「良問の風」攻略ガイド（111〜115問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題111 (防衛大＋センター試験)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「極板が移動するコンデンサー回路の電位と電荷」です。導体板の位置が変わることで静電容量が変化し、それに伴い電位や電荷が再配分される様子を追跡します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
初期状態（図1）における電荷分布を考えます。
導体板 \(P_M\) は中央にあり、左右の導体板 \(P_1, P_2\) との間隔は共に \(a\) です。
\(P_1, P_2\) は共に接地（電位 \(0\)）されており、\(P_M\) の電位は \(V_0\) です。この対称性が鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 向かい合う電荷の法則: コンデンサーの極板間では、向かい合う面に \(+Q\) と \(-Q\) が対になって現れます。
• 対称性: 左右の構造が全く同じであるため、電気的な状態も左右対称になります。

具体的な解説と立式
問題文より、\(P_1\) の電荷は \(-Q_0\) です。
静電誘導の法則により、\(P_1\) と向かい合っている \(P_M\) の左面には、符号が逆で大きさが等しい電荷 \(+Q_0\) が現れています。

図1の対称性に着目します。
\(P_M\) と \(P_2\) の間も、間隔 \(a\)、電位差 \(V_0 – 0 = V_0\) であり、\(P_M\) と \(P_1\) の間と全く同じ条件です。
したがって、\(P_M\) の右面にも、左面と同じ電荷 \(+Q_0\) が現れているはずです。

\(P_M\) 全体の電荷 \(Q_M\) は、左面の電荷と右面の電荷の和となります。
$$
\begin{aligned}
Q_M &= (\text{左面の電荷}) + (\text{右面の電荷})
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
Q_M &= (+Q_0) + (+Q_0) \\[2.0ex]
&= +2Q_0
\end{aligned}
$$

真ん中の板 \(P_M\) は、左の板 \(P_1\) と右の板 \(P_2\) の両方に対してコンデンサーを作っています。
左側のコンデンサーに \(Q_0\) の電気が溜まっているなら、全く同じ条件（距離も電圧も同じ）の右側のコンデンサーにも同じだけ電気が溜まっているはずです。
だから、真ん中の板には、左用と右用の合計で2倍の電気が溜まっています。

\(P_M\) 全体の電荷は \(+2Q_0\) です。
これは、同じコンデンサーが2つ並列につながっている状態と解釈でき、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
スイッチSを切ると、導体板 \(P_M\) は電源から切り離され、どこにも繋がっていない「孤立状態」になります。
その後、\(P_M\) を動かして極板間隔を変えます。
孤立しているため、(1)で求めた電荷 \(2Q_0\) は逃げ場がなく、\(P_M\) 上に保存されます。この「電気量保存則」が最大の鍵です。

この設問における重要なポイント

• 電気量保存則: スイッチを切った直後から、\(P_M\) 全体の電荷量は \(2Q_0\) で一定に保たれます。
• 容量の変化: 極板間隔が変わると、電気容量 \(C = \varepsilon \frac{S}{d}\) も変化します。
• 電位の共有: \(P_M\) は一つの導体なので、その電位 \(V\) は全体で一定です。

具体的な解説と立式
移動後の \(P_M\) の電位を \(V\) とします。
また、\(P_M\) の左面（\(P_1\) 側）の電荷を \(Q_1\)、右面（\(P_2\) 側）の電荷を \(Q_2\) とします。
\(P_M\) は右へ \(x\) 移動したので、各極板間隔は以下のようになります。

• \(P_1 – P_M\) 間（左側）: \(d_1 = a + x\)
• \(P_M – P_2\) 間（右側）: \(d_2 = a – x\)

