「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 31】Step1 & 例題

Step1

① 原子の構造

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ラザフォードの実験と原子核の発見」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、トムソンの「ぶどうパンモデル」からラザフォードの「原子核モデル」へと、原子の理解がどのように進化したかを問うています。
ラザフォードが行った「α線散乱実験」の結果が、なぜ原子核の発見につながったのか、その論理的な流れを理解することが重要です。α粒子が正の電荷を持つこと、そして大きな角度で散乱される（跳ね返される）という事実が、原子の中心に「正の電荷を持つ、非常に小さくて重い核」が存在することを示唆した、という科学史のストーリーを思い出すことができれば、各空欄を埋めることができます。

この設問における重要なポイント

• トムソンの原子模型（ぶどうパンモデル）: ラザフォードの実験以前のモデル。原子は、正の電荷が全体に一様に分布した球（パン）の中に、負の電荷を持つ電子（ぶどう）が点在しているというもの。このモデルでは、α粒子はほとんどまっすぐ通り抜けるはずだと予測されていました。
• ラザフォードのα線散乱実験:
  • プローブ（探針）: 金箔にぶつける粒子として、正の電荷を持つα粒子（ヘリウムの原子核 \({}_2^4\text{He}\)）を用いました。
  • 実験結果: ほとんどのα粒子は金箔を通り抜けたが、ごく一部（約2万分の1）が大きな角度で散乱され、中にはほぼ真後ろに跳ね返されるものもありました。
  • 結論: トムソンモデルでは説明できないこの結果から、原子の中心には「正の電荷と質量の大部分が集中した、非常に小さな核」が存在すると結論づけました。
• ラザフォードの原子模型（惑星モデル）:
  • 中心に原子核（正の電荷、質量の大部分）が存在する。
  • その周りを、負の電荷を持つ電子が、太陽系の惑星のように公転している。

具体的な解説と立式
この問題は物理学の歴史と概念に関するもので、計算式を立てる必要はありません。文脈に沿って各空欄を埋めていきます。

1. 空欄①: ラザフォードが金箔に当てて散乱の様子を観察した粒子は、放射性物質から放出されるα粒子です。
2. 空欄②: α粒子は正の電荷を持っています。そのα粒子が大きな角度で跳ね返されるのは、原子の中心に同じ種類の電荷、すなわち正の電荷を持つ反発力の源があるからだと考えられます。また、α粒子は電子よりはるかに重いため、それを跳ね返すには原子の質量のほとんどがその中心部に集中している必要があります。
3. 空欄③: 原子全体としては電気的に中性であるため、正の電荷を持つ中心部の周りには、負の電荷を持つ粒子がバランスをとるように存在しているはずです。この粒子は電子です。
4. 空欄④: ラザフォードは、この「正の電荷と質量のほとんどが集中した、ごく小さな中心部」を原子核と名付けました。

この問題には計算過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた、ラザフォードの実験の解釈そのものが解答プロセスとなります。

• ① → α粒子
• ② → 正
• ③ → 電子
• ④ → 原子核

ラザフォードの実験を「原子の中を探る探検」に例えてみましょう。

1. 探検の道具（①）: ラザフォードは「α粒子」という小さな弾丸を、とても薄い金の膜に向かって撃ち込みました。
2. 驚きの発見: ほとんどの弾丸は金の膜をスイスイ通り抜けましたが、ごくたまに「カチン！」と何かに当たって、大きくコースを変えたり、跳ね返ってきたりする弾丸がありました。
3. 推理（②、③）:
   • α粒子はプラスの電気を持っています。それが跳ね返されたということは、原子の中に同じプラス（正）の電気を持った、とても硬くて重い芯があるに違いない。
   • でも、原子全体ではプラスマイナスゼロのはず。ということは、そのプラスの芯の周りを、マイナスの電気を持つ「電子」が飛んでいるのだろう。
4. 命名（④）: ラザフォードは、この原子の中心にある「小さくて重い、プラス電気の塊」を「原子核」と名付けました。これが、現在の原子モデルの原型です。

② 水素原子のスペクトル

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水素原子の輝線スペクトルとリュードベリの公式」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、ボーアの原子模型における電子のエネルギー準位の遷移と、それに伴って放出される光の波長の関係を、リュードベリの公式を用いて定量的に計算するものです。
この問題を解くためには、リュードベリの公式 \(\displaystyle\frac{1}{\lambda} = R\left(\displaystyle\frac{1}{n’^2} – \displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\) を正確に記憶していることが大前提となります。
公式を覚えた上で、遷移前の準位\(n\)と遷移後の準位\(n’\)を正しく代入することが重要です。この問題では、\(n=3\)から\(n’=2\)への遷移なので、\(n=3\), \(n’=2\)を代入します。計算過程で分数の計算や逆数をとる操作が含まれるため、計算ミスに注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• ボーアの原子模型と光の放出: 原子内の電子は、とびとびのエネルギーを持つ特定の軌道（エネルギー準位）にしか存在できません。電子がエネルギーの高い軌道（外側）から低い軌道（内側）へジャンプするとき、その差額のエネルギーを光子として放出します。これが原子のスペクトル線の正体です。
• リュードベリの公式: 水素原子から放出される光の波長\(\lambda\)の逆数は、リュードベリ定数\(R\)と、遷移前の主量子数\(n\)、遷移後の主量子数\(n’\)を用いて次のように表されます。
  $$ \displaystyle\frac{1}{\lambda} = R\left(\displaystyle\frac{1}{n’^2} – \displaystyle\frac{1}{n^2}\right) \quad (n > n’) $$
• バルマー系列: 水素原子のスペクトル線のうち、可視光領域に現れるものをバルマー系列と呼びます。これは、\(n’=2\)の軌道への電子遷移に対応します。今回の問題（\(n=3 \rightarrow n’=2\)）は、バルマー系列の中で最も波長の長い輝線（Hα線）に相当します。
• 有効数字: リュードベリ定数が \(R = 1.1 \times 10^7 \, \text{/m}\) と有効数字2桁で与えられているため、最終的な答えも有効数字2桁でまとめます。

具体的な解説と立式
水素原子において、主量子数\(n\)の軌道から\(n’\)の軌道へ電子が遷移する際に放出される光の波長\(\lambda\)は、リュードベリの公式によって与えられます。
$$ \displaystyle\frac{1}{\lambda} = R\left(\displaystyle\frac{1}{n’^2} – \displaystyle\frac{1}{n^2}\right) \quad \cdots ① $$
この問題では、遷移前が\(n=3\)、遷移後が\(n’=2\)です。これらの値を式①に代入して、波長\(\lambda\)を求めます。

式①に、\(R = 1.1 \times 10^7 \, \text{/m}\)、\(n=3\)、\(n’=2\)を代入します。
まず、波長の逆数 \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda} &= (1.1 \times 10^7) \times \left(\frac{1}{2^2} – \frac{1}{3^2}\right) \\[2.0ex]&= (1.1 \times 10^7) \times \left(\frac{1}{4} – \frac{1}{9}\right) \\[2.0ex]&= (1.1 \times 10^7) \times \left(\frac{9-4}{36}\right) \\[2.0ex]&= (1.1 \times 10^7) \times \frac{5}{36}
\end{aligned}
$$
次に、この逆数をとって波長\(\lambda\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{1}{(1.1 \times 10^7) \times \frac{5}{36}} \\[2.0ex]&= \frac{36}{5.5 \times 10^7} \\[2.0ex]&= \frac{36}{5.5} \times 10^{-7} \\[2.0ex]&= 6.5454\dots \times 10^{-7}
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁に丸めます。\(6.5454\dots\)の小数第2位の\(4\)は5未満なので切り捨てます。
したがって、放出される光の波長は \(6.5 \times 10^{-7} \, \text{m}\) となります。

この問題は、原子の中の電子が「3階建ての軌道」から「2階建ての軌道」に引っ越すときに発生する光の「波長（色のようなもの）」を計算する問題です。

1. まず、「リュードベリの公式」という魔法の計算式を使います。
   $$ \frac{1}{\text{波長}} = (\text{定数}R) \times \left( \frac{1}{\text{ゴール階}^2} – \frac{1}{\text{スタート階}^2} \right) $$
2. この公式に、問題の数字を当てはめます。
   • 定数\(R\): \(1.1 \times 10^7\)
   • ゴール階: \(n’=2\)
   • スタート階: \(n=3\)
3. すると、\(\displaystyle\frac{1}{4} – \displaystyle\frac{1}{9} = \displaystyle\frac{5}{36}\) という分数の計算が出てきます。
4. これらをすべて掛け合わせると、波長の「逆数」が求まります。
5. 最後に、求まった答えを「ひっくり返す（逆数をとる）」のを忘れないようにしましょう。そうすれば、本当の波長の長さがわかります。

③ ボーアの水素原子モデル

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ボーアの原子模型における電子の円運動の運動方程式」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、原子というミクロな世界で起こっている現象を、高校物理で学ぶ「力学（円運動）」と「電磁気学（クーロン力）」というマクロな世界の法則を組み合わせて記述する、典型的な問題です。
最大のポイントは、電子がなぜ原子核の周りを回り続けられるのか、その「向心力」の正体を見抜くことです。この問題では、中心にある陽子（正電荷）と周りを回る電子（負電荷）が互いに引き合う「静電気力」が、電子を円軌道につなぎとめる向心力の役割を果たしています。
したがって、円運動の運動方程式 \(ma=F\) の \(F\) にクーロン力の大きさを、\(a\) に向心加速度の大きさを代入すれば、目的の式を立てることができます。

この設問における重要なポイント

• 等速円運動の運動方程式: 質量\(m\)の物体が速さ\(v\)、半径\(r\)で等速円運動するとき、物体には常に円の中心向きに大きさ \(F\) の向心力が働いています。このとき、運動方程式は \(ma=F\) の形で表され、向心加速度の大きさ \(a=\displaystyle\frac{v^2}{r}\) を用いて、\(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\) と書くことができます。
• 向心力: 円運動を維持するために必要な、常に円の中心を向く力のことです。この問題では、陽子と電子の間に働く静電気力がその役割を担っています。
• クーロンの法則: 2つの点電荷 \(q_1, q_2\) が距離\(r\)だけ離れているとき、互いに及ぼしあう静電気力の大きさ\(F\)は、比例定数を\(k_0\)として \(F = k_0\displaystyle\frac{|q_1q_2|}{r^2}\) で与えられます。
• 今回の設定: 陽子の電気量は \(+e\)、電子の電気量は \(-e\) です。したがって、力の大きさを計算する際の \(|q_1q_2|\) は \(|(+e)(-e)| = e^2\) となります。

具体的な解説と立式
電子は、陽子からの静電気力を向心力として等速円運動をしています。電子の円運動の運動方程式を立てます。
運動方程式の基本形は \(ma = F\) です。

1. 運動方程式の左辺（\(ma\)）
   電子の質量は \(m\)、速さは \(v\)、円運動の半径は \(r\) です。
   等速円運動の加速度（向心加速度）の大きさ \(a\) は、
   $$ a = \displaystyle\frac{v^2}{r} $$
   で与えられます。したがって、運動方程式の左辺は次のように表せます。
   $$ ma = m\displaystyle\frac{v^2}{r} \quad \cdots ① $$
2. 運動方程式の右辺（\(F\)）
   向心力 \(F\) は、陽子と電子の間に働く静電気力です。
   陽子の電気量は \(e\)、電子の電気量は \(-e\)、両者間の距離は \(r\) です。
   クーロンの法則より、静電気力の大きさ \(F\) は、
   $$ F = k_0\frac{|e \cdot (-e)|}{r^2} = k_0\frac{e^2}{r^2} \quad \cdots ② $$
   となります。
3. 運動方程式の完成
   ①と②を \(ma=F\) に代入して、電子の円運動の運動方程式が完成します。
   $$ m\displaystyle\frac{v^2}{r} = k_0\displaystyle\frac{e^2}{r^2} $$

この問題は運動方程式を立てることが目的であるため、これ以上の計算過程はありません。「具体的な解説と立式」で立てた式がそのまま解答となります。

この問題は、電子が原子核の周りをぐるぐる回っている様子を、物理の言葉（数式）で表現する問題です。

1. 電子が円を描いて回るためには、誰かが常に中心に向かって引っ張り続けている必要があります。この引っ張る力を「向心力」と呼びます。
2. 今回、電子（マイナス電気）を引っ張っているのは、中心にいる陽子（プラス電気）の「静電気力」です。
3. 円運動のルールを表す運動方程式は、「質量\(m \times\)加速度\(a\) = 向心力\(F\)」という形をしています。
4. 加速度\(a\)は、円運動の場合 \(\displaystyle\frac{v^2}{r}\) という特別な形で表せます。
5. 向心力\(F\)は、静電気力の公式 \(k_0\displaystyle\frac{e^2}{r^2}\) を使います。
6. これらをパズルのように組み合わせると、\(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = k_0\displaystyle\frac{e^2}{r^2}\) という式が完成します。

