加速していて、見かけの重さが変わったとしても、おもり自体の「質量」と「ばねの硬さ」は変わらないので、揺れる速さ（周期）も変わりません。

(g) 加速度 \(a = \frac{1}{2}g\)。このとき、Pにはたらく見かけの重力は \(2mg + 2m(\frac{1}{2}g) = 3mg\) となり、ばねの弾性力 \(ka = (\frac{3mg}{a})a = 3mg\) とつりあっています。

(h) 周期は1倍。これは鉛直ばね振り子の重要な性質です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 単振動の性質（振動中心、振幅、周期）:
  • 核心: この問題は、ばね振り子の単振動に関する総合的な理解を問うています。特に重要なのは、以下の3つの要素の関係性です。
    1. 振動中心: 常に、物体にはたらく力の「つり合いの位置」となります。重力や慣性力が変化すると、振動中心も移動します。
    2. 振幅: 振動中心から、振動の端（速さがゼロになる点）までの距離です。運動の開始点が端になる場合が多く、その場合は「運動開始点と新しい振動中心の距離」が振幅になります。
    3. 周期: 振動1回にかかる時間で、公式 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) で与えられます。重要なのは、周期は振動する物体の質量 \(m\) とばね定数 \(k\) のみで決まり、重力や振幅の大きさには依存しないという点です。
  • 理解のポイント:
    • 問(1)では、Qを切り離すことで質量が \(3m \to 2m\) に変化し、それに伴い振動中心と周期が変化しました。
    • 問(2)では、エレベーターの加速により見かけの重力が変化し、振動中心は移動しますが、周期は変化しませんでした。
• 力のつりあいと慣性力:
  • 核心: 振動中心を決定したり、ばね定数を求めたりする際には、力のつりあいの式を正しく立てることが基本となります。特に、加速度運動する系（エレベーター）では、見かけの力である「慣性力」を導入することで、静止している場合と同様に力のつりあいを考えることができます。
  • 理解のポイント:
    • 慣性力は、観測者が乗っている系の加速度と「逆向き」に、大きさ「\(m\alpha\)」ではたらきます。
    • 鉛直上向きに加速するエレベーター内では、下向きの慣性力がはたらくため、見かけの重力が大きくなった（見かけの重力加速度が \(g+\alpha\) になった）と解釈できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 単振動の途中で条件が変わる問題: 振動の途中で質量が変化する（物体がくっつく、分裂する）、ばね定数が変わる（別のばねに接続される）、あるいは摩擦のある領域に入るなど、運動の性質が変化する問題。
  • 加速度運動する台の上での物体の運動: 電車内でつるされた振り子や、加速する台の上のばね振り子など、慣性力を考慮する必要がある問題。
  • 単振動のエネルギー: 振幅と最大速さの関係や、任意の点での速さをエネルギー保存則から求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 振動の中心はどこか？: まず、物体にはたらく力をすべて図示し、それらがつりあう位置を探します。それが単振動の中心です。
  2. 運動の開始点はどこか？: 「静かに放す」「静かに切り離す」といった記述があれば、その位置が振動の端（速さゼロの点）になります。
  3. 振幅はいくらか？: 上記で特定した「振動の中心」と「振動の端」の距離を計算します。
  4. 周期は何で決まるか？: 振動している物体の「質量」と「ばね定数」を確認し、周期の公式に代入します。重力や振幅は周期に関係ないことを思い出します。
  5. 系が加速していないか？: エレベーターや台車の上など、問題の舞台が加速している場合は、必ず慣性力を考慮に入れます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動中心の誤認:
  • 誤解: 鉛直ばね振り子の振動中心を、常にばねの自然長の位置だと考えてしまう。
  • 対策: 振動中心は、必ず「力のつり合いの位置」であると徹底する。鉛直ばね振り子では、重力と弾性力がつりあう点が中心となる。
• 振幅の誤認:
  • 誤解: Qを切り離した後の振幅を、最初のつり合い位置からの伸び \(a\) だと考えてしまう。
  • 対策: 振幅は、あくまで「新しい振動中心」からの距離であることを理解する。運動の開始点（端）と新しい振動中心の位置をそれぞれ求め、その差を計算する。
• 周期の依存性の誤解:
  • 誤解: ばね振り子の周期が、重力加速度 \(g\) や振幅 \(A\) に依存すると考えてしまう（単振り子と混同する）。
  • 対策: ばね振り子の周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) には \(g\) も \(A\) も含まれていないことを確認し、周期は質量とばね定数のみで決まる、と明確に記憶する。
• 同じ文字の混同:
