「良問の風」攻略ガイド（126〜130問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題126 (大分大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、長方形コイルが一定の速さで一様な磁場領域を通過する際に発生する電磁誘導現象について、誘導起電力、誘導電流、コイルが受ける力、そして発生するジュール熱を時間経過とともに考察するものです。コイルの運動を3つの区間（磁場への進入時、磁場内通過時、磁場からの退出時）に分けて考えることがポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電磁誘導」であり、コイルが磁場を横切る際の誘導起電力、誘導電流、電磁力、そしてエネルギー変換といった一連の現象を統合的に扱います。

問(1)

思考の道筋とポイント
(ア) この時間区間 (\(0 \le t \le a/v\)) では、コイルの辺BC（長さ \(b\)）のみが磁束密度 \(B\) の磁場を速度 \(v\) で垂直に横切っています。誘導起電力の公式 \(V=vBl\) を適用します。
(イ) (ア)で求めた起電力とコイルの抵抗 \(R\) から、オームの法則で電流を求めます。
(ウ) レンツの法則で電流の向きを特定し、フレミングの左手の法則で力の向きを決定します。
(エ) 電磁力の公式 \(F=IBL\) を用いて力の大きさを計算します。
この設問における重要なポイント

• (ア) 磁場を横切っているのは辺BCのみである。
• (イ) コイル全体の抵抗が \(R\) である。
• (ウ) 磁場の向き（紙面表から裏）を正しく認識し、レンツの法則を適用する。
• (エ) (イ)で求めた電流 \(I\) を用いる。

具体的な解説と立式
(ア) 辺BCが磁束密度 \(B\) の磁場を速度 \(v\) で垂直に横切るため、誘導起電力 \(V\) が生じます。その大きさは、
$$
\begin{aligned}
V &= vBb
\end{aligned}
$$
(イ) コイル全体の抵抗は \(R\) なので、オームの法則よりコイルを流れる電流の強さ \(I\) は、
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{V}{R}
\end{aligned}
$$
(ウ) コイルが磁場領域に入ると、コイルを貫く「紙面表から裏向き」の磁束が増加します。レンツの法則により、誘導電流はこの磁束の増加を妨げる向き、すなわち「紙面裏から表向き」の磁場を作るような向きに流れます。右ねじの法則から、これはコイルに反時計回りの電流が流れることを意味します。したがって、辺BCを流れる電流の向きはCからBの向き（上向き）です。この電流が磁場（紙面表から裏向き）から受ける力をフレミングの左手の法則で考えると、力の向きは左向きとなります。
(エ) 辺BCが受ける電磁力の大きさ \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= IBb
\end{aligned}
$$

(イ)の式に(ア)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{vBb}{R}
\end{aligned}
$$
(エ)の式に、上で求めた \(I\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= \left(\frac{vBb}{R}\right) \cdot B \cdot b \\[2.0ex]
&= \frac{vB^2b^2}{R}
\end{aligned}
$$

コイルが磁場に入り始めると、辺BCが発電機のように働き \(vBb\) [V] の電圧を発生させます(ア)。コイル全体の抵抗が \(R\) [Ω] なので、オームの法則から \(vBb/R\) [A] の電流が流れます(イ)。このとき、電流は磁場の変化を邪魔する向き（反時計回り）に流れます。この電流が磁場から受ける力をフレミングの左手の法則で調べると、コイルの進行を妨げる左向きになります(ウ)。その力の大きさは、公式に電流の値を代入して \(\displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\) [N] と計算できます(エ)。

(ア) 起電力は \(vBb\)。(イ) 電流は \(\displaystyle\frac{vBb}{R}\)。(ウ) 力の向きは左。(エ) 力の大きさは \(\displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\)。力の向きが運動を妨げる向きであることは、レンツの法則と整合しており妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
コイルの運動を3つの区間に分けて、各区間での誘導電流の大きさと向きを考えます。電流の向きは「時計回りを正」とすることに注意します。

1. 区間1: \(0 \le t < a/v\) (コイル進入時)
   レンツの法則により、電流は反時計回りに流れます。したがって、電流値は負となります。 \(I_1 = -vBb/R\)。
2. 区間2: \(a/v \le t < 2a/v\) (コイル全体が磁場内)
   辺BCと辺ADで生じる起電力が互いに逆向きに電流を流そうとするため、打ち消し合って電流は流れません。 \(I_2 = 0\)。
3. 区間3: \(2a/v \le t < 3a/v\) (コイル退出時)
   コイルを貫く磁束（表→裏）が減少するため、これを補う向き、すなわち時計回りに電流が流れます。したがって、電流値は正となります。 \(I_3 = vBb/R\)。

この設問における重要なポイント

• コイルの運動を3つの区間に分けて考える。
• 各区間での誘導起電力の有無と向きを正しく把握する。
• 電流の正負の定義（時計回りが正）に従う。

具体的な解説と立式
各区間における電流 \(I\) は以下のようになります。

• 区間1 (\(0 \le t < a/v\)):
  $$
  \begin{aligned}
  I_1 &= -\frac{vBb}{R}
  \end{aligned}
  $$
• 区間2 (\(a/v \le t < 2a/v\)):
  $$
  \begin{aligned}
  I_2 &= 0
  \end{aligned}
  $$
• 区間3 (\(2a/v \le t < 3a/v\)):
  $$
  \begin{aligned}
  I_3 &= \frac{vBb}{R}
  \end{aligned}
  $$