初期状態（間隔 \(a\)）での片側の容量を \(C\) とすると、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
Q_0 &= CV_0 \quad \cdots ① \\[2.0ex]
C &= \varepsilon \frac{S}{a} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
移動後の左側の容量 \(C_1\) と右側の容量 \(C_2\) は以下のように表せます。
$$
\begin{aligned}
C_1 &= \varepsilon \frac{S}{a+x} \quad \cdots ③ \\[2.0ex]
C_2 &= \varepsilon \frac{S}{a-x} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
それぞれの面にある電荷は \(Q=CV\) より、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= C_1 V \quad \cdots ⑤ \\[2.0ex]
Q_2 &= C_2 V \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
ここで、\(P_M\) に関する電気量保存則（電荷の総和は不変）を立式します。
$$
\begin{aligned}
(\text{移動後の全電荷}) &= (\text{移動前の全電荷}) \\[2.0ex]
Q_1 + Q_2 &= 2Q_0 \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$

まず、式②、③、④より、\(C_1, C_2\) を初期容量 \(C\) を用いて表します。
式②より \(\varepsilon S = Ca\) なので、これを式③、④に代入します。
$$
\begin{aligned}
C_1 &= \frac{Ca}{a+x} \\[2.0ex]
C_2 &= \frac{Ca}{a-x}
\end{aligned}
$$
次に、式⑤、⑥を式⑦に代入します。
$$
\begin{aligned}
C_1 V + C_2 V &= 2Q_0
\end{aligned}
$$
これに先ほどの \(C_1, C_2\) の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
\left( \frac{Ca}{a+x} + \frac{Ca}{a-x} \right) V &= 2Q_0
\end{aligned}
$$
左辺の括弧内を通分して整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{Ca(a-x) + Ca(a+x)}{(a+x)(a-x)} V &= 2Q_0 \\[2.0ex]
\frac{Ca^2 – Cax + Ca^2 + Cax}{a^2 – x^2} V &= 2Q_0 \\[2.0ex]
\frac{2Ca^2}{a^2 – x^2} V &= 2Q_0
\end{aligned}
$$
ここで、式① \(Q_0 = CV_0\) を右辺に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{2Ca^2}{a^2 – x^2} V &= 2CV_0
\end{aligned}
$$
両辺を \(2C\) で割り、\(V\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{a^2}{a^2 – x^2} V &= V_0 \\[2.0ex]
V &= \frac{a^2 – x^2}{a^2} V_0
\end{aligned}
$$

スイッチを切ったので、真ん中の板にある電気の総量は変わりません。しかし、板を動かしたことで、左右のコンデンサーの「電気の溜めやすさ（容量）」が変わりました。
左側は広くなったので溜めにくい状態になり、右側は狭くなったので溜めやすい状態になりました。
電気は溜めやすい方へ移動しようとしますが、全体としての電圧（電位）は左右で同じになるようにバランスを取ります。
この「容量の変化」と「電気の総量キープ」という2つのルールを組み合わせることで、新しい電圧が決まります。

答えは \(V = \frac{a^2 – x^2}{a^2} V_0\) です。
\(x=0\) のとき、\(V=V_0\) となり初期状態と一致します。
\(x\) が増える（板が動く）と、分子 \(a^2-x^2\) が小さくなるため、電位 \(V\) は下がります。これは、間隔が狭くなった右側の容量増加の影響が大きく、全体の合成容量が増加したため（\(Q\)一定で\(C\)増なら\(V\)減）、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(P_1\) の電荷を求めます。
\(P_1\) は接地されていますが、対向する \(P_M\) の左面に電荷があるため、静電誘導によって電荷が引き寄せられています。
コンデンサーの原理により、\(P_1\) の電荷は、\(P_M\) の左面の電荷と「異符号で同じ大きさ」になります。

この設問における重要なポイント

• 誘導電荷: \(P_1\) の電荷 \(Q_{P1}\) と、\(P_M\) 左面の電荷 \(Q_1\) の関係は \(Q_{P1} = -Q_1\) です。
• 部分電荷の計算: \(Q_1\) は、左側の容量 \(C_1\) と電位差 \(V\) から求まります。

具体的な解説と立式
\(P_M\) の左面の電荷 \(Q_1\) は、左側の容量 \(C_1\) と、\(P_M\) の電位 \(V\)（\(P_1\) は \(0\) なので電位差も \(V\)）を用いて次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= C_1 V \quad \cdots ⑮
\end{aligned}
$$
\(P_1\) の電荷 \(Q_{P1}\) はこれと対になるため、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
Q_{P1} &= -Q_1 \quad \cdots ⑯
\end{aligned}
$$