④ 量子条件

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ボーアの原子模型における量子条件」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、ラザフォードの原子模型の欠点を克服するために、ボーアが導入した「量子条件」の物理的意味を問うています。
ラザフォードのモデルでは、円運動する電子は電磁波を放出してエネルギーを失い、やがて原子核に墜落してしまうはずでした。しかし、現実の原子は安定です。この矛盾を解決するため、ボーアは「電子は、ある特定の条件を満たす軌道（定常状態）にいるときに限り、電磁波を放出しない」という大胆な仮説を立てました。その「特定の条件」こそが量子条件です。
この量子条件の物理的意味は、後にド・ブロイが提唱した「物質波」の考え方によって見事に説明されました。すなわち、量子条件とは「電子の物質波が、円軌道上で互いに干渉して強め合い、安定な定常波を形成するための条件」なのです。この物理的イメージを掴むことが、この問題を理解する上で最も重要です。

この設問における重要なポイント

• ラザフォードモデルの困難: 古典電磁気学の法則に従うと、原子核の周りを回る電子は加速度運動をしているため、電磁波を放出してエネルギーを失い、約\(10^{-8}\)秒で原子核に衝突してしまうと計算されます。これは、原子が安定に存在するという事実と矛盾します。
• ボーアの量子条件: ボーアは、この困難を回避するために、電子は特定の離散的なエネルギー準位（定常状態）しかとることができず、これらの状態にある限りは電磁波を放出しない、と仮定しました。この定常状態を選ぶための規則が量子条件です。
• 物質波による解釈（定常波の条件）: ド・ブロイは、電子を波と考えました。電子の波が円軌道上で安定に存在するためには、波が1周して戻ってきたときに、元の波と位相がそろい、強め合う必要があります。これは、円周の長さが物質波の波長のちょうど整数倍になっていることを意味します。この状態を「定常波」と呼びます。
  • 円周 \(=\) 整数 \(\times\) 波長
  • \(2\pi r = n\lambda\)

具体的な解説と立式
ボーアの量子条件は、ド・ブロイの物質波の考え方を用いると、物理的に明快に理解できます。

1. まず、質量\(m\)、速さ\(v\)で運動する電子を、波長\(\lambda\)の物質波と考えます。この波長は次式で与えられます。
   $$ \lambda = \frac{h}{mv} $$
2. 次に、この電子の波が半径\(r\)の円軌道上で安定に存在するための条件を考えます。それは、波が軌道を1周したときに、波の山と谷がうまくつながり、打ち消しあうことなく定常波を形成することです。
3. この定常波の条件は、円周の長さ \(2\pi r\) が、物質波の波長 \(\lambda\) の自然数（\(n=1, 2, 3, \dots\)）倍になることです。
   $$ 2\pi r = n\lambda \quad \cdots ① $$
4. この式①に、物質波の波長の式 \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\) を代入します。
   $$ 2\pi r = n \frac{h}{mv} \quad \cdots ② $$
   これが量子条件を表す式の一つです。
5. 式②を、電子の角運動量 \(mvr\) について整理すると、もう一つの有名な形が得られます。
   $$ mvr = \frac{nh}{2\pi} \quad \cdots ③ $$

この問題は式を導くことが目的であり、数値計算はありません。
式②から式③への変形は以下の通りです。式②の両辺に \(mv\) を掛け、次に \(2\pi\) で割ることで、角運動量の形に整理します。
$$
\begin{aligned}
2\pi r &= n \frac{h}{mv} \\[2.0ex]2\pi r \cdot mv &= nh \\[2.0ex]mvr &= \frac{nh}{2\pi}
\end{aligned}
$$

なぜ電子は特定の軌道でだけ安定でいられるのか、その「秘密のルール」を解き明かす問題です。

1. ド・ブロイは「電子は粒であり、同時に波でもある」と考えました。
2. 電子が安定でいられるのは、その「波」が原子核の周りを1周したときに、出発点とぴったり同じ形でつながる場合だけです。これを「定常波」といい、ギターの弦が特定の音を出すのと同じ原理です。
3. この「波がきれいにつながる条件」を数式にすると、「円周の長さ \(=\) 整数 \(\times\) 波長」となります。
   • 円周の長さ: \(2\pi r\)
   • 波長: \(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\)
   • 整数: \(n\)
4. これらを組み合わせると、\(2\pi r = n \times \displaystyle\frac{h}{mv}\) という式ができます。これがボーアの量子条件です。この式を変形すると、\(mvr = \displaystyle\frac{nh}{2\pi}\) という、もう一つの有名な形になります。

⑤ 振動数条件

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ボーアの振動数条件とエネルギー準位」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、ボーアの原子模型の3つの柱の一つである「振動数条件」に関する基本的な計算問題です。
物理的なイメージとしては、「電子がエネルギーの高い状態から低い状態へ『落ちる』ときに、その位置エネルギーの差額分が光のエネルギーとして放出される」という、単純なエネルギー保存則の現れです。
計算自体は引き算だけですが、エネルギー準位が負の値で与えられているため、どちらがエネルギーの高い状態かを正確に判断することが重要です。数直線をイメージすると、\(-3.4\) は \(-13.6\) よりも右側（0に近い側）にあるため、\(-3.4 \, \text{eV}\) の方がエネルギーの高い準位となります。

この設問における重要なポイント

• エネルギー準位: 原子内の電子は、とびとびのエネルギーを持つ特定の軌道（エネルギー準位）にしか存在できません。原子核から無限に遠く離れて束縛されていない状態をエネルギーの基準（\(0 \, \text{eV}\)）とするため、原子核に束縛されている電子のエネルギーは負の値になります。
• 振動数条件: 電子がエネルギー準位\(E_{\text{前}}\)から、それより低いエネルギー準位\(E_{\text{後}}\)へ遷移するとき、そのエネルギー差に等しいエネルギーを持つ光子（エネルギー \(E_{\text{光子}}\)）が放出されます。この関係は、エネルギー保存則から導かれます。
  $$ E_{\text{光子}} = E_{\text{前}} – E_{\text{後}} $$
• エネルギー準位図: エネルギー準位を横線で表した図を考えると、電子の遷移が視覚的に理解しやすくなります。高い位置の準位から低い位置の準位への遷移（下向きの矢印）が、光の放出に対応します。

具体的な解説と立式
放出される光子のエネルギーを \(E_{\text{光子}}\) とします。
遷移前の電子のエネルギー準位を \(E_{\text{前}}\)、遷移後のエネルギー準位を \(E_{\text{後}}\) とすると、振動数条件はエネルギー保存則そのものであり、次のように立式できます。
$$ E_{\text{光子}} = E_{\text{前}} – E_{\text{後}} \quad \cdots ① $$
問題文より、遷移前のエネルギー準位は \(E_{\text{前}} = -3.4 \, \text{eV}\)、遷移後のエネルギー準位は \(E_{\text{後}} = -13.6 \, \text{eV}\) です。
これらの値を式①に代入して、光子のエネルギーを計算します。

式①に、与えられたエネルギー準位の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{光子}} &= E_{\text{前}} – E_{\text{後}} \\[2.0ex]&= (-3.4) – (-13.6) \\[2.0ex]&= -3.4 + 13.6 \\[2.0ex]&= 10.2
\end{aligned}
$$
したがって、放出される光子のエネルギーは \(10.2 \, \text{eV}\) となります。

この問題は、電子がエネルギーの「高い階」から「低い階」へ引っ越すときに、その「高さの差」の分だけ光を放出して知らせる、というイメージで解くことができます。

1. エネルギー準位は、地下にあるマンションの階数のようなものです。今回は「地下3.4階」と「地下13.6階」です。
2. 地下なので、数字が小さい（0に近い）「地下3.4階」の方が、数字が大きい「地下13.6階」よりも高い位置にあります。
3. 電子は、高い方の「地下3.4階」から低い方の「地下13.6階」へ引っ越します（エネルギーを放出して安定な状態になります）。
4. 放出される光のエネルギーは、この2つの階の「高さの差」です。単純に引き算で計算できます。
   （高い階のエネルギー）-（低い階のエネルギー）
   \(= (-3.4) – (-13.6) = 10.2\)
5. したがって、\(10.2 \, \text{eV}\) のエネルギーを持つ光が放出されます。

⑥ 振動数条件

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「振動数条件を用いた光子のエネルギーと振動数の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、電子のエネルギー準位の遷移という現象について、放出される光子の「エネルギー」と「振動数」という2つの物理量を、具体的な数値を用いて計算するものです。
解法は大きく2つのステップに分かれます。
ステップ1は、エネルギー準位の差を計算して、光子のエネルギーを求めることです。エネルギー準位は負の値で与えられているため、\(-2.42 \times 10^{-19} \, \text{J}\) の方が \(-5.45 \times 10^{-19} \, \text{J}\) よりもエネルギーが高い（束縛が緩い）状態であることを見抜くのがポイントです。
ステップ2は、ステップ1で求めたエネルギーを、光子のエネルギーの公式 \(E=h\nu\) に当てはめて振動数\(\nu\)を求めることです。
計算に用いる数値がすべて有効数字3桁で与えられているため、最終的な答えも有効数字3桁でまとめる必要があります。

この設問における重要なポイント

• 振動数条件: 電子がエネルギー準位\(E_{\text{前}}\)から、それより低いエネルギー準位\(E_{\text{後}}\)へ遷移するとき、そのエネルギー差に等しいエネルギーを持つ光子（エネルギー \(E_{\text{光子}}\)）が放出されます。
  $$ E_{\text{光子}} = E_{\text{前}} – E_{\text{後}} $$
• 光子のエネルギーと振動数: 光子1個が持つエネルギー\(E\)は、その振動数\(\nu\)とプランク定数\(h\)を用いて \(E=h\nu\) と表されます。この式は、エネルギーと振動数を相互に変換するための重要な関係式です。
• 有効数字: 計算に用いる数値は、エネルギー準位が \(-2.42 \times 10^{-19}\) と \(-5.45 \times 10^{-19}\)（有効数字3桁）、プランク定数が \(6.63 \times 10^{-34}\)（有効数字3桁）です。したがって、最終的な答えも有効数字3桁で答えます。

具体的な解説と立式
この問題は、光子のエネルギーと振動数の2つを求める必要があります。

1. 光子のエネルギーの計算
   放出される光子のエネルギーを \(E_{\text{光子}}\) とします。
   遷移前のエネルギー準位を \(E_{\text{前}} = -2.42 \times 10^{-19} \, \text{J}\)、遷移後のエネルギー準位を \(E_{\text{後}} = -5.45 \times 10^{-19} \, \text{J}\) とします。
   振動数条件より、
   $$ E_{\text{光子}} = E_{\text{前}} – E_{\text{後}} \quad \cdots ① $$
   この式に数値を代入してエネルギーを求めます。
2. 光子の振動数の計算
   光子のエネルギー \(E_{\text{光子}}\) と振動数 \(\nu\) の間には、プランク定数 \(h\) を用いて次の関係があります。
   $$ E_{\text{光子}} = h\nu \quad \cdots ② $$
   この式を振動数 \(\nu\) について解くと、
   $$ \nu = \frac{E_{\text{光子}}}{h} \quad \cdots ③ $$
   となります。この式に、①で求めたエネルギーと、与えられたプランク定数の値を代入して振動数を求めます。

エネルギーの計算
式①に、与えられたエネルギー準位の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{光子}} &= (-2.42 \times 10^{-19}) – (-5.45 \times 10^{-19}) \\[2.0ex]&= (-2.42 + 5.45) \times 10^{-19} \\[2.0ex]&= 3.03 \times 10^{-19}
\end{aligned}
$$
したがって、放出される光子のエネルギーは \(3.03 \times 10^{-19} \, \text{J}\) です。

振動数の計算
式③に、上で求めた \(E_{\text{光子}} = 3.03 \times 10^{-19} \, \text{J}\) と、プランク定数 \(h = 6.63 \times 10^{-34} \, \text{J}\cdot\text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\nu &= \frac{3.03 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \\[2.0ex]&= \frac{3.03}{6.63} \times 10^{-19 – (-34)} \\[2.0ex]&= 0.45701\dots \times 10^{15} \\[2.0ex]&= 4.5701\dots \times 10^{14}
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字3桁に丸めます。\(4.5701\dots\)の小数第3位の\(0\)は5未満なので切り捨てます。
したがって、光子の振動数は \(4.57 \times 10^{14} \, \text{Hz}\) となります。