最大値は \(\displaystyle\frac{vBb}{R}\)、最小値は \(-\displaystyle\frac{vBb}{R}\) です。

上記の立式が各区間の電流値を表します。これらを元にグラフを作成します。

コイルの動きを3つのステージに分けて、それぞれのステージで流れる電流の大きさと向き（時計回りか反時計回りか）を考えます。

1. ステージ1 (コイルが磁場に入るとき): 電流は \(vBb/R\) の強さで反時計回り（グラフではマイナス）に流れます。
2. ステージ2 (コイル全体が磁場の中にあるとき): コイルの前後の辺で発生する電圧が打ち消し合い、電流は流れません（グラフではゼロ）。
3. ステージ3 (コイルが磁場から出るとき): 電流は \(vBb/R\) の強さで時計回り（グラフではプラス）に流れます。

この結果を時間軸に沿ってグラフにします。

Pを流れる電流と \(t\) との関係のグラフは、\(t=0\) から \(a/v\) までは \(I = -vBb/R\) の一定値、\(t=a/v\) から \(2a/v\) までは \(I=0\)、\(t=2a/v\) から \(3a/v\) までは \(I = vBb/R\) の一定値となる方形波状のグラフを描きます。縦軸には、最大値として \(vBb/R\)、最小値として \(-vBb/R\) を明記します。

問(3)

思考の道筋とポイント
コイルは一定の速さ \(v\) で運動しているため、コイルにはたらく合力は常にゼロです。したがって、加えている外力 \(F_{\text{外}}\) は、コイルが磁場から受ける電磁力 \(F_{\text{電磁}}\) と大きさが等しく、向きが反対になります。力の正の向きはコイルの速度の向き（右向き）とします。

この設問における重要なポイント

• コイルは等速直線運動をしているため、力のつり合いが成り立っている。
• 電磁力の向きを正しく把握する（運動を妨げる向き）。
• 力の正の向きの定義（コイルの速度の向きが正）に従う。

具体的な解説と立式
コイルに働く力のつり合いを考えます。右向きを正とすると、
$$
\begin{aligned}
(\text{右向きの力の和}) &= (\text{左向きの力の和})
\end{aligned}
$$
各区間における電磁力 \(F_{\text{電磁}}\) と外力 \(F_{\text{外}}\) は以下のようになります。

• 区間1: \(0 \le t < a/v\) (コイル進入時)
  電磁力 \(F_{\text{電磁1}}\) は大きさ \(\displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\) で左向きです。したがって、力のつり合いより、
  $$
  \begin{aligned}
  F_{\text{外1}} &= F_{\text{電磁1}}
  \end{aligned}
  $$
• 区間2: \(a/v \le t < 2a/v\) (コイル全体が磁場内)
  電磁力 \(F_{\text{電磁2}} = 0\) です。よって、外力 \(F_{\text{外2}}\) も、
  $$
  \begin{aligned}
  F_{\text{外2}} &= 0
  \end{aligned}
  $$
• 区間3: \(2a/v \le t < 3a/v\) (コイル退出時)
  問(2)より電流は時計回りなので、辺ADを流れる電流はDからAの向き（上向き）です。フレミングの左手の法則（電流:上向き、磁場:表から裏）より、辺ADにはたらく電磁力 \(F_{\text{電磁3}}\) は左向きとなります。その大きさは \(F_{\text{電磁1}}\) と同じです。したがって、力のつり合いより、外力 \(F_{\text{外3}}\) は、
  $$
  \begin{aligned}
  F_{\text{外3}} &= F_{\text{電磁3}}
  \end{aligned}
  $$

最大値は \(\displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\)、最小値は \(0\) です。

問(1)の結果より、\(F_{\text{電磁1}} = \displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\) です。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{外1}} &= \frac{vB^2b^2}{R}
\end{aligned}
$$
区間3の電磁力の大きさも同様に計算できます。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{電磁3}} &= I_3 B b = \left(\frac{vBb}{R}\right)Bb = \frac{vB^2b^2}{R}
\end{aligned}
$$
よって、
$$
\begin{aligned}
F_{\text{外3}} &= \frac{vB^2b^2}{R}
\end{aligned}
$$
これらを元にグラフを作成します。

コイルを一定の速さで動かすためには、コイルが磁場から受ける力（電磁力）と、ちょうど反対向きで同じ大きさの力を外から加える必要があります。力の向きは、コイルが進む向き（右向き）をプラスとします。

1. ステージ1 (コイルが磁場に入るとき): 電磁力は左向きに \(\displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\) です。なので、外力は右向き（プラス）に \(\displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\) です。
2. ステージ2 (コイル全体が磁場の中にあるとき): 電磁力はゼロです。なので、外力もゼロです。
3. ステージ3 (コイルが磁場から出るとき): 電磁力は左向きに \(\displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\) です。なので、外力は右向き（プラス）に \(\displaystyle\frac{vB^2b^2}{R}\) です。

