問題126 (大分大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: ファラデーの電磁誘導の法則を用いた解法
- 模範解答はローレンツ力（導体棒が磁力線を切る）の視点で解いていますが、別解では回路を貫く磁束の時間変化率から誘導起電力を求めます。
- 設問(4)の別解: 微積分を用いた体系的解法（エネルギー保存則と積分の定義）
- 公式 \(Q=Pt\) を単に適用するのではなく、電力の瞬時値を時間積分する \(\int P \, dt\) の形から導出します。また、外力の仕事 \(\int F v \, dt\) とジュール熱が等価であることをエネルギー保存則の観点から示します。
- 設問(1)の別解: ファラデーの電磁誘導の法則を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- ファラデーの法則: 磁束の変化に着目することで、回路全体の形状が変わる場合や磁場が時間変化する場合にも対応できる汎用的な視点を養えます。
- 微積分の解法: 電流や力が時間変化する場合でも通用する普遍的な定義（積分）から出発することで、公式の適用範囲を超えた応用力を養います。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「磁場中を移動するコイルの電磁誘導とエネルギー収支」です。
コイルが磁場に出入りする際に生じる誘導起電力、電流、そして電磁力（ローレンツ力）の関係を時系列で追跡します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 誘導起電力（ローレンツ力）: 磁場中を速度 \(v\) で動く導体棒には、\(V = vBl\) の起電力が生じます。
- レンツの法則: 誘導電流は、磁束の変化や導体の運動を妨げる向きに流れます。
- 力のつりあいとエネルギー保存: 等速運動をするためには外力が必要であり、外力がした仕事はジュール熱として消費されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、導体内の電荷が受ける力から起電力の向きと大きさを決定し、オームの法則で電流を求めます。
- (2)(3)では、コイルの位置（進入、完全内部、脱出）ごとに起電力の有無を判断し、電流と外力の変化をグラフ化します。
- (4)では、発生したジュール熱を計算し、それが外力の仕事と等しいことを確認します。
問(1)
思考の道筋とポイント
コイルが磁場に進入する際、辺BC（右側の辺）が磁力線を横切ることで誘導起電力が発生します。
まずは、導体内の電荷が受けるローレンツ力の向きを考え、起電力の向きと大きさを特定します。
次に、オームの法則で電流を求め、その電流が磁場から受ける電磁力の向きと大きさを導きます。
この設問における重要なポイント
- ローレンツ力と起電力: 磁場中を動く導体内のキャリア（正電荷と仮定）が受ける力 \(f = qvB\) が、起電力の源です。
- 電流の向き: 起電力によって回路に電流が流れます。
- 電磁力（アンペールの力）: 電流が流れる導体は、磁場から力 \(F = IBl\) を受けます。
具体的な解説と立式
1. 誘導起電力の導出
辺BC（長さ \(b\)）は速度 \(v\) で磁束密度 \(B\) の磁場を横切っています。
導体内の正電荷 \(q\) が受けるローレンツ力 \(f\) の大きさは以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
f &= qvB
\end{aligned}
$$
フレミングの左手の法則（またはローレンツ力のベクトル積 \(\vec{v} \times \vec{B}\)）より、力の向きは CからB（上向き）です。
よって、辺BCは B側が高電位となる電池として振る舞います。
単位電荷あたりの仕事が電位差（起電力） \(V\) なので、\(V = f \cdot b / q\) より、起電力の大きさは以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
V &= vBb \quad \cdots (ア)
\end{aligned}
$$
2. 電流の計算
回路全体の抵抗は \(R\) です。オームの法則より、流れる電流 \(I\) の大きさは以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{V}{R}
\end{aligned}
$$
これに(ア)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{vBb}{R} \quad \cdots (イ)
\end{aligned}
$$
電流の向きは、高電位のBから回路を回り、A→D→Cと流れるため、反時計回りです。
3. 電磁力の導出
辺BCには、CからBの向き（上向き）に電流 \(I\) が流れています。
この電流が磁場から受ける電磁力 \(F\) の大きさは以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
F &= IBb
\end{aligned}
$$
フレミングの左手の法則より、電流（上向き）と磁場（裏向き）に対して、力は左向きに働きます。
よって、向きは B→A（C→D）の向き \(\cdots (ウ)\) です。
大きさを計算します。
使用した物理公式
- 誘導起電力（動生起電力）: \(V = vBl\)
- オームの法則: \(I = \frac{V}{R}\)
- 電磁力: \(F = IBl\)
$$
\begin{aligned}
F &= \left( \frac{vBb}{R} \right) \cdot Bb \\[2.0ex]
&= \frac{vB^2b^2}{R} \quad \cdots (エ)
\end{aligned}
$$
コイルの右側の辺（BC）が磁石の世界（磁場）に突入しました。
導体棒が磁場を横切ると発電機になります。このとき発生する電圧は「速さ×磁場の強さ×長さ」で決まります。
この電圧によってコイルに電流が流れます。
さらに、「電流が流れている電線」が磁場の中にあると、力を受けます。この力は、コイルの動きを邪魔する方向（左向き）に働きます。これを「レンツの法則」とも言います。
起電力 \(vBb\)、電流 \(\frac{vBb}{R}\)、力 \(\frac{vB^2b^2}{R}\) という結果が得られました。
速度 \(v\) が大きいほど、磁場 \(B\) が強いほど、抵抗 \(R\) が小さいほど、電流や力は大きくなります。これは直感的に妥当です。
力の向きが運動を妨げる向き（左向き）であることも、エネルギー保存則（勝手に加速しない）と整合します。
思考の道筋とポイント
ローレンツ力ではなく、「コイルを貫く磁束の変化」に着目します。
ファラデーの電磁誘導の法則 \(V = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|\) を用いて起電力を求めます。
この設問における重要なポイント
- 磁束の定義: 磁束 \(\Phi\) は、磁束密度 \(B\) と、磁場が貫く面積 \(S\) の積 \(\Phi = BS\) です。
- 面積の変化: コイルが速度 \(v\) で移動すると、磁場内の面積 \(S\) が時間とともに増加します。
具体的な解説と立式
微小時間 \(\Delta t\) の間に、コイルは距離 \(\Delta x = v \Delta t\) だけ右に進みます。
このとき、磁場領域に入り込む面積の増加分 \(\Delta S\) は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\Delta S &= b \cdot \Delta x \\[2.0ex]
&= bv \Delta t
\end{aligned}
$$
これに伴う磁束の増加分 \(\Delta \Phi\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta \Phi &= B \cdot \Delta S \\[2.0ex]
&= Bqv \Delta t
\end{aligned}
$$
