「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 24】Step1 & 例題

Step1

① 電気力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「静電気力の性質」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、電荷間に働く力の基本的な性質を理解しているかを問うています。まず、問題で与えられた状況を正確に把握することが重要です。正に帯電したガラス棒を近づけたときに、帯電体が「引かれた」という事実が最大のヒントです。この「引かれた」という現象が、物理学的にどのような力の働きを意味するのかを考え、電気に関する基本法則と結びつけます。

この設問における重要なポイント

• 電荷には正(\(+\))と負(\(-\))の2種類があります。
• クーロン力（静電気力）の性質：
  • 異なる種類の電荷（正と負）の間には、互いに引き合う力（引力）が働きます。
  • 同じ種類の電荷（正と正、または負と負）の間には、互いに反発しあう力（斥力）が働きます。
• この問題では、力の向きのみが問われているため、力の大きさを計算する必要はありません。

具体的な解説と立式
この問題は計算式を立てるのではなく、物理現象の観察結果から論理的に結論を導きます。

1. 問題文より、ガラス棒は「正に帯電」していることが分かります。
2. 帯電体はガラス棒に「引かれる向きに動いた」と記述されています。これは、帯電体とガラス棒の間に「引力」が働いたことを意味します。
3. 電気力の基本法則によれば、引力が働くのは、2つの物体が持つ電荷が互いに異なる種類（異符号）の場合です。
4. したがって、正の電荷を持つガラス棒に引かれる帯電体は、負の電荷を持っていると結論付けられます。

この問題に計算過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた論理的な推論が解答プロセスとなります。

• ガラス棒の電荷：正
• 帯電体に働いた力：引力
• 結論：引力が働くためには、帯電体の電荷はガラス棒と逆の符号でなければならない。よって、帯電体の電荷は負である。

電気のプラスとマイナスは、磁石のN極とS極の関係に似ています。

• N極とS極のように、違う種類（プラスとマイナス）は引き合います。
• N極とN極、S極とS極のように、同じ種類（プラスとプラス、マイナスとマイナス）は反発します。

この問題では、「プラスの電気を持つガラス棒」に帯電体が「引き寄せられ」ました。
「引き合う」ということは、帯電体はガラス棒とは違う種類の電気、つまり「マイナス」の電気を持っている、ということになります。

② 電気量保存の法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「導体の接触と電気量保存の法則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、帯電した2つの導体を接触させると何が起こるかを理解しているか問うています。導体である金属球は内部に自由に動ける電子（自由電子）を持っているため、接触させると2つの球は一体の導体となり、電子が移動して電荷が再配置されます。この現象を考える上での大原則が「電気量保存の法則」です。つまり、2つの金属球を一つのグループ（系）として考えたとき、接触の前後でグループ全体の電気量の合計は変わりません。さらに、問題文の「同じ材質、同じ大きさ」という条件が非常に重要です。この条件があるため、接触後に電荷は2つの球に均等に分配されると判断できます。

この設問における重要なポイント

• 電気量保存の法則: 外部との間で電荷の出入りがない限り、ある系の中の電気量の総和（代数和）は常に一定に保たれます。
• 導体の接触: 2つの導体を接触させると、それらは電気的に一体の導体と見なせます。電荷は、この一体となった導体全体に広がり、電位がどこでも等しくなるように再配置されます。
• 均等分配の条件: 接触させる導体が「同じ材質」かつ「同じ大きさ・形状」である場合、接触後に分離すると、総電荷はそれぞれの導体に均等に（この場合は半分ずつ）分配されます。

具体的な解説と立式
金属球Aの接触前の電気量を \(q_A\)、金属球Bの接触前の電気量を \(q_B\) とします。
$$ q_A = +2.0 \times 10^{-8} \, [\text{C}] $$
$$ q_B = -8.0 \times 10^{-8} \, [\text{C}] $$
接触後の金属球A, Bの電気量を、それぞれ \(q_A’\), \(q_B’\) とします。
電気量保存の法則より、接触前後の電気量の総和は等しくなります。
$$ q_A + q_B = q_A’ + q_B’ \quad \cdots ① $$
また、金属球AとBは「同じ材質、同じ大きさ」であるため、接触によって電荷が移動した後、2つの球には等しい量の電荷が分配されます。
$$ q_A’ = q_B’ \quad \cdots ② $$
式①と②から、\(q_A + q_B = q_A’ + q_A’ = 2q_A’\) となるので、接触後の各球の電気量は、接触前の総電気量の半分になります。
$$ q_A’ = q_B’ = \frac{q_A + q_B}{2} \quad \cdots ③ $$

式③に、与えられた電気量の値を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
q_A’ = q_B’ &= \frac{q_A + q_B}{2} \\[2.0ex]&= \frac{(+2.0 \times 10^{-8}) + (-8.0 \times 10^{-8})}{2} \\[2.0ex]&= \frac{(2.0 – 8.0) \times 10^{-8}}{2} \\[2.0ex]&= \frac{-6.0 \times 10^{-8}}{2} \\[2.0ex]&= -3.0 \times 10^{-8} \, [\text{C}]\end{aligned}
$$
したがって、接触後の金属球A, Bの電気量は、どちらも \(-3.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) となります。

2つの金属球を、水が入った2つの同じ大きさのコップだと考えてみましょう。

• コップAには \(+2.0\) 単位の電気（水）が入っています。
• コップBには \(-8.0\) 単位の電気（水）が入っています。（マイナスは「借金」のようなものだとイメージしてください）

この2つのコップをパイプでつなぐと（金属球を接触させると）、水は混ざり合って、最終的に2つのコップの水位は同じになります。
まず、全体の水の量を計算します。
\( (+2.0) + (-8.0) = -6.0 \)
全体の水の量は \(-6.0\) 単位です。
コップは同じ大きさなので、この水は均等に2つに分けられます。
\( -6.0 \div 2 = -3.0 \)
つまり、接触後、それぞれのコップ（金属球）には \(-3.0\) 単位の電気（水）が入ることになります。単位を戻すと、\(-3.0 \times 10^{-8} \, \text{C}\) です。

③ 物質の電気の通しやすさ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「物質の電気伝導性による分類」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、物質が電気をどれくらい通しやすいかによって、大きく3種類に分類されることを理解しているかを確認する知識問題です。それぞれの用語の定義と、問題文で挙げられている具体例（金属、ガラスなど）や性質（太陽電池への利用など）を結びつけることが解答への鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 物質は電気伝導性の違いから、導体、半導体、不導体（絶縁体）に大別されます。
• この違いは、主に物質内に「自由電子」がどれだけ存在するかによって決まります。自由電子とは、原子の束縛から離れて物質内を自由に動き回れる電子のことです。
• 各用語の定義を正確に覚えておくことが重要です。

具体的な解説と立式
この問題は計算式を立てるのではなく、各空欄に当てはまる物理用語の定義を理解することが求められます。

1. 空欄①について
   「金属のように電気をよく通す物質」とあります。金属中には自由電子が豊富に存在し、これが電荷を運ぶことで大きな電流が流れます。このように電気をよく通す物質を「導体」といいます。
   よって、①は「導体」です。
2. 空欄②について
   「塩化ビニルやガラスのように、電気を通しにくい物質」とあります。これらの物質では、電子は原子に強く束縛されており、自由に動ける自由電子がほとんど存在しません。そのため、電気をほとんど通しません。このような物質を「不導体」または「絶縁体」といいます。電気を絶縁する目的で使われることが多いため、絶縁体という呼び方が一般的です。また、電場をかけると分極する性質から「誘電体」とも呼ばれます。
   よって、②は「不導体」（または絶縁体、誘電体）です。
3. 空欄③について
   「電気の通しやすさが①（導体）と②（不導体）の中間程度の物質」とあります。これは「半導体」の定義そのものです。さらに、「不純物を混ぜた③は、太陽電池などに利用されている」という記述も、半導体の重要な性質と応用例を示しています。半導体は、不純物を加える（ドーピング）ことで電気的性質を制御でき、トランジスタや太陽電池などの電子部品に広く利用されています。
   よって、③は「半導体」です。

この問題には計算過程はありません。上記の解説が解答プロセスとなります。

• ① → 導体
• ② → 不導体（絶縁体、誘電体）
• ③ → 半導体

物質を電気の通りやすさで例えると、次のようになります。

• ① 導体: 「電気の高速道路」。電子がスイスイ通れる道です。金属の電線などがこれにあたります。
• ② 不導体（絶縁体）: 「電気の通行止め」。電子がほとんど通れない道です。電線を覆うゴムやプラスチックがこれで、感電を防いでくれます。
• ③ 半導体: 「電気の信号機」。普段はあまり電気を通しませんが、温度を上げたり、特殊な材料を混ぜたりすると、電気を通すようになります。電気の流れをコントロールできる便利な物質で、スマホやパソコン、太陽電池など、ハイテク製品の心臓部に使われています。

④ 静電誘導と誘電分極

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「導体と不導体における静電誘導と誘電分極の違い」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「金属片＝導体」と「紙片＝不導体」という物質の性質の違いが、帯電体との相互作用にどのように影響するかを理解することです。どちらも最初は「引き寄せられる」という現象は同じですが、そのメカニズム（静電誘導と誘電分極）と、接触後の振る舞い（電荷移動の有無）が決定的に異なります。なぜ引き寄せられるのか、そしてなぜその後の振る舞いが違うのか、という2つのステップで考えると分かりやすいです。

この設問における重要なポイント

• 静電誘導: 導体を帯電体に近づけると、導体内の自由電子が移動し、帯電体に近い側に異種の電荷、遠い側に同種の電荷がはっきりと現れる現象。
• 誘電分極: 不導体（誘電体）を帯電体に近づけると、物質を構成する原子や分子内で電荷の偏りが生じ、全体として静電誘導に似た電荷の分布が生じる現象。自由電子が物質全体を移動するわけではない。
• 導体の接触: 導体同士が接触すると、電荷は自由に移動できるため、電荷のやり取りが起こる。
• 不導体の接触: 不導体は電荷が移動しにくいため、接触しても電荷のやり取りは（ほとんど）起こらない。

具体的な解説と立式
この問題は、現象を定性的に説明するものであり、立式は不要です。金属片と紙片、それぞれの場合について解説します。

【金属片（導体）の場合】

1. 接触前: 正に帯電した金属板を近づけると、金属片内の自由電子が金属板からの引力で引き寄せられ、金属板に近い側に集まります。これにより、金属板に近い側は負に、電子が不足した遠い側は正に帯電します。この現象を「静電誘導」といいます。金属板（正）と金属片の負に帯電した部分に働く引力は、金属板（正）と金属片の正に帯電した部分に働く斥力よりも、距離が近いために強くなります。結果として、全体では引力が働き、金属片は金属板に引き寄せられます。
2. 接触後: 金属片が金属板に接触すると、金属片は導体なので、自由電子が金属板へ移動します（あるいは、金属板の正電荷が金属片に移動すると考えてもよいです）。これにより、もともと電気的に中性だった金属片は電子を失い、全体が正に帯電します。
3. 結果: 金属板も金属片も共に正に帯電するため、両者の間には同種電荷による斥力が働きます。そのため、金属片は引き寄せられた後、すぐに金属板から離れていきます。

【紙片（不導体）の場合】

1. 接触前: 正に帯電した金属板を近づけると、紙片は不導体なので自由電子は物質全体を移動しません。しかし、紙片を構成する分子内で、電子が原子核の周りを回る軌道がわずかに金属板側に偏ります。これにより、分子レベルで金属板側が負、遠い側が正という電荷の偏りが生じます。この現象を「誘電分極」といいます。この結果、マクロに見ると紙片の表面に電荷が現れたのと同様の効果が生じ、金属片の場合と同じ理由（引力が斥力より強い）で引力が働き、紙片は金属板に引き寄せられます。
2. 接触後: 紙片が金属板に接触しても、紙片は不導体なので電荷は自由に移動できません。
3. 結果: 紙片は帯電せず、誘電分極による引力が働き続けます。したがって、紙片は金属板に接触したままとなります。

この問題に計算過程はありません。

【金属片の場合】

1. 近づく: プラスの板が近づくと、金属の中のマイナス電気（電子）が「わーい！」とプラスに引き寄せられて表面に集まります。反対側はマイナスが去ってプラスになります。プラスとマイナスは引き合うので、金属片は板にくっつきます。
2. くっついた瞬間: 金属は電気が通るので、くっついた瞬間にマイナス電気がプラスの板に逃げてしまいます。すると、金属片は全体がプラスになってしまいます。
3. 離れる: プラスとプラスは反発するので、「うわっ！」とお互いを押し合って、金属片はすぐに離れていきます。

【紙片の場合】

1. 近づく: プラスの板が近づいても、紙は電気が通らないので、マイナス電気は遠くへは移動できません。でも、紙の中の小さな分子レベルで、マイナスが少しだけプラスの板の方に顔を向けます（整列します）。これでも弱い引力が生まれるので、紙は板にくっつきます。
2. くっついた後: 紙は電気が通らないので、くっついてもマイナス電気が逃げることはありません。
3. そのまま: マイナスが顔を向けた状態（引力が働く状態）が続くので、紙は板にくっついたままになります。