この結果を時間軸に沿ってグラフにします。

Pに加えている外力と \(t\) との関係のグラフは、\(t=0\) から \(a/v\) までは \(F_{\text{外}} = vB^2b^2/R\) の一定値、\(t=a/v\) から \(2a/v\) までは \(F_{\text{外}}=0\)、\(t=2a/v\) から \(3a/v\) までは \(F_{\text{外}} = vB^2b^2/R\) の一定値となる方形波状のグラフを描きます。縦軸には、最大値として \(vB^2b^2/R\)、最小値として \(0\) を明記します。

問(4)

思考の道筋とポイント
コイルが一定速度で運動しているため、運動エネルギーは変化しません。このとき、外力がした仕事はすべてコイルの抵抗で発生するジュール熱に変換されます（エネルギー保存則）。ジュール熱は電流が流れている区間（区間1と区間3）で発生します。各区間で発生するジュール熱を計算し、合計します。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則: 外力がした仕事 = 発生したジュール熱 (等速運動の場合)。
• ジュール熱の公式: \(Q = RI^2t\)。
• 電流が流れる時間と、その時の電流の大きさを正確に把握する。

具体的な解説と立式
ジュール熱が発生するのは、電流が流れている区間1 (\(0 \le t < a/v\)) と区間3 (\(2a/v \le t < 3a/v\)) です。それぞれの区間の継続時間は \(\Delta t = a/v\) です。
区間1での電流の大きさは \(|I_1| = \displaystyle\frac{vBb}{R}\)。この区間で発生するジュール熱 \(Q_1\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= R I_1^2 \Delta t
\end{aligned}
$$
区間3での電流の大きさは \(I_3 = \displaystyle\frac{vBb}{R}\)。この区間で発生するジュール熱 \(Q_3\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_3 &= R I_3^2 \Delta t
\end{aligned}
$$
発生した全熱エネルギー \(Q_{\text{全}}\) は \(Q_1 + Q_3\) です。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{全}} &= Q_1 + Q_3
\end{aligned}
$$

区間1で発生するジュール熱 \(Q_1\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= R \left(\frac{vBb}{R}\right)^2 \left(\frac{a}{v}\right) \\[2.0ex]
&= R \frac{v^2B^2b^2}{R^2} \frac{a}{v} \\[2.0ex]
&= \frac{vB^2b^2a}{R}
\end{aligned}
$$
同様に、区間3で発生するジュール熱 \(Q_3\) も、
$$
\begin{aligned}
Q_3 &= \frac{vB^2b^2a}{R}
\end{aligned}
$$
したがって、発生した全熱エネルギー \(Q_{\text{全}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{全}} &= Q_1 + Q_3 \\[2.0ex]
&= \frac{vB^2b^2a}{R} + \frac{vB^2b^2a}{R} \\[2.0ex]
&= \frac{2vB^2b^2a}{R}
\end{aligned}
$$

