今回の問題
dynamics30-1【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「静止摩擦力と最大静止摩擦力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 静止摩擦力: 物体が静止しているときにはたらく摩擦力。外から加えられた力とつり合うように大きさが変化する。
- 最大静止摩擦力: 静止摩擦力が出せる限界の大きさ。これを超えると物体は動き出す。大きさは静止摩擦係数 \(\mu\) と垂直抗力 \(N\) を用いて、\(f_{\text{最大}} = \mu N\) と計算される。
- 力のつり合い: 物体が静止しているとき、物体にはたらく力の合力は0になる。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、物体がまだ静止している状態であることに着目し、水平方向の力のつり合いから静止摩擦力の大きさを求めます。
- (2)では、「すべりだした」という記述から、その瞬間の力が最大静止摩擦力に等しいことを利用し、最大静止摩擦力の公式から静止摩擦係数を求めます。
問(1)
思考の道筋とポイント
物体がまだすべり出していない、特定の力 \(F = \displaystyle\frac{F_0}{2}\) が加えられている瞬間の、静止摩擦力の大きさ \(f\) を求めます。静止摩擦力は、物体が動かない限り、外力とつり合うだけの大きさではたらく、という性質を理解しているかが問われます。
この設問における重要なポイント
- 静止摩擦力は、最大値に達するまでは、加えられた力と等しい大きさであること。
- \(f = \mu N\) の公式を安易に使わないこと。この公式はあくまで「最大値」を計算するためのものである。
具体的な解説と立式
問題文より、物体がすべり出すのは力が \(F_0\) になったときです。
今、加えられている力 \(F = \displaystyle\frac{F_0}{2}\) は、すべり出す限界の力 \(F_0\) よりも小さいです。したがって、物体はまだ静止しています。
物体が静止しているとき、水平方向にはたらく力はつり合っています。
- 水平右向きの力: 加えられた力 \(F\)
- 水平左向きの力: 静止摩擦力 \(f\)
力のつり合いの式を立てると、これらの大きさは等しくなります。
$$f = F$$
問題の条件 \(F = \displaystyle\frac{F_0}{2}\) を代入すると、
$$f = \frac{F_0}{2}$$
となります。
使用した物理公式
- 力のつり合い: (右向きの力の和) = (左向きの力の和)
立式したものがそのまま解答となります。
$$ f = \frac{F_0}{2} $$
静止摩擦力は、物体を動かさないように、外から加えられた力と全く同じ大きさで押し返す性質があります（ただし、限界はあります）。この問題では、すべり出す限界の力が \(F_0\) です。今、押されている力は \(\displaystyle\frac{F_0}{2}\) で、まだ限界に達していません。したがって、静止摩擦力は押された力と全く同じ大きさ、つまり \(\displaystyle\frac{F_0}{2}\) で押し返しています。
静止摩擦力の大きさは \(\displaystyle\frac{F_0}{2}\) です。これは、静止摩擦力が外力に応じて大きさを変えるという性質を正しく反映した結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
床と物体の間の静止摩擦係数 \(\mu\) を求めます。静止摩擦係数は、最大静止摩擦力の公式 \(f_{\text{最大}} = \mu N\) に含まれています。したがって、この式を利用するために、最大静止摩擦力 \(f_{\text{最大}}\) と垂直抗力 \(N\) の値を特定することが目標となります。
この設問における重要なポイント
- 最大静止摩擦力の大きさが、物体がすべり出す直前の力の大きさに等しいことを理解すること。
- 水平な面での垂直抗力が、重力と等しい \(N=mg\) となることを、鉛直方向の力のつり合いから導くこと。
具体的な解説と立式
静止摩擦係数 \(\mu\) は、最大静止摩擦力 \(f_{\text{最大}}\) と垂直抗力 \(N\) を用いて、以下の式で定義されます。
$$f_{\text{最大}} = \mu N \quad \cdots ①$$
この式を \(\mu\) について解くことを目指します。
まず、最大静止摩擦力 \(f_{\text{最大}}\) を求めます。
問題文の「力 \(F\) が \(F_0\) になったところで物体はすべりだした」という記述から、最大静止摩擦力の大きさは \(F_0\) に等しいことがわかります。
$$f_{\text{最大}} = F_0$$
次に、垂直抗力 \(N\) を求めます。
物体は水平な床の上にあり、上下方向には動いていないので、鉛直方向の力はつり合っています。
- 鉛直下向きの力: 重力 \(mg\)
- 鉛直上向きの力: 垂直抗力 \(N\)
力のつり合いより、
$$N = mg$$
これらの関係を式①に代入します。
$$F_0 = \mu (mg)$$
この式を \(\mu\) について解きます。
使用した物理公式
- 最大静止摩擦力の公式: \(f_{\text{最大}} = \mu N\)
- 力のつり合い
式 \(F_0 = \mu mg\) の両辺を \(mg\) で割って、\(\mu\) を求めます。
$$ \mu = \frac{F_0}{mg} $$
静止摩擦係数 \(\mu\) は、「最大静止摩擦力 ÷ 垂直抗力」で計算できます。最大静止摩擦力は、物体が動き出す瞬間の力なので \(F_0\) です。垂直抗力は、物体の重さ \(mg\) とつり合っているので \(N=mg\) です。したがって、\(\mu = \displaystyle\frac{F_0}{mg}\) となります。