式⑮を式⑯に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{P1} &= -C_1 V
\end{aligned}
$$
これに、(2)の結果 \(V = \frac{a^2 – x^2}{a^2} V_0\) と、\(C_1 = \varepsilon \frac{S}{a+x}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_{P1} &= – \left( \varepsilon \frac{S}{a+x} \right) \cdot \left( \frac{a^2 – x^2}{a^2} V_0 \right)
\end{aligned}
$$
ここで、\(Q_0 = C_0 V_0 = \varepsilon \frac{S}{a} V_0\) より、\(\varepsilon S V_0 = a Q_0\) の関係を使います。
$$
\begin{aligned}
Q_{P1} &= – \frac{\varepsilon S V_0}{a^2 (a+x)} (a^2 – x^2) \\[2.0ex]
&= – \frac{a Q_0}{a^2 (a+x)} (a+x)(a-x) \\[2.0ex]
&= – \frac{Q_0}{a} (a-x) \\[2.0ex]
&= – \frac{a-x}{a} Q_0
\end{aligned}
$$

\(P_1\) に溜まる電気は、向かい合っている \(P_M\) の左面にある電気とペアになっています。
\(P_M\) の左面にある電気の量は、電圧 \(V\) と容量 \(C_1\) で決まります。(2)で求めた新しい電圧を使って計算すると、\(P_M\) 左面の電気が求まり、その「マイナス版」が \(P_1\) の電気になります。