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ファラデーの電磁誘導の法則とレンツの法則:
  • 核心: コイルを貫く磁束が変化することで誘導起電力が生じ（ファラデーの法則）、その際に流れる誘導電流は磁束の変化を妨げる向きに生じる（レンツの法則）。この2つが、本問の全ての現象の出発点です。
  • 理解のポイント:
    1. 磁束変化の認識: コイルが磁場に「入るとき（磁束増加）」と「出るとき（磁束減少）」で、磁束の変化の仕方が異なることを正確に捉えることが重要です。
    2. 起電力の発生源: 導体棒が磁場を横切ることで起電力が生じる（\(V=vBl\)）というモデルを適用します。
    3. 向きの決定: レンツの法則（またはフレミングの右手の法則）で電流の向きを、フレミングの左手の法則で力の向きを決定します。
• エネルギー保存則:
  • 核心: コイルが等速運動している場合、外部から加えられた力学的仕事は、運動エネルギーの変化には使われず、すべて回路内のジュール熱として消費されます。
  • 理解のポイント: 「外力が仕事をする」→「誘導電流が流れる」→「ジュール熱が発生する」というエネルギー変換の流れを理解することが、問(4)のような問題を多角的に解く鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • コイルの形状や進入角度が異なる問題: 三角形コイルや、斜めに磁場に進入する場合など。磁場を横切る導体の実効的な長さが時間と共に変化します。
  • 磁場が一様でない問題: 磁場の強さ\(B\)が場所によって変わる場合、起電力や力が時間的に変化します。
  • コイルが解放されている（スイッチがある）問題: 回路が閉じていないと電流は流れませんが、起電力は発生します。
  • コイルが重力などで落下する問題: 電磁力が重力とつりあうと、終端速度に達します。運動方程式を立てる必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 時間区分の設定: まず、コイルと磁場の相対的な位置関係が質的に変化するタイミング（入り始め、完全に入る、出始め、完全に出る）を見つけ、そこで時間区間を区切ります。
  2. 各区間での磁束変化の分析: 各区間において、コイルを貫く磁束が「増加」するのか、「減少」するのか、「一定」なのかを判断します。これが起電力の有無と電流の向きを決定します。
  3. 力のつりあいの確認: 問題文から運動の状態（等速か、加速か）を読み取り、力のつりあいの式または運動方程式を立てます。電磁力は多くの場合、運動を妨げる「ブレーキ」として作用します。
  4. エネルギーの流れを追う: 「誰が仕事をして、そのエネルギーはどこへ行ったのか？」を常に意識します。力学的エネルギー、電気的エネルギー、熱エネルギーの間の変換関係を考えることで、検算や別解の発見に繋がります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 起電力の合成ミス:
  • 誤解: コイル全体が磁場内にあるとき（区間2）、辺BCと辺ADの両方で起電力が生じるので、起電力は2倍になると考えてしまう。
  • 対策: 各辺に生じる起電力を電池に置き換えた回路図を描いてみる。辺BCと辺ADの電池は、互いに逆向きに接続された状態になるため、起電力が打ち消し合うことが視覚的に理解できます。
• 電流の向きと正負の混同:
  • 誤解: 問(2)で、電流の向き（反時計回り/時計回り）と、グラフの縦軸の正負（時計回りが正）の対応を間違える。
  • 対策: 問題文で指定された正の向きの定義（「時計回りを正とする」など）を、立式の前に大きくメモしておく。レンツの法則で物理的な向きを決定した後、定義に従って機械的に正負を割り当てます。
• 外力と電磁力の混同:
  • 誤解: 問(3)で、コイルが磁場から受ける力（電磁力）をそのままグラフに描いてしまう。
  • 対策: 「コイルを一定の速さで動かすために、外から加えている力」が問われていることを確認する。等速運動であることから、外力は電磁力と「つりあう」力、つまり大きさが同じで向きが逆の力であると理解します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(V=vBl\)（誘導起電力）:
  • 選定理由: 「導体が磁場を横切る」という状況設定から、この公式が最も直接的に起電力を計算できると判断します。
  • 適用根拠: 速度\(v\)、磁束密度\(B\)、導体の長さ\(l\)が互いに垂直であるという、公式の適用条件を満たしているため。
• レンツの法則:
  • 選定理由: 誘導電流の「向き」を知る必要があるため。これは定性的な法則ですが、現象の方向性を決定する上で不可欠です。
  • 適用根拠: 電磁誘導が起きている全ての場面で成り立つ普遍的な法則であるため。
• \(F=IBL\)（電磁力）:
  • 選定理由: 「電流が流れる導体が磁場中にある」という状況で、その導体が受ける「力」を計算する必要があるため。
  • 適用根拠: 電流\(I\)、磁束密度\(B\)、導体の長さ\(L\)が互いに垂直であるという条件を満たしているため。
• \(W_{\text{外}} = Q_{\text{ジュール熱}}\)（エネルギー保存則）:
  • 選定理由: 問(4)で「発生した全熱エネルギー」を問われており、これを力学的な「仕事」と結びつける視点を提供するため。特に、ジュール熱の直接計算が複雑な場合に有効な別解となります。
  • 適用根拠: コイルが「一定の速さで」運動しており、運動エネルギーが変化しないという条件があるため、外力の仕事がすべて熱エネルギーに変換されるという関係が成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の混同防止:
  • 特に注意すべき点: 問題には辺の長さとして\(a\)と\(b\)が登場します。\(a\)は運動方向の長さ、\(b\)はそれに垂直な長さです。起電力の公式\(V=vBb\)や力の公式\(F=IBb\)で使うのは\(b\)であり、移動距離や時間を計算する際に使うのが\(a\)です。これを混同すると、すべての計算が狂ってしまいます。
  • 日頃の練習: 問題を解き始める前に、図に各文字がどの部分の長さを表すのかを明確に書き込む習慣をつけましょう。
• 符号の管理:
  • 特に注意すべき点: 問(2)の電流、問(3)の外力では、向きを正負の符号で表現します。物理的な向き（例：左向き、反時計回り）と、設問で定義された正負の向き（例：右向きが正、時計回りが正）の2段階で考える必要があります。
  • 日頃の練習: 計算用紙を左右に分け、片方に「物理的な向き」、もう片方に「定義上の正負」を書き出して整理する癖をつけると、混同が減ります。
• 区間ごとの整理:
  • 特に注意すべき点: この問題は3つの区間で物理現象が異なります。計算をごちゃ混ぜにせず、各区間ごとに起電力、電流、力、仕事（または熱）を独立して計算し、最後に結果を統合することが重要です。
  • 日頃の練習: ノートに見出し「区間1 (\(0 \le t < a/v\))」などと書き、その下にその区間での計算をまとめて書くようにすると、思考が整理され、ミスが減ります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 電流のグラフ (問(2)): 磁場に入るときと出るときで、磁束の変化の向き（増加/減少）が逆なので、電流の向きが逆になるのは物理的に正しいです。磁場内に完全に入っているときに電流がゼロになるのも、起電力が打ち消し合うため妥当です。
  • 外力のグラフ (問(3)): 電磁力は運動を妨げる「ブレーキ」として働くため、等速を維持するには運動方向に力を加え続ける必要があります。電流が流れるときだけ外力が必要で、その向きが常に正（運動方向）なのは妥当です。
  • 全熱エネルギー (問(4)): \(Q_{\text{全}} = \displaystyle\frac{2vB^2b^2a}{R}\)。
    • 吟味の視点: 抵抗\(R\)が大きいほど、電流が流れにくくなるため、発生する熱は小さくなるはずです。式は\(R\)が分母にあるので、この直感と一致します。また、速さ\(v\)や磁場\(B\)が強いほど、現象が激しくなり熱も多く発生しそうです。式も\(v, B^2\)に比例しており、妥当です。
• エネルギー保存則による検算:
  • 問(4)をジュール熱の公式から解いた後、別解として外力の仕事からも計算してみることは、非常に有効な吟味の方法です。両者の答えが \(\displaystyle\frac{2vB^2b^2a}{R}\) で一致することを確認できれば、計算の信頼性は格段に高まります。これは、異なる物理法則の切り口から同じ結論に至ることで、解の正しさを裏付けているからです。