⑤ クーロンの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「クーロンの法則を用いた静電気力の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、クーロンの法則を正しく理解し、公式に値を代入して計算できるかを問う基本的な問題です。問題を解くにあたっては、2つのステップで考えると明快です。
ステップ1は「力の向き（引力か斥力か）の判断」です。これは、2つの電荷の符号を見るだけで分かります。今回は正電荷と負電荷なので、互いに引き合う「引力」が働きます。
ステップ2は「力の大きさの計算」です。クーロンの法則の公式に、問題文で与えられた値を正確に代入します。このとき、力の大きさを計算するので、電気量の符号は無視して絶対値を使います。また、距離を2乗することを忘れないように注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• クーロンの法則: 2つの点電荷 \(q_1\), \(q_2\) が距離 \(r\) だけ離れているとき、それらの間に働く静電気力 \(F\) の大きさは \(F = k \displaystyle\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) で与えられます。
• クーロン定数: \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) です。この値は問題で与えられていなくても使えるように覚えておくことが望ましいです。
• 力の向きの判断:
  • \(q_1\) と \(q_2\) が異符号（正と負）の場合 → 引力
  • \(q_1\) と \(q_2\) が同符号（正と正、または負と負）の場合 → 斥力

具体的な解説と立式
点Aの電気量を \(q_A = +3.0 \, \text{C}\)、点Bの電気量を \(q_B = -2.0 \, \text{C}\)、2点間の距離を \(r = 100 \, \text{m}\) とします。
まず、力の種類を判断します。\(q_A\) は正、\(q_B\) は負で異符号なので、2つの電荷の間には互いに引き合う力、すなわち「引力」が働きます。
次に、力の大きさを計算します。クーロンの法則より、2つの点電荷の間にはたらく電気力 \(F\) の大きさは、クーロン定数を \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) として、次の式で表されます。
$$ F = k \frac{|q_A q_B|}{r^2} \quad \cdots ① $$

式①に、\(k = 9.0 \times 10^9\)、\(q_A = +3.0\)、\(q_B = -2.0\)、\(r = 100\) を代入して、力の大きさ \(F\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
F &= (9.0 \times 10^9) \times \frac{|(+3.0) \times (-2.0)|}{100^2} \\[2.0ex]&= (9.0 \times 10^9) \times \frac{3.0 \times 2.0}{(10^2)^2} \\[2.0ex]&= (9.0 \times 10^9) \times \frac{6.0}{10^4} \\[2.0ex]&= 9.0 \times 6.0 \times 10^{9-4} \\[2.0ex]&= 54 \times 10^5 \\[2.0ex]&= 5.4 \times 10^6 \, [\text{N}]\end{aligned}
$$
したがって、力の大きさは \(5.4 \times 10^6 \, \text{N}\) で、力の種類は引力です。

電気の力の大きさを計算するには、「クーロンの法則」という公式を使います。
公式は「力の大きさ = (定数) × (電気量1の大きさ) × (電気量2の大きさ) ÷ (距離) ÷ (距離)」という形をしています。

1. まず、力の種類を考えます。今回は「プラス」と「マイナス」の電気なので、磁石のN極とS極のように、お互いに引き合う「引力」が働きます。
2. 次に、公式に数字を当てはめて力の大きさを計算します。
   • 定数：\(9.0 \times 10^9\) (とても大きな決まった数)
   • 電気量1の大きさ：\(3.0\)
   • 電気量2の大きさ：\(2.0\) (力の大きさを計算するときはマイナスは考えません)
   • 距離：\(100\)

   計算式は \( (9.0 \times 10^9) \times 3.0 \times 2.0 \div 100 \div 100 \) となります。
   これを計算すると、\(5.4 \times 10^6 \, \text{N}\) となります。これは非常に大きな力です。

⑥ 電界

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電界の定義と、電界から受ける力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
電界（または電場）とは、電荷が存在することによって、その周囲の空間に生じる「静電気力が働く場」のことです。この問題では、点Aという場所に電界が存在しており、その電界の強さと向きを求めることが目的です。電界は目に見えませんが、その点に電荷（試験電荷）を置くことで、電荷が受ける力を観測すれば、電界の存在と性質を知ることができます。この問題は、試験電荷の電気量 \(q\) と、それが受けた力 \(F\) が具体的に与えられているため、電界の定義式 \(F=qE\) を使って、未知の電界 \(E\) を逆算する、という流れになります。特に、電界の「向き」と、置かれた電荷の「符号（正か負か）」、そして電荷が受けた「力の向き」の3者の関係を正確に理解することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 電界 \(E\) の定義: ある点に \(+1 \, \text{C}\) の電荷を置いたときに、その電荷が受ける静電気力のこと。単位は \([\text{N/C}]\) です。
• 電界と力の関係式: \(F = qE\)。ここで \(F\) は力 \([\text{N}]\)、\(q\) は電気量 \([\text{C}]\)、\(E\) は電界の強さ \([\text{N/C}]\) を表します。これらはすべてベクトル量ですが、一直線上の問題では大きさと向き（正負）で考えます。
• 電界の向きと力の向きの関係:
  • 正電荷 (\(q > 0\)) を置いた場合、受ける力の向きは電界 \(E\) の向きと同じです。
  • 負電荷 (\(q < 0\)) を置いた場合、受ける力の向きは電界 \(E\) の向きと逆になります。

具体的な解説と立式
問題文で与えられている物理量を整理します。
点Aに置いた点電荷の電気量: \(q = +2.0 \times 10^{-8} \, [\text{C}]\)
この点電荷が受けた力: \(F = 8.0 \times 10^{-5} \, [\text{N}]\)、向きは右向き。
求めるのは、点Aにおける電界の強さ \(E\) とその向きです。

電界 \(E\) の中に置かれた電気量 \(q\) の電荷が受ける力 \(F\) は、次の関係式で表されます。
$$ F = qE $$
この式を電界の強さ \(E\) について解くと、
$$ E = \frac{F}{q} \quad \cdots ① $$
となります。

次に、電界の向きを考えます。
電界の向きは、「その場所に置かれた正電荷が力を受ける向き」と定義されています。
この問題では、正電荷 (\(q = +2.0 \times 10^{-8} \, \text{C} > 0\)) を置いたところ、「右向き」に力を受けたとあります。
したがって、定義から、点Aにおける電界の向きは「右向き」であると判断できます。

まず、電界の強さ \(E\) を計算します。式①に与えられた数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{F}{q} \\[2.0ex]&= \frac{8.0 \times 10^{-5}}{2.0 \times 10^{-8}} \\[2.0ex]&= \frac{8.0}{2.0} \times 10^{-5 – (-8)} \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^{-5 + 8} \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^3 \, [\text{N/C}]\end{aligned}
$$
次に、電界の向きを決定します。
「具体的な解説と立式」で述べた通り、置かれた電荷は正であり、その正電荷が右向きに力を受けたことから、電界の向きは右向きとなります。

よって、電界の強さは \(4.0 \times 10^3 \, \text{N/C}\)、向きは右向きです。

電界を「目に見えない風」だとイメージしてみましょう。電界の強さは「風の強さ」、電界の向きは「風向き」にあたります。

• そこに置いた電荷 \(q\) は、「旗」のようなものです。
• 旗が受ける力 \(F\) は、風の強さ \(E\) と旗の大きさ \(q\) で決まります (\(F = qE\))。

この問題は、「ある大きさの旗 (\(q = +2.0 \times 10^{-8}\)) を立てたら、\(F = 8.0 \times 10^{-5}\) の力で右になびいた。では、風の強さ (\(E\)) と風向きは？」と聞かれているのと同じです。
風の強さ \(E\) は、旗が受けた力 \(F\) を旗の大きさ \(q\) で割ればわかります。
$$ E = \frac{F}{q} = \frac{8.0 \times 10^{-5}}{2.0 \times 10^{-8}} = 4.0 \times 10^3 $$
風向きについては、プラスの電荷（普通の旗）がなびく向きがそのまま風向きです。今回はプラスの電荷が右になびいたので、風向き（電界の向き）も右向きです。もしマイナスの電荷（ねじれた旗）を置いて右になびいたのなら、風向きは逆の左向き、ということになります。

⑦ 点電荷の周りの電界

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷が作る電界の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、点電荷がその周囲の空間に作る電界の強さを、公式を用いて直接計算する、基本的な問題です。電荷が存在すると、その周りの空間の性質が変化し、静電気力が働く「場」である電界が生じます。この電界の強さが、電荷の大きさと距離によってどのように決まるかを理解しているかが問われます。公式 \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) を正しく記憶し、各記号（\(Q\), \(r\), \(k\)）が何を意味するのかを正確に適用することが重要です。特に、距離 \(r\) が分母で2乗される点を忘れないように注意しましょう。

この設問における重要なポイント

• 点電荷 \(Q\) が作る電界の公式: \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\)。
• \(Q\): 電界の源となる電荷（ソース電荷）の電気量 \([\text{C}]\)。電界の「強さ」を求める際は、その絶対値を用います。
• \(r\): 電荷からの距離 \([\text{m}]\)。
• \(k\): クーロンの法則の比例定数で、その値は \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) です。この値は問題文で与えられていなくても使えるように覚えておく必要があります。
• 電界の強さは、電荷の大きさ \(|Q|\) に比例し、距離 \(r\) の2乗に反比例します。

具体的な解説と立式
問題文で与えられている物理量を整理します。
電界を作る点電荷の電気量: \(Q = +2.0 \times 10^{-8} \, [\text{C}]\)
電荷が置かれている点Aから電界を求める点Bまでの距離: \(r = 3.0 \, [\text{m}]\)
クーロンの法則の比例定数: \(k = 9.0 \times 10^9 \, [\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2]\)

点電荷 \(Q\) から距離 \(r\) だけ離れた点の電界の強さ \(E\) は、次の公式で与えられます。
$$ E = k \frac{|Q|}{r^2} \quad \cdots ① $$
この式に、上記の値を代入することで、点Bの電界の強さを求めることができます。

式①に、与えられた数値を代入して電界の強さ \(E\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E &= k \frac{|Q|}{r^2} \\[2.0ex]&= (9.0 \times 10^9) \times \frac{|+2.0 \times 10^{-8}|}{(3.0)^2} \\[2.0ex]&= (9.0 \times 10^9) \times \frac{2.0 \times 10^{-8}}{9.0} \\[2.0ex]&= \frac{9.0}{9.0} \times 2.0 \times 10^{9-8} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 2.0 \times 10^1 \\[2.0ex]&= 20 \, [\text{N/C}]\end{aligned}
$$
したがって、点Bにおける電界の強さは \(20 \, \text{N/C}\) となります。

この問題は、公式に数字を当てはめるだけで解ける、電界計算の入門編です。
使う公式は \(E = k \times \displaystyle\frac{Q}{r^2}\) です。

1. それぞれの記号に数字を当てはめます。
   • \(k\) はお決まりの数字で、\(9.0 \times 10^9\)。
   • \(Q\) は電気の量で、今回は \(2.0 \times 10^{-8}\)。
   • \(r\) は距離で、今回は \(3.0\)。公式では2乗するので、\(3.0^2 = 9.0\) となります。
2. これらを公式に代入します。
   \(E = (9.0 \times 10^9) \times \displaystyle\frac{2.0 \times 10^{-8}}{9.0}\)
3. 計算を楽にする工夫をします。
   分母の \(9.0\) と、先頭にある \(9.0 \times 10^9\) の \(9.0\) は、割り算で消えます（約分）。
4. 残った部分を計算します。
   \(E = 10^9 \times 2.0 \times 10^{-8}\)
   \(10\) のべき乗の部分を先に計算すると、\(10^9 \times 10^{-8} = 10^{9-8} = 10^1 = 10\) です。
5. 最後に、残った \(2.0\) と掛け合わせます。
   \(E = 2.0 \times 10 = 20\)。

よって、答えは \(20 \, \text{N/C}\) です。

⑧ 電気力線

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電気力線と等電位面の性質」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、電界を視覚的に表現するための「電気力線」と、電位を視覚的に表現する「等電位面」に関する基本的な性質を問う知識問題です。それぞれの用語が持つ意味と、それらを描く際のルールを正確に覚えていれば、すべての空欄を埋めることができます。一つ一つの文章の意味を丁寧に読み解き、対応する物理法則を思い出しましょう。

この設問における重要なポイント

• 電気力線は、電界の様子を視覚的に表した仮想的な線です。
• 等電位面は、電位が等しい点を結んでできる面（または線）です。
• これらの性質は、電磁気学の様々な現象を直感的に理解する上で非常に重要です。

