無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「熱力学第一法則とp-Vグラフの読解」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱力学第一法則とp-Vグラフ」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア)

思考の道筋とポイント
過程A→Bにおいて気体がした仕事を求める問題です。問題文とグラフから、この過程は「定積変化」であることがわかります。気体が仕事をするかどうかは、体積が変化するかどうかで決まります。
この設問における重要なポイント

• 気体が外部にする仕事は、体積が増加すれば正、減少すれば負、変化しなければ0である。
• 定積変化では、体積は一定で変化しない。

具体的な解説と立式
過程A→Bは定積変化です。
p-Vグラフを見ると、状態Aから状態Bへは体積が \(V_0\) のまま変化していません（グラフが垂直に上昇）。
体積の変化量 \(\Delta V\) が0なので、気体が外部にした仕事 \(W_{\text{A}\rightarrow\text{B}}\) は0となります。
$$ W_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = 0 $$

上記の解説の通り、定積変化であることから仕事は0と判断できます。

気体がピストンにする仕事は、ピストンを動かしたときに行われます。ピストンが動くということは、気体の体積が変わるということです。
過程A→Bは「定積変化」なので、体積は一切変わっていません。したがって、ピストンは動いておらず、気体は仕事をしていません。よって仕事は0です。

定積変化で気体がする仕事は0です。これは熱力学の基本的な定義です。

問(イ)

思考の道筋とポイント
過程A→Bにおける気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}}\) を求める問題です。気体は単原子分子理想気体なので、内部エネルギーは \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV\) と表せます。内部エネルギーの変化は、変化後の内部エネルギーから変化前の内部エネルギーを引くことで計算します。
この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\)。
• 内部エネルギーの変化: \(\Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{前}}\)。
• p-Vグラフから各状態の圧力と体積を読み取る。

具体的な解説と立式
内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}}\) は、状態Bの内部エネルギー \(U_B\) から状態Aの内部エネルギー \(U_A\) を引いたものです。
$$ \Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = U_B – U_A $$
単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\) と書けるので、
$$ \Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = \frac{3}{2}p_B V_B – \frac{3}{2}p_A V_A $$
ここで、p-Vグラフから各状態の圧力と体積を読み取ります。

• 状態A: \(p_A = p_0\), \(V_A = V_0\)
• 状態B: \(p_B = \alpha p_0\), \(V_B = V_0\)

これらを代入します。
$$ \Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = \frac{3}{2}(\alpha p_0)V_0 – \frac{3}{2}p_0 V_0 \quad \cdots ① $$

式①を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} &= \frac{3}{2}\alpha p_0 V_0 – \frac{3}{2}p_0 V_0 \\
&= \frac{3}{2}(\alpha – 1)p_0 V_0
\end{aligned}
$$

内部エネルギーの変化は「後のエネルギー」ひく「前のエネルギー」です。単原子分子気体の場合、内部エネルギーは「\(\frac{3}{2} \times \text{圧力} \times \text{体積}\)」で計算できます。
状態Aのエネルギーは \(\frac{3}{2}p_0 V_0\)、状態Bのエネルギーは \(\frac{3}{2}(\alpha p_0)V_0\) です。
したがって、エネルギーの変化は「\(\frac{3}{2}\alpha p_0 V_0 – \frac{3}{2}p_0 V_0\)」となり、これを整理すると答えが得られます。

過程A→Bの内部エネルギーの変化は \(\displaystyle\frac{3}{2}(\alpha – 1)p_0 V_0\) です。グラフから \(\alpha > 1\) なので、内部エネルギーは増加しています。これは、定積変化で外部から熱を吸収した（加熱された）ことに対応し、物理的に妥当です。

問(ウ)

思考の道筋とポイント
過程B→Cにおいて気体がした仕事 \(W_{\text{B}\rightarrow\text{C}}\) を求める問題です。この過程は「定圧変化」です。定圧変化で気体がする仕事は、圧力と体積変化の積で簡単に計算できます。
この設問における重要なポイント

• 定圧変化で気体がする仕事は \(W = p \Delta V = p(V_{\text{後}} – V_{\text{前}})\)。
• p-Vグラフから、過程中の圧力と、変化前後の体積を読み取る。

具体的な解説と立式
過程B→Cは圧力 \(p = \alpha p_0\) で一定の定圧変化です。
この過程で気体がした仕事 \(W_{\text{B}\rightarrow\text{C}}\) は、
$$ W_{\text{B}\rightarrow\text{C}} = p \Delta V = (\alpha p_0) (V_C – V_B) $$
p-Vグラフから、各状態の体積を読み取ります。