ファラデーの電磁誘導の法則より、誘導起電力の大きさ \(V\) は磁束の時間変化率に等しいので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V &= \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 磁束: \(\Phi = BS\)
- ファラデーの電磁誘導の法則: \(V = – \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\)
$$
\begin{aligned}
V &= \frac{Bbv \Delta t}{\Delta t} \\[2.0ex]
&= vBb
\end{aligned}
$$
レンツの法則より、誘導電流は「裏向きの磁束の増加」を妨げる向き、つまり「表向きの磁場を作る向き」に流れます。
右ねじの法則より、これは反時計回り（B→A→D→C→B）となります。
コイルの中を通る磁力線の本数（磁束）が増えると、コイルは「変化しないで！」と抵抗して、磁力線を打ち消すような電流を流そうとします。
1秒間にどれくらい磁力線が増えたかを計算すると、それがそのまま電圧（起電力）の大きさになります。
計算結果は、ローレンツ力で考えた場合と全く同じになります。
結果はメインの解法と一致します。
問(2)
思考の道筋とポイント
コイルが移動するにつれて、磁場との位置関係が変わります。
以下の3つの区間に分けて考えます。
1. 進入中 (\(0 \le t \le a/v\)): 辺BCのみが磁場中にある。
2. 完全内部 (\(a/v \le t \le 2a/v\)): 辺BCと辺ADの両方が磁場中にある。
3. 脱出中 (\(2a/v \le t \le 3a/v\)): 辺BCは磁場外、辺ADのみが磁場中にある。
この設問における重要なポイント
- 起電力の打ち消し合い: コイル全体が磁場に入ると、左右の辺で同じ向きの起電力が発生し、回路全体としては打ち消し合います。
- 電流の向きの反転: 脱出時は磁束が減少するため、進入時とは逆向きの電流が流れます。
具体的な解説と立式
区間1: \(0 \le t \le a/v\) （進入）
(1)で求めた通りです。
電流 \(I_1\) は反時計回り（正の向きとは逆）なので負の値です。
$$
\begin{aligned}
I_1 &= – \frac{vBb}{R}
\end{aligned}
$$
区間2: \(a/v \le t \le 2a/v\) （完全内部）
辺BCと辺ADの両方が磁場中にあります。
両方の辺で、上向き（B側、A側が高電位）の誘導起電力 \(V = vBb\) が発生します。
回路を一周してみると、2つの電池が向かい合わせ（正極同士がつながっている状態）になります。
キルヒホッフの第2法則（回路方程式）を立てると以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
RI_2 &= V_{AD} – V_{BC}
\end{aligned}
$$
区間3: \(2a/v \le t \le 3a/v\) （脱出）
辺BCは磁場を出て起電力がなくなります。辺ADのみが磁場中にあり、起電力 \(V = vBb\) を発生させます。
辺ADはA側が高電位となるため、電流は A→B→C→D→A の向き（時計回り）に流れます。
これは問題文で定義された「正の向き」です。
$$
\begin{aligned}
I_3 &= + \frac{vBb}{R}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- オームの法則: \(I = \frac{V}{R}\)
- キルヒホッフの第2法則
区間2の電流を計算します。
$$
\begin{aligned}
RI_2 &= vBb – vBb \\[2.0ex]
&= 0 \\[2.0ex]
I_2 &= 0
\end{aligned}
$$
各区間の電流値は以下の通りです。
- \(0 \le t \le \frac{a}{v}\): \(I = – \frac{vBb}{R}\)
- \(\frac{a}{v} \le t \le \frac{2a}{v}\): \(I = 0\)
- \(\frac{2a}{v} \le t \le \frac{3a}{v}\): \(I = + \frac{vBb}{R}\)
最初: 右辺だけが発電するので、反時計回りの電流が流れます。
真ん中: 右辺も左辺も発電しますが、お互いに電気を押し合う形になり、力が釣り合って電流は流れません。
最後: 左辺だけが発電します。電池の向きが最初と逆になる（回路上の位置関係が変わる）ため、今度は時計回りの電流が流れます。
グラフは、負の一定値 \(\to\) ゼロ \(\to\) 正の一定値 という階段状の変化をします。
最大値は \(\frac{vBb}{R}\)、最小値は \(-\frac{vBb}{R}\) です。
磁束の変化（増える \(\to\) 変わらない \(\to\) 減る）に対応して電流の向きが変わることは、レンツの法則とも一致します。
グラフの概形:
横軸 \(0 \sim a/v\): 縦軸 \(-\frac{vBb}{R}\) の水平線
横軸 \(a/v \sim 2a/v\): 縦軸 \(0\) の水平線
横軸 \(2a/v \sim 3a/v\): 縦軸 \(\frac{vBb}{R}\) の水平線
最大値: \(\displaystyle \frac{vBb}{R}\), 最小値: \(\displaystyle -\frac{vBb}{R}\)
問(3)
思考の道筋とポイント
コイルは「一定の速度 \(v\)」で動かされています。
これは、コイルに働く力がつりあっていることを意味します。
つまり、`（右向きの力）=（左向きの力）` が常に成り立ちます。
電磁力の向きと大きさを各区間で調べれば、必要な外力が求まります。
この設問における重要なポイント
- 力のつりあい: 等速運動 \(\iff\) 力の和がゼロ。
- 電磁力の向き: 常に運動を妨げる向き（左向き）に働きます（電流が流れている場合）。
具体的な解説と立式
外力を \(F_{\text{外力}}\)（右向き）、電磁力を \(F_{\text{電磁}}\)（左向き）とします。
等速運動における力のつりあいの式（右向きの力 = 左向きの力）は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{外力}} &= F_{\text{電磁}}
\end{aligned}
$$
区間1: \(0 \le t \le a/v\) （進入）
(1)より、電磁力は左向きに大きさ \(F = \frac{vB^2b^2}{R}\) です。
よって、外力 \(F_1\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
F_1 &= \frac{vB^2b^2}{R}
\end{aligned}
$$
区間2: \(a/v \le t \le 2a/v\) （完全内部）
電流 \(I=0\) なので、電磁力も働きません。
よって、外力 \(F_2\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
F_2 &= 0
\end{aligned}
$$
区間3: \(2a/v \le t \le 3a/v\) （脱出）
電流は時計回り（A→B→C→D）に流れています。
磁場中にあるのは辺ADのみです。電流はDからA（上向き）に流れます。
フレミングの左手の法則より、辺ADが受ける電磁力は左向きです。
大きさは \(F = IBb = \frac{vBb}{R} \cdot Bb = \frac{vB^2b^2}{R}\) です。
よって、外力 \(F_3\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
F_3 &= \frac{vB^2b^2}{R}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい: \((\text{右向きの力}) = (\text{左向きの力})\)
- 電磁力: \(F = IBl\)
各区間の外力は以下の通りです。