具体的な解説と立式
この問題は計算式を立てるのではなく、各空欄に当てはまる物理用語の定義を理解することが求められます。

1. 空欄①について
   「電気力線上の各点での接線の方向が、[ ① ]の方向を表しており」という部分です。これは電気力線の最も基本的な定義に関する記述です。電気力線は、各点の電界の向きを連続的につないだ線です。したがって、電気力線上のある点での接線の向きは、その点における「電界」の向きと一致します。
   よって、①は「電界」です。
2. 空欄②について
   「電気力線の分布が[ ② ]なところほど電界が強い」という部分です。これは電気力線が電界の「強さ」をどのように表現しているかについての記述です。電気力線は、その密度（単位面積あたりの本数）で電界の強弱を表します。線が密集しているところほど電界は強く、まばらなところほど電界は弱くなります。
   よって、②は「密」です。
3. 空欄③と④について
   「電気力線は[ ③ ]電荷(または無限遠)から出て[ ④ ]電荷(または無限遠)に入り」という部分です。これは電気力線の始点と終点に関するルールです。電界の向きは「正電荷が受ける力の向き」で定義されるため、正電荷の周りでは電荷から遠ざかる向きに、負電荷の周りでは電荷に近づく向きに電界が生じます。このことから、電気力線は「正」電荷から湧き出し、「負」電荷に吸い込まれるように描かれます。
   よって、③は「正」、④は「負」です。
4. 空欄⑤について
   「また、等電位面とは[ ⑤ ]する」という部分です。これは電気力線と等電位面の関係性についての記述です。もし両者が直交しないと、電界に等電位面に沿った成分が存在することになり、電荷を等電位面に沿って動かすだけで仕事が生じ、電位が変わってしまいます。これは「等電位」であることに矛盾します。したがって、電気力線と等電位面は必ず垂直に交わります。
   よって、⑤は「直交」です。

この問題には計算過程はありません。上記の解説が解答プロセスとなります。

• ① → 電界
• ② → 密
• ③ → 正
• ④ → 負
• ⑤ → 直交

電気力線と等電位面を、山の地形図に例えてみましょう。

• 等電位面は「等高線」です。同じ高さの点を結んだ線ですね。
• 電気力線は「水の流れ」です。水は坂を最も急な方向に流れ落ちます。

これを踏まえて各空欄を見てみましょう。

• ①：水の流れる方向は、その場所の「坂の傾きの方向（電界）」を表します。
• ②：流れが「密集している（密な）」場所は、流れが速く、傾きが急な（電界が強い）場所です。
• ③、④：水は高いところ（正電荷）から湧き出て、低いところ（負電荷）へ流れていきます。
• ⑤：地図を見ると、等高線と水の流れる方向は、必ず「直角（直交）」に交わっています。

⑨ 電気力線の本数

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ガウスの法則と電気力線の本数の定義」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
電気力線の本数は、単なる作図上のルールではなく、「電界の強さ \(E\) は、その点を貫く電気力線の密度（単位面積あたりの本数）に等しい」という物理的な定義に基づいています。この問題では、この定義を点電荷が作る電界に適用して、総本数を計算します。点電荷は空間に均等（等方的）に電気力線を放射するため、電荷を中心とする「球面」を考えて計算を進めるのが最もシンプルで分かりやすい方法です。計算結果から、電気力線の総本数が距離 \(r\) に依存しない、電荷 \(Q\) だけで決まる量であることが導かれます。

この設問における重要なポイント

• ガウスの法則（電気力線の本数）: \(Q \, [\text{C}]\) の電荷から出る（または入る）電気力線の総本数 \(N\) は、\(N = 4\pi k |Q|\) 本と定義されます。ここで \(k\) はクーロンの法則の比例定数です。
• 電界の強さと電気力線の密度の関係: 電界の強さ \(E\) は、電界に垂直な単位面積を貫く電気力線の本数に等しいと定義されます。
• 球の表面積: 半径 \(r\) の球の表面積は \(S = 4\pi r^2\) です。
• この本数の定義は、クーロン力（電界）が距離の2乗に反比例するという性質と密接に関連しており、うまく打ち消し合うように作られています。

具体的な解説と立式
電気量 \(Q\) の正の点電荷を考えます。この電荷から距離 \(r\) 離れた点での電界の強さ \(E\) は、公式より次のように表されます。（\(Q>0\) なので絶対値は不要）
$$ E = k \frac{Q}{r^2} \quad \cdots ① $$
次に、電気力線の定義から考えます。電気力線の総本数を \(N\) 本とします。この電気力線は、点電荷から放射状に均等に出ています。
そこで、点電荷を中心とする半径 \(r\) の球面を考えると、この球面全体を \(N\) 本の電気力線が垂直に貫きます。
この球の表面積は \(S = 4\pi r^2\) です。
球面上の任意の点における電気力線の密度（単位面積あたりの本数）は、総本数 \(N\) を球の表面積 \(S\) で割ったものになります。
「電界の強さは電気力線の密度に等しい」という定義から、電界の強さ \(E\) は次のように表すこともできます。
$$ E = \frac{N}{S} = \frac{N}{4\pi r^2} \quad \cdots ② $$

「具体的な解説と立式」で立てた2つの電界の表現（式①と式②）は、同じ電界 \(E\) を表しているので、等しいとおくことができます。
$$ k \frac{Q}{r^2} = \frac{N}{4\pi r^2} $$
この式を、求めたい電気力線の本数 \(N\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{N}{4\pi r^2} &= k \frac{Q}{r^2} \\[2.0ex]N &= \left( k \frac{Q}{r^2} \right) \times 4\pi r^2 \\[2.0ex]N &= 4\pi k Q
\end{aligned}
$$
この結果から、両辺の \(r^2\) が打ち消し合い、電気力線の総本数 \(N\) は距離 \(r\) にはよらず、電荷 \(Q\) の大きさにのみ比例することがわかります。
したがって、正の電気量 \(Q\) から出る電気力線の本数は \(4\pi k Q\) 本となります。（解答の \(k_0\) は \(k\) と同じクーロンの法則の比例定数を指します。）

裸電球をイメージしてください。

• 電荷 \(Q\) は「電球のワット数（光の源の強さ）」
• 電気力線の総本数 \(N\) は「電球から四方八方に出る光の筋の全本数」
• 電界の強さ \(E\) は、ある場所での「明るさ」

だと考えます。
電球から出る光の筋の総本数 \(N\) は、電球のワット数が決まれば、どこから見ても同じはずです。
一方、ある場所での明るさ \(E\) は、電球から離れるほど暗くなります（距離の2乗に反比例）。
では、この「明るさ」から「光の筋の総本数」を計算してみましょう。
距離 \(r\) での明るさ \(E\) は \(E = k \displaystyle\frac{Q}{r^2}\) です。
この明るさになっているのは、半径 \(r\) の巨大な球の表面全体です。球の表面積は \(4\pi r^2\) です。
したがって、光の筋の総本数 \(N\) は、「明るさ × 全面積」で計算できます。
$$ N = E \times (\text{面積}) = \left(k \frac{Q}{r^2}\right) \times (4\pi r^2) $$
この式を計算すると、\(r^2\) がきれいに約分で消えて、\(N = 4\pi k Q\) となります。
つまり、電気力線の本数は、どの距離で計算しても同じ値になり、電荷 \(Q\) だけで決まることがわかります。

⑩ 電気力による位置エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電位と電気力による位置エネルギー」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、電位と電気力による位置エネルギーという2つの重要な概念の関係を理解しているかを問うています。電位 \(V\) とは、その場所に \(+1 \, \text{C}\) の電荷を置いたときに、その電荷が持つ位置エネルギーのことです。つまり、「単位電気量あたりの位置エネルギー」と考えることができます。したがって、電気量 \(q\) の電荷が持つ位置エネルギー \(U\) は、単位電気量あたりのエネルギー \(V\) に、実際の電気量 \(q\) を掛けるだけで求めることができます。この関係式 \(U=qV\) を知っていれば、あとは数値を代入するだけの基本的な計算問題です。

この設問における重要なポイント

• 電位 \(V\): 電界の中のある点の「電気的な高さ」を表す量。基準点（通常は無限遠）からその点まで、\(+1 \, \text{C}\) の電荷を静かに運ぶのに必要な仕事に等しい。単位はボルト \([\text{V}]\) であり、これは \([\text{J/C}]\) と同じ意味です。
• 電気力による位置エネルギー \(U\): 電界の中のある点に置かれた電気量 \(q\) の電荷が持つ位置エネルギー。基準点からその点まで電荷 \(q\) を運ぶのに必要な仕事に等しい。単位はジュール \([\text{J}]\)。
• 関係式: 上記の定義から、\(U\), \(q\), \(V\) の間には \(U = qV\) という非常にシンプルな関係が成り立ちます。

具体的な解説と立式
問題文で与えられている物理量を整理します。
点Aの電位: \(V = 12 \, [\text{V}]\)
点Aに置かれた点電荷の電気量: \(q = 3.0 \times 10^{-6} \, [\text{C}]\)
求めるのは、この電荷が持つ電気力による位置エネルギー \(U\) です。

電気量 \(q\) の電荷が、電位 \(V\) の点に置かれたときの位置エネルギー \(U\) は、次の公式で与えられます。
$$ U = qV \quad \cdots ① $$
この式に、与えられた値を代入します。

式①に、与えられた数値を代入して位置エネルギー \(U\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
U &= qV \\[2.0ex]&= (3.0 \times 10^{-6}) \times 12 \\[2.0ex]&= 36 \times 10^{-6} \\[2.0ex]&= 3.6 \times 10^1 \times 10^{-6} \\[2.0ex]&= 3.6 \times 10^{-5} \, [\text{J}]\end{aligned}
$$
したがって、電気力による位置エネルギーは \(3.6 \times 10^{-5} \, \text{J}\) となります。

電気の世界を、重力のある世界に例えてみましょう。

• 電位 \(V\) は「高さ」のようなものです。電位が \(12 \, \text{V}\) というのは、「高さが \(12 \, \text{m}\)」のようなイメージです。
• 電気量 \(q\) は「物体の質量」のようなものです。
• 電気力による位置エネルギー \(U\) は「重力による位置エネルギー」に対応します。

重力による位置エネルギーは「質量 × (ある定数) × 高さ」で計算できましたね。電気の世界でも同じような構造になっていて、位置エネルギー \(U\) は「電気量 \(q\) × 電位 \(V\)」という簡単な掛け算で計算できます。
つまり、「\(1 \, \text{C}\) あたり \(12 \, \text{J}\) のエネルギーを持つ場所」に、「\(3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) の電荷」を置いたので、そのエネルギーは
\( (3.0 \times 10^{-6}) \times 12 = 36 \times 10^{-6} = 3.6 \times 10^{-5} \, \text{J} \)
となります。

⑪ 点電荷のまわりの電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「点電荷が作る電位の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、点電荷がその周囲の空間に作る電位を、公式を用いて直接計算する基本的な問題です。電位は「電気的な高さ」とも表現され、その空間の性質を表すスカラー量です。公式 \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) を正しく記憶し、各記号が何を意味するのかを理解して適用することが重要です。
特に、よく似た公式である電界の強さ \(E = k \displaystyle\frac{|Q|}{r^2}\) との違いを意識することが大切です。電位は距離 \(r\) に反比例し、電界は距離の2乗 \(r^2\) に反比例します。また、電位はスカラー量なので電荷 \(Q\) の符号をそのまま計算に用いますが、電界の強さはベクトルの大きさなので電荷の絶対値 \(|Q|\) を用いる点も異なります。

この設問における重要なポイント

• 点電荷 \(Q\) が作る電位の公式: \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\)。
• \(Q\): 電位の源となる電荷の電気量 \([\text{C}]\)。電位はスカラー量なので、\(Q\) の正負の符号をそのまま計算に用います。
• \(r\): 電荷からの距離 \([\text{m}]\)。
• \(k\): クーロンの法則の比例定数で、その値は \(k = 9.0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) です。
• 電位の基準: 問題文に「電位は無限遠点を基準とする」とある通り、通常は無限に遠い点の電位を \(0 \, \text{V}\) とします。

具体的な解説と立式
問題文で与えられている物理量を整理します。
電位を作る点電荷の電気量: \(Q = +2.0 \times 10^{-8} \, [\text{C}]\)
電荷が置かれている点Aから電位を求める点Bまでの距離: \(r = 3.0 \, [\text{m}]\)
クーロンの法則の比例定数: \(k = 9.0 \times 10^9 \, [\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2]\)

点電荷 \(Q\) から距離 \(r\) だけ離れた点の電位 \(V\) は、次の公式で与えられます。
$$ V = k \frac{Q}{r} \quad \cdots ① $$
この式に、上記の値を代入することで、点Bの電位を求めることができます。

式①に、与えられた数値を代入して電位 \(V\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= k \frac{Q}{r} \\[2.0ex]&= (9.0 \times 10^9) \times \frac{+2.0 \times 10^{-8}}{3.0} \\[2.0ex]&= \frac{9.0}{3.0} \times 2.0 \times 10^{9-8} \\[2.0ex]&= 3.0 \times 2.0 \times 10^1 \\[2.0ex]&= 6.0 \times 10 \\[2.0ex]&= 60 \, [\text{V}]\end{aligned}
$$
したがって、点Bにおける電位は \(60 \, \text{V}\) となります。