  • 誤解: 問題文中で、ばねの伸びを表す \(a\) と、エレベーターの加速度を表す \(a\) を混同して計算を進めてしまう。
  • 対策: 同じ文字が異なる意味で使われていることに気づいたら、計算途中では自分で \(a_{\text{伸び}}\), \(a_{\text{加速度}}\) のように区別して記述し、混乱を防ぐ。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい (\(F_{\text{上}} = F_{\text{下}}\)):
  • 選定理由: 物体が「静止」している、または単振動の「振動中心」を特定するために用いる。
  • 適用根拠: 加速度がゼロの点では、ニュートンの第二法則 \(ma=F\) より、合力 \(F\) はゼロでなければならない。
• 単振動の周期 (\(T=2\pi\sqrt{m/k}\)):
  • 選定理由: ばねにつながれた物体の周期的な運動の「時間」を問われているため。
  • 適用根拠: 復元力が変位に比例する運動（\(F=-Kx\)）は、単振動となることが知られている。その周期は、運動方程式を解くことで導出され、質量と復元力の比例定数（ばね定数）のみに依存する。
• 単振動のエネルギー保存 (\(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}Mv_{\text{最大}}^2\)):
  • 選定理由: 振動の「振幅」と「最大速さ」の関係を知りたい場合に、最も効率的な公式だから。
  • 適用根拠: これは、振動の端（速さゼロ、変位が振幅 \(A\)）と振動中心（速さ最大、変位ゼロ）の間で、振動のエネルギー（運動エネルギー＋有効なポテンシャルエネルギー）が保存されることを表している。
• 慣性力 (\(F_{\text{慣性}} = m\alpha\)):
  • 選定理由: 加速度 \(\alpha\) の非慣性系（エレベーターなど）で運動を記述するため。
  • 適用根拠: 加速する系でニュートンの法則を成り立たせるために導入される「見かけの力」。これを加えることで、非慣性系でも静止系と同じように力のつりあいを考えることができる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 代入の順序:
  • 特に注意すべき点: この問題のように、(a)で求めた \(k\) を(b), (c), (e), (f)で何度も使う場合、最初の計算ミスが後の設問すべてに影響する。
  • 日頃の練習: 最初の設問の答えには特に自信を持つまで検算する。また、後の設問を解く際に、できるだけ文字式のままで計算を進め、最後の段階で具体的な式を代入すると、途中の計算が簡潔になり、ミスが減ることがある。
• 分数の計算:
  • 特に注意すべき点: \(k=\frac{3mg}{a}\) を周期の公式の分母に代入する際など、分数の中に分数が含まれる形（繁分数式）の計算を正確に行う必要がある。
  • 日頃の練習: \(\frac{A}{B/C} = \frac{AC}{B}\) のような基本的な計算ルールを確実に身につけ、焦らずに処理する。
• 平方根の計算:
  • 特に注意すべき点: \(v_{\text{最大}} = \sqrt{\frac{ag}{6}}\) のような計算で、ルートの中の文字や係数を間違えやすい。
  • 日頃の練習: \( \frac{a}{3}\sqrt{\frac{3g}{2a}} = \sqrt{\frac{a^2}{9}\frac{3g}{2a}} \) のように、ルートの外の係数を中に入れる（またはその逆）計算をスムーズにできるようにしておく。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 問(1)(c) 振動中心の移動: Q(\(m\))を切り離すと、全体の重さが \(3mg \to 2mg\) と \(2/3\) 倍になる。フックの法則より、つり合いの伸びも \(a \to \frac{2}{3}a\) と \(2/3\) 倍になる。これは物理的に妥当である。
  • 問(1)(d) 振幅: 静止状態から質量を変化させた場合、古い釣り合いの位置が新しい振動の端になる。したがって、振幅は古い釣り合いの位置と新しい釣り合いの位置の差に等しくなる。\(A = a – \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a\)。これも論理的に正しい。
  • 問(2)(h) 周期が不変: ばね振り子の周期は重力によらない、という重要な性質を知っていれば、エレベーターの加速（見かけの重力の変化）で周期が変わらないことは即座に判断できる。もし変わるという答えが出たら、根本的な誤解を疑うべきである。
• 単位（次元）の確認:
  • (a) \(k\): \([\text{N/m}]\)
  • (b), (e) 周期: \([\text{s}]\)
  • (c), (d) 長さ: \([\text{m}]\)
  • (f) 速さ: \([\text{m/s}]\)
  • (g) 加速度: \([\text{m/s}^2]\)
  • (h) 倍率: 無次元