この問題は、2段階の計算で解くことができます。

1. ステップ1：光子のエネルギーを求める
   電子がエネルギーの高い準位（\(-2.42 \times 10^{-19}\)）から低い準位（\(-5.45 \times 10^{-19}\)）へ落ちるとき、その差額が光のエネルギーになります。
   エネルギーの差は、単純な引き算で計算します。
   （高いエネルギー）-（低いエネルギー） \(= (-2.42) – (-5.45) = 3.03\)。
   これに \(10^{-19}\) をつけて、エネルギーは \(3.03 \times 10^{-19} \, \text{J}\) となります。
2. ステップ2：エネルギーを振動数に変換する
   光のエネルギーと振動数には、「エネルギー \(=\) プランク定数 \(h \times\) 振動数 \(\nu\)」という関係があります。
   この式を変形すると、「振動数 \(\nu =\) エネルギー \(\div\) プランク定数 \(h\)」となります。
   ステップ1で求めたエネルギーを、問題で与えられたプランク定数 \(h\) で割れば、振動数が計算できます。

⑦ 電離エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水素原子のイオン化エネルギー（電離エネルギー）」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、水素原子の「イオン化エネルギー（電離エネルギー）」の定義を理解し、具体的な値を計算する問題です。
ポイントは2つあります。

1. 「基底状態」とは何かを理解すること。これは、原子が最も安定している状態で、水素原子の場合は主量子数 \(n=1\) に対応します。
2. 「イオン化」とは何かを物理的に理解すること。これは、原子核に束縛されている電子に外部からエネルギーを与え、その束縛を完全に断ち切って原子の外へ取り出すことです。これは、電子をエネルギー準位が最も高い「無限遠（\(n=\infty\)）」まで励起させることに相当します。

この2点を押さえれば、イオン化エネルギーは「無限遠のエネルギー準位」と「基底状態のエネルギー準位」の差を計算すればよいことがわかります。

この設問における重要なポイント

• エネルギー準位の公式: 水素原子の電子が持つことができるエネルギー \(E_n\) は、主量子数 \(n\) を用いて \(E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, [\text{eV}]\) と表されます。エネルギーが負なのは、電子が原子核に束縛されていることを意味します。
• 基底状態: 電子が存在できる最もエネルギーが低い（最も安定な）状態です。主量子数 \(n=1\) の軌道に対応します。
• 励起状態: 電子が \(n=2, 3, 4, \dots\) の軌道にある状態です。基底状態よりエネルギーが高く、不安定な状態です。
• イオン化（電離）: 電子を原子核の束縛から完全に解放することです。これは、電子を主量子数が無限大（\(n=\infty\)）の軌道へ励起させることに相当します。このとき、エネルギー準位の公式に \(n=\infty\) を代入すると \(E_\infty = -\frac{13.6}{\infty^2} = 0\) となり、イオン化した状態のエネルギーは \(0 \, \text{eV}\) となります。
• イオン化エネルギー（電離エネルギー）: 基底状態の電子をイオン化させるために必要な最小エネルギーのことです。これは、イオン化状態（\(E=0\)）と基底状態（\(E_1\)）のエネルギー差に等しくなります。

具体的な解説と立式
この問題では、基底状態の電子をイオン化するのに必要なエネルギーを求めます。
これをイオン化エネルギー（または電離エネルギー）と呼び、\(W\) とします。

1. 基底状態のエネルギーを求める
   基底状態は、主量子数 \(n=1\) の状態です。
   エネルギー準位の公式 \(E_n = -\displaystyle\frac{13.6}{n^2} \, [\text{eV}]\) に \(n=1\) を代入して、基底状態のエネルギー \(E_1\) を求めます。
   $$ E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \, [\text{eV}] \quad \cdots ① $$
2. イオン化状態のエネルギーを定義する
   イオン化とは、電子を原子核の束縛から解き放ち、無限遠に持っていくことです。これは主量子数 \(n=\infty\) の状態に相当します。
   このときのエネルギー \(E_\infty\) は、
   $$ E_\infty = -\frac{13.6}{\infty^2} = 0 \, [\text{eV}] \quad \cdots ② $$
   となります。
3. イオン化エネルギーを計算する
   イオン化に必要なエネルギー \(W\) は、最終状態（イオン化状態）と初期状態（基底状態）のエネルギー差です。これは、電子を \(E_1\) から \(E_\infty\) へ励起させるのに必要なエネルギーと考えることができます。
   $$ W = E_\infty – E_1 \quad \cdots ③ $$
   この式に①、②の値を代入して \(W\) を計算します。

式③に、\(E_\infty = 0 \, \text{eV}\) と \(E_1 = -13.6 \, \text{eV}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= E_\infty – E_1 \\[2.0ex]&= 0 – (-13.6) \\[2.0ex]&= 13.6
\end{aligned}
$$
したがって、イオン化に必要な最低限のエネルギーは \(13.6 \, \text{eV}\) となります。

この問題は、「原子という家に住んでいる電子を、家の外に追い出すために、いくらエネルギーが必要か？」という問題です。

1. 電子の住処（基底状態）: 電子は普段、原子の中で最も居心地の良い「地下13.6階」(\(-13.6 \, \text{eV}\))に住んでいます。これが基底状態です。
2. 家の外（イオン化状態）: 原子という家の外は「地上0階」(\(0 \, \text{eV}\))に相当します。電子をここまで連れてくれば「イオン化」成功です。
3. 必要なエネルギー: 「地下13.6階」から「地上0階」まで電子を連れてくるのに必要なエネルギーは、その「高さの差」です。
   （ゴール地点のエネルギー）-（スタート地点のエネルギー）
   \(= (0) – (-13.6) = 13.6\)
4. つまり、\(13.6 \, \text{eV}\) のエネルギーを与えれば、電子を原子の外に追い出す（イオン化する）ことができます。

⑧ X線

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の発生とそのスペクトル」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、X線管から発生するX線のスペクトルが、なぜ2種類の異なる成分から構成されるのか、その物理的な背景を理解しているかを問うています。
グラフの形状と、それぞれの成分の名称・発生原理を正しく結びつけることが重要です。

• なめらかな曲線部分 → 連続X線
• 鋭いピーク部分 → 固有X線（特性X線）

この対応関係をまず押さえましょう。その上で、なぜ固有X線が元素の特定に使えるのかを、その発生メカニズムと関連付けて理解することが、この問題を完全にマスターするための鍵となります。

この設問における重要なポイント

• X線の発生: X線管内で加速された熱電子を、タングステンなどの金属ターゲット（陽極）に衝突させるとX線が発生します。
• 連続X線:
  • グラフの形状: 様々な波長にわたって分布する、なめらかな曲線スペクトル。最短波長が存在する。
  • 発生メカニズム: 高速の電子がターゲットの原子核の近くを通過する際に、原子核の電場によって急ブレーキをかけられ減速する。このとき、電子が失った運動エネルギーが電磁波（X線）として放出される（制動放射）。失うエネルギーは電子の軌道によって様々なので、放出されるX線の波長も連続的な値をとる。
• 固有X線（特性X線）:
  • グラフの形状: 連続X線に重なって現れる、特定の波長を持つ非常に強い線スペクトル（鋭いピーク）。
  • 発生メカニズム:
    1. 高速電子がターゲット原子の内殻電子（K殻、L殻など）を原子の外に弾き飛ばす。
    2. 内殻に空席ができると、原子は不安定な状態になる。
    3. この空席を埋めるために、外側の殻にある電子が内側の殻へ遷移する（落ちてくる）。
    4. このとき、遷移前後のエネルギー準位の差に相当するエネルギーを持つX線が放出される。
  • 元素の特定: エネルギー準位の構造は元素の種類によって固有であるため、放出される固有X線の波長も元素ごとに決まった値をとる。この性質を利用して、物質に含まれる元素の種類を特定することができる（蛍光X線分析など）。

具体的な解説と立式
この問題は物理現象の分類に関するもので、計算式を立てる必要はありません。文脈とグラフの形状から各空欄を埋めていきます。

1. 空欄①: グラフにおいて、X線の強さが波長に対してなめらかな曲線を描いている部分は、様々な波長のX線が連続的に含まれていることを示しています。これは「連続X線」と呼ばれます。
2. 空欄②: なめらかな曲線の上に、特定の波長で強度が突出している鋭いピークがあります。これは、ターゲットとなった陽極の物質に固有の決まった波長を持つX線であり、「固有X線」または「特性X線」と呼ばれます。この固有X線の波長は、原子のエネルギー準位の差で決まるため、元素の種類によって異なります。そのため、元素の特定に利用されます。

この問題には計算過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた、X線スペクトルの解釈そのものが解答プロセスとなります。

• ① → 連続
• ② → 固有（または特性）

X線写真の「レントゲン写真」を撮るときのX線は、実は2種類のX線が混ざったものです。

1. 種類その1（①）: なだらかな丘のようなスペクトル
   これは、電子が金属にぶつかって急ブレーキをかけられたときに出る「ブレーキ光」です。ブレーキのかけ方が毎回違うので、出てくる光の種類（波長）もバラバラで、なめらかな曲線になります。これを「連続X線」と呼びます。
2. 種類その2（②）: 鋭いトゲのようなスペクトル
   これは、電子が金属原子の中の「内側の席」に座っていた別の電子を弾き飛ばしたときに起こります。
   席が空くと、外側の席にいた電子がその空席に「お引越し」します。この引っ越しの際に、決まったエネルギーのX線が出ます。
   原子（元素）の種類によって席の「高さ」が違うので、出てくるX線のエネルギー（波長）もその原子に固有のものになります。これを「固有X線」と呼びます。指紋のように、元素ごとに決まっているので、元素の種類を特定するのに使えます。

例題

例題97 水素原子モデル

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ボーアの原子模型」です。古典的な力学と初期の量子論を融合させ、水素原子の電子がなぜ安定に存在できるのか、その軌道半径やエネルギーがどのようになるのかを解き明かします。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子が原子核の周りを等速円運動し続けるためには、軌道の中心、すなわち陽子に向かう向きの力（向心力）が必要です。この問題では、その力の正体は陽子と電子の間に働く静電気的な引力（クーロン力）です。したがって、円運動の運動方程式 \(ma=F\) において、加速度\(a\)には円運動の加速度の式を、力\(F\)にはクーロン力の式を当てはめることで立式します。
この設問における重要なポイント

• 円運動の加速度の大きさは \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\) であり、向きは常に円の中心を向く。
• 向心力とは、この加速度を生じさせる力のことであり、この問題ではクーロン力がその役割を担う。
• 陽子（電気量 \(+e\)）と電子（電気量 \(-e\)）の間に働くクーロン力の大きさは \(F = k_0 \displaystyle\frac{|(+e)(-e)|}{r^2} = k_0 \displaystyle\frac{e^2}{r^2}\) である。

具体的な解説と立式
電子の質量を\(m\)、速さを\(v\)、軌道半径を\(r\)とします。電子は等速円運動をしているので、その運動方程式は \(ma = F\) と書くことができます。
左辺の加速度\(a\)は、円運動の中心向きの加速度であり、その大きさは次式で与えられます。
$$ a = \frac{v^2}{r} $$
右辺の力\(F\)は、電子を円運動させる向心力であり、その正体は陽子と電子の間に働くクーロン力です。その大きさは、クーロンの法則より次式で与えられます。
$$ F = k_0 \frac{e \cdot e}{r^2} = k_0 \frac{e^2}{r^2} $$
したがって、求める運動方程式はこれらを等しいと置いた次式となります。
$$ m \frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2} $$

この設問は立式が目的であるため、これ以上の計算は不要です。

電子が陽子の周りをぐるぐる回り続けるためには、陽子が電子を常に引っ張っている必要があります。この「引っ張る力」がクーロン力です。物理学の基本ルールである運動方程式「質量 \(m \times\) 加速度 \(a = \) 力 \(F\)」に、円運動の場合の加速度の公式と、クーロン力の公式をそれぞれ当てはめることで、この状況を表す式を作ることができます。

電子の円運動の運動方程式は \(m \displaystyle\frac{v^2}{r} = k_0 \displaystyle\frac{e^2}{r^2}\) となります。左辺は「円運動に必要な力（向心力）」を、右辺は「実際に働いている力（クーロン力）」を表しており、この2つがつり合っていることで電子は安定して円運動できる、という物理的な状況を正しく表現しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
古典物理学に従うと、円運動する電子は電磁波を放出してエネルギーを失い、やがて原子核に墜落してしまいます。しかし現実に原子は安定に存在します。この矛盾を解決するために、ボーアは「電子は特定の条件を満たす軌道しかとれない」という大胆な仮説を立てました。これが量子条件です。この条件は後に、電子を波（物質波）と考えたとき、その波が円軌道上で強め合って安定に存在する「定常波」を形成する条件として見事に説明されました。
この設問における重要なポイント