この問題は、電位を求める公式 \(V = k \times \displaystyle\frac{Q}{r}\) に数字を当てはめるだけで解くことができます。

1. それぞれの記号に数字を当てはめます。
   • \(k\) はお決まりの数字で、\(9.0 \times 10^9\)。
   • \(Q\) は電気の量で、今回は \(+2.0 \times 10^{-8}\)。
   • \(r\) は距離で、今回は \(3.0\)。電界と違って2乗しないので注意しましょう。
2. これらを公式に代入します。
   \(V = (9.0 \times 10^9) \times \displaystyle\frac{2.0 \times 10^{-8}}{3.0}\)
3. 計算しやすいように、まず \(9.0\) を \(3.0\) で割ります。
   \(9.0 \div 3.0 = 3.0\)
4. 残った部分を計算します。
   \(V = 3.0 \times (2.0 \times 10^{-8}) \times 10^9\)
   数字の部分は \(3.0 \times 2.0 = 6.0\)。
   \(10\) のべき乗の部分は \(10^9 \times 10^{-8} = 10^{9-8} = 10^1 = 10\)。
5. 最後に、これらを掛け合わせます。
   \(V = 6.0 \times 10 = 60\)。

よって、答えは \(60 \, \text{V}\) です。

⑫ 外力や電界のする仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電位差と仕事の関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、電荷を電界中で動かすときの「仕事」について問うています。ポイントは、「誰が」した仕事なのかを明確に区別することです。この問題では「外力」と「電界」の2者が登場します。
「ゆっくり運ぶ」という条件は、電荷の運動エネルギーが変化しないことを意味します。このとき、外力がする仕事 \(W\) は、すべて位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) に変換されます。一方、電界のような保存力がする仕事 \(W’\) は、位置エネルギーの変化とは符号が逆になります。
まず、位置エネルギーの変化 \(\Delta U = q\Delta V\) を計算し、それを元に \(W\) と \(W’\) を求めるのが最も確実な方法です。
特に、電荷 \(q\) が負であることに注意が必要です。負電荷は電位が高い方へ行こうとする性質があるため、電界は電荷を運ぶのを「手伝う」向きに力を及ぼします。そのため、電界の仕事は正になります。それに逆らって「ゆっくり」運ぶための外力は、移動方向と逆向きにブレーキをかけるような力になるため、外力の仕事は負になります。

この設問における重要なポイント

• 位置エネルギーの変化と電位差の関係: \(\Delta U = q\Delta V\)。
  • \(\Delta U\): 位置エネルギーの変化 \([\text{J}]\)
  • \(q\): 運ぶ電荷の電気量 \([\text{C}]\)
  • \(\Delta V\): 電位差（後の電位 – 前の電位） \([\text{V}]\)
• 外力のする仕事 \(W\): \(W = \Delta U = q\Delta V\)。外力がした仕事は、そのまま位置エネルギーの増加分になります。
• 電界（保存力）のする仕事 \(W’\): \(W’ = -\Delta U = -q\Delta V\)。保存力がする仕事は、位置エネルギーの減少分になります。
• 外力と電界の仕事の関係: 「ゆっくり運ぶ」場合、外力と電界の力はつり合っているため、仕事の関係は \(W = -W’\) となります。

具体的な解説と立式
問題文で与えられている物理量を整理します。
運ぶ電荷の電気量: \(q = -2.0 \times 10^{-4} \, [\text{C}]\)
電位差: \(\Delta V = +200 \, [\text{V}]\) （電位が200Vだけ「高い」ところへ運んだため）

外力のする仕事を \(W\)、電界のする仕事を \(W’\) とします。
これらの仕事は、位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) を介して次のように関連付けられます。
まず、位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、
$$ \Delta U = q\Delta V \quad \cdots ① $$
外力のする仕事 \(W\) は、この位置エネルギーの変化に等しくなります。
$$ W = \Delta U \quad \cdots ② $$
電界のする仕事 \(W’\) は、外力のする仕事と符号が逆になります。
$$ W’ = -W \quad \cdots ③ $$

まず、外力のする仕事 \(W\) を計算します。式①と②から、\(W = q\Delta V\) となります。
$$
\begin{aligned}
W &= q\Delta V \\[2.0ex]&= (-2.0 \times 10^{-4}) \times (+200) \\[2.0ex]&= -400 \times 10^{-4} \\[2.0ex]&= -4.0 \times 10^2 \times 10^{-4} \\[2.0ex]&= -4.0 \times 10^{-2} \, [\text{J}]\end{aligned}
$$
次に、電界のする仕事 \(W’\) を計算します。式③の関係 \(W’ = -W\) を使うのが最も簡単です。
$$
\begin{aligned}
W’ &= -W \\[2.0ex]&= -(-4.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^{-2} \, [\text{J}]\end{aligned}
$$
したがって、外力のする仕事は \(-4.0 \times 10^{-2} \, \text{J}\)、電界のする仕事は \(4.0 \times 10^{-2} \, \text{J}\) となります。

この状況を、坂道で荷物を運ぶことに例えてみましょう。

• 電位が高い = 標高が高い。今回は「標高が200m高い場所へ」荷物を運びます。
• 電荷がマイナス = 荷物が「ヘリウムガス入りの風船」。風船は自然に上（標高が高い方）へ行こうとします。
• 電界 = 重力。重力は風船を上に押し上げようとします。
• 外力 = 運ぶ人の力。

1. 電界のする仕事
   風船を200m高い場所へ運ぶとき、重力（電界）は風船が上へ行くのを「手伝って」くれます。なので、電界のする仕事はプラスになります。
2. 外力のする仕事
   風船が勝手に飛んでいかないように「ゆっくり」運ぶには、人が上から手で押さえつけながら（ブレーキをかけながら）運ぶ必要があります。人の力（外力）は、運ぶ方向とは逆向きにかかっています。そのため、外力のする仕事はマイナスになります。

計算では、まず位置エネルギーがどれだけ変化したかを \(q \times \Delta V\) で求め、それが「外力の仕事」になると覚えるのが便利です。

• 位置エネルギーの変化 = \((-2.0 \times 10^{-4}) \times 200 = -4.0 \times 10^{-2} \, \text{J}\)
• 外力の仕事 = 位置エネルギーの変化 = \(-4.0 \times 10^{-2} \, \text{J}\)
• 電界の仕事 = 外力の仕事の逆符号 = \(+4.0 \times 10^{-2} \, \text{J}\)

⑬ 一様な電界と電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電界における電位差の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、一様な電界中での電位差を求める最も基本的な問題です。「一様な電界」とは、電気力線が平行で等間隔になっているような、どこでも強さと向きが一定の電界のことです。平行板コンデンサーの極板間などが代表例です。
このような特殊な状況では、電位差 \(V\)、電界の強さ \(E\)、電界に沿った距離 \(d\) の間に \(V=Ed\) という非常にシンプルな関係が成り立ちます。この公式を覚えていれば、あとは問題文の数値を代入するだけで解くことができます。
特に、電界の単位が \([\text{V/m}]\) で与えられている点に注目すると、公式の意味がより直感的に理解できます。これは「電界に沿って1メートル進むごとに、電位が何ボルト変化するか」という「電位の傾き」を表しています。

この設問における重要なポイント

• 一様な電界と電位差の関係式: \(V = Ed\)。
  • \(V\): 電位差 \([\text{V}]\)
  • \(E\): 一様な電界の強さ \([\text{V/m}]\) または \([\text{N/C}]\)
  • \(d\): 電界に沿った距離 \([\text{m}]\)
• 電界の単位: \([\text{V/m}]\) と \([\text{N/C}]\) は等価です (\(1 \, \text{V/m} = 1 \, \text{N/C}\))。
• 電界と電位の関係: 電界は、電位が最も急に減少する向きとその割合（傾き）を表します。一様な電界では、この電位の傾きが一定です。

具体的な解説と立式
問題文で与えられている物理量を整理します。
一様な電界の強さ: \(E = 2.0 \, [\text{V/m}]\)
電界に沿った距離: \(d = 3.0 \, [\text{m}]\)
求めるのは、この2点間の電位差 \(V\) です。

一様な電界中において、電界の強さ \(E\) と、電界に沿って距離 \(d\) だけ離れた2点間の電位差 \(V\) には、次の関係があります。
$$ V = Ed \quad \cdots ① $$
この式に、与えられた値を代入します。

式①に、与えられた数値を代入して電位差 \(V\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= Ed \\[2.0ex]&= 2.0 \times 3.0 \\[2.0ex]&= 6.0 \, [\text{V}]\end{aligned}
$$
したがって、2点間の電位差は \(6.0 \, \text{V}\) となります。

一様な電界を「傾きが一定のなめらかな坂道」だとイメージしてみましょう。

• 電界の強さ \(E\) は「坂の傾き」を表します。
• \(E = 2.0 \, \text{V/m}\) というのは、「坂に沿って1m進むごとに、高さ（電位）が2.0Vずつ低くなる」ということを意味します。

今回は、この坂を「\(3.0 \, \text{m}\)」だけ進みました。
1mあたり2.0Vずつ高さが変わるのですから、3.0m進めば、その高さの変化（電位差）は、
\( 2.0 \, [\text{V/m}] \times 3.0 \, [\text{m}] = 6.0 \, [\text{V}] \)
となります。
このように、\(V=Ed\) の公式は「（1mあたりの高さの変化）×（進んだ距離）＝（全体の高さの変化）」という、ごく自然な計算をしているだけなのです。

⑭ 荷電粒子の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電場中での荷電粒子の運動とエネルギー保存則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、力学で学んだ「エネルギー保存則」を電磁気学の場面に応用する典型的な問題です。荷電粒子に働く力は静電気力のみであり、これは保存力です。したがって、荷電粒子の「運動エネルギー」と「静電気力による位置エネルギー」の和は、運動の前後で一定に保たれます。
この問題では、点A（スタート地点）と点B（ゴール地点）という2つの時点でのエネルギーを比較します。問題文の「静かに置いた」という記述から、点Aでの初速度は \(0\) であることがわかります。また、点Aと点Bの電位が与えられているため、それぞれの点での位置エネルギーを \(U=qV\) の式から計算できます。
エネルギー保存則の式を立てると、未知数は点Bでの速さ \(v\) だけになるため、方程式を解くことで答えを導き出すことができます。

この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則（電場中）: 荷電粒子が静電気力のみを受けて運動する場合、その運動エネルギー \(K\) と静電気力による位置エネルギー \(U\) の和は一定に保たれます。
  $$ K + U = \text{一定} $$
  $$ \frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定} $$
• 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。
• 静電気力による位置エネルギー: \(U = qV\)。
• 問題文で与えられている数値を、それぞれの物理量に正確に対応させて式に代入することが重要です。

具体的な解説と立式
点Aと点Bにおける荷電粒子の状態を整理します。
点Aでの状態:

• 電位: \(V_{\text{A}} = 6.0 \, [\text{V}]\)
• 速さ: \(v_{\text{A}} = 0 \, [\text{m/s}]\) (「静かに置いた」ため)

点Bでの状態:

• 電位: \(V_{\text{B}} = 0 \, [\text{V}]\)
• 速さ: \(v_{\text{B}} = v\) (求める速さ)

荷電粒子の情報:

• 質量: \(m = 3.0 \times 10^{-6} \, [\text{kg}]\)
• 電気量: \(q = 1.6 \times 10^{-7} \, [\text{C}]\)

荷電粒子は静電気力のみを受けて運動するため、エネルギー保存則が成り立ちます。
(点Aでのエネルギーの和) = (点Bでのエネルギーの和)
$$ \frac{1}{2}mv_{\text{A}}^2 + qV_{\text{A}} = \frac{1}{2}mv_{\text{B}}^2 + qV_{\text{B}} $$

立式したエネルギー保存則に、具体的な数値を代入します。
$$ \frac{1}{2} \times (3.0 \times 10^{-6}) \times 0^2 + (1.6 \times 10^{-7}) \times 6.0 = \frac{1}{2} \times (3.0 \times 10^{-6}) \times v^2 + (1.6 \times 10^{-7}) \times 0 $$
この式を整理して、\(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 + 9.6 \times 10^{-7} &= (1.5 \times 10^{-6}) \times v^2 + 0 \\[2.0ex](1.5 \times 10^{-6}) v^2 &= 9.6 \times 10^{-7} \\[2.0ex]v^2 &= \frac{9.6 \times 10^{-7}}{1.5 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]v^2 &= \frac{9.6}{1.5} \times 10^{-7 – (-6)} \\[2.0ex]v^2 &= 6.4 \times 10^{-1} \\[2.0ex]v^2 &= 0.64
\end{aligned}
$$
\(v > 0\) なので、平方根をとって速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{0.64} \\[2.0ex]&= 0.80 \, [\text{m/s}]\end{aligned}
$$
したがって、点Bを通過するときの速さは \(0.80 \, \text{m/s}\) となります。