• 状態B: \(V_B = V_0\)
• 状態C: \(V_C = \beta V_0\)

これらを代入します。
$$ W_{\text{B}\rightarrow\text{C}} = \alpha p_0 (\beta V_0 – V_0) \quad \cdots ① $$

式①を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{B}\rightarrow\text{C}} &= \alpha p_0 (\beta V_0 – V_0) \\
&= \alpha p_0 V_0 (\beta – 1) \\
&= \alpha (\beta – 1) p_0 V_0
\end{aligned}
$$

気体がする仕事は、p-Vグラフでグラフの下側の面積で表されます。過程B→Cは定圧変化なので、グラフは水平な直線です。このとき、仕事は単純な長方形の面積として計算できます。
長方形の「縦」は圧力 \(\alpha p_0\)、「横」は体積の変化 \((V_0 – \beta V_0)\) です。
ただし、今回は体積が減少（圧縮）しているので、仕事は負の値になります。
仕事 = 圧力 × (後の体積 – 前の体積) = \(\alpha p_0 \times (\beta V_0 – V_0)\) を計算します。

過程B→Cでした仕事は \(\alpha (\beta – 1) p_0 V_0\) です。グラフから \(\beta < 1\) なので、\(\beta – 1 < 0\) となり、仕事は負の値になります。これは、体積が減少する圧縮過程であることと一致しており、妥当な結果です。

問(エ)

思考の道筋とポイント
過程C→Aにおいて気体が吸収した熱量 \(Q_{\text{C}\rightarrow\text{A}}\) を求める問題です。この過程は「断熱変化」です。断熱変化の定義そのものが問われています。
この設問における重要なポイント

• 断熱変化とは、外部との熱のやりとりがない状態変化のことである。

具体的な解説と立式
過程C→Aは断熱変化です。
断熱変化の定義は、外部との熱の出入りが遮断された状態での変化、すなわち、気体が吸収する熱量 \(Q\) が0である変化です。
したがって、
$$ Q_{\text{C}\rightarrow\text{A}} = 0 $$

定義そのものであるため、計算は不要です。

「断熱」という言葉は、「熱を断つ」と書きます。つまり、外部との熱のやりとりが一切ない変化のことです。
したがって、この過程で気体が吸収した熱量は0です。

断熱変化で気体が吸収する熱量は0です。これは断熱変化の定義そのものです。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則と状態変化の組み合わせ:
  • 核心: この問題は、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\) を、定積・定圧・断熱といった個々の状態変化の性質と組み合わせて理解し、適用できるかを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 定積変化 (A→B): \(W=0\) なので \(\Delta U = Q\)。加えられた熱はすべて内部エネルギーの増加になる。
    • 定圧変化 (B→C): \(W=p\Delta V\)。熱、仕事、内部エネルギー変化のすべてが関わる。
    • 断熱変化 (C→A): \(Q=0\) なので \(\Delta U = -W\)。内部エネルギーの変化は、された仕事（または、した仕事の負号）に等しい。