• 運動量\(p\)を持つ粒子は、波長\(\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}\) の物質波（ド・ブロイ波）としての性質を持つ。電子の場合、\(\lambda = \displaystyle\frac{h}{mv}\)。
• ボーアの量子条件は、円周の長さ \(2\pi r\) が、この物質波の波長の整数倍になるという条件で表される。
• \(2\pi r = n\lambda\) （ここで \(n\) は量子数と呼ばれる \(1, 2, 3, \dots\) の整数）

具体的な解説と立式
ド・ブロイの仮説によれば、運動量 \(p=mv\) を持つ電子は、波長 \(\lambda\) が次式で与えられる物質波として振る舞います。
$$ \lambda = \frac{h}{mv} $$
ここで \(h\) はプランク定数です。
電子が原子核の周りの特定の軌道で安定に存在するためには、この物質波が円周上でうまくつながり、波が打ち消し合うことなく定常波を形成する必要があります。この条件は、円周の長さ \(2\pi r\) が、物質波の波長 \(\lambda\) のちょうど整数倍になっていることで満たされます。
$$ 2\pi r = n\lambda \quad (n=1, 2, 3, \dots) $$
この式の \(\lambda\) に物質波の波長の式を代入すると、求める量子条件の式が得られます。
$$ 2\pi r = n \frac{h}{mv} $$

この設問は立式が目的であるため、これ以上の計算は不要です。

昔の物理学の考え方では、原子はすぐに壊れてしまうはずでした。そこでボーアは「電子は、決まった『専用レーン』しか走れない」という特別なルールを考えました。これが量子条件です。このルールは、電子を「波」としてイメージすると分かりやすくなります。電子の波が、円形のコースを一周してスタート地点に戻ってきたときに、波の山と山、谷と谷がぴったり重なるような「きれいな波」ができるレーンだけが許される、という条件です。これを式で表すと「コース1周の長さ（\(2\pi r\)）が、波1つ分の長さ（\(\lambda\)）のちょうど整数（\(n\)）倍になる」となります。

量子条件は \(2\pi r = n \displaystyle\frac{h}{mv}\) と表されます。この式は、電子が存在できる軌道が連続的ではなく、量子数\(n\)によって決まるとびとびの値しかとれないことを示しており、原子の安定性を説明する上で非常に重要な式です。なお、この式は \(mvr = n\frac{h}{2\pi}\) という角運動量を用いた形に変形することもでき、こちらも量子条件としてよく用いられます。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)で立てた運動方程式と、(2)で立てた量子条件。これらはどちらも未知数として軌道半径\(r\)と電子の速さ\(v\)を含んでいます。この設問では半径\(r\)を求めたいので、この2つの式を連立方程式として扱い、不要な変数である\(v\)を消去する方針で計算を進めます。
この設問における重要なポイント

• 未知数が2つ（\(r, v\)）に対し、独立した式が2つ（運動方程式、量子条件）あるため、連立して解くことができる。
• \(v\)を消去するために、一方の式を「\(v = \dots\)」の形に変形し、もう一方の式に代入するのが効率的である。

具体的な解説と立式
(1), (2)で導出した2つの基本式を再掲します。
$$ m \frac{v^2}{r} = k_0 \frac{e^2}{r^2} \quad \cdots ① $$
$$ 2\pi r = n \frac{h}{mv} \quad \cdots ② $$
半径\(r\)を求めるために、これらの式から速さ\(v\)を消去します。式②を\(v\)について解くのが簡単です。
式②を変形して、
$$ v = \frac{nh}{2\pi mr} \quad \cdots ③ $$
とします。この\(v\)の式を、式①に代入することで\(v\)を消去し、\(r\)に関する方程式を導きます。

式③を式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
m \frac{1}{r} \left( \frac{nh}{2\pi mr} \right)^2 &= k_0 \frac{e^2}{r^2} \\[2.0ex]m \frac{1}{r} \cdot \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2} &= k_0 \frac{e^2}{r^2} \\[2.0ex]\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^3} &= \frac{k_0 e^2}{r^2}
\end{aligned}
$$
この式の両辺に \(4\pi^2 m r^3\) を掛けて分母を払います。
$$
\begin{aligned}
n^2 h^2 &= 4\pi^2 m k_0 e^2 r
\end{aligned}
$$
最後に\(r\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
r &= \frac{h^2}{4\pi^2 m k_0 e^2} n^2
\end{aligned}
$$
となります。

(1)と(2)で作った2つの式には、知りたい「半径\(r\)」と、今は知らなくてよい「速さ\(v\)」の両方が入っています。そこで、中学校で習った連立方程式の「代入法」を使います。(2)の式を「\(v = \dots\)」という形に変形し、それを(1)の式の\(v\)の部分にそっくりそのまま入れ替えます。すると、式の中から\(v\)が消えてなくなり、\(r\)だけの式が出来上がります。あとは、その式を「\(r = \dots\)」の形に整理すれば、答えが求まります。

電子がとりうる軌道半径は \(r = \displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2 m k_0 e^2} n^2\) と求められました。この式において、分数部分はプランク定数\(h\)や電子の質量\(m\)などの物理定数で決まる値です。したがって、軌道半径\(r\)は量子数\(n\)の2乗に比例し、\(n=1, 2, 3, \dots\)に対応したとびとびの値しかとれないことがわかります。これは、電子の軌道が量子化されていることを示す重要な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
水素原子のエネルギー準位とは、特定の軌道（量子数\(n\)で指定される）にいる電子が持つ力学的エネルギーのことです。力学的エネルギーは、「運動エネルギー」と「静電気力による位置エネルギー」の和で計算できます。まずエネルギーを数式で表し、(1)の運動方程式や(3)の半径の式を利用して、最終的にエネルギーを量子数\(n\)と物理定数だけで表すことを目指します。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー \(E\) = 運動エネルギー \(K\) + 位置エネルギー \(U\)。
• 運動エネルギーは \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。
• 静電気力による位置エネルギーは、問題文より \(U = -k_0 \displaystyle\frac{e^2}{r}\)。
• 運動方程式を使うと、運動エネルギー\(K\)を半径\(r\)だけで表すことができ、計算が簡潔になる。

具体的な解説と立式
量子数\(n\)に対応する軌道にある電子のエネルギー準位を\(E_n\)とします。これは、電子の運動エネルギー\(K\)と、陽子との間に働く静電気力による位置エネルギー\(U\)の和に等しくなります。
$$ E_n = K + U = \frac{1}{2}mv^2 – k_0 \frac{e^2}{r} \quad \cdots ④ $$
ここで、(1)で立てた運動方程式 \(m \displaystyle\frac{v^2}{r} = k_0 \displaystyle\frac{e^2}{r^2}\) を活用します。この式の両辺に \(\displaystyle\frac{r}{2}\) を掛けると、運動エネルギーの項を作り出すことができます。
$$ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} k_0 \frac{e^2}{r} \quad \cdots ⑤ $$
この関係式⑤を、エネルギーの式④に代入すると、エネルギーを半径\(r\)だけで表すことができます。
$$
\begin{aligned}
E_n &= \left( \frac{1}{2} k_0 \frac{e^2}{r} \right) – k_0 \frac{e^2}{r} \\[2.0ex]&= -\frac{1}{2} k_0 \frac{e^2}{r} \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
この式は、全エネルギーが位置エネルギーの半分に等しい (\(E_n = \frac{1}{2}U\)) という、この系の美しい性質を示しています。
最後に、この式⑥に(3)で求めた半径\(r\)の式を代入すれば、エネルギー準位\(E_n\)が求まります。

(3)で求めた \(r = \displaystyle\frac{h^2}{4\pi^2 m k_0 e^2} n^2\) を、式⑥ \(E_n = -\displaystyle\frac{1}{2} k_0 \displaystyle\frac{e^2}{r}\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
E_n &= -\frac{k_0 e^2}{2} \cdot \frac{1}{r} \\[2.0ex]&= -\frac{k_0 e^2}{2} \cdot \left( \frac{4\pi^2 m k_0 e^2}{h^2 n^2} \right) \\[2.0ex]&= -\frac{2 \cdot 2 \pi^2 m (k_0 \cdot k_0) (e^2 \cdot e^2)}{2 h^2 n^2} \\[2.0ex]&= -\frac{2\pi^2 m k_0^2 e^4}{h^2} \cdot \frac{1}{n^2}
\end{aligned}
$$

原子の全エネルギーは、電子の「速さのエネルギー（運動エネルギー）」と「位置のエネルギー（位置エネルギー）」の合計です。ここで便利なのが、(1)で立てた運動方程式です。この式を少し変形すると、「運動エネルギー」を「半径\(r\)」だけで表すことができます。これを合計エネルギーの式に代入すると、式がとてもシンプルになり、全エネルギーも「半径\(r\)」だけで表せます。最後に、(3)で求めた「半径\(r\)の式」を代入すれば、全エネルギーが量子数\(n\)だけで表された、最終的な答えの形になります。