静止摩擦係数は \(\displaystyle\frac{F_0}{mg}\) となります。静止摩擦係数は無次元量（単位なし）であり、この式の単位も \(\frac{[\text{N}]}{[\text{kg}][\text{m/s}^2]} = \frac{[\text{N}]}{[\text{N}]}\) となり、単位がないことが確認でき、妥当な結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 静止摩擦力と最大静止摩擦力の明確な区別:
- 核心: この問題のすべては、「静止摩擦力」と「最大静止摩擦力」が異なる概念であることを理解しているかどうかにかかっています。
- 理解のポイント:
- 静止摩擦力 \(f\): 外力に応じて大きさを変える「調整役」の力。物体が静止している限り、\(f = (\text{外力})\) が成り立つ。
- 最大静止摩擦力 \(f_{\text{最大}}\): 静止摩擦力が出せる「限界値」。\(f_{\text{最大}} = \mu N\) という公式で計算される固定値。この限界を超えた瞬間に物体は動き出す。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 斜面上の物体: 物体が斜面上にある場合、垂直抗力 \(N\) は重力の一成分とつり合うため \(N = mg\cos\theta\) となります。この \(N\) を使って最大静止摩擦力を計算する必要があります。
- 上から押さえつける力が加わる場合: 物体を上から力 \(P\) で押さえつけると、鉛直方向の力のつり合いは \(N = mg + P\) となり、垂直抗力が増加します。その結果、最大静止摩擦力も大きくなります。
- 初見の問題での着眼点:
- 状況判断: まず、問題文から物体が「静止している」のか「すべり出す瞬間」なのか、それとも「動いている」のかを判断します。これが最も重要です。
- 「静止している」場合: 水平方向・鉛直方向それぞれの「力のつり合い」の式を立てます。静止摩擦力 \(f\) は、このつり合いの式から求めます。
- 「すべり出す瞬間」の場合: 「力のつり合い」が成り立っている最後の瞬間です。この瞬間に限り、「静止摩擦力 = 最大静止摩擦力 (\(\mu N\))」という特別な条件式を追加で使うことができます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 静止摩擦力を常に \(f = \mu N\) で計算しようとするミス:
- 誤解: (1)のような、まだすべり出していない状況で \(f = \mu N\) の公式を使おうとしてしまう。
- 対策: この公式は「最大値」を計算するためのものであり、「普段の値」ではないと強く意識しましょう。「すべり出す瞬間」というキーワードがない限り、この公式は使えません。静止しているときは、まず「力のつり合い」を考える癖をつけましょう。
- 垂直抗力 \(N\) を常に \(mg\) と思い込むミス:
- 誤解: 斜面上の問題や、上下方向に他の力がはたらく問題でも、\(N=mg\) としてしまう。
- 対策: 垂直抗力 \(N\) は「重力とつり合う力」ではなく、「面が物体を垂直に押す力」です。その大きさは、常に鉛直方向（または面に垂直な方向）の力のつり合いの式を立てて求める、という手順を徹底しましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- なぜ(1)では「力のつり合い」なのか？:
- 選定理由: (1)の状況は、力が加えられているが「物体は静止している」状態です。物理学において、静止（加速度が0）している物体にはたらく力の合力は0になる、というのが「力のつり合い」の定義そのものです。
- 適用根拠: 静止摩擦力は、外力に対抗してつり合いを保つために発生する力です。したがって、その大きさを知るためには、つり合いの式を立てることが最も直接的で論理的な方法となります。
- なぜ(2)では「最大静止摩擦力の公式」なのか？:
- 選定理由: (2)で問われている静止摩擦係数 \(\mu\) は、最大静止摩擦力の公式 \(f_{\text{最大}} = \mu N\) にしか現れない物理量です。したがって、この公式を使わざるを得ません。
- 適用根拠: この公式を使うためには、\(f_{\text{最大}}\) の値が必要です。問題文の「\(F_0\) になったところで物体はすべりだした」という記述が、まさに「その瞬間の静止摩擦力が最大値 \(F_0\) に達した」ことを示しています。この問題文の記述と公式を結びつけることが、論理的な適用根拠となります。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 力の図示を徹底する: どんなに簡単な問題に見えても、必ず物体にはたらくすべての力（この場合は重力、垂直抗力、加える力、摩擦力）を矢印で図示する習慣をつけましょう。これにより、力の見落としや向きの間違いを視覚的に防げます。
- 水平・鉛直を分けて考える: 力のつり合いを考える際は、「水平方向のつり合い」と「鉛直方向のつり合い」の2つの式を別々に立てることを意識しましょう。ごちゃ混ぜにすると混乱のもとです。
- 言葉と数式を一致させる:
- 「静止している」→ \(f = F\) (つり合い)
- 「すべり出す瞬間」→ \(F = F_0 = f_{\text{最大}} = \mu N\)
このように、問題文のキーワードと、それに対応する数式をセットで覚えることで、状況に応じた正しい式を素早く選択できるようになります。
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