問題127 (琉球大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平なレール上を動く導体棒が、滑車を介して連結されたおもりの重力によって運動する際に生じる電磁誘導現象を扱います。導体棒は一様な鉛直磁場中を運動するため、誘導電流が流れ、電磁力を受けます。この結果、導体 newpage

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、「電磁誘導と力学の融合」であり、特に導体棒の運動に伴う誘導起電力の発生、それによる電流と電磁力、そして力のつりあいやエネルギー保存則が複雑に関係しあう状況を分析します。

問(1)

思考の道筋とポイント
導体棒 ab が磁場を横切ることによって誘導起電力が生じ、これにより回路に電流が流れます。この電流が磁場から力を受けるという一連の流れを追います。起電力の向き、電流の向き、力の向きはそれぞれフレミングの右手の法則、オームの法則、フレミングの左手の法則で決定します。

この設問における重要なポイント

• 誘導起電力 \(V=vBl\) の公式を正しく適用する。
• フレミングの右手の法則で起電力（電流）の向きを決定する。
• オームの法則 \(I=V/R\) を用いて電流の大きさを求める。
• 電磁力 \(F=IBl\) の公式を正しく適用する。
• フレミングの左手の法則で電磁力の向きを決定する。

具体的な解説と立式
導体棒 ab が速さ \(v\) で右向きに運動するとき、磁束密度 \(B\) の鉛直上向きの磁場を横切ります。
このとき、導体棒 ab に生じる誘導起電力の大きさ \(V\) は、
$$
\begin{aligned}
V &= vBl
\end{aligned}
$$
フレミングの右手の法則（親指：運動 \(v\) 右向き、人差し指：磁場 \(B\) 上向き）を用いると、中指の向き（起電力により電流を流そうとする向き）は a から b の向きになります。
この誘導起電力 \(V\) により、抵抗 \(R\) を含む回路に誘導電流 \(I\) が流れます。オームの法則より、電流 \(I\) の大きさは、
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{V}{R}
\end{aligned}
$$
電流の向きは、起電力の向きと同じく、導体棒 ab においてa から b の向きです。

次に、電流 \(I\) が流れる導体棒 ab が磁場から受ける電磁力 \(F_{\text{電磁}}\) を考えます。その大きさは、
$$
\begin{aligned}
F_{\text{電磁}} &= IBl
\end{aligned}
$$
電磁力の向きは、フレミングの左手の法則（中指：電流 \(I\) a→b の向き、人差し指：磁場 \(B\) 上向き）を用いると、親指の向き（力の向き）は左向き（導体棒の運動方向と逆向き）になります。

電流の大きさを求めるために、起電力の式をオームの法則の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{vBl}{R}
\end{aligned}
$$
次に、電磁力の大きさを求めるために、上で求めた電流 \(I\) の式を力の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{電磁}} &= \left(\frac{vBl}{R}\right)Bl \\[2.0ex]
&= \frac{vB^2l^2}{R}
\end{aligned}
$$

1. 導体棒abが速さ \(v\) で動くと、棒の両端には \(V=vBl\) の電圧（誘導起電力）が発生します。フレミングの右手の法則から、この電圧はaからbの向きに電流を流そうとします。
2. この電圧によって、回路には抵抗 \(R\) があるため、\(I = V/R = vBl/R\) の大きさの電流が、aからbの向きに流れます。
3. 電流が流れる棒abは、磁場から力を受けます。フレミングの左手の法則から、この力は棒の運動とは反対の左向きに働きます。力の大きさは \(F = IBl\)。先ほど求めた \(I\) を代入すると、\(F = (vBl/R)Bl = vB^2l^2/R\) となります。

電流の大きさは \(\displaystyle\frac{vBl}{R}\) で、向きはaからbの向き。
棒が磁場から受ける力の大きさは \(\displaystyle\frac{vB^2l^2}{R}\) で、向きは左向き。
これらの結果は、電磁誘導の基本的な現象として妥当です。電磁力は運動を妨げる向き（レンツの法則に合致）に働いています。

問(2)

思考の道筋とポイント
(ア) 導体棒 ab が一定の速さ \(v_0\) で運動するようになったということは、導体棒 ab にはたらく力がつり合っている状態です。導体棒 ab には、右向きに糸の張力 \(T\) が、左向きに電磁力 \(F_0\) がはたらいています。張力 \(T\) はおもりにはたらく重力 \(Mg\) と等しくなります。
(イ) 等速運動時は運動エネルギーが変化しないため、エネルギー保存則から、おもりが失う位置エネルギーと発生するジュール熱の関係を導きます。
(ウ) (ア)で求めた値を用いて、(イ)の関係を具体的に計算して確認します。