水素原子のエネルギー準位は \(E_n = -\displaystyle\frac{2\pi^2 m k_0^2 e^4}{h^2} \cdot \displaystyle\frac{1}{n^2}\) と求められました。この結果は、電子のエネルギーも軌道半径と同様に、量子数\(n\)によって決まるとびとびの値しかとれない「エネルギーの量子化」を示しています。エネルギーが負の値なのは、電子が陽子に束縛されている状態を表します。量子数\(n\)が大きい（原子核から遠い）ほどエネルギーは0に近づき、高くなります。\(n=\infty\)のとき\(E=0\)となり、これは電子が原子核の束縛から解放された電離状態を意味します。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 古典力学と量子論の融合:
  • 核心: この問題は、電子の軌道を記述する古典的な「円運動の力学」と、その軌道がなぜ安定に存在できるのかを説明する「ボーアの量子条件」という、2つの異なる物理体系を組み合わせて解く点にあります。
  • 理解のポイント:
    • 円運動の運動方程式: 電子が原子核の周りを飛び出したり、引き寄せられたりせずに回り続けるための力学的な条件です。向心力の役割を、陽子と電子の間に働くクーロン力が担っている、という古典物理学の考え方に基づきます。
    • ボーアの量子条件: 古典物理学だけでは「電子はエネルギーを失って原子核に墜落するはず」という矛盾が生じます。それを解決するため、「電子は特定の条件を満たす軌道しか存在できない」という量子論的な制約を導入します。これが原子の安定性の根拠となります。
• 2つの基本式の連立:
  • 核心: 物理現象を、(1)の運動方程式と(2)の量子条件という2つの独立した式で表現し、それらを連立方程式として解くことで、軌道半径\(r\)やエネルギー準位\(E_n\)といったミクロな物理量を導出するプロセスそのものが重要です。
  • 理解のポイント: 未知数が\(r\)と\(v\)の2つに対し、独立した式が2つ立てられるため、数学的に解が一意に定まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ヘリウムイオン(\(He^+\))など、原子番号\(Z\)の原子核の場合:
    • 原子核の電気量が\(+e\)から\(+Ze\)に変わります。これにより、クーロン力は\(k_0 \displaystyle\frac{Ze^2}{r^2}\)となります。
    • この変更が、半径\(r\)の式（\(Z\)に反比例）やエネルギー\(E_n\)の式（\(Z^2\)に比例）にどう影響するかを問う問題。
  • エネルギー準位間の遷移と光子の放出・吸収:
    • 電子が高いエネルギー準位\(E_m\)から低い準位\(E_n\)へ移る（遷移する）際に、そのエネルギー差に等しいエネルギーを持つ光子を放出します。
    • この関係式 \(h\nu = E_m – E_n\) を用いて、放出される光の振動数\(\nu\)や波長\(\lambda\)を計算させる問題は頻出です。
  • 万有引力による円運動との比較:
    • 人工衛星が地球の周りを回る問題では、クーロン力の代わりに万有引力\(G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\)が向心力となります。運動方程式の構造は全く同じですが、量子条件は存在しません。この対比を理解することで、マクロな世界とミクロな世界の法則の違いが明確になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 向心力の正体は何か？: まず、円運動をさせている中心力の正体を特定します（静電気力か、万有引力か、ローレンツ力か）。
  2. 量子的な条件はあるか？: 問題文に「プランク定数\(h\)」や「量子数\(n\)」が登場したら、ほぼ確実に量子条件 (\(2\pi r = n\lambda\)) を使います。
  3. 何を求め、何を消去するか？: 問題が半径\(r\)を求めているのか、エネルギー\(E\)を求めているのかを把握し、そのために不要な変数（多くは速さ\(v\)）をどの式を使って消去するか、方針を立てます。
  4. エネルギー計算のショートカット: 全エネルギーを計算する際、運動方程式を変形して得られる関係式 \(K = -\displaystyle\frac{1}{2}U\)（運動エネルギーが位置エネルギーのマイナス半分）が使えないか、常に意識します。これを使うと計算が大幅に簡略化できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• クーロン力と位置エネルギーの符号ミス:
  • 誤解: 引力だからという理由で、運動方程式に代入するクーロン力の大きさを負にしてしまう。または、位置エネルギーの式 \(U = -k_0 \displaystyle\frac{e^2}{r}\) の負号を忘れる。
  • 対策: 力の「大きさ」は常に正の値として運動方程式に代入することを徹底します。一方、位置エネルギーは、引力によって束縛されている系では負の値をとる、と明確に区別して覚えます。「束縛されている電子の全エネルギーは負になる」という物理的直感も、検算に役立ちます。
• 運動エネルギーと全エネルギーの関係の誤解:
  • 誤解: (4)で、全エネルギーを \(E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + k_0 \displaystyle\frac{e^2}{r}\) のように、位置エネルギーの項を正で計算してしまう。
  • 対策: 静電気力の位置エネルギーの定義式 \(U(r) = -k_0 \displaystyle\frac{e^2}{r}\) を正確に記憶することが最も重要です。
• 計算過程での文字の指数ミス:
  • 誤解: (4)の最終計算で、\(k_0\)と\(k_0\)を掛けて\(k_0\)、\(e^2\)と\(e^2\)を掛けて\(e^2\)のままにしてしまうなど、指数計算を間違う。
  • 対策: 複雑な文字式の計算では、同種の文字を一つずつ確認しながら丁寧に整理します。\(k_0 \cdot k_0 = k_0^2\)、\(e^2 \cdot e^2 = e^4\) のように、指数の足し算を意識します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\)):
  • 選定理由: 問題文に「等速円運動」というキーワードがあるため。これは、物体が円軌道を保つための力学的な条件を記述する基本法則です。
  • 適用根拠: 「質量\(m\)の電子」が「速さ\(v\)、半径\(r\)で円運動」しており、その向心力が「クーロン力\(F\))」であるという、問題の物理状況を数式に落とし込むために適用します。
• 量子条件 (\(2\pi r = n\displaystyle\frac{h}{mv}\)):
  • 選定理由: 問題が「原子」を扱っており、古典力学だけでは説明できない「原子の安定性」がテーマに含まれているためです。プランク定数\(h\)の存在が、この法則の適用を強く示唆しています。
  • 適用根拠: 電子の軌道が連続的ではなく「とびとび」の値しかとれない、という量子論の根幹をなす仮説を数式で表現するために適用します。整数\(n\)（量子数）が「とびとび」の状態を指定します。
• 力学的エネルギーの定義式 (\(E = K + U\)):
  • 選定理由: (4)で「エネルギー準位」という、電子が持つ全エネルギーそのものを問われているためです。
  • 適用根拠: 電子は運動しているので運動エネルギー\(K\)を持ち、同時に陽子からのクーロン力（保存力）によって位置エネルギー\(U\)を持ちます。系の全エネルギーは、これらの和 \(E=K+U\) として定義されます。ある状態でのエネルギー量を計算するためにこの定義式を用います。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の処理: (3)で\(v\)を消去する際、まず式②を「\(v=\dots\)」の形に整理してから式①に代入する、という手順を徹底します。代入後の式は複雑になるので、焦らず一行ずつ展開・整理し、特に2乗の展開（例: \((\displaystyle\frac{nh}{2\pi mr})^2\)）では、全ての因子を確実に2乗します。
• 分数の計算: (4)で半径\(r\)の式を代入するとき、\(E_n = -\displaystyle\frac{k_0 e^2}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{r}\) のように、まず\(1/r\)の形にしてから逆数を代入すると、分数の分数（繁分数）の計算が見通し良くなります。
• 定数の整理: 最終的な答えは多くの物理定数を含みます。\(m, k_0, e, h, \pi\) などの文字を、アルファベット順や意味のまとまりで整理すると、見間違いや書き漏らしが減ります。
• 次元解析による検算: 計算結果の式の単位（次元）が、求めたい物理量の単位と一致しているかを確認する癖をつけましょう。例えば、(3)で求めた半径\(r\)の式が本当に長さの次元 \([m]\) になっているか、各定数の単位を代入して確かめることは、非常に有効な検算方法です。

例題98 水素原子のスペクトル

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水素原子のスペクトルとエネルギー準位」です。ボーアの原子模型によって理論的に導かれたエネルギー準位の式を用いて、原子が光を放出する際のスペクトル線の波長を計算し、それが実験結果とどのように結びつくかを解き明かします。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電子がエネルギーの高い状態（量子数\(n\)）から低い状態（量子数\(n’\)）へ移る（遷移する）ときに、そのエネルギー差に相当するエネルギーを持つ光子が放出されます。この関係を表すのが「ボーアの振動数条件」です。放出される光子1個のエネルギーは、遷移前後のエネルギー準位の差 (\(E_n – E_{n’}\)) に等しくなります。一方、光子のエネルギーは波長\(\lambda\)を使って\(\displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)と表せるので、この2つを等しいと置くことで\(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)を計算します。
この設問における重要なポイント

• ボーアの振動数条件: \(h\nu = E_{\text{高}} – E_{\text{低}}\)。
• 光子のエネルギーと波長の関係: \(E_{\text{光子}} = h\nu = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)。
• 上記2式より、\( \displaystyle\frac{hc}{\lambda} = E_n – E_{n’} \) が成り立つ（\(n > n’\)より\(E_n\)が\(E_{n’}\)より高いエネルギー準位）。

具体的な解説と立式
電子が量子数\(n\)のエネルギー準位\(E_n\)から、より低い量子数\(n’\)のエネルギー準位\(E_{n’}\)へ遷移する際に放出される光子のエネルギーは、エネルギー保存則から、その準位の差に等しくなります。
$$ E_{\text{光子}} = E_n – E_{n’} $$
この光子のエネルギーは、波長を\(\lambda\)、光速を\(c\)、プランク定数を\(h\)とすると、次のように表せます。
$$ E_{\text{光子}} = \frac{hc}{\lambda} $$
したがって、ボーアの振動数条件から次の関係式が成り立ちます。
$$ \frac{hc}{\lambda} = E_n – E_{n’} \quad \cdots ① $$
この式に、問題文で与えられているエネルギー準位の公式 \(E_k = -\displaystyle\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \cdot \displaystyle\frac{1}{k^2}\) を適用し、エネルギー差 \(E_n – E_{n’}\) を計算します。

まず、エネルギー差 \(E_n – E_{n’}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E_n – E_{n’} &= \left( -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \right) – \left( -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \cdot \frac{1}{n’^2} \right) \\[2.0ex]&= -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \left( \frac{1}{n^2} – \frac{1}{n’^2} \right) \\[2.0ex]&= \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right)
\end{aligned}
$$
この結果を式①に代入します。
$$ \frac{hc}{\lambda} = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right) $$
両辺を\(hc\)で割って、\(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\lambda} &= \frac{1}{hc} \cdot \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right) \\[2.0ex]&= \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3} \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right)
\end{aligned}
$$

電子がエネルギーの高い階（\(n\)階）から低い階（\(n’\)階）に落ちるとき、その「高さの差」にあたるエネルギーが光として放出されます。まず、この「エネルギーの差」を、問題で与えられたエネルギーの公式を使って計算します。一方、放出される光のエネルギーは「\(hc \div \lambda\)」という式でも表せます。「エネルギーの差」と「\(hc \div \lambda\)」が等しい、という式を立て、最後に両辺を\(hc\)で割れば、求めたい\(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)が計算できます。

放出される光の波長の逆数は、\(\displaystyle\frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3} \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right)\) となります。この式は、放出される光の波長が、遷移する前後の量子数\(n, n’\)によって決まるとびとびの値になることを示しており、これが原子の輝線スペクトルの起源です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で導出した式は、ボーア模型という理論から導かれた「理論式」です。一方、問題文で与えられている式は、スペクトルの観測という実験から得られた「実験式（経験式）」です。この2つの式は、同じ物理現象（水素原子のスペクトル）を記述しているため、完全に一致するはずです。そこで、2つの式の形を比較することで、実験式の中の定数\(R\)（リュードベリ定数）が、理論式のどの部分に対応するのかを特定します。
この設問における重要なポイント

• 物理現象を記述する理論式と実験式は一致するはずである。
• 2つの式の係数を比較することで、定数の正体を明らかにできる。

具体的な解説と立式
(1)で理論的に導出した式は、
$$ \frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3} \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right) \quad \cdots (A) $$
一方、問題文で与えられた実験結果に基づく式は、
$$ \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right) \quad \cdots (B) $$
式(A)と式(B)は同じ現象を表すため、両者の係数部分は等しくなければなりません。

式(A)と式(B)の係数を比較することにより、リュードベリ定数\(R\)は次のように求められます。
$$ R = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3} $$

(1)で計算した理論の式と、(2)で与えられた実験の式を見比べて、「間違い探し」をするようなイメージです。どちらの式も「\(\displaystyle\frac{1}{\lambda} = (\text{何か}) \times \left( \frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2} \right)\)」という形をしています。この「何か」の部分が、片方では\(R\)、もう片方では物理定数を組み合わせた複雑な文字式になっています。これらは同じものであるはずなので、イコールで結べば\(R\)の正体がわかります。

リュードベリ定数\(R\)が、プランク定数\(h\)、光速\(c\)、電子の質量\(m\)や電気素量\(e\)といった、基本的な物理定数のみで表されることが示されました。これは、ボーアの原子模型が、実験結果であるスペクトル線の波長を理論的に説明することに成功したことを意味する、物理学史上非常に重要な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
この設問は、物理的な新しい考察は不要で、純粋な数式の変形問題です。目標は、エネルギー準位\(E_n\)を、\(R, h, c, n\)の4つの文字だけを使って表すことです。元の\(E_n\)の式と、(2)で求めた\(R\)の式を見比べ、\(E_n\)の式の中に\(R\)の構成要素が含まれていることを見抜きます。そして、うまく式を変形して\(R\)の形を作り出し、置き換えることで式を簡潔にします。
この設問における重要なポイント

• \(E_n\)の式を、\(R\)の定義式を使って書き換える。
• \(R = \displaystyle\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3}\) という関係を利用して、\(E_n\)の式に含まれる \(2\pi^2 k_0^2 m e^4\) の部分を消去する。

具体的な解説と立式
まず、与えられているエネルギー準位\(E_n\)の式を再掲します。
$$ E_n = -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \quad \cdots (C) $$
次に、(2)で求めたリュードベリ定数\(R\)の式を再掲します。
$$ R = \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3} \quad \cdots (D) $$
式(C)の分子にある \(2\pi^2 k_0^2 m e^4\) の部分を、式(D)を使って\(R\)で表現することを考えます。式(D)の両辺に\(ch^3\)を掛けると、
$$ 2\pi^2 k_0^2 m e^4 = ch^3 R $$
この関係を、式(C)に代入することで、\(E_n\)を\(R\)を用いて表すことができます。

\(E_n\)の式に、\(2\pi^2 k_0^2 m e^4 = ch^3 R\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_n &= -\frac{ch^3 R}{h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \\[2.0ex]&= -chR \cdot \frac{1}{n^2} \\[2.0ex]&= -\frac{chR}{n^2}
\end{aligned}
$$
【別のアプローチ】
\(E_n\)の式を、\(R\)の形が無理やり現れるように変形します。
$$
\begin{aligned}
E_n &= -\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2} \cdot \frac{1}{n^2} \\[2.0ex]&= -ch \left( \frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{ch^3} \right) \cdot \frac{1}{n^2}
\end{aligned}
$$
ここで、括弧の中の式はちょうどリュードベリ定数\(R\)の定義そのものです。したがって、
$$ E_n = -chR \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{chR}{n^2} $$

\(E_n\)の式を、\(R\)という「便利な記号」を使って、もっとスッキリした形に書き直す問題です。(2)でわかった\(R\)の正体（\(R = \dots\)の式）をヒントにします。\(E_n\)の式をじっと見て、\(R\)の部品が含まれている部分を探し、その部分が\(R\)を使ってどう表せるかを考えます。\(E_n\)の式に、うまく\(ch\)を掛けたり割ったりして\(R\)の形を作り出し、その部分を\(R\)という一文字に置き換えます。

