「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 28】Step1 & 例題

Step1

① レンツの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「レンツの法則を用いた誘導電流の向きと電位の決定」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、電磁誘導における誘導電流の向きを問う典型的な問題です。ポイントは、レンツの法則の核心である「変化を妨げる」という部分を正しく理解することです。「N極が近づいてくる」という変化に対して、コイルは「その変化を妨げる＝N極を押し返す」ように振る舞う、と考えると直感的に理解しやすくなります。コイルがN極を押し返すためには、コイル自身が電磁石となり、磁石に近い側（左側）がN極になる必要があります。この「コイルがつくるべき磁界の向き」が分かれば、あとは右ねじの法則を使って電流の向きを特定できます。最後に、電流の向きと電位の高低の関係を正しく結びつけることができれば、完答に至ります。

この設問における重要なポイント

• レンツの法則: コイルを貫く磁束が変化するとき、その変化を妨げる向きに誘導電流が流れます。
  • 磁束が「増加」する場合：その増加を打ち消すため、もとの磁界とは「逆向き」の磁界を誘導電流がつくります。
  • 磁束が「減少」する場合：その減少を補うため、もとの磁界と「同じ向き」の磁界を誘導電流がつくります。
• 右ねじの法則: コイルに流れる電流と、それによって生じる磁界の向きの関係を示します。右手の4本指をコイルの巻線に沿った電流の向きに合わせると、親指が指す向きがコイル内部にできる磁界の向き（N極の向き）になります。
• 電位と電流: 回路において、抵抗を電流が流れるとき、電流が流れ込む側（上流）の電位は、流れ出す側（下流）よりも高くなります。

具体的な解説と立式
この問題は、以下の4ステップで論理的に解くことができます。

1. コイルを貫く磁束の変化を把握する
   棒磁石のN極からは、磁力線が四方八方に出ていますが、特に右側にあるコイルに向かっては「右向き」の磁力線が出ています。磁石をコイルに近づけると、コイルを貫くこの右向きの磁力線の本数が増えます。物理学では、この磁力線の本数に相当する量を「磁束」と呼びます。したがって、「コイルを貫く右向きの磁束が増加する」という変化が起こります。
2. レンツの法則を適用する
   レンツの法則によれば、誘導電流は「右向きの磁束の増加」という変化を妨げるように流れます。磁束の増加を妨げるには、その増加を打ち消すような磁界、すなわち「左向きの磁界」をコイル自身がつくる必要があります。
3. 右ねじの法則で電流の向きを決定する
   コイルが「左向きの磁界」をつくるということは、コイルの左端がN極、右端がS極の電磁石になるということです。右ねじの法則を使い、右手の親指を磁界の向き（左向き）に合わせます。すると、残りの4本の指は、コイルの手前側では上から下へ、コイルの裏側では下から上へと巻く向きになります。この4本の指の向きが誘導電流の流れる向きです。したがって、コイルの下部にある抵抗\(R\)には、点\(P\)から点\(Q\)の向きに電流が流れます。
4. 電位の高低を判断する
   抵抗\(R\)を電流が\(P \rightarrow Q\)の向きに流れることが分かりました。電流は、電位の高い点から低い点へと流れる性質があります。これは、水が高い場所から低い場所へ流れるのと同じイメージです。したがって、点\(P\)の電位は点\(Q\)の電位よりも高いと判断できます。

この問題は定性的な考察が中心であり、数式を用いた計算過程はありません。解答のプロセスは、以下の論理的な手順そのものです。

• 磁石のN極がコイルに接近する。
  → コイルを貫く「右向き」の磁束が増加する。
• レンツの法則を適用する。
  → 磁束の増加を妨げるため、コイルは「左向き」の磁界をつくる。
• 右ねじの法則を適用する。
  → 左向きの磁界をつくるため、誘導電流は抵抗\(R\)を\(P \rightarrow Q\)の向きに流れる。
• 電流と電位の関係を考える。
  → 電流は電位の高い方から低い方へ流れるため、点\(P\)の電位は点\(Q\)よりも高い。

この種の問題は、コイルを「あまのじゃくな性格」だと考えると分かりやすいです。

1. 相手の行動を把握する: 「N極が近づいてくる」という状況を認識します。
2. あまのじゃくな反応: コイルは「近づいてくるな！」と反発します。N極を押し返すためには、自分もN極になればよいので、コイルは左側がN極になるように頑張ります。
3. どうやってN極になるか？: コイルがN極になる（左向きの磁界をつくる）には、どう電流を流せばよいかを「右ねじの法則」で考えます。右手の親指を左に向けると、他の4本の指はコイルの手前側を上から下に巻きます。これが電流の向きです。
4. 電流の向きから電位を判断: この電流は、下の抵抗\(R\)では左の\(P\)から右の\(Q\)へと流れます。電流は「電位の坂」を水が流れるように、高い方から低い方へ流れます。よって、\(P\)の方が\(Q\)より電位が高い（坂の上にある）と分かります。

② ファラデーの電磁誘導の法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ファラデーの電磁誘導の法則を用いた誘導起電力の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、ファラデーの電磁誘導の法則を正しく理解し、公式に数値を当てはめることができるかを問う基本的な計算問題です。ポイントは、公式 \(V = -N \displaystyle\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) の各文字が何を意味するかを正確に把握することです。\(N\)はコイルの巻数、\(\Delta t\)は磁束が変化するのにかかった時間、\(\Delta \Phi\)は磁束の変化量（変化後の磁束 – 変化前の磁束）を表します。公式に含まれるマイナス符号は、誘導起電力が磁束の変化を妨げる向きに生じること（レンツの法則）を示していますが、この問題では誘導起電力の「大きさ」を問われているため、計算結果の絶対値をとればよく、最終的な答えは正の値となります。また、問題文で与えられている数値の有効数字にも注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• ファラデーの電磁誘導の法則: \(N\)回巻きのコイルを貫く磁束が、時間\(\Delta t\)の間に\(\Delta \Phi\)だけ変化すると、コイルには誘導起電力\(V\)が生じます。その関係は次式で与えられます。
  $$ V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} $$
• 磁束の変化量 \(\Delta \Phi\): 磁束の変化量は、\(\Delta \Phi = (\text{変化後の磁束}) – (\text{変化前の磁束})\) で計算します。
• 誘導起電力の大きさ: 問題で「大きさ」を問われた場合は、起電力\(V\)の絶対値\(|V|\)を計算します。磁束が増加（\(\Delta \Phi > 0\)）しても減少（\(\Delta \Phi < 0\)）しても、大きさは常に正の値になります。
  $$ |V| = \left|-N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right| = N \left|\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right| $$
• 有効数字: 計算に用いる物理量のうち、最も有効数字の桁数が少ないものに、最終的な計算結果の桁数を合わせるのが原則です。この問題では、0.020s, 0.40Wb, 0.80Wbがいずれも有効数字2桁なので、答えも2桁で表します。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている数値を整理します。

• コイルの巻数: \(N = 5\) [回]
• かかった時間: \(\Delta t = 0.020\) [s]
• 変化前の磁束: \(\Phi_{\text{前}} = 0.40\) [Wb]
• 変化後の磁束: \(\Phi_{\text{後}} = 0.80\) [Wb]

次に、磁束の変化量 \(\Delta \Phi\) を計算します。
$$ \Delta \Phi = \Phi_{\text{後}} – \Phi_{\text{前}} \quad \cdots ① $$
コイルに生じる誘導起電力の大きさ \(|V|\) は、ファラデーの電磁誘導の法則より、次の式で与えられます。
$$ |V| = \left|-N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\right| \quad \cdots ② $$
この問題では磁束が増加しているので \(\Delta \Phi > 0\) です。したがって、絶対値の計算は単純にマイナス符号を取り除くだけでよく、次のように立式できます。
$$ |V| = N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \quad \cdots ③ $$

まず、式①を用いて磁束の変化量 \(\Delta \Phi\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta \Phi &= \Phi_{\text{後}} – \Phi_{\text{前}} \\[2.0ex]&= 0.80 – 0.40 \\[2.0ex]&= 0.40 \, \text{[Wb]}
\end{aligned}
$$
次に、この結果と与えられた値を式③に代入して、誘導起電力の大きさ \(|V|\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
|V| &= N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \\[2.0ex]&= 5 \times \frac{0.40}{0.020} \\[2.0ex]&= 5 \times \frac{40}{2} \\[2.0ex]&= 5 \times 20 \\[2.0ex]&= 100 \, \text{[V]}
\end{aligned}
$$
最後に、有効数字を考慮します。問題文中の数値「0.020」、「0.40」、「0.80」は、いずれも有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁で表す必要があります。
$$ |V| = 1.0 \times 10^2 \, \text{[V]} $$

この問題は、コイルにどれくらいの電圧（誘導起電力）が発生するかを計算する問題です。公式 \(|V| = N \times \frac{\text{磁束の変化量}}{\text{かかった時間}}\) に、問題文の数字を当てはめていくだけで解けます。

1. 磁束の変化量を求める: 磁束は0.40Wbから0.80Wbに増えました。変化量は引き算で求められ、\(0.80 – 0.40 = 0.40\) Wbです。
2. 時間あたりの変化率を求める: この0.40Wbの変化が、わずか0.020秒の間に起きました。1秒あたりどれくらい変化したかを知るには、割り算をします。\(\displaystyle\frac{0.40}{0.020} = 20\) Wb/s となります。これが、コイル1回巻きあたりの起電力に相当します。
3. 巻数倍する: 実際のコイルは5回巻きなので、全体の起電力は1回巻きのときの5倍になります。\(20 \times 5 = 100\) V となります。
4. 答えの形を整える: 問題で使われている数字が「0.020」や「0.40」のように、細かく書かれています（有効数字2桁）。これに合わせて、答えも「100」と書くのではなく、「\(1.0 \times 10^2\)」という科学的な表記法で、桁数をそろえて答えるのが物理のルールです。

③ 渦電流

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「レンツの法則と渦電流」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(a)

思考の道筋とポイント
N極をアルミ板に近づける状況です。まず、N極がアルミ板の位置につくる磁界の向きを考え、次に「近づける」という操作によってその磁束がどう変化するかを捉えます。レンツの法則の「変化を妨げる」という原則に従い、アルミ板がどのような向きの磁界を自らつくり出すべきかを決定します。最後に、その磁界をつくるために必要な渦電流の向きを、右ねじの法則を用いて特定します。

この設問における重要なポイント

• 磁石がつくる磁界：N極からは磁力線が「出る」ので、アルミ板には「下向き」の磁界（磁束）が生じます。
• 磁束の変化：「近づける」ので、アルミ板を貫く下向きの磁束は「増加」します。
• レンツの法則の適用：渦電流は、この下向き磁束の「増加」を妨げるために、「上向き」の磁界をつくります。
• 右ねじの法則の適用：右手の親指を、つくるべき磁界の向き（上向き）に合わせると、残りの4本の指は「反時計回り」に巻きます。これが渦電流の向きです。

具体的な解説と立式
この問題は定性的な考察が中心です。

1. 磁束の変化の把握: 棒磁石のN極がアルミ板に近づくため、アルミ板を上から下に貫く磁束が増加します。
2. 誘導磁界の向きの決定: レンツの法則により、渦電流はこの「下向き磁束の増加」を妨げる向きに流れます。そのためには、渦電流自身が「上向き」の磁界（アルミ板の上面がN極になるような磁界）をつくる必要があります。
3. 渦電流の向きの決定: 右ねじの法則を適用します。右手の親指をつくるべき磁界の向きである「上向き」に立てると、残りの4本の指は反時計回りに巻きます。この向きが、生じる渦電流の向きとなります。
4. 結論: したがって、選択肢(ア)が正しい答えとなります。