この設問における重要なポイント

• (ア) 一定速度 \(\Rightarrow\) 力のつりあい。
• (イ) 等速運動 \(\Rightarrow\) 運動エネルギー変化なし。エネルギー保存則を適用する。
• (ウ) \(P = Mgv_0\)、\(Q = RI_0^2\) を計算する。

具体的な解説と立式
(ア) 導体棒 ab が一定の速さ \(v_0\) で運動するとき、力のつり合いが成り立ちます。おもりも等速運動しているため、糸の張力 \(T\) はおもりの重力 \(Mg\) に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
T &= Mg
\end{aligned}
$$
導体棒 ab にはたらく電磁力 \(F_0\) は、このときの電流を \(I_0\) とすると、左向きで大きさは \(F_0 = I_0Bl\) です。導体棒の力のつりあいより、
$$
\begin{aligned}
T &= F_0
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
Mg &= I_0Bl \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
また、オームの法則から、
$$
\begin{aligned}
I_0 &= \frac{v_0Bl}{R} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
(イ) 導体棒とおもりが等速運動しているとき、系の運動エネルギーは変化しません。エネルギー保存則より、単位時間におもりが失う重力の位置エネルギー \(P\) は、単位時間に回路で発生するジュール熱 \(Q\) に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
P &= Q
\end{aligned}
$$
根拠は、エネルギー保存則です。

(ウ) 単位時間におもりが失う位置エネルギー \(P\) は、
$$
\begin{aligned}
P &= Mgv_0
\end{aligned}
$$
単位時間に回路で発生するジュール熱 \(Q\) は、
$$
\begin{aligned}
Q &= RI_0^2
\end{aligned}
$$

(ア) まず、式①から電流 \(I_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
I_0 &= \frac{Mg}{Bl}
\end{aligned}
$$
次に、この \(I_0\) を式②に代入して \(v_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{Mg}{Bl} &= \frac{v_0Bl}{R}
\end{aligned}
$$
この式を \(v_0\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
v_0 &= \frac{MgR}{B^2l^2}
\end{aligned}
$$
(ウ) 上で求めた \(v_0\) と \(I_0\) を用いて \(P\) と \(Q\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
P &= Mgv_0 = Mg \left(\frac{MgR}{B^2l^2}\right) \\[2.0ex]
&= \frac{M^2g^2R}{B^2l^2}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
Q &= RI_0^2 = R \left(\frac{Mg}{Bl}\right)^2 \\[2.0ex]
&= R \frac{M^2g^2}{B^2l^2} \\[2.0ex]
&= \frac{M^2g^2R}{B^2l^2}
\end{aligned}
$$
よって、\(P=Q\) が確かめられました。

(ア) 導体棒が一定の速さで動くとき、棒を右に引く力（おもりの重さ \(Mg\)）と、棒を左に引く力（電磁力）が釣り合います。この釣り合いの式とオームの法則を組み合わせることで、電流 \(I_0\) と速さ \(v_0\) が求まります。
(イ) 棒が一定の速さなので、運動エネルギーは増えも減りもしません。このとき、おもりが失う位置エネルギーが、すべて回路の抵抗で熱（ジュール熱）に変わります。これがエネルギー保存則です。
(ウ) (ア)で求めた値を使って、実際に「おもりが1秒間に失う位置エネルギー」と「回路で1秒間に発生するジュール熱」を計算すると、両者がぴったり同じ値になることを確かめます。

(ア) 電流 \(I_0 = \displaystyle\frac{Mg}{Bl}\)、速さ \(v_0 = \displaystyle\frac{MgR}{B^2l^2}\)。(イ) 関係は \(P=Q\)、根拠はエネルギー保存則。(ウ) 計算により \(P=Q\) が確認でき、物理法則の整合性が示されました。

問(3)

思考の道筋とポイント
おもりをつないでいる糸を切ると、導体棒 ab を右向きに引く力がなくなります。この瞬間、導体棒は速さ \(v_0\) で運動しています。運動を続けると誘導電流が流れ、運動と逆向き（左向き）の電磁力を受けます。この電磁力がブレーキとなり、導体棒は減速してやがて停止します。この過程で、導体棒が最初に持っていた運動エネルギーが、すべて回路の抵抗でジュール熱として消費されると考えられます。他にエネルギーの損失（摩擦など）は考えないため、エネルギー保存則が適用できます。

この設問における重要なポイント

• 糸を切った直後の導体棒の運動エネルギーが、その後のジュール熱の総量に等しい。
• 運動エネルギーの公式 \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を用いる。
• (2)(ア)で求めた \(v_0\) の値を正確に代入する。

具体的な解説と立式
糸を切った瞬間、導体棒 ab は速さ \(v_0\) を持っており、その運動エネルギー \(K_{\text{初}}\) は、
$$
\begin{aligned}
K_{\text{初}} &= \frac{1}{2}mv_0^2
\end{aligned}
$$
導体棒はやがて停止するので、最終的な運動エネルギー \(K_{\text{後}}\) はゼロです。この間に外部から仕事はされず、また摩擦もないとすると、運動エネルギーの減少分がすべてジュール熱 \(Q_{\text{総}}\) に変換されます。
したがって、エネルギー保存則より、発生するジュール熱の総量 \(Q_{\text{総}}\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{総}} &= K_{\text{初}} – K_{\text{後}} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}mv_0^2 – 0 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}mv_0^2
\end{aligned}
$$
この式に、(2)(ア)で求めた \(v_0 = \displaystyle\frac{MgR}{B^2l^2}\) を代入することで、\(Q_{\text{総}}\) が求められます。