エネルギー準位が \(E_n = -\displaystyle\frac{chR}{n^2}\) と、非常に簡潔な形で表されました。この形は、エネルギー準位がリュードベリ定数\(R\)と密接に関係していることを明確に示しています。例えば、\(n=1\)の基底状態のエネルギーは \(-chR\)、原子を電離させるのに必要なエネルギーは \(chR\) となるなど、物理的な考察がしやすくなります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ボーアの振動数条件:
  • 核心: \(h\nu = E_{\text{高}} – E_{\text{低}}\)。これは原子物理学におけるエネルギー保存則の表れです。電子がエネルギー準位を下がるときに失うエネルギーが、そのまま光子1個のエネルギーとして放出される、というエネルギーのやり取りを記述する根幹的な法則です。
  • 理解のポイント:
    • 光子のエネルギー: 放出される光子のエネルギーは、波長\(\lambda\)を用いて \(E_{\text{光子}} = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) と表されます。
    • 立式の基本形: この2つを組み合わせた \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda} = E_n – E_{n’}\) が、(1)の立式の出発点となります。
• 理論と実験の橋渡し:
  • 核心: リュードベリ定数\(R\)が、ボーア模型による理論計算（基本物理定数の組み合わせ）と、スペクトル観測という実験結果（経験式）を結びつける重要な役割を果たしている点です。
  • 理解のポイント:
    • 理論式と実験式の比較: (1)で導出した理論式と、(2)で与えられた実験式は、同じ物理現象を記述するため、数学的に等しいはずです。
    • 定数の特定: この等式関係を利用して、式の係数を比較することで、実験的に導入された定数\(R\)の正体を、より基本的な物理定数(\(m, e, h, c, k_0\))で表現することができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スペクトル系列の波長の計算:
    • \(n’=1\)へ遷移する系列（ライマン系列、紫外線）、\(n’=2\)へ遷移する系列（バルマー系列、可視光）、\(n’=3\)へ遷移する系列（パッシェン系列、赤外線）など、特定の系列について、最も波長が長い光（エネルギー差が最小、\(n=n’+1 \to n’\)）や、最も波長が短い光（エネルギー差が最大、\(n=\infty \to n’\)）を計算させる問題。
  • 吸収スペクトル:
    • 光子が吸収される場合は、電子が低い準位から高い準位へ遷移します。関係式 \(h\nu = E_{\text{高}} – E_{\text{低}}\) は同じです。通常、原子は最も安定な基底状態(\(n=1\))にいるため、吸収される光は\(n=1\)から\(n=2, 3, \dots\)への遷移に対応するものに限られることが多いです。
  • 電離エネルギーの計算:
    • 電子を原子核の束縛から完全に引き離す（\(n=\infty\)の状態にする）ために必要なエネルギーを問う問題。基底状態(\(n=1\))からの電離エネルギーは \(E_{\text{電離}} = E_{\infty} – E_1 = 0 – E_1 = -E_1\) で計算できます。(3)の結果を使えば、\(E_{\text{電離}} = chR\) と簡潔に表せます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 遷移の方向を確認: 光が「放出」されるのか「吸収」されるのかを確認します。「放出」なら高エネルギー準位→低エネルギー準位、「吸収」なら低→高の遷移です。
  2. エネルギー準位図を描く: 横線でエネルギー準位を描き、下に\(n=1, 2, 3, \dots\)と書き入れます。間隔は上にいくほど狭くなるように描くと、エネルギー差の大小関係が視覚的にわかりやすくなります。
  3. 式の形に注目: (2)や(3)のように、ある物理量を別の文字で表す問題では、元の式と目標の式の両方を見比べ、共通部分や変換可能な部分を探す「パズル」として捉えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギー差の計算ミス:
  • 誤解: \(E_n – E_{n’}\) を計算するとき、\(E_n\)自体が負の値であるため、符号の扱いで混乱する。\( -(-\dots) \) の部分でミスしやすい。
  • 対策: \(E_n = -A \cdot \frac{1}{n^2}\) (\(A\)は正の定数) のように置き、\(E_n – E_{n’} = (-A \frac{1}{n^2}) – (-A \frac{1}{n’^2}) = A(\frac{1}{n’^2} – \frac{1}{n^2})\) と、共通の正の定数でくくり、括弧の中の引き算の順序で符号を調整するとミスが減ります。
• 遷移の方向とエネルギーの高低の混同:
  • 誤解: 量子数\(n\)が大きいほどエネルギーが低いと勘違いし、エネルギー差を \(E_{n’} – E_n\) としてしまい、符号が逆になる。
  • 対策: エネルギー準位の図を頭に思い浮かべましょう。\(n\)が大きいほど原子核から遠く、束縛が緩いので「エネルギーは高い（0に近い）」と覚えます。光の放出は必ず「上から下へ」の遷移です。
• \(n\)と\(n’\)の代入ミス:
  • 誤解: 問題文で与えられたスペクトルの式と、自分で導出した式を比較する際に、遷移の始点\(n\)と終点\(n’\)の役割を取り違える。
  • 対策: 遷移の終点（エネルギーが低い方）が\(n’\)、始点（エネルギーが高い方）が\(n\)であることを常に意識し、式中の文字の役割を明確にします。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 振動数条件 (\(h\nu = E_n – E_{n’}\)):
  • 選定理由: 問題文に「光子の放出」「状態が移る」といった、電子のエネルギー準位の遷移を示唆するキーワードがあるため。これは、この現象を支配する最も基本的な法則です。
  • 適用根拠: エネルギー保存則に基づいています。原子系が内部状態の変化によって失ったエネルギー(\(E_n – E_{n’}\))が、光子という形で外界に放出される(\(h\nu\))という、エネルギーの形態変化と保存を数式化したものです。
• \(1/\lambda\)の式を比較する理由:
  • 選定理由: (1)で理論的に\(1/\lambda\)を導出し、(2)で実験式として\(1/\lambda\)が与えられているため、両者を比較するのが自然な流れです。
  • 適用根拠: 同じ物理現象を記述する理論式と実験式は、定数部分も含めて完全に一致するはずである、という科学の基本原則に基づいています。これにより、実験的にしか知られていなかったリュードベリ定数\(R\)の正体を、基本物理定数で理論的に説明するという、物理学の大きな成果を追体験できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 共通因数での整理: (1)のエネルギー差の計算では、\(\displaystyle\frac{2\pi^2 k_0^2 m e^4}{h^2}\) のような長い共通因数を、一旦 \(A\) のような文字で置き換えて計算を進め、最後に元に戻すと、書き間違いが減り、式全体の見通しが良くなります。
• 単位（次元）の確認: リュードベリ定数\(R\)の単位は、\(1/\lambda\)の単位と同じく、長さの逆数 \([m^{-1}]\) になるはずです。求めた式の次元がそうなっているか、各定数の単位を代入して確かめることは、非常に有効な検算方法です。
• 式変形の目的意識: (3)のような式変形問題では、「どの文字を消して、どの文字を残すか」というゴールを明確にすることが重要です。今回は「\(k_0, m, e\)を消して、\(R\)を導入する」がゴールでした。そのために、\(R\)の定義式をどう利用すればよいかを逆算的に考えます。

例題99 エネルギー準位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水素原子のエネルギー準位とスペクトル」です。図で与えられた具体的なエネルギー準位の値を用いて、電子の遷移によって放出される光の波長を計算し、その光が電磁波のどの領域に属するのかを判断します。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
放出される光の波長とエネルギーの関係は \(\Delta E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) であり、波長\(\lambda\)が長いということは、エネルギー差\(\Delta E\)が小さいことを意味します。この問題では「バルマー系列（\(n=2\)への遷移）のうち、波長の長いものから3つ」を問われているので、これは「\(n=2\)への遷移のうち、エネルギー差が小さいものから3つ」を選ぶことと同じです。エネルギー準位図を見ると、準位の間隔は\(n\)が大きいほど狭くなっているため、\(n=2\)への遷移でエネルギー差が最も小さいのは、すぐ上の\(n=3\)からの遷移です。したがって、エネルギー差が小さい順に3つ選ぶと、\(n=3 \to 2\), \(n=4 \to 2\), \(n=5 \to 2\)の遷移となります。
この設問における重要なポイント

• 光の波長が長い \(\iff\) 光子のエネルギーが小さい \(\iff\) 遷移前後のエネルギー準位の差が小さい。
• バルマー系列とは、量子数が\(n>2\)の状態から\(n’=2\)の状態への遷移のこと。
• エネルギー準位の間隔は、\(n\)が大きくなるにつれて狭くなる。

具体的な解説と立式
放出される光子のエネルギー\(E_{\text{光子}}\)と波長\(\lambda\)の関係は、ボーアの振動数条件より次のように表されます。
$$ E_{\text{光子}} = E_n – E_{n’} = \frac{hc}{\lambda} $$
この式から、波長\(\lambda\)が長いほど、エネルギー差 \(E_n – E_{n’}\) は小さくなります。
バルマー系列は、遷移後の準位が\(n’=2\)となる遷移群です。
したがって、「波長の長いものから3つ」とは、「エネルギー差の小さいものから3つ」の遷移を指します。
エネルギー準位図から、\(n’=2\)への遷移でエネルギー差が小さい順に3つを選ぶと、遷移元の準位が\(n=3, 4, 5\)の場合となります。
よって、求める遷移は \(n=3 \to 2\), \(n=4 \to 2\), \(n=5 \to 2\) の3つです。

この設問は図から読み取るものであり、具体的な計算は不要です。

光の波長が「長い」ということは、その光が持つエネルギーが「小さい」ということです。電子が準位を落ちるときの「落差（エネルギー差）」が小さいほど、エネルギーの小さい（＝波長の長い）光が出ます。バルマー系列は「2階」に落ちてくる遷移のことです。図を見て、「2階」への落差が小さい順に3つのルートを選ぶと、それは「3階→2階」「4階→2階」「5階→2階」の3つになります。

エネルギー準位図に、\(n=3\), \(n=4\), \(n=5\)の準位から\(n=2\)の準位へ向かう3本の矢印を描きます。これはバルマー系列のスペクトル線のうち、波長の長い3本（H\(\alpha\), H\(\beta\), H\(\gamma\)線に対応）を正しく示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
水素原子のエネルギー準位\(E_n\)は、量子数\(n\)の2乗に反比例することが知られています。すなわち、\(E_n = \displaystyle\frac{A}{n^2}\)（\(A\)は定数）という形で表せます。この定数\(A\)を決定するために、図から最も基本となる基底状態（\(n=1\)）のエネルギー値 \(E_1 = -13.6 \text{ eV}\) を利用します。
この設問における重要なポイント

• 水素原子のエネルギー準位の公式は \(E_n = \displaystyle\frac{E_1}{n^2}\) という形をとる。
• 図から基底状態のエネルギー \(E_1 = -13.6 \text{ eV}\) を読み取り、公式に代入する。

具体的な解説と立式
水素原子の\(n\)番目のエネルギー準位\(E_n\)は、基底状態(\(n=1\))のエネルギー\(E_1\)を用いて、次の関係式で表されます。
$$ E_n = \frac{E_1}{n^2} $$
問題のエネルギー準位図から、基底状態のエネルギーは \(E_1 = -13.6 \text{ eV}\) であることが読み取れます。
この値を上の式に代入すると、求める関係式が得られます。

\(E_1 = -13.6 \text{ eV}\) を代入します。
$$ E_n = \frac{-13.6}{n^2} $$
単位を明記すると、\(E_n = -\displaystyle\frac{13.6}{n^2} \text{ [eV]}\) となります。

原子のエネルギー準位には、「\(n\)階のエネルギーは、1階のエネルギーを\(n\)の2乗で割ったもの」という法則があります。図を見ると「1階」のエネルギーは \(-13.6 \text{ eV}\) です。この法則に当てはめると、\(n\)階のエネルギーは「\(-13.6 \div n^2\)」という式で表すことができます。

得られた式は \(E_n = -\displaystyle\frac{13.6}{n^2} \text{ [eV]}\) です。この式が正しいか、他の準位で検算してみます。例えば\(n=2\)のとき、\(E_2 = -\displaystyle\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \text{ eV}\) となり、図の値と一致します。\(n=4\)のとき、\(E_4 = -\displaystyle\frac{13.6}{4^2} = -\displaystyle\frac{13.6}{16} \approx -0.85 \text{ eV}\) となり、これも図の値と一致します。したがって、この式は妥当であると判断できます。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(n=2\)から\(n=1\)への遷移で放出される光の波長\(\lambda\)を求めます。基本方針は(1)と同じで、ボーアの振動数条件 \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda} = E_2 – E_1\) を使います。この計算で最も重要な注意点は、エネルギーの単位です。図から読み取るエネルギーの値はeV（電子ボルト）ですが、プランク定数\(h\)や光速\(c\)とともに計算する際は、基本単位であるJ（ジュール）に変換しなければなりません。計算後、得られた波長の値から、それが赤外線、可視光線、紫外線のいずれの領域に属するかを判断します。
この設問における重要なポイント