この問題に計算過程はありません。上記の論理的な考察が解答プロセスとなります。

アルミ板を「あまのじゃく」だと考えてみましょう。

1. 相手の行動: 「N極が近づいてくる」という状況です。
2. あまのじゃくな反応: アルミ板は「来るな！」と反発します。N極に反発するためには、自分もN極になるのが一番です。
3. どうやってN極になるか？: アルミ板の上面がN極になるような磁界（上向きの磁界）をつくるには、どう電流を流せばよいか「右ねじの法則」で考えます。右手の親指を上に向けると、他の4本の指は「反時計回り」に巻きます。これが渦電流の向きです。

問(b)

思考の道筋とポイント
S極をアルミ板の上で水平に動かす状況です。この場合、磁石の真下だけでなく、その「進行方向前方」と「進行方向後方」で磁束の変化が異なることが重要です。前方は「これから磁石がやってくる」場所、後方は「磁石が去っていく」場所として、それぞれにレンツの法則を適用します。2つの渦電流がペアで生じるのが特徴です。

この設問における重要なポイント

• 磁石がつくる磁界：S極には磁力線が「入る」ので、アルミ板には「上向き」の磁界（磁束）が生じます。
• 進行方向前方での変化:
  • 磁束の変化：これから磁石が来るので、上向きの磁束が「増加」します。
  • レンツの法則：増加を妨げるため「下向き」の磁界をつくります。
  • 右ねじの法則：親指を下にすると、4本指は「時計回り」になります。
• 進行方向後方での変化:
  • 磁束の変化：磁石が去っていくので、上向きの磁束が「減少」します。
  • レンツの法則：減少を妨げるため「上向き」の磁界をつくります（引き留める）。
  • 右ねじの法則：親指を上にすると、4本指は「反時計回り」になります。

具体的な解説と立式
この問題も定性的な考察が中心です。

1. 磁石がつくる磁界の確認: 棒磁石のS極が下を向いているため、磁石の真下ではアルミ板を下から上に貫く磁束（上向きの磁束）が最も強くなっています。
2. 進行方向前方での考察: 磁石が右へ移動すると、磁石の前方（右側）の領域では、これまで弱かった「上向き」の磁束が増加していきます。
   • レンツの法則により、この増加を妨げるため、渦電流は「下向き」の磁界をつくります。
   • 右ねじの法則より、下向きの磁界をつくる電流は「時計回り」です。
3. 進行方向後方での考察: 同様に、磁石の後方（左側）の領域では、これまで強かった「上向き」の磁束が減少していきます。
   • レンツの法則により、この減少を妨げるため、渦電流は「上向き」の磁界をつくって磁束の減少を補おうとします。
   • 右ねじの法則より、上向きの磁界をつくる電流は「反時計回り」です。
4. 結論: 磁石の前方で時計回り、後方で反時計回りの渦電流がペアで生じます。これは選択肢(ウ)と一致します。

この問題に計算過程はありません。上記の論理的な考察が解答プロセスとなります。

ここでもアルミ板の「あまのじゃく」な性格で考えます。今回は磁石が通り過ぎるので、前と後ろで反応が変わります。

1. 前方（磁石がこれから来るところ）:
   • 相手の行動：「S極が近づいてくる」
   • あまのじゃくな反応：「来るな！」と反発します。S極に反発するには、自分もS極になればよいです。アルミ板の上面がS極になる（下向きの磁界をつくる）には、「時計回り」に電流を流します。
2. 後方（磁石が去っていくところ）:
   • 相手の行動：「S極が遠ざかっていく」
   • あまのじゃくな反応：「行かないで！」と引き留めます。S極を引き留めるには、自分はN極になればよいです。アルミ板の上面がN極になる（上向きの磁界をつくる）には、「反時計回り」に電流を流します。
3. まとめ: 結果として、磁石の前方に時計回り、後方に反時計回りの渦がセットでできます。

④ 磁界中を動く導体棒

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁界中を運動する導体棒に生じる誘導起電力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は「1s間あたりの面積の変化」、すなわち面積の時間変化率 \(\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta t}\) を求めています。導体棒が微小時間 \(\Delta t\) の間にどれだけ進み、それによって回路の面積 \(\Delta S\) がどれだけ増加するかを考え、比を計算します。

この設問における重要なポイント

• 速さ \(v\) の定義は、単位時間あたりに進む距離です。
• 面積の増加分は、導体棒が進んだ距離を横、導体棒の長さを縦とする長方形の面積として計算できます。

具体的な解説と立式
導体棒PQは速さ \(v\) [m/s] で右向きに動きます。
微小時間 \(\Delta t\) [s] の間に進む距離を \(\Delta x\) [m] とすると、
$$ \Delta x = v \Delta t $$
この間に回路の面積が増加しますが、その増加分 \(\Delta S\) は、縦が \(l\)、横が \(\Delta x\) の長方形の面積に等しくなります。
$$ \Delta S = l \times \Delta x = l \times (v \Delta t) $$
求めるのは1s間あたりの面積の変化、すなわち \(\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta t}\) なので、両辺を \(\Delta t\) で割ります。
$$ \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{lv \Delta t}{\Delta t} $$

$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta S}{\Delta t} &= \frac{lv \Delta t}{\Delta t} \\[2.0ex]&= vl
\end{aligned}
$$
したがって、1s間あたりの面積の変化は \(vl\) [m²/s] となります。

速さ \(v\) とは「1秒間に \(v\) メートル進む」という意味です。導体棒が1秒間に右に \(v\) メートル動くと、回路の面積は、縦が \(l\) メートル、横が \(v\) メートルの長方形の分だけ増えます。この長方形の面積は \(l \times v = vl\) [m²] です。これが「1秒間あたりの面積の変化」そのものです。

問(2)

思考の道筋とポイント
導体棒が動いて回路の面積が変わると、回路を貫く磁束が変化し、その結果として誘導起電力が生じます。これはファラデーの電磁誘導の法則によるものです。公式 \(|V| = N \left| \displaystyle\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|\) と、磁束の定義 \(\Phi = BS\) を用いて計算します。

この設問における重要なポイント

• ファラデーの電磁誘導の法則: \(V = -N \displaystyle\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\)
• 磁束の変化率: 磁束密度\(B\)は一定なので、磁束の変化は面積の変化によってのみ生じます。したがって、\(\displaystyle\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{\Delta (BS)}{\Delta t} = B \frac{\Delta S}{\Delta t}\) となります。
• この回路は1回巻きのコイルとみなせるので、巻数 \(N=1\) です。

具体的な解説と立式
ファラデーの電磁誘導の法則より、誘導起電力の大きさ \(|V|\) は次式で与えられます。
$$ |V| = \left| -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| $$
この回路は1回巻きコイルとみなせるので \(N=1\) です。磁束 \(\Phi\) は \(\Phi = BS\) であり、磁束密度 \(B\) は一様で時間変化しないため、
$$ \Delta \Phi = B \Delta S $$
と書けます。したがって、起電力の大きさは、
$$ |V| = \frac{B \Delta S}{\Delta t} = B \left( \frac{\Delta S}{\Delta t} \right) \quad \cdots ① $$
となります。

式①に、問(1)で求めた \(\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta t} = vl\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
|V| &= B \left( \frac{\Delta S}{\Delta t} \right) \\[2.0ex]&= B (vl) \\[2.0ex]&= vBl
\end{aligned}
$$
したがって、誘導起電力の大きさは \(vBl\) [V] となります。

電圧（起電力）は、「磁束がどれだけ速く変化するか」で決まります。磁束は「磁石の強さ(\(B\)) × 面積(\(S\))」で計算できます。問(1)で、面積は1秒あたり \(vl\) ずつ増えることがわかりました。そのため、磁束は1秒あたり \(B \times (vl)\) ずつ増えることになります。この「1秒あたりの磁束の変化」が、そのまま発生する電圧の大きさになるので、答えは \(vBl\) です。

問(3)

思考の道筋とポイント
電流の向きはレンツの法則で決定します。レンツの法則とは「誘導電流は、磁束の変化を妨げる向きに流れる」というものです。そして、電流がつくる磁界の向きは右ねじの法則で調べます。電位の高低は、起電力が生じている導体棒を「電池」とみなし、電流の向きから正極・負極を判断することで決定します。

この設問における重要なポイント

• 磁束の変化：導体棒が右に動くと回路の面積が増え、紙面の裏から表向きの磁束が「増加」します。
• レンツの法則：この増加を妨げるため、誘導電流は「紙面の表から裏向き」の磁界をつくります。
• 右ねじの法則：右手の親指を「表から裏向き」にすると、4本の指は時計回りに巻きます。これが電流の向きです。
• 導体棒＝電池：導体棒PQではP→Qへ電流が流れます。これは、導体棒PQがQ側を正極、P側を負極とする電池になったことを意味します。したがって、Qの方が電位が高くなります。

具体的な解説と立式
(電流の向き)

1. 導体棒PQが右に動くと、回路を貫く磁束が増加します。磁界の向きは紙面の裏から表向きなので、「裏から表向きの磁束が増加」します。
2. レンツの法則より、誘導電流はこの磁束の増加を妨げる向き、すなわち「紙面の表から裏向き」の磁界をつくるように流れます。
3. 右ねじの法則を適用します。右手の親指を紙面の表から裏に向けると、残りの4本の指は時計回りに巻きます。
4. したがって、回路には時計回りの電流が流れ、導体棒PQの部分ではPからQの向きに電流が流れます。

(電位の高低)

1. 導体棒PQは、誘導電流を流す源となっているので、電池とみなすことができます。
2. P→Qの向きに電流が流れるということは、導体棒PQは、Qが正極、Pが負極の電池として機能していることになります。
3. 電池の正極は負極よりも電位が高いので、点Qの電位は点Pの電位よりも高くなります。

この問題に計算過程はありません。

(電流の向き)

回路の面積が増えることで、紙面を突き抜けてくる磁力線（裏→表）が増えてしまいます。回路は「増えるな！」と抵抗して、逆向きの磁力線（表→裏）を作ろうとします。右ねじの法則で、親指を紙面に押し込む向き（表→裏）にすると、指は時計回りに巻きます。これが電流の向きなので、導体棒ではPからQに流れます。

(電位の高さ)

導体棒は、PからQへ電流を送り出す「電池」になったと考えます。電池では、電流が出ていくプラス極の方が、電流が戻ってくるマイナス極より電位が高い（電圧が高い）です。Qから電流が出ていく形なので、Qがプラス極。よってQの方が電位が高いとわかります。