- \(0 \le t \le \frac{a}{v}\): \(F = \frac{vB^2b^2}{R}\)
- \(\frac{a}{v} \le t \le \frac{2a}{v}\): \(F = 0\)
- \(\frac{2a}{v} \le t \le \frac{3a}{v}\): \(F = \frac{vB^2b^2}{R}\)
進入時: 磁場が「入ってくるな！」と左向きに押してくるので、それに逆らって右向きに力を加えて押し込む必要があります。
内部: 電流が流れないので、抵抗する力もありません。力はいりません（慣性で進みます）。
脱出時: 磁場が「行くな！」と引き戻そうとする（左向きの力）ので、それに逆らって右向きに力を加えて引っ張り出す必要があります。
電流の向きは逆転しましたが、外力の向きは常に「右向き（正）」です。
これは、電磁力が常に「運動を妨げる向き（左向き）」に働くためです。
エネルギーの観点からも、外力が常に正の仕事をすることで、回路でジュール熱が発生していることと整合します。
グラフの概形:
横軸 \(0 \sim a/v\): 縦軸 \(\frac{vB^2b^2}{R}\) の水平線
横軸 \(a/v \sim 2a/v\): 縦軸 \(0\) の水平線
横軸 \(2a/v \sim 3a/v\): 縦軸 \(\frac{vB^2b^2}{R}\) の水平線
最大値: \(\displaystyle \frac{vB^2b^2}{R}\), 最小値: \(0\)
問(4)
思考の道筋とポイント
発生した全熱エネルギー（ジュール熱）を求めます。
ジュール熱が発生するのは、電流が流れている「進入時」と「脱出時」の2つの区間です。
それぞれの区間で \(Q = RI^2 t\) を計算し、合計します。
この設問における重要なポイント
- 発熱する区間: 電流が \(0\) の区間（完全内部）では熱は発生しません。
- 対称性: 進入時と脱出時で、電流の大きさの2乗 \(I^2\) は同じであり、時間 \(t\) も同じです。
具体的な解説と立式
1. 進入時の発熱 \(Q_1\)
電流の大きさ: \(I = \frac{vBb}{R}\)
時間: \(t_1 = \frac{a}{v}\)
ジュール熱の公式より、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= R I^2 t_1
\end{aligned}
$$
2. 脱出時の発熱 \(Q_2\)
電流の大きさ、時間ともに進入時と同じです。
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= Q_1
\end{aligned}
$$
3. 全熱エネルギー \(Q_{\text{全}}\)
合計を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{全}} &= Q_1 + Q_2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- ジュール熱: \(Q = RI^2 t\)
\(Q_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= R \left( \frac{vBb}{R} \right)^2 \cdot \frac{a}{v} \\[2.0ex]
&= R \cdot \frac{v^2 B^2 b^2}{R^2} \cdot \frac{a}{v} \\[2.0ex]
&= \frac{v B^2 b^2 a}{R}
\end{aligned}
$$
全エネルギーはこれの2倍です。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{全}} &= 2 \times \frac{v B^2 b^2 a}{R} \\[2.0ex]
&= \frac{2 v B^2 b^2 a}{R}
\end{aligned}
$$
抵抗で発生する熱は、電流の2乗に比例します。
進入するときと脱出するときで、電流の向きは逆ですが、大きさは同じです。
したがって、同じ量の熱が2回発生することになります。
片方の熱を計算して2倍すれば答えが出ます。
単位を確認します。
\([v] = \text{m}/\text{s}, [B] = \text{T} = \text{Wb}/\text{m}^2 = \text{V}\cdot\text{s}/\text{m}^2, [b] = \text{m}, [a] = \text{m}, [R] = \Omega = \text{V}/\text{A}\)
答えの単位は \(\frac{(\text{m}/\text{s}) \cdot (\text{V}\cdot\text{s}/\text{m}^2)^2 \cdot \text{m}^2 \cdot \text{m}}{\text{V}/\text{A}} = \frac{\text{m} \cdot \text{V}^2 \cdot \text{s}^2 \cdot \text{m}^3}{\text{s} \cdot \text{m}^4 \cdot \text{V}} \cdot \text{A} = \text{V} \cdot \text{A} \cdot \text{s} = \text{J}\)
エネルギーの単位ジュール（J）と一致しており、正しいです。
思考の道筋とポイント
ジュール熱の公式 \(RI^2t\) を使う代わりに、「外力がした仕事がすべてジュール熱に変わる」というエネルギー保存則を用いて計算します。
仕事 \(W\) は、力 \(F\) と速度 \(v\) の積（仕事率 \(P=Fv\)）の時間積分で定義されます。
この設問における重要なポイント
- エネルギー保存則: コイルの運動エネルギーは変化しない（等速）ため、外力がした仕事 \(W_{\text{外力}}\) は、すべて回路でのジュール熱 \(Q\) として消費されます。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{外力}} &= Q
\end{aligned}
$$ - 仕事の定義: 仕事は、力と移動距離の積、あるいは仕事率の時間積分です。
$$
\begin{aligned}
W &= \int F \, dx = \int F v \, dt
\end{aligned}
$$
具体的な解説と立式
全区間 \(0 \le t \le 3a/v\) における外力の仕事 \(W\) を計算します。
外力 \(F(t)\) は問(3)で求めた通りです。
$$
\begin{aligned}
W &= \int_{0}^{3a/v} F(t) v \, dt
\end{aligned}
$$
積分区間を3つに分けます。
$$
\begin{aligned}
W &= \int_{0}^{a/v} F_1 v \, dt + \int_{a/v}^{2a/v} F_2 v \, dt + \int_{2a/v}^{3a/v} F_3 v \, dt
\end{aligned}
$$
ここで、\(F_1 = F_3 = \frac{vB^2b^2}{R}\)、\(F_2 = 0\) です。
また、\(v\) は定数です。
使用した物理公式
- 仕事の定義: \(W = \int F v \, dt\)
- エネルギー保存則: \(W_{\text{外力}} = Q_{\text{ジュール熱}}\)
定数部分を積分の外に出して計算します。
$$
\begin{aligned}
W &= F_1 v \int_{0}^{a/v} dt + 0 + F_3 v \int_{2a/v}^{3a/v} dt \\[2.0ex]
&= F_1 v [t]_{0}^{a/v} + F_3 v [t]_{2a/v}^{3a/v} \\[2.0ex]
&= \frac{vB^2b^2}{R} \cdot v \cdot \left( \frac{a}{v} – 0 \right) + \frac{vB^2b^2}{R} \cdot v \cdot \left( \frac{3a}{v} – \frac{2a}{v} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{v^2 B^2 b^2}{R} \cdot \frac{a}{v} + \frac{v^2 B^2 b^2}{R} \cdot \frac{a}{v} \\[2.0ex]