    この3つの関係を、p-Vグラフと結びつけて自在に使いこなせることがゴールです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 各状態の温度を求める: 状態Aの温度 \(T_0\) を基準に、状態B, Cの温度 \(T_B, T_C\) を求める問題。状態方程式 \(pV=nRT\) を使い、\(T_B = \alpha T_0\), \(T_C = \alpha \beta T_0\) のように計算できます。
  • 各過程での熱量を求める: (エ)以外の過程での熱量を求める問題。熱力学第一法則を使います。
    • \(Q_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = \Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} + W_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = \frac{3}{2}(\alpha – 1)p_0 V_0 + 0\)
    • \(Q_{\text{B}\rightarrow\text{C}} = \Delta U_{\text{B}\rightarrow\text{C}} + W_{\text{B}\rightarrow\text{C}}\)。\(\Delta U_{\text{B}\rightarrow\text{C}} = \frac{3}{2}(\alpha\beta – \alpha)p_0V_0\) と \(W_{\text{B}\rightarrow\text{C}}\) を足し合わせることで求まります。
  • サイクル全体の効率: このサイクルを熱機関とみなした場合の熱効率 \(\eta\) を求める問題。サイクル全体で吸収した熱 \(Q_{\text{in}}\) と、サイクル全体の仕事（グラフが囲む面積）を計算する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 気体の種類を確認: 「単原子分子」か「二原子分子」かを確認します。これにより内部エネルギーの式 (\(U=\frac{3}{2}nRT\) か \(U=\frac{5}{2}nRT\)) が変わります。
  2. p-Vグラフの座標を読み取る: 各状態点 (A, B, C) の圧力と体積の値を、\(p_0, V_0, \alpha, \beta\) を使って正確に書き出します。
  3. 問われている物理量と過程を特定: 「どの過程」の「どの物理量（仕事W, 熱Q, 内部エネルギー変化ΔU）」を問われているのかを明確にし、その過程の性質（定積、定圧、断熱、等温）に応じた公式を選択します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の計算ミス:
  • 誤解: (ウ)の定圧変化の仕事で、体積変化 \(\Delta V\) の符号を間違え、\(W = \alpha p_0 (V_0 – \beta V_0)\) のように計算してしまう。
  • 対策: 仕事の計算では、\(\Delta V = V_{\text{後}} – V_{\text{前}}\) を徹底します。過程B→Cでは、後がC、前がBなので、\(\Delta V = V_C – V_B = \beta V_0 – V_0\) となります。グラフの矢印の向きを確認する癖をつけましょう。
• 内部エネルギーの式の混同:
  • 誤解: 単原子分子でない場合に \(U = \frac{3}{2}pV\) を使ってしまう、あるいはその逆。
  • 対策: 「単原子分子なら3/2」と覚えましょう。問題文の冒頭にある「単原子分子理想気体」という記述を見落とさないことが重要です。
• 熱力学第一法則の符号:
  • 誤解: \(W\) を「された仕事」と「した仕事」で混同し、\(\Delta U = Q + W_{\text{した}}\) のような誤った式を立ててしまう。
  • 対策: \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\) の形を基本として覚えるのがおすすめです。\(W_{\text{した}}\) は体積が増えれば正、と直感的に分かりやすいためです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(W=0\) (定積変化):
  • 選定理由: (ア)は定積変化の仕事なので、定義から即座に0と判断できます。
  • 適用根拠: 仕事は力と移動距離の積です。気体の仕事では、ピストンが動くこと（体積変化）が移動距離に相当します。体積が変化しないので、仕事は0です。
• \(U = \frac{3}{2}pV\) (内部エネルギー):
  • 選定理由: (イ)は内部エネルギーの変化を問うています。単原子分子理想気体の場合、内部エネルギーは圧力と体積だけで表せるこの式が最も直接的で便利です。
  • 適用根拠: 気体分子運動論から、内部エネルギーは分子の運動エネルギーの総和であり、それが絶対温度に比例すること (\(U=\frac{3}{2}nRT\)) が導かれます。状態方程式 \(pV=nRT\) を使って温度 \(T\) を消去すると、この形になります。
• \(W = p\Delta V\) (定圧変化の仕事):
  • 選定理由: (ウ)は定圧変化の仕事なので、圧力が一定であることを利用したこの簡単な式で計算できます。
  • 適用根拠: 一般的な仕事の定義 \(W = \int p dV\) において、圧力 \(p\) が定数なので積分の外に出せるため、\(W = p \int dV = p \Delta V\) となります。
• \(Q=0\) (断熱変化):
  • 選定理由: (エ)は断熱変化の熱量なので、定義から即座に0と判断できます。
  • 適用根拠: 「断熱」という言葉自体が、熱の出入りがない (\(Q=0\)) ことを意味しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理: (イ)や(ウ)の計算結果では、\(p_0 V_0\) という塊が共通して出てきます。これを一つの単位のように扱い、係数部分 (\(\frac{3}{2}(\alpha-1)\) や \(\alpha(\beta-1)\)) を間違えないように計算しましょう。
• パラメータの意味を考える: \(\alpha\) は圧力の増加率、\(\beta\) は体積の圧縮率を表すパラメータです。グラフから \(\alpha > 1\), \(0 < \beta < 1\) であることを読み取っておくと、計算結果の符号チェック（例：(ウ)の仕事が負になるはず）に役立ち、ミスを発見しやすくなります。
• サイクル図を自分で描いてみる: 問題で与えられた図をなぞるだけでなく、各過程の性質を理解した上で、自分でA→B→C→Aのサイクル図を描いてみる練習は、理解を深める上で非常に有効です。

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