⑤ 自己誘導

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「自己誘導による誘導起電力の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、自己誘導の公式 \(V = -L \displaystyle\frac{\Delta I}{\Delta t}\) を正しく適用できるかを問う、基本的な計算問題です。公式の各文字が何を意味するかを正確に把握することが重要です。\(L\)はコイルの性質を表す自己インダクタンス、\(\Delta I\)は電流の変化量（変化後の電流 – 変化前の電流）、\(\Delta t\)はその変化にかかった時間です。公式のマイナス符号は、誘導起電力が「電流の変化を妨げる向き」に生じること（レンツの法則）を示しています。この問題では誘導起電力の「大きさ」が問われているため、計算結果の絶対値をとればよく、最終的な答えは正の値となります。また、問題文で与えられている数値の有効数字にも注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 自己誘導: コイルに流れる電流が変化すると、コイル自身を貫く磁束が変化し、その変化を妨げる向きに誘導起電力が発生する現象です。コイルは電流の急な変化を嫌う性質を持ちます。
• 自己誘導の公式: コイルに生じる誘導起電力\(V\)は、\(V = -L \displaystyle\frac{\Delta I}{\Delta t}\) で与えられます。ここで\(L\)は自己インダクタンス [H]、\(\displaystyle\frac{\Delta I}{\Delta t}\)は電流の時間変化率 [A/s] です。
• 自己インダクタンス\(L\): 電流が変化したときに、どれだけ大きな誘導起電力を生じさせるかを示す、コイル固有の比例定数です。単位はヘンリー [H] です。
• 誘導起電力の大きさ: 問題で「大きさ」を問われた場合は、起電力\(V\)の絶対値\(|V|\)を計算します。\(|V| = \left|-L \displaystyle\frac{\Delta I}{\Delta t}\right| = L \left|\displaystyle\frac{\Delta I}{\Delta t}\right|\) となります。
• 有効数字: 計算に用いる物理量のうち、最も有効数字の桁数が少ないものに、最終的な計算結果の桁数を合わせるのが原則です。この問題では、0.20H, 0.040s, 0.30A, 0.70Aがいずれも有効数字2桁なので、答えも2桁で表します。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている数値を整理します。

• 自己インダクタンス: \(L = 0.20\) [H]
• かかった時間: \(\Delta t = 0.040\) [s]
• 変化前の電流: \(I_{\text{前}} = 0.30\) [A]
• 変化後の電流: \(I_{\text{後}} = 0.70\) [A]

次に、電流の変化量 \(\Delta I\) を計算します。
$$ \Delta I = I_{\text{後}} – I_{\text{前}} \quad \cdots ① $$
コイルに生じる自己誘導起電力の大きさ \(|V|\) は、次の公式で与えられます。
$$ |V| = \left|-L \frac{\Delta I}{\Delta t}\right| \quad \cdots ② $$
この問題では電流が増加しているので \(\Delta I > 0\) です。したがって、絶対値の計算は単純にマイナス符号を取り除くだけでよく、次のように立式できます。
$$ |V| = L \frac{\Delta I}{\Delta t} \quad \cdots ③ $$

まず、式①を用いて電流の変化量 \(\Delta I\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\Delta I &= I_{\text{後}} – I_{\text{前}} \\[2.0ex]&= 0.70 – 0.30 \\[2.0ex]&= 0.40 \, \text{[A]}
\end{aligned}
$$
次に、この結果と与えられた値を式③に代入して、誘導起電力の大きさ \(|V|\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
|V| &= L \frac{\Delta I}{\Delta t} \\[2.0ex]&= 0.20 \times \frac{0.40}{0.040} \\[2.0ex]&= 0.20 \times 10 \\[2.0ex]&= 2.0 \, \text{[V]}
\end{aligned}
$$
計算に用いた数値(0.20, 0.040, 0.40)はすべて有効数字2桁なので、計算結果も有効数字2桁の 2.0 [V] とするのが適切です。

コイルは「電流の変化が嫌い」という性質を持っていて、電流が変わろうとすると、それを邪魔する向きに電圧（誘導起電力）を発生させます。この電圧の大きさは、公式 \(|V| = L \times (\text{1秒あたりの電流の変化量})\) で計算できます。

1. 電流の変化量を求める: 電流は0.30Aから0.70Aに増えました。変化量は引き算で求められ、\(0.70 – 0.30 = 0.40\) Aです。
2. 1秒あたりの変化量を求める: この0.40Aの変化が0.040秒という短い時間で起きました。1秒あたりにどれくらい変化したかを知るには、割り算をします。\(\displaystyle\frac{0.40}{0.040} = 10\) A/s となります。
3. 電圧を計算する: コイルの「変化の嫌い度」を表す自己インダクタンス \(L=0.20\) H を、この変化率に掛け合わせます。\(|V| = 0.20 \times 10 = 2.0\) V となります。
4. 答えの形を整える: 問題の数字が「0.20」のように細かく書かれている（有効数字2桁）ので、答えも「2」ではなく「2.0」と桁をそろえて答えるのが物理のルールです。

⑥ コイルに蓄えられるエネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コイルに蓄えられる磁気エネルギーの計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、コイルに蓄えられるエネルギーの公式 \(U = \displaystyle\frac{1}{2}LI^2\) に、与えられた数値を代入するだけで解ける基本的な問題です。コイルに電流を流すと、その周囲に磁界が形成されます。この磁界という形でエネルギーが空間に蓄えられており、その量を計算することが目的です。この公式は、物体の運動エネルギー \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) と非常によく似た形をしています。自己インダクタンス\(L\)が物体の「動きにくさ（慣性）」を表す質量\(m\)に、電流\(I\)が物体の速さ\(v\)に対応すると考えると、物理的なアナロジーとして理解の助けになります。

この設問における重要なポイント

• コイルのエネルギー（磁気エネルギー）: 自己インダクタンス\(L\)のコイルに電流\(I\)が流れているとき、コイルには磁気エネルギー\(U\)が蓄えられます。その公式は次式で与えられます。
  $$ U = \frac{1}{2}LI^2 $$
• エネルギーの源: このエネルギーは、電流をゼロから\(I\)まで増加させる過程で、自己誘導によって生じる逆起電力に逆らって、外部の電源がコイルに対してした仕事に等しいです。
• 有効数字: 計算に用いる物理量のうち、最も有効数字の桁数が少ないものに、最終的な計算結果の桁数を合わせるのが原則です。この問題では、自己インダクタンスが「0.20H」、電流が「3.0A」であり、どちらも有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁で答える必要があります。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている数値を整理します。

• 自己インダクタンス: \(L = 0.20\) [H]
• 電流: \(I = 3.0\) [A]

コイルに蓄えられるエネルギーを \(U\) [J] とすると、その量は次の公式で計算できます。
$$ U = \frac{1}{2}LI^2 \quad \cdots ① $$

式①に、与えられた数値を代入してエネルギー \(U\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{1}{2}LI^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 0.20 \times (3.0)^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 0.20 \times 9.0 \\[2.0ex]&= 0.10 \times 9.0 \\[2.0ex]&= 0.90 \, \text{[J]}
\end{aligned}
$$
計算に用いた数値(0.20, 3.0)はともに有効数字2桁なので、計算結果も有効数字2桁の 0.90 [J] とするのが適切です。

コイルに電流を流すと、コイルは「磁気エネルギー」という形でエネルギーを蓄えます。そのエネルギー量は、公式 \(U = \displaystyle\frac{1}{2} \times L \times I^2\) で計算できます。これは、問題文に書かれている数値を公式に当てはめるだけで解ける問題です。

1. 公式に数値を当てはめる: コイルの性質を表す \(L\) には 0.20 を、電流 \(I\) には 3.0 を入れます。電流は2乗するのを忘れないようにしましょう。
2. 計算する: \(U = \displaystyle\frac{1}{2} \times 0.20 \times (3.0 \times 3.0) = \displaystyle\frac{1}{2} \times 0.20 \times 9.0 = 0.10 \times 9.0 = 0.90\) J となります。
3. 答えの形を整える: 問題の数字が「0.20」や「3.0」のように小数点以下まで書かれている（有効数字2桁）ので、答えも「0.9」ではなく「0.90」と桁をそろえて書くのが物理のルールです。

⑦ 相互誘導

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相互誘導による誘導起電力と相互インダクタンスの関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、2つのコイル間で起こる「相互誘導」という現象に関する計算問題です。一方のコイル（コイル1）に流れる電流を変化させると、その影響で近くにあるもう一方のコイル（コイル2）に電圧（誘導起電力）が発生します。この関係を表すのが相互誘導の公式 \(V_2 = -M \displaystyle\frac{\Delta I_1}{\Delta t}\) です。
この問題では、発生した電圧 \(V_2\) と、原因となった電流の変化 \(\Delta I_1\), \(\Delta t\) が与えられており、2つのコイルの間の関係性の強さを示す「相互インダクタンス \(M\)」を求める、いわば逆算問題です。公式を正しく理解し、求めたい文字について式を変形することができれば、確実に解くことができます。

この設問における重要なポイント

• 相互誘導: 2つのコイルが近くにあるとき、一方（コイル1）の電流を変化させると、それがつくる磁束が変化し、その磁束の変化がもう一方（コイル2）を貫くことで、コイル2に誘導起電力が生じる現象です。
• 相互誘導の公式: コイル2に生じる誘導起電力 \(V_2\) は、コイル1の電流の時間変化率 \(\displaystyle\frac{\Delta I_1}{\Delta t}\) に比例します。その関係は次式で与えられます。
  $$ V_2 = -M \frac{\Delta I_1}{\Delta t} $$
• 相互インダクタンス \(M\): 上記の比例定数 \(M\) を相互インダクタンスといい、2つのコイルの形状、巻数、相対的な位置関係によって決まる定数です。単位は自己インダクタンスと同じくヘンリー [H] です。
• 誘導起電力の大きさ: 問題では「大きさ」が与えられているので、公式の絶対値 \(|V_2| = M \left| \displaystyle\frac{\Delta I_1}{\Delta t} \right|\) を用いて考えます。
• 有効数字: 問題文の数値 (0.20s, 0.80A, 1.2V) はすべて有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁に合わせる必要があります。

具体的な解説と立式
まず、問題文で与えられている数値を整理します。

• コイル2に生じる誘導起電力の大きさ: \(|V_2| = 1.2\) [V]
• コイル1の電流の変化量: \(\Delta I_1 = 0.80\) [A]
• かかった時間: \(\Delta t = 0.20\) [s]
• 求める物理量: 相互インダクタンス \(M\) [H]

コイル2に生じる相互誘導起電力の大きさ \(|V_2|\) は、次の公式で与えられます。
$$ |V_2| = \left| -M \frac{\Delta I_1}{\Delta t} \right| $$
電流は増加しているので \(\Delta I_1 > 0\) です。したがって、絶対値の計算は単純にマイナス符号を取り除くだけでよく、次のように立式できます。
$$ |V_2| = M \frac{\Delta I_1}{\Delta t} \quad \cdots ① $$

式①に与えられた数値を代入します。
$$ 1.2 = M \times \frac{0.80}{0.20} $$
この式を、未知数である相互インダクタンス \(M\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
1.2 &= M \times 4.0 \\[2.0ex]M &= \frac{1.2}{4.0} \\[2.0ex]&= 0.30 \, \text{[H]}
\end{aligned}
$$
計算に用いた数値はすべて有効数字2桁なので、計算結果も有効数字2桁の 0.30 [H] となります。

この問題は、隣のコイル（コイル1）の電流が変化したせいで、自分のコイル（コイル2）にどれくらいの電圧が発生したか、という話です。その関係は \((\text{コイル2の電圧}) = M \times (\text{コイル1の1秒あたりの電流変化量})\) という公式で表せます。今回は、電圧と電流の変化が分かっていて、2つのコイルの関係の強さ \(M\) を求める問題です。

1. コイル1の「1秒あたりの電流変化量」を求める: 問題文より、0.20秒で0.80A変化したので、1秒あたりでは \(\displaystyle\frac{0.80}{0.20} = 4.0\) A/s のペースで変化したことになります。
2. 公式に当てはめて逆算する: コイル2には1.2Vの電圧が発生しました。公式に当てはめると、\(1.2 = M \times 4.0\) という式が成り立ちます。
3. \(M\)を求める: 上の式を \(M\) について解くと、\(M = 1.2 \div 4.0 = 0.30\) となります。