&= \frac{v B^2 b^2 a}{R} + \frac{v B^2 b^2 a}{R} \\[2.0ex]
&= \frac{2 v B^2 b^2 a}{R}
\end{aligned}
$$
「熱を計算しなさい」と言われましたが、直接熱を計算する代わりに、「どれだけ汗をかいてコイルを押したか（仕事をしたか）」を計算しても答えは同じになります。
なぜなら、押した分のエネルギーが、そのまま電気抵抗で熱に変わったからです。
「力×距離」で仕事を計算すると、非常にシンプルに答えが出ます。
力 \(F = \frac{vB^2b^2}{R}\) で、距離 \(2a\)（進入で \(a\)、脱出で \(a\)）だけ押したので、\(F \times 2a\) を計算すれば一発です。
メインの解法と全く同じ結果が得られました。
この方法は、電流の計算を間違えていても、力の計算さえ合っていれば正解できる（あるいはその逆）ため、検算としても非常に有効です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ローレンツ力と誘導起電力の微視的理解
- 核心: 導体棒が磁場中を動くと、内部の自由電子がローレンツ力 \(f = qvB\) を受けます。この力が電荷を移動させ、導体両端に電位差（誘導起電力 \(V = vBl\)）を生じさせます。
- 理解のポイント:
- 電池への置換: 磁場を横切る導体部分は、起電力 \(V\) の電池とみなせます。
- 向きの決定: フレミングの左手の法則、またはローレンツ力のベクトル積 \(\vec{v} \times \vec{B}\) で、正電荷が受ける力の向き（＝電流を流そうとする向き＝高電位側）を特定します。
- エネルギー変換と保存則
- 核心: 電磁誘導現象において、外力がした仕事は電気エネルギーに変換され、最終的に抵抗でジュール熱として消費されます。
- 理解のポイント:
- メカニズム: 外力 \(\rightarrow\) 運動エネルギー（等速なら変化なし） \(\rightarrow\) 電磁力に逆らう仕事 \(\rightarrow\) 電気エネルギー \(\rightarrow\) 熱エネルギー。
- 保存則の式: \(W_{\text{外力}} = Q_{\text{ジュール熱}}\) が成立することを常に意識します。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- コイルの形状変化: 正方形ではなく三角形や円形のコイルが磁場に進入する場合、磁場を横切る導線の長さ \(l\) が時間 \(t\) とともに変化します（例: \(l \propto t\)）。この場合、起電力 \(V\) も時間変化するため、電流や力のグラフは直線や曲線になります。
- 磁場が時間変化する場合: コイルが静止していても、磁束密度 \(B\) が変化すれば誘導起電力が発生します（ファラデーの法則）。動いている場合は「動生起電力（ローレンツ力）」と「磁場変化による起電力」の両方を考慮する必要があります。
- 斜めの横切り: 導体棒が速度ベクトルに対して斜めになっている場合、速度の「導体に垂直な成分」だけが起電力に寄与します。
- 初見の問題での着眼点:
- 発電部分の特定: 回路のどの部分が磁力線を切っているか（＝電池になっているか）を図に書き込みます。
- 等価回路の描画: 発電部分を電池、それ以外を導線や抵抗に置き換えた回路図を描きます。特に、複数の辺が磁場中にある場合は、電池の向き（直列か逆向きか）に注意します。
- 力の向きの確認: 「誘導電流が流れると、必ず運動を妨げる向きに力が働く」というレンツの法則を使い、計算結果の符号ミスを防ぎます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 起電力の向きと電流の向きの混同:
- 誤解: 「誘導起電力の向き」と「実際に流れる電流の向き」を混同する。特に、複数の起電力がある場合（完全内部の状態など）に混乱しやすい。
- 対策: まず個々の導体棒について「どっちが高電位か（電池のプラス極か）」だけを決定し、回路図に電池の記号を描き込みます。その上で、回路全体としての電圧の和（キルヒホッフの法則）から電流の向きを判断します。
- 「磁束の変化」と「磁束の量」の混同:
- 誤解: 「磁場の中にどっぷり浸かっている（磁束 \(\Phi\) が最大）」ときに、誘導起電力が最大になると勘違いする。
- 対策: 誘導起電力は磁束の「量」ではなく「変化の速さ（傾き）」に比例します。グラフを描く際、\(\Phi-t\) グラフの傾きが \(V\) になることを意識しましょう。
- 外力と電磁力の取り違え:
- 誤解: 「外力」を問われているのに、電磁力（負の向き）を答えてしまう。あるいはその逆。
- 対策: 「等速で動かすために必要な力（＝外力）」なのか、「磁場から受ける力（＝電磁力）」なのか、主語を明確にします。等速運動なら、両者は大きさ等しく向きが逆です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(1)での公式選択（ローレンツ力 vs ファラデーの法則）:
- 選定理由: 模範解答（ローレンツ力）は、導体棒一本一本の微視的な力に着目するため、回路形状が複雑でなく、一部の辺のみが磁場を切る場合に直感的で分かりやすいです。一方、別解（ファラデーの法則）は、回路全体の磁束変化に着目するため、コイルの形状が変化したり回転したりする場合に威力を発揮します。
- 適用根拠: 本問では辺BCのみが磁場を切る単純な状況なのでどちらでも容易ですが、(2)でコイル全体が磁場に入った際の「起電力の打ち消し合い」を理解するには、ローレンツ力の視点（2つの電池が逆向き）が特に有効です。
- 問(4)での公式選択（ジュール熱の公式 vs 仕事の積分）:
- 選定理由: \(Q=RI^2t\) は電流が一定の場合に計算が簡単です。一方、\(\int Fv dt\) は、電流や力が時間変化する場合でも使える普遍的な方法です。
- 適用根拠: 本問では電流が区間ごとに一定なので \(RI^2t\) が最速ですが、エネルギー保存則の理解を深めるために、仕事の積分による別解も提示しました。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 次元解析（単位チェック）の徹底:
- 答えが出たら必ず単位を確認します。例えば力の答えが \(\frac{vB^2b^2}{R}\) なら、単位は \(\frac{(\text{m}/\text{s}) \cdot \text{T}^2 \cdot \text{m}^2}{\Omega}\) です。\(\text{T} = \text{N}/(\text{A}\cdot\text{m})\), \(\Omega = \text{V}/\text{A}\) などを代入して \(\text{N}\) になるか確認します。特に \(B\) や \(b\) の次数（2乗かどうか）のミスを発見できます。
- 極限的なケースでの検算:
- もし \(v=0\) （止まっている）なら？ \(\rightarrow\) 起電力も力も \(0\) になるはず。式も \(0\) になります。
- もし \(R \to \infty\) （絶縁体）なら？ \(\rightarrow\) 電流は流れないはず。式の分母に \(R\) があるので \(I \to 0\) となり整合します。
- 符号の物理的意味の確認:
- 電流や力の計算結果にマイナスがついた場合、それが「図の定義と逆向き」を意味するのか、単なる計算ミスなのかを、レンツの法則（変化を妨げる向き）と照らし合わせて確認する癖をつけましょう。
問題127 (琉球大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: ファラデーの電磁誘導の法則を用いた解法
- 模範解答はローレンツ力（導体棒内の電荷が受ける力）の視点で解いていますが、別解では回路を貫く磁束の時間変化率から誘導起電力を求めます。
- 設問(2)(3)の別解: 微積分を用いた体系的解法（運動方程式の積分）