• 振動数条件の式 \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda} = \Delta E\) を用いて波長\(\lambda\)を計算する。
• エネルギーの単位換算: \(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\)。計算前に必ずJに変換する。
• 電磁波の波長域の目安：紫外線(\(\sim 400 \text{ nm}\))、可視光線(\(400 \sim 800 \text{ nm}\))、赤外線(\(800 \text{ nm} \sim\))。

具体的な解説と立式
\(n=2\)から\(n=1\)への遷移で放出される光子の波長を\(\lambda\)とすると、ボーアの振動数条件から次の式が成り立ちます。
$$ \frac{hc}{\lambda} = E_2 – E_1 $$
図から、\(E_2 = -3.40 \text{ eV}\)、\(E_1 = -13.6 \text{ eV}\) です。まず、エネルギー差\(\Delta E\)をeV単位で計算します。
$$ \Delta E = E_2 – E_1 = (-3.40) – (-13.6) = 10.2 \text{ [eV]} $$
次に、このエネルギーをジュールの単位に変換します。\(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\) なので、
$$ \Delta E = 10.2 \times (1.6 \times 10^{-19}) \text{ [J]} $$
したがって、波長\(\lambda\)は次の式で計算できます。
$$ \lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{hc}{E_2 – E_1} $$

各定数値を代入して\(\lambda\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3.0 \times 10^8)}{ \{(-3.40) – (-13.6)\} \times (1.6 \times 10^{-19}) } \\[2.0ex]&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{10.2 \times 1.6 \times 10^{-19}} \\[2.0ex]&= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{16.32 \times 10^{-19}} \\[2.0ex]&\approx 1.213… \times 10^{-7} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
与えられた定数の有効数字が2桁なので、答えもそれに合わせて \(1.2 \times 10^{-7} \text{ [m]}\) とします。
この波長は \(120 \text{ nm}\) (\(1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}\)) に相当します。可視光線の波長域（約\(400 \text{ nm} \sim 800 \text{ nm}\)）よりも短いため、この光は紫外線です。

まず、電子が「2階」から「1階」へ落ちるときの「落差（エネルギー差）」を計算します。図から、落差は \((-3.40) – (-13.6) = 10.2 \text{ eV}\) です。次に、このエネルギーの単位を、物理計算で標準的に使われる「ジュール(J)」に変換します。これには、\(1.6 \times 10^{-19}\) を掛け算します。光のエネルギーは「\(h \times c \div \lambda\)」という式でも表せるので、この式を\(\lambda\)について解き、「\(\lambda = h \times c \div (\text{エネルギー差})\)」として数値を代入すれば、波長が計算できます。最後に、計算して出てきた波長の値が、紫外線・可視光線・赤外線のどのグループに属するかを判断します。

放出される光の波長は \(1.2 \times 10^{-7} \text{ m}\) であり、これは紫外線の領域に含まれます。\(n=1\)への遷移はライマン系列と呼ばれ、そのスペクトルはすべて紫外線領域に存在するという知識とも一致しており、結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ボーアの振動数条件と光子のエネルギー:
  • 核心: 電子がエネルギー準位を遷移する際に放出（または吸収）する光子のエネルギーが、遷移前後のエネルギー準位の差に等しいという関係、すなわち \(\displaystyle\frac{hc}{\lambda} = E_{\text{高}} – E_{\text{低}}\) を理解し、使いこなすことが全てです。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー差と波長の関係: この式から、エネルギー差 \(\Delta E\) が大きいほど、放出される光の波長 \(\lambda\) は短くなる（エネルギーが大きい光）、という反比例の関係を直感的に把握することが重要です。
    • 単位の統一: 物理計算の基本として、エネルギー準位の値(\(eV\))を、プランク定数\(h\)や光速\(c\)で使われているSI単位系のジュール(\(J\))に変換してから計算するという手続きが不可欠です。
• エネルギー準位の構造:
  • 核心: 水素原子のエネルギー準位\(E_n\)が、量子数\(n\)の2乗に反比例し、\(E_n = \displaystyle\frac{E_1}{n^2}\) という単純な式で表されることを知っているか、または図からその法則性を見抜けるかが問われます。
  • 理解のポイント: この法則により、\(n\)が大きくなるほど準位の間隔が密になるという、エネルギー準位図の見た目の特徴が数式で裏付けられます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 特定のスペクトル系列の計算:
    • ライマン系列（\(n’=1\)への遷移）やパッシェン系列（\(n’=3\)への遷移）など、他の系列の波長を計算する問題。
  • 最短・最長波長の計算:
    • ある系列（例：バルマー系列）における「最長の波長」はエネルギー差が最小の遷移（\(n=3 \to 2\)）、「最短の波長」はエネルギー差が最大の遷移（\(n=\infty \to 2\)）に対応します。
  • 波長からの遷移準位の特定:
    • 逆に、放出された光の波長が与えられ、それがどの準位間の遷移（\(n \to n’\)）によるものかを特定させる問題。
  • 吸収スペクトル:
    • 原子が光を吸収して高いエネルギー準位へ移る現象。通常は基底状態(\(n=1\))からの遷移を考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギー準位図を読み解く: まず、各準位のエネルギー値、特に基底状態(\(n=1\))の値を正確に読み取ります。準位の間隔が上にいくほど狭くなっていることを視覚的に確認します。
  2. 単位換算のチェック: 問題文に\(eV\)と\(J\)の換算式があるかを確認し、計算前に必ず印をつけます。
  3. 波長とエネルギーの関係を思い出す: 「波長が長い」と聞かれたら「エネルギー差が小さい」、「波長が短い」なら「エネルギー差が大きい」と即座に変換して考えます。
  4. 有効数字の確認: 計算に使う定数の有効数字を確認し、最終的な答えを何桁で出すべきか、あらかじめ意識しておきます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• エネルギーの単位換算忘れ:
  • 誤解: (3)で、エネルギー差を\(10.2 \text{ eV}\)のまま、\(h\)や\(c\)と計算してしまう。
  • 対策: 計算を始める前に、全ての物理量をSI単位系（m, kg, s, Jなど）に揃える習慣をつけましょう。問題文の「\(1\text{eV}=1.6\times 10^{-19}\text{J}\)」という記述は、計算で必ず使うというサインです。
• エネルギー差の引き算ミス:
  • 誤解: \(E_2 – E_1\)を計算する際に、\(-3.40 – 13.6\) のように、負の数の引き算を間違える。
  • 対策: 必ず括弧をつけて、\(E_2 – E_1 = (-3.40) – (-13.6)\) と丁寧に立式します。「高い方 – 低い方」で計算すれば、エネルギー差は必ず正の値になる、と覚えておくのも有効です。
• 波長とエネルギーの関係の混同:
  • 誤解: (1)で「波長が長い」を「エネルギー差が大きい」と勘違いし、\(n=6 \to 2\)のような準位差の大きい遷移を選んでしまう。
  • 対策: 関係式 \(\Delta E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) を常に念頭に置き、\(\lambda\)と\(\Delta E\)が反比例の関係にあることを確認します。「長い波はゆったりしていてエネルギーが小さい」というイメージを持つと間違いにくくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• エネルギー準位の公式 (\(E_n = E_1/n^2\)):
  • 選定理由: (2)で、具体的なエネルギー準位の値を、量子数\(n\)を用いた一般式で表現するよう求められているためです。これは水素原子のエネルギー準位が持つ基本的な性質を記述する公式です。
  • 適用根拠: 図に示された複数のエネルギー準位の値が、この単純な法則に従っていることを利用します。特に、最も基本的な状態である基底状態(\(n=1\))のエネルギー\(E_1\)を基準として、任意の準位\(E_n\)を一般化するためにこの公式を適用します。
• 振動数条件 (\(\displaystyle\frac{hc}{\lambda} = E_{\text{高}} – E_{\text{低}}\)):
  • 選定理由: (3)で、電子の「準位の遷移」という現象によって放出される「光の波長」を計算するよう求められているためです。この2つの異なる事象を結びつける唯一の法則が振動数条件です。
  • 適用根拠: この式はエネルギー保存則そのものです。電子が準位を落ちることで失った位置エネルギー(\(E_{\text{高}} – E_{\text{低}}\))が、外界に放出される光子1個のエネルギー(\(\displaystyle\frac{hc}{\lambda}\))にそっくり変換される、という物理的なプロセスを数式で表現するために適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算の先行実施: 計算を始める前に、問題で与えられた全ての数値をSI基本単位に変換して、計算式の近くに書き出しておくと、代入ミスや換算忘れを防げます。
• 指数計算の分離: \( (6.6 \times 3.0 / (10.2 \times 1.6)) \times (10^{-34} \times 10^8 / 10^{-19}) \) のように、数値の部分と10のべき乗の部分を分けて計算すると、指数部分の足し算・引き算に集中でき、ミスが減ります。
• 有効数字の意識: 問題文で与えられた定数（\(c, h, e\text{V}\)の換算値）はいずれも有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも2桁（または3桁で求めて四捨五入して2桁）に丸める必要があります。計算途中では、有効数字より1桁多く（3桁程度）とって計算を進め、最後に調整するのが一般的です。
• 概算による検算: 本格的な計算の前に、\(h \approx 7 \times 10^{-34}\), \(c \approx 3 \times 10^8\), \(\Delta E \approx 10 \times 1.6 \times 10^{-19} = 16 \times 10^{-19}\) のように数値を丸めて、\(\lambda \approx \displaystyle\frac{21 \times 10^{-26}}{16 \times 10^{-19}} \approx 1.3 \times 10^{-7}\) [m] といった概算を行います。これにより、計算結果の桁数が大きくずれていないかを確認できます。

例題100 X線

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「X線の発生原理とスペクトル」です。X線管内で電子を加速して陽極に衝突させることで発生するX線には、2つの異なるメカニズムがあり、それらがスペクトル上にどのように現れるかを理解することが重要です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
X線のスペクトルは、なだらかに分布する成分と、特定の波長に鋭く現れる成分の2つから構成されています。①は様々な波長にわたって連続的に分布しているため「連続X線」と呼ばれます。これは、加速された電子が陽極内で減速する際に失うエネルギーがまちまちであるためです。②は特定の波長にのみ現れる線スペクトルであり、陽極物質の原子のエネルギー準位に依存するため「固有X線」または「特性X線」と呼ばれます。
この設問における重要なポイント

• なだらかな山の成分 \(\rightarrow\) 連続X線（制動放射）
• 鋭いピークの成分 \(\rightarrow\) 固有X線（特性X線）

具体的な解説と立式
図のスペクトルにおいて、①は様々な波長の成分が連続的に分布しています。これは、加速された電子が陽極物質内で原子核の電場によって減速される際に放出される制動放射であり、「連続X線」と呼ばれます。
一方、②は特定の波長\(\lambda_1, \lambda_2\)にだけ強い強度を持つ線スペクトルです。これは、陽極を構成するする原子の電子がエネルギー準位間を遷移する際に放出されるもので、その波長は原子の種類によって決まるため、「固有X線」または「特性X線」と呼ばれます。

この設問は語句を答えるものであり、計算は不要です。

X線のスペクトルグラフは、なだらかな「丘」と、その上に立つ鋭い「塔」でできています。「丘」の部分は、電子が急ブレーキをかけられたときに出る光で、ブレーキのかかり方が色々あるので、様々な波長の光が混じっています。これを「連続X線」と呼びます。一方、「塔」の部分は、陽極の原子が持つ「エネルギーの階層」を電子が移るときに出る光で、階層の高さは原子ごとに決まっているので、決まった波長の光しか出ません。これを「固有X線」と呼びます。

①は連続X線、②は固有X線（特性X線）です。それぞれの発生原理とスペクトルの見た目の特徴が正しく対応しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
初速度0の電子（電気量\(-e\)）が、電圧\(V\)で加速される状況を考えます。このとき、電子が電場からされる仕事が、そのまま電子の運動エネルギーに変換されます。この電子が陽極に衝突し、その持つ運動エネルギーのすべてが1個のX線光子のエネルギーに変換された場合、そのX線光子のエネルギーは最大となります。
この設問における重要なポイント

• 電荷\(q\)の粒子が電圧\(V\)で加速されるときに得るエネルギーは \(qV\)。
• 電子の電気量の大きさは\(e\)なので、得る運動エネルギーは\(eV\)。
• 電子の運動エネルギーが100%光子のエネルギーに変換されるとき、光子のエネルギーは最大となる。

具体的な解説と立式
電気量\(-e\)の電子が、電圧\(V\)の電場によって陰極から陽極まで加速されるとき、静電気力がする仕事\(W\)は、
$$ W = e V $$
となります。初速度が0なので、仕事とエネルギーの関係より、陽極に到達したときの電子の運動エネルギー\(K\)は、
$$ K = W = eV $$
となります。
陽極に衝突した電子は減速し、その運動エネルギーをX線光子として放出します。もし、電子が持つ運動エネルギー\(eV\)のすべてが、1個のX線光子のエネルギーに変換されたとすると、その光子のエネルギー\(E_{\text{最大}}\)は最大値をとります。
したがって、放出されるX線光子がもつ最大のエネルギーは、
$$ E_{\text{最大}} = eV $$
となります。