答えは \(-\frac{a-x}{a} Q_0\) です。
\(x=0\) のとき \(-Q_0\) となり、初期状態と一致します。
\(x\) が増える（\(P_M\) が遠ざかる）と、係数 \(\frac{a-x}{a}\) は小さくなるため、電荷の絶対値は減少します。距離が離れて容量が減り、さらに電圧も下がったため、蓄えられる電荷が減るのは物理的に妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電気量保存則の適用と孤立系の認識
  • 核心: スイッチを切った瞬間、導体板 \(P_M\) は電源から切り離され、電荷の逃げ場がない「孤立導体」となります。このため、\(P_M\) 全体の電荷量は、極板が移動しても不変（\(2Q_0\) のまま）であるという保存則が成立します。
  • 理解のポイント:
    • 孤立の定義: どこにも導線がつながっていない状態を指します。
    • 電荷の再配分: 全体の電荷量は変わりませんが、極板内の電荷分布（左面と右面の比率）は、左右の容量の変化に応じて変わります。この「総量保存」と「再配分」を区別して理解することが重要です。
• 静電誘導とコンデンサーの基本原理
  • 核心: 導体板 \(P_M\) は、左側の \(P_1\) と右側の \(P_2\) の両方に対してコンデンサーを形成しています。特に、向かい合う極板間には必ず「大きさ等しく符号が逆」の電荷が誘導されるという原理が、全ての計算の基礎となります。
  • 理解のポイント:
    • 並列接続の視点: \(P_M\) を共通の端子とし、\(P_1, P_2\) が共に接地されている構造は、電気回路的には「2つのコンデンサーの並列接続」と等価です。この視点を持つことで、複雑な構造も単純な回路図に置き換えて考えることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 3枚以上の極板が並ぶ問題: 今回のように3枚の極板がある場合、真ん中の極板は「両面」でコンデンサーとして機能します。4枚、5枚と増えても、「向かい合う面同士がコンデンサーを作る」という基本単位に分解すれば、直列・並列の組み合わせとして処理できます。
  • 極板間に誘電体を挿入する問題: 極板間隔 \(d\) が変わる代わりに、誘電率 \(\varepsilon\) が変わるケースです。容量 \(C = \varepsilon S/d\) の式において、どの変数が変化したかを見極めるだけで、全く同じ解法（保存則＋容量計算）が通用します。
  • スイッチの開閉と操作の順序: 「充電してからスイッチを切る（\(Q\)一定）」のか、「スイッチをつないだまま操作する（\(V\)一定）」のかで、保存される物理量が異なります。問題文の時系列を正確に追うことが最優先です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 孤立部分を見つける: 回路図の中で、スイッチが切れて浮いている島（孤立導体）を探し、そこを赤ペンなどで囲みます。「ここの電荷の総和は変わらない」と宣言することからスタートします。
  2. 容量の変化を式にする: 「距離が \(x\) 増えた」「面積が半分になった」などの幾何学的な変化を、\(C = \varepsilon S/d\) の式に反映させ、\(C_{\text{後}}\) を \(C_{\text{前}}\) や \(x\) を用いて表します。
  3. 解法の選択:
     • 「電位」や「電荷」を問われたら \(\rightarrow\) 電気量保存則と \(Q=CV\) の連立（基本）。
     • 「回路全体の様子」が見えたら \(\rightarrow\) 合成容量を用いた解法（最速）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電荷の符号と誘導電荷の取り違え:
  • 誤解: \(P_1\) の電荷を求める際、\(P_M\) の電荷 \(Q_1\) をそのまま答えてしまう（符号を反転し忘れる）。あるいは、\(P_1\) が接地されているから電荷は \(0\) だと思い込む。
  • 対策: 接地（アース）は「電位が \(0\)」であることを意味するだけで、「電荷が \(0\)」という意味ではありません。必ず「向かい合う極板の電荷は逆符号」という原則に従って、\(Q_{P1} = -Q_1\) と立式する癖をつけましょう。
• 容量の式の分母のミス:
  • 誤解: 移動後の距離を \(a+x\) とすべきところを、うっかり \(x\) としてしまったり、\(a\) のまま計算してしまう。
  • 対策: 図に必ず「極板間隔」を書き込みましょう。\(P_M\) が右に \(x\) 動いたなら、左は広がるので \(a+x\)、右は狭まるので \(a-x\) と、図形的に確認してから式に代入します。
• 合成容量の計算ミス:
  • 誤解: 並列接続なのに、抵抗の並列公式（逆数の和）と混同して計算してしまう。
  • 対策: コンデンサーの合成容量は、抵抗とは逆です。「並列は足し算（面積が増えるイメージ）」「直列は逆数の和（距離が増えるイメージ）」と、物理的なイメージとセットで記憶しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(2)での公式選択（電気量保存則 vs 合成容量）:
  • 選定理由: 模範解答のアプローチ（保存則）は、個々のコンデンサーの電荷 \(Q_1, Q_2\) を未知数として設定し、物理法則をそのまま式にするため、汎用性が高く、どんな複雑な回路でも通用する「王道」です。一方、別解1のアプローチ（合成容量）は、回路構造が「並列」であると見抜ければ、未知数を \(V\) だけに減らせるため、計算量が劇的に減ります。
  • 適用根拠: 保存則は「孤立系」であれば必ず成立するため、最も信頼性が高い手法です。合成容量は「端子間の電位差が共通」という並列の定義を満たしていることが図から明らかであるため、適用可能です。
• 問(2)別解2での公式選択（ガウスの法則）:
  • 選定理由: コンデンサーの公式 \(Q=CV\) を忘れてしまった場合や、極板間隔が一様でない場合など、公式が直接使えない状況でも、原理（電場と電位の定義）から答えを導き出せる「万能の鍵」です。
  • 適用根拠: 平行平板間では電気力線が平行等間隔になり、電場が一様とみなせるため、\(V = Ed\) の単純な積の形が使えます。これはガウスの法則の最も基本的な適用例であり、物理的にも数学的にも厳密に正しいアプローチです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら、単位（次元）を確認しましょう。例えば電位 \(V\) の答えが \(\frac{a^2 – x^2}{a^2} V_0\) なら、係数部分は \([\text{L}]^2 / [\text{L}]^2\) で無次元となり、全体として電圧の次元を持ちます。もし \(a\) が一つ余っていたら間違いです。
  • 問(3)の電荷 \(Q\) も、係数が無次元で \(Q_0\) が残る形になっているか確認します。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(x=0\) （動かさない）だったら？ 答えは \(V=V_0\) に戻るはずです。今回の解 \(V = \frac{a^2 – 0}{a^2} V_0 = V_0\) はこれを満たします。
  • もし \(x=a\) （右の極板にくっつく）だったら？ 右側の容量は無限大になり、電荷はすべて右側に集まるため、電位は \(0\) になるはずです。式でも \(V = \frac{a^2 – a^2}{a^2} V_0 = 0\) となり、物理的直感と一致します。
• 比の計算の活用:
  • \(\varepsilon S\) などの定数を毎回書くと式が煩雑になり、書き写しミスの原因になります。\(C_0 = \varepsilon S/a\) と定義し、\(C_1 = C_0 \frac{a}{a+x}\) のように、基準値 \(C_0\) に対する倍率（比）で計算を進めると、式がスッキリしてミスが減ります。