問題47 (名城大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねで繋がれた二つの物体AとBの運動に関するものです。物体Aは鉛直方向に単振動を行い、その影響で床の上にある物体Bが床から離れるかどうか、という条件を考察します。力のつり合い、単振動の性質、そして作用・反作用の法則を正しく理解し適用することが鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、ばね振り子と力のつり合い、そして単振動の概念を組み合わせた、高校物理の力学分野における複合的な問題です。特に、2つの物体が相互作用し、片方が床から離れる条件を考える(3)は、物理法則の深い理解と応用力が試されます。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体Aと物体B、それぞれに働く力を図示し、つり合いの式を立てます。ばねが「縮んでいる」状態にあるとき、物体Aには上向きの弾性力、物体Bには（ばねを介して）下向きの力が作用することを正確に理解することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 各物体に働く力を漏れなく図示し、その向きを正しく判断すること。
• ばねの弾性力は、Aに対しては上向き、Bに対しては下向きに働くこと。
• 作用・反作用の法則により、ばねがAを押す力とばねがBを押す力の大きさは等しい（\(ka\)）。

具体的な解説と立式

• ばね定数 \(k\) の導出:物体Aは、位置Oで静止しています。Aにはたらく力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、鉛直上向きのばねの弾性力 \(ka\) です。「上向きの力 = 下向きの力」より、
  $$ ka = mg \quad \cdots ① $$
• 床がBから受ける力の大きさ \(N\) の導出:床がBから受ける力は、Bが床から受ける垂直抗力と作用・反作用の関係にあります。Bにはたらく力は、鉛直下向きの重力 \(mg\)、鉛直下向きのばねの弾性力 \(ka\)、鉛直上向きの床からの垂直抗力 \(N\) です。「上向きの力の和 = 下向きの力の和」より、
  $$ N = mg + ka \quad \cdots ② $$

• ばね定数 \(k\):式①より、
  $$ k = \frac{mg}{a} $$
• 床がBから受ける力の大きさ \(N\):式②に、式①の関係 \(ka=mg\) を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  N &= mg + (mg) \\[2.0ex]
  &= 2mg
  \end{aligned}
  $$

【ばね定数】空中で静止しているAは、重力（下向き）とばねの力（上向き）がつりあっています。この関係から、ばねの硬さ（ばね定数）がわかります。

【床が受ける力】床の上のBは、自身の重力（下向き）と、ばねに上から押される力（下向き）の両方を受けています。床は、これらの合計と同じ大きさの力でBを支えています（垂直抗力）。

ばね定数は \(k = \frac{mg}{a}\)、床がBから受ける力の大きさは \(N = 2mg\) です。

AとBを一体として考えると全体の質量は \(2m\) であり、それらを支えるためには床から \(2mg\) の力が必要であるという直感とも一致しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(ア) 物体Aは、つり合いの位置O点を中心として単振動を行います。単振動において、物体の速さが最大になるのは振動中心を通過するときです。この最大速度は、公式 \(v_{\text{最大}} = A\omega\)（\(A\):振幅, \(\omega\):角振動数）を用いて求めることができます。

