未来の得点力へ！高校物理 問題演習「点電荷の作る電位と電位差の計算」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷が作る電位と電位差」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
点電荷 \(Q = -3.0 \times 10^{-6}\) C から距離 \(r_A = 1.5\) m の点Aにおける電位 \(V_A\) を、無限遠を基準として求めます。これは、点電荷が作る電位の公式 \(V = k \frac{Q}{r}\) を正しく適用できるかを問う基本的な問題です。
この設問における重要なポイント

• 点電荷の電位の公式 \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) を正確に適用する。
• 電荷 \(Q\) の符号（この場合はマイナス）を計算に含める。
• 電位はスカラー量であり、向きは考えない。

具体的な解説と立式
点電荷が作る電位の公式は \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) です。
与えられた値を代入して、点Aの電位 \(V_A\) を求めます。

• クーロン定数: \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\)
• 電荷: \(Q = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
• 距離: \(r_A = 1.5 \, \text{m}\)

$$V_A = k \frac{Q}{r_A}$$

$$
\begin{aligned}
V_A &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{-3.0 \times 10^{-6}}{1.5} \\[2.0ex]&= (9.0 \times 10^9) \times (-2.0 \times 10^{-6}) \\[2.0ex]&= (9.0 \times -2.0) \times (10^9 \times 10^{-6}) \\[2.0ex]&= -18 \times 10^{3} \\[2.0ex]&= -1.8 \times 10^4 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
与えられた数値は有効数字2桁なので、この結果も有効数字2桁で適切です。

点Aの電気的な高さ（電位）を求めるには、公式 \(V = k \frac{Q}{r}\) を使います。\(k\) は \(9.0 \times 10^9\)、\(Q\) は \(-3.0 \times 10^{-6}\)、\(r\) は \(1.5\) です。これらを掛け合わせると、\(-1.8 \times 10^4\) V となります。

点Aの電位は \(-1.8 \times 10^4\) V です。負電荷の周りの電位は負になるため、符号は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Aと点Bの間の電位差を求めます。そのためには、まず点Bの電位 \(V_B\) を(1)と同様に計算し、その後、2点の電位の差を計算します。電位差は、どの点の電位からどの点の電位を引くかによって符号が変わることに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 各点の電位をそれぞれ正確に計算する。
• 電位差は、2点の電位の差として計算する。
• 負電荷の場合、電荷に近いほど電位は低くなる（より負に大きな値になる）ことを理解しておくと検算になる。

具体的な解説と立式
まず、電荷から距離 \(r_B = 1.0\) m 離れた点Bの電位 \(V_B\) を計算します。
$$V_B = k \frac{Q}{r_B}$$
次に、A,B間の電位差 \(V\) を求めます。ここではA点に対するB点の電位差、すなわち \(V = V_B – V_A\) を計算します。

点Bの電位 \(V_B\) の計算
$$
\begin{aligned}
V_B &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{-3.0 \times 10^{-6}}{1.0} \\[2.0ex]&= -27 \times 10^{3} \\[2.0ex]&= -2.7 \times 10^4 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
電位差 \(V\) の計算
(1)より \(V_A = -1.8 \times 10^4\) V なので、
$$
\begin{aligned}
V &= V_B – V_A \\[2.0ex]&= (-2.7 \times 10^4) – (-1.8 \times 10^4) \\[2.0ex]&= (-2.7 + 1.8) \times 10^4 \\[2.0ex]&= -0.90 \times 10^4 \\[2.0ex]&= -9.0 \times 10^3 \, \text{V}
\end{aligned}
$$

まず、点Bの電位 \(V_B\) を計算します。距離が \(1.0\) m なので、\(V_B = -2.7 \times 10^4\) V となります。点Aの電位 \(V_A\) は(1)で \(-1.8 \times 10^4\) V と求まっています。A,B間の電位差は、Bの電位からAの電位を引いて、\(V = V_B – V_A = (-2.7 \times 10^4) – (-1.8 \times 10^4) = -0.90 \times 10^4\) V、つまり \(-9.0 \times 10^3\) V となります。