問題112 (九州産大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「オームの法則のミクロな導出（ドルーデモデル）」です。導体中の自由電子が電場から力を受け、原子核などとの衝突によって抵抗力を受けながら移動する様子をモデル化し、巨視的な法則であるオームの法則 \(V=RI\) がどのように導かれるかを解き明かします。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導体内部には一様な電場が生じています。
導体の長さ \(l\) と両端の電圧 \(V\) から、電場の強さ \(E\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 一様電場の公式: 電場が一定の場合、距離と電位差の関係は単純な掛け算になります。

具体的な解説と立式
導体内部の電場の強さを \(E\) とします。
電場が一様であるため、導体の長さ \(l\) と両端の電圧 \(V\) の間には以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
V &= El
\end{aligned}
$$

上式を \(E\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{V}{l}
\end{aligned}
$$

電圧 \(V\) というのは、電気的な「高さの差」のようなものです。長さ \(l\) の坂道で高さの差が \(V\) あるとき、その坂の傾き具合（＝電場の強さ）は、「高さ \(\div\) 長さ」で計算できます。

電場の強さは \(V/l\) です。単位を確認すると \([\text{V}]/[\text{m}] = [\text{V}/\text{m}]\) となり、問題文の指定と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
電場 \(E\) の中にある電荷 \(q\) が受ける静電気力 \(F\) を求めます。
電子の電荷の大きさは \(e\) です。

この設問における重要なポイント

• 静電気力の公式: 力の大きさは「電荷の大きさ \(\times\) 電場の強さ」です。

具体的な解説と立式
電子の電荷の大きさ（電気量の絶対値）は \(e\) です。
電場の強さが \(E\) の場所で、電子が受ける静電気力の大きさ \(F\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
F &= eE
\end{aligned}
$$

(1)の結果 \(E = V/l\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= e \left( \frac{V}{l} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{eV}{l}
\end{aligned}
$$

電場というのは「電気に力を及ぼす空間」のことです。その強さが \(E\) で、そこに電気量 \(e\) の粒を置くと、\(e \times E\) の力で引っ張られます。

力の大きさは \(eV/l\) です。単位は \([\text{C}] \cdot [\text{V}/\text{m}] = [\text{C}\cdot\text{V}]/[\text{m}] = [\text{J}]/[\text{m}] = [\text{N}]\) となり、力の単位として正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
電子は静電気力によって加速しようとしますが、同時に速さに比例する抵抗力 \(kv\) を受けます。
「一定の速さ \(v\) で移動する」という記述から、力がつりあっている状態（加速度が \(0\)）であると判断します。

この設問における重要なポイント

• 力のつりあい: 一定の速さで動くとき、推進力と抵抗力は大きさ等しく逆向きです。
• 運動方向の特定: 図より電子は右向きに移動しています。したがって、静電気力は右向き（推進力）、抵抗力は左向きです。

具体的な解説と立式
電子は一定の速さ \(v\) で移動しているため、電子に働く力はつりあっています。
運動方向（右向き）の静電気力 \(F\) と、運動と逆方向（左向き）の抵抗力 \(kv\) が等しいので、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
(\text{推進力}) &= (\text{抵抗力}) \\[2.0ex]
F &= kv
\end{aligned}
$$

(2)の結果 \(F = eV/l\) を代入し、\(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{eV}{l} &= kv \\[2.0ex]
v &= \frac{eV}{kl}
\end{aligned}
$$