この設問は立式が目的であるため、これ以上の計算は不要です。

電子は電圧\(V\)という「坂」を転がり落ちることで、\(eV\)という大きさのエネルギーを得ます。このエネルギーを持った電子が陽極に激突し、持っていたエネルギーのすべてを一つの光に変えたとき、その光のエネルギーが最大になります。したがって、X線光子の最大のエネルギーは、電子が得たエネルギーと同じ\(eV\)です。

放出されるX線光子の最大のエネルギーは\(eV\)です。これは、加速された電子の全運動エネルギーが、1回の制動放射で1個の光子に変換されるという理想的な状況に対応します。

問(3)

思考の道筋とポイント
光子のエネルギー\(E\)と波長\(\lambda\)の間には、\(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)という関係があります。この式から、エネルギーと波長は反比例の関係にあることがわかります。したがって、X線のエネルギーが最大になるとき、その波長は最短になります。この最短波長が\(\lambda_0\)です。
この設問における重要なポイント

• 光子のエネルギーと波長の関係: \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\)。
• エネルギーが最大 \(\iff\) 波長が最短。

具体的な解説と立式
(2)で求めたX線光子の最大エネルギー\(E_{\text{最大}} = eV\)と、最短波長\(\lambda_0\)の間には、次の関係が成り立ちます。
$$ E_{\text{最大}} = \frac{hc}{\lambda_0} $$
この式に\(E_{\text{最大}} = eV\)を代入して、\(\lambda_0\)について解きます。
$$ eV = \frac{hc}{\lambda_0} $$

立式した \(eV = \displaystyle\frac{hc}{\lambda_0}\) を\(\lambda_0\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
\lambda_0 \cdot eV &= hc \\[2.0ex]\lambda_0 &= \frac{hc}{eV}
\end{aligned}
$$

光のエネルギーは「\(h \times c \div \lambda\)」で計算できます。今、(2)で光のエネルギーの最大値が\(eV\)だとわかりました。エネルギーが最大のとき、波長は最短の\(\lambda_0\)になるので、「\(eV = h \times c \div \lambda_0\)」という式が成り立ちます。この式を\(\lambda_0\)について解けば、答えが求まります。

X線の最短波長は \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) となります。この波長は、連続X線のスペクトルの下限（最もエネルギーが高い側）を決定するもので、加速電圧\(V\)に反比例することがわかります。

問(4)

思考の道筋とポイント
加速電圧\(V\)を大きくしたときに、\(\lambda_0\), \(\lambda_1\), \(\lambda_2\)のうち、変化しないものはどれかを考えます。それぞれの波長が何によって決まるのか、その発生原理に立ち返って考察します。
この設問における重要なポイント

• 最短波長\(\lambda_0\)は、加速電圧\(V\)に依存する。
• 固有X線の波長\(\lambda_1, \lambda_2\)は、陽極物質の原子のエネルギー準位の差で決まり、加速電圧\(V\)には依存しない。

具体的な解説と立式
(3)で求めたように、最短波長\(\lambda_0\)は \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) と表されます。この式から、\(\lambda_0\)は加速電圧\(V\)に反比例して変化することがわかります。
一方、固有X線の波長\(\lambda_1, \lambda_2\)は、陽極を構成する原子のエネルギー準位の差によって決まります。このエネルギー準位は原子の種類によって定まる固有の値であり、電子を加速する電圧\(V\)の大きさには直接関係しません。
したがって、加速電圧\(V\)を大きくしても変化しないのは、固有X線の波長である\(\lambda_1\)と\(\lambda_2\)です。

この設問は考察が目的であり、計算は不要です。

最短波長\(\lambda_0\)は、電子を加速する電圧\(V\)で決まるので、\(V\)を変えれば\(\lambda_0\)も変わります。一方、固有X線の波長\(\lambda_1, \lambda_2\)は、陽極に使われている金属原子の種類で決まる「その原子の個性」のようなものです。電子をどれだけ強くぶつけても（\(V\)を大きくしても）、原子の個性（エネルギー準位）は変わらないので、\(\lambda_1, \lambda_2\)は変化しません。

加速電圧\(V\)を大きくしても変化しないのは、固有X線の波長\(\lambda_1, \lambda_2\)です。これは、固有X線が原子固有の現象であることと、連続X線が衝突する電子のエネルギーに依存する現象であることの違いを正しく理解できているかを確認する問題です。

問(5)

思考の道筋とポイント
(4)で「変化した波長」とは、最短波長\(\lambda_0\)のことです。加速電圧\(V\)を大きくしたときに、\(\lambda_0\)がどのように変化するかを答えます。(3)で導出した関係式 \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) を見れば、その関係は明らかです。
この設問における重要なポイント

• \(\lambda_0\)と\(V\)は反比例の関係にある。

具体的な解説と立式
(4)で考察したように、加速電圧\(V\)を変化させると、最短波長\(\lambda_0\)が変化します。
その関係式は、(3)で求めた通り、
$$ \lambda_0 = \frac{hc}{eV} $$
です。この式から、\(\lambda_0\)は加速電圧\(V\)に反比例します。
したがって、加速電圧\(V\)を大きくすると、分母が大きくなるため、\(\lambda_0\)の値は小さくなります。

この設問は関係性から結論を導くものであり、計算は不要です。

(3)で求めた式 \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) を見ます。加速電圧\(V\)は式の分母にあります。分母の数が大きくなれば、分数全体の数は小さくなります。したがって、\(V\)を大きくすると\(\lambda_0\)は小さくなります。

加速電圧\(V\)を大きくすると、最短波長\(\lambda_0\)は小さくなります。これは、より高いエネルギーの電子を衝突させることで、より高いエネルギー（＝より短い波長）のX線光子を発生させることができる、という物理的な直感とも一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• X線の2種類の発生原理:
  • 核心: X線のスペクトルがなぜ「なだらかな丘」と「鋭いピーク」の2成分で構成されるのか、その物理的な起源を区別して理解することが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 連続X線（制動放射）: 加速された電子が陽極原子のそばで急ブレーキをかけられ、失った運動エネルギーが光子に変わる現象。ブレーキのかかり方は様々なので、放出される光子のエネルギーも連続的になり、なだらかなスペクトルを形成します。
    • 固有X線（特性X線）: 加速された電子が陽極原子の内殻電子を弾き飛ばし、その空席に外殻の電子が落ち込む際に発生。原子に固有のエネルギー準位の差に相当するエネルギーを持つため、特定の波長（線スペクトル）として現れます。
• 最短波長の決定原理:
  • 核心: 連続X線に最短波長（\(\lambda_0\)）が存在するのはなぜか、その値が何で決まるのかを理解することです。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー保存則: 電子が加速電圧\(V\)で得た運動エネルギー\(eV\)が、1回の衝突で100%単一のX線光子に変換されるとき、その光子のエネルギーは最大値\(E_{\text{最大}}=eV\)をとります。
    • エネルギーと波長の関係: 光子のエネルギーは \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) なので、エネルギーが最大のとき、波長は最短になります。この関係から、最短波長を決定する公式 \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 陽極物質の変更: 「陽極の物質を原子番号の大きいものに変えたら、スペクトルはどうなるか？」という問題。
    • 答え: 固有X線の波長\(\lambda_1, \lambda_2\)は、よりエネルギーの大きい（波長の短い）側にシフトする。最短波長\(\lambda_0\)は加速電圧\(V\)のみに依存するため変化しない。
  • 加速電圧の具体的な計算: 最短波長\(\lambda_0\)の値が与えられ、加速電圧\(V\)を計算させる問題。\(V = \displaystyle\frac{hc}{e\lambda_0}\) の式を使います。
  • グラフの変化の図示: 「加速電圧Vを半分にしたら、グラフはどう変化するか、図示せよ」という問題。
    • 答え: 最短波長\(\lambda_0\)が2倍の長さに（右に）ずれる。固有X線のピークの位置(\(\lambda_1, \lambda_2\))は変わらない。全体のX線強度（グラフの山の高さ）は低くなる。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの2成分を特定: なだらかな分布と鋭いピークを見たら、それぞれ「連続X線」と「固有X線」と心の中で名付け、性質を思い出す。
  2. 「最短波長 \(\lambda_0\)」に注目: この値は連続X線の左端であり、加速電圧\(V\)だけで決まる、という事実が最重要。すぐに \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) の式を連想する。
  3. 「固有X線 \(\lambda_1, \lambda_2\)」に注目: これらの値は陽極物質の原子の種類だけで決まる、という事実を思い出す。
  4. 変化するパラメータは何か？: 問題文が「加速電圧\(V\)」を変えているのか、「陽極物質」を変えているのかを正確に読み取る。それによって影響を受ける波長が異なります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 連続X線と固有X線の依存性の混同:
  • 誤解: 加速電圧\(V\)を変えると、固有X線の波長\(\lambda_1, \lambda_2\)も変化する、あるいは陽極物質を変えると最短波長\(\lambda_0\)も変化する、と勘違いしてしまう。
  • 対策: 「固有」という言葉は「その原子に固有の性質」と覚えます。原子の種類を変えない限り、固有X線の波長は変わりません。一方、最短波長は「電子の初期エネルギー」で決まるので、加速電圧\(V\)に依存する、と発生原理と結びつけて明確に区別します。
• エネルギーと波長の関係の逆転:
  • 誤解: (5)で、加速電圧\(V\)を大きくすると電子のエネルギーが大きくなるので、波長\(\lambda_0\)も大きくなると考えてしまう。
  • 対策: 関係式 \(E = \displaystyle\frac{hc}{\lambda}\) を常に書き出し、\(E\)と\(\lambda\)が反比例の関係にあることを視覚的に確認します。「エネルギーが大きい光ほど、波長は短い」と何度も反芻して記憶に定着させましょう。
• 電子のエネルギーの符号:
  • 誤解: 電子の電荷が\(-e\)なので、得るエネルギーを\(-eV\)としてしまい、計算や考察で混乱する。
  • 対策: エネルギーはスカラー量であり、運動エネルギーは常に正の値です。電位差\(V\)によって電荷\(q\)が得る運動エネルギーは \(|qV|\) と考えるのが安全です。電子の場合、その大きさは\(eV\)となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電子の運動エネルギー (\(K=eV\)):
  • 選定理由: (2)で、電圧\(V\)によって加速された電子のエネルギーを問われているため。これは電場が電荷にする仕事の定義そのものです。
  • 適用根拠: 電子が電位差\(V\)のある空間を移動するとき、静電気力がする仕事\(W=eV\)が、そのまま運動エネルギーの増加分になるというエネルギー保存則（仕事とエネルギーの関係）を適用しています。
• 光子のエネルギー (\(E = hc/\lambda\)):
  • 選定理由: (3)で「X線光子」の「波長」を問われているため。光子のエネルギーと波長を結びつける唯一の基本公式です。
  • 適用根拠: これは光の粒子性と波動性を結びつける関係式です。電子の運動エネルギーが光子のエネルギーに変換されるという現象を記述するために適用します。
• 最短波長の条件 (\(eV = hc/\lambda_0\)):
  • 選定理由: 「最短波長」という、エネルギーが最大になる特別な状況を数式化するために、上記の2つの公式を組み合わせる必要があります。
  • 適用根拠: エネルギー保存則に基づき、「電子が持っていた最大の運動エネルギー(\(eV\))」が「放出される光子の最大のエネルギー(\(hc/\lambda_0\))」に等しい、という等式を立てています。これは、電子の運動エネルギーから光子のエネルギーへの変換効率が100%となる理想的なケースに対応します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の変形: (3)で \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) を導出する際、分母と分子を入れ替える操作を焦って行わないこと。\(eV \cdot \lambda_0 = hc\) のように、一度分母を払うステップを挟むと、単純な移項ミスを防げます。
• 反比例の関係の確認: (5)のような定性的な問いでは、導出した式 \(\lambda_0 = \displaystyle\frac{hc}{eV}\) をもとに、「Vが分母にあるから、Vが大きくなると\(\lambda_0\)は小さくなる」と、式の形から論理的に結論を導く癖をつけましょう。感覚で答えるのは危険です。
• 単位の確認: もし具体的な数値を計算する問題が出た場合、\(h, c, e\) の単位がSI単位系であることを確認し、電圧\(V\)もボルト[V]で代入すれば、波長\(\lambda\)はメートル[m]で求まります。単位換算の必要性を常に意識することが重要です。

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