例題

例題86 磁界を斜めに横切る導体棒

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「磁界中を斜めに運動する導体棒に働く力とエネルギー」です。誘導起電力、ローレンツ力、力のつり合い、そして回路におけるエネルギー保存（ジュール熱）といった、電磁気学の重要な概念が複合的に問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
導体棒に生じる誘導起電力の大きさを求める問題です。導体棒の速度ベクトル \(\vec{v}\) と磁束密度ベクトル \(\vec{B}\) が直交していないため、どちらかのベクトルを分解して考える必要があります。ここでは、速度 \(v\) を磁場に垂直な成分と平行な成分に分解する方法が考えやすく、公式 \(V=v_{\perp}Bl\) を適用するのが最も直接的です。

この設問における重要なポイント

• 誘導起電力は、導体が磁力線を「切る」ことによって生じます。
• 公式 \(V=v_{\perp}Bl\) における \(v_{\perp}\) は、導体の速度成分のうち、磁場ベクトルに垂直な成分の大きさです。
• あるいは、ファラデーの電磁誘導の法則 \(\displaystyle V = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|\) を用いて、回路を貫く磁束の時間変化率から求めることもできます。

具体的な解説と立式
導体棒は速さ \(v\) で斜面に沿って上昇しており、磁場は鉛直上向きです。
誘導起電力の大きさ \(V_{\text{誘導}}\) を求めるには、導体棒の速度 \(v\) のうち、磁場 \(B\)（鉛直方向）に対して垂直な成分、すなわち水平成分を考える必要があります。
図から、速度の水平成分の大きさ \(v_{\perp}\) は \(v \cos\theta\) となります。
この速度成分が磁場 \(B\) と導体の長さ \(l\) の両方に垂直であるため、誘導起電力の発生に寄与します。
したがって、誘導起電力の大きさ \(V_{\text{誘導}}\) は、次の式で表されます。
$$ V_{\text{誘導}} = (v \cos\theta) B l $$

立式した式を整理します。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{誘導}} &= (v \cos\theta) B l \\[2.0ex]&= vBl \cos\theta
\end{aligned}
$$

誘導起電力という「電気を発生させる力」は、導体棒が磁力線を横切る（切る）ことで生まれます。今回は導体棒が斜めに動くため、磁力線を効率よく切ることができません。磁力線は真上を向いているので、導体棒の動きのうち「真横に進む成分」だけが起電力の発生に関わります。斜めに速さ \(v\) で動くときの、水平方向の速さは \(v \cos\theta\) です。この速さを使って、誘導起電力の基本公式 \(V = (\text{速さ}) \times (\text{磁場}) \times (\text{長さ})\) に当てはめると、\(V = (v \cos\theta) \times B \times l\) と計算できます。

導体棒に発生する誘導起電力の大きさは \(vBl \cos\theta\) [V] です。
この結果は、物理的に妥当か確認します。もし斜面が水平（\(\theta = 0\)）なら、\(V = vBl\) となり、磁場を垂直に横切る場合のよく知られた結果と一致します。もし斜面が鉛直（\(\theta = \pi/2\)）なら、\(V = 0\) となります。これは、導体棒が磁場の向きと平行に運動し、磁力線を全く切らないため起電力が生じないことに対応し、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問では、可変抵抗器の抵抗値 \(R\) と、そこで発生する単位時間あたりのジュール熱を求めます。
導体棒が「等速度運動」していることが最大のヒントです。これは、導体棒に働く力がつり合っていることを意味します。
まず、導体棒に働くすべての力を図示し、力のつり合いの式を立てます。次に、回路には電池 \(E\) と(1)で求めた誘導起電力という2つの電源があることを考慮して、オームの法則から電流 \(I\) を表す式を立てます。この2つの式を連立することで、抵抗値 \(R\) を求めます。最後に、単位時間あたりのジュール熱、すなわち消費電力 \(P\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 誘導起電力の向きはレンツの法則（またはフレミングの右手の法則）で決まります。回路全体の電流を考える上で、この向きが電池の起電力と同じ向きか逆向きかが重要です。
• ローレンツ力 \(F=IBl\) の向きはフレミングの左手の法則で決まります。力の向きを正しく作図することが不可欠です。
• 等速度運動 \(\Leftrightarrow\) 加速度が0 \(\Leftrightarrow\) 合力が0（力のつり合い）。

具体的な解説と立式
1. 回路に流れる電流 \(I\) の立式

まず、誘導起電力の向きを決定します。導体棒が斜面を上昇すると、回路を貫く上向きの磁束が増加します。レンツの法則によれば、誘導起電力はこれを妨げる向き、すなわち下向きの磁場を作るような向きに電流を流そうとします。右手アンペールの法則から、そのような電流の向きは上から見て時計回り、つまりQ→Pの向きとなります。
これは、電池 \(E\) が流そうとする電流の向き（P→Q）とは逆向きです。
したがって、誘導起電力 \(V_{\text{誘導}} = vBl \cos\theta\) は、電池 \(E\) と逆向きの電源として機能します。回路全体の合成起電力は \(E – V_{\text{誘導}}\) となります。
回路の抵抗は可変抵抗器の抵抗値 \(R\) のみなので、オームの法則より、回路を流れる電流 \(I\)（P→Qの向きを正とする）は、次の式で表されます。
$$ I = \frac{E – vBl \cos\theta}{R} \quad \cdots ① $$
導体棒が上昇していることから、\(E > vBl \cos\theta\) であり、電流は実際にP→Qの向きに流れていることがわかります。

2. 力のつり合いの立式

次に、導体棒に働く力を考えます。

• 重力: 大きさ \(mg\)、向きは鉛直下向き。
• 垂直抗力: 大きさ \(N\)、向きは斜面に垂直上向き。
• ローレンツ力: 電流 \(I\) がP→Qの向き、磁場 \(B\) が鉛直上向きなので、フレミングの左手の法則を適用すると、力の向きは水平左向きとなります。その大きさ \(F_{\text{L}}\) は、
  $$ F_{\text{L}} = IBl $$

導体棒は等速度運動をしているため、これらの力はつり合っています。斜面に平行な方向の力のつり合いを考えます。

• 重力の斜面下向き成分: \(mg \sin\theta\)
• ローレンツ力の斜面上向き成分: \(F_{\text{L}} \cos\theta = (IBl) \cos\theta\)

力のつり合いの式は、
$$ (IBl) \cos\theta = mg \sin\theta \quad \cdots ② $$

3. 抵抗値 \(R\) とジュール熱 \(P\) の立式

式②から電流 \(I\) を求め、式①に代入することで抵抗値 \(R\) を求めます。
単位時間あたりのジュール熱は、抵抗器での消費電力 \(P\) に等しく、次の式で計算できます。
$$ P = R I^2 \quad \cdots ③ $$

抵抗値 \(R\) の計算:

まず、式②から電流 \(I\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{mg \sin\theta}{Bl \cos\theta} \\[2.0ex]&= \frac{mg \tan\theta}{Bl} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
次に、この結果を式①に代入して \(R\) について解きます。
$$ \frac{mg \tan\theta}{Bl} = \frac{E – vBl \cos\theta}{R} $$
この式を \(R\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
R \left( \frac{mg \tan\theta}{Bl} \right) &= E – vBl \cos\theta \\[2.0ex]R &= \frac{E – vBl \cos\theta}{\frac{mg \tan\theta}{Bl}} \\[2.0ex]&= \frac{Bl(E – vBl \cos\theta)}{mg \tan\theta}
\end{aligned}
$$

単位時間あたりのジュール熱 \(P\) の計算:

式③ \(P = RI^2\) に、求めた \(R\) と \(I\)（式④）を代入します。
$$
\begin{aligned}
P &= \left( \frac{Bl(E – vBl \cos\theta)}{mg \tan\theta} \right) \times \left( \frac{mg \tan\theta}{Bl} \right)^2 \\[2.0ex]&= \frac{Bl(E – vBl \cos\theta)}{mg \tan\theta} \times \frac{(mg \tan\theta)^2}{(Bl)^2} \\[2.0ex]&= \frac{(E – vBl \cos\theta) (mg \tan\theta)}{Bl}
\end{aligned}
$$
問題文の単位に合わせて、[J]と表記します。

抵抗値の求め方:

導体棒が一定の速さで坂を上り続けるためには、力がつり合っている必要があります。坂を滑り落ちようとする「重力の一部」と、電流が磁場から受けて坂を押し上げる「磁気の力」がちょうど同じ大きさになる、という式を立てます。この力のつり合いの式から、回路に「流れているはずの電流」の大きさが計算できます。
一方、回路には電池 \(E\) と、導体棒の動きによって生じる逆向きの電池（誘導起電力）があります。この2つの電圧の差が、実際に抵抗器にかかる電圧です。オームの法則「電流 = 電圧 ÷ 抵抗」を使い、「流れているはずの電流」を流すために必要な抵抗値を逆算します。

ジュール熱の求め方:

単位時間あたりのジュール熱とは、1秒あたりに抵抗器で消費される電気エネルギーのことで、電力と同じです。電力は「抵抗値 × (電流)²」という公式で計算できます。先ほど求めた抵抗値と電流の値をこの式に代入すれば、答えが求まります。