(イ) 単振動における物体の位置 \(x\) の時間 \(t\) による変化は、三角関数（\(\cos\) または \(\sin\)）で表されます。初期条件（\(t=0\) での位置と速度）と座標軸の取り方を考慮して、適切な式を導きます。

この設問における重要なポイント

• 単振動の振動中心がどこか（力のつり合いの位置O点）、振幅がいくらか（O点からP点までの距離 \(a\)）を正しく把握すること。
• 角振動数 \(\omega = \sqrt{k/m}\) を計算し、それを用いて \(v_{\text{最大}}\) や \(x(t)\) を表すこと。
• \(x(t)\) の式を立てる際、\(t=0\) で物体がどの位置にあるかという初期条件を正確に反映させること。

具体的な解説と立式

• (ア) Aの速さの最大値 \(v_{\text{最大}}\)AはO点を中心に、振幅 \(A=a\) で単振動します。角振動数 \(\omega\) は、
  $$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
  速さの最大値 \(v_{\text{最大}}\) は、
  $$ v_{\text{最大}} = A\omega $$
• (イ) Aの位置 \(x\) の時間変化 \(x(t)\)O点を原点 (\(x=0\))、鉛直下向きを正とします。\(t=0\) で、AはP点（\(x=a\)）で静かに放されます。これは、\(t=0\) で正の最大変位（振幅の位置）にあり初速度が0の場合なので、運動は \(x(t) = A \cos(\omega t)\) の形で表されます。

• (ア):角振動数 \(\omega\) に \(k = \frac{mg}{a}\) を代入します。
  $$ \omega = \sqrt{\frac{mg/a}{m}} = \sqrt{\frac{g}{a}} $$
  振幅 \(A=a\) なので、速さの最大値 \(v_{\text{最大}}\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  v_{\text{最大}} &= A\omega \\[2.0ex]
  &= a \sqrt{\frac{g}{a}} \\[2.0ex]
  &= \sqrt{a^2 \cdot \frac{g}{a}} \\[2.0ex]
  &= \sqrt{ga}
  \end{aligned}
  $$
• (イ):振幅 \(A=a\)、角振動数 \(\omega = \sqrt{g/a}\) を変位の式に代入します。
  $$ x(t) = a \cos\left(\sqrt{\frac{g}{a}}t\right) $$

(ア) 物体Aは、つり合いの位置O点を中心にして、一番下のP点と一番上の点の間を行ったり来たりする単振動をします。真ん中のO点を通る時に速さが最大になります。その速さは「振幅 \(\times\) 角振動数」で求められます。

(イ) Aの位置は、時間とともにコサインカーブを描いて変化します。\(t=0\) で一番下の \(x=a\) からスタートし、周期的に上下運動します。

(ア) Aの速さの最大値は \(v_{\text{最大}} = \sqrt{ga}\) です。

(イ) Aの位置 \(x\) の時間変化は \(x(t) = a \cos\left(\sqrt{\frac{g}{a}}t\right)\) です。

これらの結果の次元（単位）は物理的に正しく、初期条件も満たしています。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体Bが床から離れるのは、Bに働く床からの垂直抗力 \(N_B\) が \(0\) になるときです。Aの振動に伴い、ばねの変形量が変化し、それが物体Bに及ぼす力も変化します。\(N_B\) が最も小さくなるのは、ばねがBを最も強く上向きに引くとき、すなわち、ばねが最も伸びるときです。この状態がAの振動中に起こり、\(N_B=0\) となる瞬間の振幅 \(b\) の条件を導き出します。

この設問における重要なポイント

• 物体Bが床から離れる瞬間は、垂直抗力 \(N_B\) が \(0\) になる瞬間である。
• Bが最も離れやすくなるのは、Aが振動の最上点にあるときである。
• O点は「力のつり合いの位置」であり、「ばねの自然長の位置」ではない。

