無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「電荷保存の法則とコンデンサーのスイッチ問題」【高校物理対応】

問題の確認

各設問の思考プロセス

この問題は、スイッチの切り替えによって回路の接続状態が変化する、コンデンサー回路の応用問題です。各ステップで回路がどのようになっているかを正確に把握し、コンデンサーの直列・並列接続のルールと、電荷保存の法則を適用することが求められます。

この問題を解く上で中心となる物理法則は以下の通りです。

• コンデンサーの直列・並列接続のルール
• 電荷保存の法則: 回路の一部が電池などから電気的に切り離されている（孤立している）場合、その部分の電気量の総和は変化しない。
• コンデンサーの基本式: \(Q=CV\)

この問題を解くための手順は以下の通りです。

1. (1) 充電ステップの分析:
   \(S_{1}\)を閉じた状態の回路（\(C_1\)と\(C_2\)の直列接続）を考えます。まず合成容量を求め、回路全体で蓄えられる総電荷を計算します。直列接続では各コンデンサーの電荷は等しいので、その電荷と\(C_2\)の容量から電圧\(V_2\)を求めます。もしくは、電圧が電気容量の逆比に分配されることを利用します。
2. (2) 再接続ステップの分析:
   ここがこの問題の核心です。
   • まず、\(S_1\)を開いたときに、(1)で蓄えられた電荷が\(C_1\)と\(C_2\)に「閉じ込められる」ことを理解します。
   • 次に\(S_2\)を閉じた後の新しい回路図を考えます。そして、外部から切り離された「孤立部分」を見つけ出します。
   • この孤立部分について、「操作前の総電荷」と「操作後の総電荷」が等しいという電荷保存の法則の式を立てます。
   • 各コンデンサーの \(Q=CV\) の関係式と連立させ、未知数である電圧を求めます。

各設問の具体的な解説と解答

(1) \(S_{1}\) のみ閉じたとき, \(C_{2}\) に加わる電圧 \(V_{2}\) を求めよ。

問われている内容の明確化
\(S_{1}\)を閉じたとき（\(C_1\)と\(C_2\)が直列に電池Vに接続されたとき）の、コンデンサー\(C_2\)の両端の電圧\(V_2\)を求めます。

具体的な解説と立式
\(C_1\)と\(C_2\)の直列接続なので、まず合成容量\(C_{12}\)を求めます。
$$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$
次に、この合成コンデンサーに電圧\(V\)がかかっているので、回路全体で蓄えられる電気量の総量\(Q\)は、
$$Q = C_{12}V$$
となります。直列接続では、各コンデンサーに蓄えられる電気量は等しく、総量\(Q\)に等しくなります。
$$Q_1 = Q_2 = Q$$
最後に、コンデンサー\(C_2\)について、基本式\(Q_2 = C_2 V_2\)を変形して\(V_2\)を求めます。
$$V_2 = \frac{Q_2}{C_2} \quad \cdots ①$$

計算過程
まず合成容量\(C_{12}\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C_{12}} &= \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{2C} + \frac{1}{2C} \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2C}
\end{aligned}
$$
よって、合成容量は逆数をとって、\(C_{12} = \displaystyle\frac{2C}{3}\) です。
次に、蓄えられる総電荷\(Q\)を計算します。
$$ Q = C_{12}V = \frac{2C}{3}V $$
直列なので、\(C_2\)に蓄えられる電荷\(Q_2\)もこれと等しく、\(Q_2 = \frac{2CV}{3}\)です。
最後に、式①を使って\(V_2\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= \frac{Q_2}{C_2} \\[2.0ex]
&= \frac{\frac{2CV}{3}}{2C} \\[2.0ex]
&= \frac{2CV}{3} \times \frac{1}{2C} \\[2.0ex]
&= \frac{V}{3}
\end{aligned}
$$

計算方法の平易な説明

• \(C_1\)と\(C_2\)が直列につながっているので、電圧\(V\)がそれぞれのコンデンサーに分配されます。
• 電圧の分配は、電気容量の「逆比」になります。\(C_1:C_2 = C:2C = 1:2\)なので、かかる電圧の比は\(V_1:V_2 = 2:1\)となります。
• 全体の電圧\(V\)を\(2:1\)に分けるので、\(C_2\)にかかる電圧\(V_2\)は全体の\(\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}\)倍です。したがって、\(V_2 = \frac{1}{3}V\)となります。