可変抵抗器の抵抗値は \(\displaystyle\frac{Bl(E – vBl \cos\theta)}{mg \tan\theta}\) [Ω]、単位時間あたりのジュール熱は \(\displaystyle\frac{mg \tan\theta(E – vBl \cos\theta)}{Bl}\) [J] です。
抵抗値 \(R\) は正の値でなければならないため、分子の \(E – vBl \cos\theta\) は正である必要があります。これは、電池の起電力 \(E\) が誘導起電力 \(V_{\text{誘導}}\) よりも大きく、電流がP→Qの向きに流れるための条件と一致しており、物理的に妥当です。
また、ジュール熱の計算は、\(P = I V_{\text{抵抗}}\) を使うとより簡単です。抵抗にかかる電圧は \(E – V_{\text{誘導}} = E – vBl \cos\theta\) なので、\(P = I (E – vBl \cos\theta)\) となります。これに力のつり合いから求めた \(I = \frac{mg \tan\theta}{Bl}\) を代入すると、同じ結果がより直接的に得られます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜めに横切る導体の誘導起電力:
  • 核心: 導体の運動方向が磁場の向きと垂直でない場合、誘導起電力の計算には、磁場に垂直な速度成分 \(v_{\perp}\) を用いなければならない（\(V = v_{\perp}Bl\)）。この問題では、速度 \(v\) の水平成分 \(v \cos\theta\) がそれに該当します。
  • 理解のポイント: 誘導起電力は、導体内の荷電粒子がローレンツ力を受けることで生じる電位差です。ローレンツ力は速度と磁場に垂直な方向に働くため、磁場と平行な速度成分は起電力の発生に寄与しません。
• 力のつり合いと回路方程式の連立:
  • 核心: 「等速度運動」という条件から「力のつり合い」の式を立て、回路に流れる電流 \(I\) を力学的に表現します。一方、電池と誘導起電力を含む回路から「オームの法則（キルヒホッフの法則）」を用いて電流 \(I\) を電気的に表現します。この2つの異なる視点から立てた \(I\) に関する式を連立させることが、未知数を解く鍵となります。
  • 理解のポイント: この問題は、力学的な現象（力のつり合い）と電気的な現象（回路）が、電流 \(I\) とローレンツ力 \(F=IBl\) を介して相互に結びついている典型例です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 導体棒の落下と終端速度: 電池がなく、重力で導体棒が落下する問題。加速に伴い誘導起電力が増加し、やがて制動力（ローレンツ力）と重力がつり合って等速（終端速度）に達します。
  • コンデンサーを含む回路: 抵抗の代わりにコンデンサーが接続されている問題。導体棒を動かし始めると、コンデンサーに電荷が溜まっていき、最終的にコンデンサーの電圧と誘導起電力が等しくなって電流が流れなくなります。
  • エネルギー保存則の利用: 「電池が供給したエネルギーが、何に変換されたか？」というエネルギー収支の観点から解く問題。例えば、単位時間あたりでは「電池の仕事率 \(P_{\text{電池}}=EI\)」=「ジュール熱 \(P_{\text{熱}}=RI^2\)」+「重力による位置エネルギーの増加率 \(P_{\text{重力}}=mgv\sin\theta\)」という関係が成り立ちます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動状態の確認: 問題文の「静止」「等速運動」「加速運動」という言葉に印をつけます。これが、力のつり合い（\(\sum F = 0\)）を立てるか、運動方程式（\(ma = \sum F\)）を立てるかの分岐点です。
  2. 力のベクトル図の作成: 導体棒に働く力をすべて（重力、垂直抗力、ローレンツ力、外力など）漏れなく図示します。特に、フレミングの法則を用いるローレンツ力の向きは、計算の正否を左右する最重要ポイントです。
  3. 回路図の作成: 問題の状況を、電気回路として描き直します。特に、誘導起電力の「向き」をレンツの法則で決定し、電池と区別できる記号で回路図に書き込むことが重要です。これにより、回路全体の起電力が和になるのか差になるのかが一目瞭然になります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 誘導起電力の計算で \(v\) をそのまま使う:
  • 誤解: 速度と磁場が垂直でないにもかかわらず、安易に \(V=vBl\) の公式を適用してしまう。
  • 対策: 常に「磁力線を垂直に横切る速度成分は何か？」と自問する習慣をつけます。図を描いて速度ベクトルを分解し、\(v_{\perp}\) がどの成分になるかを視覚的に確認します。
• ローレンツ力の向きの間違い:
  • 誤解: フレミングの左手の法則を適用する際、電流や磁場の向きを混同する。この問題では、電流がP→Q、磁場が鉛直上向きなので、力は水平左向きになりますが、これを斜面方向と勘違いしやすいです。
  • 対策: 「電流」「磁場」「力」の3つのベクトルを、空間的に正確に把握しながら法則を適用します。指の向きだけでなく、それぞれのベクトルがなす角度関係も意識することが重要です。
• 回路方程式での起電力の符号ミス:
  • 誤解: 誘導起電力が常に電池を助ける（順接続）と思い込み、回路の合成起電力を \(E + V_{\text{誘導}}\) と誤って計算してしまう。
  • 対策: レンツの法則「磁束の変化を妨げる向きに誘導電流が流れる」に立ち返り、誘導起電力の向きを必ずゼロから判断します。その結果、電池の起電力と逆向きであれば、合成起電力は \(E – V_{\text{誘導}}\) となります。
• 力の成分分解のミス:
  • 誤解: 水平向きのローレンツ力 \(F_{\text{L}}\) を斜面方向の成分に分解する際、角度 \(\theta\) の位置を取り違え、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 力の分解を行う際は、必ず補助線を描いて直角三角形を作ります。その上で、角度 \(\theta\) や錯角、同位角の位置関係を明確にし、三角比の定義（底辺/斜辺など）に従って慎重に成分を求めます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 誘導起電力の公式 (\(V = v_{\perp}Bl\)):
  • 選定理由: 導体が磁場を横切って運動し、電位差（起電力）が生じるという、電磁誘導の根幹現象を直接計算するために選択します。
  • 適用根拠: この公式は、導体内の自由電子が導体の運動に伴って磁場からローレンツ力 \(f = qv_{\perp}B\) を受け、導体の端に偏ることで生じる電場と、このローレンツ力がつり合う状態（\(qE = qv_{\perp}B\)）から導かれます。電位差 \(V\) は \(El\) なので、\(V = v_{\perp}Bl\) となります。
• 力のつり合いの式 (\(\sum F_x = 0, \sum F_y = 0\)):
  • 選定理由: 問題文に「等速度運動になった」という記述があるため。これは、運動状態が変化しない、すなわち加速度がゼロであることを意味します。
  • 適用根拠: ニュートンの運動の第1法則（慣性の法則）および第2法則（\(ma=F\)）に基づきます。加速度 \(a\) がゼロの場合、物体に働く合力 \(F\) もゼロでなければなりません。この法則を、運動方向である斜面平行方向と、それに垂直な方向に適用します。
• オームの法則 / キルヒホッフの第2法則 (\(E_{\text{合成}} = RI_{\text{合計}}\)):
  • 選定理由: 回路に流れる電流、抵抗、そして複数の起電力（電池と誘導起電力）の関係を記述する必要があるためです。
  • 適用根拠: エネルギー保存則が電気回路において現れたものがキルヒホッフの第2法則です。「閉回路を一周するとき、起電力の上昇分の和は、電圧降下の和に等しい」。この問題では、電池 \(E\) による上昇、誘導起電力 \(V_{\text{誘導}}\) による下降、抵抗 \(R\) による下降があるので、\(E – V_{\text{誘導}} = IR\) という式が成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 変数の整理: この問題は \(E, B, l, m, v, g, \theta, R, I\) と多くの物理量が登場します。どの量が既知で、どの量を求めるべきかを常に意識することが重要です。
• 力の分解を丁寧に行う: 重力（鉛直下向き）とローレンツ力（水平向き）を、斜面に平行・垂直な方向に分解する作業は、この問題の計算の要です。大きな図を描き、角度を正確に記入して、分解した力の成分を間違えないようにします。
• 分数の計算: (2)で抵抗 \(R\) を求める際に、\(\displaystyle R = \frac{A}{B/C}\) のような繁分数の形になります。これは \(\displaystyle R = \frac{AC}{B}\) と落ち着いて変形します。計算過程を暗算せず、一行一行丁寧に書き下すことがミスを防ぎます。
• 単位（次元）による検算: 計算結果が出たら、その式の単位が求めている物理量の単位と一致するかを確認する（次元解析）。例えば、(2)で求めた抵抗値の式の単位が本当にオーム [Ω] になるか、各物理量の単位（V, T, m, kg, m/s²など）を代入して確認する癖をつけると、大きな間違いに気づくことができます。
• 連立方程式の処理: (2)では、電流 \(I\) と抵抗 \(R\) の2つの未知数に対して、力のつり合いの式とオームの法則の2本を立てて解きます。まず一方の式を \(I=\dots\) の形に変形し、それをもう一方の式に代入するという、基本的な手順を忠実に実行します。

例題87 発電機の原理

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電磁誘導と力学の融合（発電機の原理）」です。おもりの運動によって導体棒が磁場内を動き、誘導起電力が生じます。その結果流れる電流がローレンツ力を生み、おもりの運動に影響を与えるという、力学と電磁気学の相互作用を理解することが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
おもりに初速度 \(v_0\) を与えた「直後」の物理状態を分析する問題です。この瞬間、導体棒の速さは \(v_0\) であり、この速さによって誘導起電力、電流、そしてローレンツ力が一意に決まります。このローレンツ力が、ひもを介しておもりの運動に「ブレーキ」として作用するため、その影響を運動方程式に組み込んで加速度を求めます。

この設問における重要なポイント

• 誘導起電力の公式 \(V=vBl\) を正しく適用する。
• レンツの法則を用いて誘導電流の向きを決定する。
• フレミングの左手の法則を用いてローレンツ力の向きを決定する。
• 導体棒の質量が無視できるため、「ひもの張力 = ローレンツ力」となる。
• おもりについて、鉛直下向きを正として運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
1. 電流の強さ \(I_0\) と向きの決定

おもりが下向きに速さ \(v_0\) で動くので、導体棒は右向きに速さ \(v_0\) で動きます。
このとき導体棒に生じる誘導起電力の大きさ \(V_0\) は、
$$ V_0 = v_0 B l $$
回路の抵抗は \(R\) のみなので、オームの法則より、流れる電流の強さ \(I_0\) は、
$$ I_0 = \frac{V_0}{R} = \frac{v_0 B l}{R} \quad \cdots ① $$
次に、電流の向きをレンツの法則で考えます。導体棒が右に動くと、回路 abcd を貫く鉛直上向きの磁束が増加します。レンツの法則によれば、誘導電流は「その磁束の増加を妨げる向き」、すなわち下向きの磁場を作る向きに流れます。右手アンペールの法則より、このような磁場を作る電流の向きは a→b となります。

2. 加速度 \(a\) の立式

導体棒には a→b の向きに電流 \(I_0\) が流れているため、磁場からローレンツ力を受けます。フレミングの左手の法則（電流がa→b、磁場が紙面奥から手前）を適用すると、ローレンツ力 \(F_0\) は 左向き に働きます。その大きさは、
$$ F_0 = I_0 B l \quad \cdots ② $$
この力は、導体棒の運動を妨げるブレーキとして機能します。
導体棒はひもによっておもりと繋がっており、質量は無視できます。導体棒に働く水平方向の力は、ひもの張力 \(T\)（右向き）とローレンツ力 \(F_0\)（左向き）のみです。質量が0なので、力のつり合いが常に成り立ちます（\(ma=0 \cdot a = 0\)）。
$$ T = F_0 \quad \cdots ③ $$
最後におもりの運動を考えます。おもりには鉛直下向きに重力 \(mg\)、鉛直上向きにひもの張力 \(T\) が働きます。問題の指示に従い、鉛直下向きを正として運動方程式を立てると、
$$ ma = mg – T \quad \cdots ④ $$

まず、電流 \(I_0\) は式①で求められています。
$$ I_0 = \frac{v_0 B l}{R} $$
次に、加速度 \(a\) を求めます。式④に③を代入し、さらに②、①を順に代入していきます。
$$
\begin{aligned}
ma &= mg – T \\[2.0ex]&= mg – F_0 & & \text{（③より）} \\[2.0ex]&= mg – I_0 B l & & \text{（②より）} \\[2.0ex]&= mg – \left( \frac{v_0 B l}{R} \right) B l & & \text{（①より）} \\[2.0ex]&= mg – \frac{v_0 B^2 l^2}{R}
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割って、加速度 \(a\) を求めます。
$$ a = g – \frac{v_0 B^2 l^2}{mR} $$

まず、おもりが動くことで導体棒が磁場の中を動き、電気が発生します。この電気の量（電流）は、導体棒の速さ \(v_0\) に比例します。次に、この電流が流れることで、導体棒は磁石の力で動きを邪魔されます（ローレンツ力）。この「邪魔する力」が、ひもを伝っておもりに「ブレーキ」としてかかります。おもりの加速度は、前に進もうとする力（重力）から、このブレーキ力を引いたものを、おもりの質量で割ることで計算できます。

はなした直後の電流の強さは \(\displaystyle\frac{v_0Bl}{R}\) [A]、向きは a→b。加速度は \(a = g – \displaystyle\frac{v_0 B^2 l^2}{mR}\) [m/s²] です。
加速度の式を見ると、重力加速度 \(g\) から正の項が引かれています。これはローレンツ力による制動効果を表しており、物理的に妥当です。もし初速度 \(v_0\) が非常に大きく、第2項が \(g\) より大きくなれば、加速度は負、つまりおもりは減速することになります。これも直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
「速さが一定になった」という記述がこの設問の最大の鍵です。これは、おもりの加速度が \(a=0\) になったことを意味し、ニュートンの運動法則から、おもりに働く力がつり合っている状態だと判断できます。この力のつり合いの関係から、まず回路に流れる電流の大きさを力学的に決定します。次に、その電流を流すためにはどれだけの誘導起電力が必要かを考え、最終的にその起電力を生み出す導体棒の速さ \(v\) を電気的に求めます。