具体的な解説と立式
AをO点から距離 \(b\) だけ押し下げて放すので、AはO点 (\(x=0\)) を中心に振幅 \(b\) で単振動します。Aの変位 \(x\) の範囲は \(-b \le x \le b\) です。

Bが床から離れる可能性があるのは、ばねが伸びてBを上向きに引くときです。

Bにはたらく垂直抗力 \(N_B\) が最も小さくなるのは、ばねが最も伸びる、すなわちAが振動の最上点 \(x=-b\) に達したときです。

この位置でBが床から離れないためには、\(N_B \ge 0\) である必要があります。

Aが最上点 \(x=-b\) にいるとき、ばねは \(b-a\) だけ伸びています（ただし \(b>a\) の場合）。

このとき、ばねがBを上向きに引く力は \(k(b-a)\) です。

Bにはたらく力のつりあい（上向きを正）は、
$$ N_B + k(b-a) – mg = 0 $$
$$ N_B = mg – k(b-a) $$
Bが床から離れない条件は \(N_B \ge 0\) なので、
$$ mg – k(b-a) \ge 0 $$

\(mg – k(b-a) \ge 0\) に、問(1)で得られた関係 \(mg=ka\) を用います。
$$
\begin{aligned}
ka – k(b-a) &\ge 0 \\[2.0ex]
k(a – (b-a)) &\ge 0 \\[2.0ex]
k(2a – b) &\ge 0
\end{aligned}
$$
ばね定数 \(k\) は正なので、
$$
\begin{aligned}
2a – b &\ge 0 \\[2.0ex]
b &\le 2a
\end{aligned}
$$

物体Bが床からプカッと浮き上がらないようにするには、Aの動きの幅（振幅 \(b\)）をどれくらいまでに抑えれば良いか、という問題ですね。

Bが浮き上がりそうになるのは、Aが一番高い位置まで上がって、ばねがBを一番強く上に引っ張るときです。この「ばねがBを引く力」が「Bの重さ」を超えなければ、Bは浮き上がりません。この限界の条件を数式にして、振幅 \(b\) の最大値を求めます。