電子は電気の力で加速されますが、動くとすぐに邪魔（抵抗力）が入ります。速くなればなるほど邪魔する力も強くなるため、あるスピードで「加速する力」と「邪魔する力」がちょうど同じになり、それ以上速くならなくなります。これを終端速度といいます。雨粒が空から落ちてくるときに一定の速さになるのと同じ理屈です。

速さは \(eV/(kl)\) です。電圧 \(V\) が大きいほど速く、抵抗係数 \(k\) や長さ \(l\) が大きいほど遅くなるという結果は、直感的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
電流 \(I\) の定義に立ち返ります。電流とは「単位時間（1秒間）に断面を通過する電気量の総和」のことです。
速さ \(v\) で動く電子が、時間 \(\Delta t\) の間にどれだけの距離を進み、その体積の中に何個の電子が含まれているかを考えます。

この設問における重要なポイント

• 電流の微視的定義: \(I = enSv\) の導出プロセスは物理の基本中の基本です。丸暗記ではなく、図を描いて導けるようにしましょう。

具体的な解説と立式
時間 \(t\) 秒間に、導体の断面 \(S\) を通過する電子の集団を考えます。
電子の速さは \(v\) なので、\(t\) 秒間に進む距離は \(vt\) です。
したがって、断面 \(S\) を通過した電子は、底面積 \(S\)、高さ \(vt\) の円柱の中に元々いた電子たちです。
この円柱の体積 \(V_{\text{柱}}\) は、
$$
\begin{aligned}
V_{\text{柱}} &= S \times vt
\end{aligned}
$$
単位体積あたりの電子数（数密度）は \(n\) なので、この中に含まれる電子の総数 \(N\) は、
$$
\begin{aligned}
N &= n \times V_{\text{柱}} \\[2.0ex]
&= nSvt
\end{aligned}
$$
電子1個の電気量の大きさは \(e\) なので、通過した総電気量 \(Q\) は、
$$
\begin{aligned}
Q &= e \times N \\[2.0ex]
&= enSvt
\end{aligned}
$$
電流 \(I\) は単位時間あたりの通過電気量なので、\(Q\) を時間 \(t\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{Q}{t} \\[2.0ex]
&= enSv
\end{aligned}
$$

上記の立式過程そのものが計算過程となります。
$$
\begin{aligned}
I &= enSv
\end{aligned}
$$

電流の正体は、電子の流れです。
「電子の粒の濃さ（\(n\)）」「通り道の広さ（\(S\)）」「電子の速さ（\(v\)）」「粒1個の電気量（\(e\)）」の4つを掛け合わせると、1秒間にドバドバと流れてくる電気の総量が計算できます。これが電流 \(I\) です。

\(I = enSv\) という有名な公式が導かれました。単位を確認すると、
\([\text{C}] \cdot [1/\text{m}^3] \cdot [\text{m}^2] \cdot [\text{m}/\text{s}] = [\text{C}/\text{s}] = [\text{A}]\)
となり、正しいです。

問(5)

思考の道筋とポイント
(4)で求めた電流 \(I\) の式に、(3)で求めた速さ \(v\) を代入し、電圧 \(V\) と電流 \(I\) の関係式を作ります。
これをオームの法則 \(V=RI\) の形に変形し、係数部分を比較して抵抗 \(R\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• オームの法則の導出: \(I \propto V\) という関係が、電子の運動モデルから自然に導かれることを確認します。

具体的な解説と立式
(4)の式 \(I = enSv\) に、(3)の結果 \(v = \frac{eV}{kl}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
I &= enS \left( \frac{eV}{kl} \right)
\end{aligned}
$$
これを整理して、\(V = (\text{定数}) \times I\) の形（オームの法則）に変形します。

まず \(I\) の式を整理します。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{e^2 n S}{kl} V
\end{aligned}
$$
これを \(V\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
V &= \frac{kl}{e^2 n S} I
\end{aligned}
$$
オームの法則 \(V = RI\) と係数を比較すると、抵抗 \(R\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{kl}{e^2 n S}
\end{aligned}
$$