この設問における重要なポイント

• 速さが一定: 加速度 \(a=0\)。
• おもりに働く力がつり合っている: 張力 \(T\) = 重力 \(mg\)。
• 導体棒に働く力がつり合っている: 張力 \(T\) = ローレンツ力 \(F\)。
• 上記2点から、ローレンツ力 \(F\) と重力 \(mg\) が等しいことが導かれる。

具体的な解説と立式
1. 電流の強さ \(I\) の決定

おもりの速さが一定 \(v\) になったとき、おもりの加速度は \(0\) です。したがって、おもりに働く力はつり合っています。
鉛直上向きの張力を \(T\)、鉛直下向きの重力を \(mg\) とすると、
$$ T = mg \quad \cdots ⑤ $$
同時に、導体棒も一定の速さ \(v\) で運動しているため、導体棒に働く水平方向の力もつり合っています。右向きの張力 \(T\) と、左向きのローレンツ力 \(F\) が等しくなります。
$$ T = F \quad \cdots ⑥ $$
式⑤と⑥から、ローレンツ力の大きさ \(F\) はおもりの重力 \(mg\) に等しいことがわかります。
$$ F = mg $$
ローレンツ力の公式 \(F=IBl\) を用いると、このときの電流 \(I\) は、
$$ IBl = mg $$
したがって、電流の強さ \(I\) は次のように求められます。
$$ I = \frac{mg}{Bl} \quad \cdots ⑦ $$

2. 速さ \(v\) の決定

この電流 \(I\) は、導体棒が速さ \(v\) で動くことによって生じる誘導起電力 \(V=vBl\) によって流れています。オームの法則を適用すると、
$$ I = \frac{V}{R} = \frac{vBl}{R} \quad \cdots ⑧ $$
式⑦と⑧は、どちらも同じ電流 \(I\) を表しているので、これらを等しいとおいて \(v\) について解きます。
$$ \frac{mg}{Bl} = \frac{vBl}{R} $$

電流 \(I\) は式⑦で求められています。
$$ I = \frac{mg}{Bl} $$
次に、速さ \(v\) を求めます。
$$ \frac{mg}{Bl} = \frac{vBl}{R} $$
この式を \(v\) について解きます。両辺に \(R\) を掛け、\(B^2 l^2\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
v (B^2 l^2) &= mgR \\[2.0ex]v &= \frac{mgR}{B^2 l^2}
\end{aligned}
$$

おもりが一定の速さで落ち続けるとき、それは「重力」と「磁気のブレーキ力」がちょうど釣り合っている状態です。この力のつり合いから、まずブレーキ力の大きさが \(mg\) であるとわかります。ブレーキ力の大きさは電流の強さに比例するので、ここから電流の大きさが決まります。最後に、電流の大きさは導体棒の速さに比例するので、その電流を流すのに必要な速さを逆算することができます。このときの速さを「終端速度」と呼びます。

速さが一定になったときの電流の強さは \(\displaystyle\frac{mg}{Bl}\) [A]、速さは \(\displaystyle\frac{mgR}{B^2 l^2}\) [m/s] です。
この速さ \(v\)（終端速度）の式を見てみましょう。抵抗 \(R\) が大きいほど、電流が流れにくくブレーキが弱まるため、より速く動く必要があります。式が \(R\) に比例しているのは妥当です。また、磁場 \(B\) や導体棒の長さ \(l\) が大きいほどブレーキが強くなるため、終端速度は遅くなります。式が \(B^2 l^2\) に反比例しているのも物理的に正しい結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式と力のつり合いの使い分け:
  • 核心: 問題の状況が「加速・減速している」のか「等速運動している」のかを見極め、適切な力学法則を適用することが全ての出発点です。(1)の「はなした直後」はまだ加速（または減速）している状態なので運動方程式 (\(ma=F\)) を、(2)の「速さが一定になったとき」は力がつり合っている状態なので力のつり合いの式 (\(F=0\)) を用います。
  • 理解のポイント: この問題は、時間経過とともにおもりの運動状態が変化する（加速度が変化し、やがて0になる）プロセスを扱っています。各瞬間の状態を正しく捉えることが重要です。
• 力学と電磁気学の連成:
  • 核心: おもりの運動（力学）が導体棒の速さ \(v\) を決め、その速さが誘導起電力 \(V\) と電流 \(I\)（電磁気学）を決め、その電流がローレンツ力 \(F\)（電磁気学）を生み、その力が再びおもりの運動（力学）にフィードバックされる、という一連の因果関係を理解すること。
  • 理解のポイント: この問題では、ひもの張力 \(T\) とローレンツ力 \(F\) が、力学の世界と電磁気学の世界をつなぐ架け橋となっています。特に、導体棒の質量が0であることから \(T=F\) となる点が、2つの世界を直接結びつける重要なポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 終端速度の問題: 導体棒を重力で落下させる、あるいは一定の力で引き続ける場合、最終的に速さが一定になる「終端速度」を求める問題。本問題の(2)がまさにこれにあたります。
  • エネルギー保存則で解く問題: 「重力のした仕事が、ジュール熱と運動エネルギーの増加に変わる」というエネルギー保存の観点から立式する問題。特に、終端速度に達した後は運動エネルギーが変化しないため、「単位時間あたりに重力がする仕事（位置エネルギーの減少率）\(mgv\)」が「単位時間あたりに発生するジュール熱 \(RI^2)\)」に等しくなる、という関係式 (\(mgv = RI^2\)) からも解くことができます。
  • 回路にコンデンサーやコイルが含まれる問題: 抵抗 \(R\) の代わりにコンデンサーやコイルが接続されている場合、過渡現象を扱うことになります。コンデンサーなら電荷の充放電、コイルなら自己誘導が絡み、微分方程式を解く必要が出てくることもあります（大学レベル）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 質量が無視できる物体を探す: この問題の「導体棒の質量は無視できる」という条件は非常に重要です。これにより、導体棒にはたらく力のつり合いが常に（加速中であっても）成立し、張力とローレンツ力が等しいと即座に判断できます。
  2. 運動の向きと力の向きを正確に図示: 導体棒の運動方向（右）に対して、レンツの法則から決まる電流の向き（a→b）、そしてフレミングの左手の法則から決まるローレンツ力の向き（左）を、一つ一つ丁寧に図に書き込みます。この関係が崩れると全てが間違ってしまいます。
  3. 「直後」と「十分時間が経過した後」の違いを意識: (1)の「直後」は初期条件 \(v=v_0\) を使ってその瞬間の物理量を求める問題。(2)の「一定になったとき」は最終状態（\(a=0\)）から物理量を求める問題。この時間的な違いを明確に区別します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動方程式の張力の符号ミス:
  • 誤解: (1)でおもりの運動方程式を立てる際、張力 \(T\) を正として \(ma = mg + T\) と立ててしまう。
  • 対策: 座標軸の正の向きを最初に明確に定義する（この問題では鉛直下向きが正）。その上で、各力が正の向きか負の向きかを判断し、機械的に式を立てます。張力 \(T\) は上向き（負の向き）に働くので、運動方程式は \(ma = mg – T\) となります。
• レンツの法則の適用ミス:
  • 誤解: 磁束の変化の向きと、それを打ち消す磁場の向きを混同し、電流の向きを逆（b→a）にしてしまう。
  • 対策: 「①磁束の変化はどっち向き？（右に動くから上向きに増加）」→「②それを妨げるにはどっち向きの磁場を作る？（下向き）」→「③その磁場を作る電流の向きは？（右手で親指を下に向けると、指はa→bに巻く）」という3ステップで、焦らずに判断する癖をつけます。
• (1)で力のつり合いを考えてしまう:
  • 誤解: 「はなした直後」にもかかわらず、力がつり合っていると勘違いし、\(mg = F_0\) として計算を始めてしまう。
  • 対策: 問題文の「加速度を求めよ」という問いかけ自体が、「まだ加速している（＝力はつり合っていない）」ことを示唆しています。「加速度」と「力のつり合い」は両立しない概念であることを強く意識します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma = F_{\text{合力}}\)):
  • 選定理由: (1)で「加速度」を求めるように指示されているため。加速度と力の関係を記述する唯一の法則が運動方程式です。
  • 適用根拠: ニュートンの運動の第2法則そのものです。おもりの質量 \(m\) と、おもりに働く力の合力（重力 \(mg\) と張力 \(T\) のベクトル和）を結びつけます。
• 力のつり合いの式 (\(F_{\text{合力}} = 0\)):
  • 選定理由: (2)で「速さが一定になった」と記述されているため。これは加速度がゼロ (\(a=0\)) の状態を意味し、運動方程式 \(ma=F\) に \(a=0\) を代入した特別な場合に相当します。
  • 適用根拠: おもりと導体棒がそれぞれ等速直線運動をしているため、慣性の法則が適用できる状態です。それぞれの物体に働く力のベクトル和がゼロになります。
• オームの法則 (\(I=V/R\)) と誘導起電力の公式 (\(V=vBl\)):
  • 選定理由: 力学的な運動（速さ \(v\)）を、電気的な現象（電流 \(I\)）に変換するために必要です。この2つの公式を組み合わせることで、\(I = vBl/R\) という、力学量 \(v\) と電気量 \(I\) を直接結びつける関係式が得られます。
  • 適用根拠: 導体棒が動くことで発電機として機能し（\(V=vBl\)）、その電力が抵抗 \(R\) にかかることで電流が流れる（\(I=V/R\)）という、回路全体の電気的な振る舞いを記述しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の代入は最後に行う: (1)の加速度を求める計算で、\(T=F_0\), \(F_0=I_0Bl\), \(I_0=v_0Bl/R\) という関係を、いきなり数値や複雑な式で代入するのではなく、まずは文字のまま運動方程式 \(ma=mg-T\) に代入していく。これにより、計算の見通しが良くなり、途中の計算ミスが減ります。
• 単位の確認: (2)で求めた速さ \(v\) の式 \(\displaystyle\frac{mgR}{B^2 l^2}\) の単位が本当に [m/s] になるか検算してみる。(\(mg \to \text{N}\), \(R \to \Omega\), \(B \to \text{T}\), \(l \to \text{m}\))。基本単位に直すと、\(\text{N}=\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\), \(\Omega=\text{V/A}\), \(\text{T}=\text{N/(A}\cdot\text{m)}\) などを使い、最終的に [m/s] になることを確認する習慣は、複雑な式でのミス発見に有効です。
• 物理的な意味の吟味: (2)で求めた終端速度 \(v\) の式を見て、各物理量との関係を吟味します。「おもりが重い(\(m\)大)ほど速くなるか？」「抵抗(\(R\)大)が大きいほど速くなるか？」といった問いを立て、式が直感と合っているかを確認することで、単純な計算ミス（例えば分母と分子の逆転など）に気づくことができます。

例題88 電磁誘導

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ファラデーの電磁誘導の法則とB-tグラフの解釈」です。コイルを貫く磁束が時間的に変化することで、コイルに誘導起電力（電圧）が発生する現象を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

誘導起電力Vの計算

思考の道筋とポイント
この問題は、与えられた\(B-t\)グラフから各時間区間における誘導起電力\(V\)を求めるものです。ファラデーの電磁誘導の法則を適用しますが、最も重要なのは起電力\(V\)の「符号」を正しく扱うことです。そのためには、法則の厳密な意味と、問題文で与えられた符号の定義を正確に結びつける必要があります。

