問題の確認
electromagnetic#02各設問の思考プロセス
(1) 2つの小球がもつ電気量はそれぞれいくらか。
- 導体接触時の電荷の移動原理の確認: 同じ形状・大きさの導体球を接触させると、それらが持つ電気量の合計が均等に分配されることを理解します。
- 総電気量の計算: 接触前の2つの金属球の電気量の代数和（符号を含めた和）を計算し、総電気量 \(Q_{\text{合計}}\) を求めます。
- 分配後の電気量の計算: 計算した総電気量 \(Q_{\text{合計}}\) を2で割り、接触後の各金属球が持つ電気量を算出します。
(2) 2球が及ぼしあう力の大きさは何Nか。引力か斥力かも答えよ。
- 接触後の電気量の確認: (1)で求めた接触後の各球の電気量 \(q’\) を使用します。
- クーロンの法則の適用: 2つの点電荷間に働く静電気力の大きさを計算するために、クーロンの法則 \(\displaystyle F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) を用いることを決定します。
- 単位の換算: 距離 \(r\) がセンチメートル(\(\text{cm}\))で与えられている場合、メートル(\(\text{m}\))に換算します。
- 各値の代入と計算: クーロンの法則の比例定数 \(k\)、各球の電気量 \(q_1, q_2\) (ここでは \(q’\))、距離 \(r\) を公式に代入し、力の大きさ \(F\) を計算します。
- 力の種類の判断: 接触後の2球の電気量の符号を確認します。同符号であれば斥力（反発力）、異符号であれば引力が働くと判断します。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 2つの小球がもつ電気量はそれぞれいくらか。
問われている内容の明確化:
2つの異なる電気量を持つ金属球を互いに接触させた後、それぞれの金属球が持つことになる電気量を求めます。
具体的な解説と計算手順:
導体である金属球を接触させると、電荷は2球間で移動し、同じ形状・大きさであれば総電荷が等しく分配されます。
1. 接触前の総電気量の計算:
初期の電気量はそれぞれ \(q_A = +3.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) と \(q_B = -1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) です。
2球の総電気量 \(Q_{\text{合計}}\) は、
$$ Q_{\text{合計}} = q_A + q_B = (+3.0 \times 10^{-8} \, \text{C}) + (-1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}) $$
$$ Q_{\text{合計}} = (3.0 – 1.0) \times 10^{-8} \, \text{C} = 2.0 \times 10^{-8} \, \text{C} $$
2. 接触後の各球の電気量の計算:
この総電気量 \(Q_{\text{合計}}\) が、2つの金属球に等しく分配されます。したがって、接触後の各球の電気量を \(q’\) とすると、
$$ q’ = \frac{Q_{\text{合計}}}{2} = \frac{2.0 \times 10^{-8} \, \text{C}}{2} $$
$$ q’ = 1.0 \times 10^{-8} \, \text{C} $$
よって、接触後、2つの小球はそれぞれ \(+1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) の電気量を持つことになります。
計算方法の平易な説明:
2つの金属球をくっつけると、それらが持っていた電気が混ざり合い、同じ形の球であれば均等に分けられます。はじめに、球Aは \(+3.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\)、球Bは \(-1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) の電気を持っていました。これらを合計すると、\((+3.0 – 1.0) \times 10^{-8} = +2.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) の電気が全体であります。この合計の電気が2つの球に半分ずつ分けられるので、各球は \(\frac{+2.0 \times 10^{-8}}{2} = +1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) の電気を持つことになります。
この設問における重要なポイント:
- 導体同士を接触させると電荷が移動し、特に同じ形状・大きさの導体の場合は総電荷が等しく分配されることを理解する。
- 電気量には正負の符号があり、総電気量を計算する際は代数和（符号を考慮した和）を取る。
2つの小球がもつ電気量はそれぞれ \(+1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) です。
(2) 2球が及ぼしあう力の大きさは何Nか。引力か斥力かも答えよ。
問われている内容の明確化:
(1)で電気量が再分配された2つの金属球を \(30 \, \text{cm}\) 離して置いたときに、それらの間に働く静電気力の大きさと、その力が引力なのか斥力なのかを答えます。
具体的な解説と計算手順:
接触後の各球の電気量は \(q_1 = +1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) および \(q_2 = +1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) です。
球間の距離 \(r = 30 \, \text{cm} = 0.30 \, \text{m}\) です。
真空中のクーロンの法則の比例定数 \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\) を用います。
2つの点電荷 \(q_1, q_2\) が距離 \(r\) だけ離れているとき、それらの間に働く静電気力の大きさ \(F\) は、
