今回の問題
dynamics#04_【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「速度の合成と分解」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 速度の合成: 岸から見たボートの速度は、ボートが自力で進む速度（静水時の速度）と、川が流れる速度のベクトル和で表されます。
- 運動の独立性（運動の分解）: ボートの運動は、川を横断する方向（岸に垂直）と、川の流れに沿った方向（岸に平行）の2つの独立した運動に分解して考えることができます。
- 三平方の定理: 互いに直角な2つのベクトルを合成する場合、合成されたベクトルの大きさ（速さ）は三平方の定理で求めることができます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、岸から見たボートの速度を、静水時のボートの速度と川の流速の合成ベクトルとして捉えます。2つの速度ベクトルは直角なので、三平方の定理を用いて合成速度の大きさを計算します。
- (2)では、ボートの運動を川を横断する方向と流される方向に分解します。対岸に達する時間は、川を横断する方向の運動のみに着目し、「時間 = 距離 ÷ 速さ」の公式を用いて計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
「岸から見たボートの速さ」とは、ボート自身の推進力による速度と、川の流れによる速度が合わさった「合成速度」の大きさを指します。ボートは岸に垂直に進もうとし、川は岸に平行に流れるため、この2つの速度ベクトルは互いに直角です。したがって、これらのベクトルを2辺とする直角三角形の斜辺の長さを求める問題と考えることができます。
この設問における重要なポイント
- 速度は大きさと向きを持つベクトル量であり、合成はベクトルの足し算で行う。
- 互いに直角な2つのベクトルを合成する場合、その大きさは三平方の定理で求められる。
- 速さを単純に足し算（\(4.0+3.0=7.0\)）しないように注意する。
具体的な解説と立式
岸から見たボートの速度を \(\vec{v}\)、静水時のボートの速度を \(\vec{v}_{\text{ボート}}\)、川の流速を \(\vec{v}_{\text{川}}\) とすると、これらの関係はベクトルの和で表されます。
$$ \vec{v} = \vec{v}_{\text{ボート}} + \vec{v}_{\text{川}} \quad \cdots ① $$
それぞれの速度の大きさは、
- \(|\vec{v}_{\text{ボート}}| = 4.0\) m/s （岸に垂直な方向）
- \(|\vec{v}_{\text{川}}| = 3.0\) m/s （岸に平行な方向）
であり、\(\vec{v}_{\text{ボート}}\) と \(\vec{v}_{\text{川}}\) は直角をなします。したがって、求める速さ \(v = |\vec{v}|\) は、三平方の定理を用いて計算できます。
$$ v = \sqrt{ |\vec{v}_{\text{ボート}}|^2 + |\vec{v}_{\text{川}}|^2 } \quad \cdots ② $$
- 速度の合成: \(\vec{v} = \vec{v}_{\text{ボート}} + \vec{v}_{\text{川}}\)
- 三平方の定理
式②に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{ (4.0)^2 + (3.0)^2 } \\[2.0ex]&= \sqrt{ 16 + 9 } \\[2.0ex]&= \sqrt{25} \\[2.0ex]&= 5.0
\end{aligned}
$$
したがって、岸から見たボートの速さは \(5.0\) m/s となります。
ボートは、対岸に向かって \(4.0\) m/s で進みながら、同時に川の流れで横に \(3.0\) m/s で流されます。岸から見ると、この2つの動きが合わさった斜めの方向に進んでいるように見えます。このときの速さは、縦が4、横が3の直角三角形の斜辺の長さを求めるのと同じです。三平方の定理を使うと、\(\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\) と計算でき、速さは \(5.0\) m/s となります。
岸から見たボートの速さは \(5.0\) m/s です。これは、3:4:5の有名な直角三角形の関係にあり、物理的に妥当な値です。
問(2)
思考の道筋とポイント
ボートが対岸に達するまでの時間を求めます。この時間は、川を「横断する」運動にのみ依存します。ボートの運動を、川を横断する方向（岸に垂直）と、川に流される方向（岸に平行）に分解して考えます。川の流れはボートを下流に流しますが、対岸に到達するまでの時間には影響しない、という「運動の独立性」が鍵となります。
この設問における重要なポイント
- 運動を互いに垂直な2方向に分解して考える。
- 対岸に達する時間は、川幅（垂直方向の距離）と、垂直方向の速度成分だけで決まる。
- 川の流れの速さや、(1)で求めた合成速度は、この計算には使わない。
具体的な解説と立式
対岸に達するまでの時間 \(t\) を求めます。
川を横断する方向の距離は、川幅 \(W = 40\) m です。
この方向の速度成分は、ボートが岸に対して直角に漕ぎ出す速さ、すなわち静水時のボートの速さ \(v_{\text{ボート}} = 4.0\) m/s です。
時間、距離、速さの関係式 \(t = \displaystyle\frac{\text{距離}}{\text{速さ}}\) を、この横断方向の運動に適用します。
$$ t = \frac{W}{v_{\text{ボート}}} \quad \cdots ③ $$
- 等速直線運動: \(t = \displaystyle\frac{\text{距離}}{\text{速さ}}\)
- 運動の独立性
式③に \(W = 40\) m, \(v_{\text{ボート}} = 4.0\) m/s を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{40}{4.0} \\[2.0ex]&= 10