この設問における重要なポイント

• \(B-t\)グラフの「傾き」が誘導起電力の大きさと符号を決定する。
• ファラデーの電磁誘導の法則の公式 \(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) のマイナス符号は、レンツの法則（変化を妨げる向き）を意味する。
• 問題文で与えられた起電力の符号の定義を正しく解釈し、物理法則と対応させることが不可欠。

具体的な解説と立式
コイルを貫く磁束を \(\Phi\) とすると、磁束密度が \(B\)、断面積が \(S\) なので、\(\Phi = BS\) と表せます。
ファラデーの電磁誘導の法則は、一般に \(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) と書かれます。

【最重要】この問題における符号の考え方

1. ファラデーの法則におけるVの定義:
   この法則の式 \(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) における起電力 \(V\) の正の向きは、磁束 \(\Phi\) の正の向きに対して「右ねじの法則」に従う向きと約束されています。この問題では、磁束は右向きが正です。したがって、右ねじの法則を適用すると、b→aの向きに電流を流そうとする起電力が、この公式における \(V\) の正の向きとなります。
2. 問題文におけるVの定義:
   問題文では「点aの電位が点bの電位よりも高い場合に \(V>0\) とする」と定義されています。これは、コイルを電池と見なしたとき、aがプラス極、bがマイナス極になる状態です。つまり、a→bの向きに電流を流そうとする起電力を \(V>0\) と定義しています。
3. 適用すべき式の導出:
   上記1と2から、ファラデーの法則の式が想定する \(V\) の正の向き（b→a）と、この問題が定義する \(V\) の正の向き（a→b）は、ちょうど逆向きです。
   したがって、この問題で求めるべき起電力 \(V_{\text{問題}}\) は、ファラデーの法則の \(V_{\text{法則}}\) の符号を反転させたものになります。
   $$ V_{\text{問題}} = -V_{\text{法則}} = – \left( -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right) = N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} $$
   磁束 \(\Phi = BS\) を代入すると、この問題で使うべき最終的な計算式は以下となります。
   $$ V = N S \frac{\Delta B}{\Delta t} \quad \cdots ① $$
   ここで、\(\frac{\Delta B}{\Delta t}\) は \(B-t\) グラフの傾きです。

各時間区間について、式①を用いて \(V\) を計算します。

1. 時刻 \(t = 0 \sim 0.20\) [s] の区間

\(B-t\)グラフの傾きを求めます。
$$ \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{0.030 – 0}{0.20 – 0} = 0.15 \text{ [T/s]} $$
式①に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
V &= N S \frac{\Delta B}{\Delta t} \\[2.0ex]&= 4 \times 0.50 \times 0.15 \\[2.0ex]&= 2.0 \times 0.15 \\[2.0ex]&= 0.30 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$

2. 時刻 \(t = 0.20 \sim 0.40\) [s] の区間

\(B-t\)グラフの傾きは0です。
$$ \frac{\Delta B}{\Delta t} = 0 \text{ [T/s]} $$
式①に代入すると、
$$ V = 4 \times 0.50 \times 0 = 0 \text{ [V]} $$

3. 時刻 \(t = 0.40 \sim 0.80\) [s] の区間

\(B-t\)グラフの傾きを求めます。
$$ \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{0 – 0.030}{0.80 – 0.40} = \frac{-0.030}{0.40} = -0.075 \text{ [T/s]} $$
式①に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
V &= N S \frac{\Delta B}{\Delta t} \\[2.0ex]&= 4 \times 0.50 \times (-0.075) \\[2.0ex]&= 2.0 \times (-0.075) \\[2.0ex]&= -0.15 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$

この問題では、コイルに発生する電圧は、\(B-t\)グラフの「傾き」に比例します。

1. 最初の区間 (0～0.2s): グラフは右上がりの坂になっています。傾きはプラスなので、発生する電圧もプラスになります。
2. 真ん中の区間 (0.2～0.4s): グラフは平らです。傾きがゼロなので、磁束は変化せず、電圧は発生しません。つまり0Vです。
3. 最後の区間 (0.4～0.8s): グラフは右下がりの坂になっています。傾きはマイナスなので、発生する電圧もマイナスになります。

各区間のグラフの傾きを計算し、それにコイルの巻数と面積を掛けることで、具体的な電圧の値が求まります。

各時間区間における誘導起電力は、\(0 \sim 0.20\)s で \(0.30\) V、\(0.20 \sim 0.40\)s で \(0\) V、\(0.40 \sim 0.80\)s で \(-0.15\) V となります。
この結果をレンツの法則で物理的に確認します。

• \(0 \sim 0.20\)s: 右向きの磁束が増加 \(\to\) 妨げるために左向きの磁場を作る \(\to\) a→bの向きの電流を流そうとする \(\to\) aの電位が高い \(\to\) \(V>0\)。計算結果と一致。
• \(0.20 \sim 0.40\)s: 磁束が変化しない \(\to\) 起電力は生じない \(\to\) \(V=0\)。計算結果と一致。
• \(0.40 \sim 0.80\)s: 右向きの磁束が減少 \(\to\) 補うために右向きの磁場を作る \(\to\) b→aの向きの電流を流そうとする \(\to\) bの電位が高い \(\to\) \(V<0\)。計算結果と一致。

すべての結果が物理的に妥当であることが確認できました。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ファラデーの法則とB-tグラフの関係性:
  • 核心: コイルに生じる誘導起電力 \(V\) は、コイルを貫く磁束 \(\Phi\) の時間変化率に比例する（\(V \propto \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\)）というファラデーの法則を、グラフを用いて理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 磁束 \(\Phi\) は磁束密度 \(B\) と面積 \(S\) の積 (\(\Phi=BS\)) なので、\(\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = S \frac{\Delta B}{\Delta t}\) となります。
    • つまり、誘導起電力 \(V\) は、\(B-t\)グラフの傾き \(\frac{\Delta B}{\Delta t}\) に比例**します。
    • グラフの傾きが正なら \(V\) が発生、傾きが負なら逆向きの \(V\) が発生、傾きが0（平坦）なら \(V=0\) となります。
• 起電力の「向き（符号）」の厳密な決定:
  • 核心: ファラデーの法則の公式 \(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) に含まれるマイナス符号は、レンツの法則（磁束の変化を妨げる向き）を数学的に表現したものです。この法則上の符号の定義と、問題文で独自に与えられた「aの電位がbより高いとき \(V>0\)」という定義を正確に対応させることが、この問題の最大のポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(V-t\)グラフから\(B-t\)グラフを描く問題: 逆の思考が問われます。\(V\)が一定値なら\(B-t\)グラフの傾きが一定（直線）、\(V=0\)なら傾きが0（水平線）となります。
  • 回路に流れる電流や消費電力を求める問題: コイルに抵抗\(R\)が接続されていれば、求めた起電力\(V\)を使ってオームの法則 \(I=V/R\) から電流を、電力の公式 \(P=IV=V^2/R\) から消費電力を計算できます。
  • コイルを動かす問題: 磁場が一定で、コイルを磁場に出し入れする場合。このときは面積 \(S\) が時間変化するため、\(\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = B \frac{\Delta S}{\Delta t}\) となり、コイルを動かす速さに比例した起電力が生じます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 起電力の符号の定義を確認: まず問題文を読み、「どの向きの起電力を正とするか」という定義に印をつけます。これが全ての符号判断の基準になります。
  2. グラフの軸を確認: 縦軸が磁束密度\(B\)なのか、磁束\(\Phi\)なのかを必ず確認します。\(B\)なら面積\(S\)を掛ける計算が、\(\Phi\)ならそのままの値を使う計算が必要になります。
  3. グラフを区間に分割: グラフが折れ曲がっている点（傾きが変化する点）で時間区間を区切ります。各区間が「増加」「一定」「減少」のどれに対応するかを大まかに把握し、起電力が発生するかどうか、発生するなら向きはどうかを予測します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ファラデーの法則のマイナス符号の扱い:
  • 誤解: \(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) のマイナスを無視して大きさだけを計算し、符号は勘で付けてしまう。
  • 対策: 本解説で示した2つのアプローチのどちらかを徹底することが有効です。
    1. （メイン解説）数式で処理: 問題の定義に合わせてあらかじめ符号を調整した式 (\(V = NS \frac{\Delta B}{\Delta t}\)) を作り、あとは機械的に計算する。
    2. （別解）物理現象で判断: まずレンツの法則で向き（\(V\)の正負）を判断し、次に大きさの公式 \(|V| = N|\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}|\) で大きさを計算し、最後に合体させる。
• レンツの法則の誤解:
  • 誤解: 「変化を妨げる」＝「常に逆向き」と勘違いし、磁束が減少している場合も逆向きの磁場を作ってしまう。
  • 対策: 「変化を妨げる」とは「現状を維持しようとする」と理解します。「増加」に対してはそれを打ち消す逆向きの磁場を、「減少」に対してはそれを補う同じ向きの磁場を作ります。「来る者は拒み、去る者は追う」と覚えるのが効果的です。
• グラフの傾き計算ミス:
  • 誤解: 最後の区間(\(0.40 \sim 0.80\)s)の傾きを計算する際、\(\frac{0.030-0}{0.80-0.40}\) のように、変化量の符号を間違える。
  • 対策: 傾きの計算は必ず「\(\frac{\text{後のy座標} – \text{前のy座標}}{\text{後のx座標} – \text{前のx座標}}\)」の定義に忠実に従います。この区間では \(\frac{B(0.80) – B(0.40)}{0.80 – 0.40} = \frac{0 – 0.030}{0.40}\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ファラデーの電磁誘導の法則 (\(V = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: この問題は「磁束の時間変化によって起電力が生じる」という電磁誘導現象そのものを扱っているため、この現象を記述する最も根源的な法則であるファラデーの法則を選択します。
  • 適用根拠: この法則は、マクスウェル方程式の一つから導かれる電磁気学の基本法則です。マイナス符号は、誘導起電力が常に磁束の変化を妨げる向きに生じるというレンツの法則を内包しており、エネルギー保存則の現れでもあります。もしこの符号がプラスであれば、誘導電流が磁束変化を助長し、外部からエネルギーを供給しなくても無限に電流が増大し続けることになり、エネルギー保存則に反します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 定数部分の事前計算: この問題では、巻数\(N\)と面積\(S\)は常に一定です。先に \(NS = 4 \times 0.50 = 2.0\) を計算しておけば、各区間の計算は「\(2.0 \times (\text{グラフの傾き})\)」だけで済み、思考がシンプルになります。
• 座標の明確化: グラフの傾きを計算する際は、区間の始点と終点の座標、例えば「(\(t_1, B_1\)) = (\(0.40, 0.030\))」「(\(t_2, B_2\)) = (\(0.80, 0\))」のように、値を明確に書き出してから計算式に代入すると、符号や引き算のミスを防げます。
• 有効数字の意識: 問題文で与えられている数値が「0.50」「0.030」のように有効数字2桁で書かれています。計算結果もそれに合わせて「0.30」「-0.15」のように、桁を揃えて解答する習慣をつけましょう。

例題89 自己誘導

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コイルを含む直流回路（RL回路）の過渡現象」です。スイッチを入れた直後と、十分に時間が経った後で、コイルが回路にどのような影響を与えるかを理解することが重要です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「スイッチを閉じた直後」という、過渡現象の初期状態を分析する問題です。この問題を解く鍵は、コイルが持つ「電流の急な変化を妨げる」という最も重要な性質を理解しているかどうかにあります。スイッチを入れる前の電流は0Aなので、入れた直後もコイルはその状態を維持しようとします。この瞬間の電流値が分かれば、キルヒホッフの法則から電流の「変化率」を計算することができます。