(2)(ア)で求めた \(v_0 = \displaystyle\frac{MgR}{B^2l^2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{総}} &= \frac{1}{2}m\left(\frac{MgR}{B^2l^2}\right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}m\frac{M^2g^2R^2}{B^4l^4} \\[2.0ex]
&= \frac{m M^2g^2R^2}{2B^4l^4}
\end{aligned}
$$
模範解答の表記 \((Bl)^2\) を用いる場合、\(v_0 = \displaystyle\frac{MgR}{(Bl)^2}\) であるため、
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{総}} &= \frac{1}{2}m\left(\frac{MgR}{(Bl)^2}\right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{m(MgR)^2}{2(Bl)^4}
\end{aligned}
$$

糸が切れると、導体棒abを引っ張る力はなくなります。しかし、棒abはその瞬間まで速さ \(v_0\) で動いていたので、その勢い（運動エネルギー）を持っています。棒abが動き続けると、回路には電流が流れ、磁場からブレーキのような力（電磁力）を受けます。この力によって棒abはだんだん遅くなり、やがて止まります。このとき、棒abが持っていた最初の運動エネルギーは、すべて回路の抵抗で熱（ジュール熱）に変わります。したがって、最初に持っていた運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\) を計算すれば、それがそのまま発生するジュール熱の総量となります。(2)(ア)で求めた \(v_0\) の値を代入して計算します。