- 力のつりあいやエネルギー保存則を前提とせず、ニュートンの運動方程式を立式し、それを時間積分することで速度の変化やエネルギー収支（ジュール熱）を数学的に導出します。特に(3)では、エネルギー保存則が運動方程式から必然的に導かれることを示します。
- 設問(1)の別解: ファラデーの電磁誘導の法則を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- ファラデーの法則: 磁束の変化に着目することで、回路形状が変化する場合など、より一般的な状況に対応できる視点を養えます。
- 微積分の解法: 「なぜエネルギーが保存するのか」「速度が変化する過渡期に何が起きているのか」という物理の根本原理を理解でき、応用問題への対応力が飛躍的に向上します。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「磁場中の導体棒の運動とエネルギー収支」です。
重力によって加速される導体棒が、電磁誘導によるブレーキ（電磁力）を受けて終端速度に達する過程と、その間のエネルギーの変換（重力ポテンシャル \(\to\) ジュール熱）を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 誘導起電力: 磁場中を動く導体棒には、電池としての能力（起電力 \(V=vBl\)）が生じます。
- 電磁力（アンペールの力）: 電流が流れる導体棒は、磁場から運動を妨げる向きに力（\(F=IBl\)）を受けます。
- 力のつりあい: 一定の速度（終端速度）で動くとき、物体に働く合力は \(0\) になります。
- エネルギー保存則: 外力がした仕事や失われた力学的エネルギーは、ジュール熱などの他のエネルギーに変換されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、導体棒の速度 \(v\) から起電力、電流、電磁力を順に求めます。
- (2)では、速度が一定になった状態（力のつりあい）に着目し、終端速度とエネルギー収支を計算します。
- (3)では、外力がなくなった後の減速運動について、エネルギー保存則を用いて発生する総熱量を求めます。
問(1)
思考の道筋とポイント
導体棒 ab が右向きに速さ \(v\) で動くと、内部の自由電子がローレンツ力を受け、導体棒両端に電位差（誘導起電力）が生じます。
これにより閉回路に電流が流れ、さらにその電流が磁場から電磁力を受けます。
各物理量の向きは、フレミングの左手の法則やレンツの法則を用いて慎重に決定します。
この設問における重要なポイント
- 起電力の向き: レンツの法則（磁束の変化を妨げる向き）またはローレンツ力の向きから判断します。
- 電磁力の向き: 電流の向きと磁場の向きから、フレミングの左手の法則で判断します。常に運動を妨げる向き（ブレーキ）になります。
具体的な解説と立式
1. 電流の大きさと向き
導体棒 ab （長さ \(l\)）が磁束密度 \(B\) の磁場中を速さ \(v\) で垂直に横切るとき、生じる誘導起電力 \(V\) の大きさは以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
V &= vBl
\end{aligned}
$$
回路を貫く上向きの磁束が増加するため、レンツの法則より、下向きの磁場を作る方向（時計回り）に誘導電流が流れます。
したがって、棒 ab を流れる電流の向きは \(\text{a} \to \text{b}\) です。
回路の抵抗は \(R\) なので、オームの法則より電流 \(I\) の大きさは以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{V}{R}
\end{aligned}
$$
2. 力の大きさと向き
電流 \(I\) が流れている導体棒 ab が磁場から受ける力（電磁力） \(F\) の大きさは以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
F &= IBl
\end{aligned}
$$
電流の向きは \(\text{a} \to \text{b}\)（図の手前方向）、磁場の向きは鉛直上向きです。
フレミングの左手の法則を適用すると、力の向きは 左向き（\(\text{a} \to \text{c}\) の向き） となります。
使用した物理公式
- 誘導起電力: \(V = vBl\)
- オームの法則: \(I = \frac{V}{R}\)
- 電磁力: \(F = IBl\)
電流 \(I\) の大きさを計算します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{vBl}{R}
\end{aligned}
$$
力 \(F\) の大きさを計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= \left( \frac{vBl}{R} \right) Bl \\[2.0ex]
&= \frac{vB^2l^2}{R}
\end{aligned}
$$
導体棒が磁石の世界（磁場）を横切ると、発電機になって電圧が生まれます。
この電圧によって電流が流れます。
電流が流れると、今度は磁場から「動くな！」という邪魔する力（ブレーキ）を受けます。
この一連の流れを数式にしたのが今回の答えです。
電流の向きは \(\text{a} \to \text{b}\)、大きさは \(\frac{vBl}{R}\)。
力の向きは左向き、大きさは \(\frac{vB^2l^2}{R}\)。
速度 \(v\) が大きいほどブレーキ（力）も強くなるという結果は、物理的に妥当です。
電流の大きさ: \(\displaystyle \frac{vBl}{R}\), 向き: \(\text{a} \to \text{b}\)
力の大きさ: \(\displaystyle \frac{vB^2l^2}{R}\), 向き: 左向き（\(\text{a} \to \text{c}\) の向き）
思考の道筋とポイント
ローレンツ力ではなく、回路を貫く「磁束の変化」に着目して起電力を求めます。
微小時間 \(\Delta t\) における磁束の変化量 \(\Delta \Phi\) を計算し、ファラデーの法則 \(V = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|\) を適用します。
この設問における重要なポイント
- 磁束の定義: 磁束 \(\Phi\) は、磁束密度 \(B\) と、磁場が貫く面積 \(S\) の積 \(\Phi = BS\) です。
- 面積の変化: 導体棒が移動することで、回路の面積が増加します。
具体的な解説と立式
微小時間 \(\Delta t\) の間に、棒 ab は右へ \(\Delta x = v \Delta t\) だけ移動します。
これにより、回路の面積は \(\Delta S = l \Delta x\) だけ増加します。
磁束密度 \(B\) は一様なので、回路を貫く磁束の増加 \(\Delta \Phi\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
\Delta \Phi &= B \Delta S
\end{aligned}
$$
ファラデーの電磁誘導の法則より、誘導起電力の大きさ \(V\) は磁束の時間変化率に等しいので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V &= \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 磁束: \(\Phi = BS\)
- ファラデーの電磁誘導の法則: \(V = – \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\)
面積変化 \(\Delta S\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta S &= lv \Delta t
\end{aligned}
$$
磁束変化 \(\Delta \Phi\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta \Phi &= Blv \Delta t