この現象を、ジェットコースターに例えてみましょう。

• 点Aは「高さ \(6.0 \, \text{m}\) の丘の上（電位が高い）」で「止まっている（静かに置いた）」状態です。
• 点Bは「高さ \(0 \, \text{m}\) の地面（電位が0）」で、ここで最もスピードが出ている状態です。

物理の基本ルールに「エネルギー保存則」があります。これは「位置エネルギーと運動エネルギーの合計は常に一定」というものです。

• 点Aでは、止まっているので運動エネルギーは \(0\)。その代わり、高い場所にあるので位置エネルギーが最大です。
• 点Bでは、地面にいるので位置エネルギーは \(0\)。その代わり、最も速いので運動エネルギーが最大です。

つまり、丘の上で持っていた位置エネルギーが、地面に下りてきたときにはすべて運動エネルギーに変わった、と考えることができます。
「点Aでの位置エネルギー」 = 「点Bでの運動エネルギー」
という等式を立てます。

• 点Aの位置エネルギー: \(U_A = qV_A = (1.6 \times 10^{-7}) \times 6.0 = 9.6 \times 10^{-7} \, \text{J}\)
• 点Bの運動エネルギー: \(K_B = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = \displaystyle\frac{1}{2} \times (3.0 \times 10^{-6}) \times v^2\)

この2つが等しいので、
\( 9.6 \times 10^{-7} = \displaystyle\frac{1}{2} \times (3.0 \times 10^{-6}) \times v^2 \)
という方程式を解けば、速さ \(v\) が求まります。

例題

例題66 電界と電位

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の点電荷が作る電界と電位」です。グラフから運動の様子を読み取るための基本的な知識が試されます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、電界（ベクトル）と電位（スカラー）の合成方法の違いを正しく理解しているかが問われます。電界は力の向きと大きさを持つためベクトルとして合成する必要があり、図形的な考察が重要になります。一方、電位は向きを持たない量なので、単純な足し算（代数和）で計算できます。問題の対称性を利用すると、計算を簡略化できます。
この設問における重要なポイント

• 電界はベクトル量：合成はベクトル和（力の合成と同じ）。向きを考慮する。
• 電位はスカラー量：合成は代数和（普通の足し算）。電荷の符号に注意する。
• 点電荷\(q\)が距離\(r\)の点に作る電界の強さ：\(E = k \displaystyle\frac{|q|}{r^2}\)。
• 点電荷\(q\)が距離\(r\)の点に作る電位：\(V = k \displaystyle\frac{q}{r}\)。電位の計算では電荷\(q\)の符号をそのまま使う。
• 負電荷が作る電界の向きは、その電荷に「向かう」向き。

具体的な解説と立式
まず、点Cにおける電界の強さ\(E_{\text{C}}\)を求め、次に電位\(V_{\text{C}}\)を求めます。

電界の強さ \(E_{\text{C}}\)
点Aの電荷\(-Q\)が点Cに作る電界を\(\vec{E}_{\text{A}}\)、点Bの電荷\(-Q\)が点Cに作る電界を\(\vec{E}_{\text{B}}\)とします。
点A, Bから点Cまでの距離は、正三角形の1辺の長さなので、ともに\(2a\)です。
したがって、\(\vec{E}_{\text{A}}\)と\(\vec{E}_{\text{B}}\)の大きさ\(E_{\text{A}}\), \(E_{\text{B}}\)は等しくなります。その大きさは、
$$
\begin{aligned}
E_{\text{A}} &= k \frac{|-Q|}{(2a)^2} \\[2.0ex]&= \frac{kQ}{4a^2} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
となり、\(E_{\text{B}}\)も同じ大きさです。
電界の向きは、負電荷に向かう向きなので、\(\vec{E}_{\text{A}}\)はCからAの向き、\(\vec{E}_{\text{B}}\)はCからBの向きとなります。
点Cにおける合成電界\(\vec{E}_{\text{C}}\)は、\(\vec{E}_{\text{C}} = \vec{E}_{\text{A}} + \vec{E}_{\text{B}}\)で求められます。
図からわかるように、\(\vec{E}_{\text{A}}\)と\(\vec{E}_{\text{B}}\)のなす角は\(60^\circ\)です。対称性から、合成電界\(\vec{E}_{\text{C}}\)は辺ABに対して垂直下向きとなります。
その大きさ\(E_{\text{C}}\)は、それぞれのベクトルの鉛直成分の和に等しくなります。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{C}} &= E_{\text{A}} \cos 30^\circ + E_{\text{B}} \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 2 E_{\text{A}} \cos 30^\circ \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

電位 \(V_{\text{C}}\)
点Aの電荷\(-Q\)が点Cに作る電位を\(V_{\text{A}}\)、点Bの電荷\(-Q\)が点Cに作る電位を\(V_{\text{B}}\)とします。
電位はスカラー量なので、向きは考えず、単純な和で合成電位\(V_{\text{C}}\)を求めます。
電位の公式\(V = k \displaystyle\frac{q}{r}\)に、電荷\(q=-Q\)、距離\(r=2a\)を代入すると、\(V_{\text{A}}\)と\(V_{\text{B}}\)は等しくなります。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{A}} &= k \frac{(-Q)}{2a} \\[2.0ex]&= -\frac{kQ}{2a} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
となり、\(V_{\text{B}}\)も同じ値です。
点Cにおける合成電位\(V_{\text{C}}\)は、これらの代数和となります。
$$ V_{\text{C}} = V_{\text{A}} + V_{\text{B}} \quad \cdots ④ $$

電界の強さ \(E_{\text{C}}\) の計算:
式②に式①を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{C}} &= 2 \times \left( \frac{kQ}{4a^2} \right) \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 2 \times \frac{kQ}{4a^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}kQ}{4a^2}
\end{aligned}
$$

電位 \(V_{\text{C}}\) の計算:
式④に式③を代入します。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{C}} &= \left( -\frac{kQ}{2a} \right) + \left( -\frac{kQ}{2a} \right) \\[2.0ex]&= – \frac{2kQ}{2a} \\[2.0ex]&= – \frac{kQ}{a}
\end{aligned}
$$

この問題は「電界」と「電位」という2つの量を求めます。
「電界」は力の向きと強さ（ベクトル）なので、合成するときは綱引きのように力の合成を考えます。点Aと点Bにあるマイナス電荷が、点Cをそれぞれ引っ張ります。この2つの力は同じ強さで、ちょうど60度の角度で引っ張っています。図を描いて力の合成をすると、左右の力は打ち消し合い、真下向きの力だけが残ります。この真下向きの力を三角比を使って計算したものが電界の強さの答えです。
一方、「電位」は電気的な高さ（スカラー）で、向きがありません。そのため、計算はとてもシンプルです。点Aの電荷が作る高さと、点Bの電荷が作る高さをそれぞれ計算し、単純に足し合わせるだけです。今回は2つとも同じマイナスの高さなので、それを2倍（足し算）したものが電位の答えになります。

点Cにおける電界の強さは \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}kQ}{4a^2}\) [N/C]、電位は \(-\displaystyle\frac{kQ}{a}\) [V] です。
電界はベクトル量として正しく合成され、向きはABに垂直下向きとなります。電位はスカラー量として代数和が計算され、負電荷による電位なので負の値となっており、物理的に妥当な結果です。電界と電位の扱いの違いを明確に理解することが重要です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電界と電位の基本性質の理解:
  • 核心: 電界が「ベクトル量」であり、電位が「スカラー量」であるという根本的な違いを理解し、それぞれの合成方法を正しく使い分けることがこの問題の全てです。
  • 理解のポイント:
    • 電界（\(\vec{E}\)）: 空間の各点での「力の向きと大きさ」を表すベクトル。複数の電荷が作る電界を合成する際は、ベクトルの和（力の合成と同じ）を計算します。
    • 電位（\(V\)）: 空間の各点での「電気的な位置エネルギーの高さ」を表すスカラー。複数の電荷が作る電位を合成する際は、単純な数値の和（代数和）を計算します。
• 点電荷の公式の適用:
  • 核心: 点電荷\(q\)が距離\(r\)の点に作る電界の強さ\(E = k \displaystyle\frac{|q|}{r^2}\)と電位\(V = k \displaystyle\frac{q}{r}\)の公式を正確に記憶し、適用できること。
  • 理解のポイント:
    • 電界の公式では電荷の絶対値\(|q|\)を使い、向きは別途図で考えます（正電荷なら遠ざかる向き、負電荷なら向かう向き）。
    • 電位の公式では電荷の符号\(q\)をそのまま使い、計算結果の正負がそのまま電位の正負になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電気双極子: 正負の電荷がペアで置かれている場合。遠方での電界や電位を求める問題。
  • 四角形の頂点に電荷が置かれた問題: 対称性がより複雑になり、ベクトルの分解や合成の計算がより重要になります。対角線の交点など、対称性の高い点での電界・電位を問われることが多いです。
  • 電界が0になる点の探索: 複数の電荷が一直線上にあるとき、それらが作る電界が打ち消しあって0になる点を探す問題。力のつり合いとして考えます。
  • 電位が0になる点の探索: 正負の電荷がある場合、電位が0になる点の集合（等電位線・面）を求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「電界」を問われているのか「電位」を問われているのかを確認する。これにより、ベクトル和かスカラー和か、計算の方針が確定します。
  2. 図を描き、電荷の配置と問われている点の位置関係を把握する。特に、距離や角度を正確に書き込むことが重要です。
  3. 対称性を見つける。この問題のように、電荷の大きさや距離が等しい場合、計算が大幅に簡略化できます。対称性があれば、合成ベクトルのおおよその向きを予測できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電界と電位の合成方法の混同:
  • 誤解: 電界の大きさを、単純に\(E_{\text{A}}\)と\(E_{\text{B}}\)の大きさを足し算してしまう（\(E_{\text{C}} = E_{\text{A}} + E_{\text{B}}\)としてしまう）。
  • 対策: 「電界はベクトル、電位はスカラー」と常に唱える。電界を求めるときは、必ず図を描いてベクトルの矢印を書き込み、力の合成（平行四辺形の法則や成分分解）を行う癖をつける。
• 電界の向きの間違い:
  • 誤解: 負電荷\(-Q\)が作る電界の向きを、電荷から遠ざかる向きだと勘違いする。
  • 対策: 電界の向きの定義「その点に+1Cの試験電荷を置いたときに受ける力の向き」を思い出す。負電荷は正電荷を「引きつける」ので、電界は負電荷に「向かう」向きになると覚える。
• 電位の計算での符号ミス:
  • 誤解: 電位の公式\(V = k \displaystyle\frac{q}{r}\)に、電荷の絶対値を入れてしまう。あるいは、最終的な足し算で符号を間違える。
  • 対策: 電位の公式では「電荷\(q\)の符号をそのまま代入する」とルール化して覚える。\(V_{\text{C}} = V_{\text{A}} + V_{\text{B}}\)の計算では、\(V_{\text{A}}\)と\(V_{\text{B}}\)の値をカッコに入れて代入すると、符号ミスが減ります。例: \(V_{\text{C}} = (-\frac{kQ}{2a}) + (-\frac{kQ}{2a})\)。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電界の重ね合わせの原理 (\(\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\)):
  • 選定理由: 点Cには、点Aの電荷と点Bの電荷の両方から力が及ぶため、その影響をすべて考慮する必要があります。電界は「+1Cあたりの力」なので、複数の電荷からの力を合成するのと同じ考え方（重ね合わせ）を適用します。
  • 適用根拠: 電磁気学では、複数の源が作る場は、それぞれの源が単独で作る場のベクトル和（またはスカラー和）で表せるという「重ね合わせの原理」が広く成り立ちます。これは、電磁気学の基本法則（マクスウェル方程式）が線形であることに由来します。
• 電位の重ね合わせの原理 (\(V = V_1 + V_2\)):
  • 選定理由: 電位は「+1Cあたりの位置エネルギー」です。位置エネルギーはスカラー量であり、複数の要因によるエネルギーは単純な和で計算できます。そのため、各電荷が作る電位をそれぞれ計算し、代数和をとることで全体の電位を求めます。
  • 適用根拠: 電界と同様に、電位についても重ね合わせの原理が成り立ちます。ベクトル計算が不要なため、電界を求めるよりも計算が容易になることが多いです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図の活用: 電界のベクトル合成では、必ずフリーハンドでも良いので図を描く。特に、ベクトルの分解に使う角度（この問題では\(30^\circ\)）を正確に図に書き込むことが重要です。
• 対称性の利用: この問題では\(E_{\text{A}}=E_{\text{B}}\)となる対称性から、計算が\(2 E_{\text{A}} \cos 30^\circ\)と簡潔になりました。対称性を見抜くことで、計算量を減らし、ミスを未然に防ぐことができます。
• 三角比の確認: \(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\)などの基本的な三角比の値は、うろ覚えにせず、単位円をイメージするなどして毎回正確に導出または確認する。
• 分数の整理: \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}kQ}{4a^2}\)のような最終的な答えに至る過程で、分子と分母の係数（2や\(\sqrt{3}\)など）の約分や整理を慎重に行う。特に、文字式が多くなると混乱しやすいため、一つ一つのステップを丁寧に進めることが大切です。

