無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「点電荷の作る電位と電位差の計算」【高校物理対応】

問題の確認

各設問の思考プロセス

この問題は、点電荷が作る電位の基本的な性質と計算方法に関する理解を問うています。

1. 点電荷の作る電位の公式:
   • 無限遠を電位の基準 (\(0\,\text{V}\)) とするとき、点電荷 \(Q\) が自身から距離 \(r\) だけ離れた点に作る電位 \(V\) は、クーロンの法則の比例定数を \(k\) として、次式で与えられます。
     $$V = k \frac{Q}{r}$$
   • 電位はスカラー量であり、電荷 \(Q\) の符号（正または負）をそのまま反映します。
2. 各点の電位の計算:
   • 設問(1)では、点Aの電位 \(V_A\) を求めるために、与えられた \(Q\) と \(r_A\) を上記の公式に代入します。
   • 設問(2)では、まず点Bの電位 \(V_B\) を求めるために、与えられた \(Q\) と \(r_B\) を同様に公式に代入します。
3. 電位差の計算:
   • 2点A、B間の電位差は、それぞれの点の電位の差として計算します。例えば、\(V_{AB} = V_B – V_A\) は、A点に対するB点の電位を表します。問題文で単に「A,B間の電位差 \(V\)」とされている場合、文脈に応じて \(V_B – V_A\) や \(V_A – V_B\)、あるいはその絶対値が問われることがあります。ここでは \(V = V_B – V_A\) として計算を進めます。
4. 数値計算と有効数字:
   • 与えられた物理定数や数値を用いて計算を行います。
   • 計算結果は、与えられた数値の有効数字を考慮して適切な桁数で示します。

各設問の具体的な解説と解答

(1) 電位の基準点を無限遠とするとき, \(-3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) の電荷から \(1.5 \, \text{m}\) 離れた点Aの電位 \(V_A \, \text{[V]}\) を求めよ。

問われている内容の明確化:
点電荷 \(Q = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) から距離 \(r_A = 1.5 \, \text{m}\) の点Aにおける電位 \(V_A\) を、無限遠を基準 (\(0\,\text{V}\)) として求めます。

具体的な解説と計算手順:
点電荷が作る電位の公式は \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) です。
与えられた値を代入します:

• \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\)
• \(Q = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
• \(r_A = 1.5 \, \text{m}\)

$$V_A = (9.0 \times 10^9) \times \frac{-3.0 \times 10^{-6}}{1.5}$$
まず、数値部分を計算します:
$$\frac{-3.0}{1.5} = -2.0$$
よって、
$$V_A = (9.0 \times 10^9) \times (-2.0 \times 10^{-6})$$
$$V_A = (9.0 \times -2.0) \times (10^9 \times 10^{-6})$$
$$V_A = -18.0 \times 10^{9-6}$$
$$V_A = -18.0 \times 10^3 \, \text{V}$$
科学表記法で表すと、
$$V_A = -1.8 \times 10^4 \, \text{V}$$
与えられた数値は有効数字2桁なので、この結果も有効数字2桁で適切です。

計算方法の平易な説明:
点Aの電気的な高さ（電位）を求めるには、公式 \(V = k \frac{Q}{r}\) を使います。

1. \(k\) は \(9.0 \times 10^9\)、\(Q\) は \(-3.0 \times 10^{-6}\)、\(r\) は \(1.5\)。
2. まず \(\displaystyle \frac{Q}{r} = \frac{-3.0 \times 10^{-6}}{1.5} = -2.0 \times 10^{-6}\)。
3. これに \(k\) をかけて、\(V_A = (9.0 \times 10^9) \times (-2.0 \times 10^{-6})\)。
4. 数字同士 \(9.0 \times -2.0 = -18.0\)。
5. \(10\)のべき乗同士 \(10^9 \times 10^{-6} = 10^3\)。
6. 合わせて \(V_A = -18.0 \times 10^3 \, \text{V} = -1.8 \times 10^4 \, \text{V}\)。

(2) この電荷の配置で,電荷から\(1.0 \, \text{m}\)離れた点をBとするとき,A,B間の電位差 \(V \, \text{[V]}\) を求めよ。

問われている内容の明確化:
点電荷 \(Q = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) から距離 \(r_B = 1.0 \, \text{m}\) の点Bの電位 \(V_B\) をまず計算し、その後、点A（距離 \(r_A = 1.5 \, \text{m}\)）と点Bの間の電位差 \(V\) を \(V = V_B – V_A\) として求めます。

具体的な解説と計算手順:
まず、点Bの電位 \(V_B\) を計算します。
\(r_B = 1.0 \, \text{m}\)

$$V_B = (9.0 \times 10^9) \times \frac{-3.0 \times 10^{-6}}{1.0}$$
$$V_B = (9.0 \times 10^9) \times (-3.0 \times 10^{-6})$$
$$V_B = -27.0 \times 10^{3} \, \text{V}$$
$$V_B = -2.7 \times 10^4 \, \text{V}$$
次に、A,B間の電位差 \(V\) を \(V = V_B – V_A\) として計算します。
(1)より \(V_A = -1.8 \times 10^4 \, \text{V}\)。
$$V = V_B – V_A = (-2.7 \times 10^4 \, \text{V}) – (-1.8 \times 10^4 \, \text{V})$$
$$V = (-2.7 + 1.8) \times 10^4 \, \text{V}$$
$$V = -0.9 \times 10^4 \, \text{V}$$
これを有効数字2桁の科学表記で表すと、
$$V = -9.0 \times 10^3 \, \text{V}$$

計算方法の平易な説明:

1. まず、点Bの電位 \(V_B\) を計算します。距離が \(1.0 \, \text{m}\) なので、
   \(V_B = (9.0 \times 10^9) \times \frac{-3.0 \times 10^{-6}}{1.0} = -27.0 \times 10^3 \, \text{V} = -2.7 \times 10^4 \, \text{V}\)。
2. 点Aの電位 \(V_A\) は(1)で \(-1.8 \times 10^4 \, \text{V}\) と求まっています。
3. A,B間の電位差 \(V\) を \(V_B – V_A\) で求めます。
   \(V = (-2.7 \times 10^4) – (-1.8 \times 10^4) = (-2.7 + 1.8) \times 10^4 = -0.9 \times 10^4 \, \text{V}\)。
4. これを整えると、\(V = -9.0 \times 10^3 \, \text{V}\)。これは、点Bの電位が点Aの電位より \(9.0 \times 10^3 \, \text{V}\) 低いことを意味します。

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