\end{aligned}
$$
起電力 \(V\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= \frac{Blv \Delta t}{\Delta t} \\[2.0ex]
&= vBl
\end{aligned}
$$
以降の電流と力の計算はメイン解法と同じです。
回路の面積が広がると、その分だけ回路を通る磁力線の本数（磁束）が増えます。
自然界には「変化を嫌う」という性質があるため、回路はこの磁束の増加を打ち消そうとして、逆向きの磁場を作るような電流を流します。
このとき発生する電圧の大きさは、「1秒間にどれだけ磁束が増えたか」で決まります。
メイン解法と全く同じ結果が得られました。
電流の大きさ: \(\displaystyle \frac{vBl}{R}\), 向き: \(\text{a} \to \text{b}\)
力の大きさ: \(\displaystyle \frac{vB^2l^2}{R}\), 向き: 左向き（\(\text{a} \to \text{c}\) の向き）
問(2)
思考の道筋とポイント
(ア) 「一定の速さ \(v_0\)」になったとき、物体は加速も減速もしません。つまり、働く力がつりあっています。
(イ)(ウ) エネルギー保存則を考えます。おもりが落下することで失った位置エネルギーが、何に変わったかを追跡します。等速運動なので運動エネルギーは増えていません。
この設問における重要なポイント
- 系の選択: 導体棒とおもりを糸でつないだ「一体の系」として考えると、張力を内力として無視でき、計算が楽になります。
- 力のつりあい: （駆動する力）\(=\)（妨げる力）。ここでは重力と電磁力がつりあいます。
- エネルギー変換: 等速運動中、外力（重力）が供給した仕事率は、すべてジュール熱として消費されます。
具体的な解説と立式
(ア) 電流 \(I_0\) と速さ \(v_0\)
導体棒とおもりを一つの系として考えます。
運動を促進する力は、おもりに働く重力 \(Mg\) です。
運動を妨げる力は、導体棒に働く電磁力 \(F_0 = I_0 Bl\) です。
一定の速さ（等速直線運動）をしているとき、これらの力はつりあっています。
$$
\begin{aligned}
(\text{右向きの駆動力}) &= (\text{左向きの抵抗力}) \\[2.0ex]
Mg &= I_0 Bl \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
また、問(1)より電流と速さの関係は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
I_0 &= \frac{v_0 Bl}{R} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
(イ) \(P\) と \(Q\) の関係
単位時間あたりにおもりが失う重力の位置エネルギー \(P\) は、重力がする仕事率に等しいです。
回路で発生するジュール熱 \(Q\) は、消費電力に等しいです。
導体棒とおもりの運動エネルギーは変化していない（等速）ため、エネルギー保存則より、失われた位置エネルギーはすべてジュール熱に変換されています。
したがって、関係式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
P &= Q
\end{aligned}
$$
根拠: エネルギー保存則より（10字以内）
(ウ) 計算による確認
\(P\) と \(Q\) をそれぞれ定義式から計算し、一致することを確認します。
$$
\begin{aligned}
P &= Mg v_0 \quad (\text{重力} \times \text{速さ}) \\[2.0ex]
Q &= R I_0^2 \quad (\text{抵抗} \times \text{電流の2乗})
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい: \(F_{\text{合力}} = 0\)
- 仕事率（重力の仕事）: \(P = Fv = Mgv\)
- ジュール熱（消費電力）: \(Q = RI^2\)
(ア)
式①より、\(I_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
I_0 &= \frac{Mg}{Bl}
\end{aligned}
$$
式②に求めた \(I_0\) を代入して \(v_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{Mg}{Bl} &= \frac{v_0 Bl}{R} \\[2.0ex]
v_0 &= \frac{Mg}{Bl} \cdot \frac{R}{Bl} \\[2.0ex]
&= \frac{MgR}{B^2 l^2}
\end{aligned}
$$
(ウ)
\(P\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
P &= Mg \cdot \frac{MgR}{B^2 l^2} \\[2.0ex]
&= \frac{M^2 g^2 R}{B^2 l^2}
\end{aligned}
$$
\(Q\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q &= R \cdot \left( \frac{Mg}{Bl} \right)^2 \\[2.0ex]
&= R \cdot \frac{M^2 g^2}{B^2 l^2} \\[2.0ex]
&= \frac{M^2 g^2 R}{B^2 l^2}
\end{aligned}
$$
よって、\(P=Q\) が成り立ちます。
おもりが落ちる勢い（重力）と、磁場がブレーキをかける力（電磁力）がちょうどバランスして、スピードが一定になりました。
このとき、おもりが落下することで生み出したエネルギーは、スピードアップには使われず、すべて電気抵抗での発熱（ジュール熱）に使われています。
計算してみると、確かにおもりが失ったエネルギーと発生した熱エネルギーがピッタリ同じ量になっていることがわかります。
\(I_0 = \frac{Mg}{Bl}\), \(v_0 = \frac{MgR}{B^2 l^2}\) と求まりました。
磁場 \(B\) や長さ \(l\) が大きいほどブレーキが強くなるため、終端速度 \(v_0\) は小さくなります。これは直感と合致します。
また、\(P=Q\) の確認により、力学的な仕事と電気的な発熱が等価であることが示されました。
(ア) \(I_0\): \(\displaystyle \frac{Mg}{Bl}\), \(v_0\): \(\displaystyle \frac{MgR}{B^2 l^2}\)
(イ) 関係: \(P=Q\), 根拠: エネルギー保存則より
(ウ)
\(\displaystyle P = Mg v_0 = \frac{M^2 g^2 R}{B^2 l^2}\)
\(\displaystyle Q = R I_0^2 = \frac{M^2 g^2 R}{B^2 l^2}\)
よって \(P=Q\) となる。
問(3)
思考の道筋とポイント
糸を切ると、おもりの重力による駆動力がなくなります。
導体棒 ab は、慣性で動き続けようとしますが、電磁力によるブレーキを受け続けて減速し、やがて停止します。
この間に失われた運動エネルギーが、すべてジュール熱に変わります。
この設問における重要なポイント
- 系の変化: 糸を切ったので、運動しているのは「質量 \(m\) の導体棒 ab」だけです。おもり（質量 \(M\)）はもう関係ありません。
- エネルギー保存則: （初めの運動エネルギー）\(=\)（発生した全ジュール熱）。
具体的な解説と立式
糸を切った直後、導体棒 ab の速さは \(v_0\) です。
最終的に導体棒は停止するので、速さは \(0\) になります。
この過程で、導体棒の運動エネルギーの変化量はすべてジュール熱 \(Q_{\text{総}}\) として放出されます。
導体棒の質量は \(m\) であることに注意して、エネルギー保存則を立式します。