ミクロな世界で電子の動きを計算して求めた「電流と電圧の関係式」を、マクロな世界の法則である「オームの法則」と見比べました。
すると、普段何気なく \(R\) と呼んでいる「電気抵抗」の正体が、実は「電子の密度」や「衝突のしやすさ（\(k\)）」などのミクロな要素の組み合わせであることが分かります。

抵抗 \(R\) は、長さ \(l\) に比例し、断面積 \(S\) に反比例し、電子密度 \(n\) に反比例するという結果になりました。これは導体の抵抗の性質としてよく知られた事実と一致します。

問(6)

思考の道筋とポイント
(5)で求めた抵抗 \(R\) の式を、抵抗率 \(\rho\) を用いた公式 \(R = \rho \frac{l}{S}\) と比較します。

この設問における重要なポイント

• 抵抗率の定義: 抵抗値は形状（\(l, S\)）と材質（\(\rho\)）で決まります。ここでは材質由来の部分を抜き出します。

具体的な解説と立式
導体の抵抗 \(R\) は、抵抗率 \(\rho\) を用いて以下のように表されます。
$$
\begin{aligned}
R &= \rho \frac{l}{S}
\end{aligned}
$$
これと(5)の結果 \(R = \frac{kl}{e^2 n S}\) を比較します。
$$
\begin{aligned}
\rho \frac{l}{S} &= \frac{kl}{e^2 n S}
\end{aligned}
$$

両辺から \(l\) と \(S\) を約分して \(\rho\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\rho \frac{l}{S} &= \left( \frac{k}{e^2 n} \right) \frac{l}{S} \\[2.0ex]
\rho &= \frac{k}{e^2 n}
\end{aligned}
$$

抵抗 \(R\) の式から、形（長さや太さ）に関係する部分を取り除いた残りが「抵抗率 \(\rho\)」です。
これは素材そのものの電気の通しにくさを表します。式を見ると、電子の数 \(n\) が多いほど抵抗率は小さく（電気を通しやすく）、抵抗係数 \(k\) が大きいほど抵抗率は大きく（電気を通しにくく）なることが分かります。