Aの振動中にBが床から離れないためには、振幅 \(b\) が \(2a\) 以下、すなわち \(b \le 2a\) である必要があります。

もし \(b=2a\) の場合、Aの最上点は \(x=-2a\)。このときばねは \(2a-a=a\) だけ伸びます。ばねがBを引く力は \(ka=mg\) となり、Bの重力とちょうどつりあうため、垂直抗力は \(0\) になります。これより \(b\) が大きいとBは浮き上がります。したがって、この条件は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 単振動の性質（振動中心、振幅、周期）:
  • 核心: この問題は、ばね振り子の単振動に関する総合的な理解を問うています。特に重要なのは、以下の3つの要素の関係性です。
    1. 振動中心: 常に、物体にはたらく力の「つり合いの位置」となります。重力や慣性力が変化すると、振動中心も移動します。
    2. 振幅: 振動中心から、振動の端（速さがゼロになる点）までの距離です。運動の開始点が端になる場合が多く、その場合は「運動開始点と新しい振動中心の距離」が振幅になります。
    3. 周期: 振動1回にかかる時間で、公式 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) で与えられます。重要なのは、周期は振動する物体の質量 \(m\) とばね定数 \(k\) のみで決まり、重力や振幅の大きさには依存しないという点です。
  • 理解のポイント:
    • 問(1)では、Qを切り離すことで質量が \(3m \to 2m\) に変化し、それに伴い振動中心と周期が変化しました。
    • 問(2)では、エレベーターの加速により見かけの重力が変化し、振動中心は移動しますが、周期は変化しませんでした。
• 力のつりあいと慣性力:
  • 核心: 振動中心を決定したり、ばね定数を求めたりする際には、力のつりあいの式を正しく立てることが基本となります。特に、加速度運動する系（エレベーター）では、見かけの力である「慣性力」を導入することで、静止している場合と同様に力のつりあいを考えることができます。
  • 理解のポイント:
    • 慣性力は、観測者が乗っている系の加速度と「逆向き」に、大きさ「\(m\alpha\)」ではたらきます。
    • 鉛直上向きに加速するエレベーター内では、下向きの慣性力がはたらくため、見かけの重力が大きくなった（見かけの重力加速度が \(g+\alpha\) になった）と解釈できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 単振動の途中で条件が変わる問題: 振動の途中で質量が変化する（物体がくっつく、分裂する）、ばね定数が変わる（別のばねに接続される）、あるいは摩擦のある領域に入るなど、運動の性質が変化する問題。
  • 加速度運動する台の上での物体の運動: 電車内でつるされた振り子や、加速する台の上のばね振り子など、慣性力を考慮する必要がある問題。
  • 単振動のエネルギー: 振幅と最大速さの関係や、任意の点での速さをエネルギー保存則から求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 振動の中心はどこか？: まず、物体にはたらく力をすべて図示し、それらがつりあう位置を探します。それが単振動の中心です。
  2. 運動の開始点はどこか？: 「静かに放す」「静かに切り離す」といった記述があれば、その位置が振動の端（速さゼロの点）になります。
  3. 振幅はいくらか？: 上記で特定した「振動の中心」と「振動の端」の距離を計算します。
  4. 周期は何で決まるか？: 振動している物体の「質量」と「ばね定数」を確認し、周期の公式に代入します。重力や振幅は周期に関係ないことを思い出します。
  5. 系が加速していないか？: エレベーターや台車の上など、問題の舞台が加速している場合は、必ず慣性力を考慮に入れます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動中心の誤認:
  • 誤解: 鉛直ばね振り子の振動中心を、常にばねの自然長の位置だと考えてしまう。
  • 対策: 振動中心は、必ず「力のつり合いの位置」であると徹底する。鉛直ばね振り子では、重力と弾性力がつりあう点が中心となる。
• 振幅の誤認:
  • 誤解: Qを切り離した後の振幅を、最初のつり合い位置からの伸び \(a\) だと考えてしまう。
  • 対策: 振幅は、あくまで「新しい振動中心」からの距離であることを理解する。運動の開始点（端）と新しい振動中心の位置をそれぞれ求め、その差を計算する。
• 周期の依存性の誤解:
  • 誤解: ばね振り子の周期が、重力加速度 \(g\) や振幅 \(A\) に依存すると考えてしまう（単振り子と混同する）。
  • 対策: ばね振り子の周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) には \(g\) も \(A\) も含まれていないことを確認し、周期は質量とばね定数のみで決まる、と明確に記憶する。
• 同じ文字の混同:
  • 誤解: 問題文中で、ばねの伸びを表す \(a\) と、エレベーターの加速度を表す \(a\) を混同して計算を進めてしまう。
  • 対策: 同じ文字が異なる意味で使われていることに気づいたら、計算途中では自分で \(a_{\text{伸び}}\), \(a_{\text{加速度}}\) のように区別して記述し、混乱を防ぐ。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい (\(F_{\text{上}} = F_{\text{下}}\)):