この設問における重要なポイント

• コイルを流れる電流は連続的に変化し、瞬間的に値が飛ぶことはない。したがって、スイッチを閉じる直前の電流と直後の電流は等しい。
• スイッチを閉じた直後、コイルは最大の自己誘導起電力を発生させ、電流が流れるのを妨げようとする。
• この瞬間、抵抗Rにはまだ電流が流れていないため、オームの法則より抵抗での電圧降下は0Vである。

具体的な解説と立式
1. 電流 \(I\) の決定

スイッチを閉じる前、回路に電流は流れていませんでした (\(I=0\))。コイルには、自身を流れる電流が急に変化するのを妨げる性質（電流の慣性）があります。そのため、スイッチを閉じた直後であっても、コイルを流れる電流は瞬時に増加できず、\(0\) Aのままです。
$$ I = 0 \text{ [A]} $$

2. 電流の増加率 \(\frac{\Delta I}{\Delta t}\) の立式

回路にキルヒホッフの第2法則を適用します。電池の起電力を \(E\)、抵抗での電圧降下を \(RI\)、コイルでの自己誘導による逆起電力を \(V_L = L\frac{\Delta I}{\Delta t}\) とします。回路を時計回りに一周すると、電位の関係は次のようになります。
$$ E – RI – L\frac{\Delta I}{\Delta t} = 0 $$
この式は、スイッチを閉じた後の任意の時刻で成り立ちます。

スイッチを閉じた直後（\(t=0+\)）の状態、すなわち \(I=0\) をキルヒホッフの法則の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
E – R \times 0 – L\frac{\Delta I}{\Delta t} &= 0 \\[2.0ex]E – L\frac{\Delta I}{\Delta t} &= 0 \\[2.0ex]L\frac{\Delta I}{\Delta t} &= E \\[2.0ex]\frac{\Delta I}{\Delta t} &= \frac{E}{L}
\end{aligned}
$$

電流: コイルは「現状維持」が大好きです。スイッチを入れる前は電流が0だったので、スイッチを入れた直後も、その状態を必死に保とうとします。そのため、この瞬間の電流は0Aです。

電流の増加率: スイッチを入れた瞬間、電池の電圧 \(E\) は、まだ電流が流れていない抵抗Rにはかからず、すべてコイルにかかります。コイルにかかる電圧が、これから電流を増やしていくための「勢い」になります。この勢いが「電流の増加率」であり、コイルのインダクタンス\(L\)（電流変化への抵抗度）が小さいほど、勢いよく電流が増え始めます。

スイッチを閉じた直後の電流は \(0\) A、電流の増加率は \(\displaystyle\frac{E}{L}\) [A/s] です。
電流は0ですが、その変化率（グラフでいえば接線の傾き）は正の最大値をとります。これは、この瞬間から電流が最も勢いよく増加し始めることを意味しており、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「十分に時間が経過した」という記述は、回路が過渡的な状態を終え、安定した「定常状態」になったことを意味します。直流回路において、定常状態では電流は時間的に変化しなくなります。このときコイルがどのように振る舞うかを考えるのがポイントです。

この設問における重要なポイント

• 十分に時間が経過すると、直流回路では電流は一定値に落ち着く。
• 電流が一定になると、電流の時間変化率 \(\frac{\Delta I}{\Delta t}\) は0になる。
• 自己誘導起電力 \(V_L = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}\) は0になる。
• その結果、コイルは抵抗値0の「ただの導線」（短絡状態）と見なせる。

具体的な解説と立式
1. コイルの誘導起電力 \(V_L\) の決定

十分に時間が経過すると、回路を流れる電流は一定値に落ち着き、もはや変化しなくなります。したがって、電流の時間変化率 \(\frac{\Delta I}{\Delta t}\) は0になります。
$$ \frac{\Delta I}{\Delta t} = 0 $$
コイルの自己誘導起電力 \(V_L\) は \(V_L = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}\) で与えられるので、
$$ V_L = -L \times 0 = 0 \text{ [V]} $$

2. 回路を流れる電流 \(I\) の立式

コイルによる誘導起電力が0になったため、この回路は単に電池Eと抵抗Rが接続されただけの単純な回路と等価になります。
したがって、キルヒホッフの第2法則（またはオームの法則）を適用すると、
$$ E – RI = 0 $$

コイルの誘導起電力は上記より \(0\) Vです。

次に、電流 \(I\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
E – RI &= 0 \\[2.0ex]RI &= E \\[2.0ex]I &= \frac{E}{R}
\end{aligned}
$$

誘導起電力: 十分に時間が経つと、回路の電流はもう増えも減りもせず、安定した一定の流れになります。コイルは電流が「変化する」ときにだけ電圧を発生させるので、電流が安定してしまえばコイルの働きは終わり、その電圧は0Vになります。

電流: コイルの電圧が0Vということは、コイルが「ただの導線」になったのと同じです。したがって、回路は電池と抵抗だけが繋がった非常にシンプルな回路と見なせます。このときの電流は、オームの法則から簡単に \(I = E/R\) と計算できます。

十分に時間が経過した後のコイルの誘導起電力は \(0\) V、回路を流れる電流は \(\displaystyle\frac{E}{R}\) [A] です。
これは、コイルが接続されていない単純な直流回路で流れる電流と同じ値です。コイルは最終的には回路に影響を与えなくなるという事実に合致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• コイルの電気的慣性（電流の連続性）:
  • 核心: コイルは、自身を流れる電流の急激な変化を妨げる性質を持ちます。これは、力学における「慣性の法則」に似ています。この性質により、コイルを流れる電流は必ず連続的に変化**し、スイッチのON/OFFの瞬間に値がジャンプすることはありません。
  • 理解のポイント: (1)で「スイッチを閉じた直後の電流は0A」と即答できるのは、この原理に基づいています。閉じる直前が0Aだったから、直後も0Aなのです。
• 自己誘導起電力と電流変化率の関係:
  • 核心: コイルは、電流が変化している間だけ**、その変化率に比例した逆起電力 \(V_L = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}\) を生じます。
  • 理解のポイント:
    • スイッチON直後**: 電流は0Aですが、これから増えようとする「変化率 \(\frac{\Delta I}{\Delta t}\)」は最大です。そのため、コイルは最大の逆起電力を生じます。
    • 十分時間経過後**: 電流は一定値に落ち着き、「変化率 \(\frac{\Delta I}{\Delta t}\)」は0になります。そのため、コイルは逆起電力を生じなくなり、単なる導線として振る舞います。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スイッチをOFFにする問題: 十分に電流が流れている状態（\(I=E/R\)）からスイッチを開く問題。コイルは電流を流し続けようとして、スイッチの接点間に高電圧（火花）を発生させます。
  • 抵抗と並列にコイルが接続された回路: スイッチを入れた直後、電流はコイルを避けて抵抗側に流れます。十分時間が経つと、コイルが「ただの導線」になるため、電流は抵抗を避けてコイル側に流れます。
  • コンデンサーを含むRC回路との比較: コイルとコンデンサーの振る舞いは対照的です。
    • コイル(L): ON直後は「断線（電流0）」、十分後は「導線」。
    • コンデンサー(C): ON直後は「導線（電流最大）」、十分後は「断線（電流0）」。

    この対比を理解すると、過渡現象の問題に強くなります。

• 初見の問題での着眼点:
  1. 時間軸を意識する: 問題が「スイッチON/OFFの直後」を問うているのか、「十分時間が経過した後（定常状態）」を問うているのかを最初に確認します。これがコイルの振る舞いを決定します。
  2. コイルを置き換えて考える:
     • 「直後」なら、コイルを「電流0Aの定電流源」または「断線」と見なして回路を単純化します。
     • 「十分後」なら、コイルを「ただの導線（抵抗0）」と見なして回路を単純化します。
  3. キルヒホッフの法則を立てる: 回路が複雑でも、キルヒホッフの第2法則（電圧則）は常に成り立ちます。コイルの電圧降下を \(L\frac{\Delta I}{\Delta t}\) として式に含め、その時点での \(I\) や \(\frac{\Delta I}{\Delta t}\) の値を代入して解を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• スイッチON直後の電流を \(E/R\) と考えてしまう:
  • 誤解: コイルの存在を忘れ、スイッチを入れたらすぐにオームの法則が成り立つと考えてしまう。
  • 対策: 「コイルがある回路では、電流はすぐには流れない」と肝に銘じます。コイルは電流の「助走期間」を作る装置だとイメージします。
• 十分後のコイルを「断線」と勘違いする:
  • 誤解: コンデンサーの振る舞いと混同し、十分時間が経つとコイルに電流が流れなくなると考えてしまう。
  • 対策: コイルは「電流の変化」を嫌うだけで、「電流そのもの」を嫌うわけではない、と理解します。電流が一定になれば、コイルは文句を言わず、ただの導線として電流を通します。
• キルヒホッフの法則の符号ミス:
  • 誤解: コイルの逆起電力の向きを間違え、\(E + L\frac{\Delta I}{\Delta t} = RI\) のような式を立ててしまう。
  • 対策: コイルの自己誘導起電力は、常に電源の電圧と「逆向き」に作用し、電流の増加を妨げます。したがって、電圧降下として扱うのが基本です。「電源の電圧上昇 \(E\)」=「抵抗での電圧降下 \(RI\)」+「コイルでの電圧降下 \(L\frac{\Delta I}{\Delta t}\)」という形で立式する習慣をつけると、符号ミスが減ります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• コイルの電流の連続性（\(I(0-)=I(0+)\)）:
  • 選定理由: (1)の「スイッチを閉じた直後」の電流値を決定するための、最も重要な物理原理だからです。
  • 適用根拠: もし電流が不連続に変化すると、その変化率 \(\frac{\Delta I}{\Delta t}\) が無限大になり、コイルに無限大の電圧が発生することになります。これは物理的にあり得ないため、電流は必ず連続でなければなりません。これはエネルギーの観点からも説明でき、コイルに蓄えられるエネルギー \(U = \frac{1}{2}LI^2\) が瞬間的に変化することはエネルギー保存則に反します。
• キルヒホッフの第2法則 (\(E = RI + L\frac{\Delta I}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: 回路内の起電力と各素子での電圧降下の関係を記述する、電気回路における普遍的な法則だからです。
  • 適用根拠: この法則は、電場が保存力である（静電場の場合）ことに基づくエネルギー保存則の現れです。回路を一周すると電位は元の値に戻るため、起電力による電位の上昇分と、抵抗やコイルによる電圧降下分が等しくなります。この関係は、過渡状態か定常状態かにかかわらず、常に成立します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 極端な状態を代入する:
  • (1)の「直後」では、\(t \to 0\) の極限を考え、\(I \to 0\) を代入します。
  • (2)の「十分後」では、\(t \to \infty\) の極限を考え、\(\frac{\Delta I}{\Delta t} \to 0\) を代入します。

  このように、物理的な状況を数式上の極限操作に置き換えて、キルヒホッフの法則の式に代入することで、機械的に計算を進めることができます。

• 単位の確認: (1)で求めた電流の増加率 \(\frac{E}{L}\) の単位が本当に [A/s] になるか確認します。起電力 \(E\) の単位は [V]、インダクタンス \(L\) の単位は [H] です。ここで、自己誘導の公式 \(V = L \frac{\Delta I}{\Delta t}\) から、\(1 \text{ [V]} = 1 \text{ [H]} \times \frac{1 \text{ [A]}}{1 \text{ [s]}}\) という関係がわかります。したがって、\(\frac{\text{[V]}}{\text{[H]}} = \frac{\text{[A]}}{\text{[s]}}\) となり、単位が正しいことが確認できます。

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