A,B間の電位差は \(-9.0 \times 10^3\) V です。これは、点Bの電位が点Aの電位より \(9.0 \times 10^3\) V 低いことを意味します。負電荷には近いほど電位が低くなる（より負の大きな値になる）ため、\(r_B < r_A\) であることから \(V_B < V_A\) となるのは妥当な結果です。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 点電荷が作る電位の公式:
  • 核心: この問題は、点電荷 \(Q\) が作る電位が \(V = k \frac{Q}{r}\) で与えられることを理解し、正しく計算できるかにかかっています。特に、電位が電荷の符号をそのまま反映するスカラー量であることを把握している点が重要です。
  • 理解のポイント: 電位は「電気的な位置エネルギー」のレベルを表す指標です。正電荷は周囲に「山」を、負電荷は周囲に「谷」を作るとイメージすると分かりやすいです。(1)では負電荷が作る「谷」の深さを、(2)ではその谷の異なる2地点の「高さの差」を計算しています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 複数の点電荷が作る電位: 複数の点電荷 \(Q_1, Q_2, \dots\) がある場合、ある点Pの電位は、各電荷がP点に作る電位を単純に足し合わせる（スカラー和を取る）ことで求められます。\(V_P = k\frac{Q_1}{r_1} + k\frac{Q_2}{r_2} + \dots\)。ベクトル合成が必要な電場と比べて計算が簡単です。
  • 電場中の仕事: 電荷 \(q\) を電位 \(V_A\) の点Aから電位 \(V_B\) の点Bへ運ぶのに必要な仕事 \(W\) は、\(W = q(V_B – V_A) = qV\) で計算できます。この問題の(2)の結果を使えば、例えば \(+2.0\) C の電荷をAからBへ運ぶ仕事は \(2.0 \times (-9.0 \times 10^3) = -1.8 \times 10^4\) J となります（静電気がする仕事は \(+1.8 \times 10^4\) J）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「電位」を問われていることを確認: 電場と混同しないように注意します。
  2. 公式を選択: 点電荷であれば \(V = k \frac{Q}{r}\) を使います。
  3. 符号を含めて代入: 電荷 \(Q\) の符号を忘れずに式に入れます。
  4. 「電位差」を問われた場合: まず各点の電位をそれぞれ計算し、その後で差を取る、という2段階で考えると確実です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場と電位の公式の混同:
  • 誤解: 電位の公式の分母を \(r^2\) にしてしまったり、電荷の絶対値を使ってしまったりする。
  • 対策: 「電場(\(E\))はベクトルで \(r^2\) 分の」「電位(\(V\))はスカラーで \(r\) 分の」とセットで覚えましょう。電位はエネルギー（仕事）に関係する量なので、向き（ベクトル）の概念はありません。
• 電荷の符号忘れ:
  • 誤解: 電位の計算時に電荷の符号を入れ忘れて、絶対値だけで計算してしまう。
  • 対策: 電位は正負の値を持つことが非常に重要です。負電荷の周りには負の電位（谷）が広がっているイメージを常に持ち、計算には必ず電荷の符号を含めるようにしましょう。
• 指数の計算ミス:
  • 誤解: \(10^9 \times 10^{-6} = 10^{-54}\) のように、指数を掛け算してしまう。
  • 対策: 指数法則（\(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\)）を正確に適用しましょう。\(9+(-6)=3\) と、落ち着いて計算することが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• なぜ \(V = k \frac{Q}{r}\) なのか？:
  • 選定理由: これは、無限遠を基準としたときの点電荷の電位の定義式です。
  • 適用根拠: 電位の定義は「+1Cの電荷を基準点（無限遠）からその点まで、静電気力に逆らって運ぶのに必要な仕事」です。点電荷 \(Q\) が作る電場 \(E=k\frac{Q}{r^2}\) の中で、この仕事を積分計算すると \(W = k\frac{Q}{r}\) となります。これが電位の正体です。高校物理ではこの積分計算は行いませんが、公式の背景にはこのような物理的な意味があることを知っておくと、理解が深まります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 係数と指数を分離して計算: (1)の計算 \((9.0 \times 10^9) \times (-2.0 \times 10^{-6})\) では、まず係数部分 \(9.0 \times (-2.0) = -18\) を計算し、次に指数部分 \(10^9 \times 10^{-6} = 10^3\) を計算し、最後に合体させる（\(-18 \times 10^3\)）と、計算の見通しが良くなり、ミスが減ります。
• 有効数字を最後に調整する: 計算の途中では \( -18 \times 10^3 \) のように計算しやすい形で保持し、最終的な答えを書く段階で、問題文の有効数字（2桁）に合わせて \(-1.8 \times 10^4\) と科学表記に直すのが効率的です。
• 物理的な大小関係で検算: (2)では、点B(\(r=1.0\)m)の方が負電荷に近いので、点A(\(r=1.5\)m)よりも電位が低くなるはずです。計算結果 \(V_B = -2.7 \times 10^4\) V、\(V_A = -1.8 \times 10^4\) V は、確かに \(V_B < V_A\) となっており、物理的に妥当であることが確認できます。

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