  • 選定理由: 物体が「静止」している、または単振動の「振動中心」を特定するために用いる。
  • 適用根拠: 加速度がゼロの点では、ニュートンの第二法則 \(ma=F\) より、合力 \(F\) はゼロでなければならない。
• 単振動の周期 (\(T=2\pi\sqrt{m/k}\)):
  • 選定理由: ばねにつながれた物体の周期的な運動の「時間」を問われているため。
  • 適用根拠: 復元力が変位に比例する運動（\(F=-Kx\)）は、単振動となることが知られている。その周期は、運動方程式を解くことで導出され、質量と復元力の比例定数（ばね定数）のみに依存する。
• 単振動のエネルギー保存 (\(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}Mv_{\text{最大}}^2\)):
  • 選定理由: 振動の「振幅」と「最大速さ」の関係を知りたい場合に、最も効率的な公式だから。
  • 適用根拠: これは、振動の端（速さゼロ、変位が振幅 \(A\)）と振動中心（速さ最大、変位ゼロ）の間で、振動のエネルギー（運動エネルギー＋有効なポテンシャルエネルギー）が保存されることを表している。
• 慣性力 (\(F_{\text{慣性}} = m\alpha\)):
  • 選定理由: 加速度 \(\alpha\) の非慣性系（エレベーターなど）で運動を記述するため。
  • 適用根拠: 加速する系でニュートンの法則を成り立たせるために導入される「見かけの力」。これを加えることで、非慣性系でも静止系と同じように力のつりあいを考えることができる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 代入の順序:
  • 特に注意すべき点: この問題のように、(a)で求めた \(k\) を(b), (c), (e), (f)で何度も使う場合、最初の計算ミスが後の設問すべてに影響する。
  • 日頃の練習: 最初の設問の答えには特に自信を持つまで検算する。また、後の設問を解く際に、できるだけ文字式のままで計算を進め、最後の段階で具体的な式を代入すると、途中の計算が簡潔になり、ミスが減ることがある。
• 分数の計算:
  • 特に注意すべき点: \(k=\frac{3mg}{a}\) を周期の公式の分母に代入する際など、分数の中に分数が含まれる形（繁分数式）の計算を正確に行う必要がある。
  • 日頃の練習: \(\frac{A}{B/C} = \frac{AC}{B}\) のような基本的な計算ルールを確実に身につけ、焦らずに処理する。
• 平方根の計算:
  • 特に注意すべき点: \(v_{\text{最大}} = \sqrt{\frac{ag}{6}}\) のような計算で、ルートの中の文字や係数を間違えやすい。
  • 日頃の練習: \( \frac{a}{3}\sqrt{\frac{3g}{2a}} = \sqrt{\frac{a^2}{9}\frac{3g}{2a}} \) のように、ルートの外の係数を中に入れる（またはその逆）計算をスムーズにできるようにしておく。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 問(1)(c) 振動中心の移動: Q(\(m\))を切り離すと、全体の重さが \(3mg \to 2mg\) と \(2/3\) 倍になる。フックの法則より、つり合いの伸びも \(a \to \frac{2}{3}a\) と \(2/3\) 倍になる。これは物理的に妥当である。
  • 問(1)(d) 振幅: 静止状態から質量を変化させた場合、古い釣り合いの位置が新しい振動の端になる。したがって、振幅は古い釣り合いの位置と新しい釣り合いの位置の差に等しくなる。\(A = a – \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a\)。これも論理的に正しい。
  • 問(2)(h) 周期が不変: ばね振り子の周期は重力によらない、という重要な性質を知っていれば、エレベーターの加速（見かけの重力の変化）で周期が変わらないことは即座に判断できる。もし変わるという答えが出たら、根本的な誤解を疑うべきである。
• 単位（次元）の確認:
  • (a) \(k\): \([\text{N/m}]\)
  • (b), (e) 周期: \([\text{s}]\)
  • (c), (d) 長さ: \([\text{m}]\)
  • (f) 速さ: \([\text{m/s}]\)
  • (g) 加速度: \([\text{m/s}^2]\)
  • (h) 倍率: 無次元

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問題48 (千葉大＋学習院大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、傾角\(30^\circ\)の滑らかな斜面上で、ばねに繋がれた小球Aと、斜面を滑り降りてくる小球Bとの弾性衝突、そしてその後の各小球の運動を扱う力学の総合問題です。力学的エネルギー保存則、運動量保存則、単振動といった複数の重要な物理概念が絡み合っています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、斜面上の弾性衝突と、その後のばねによる単振動を組み合わせた力学の総合問題です。力学的エネルギー保存則、運動量保存則、単振動といった複数の重要な物理概念がどのように連携するかを理解することが鍵となります。

問(1)