例題67 クーロンの法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「クーロン力と力のつり合い」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、静電気力（クーロン力）が関わる、力学の「力のつり合い」の問題です。物体が静止している、という情報から「合力は0」という条件を導き、式を立てることが基本方針となります。
小球にはたらく力は、重力、糸の張力、そしてもう一方の小球からの電気的な反発力の3つです。これらの3つの力がつり合っている状態を、力のベクトル図や成分分解を用いて数式で表現することができれば、あとは計算を進めるだけです。クーロン力を計算するために必要な小球間の距離を、問題文で与えられた図形情報（糸の長さ\(L\)と、なす角\(90^\circ\)）から正確に求めることが最初のステップになります。
この設問における重要なポイント

• 物体が静止している場合、その物体にはたらく力の合力は0である。
• クーロンの法則：2つの点電荷\(q_1, q_2\)が距離\(r\)だけ離れているとき、及ぼしあう力の大きさは \(F = k_0 \displaystyle\frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) で与えられる。
• 力のつり合いは、水平・鉛直成分に分解して考えるか、3つの力のベクトルを閉じた三角形（力のベクトル図）で考えることで立式できる。
• 問題文の図形的条件を正しく読み取り、計算に必要な距離や角度を求める。

具体的な解説と立式
まず、2つの小球間の距離\(r\)を求めます。
点Oと2つの小球の位置を結んでできる三角形は、辺の長さが\(L, L\)で、その間の角（頂角）が\(90^\circ\)の直角二等辺三角形です。したがって、斜辺にあたる小球間の距離\(r\)は、三平方の定理より、
$$
\begin{aligned}
r &= \sqrt{L^2 + L^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{2L^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{2}L
\end{aligned}
$$
となります。

次に、一方の小球（例えば右側）にはたらく力を考えます。

1. 重力 \(mg\)（鉛直下向き）
2. 糸の張力 \(T\)（糸に沿って斜め上向き、鉛直線と\(45^\circ\)の向き）
3. 電気力 \(F\)（水平左向き）

これらの3つの力がつり合っています。
電気力\(F\)の大きさは、クーロンの法則より、
$$ F = k_0 \frac{q^2}{r^2} = k_0 \frac{q^2}{(\sqrt{2}L)^2} \quad \cdots ① $$

力のつり合いの式を立てます。
図より、張力\(\vec{T}\)は、重力\(\vec{mg}\)と電気力\(\vec{F}\)の合力とつり合っています。
\(\vec{F}\)（水平）と\(\vec{mg}\)（鉛直）は直交しており、張力\(\vec{T}\)の向きは鉛直線と\(45^\circ\)の角をなします。
したがって、力のつり合いの関係は、
$$ \tan 45^\circ = \frac{F}{mg} \quad \cdots ② $$
と表すことができます。

式②より、\(F = mg \tan 45^\circ\) となります。
\(\tan 45^\circ = 1\) なので、\(F = mg\) となります。
この関係を式①に代入します。
$$ k_0 \frac{q^2}{(\sqrt{2}L)^2} = mg $$
この式を\(q\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
k_0 \frac{q^2}{2L^2} &= mg \\[2.0ex]q^2 &= \frac{2mgL^2}{k_0}
\end{aligned}
$$
問題文より\(q\)は正電荷なので \(q>0\) です。したがって、
$$
\begin{aligned}
q &= \sqrt{\frac{2mgL^2}{k_0}} \\[2.0ex]&= L \sqrt{\frac{2mg}{k_0}}
\end{aligned}
$$

小球は空中でピタッと止まっているので、小球にはたらく3つの力、すなわち「重力（下向き）」、「電気の力（横向き）」、「糸が引く力（斜め上向き）」が完全につり合っている状態です。
まず、2つの小球がどれくらい離れているかを計算します。図を見ると、支点Oと2つの小球で直角二等辺三角形ができています。三平方の定理を使うと、小球間の距離は\(\sqrt{2}L\)だとわかります。
次に、力のつり合いを考えます。糸が引く力は、重力と電気の力を合わせた力とちょうど反対向きで同じ大きさになっています。力の関係を図に描くと、糸の角度が\(45^\circ\)であることから、「電気の力」と「重力」の大きさの比が \(\tan 45^\circ\) になることがわかります。\(\tan 45^\circ = 1\) なので、これは「電気の力」と「重力」の大きさが等しいことを意味します。
この「電気の力 \(=\) 重力」という関係式に、クーロンの法則の公式と重力の式(\(mg\))をそれぞれ代入し、求めたい電気量\(q\)について解けば、答えを導き出すことができます。

与えられた正電荷\(q\)の大きさは \(L \sqrt{\displaystyle\frac{2mg}{k_0}}\) [C] です。
この結果は、与えられた物理量 \(L, m, g, k_0\) のみで表されています。
物理的に考えて、小球の質量\(m\)が大きくなる（重力が大きくなる）と、同じ角度だけ開くためにはより強い反発力が必要になるため、\(q\)は大きくなるはずです。式を見ると\(q\)は\(m\)の平方根に比例しており、この関係と一致します。
また、糸の長さ\(L\)が長くなると、同じ角度開くにも小球間の距離が広がり、より強い力が必要になるため、\(q\)は大きくなるはずです。式でも\(q\)は\(L\)に比例しており、妥当な結果と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いとクーロンの法則の融合:
  • 核心: この問題は、静電気学の「クーロンの法則」と、力学の「力のつり合い」という、異なる分野の基本法則を組み合わせて解く典型的な問題です。物体が静止しているという条件から、作用する全ての力（重力、張力、電気力）のベクトル和がゼロになる、という力学の原理を適用することが出発点となります。
  • 理解のポイント:
    • ステップ1（力学）: 着目する物体（小球）を決め、作用する力を全て図示する。
    • ステップ2（力学）: 物体が静止しているので、力のつり合いの式を立てる。
    • ステップ3（静電気学）: 電気力の大きさを、クーロンの法則を用いて電荷\(q\)と距離\(r\)で表す。
    • ステップ4（数学）: これらを連立させて、未知数（この場合は\(q\)）を求める。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 角度が未知数の問題: 逆に電荷\(q\)が与えられていて、つり合いの角度\(\theta\)を求める問題。この場合、\(\tan\theta\)を含む方程式を解くことになります。
  • 非対称な問題: 2つの小球の質量や電荷が異なる場合。それぞれの小球にはたらく力のつり合いを別々に考える必要があります（ただし、作用・反作用の法則から電気力の大きさは互いに等しい）。
  • 3つ以上の電荷のつり合い: 一直線上に3つの電荷を置き、中央の電荷が受ける力が0になる条件などを求める問題。
  • 電界中でのつり合い: 一様な電界中に帯電した小球を吊るし、つり合いの位置や角度を求める問題。この場合、クーロン力\(F=k\frac{q_1q_2}{r^2}\)の代わりに、電界による力\(F=qE\)を用います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「静止」「つり合った」というキーワードを探す。これがあれば、力のつり合いの問題だと判断できます。
  2. 力を図示する。重力、張力、ばねの力、摩擦力、そして電気力など、考えられる力を漏れなく描き出すことが最も重要です。
  3. 力のつり合いの立式方法を選択する。
     • 水平・鉛直成分に分解する方法: ほとんどの問題で使える万能な方法。\(T\sin 45^\circ = F\), \(T\cos 45^\circ = mg\)のように立式する。
     • ベクトル図（閉じた三角形）で考える方法: 3つの力がつり合う場合に特に有効。力のベクトルを繋げて閉じた三角形を作り、辺の比と三角比（\(\tan\theta\)など）の関係から立式する。今回の模範解答はこちらのアプローチです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 小球間の距離の計算ミス:
  • 誤解: 小球間の距離を\(L\)や\(2L\)としてしまう。
  • 対策: 問題の図をよく見て、幾何学的な関係を正確に把握する。この問題では、支点Oと2つの小球が作る三角形がどのような形か（直角二等辺三角形）を見抜くことが鍵。三平方の定理や三角比を正しく使い、距離を計算する。
• クーロンの法則の適用の間違い:
  • 誤解: 距離\(r\)を2乗し忘れる（\(F = k_0 \frac{q^2}{r}\)としてしまう）。
  • 対策: クーロンの法則の公式 \(F = k_0 \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) を正確に覚える。「距離の2乗に反比例する」と、言葉でも覚えておくとミスが減ります。
• 力のつり合いの立式ミス:
  • 誤解: 張力\(T\)と重力\(mg\)、電気力\(F\)の大きさの単純な足し引きで式を立てようとする（例: \(T = mg + F\)）。
  • 対策: 力はベクトル量であることを常に意識する。必ず、成分分解するか、ベクトル図を描くかして、向きを考慮した上で式を立てる。特に、斜め方向の力（張力）は、そのままでは他の力と計算できないため、分解するのが基本です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合い (\(\tan 45^\circ = \frac{F}{mg}\)):
  • 選定理由: この問題では、小球にはたらく3つの力（重力、電気力、張力）がつり合っています。重力（鉛直）と電気力（水平）は直交しているため、この2力の合力は、張力と大きさが等しく逆向きになります。この力のベクトル図を描くと、直角三角形が現れます。その辺の比が\(\tan\theta\)で表せるため、この関係式を用いるのが最も簡潔です。
  • 適用根拠: 3つのベクトル\(\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}\)の和がゼロ（\(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}\)）のとき、これらは閉じた三角形を形成します。特に、\(\vec{B}\)と\(\vec{C}\)が直交している場合、\(\vec{A}\)と\(\vec{C}\)のなす角を\(\theta\)とすると、\(|\vec{B}| = |\vec{A}|\sin\theta\), \(|\vec{C}| = |\vec{A}|\cos\theta\)となり、\(\tan\theta = \frac{|\vec{B}|}{|\vec{C}|}\)という関係が成り立ちます。今回は\(\vec{A}\)が張力、\(\vec{B}\)が電気力、\(\vec{C}\)が重力に対応します。
• クーロンの法則 (\(F = k_0 \frac{q^2}{r^2}\)):
  • 選定理由: 問題で求めたいのは電荷\(q\)であり、小球間にはたらく電気力\(F\)と\(q\)を結びつける唯一の法則がクーロンの法則だからです。
  • 適用根拠: クーロンの法則は、2つの点電荷間に働く力の大きさを記述する、静電気学の基本法則です。力のつり合いの式で求めた\(F\)を、電荷\(q\)を含む式で表現するために適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位と文字の確認: 最終的に求める\(q\)が、問題で指定された文字（\(L, m, g, k_0\)）のみで表されているかを確認する。途中で使った\(F\)や\(T\), \(r\)などが残っていないかチェックする。
• 平方根の計算: \(q^2\)から\(q\)を求める際に、平方根の計算を丁寧に行う。特に、\(L^2\)のように2乗の形になっているものはルートの外に出せることを見逃さないようにする。(\(\sqrt{L^2} = L\))
• 代入の順序: まずは文字式のまま計算を進め、具体的な数値（\(\tan 45^\circ = 1\)など）の代入は後の段階で行うと、式変形の過程が見通しやすくなり、ミスが減ることがあります。
• 検算（次元解析）: 得られた答えの次元（単位）が、電荷の次元と一致しているかを確認する。
  \( \left[ L \sqrt{\frac{mg}{k_0}} \right] = \text{m} \sqrt{\frac{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}{\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2}} = \text{m} \sqrt{\frac{\text{N}}{\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2}} = \text{m} \sqrt{\frac{\text{C}^2}{\text{m}^2}} = \text{m} \frac{\text{C}}{\text{m}} = \text{C} \)。
  となり、電荷の単位[C]と一致するため、式は物理的に矛盾がないと考えられます。

例題68 電界と電位と仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一様な電界中での電位差と仕事」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
一様な電界 \(E\) と、電界に沿った距離 \(d\) から2点間の電位差 \(V\) を求める問題です。公式 \(V=Ed\) を正しく適用できるかが問われます。また、電界の向きは電位が「高い」方から「低い」方へ向かうという基本事項を理解しておくことが重要です。
この設問における重要なポイント

• 一様な電界中では、電位差 \(V\) は電界の強さ \(E\) と電界に沿った距離 \(d\) の積に等しい。(\(V=Ed\))
• 電界の向きは、電位が減少する向きである。図では、電気力線が左から右へ向かっているので、点Aの方が点Bよりも電位が高い。
• 単位の関係: [V/m] × [m] = [V] となり、計算結果が電位差の単位になることを確認する。