糸を切った後に回路で発生するジュール熱の総量は、導体棒 ab が持っていた初期運動エネルギーに等しく、\(\displaystyle\frac{m M^2g^2R^2}{2B^4l^4}\) [J] です（模範解答の表記では \(\displaystyle\frac{m(MgR)^2}{2(Bl)^4}\)）。この結果は、エネルギー保存則を正しく適用したものであり、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 誘導起電力とオームの法則:
  • 核心: 導体棒の運動による誘導起電力 (\(V=vBl\)) と、それによって回路に流れる電流 (\(I=V/R\)) の関係。これが電磁現象の基本です。
  • 理解のポイント: 導体棒の速度\(v\)が、回路を駆動する「電池の電圧」を決定するという因果関係を理解することが重要です。
• 電磁力と力のつりあい:
  • 核心: 誘導電流が磁場から受ける電磁力 (\(F=IBl\)) が、おもりからの張力とつりあうことで定常状態（等速運動）が実現します (\(Mg=I_0Bl\))。
  • 理解のポイント: 電磁力は速度に依存するブレーキ力として機能します。速度が上がるとブレーキが強くなり、やがて駆動力（張力）とつりあって速度が一定になる、という物理プロセスを把握することが鍵です。
• エネルギー保存則:
  • 核心: この系全体のエネルギーの流れを支配する法則です。
    • 等速運動時（問2イ、ウ）: おもりが失う位置エネルギーが、すべてジュール熱に変換されます (\(P=Q\))。運動エネルギーは変化しません。
    • 糸を切った後（問3）: 導体棒が持っていた運動エネルギーが、すべてジュール熱に変換されて停止します。
  • 理解のポイント: 力学的なエネルギー（位置エネルギー、運動エネルギー）と電気的なエネルギー（ジュール熱）が、どのような条件下でどのように変換されるかを正確に追跡する能力が問われます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電磁ブレーキの原理を説明する問題。
  • 発電機において、外部回路に負荷を接続したときの発電機の回転への影響。
  • レールが傾斜している場合や、ばねで引かれる場合など、他の力が加わる状況。
  • 自己インダクタンスを持つコイルが回路に含まれる場合（過渡現象）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の図示と運動状態の把握: まず、導体棒にはたらく力をすべて図示し（重力、張力、電磁力、垂直抗力など）、運動の状況（加速、等速、減速）を把握します。
  2. 起電力・電流・電磁力の連動: 導体棒の速度 \(\rightarrow\) 誘導起電力 \(\rightarrow\) 誘導電流 \(\rightarrow\) 電磁力、という一連の流れを常に意識します。
  3. 定常状態の条件: 「一定の速さになった」「十分時間が経過した」などの記述があれば、力のつりあいやエネルギーの収支が安定した状態を考えます。
  4. エネルギーの変換過程の追跡: 「どのエネルギーが、どのエネルギーに、どのように変換されたか」という視点を持つと、特にエネルギーに関する設問で見通しが良くなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力のつりあいの式の誤り:
  • 誤解: 電磁力の向きを間違えたり、張力とおもりの重力の関係を誤解したりして、力のつりあいの式を正しく立てられない。
  • 対策: 必ず力を図示し、各力の向きと大きさを確認する。作用・反作用の関係も意識する。
• エネルギー保存則の適用範囲の誤解:
  • 誤解: 等速運動時に運動エネルギーが変化しないことを見落とし、エネルギー収支の式に誤った項を入れてしまう。
  • 対策: 各エネルギー形態（位置エネルギー、運動エネルギー、電気的エネルギー、熱エネルギー）の変化量を正確に把握し、全体の収支を考える。
• \(v_0\) や \(I_0\) の導出における混乱:
  • 誤解: 力のつりあいの式とオームの法則の連立がうまくいかず、どちらかの式だけで解こうとしてしまう。
  • 対策: 未知数が \(v_0\) と \(I_0\) の2つであるのに対し、独立な関係式も2つ（力のつりあい、オームの法則）あることを確認し、丁寧に連立方程式を解く。
• 文字計算のミス:
  • 誤解: 特に \(B^2l^2\) や \(B^4l^4\) といった項の処理で、指数や係数を間違える。
  • 対策: 複雑な文字式は、一歩一歩丁寧に計算し、必要なら途中式をしっかり書く。次元解析で単位がおかしくないか確認するのも有効。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(V=vBl\):
  • 選定理由: 磁場中を運動する導体に生じる起電力を計算するため。
  • 適用根拠: 導体棒の速度 \(v\)、磁束密度 \(B\)、導体棒の長さ \(l\) が互いにほぼ垂直であるという条件を満たしている。
• \(I=V/R\):
  • 選定理由: 回路に流れる電流の大きさを、起電力と抵抗から求めるため。
  • 適用根拠: 単純な直流回路（瞬間的には）と見なせるため、オームの法則が適用可能。
• \(F=IBl\):
  • 選定理由: 電流が流れる導体が磁場から受ける力の大きさを計算するため。
  • 適用根拠: 電流 \(I\)、磁束密度 \(B\)、導体の長さ \(l\) が互いにほぼ垂直であるという条件を満たしている。
• 力のつりあい (\(T=F_0\), \(T=Mg\)):
  • 選定理由: 導体棒およびおもりが「一定の速さで運動」しているため、それぞれの物体にはたらく合力がゼロであると判断できる。
  • 適用根拠: 慣性の法則、または運動方程式 \(ma=F\) で \(a=0\) の場合。
• エネルギー保存則:
  • 選定理由: (2イ)ではエネルギーの変換効率、(3)では運動エネルギーがすべて熱に変わる過程を考えるため。
  • 適用根拠: 摩擦や空気抵抗が無視できる理想的な状況で、力学的エネルギーと電気的エネルギー（ジュール熱）の間の変換を記述する普遍的な法則。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: 多くの物理定数（\(m, M, g, R, B, l\)）が登場するため、式変形の際はどの文字がどの物理量を指すのかを常に意識し、丁寧に扱う。特に、\(B^2l^2\) を \((Bl)^2\) と書くなど、指数の扱いに注意する。
  • 日頃の練習: 複雑な文字式は、一歩一歩丁寧に計算し、必要なら途中式をしっかり書く。次元解析で単位がおかしくないか確認するのも有効。
• 段階的な代入:
  • 特に注意すべき点: (2ウ)や(3)のように、前の設問で求めた結果（\(I_0, v_0\)）を代入する場合は、代入前の一般式と代入後の具体的な式を分けて記述すると、検算しやすく、思考の過程も明確になる。
  • 日頃の練習: 複数の設問にまたがる計算では、前の結果を明確に引用する癖をつける。「(2ア)の結果より〜」のように記述することで、論理の流れが整理される。
• 図を用いた確認:
  • 特に注意すべき点: 力の向きや電流の向きは、頭の中だけで考えずに、必ず図を描いてフレミングの法則を適用することで視覚的に確認する。
  • 日頃の練習: 問題用紙の余白に、力のベクトル図や回路図を簡潔に描く習慣をつける。これにより、符号のミスや立式の誤りを大幅に減らせる。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2ア)で求めた \(v_0\): おもりの質量 \(M\) が大きいほど（駆動力が大きい）、抵抗 \(R\) が大きいほど（電流が流れにくくブレーキが弱い）、\(v_0\) は大きくなる。磁場 \(B\) や導体棒の長さ \(l\) が大きいほど（電磁ブレーキが効きやすい）、\(v_0\) は小さくなる。これらの依存関係が直感的に妥当か検討する。
  • (3)のジュール熱: 導体棒の質量 \(m\) が大きいほど、初速 \(v_0\) が大きいほど、発生するジュール熱は大きくなる。これは運動エネルギーが大きいほど多くの熱に変換されるという直感と一致する。
• 極端な場合の考察:
  • もし抵抗 \(R \rightarrow \infty\) （断線）なら、電流は流れず電磁力も働かないので、おもりは自由落下的に導体棒を加速させるはず（等速にならない）。\(v_0\) の式で \(R \rightarrow \infty\) とすると \(v_0 \rightarrow \infty\) となり、これは等速解が得られない状況を示唆している。
  • もし磁場 \(B=0\) なら、誘導起電力も電磁力も生じないので、\(v_0 \rightarrow \infty\) となり、これも等速運動の前提が崩れる。
• エネルギーの流れの一貫性:
  • (2)の定常状態では、おもりの重力がする仕事率 \(Mgv_0\) が、ジュール熱による消費電力 \(RI_0^2\) に等しい。このエネルギー変換の流れが途切れていないか、他のエネルギー損失がないか（問題設定では無視されている）を確認する。

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【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【注記】本問については、模範解答のアプローチが最も標準的かつ効率的であるため、別解の提示は省略します。

この問題のテーマは「電磁誘導と力学の融合」であり、特に電池を含む回路における導線の運動、摩擦力、エネルギー収支を扱います。

問(1)