(2) 次に \(S_{1}\) を開いてから \(S_{2}\) を閉じた。\(C_{2}\) に加わる電圧 \({V_{2}}’\) を求めよ。

問われている内容の明確化
(1)の後、\(S_1\)を開き、\(S_2\)を閉じて回路を組み替えた後の、コンデンサー\(C_2\)の電圧\(V_2’\)を求めます。

具体的な解説と立式
ステップ1: スイッチ操作後の回路と孤立部分の特定

• \(S_1\)を開く: \(C_1, C_2\)の直列回路が電池から切り離されます。(1)で蓄えられた電荷がこの部分に保存されます。
• \(S_2\)を閉じる: 回路が組み替えられます。このとき、\(C_2\)の上側極板と\(C_3\)の上側極板が導線でつながれ、下側極板も共通の導線でつながれるため、\(C_2\)と\(C_3\)は並列接続になります。
• 孤立部分の特定: スイッチ操作後、\(C_1\)の下側極板、\(C_2\)の上側極板、\(C_3\)の上側極板は、すべて導線でつながっており、外部から孤立した「島」になっています。この部分の電気量の総和は保存されます。

ステップ2: 電荷保存の法則の立式

• 操作前の総電荷: (1)の状態では、\(C_1\)の下側極板に\(-Q\), \(C_2\)の上側極板に\(+Q\), \(C_3\)の上側極板に\(0\)。よって、孤立部分の電荷の合計は \(-Q+Q+0=0\) です。
• 操作後の総電荷: 操作後の各コンデンサーの電荷を \(Q_1′, Q_2′, Q_3’\) とすると、孤立部分の電荷の合計は \(-Q_1′ + Q_2′ + Q_3’\) となります。

電荷保存則より、
$$-Q_1′ + Q_2′ + Q_3′ = 0 \quad \cdots ②$$
が成り立ちます。また、\(C_1\)の上側極板も孤立しているので、その電荷は保存されます。
$$Q_1′ = Q = \frac{2}{3}CV \quad \cdots ③$$
式②と③より、\(Q_2′ + Q_3′ = Q_1′ = Q\) が導かれます。

ステップ3: 連立方程式の準備
\(C_2\)と\(C_3\)は並列接続なので、両端の電圧は等しく、これが求める \(V_2’\) です (\(V_2′ = V_3’\))。
$$Q_2′ = C_2 V_2′ = 2CV_2′ \quad \cdots ④$$
$$Q_3′ = C_3 V_3′ = 3CV_2′ \quad \cdots ⑤$$
これらの式を \(Q_2′ + Q_3′ = Q\) に代入して \(V_2’\) を求めます。

計算過程
電荷保存則から導かれた関係式 \(Q_2′ + Q_3′ = Q\) に、式④、⑤を代入します。
$$
\begin{aligned}
2CV_2′ + 3CV_2′ &= Q \\[2.0ex]
5CV_2′ &= Q
\end{aligned}
$$
これを \(V_2’\) について解くと、
$$V_2′ = \frac{Q}{5C}$$
最後に、(1)で求めた \(Q = \frac{2}{3}CV\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
V_2′ &= \frac{\frac{2}{3}CV}{5C} \\[2.0ex]
&= \frac{2CV}{3 \cdot 5C} \\[2.0ex]
&= \frac{2}{15}V
\end{aligned}
$$

計算方法の平易な説明

• \(S_1\)を開くと、\(C_1\)と\(C_2\)に蓄えられた電荷\(Q\)が閉じ込められます。
• \(S_2\)を閉じると、\(C_2\)と\(C_3\)が並列になります。
• このとき、\(C_1\)の下の板、\(C_2\)の上の板、\(C_3\)の上の板がつながった「孤立した島」ができます。この島の電気量の合計は、スイッチを切り替える前後で変わりません。最初は0だったので、後も0です。
• この「電荷の合計が0」という条件と、各コンデンサーのQ=CVの関係を連立させて解くと、答えが求まります。

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