\end{aligned}
$$
したがって、対岸に達するまでの時間は \(10\) s となります。
ボートが川を渡るのにかかる時間を考えます。川の幅は \(40\) mです。ボートは対岸に向かってまっすぐ \(4.0\) m/s の速さで進みます。川の流れはボートを横に流すだけで、対岸に向かう速さには影響しません。したがって、\(40\) m の距離を \(4.0\) m/s の速さで進むのにかかる時間は、単純に距離を速さで割ればよく、\(40 \div 4.0 = 10\) 秒となります。
ボートが対岸に達するまでの時間は \(10\) s です。この10秒の間に、ボートは下流に \(3.0 \text{ m/s} \times 10 \text{ s} = 30 \text{ m}\) 流されることになりますが、時間を求める上ではこの計算は不要です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 速度の合成と運動の独立性:
- 核心: この問題は、2次元の運動を「速度の合成」という一つの視点と、「運動の分解（独立性）」というもう一つの視点の両方から捉えられるかが核心です。
- 理解のポイント:
- (1)の「岸から見た速さ」は、2つの速度ベクトルを合成して全体の運動を捉える問題です。
- (2)の「対岸に達する時間」は、全体の運動を岸に垂直な方向と平行な方向に分解し、垂直方向の運動だけを抜き出して考える問題です。この2つのアプローチを問題に応じて使い分ける能力が求められます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 最短時間で対岸に渡る: 本問のように、船首を岸に垂直に向けるのが最短時間で渡る方法です。
- 最短距離で対岸に渡る: 対岸の真向かいの点に着くためには、船首を少し上流に向ける必要があります。このとき、ボートの速度の岸に平行な成分が、川の流速を打ち消すように調整します。
- 下流に流される距離を求める: (2)で求めた時間 \(t=10\) s に、川の流速 \(3.0\) m/s を掛ければ、下流に流された距離 \(30\) m が計算できます。
- 初見の問題での着眼点:
- 速度ベクトルを図示する: 「静水時のボートの速度」「川の流速」「岸から見た速度」の3つのベクトルを、始点を揃えて図に描きます。これにより、ベクトルの関係性が一目瞭然になります。
- 運動を分解する座標軸を設定する: 岸に垂直な方向をy軸、平行な方向をx軸のように設定すると、各速度を成分で表すことができ、計算が整理されます。
- 何が問われているか明確にする: 「速さ」なのか「時間」なのか「距離」なのか。また、それは「合成された」ものなのか、「ある方向の成分」なのかを正確に読み取ることが、正しい公式選択の第一歩です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 速度の大きさを単純に足し引きする:
- 誤解: (1)で \(4.0 + 3.0 = 7.0\) m/s や \(4.0 – 3.0 = 1.0\) m/s と計算してしまう。
- 対策: 速度はベクトル量であることを常に意識しましょう。向きが異なる速度の和は、ベクトルの作図や成分計算で求めるのが原則です。特に直角の場合は三平方の定理、と覚えましょう。
- 対岸に達する時間の計算に合成速度を使う:
- 誤解: (2)で、(1)で求めた合成速度 \(5.0\) m/s を使い、時間 \(t = 40 \div 5.0 = 8\) s と計算してしまう。
- 対策: 「時間 = 距離 ÷ 速さ」の公式を使うとき、距離と速さは同じ方向の成分でなければなりません。「岸に垂直な距離（川幅）」を横切る時間を計算するのだから、「岸に垂直な速度成分」を使わなければならない、と論理的に考えましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 速度の合成（ベクトル和）:
- 選定理由: 岸から見たボートの運動は、「水に対するボートの運動」と「岸に対する水の運動」の重ね合わせとして起こります。この「重ね合わせ」を数学的に表現するのがベクトルの和（合成）です。
- 適用根拠: これはガリレイの相対性原理の基本的な考え方です。複数の要因が同時に運動に影響を与える場合、それぞれの影響をベクトルとして足し合わせることで、最終的な運動を予測できます。
- 運動の独立性:
- 選定理由: 複雑な2次元の運動を、単純な1次元の運動の集まりとして扱うための強力なツールです。
- 適用根拠: 岸に垂直な方向の運動（y方向）と平行な方向の運動（x方向）は、互いに影響を及ぼしません。例えば、y方向の速度がx方向の力の影響を受けたり、その逆が起こったりはしません。このため、y方向の時間計算にはy方向の速度と距離だけを、x方向の距離計算にはx方向の速度と時間だけを使えばよい、ということになります。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位を書き込む: \(t = \displaystyle\frac{40 \text{ [m]}}{4.0 \text{ [m/s]}}\) のように、計算式に単位を書き込むことで、自分が何を計算しているのかが明確になり、答えの単位の間違いも防げます。
- 有効数字を意識する: 問題で与えられた数値が \(4.0\) m/s, \(3.0\) m/s, \(40\) m と、すべて有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁で答えるのが適切です。(1)の答えは \(5\) m/s ではなく \(5.0\) m/s、(2)の答えは \(10\) s となります。
- 図を描いて確認: (1)では、3, 4, 5 の直角三角形を描くことで、計算結果が妥当であることを視覚的に確認できます。(2)では、運動をx, yに分解した図を描くことで、どの距離をどの速度で割るべきかが明確になります。
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