問題の確認
dynamics#15各設問の思考プロセス
この問題は、ばねの弾性力に関するフックの法則 \(F=kx\) を中心に考えます。ここで、\(F\) は弾性力の大きさ、\(k\) はばね定数、\(x\) はばねの自然長からの伸びまたは縮みです。
- フックの法則の理解:
- ばねの弾性力は、伸び（または縮み）に比例します。その比例定数がばね定数 \(k\) です。
- 単位に注意が必要です。力 \(F\) はニュートン[\(\text{N}\)]、伸び \(x\) はメートル[\(\text{m}\)]、ばね定数 \(k\) はニュートン毎メートル[\(\text{N/m}\)]が基本です。
- 設問(1)の進め方:
- 与えられた力 \(F\) と伸び \(x\)（単位をメートルに変換）をフックの法則 \(F=kx\) に代入し、ばね定数 \(k\) を求めます。
- 設問(2)の進め方:
- 設問(1)で求めたばね定数 \(k\) と、新たに与えられた伸び \(x’\)（単位をメートルに変換）をフックの法則 \(F’=kx’\) に代入し、力 \(F’\) を求めます。
- 設問(3)の進め方:
- 与えられた \(F-x\) グラフは、フックの法則における \(F\) と \(x\) の関係を示しています。
- \(F=kx\) の関係から、ばね定数 \(k\) はグラフの傾きに相当します。グラフから読み取りやすい点の \(F\) と \(x\) の値を用いて、\(k = F/x\) を計算します。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 一端を固定したばねの他端を持ち、自然の長さから 15 cm だけ引き伸ばすと、手はばねから 3.0Nの力で引きかえされる。このばねのばね定数は何 N/m か。
問われている内容の明確化:
ばねの伸び \(x\) とその時の弾性力の大きさ \(F\) が与えられているので、ばね定数 \(k\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
手がばねから引き返される力は、ばねの弾性力の大きさに等しいです。
- 弾性力の大きさ: \(F = 3.0 \, \text{N}\)
- ばねの伸び: \(x = 15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m}\) （メートルに変換）
フックの法則 \(F = kx\) を用います。
$$F = kx$$
ばね定数 \(k\) について解くと \(k = \frac{F}{x}\)。値を代入します。
$$k = \frac{3.0 \, \text{N}}{0.15 \, \text{m}} = \frac{300}{15} \, \text{N/m} = 20 \, \text{N/m}$$
計算方法の平易な説明:
ばねの硬さを表す「ばね定数 (\(k\))」を求めます。使うのはフックの法則「力 \(F\) = ばね定数 \(k \times\) 伸び \(x\)」です。
問題から、力 \(F = 3.0 \, \text{N}\)、伸び \(x = 15 \, \text{cm}\) です。
まず、伸びをメートルに直します: \(15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m}\)。
公式に当てはめると、\(3.0 = k \times 0.15\)。
ここから \(k\) を計算すると、\(k = \frac{3.0}{0.15} = 20\)。
単位は \(\text{N/m}\) (ニュートン毎メートル) です。
この設問における重要なポイント:
- フックの法則 \(F=kx\) を正しく適用する。
- ばねの伸びの単位をメートル(\(\text{m}\))に変換する。ばね定数の標準単位は \(\text{N/m}\) である。
このばねのばね定数は \(20 \, \text{N/m}\) である。
(2) このばねを自然の長さから 25 cm だけ引き伸ばすと、手はばねから何Nの力で引きかえされるか。
問われている内容の明確化:
設問(1)と同じばねを、今度は \(25 \, \text{cm}\) 引き伸ばしたときの弾性力の大きさ \(F’\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
- ばね定数: \(k = 20 \, \text{N/m}\) （(1)の結果より）
- ばねの伸び: \(x’ = 25 \, \text{cm} = 0.25 \, \text{m}\) （メートルに変換）
フックの法則 \(F’ = kx’\) を用います。
$$F = kx$$
値を代入します。
$$F’ = (20 \, \text{N/m}) \times (0.25 \, \text{m})$$
$$F’ = 5.0 \, \text{N}$$
計算方法の平易な説明:
(1)で求めたばね定数 \(k=20 \, \text{N/m}\) を使います。
今度はばねを \(25 \, \text{cm}\) 伸ばします。メートルに直すと \(0.25 \, \text{m}\) です。
フックの法則「力 \(F\) = ばね定数 \(k \times\) 伸び \(x\)」から、
\(F’ = 20 \times 0.25\)。
\(0.25\) は \(\frac{1}{4}\) なので、\(20 \times \frac{1}{4} = 5\)。
よって、力は \(5.0 \, \text{N}\) です。
この設問における重要なポイント:
- 設問(1)で求めたばね定数 \(k\) を利用する。
- 伸びの単位をメートル(\(\text{m}\))に変換する。
- フックの法則を適用して弾性力を計算する。
手はばねから \(5.0 \, \text{N}\) の力で引き返される。
(3) あるばねの弾性力の大きさFと自然の長さからの伸び x[m] の関係が下のグラフで与えられた。このばねのばね定数は何 N/m か。
問われている内容の明確化:
与えられた弾性力 \(F\) と伸び \(x\) の関係を示すグラフから、このばねのばね定数 \(k\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
フックの法則 \(F=kx\) によれば、ばね定数 \(k\) は \(F-x\) グラフの傾きに相当します。
グラフから読み取りやすい点を選びます。図中の太い点で示されているように、\(x = 0.20 \, \text{m}\) のとき \(F = 3.0 \, \text{N}\) です。
- 弾性力の大きさ: \(F = 3.0 \, \text{N}\)
- ばねの伸び: \(x = 0.20 \, \text{m}\)
ばね定数 \(k\) は \(k = \frac{F}{x}\) で計算できます。
$$k = \frac{F}{x} \quad (\text{グラフの傾き})$$
値を代入します。
$$k = \frac{3.0 \, \text{N}}{0.20 \, \text{m}} = \frac{30}{2} \, \text{N/m} = 15 \, \text{N/m}$$
計算方法の平易な説明:
グラフは、ばねの伸び \(x\)（横軸）と、そのときのばねの力 \(F\)（縦軸）の関係を表しています。
ばね定数 \(k\) は、\(F \div x\) で計算できます。これはグラフの線の傾きと同じです。
グラフを見ると、\(x\) が \(0.20 \, \text{m}\) のとき、\(F\) は \(3.0 \, \text{N}\) です。
なので、\(k = \frac{3.0}{0.20} = 15\)。
単位は \(\text{N/m}\) です。
この設問における重要なポイント:
- \(F-x\) グラフにおいて、原点を通る直線の傾きがばね定数 \(k\) を表す。
- グラフから対応する \(F\) と \(x\) の値を正確に読み取り、\(k = F/x\) を計算する。
- この設問では、グラフの軸の単位が既に \(\text{N}\) と \(\text{m}\) なので、単位変換は不要。
このばねのばね定数は \(15 \, \text{N/m}\) である。
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- フックの法則: ばねの弾性力の大きさ \(F\) は、ばねの自然長からの変位（伸びまたは縮み） \(x\) に比例する (\(F=kx\))。この法則は、ばねが弾性的に振る舞う範囲（弾性限界内）で成り立つ。
- ばね定数 (\(k\)): ばねの硬さを示す比例定数。単位はニュートン毎メートル (\(\text{N/m}\))。\(k\) が大きいほど、ばねを同じ長さだけ変形させるのにより大きな力が必要になる（硬いばね）。
- 弾性力（復元力）: 変形した物体が元の状態に戻ろうとする力。ばねの場合、その向きは常に変位と反対向きである。
- \(F-x\) グラフ: ばねの弾性力 \(F\) と伸び \(x\) の関係を示したグラフ。フックの法則に従うばねでは、このグラフは原点を通る直線となり、その直線の傾きがばね定数 \(k\) に等しい。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 単位の一貫性の確保: フックの法則 \(F=kx\) を用いる際は、力の単位をニュートン[\(\text{N}\)]、長さの単位をメートル[\(\text{m}\)]に統一することで、ばね定数の単位がニュートン毎メートル[\(\text{N/m}\)]となる。センチメートル[\(\text{cm}\)]で与えられた場合は、メートル[\(\text{m}\)]に変換するのを忘れないようにする。
- 力の向きと大きさ: 問題文で「手がばねから引きかえされる力」とある場合、それはばねが手におよぼす弾性力の大きさを指している。この力は、手がばねを伸ばすために加えている力と大きさが等しく向きが反対である（つり合いの状態や作用・反作用の関係）。
- グラフからの読み取り精度: グラフから値を読み取る際は、できるだけ目盛りが正確に読み取れる点（格子点や問題で明示された点）を選ぶ。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 単位変換の漏れ: ばねの伸びをセンチメートル[\(\text{cm}\)]のまま計算してしまい、結果の単位や数値が誤ってしまう。(\(1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}\))
- フックの法則の式の混同: \(F=kx\) の関係を \(k=Fx\) や \(F=k/x\) などと間違って覚えてしまう。
- グラフの軸の確認不足: グラフ問題では、縦軸と横軸がそれぞれ何を表しているか（物理量と単位）をしっかり確認する。\(F-x\)グラフの傾きが \(k\) であるが、もし \(x-F\)グラフ（縦軸\(x\)、横軸\(F\)）なら傾きは \(1/k\) になる。
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