$$
\begin{aligned}
(\text{発生した全ジュール熱}) &= (\text{失われた運動エネルギー}) \\[2.0ex]
Q_{\text{総}} &= \frac{1}{2} m v_0^2 – 0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動エネルギー: \(K = \frac{1}{2}mv^2\)
- エネルギー保存則
(2)で求めた \(v_0 = \frac{MgR}{B^2 l^2}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{総}} &= \frac{1}{2} m \left( \frac{MgR}{B^2 l^2} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{m M^2 g^2 R^2}{2 B^4 l^4}
\end{aligned}
$$
糸を切ると、導体棒を引っ張る力がなくなります。
導体棒は持っていた勢い（運動エネルギー）だけで進みますが、発電ブレーキ（電磁力）によってエネルギーを熱として奪われ、最終的に止まります。
つまり、最初に持っていた運動エネルギーが、そっくりそのまま熱エネルギーに変わったわけです。
「最初の運動エネルギーはいくら？」と計算すれば、それがそのまま答えになります。
答えに質量 \(m\) が含まれ、\(M\) も含まれています（初速度 \(v_0\) が \(M\) に依存するため）。
次元を確認すると、エネルギーの次元になっています。
質量 \(m\) が大きいほど慣性が大きく、止まりにくいため、発生する熱も多くなります。
思考の道筋とポイント
エネルギー保存則を「公式」として使うのではなく、ニュートンの運動方程式から数学的に導出します。
運動方程式を立て、両辺に速度 \(v\) を掛けて時間積分することで、エネルギー収支の式（エネルギー原理）が得られます。
この設問における重要なポイント
- 運動方程式: \(ma = F\) を正しく立てます。
- エネルギー積分: 運動方程式の両辺に \(v = \frac{dx}{dt}\) を掛けて \(t\) で積分すると、左辺は運動エネルギーの変化、右辺は仕事になります。
具体的な解説と立式
(2)の別解: 終端速度へのアプローチ
導体棒とおもりの系全体の運動方程式を立てます。加速度を \(a = \frac{dv}{dt}\) とします。
運動方向（右向きおよび下向き）を正とします。
$$
\begin{aligned}
(M+m) \frac{dv}{dt} &= Mg – F_{\text{電磁}} \\[2.0ex]
(M+m) \frac{dv}{dt} &= Mg – \frac{v B^2 l^2}{R}
\end{aligned}
$$
終端速度 \(v_0\) に達したとき、加速度は \(0\) になります（\(\frac{dv}{dt} = 0\)）。
$$
\begin{aligned}
0 &= Mg – \frac{v_0 B^2 l^2}{R}
\end{aligned}
$$
(3)の別解: エネルギー保存則の導出
糸を切った後、導体棒（質量 \(m\)）のみの運動方程式を立てます。外力は電磁力（負の向き）のみです。
$$
\begin{aligned}
m \frac{dv}{dt} &= – \frac{v B^2 l^2}{R}
\end{aligned}
$$
この式の両辺に、瞬間の速度 \(v\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
m v \frac{dv}{dt} &= – \frac{v^2 B^2 l^2}{R}
\end{aligned}
$$
ここで、右辺の \(\frac{v^2 B^2 l^2}{R}\) は、\(R \left( \frac{vBl}{R} \right)^2 = R I^2\) なので、単位時間あたりのジュール熱（消費電力） \(P_{\text{ジュール}}\) に等しいことに気付きます。
$$
\begin{aligned}
m v \frac{dv}{dt} &= – P_{\text{ジュール}}
\end{aligned}
$$
この式を、糸を切った時刻 \(t=0\)（速度 \(v_0\)）から、停止する時刻 \(t=\infty\)（速度 \(0\)）まで時間積分します。
左辺の積分変数を \(t\) から \(v\) に変換します（\(v \frac{dv}{dt} dt = v dv\)）。
$$
\begin{aligned}
\int_{v_0}^{0} m v \, dv &= – \int_{0}^{\infty} P_{\text{ジュール}} \, dt
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 積分の定義: \(\int v dv = \frac{1}{2}v^2\)
(2)の別解
終端速度の式から \(v_0\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_0 B^2 l^2}{R} &= Mg \\[2.0ex]
v_0 &= \frac{MgR}{B^2 l^2}
\end{aligned}
$$
(3)の別解
エネルギー積分の左辺を実行します。
$$
\begin{aligned}
\left[ \frac{1}{2} m v^2 \right]_{v_0}^{0} &= – Q_{\text{総}}
\end{aligned}
$$
ここで、右辺の \(\int P_{\text{ジュール}} \, dt\) は発生したジュール熱の総量 \(Q_{\text{総}}\) です。
$$
\begin{aligned}
0 – \frac{1}{2} m v_0^2 &= – Q_{\text{総}} \\[2.0ex]
Q_{\text{総}} &= \frac{1}{2} m v_0^2
\end{aligned}
$$
これに \(v_0\) を代入すれば、メイン解法と同じ結果が得られます。
運動方程式は「力と加速度の関係」を表す式ですが、これを積分（足し合わせる）すると「エネルギーの関係」を表す式に変身します。
具体的には、「運動エネルギーの変化」が「仕事（ここでは熱として失われるエネルギー）」に等しいという式が自然に出てきます。
これを使えば、エネルギー保存則を暗記していなくても、運動方程式から出発して答えにたどり着けます。
運動方程式から出発して、数学的な操作（積分）を行うだけで、エネルギー保存則の式 \(Q_{\text{総}} = \frac{1}{2} m v_0^2\) が自然に導かれました。
これにより、「なぜ運動エネルギーが熱に変わるのか」という問いに対し、「運動方程式がそう語っているから」と数式で答えることができます。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 電磁誘導によるエネルギー変換のメカニズム
- 核心: 導体棒が磁場中を動くと、運動エネルギーの一部が電磁誘導によって電気エネルギーに変換され、最終的に抵抗でジュール熱として散逸します。このプロセス全体でエネルギー保存則が成立します。
- 理解のポイント:
- ブレーキ作用: 誘導電流が受ける電磁力は、常に運動を妨げる向き（レンツの法則）に働きます。これが「エネルギーを奪う」物理的な実体です。
- 仕事と熱の等価性: 外力（重力など）がした仕事は、等速運動においてはすべてジュール熱に変わります。\(P_{\text{入力}} = P_{\text{消費}}\) の関係を常に意識しましょう。
- 終端速度と力のつりあい
- 核心: 一定の駆動力（重力）と速度に比例する抵抗力（電磁力）が働く場合、物体はやがて一定の速度（終端速度）に達します。
- 理解のポイント:
- 過渡状態と定常状態: 動き始めは加速しますが、速度が増すと抵抗力も増し、最終的に力がつりあいます。この「つりあいの式」を立てることが、終端速度を求める唯一の手順です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 斜面上の導体棒: 重力の成分が \(mg \sin \theta\) になるだけで、本質は同じです。力のつりあいの式を立てる際に、斜面方向の成分分解を忘れないようにしましょう。