$$ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$
で与えられます。
1. 力の大きさを計算:
$$ F = (9.0 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2) \times \frac{|(+1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}) \times (+1.0 \times 10^{-8} \, \text{C})|}{(0.30 \, \text{m})^2} $$
$$ F = (9.0 \times 10^9) \times \frac{1.0 \times 10^{-16}}{(0.30)^2} \, \text{N} $$
ここで、\((0.30)^2 = (3.0 \times 10^{-1})^2 = 9.0 \times 10^{-2}\) なので、
$$ F = (9.0 \times 10^9) \times \frac{1.0 \times 10^{-16}}{9.0 \times 10^{-2}} \, \text{N} $$
約分と指数の計算を行うと、
$$ F = \frac{9.0 \times 1.0}{9.0} \times 10^{9 + (-16) – (-2)} \, \text{N} $$
$$ F = 1.0 \times 10^{9 – 16 + 2} \, \text{N} = 1.0 \times 10^{-5} \, \text{N} $$
2. 力の種類を判断:
接触後の2球の電気量はどちらも \(+1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) で、同符号（正電荷同士）です。
同符号の電荷間には斥力（反発力）が働きます。
計算方法の平易な説明:
各球が \(+1.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) の電気を持ち、\(0.30 \, \text{m}\) 離れているときの力を計算します。クーロンの法則 \(\displaystyle F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\) を使います。\(k\) は定数で \(9.0 \times 10^9\) です。数値を代入すると、\(\displaystyle F = (9.0 \times 10^9) \times \frac{(1.0 \times 10^{-8}) \times (1.0 \times 10^{-8})}{(0.30)^2}\) となります。これを計算すると、力の大きさは \(1.0 \times 10^{-5} \, \text{N}\) です。2つの球はどちらもプラスの電気を持っているので、お互いに反発しあう「斥力」が働きます。
この設問における重要なポイント:
- クーロンの法則の公式 \(\displaystyle F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) を正しく使うこと。
- 距離 \(r\) はメートル(\(\text{m}\))単位に直して計算すること。(\(30 \, \text{cm} = 0.30 \, \text{m}\))
- 電気量の符号によって力の種類（引力か斥力か）を判断すること（同符号なら斥力、異符号なら引力）。
2球が及ぼしあう力の大きさは \(1.0 \times 10^{-5} \, \text{N}\) で、斥力が働きます。
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 電荷保存の法則: 孤立系では電気量の総和は一定に保たれます。導体の接触では電荷は移動しますが、系全体の総電荷は変わりません。
- 導体中の自由電子と電荷の移動: 導体内部の自由電子が動くことで電荷が移動し、電位が等しくなるように再分配されます。
- 導体の接触と電荷の再分配（同形状・同大の場合）: 同じ形状・大きさの導体を接触させると、総電荷が等しく分配されます。
- クーロンの法則: 2つの点電荷間に働く静電気力の大きさは \(\displaystyle F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) で表されます。\(k\) はクーロン定数で、真空中では \(k \approx 9.0 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\) です。
- 静電気力の向き: 同符号の電荷間には斥力（反発力）が、異符号の電荷間には引力（引き合う力）が働きます。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 単位の換算の徹底: 距離を \(\text{cm}\) から \(\text{m}\) に直すなど、計算に使用する単位は基本単位系（SI単位系など）に統一しましょう。
- 電気量の符号の扱いに注意: 総電気量を計算する際は符号を含めて計算します。クーロン力計算では、力の大きさは絶対値で、力の種類は符号で判断します。
- 有効数字の意識: 問題で与えられた数値の有効数字桁数を考慮し、最終的な答えも適切な桁数で表すようにしましょう。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 接触後の電荷分配の誤解: 導体の形状や大きさが異なる場合、電荷は必ずしも等しく分配されません（電気容量に応じて分配されます）。この問題では「質量の等しい小さな金属球」から同形状・同大と解釈できるため等分配としています。
- クーロンの法則の距離 \(r\): 距離の「2乗」で割ることを忘れないようにしましょう。
- 比例定数 \(k\) の値: 真空（または空気中）の値 \(9.0 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\) を用いますが、問題によっては異なる媒質中の場合もあるので注意が必要です。
- 引力と斥力の判断: 計算した各電荷の符号が同じか異なるかで判断します。接触によって符号が変わる場合があるので注意が必要です。
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