具体的な解説と立式
一様な電界の強さが \(E\) [V/m] のとき、電界の向きに沿って距離 \(d\) [m] だけ離れた2点間の電位差を \(V\) [V] とすると、これらの間には次の関係が成り立ちます。
$$ V = E \times d \quad \cdots ① $$
問題では、電界の強さ \(E = 2.0 \times 10^4\) V/m、電界に沿った距離 \(d = 0.40\) m が与えられています。

式①に与えられた数値を代入して、電位差 \(V\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V &= (2.0 \times 10^4) \times 0.40 \\[2.0ex]&= 0.80 \times 10^4 \\[2.0ex]&= 8.0 \times 10^3
\end{aligned}
$$

一様な電界（どこでも強さが同じ電気の坂道）では、「電位差（高さの差）」は「電界の強さ（坂の傾き）」×「距離」で計算できる、というシンプルな公式 \(V=Ed\) を使います。問題で与えられた「電界の強さ \(2.0 \times 10^4\) V/m」と「距離 \(0.40\) m」を掛け合わせるだけで答えが求まります。

2点A, B間の電位差は \(8.0 \times 10^3\) V です。電界はAからBの向きに進んでいるため、点Aの方が点Bよりも \(8.0 \times 10^3\) V だけ電位が高いことになります。計算結果の有効数字も2桁で適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電荷を電位差のある2点間で運ぶときの「外力がする仕事」を求める問題です。仕事とエネルギーの関係、特に外力の仕事が静電気力による位置エネルギーの変化に等しいことを理解しているかが鍵となります。「ゆっくり運ぶ」という記述は、運動エネルギーの変化を考えなくてよい（変化は0とみなす）ことを意味しています。
この設問における重要なポイント

• 電荷 \(q\) を電位差 \(\Delta V\) のある2点間で運ぶとき、外力がする仕事 \(W_{\text{外}}\) は \(W_{\text{外}} = q\Delta V\) で計算できる。
• 電位差 \(\Delta V\) は「後の電位」ひく「前の電位」（\(V_{\text{後}} – V_{\text{前}}\)）で計算する。
• 電荷 \(q\) の値と、電位差 \(\Delta V\) の値の「符号」に注意して計算することが極めて重要。

具体的な解説と立式
電荷 \(q\) を持つ物体が電位 \(V\) の点にあるとき、その物体が持つ静電気力による位置エネルギーは \(U=qV\) で表されます。
物体を点A（電位 \(V_{\text{A}}\)）から点C（電位 \(V_{\text{C}}\)）へ「ゆっくり」運ぶとき、外力がする仕事 \(W_{\text{AC}}\) は、位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) に等しくなります。
$$ W_{\text{AC}} = \Delta U = U_{\text{C}} – U_{\text{A}} $$
これを電位を用いて書き換えると、次のようになります。
$$ W_{\text{AC}} = qV_{\text{C}} – qV_{\text{A}} = q(V_{\text{C}} – V_{\text{A}}) \quad \cdots ② $$
問題文より、運ぶ電荷は \(q = -2.0\) C です。
また、点Cは点Aより \(150\) Vだけ電位が「低い」とされているので、電位差は \(V_{\text{C}} – V_{\text{A}} = -150\) V となります。

式②に、電荷 \(q = -2.0\) C と電位差 \(V_{\text{C}} – V_{\text{A}} = -150\) V を代入します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{AC}} &= (-2.0) \times (-150) \\[2.0ex]&= 300 \\[2.0ex]&= 3.0 \times 10^2
\end{aligned}
$$

「外力がする仕事」は、その物体が持っている「電気的な位置エネルギー」がどれだけ変化したか、と同じです。位置エネルギーの変化は「電荷 \(q\) × 電位の変化 \(\Delta V\)」で計算できます。今回は、運ぶ電荷が \(-2.0\) C、そして電位が \(150\) V「低く」なったので、電位の変化は \(-150\) V です。したがって、求める仕事は \((-2.0) \times (-150)\) というシンプルな掛け算で求められます。

外力がする仕事は \(3.0 \times 10^2\) J です。
物理的に考えてみましょう。負の電荷（\(-2.0\) C）は、電位が高い方（A側）へ引きつけられる静電気力を受けます。この静電気力に逆らって、電位が低い点Cへ「ゆっくり」運ぶためには、外力は静電気力とつりあうように、Cの方向へ力を加え続ける必要があります。移動の向きと外力の向きが同じなので、外力のする仕事は正の値になります。計算結果が正であることと、この物理的な考察は一致しており、妥当な答えと言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 一様な電界における電位と仕事の関係:
  • 核心: 一様な電界という理想的な状況において、「電界の強さ \(E\)」、「電界に沿った距離 \(d\)」、「電位差 \(V\)」の3つを結びつける関係式 \(V=Ed\) と、その電位差によって電荷を運ぶ際の「仕事 \(W\))」を計算する関係式 \(W=q\Delta V\) という、2つの基本公式を理解し、使いこなすことが全てです。
  • 理解のポイント:
    • \(V=Ed\) は、電界という「坂の傾き」から「高さの差」を求める関係。
    • \(W=q\Delta V\) は、ある「おもり（電荷\(q\)）」を「高さの差（電位差\(\Delta V\)）」だけ持ち上げる（運ぶ）のに必要な「仕事」を求める関係。これは重力による位置エネルギー \(mgh\) と同じ構造をしています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜めに移動する場合: 電界の向きに対して斜めに電荷を移動させる問題。この場合、仕事の計算に使う距離は、実際の移動距離ではなく、「電界の向きに沿って進んだ距離」であることに注意が必要です。\(W = qE \times (d \cos\theta)\) のように、移動ベクトルと電界ベクトルの内積を考えることになります。
  • 等電位線上を移動する場合: 電界に垂直な向き（等電位線上）に電荷を移動させる場合、電位差は0なので、静電気力がする仕事も外力がする仕事も0になります。
  • 運動エネルギーの変化を伴う場合: 「ゆっくり」ではなく、ある初速度で打ち出された電荷が電界中で加速・減速する問題。この場合は、仕事と運動エネルギーの関係（エネルギー保存則）\( \frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定} \) を使って解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電界が「一様」かどうかを確認する。一様であれば \(V=Ed\) や \(F=qE\) といったシンプルな公式が使えます。点電荷が作る電界のように一様でない場合は、これらの公式は使えません。
  2. 「電位差」を問われているのか、「仕事」を問われているのかを明確にする。(1)と(2)のように、段階的に問われることが多いです。
  3. 「ゆっくり運ぶ」という言葉に注目する。これは「運動エネルギーの変化は無視してよい」というサインであり、外力の仕事が位置エネルギーの変化に等しい（\(W_{\text{外}} = \Delta U\)）と単純化して考えられます。
  4. 電位差 \(\Delta V\) の符号を慎重に判断する。「AよりBが高い」なら \(V_B – V_A > 0\), 「AよりCが低い」なら \(V_C – V_A < 0\) となります。この符号が最終的な仕事の符号を決定します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電位差 \(\Delta V\) の符号の混同:
  • 誤解: (2)で、点CがAより150V低いのに、\(\Delta V = +150\)V として計算してしまう。
  • 対策: \(\Delta V\) は常に「（後）－（前）」、つまり \(V_{\text{終点}} – V_{\text{始点}}\) であると機械的に覚える。そして、「Aより150V低いC」という日本語を \(V_{\text{C}} = V_{\text{A}} – 150\) という数式に変換し、\(\Delta V = V_{\text{C}} – V_{\text{A}} = -150\)V と正確に導出する癖をつける。
• 仕事の主体を取り違える:
  • 誤解: 「外力がする仕事」を問われているのに、「静電気力がする仕事」を計算してしまう。
  • 対策: 外力がする仕事 \(W_{\text{外}}\) と静電気力がする仕事 \(W_{\text{電}}\) は、符号が逆（\(W_{\text{外}} = -W_{\text{電}}\)）の関係にあることを理解する。\(W_{\text{外}} = \Delta U = q\Delta V\) であり、\(W_{\text{電}} = -\Delta U = -q\Delta V\) となります。問題文がどちらの仕事を問うているのかを指差し確認する。
• 電荷 \(q\) の符号を忘れる:
  • 誤解: (2)で、電荷 \(q=-2.0\)C のマイナス符号を計算に入れ忘れる。
  • 対策: \(W=q\Delta V\) の公式に値を代入する際は、\(q\) と \(\Delta V\) の両方にカッコをつけて代入する習慣をつける。例: \(W = (-2.0) \times (-150)\)。これにより、符号のかけ算を意識しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 一様な電界と電位差の関係 (\(V=Ed\)):
  • 選定理由: (1)では、一様な電界の強さ \(E\) と距離 \(d\) が与えられ、電位差 \(V\) を求めるため、これら3つを直接結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: この公式は、電界の定義 \(E = – \frac{dV}{dx}\)（電界は電位の空間的な傾き）を、一様な電界という条件で積分（単純化）したものです。高校物理では、この公式を定義として学びますが、背景にはこのような微分・積分の関係があります。
• 外力がする仕事と位置エネルギーの関係 (\(W_{\text{外}} = q\Delta V\)):
  • 選定理由: (2)では、電荷 \(q\) と電位差 \(\Delta V\) が与えられ、外力がする仕事 \(W\) を求めるため、これらを結びつけるこの公式を選択します。
  • 適用根拠: これは仕事とエネルギーの原理に基づいています。外力が物体にする仕事は、その物体のエネルギーを変化させます。「ゆっくり」運ぶ場合、運動エネルギーの変化は0なので、外力の仕事は位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) に等しくなります。そして、静電気力による位置エネルギーの定義が \(U=qV\) であるため、その変化は \(\Delta U = q\Delta V\) となります。したがって、\(W_{\text{外}} = q\Delta V\) が導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算: \(10^4\) のような指数を含む計算では、係数部分（仮数部）と指数部分を分けて計算するとミスが減ります。(1)の計算では、まず \(2.0 \times 0.40 = 0.80\) を計算し、それに \(10^4\) をつけて \(0.80 \times 10^4\) とします。
• 有効数字の処理: 最後に答えを整形する際に、有効数字を意識します。(1)では \(2.0 \times 10^4\) (2桁) と \(0.40\) (2桁) のかけ算なので、答えも2桁の \(8.0 \times 10^3\) とします。(2)では \(-2.0\) (2桁) と \(-150\) (3桁) のかけ算なので、桁数が少ない方に合わせて2桁の \(3.0 \times 10^2\) とするのが適切です。
• 符号の確認: (2)の計算 \((-2.0) \times (-150)\) のように、負の数同士のかけ算は正になる、という基本的な計算ルールを落ち着いて適用する。計算後に、物理的な意味（負電荷を電位が低くなる方へ運ぶには正の仕事が必要）と合っているか検算する習慣をつけると、符号ミスに気づきやすくなります。

例題69 電気力線と等電位線

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「複数の点電荷が作る電界・電位とエネルギー保存則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
電気力線と等電位線の概形を、その基本的な性質から判断する問題です。複数の電荷がある場合の電気力線や等電位線がどのように描かれるかを理解しているかが問われます。
この設問における重要なポイント

• 電気力線は正電荷から出て、負電荷に入るか無限遠に向かう。
• 電気力線の本数は、その源となる電荷の電気量の大きさに比例する。
• 電気力線同士は交わったり、途中で途切れたりしない。
• 等電位線は電気力線と常に直交する。
• 等電位線は地図の等高線のようなもので、電位が等しい点を結んだ線。
• 電界が強い場所（電荷の近くなど）では、等電位線は密になる。

具体的な解説と立式
この設問は、物理法則の定性的な理解を問うもので、計算は不要です。

電気力線について

1. 電荷は\(+4q\)と\(+q\)で、どちらも正電荷なので、電気力線は両方の電荷から湧き出して無限遠に向かいます。
2. 原点の電荷は\(+4q\)、\(x=d\)の電荷は\(+q\)なので、原点から出る電気力線の本数は、\(x=d\)の点から出る本数の4倍になります。
3. 同じ符号の電荷同士なので、電気力線は互いに反発しあうように広がります。

これらの特徴を最もよく表しているのは図④です。図④では、左の電荷から出る線の数が右よりも多く、線が互いに反発している様子が描かれています。

等電位線について

1. 等電位線は電気力線と直交します。
2. 正電荷の周りでは、電位は正となり、電荷に近いほど高くなります（山のように）。
3. 電気量の絶対値が大きい\(+4q\)の電荷の周りの方が、電界が強く、電位の「傾き」が急になります。そのため、等電位線は\(+4q\)の周りの方が密になります。

これらの特徴を最もよく表しているのは図②です。図②では、両方の電荷を囲むように等高線のような線が描かれ、左の電荷の周りの方が線が密になっています。

この設問では、計算過程はありません。

電気力線は「電気の流れの筋」、等電位線は「電気の高さの等高線」とイメージすると分かりやすいです。

• 電気力線: 2つともプラス電荷なので、どちらからも流れが湧き出します。左の電荷は右の4倍の量なので、左からの湧き出しが強力です。プラス同士は反発するので、流れの筋は互いに避けあうように曲がります。このイメージに合うのは④です。
• 等電位線: プラス電荷は「山」のようなもの。2つの山が近くにあるイメージです。左の山は右の山の4倍の高さと険しさを持っています。等高線は山の周りを囲み、険しい場所ほど等高線は混み合います。このイメージに合うのは②です。