- コンデンサーを含む回路: 抵抗の代わりにコンデンサーがつながっている場合、電流は流れ続けず、充電が完了すると止まります。この場合、エネルギーは熱ではなく静電エネルギーとして蓄えられます。
- 外力が変化する場合: 一定の力ではなく、バネなどで引っ張る場合は単振動になります。運動方程式を立てて、単振動の式 \(ma = -Kx\) と比較するアプローチが必要です。
- 初見の問題での着眼点:
- 回路の特定: どこが閉回路になっているかを確認し、抵抗 \(R\) の位置を見つけます。
- 力の矢印: 導体棒に働くすべての力（重力、張力、電磁力、摩擦力など）を漏れなく図示します。特に電磁力の向きはフレミングの法則で慎重に決定します。
- 状態の区分: 「動き始め」「十分時間が経った後（終端速度）」「外力を取り除いた後」など、どのフェーズについて問われているかを明確にします。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 電磁力の向きの勘違い:
- 誤解: 電流の向きや磁場の向きを逆にしてしまい、電磁力を「加速する向き」にしてしまう。
- 対策: 「自然は変化を嫌う」というレンツの法則を思い出してください。外から何もしなければ、勝手に加速してエネルギーが増えることは絶対にありません。必ずブレーキがかかる向きになります。
- エネルギー保存則の適用ミス:
- 誤解: 終端速度に達するまでの「加速区間」で、重力の仕事がすべてジュール熱になると勘違いする。
- 対策: 加速中は「運動エネルギーの増加」もあります。\((\text{重力の仕事}) = (\text{運動エネルギー増加}) + (\text{ジュール熱})\) となることに注意しましょう。等速になって初めて \((\text{重力の仕事}) = (\text{ジュール熱})\) になります。
- 系の取り方の混乱:
- 誤解: 導体棒とおもりを別々に考えてしまい、張力 \(T\) の計算で詰まる。
- 対策: 2つの物体が一緒に動くなら、まとめて「1つの物体」とみなして運動方程式（またはつりあいの式）を立てると、内力である張力を消去できて計算が楽になります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(2)での公式選択（力のつりあい vs 運動方程式）:
- 選定理由: 「一定の速さ」というキーワードがあるため、加速度 \(a=0\) の状態、つまり力のつりあいが最も直接的です。運動方程式 \(ma=F\) を立てても \(a=0\) を代入するだけなので同じことですが、つりあいの視点の方が直感的です。
- 適用根拠: 慣性の法則（第1法則）より、静止または等速直線運動する物体に働く合力はゼロです。
- 問(3)での公式選択（エネルギー保存則 vs 運動方程式の積分）:
- 選定理由: 時間 \(t\) や距離 \(x\) を問われておらず、「最終的な熱量」というエネルギーの総量を問われているため、エネルギー保存則が最短ルートです。
- 適用根拠: 非保存力（ここでは電磁力）が仕事をする場合、その仕事の分だけ力学的エネルギーが変化します。電磁力の仕事はすべてジュール熱として回路外に放出されるため、\((\text{減少した運動エネルギー}) = (\text{発生した熱})\) が成立します。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
- 答えが出たら単位を確認します。例えば終端速度 \(v_0 = \frac{MgR}{B^2 l^2}\) なら、単位は \(\frac{\text{N} \cdot \Omega}{\text{T}^2 \cdot \text{m}^2}\) です。\(\text{N} = \text{A} \cdot \text{m} \cdot \text{T}\) （\(F=IBl\)より）や \(\Omega = \text{V}/\text{A}\) を代入して \(\text{m}/\text{s}\) になるか確認します。
- 極限的なケースでの検算:
- もし \(B=0\) （磁場なし）なら？ \(\rightarrow\) 電磁力が働かないので、重力で無限に加速し続けます。式では分母が \(0\) になり \(v_0 \to \infty\) となるので整合します。
- もし \(R \to \infty\) （回路切断）なら？ \(\rightarrow\) 電流が流れないのでブレーキがかからず、やはり無限に加速します。式でも \(v_0 \to \infty\) となり整合します。
- 係数の確認:
- エネルギーの計算で \(\frac{1}{2}\) を忘れていないか、質量の \(M\) と \(m\) を取り違えていないか（特に(3)では動いているのは \(m\) だけ！）を最終確認します。
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問題128 (筑波大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(3)の別解: 微積分を用いた体系的解法（運動方程式の積分）
- 模範解答は力のつりあいから終端速度を求めていますが、別解では運動方程式を立て、それを時間積分することで速度の時間変化やエネルギー収支を数学的に導出します。
- 設問(5)の別解: エネルギー保存則（仕事率の収支）を用いた解法
- 模範解答は定性的な記述にとどまっていますが、別解では電池の供給電力 \(P_{\text{電池}}\)、抵抗での消費電力 \(P_{\text{抵抗}}\)、摩擦による発熱 \(P_{\text{摩擦}}\) をそれぞれ数式で表し、\(P_{\text{電池}} = P_{\text{抵抗}} + P_{\text{摩擦}}\) が厳密に成立することを計算で証明します。
- 設問(3)の別解: 微積分を用いた体系的解法（運動方程式の積分）
- 上記の別解が有益である理由
- 微積分の解法: 運動方程式から出発することで、過渡現象（速度が変化する途中経過）も含めた物理現象の全体像を理解できます。
- エネルギー収支の計算: 言葉だけでなく数式でエネルギー保存則を確認することで、電磁気現象と力学現象のつながりを深く理解できます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「電池を含む回路における導体棒の運動とエネルギー収支」です。
電池によって電流が流され、電磁力で加速される導体棒が、摩擦力や誘導起電力（逆起電力）の影響を受けて終端速度に達する過程を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 電磁力（アンペールの力）: 電流 \(I\) が流れる導体棒は、磁場から \(F = IBl\) の力を受けます。
- 誘導起電力: 導体棒が動くと、レンツの法則に従い、電流を妨げる向き（電池と逆向き）に起電力 \(V = vBl\) が生じます。
- 摩擦力: 動き出すまでは静止摩擦力、動いている間は動摩擦力が働きます。
- エネルギー保存則: 電池が供給したエネルギーは、ジュール熱と摩擦熱（仕事）に分配されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)(2)では、静止状態における力のつりあい（電磁力 vs 最大静止摩擦力）を考えます。
- (3)では、一定速度（終端速度）における力のつりあい（電磁力 vs 動摩擦力）と、回路方程式（キルヒホッフの法則）を連立させて解きます。
- (4)(5)では、エネルギーの観点から、摩擦熱や電池のエネルギー消費について考察します。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
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なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
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