抵抗率 \(\rho = \frac{k}{e^2 n}\) が求まりました。これは導体の材質（電子密度や原子配列による抵抗係数）のみで決まる定数であり、物理的に妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• オームの法則のミクロな起源（ドルーデモデル）
  • 核心: 巨視的な法則であるオームの法則 \(V=RI\) は、実は「電子が電場から力を受けて加速し、原子核との衝突で減速する」というミクロな力学過程の平均的な結果として導かれます。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 電子は加速し続けるのではなく、抵抗力とつりあって一定の「終端速度（ドリフト速度）」で動くというモデルが重要です。
    • 電流の定義: \(I=enSv\) は単なる公式ではなく、「電子の数密度 \(\times\) 速度 \(\times\) 断面積 \(\times\) 電荷」という物理的な意味の積であることを理解しましょう。
• エネルギー変換のメカニズム
  • 核心: 電池が供給する電気エネルギーは、導体内部で電子の運動エネルギーになり、それが抵抗力（衝突）によって熱エネルギー（ジュール熱）に変換されます。
  • 理解のポイント:
    • 仕事率の等価性: 「電場がする仕事率 \(Fv\)」と「抵抗力が奪う仕事率 \(kv^2\)」が等しい状態が、定常電流（一定の速さ）の状態です。これが \(IV = RI^2\) のミクロな姿です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 雨粒の落下（空気抵抗）: 重力 \(mg\) と空気抵抗 \(kv\) がつりあって終端速度になる問題は、静電気力 \(eE\) と抵抗力 \(kv\) のつりあいと全く同じ構造です。
  • ホール効果: 磁場中を流れる電流の問題でも、\(I=enSv\) の式や、ローレンツ力と静電気力のつりあいの考え方がそのまま使えます。
  • 半導体や電解質溶液: キャリアが電子だけでなく正孔（ホール）やイオンになる場合も、電荷 \(q\) や数密度 \(n\) を置き換えるだけで同じモデルが適用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の源を見つける: 電子を動かす力は何か？（電場なら \(qE\)、磁場なら \(qvB\)、重力なら \(mg\)）
  2. 抵抗の性質を見極める: 抵抗力は速度に比例するのか（\(kv\)）、速度の2乗に比例するのか（\(kv^2\)）、あるいは一定なのか？ 問題文の指定を見逃さないようにしましょう。
  3. 定常状態を仮定する: 「一定の速さ」「時間が十分に経過」というキーワードがあれば、即座に「力のつりあい（加速度 \(0\)）」または「エネルギー収支のつりあい」を持ち出します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場と電位の混同:
  • 誤解: 力の式 \(F=qE\) に、うっかり \(E\) ではなく \(V\) を代入して \(F=eV\) としてしまう。
  • 対策: 単位を確認しましょう。\(V\) はボルト \([\text{V}]\)、\(E\) はボルト毎メートル \([\text{V}/\text{m}]\) です。力にするには \([\text{V}/\text{m}]\) に電荷を掛ける必要があります。必ず \(E=V/l\) を経由してください。
• 電流の定義式の文字の見落とし:
  • 誤解: \(I=enSv\) の \(n\) を「全電子数」と勘違いしたり、\(S\) を忘れたりする。
  • 対策: \(n\) は「1 \(\text{m}^3\) あたりの個数（数密度）」です。全個数 \(N\) にするには体積 \(Sl\) を掛ける必要があります。単位（次元）チェックで \([\text{A}] = [\text{C}/\text{s}]\) になっているか確認するのが有効です。
• 抵抗率と抵抗の取り違え:
  • 誤解: \(R\) と \(\rho\) の関係式 \(R = \rho \frac{l}{S}\) を逆に覚えてしまい、\(\rho = R \frac{l}{S}\) なのに \(\rho = R \frac{S}{l}\) と計算してしまう。
  • 対策: 「長いほど通りにくい（\(R \propto l\)）」「太いほど通りやすい（\(R \propto 1/S\)）」という直感的なイメージを持ち、式がそのイメージと合っているか常に確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(3)での公式選択（力のつりあい vs 運動方程式）:
  • 選定理由: 「一定の速さ」と明記されているため、加速度 \(a=0\) の状態、つまり「力のつりあい」を使うのが最も速く確実です。
  • 適用根拠: 運動方程式 \(ma = F – kv\) において \(a=0\) と置いたものが力のつりあい \(0 = F – kv\) であり、物理的に等価です。
• 問(4)での公式選択（定義からの導出）:
  • 選定理由: \(I=enSv\) は公式として暗記している場合も多いですが、問題によっては「単位長さあたりの電子数」などが与えられることもあるため、丸暗記ではなく「円柱内の電子を数える」という導出プロセスそのものを使うのが安全です。
  • 適用根拠: 電流の定義 \(I = \Delta Q / \Delta t\) に基づき、微小時間 \(\Delta t\) に断面を通過する電荷量を幾何学的に計算する手法は、連続体力学の基本であり、常に正しい結果を与えます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら、単位（次元）を確認しましょう。例えば速さ \(v\) の答えが \(eV/kl\) なら、単位は \([\text{C}][\text{V}] / ([\text{N}\cdot\text{s}/\text{m}][\text{m}]) = [\text{J}] / [\text{N}\cdot\text{s}] = [\text{N}\cdot\text{m}] / [\text{N}\cdot\text{s}] = [\text{m}/\text{s}]\) となり、速さの次元と一致します。
  • 抵抗 \(R\) の式では、分母に \(S\)（面積）、分子に \(l\)（長さ）があることを確認します。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(k=0\) （抵抗なし）だったら？ 分母が \(0\) になり \(v \to \infty\) となります。抵抗がなければ電子は無限に加速し続けるので、物理的に正しい挙動です。
  • もし \(V=0\) （電圧なし）だったら？ 分子が \(0\) になり \(v=0\) となります。電圧をかけなければ電流は流れないので、これも正しいです。
• 係数の整理:
  • \(I = enSv\) に \(v\) を代入する際、\(e\) が2回出てきて \(e^2\) になるなど、文字の次数が変化します。計算用紙には大きく丁寧に書き、指差し確認で次数のミスを防ぎましょう。

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