電気力線を表す図は④、等電位線を表す図は②です。それぞれの基本的な性質と図の特徴が正しく対応していることを確認しました。

問(2)

思考の道筋とポイント
x軸上で電界が0になる点を求める問題です。電界はベクトル量なので、2つの電荷が作る電界ベクトルが、ある点で「逆向き」かつ「同じ大きさ」になれば、その点での合成電界は0になります。
この設問における重要なポイント

• 2つの正電荷が作る電界は、電荷の間(\(0 < x < d\))でのみ互いに逆向きになる。
• 点電荷\(q\)が距離\(r\)の点に作る電界の大きさは \(E = k_0 \displaystyle\frac{|q|}{r^2}\) である。
• 電界が0になる条件は、2つの電界の大きさが等しくなること。

具体的な解説と立式
電界が0になる点のx座標を\(x\)とします。2つの電荷はともに正なので、電界が打ち消しあう可能性があるのは、2つの電荷の間、すなわち \(0 < x < d\) の区間です。
この点において、原点の電荷\(+4q\)が作る右向きの電界\(E_{4q}\)と、\(x=d\)の電荷\(+q\)が作る左向きの電界\(E_q\)の大きさが等しくなればよいです。
電荷\(+4q\)から点\(x\)までの距離は\(x\)、電荷\(+q\)から点\(x\)までの距離は\(d-x\)です。
したがって、電界の大きさが等しいという条件から、以下の式が立てられます。
$$ k_0 \frac{4q}{x^2} = k_0 \frac{q}{(d-x)^2} \quad \cdots ① $$

式①の両辺を \(k_0 q\) で割り、整理します。
$$ \frac{4}{x^2} = \frac{1}{(d-x)^2} $$
両辺は正なので、平方根をとることができます。\(0 < x < d\) の範囲では \(x>0\) かつ \(d-x>0\) なので、
$$ \frac{2}{x} = \frac{1}{d-x} $$
この方程式を\(x\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
2(d-x) &= x \\[2.0ex]2d – 2x &= x \\[2.0ex]3x &= 2d \\[2.0ex]x &= \frac{2}{3}d
\end{aligned}
$$
この結果は \(0 < x < d\) の条件を満たしています。

電界が0になる場所とは、2つのプラス電荷からの「反発力」がちょうどつり合う点のことです。左の電荷(\(+4q\))は右の電荷(\(+q\))より4倍強い力を持っているので、つり合う点は力の弱い右の電荷の近くに寄るはずです。この「力のつり合い」を数式で表し、方程式を解くことで、具体的な場所が \(x=\frac{2}{3}d\) であると計算できます。

電界が0になる点は \(x=\displaystyle\frac{2}{3}d\) です。この点は、2つの電荷の間にあり、電気量の大きい\(+4q\)からより離れた位置にあるため、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
電界中を運動する荷電粒子の速さを求める問題です。荷電粒子は静電気力を受けて加速されるため、そのエネルギーは変化します。このような問題では、エネルギー保存則を適用するのが定石です。「静かに置いた」という記述は初速度が0であることを意味し、無限遠点では電位と位置エネルギーが0になることを利用します。
この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則：\((\text{運動エネルギー}) + (\text{静電気力による位置エネルギー}) = \text{一定}\)
• 点電荷\(q\)が距離\(r\)の点に作る電位は \(V = k_0 \displaystyle\frac{q}{r}\)。
• 複数の電荷が作る電位は、各電荷が作る電位の単純な和（スカラー和）で求められる。
• 電荷\(Q\)の荷電粒子が持つ位置エネルギーは \(U = QV\)。

具体的な解説と立式
荷電粒子の始点(\(x=2d\))と終点(無限遠)で、エネルギー保存則を立てます。
$$ (\text{始点での運動エネルギー}) + (\text{始点での位置エネルギー})$$
$$= (\text{終点での運動エネルギー}) + (\text{終点での位置エネルギー}) $$
$$ \frac{1}{2}m(0)^2 + Q V_{\text{始}} = \frac{1}{2}mv^2 + Q V_{\text{終}} \quad \cdots ② $$
ここで、\(V_{\text{始}}\)は\(x=2d\)における電位、\(V_{\text{終}}\)は無限遠点における電位です。
無限遠点を電位の基準とするので、\(V_{\text{終}}=0\)です。
始点 \(x=2d\) での電位 \(V_{\text{始}}\) は、原点の電荷\(+4q\)と\(x=d\)の電荷\(+q\)が作る電位の和で求められます。

• 原点の\(+4q\)から\(x=2d\)までの距離は \(2d\)。
• \(x=d\)の\(+q\)から\(x=2d\)までの距離は \(2d-d=d\)。

したがって、\(V_{\text{始}}\)は、
$$ V_{\text{始}} = k_0 \frac{4q}{2d} + k_0 \frac{q}{d} \quad \cdots ③ $$

まず、式③を用いて始点での電位 \(V_{\text{始}}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{\text{始}} &= k_0 \frac{2q}{d} + k_0 \frac{q}{d} \\[2.0ex]&= \frac{3k_0q}{d}
\end{aligned}
$$
次に、この結果をエネルギー保存則の式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q \left( \frac{3k_0q}{d} \right) &= \frac{1}{2}mv^2 \\[2.0ex]mv^2 &= \frac{6k_0qQ}{d} \\[2.0ex]v^2 &= \frac{6k_0qQ}{md}
\end{aligned}
$$
速さ\(v\)は正なので、
$$ v = \sqrt{\frac{6k_0qQ}{md}} $$

荷電粒子を電気の「坂道」に置くと、坂を転がり落ちてスピードが上がります。このとき、「失った位置エネルギー」が「得られた運動エネルギー」に等しくなります。

1. まず、スタート地点(\(x=2d\))の「電気的な高さ（電位）」を計算します。これは、2つの電荷がそれぞれ作る高さを単純に足し算するだけです。
2. 次に、スタート地点での「位置エネルギー」を「運ぶ電荷\(Q\) × 電位」で計算します。
3. 粒子が無限遠に達したとき、この位置エネルギーがすべて運動エネルギーに変わったと考え、「(位置エネルギー) = \(\frac{1}{2}mv^2\))」という式を立てます。
4. この式を速さ\(v\)について解けば、答えが求まります。

荷電粒子が無限遠点に行ったときの速さは \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{6k_0qQ}{md}}\) です。
この結果は、与えられた物理量のみで構成されており、物理的に考えても、電荷\(q, Q\)が大きいほど、また質量\(m\)が小さいほど速さが大きくなるという直感と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電界・電位の重ね合わせとエネルギー保存則:
  • 核心: この問題は、複数の点電荷が存在する空間の性質を、「電界（ベクトル和）」と「電位（スカラー和）」という2つの側面から理解し、さらにその空間内で荷電粒子が運動する際の「エネルギー保存則」を適用するという、静電気学の重要概念を網羅した総合問題です。
  • 理解のポイント:
    • (1) 電気力線・等電位線: 電荷分布が作る場の「可視化」。ルールを定性的に理解する。
    • (2) 電界の合成: 電界はベクトル量。力がつりあう点（電界が0の点）を探すには、ベクトルの大きさが等しく、向きが逆になる条件を考える。
    • (3) 電位の合成とエネルギー保存: 電位はスカラー量。単純な代数和で計算できる。この電位（電気的な位置エネルギーの高さ）を使って、力学的なエネルギー保存則を立式する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電気双極子（正負の電荷ペア）の問題: 電荷の符号が異なる場合、電気力線は正電荷から出て負電荷に入り、電界が0になる点は電荷の外側にできます。等電位線も複雑な形になります。
  • 束縛からの脱出速度: 負の電荷に束縛された正の電荷が、無限遠に脱出するために必要な初速度を求める問題。これは、(3)とは逆に、終点（無限遠）でのエネルギーから始点でのエネルギーを考える問題です。
  • 有限距離での速さ: 無限遠ではなく、ある有限の点から別の有限の点まで移動したときの速さを求める問題。この場合、終点での位置エネルギーも0ではないため、\(K_1+U_1 = K_2+U_2\) の \(U_2\) の項も計算する必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず電荷の配置と符号を確認する。これにより、電気力線や電位のおおまかな形、電界が0になる点の位置（電荷の間か、外側か）を予測できます。
  2. 「電界」を問われたらベクトル和、「電位」を問われたらスカラー和、と頭を切り替える。
  3. 「速さを求めよ」とあれば、ほぼエネルギー保存則の問題だと判断する。その際、始点と終点の「運動エネルギー」と「位置エネルギー」の4つの項を書き出して、それぞれ値を特定していくと間違いがありません。
  4. 位置エネルギーを計算するには、まずその点での電位を計算する必要がある、という手順を意識する。(\(U=QV\))

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電気力線と等電位線の混同:
  • 誤解: (1)で、電気力線の性質（本数が電荷量に比例）と等電位線の性質（密度が電界の強さに比例）を混同して、逆の図を選んでしまう。
  • 対策: 「力線は本数」「電位線は密度」と明確に区別して覚える。力線は電荷から出る矢印の流れ、等電位線は地図の等高線、というイメージを強く持つ。
• 電界が0になる点の計算ミス:
  • 誤解: (2)で、平方根をとるときに \( \frac{4}{x^2} = \frac{1}{(d-x)^2} \) から \( \frac{2}{x} = \pm \frac{1}{d-x} \) の両方を考えてしまい、不適切な解を選んでしまう。
  • 対策: 物理的な条件（\(0<x<d\)）を常に意識する。この範囲では\(x\)も\(d-x\)も正なので、平方根は正の値のみをとればよい。計算で出てきた解が、最初に設定した物理的条件を満たしているかを必ず最後に確認する。
• 電位の計算での距離の間違い:
  • 誤解: (3)で、\(x=2d\)の点の電位を計算する際に、原点からの距離を\(2d\)、\(x=d\)の点からの距離を\(2d\)と勘違いするなど、距離の取り方を間違える。
  • 対策: 必ず図を描くか、数直線をイメージして、各電荷から対象の点までの距離を一つ一つ慎重に計算する。（後の点）－（前の点）で機械的に計算する。(\(2d-0=2d\), \(2d-d=d\))
• エネルギー保存則の立式ミス:
  • 誤解: \(QV = \frac{1}{2}mv^2\) のように、始点と終点の片方のエネルギー項を書き忘れる。
  • 対策: エネルギー保存則を立てるときは、必ず \(K_1+U_1 = K_2+U_2\) の形を書き出し、始点（1）と終点（2）の各エネルギーが何か（0か、具体的な値か）を一つずつ確認しながら式を埋めていく。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電界の重ね合わせ (\(E_{4q} = E_q\)):
  • 選定理由: (2)で「電界が0」という条件を数式化するために使用します。電界が0とは、複数の電荷が作る電界ベクトルの和が0になるということです。この問題では、2つの電界ベクトルが一直線上で逆向きなので、大きさが等しいという条件に帰着します。
  • 適用根拠: 重ね合わせの原理により、ある点での合成電界は、各電荷が単独でその点に作る電界のベクトル和で与えられます。 \(\vec{E} = \vec{E}_{4q} + \vec{E}_q = \vec{0}\) より \(\vec{E}_{4q} = -\vec{E}_q\)。これは、大きさが等しく向きが逆であることを意味します。
• エネルギー保存則 (\(K_1 + U_1 = K_2 + U_2\)):
  • 選定理由: (3)で、ある点から別の点へ移動した後の「速さ」を求めるため、力学的エネルギーの変化を追跡する必要があるからです。静電気力は保存力なので、エネルギー保存則が適用できます。
  • 適用根拠: 荷電粒子にはたらく力は静電気力（保存力）のみです。保存力のみが仕事をする場合、物体の力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は保存されます。この法則を用いることで、途中の複雑な運動（力の変化など）を追うことなく、始点と終点の状態だけで速さを計算できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の方程式: (2)の \( \frac{4}{x^2} = \frac{1}{(d-x)^2} \) のような式は、展開して2次方程式として解くこともできますが、計算が煩雑になります。両辺が2乗の形になっていることに気づき、平方根をとることで1次方程式に持ち込むのが賢明です。
• 分数の足し算: (3)の電位の計算 \( V = k_0 \frac{4q}{2d} + k_0 \frac{q}{d} \) では、まず \(k_0 \frac{4q}{2d}\) を \(k_0 \frac{2q}{d}\) と約分してから足し算すると、通分が不要になり計算が楽になります。
• 文字式の整理: 最終的な答え \( v = \sqrt{\frac{6k_0qQ}{md}} \) に至る過程で、係数や文字の整理を慎重に行う。特に、\(v^2\) から \(v\) を求める際に、ルートの中の式全体が正しく計算されているかを確認する。

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